Diseno~ e Implementaci on de un Sistema de P endulo...

Diseno e Implementacion de un Sistema de Pendulo Invertido

para la Ensenanza de Conceptos de Control en Ingenierıa,

a Traves del Metodo de Variables de Estado

Angela Paola Duquino Sanchez

Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas

Facultad de Ingenierıa

Proyecto Curricular de Ingenierıa Electronica

Bogota D.C.

2015

Diseno e Implementacion de un Sistema de Pendulo Invertido

para la Ensenanza de Conceptos de Control en Ingenierıa,

a Traves del Metodo de Variables de Estado

Angela Paola Duquino Sanchez

Cod. 20091005017

Trabajo de grado para optar al tıtulo de:

Ingeniero Electronico en la modalidad de investigacion

Directora:

Diana Marcela Ovalle Martınez. PhD.

Lınea de Investigacion:

Senales y Control

Grupo de Investigacion:

IDEAS

Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas

Facultad de Ingenierıa

Proyecto Curricular de Ingenierıa Electronica

Bogota D.C.

2015

Nota de Aceptacion

Firma del Jurado

Firma del Jurado

La preocupacion por el hombre y su destino

siempre debe ser el interes primordial de todo

esfuerzo tecnico. Nunca olvides esto entre tus

diagramas y ecuaciones.

Albert Einstein

Agradecimientos

A Dios, por los logros obtenidos y por cada una de las personas que puso en mi camino a

lo largo de mi carrera.

A mi familia, por su amor, formacion, apoyo incondicional, opiniones, sugerencias y cola-

boracion en cada experiencia y actividad de mi vida.

A mis profesores y companeros, por su ayuda, ensenanzas, sugerencias y opiniones en

los momentos de duda que me ayudaron a la construccion de este trabajo. A la profesora

Diana Marcela Ovalle y al Grupo de Investigacion ((IDEAS)), por su apoyo y por darme

la oportunidad de hacer parte de esta gran labor y de este proyecto de investigacion. A la

Universidad Distrital por la educacion brindada, por formarme como una profesional con

valores y consciente de su responsabilidad en el progreso y desarrollo de una mejor sociedad.

A todos gracias.

RESUMEN xi

Resumen

En este documento se desarrolla un prototipo funcional tipo pendulo invertido de trayecto-

ria circular, el cual es aportado al Proyecto de Investigacion “Diseno e Implementacion de

Plantas Basicas para la Ensenanza de Conceptos de Control en Ingenierıa” del Grupo de

Investigacion IDEAS de la Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas como herramienta

para la ensenanza en el area de sistemas de control. Se presentan las ecuaciones que represen-

tan la dinamica del sistema, las cuales fueron utilizadas como punto de partida, tanto para

el diseno de la implementacion electronica y mecanica del prototipo como para el diseno de

controladores que lo llevan a la estabilidad.

Se muestra el diseno para la implementacion tanto electronica como mecanica del prototipo,

la seleccion de los componentes y materiales a usar para la misma, ası como las caracterısti-

cas basicas de cada uno de ellos. Tambien, se presenta la caracterizacion de los sensores y

actuadores del sistema, ası como la caracterizacion de la planta, la cual se lleva a cabo por

medio de la medicion y optimizacion de los parametros fısicos calculados que modelan el

comportamiento del sistema, comparando las variables del modelo de simulacion y los datos

obtenidos de la implementacion del sistema. De igual forma, se presentan los resultados de

las estimaciones realizadas, que corresponden al modelo dinamico del prototipo implemen-

tado.

Se describe el diseno de un controlador por la tecnica de variables de estado. De igual forma,

se describe el diseno de controladores difusos tipo 1 y tipo 2. De esta manera, se crean guıas

de laboratorio para el trabajo con el prototipo en el area, que abarcan tecnicas de diseno de

controladores tanto de tipo lineal como no lineal, a ser implementadas de forma digital.

Adicionalmente, se presentan los planos realizados para la construccion mecanica del proto-

tipo, los esquematicos y circuitos impresos disenados para el mismo y la programacion del

microcontrolador. Dado que el proyecto tiene como resultado un prototipo de hardware, es

necesario e indispensable el desarrollo de un manual de usuario, mantenimiento y reparacion

del mismo.

En el presente trabajo se incluye en los anexos el artıculo titulado ((Design and Implemen-

tation of a CBR Interval Type-2 Fuzzy Controller for Stabilizing an Inverted Pendulum)),

el cual recibio aceptacion y fue presentado en el 2nd Workshop on Engineering Applica-

tions – International Congress on Engineering (WEA - 2015). Adicionalmente, se incluye un

CD-ROM con los respectivos archivos y codigos de programa utilizados para el desarrollo y

trabajo con el prototipo.

Contenido

Resumen XI

Lista de Figuras XVII

Lista de Tablas XXI

Lista de Sımbolos XXIII

Introduccion 1

1. Generalidades 3

1.1. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1. Objetivo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.2. Objetivos especıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. Aportes y Reconocimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2. Diseno del Prototipo 7

2.1. Seleccion de la estructura de pendulo invertido a disenar . . . . . . . . . . . 7

2.2. Recomendaciones para la construccion de equipos de laboratorio . . . . . . . 9

2.2.1. Diseno Electronico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.2. Diseno Mecanico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3. Analisis de requerimientos del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4. Seleccion de componentes para la parte electronica del sistema . . . . . . . . 15

2.4.1. Sensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4.2. Motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4.3. Microcontrolador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4.4. Modulo de comunicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4.5. Otros componentes electronicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5. Diseno electronico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.5.1. Captura y entrega datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.5.2. Etapa potencia motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

xiv CONTENIDO

2.5.3. Comunicacion microcontrolador-PC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5.4. Microcontrolador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5.5. Etapa de proteccion para las salidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.6. Seleccion de componentes para la parte mecanica del sistema . . . . . . . . . 26

2.6.1. Seleccion componentes y piezas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.6.2. Seleccion materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.7. Diseno mecanico (aproximado) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.7.1. Carro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.7.2. Base del carro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.8. Consideraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3. Implementacion del Prototipo 45

3.1. Caracterizacion de sensores y motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1.1. Potenciometro lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1.2. Motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.1.3. Encoder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2. Circuitos impresos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3. Programacion Microcontrolador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.4. Costos de implementacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.5. Sistema de pendulo invertido implementado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4. Modelamiento y Caracterizacion del Sistema 61

4.1. Modelo dinamico del sistema de pendulo invertido . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.2. Linealizacion y ecuaciones de estado del sistema de pendulo invertido . . . . 65

4.3. Caracterizacion del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.3.1. Optimizacion de los parametros del sistema . . . . . . . . . . . . . . 68

4.3.2. Sistemas simulado/real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.4. Analisis de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.4.1. Caracterizacion del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.4.2. Consideraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5. Diseno e Implementacion de Controladores 73

5.1. Diseno e Implementacion de controladores difusos . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.1.1. Sistema difuso tipo 2 de intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.1.2. Sistema difuso tipo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.1.3. Optimizacion de los parametros del controlador . . . . . . . . . . . . 76

5.2. Diseno e implementacion de un controlador por el metodo de variables de estado 77

5.3. Analisis de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.3.1. Sistemas simulado/real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.3.2. Controladores difusos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.3.3. Controlador por el metodo de variables de estado . . . . . . . . . . . 81

CONTENIDO xv

5.3.4. Funcion ((CSPI)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.3.5. Consideraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.3.6. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6. Conclusiones y Trabajos Futuros 87

6.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.2. Trabajos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

A. AAnexos 91

A.1. Hoja de datos y manual de usuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

A.2. Practicas de laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

A.3. Caracterizacion planta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

A.4. Archivos MatLabr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

A.5. Artıculo [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Lista de Figuras

2-1. Estructuras de pendulo invertido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2-2. Diagrama del proceso de diseno mecanico [13]. . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2-3. Partes principales del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2-4. Potenciometro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2-5. Encoder [14]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2-6. Motor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2-7. Microcontrolador MSP430G2553 [15]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2-8. FT232. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2-9. Diagrama funcional del DAC [18]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2-10.Atenuador para capturar el voltaje del motor. . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2-11.Seguidor de voltaje para el canal del encoder dirigido al microcontrolador. . 24

2-12.Amplificadores para otorgar los voltajes correspondientes a los valores del

angulo y velocidad dados por el microcontrolador. . . . . . . . . . . . . . . . 24

2-13.Etapa de potencia para el motor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2-14.Comunicacion microcontrolador-PC por medio de la tarjeta FT232. . . . . . 26

2-15.Diagrama circuital microcontrolador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2-16.Proteccion de las salidas angulo y velocidad a cortos con la fuente. . . . . . . 27

2-17.Llanta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2-18.Anillo Colector (Slip Ring). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2-19.Funcionamiento de un anillo colector. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2-20.Carro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2-21.Pendulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2-22.Pieza mecanica para el movimiento del pendulo. . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2-23.Acople potenciometro-pendulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2-24.Acople motor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2-25.Acople motor-llanta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2-26.Chumacera llanta libre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2-27.Acople encoder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2-28.Acople anillo colector-carro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2-29.Ensamble Carrocerıa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2-30.Tapas carro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

xviii LISTA DE FIGURAS

2-31.Paredes del carro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2-32.Base del carro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2-33.Ensamble de la Base del Carro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2-34.Tapas base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2-35.Paredes de la base del carro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3-1. Caracterizacion potenciometro y amplificador del valor del angulo con su res-

pectivas lıneas de tendencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3-2. Ajustes para el voltaje en el motor con su respectivas lıneas de tendencia. . . 46

3-3. Caracterizacion encoder y amplificador del valor de la velocidad con sus res-

pectivas lıneas de tendencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3-4. Comportamiento del motor respecto a la velocidad. . . . . . . . . . . . . . . 47

3-5. Esquematico del prototipo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3-6. Circuitos impresos del prototipo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3-7. PCB’s del prototipo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3-8. Interfaz grafica principal “Grace”, donde se activan y seleccionan los modu-

los que se desean utilizar en el microcontrolador, ası como su frecuencia de

trabajo, voltaje de alimentacion, entradas, salidas, entre otros. . . . . . . . . 52

3-9. Activacion en secuencia de dos canales del ADC, para capturar los voltajes

del motor y potenciometro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3-10.Activacion interrupcion de tiempo cada 10 mseg en el Timer0 A3 Bloque 0. 54

3-11.Activacion de la interrupcion en el pin de entrada P1.5 para el canal del encoder. 54

3-12.Activacion modo PWM del Timer1 A3 Bloque 1 para generar el PWM del

angulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3-13.Activacion modo PWM del Timer1 A3 Bloque 2 para generar el PWM de la

velocidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3-14.Activacion de la UART en el USCI A0 para establecer comunicacion entre el

microcontrolador y FT232. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3-15.Asignacion de las entradas, salidas, canales ADC, PWM y modulos de comu-

nicacion del microcontrolador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3-16.Sistema de pendulo invertido implementado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4-1. Diagrama de cuerpo libre del sistema de pendulo invertido de trayectoria

circular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4-2. Circuito equivalente para un motor DC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4-3. Respuestas del sistema simulado y real a una entrada seno con los parametros

iniciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4-4. Diagramas de bloque para el sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4-5. Respuestas del sistema simulado y real a una entrada seno con los parametros

optimizados en (4-42). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

LISTA DE FIGURAS xix

5-1. Funciones de pertenencia de entrada y salida del controlador. . . . . . . . . . 73

5-2. Diagramas de bloque para el sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5-3. Respuestas del sistema controlado simulado y real, con un controlador difuso

tipo 2 de intervalo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5-4. Respuestas del sistema controlado simulado y real, con un controlador difuso

tipo 1 optimizado en (5-23). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5-5. Respuestas del sistema controlado simulado y real, con el controlador por

realimentacion de estados mostrado en (5-21). . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5-6. Comportamiento posicion angular del pendulo en tiempo real. . . . . . . . . 82

5-7. Comportamiento de las variables del sistema de pendulo invertido en el tiempo. 83

5-8. Ejecucion de la funcion CSPI(Tiempo,’COM’). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5-9. Respuestas del sistema controlado simulado y real, para cada uno de los con-

troladores desarrollados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

A-1. Sistema controlado con un sistema difuso tipo 2. . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Lista de Tablas

2-1. Tabla de datos encoder Pittman serie E22A [14]. . . . . . . . . . . . . . . . 16

2-2. Tabla de datos del motor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2-3. Caracterısticas microcontrolador MSP430G2553 [15]. . . . . . . . . . . . . . 17

2-4. Funciones terminales del DAC TLC5615 [18]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2-5. Componentes electronicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2-6. Piezas Mecanicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2-7. Accesorios para el ensamble de las piezas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3-1. Costos para la implementacion mecanica del prototipo. . . . . . . . . . . . . 57

3-2. Costos para la implementacion electronica del prototipo. . . . . . . . . . . . 58

3-3. Caracterısticas del Sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4-1. Parametros del sistema implementado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5-1. Tabla de verdad por logica de Kleene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5-2. Valor del criterio ISE para cada controlador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

A-1. Rendimiento para 16 pruebas y 10 vectores de parametros. . . . . . . . . . . 93

Lista de sımbolos

Sımbolos Generales

Sımbolo Termino Unidad SI

Asup Area superficial m2

t Tiempo s

g Gravedad m/s2

h Altura m

η Viscosidad Ns/m2

z Distancia hundimiento m

Sımbolos del motor DC

Sımbolo Termino Unidad SI Definicion

τ Torque Nm KT Ia

τs Torque Stall Kg f-cm 1 Kg f-cm = 0,09806 Nm

KT Constante de torque Nm/A

Ia Corriente de armadura A

Ra Resistencia de armadura Ω

Vm Voltaje aplicado al motor V

Ki Constante de inducido AΩs

ωm Velocidad angular del motor rads

E Voltaje de inducido V Kiω

xxiv LISTA DE SIMBOLOS

Sımbolos del pendulo invertido


θ Angulo de inclinacion rad

φ Velocidad angular carro rads

N Fuerza normal del carro N (M +m)g

u Fuerza de control N τ/r

2l Longitud pendulo m

m Masa pendulo kg

M Masa del carro kg

µ Coeficiente friccion viscosa Ns/m Kg/s

b Coeficiente friccion rotacional Nms Kgm2/s

ρ Coeficiente friccion normal

I Inercia pendulo Kg m2

R Radio pista m

r Radio llanta m

ω Velocidad angular 1s

dθ/dt = v/r

s Arco m Rφ

Sımbolos de un modelo dinamico

Sımbolo Termino Unidad SI

Mp Sobre paso maximo (Overshoot)

ξ Factor de amortiguamiento

ωn Frecuencia natural no amortiguada

ts Tiempo de establecimiento s

Ts Tiempo de muestreo s

LISTA DE SIMBOLOS xxv

Sımbolos de ecuaciones de estado

Sımbolo Termino

x(t)− x[n] Vector de estado

u(t)− u[n] Vector de entrada

y(t)− y[n] Vector de salida

r(t)− r[n] Vector de referencia

A Matriz de estados

B Matriz de entrada

C Matriz de salida

D Matriz de transmision directa

U Matriz de controlabilidad

I Matriz identidad

S Matriz de transformacion

K Vector de ganancias

Sımbolos seleccion disipador


PD Potencia disipada W

TA Temperatura ambiente C

TJ Temperatura de juntura C

RJC Resistencia juntura-cotenedor C/W

RCD Resistencia contenedor-disipador C/W

RD Resistencia disipador C/W RD = TJ−TAPD− (RJC +RCD)

Introduccion

La ingenierıa de control ha sido uno de los mas grandes avances en la tecnologıa mundial

y es base de estudios hoy dıa. Gracias a esta, se han logrado desarrollos significativos para

mejorar la calidad de vida de las personas. Por tal motivo, es pertinente y necesario en-

senar los conceptos basicos que se requieren para el analisis e implementacion de sistemas de

control, por medio de la sustentacion teorica y la aplicacion de dicho aprendizaje, a traves

de practicas de laboratorio que orienten a los estudiantes en el desarrollo de los conceptos

adquiridos en la teorıa. Para lograr tal fin, el Grupo de Investigacion, Desarrollo y Aplica-

ciones en Senales (IDEAS) de la Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas, a traves del

Proyecto de Investigacion “Diseno e Implementacion de Plantas Basicas para la Ensenanza

de Conceptos de Control en Ingenierıa”, evaluado, aprobado y financiado por el Centro de

Investigaciones y Desarrollo Cientıfico de la Universidad, propone el desarrollo de diferentes

plantas basicas para la ensenanza de conceptos de control en ingenierıa.

En el marco de dicho proyecto de investigacion, en el presente trabajo de grado se imple-

menta un sistema de pendulo invertido de trayectoria circular con un conjunto de guıas

de laboratorio, que logra proporcionar a los estudiantes las herramientas necesarias para

afianzar sus conocimientos relacionados con la identificacion de sistemas, el diseno de con-

troladores a partir de la tecnica de Variables de Estado y de sistemas difusos CBR. Es

importante mencionar, que el CBR es un proceso de concrecion y defuzificacion empleado

para simplificar los calculos en los sistemas de inferencia difusos; no obstante, se puede em-

plear como una metodologıa de diseno de sistemas de inferencia difuso, teniendo en cuenta

la resolucion de sistemas de control basados en automatismos; adicionalmente, este metodo

requiere menos costo computacional, es mas sencillo a la hora de implementarlo y la toma

de decisiones en el mismo es mas rapida. No obstante, el proceso para la seleccion de los

coeficientes del CBR de orden cero requiere de un sistema experto que identifique los valores

asociados; cabe mencionar que el CBR de orden cero, corresponde a los coeficientes constan-

tes que se multiplican por las salidas obtenidas en las simplificaciones de las tablas de verdad.

2 INTRODUCCION

La implementacion del sistema se llevo a cabo con la participacion de la docente profesional

en el area de control. En cuanto a la metodologıa de trabajo, en primer lugar se realizo una

busqueda de las diferentes estructuras de sistemas de pendulo invertido implementadas ac-

tualmente, con el fin de determinar cual de ellas era la mas apropiada para ser implementada.

Posteriormente, se continuo con el diseno y simulacion de la planta, teniendo en cuenta las

recomendaciones para la construccion de equipos de laboratorio. A continuacion, se siguio

con la implementacion y, por tanto, con la verificacion de funcionamiento y puesta a pun-

to del sistema. Finalmente, se realizo la documentacion del sistema propuesto: un manual

de usuario orientado al mantenimiento y reparacion del sistema, y guıas de trabajo en el

laboratorio orientados al docente y al estudiante, teniendo en cuenta la respectiva funda-

mentacion matematica para el desarrollo de los mismas, para que en el marco del proyecto

de grado estos puedan ser utilizados por los diferentes Proyectos Curriculares de la Facultad

de Ingenierıa de la Universidad.

Capıtulo 1

Generalidades

1.1. Planteamiento del problema

Dada la importancia que tienen los conceptos de control en el desarrollo de tecnologıas y

competencias en los estudiantes de algunos nucleos de ingenierıa (como la ingenierıa electri-

ca, electronica y de sistemas), se hace necesario proveer a los estudiantes de las herramientas

necesarias que les permitan comprender de forma clara y concisa los conceptos basicos de

control en ingenierıa, teniendo en cuenta la complejidad de esta area debido al fuerte conte-

nido matematico que involucra. Es por ello que actualmente se cuenta con diferentes recursos

de ayuda para la ensenanza de estos conceptos como simuladores, software academico, equi-

pos de laboratorio especializado y, en algunos casos, el diseno e implementacion de sistemas

de control reales en el laboratorio para la resolucion de problemas particulares.

Los simuladores ofrecen resultados ideales comparados con la implementacion real de un sis-

tema y, pese a que pueden dar un nivel de realismo bastante elevado, es muy difıcil suponer

cuales son las no linealidades que puede presentar un sistema, a menos que sea implemen-

tado inicialmente. Por supuesto, en diferentes universidades, e incluso los desarrolladores

de ciertos programas de software licenciados, como Matlab, se han tomado el trabajo de

desarrollar modelos de simulacion bastante detallados de una amplia variedad de sistemas

dinamicos, con el fin de que las personas interesadas en aplicarle teorıa de control a dichos

sistemas puedan utilizar los modelos y enfocarse plenamente en las diferentes estrategias de

control que se deseen probar. Sin embargo, al utilizar programas de simulacion los estudian-

tes quedan con la idea de que no estan experimentando con sistemas reales.

Los equipos (sistemas) de laboratorio de control comerciales pueden, en cierta medida, quitar

el sinsabor que deja el trabajo con simulacion. Sin embargo, en su mayorıa son sistemas muy

cerrados, que vienen con muchos modulos adicionales, como: alimentacion propia, adquisi-

cion de datos e, incluso, software propio para el trabajo con el sistema. Lo anterior no es del

todo atractivo, en particular en el aprendizaje de la ingenierıa electronica, debido a que el

estudiante esta en posibilidad de desarrollar sus propios sistemas de adquisicion de datos de

4 1 Generalidades

bajo costo. Ademas en el caso particular de la Universidad, esta cuenta con multiples fuentes

de alimentacion recientemente adquiridas, ası como con licencias de programas orientados

al control de sistemas, que hacen un poco sobredimensionada la inversion que se debe hacer

para adquirir equipos de laboratorio de control comerciales.

Cuando los estudiantes se ven en la necesidad de disenar e implementar sus propios siste-

mas, se ven enfrentados a una serie de problemas y dudas debido al inesperado o inadecuado

funcionamiento de los mismos por diferentes motivos; problemas que el aspirante a inge-

niero debe comprender y corregir para lograr objetivos propuestos. Sin embargo, el tiempo

destinado para las practicas de laboratorio usualmente no es el suficiente para lograr que el

sistema funcione de manera adecuada (electronicamente hablando), por lo que el objetivo del

laboratorio de control se pierde totalmente y resulta siendo mucho mas complicado debido a

las falencias teorico-practicas heredadas de otras materias y no por la complejidad inherente

a los sistemas de control, lo que genera una desmotivacion en los estudiantes por seguir esta

lınea de profundizacion.

Debido a todo lo anterior, se hace necesario contar con herramientas, principalmente plantas

(sistemas) de laboratorio, que permitan a los estudiantes el desarrollo de practicas que forta-

lezcan y ayuden a comprender de forma clara y concisa los conceptos de control introducidos

en la teorıa. Con el fin de suplir esta necesidad en la Universidad, a traves del Grupo de

Investigacion, Desarrollo y Aplicaciones en Senales (IDEAS) de la Universidad Distrital, se

esta desarrollando el Proyecto de investigacion “Diseno e Implementacion de Plantas Basicas

para la Ensenanza de Conceptos de Control en Ingenierıa”, evaluado, aprobado y financiado

por el Centro de Investigaciones y Desarrollo Cientıfico de la Universidad. El proyecto de

investigacion en mencion busca implementar tres plantas basicas orientadas al aprendizaje

de conceptos basicos de control en la Facultad de Ingenierıa, de las cuales una de ellas es

implementada en el presente proyecto. En este contexto y orientado especıficamente a las

tematicas de identificacion de sistemas y Variables de Estado en los espacios academicos del

area de control del Proyecto Curricular de Ingenierıa Electronica surge el presente proyecto

de grado, que pretende dar respuesta a la pregunta: ¿Como, a partir de la implementa-

cion de un sistema tipo pendulo invertido sobre un carro, se pueden fortalecer

los conceptos fundamentales de los cursos del area de control que incluyen

las tematicas de identificacion de sistemas y la tecnica de variables de estado,

en el proyecto curricular de ingenierıa electronica de la Universidad Distrital?

Para darle respuesta a la pregunta, en este trabajo de grado se propone el diseno e imple-

mentacion de un sistema tipo pendulo invertido sobre un carro, con una entrada (voltaje

sobre el motor del carro) y dos salidas (la posicion del pendulo respecto a la vertical y la

velocidad del carro), con el fin de utilizarlo en el desarrollo de practicas de laboratorio en el

area de control, que incluyan tematicas de identificacion de sistemas y diseno e implentacion

1.2 Objetivos 5

de controladores en Variables de Estado, o tecnicas de control avanzadas. Lo anterior supone

la elaboracion y desarrollo de guıas de laboratorio orientadas a los conceptos que se desean

fortalecer.

Ası mismo, se espera que el prototipo de sistema de pendulo invertido sea utilizado en el

laboratorio y por tanto replicado para que cada grupo pueda trabajar con su prototipo de

forma simultanea, lo cual supone la necesidad de la elaboracion de manuales, tanto de usuario

como de mantenimiento y reparacion.

1.2. Objetivos

1.2.1. Objetivo general

Disenar e implementar un sistema de pendulo invertido sobre un carro para la ensenanza de

conceptos de control en ingenierıa, relacionados con la tecnica de Variables de Estado y la

identificacion de sistemas.

1.2.2. Objetivos especıficos

3.2.1 Disenar y simular un sistema de pendulo invertido sobre un carro con una entrada

analogica (voltaje sobre el motor del carro) y dos salidas analogicas (la posicion del

pendulo respecto a la vertical y la velocidad del carro).

3.2.2 Implementar y poner a punto un prototipo del sistema teniendo en cuenta las reco-

mendaciones para la construccion de equipos de laboratorio.

3.2.3. Realizar el manual de usuario, donde se especifiquen con claridad las capacidades y

limitaciones del sistema, ası como su adecuada forma de uso.

3.2.4. Realizar un manual de mantenimiento y reparacion, donde se especifiquen comple-

tamente los disenos electronico y mecanico, y se detallen los procesos de reparacion

especıficos.

3.2.5. Desarrollar las practicas de laboratorio en las tematicas de identificacion de sistemas y

la tecnica de Variables de Estado, especificando los resultados esperados y los posibles

inconvenientes que puedan llegar a tener los estudiantes durante el desarrollo de cada

practica.

6 1 Generalidades

1.3. Aportes y Reconocimientos

El desarrollo de un prototipo funcional de pendulo invertido de trayectoria circular

que incluye un modulo de comunicacion con el PC (para la ejecucion de controladores

digitales directamente desde el mismo en tiempo real) y el acceso a las variables del

sistema analogico (para la ejecucion de controladores analogicos), posibilita que dicho

prototipo sea utilizado como herramienta para el estudio de sistemas dinamicos y

control avanzado (difusos, robustos, optimos, adaptivos, entre otros).

El sistema de pendulo invertido de trayectoria circular, es un prototipo poco comun, ya

que por lo general, estos sistemas estan definidos en trayectorias lineales, lo que otorga

al prototipo aquı implementado un mayor grado de dificultad tanto para el analisis del

sistema como para el diseno e implementacion de controladores en el mismo.

Se desarrollo la funcion CSPI(Tiempo,’COM’) en MatLabr para que el usuario inter-

actue con el sistema de pendulo invertido, por medio de la aplicacion de controladores

propios y la visualizacion de los comportamientos de las variables que componen el

sistema controlado.

Se realizo el artıculo titulado ((Design and Implementation of a CBR Interval Type-2

Fuzzy Controller for Stabilizing an Inverted Pendulum)), el cual recibio aceptacion y fue

presentado en el 2nd Workshop on Engineering Applications – International Congress

on Engineering (WEA - 2015).

Capıtulo 2

Diseno del Prototipo

2.1. Seleccion de la estructura de pendulo invertido a

disenar

En la literatura se encuentran varias estructuras para el desarrollo de un sistema de pendulo

invertido:

Sistema de pendulo invertido en base lineal: es la estructura mas comun y la cual se

observa en la Fig. 2-1 (a). Se compone de un vehıculo (carro o riel) que tiene la funcion

de balancear el pendulo, el cual puede moverse en unica dimension y cuyo movimiento

esta gobernado por un motor DC (actuador) localizado en uno de los extremos de la

barra horizontal y que esta adherido al carro por medio de un engranaje y una banda

de conexion. Sujeto al vehıculo se encuentra la barra pendular que, en estado de reposo,

se encuentra en la posicion vertical inferior y que se conoce como estado natural [44].

Sistema de pendulo invertido de furuta: tambien conocido como pendulo rotacional

invertido. Es un mecanismo sub-actuado con 2 grados de libertad y constituido por 2

eslabones, o brazos, y 2 articulaciones rotacionales. El primer eslabon tiene la capaci-

dad de girar en el plano horizontal, en uno de sus extremos se encuentra el actuador

(motor), quien imprime sobre este la capacidad de movimiento, a su vez este se conec-

ta al segundo eslabon, o pendulo, en el extremo restante mediante una articulacion,

que puede girar libremente y permite su rotacion sobre el plano vertical [4], se puede

observar en la Fig. 2-1 (b).

Sistema de pendulo invertido sobre dos ruedas (Segway): se observa en la Fig. 2-1

(c). Consiste en un unico cuerpo rıgido con dos ruedas en su base, que le permiten

girar y desplazarse sobre la superficie, y el cual se desea mantener en equilibrio. Se

caracteriza por poder girar en torno a su propio centro de masa, permitiendole obtener

grandes caracterısticas de maniobrabilidad, como moverse facilmente por varios tipos

de terreno, dar vueltas muy cerradas, sortear pequenos escalones y bordes, ocupando

menor espacio [7].

8 2 Diseno del Prototipo

Sistema de pendulo invertido en base circular: se basa en una trayectoria circular, con

un grado de libertad y consiste en un riel o un carro sobre el cual se soporta el pendulo,

el cual se estabiliza por medio de movimientos circulares de derecha a izquierda, o

viceversa. La plataforma de la base del carro contiene 2 ruedas (una de las cuales esta

dirigida y conectada a un motor DC) y un conector de audio (en el caso del pendulo

mostrado en la Fig. 2-1 (d)). Cuando el motor esta activado, el carro gira alrededor

de un cırculo con el centro del eje de rotacion en su conector de audio, el cual tiene

2 propositos: primero, se utiliza como eje de rotacion del carro y, segundo, se utiliza

para llevar la energıa a la tarjeta del controlador. El pendulo se une a la plataforma

del carro por medio de un potenciometro con una posibilidad de giro de 180.

(a) Sistema de pendulo invertido de trayectoria lineal

[3].

(b) Sistema de pendulo inver-

tido de Furuta [5].

(c) Sistema de pendulo invertido

sobre dos ruedas (Segway) [7].

(d) Sistema de pendulo invertido de tra-

yectoria circular [8].

Figura 2-1: Estructuras de pendulo invertido.

2.2 Recomendaciones para la construccion de equipos de laboratorio 9

A partir de las opciones anteriores, es necesario seleccionar cual de ellas es pertinente imple-

mentar como prototipo para el laboratorio de control. Considerando el sistema de pendulo

invertido en base lineal, este ocupa un area bastante grande y tendrıa sentido para hacer

practicas demostrativas con una sola unidad dentro del laboratorio, pero no serıa viable tener

seis de ellos dentro de un laboratorio de las dimensiones de los laboratorios de la Universi-

dad. El sistema de pendulo invertido de furuta resulta ser adecuado para los propositos del

proyecto, en el sentido de que tiene un tamano relativamente pequeno; sin embargo, necesita

primero ser llevado a una posicion de 90o respecto a la horizontal con un control de swing

up y posteriormente si tener un control de estabilizacion en dicha posicion, lo cual lo hace

un sistema mas complejo de lo que se necesitarıa, ya que lo que se busca es el refuerzo de

conceptos basicos control; de manera adicional, ya fue implementado en el ano 2012 como

proyecto de grado [6] y no tendrıa sentido volverlo a implementar. El sistema de pendulo

invertido sobre dos ruedas tambien fue implementado como proyecto de grado en la Uni-

versidad [7]; sin embargo, este sistema tiene el problema de que al moverse libremente en

el espacio tendrıamos en una sesion de laboratorio a 18 estudiantes moviendose por toda la

sala detras de su sistema, lo cual no es muy atractivo. Finalmente, el sistema de pendulo

invertido en base circular satisface resulta ser conveniente para los objetivos del proyecto, ya

que es un sistema fijo, que perfectamente puede estar en un banco de laboratorio de la Uni-

versidad junto con fuente, osciloscopio y demas equipos; ademas, a diferencia del pendulo de

furuta, solamente necesita un tipo de control para estabilizarse, lo cual lo hace mas sencillo

y conveniente para el refuerzo de conceptos basicos control. Por todo lo anterior, para el

presente proyecto se decidio implementar un sistema de pendulo invertido de base circular.

2.2. Recomendaciones para la construccion de equipos

de laboratorio

Para la implementacion de prototipos de laboratorio es muy importante tener en cuenta

recomendaciones tanto de tipo electronico como mecanico, que delimitaran, en un buen

sentido, tanto el diseno como la implementacion del prototipo y lo haran mas o menos

viable de ser reproducido en masa. A continuacion se detallan dichas recomendaciones o

consideraciones.

2.2.1. Diseno Electronico

Se han de tener en cuenta las siguientes consideraciones para implementar laboratorios de

control [2]:

1. Formular los objetivos del experimento.

2. Determinar el costo aproximado del experimento, teniendo en cuenta que la produccion


en masa tiene un menor costo. Determinar si se va a utilizar componentes nuevos o usa-

dos. Tener en cuenta los costos inesperados (partes con la misma finalidad, reparacion

o remplazo de componentes).

3. Tener presente la estructura tıpica de un experimento en control: un proceso fısico con

sensores, actuadores, fuentes de alimentacion, amplificadores operacionales, conden-

sadores, resistencias, microcontrolador, si se desea un computador con una interface

(tarjeta de adquisicion de datos) para la comunicacion con el proceso fısico [9].

4. Para el diseno, es mas productivo seguir procedimientos estandar que lleven a resulta-

dos satisfactorios, en lugar de emplear demasiado tiempo en procedimientos de diseno

propio.

5. Una vez se ha disenado y se tiene el presupuesto del proyecto, seleccionar los materiales.

6. A la hora de la implementacion: tener presente que el primer diseno no sera perfecto,

dado que en la primera oportunidad no se consideran todas las variables que influyen en

el problema. Ser cuidadoso con los planos del diseno, tanto electronico como mecanico;

tener mucho cuidado en la seleccion y el diseno de los cables (fuente de error mas

probable en un sistema).

7. Respecto a los acondicionamientos de senal, cerciorarse si el amplificador tiene algun

filtro, ya que este podrıa modificar el comportamiento frecuencial de la planta.

8. En cuanto a los actuadores (amplificadores de potencia), se puede usar de dos clases

principales: basados en PWM (modulacion de ancho de pulso) o lineales (de senales

continuas); si se desea aplicar un voltaje constante al sistema fısico, cerciorarse que el

actuador tenga acoplamiento DC.

9. Documentar, ya que le permite a los ingenieros de un equipo conocer los problemas

que se presentaron en una implementacion particular, para tratar de evitarlos y de esta

forma ir evolucionando como equipo.

Adicionalmente para el diseno de PCB’s se han de tener en las siguientes normas basicas

para el diseno de placas de circuito impreso [10]:

1. Se disenara sobre decimas de pulgada, de modo que se hagan coincidir las pistas con

las lıneas de la cuadrıcula o formando un angulo de 45 con estas, y los puntos de

soldadura con las intersecciones de las lıneas.

2. Se tratara de realizar un diseno lo mas sencillo posible; cuanto mas cortas sean las

pistas y mas simple la distribucion de componentes, mejor resultara el diseno.


3. No se realizaran pistas con angulos de 90; cuando sea preciso efectuar un giro en una

pista, se hara con dos angulos de 135; si es necesario ejecutar una bifurcacion en una

pista, se hara suavizando los angulos con sendos triangulos a cada lado.

4. El ancho de las pistas dependera de la intensidad que vaya a circular por ellas. Se

tendra en cuenta que 0,8 mm puede soportar, dependiendo del espesor de la pista,

alrededor de 2 A, 2 mm unos 5 A y 4,5 mm unos 10 A.

5. Entre pistas proximas y entre pistas y puntos de soldadura, se observara una distancia

que dependera de la tension electrica que se prevea existira entre ellas; como norma

general, se dejara una distancia mınima de unos 0,8 mm.; en casos de disenos complejos,

se podra disminuir los 0,8 mm hasta 0,4 mm. En algunas ocasiones sera preciso cortar

una porcion de ciertos puntos de soldadura para que se cumpla esta norma.

6. La distancia mınima entre pistas y los bordes de la placa sera de dos decimas de

pulgada, aproximadamente unos 5 mm.

7. Todos los componentes se colocaran paralelos a los bordes de la placa.

8. No se pasaran pistas entre dos terminales de componentes activos.

9. La pista debe disponerse sobre el nodo perpendicularmente, y no de forma tangencial.

10. Con el fin de facilitar una buena soldadura hay que evitar areas excesivas de cobre.

11. En los casos de pistas que se requieren grandes superficies de cobre, se debe disenar

una rejilla de tipo rayado, con el fin de que el soporte aislante no se deforme.

12. Al trazar las pistas de union entre varios nodos se debe evitar la formacion de angulos

agudos entre nodos comunes que pueden producir puentes de soldadura.

2.2.2. Diseno Mecanico

El componente mecanico es el elemento encargado de ejecutar el movimiento y de ser la

estructura o soporte de los demas componentes. Para desarrollar dispositivos mecanicos, la

seleccion de los materiales y los procesos para transformarlos en las partes moviles o es-

tructurales del sistema, constituyen un pilar que garantiza el correcto funcionamiento del

componente mecanico disenado. Por tal motivo, el proceso de seleccion de los materiales de-

be seguir una metodologıa rigurosa, que permita conseguir un diseno con elevados estandares

de calidad, mientras que los costos de diseno, fabricacion, operacion y mantenimiento del

dispositivo permitan mantener los niveles de competitividad del desarrollador [11].

Para el diseno del prototipo mecanico, en primer lugar se ha de tener en cuenta el diseno

electronico elaborado, ya que una de las funciones de este, es la proteccion de circuiterıa y


ası mismo la accesibilidad sencilla al sistema en general. Tambien se ha de tener en cuenta

las piezas mecanicas adicionales que se requieren para su funcionamiento, tales como aco-

ples, tornillerıa, ejes, anillos, rodamientos, chumaceras, entre otros. En caso de que se deban

disenar piezas, dado que estas no se encuentran en el mercado, en el diseno se han de tener

claros los objetivos para los que se va a disenar dicha pieza y ası mismo los elementos con

los que se cuenta y sobre los cuales esta se va a elaborar. Por tanto, es importante tener

presente las dimensiones de las piezas que se van a disenar, ası como, la adecuada seleccion de

materiales y procesos que garanticen el correcto funcionamiento de dichas partes mecanicas.

A la hora de seleccionar y/o disenar una pieza mecanica se han de tener en cuenta los

siguientes requerimientos [11]:

Disponibilidad para su reemplazo.

Economıa.

Rigidez.

Dimensionalmente estable a diferentes temperaturas.

Liviana.

Ciclo util de vida.

Resistente a la corrosion y al desgaste.

Que no tenga gran impacto sobre el medio ambiente o las personas.

Debe tener numerosos usos.

Conductividad electrica (la parte electronica puede verse afectada).

Adicionalmente se debe tener en cuenta el proceso de diseno que se debe llevar a cabo, el

cual se resume en la Fig. 2-2.

Cabe aclarar que existen tres metodos para la seleccion de materiales [12]:

1. Metodo tradicional : Mediante este metodo el ingeniero selecciona el material que

a criterio propio considera mas adecuado, con base en la experiencia de partes que

tienen un funcionamiento similar y que han mostrado buenos resultados. Este metodo

mantiene buena aceptacion debido a que el ingeniero se siente seguro con un material

usado y ensayado.


Necesidad de Mercado

Diseño inicialDefinición general

Definir especificaciones. Determinar las funciones del sistema. Definir el principio de funcionamiento. Definir componentes y requerimientos

de cada uno de ellos.

Modelar y analizar cada componente. Seleccionar los materiales de cada

componente que cumplen los requerimientos definidos previamente.

Analizar los componentes en detalle. Seleccionar proceso de fabricación. Especificar planos de diseño.

Fabricación de un prototipo. Verificación de si el prototipo cumple las

especificaciones definidas inicialmente.En caso afirmativo, definir proceso

de producción.En caso negativo volver a las

etapas anteriores y modificar el diseño o la selección de materiales.

Análisis inicial de cada componente

Diseño detallado. Análisis detallado de componentes

Especificaciones de producto. Prototipo

Figura 2-2: Diagrama del proceso de diseno mecanico [13].

2. Metodo grafico: Este metodo se apoya en graficas (conocidas como mapas de mate-

riales), en las que se relacionan por pares ciertas propiedades de los materiales. En estos

mapas se puede hacer una aproximacion del material mas adecuado (perteneciente a

una determinada familia de materiales), con base en la relacion de las propiedades mas

importantes que debe poseer el componente.

3. Metodo con ayuda de bases de datos : En Internet existe una amplia gama de

bases de datos sobre materiales, que han sido construidas para comercializacion libre o

son distribuidas por vendedores de materiales. Estas bases de datos son el resultado de

investigaciones en ensayos de materiales, que parten del conocimiento de las principales

propiedades que se debe tener un material para un fin especıfico. Una base de datos

publica que ha adquirido gran importancia por la cantidad de datos y variedad de

materiales que maneja, puede ser consultada en la pagina web www.matweb.com.

Por tanto, teniendo en cuenta los objetivos formulados y los costos inesperados a la hora le

implementar el sistema, como lo son la reparacion o reemplazo de componentes, se determina

que para el diseno e implementacion del circuito electronico se utilizaran componentes con


encapsulado tipo DIP (usado comunmente) y respecto a la implementacion del prototipo

mecanico se tiene la necesidad de disenar e implementar piezas removibles del sistema en

caso de dano o reparacion.

Cabe aclarar que algunos de los materiales y/o componentes que se utilizaron para el desa-

rrollo del proyecto, se seleccionaron debido a que el Grupo de Investigacion IDEAS de la

Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas ya contaba con ellos, como la tarjeta progra-

madora para el microcontrolador.

2.3. Analisis de requerimientos del sistema

*Sensores:

*Motor DC*Adquisición datos: Microcontrolador *Comunicación serial PC

-Posición angular péndulo-Velocidad angular carro

*Base del carro*Carro*Péndulo*Llantas*Piezas mecánicas: Acoples*Anillo colector (Slip Ring)

Parte Mecánica

Sistema de Péndulo Invertido de Trayectoria Circular

Figura 2-3: Partes principales del sistema.

Para el desarrollo del prototipo se ha de tener en cuenta (Ver Fig. 2-3):

Funcionamiento alambrico en la planta. El sistema debe tener su propio sistema de

alimentacion y no ira a bordo del carro para disminuir su peso y no necesitar un motor

de mayor tamano.

Sensores: Para el correcto funcionamiento del sistema se requiere principalmente de

dos sensores, un sensor que mida el angulo de inclinacion del pendulo y otro que

mida la velocidad angular del carro.

Actuadores: Para esta planta solo se requiere de un actuador el cual corresponde a

un motor DC, este se encargara de dar movimiento al carro y de esta forma mantener

el pendulo en equilibrio.

Dado que la planta debe funcionar tanto para controladores analogos como digitales,

se debe llevar a cabo la transmision y recepcion de datos a un PC.

2.4 Seleccion de componentes para la parte electronica del sistema 15

Definida la parte electronica y circuiterıa del prototipo, se disena la estructura mecanica

sobre la cual ira montado el sistema de pendulo invertido, de igual forma a partir de

estas dos ultimas, se disenan las piezas mecanicas para el debido funcionamiento de la

planta.

2.4. Seleccion de componentes para la parte electroni-

ca del sistema

2.4.1. Sensores

Sensor para el angulo de inclinacion

Potenciometro lineal: Dado que el sistema a implementar es de un unico eje se puede

llevar a cabo la medida del angulo a partir de un potenciometro; por tanto, se selecciona un

potenciometro lineal con un giro aproximado de 270, ya que el angulo del pendulo variara

en un rango maximo de [−90, 90]. (Fig. 2-4).

Figura 2-4: Potenciometro.

Sensor de velocidad del carro

Encoder: E22A Encoder optico incremental PITTMAN. En la Tabla 2-1 se pueden observar

las caracterısticas de este encoder y en la Fig. 2-5 se puede observar un diagrama esquematico

del mismo.

VCC

GND

ChA

ChB

Figura 2-5: Encoder [14].


Tabla 2-1: Tabla de datos encoder Pittman serie E22A [14].Datos encoder Sımbolo Unidades Valor

Resoluciones disponibles - - 128, 256

Salida - - 2 canales en cuadratura

Interfaz de salida - - Compatible con TTL

Voltaje de alimentacion VCC VDC 4.5 a 5.5

Suministro de corriente ICC mA 20 max

Voltaje maximo de salida VOH V 2.4 min

Voltaje mınimo de salida VOL V 0.5 max

Frecuencia maxima de operacion fmax kHz 40

Temperatura maxima de operacion θmaxC -20 a 85

Peso (masa) WE g 3.7

2.4.2. Motor

Teniendo en cuenta que toda la electronica al interior del sistema funcionara con fuentes DC

de ±12V , lo mas natural es utilizar un motor DC. Teniendo en cuenta que el mismo sera el

encargado de generar el movimiento del carro, para de esa forma producir movimiento en el

pendulo y lograr mantenerlo en la posicion vertical, el motor debe tener el torque suficiente

para mover el carro y la fuerza suficiente para generar movimientos bruscos que le permitan

al carro manter el pendulo en equilibrio. En ese sentido, resulta sensato pensar que un motor

DC convencional, que esta mas orientado a tener alta velocidad de giro y bajo torque, no

va a ser muy util. Por lo anterior, la forma de tener un motor DC con mayor torque es

utilizando un motorreductor, en el cual a medida que se reduce la velocidad, se aumenta el

torque generado.

Motorreductor: La informacion del motorreductor seleccionado se puede observar en la

Tabla 2-2 y una imagen del mismo se puede observar en la Fig. 2-6.

Tabla 2-2: Tabla de datos del motor.Datos Motor Sımbolo Unidades Valor

Voltaje de operacion VCC V -12 a 12

Velocidad sin carga VRPM RPM 200

Torque Stall Ts Kgf-cm 2

Figura 2-6: Motor.


2.4.3. Microcontrolador

El microcontrolador seleccionado corresponde al MSP430G2553 de Texas Instruments que

se muestra en la Fig. 2-8 (a) ası como su diagrama funcional en la Fig. 2-8 (b), puesto que,

como se menciono anteriormente, ya se cuenta con su tarjeta programadora, adicionalmente

por sus ventajas como facilidad en la programacion, conocimiento previo que se posee del

mismo, dado que satisface las necesidades del sistema y debido a sus caracterısticas que

se muestran en la Tabla 2-3, ası como su estabilidad, velocidad y experiencia que se tiene

del mismo en el desarrollo de este tipo de aplicaciones, que arroja optimos y eficientes

resultados. Adicionalmente, porque la planta posee un tiempo de muestreo de 30 ms, y

en este microcontrolador la mınima es de 10 ms (se determino experimentalmente), y se

considera que un periodo de 30 ms es adecuado para la implementacion de los PWM (la mas

baja posible para la aplicacion); en cuanto a FLASH se usan 7166 B y de RAM 162 B, por

lo que este microcontrolador es suficiente y adecuado para la aplicacion, sin embargo, este

microcontrolador tiene un costo mayor a otros en el mercado con caracterısticas similares.

Tabla 2-3: Caracterısticas microcontrolador MSP430G2553 [15].Encapsulado PDIP

Pines 20

Voltaje Alimentacion 1,8 V-3,6 V

Consumo de energıa Modo activo: 230 µA a 1 MHz y 2,2 V

Modo espera: 0,5 µA

Modo dormido: 0,1 µA

Arquitectura RISC 16 bits

Tiempo ciclo de instruccion 62,5 ns

Frecuencia Interna: 16 MHz

Externa: 32 KHz

RAM 512 B

FLASH 16 KB

UART 1

I2C 1

SPI 1

ADC 8 × 10 bits

PWM 3

JTAG 1

Timers 2 × 16 bits

Puertos I/O 16

Temperatura −40C a 85C

Fabricante Texas Instruments


(a) Microcontrolador MSP430G2553.

(b) Diagrama Funcional.

Figura 2-7: Microcontrolador MSP430G2553 [15].

Por tanto, para el desarrollo de la programacion del microcontrolador que permita la correcta

interaccion de los componentes de la planta se ha de tener en cuenta:

Interrupciones de pin de entrada: Para la deteccion de flancos de subida y bajada del

canal del encoder, como para la deteccion de la habilitacion o des habilitacion de la

comunicacion serial del microcontrolador.


Modulo ADC en secuencia: Para la captura del voltaje otorgado por el potenciometro

lineal y del motor.

Modulos PWM: Se deben implementar dos PWM para otorgar a la salida del micro-

controlador los valores correspondientes a angulo de inclinacion y velocidad.

Modulo de comunicacion UART: Para la comunicacion entre microcontrolador y PC.

GPIO (Entradas y salidas de proposito general): El sistema posee dos entradas adicio-

nales:

• Habilitacion o deshabilitacion de la comunicacion serial, para que de esta ma-

nera el microcontrolador reconozca cual es el valor del voltaje en el motor, si el

capturado por el ADC o el capturado por el receptor del microcontrolador en la

comunicacion serial con el PC.

Y tres salidas:

• Para enviar datos binarios (10 bits) al DAC.

• Reloj para sincronizar el DAC con el microcontrolador.

• Para activar la captura de datos por el DAC, activo en bajo.

Cabe mencionar que se utiliza el oscilador interno del microcontrolador y se ajusta al maximo

(16 MHz) para trabajar el micro a maxima velocidad, y se selecciona teniendo en cuenta

que la velocidad de actualizacion del DAC es de 1,21 MHz y que la tarjeta de comunicacion

trabaja con un frecuencia de 12 MHz, por lo que la frecuencia seleccionada es suficiente.

2.4.4. Modulo de comunicacion

A pesar de que se cuenta con el Launchapad del microcontrolador, este no se usa para la

comunicacion, debido a que se necesita para la ejecucion y depuracion de otros proyectos, por

tanto, para la comunicacion entre planta y PC se utiliza un modulo que se compone de un

integrado FT232, que es un conversor de interfaz serial USB-UART y realiza la comunicacion

vıa mini USB. En la Fig. 2-8(a) se puede observar el modulo y en la Fig. 2-8(b) la conexion

del integrado con un microcontrolador. Este integrado no requiere de cristal externo, su

EEPROM es de 1024 bits, con tasas de transferencia de datos de 300 baudios a 3 Mbaudios

a niveles TTL. Como se menciono anteriormente tiene soporte para la interfaz UART para

7 u 8 bits. Puede alimentarse entre 1,8 V a 5V , funciona en un rango de temperatura de

−40C a 85C y es compatible con la USB 2.0 a maxima velocidad. Para la instalacion

de los drivers para el respectivo funcionamiento del modulo se debe consultar la pagina:

http://www.ftdichip.com/Documents/InstallGuides.htm


(a) Modulo FT232 [16].

(b) Diagrama de conexion a microcontrolador [17].

Figura 2-8: FT232.

Cabe mencionar que el microcontrolador se ajusto a un tasa de 9600 bps (lo que corresponde

a 9600/8 = 1200 baudios), dado que se observo que en MatLabr se opera bien con esta

velocidad, otra genera problemas en la comunicacion volviendola mas lenta.

2.4.5. Otros componentes electronicos

Adicionalmente se debe contar con:

DAC : Para la etapa de potencia del motor. El DAC a utilizar corresponde al TLC5615

de Texas Instruments, es un conversor digital-analogico de 10 bits, opera con un voltaje

de alimentacion de 5 V, tiene un consumo maximo de 1,75 mW, tasa de actualizacion

de 1,21 MHz y un tiempo de asentamiento de 12,5 µs a 0,5 LSB. Su rango de tempera-

tura comprende los −40C a 85C, tiene un rango de voltaje de salida que es dos veces


la tension de referencia. El diagrama funcional del DAC se muestra en la Fig. 2-9 y de

igual forma en la Tabla 2-4 se muestran las funciones de las terminales del DAC.

Figura 2-9: Diagrama funcional del DAC [18].

Tabla 2-4: Funciones terminales del DAC TLC5615 [18].Nombre Terminal No. Pin I/O Descripcion

DIN 1 I Entrada de datos seriales

SCLK 2 I Entrada de reloj serial

CS 3 I Seleccion de chip, activo en bajo

DOUT 4 O Salida de datos seriales para la conexion en serie

AGND 5 Tierra analogica

REFIN 6 I Entrada de referencia

OUT 7 O Salida de voltaje analogico

VDD 8 Voltaje de alimentacion

Reguladores de voltaje : Para la alimentacion del microcontrolador y el DAC.

Atenuador : Para capturar con el microcontrolador (ADC) el voltaje en el motor.

Amplificadores: Para otorgar el valor del angulo cuyo intervalo corresponde a (−90, 90)

en valores de voltaje a (−9 V, 9 V ), para el valor de la velocidad cuyo intervalo se su-

pone en (−10 rad/s, 10 rad/s) en valores de voltaje a (−10 V, 10 V ) y otro para el

valor de voltaje en el motor en un rango de (−12 V, 12 V ).

Comparadores de voltaje : Para la respectiva etapa de proteccion a las salidas del

sistema.

Transistores : Para la etapa de potencia del motor, tanto NPN como PNP, ası como

para la proteccion a las salidas del sistema.


Condensadores : Para filtrar el ruido generado en el circuito debido al motor.

Anillo Colector (Slip Ring): Para evitar que los cables de alimentacion y comu-

nicacion que van del carro a la base del mismo, de tal forma que este puede girar mas

de 360.

Los componentes utilizados para el diseno electronico se muestran en la Tabla 2-5.

Tabla 2-5: Componentes electronicos.

Elementos Objetivo Cantidad Referencia

Microcontrolador Analisis de las variables del sistema 1 MSP430G2553

Potenciometro lineal Sensor de captura angulo inclinacion 1

Motor Movimiento carro 1

Encoder Sensor velocidad del carro 1 Pittman E22A

DAC Etapa potencia motor 1 TLC5615

Tarjeta FT232 Comunicacion con el PC 1 FT232

Transistores encapsulado TO-220 Etapa potencia motor 2

Transistor NPN 1 TIP41

Transistor PNP 1 TIP42

Transistores encapsulado TO-92 Varios 6

Transistor NPN 5 2N3904

Transistor PNP 1 2N3906

Amplificadores Operacionales Atenuador voltaje motor 5 LF353

Amplificador voltaje motor

Seguidor voltaje etapa potencia motor

Amplificador angulo

Amplificador velocidad

Comparador para proteccion angulo 1

Comparador para proteccion velocidad 1

Seguidor voltaje para canal A del encoder

Regulador de voltaje Alimentacion: 3.6 V del microcontrolador 1 LM317

Regulador de voltaje Alimentacion: 5V del DAC 1 LM7805

Resistencias Varios 55

Switch Activar/desactivar Comunicacion micro-PC 2

Encendido/apagado de la planta

Reles Proteccion salidas sistema 2 JQC-3F

Condensadores Varios 6

LED’s Indicadores 5

2.5 Diseno electronico 23

2.5. Diseno electronico

Una vez seleccionados los principales componentes electronicos y electromecanicos, en el

caso del motor, es necesario disenar los circuitos electronicos que permitan que todos los

componentes previamente seleccionados funcionen de manera adecuada en el sistema. A

continuacion se detallan los circuitos electronicos disenados y se explica su finalidad.

2.5.1. Captura y entrega datos

Captura del voltaje del motor

Cuando la entrada del sistema es analogica, se debe proteger al microcontrolador de los

voltajes que sobrepasan su capacidad y poder capturar los datos otorgados, se procede a

realizar un atenuador para el voltaje del motor de (12 V,−12 V ) a (3,6 V, 0 V ) para un

V0 = 320Vi + 1,8, tal y como se observa en la Fig. 2-10.

-Vcc

Vcc

34K

5.1K

34K

3K

5.1K

LF353

ADCMotorVMotor

Vcc

Figura 2-10: Atenuador para capturar el voltaje del motor.

Captura voltaje potenciometro lineal

Para capturar el voltaje sobre el potenciometro, este se alimenta con los 3,6V de alimenta-

cion del microcontrolador y ası evitar una atenuacion innecesaria, de esta forma el pin del

potenciometro es enviado directamente a una entrada ADC en el microcontrolador ( P1.3

Ver Fig. 2-15).

Captura flancos canal A del encoder

Para capturar los flancos del canal del encoder, este se alimenta con los 3,6V de alimentacion

del microcontrolador y ası evitar una atenuacion innecesaria. Sin embargo, en las pruebas

realizadas se observo que al conectar el canal del encoder directamente al microcontrolador


se producıa una caıda de voltaje, razon por la cual se tomo la decision de implementar un

seguidor de voltaje entre el canal del encoder y la entrada del microcontrolador tal y como

se observa en la Fig. 2-11.

-Vcc

Vcc

LF353

ChAChA-Encoder

Figura 2-11: Seguidor de voltaje para el canal del encoder dirigido al microcontrolador.

Entrega voltaje correspondiente al angulo y velocidad

Dado que las salidas del sistema son analogas y corresponden a los voltajes que representan

en angulo del pendulo y la velocidad del carro, para la generacion de estos voltajes se imple-

mentan dos amplificadores tal y como se observa en la Fig. 2-12. Un amplificador para el

voltaje correspondiente al valor del angulo de (0 V, 3,6 V ) a (−9 V, 9 V ) para un V0 = 5Vi−9,

y otro amplificador para el voltaje correspondiente al valor de la velocidad de (0 V, 3,6 V )

a (−10 V, 10 V ) para un V0 = 509Vi − 10. Cabe aclarar que el valor del voltaje otorgado, se

genera en el microcontrolador a partir de un PWM.

Ángulo

-Vcc

Vcc2.4K

12K

16K

3K

LF353PWMAng

(a) Entrega valor angulo.

-Vcc

Vcc

1.8K

10K

22.5K

2.4K

LF353

VelocidadPWMVel

12K

Vcc

(b) Entrega valor velocidad.

Figura 2-12: Amplificadores para otorgar los voltajes correspondientes a los valores del

angulo y velocidad dados por el microcontrolador.

2.5.2. Etapa potencia motor

Para la etapa de potencia del motor, se decidio usar un DAC el cual se alimenta con 5V (Fig.

2-13 (a)). A continuacion del DAC, se procede a implementar un amplificador de (0 V, 5 V )

2.5 Diseno electronico 25

a (−12 V, 12 V ) para un V0 = 245Vi−12 (Fig. 2-13 (b)). Finalmente, seguido del amplificador

se implementa la etapa de potencia Darlington, tal y como se muestra en la Fig. 2-13 (c).

TLC5615

DIN

CLK

CS

VDD

OUT

REFIN

AGNDDOUT

Gnd

7805 OutInVcc

1K

1K

100nF

(a) DAC.

-Vcc

Vcc

2.5K

12K

10K

3K

LF353

VolMotoroutDAC

12K

Vcc

(b) Amplificador.

Vcc

-Vcc

-Vcc

Vcc

LF353VolMotor

(c) Etapa de potencia.

Figura 2-13: Etapa de potencia para el motor.

2.5.3. Comunicacion microcontrolador-PC

La comunicacion entre microcontrolador y PC se realiza por medio de la Tarjeta FT232 [16],

tal y como se muestra en la Fig. 2-14.

2.5.4. Microcontrolador

En la Fig. 2-15, se observa el diagrama de conexion del microcontrolador. Dado que el

microcontrolador tiene una polarizacion de 3.6V y la fuente es de 12V, se ajusta un regulador

de voltaje de 3.6V con un LM317. En la figura se observan todos los modulos que se requieren

del microcontrolador, donde conectar cada sensor, el motor y demas componentes al mismo,

ası como sus salidas y entradas.


TX

RX

FT232

123 45

3.3V

5.0V

RXD

TXD

GND

Figura 2-14: Comunicacion microcontrolador-PC por medio de la tarjeta FT232.

In OutAdj

LM317

560

1K

Vcc

MSP430G

2553

VCC

P1.0 P1.1

P1.3

P1.4P1.5

P2.1P2.2

GND

XIN

XOUT

TESTRST

P1.7P1.6

P2.5

P2.4

P2.3

P1.2

P2.0

TX

Figura 2-15: Diagrama circuital microcontrolador.

2.5.5. Etapa de proteccion para las salidas

Para proteger las salidas del sistema (angulo y velocidad) de cortos con la fuente, se procede

a disenar dos comparadores de tal forma que cuando el voltaje en dicho pin supere los ±10V ,

dado que la fuente es de ±12V , se dispara cualquiera de los comparadores y por medio de

una OR disenada con transistores, se envıa un voltaje de saturacion para activar un rele y

abrir el circuito. Ver Fig. 2-16.

2.6. Seleccion de componentes para la parte mecanica

del sistema

2.6.1. Seleccion componentes y piezas

Para la parte mecanica de la planta se ha de tener en cuenta que esta debe contar con:

Llantas que permitan el movimiento del carro. (Fig. 2-17).

Carrocerıa sobre la cual se montara el carro, sobre la cual se montaran las llantas,

el pendulo, motor, encoder, potenciometro y las piezas necesarias para acoplar los

componentes y dar la libertad de movimiento al carro.

2.6 Seleccion de componentes para la parte mecanica del sistema 27

1K

10K

Vcc

1K

10K

-Vcc

-Vcc

Vcc

LF353

ÁnguloProtec

-Vcc

Vcc

LF353

10K

10K

3904

4.7K

Vcc

3904

Ángulo

Figura 2-16: Proteccion de las salidas angulo y velocidad a cortos con la fuente.

(a) Vista Frontal. (b) Vista Superior. (c) Vista General.

Figura 2-17: Llanta.

Pista o base circular sobre la cual se movera el carro y dentro de la cual se colocaran

las respectivas fuentes de voltaje ası como la PCB, la conexion al PC por mini USB y

la cual servira para la proteccion de los circuitos y de igual forma para para proveer al

usuario las variables necesarias para el funcionamiento del controlador

Anillo Colector (Slip Ring) para el libre movimiento del carro, de tal forma que este

pueda girar libremente sin enredar los cables que conectan el carro con su base. El


anillo colector usado, fue fabricado por adafruit [19], permite 6 conexiones con valores

maximos de 240V 2A cada uno, con un calibre de 26 AWG y una velocidad nominal

de 300 RPM (o mas velocidad pero se reduce la vida util y se vuelve mas sensible al

ruido), en la Fig. 2-18 se pueden observar las dimensiones de dicho anillo.


Figura 2-18: Anillo Colector (Slip Ring).

El anillo colector, anillo de deslizamiento o bien conocido como Slip Ring, es un disposi-

tivo electromecanico que permite la transmision de senales electricas de una estructura

estacionaria a una estructura giratoria, eliminando los efectos de la torsion de los cables

en movimiento. El anillo colector consiste en una corona circular conductiva montada

en un eje y aislada de el, donde las conexiones electricas se realizan con contactos de

deslizamiento, es decir, las conexiones fijas o escobillas del mismo, estan en contacto

constante con el anillo, transfiriendo ası la energıa electrica del exterior, a la parte ro-

tativa del sistema [20]. En la Fig. 2-19, se puede observar con mayor detalle las partes

y el funcionamiento de este dispositivo.

Pendulo, varilla vertical que realiza el respectivo movimiento angular y la cual se desea

mantener en equilibrio sobre su eje vertical.

Pieza mecanica que permita el movimiento libre del pendulo, limite el rango de varia-

cion del angulo en el mismo y sea anti choques para evitar danos debido al golpe del

pendulo con el carro en momentos de caıda libre.

Acople pendulo y potenciometro, para que de esta manera el potenciometro se mueva

conforme se mueve el pendulo, y ası realizar una lectura adecuada del angulo o la

posicion angular en la que se encuentra el pendulo

Acoples motor, para que este ajustado y estable en el carro

Acople motor a una llanta, para transmitir directamente el movimiento del motor a la

llanta y llevar a cabo el movimiento del carro


(a) Funcionamiento de un anillo colector [21]. (b) Slip Ring de 4 anillos [20].

Figura 2-19: Funcionamiento de un anillo colector.

Acople llanta libre, para el movimiento adecuado de la otra llanta del carro y para

mantenerla estable.

Acople encoder, para mantenerlo estable sobre el carro.

Acople entre el carro y su base por medio del anillo colector.

Las piezas utilizadas para el diseno mecanico se resumen en la Tabla 2-6.

2.6.2. Seleccion materiales

Teniendo en cuenta las caracterısticas de cada componente mecanico y la funcionalidad que

deben cumplir, para la implementacion de la carrocerıa y la base del carro se decide utilizar

el material de acrılico, mientras que para el acople del motor a la llanta, acero inoxidable

dada su dureza, y para las demas piezas mecanicas, aluminio.

Adicionalmente, al tener construido el prototipo y ponerlo en funcionamiento, se observo

que toda la planta tenıa un movimiento rotatorio, es decir se movıa en cırculos, por el efecto

que genera la fuerza centrıfuga del carro sobre la base; por tal motivo, se determino usar

caucho debajo de la base del carro para generar la suficiente friccion de la base sobre el suelo

y anular dicho movimiento rotatorio.


Tabla 2-6: Piezas Mecanicas.Elementos Objetivo Cantidad

Llantas Movimiento del carro 2

Anillo Colector (Slip Ring) Giros del carro por mas de 360 1

Pendulo Pieza a estabilzar 1

Acople carro-anillo colector Asegurar anillo colector al carro 1

Acoples motor Asegurar motor al carro 2

Acople motor-llanta Transmision movimiento a la llanta 1 1

Acople llanta libre Movimiento libre llanta 2 1

Acople encoder Asegurar encoder al carro 1

Acople pendulo-potenciometro Sensar valor angulo 1

Pieza mecanica pendulo Asegurar, permitir movimiento del pendulo 1

Limitar rango del angulo del pendulo

Carrocerıa Carro 1

Pista Soporte para el carro 1

Acrılico

Es un polımero (compuesto quımico), dentro de sus caracterısticas tecnicas se encuentran

[22]:

Ligero con una densidad de 1190 kg/m3.

Resistencia al impacto.

Tiene un menor peso que el vidrio y tiene alta capacidad de conservacion.

Transparencia superior al 92 % (el mas transparente de los plasticos).

Resistencia quımica, resiste a la mayorıa de las substancias quımicas.

Resistencia a la intemperie, el acrılico soporta largas horas a la exposicion de los rayos

ultravioletas, sin danar su estructura y los colores del mismo.

Estabilidad dimensional, si bien la lamina de acrılico se expande y contrae a conse-

cuencia de cambios de temperatura y niveles de humedad, no encoge con la edad.

Excelente aislante termico y acustico, es un aislante electrico con una constante dielectri-

ca elevada.

Facil combustion, no produce gases toxicos al arder.

Facilidad de mecanizacion y moldeo.

Reciclabilidad, el acrılico es sumamente util ya que puede ser reciclado en un 100 %.

Tolerado por el cuerpo humano.


Aluminio

Es el tercer elemento quımico mas abundante de la corteza terrestre; este metal posee una

combinacion de propiedades que lo hacen muy util en ingenierıa mecanica [23], tales como:

Baja densidad: 2700Kg/m3.

Dureza (resistencia a dejarse penetrar).

Ductilidad, permite la fabricacion de cables electricos.

Maleabilidad, permite la produccion de laminas muy delgadas.

Resistencia al desgaste aceptable.

De facil mecanizado dado que es un material blando, facilmente soldable, que forma

aleaciones con otros metales para mejorar las propiedades mecanicas.

Permite la fabricacion de piezas por fundicion, forja (compresion) y extrusion.

Gracias a su alto estado de oxidacion, al contacto con el aire se forma rapidamente

una capa protectora de oxido de aluminio, proporcionandole resistencia y durabilidad,

lo que lo hace resistente a la corrosion

El aluminio posee 1/3 de la rigidez del acero.

Es un material facilmente reciclable, sin un elevado coste.

Acero Inoxidable

Es una aleacion de hierro con pequenas cantidades de carbono, 10 % de cromo y otros elemen-

tos, con gran resistencia a la corrosion, dentro de sus caracterısticas tecnicas se encuentran

[24]:

Tenacidad, es capaz de absorber energıa sin producir fisuras (resistencia al impacto).

Ductilidad, es relativamente ductil, con el se obtienen hilos delgados llamados alambres.

Maleable, se pueden obtener laminas delgadas llamadas hojalata.

Resistencia al desgaste, es resistente a la erosion cuando esta en contacto de friccion

con otro material.

Maquinabilidad, permite una buena mecanizacion en maquinas y/o herramientas antes

de recibir un tratamiento termico.

Dureza, la densidad promedio del acero es 7850 kg/m3, lo que lo hace resistente a la

penetracion.


Trabajabilidad, se pueden cortar y perforar a pesar de que es muy resistente y aun ası

siguen manteniendo su eficacia.

Soldabilidad, es un material que se puede unir por medio de soldadura y gracias a esto

se pueden componer una serie de estructuras con piezas rectas.

Forjabilidad, al calentarse y al darle martillazos se les puede dar cualquier forma desea-

da.

Alta resistencia mecanica, los aceros son materiales con alta resistencia mecanica al

someterlos a esfuerzos de traccion y compresion.

Reciclabilidad.

Caucho

Es un polımero elastico con una densidad de 950 Kg/m3, dentro de sus caracterısticas

tecnicas se encuentran [25]:

Elasticidad, la cualidad mas importante de caucho es su elasticidad, puede ser estirado

o compactado y a continuacion, vuelve a su forma original.

Flexibilidad.

Maleabilidad.

Resistencia dielectrica.

Resistencia al desgarre.

Resistencia a la abrasion o desgaste por friccion.

Resistencia al impacto.

Resistencia a la intemperie.

Amortiguador de vibraciones.

2.7. Diseno mecanico (aproximado)

En la Tabla 2-7 se pueden observar los accesorios utilizados para la construccion del prototipo

y el ensamble de las piezas del sistema.

2.7 Diseno mecanico (aproximado) 33

Tabla 2-7: Accesorios para el ensamble de las piezas.

Nombre Accesorio Cantidad

Tornillo 1/8′′

8

Longitud: 28 mm TRL18

Tornillo 1/8′′

28

Longitud: 18 mm TRC18

Tuerca 1/8′′

40

TU18

Arandela 30

AR

Prisionero bristol 1/8′′

4

Longitud: 6 mm PB18

Rodamiento 1/8′′

1

Diametro exterior: 7 mm RO18

Rodamiento 3/8′′

2

Diametro exterior: 22 mm RO38

2.7.1. Carro

El Carro es el encargado de generar el movimiento necesario para mover el pendulo sobre

el y mediante el controlador mantenerlo en equilibrio; en la Fig. 2-20 se puede observar el

esquema general del carro con cada una de sus partes.

Partes del carro

Teniendo en cuenta las dimensiones de los accesorios mostrados en la Tabla 2-7, ası como del

motor, encoder, potenciometro y anillo colector, se procede a disenar las piezas del sistema,

cuyas medidas se encuentran en unidades de mm:

1. Pendulo. Se disena de tal forma que en un extremo tiene una terminacion en tornillo

para poder ser atornillada en la pieza que acopla el pendulo con el potenciometro; los


4

2

13

6

10

12

9

8

11

5

3

1

7

Figura 2-20: Carro.

parametros a tener en cuenta en el pendulo son su grosor y longitud, sin embargo, el

pendulo usado consiste en una antena en la cual se puede variar la longitud del mismo,

por lo cual el pendulo tiene una longitud mınima de 32,5 cm y maxima de 80 cm. Ver

Fig. 2-21.

Figura 2-21: Pendulo.

2. Pieza mecanica para libre movimiento del pendulo. Para esta pieza se tuvo en

cuenta la dimensiones de los rodamientos RO38, de las varillas limitadoras y se disena

en forma de arco debido el movimiento angular del pendulo. Ver Fig. 2-22.

3. Acople potenciometro-pendulo. Para este acople se tuvo en cuenta las dimensiones


(a) Vista Frontal. (b) Vista Superior.

(c) Vista General.

Figura 2-22: Pieza mecanica para el movimiento del pendulo.

del potenciometro, del pendulo y la pieza mecanica anterior. Ver Fig. 2-23.


Figura 2-23: Acople potenciometro-pendulo.

4. Acople motor. Para este acople se tuvo en cuenta las dimensiones del motor. Ver Fig.

2-24.

5. Acople llanta-motor. Para este acople se tuvo en cuenta las dimensiones de la llanta

y el eje del motor. Ver Fig. 2-25.

6. Acople llanta libre con chumacera. Para este acople se tuvo en cuenta las dimen-



Figura 2-24: Acople motor.


Figura 2-25: Acople motor-llanta.

siones del eje de la llanta, el rodamiento RO18 y la altura del motor sobre la base del

carro. Ver Fig. 2-26.


Figura 2-26: Chumacera llanta libre.

7. Acople encoder. Para este acople se tuvo en cuenta las dimensiones del encoder. Ver

Fig. 2-27.

8. Acople anillo colector-carro. Para este acople se tuvo en cuenta las dimensiones

del anillo colector. Ver Fig. 2-28.

9. Anillo Colector (Slip Ring).

10. Llantas.

11. Mini PCB.



Figura 2-27: Acople encoder.

12. Motor.

13. Potenciometro.


Figura 2-28: Acople anillo colector-carro.

Ensamble carrocerıa

Se determina teniendo en cuenta las dimensiones de los acoples, la pieza mecanica del pendu-

lo, el motor, el encoder, el potenciometro, las llantas y la mini PCB, ası como el desplaza-

miento lineal que realizara la pieza mecanica sobre la cual se soporta el pendulo. En la Fig.

2-29, se muestran cada una de las caras que componen la carrocerıa y de igual forma se

puede observar como ensamblar cada una de ellas.

1. Tapa Inferior. (Fig. 2-30 (a)).

2. Tapa Superior. (Fig. 2-30 (b)).

3. a 10. Paredes. (Fig. 2-31).


Figura 2-29: Ensamble Carrocerıa.

(a) Tapa Inferior. (b) Tapa Superior.

Figura 2-30: Tapas carro.


(a) Tapa 3. (b) Tapa 4. (c) Tapa 5. (d) Tapa 6.

(e) Tapa 7. (f) Tapa 8. (g) Tapa 9. (h) Tapa 10.

Figura 2-31: Paredes del carro.

2.7.2. Base del carro

14

11

12

10

15

13

2

3

1

4

6

5

8

7

9

Figura 2-32: Base del carro.

Sobre la base, el carro ejecutara sus trayectorias circulares (derecha-izquierda) y adicional-

mente dentro de ella se ensambla el circuito electronico, la alimentacion general del sistema,

conectores, indicadores, entre otros; en la Fig. 2-32 se puede observar el esquema general de

la base carro con cada una de sus partes.


Partes de la base carro

1. Alimentacion planta: Conexion planta con tomacorriente.

2. Interruptor encendido/apagado de la planta: Encendido hacia arriba.

3. LED indicador encendido planta: Cuando se observa que ambos LED’s estan en-

cendidos (LED azul y LED verde), indica que el sistema se esta alimentando correc-

tamente, sin embargo, si solo se enciende el LED azul quiere decir que el sistema solo

se esta alimentando con VCC y si se enciende unicamente el LED verde solo se esta

alimentando con -VCC.

4. Conector entrada voltaje motor: Voltaje otorgado por el controlador al motor en

un rango de voltaje de −12 V a 12 V.

5. Conector salida angulo: Valor analogico del angulo en un rango de voltaje de −9 V

a 9 V, para un rango en el angulo de −90o a 90o.

6. LED indicador corto salida angulo-fuente: Cuando el LED (azul claro) esta en-

cendido, indica que se esta haciendo corto con VCC o -VCC.

7. Conector salida velocidad: Valor analogico de la velocidad angular del carro en un

rango de voltaje de −10 V a 10 V, para un rango de velocidad de -10 rad/s a 10 rad/s.

8. LED indicador corto salida velocidad-fuente: Cuando el LED (azul oscuro) esta

encendido, indica que se esta haciendo corto con VCC o -VCC.

9. Conector tierra: Para acoplar las tierras de la planta con la del controlador.

10. Conector comunicacion planta-PC: Para conectar un cable mini USB y de esta

manera establecer comunicacion serial entre la planta y el computador.

11. Interruptor encendido/apagado comunicacion: Encendido hacia arriba.

12. LED indicador encendido comunicacion: Cuando el LED (rojo) esta encendido

indica que la comunicacion se esta ejecutando.

13. Anillo Colector (Slip Ring): Evita que se enreden los cables entre la base del carro

y el carro.

14. PCB.

15. Fuentes de alimentacion para el sistema.


Ensamble base del carro

Se determina teniendo en cuenta las dimensiones del carro y que este tendra un desplazamien-

to angular, ası como de las fuentes, la PCB y los respectivos conectores para la alimentacion

del sistema, la comunicacion vıa mini USB, los conectores de acceso al sistema, LED’s indi-

cadores, entre otros. En la Fig. 2-33, se muestran cada una de las caras que componen la

base y de igual forma se puede observar como ensamblar cada cara.

Figura 2-33: Ensamble de la Base del Carro.

(a) Tapa Inferior. (b) Tapa Superior.

Figura 2-34: Tapas base.

11. Tapa Inferior. (Fig. 2-34 (a)).


12. Tapa Superior. (Fig. 2-34 (b)).

13. a 17. Paredes. (Fig. 2-35).

(a) Tapa 13. (b) Tapa 14.

(c) Tapa 15. (d) Tapa 16.

(e) Tapa 17.

Figura 2-35: Paredes de la base del carro.

2.8. Consideraciones

Para la lectura del angulo del pendulo se penso en un principio trabajar con un girosco-

po y acelerometro, por lo cual se realizaron pruebas con el sensor MPU6050 [26]; el

cual es un dispositivo MotionTracking (captura de movimiento) integrado de 6 ejes

que combina un giroscopio de 3 ejes, acelerometro de 3 ejes, y un procesador digi-

tal de movimiento (DMP). La comunicacion con todos los registros del dispositivo se

realiza utilizando I2C a 400 KHz. Sin embargo, teniendo en cuenta que el pendulo

del sistema solo tiene un grado de libertad, este tipo de sensores no son tan necesa-

rios para esta aplicacion y pueden utilizarse sensores mas sencillos, economicos y de

2.8 Consideraciones 43

menor costo computacional. Adicionalmente, el fabricante de este sensor no da infor-

macion completa del dispositivo lo cual dificulta el desarrollo optimo del mismo y en

las pruebas realizadas con este sensor se observo que este dispositivo se descalibraba

continuamente y presentaba variaciones considerables en cada prueba, por lo cual dada

su inestabilidad no era confiable. De esta forma se determino usar un potenciometro

lineal para la lectura del angulo en el pendulo.

Como inicialmente se formulo trabajar de forma inalambrica se determino utilizar para

la comunicacion entre microcontrolador y PC los Modulos XBEE, [27] estos modulos

son utilizados para conectividad inalambrica y pueden ser configurados desde el PC

utilizando el programa X-CTU. Los modulos Xbee son faciles de utilizar, tienen buen

alcance (hasta 300ft (100 mts) en lınea vista para los modulos Xbee y hasta 1 milla

(1,6 Km) para los modulos Xbee Pro), de 9 entradas/salidas con entradas analogicas

y digitales, son de bajo consumo. Sin embargo como se menciono anteriormente, se

decidio realizar el prototipo de forma alambrica por lo cual estos modulos ya no eran

necesarios; y en lugar de ellos de determino usar una tarjeta FT232 [16] de Sigma

Electronica para la respectiva comunicacion.

El motor usado en principio para el movimiento del carro, correspondıa al motor PITT-

MAN Serie 6213 (motor con el que cuenta el grupo de investigacion), sin embargo, al

realizar pruebas con este motor, ser observo que este no poseıa el torque necesario para

generar cambios en el pendulo del carro, razon por la cual se procedio a cambiarlo [28].

En cuanto al material de las piezas mecanicas, el acople entre el motor y la llanta, se

realizo en un principio con aluminio; sin embargo, despues de varios dıas de pruebas en

la planta, se observo que esta pieza empezo a dificultar el movimiento del carro dado

que empezo a deteriorarse y a doblarse, razon por la cual se tomo la decision de volver

a hacer la pieza en acero inoxidable, ya que este material es mas resistente.

En cuanto al disipador, en primer lugar se debe tener en cuenta los datos tecnicos de

los transistores utilizados [29], donde se indica que la potencia maxima disipada por

estos transistores, a temperatura ambiente de TA = 25C, corresponde a PD = 2 W .

Inicialmente, con el motor PITTMAN, se tenıa que la potencia que se debıa disipar

por estos transistores correspondıa a PD = 10,6 W , razon por la cual se determino

utilizar un disipador; de este modo se tiene que la resistencia RD del disipador [30]

corresponde a:

RD =TJ − TAPD

− (RJC +RCD) , (2-1)

donde TJ corresponde a la temperatura de juntura de los transistores, RJC la resistencia

juntura-contenedor y RCD la resistencia contenedor-disipador. Para evitar danos en


los transistores, la temperatura de juntura se selecciona teniendo en cuenta que esta

no alcance ni supere su temperatura maxima permitida; de este modo, se utiliza un

coeficiente (K) de seguridad que selecciona el valor de temperatura comprendida entre

el 50 % y el 70 %. Por tanto, se selecciona un K = 0,6 y una TJ = K · TJMAX =

0,6·150C = 90C; segun el data del TIP41C suRJC = 1,92C/W , dado su encapsulado

TO220 y teniendo en cuenta que el transistor tiene contacto con mica, RCD = 1,4C/W

y por consiguiente RD = 2,812C/W . De esta manera, se busca en el mercado un

disipador con una resistencia igual o menor a esta de tal forma que disipe el calor

suficiente para evitar danos en los transistores.

El disipador utilizado, tiene las siguientes dimensiones [31], Largo= 50 mm, Ancho=

135 mm y Alto=20 mm, con una RD = 2,5C/W , el cual cumple con la resistencia

termica; sin embargo, luego de realizar el cambio del motor PITTMAN a un motorre-

ductor, se observo que la nueva potencia a disipar corresponde a PD = 1,59 W , lo cual

es menor a la potencia maxima disipada por los transistores, y una RD = 37,56C/W .

Por tanto, un disipador no es necesario en este caso; sin embargo por motivos de

seguridad y debido a que ya se contaba con el disipador, se decidio dejarlo.

A tener en cuenta:

Simulaciones: Las simulaciones de cada etapa se realizaron por medio de una version

gratuita de proteus. .

La programacion del microcontrolador se realizo por medio de Code Composer Studio

version 6.0.1., version gratuita.

Diseno Mecanico: El diseno de la parte mecanica planta se realizo por medio del pro-

grama Auto CAD version 2014, sobre el cual la Universidad tiene licencia.

Circuitos Impresos: El diseno de los circuitos impresos se realizaron por medio del

programa Eagle, version 7.1.0, version gratuita.

Capıtulo 3

Implementacion del Prototipo

3.1. Caracterizacion de sensores y motor

3.1.1. Potenciometro lineal

Para caracterizar el potenciometro lineal con el fin de obtener el angulo de inclinacion del

pendulo, se procede a graficar el valor obtenido por el ADC del microcontrolador (de 10 bits,

es decir el valor en LSB en un rango de [0, 1024]) contra el valor del angulo en determinada

posicion; de esta manera, se determina la lınea de tendencia del angulo de inclinacion respecto

al valor LSB, tal y como se muestra en la Fig. 3-1 (a). De igual forma dada la tolerancia de

los componentes electronicos, se procede a caracterizar tambien la amplificacion en el valor

del angulo, tal y como se observa en la Fig. 3-1 (b).

LSB0 200 400 600 800 1000

Áng

ulo

[°]

-100

-50

0

50

100Caracterización Potenciómetro

y = 0.23*x - 123

RealLineal

(a) LSB contra Angulo.

Ancho PWM Real0 200 400 600 800 1000 1200 1400

Anc

ho P

WM

Des

eado

0

200

400

600

800

1000

1200

1400Ajuste Ganancia Amplificador Valor Ángulo

y = 0.95*x + 53

RealLineal

(b) Anchos del PWM real contra el deseado.

Figura 3-1: Caracterizacion potenciometro y amplificador del valor del angulo con su res-

pectivas lıneas de tendencia.

De esta manera se obtiene que las funciones de conversion de los valores obtenidos por el

ADC del microcontrolador sobre el potenciometro lineal a valores del angulo de inclinacion

y el ajuste en el ancho del PWM para la ganancia del amplificador del valor del angulo

corresponden a:

46 3 Implementacion del Prototipo

θ = 0,23 ADCPOTLINLSB− 123, (3-1)

APWMDeseado = 0,95 APWMReal + 53. (3-2)

3.1.2. Motor

Para caracterizar el voltaje real en el motor, se procede a graficar el voltaje inicial en el

mismo contra el obtenido teniendo en cuenta el DAC, el atenuador y amplificador de voltaje

ası como la etapa de potencia y se determina la lınea de tendencia del voltaje inicial contra

el final; de esta manera se han de tener en cuenta dos caracterizaciones, una para el voltaje

analogico, dado que este valor debe ser atenuado en primer lugar, y otra para el voltaje

digital, el cual no se ve afectado por dicho atenuador de voltaje, tal y como se observa en la

Fig.3-2.

LSB Real100 200 300 400 500 600 700 800 900

LSB

Des

eado

0

200

400

600

800

1000

1200Ajuste Voltaje Motor (Analógico)

y = 0.97*x +7

RealLineal

(a) Analogico.

LSB Real0 200 400 600 800 1000

LSB

Des

eado

-200

0

200

400

600

800

1000

1200Ajuste Voltaje Motor (Digital)

y = 0.99*x - 22

RealLineal

(b) Digital.

Figura 3-2: Ajustes para el voltaje en el motor con su respectivas lıneas de tendencia.

De esta manera se obtiene que los ajustes para el valor en LSB del voltaje en el motor tanto

analogico como digital corresponden a:

Vana = 0,97 VMotor + 7, (3-3)

Vdig = 0,99 VMotor − 22. (3-4)

3.1.3. Encoder

Para caracterizar el encoder con el fin de obtener la velocidad del motor, se procede a graficar

la velocidad obtenida en rad/s, a partir de la medicion del angulo recorrido por el carro en

determinado tiempo para diferentes valores de voltaje y el valor del contador capturado por

el microcontrolador; de esta manera, se observa la relacion de las velocidades obtenidas y el

valor del contador, con la cual se determina la lınea de tendencia de la velocidad respecto al

valor del contador, tal y como se muestra en la Fig. 3-3 (a). De igual forma dada la tolerancia

3.1 Caracterizacion de sensores y motor 47

de los componentes electronicos, se procede a caracterizar tambien la amplificacion en el valor

de la velocidad, tal y como se observa en la Fig. 3-3 (b).

Contador-300 -200 -100 0 100 200 300

Vel

ocid

ad [r

ad/s

]

-6

-4

-2

0

2

4

6Caracterización Encoder

y = 0.023*x

RealLineal

(a) Contador microcontrolador contra velocidad.

Ancho PWM Real200 400 600 800 1000 1200 1400

Anc

ho P

WM

Des

eado

200

400

600

800

1000

1200

1400Ajuste Ganancia Amplificador Valor Velocidad

y = x - 4

RealLineal

(b) Anchos del PWM real contra el deseado.

Figura 3-3: Caracterizacion encoder y amplificador del valor de la velocidad con sus res-

pectivas lıneas de tendencia.

De esta manera se obtiene que la funcion que ajusta los valores del contador con los valores

reales de velocidad y el ajuste en el ancho del PWM para la ganancia del amplificador del

valor de la velocidad corresponden a:

V el = 0,023 Contador, (3-5)

APWMDeseado = APWMReal − 4. (3-6)

Adicionalmente, se grafica el voltaje del motor contra la velocidad tal y como se observa en

la Fig. 3-4; y allı se observa que la zona muerta del motor corresponde a 4 V , razon por la

cual, a traves del microcontrolador se modifica el valor de voltaje otorgado al mismo para

reducir la zona muerta a 2 V .

Voltaje Motor [V]-15 -10 -5 0 5 10 15

Vel

ocid

ad [r

ad/s

]

-6

-4

-2

0

2

4

6Comportamiento Motor

InicialModificado

Figura 3-4: Comportamiento del motor respecto a la velocidad.


3.2. Circuitos impresos

En la Fig. 3-5 se puede observar el esquematico definitivo del prototipo implementado, a

partir del cual se disenaron los circuitos impresos de las baquelas que se muestran en la Fig.

3-6.

Vcc -Vcc

Fuente

VCC

GN

D

-VCC

Toma corriente

10K 10K

-Vcc

Vcc34K

5.1K

34K

3K

5.1

K

LF353

Vcc

TLC

5615

DIN

CLK

CS

VDD

OUT

REFIN

AGNDDOUT

Gnd7805 OutIn

Vcc

1K

1K

100nF

-Vcc

Vcc2.5K

10K

10K

3.1

5K

LF353

12K

Vcc

-Vcc

Vcc

LF353

Vcc

-Vcc

-Vcc

Vcc

LF353

M

3.3mF

3.3mF3904

3906

TIP41

TIP42

In OutAdj

LM317

560

1K

Vcc

MSP430G

2553

VCC P1.0 P1.1

P1.3P1.4P1.5

P2.1P2.2

GNDXIN

XOUTTESTRSTP1.7P1.6P2.5P2.4P2.3

P1.2

P2.0 47K

PotL

in

3.6

V

100nF

22010K

-Vcc

Vcc2.4K

12K

16K

3K

LF353

16K

Vcc

1K

10K

Vcc

1K

10K

-Vcc

-Vcc

Vcc

LF353

-Vcc

Vcc

LF353

10K

10K

3904

4.7

K

Vcc

3904

18K

1K

Vcc

10K

3.6V

Encoder

VCC

GN

D

chA

-Vcc

Vcc1.8K

10K

22.5

K2.4

K

LF353

12K

Vcc

1K

10K

Vcc

1K

10K

-Vcc

-Vcc

Vcc

LF353

-Vcc

Vcc

LF353

10K

10K

3904

4.7

K

Vcc

3904

18K

1K

Vcc

10K

In/Out

V_M

oto

r

Ángulo

Velo

cidad

FT232123 45

3.3

V5.0

VRXD

TXD

GN

D

Figura 3-5: Esquematico del prototipo.

3.2 Circuitos impresos 49

(a) Circuito impreso general primera capa. (b) Circuito impreso general segunda capa.

(c) Circui-

to impreso

adicional.

Figura 3-6: Circuitos impresos del prototipo.


De igual forma en la Fig. 3-7 se pueden observar las PCB’s del prototipo con cada una de

sus partes:

1. Alimentacion microcontrolador.

2. Microcontrolador.

3. Conexion pines potenciometro al anillo colector

4. Conexion FT232.

5. Indicador comunicacion Microcontrolador-PC.

6. Conexion fuente.

7. Indicador encendido.

8. Etapa motor:

8.1. Etapa DAC.

8.2. Etapa amplificacion voltaje.

8.3. Etapa potencia motor.

9. Conexion motor y canal del encoder al anillo colector.

10. Atenuador voltaje entrada motor.

11. Seguidor canal encoder.

12. Amplificador angulo.

13. Amplificador velocidad.

14. Conexion pines entrada/salida.

15. Proteccion angulo.

16. Proteccion velocidad.

17. Conexion anillo colector.

18. Conexion potenciometro.

19. Conexion motor.

20. Conexion encoder.

3.2 Circuitos impresos 51

1

28.1

8.38.2

10

15 16

13

12

7

4 6

5

311

9

14

(a) PCB general.

17

18

19 20

(b) Mini PCB.

Figura 3-7: PCB’s del prototipo.


3.3. Programacion Microcontrolador

La programacion del micro controlador se realizo de la siguiente forma:

1. En primer lugar, se selecciona el voltaje con el cual se desea trabajar, para el caso se

selecciono: 3,6 V . (Fig. 3-8)

Figura 3-8: Interfaz grafica principal “Grace”, donde se activan y seleccionan los modulos

que se desean utilizar en el microcontrolador, ası como su frecuencia de trabajo, voltaje de

alimentacion, entradas, salidas, entre otros.

2. Dado que se requieren de dos ADC se realiza la activacion en secuencia de esos dos

canales (Fig. 3-9); nos dirigimos al bloque del ADC, seleccionamos la pestana de Power

User y activamos Sequence of Channels, para el caso utilizaremos los ADC de los pines 3

y 4 del puerto 1 (P1.3 y P1.4). Adicionalmente se activa el ıtem Automatic Successive

Conversion del tipo de conversion y el controlador de transferencia automatica de

datos (Automatic Data Transfer Controller) se toma el tamano del bloque de memoria

(Memory Block Size) igual a 5, dado que se va a utilizar el pin 4 del ADC (pin maximo

+1).

3. Se implementa una interrupcion de tiempo, mediante la cual se hace un muestreo cada

10 mseg (Fig. 3-10), mediante la activacion del Timer0 A3.

3.3 Programacion Microcontrolador 53

Figura 3-9: Activacion en secuencia de dos canales del ADC, para capturar los voltajes del

motor y potenciometro.

4. En el GPIO en la pestana P1/P2, activamos en interrupt enable register la interrupcion

de entrada en el pin 5 del puerto 1 para obtener los datos del canal del encoder. Ver

Fig. 3-11.

5. En el Timer1 A3 se activa en el bloque 1 el PWM correspondiente al angulo, el cual

se ejecutara en el pin 2 del puerto 2 del microcontrolador con un periodo de 1 mseg,

tal y como se muestra en la Fig. 3-12. El registro encargado de realizar la variacion

del ancho del pulso es TA1CCR1.

6. En el Timer1 A3 se activa en el bloque 2 el PWM correspondiente a la velocidad,


Figura 3-10: Activacion interrupcion de tiempo cada 10 mseg en el Timer0 A3 Bloque 0.

Figura 3-11: Activacion de la interrupcion en el pin de entrada P1.5 para el canal del

encoder.

Figura 3-12: Activacion modo PWM del Timer1 A3 Bloque 1 para generar el PWM del

angulo.

el cual se ejecutara en el pin 4 del puerto 2 del microcontrolador con un periodo de

1 mseg, tal y como se muestra en la Fig. 3-13. El registro encargado de realizar la

variacion del ancho del pulso es TA1CCR2.

3.3 Programacion Microcontrolador 55

Figura 3-13: Activacion modo PWM del Timer1 A3 Bloque 2 para generar el PWM de la

velocidad.

7. Se habilita el modulo USCI A0 en el modo UART para la transmision y recepcion de

datos, por tanto se activan los pines de recepcion (P1.1) y transmision (P1.2) con una

velocidad de 9600 bps y adicionalmente se habilita una interrupcion para la recepcion

tal y como se observa en la Fig. 3-14.

8. Finalmente se establecen los pines de entrada, salida, ADC, PWM y UART en el micro

controlador. (Fig. 3-15.)

El codigo de la programacion del microcontrolador se encuentra en el CD-ROM adjunto

con el nombre de ((CodMicro SPI )).


Figura 3-14: Activacion de la UART en el USCI A0 para establecer comunicacion entre el

microcontrolador y FT232.

Figura 3-15: Asignacion de las entradas, salidas, canales ADC, PWM y modulos de comu-

nicacion del microcontrolador.

3.4 Costos de implementacion 57

3.4. Costos de implementacion

En la Tabla 3-1 se pueden observar los costos de la parte mecanica del prototipo implemen-

tado.

Tabla 3-1: Costos para la implementacion mecanica del prototipo.Componente Cantidad Precio Unitario Precio Total

Rodamientos 3 $ 2.000 $ 6.000

Tornillo prisionero cabeza bristol 1/8” 4 $ 50 $ 200

Llave bristol 1/8” 1 $ 800 $ 800

Pieza mecanica en acero inoxidable 1 $ 20.000 $ 20.000

Pieza mecanica en aluminio 4 $ $ 11.000 44.000

Acople motor 2 $ 1.000 $ 2.000

Llantas 2 $ 10.000 $ 20.000

Tornillo 1/8”largo 8 $ 100 $ 400

Tornillo 1/8”pequeno 28 $ 100 $ 3.200

Tuercas 40 $ 100 $ 4.000

Arandelas 30 $ 100 $ 3.000

Pendulo 1 $ 3.000 $ 3.000

Vinilo 1 $ 15.000 $ 15.000

Acrılico 1 $ 120.000 $ 120.000

SUBTOTAL $ 241.600

En la Tabla 3-2 se pueden observar los costos de la parte electronica del prototipo imple-

mentado.

Lo que corresponde a un TOTAL = 545250 pesos.


Tabla 3-2: Costos para la implementacion electronica del prototipo.Componente Cantidad Precio Unitario Precio Total

Microcontrolador encapsulado P: MSP430G2553 1 $ 8.000 $ 8.000

Potenciometro lineal 1 $ 1.500 $ 1.500

Motor 1 $ 25.000 $ 25.000

Encoder 1 $ 15.000 $ 15.000

DAC encapsulado P: TLC5615 1 $ 16.500 $ 16.500

Tarjeta FT232 1 $ 26.100 $ 26.100

Transistores encapsulado TO-3 (TIP41/TIP42) 2 $ 900 $ 1.800

Transistores encapsulado TO-92 (2N3904/2N3906) 6 $ 150 $ 900

Amplificadores operacionales encapsulado P (LF353) 5 $ 900 $ 4.500

Regulador de voltaje 3.6V (LM317) 1 $ 700 $ 700

Regulador de voltaje 5V (LM7805) 1 $ 600 $ 600

Resistencias 55 $ 10 $ 550

Interruptores 2 $ 1.000 $ 2.000

Reles (JQC-3F) 2 $ 1.500 $ 3.000

Condensadores ceramicos 3 $ 100 $ 300

Condensadores tantalio 3 $ 1.000 $ 3.000

Anillo Colector (Slip Ring) 1 $ 50.000 $ 50.000

LED’s 5 $ 200 $ 1.000

Base 8 pines 6 $ 500 $ 3.000

Base 20 pines 1 $ 200 $ 200

Regleta profesional M-M 1 $ 400 $ 400

Regleta profesional M-H 1 $ 1.500 $ 1.500

Sockets 8 $ 900 $ 7.200

Fuentes voltaje 2 $ 50.000 $ 100.000

Cable de poder 1 $ 3.000 $ 3.000

Conector poder 1 $ 900 $ $ 900

Conectores IN-OUT 4 $ 500 2.000

Baquelas 1 $ 25.000 $ 25.000

SUBTOTAL $ 303.650

3.5 Sistema de pendulo invertido implementado 59

3.5. Sistema de pendulo invertido implementado

En la Fig. 3.5 se puede observar el sistema de pendulo invertido de trayectoria circular

desarrollado en el presente proyecto; y del igual forma en la Tabla 3-3 se pueden observar

las caracterısticas generales del mismo.

Figura 3-16: Sistema de pendulo invertido implementado.

Tabla 3-3: Caracterısticas del Sistema.

Caracterısticas Valores Unidades

Masa carro 0,59 Kg

Masa pendulo 0,03 Kg

Longitud pendulo [0,325, 0,8] m

Velocidad motor con carga [−6, 6] rad/s

Voltaje saturacion motor [−10, 10] V

Radio trayectoria circular 0,22 m

Radio llantas 0,27 m

Capıtulo 4

Modelamiento y Caracterizacion del Sistema

4.1. Modelo dinamico del sistema de pendulo invertido

La literatura sobre el modelado de un sistema de pendulo invertido es abundante, por tanto

se encuentran modelos basados en tecnicas de la dinamica de Lagrange, como en leyes de

Newton; para este caso de presenta un modelo basado en la dinamica de Newton. El sistema

de pendulo invertido se compone basicamente de un brazo articulado en un carro que puede

moverse de forma horizontal, el brazo se mueve libremente alrededor de la articulacion en el

carro y el objetivo del control es llevar el brazo a la posicion de equilibrio moviendo el carro

en el plano horizontal. Para poder implementar estrategias de control sobre dicho pendulo,

es necesario contar con un conjunto de sensores y actuadores que permitan operarlo con

precision; a partir de las mediciones tomadas, el controlador envıa una senal al actuador

para que a su vez este transmita una fuerza al carro para mantener el pendulo en equilibrio

[32].

θ

l

y

f

lmg

O RH

u

P

M

cosl θV

m f.

R

rN

N

Figura 4-1: Diagrama de cuerpo libre del sistema de pendulo invertido de trayectoria cir-

cular.

El sistema de pendulo invertido se muestra en la Fig. 4-1, donde M es la masa del carro, m es

la masa de la barra del pendulo, θ es el angulo del pendulo medido respecto a la vertical, 2l es

62 4 Modelamiento y Caracterizacion del Sistema

la longitud de la barra, u es la fuerza de control, µ coeficiente de friccion viscosa, ρ coeficiente

de friccion normal, φ es el desplazamiento del carro, R es el radio de la circunferencia que

describe el recorrido del carro, N la fuerza normal equivalente al peso del carro, P el centro

de gravedad de la barra (centro geometrico), V representa el eje vertical y H el eje horizontal.

Para determinar las ecuaciones del sistema es necesario identificar el centro de gravedad de

la barra del pendulo, identificado por el punto de coordenadas (xG, yG),

xG = s+ l sin θ, (4-1)

yG = l cos θ. (4-2)

El movimiento horizontal del carro se describe utilizando la segunda ley de Newton

Ms = u− µs− ρN −H, (4-3)

donde s = Rφ representa el desplazamiento circular del carro. Por consiguiente, el movi-

miento horizontal y vertical del centro de gravedad del pendulo (la barra) se pueden escribir

como

ms+mld2

dt2sin θ = H, (4-4)

mld2

dt2cos θ = V −mg, (4-5)

respectivamente. Por ultimo, el movimiento rotacional de la barra del pendulo invertido

alrededor de su centro de gravedad se puede espresar como

Iθ = V l sin θ −Hl cos θ − bθ, (4-6)

donde I es el momento de inercia de la barra alrededor de su centro de masa y b es el

coeficiente de friccion rotacional.

Ahora, teniendo en cuenta que

d2

dt2cos θ = −θ sin θ − θ2 cos θ, (4-7)

d2

dt2sin θ = θ cos θ − θ2 sin θ, (4-8)

s = Rφ, (4-9)

y a partir de (4-3) y (4-4) se tiene que

(M +m)Rφ+ µRφ = u− ρN −mlθ cos θ +mlθ2 sin θ, (4-10)

y de (4-4), (4-5) y (4-6), tenemos que

(I +ml2

)θ = mgl sin θ −mlRφ cos θ − bθ. (4-11)

4.1 Modelo dinamico del sistema de pendulo invertido 63

Despejando φ de (4-10), se tiene

φ =u− ρN −mlθ cos θ +mlθ2 sin θ − µRφ

R(M +m). (4-12)

Despejando θ de (4-11) y remplazando φ de (4-12), se tiene

θ =mgl (M +m) sin θ −mlu cos θ +mlρN cos θ +mlµRφ cos θ − (M +m) bθ −m2l2θ2 cos θ sin θ

(M +m) (I +ml2)−m2l2 cos2 θ, (4-13)

De manera similar, para obtener una ecuacion de φ que no involucre θ. Despejando θ de

(4-11), se tiene

θ =mgl sin θ −mlRφ cos θ − bθ

I +ml2,

y remplazando lo anterior en (4-12)

φ =u(I +ml2

)− ρN

(I +ml2

)−(I +ml2

)µRφ−m2l2g cos θ sin θ +mlbθ cos θ +

(I +ml2

)mlθ2 sin θ

R [(M +m) (I +ml2)−m2l2 cos2 θ].

(4-14)

Por otro lado, es necesario determinar a que es equivalente la fuerza u que se ejerce sobre el

carro, respecto al torque y voltaje de alimentacion del motor que lo mueve. Se sabe que la

fuerza que se aplica al sistema causa un efecto en las llantas del carro, la cual corresponde a

u =τ

r, (4-15)

donde τ es el torque que se genera en las llantas debido al motor y r el radio de la llanta.

A partir del analisis de un motor DC, el cual corresponde a un circuito de la forma del que

se muestra en la Fig. 4-2, se tiene que

Figura 4-2: Circuito equivalente para un motor DC.


τ = KT Ia, (4-16)

V = RaIa + E, (4-17)

E = Kiω, (4-18)

ω = φ, (4-19)

donde KT es la constante de torque, Ia es la corriente de armadura, V es el voltaje aplicado

al motor, Ra es la resistencia de armadura, Ki es la constante de inducido, E es el voltaje

inducido y ω es la velocidad angular del motor. Si despejamos Ia de (4-17), tenemos

Ia =V − ERa

. (4-20)

Por lo que, remplazando la expresion para Ia en (4-16), tenemos para el torque

τ = KT Ia =KT V −KT E

Ra

,

y para la fuerza ejercida por el motor, reemplanado la expresion para el torque en (4-15)

u =τ

r=KT V −KT E

rRa

.

Finalmente, reemplazando la expresion para E en (4-18), considerando ω = φ

u =KT

rRa

V − KTKi

rRa

φ. (4-21)

De esta forma, las variables de estado del sistema [33], se seleccionan ası:

x1 = θ, (4-22)

x2 = θ, (4-23)

x3 = φ, (4-24)

x4 = φ. (4-25)

Teniendo en cuenta que la entrada del sistema corresponde al voltaje V en el motor y

tomando α = (M +m), β = (I +ml2), λ = KT

rRay σ = KTKi

rRa, se tiene que las ecuaciones de

estado del sistema, a partir de las definiciones anteriores y de (4-13) y (4-14), corresponden

a

x1 = x2,

x2 =mglα sinx1−mlλV cosx1+mlρN cosx1+mlx4 cosx1(µR+σ)−αbx2−m2l2x22 cosx1 sinx1

αβ−m2l2 cos2 x1,

x3 = x4,

x4 =βλV−βρN−βx4(µR+σ)−m2l2g cosx1 sinx1+mlbx2 cosx1+βmlx22 sinx1

R(αβ−m2l2 cos2 x1).

(4-26)

4.2 Linealizacion y ecuaciones de estado del sistema de pendulo invertido65

4.2. Linealizacion y ecuaciones de estado del sistema

de pendulo invertido

La linealizacion se realiza por el metodo del Jacobiano mostrado en [32]. A partir de (4-26)

se tiene que los puntos de equilibrio del sistema:

x01 = 0,

x02 = 0,

x03 = 0,

x04 = 0,

V 0 = 0.

(4-27)

Por tanto, se obtienen, con el Jacobiano, las matrices A∗ y B∗ como se muestra a continuacon

A∗ =

0 1 0 0

∂x2

∂x1

∣∣∣∣(x0,V 0)

−αb+ 2m2l2x02 cosx0

1 sinx01

αβ −m2l2 cos2 x01

0ml cosx0

1 (µR + σ)


0 0 0 1

∂x4

∂x1

∣∣∣∣(x0,V 0)

mlb cosx01 + 2βmlx0

2 sinx01

R (αβ −m2l2 cos2 x01)

0 − β (µR + σ)


, (4-28)

B∗ =

0

− mlλ cosx01


0βλ


, (4-29)

donde:

∂x2∂x1

=ml

(αβ −m2l2 cos2 x1)2

gα(αβ −m2l2 −m2l2 sin2 x1

)cosx1

+(λV − ρN − x4 (µR+ σ))(αβ +m2l2 cos2 x1

)sinx1

+mlx22(αβ + cos2 x1(m2l2 − 2αβ)

)+ αbmlx2 sin 2x1

, (4-30)

∂x4∂x1

=ml

R (αβ −m2l2 cos2 x1)2

βx22(αβ −m2l2 −m2l2 sin2 x1

)cosx1

−bx2(αβ +m2l2 cos2 x1

)sinx1 +mgl

(αβ + cos2 x1(m2l2 − 2αβ)

)

−βml (λV − ρN − x4 (µR+ σ)) sin 2x1

.

(4-31)


Se sabe que el sistema tiene dos salidas, por lo cual, la matriz de salida se puede escribir

como

C =

1 0 0 0

0 0 0 1

. (4-32)

Y, finalmente, se tiene que las ecuaciones que modelan el comportamiento del sistema co-

rresponden a:

z = A∗z +B∗v,

yy = C z.(4-33)

Nosete que, en general, el resultado del proceso de linealizacion nos genera un modelo lineal en

variables de estado incrementales. Es decir, las variables de estado lineales son equivalentes

al incremento que sufrirıan las variables de estado no lineales con respecto al punto de

equilibrio. Sin embargo, dado que el punto de equilibrio es (xe, Ve) = (04, 0). Por lo que, para

este caso en particular, las variables lineales incrementales z = x y V = v y el modelo del

sistema lineal puede escribirse como

x = A∗x+B∗V,

y = C x.(4-34)

Lo anterior describe el comportamiento del pendulo invertido en tiempo continuo, por tanto,

se dicretiza el sistema por medio de MatLabr, a traves del metodo del retenedor de orden

cero (ZOH, de sus siglas en inges, Zero Order Hold) con un tiempo de muestreo de 30 ms.

4.3. Caracterizacion del sistema

Para identificar y determinar los parametros que modelan el comportamiento del sistema,

se sabe que algunos de ellos vienen previamente definidos o son medibles, como las masas,

longitudes, entre otros. Para el caso del momento de inercia [34] y los coeficientes de friccion

viscosa [35] y normal [36] se sabe que:

La inercia de la barra puede ser claculada como Ibarra = 13ml2.

El coeficiente de friccion viscosa se puede calcular como µ = ηaireAsupcarro

hcarro, donde la

viscosidad del aire ηaire = 1,8 × 10−5 Ns/m2, el area superficial de carro Asupcarro =

8,2× 10−3 m2, la altura del carro hcarro = 0,04 m.

El coeficiente de friccion viscosa se puede calcular como ρ =√

z2r

, con el hundimiento

de la llanta debido al peso z = 0,8 mm.

4.3 Caracterizacion del sistema 67

Para las constantes de torque e inducido y la resistencia de armadura en el motor, teniendo

en cuenta el voltaje en el motor Vm = 12 V , su velocidad de 200 RPM , por tanto una

velocidad angular ωm = 20,944 rad/s y su torque stall de τs = 2Kgf − cm = 0,19612 Nm,

a partir de [37] y [38] se sabe que:

Ki =Vmωm

[V s

m

], (4-35)

KT = Ki

[Nm

A

], (4-36)

Ra =KTVmτs

. (4-37)

Sin embargo, al aplicar una senal seno a la entrada del sistema, se tienen las respuestas

simulada y real que se muestran en la Fig. 4-3, donde se observa que el sistema simulado es

inestable y no tiene un comportamiento similar al real; esto quiere decir que los parametros

anteriormente determinados no corresponden a los parametros reales del sistema; por tanto

se plantea y cuestiona, de que manera obtener los parametros del sistema de pendulo inver-

tido, de tal forma que el sistema simulado tenga un comportamiento aproximado al sistema

implementado a determinadas condiciones, teniendo en cuenta los parametros anteriormente

calculados.

Tiempo [s]0 2 4 6 8 10 12

Err

or [°

]

-15

-10

-5

0

5

10

15Error del Sistema Real

Simulado

Figura 4-3: Respuestas del sistema simulado y real a una entrada seno con los parametros

iniciales.

Por tal motivo, se decide que la optimizacion es el proceso mas adecuado para hallar los

parametros del sistema, dado que a partir de condiciones iniciales y la comparacion de

senales, simulada y real, se puede minimizar el error entre estas dos y lograr obtener un

comportamiento similar entre ellas, y de esta manera, obtener los parametros que se ajusten


al sistema en cuestion; por ende, se procede a optimizar el sistema teniendo en cuenta el

comportamiento de la planta real a una entrada seno. Cabe aclarar que en las pruebas

realizadas se pudo observar que el parametro ρ no tiene influencia en el comportamiento del

sistema, dado que al linealizarlo este parametro se cancela, razon por la cual este parametro

no se tiene en cuenta.

4.3.1. Optimizacion de los parametros del sistema

La optimizacion del sistema se realiza off-line a traves de MatLabr y teniendo en cuenta

el error cuadratico integral ISE, el cual viene definido por:

J =1

Ts

∞∑

n=0

e2[n], (4-38)

donde e[n] = −x1[n] y Ts = 30 ms. La optimizacion se realiza por medio de la funcion

fmincon, la cual, a partir de las condiciones iniciales y las restricciones de los parametros,

determina para que valores de estos, el criterio ISE es mınimo:

[parametros,fval]= fmincon(@funoptpara,parametros0,[],[],[],[],lb,ub)

donde parametros son los parametros optimizados, fval es el valor mınimo encontrado para

el criterio ISE, @funoptpara corresponde al sistema a optimizar a partir del criterio anterior,

el vector parametros0=[0.573 35.06 9e-04 3.69e-06 0] corresponde a los valores iniciales

de los parametros y los vectores lb y ub corresponden a las restricciones del sistema para lb

≤ opt ≤ ub, las cuales son:

0,001 ≤ KT = Ki ≤ 1, 0,06 ≤ Ra ≤ 5,

0,0009 ≤ I ≤ 0,01, 0 ≤ µ ≤ 0,01,

0 ≤ b ≤ 0,01,

(4-39)

y se definieron inicialmente todos en un rango definido entre [0, 10] para no limitar en gran

medida la optimizacion, y poco a poco con cada resultado se fue optimizando y restringiendo

mas los parametros del sistema; sin embargo, las restricciones mas acertadas (mostradas en

(4-39)) se eligieron teniendo en cuenta el valor de estos parametros en otros sistemas de

pendulo invertido [40], [41], [42], [43], [44], [45], [46], [47], [48], [49]. Cabe aclarar, que los

valores iniciales (parametros0), fueron modificados en las pruebas realizadas, tomando como

condicion inicial el resultado de la optimizacion anteriormente realizada, para obtener de

esta manera, un mejor resultado.

Adicionalmente se realizo la caracterizacion teniendo en cuenta el comportamiento de la

planta real para un controlador difuso, el cual no requiere de dicha caracterizacion previa,

para tener un punto de comparacion frente a distintas entradas y diferentes comportamientos

en la planta; por tanto, se realizaron 8 pruebas con entrada seno al sistema, y otras 8 pruebas

teniendo en cuenta el sistema difuso tipo 2 que se menciona en la Seccion 5.1.1.

4.3 Caracterizacion del sistema 69

Por tanto, para el conjunto de parametros a optimizar Ω = KT = Ki, Ra, I, µ, b, cuyos

valores iniciales son:

KT = Ki = 0,573, Ra = 35,057,

I = 9× 10−4, µ = 3,69× 10−6,

b = 0,

(4-40)

el problema de optimizacion a realizar es el siguiente:

mınΩ

J =1

Ts

Ts∑

n=0

e2[n]

sujeto a (4-34),

(4-40),

(4-39),

(4-41)

4.3.2. Sistemas simulado/real

En la Fig. 5-2 se pueden observar los diagramas de bloques utilizados tanto para la simulacion

como para la implementacion de la planta en lazo abierto y con entrada seno, implementada

por medio de MatLabr en un script.

BytesSistemaPénduloInvertido

RXVoltaje-Bytes

TXBytes-Grados

Entrada: Seno

Voltaje Bytes

PLANTA

Grados

(a) Sistema Fısico.

Entrada: Seno

PLANTAConversor

Radianes-GradosRadianesVoltaje Grados

(b) Sistema Simulado.

Figura 4-4: Diagramas de bloque para el sistema.

A la hora de simular el sistema es importante tener en cuenta:

El sistema simulado entrega el valor de la posicion del pendulo en radianes, por lo que

si se desea comparar con el real, es necesario convertirlo a grados.

El ruido presente en el sistema real, puede ser ruido gaussiano o aleatorio de 2.

Las saturaciones y limitantes presentes en el sistema real, tales como:


1. Rango angulo: [−12, 12]. Con el cual se trabajo a lo largo del proyecto, sin

embargo, el cual puede ser modificado variando los tornillos de la pieza mecanica

de la Fig. 2-22.

2. Rango velocidad carro: [−6 rad/s, 6 rad/s].

3. Rango voltaje: [−10 V, 10 V ].

Zona muerta del motor ([−2 V, 2 V ]) y ajuste de esta zona.

4.4. Analisis de resultados

4.4.1. Caracterizacion del sistema

Los mejores parametros optimizados obtenidos con sus respectivos rendimientos en cada una

de las pruebas realizadas se muestran en el Anexo A.3. Finalmente despues de una laboriosa

busqueda de estos parametros se obtienen las respuestas simulada y real que se muestran en

la Fig. 4-5, para:

parametros = [0,0167 0,7842 0,0019 0,0001 0,0443]. (4-42)

Tiempo [s]0 2 4 6 8 10 12

Err

or [°

]

-15

-10

-5

0

5

10

15Error del Sistema

RealSimulado

Figura 4-5: Respuestas del sistema simulado y real a una entrada seno con los parametros

optimizados en (4-42).

En la Tabla 4-1, se pueden observar los parametros que componen el sistema con cada uno

de sus valores iniciales y optimizados.

De esta manera se obtiene que el sistema de pendulo invertido implementado discretizado,

se expresa mediante las ecuaciones de estado:

4.4 Analisis de resultados 71

Tabla 4-1: Parametros del sistema implementado.

Sımbolo Termino Valor Inicial Valor Optimizado Unidad SI

2l Longitud del pendulo 0,3 m

m Masa del pendulo 0,03 Kg

M Masa del carro 0,59 Kg

g Gravedad 9,8 m/s2

R Radio de la trayectoria circular del carro 0,22 m

r Radio llanta 0,027 m

I Momento de inercia 9× 10−4 0,0019 Kgm2

µ Coeficiente de friccion viscosa 3,69× 10−6 0,0001 Ns/m

ρ Coeficiente de friccion normal 0,121379

b Coeficiente de friccion angular del pendulo 0 0,03 Nms

KT Constante de torque 0,573 0,0167 Nm/A

Ki Constante inducido 0.573 0,0167 V s/rad

Ra Resistencia de armadura 35,057 0,7842 Ω

x1[n+ 1] = 1,0059x1[n] + 0,0234x2[n] + 0,000013x4[n]− 0,0008u[n],

x2[n+ 1] = 0,3638x1[n] + 0,5968x2[n] + 0,0008x4[n]− 0,048u[n],

x3[n+ 1] = −0,0002x1[n] + 0,0002x2[n] + x3[n] + 0,03x4[n] + 0,0026u[n],

x4[n+ 1] = −0,0111x1[n] + 0,0121x2[n] + 0,9971x4[n] + 0,1761u[n],

y1[n] = x1[n],

y2[n] = x4[n].

(4-43)

4.4.2. Consideraciones

Cabe aclarar que el ruido presentado en el sistema afectaba directamente la medicion de la

posicion angular del pendulo e inicialmente fluctuaba en un rango de 10, por esta razon, y

teniendo en cuenta que el ruido generalmente se encuentra en las frecuencias altas, se decidio

implementar un filtro digital paso bajo IIR de primer orden adicional al filtro fısico anadido

al componente electronico por medio de condensadores, y de esta manera, se logro reducir

el ruido a un rango de 2. El filtro viene expresado en ecuaciones en diferencias como [39]:

y[n] = a x[n] + b y[n− 1], (4-44)

con a = b = 0,5.

Capıtulo 5

Diseno e Implementacion de Controladores

5.1. Diseno e Implementacion de controladores difusos

5.1.1. Sistema difuso tipo 2 de intervalo

Se disena e implementa un controlador difuso tipo 2 de intervalo utilizando un Concresor

de Relaciones Booleanas (CBR). Para el diseno del controlador se tienen en cuenta dos

entradas y una unica salida; las entradas corresponden al error y derivada del error, las

cuales, teniendo en cuenta el sistema real, se definieron dentro de un Universo comprendido

entre [−15, 15] para el error y [−300/s, 300/s] para la derivada del error; la unica salida

del sistema corresponde al voltaje sobre el motor, el cual, de acuerdo a las caracterısticas

del mismo, se define dentro del Universo [−12 V, 12 V ].

Error [°]-15 -10 -5 0 5 10 15

0

0.5

1Funciones de Pertenencia Error

E1

E2

Derivada del Error [°/s]-300 -200 -100 0 100 200 3000

0.5

1Funciones de Pertenencia Derivada del Error

DE1

DE2

(a) Conjuntos difusos de intervalo de entrada.

Voltaje [V]-10 -5 0 5 10

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Funciones de Pertenencia de Salida

VANVBNVBPVAP

(b) Conjuntos difusos tipo 2 de salida.

Figura 5-1: Funciones de pertenencia de entrada y salida del controlador.

Las funciones de pertenencia se definen a criterio propio; por tanto, se definen funciones

trapezoidales y gaussianas para la entrada y salida respectivamente, tal y como se observa

74 5 Diseno e Implementacion de Controladores

en la Fig. 5-1, se toman dos funciones de pertenencia de intervalo para cada entrada y cuatro

funciones de pertenencia superiores y cuatro inferiores para la salida.

Dadas las condiciones del controlador, este puede analizarse por medio de logica de Kleene;

por tanto, a partir de esta logica se desarrolla la tabla de verdad que se muestra en la Tabla

5-1 y a partir de la forma normal conjuntiva se obtienen las salidas del sistema, como se

muestra en (5-1).

Tabla 5-1: Tabla de verdad por logica de Kleene.

E1 E2 DE1 DE2 V AN V BN V BP V AP

0 0 0 0 0 0 0 1

u 0 0 0 0 0 0 1

1 0 0 0 0 0 u 0

1 u 0 0 0 u 0 0

1 1 0 0 1 0 0 0

0 0 u 0 0 0 0 1

u 0 u 0 0 0 u 0

1 0 u 0 0 0 u 0

1 u u 0 0 u 0 0

1 1 u 0 1 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 1

u 0 1 0 0 0 u 0

1 0 1 0 0 1 1 0

1 u 1 0 0 u 0 0

1 1 1 0 1 0 0 0

0 0 1 u 0 0 0 1

u 0 1 u 0 0 u 0

1 0 1 u 0 u 0 0

1 u 1 u 0 u 0 0

1 1 1 u 1 0 0 0

0 0 1 1 0 0 0 1

u 0 1 1 0 0 u 0

1 0 1 1 0 u 0 0

1 u 1 1 1 0 0 0

1 1 1 1 1 0 0 0

V AN = E1E2[1−DE1 +DE2(DE1DE2)],

V BN = E1(1− E2)[E2(1−DE1)(1−DE2)(1−DE1) +DE1],

V BP = E1(1− E2)[(1− E1)DE1DE2(DE2) + (1−DE2)],

V AP = (1− E1)(1− E2)[(1−DE2)(1−DE1DE2) +DE1DE2].

(5-1)

Finalmente dado que se tiene un sistema difuso tipo 2, se obtienen dos funciones para el

5.1 Diseno e Implementacion de controladores difusos 75

CBR una inferior y una superior, y a partir de un reductor de tipo Nie-Tan, la funcion de

salida final para el CBR es:

CBRs =V alV ANs · V AN + V alV BNs · V BN + V alV BPs · V BP + V alV APs · V AP,CBRi =V alV ANi · V AN + V alV BNi · V BN + V alV BPi · V BP + V alV APi · V AP,

CBR =CBRs + CBRi

2,

(5-2)

donde las coeficientes de orden cero del CBR (V al) corresponden a:

V alV ANs = V alV ANi = −10,

V alV BNs = V alV BNi = −3,

V alV BPs = V alV BPi = 3,

V alV APs = V alV APi = 10,

(5-3)

y los anchos de las funciones de pertenencia de entrada son CEE = 5 para el error y

CDEE = 50 para la derivada del error; un paso adicional que se llevo a cabo, es la optimi-

zacion de estos parametros del controlador para lograr que este sea mas eficiente.

5.1.2. Sistema difuso tipo 1

Se disena e implementa un controlador difuso tipo 1 utilizando un Concresor de Relaciones

Booleandas (CBR). Para el desarrollo del sistema difuso tipo 1, se toman las funciones de

pertenencia de entrada E1 para el error y DE1 para la derivada del error; de igual forma

para las funciones de pertenencia de salida se tomaron unicamente las funciones superiores

mostradas en la Fig. 5-1, a continuacion se realiza la tabla de verdad por logica de Kleene

(similar a la Tabla 5-1) y por medio de la forma normal conjuntiva se obtienen las salidas

del sistema en (5-5):

V AN = E1DE1,

V BN = (1− E1)DE1,

V BP = E1(1−DE1),

V AP = (1− E1)(1−DE1).

(5-4)

Finalmente se obtiene la salida del CBR:

CBR =V alV AN · V AN + V alV BN · V BN + V alV BP · V BP + V alV AP · V AP, (5-5)


donde las coeficientes de orden cero del CBR (V al) corresponden a:

V alV AN = −10,

V alV BN = −3,

V alV BP = 3,

V alV AP = 10,

(5-6)

y los anchos de las funciones de pertenencia de entrada son CEE = 5 para el error y

CDEE = 50 para la derivada del error; para este controlador fue importante realizar la

optimizacion, dado que en este caso el sistema no se estabiliza, por tanto se optimizan el

ancho de las funciones de pertenencia de entrada y los coeficientes de orden cero del CBR.

5.1.3. Optimizacion de los parametros del controlador

La optimizacion del sistema controlado es off-line y se realiza teniendo en cuenta el error

cuadratico integral ISE definido en (4-38), y de igual forma que en la Seccion 4.3.1 la opti-

mizacion fue desarrollada a traves de MatLabr, por medio de la funcion fmincon:

[opt,fval]= fmincon(@DifusoTipo#,opt0,[],[],[],[],lb,ub)

donde opt son los parametros optimizados, fval es el valor mınimo encontrado para el

criterio ISE, @DifusoTipo# corresponde al sistema a optimizar a partir del criterio anterior,

el vector opt0=[5 50 -10 -10 -3 -3 3 3 10 10] (para el difuso tipo 2 y analogamente para

el difuso tipo 1) corresponde a los valores iniciales de los parametros y los vectores lb y ub

corresponden a las restricciones del sistema para lb ≤ opt ≤ ub, las cuales para el caso del

difuso tipo 2 y analogamente para el difuso tipo 1 son:

0 ≤ CEE ≤ 15, 0 ≤ CDEE ≤ 300,

−12 ≤ V alV ANs ≤ −7, −12 ≤ V alV ANi ≤ −7,

−7 ≤ V alV BNs ≤ 0, −7 ≤ V alV BNi ≤ 0,

0 ≤ V alV BPs ≤ 7, 0 ≤ V alV BPs ≤ 7,

7 ≤ V alV APs ≤ 12, 7 ≤ V alV APi ≤ 12,

(5-7)

las cuales se definieron, teniendo en cuenta los universos de las funciones en cuestion, y

adicionalmente, para las constantes del CBR, teniendo en cuenta la respuesta del motor con

respecto a cada voltaje.

Por tanto, para el conjunto de parametros a optimizar Ω = CEE, CDEE, V alV ANs, V alV ANi,

V alV BNs, V alV BNi, V alV BPs, V alV BPi, V alV APs, V alV APi, el problema de optimi-

zacion a realizar es el siguiente:

5.2 Diseno e implementacion de un controlador por el metodo de variablesde estado 77

mınΩ

J =1

Ts

Ts∑

n=0

e2[n]

sujeto a (4-43),

(5-3)− (5-6),

(5-2)− (5-5),

(5-7),

(5-8)

5.2. Diseno e implementacion de un controlador por el

metodo de variables de estado

El diseno de un controlador de ganancias K en tiempo discreto en el siguiente, y se disena

teniendo en cuenta que el sistema de pendulo invertido se modela con las ecuaciones de

estado que se definen en (4-43).

En primer lugar se debe observar si el sistema es controlable; la matriz de controlabilidad

corresponde a la que se muestra a continuacion [32]:

U =[B AB A2B A3B

]. (5-9)

Dado que el sistema es SIMO (unica entrada multiples salidas), el sistema es controlable si∣∣UUT∣∣ 6= 0; si el sistema es controlable, se inicia con el diseno del vector de ganancias K,

teniendo en cuenta que la nueva entrada del sistema corresponde a:

u[n] = r[n]−Kx[n], (5-10)

por lo que las ecuaciones de estado se convierten en:

x[n] = (A−BK)x[n] +Br[n]. (5-11)

Ahora, el proceso que se lleva a cabo para determinar el vector de ganancias de tamano

(1× 4), para el caso es el siguiente:

1. Definir el polinomio deseado que corresponde a los valores propios o eigenvalores λi = 4

o polos:

∆(z) = (z − λ1)(z − λ2)(z − λ3)(z − λ4) = z4 + a1z3 + a2z

2 + a3z + a4. (5-12)

2. Determinar el polinomio caracterıstico de la matriz A:

∆(z) = |zI − A| = z4 + a1z3 + a2z

2 + a3z + a4. (5-13)


3. Encontrar el vector de ganancias de realimentacion:

K ′ =[a1 − a1 a2 − a2 a3 − a3 a4 − a4

]. (5-14)

4. Se realiza la transformacion equivalente:

S = P−1 = U

a3 a2 a1 1

a2 a1 1 0

a1 1 0 0

1 0 0 0

. (5-15)

5. Finalmente, se determina el vector de ganancias de realimentacion de estados:

K = K ′P = K ′S−1. (5-16)

Los polos deseados se pueden seleccionar a criterio propio, a partir de las siguientes ecuacio-

nes y seleccionando inicialmente, los parametros adecuados para que el sistema controlado

tenga el comportamiento deseado, es decir, un tiempo de establecimiento, sobre paso maxi-

mo, factor de amortiguamiento, frecuencia de oscilacion, entre otros. Para el caso de polos

discretos se seleccionan teniendo en cuenta:

ξ =ln |Mp/100 %|√

π2 + (ln |Mp/100 %|)2, (5-17)

ts(2 %) =4

ξωn, 0 < ξ < 0,69, (5-18)

y que los polos corresponden a:

λ = e−ξωnTs ± j2πωnTs√

1− ξ2. (5-19)

Por tanto, los polos se determinan teniendo en cuenta que el tiempo de muestreo Ts = 30 ms,

seleccionando un tiempo de establecimiento ts = 300 ms y el sobre paso maximo Mp = 20 %,

de esta manera, a partir de (5-17) y (5-18) se tiene que ωn = 29,24 y de (5-19) que los polos

deseados son:

λ1,2 = 0,67± j0,7807,

λ3,4 = 1,(5-20)

y finalmente, que el vector de ganancias corresponde a:

K = [−83,2051 −4,119 0 −0,0167]. (5-21)


5.3. Analisis de resultados

5.3.1. Sistemas simulado/real

En la Fig. 5-2 se pueden observar los diagramas de bloques utilizados tanto para la simulacion

como para la implementacion de la planta controlada, donde el controlador fue implementado

por medio de MatLabr en un script.

BytesRef-+

SistemaPénduloInvertido

RXVoltaje-Bytes

TXBytes-Grados

CONTROLADOR

Grados

Voltaje

0 Grados

Bytes

PLANTA

(a) Sistema Fısico.

CONTROLADORRef-+ PLANTA

ConversorRadianes-Grados

Grados

Radianes

Voltaje

0 Grados

(b) Sistema Simulado.

Figura 5-2: Diagramas de bloque para el sistema.

5.3.2. Controladores difusos

Controlador difuso tipo 2 de intervalo

En la Fig. 5-3 (a), se pueden observar los comportamientos tanto para el sistema controlado

simulado como implementado, por medio del controlador difuso tipo 2 de intervalo propuesto

en la Seccion 5.1.1 y de igual forma en la Fig. 5-3 (b), sin embargo, en este caso se realizo

la optimizacion de los parametros mencionados en dicha seccion y se obtiene una respuesta

mas rapida y efectiva en el sistema controlado; cabe aclarar que los parametros optimizados

tienen los siguientes valores:


CEE = 4,8255, CDEE = 162,8273,

V alV ANs = −9,0708, V alV ANi = −9,0228,

V alV BNs = −3,6146, V alV BNi = −2,6273,

V alV BPs = 4,7316, V alV BPi = 3,4572,

V alV APs = 8,999, V alV APi = 8,9777.

(5-22)

Tiempo /Segundos0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Err

or /G

rado

s

-15

-10

-5

0

5

10

15Error

SimuladoReal

(a) Sistema inicial.

Tiempo /Segundos0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Err

or /G

rado

s

-15

-10

-5

0

5

10Error

SimuladoReal

(b) Sistema optimizado en (5-22).

Figura 5-3: Respuestas del sistema controlado simulado y real, con un controlador difuso

tipo 2 de intervalo.

Controlador difuso tipo 1

En la Fig. 5-4, se pueden observar los comportamientos tanto para el sistema controlado

simulado como implementado, por medio del controlador difuso tipo 1 optimizado y pro-

puesto en la Seccion 5.1.2; cabe aclarar que los parametros optimizados tienen los siguientes

valores:

CEE = 3,8853, CDEE = 258,3485,

V alV AN = −9,1855, V alV BN = −0,0216,

V alV BP = 0,0056, V alV AP = 9,3574.

(5-23)


Tiempo /Segundos0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Err

or /G

rado

s

-15

-10

-5

0

5Error

SimuladoReal

Figura 5-4: Respuestas del sistema controlado simulado y real, con un controlador difuso

tipo 1 optimizado en (5-23).

5.3.3. Controlador por el metodo de variables de estado

En la Fig. 5-5, se pueden observar los comportamientos tanto para el sistema controlado

simulado como el implementado, por medio del controlador por realimentacion de estados

obtenido en (5-21).

Tiempo [s]0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X1 [°

]

-2

0

2

4

6

8

10

12

Posición Péndulo

SimuladoReal

(a) Posicion Pendulo.

Tiempo [s]0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X4 [r

ad/s

]

-1

0

1

2

3

4

5Velocidad Carro

SimuladoReal

(b) Velocidad Carro.

Figura 5-5: Respuestas del sistema controlado simulado y real, con el controlador por re-

alimentacion de estados mostrado en (5-21).

5.3.4. Funcion ((CSPI))

Se diseno una funcion en MatLabr para que el usuario implemente su controlador en el

sistema de pendulo invertido y pueda observar el comportamiento del mismo en el tiempo,


el valor del criterio ISE y pueda tener acceso a las variables del mismo (Angulo, Velocidad

y Voltaje Motor).

En primer lugar, el usuario debe crear dos documentos en MatLabr, con los nombres de

Encabezado.m y Control.m, donde el primer documento, contiene la declaracion e iniciali-

zacion de las variables y parametros del controlador, y el segundo documento contiene el

controlador disenado, cuyas variables de entrada son ANGULO y VELOCIDAD, y de salida es

VOLTAJE.

Figura 5-6: Comportamiento posicion angular del pendulo en tiempo real.

A continuacion, el usuario ingresa a la ventana de comandos: CSPI(Tiempo,’COM’)

donde ’COM’ corresponde al puerto COM utilizado para la comunicacion serial planta-PC y

Tiempo, corresponde al tiempo en el que se desea ejecutar el sistema; sin embargo, si se desea

parar antes del tiempo establecido, basta con cerrar la ventana que se muestra en la Fig.

5-6, la cual se abre inmediatamente al ejecutar la funcion y en la cual se puede observar el

comportamiento de la posicion angular del pendulo en tiempo real.

Al finalizar la ejecucion de la funcion, se muestran los comportamientos de la posicion angular

del pendulo, la velocidad angular del carro y el voltaje en el motor a traves del tiempo

transcurrido tal y como que se muestra en la Fig. 5-7, de igual forma, se otorgan los vectores


correspondientes a cada una de estas variables para poder ser manipuladas por el usuario,

y finalmente, se muestran en la ventana de comandos el valor del criterio ISE y el valor del

tiempo real de la ejecucion, tal y como se muestra en la Fig. 5-8.

Figura 5-7: Comportamiento de las variables del sistema de pendulo invertido en el tiempo.


Figura 5-8: Ejecucion de la funcion CSPI(Tiempo,’COM’).

5.3.5. Consideraciones

Inicialmente, al realizar pruebas con la planta, se observo que el sistema tiende a un ciclo

lımite, es decir, se mantiene oscilando y nunca se estabiliza; una de las razones para que

se presente este fenomeno, es el retardo que se genera en la transmision serial entre el

computador y la planta, y adicionalmente, un retardo que se presenta en la planta debido a

la respuesta lenta del motor. Por tal razon, se ajustaron los controladores teniendo en cuenta

este retardo para que la planta tuviera el tiempo suficiente para actuar; esto se llevo a cabo

por medio de la aplicacion de senales AC en vez de senales DC (como se estaba haciendo)

al sistema. Especıficamente, la senal AC aplicada, es una senal cuadrada con una amplitud

comprendida entre 0 V y el valor de voltaje otorgado por el controlador, con un ciclo util

del 60 % y un periodo de 300 ms, el cual se selecciono experimentalmente observando la

respuesta del controlador en la planta iniciando con un periodo 30 ms en la senal (tiempo de

muestreo), donde la mejor respuesta del controlador se obtuvo para un periodo de 300 ms;

de igual forma, el ciclo util se selecciono experimentalmente, se observo que para un ciclo

util menor o igual al 50 % el sistema se volvıa inestable y para un ciclo util mayor o igual al

70 % tendıa a un ciclo lımite.

5.3.6. Conclusion

Los valores obtenidos para el criterio ISE en cada uno de los experimentos realizados con cada

controlador implementado y simulado se muestran en la Tabla 5-2 y sus comportamientos

se pueden observar en la Fig. 5-9.


Tabla 5-2: Valor del criterio ISE para cada controlador.

Controlador Sistema ISE

Difuso Sin Simulado 64.7709

Tipo-2 Optimizacion Real 171.72

Difuso Optimizado Simulado 62.9624

Tipo-2 con (5-22) Reaal 67.86

Difuso Sin Simulado 4692.1

Tipo-1 Optimizacion Real 4444.9

Difuso Optimizado Simulado 134.1448

Tipo-1 con (5-23) Real 102.12

De Ganancias Con K Simulado 59.5073

K (5-21) Real 59.34

Tiempo [s]0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Err

or [°

]

-15

-10

-5

0

5Error Sistema Simulado

CBR Tipo-2CBR Optimizado Tipo-2CBR Optimizado Tipo-1Vector K

Tiempo [s]0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Err

or [°

]

-15

-10

-5

0

5

10

15Error Sistema Real

CBR Tipo-2CBR Optimizado Tipo-2CBR Optimizado Tipo-1Vector K

Figura 5-9: Respuestas del sistema controlado simulado y real, para cada uno de los con-

troladores desarrollados.

Capıtulo 6

Conclusiones y Trabajos Futuros

6.1. Conclusiones

La seleccion del motor, es una tarea fundamental, ya que si este no es el adecuado

el sistema puede no ser controlable debido al torque y velocidad que se requieren

para generar las acciones de control y lograr perturbar el pendulo hasta llevarlo a la

estabilidad.

Se pudo observar que el calculo de los parametros del sistema no fueron los correctos,

dado que el comportamiento del sistema simulado a partir de estos era completamente

diferente al del sistema real, adicionalmente, porque los parametros optimizados di-

ferıan de los calculados inicialmente, y en gran medida en los parametros del motor,

lo cual puede deberse a la falta de informacion que se tiene del mismo.

Para obtener mejores resultados es importante optimizar el sistema simulado con el

ruido incluido, de no ser ası, las respuestas obtenidas pueden ser menos eficientes.

Se observo que un cambio en la pieza mecanica sobre la cual se sostiene el pendulo no

genera cambios perceptibles en el sistema; y que un cambio en la altura de la barra,

lo cual modifica la inercia en la misma, dificulta la estabilizacion del pendulo, es decir,

se estabiliza pero le es mas difıcil mantenerse en su punto de equilibrio y reaccionar

rapido a las perturbaciones que se apliquen en el.

Una variacion en el rango del angulo del pendulo no se recomienda, debido a que en las

pruebas realizadas ningun controlador logro estabilizar el sistema para rangos mayores

al de [−15, 15], esto puede deberse a las capacidad del motor.

Para el sistema simulado e implementado, se observo que los sistemas difusos tipo 1

no son tan eficientes como los sistemas difusos tipo 2 (Tabla 5-2); esto se debe a que

los primeros no tienen en cuenta la incertidumbre que se presenta en el sistema, por lo

cual no se otorga a la salida la accion de control mas adecuada debido al ruido en el

sistema. Adicionalmente los sistemas difusos tipo 1 tienen una repuesta mas lenta que

los tipo 2.

88 6 Conclusiones y Trabajos Futuros

El controlador por variables de estado tiene una mayor eficiencia puesto que el criterio

ISE es mınimo y estabiliza en menor tiempo el pendulo (tal y como se observa en

la Fig. 5-9 y en la Tabla 5-2); sin embargo, la eficiencia de este controlador depende

directamente de que tan precisa es la caracterizacion de la planta, puesto que su diseno

depende de las ecuaciones que rigen el comportamiento del sistema, por lo que una

mala caracterizacion no permite un buen desempeno de este tipo de controladores. Por

esta razon se puede concluir que la caracterizacion realizada del sistema de pendulo

invertido implementado en el presente proyecto es acertada y efectiva.

La mayor ventaja de los controladores difusos, es que sin tener en cuenta las ecuaciones

que rigen el comportamiento de un sistema, estos llevan el sistema a la estabilidad;

sin embargo, como se observo en el presente trabajo, los difusos tipo 1 no son los

mas eficientes para sistemas con ruido, por lo que la caracterizacion del sistema en

este caso fue necesaria para poder simular y optimizar el sistema de tal forma que

este controlador lo llevara a la estabilidad, es decir, aunque la caracterizacion no sea

primordial para los sistemas difusos, es importante contar con ella para poder optimizar

un sistema y obtener un controlador mucho mas eficiente.

La seleccion del periodo de la senal AC es primordial a la hora de implementar el

controlador, dado que un periodo muy grande tiende a volver mucho mas lento el

sistema llevandolo a la inestabilidad, y un tiempo muy pequeno no genera cambios en

el mismo, por lo que generarıa un ciclo lımite en la planta.

La identificacion por otros toolbox de MatLabr no fue posible, debido a la inestabi-

lidad en lazo abierto que se presenta en el sistema de pendulo invertido implementado.

6.2. Trabajos Futuros

Aplicacion en laboratorios de fısica y matematica en la caracterizacion del sistema, y

de esta manera, evaluar los datos teoricos y practicos, para analizar la viabilidad y

eficiencia de la optimizacion, y ası mismo, plantear las pautas necesarias para lograr

establecer con mayor exactitud los parametros que rigen el comportamiento de un

sistema.

Diseno e implementacion de otras estrategias de control a partir del modelo dinamico

estimado, como control robusto, control PID, controladores difusos clasicos, entre otros.

Diseno e implementacion de un control de posicion del carro sobre su base.

Analisis del comportamiento del sistema para diferentes estrategias de control, donde

se determinen los parametros que podrıan llevar al sistema a tener un comportamiento

caotico.

6.2 Trabajos Futuros 89

Implementacion de una interfaz de usuario que permita interactuar con el sistema de

pendulo invertido, de tal forma que compare en tiempo real el sistema implementado y

simulado, por medio de la visualizacion del comportamiento fısico del sistema simulado.

Seleccionar una plataforma de hardware lo suficientemente robusta, escalable y de

bajo costo para soportar este y otro tipo de controles, y adicionalmente, implementar

comunicacion wifi, bluetooth, entre otros, lo cual permita el ajuste de parametros desde

celular localmente, y tambien desde internet si el sistema se monta en un entorno de

laboratorio remoto.

AAAnexos

A.1. Hoja de datos y manual de usuario

Documento anexo donde se describe de forma clara y concisa, como utilizar la planta del

sistema de pendulo invertido de trayectoria circular, algunas recomendaciones, posibles pro-

blemas y soluciones para el usuario, las partes que lo componen, el procedimiento para

ensamblar las piezas del mismo en caso de mantenimiento y de igual forma se describen las

caracterısticas principales del sistema.

A.2. Practicas de laboratorio

Documento anexo donde se desarrollan las posibles practicas de laboratorio para profesores y

estudiantes en el area de control, se muestran las ecuaciones que describen el comportamiento

del sistema de pendulo invertido de trayectoria circular y el procedimiento para realizar la

caracterizacion del mismo. Se propone y explica el diseno e implementacion de controladores

difusos y por variables de estado, para que a partir de ello, el usuario pueda realizar sus

propios controladores para esta planta, y ası mismo, se muestran los resultados esperados

para cada uno de los controladores propuestos.

A.3. Caracterizacion planta

Para la caracterizacion de la planta se seleccionaron 10 vectores de parametros eficientes:

92 A AAnexos

parametros1 = [0,0498 3,0000 0,0009 0,0000 0,0300]

parametros2 = [0,0498 0,1325 0,0678 0,0000 0,3667]

parametros3 = [0,0217 0,0234 0,1543 0,4430 1,0000]

parametros4 = [0,0217 1,0000 0,0200 0,0000 0,1100]

parametros5 = [0,0217 0,0247 0,1743 0,0000 1,0000]

parametros6 = [0,0120 2,6249 0,0054 0,0514 0,0038]

parametros7 = [0,0498 1,0000 0,0030 0,0000 0,0900]

parametros8 = [0,0167 0,7842 0,0019 0,0001 0,0443]

parametros9 = [0,0120 1,6249 0,0009 0,0005 0,0300]

parametros10 = [0,0498 1,8980 0,0010 0,0990 0,0476]

(A-1)

En la Tabla A-1, se pueden observar los rendimientos para cada vector respecto a cada

prueba realizada, donde las primeras 8 (S#) corresponden a pruebas con entrada seno y las

ultimas 8 (C#) corresponden a pruebas con el controlador difuso tipo 2 sin optimizar. Por

tanto, se seleccionan 3 mejores vectores teniendo en cuenta el mejor rendimiento, y a partir

de los parametros dados en otros sistemas de pendulo invertido [40], [41], [42], [43], [44], [45],

[46], [47], [48], [49]. En la Fig. A-1, se pueden observar los comportamientos del sistema

controlado con el difuso tipo 2, para estos vectores (parametros7,8,9), donde se descarta

parametros7, por tener un comportamiento inapropiado. Dado que los otros vectores tienen

un comportamiento similar, se selecciona parametros8 dado que tiene un mejor rendimiento.

Tiempo [s]0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

Err

or [°

]

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4Error del Sistema

Pamámetros7

Pamámetros8

Pamámetros9

Figura A-1: Sistema controlado con un sistema difuso tipo 2.

A.3 Caracterizacion planta 93

Tabla

A-1

:R

endim

iento

par

a16

pru

ebas

y10

vect

ores

de

par

amet

ros.

Pru

ebas/

Vec

tore

s

12

34

56

78

910

S1

77,0

0455826

83,2

7479436

84,1

0014851

42,7

4942879

81,4

2761234

35,8

0350343

85,1

4246763

75,7

6515232

45,1

1424219

82,8

9637471

S2

67,2

4628388

77,1

3144931

77,3

9442049

27,4

3649947

74,6

3611953

19,5

3041622

78,0

4392316

65,8

8894771

29,4

9839915

74,8

0230523

3S

73,6

046945

81,3

4636314

81,6

9717701

40,6

2672014

79,4

754148

33,5

8496501

81,2

5337737

73,0

2627978

42,2

7412126

78,9

2547378

S4

89,8

4341944

93,9

0518436

95,1

9330399

51,2

0138538

94,7

9350602

34,8

7986146

91,4

4136301

89,4

140342

54,8

1275705

91,3

7133271

S5

91,3

9552867

93,3

0216214

94,2

3593103

59,9

4519449

94,6

8336118

45,3

6158268

90,5

4180257

91,5

7313862

62,5

3843069

90,6

1817605

S6

81,6

1651336

86,7

7877354

85,9

4314936

29,7

8098993

86,5

1137538

52,3

6968901

83,4

0814717

83,4

6335961

32,1

5505913

83,6

6952256

S7

89,9

039168

91,3

8811596

91,1

0510589

58,4

5384141

92,4

8203413

43,4

0004112

88,0

4421219

91,2

0872113

60,0

7813035

88,5

1629086

S8

83,2

9182934

89,1

2394428

87,9

2787895

27,4

0731036

88,1

5191493

5,7

9064588

85,6

4444736

81,7

6023844

29,7

9606096

85,2

9692126

Pro

med

io81,7

3834303

87,0

3134839

87,1

996394

42,2

0017125

86,5

2016729

33,8

400881

85,4

3996756

81,5

1248398

44,5

334001

84,5

1204964

Pru

ebas/

Vec

tore

s

12

34

56

78

910

C1

99,0

18894

98,5

4372864

98,1

2761071

99,0

7737343

98,5

1200669

94,7

3864368

99,2

4255821

99,2

4925373

99,1

0467432

99,1

7107871

C2

99,0

8389166

97,7

3238936

96,7

1038038

98,6

9122305

97,5

1785979

93,8

8466871

99,1

8109922

99,1

877769

98,7

9705462

99,1

7947605

C3

99,2

235286

97,2

8102694

96,3

4462377

98,6

9607857

97,0

6929698

94,0

3194378

99,0

3638486

99,3

7615777

99,1

0400385

99,0

815878

C4

98,3

4176452

98,1

0712377

97,5

5369549

99,4

5849778

98,0

4021523

95,9

2861765

98,4

2753414

98,4

4183071

99,1

5503885

98,3

4825093

C5

99,2

6674201

96,9

540846

95,8

0127773

98,5

0620416

96,6

5899488

92,8

9658425

99,0

8453342

99,3

5093639

98,9

2883897

99,0

8024125

C6

99,2

2695106

97,5

5855537

96,7

7676209

99,0

0524849

97,4

9194775

95,0

9093443

99,0

6399282

99,3

0027872

99,2

5461073

99,1

8373016

C7

99,2

3094108

98,0

195402

97,2

6273281

99,0

4303143

97,9

0271535

95,2

8287742

99,2

2557307

99,3

7360315

99,1

5200573

99,2

5786846

C8

99,3

2031661

99,0

1231069

98,8

4792279

99,1

9616397

99,0

0870901

96,0

3281081

99,2

1815207

99,3

6579849

99,3

0354419

99,2

2950098

Pro

med

io99,0

8912869

97,9

0109495

97,1

7812572

98,9

5922761

97,7

7521821

94,7

3588509

99,0

5997848

99,2

0570448

99,0

9997141

99,0

6646679

94 A AAnexos

A.4. Archivos MatLabr

Los archivos correspondientes a las simulaciones e implementaciones de la planta y sus con-

troladores se encuentran en el CD-ROM adjunto, cuyos archivos correspondientes son:

((funoptpara)): Sistema de pendulo invertido lazo abierto, para caracterizacion con en-

trada seno.

((funoptspi )): Sistema de pendulo invertido controlado con un difuso tipo 2, para carac-

terizacion.

((DifusoTipo1 )): Sistema de pendulo invertido controlado con un difuso tipo 1, Simula-

cion.

((DifusoTipo1Serial )): Sistema de pendulo invertido controlado con un difuso tipo 1,

Implementacion.

((DifusoTipo2 )): Sistema de pendulo invertido controlado con un difuso tipo 2, Simula-

cion.

((DifusoTipo2Serial )): Sistema de pendulo invertido controlado con un difuso tipo 2,

Implementacion.

((ControlK )): Sistema de pendulo invertido controlado con un vector de ganancias K,

Simulacion.

((ControlKSerial )): Sistema de pendulo invertido controlado con un con un vector de

ganancias K, Implementacion.

((S#)): Pruebas del sistema real para realizar las respectivas comparaciones para la

caracterizacion del sistema con entradas seno.

((C#)): Pruebas del sistema real para realizar las respectivas comparaciones para la

caracterizacion del sistema controlado con un difuso tipo 2.

((CSPI.m)): Funcion creada para interactuar con el usuario.

A.5. Artıculo [1]

Design and Implementation of a CBR IntervalType-2 Fuzzy Controller for Stabilizing an Inverted

PendulumAngela P. Duquino S., Christian F. Rojas V., Jose J. Soriano M. and Diana M. Ovalle M.

Facultad de IngenierıaUniversidad Distrital Francisco Jose de Caldas

Bogota - [email protected], [email protected], [email protected], [email protected].

Abstract—In this work we develop an interval type-2 fuzzycontroller using Concretion Based on Boolean Relations (CBR)for stabilizing an inverted pendulum. We design and implementthe controller, then optimize the parameters of the membershipfunctions and the controller constants in order to improve theperformance of the controlled system. For comparison purposes,we also design, implement and optimize a type-1 fuzzy controller.Finally, we conclude by stating which controller stabilizes thesystem more efficiently; such evaluation is made using the integralsquare error together with the performance of the system.

Index Terms—Type-2 fuzzy systems, inverted pendulum, CBR,Kleen logic, interval.

I. INTRODUCTION

Type-2 fuzzy systems [1], [2] have been widely usedtowards the technological development in telematics, telecom-munications and industrial processes. However, there are fewreferences about the implementation of this systems in control[3]. Some of the more typical applications are oriented towardsTakagi Sugeno Kang (TSK) or Mamdani implications [4], [5].Therefore, this paper aims to present an application of type-2 fuzzy systems to stabilize an inverted pendulum [6] usingConcretion based on Boolean Relations (CBR) [7] in order toobtain the corresponding control actions.

CBR is a concretion and defuzzyfication method employedto simplify the calculations for the fuzzy inference systems.Nevertheless, it can also be use as a design methodology forfuzzy inference systems having into account the resolutionof control systems based in automatisms [7]. In addition, weselected this kind of controller since its computational costis low, it is straightforward to implement and the decisionmaking process in it is fast. CBR design methodology isshowed in Fig. 1. However, the selection process for thezero order CBR coefficients requires of an expert system foridentify the associated values. It is worth to mention thatzero order CBR are the constant coefficients that multiply thetruth tables outputs. In this case, we use the integral squareerror (ISE) criteria to determine the more efficient valuesfor the implementation. With that in mind, we use the toolsMATLABr [8] has for this purpose and optimize over theCBR controller parameters to reduce ISE.

Boolean Partition of the Universe of DiscourseBoolean codification of the regions of the universe of discourse

Inference RulesLinguistic Rules Statement including the Boolean partitions

Truth TableLinguistic Rules translated to a truth table

Boolean Relations SimplificationSimplification using Karnaugh maps or optimal algorithms

Inference System Implementationusing Fuzzy operators

Fig. 1. CBR design methodology [7].

Fig. 2. Implemented inverted pendulum system.

The inverted pendulum system implemented is shown inFig. 2. The system motion is a circular path and the variation ofthe angle of the pendulum is defined in a range of [−15o, 15o].Newtonian mechanics was used to analyze the system and

to obtain the equations for modelling the system behavior. Alinear model was obtained by the Jacobian method aroundthe equilibrium point for the pendulum vertical position.Difference equations by the method of zero-order hold (zoh)were established [9], in order to observe the state variablesand determine the outputs and inputs of the system. Finally, aparameter identification process was carried out to define themodel of the system.

II. METHODOLOGY

A. Inverted Pendulum Model

θ

l

y

f

lmg

O RH

u

P

M

cosl θV

m f.

R

Fig. 3. Schematic inverted pendulum system.

An schematic diagram of the inverted pendulum system forsystem modelling purposes is showed in Fig. 3. The statevariables were selected as x1(t) = θ(t) angular position ofthe pendulum respect to the vertical axis, x2(t) = θ(t) angularvelocity of the pendulum, x3(t) = φ(t) angular position of thecart (since the cart motion is circular, around a fixed axis asit can see in Fig. 2), x4(t) = φ(t) is the angular velocityof the cart. The system has only one input u(t) = V (t),the voltage over the DC motor which makes the motionpossible. The dynamical analysis for the pendulum systemwas based on Newtonian mechanics principles, which derivedin the equations that model the system behavior. Since theresulting system model was nonlinear, we obtained the equilib-rium point (xe, ue) = (x1e, x2e, x3e, x4e, ue) = (0, 0, 0, 0, 0)and linearized around it. All of the system parameters weremeasured or calculated directly using data sheets of differentcomponents. In order to obtain a discrete model for the system,we used the zero order hold (zoh) discretization method on thecontinuous system model [9], the discrete model obtained isas follows

x1[n + 1] = 1.0095 x1[n] + 0.0228 x2[n] + 0.000005 x4[n] − 0.0004u[n]

x2[n + 1] = 0.5811 x1[n] + 0.5639 x2[n] + 0.0003 x4[n] − 0.0268u[n]

x3[n + 1] = −0.0003 x1[n] + 0.0002 x2[n] + x3[n] + 0.03 x4[n] + 0.0009u[n]

x4[n + 1] = −0.0179 x1[n] + 0.0131 x2[n] + 0.9992 x4[n] + 0.0614u[n]

y1[n] = x1[n],

y2[n] = x4[n],

(1)

where the state variables are function of n, the discrete timevariable, and the system outputs are y1[n] and y2[n]. In thiscase, we are mainly interested in stabilizing the pendulum ina vertical position, no matter where the cart angular positionis. Therefore, the controlled variable is x1 and since the anglewhere we want for it to be is zero degrees respect to thevertical axis, we define the error discrete signal e[n] as

e[n] = −x1[n]. (2)

Specifically related to the physical system, the pendulumangular position is limited between ±15o, which is replicatedin the simulated system. The reason for using interval type-2systems is the measurement uncertainty for very small angles,therefore the control actions needed should undertake thisuncertainty.

B. Controller Design

1) Controller input and output selection and its charac-teristics representation by membership functions: For thecontroller design, we had into account two inputs and oneoutput. The inputs are the error, see (2), and its derivative.They are defined for the Universes [−15o, 15o] for the error,and [−300o/s, 300o/s] for the error derivative. The controllerhas only one output, related with the voltage over the DCmotor within the cart, and it is defined for the Universe[−12V, 12V ].

Since our goal is to implement a zero order controller for in-terval type-2 fuzzy systems, we define the inputs membershipfunctions as interval functions and the output ones as type-2 fuzzy functions. In that sense, we define two membershipfunctions for each input and for each output membershipfunction we define two, one superior and one inferior, as itis shown in Fig. 4.

The membership functions were defined as trapezoidal andgaussian functions. For the inputs, we used trapezoidal func-tions mainly because the system has to have quick transitions.The trapezoidal functions are defined as

ytrap =

0, for x ≤ a,

mx+ b, for a < x < c,

1, for x ≥ c,

(3)

where a and c define the slope of the function. In Fig. 4 (a),we can see that the slope for the error membership functionsis 5 and for the error derivative ones is 50. These slopes areoptimized later, with the initial values as in Fig. 4 (a).

For the output, we used gaussian functions, since thecontroller needs to generate maximum but soft actions definedin an interval, in order to avoid limit cycles. The gaussianfunctions are defined as

ygauss =1

h+ k(x− c)2, h ≥ 1, (4)

where h is the height of the function, k is the width and c thecenter. As we see in Fig. 4 (b), the height and width of thesuperior functions is one (h = k = 1); while for the inferiorfunctions we have h = 1.4 and k = 1 for the first and fourth

Error [°]-15 -10 -5 0 5 10 15

0

0.5

1Error membership functions

E1

E2

Derivate of the Error [°/s]-300 -200 -100 0 100 200 3000

0.5

1Derivative of the error membership functions

DE1

DE2

(a) Input interval fuzzy sets.

Voltage [V]-10 -5 0 5 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Output membership functions

VANVBNVBPVAP

(b) Output CBR type-2 fuzzy sets.

Fig. 4. Controller input and output membership functions.

functions and h = 2 y k = 0.5 for the second and thirdfunctions, with the centers located in c = −10, c = −3, c = 3y c = 10, respectively.

The values for the fuzzy sets and for the control actionswere selected having into account that the maximum possibleaction over the DC motor is ±10V and the minimum one is±3V . In the same way, the slope for the inputs membershipfunction was chosen as 5 for the error, in order to have anactive zone near zero; and for the error derivative, we concludethat a slope ten times more than for the error would do a goodjob.

2) CBR Controller: Initially, the system truth table wasanalyzed by boolean logic to determine the system states andthe possible control actions. Since we have interval type-2fuzzy sets, we considered to do the study starting from thediagram in Fig. 5 by Morgan logic. As we see in Fig. 5, foreach control input there is a defined trajectory in [0, 1], whichincludes values from a third element, but not from a fourth one.The last is due to the fact that the input membership functionshave only one monotonically creasing transition between 0 and

u

v (1,1)(0,1)

In2

In1

1

0

(0,0)

Fig. 5. Diagram for analyzing Morgan’s Logic.

TABLE IKLEEN LOGIC TRUTH TABLE.

E1 E2 DE1 DE2 V AN V BN V BP V AP0 0 0 0 0 0 0 1u 0 0 0 0 0 0 11 0 0 0 0 0 u 01 u 0 0 0 u 0 01 1 0 0 1 0 0 00 0 u 0 0 0 0 1u 0 u 0 0 0 u 01 0 u 0 0 0 u 01 u u 0 0 u 0 01 1 u 0 1 0 0 00 0 1 0 0 0 0 1u 0 1 0 0 0 u 01 0 1 0 0 1 1 01 u 1 0 0 u 0 01 1 1 0 1 0 0 00 0 1 u 0 0 0 1u 0 1 u 0 0 u 01 0 1 u 0 u 0 01 u 1 u 0 u 0 01 1 1 u 1 0 0 00 0 1 1 0 0 0 1u 0 1 1 0 0 u 01 0 1 1 0 u 0 01 u 1 1 1 0 0 01 1 1 1 1 0 0 0

1. Therefore, we determined that the controller analysis canbe carried out using a 3 elements algebra, that is Kleen logic.

Trough Kleen logic, the truth table shown in Table I wasobtained. From the conjunctive normal form we get the systemoutputs, after simplification, the expressions for the output asa function of the inputs were obtained as

V AN = E1E2[1−DE1 +DE2(DE1DE2)],

V BN = E1(1− E2)[E2(1−DE1)(1−DE2)(1−DE1) +DE1],

V BP = E1(1− E2)[(1− E1)DE1DE2(DE2) + (1−DE2)],

V AP = (1− E1)(1− E2)[(1−DE2)(1−DE1DE2) +DE1DE2].

(5)Finally, having into account that we are working with a

type-2 fuzzy system, we have two functions for the CBR:one inferior and one superior. Therefore, the final CBR outputfunction is given by

CBRs =V alV ANsV AN + V alV BNsV BN+

V alV BPsV BP + V alV APsV AP,

CBRi =V alV ANiV AN + V alV BNiV BN

+ V alV BPiV BP + V alV APiV AP,

CBR =CBRs + CBRi

2,

(6)

where V al constants will be further optimized and their initial

values are

V alV ANs = V alV ANi = −10,

V alV BNs = V alV BNi = −3,

V alV BPs = V alV BPi = 3,

V alV APs = V alV APi = 10.

(7)

C. Controller optimization

The optimization, as it was mentioned before,was made over the slope of the inputs membershipfunctions and over the CBR constants (inferior andsuperior). Therefore, we have 10 parameters to optimize.Let us define the set of parameters to optimize asΩ = CEE, CDEE, V alV ANs, V alV ANi, V alV BNs,V alV BNi, V alV BPs, V alV BPs, V alV APs, V alV APi,those parameters have inferior and superior limits, which willbe useful in the optimization process. Those limits in theparameters are

0 ≤ CEE ≤ 15, 0 ≤ CDEE ≤ 300,−12 ≤ V alV ANs ≤ −7, −12 ≤ V alV ANi ≤ −7,−7 ≤ V alV BNs ≤ 0, −7 ≤ V alV BNi ≤ 0,0 ≤ V alV BPs ≤ 7, 0 ≤ V alV BPs ≤ 7,7 ≤ V alV APs ≤ 12, 7 ≤ V alV APi ≤ 12,

(8)

which where defined having into account the membershipfunctions and the physical system characteristics.

The optimization criteria selected is ISE, defined by

J =1

Ts

Ts∑

n=0

e2[n], (9)

where e[n] is defined as in (2).The optimization problem we aim to solve can be stated as

follows

minΩ

J =1

Ts

Ts∑

n=0

e2[n]

subject to (1),(5),(6),(8),

(10)

where u[k] takes the value of CBR in (6) at every samplingtime.

The optimization problem defined in (10) was solved usingthe fmincon MATLABr function, which implements an inte-rior point algorithm. The optimization was done offline, usingthe discrete system model defined in (1), for a fixed controlhorizon of 30 seconds.

D. Controller implementation and simulation

A data acquisition system was embedded in the pendulumsystem, where the system outputs were acconditionated to beread by a microcontroller, which sends those values to a PC. Inthe PC, the controller is implemented on a Matlab code, whichfrom the system outputs calculates the controller inputs andoutput. The controller output is sent to the system input by the

PC through the microcontroller, where it is acconditionated tofeed the system actuator in an adequate way.

The closed loop simulation was done also on Matlab, wherethe system model is also coded and replaces the physicalsystem behavior. The simulation includes some noise addedon the outputs signals, the noise was type white gaussian ofzero mean and variance equals to one.

III. RESULTS

A. Initial CBR Type-2 Controlled SystemThe physical inverted pendulum tends to a limit cycle,

that is, it keeps oscillating and does not tends to zero. Thisphenomenon could be caused because of the communicationdelay while working the pendulum together with the computer,and also due to a mechanical delay (response time) of the DCmotor.

In order to stabilize the physical system, we adjusted thecontroller having into account this delay to give the systemenough time to response. That was done applying to the systemAC signals instead of DC signals, as it was done previously.Specifically, the AC applied signal was a square signal withan amplitude between zero and the CBR output value, withduty cycle of 60% and period of 300 ms. The last valuewas selected experimentally, after measuring a communicationdelay of 30ms.

With the initial parameters and the adjustments above, thecost function value obtained was ISESimulated = 64.7709and ISEPhysical = 171.72. The system behavior can beobserved in Fig. 6.

Time [s]0 5 10 15 20 25 30

Err

or [°

]

-15

-10

-5

0

5

10

15System error

SimulatedPhysical

Fig. 6. CBR type-2 controlled system response.

B. Optimized CBR Type-2 Controlled SystemTaking the previous system, solving the optimization prob-

lem, as it was explained before, we obtained the parameters

CEE = 4.8255, CDEE = 162.8273,V alV ANs = −9.0708, V alV ANi = −9.0228,V alV BNs = −3.6146, V alV BNi = −2.6273,V alV BPs = 4.7316, V alV BPi = 3.4572,V alV APs = 8.999, V alV APi = 89777.

(11)

We show the system behavior obtained with the param-eters as in (11) in Fig. 7. For the cost function we haveISESimulated = 62.9624 and ISEPhysical = 67.86.

Time [s]0 5 10 15 20 25 30

Err

or [°

]

-15

-10

-5

0

5

10System error

SimulatedPhysical

Fig. 7. Optimized CBR type-2 controlled system response.

C. Type-1 Fuzzy Controlled System

For the type-1 fuzzy controller design, we took the sameinputs membership functions for the error, E1, and for the errorderivative DE1. In the same way, for the output membershipfunctions, we only considered the superior functions showedin Fig. 4. In order to get the controller output, from the Kleentruth table, using the conjunctive normal form we have

V AN = E1DE1,V BN = (1− E1)DE1,V BP = E1(1−DE1),V AP = (1− E1)(1−DE1).

(12)

Finally, for the CBR output, we have

CBR =V alV AN ∗ V AN + V alV BN ∗ V BN

+ V alV BP ∗ V BP + V alV AP ∗ V AP.(13)

With the initial parameters, for the cost function we haveISESimulated = 4693.1 and ISEPhysical = 4444.9.

D. Optimized Type-1 Fuzzy Controlled System

Solving the optimization problem

minΩ

J =1

Ts

Ts∑

n=0

e2[n]

subject to (1), (12), (13), (8),

(14)

the parameters values obtained were

CEE = 3.8853, CDEE = 258.3485,V alV AN = −9.1855, V alV BN = −0.0216,V alV BP = 0.0056, V alV AP = 9.3574.

(15)

In Fig. 8, we show the system behavior obtained withthe parameters as in (15). For the cost function we haveISESimulated = 134.1448 and ISEPhysical = 102.12.

IV. DISCUSSION

In Table II, we show the cost function values (ISE) foreach of the tests previously described. There, we can seethat the best behavior for the simulated system is obtainedwith the optimized system without delay, for the parametersdefined in (11) with ISE = 62.9624. Nevertheless, we needto have into account that the simulated system has no delays,

Time [s]0 5 10 15 20 25 30

Err

or [°

]

-15

-10

-5

0

5System error

SimulatedPhysical

Fig. 8. Optimized type-1 controlled system response.

no perturbations, nor noise that could affect the measurementsand, as it was showed before, if we do not take into accountthe delay for the physical system, it presents a limit cycle.Therefore, for the physical system we can see that the bestperformance was obtained for the delayed optimized system,for the parameters defined in (11) with ISE = 67.86. With thepurpose of comparison, the system behavior for the differentcases is shown in Fig. 9.

TABLE IIISE VALUE FOR DIFFERENT TESTS WITH THE INVERTED PENDULUM

SYSTEM.

System ISECBR without Simulated 64.7709optimization Physical 171.72

CBR optimized Simulated 62.9624with (11) Physical 67.86Type-1 Simulated 4692.1

without optimization Physical 4444.9Type-1 Simulated 134.1448

optimized with (15) Physical 102.12

For comparison purposes, a type-1 fuzzy controller wasdesigned and implemented and, as it can be observed fromTable II, this controller had a less efficient performance thatthe type-2 controllers, as it was expected.

A classic type-2 fuzzy system with Mamdani (standar)implication and Nie-Tan reducer was designed, taking thesame input and output membership functions as in Fig. 4 andwith the initial parameters defined in (7). After implementingthe controller, the closedloop system was unstable, even afterthe optimization process. The reasons for which this controllerdid not work are yet unknown.

V. CONCLUSIONS

We checked that type-2 fuzzy systems are useful to controlphysical systems, as in the case of the inverted pendulum.However, due to its complexity (i.e. parameters number in-volved) its related computational costs is higher than for othertype of controllers.

For the particular case, we observed that the type-2 fuzzycontroller has a good performance around values near 0o (i.e.pendulum vertical position), since there were an uncertainty

Time [s]0 5 10 15 20 25 30

Err

or [°

]

-10

0

10

Simulated system errorCBR Type-2CBR Optimized type 2CBROptimized Type-1

Time [s]0 5 10 15 20 25 30

Err

or [°

]

-10

0

10

Physical system errorCBR Type-2CBR Optimized type 2CBROptimized Type-1

Fig. 9. Responses system controlled.

zone due mainly to noise. Therefore, the use of intervalmembership input functions was very effective, as it was tohave an uncertainty range at the output in order to generatean adequate control action for small angular positions.

Once the pendulum is in vertical position (i.e. stabilized),when controlling it with the CBR type-2 controller, if pertur-bations are applied on the system (i.e. pushing the pendulum),the controller with parameters defined in 11 keeps a niceperformance taking the pendulum back to the vertical position.

As it was expected, the optimized CBR controller exhibes abetter performace than the initial CBR controller with parame-ters defined in (7). We saw that a change in the error derivativemembership functions width improved the controlled systemperformance. However, the improvement is evident for thesimulation, but not much for the physical system, as it is shownin Table II.

For the inverted pendulum system implemented, we ob-served that type-1 fuzzy controllers are not as efficient as thetype-2 ones. That is mainly because the type-1 controller donot have into account the uncertainties present in the system,generating a non adequate control action, which over thephysical system was evident since the DC motor sometimesgot stuck. Also, in general, type-1 fuzzy systems have slowerresponse than type-2 ones, see Fig. 9.

ACKNOWLEDGMENT

The work in this paper is a partial result of the researchproject entitled “Design and Implementation of Basic Plantsfor Teaching Control Concepts in Engineering” (Originally inspanish “Diseno e Implementacion de Plantas Basicas para laEnsenanza de Conceptos de Control en Ingenierıa”, codigo:

2-7-382-13), directed by Diana M. Ovalle and supportedby Centro de Investigaciones y Desarrollo Cientıfico fromUniversidad Distrital Francisco Jose de Caldas, beneficiaryfrom Convocatoria 8-2013.The inverted pendulum prototype was developed by PaolaDuquino as her capstone project, within the research projectabove, there are no references to the model or anything relatedto the prototype itself because the results have not beenpublished yet.

REFERENCES

[1] Masao Mukaidono, Yeung Yam and Vladik Kreinovich, Intervals is AllWe Need: An Argument. Proceedings of The Eighth International FuzzySystems Association World Congress IFSA’99, Taipei, Taiwan, August17-20, 1999, pp. 147-150.

[2] Mai Gehrke, Carol L. Walker and Elber A. Walker, Normal forms andtruth tables for fuzzy logic. Fuzzy Sets and Systems (Impact Factor: 1.99).08/2003; 138(1):25-51. DOI: 10.1016/S0165-0114(02)00566-3

[3] Jerry M. Mendel, Uncertain. Rule-Based Fuzzy Logic Systems. Introduc-ction and new directions, 1rd ed. USA: Los Angeles, CA, 2011.

[4] G. K. Sierra, J. O. Bulla and M. A. Melgarejo, An Embedded Type-2Fuzzy Processor For The Inverted Pendulum Control Problem . IEEELatin America Transactions, Vol. 9, No. 3, June 2011

[5] Feijun Song and Samuel M. Smith, A Takagi-Sugeno Type Fuzzy LogicController with only 3 Rules for a 4 Dimensional Inverted PendulumSystem . Systems, Man, and Cybernetics, 2000 IEEE International Con-ference on, vol. 5, October 2000.

[6] Julian Barreiro Gomez y Miguel Eduardo Hernandez Figueredo, Disenoy estudio comparativo del desempeno de controladores difusos con ysin simplificacion de formulas a partir de la aplicacion de un penduloinvertido. Trabajo de Proyecto de Grado, Universidad Santo Tomas.Colombia: Bogota, 2011.

[7] Espitia, H.E., Chamorro, H.R. y Soriano, J.J., Fuzzy controller designusing concretion based on boolean relations (CBR), ComputationalIntelligence (UKCI), 2012 12th UK, Workshop on.

[8] The MathWorks Inc, Matlab Documentation. Copyright (C) 2015.[9] K. Ogata, Ingenierıa de Control Moderna. Prentice Hall. 1998.[10] MathWorks, Constrained Nonlinear Optimization Algorithms, [on line].

Disponible en: http://www.mathworks.com/help/optim/ug/constrained-nonlinear-optimization-algorithms.html#brnpd5f

Bibliografıa

[1] Angela P. Duquino S., Christian F. Rojas V., Jose J. Soriano M. and Diana M. Ovalle M.,

“Design and Implementation of a CBR Interval Type-2 Fuzzy Controller for Stabilizing an

Inverted Pendulum”. 2nd Workshop on Engineering Applications - International Congress

on Engineering (WEA - 2015).

[2] Diana Marcela Ovalle Martınez, Propuesta de proyecto de Investigacion: “Diseno e im-

plementacion de plantas basicas para la ensenanza de conceptos de control en ingenierıa”.

Grupo de investigacion IDEAS, Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas. Facultad

de Ingenierıa. Bogota, abril 2013.

[3] Quanser Innovate Educate,“Linear Servo Base Unit with Inverted Pendulum”. Canada,

2013.

[4] Luisa Fernanda Escobar Davila y Oscar Danilo Montoya Giraldo, “Control Hıbrido de

Pendulo de Furuta”. Universidad Tecnologica de Pereira, Programa de Ingenierıa Electri-

ca. Pereira, Colombia, 2012.

[5] Quanser Innovate Educate, “Rotary Double Inverted Pendulum”. Canada, 2013.

[6] Barbosa, D.I.; Castillo, J.S.; Combita, L.F., “Rotary inverted pendulum with real time

control”, in Robotics Symposium, 2011 IEEE IX Latin American and IEEE Colombian

Conference on Automatic Control and Industry Applications (LARC) , vol., no., pp.1-6,

1-4 Oct. 2011.

[7] Morales G.Y., Plazas S.A. and Combita L.F., “Implementation and Closed Loop Iden-

tification of a Two Wheeled Inverted Pendulum Mobile Robot”, in Robotics Symposium

and Latin American Robotics Symposium (SBR-LARS), 2012 Brazilian, pp.97-102, 16-19

Oct. 2012.

[8] John Charais y Ruan Lourens, “AN964. Software PID Control of an Inverted Pendulum

Using the PIC16F684 ”. Microchip Technology Inc. DS00964A. 2004.

[9] G.C. Goodwin, A.M. Medioli, W. Sher, L. Vlacic, and J.S. Welsh, “Emulation-Based

Virtual Laboratories: A Low-Cost Alternative to Physical Experiments in Control Engi-

102 BIBLIOGRAFIA

neering Education”, IEEE Transactions on Education, vol.54, no.1, pp. 48-55, Feb. 2011,

doi: 0.1109/TE.2010.2043434

[10] Nicolas Gomez Villegas y Vanessa Rodrıguez Lora, “Diseno e Implementacion de un

control automatico para una maquina cortadora de piezas de madera”. Universidad Eafit,

departamento de informatica y sistemas. Colombia, 2005.

[11] William E. Dıaz Moreno y Nelson F. Velasco Toledo, “Metodologıa para seleccionar

materiales en ingenierıa mecatronica”. Universidad Militar Nueva Granada. Colombia.

[12] Hector alvaro Gonzalezy Dairo Hernan Mesa. Velasco Toledo, “La importancia del meto-

do en la seleccion de materiales”. Universidad Tecnologica de Pereira. ISSN 0122-1701.

Colombia. Mayo 2004.

[13] Alberto Rossa Sierra Dr. Ing. y Francisco J. Gonzalez Madariaga Dr. Ing, “El proble-

ma del diseno y seleccion de materiales”. Laboratorio de Innovacion Tecnologica para el

Diseno. Universidad de Valladolid. Espana, 2014.

[14] Pittman, “Encoders. E22A Incremental Optical Encoder”. 2015.

[15] Texas Instruments Incorporated, “Mixed Signal Microcontroller: MSP430G2x53 ”.

SLAS735I. April 2011. Revised May 2013.

[16] Sigma electronica Ltda, “Tarjeta FT232 ”. Sigma electronica Ltda. 2015.

[17] FTDI Chip, “Future Technology Devices International Ltd. FT232R USB UART IC ”.

FT 000053. 2010.

[18] Texas Instruments Incorporated, “10-Bit Digital to Analog Converters”. SLAS142E.

October 1996. Revised June 2007.

[19] Adafruit, “Slip Ring with Flange - 22mm diameter, 6 wires, max 240V @ 2A”[online].

Estados Unidos. Disponible en: http://www.adafruit.com/product/736

[20] Electro-Miniatures Corporation, “How a Slip Ring Works”[online]. Cleveland, Estados

Unidos. Disponible en: http://www.electro-miniatures.com/HowSlipRingWorks.shtml

[21] Windpower, Engineering & Development, “Trends in slip

rings”[online]. Moonachie, Estados Unidos. Disponible en:

http://www.windpowerengineering.com/design/electrical/trends-in-slip-rings/

[22] acrilico-y-policarbonato.com, “Propiedades del Acrılico”[online]. Mexico, Ul-

tra Plas S.A. de C.V. y el Acrılico . Disponible en: http://www.acrilico-y-

policarbonato.com/acrilico-propiedades.html

BIBLIOGRAFIA 103

[23] Universidad de Cadiz, “Tabla Periodica: Propiedades del Aluminio”[online]. Espana.

Disponible en: http://tablaperiodica.uca.es/Tabla/elementos/Aluminio/Grupo1/Prop. %20Al

[24] Henry David Flores Perez y Alvaro Ivan Lopez Damian, “Acero”. Universidad Catolica

Santo Toribio de Mogrovejo, Escuela Profesional de Ingenierıa Civil y Ambiental. Peru,

2011.

[25] Julio Cesar Alzate Herrera, “Propiedades, usos e industrializacion del Caucho”. Colom-

bia, 2005.

[26] InvenSense Corporation, “MPU Hardware Offset Registers Application Note”. U.S.A.

2013.

[27] Digi International Inc, “Xbee/XbeePRO RF Modules”. U.S.A. 2009.

[28] Pittman, “Brush Commutated DC Servo Motors. 6213 Series”. 2015.

[29] Motorola, Inc, “Semiconductor Technical Data. TIP41C ”. 1995.

[30] Prof. Bolanos D, “Introduccion a los disipadores de calor”. 2015.

[31] Disipa S.C.P., “Disipadores de Extrusion. Heat Sinks Estrued”. 2015.

[32] K. Ogata, “Ingenierıa de Control Moderna”. Prentice Hall. 1998.

[33] B. Kuo, “Sistemas de Control Automatico”. Prentice Hall. 1996.

[34] HyperPhysics, “Momento de Inercia: Varilla”[online]. Atlanta, Georgia: Carl R. Na-

ve, Departament of Physics and Astronomy, Georgia State University. Disponible en:

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/mi2.html#irod

[35] Walter Dıaz, “Fluidos Viscosos”[online]. Argentina: Universidad Nacional de Tu-

cuman. Disponible en: http://www.docencia.unt.edu.ar/bioquimicafisica/Teorias/6 %20-

%20Viscosidad.pdf

[36] Laplace, “Fuerzas de Rozamiento (GIE)”. Espana: Departamen-

to de Fısica Aplicada III, Universidad de Sevilla. Disponible en:

http://laplace.us.es/wiki/index.php/Fuerzas de rozamiento (GIE)

[37] Marvin or Bonnie Stone, “DC Motors”[online]. Estados Unidos: Shielded Pair. Dispo-

nible en: http://shieldedpair.net/BAE5413/DC %20Motors.pdf

[38] Manuel Guillermo Quijano Ortega y Carlos Gerardo Hernandez Capacho, “Obtencion

de los parametros del motor que se utilizara en el sistema de locomocion de una esfe-

ra rodante”. Universidad Pontificia Bolivariana, Escuela de Ingenierıa y Administracion,

Facultad de Ingenierıa Electronica, 2009.

104 BIBLIOGRAFIA

[39] Emilis Gomez Gutierrez, “Introduccion al filtrado digital”. Escola Superior de Musica

de Catalunya, Departament de Sonologia. Cataluna, Espana, 2010.

[40] Ali Poorhossein and Ali Vahidian-Kamyad, “Design and implementation of Sugeno con-

troller for Inverted Pendulum on a Cart system”. Ferdowsi University of Mashhad, Engi-

neering and mathematical school, September 2010.

[41] Duckgee Park, Dongkyoung Chwa and Suk-Kyo Hong, “An Estimation and Compensa-

tion of the Friction in an Inverted Pendulum”. Department of Electrical and Computer

Engineering, Ajou University. Korea, October 2006.

[42] Abdelkader Merakeb, Farida Achemine and Frederic Messine, “Optimal Time Control to

Swing-Up the Inverted Pendulum-Cart in Open-Loop Form”. Departement de Mathema-

tiques, Universite Mouloud. France, 2013.

[43] Arindam Chakraborty and Jayati Dey, “Real-time Study of Robustness Aspects of Perio-

dic Controller for Cart-Inverted Pendulum System”. Department of Electrical Engineering.

India, 2013.

[44] Oscar Danilo Montoya Giraldo Juan Guillermo Valenzuela Hernandez y Didier Giraldo

Buitrago, “Balanceo y Estabilizacion del Pendulo Invertido Empleando Redes Neuronales

Artificiales y un Regulador Lineal Optimo con Criterio Cuadratico (LQR)”. Ingenierıa

electrica, Universidad Tecnologica de Pereira. Pereira, Colombia, Abril 2015.

[45] Tinoco Romero R.F. y Orces Pareja E.H., “Modelado, simulacion y control de un pendu-

lo invertido usando componentes analogos simples”. Facultad de Ingenierıa Mecanica, Es-

cuela Superior Politecnica del Litoral. Guayaquil, Ecuador, Octubre, 2007.

[46] Lyda Vanessa Herrera Sepulveda y Uriel Alberto Melo Pinzon, “Control en espacio de

estados para un prototipo real de pendulo invertido”. Universidad Industrial de Santander,

Facultad de Ingenierıas Fısico-Mecanicas, Escuela de Ingenierıas Electrica, Electronica y

de Telecomunicaciones. Bucaramanga, Colombia, 2013.

[47] Carlos Andres Osorio Zuniga, “Diseno, construccion y control de un pendulo invertido

rotacional utilizando tecnicas lineales y no lineales”. Universidad Nacional de Colombia,

Facultad de Ingenierıa, Maestrıa en Ingenierıa, Automatizacion Industrial. Bogota, Co-

lombia, 2009.

[48] Nenad Muskinja and Boris Tovornik, “Swinging Up and Stabilization of a Real Inver-

ted Pendulum”. Faculty of Electrical Engineering and Computer Science, University of

Maribor. Maribor, Slovenia, January, 2006.

[49] Oscar Oswaldo Rodrıguez y Helvert Eduardo Cely, “Diseno e implementacion de un

pendulo invertio sobre un carro aplicando estrategias de control basado en LMI ”. Univer-

sidad Pedagogica y Tecnologica de Colombia. Sogamoso, Colombia, 2012.

Diseno~ e Implementaci on de un Sistema de P endulo...

Documents

Transcript of Diseno~ e Implementaci on de un Sistema de P endulo...