Discusion No1 Vectores

8/18/2019 Discusion No1 Vectores

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UNIVERSIDAD DE EL SALVADORFACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA

UNIDAD DE CIENCIAS BASICASDEPARTAMENTO DE FISICA

FÍSICA ICICLO II, AÑO 2015

DISCUSIÓN DE PROBLEMAS No 1

UNIDAD I: VECTORES


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A - DEFINICIONES Y CONCEPTOS

Nota: Esta parte se debe trabajar antes de asistir a la discusión de problemas, ya que es la base para comprender y

dar respuesta a las preguntas y resolver los problemas planteados en las secciones posteriores de esta guía.

Definir, explicar o comentar los siguientes términos

1. Magnitud o cantidad física 12. Vectores antiparalelos2. Cantidad escalar 13. Componentes de un vector3. Cantidad vectorial 14. Producto vectorial de dos vectores4. Posición 15. Producto escalar de dos vectores5. Desplazamiento 16. Sistema de coordenadas rectangulares6. Magnitud de un vector 17. Regla de la mano derecha7. Negativo de un vector 18. Método gráfico de suma de vectores8. Suma de vectores 19. Regla del paralelogramo9. Resta de vectores 20. Componentes rectangulares de un vector10. Vectores unitarios 21. Ley de los senos11. Vectores paralelos 22. Ley de los cosenos

B - OPCIÓN MÚLTIPLE

Dadas las siguientes preguntas, señale la respuesta correcta.

1. Seleccione el literal donde se citan solo magnitudes vectoriales:a) Densidad, posición, desplazamiento.b) Velocidad, fuerza, aceleración.c) Peso, área, volumen.d) Temperatura, rapidez, distancia.

2.

Del vector −A se puede correctamente afirmar que:a)

Es más grande que A .b) Su magnitud es menor que la de A .c) Es paralelo al vector A .d) Tiene dirección opuesta a A .

3. El diagrama en el cual los vectores A , B y C , se relacionan como A + B = C , es:

a) b) c) d)

4.

El diagrama en el cual los vectores A , B y C , se relacionan como A − B = C , es:

a) b) c) d)

B B C C

C C B B

A A A A

B B C C

C C B B

A A A A


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5. La relación del vector C con los vectores A y B , de acuerdo al siguiente diagrama es:a) A + B b) A − B c) B − A d) A + B + C = 0

6. Considere tres vectores A , B y C , de magnitudes 3 unidades cada uno. Sus direcciones sonperpendiculares y van desde el origen hacia la parte positiva de los ejes x, y, z respectivamente.La magnitud de la suma A + B + C es:

a) 3 b) 2 3 c) 3 3 d) 27

7. Considere tres vectores A , B y C , de magnitudes A = 4, B = 4 y C = 2 con direccionesperpendiculares entre si y dirigidos desde el origen hacia la parte positiva de los ejes x, y, zrespectivamente. La magnitud de la suma A + B + C es:

a) 36 b) 10 c) 32 d) 6

8. Un vector de magnitud 20 se suma con otro de magnitud 25. Valiéndose para cada alternativa deun diagrama vectorial y de la ley del coseno, determine cuál de los siguientes valores podríacorresponder a la magnitud de su suma:a) 3b) 12c) 47d) 50

9. Un vector S de magnitud 6 y otro vector T se suman y se obtiene un vector resultante de magnitud

igual a 12. En base a lo anterior es correcto concluir que el vector T :a) Es perpendicular a S y de magnitud 6.b) Puede tener una magnitud de 20.c) Debe tener una magnitud de al menos 6 pero no más de 18.d) Tiene una magnitud mayor que 20.

10. Un vector V de magnitud 12 unidades se encuentra en el cuarto cuadrante formando 30° con elsemieje positivo de las x. Su componente rectangular Vy debe ser:a) 6/ 3 b) −6 3 c) 6

d) −6

11. La suma de dos vectores A y B se realiza mediante componentes rectangulares cuyos valoresson: Ax = 34.9 m, Ay = - 59.9 m, Bx = - 50.1 m, By = - 29.9 m. La magnitud de la resultante deA + B es, en metros:

a) 15.2 b) 105.0 c) 91.1 d) 89.8

C

B

A


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12.

Las componentes rectangulares de un vector A son: Ax = - 8.0 m, Ay = 10.0 m. La dirección deA con respecto al eje + x es, en grados:

a) 38.7 b) 51.3 c) 128.7 d) 141.3

13.

La magnitud del vector V = i + j es:

a) 2 b) 1 c) 2 d) 2

2

14. Un vector en el plano xy está dirigido desde el punto (0,0) al punto (1,1). El vector unitario quecorresponde con la dirección de ese vector es:a) i + j b)

0.707 i + 0.707 j c) 1.41 i − 0.41j d) Solo i ó solo j

15. Si D = 6i + 3j − k y E = 4i − 5j + 8k , el resultado de 2D − E es:

a) 8i + j − 6k b) 2i − 11j − 10k c) 16i + j + 7k e) 8i + 11j − 10k

16. Dados A = 2i − 3j + k y B = 3i + 2j − 4k ; el resultado de 2A − 3B , es:a) i − 3j + 14k b) −5i + 3j − 10k c) −5i − 12j + 14k d) i − 8j + 6k

17. Dados los vectores A = 2i + 3j + k y B = −4i + 2j − k , el producto A • B es igual a:a) 3b) −3c) 9d) −9

18. El ángulo entre los vectores A = −3j + k y B = 2j − 4k en grados es:a) 45b) 135c)

90d) 60

19. El ángulo entre los vectores A = 2i + 3j + k y B = −4i + 2j − k , en grados es:a) 100.1b) 79.9c) 20.2d) 36.9


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20.

Dados los vectores A = 2i + 3j + k y B = −4i + 2j − k , el producto A B es igual a:a) −5i + 2j + 16k b) 5i − 2j + 16k c)

5i + 2j − 16k d) −5i − 2j + 16k

21.

El producto vectorial 2i + k (−3j + 2k ) es igual a:a) 3i − 4j − 6k b) −3i + 4j − 6k c)

−3i − 4j − 6k d) 3i + 4j + 6k

22. Considérense tres vectores A , B y C de magnitud 3 unidades cada uno, perpendiculares entre si ydirigidos desde el origen hacia la parte positiva de los ejes x, y, z respectivamente. Si A B = P elproducto P • C debe ser:a) CERO

b) 6c) 9d) 27

23. Considérense tres vectores A , B y C de magnitud 3 unidades cada uno, perpendiculares entre si ydirigidos desde el origen hacia la parte positiva de los ejes x, y, z respectivamente. Si A B = P elproducto P C debe ser:a) CEROb) 9 en la dirección de +zc) 27 en la dirección de − d) 27 en la dirección de +y

24. Dados los vectores P = −j + k y Q = 2i − j , el vector V = Q P es:a) V = i + 2j + 2k b) V = − i − 2j + 2k c) V = − i − 2j − 2k d) V = i + 2j − 2k

C - CUESTIONARIO

1. Mencionar las características de las magnitudes (o cantidades) escalares. Cite al menos 6 ejemplosde esta clase de magnitudes.

2.

Exprese las características de las cantidades vectoriales. Cite al menos 5 ejemplos de esta clase demagnitudes.

3. ¿Cuándo son iguales dos vectores?

4. ¿Qué es el negativo de un vector?


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5. ¿Qué es un vector nulo?

6. Si dos vectores tienen la misma dirección son paralelos, si tienen la misma dirección y magnitud¿son iguales?

7. Mencionar las leyes aplicables a la suma de vectores.

8. ¿De qué forma se representan simbólicamente los vectores en la pizarra, en esta guía y en loslibros? Indicar las diferencias de representación.

9. ¿Pueden sumarse tres vectores que tengan diferentes magnitudes de modo que se tenga unaresultante igual a cero?; ¿Qué restricciones deben tomarse en cuenta? Explicar.

10. ¿Se pueden sumar dos vectores de modo que su resultado sea cero? ¿Qué restricciones debentomarse en cuenta?

11. ¿Puede tener un vector una magnitud igual a cero si una de sus componentes no es cero?

12. ¿Puede ser la magnitud de la diferencia entre dos vectores alguna vez mayor que la magnitud decualquiera de ellos?

13.

Las leyes conmutativa y asociativa, ¿Se pueden aplicar a la resta de vectores?

14. Indique cuáles son las propiedades de dos vectores A y B que hacen que:a) A + B = C y A + B = Cb) A + B = C y A + B > Cc) A + B = C y A2 + B2 = C2 d) A + B = C y A > C

15. ¿Qué es un vector unitario?

16. ¿Tienen unidades los vectores unitarios i , j y k ? razona tu respuesta.

17. ¿Qué tipos de producto se pueden aplicar al multiplicar dos vectores?

18. ¿Puede ser un producto escalar de dos vectores una cantidad negativa?

19. Si A B = 0, ¿Deben A y B ser paralelos entre si?

20. Si A • B = 0, ¿Se deduce que A y B son perpendiculares entre sí?

21. Después de estudiar la suma, la resta y la multiplicación de vectores ¿por qué será que no hemosestudiado la división entre vectores?

22. Una pista circular de carreras tiene 300m de diámetro. ¿Cuál es el desplazamiento de un ciclistaque sigue la pista del extremo norte al extremo sur? ¿Y cuando da una vuelta completa?

23. Si A y B son vectores distintos de cero, ¿es posible tanto que A • B y A B sean cero?


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24. ¿Qué resultado se obtiene al efectuar las siguientes operacionesa) A • A b) A A

25. Indique cuales de las siguientes son operaciones matemáticas correctas:a)

A • ( B • C )

b) A − B C c) A • ( B C ) d) A (B C ) e) A (B • C )

26. Sea A cualquier vector distinto de cero. ¿Por quéA

A es un vector unitario? ¿Qué dirección tiene?

27. Considere los dos productos vectoriales sucesivos A ( B C ) y ( A B ) C . De un ejemplo queilustre la regla general de que estos dos productos no tienen la misma magnitud ni la mismadirección ¿puede escoger los vectores A , B y C de modo que estos dos productos vectoriales si

sean iguales? Si puede, de un ejemplo.

28. Explique el procedimiento para calcular el ángulo entre dos vectores.

29. Se tiene un vector A diferente de cero. Si A • i = 0 y A • k = 0 ¿qué puede usted concluiracerca de la dirección del vector A ?

30. El producto punto de dos vectores A y B es −2. ¿Cuál es el resultado de 2A • 5B ?

D - PROBLEMAS PROPUESTOS

Contenido 1.4 Suma de vectores: Método gráfico

1. Considere dos desplazamientos, uno de magnitud 3 m y otro de magnitud 4 m. Muestregráficamente como pueden combinarse los vectores desplazamiento para obtener undesplazamiento resultante de magnitud (a) 7 m, (b) 1 m, y (c) 5 m.

2. Un vector A tiene 7 unidades de longitud y apunta hacia el este. Un vector B tiene 4 unidades delongitud y apunta en la dirección 30° al este del norte. Use el método gráfico para encontrar lamagnitud y dirección de los vectores: (a) A + B y (b) A − B

3. Es día de elecciones en El Salvador y un periodista aborda un helicóptero en el aeropuerto deIlopango para dirigirse a San Miguel. Recorre 108 km con rumbo 12.6° al sur del este y luego defilmar la concurrencia en los centros de votación, se dirige hacia Santa Ana. Para esto sedesplaza 164 km con rumbo 20° al norte del oeste. Haga un diagrama vectorial a escala con lasdirecciones dadas y encuentre la posición de Santa Ana con respecto al aeropuerto de Ilopango.

4. Se realizaron tres desplazamientos A , B y C con magnitudes respectivamente de 40 m a 30° aloeste del norte, 80 m a 30° al este del norte y 30 m al norte. Dibuje a escala estos vectores yencuentre el vector resultante S = A + B + C gráficamente.


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5. Una fuerza F 1 hace un ángulo de 45 a la derecha de la vertical, otra fuerza F 2 hace un ángulo de30 a la izquierda de la vertical. La magnitud del vector suma de F 1 y F 2 es de 20 N, verticalmentehacia arriba. Determinar los módulos de los vectores F 1 y F 2.

Contenido 1.5 Suma de vectores: Método trigonométrico

Resolver por el método trigonométrico los problemas 2 y 5 del contenido anterior.

Contenido 1.6 Componentes rectangulares

6. Suponga que una persona sube una montaña rusa formada por un segmento de recta de 20 m yun semicírculo de radio 15.0 m, como se muestra en la figura. Determine el desplazamiento de lapersona, desde que inicia en S hasta cuando se encuentra en T, que es la cumbre de la montaña.

7.

Una partícula tiene tres desplazamientos sucesivos en un plano, como sigue: 4.0 m hacia el

suroeste, 5.0 m hacia el este, 6.0 m en una dirección a 60 al norte del este. Seleccione el eje Yapuntando hacia el norte y el eje X apuntando al este y determine:a) Las componentes rectangulares de cada desplazamiento y del desplazamiento total.b) La magnitud y dirección del desplazamiento resultante.c) El desplazamiento que se necesitaría para regresar la partícula al punto de partida.

8.

Dados los vectores A , B y C tal como se muestran en la figura siguiente, donde: A = 10 m,B = 20 m y C = 15 m. Determinar por el método de componentes rectangulares la resultante desumar los vectores S = A + B + C .

Y

60°X

70°

A 30°

B

C


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9.

Dados los vectores , y , tal como se muestran en la figura siguiente, donde A = 40 m,B = 25 m y C = 30 m. Determinar por el método de componentes rectangulares la resultante desumar los vectores , y

10. Una persona va por un camino siguiendo la trayectoria desde 0 hasta F que se aprecia en la

figura. El recorrido total consta de cuatro trayectorias rectas. ¿Qué desplazamiento resultante dela persona se mide desde el punto de salida hasta el final del camino?

11. Una persona camina del punto A al punto B como se indica en la figura siguiente, ¿cuál es eldesplazamiento de esa persona en relación con A?, ¿qué distancia caminó?


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12. Dos vectores A y B tienen magnitudes iguales a 12 unidades. Se encuentran orientados como seindica en la figura y su vector suma es R . Determinar los resultados de las siguientes operaciones:

a) Las componentes X y Y de R b) La magnitud del vector ( R )c) El ángulo que R forma con el eje x.

13. Un elemento estructural se carga de la forma que se muestra en la figura. Determine la magnitudF y la dirección θ de la fuerza F de tal forma que la resultante de las tres fuerzas que actúan sobrela argolla sea igual a cero.

Contenidos 1.7 Producto de un vector por un escalar1.8 Definición de vector unitario

14. A una cuerda se le aplica una tensión T de magnitud 50 N. La cuerda pasa por los puntos A(1, 2)m y B(4, 6)m. Encuentre:a) El vector de posición B con respecto a A.b) El vector unitario dirigido de A hacia B.c) La expresión vectorial de la tensión, utilizando los vectores unitarios i y j .d) Usando una escala adecuada , haga una figura mostrando los tres vectores.

15. El vector A tiene componentes en los ejes x, y, z de 8, 12 y −6 unidades respectivamente.a) Escriba una expresión vectorial para A , en términos de los vectores unitarios.b) Obtenga, en términos de los vectores unitarios, una expresión para un vector B cuya

magnitud sea la cuarta parte de A y que tenga la misma dirección de A .c) Obtenga una expresión, en términos de los vectores unitarios, para un vector C que tenga

tres veces la magnitud de A y apunte en dirección contraria a éste.


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16. a) ¿Es el vector ( i + j + k ) un vector unitario? Justifique su respuesta.b) ¿Puede un vector unitario tener una componente con magnitud mayor que la unidad?c) ¿Puede un vector unitario tener alguna componente negativa?d) Si A = a ( 3.0 i + 4.0 j ), donde a es una constante, determine el valor de a que convierte a A

en un vector unitario.

Contenido 1.9 Suma de vectores expresados con vectores unitarios

17. Dados los vectores: A = 3 i − j + 6 k , B = 15 i + 12 j − k y C = i + 3 j − 12 k .a) Encontrar la magnitud de cada vector.b) Determinar el vector unitario en la dirección de cada uno de ellos.

18. Se tienen 3 vectores: A = 3 i + 4 j , B = 2 i − 2 j + 4 k , y C = − i + 5 j − 3 k Demuestre que lasuma de los tres vectores se puede calcular empleando varias alternativas, por ejemplo sumandoprimero A y B , y a la resultante sumarle C ; o bien sumando primero B y C y a la resultante sumarleA .

19. Se tienen dos vectores A = 4 i − 2 j y B = − i − 4 j . Determinar los resultados de:a) A + B b) A − B c) 3 A − 5 B d) |3 A − 5 B | e) Encontrar un vector C tal que 2 A − 3 B + C = 0.

20. Suponga que se tienen los siguientes vectores: A = 3 i + 4 j , B = 2 i + 3 j + 3 k , C = i − 2 k , y y D = −6 j − 4 k . Determine los vectores resultantes de operar:a) A + B + C + D c) A − D

b) A + D − B d) D − A

21. Tres vectores están dados por A = 2.0 i + 3.0 j , B = 1.0 i + 5.0 j y C = −1.0 i − 2 j . Encuentre lasconstantes c1 y c2 tal que c1A + c2B = C

Contenido 1.10 Producto de vectores

22. Demuestre que el ángulo comprendido entre los vectores A = i + 2j + k y el vectorB = 2 i + j − k , es el doble del ángulo comprendido entre C = i + 4 j + k y D = 2 i + 5 j + 5 k

23. Tres vectores suman cero, tal como se muestra en el triángulo de la siguiente figura. Calcule:a) A • B b) B C c) C • A 3 5

4

A

C B


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24. Dados los vectores: C = 2 i + k , D = 5 i + j + k , E = 2 i − j + 3 k y F = 4 i + 2 k . Efectuar:a) C • D b) El ángulo entre D y E c) C E , efectuando el producto entre los vectores unitarios.d)

F D , utilizando determinantes.

25. Considere un vector A dado por la expresión A = 3 i + 6 j . Admitiendo que existe un vectorB = Bx i + By j , tal que A • B = 3 y A B = 3 k , halle las componentes Bx y By del vector B .

26. Se tiene un vector A con la magnitud de 10 unidades y otro B con la magnitud de 6 unidadescuyas direcciones difieren en 60. Determinar: a) A • B y b) A B

27. Dados el vector A , tal como se muestra en la figura y el vector B = −6 i − 8 j, que no se muestra.Calcular:a) Las componentes horizontal y vertical del vector A .b) El vector suma S = A + B .c) |S | y el ángulo que forma éste con el semieje positivo de las x.d) El producto A • B ye)

El producto vectorial A B .

28. Tres vectores están dados por: A = 3 i + 3 j − 2 k , B = − i − 4 j + 2 k y C = 2 i + 2 j + k . Determinar:a) El ángulo entre A y B b) El ángulo entre A y C c) A • ( B C ) d) A • ( B + C )

29. Un vector se expresa como A = i cosωt + j senωt, donde ω es constante, t es el tiempo (variable

independiente), i y j son los vectores unitarios, constantes en magnitud y dirección. Demuestreque dA /dt es un vector perpendicular a A.

30. Dos vectores A = 5.0 i − 2.0 j + 3 k y B = Bx i + 3.0 j + Bz k , tienen un producto vectorialC = A x B = 2.0 j + Cz k , encuentre los valores de Bx , Bz y Cz.


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E- PROBLEMA RESUELTO A una columna se le aplican las fuerzas de la forma mostrada en la figura. Exprese cada una de las tresfuerzas que actúan sobre la columna por medio de sus componentes rectangulares y calcule lamagnitud de la fuerza resultante.

SOLUCIÓN

Observando la figura las componentes rectangulares de F 1 son:

F1x = F1 (3/5) = (150 N )( 3/5) = 90.0 N

F1Y = - F1 (4/5) = - (150 N)(4/5) = - 120.0 N

Las componentes rectangulares de F 2 son:

F2x = 0 N

F2Y = - 275 N

Las componentes rectangulares de F 3 son:

F3X = - F3 cos 60° = - 75 cos 60° = - 37.5 N

F3y = - F3 sen 60° = - 75 sen 60° = - 65.0 N

Hay que determinar las componentesrectangulares de cada uno de los vectoresF 1 , F 2 y F 3, dibujando los vectores en unsistema de coordenadas rectangulares, talcomo se muestra en la figura adyacente.


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Hay que determinar las componentes rectangulares de la fuerza total FRx y FRy

FRx = F1x + F2x + F3x = 90.0 N – 37.5 N = 52.5 N

FRy = F1y + F2y + F3y = - 120.0 N – 275 N – 65.0 N = - 460.0 N

La magnitud de la fuerza total se calcula utilizando el teorema de Pitágoras:

FR = 2 22 2

52.5 460 Rx Ry

F F = N 0.46325.356,214

DESARROLLO DE LA DISCUSIÓN No 1 (Primera Parte)

UNIDAD I VECTORES

(1.1 a 1.6.1)

SEMANA 2

TIEMPO ACTIVIDAD CONTENIDOS

10 minutos Explicación de la metodología de discusión

90minutos

El docente inicia la actividad dando lugar a la

participación de los estudiantes tal como se explica

en la sección V.2 Discusión de problemas y

conceptos, del programa.

B: 4, 5, 7, 8, 9 y 10

C: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, y 9

D: 3, 4, 5 (método trigonométrico), 6

y 10

DISCUSIÓN No 1 (Segunda Parte)

UNIDAD I VECTORES

(1.7 a 1.10.2)

SEMANA 3

TIEMPO ACTIVIDAD CONTENIDOS

100

minutos

El docente inicia la actividad dando lugar a la

participación de los estudiantes tal como se

explica en la sección V.2 Discusión de problemas

y conceptos, del programa.

B: 13, 14, 16, 17, 18, 19, 20 y 21

C: .15, 17, 20, 25 y 28

D: 16d, 17, 18, 23 y 24

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