DIPLOMSKO DELO - COnnecting REpositoriesZAHVALA Najprej bi se ţelela zahvaliti svoji mentorici,...

UNIVERZA V MARIBORU

PEDAGOŠKA FAKULTETA

Oddelek za Razredni pouk

DIPLOMSKO DELO

Anja Kompan

Maribor, 2009

UNIVERZA V MARIBORU



Diplomsko delo

DIDAKTIČNI PETKOTNIK

–

PRAKTIČNI VIDIK IN KOMUNIKACIJA

Mentorica: Kandidatka:

docentka, dr. Alenka Lipovec Anja Kompan

Maribor, 2009

Lektorica:

Violeta Ravnjak, prof. slovenščine

Prevajalka:

Alenka Satler, dipl. prevajalka

ZAHVALA

Najprej bi se ţelela zahvaliti svoji mentorici, Alenki Lipovec, za vso pomoč,

ki mi jo je nudila in predvsem za veliko mero potrpeţljivosti v dolgotrajnem

času nastajanja diplomskega dela.

Posebna zahvala je namenjena ilustratorki Brini Fekonja.

Zahvaljujem se tudi lektorici Violeti Ravnjak za hiter in neizprosen boj z

vejicami, ter prevajalkama Ksenji Vidic in Alenki Satler za pomoč pri

prevodu.

Druţina… Hvala za molčečo podporo in občasno preverjanje napredka.

Hvala pa tudi za vse tiste »Kdaj? Je ţe? Kaj še čakaš? To pa dolgo traja!

Kdaj bo konec!?«

Katarina… Brez tebe ne bi šlo! Hvala za kave, nasvete, klepete, dregljaje,

spodbude…

Zahvaljujem se tudi vsem ostalim, ki so bili tako ali drugače vpleteni v

nastajanje diplomskega dela…

***

"One can have an experience, but miss its meaning…"

UNIVERZA V MARIBORU



IZJAVA

Podpisana Anja Kompan, rojena 28. 09. 1983, študentka Pedagoške

fakultete Univerze v Mariboru, smer Razredni pouk, izjavljam, da je

diplomsko delo z naslovom DIDAKTIČNI PETKOTNIK – PRAKTIČNI

VIDIK IN KOMUNIKACIJA pri mentorici docentki, dr. Alenki Lipovec,

avtorsko delo. V diplomskem delu so uporabljeni viri in literatura korektno

navedeni; teksti niso prepisani brez navedbe avtorjev.

_________________________

(podpis študentke)

Maribor, 28. januar 2009

POVZETEK

Predstavljen je koncept Didaktičnega petkotnika skozi njegov praktični

vidik in komunikacijo. V okviru matematike so raziskane in predstavljene

štiri komunikacijske dejavnosti: poslušanje, govorjenje, branje in pisanje;

predstavljeni pa so tudi uspešni modeli izboljševanja komunikacije.

Poročila študentov-izvajalcev so bila predelana s kvalitativno vsebinsko

analizo. Skupaj z lastnimi izkušnjami in pogovori na timskih sestankih pa

tvorijo ključen vir informacij, na podlagi katerih so izpostavljene določene

ugotovitve iz prvih let izvajanja koncepta. Te obravnavajo pripravljenost

študentov-izvajalcev na izvajanje aktivnosti, uspešnost, ustreznost

zahtevnosti in morebitna nadgradnja aktivnosti ter model reprezentacij, ki

jih učenci uporabijo pri reševanju. Te ugotovitve in teorija uspešnega

komuniciranja so temelj najobseţnejšega dela – podrobnega opisa

aktivnosti, njihovih rešitev in navodil za reševanje ter moţnosti za

nadaljnje delo.

KLJUČNE BESEDE

Didaktični petkotnik, matematika, komunikacija, nadarjeni, aktivnosti,

diplomsko delo.

ABSTRACT

The thesis introduces the concept of the Didactic pentagon through its

practical aspect and communication. Within the framework of

mathematics, four communicational activities were researched and

presented: listening, speaking, reading and writing. At the same time,

effective models of how to improve communication are being introduced.

Prospective teacher’s work reports were analyzed by means of qualitative

content analysis. Together with personal experience and group discourses

at team meetings, they form the key information source on the basis of

which some statements were exposed in regard to the initial years of the

concept implementation. These statements deal with prospective teacher’s

performance preparations, success and suitable difficulty of activities, their

potential extension, as well as with the modes of representation the

students have used while solving the problems. All these findings,

combined with efficient communication knowledge, are the foundation of

the most extensive part of the thesis – a detailed description of activities,

their solutions and solving guidelines as well as ideas for further inquiries.

KEY WORDS

Didactic pentagon, mathematics, communication, gifted, activities, thesis.

KAZALO VSEBINE

1 UVOD ................................................................................................ 1

2 TEORETIČNI DEL ............................................................................. 3

2.1 KOMUNIKACIJA IN DIDAKTIČNA KOMUNIKACIJA ....................... 3

2.2 KOMUNIKACIJA PRI MATEMATIKI ................................................ 5

2.2.1 Osnove in spodbujanje poslušanja pri matematiki ..................... 8

2.2.2 Osnove in spodbujanje govorjenja pri matematiki ..................... 9

2.2.3 Osnove in spodbujanje branja pri matematiki ............................ 9

2.2.4 Osnove in spodbujanje pisanja pri matematiki ......................... 11

2.3 DIDAKTIČNI PETKOTNIK – TEORETIČNA OSNOVA,

ORGANIZACIJA, TEŢAVE IN DODATNA LITERATURA............... 14

2.3.1 Kronologija izvajanja Didaktičnega petkotnika ......................... 17

2.3.2 Komunikacija pri didaktičnem petkotniku ................................. 19

2.3.3 Teţave, s katerimi se sooča Didaktični petkotnik .................... 19

2.3.4 Viri in dodatna literatura na temo Didaktičnega petkotnika ...... 21

2.4 USPEŠNI MODELI IZBOLJŠEVANJA KOMUNIKACIJE PRI

MATEMATIKI ................................................................................ 22

2.4.1 Diskurz pri matematiki ............................................................. 27

2.4.2 Doseganje uspešne komunikacije ........................................... 29

2.4.3 Primeri situacij, ki zavirajo uspešno komunikacijo ................... 31

2.5 DODATNA LITERATURA IN NADALJNJE RAZISKOVANJE ........... 32

3 EMPIRIČNI DEL .............................................................................. 33

3.1 OPREDELITEV PROBLEMA ......................................................... 33

3.1.1 Namen ..................................................................................... 33

3.1.2 Raziskovalna vprašanja ........................................................... 33

3.1.3 Raziskovalne hipoteze ............................................................. 33

3.2 METODOLOGIJA .......................................................................... 34

3.2.1 Raziskovalna metoda .............................................................. 34

3.2.2 Raziskovalni vzorec ................................................................. 34

3.2.3 Postopki zbiranja podatkov ...................................................... 36

3.2.4 Postopki obdelave podatkov .................................................... 37

3.3 REZULTATI IN INTERPRETACIJA REZULTATOV ....................... 39

3.3.1 Hipoteza 1 – Aktivnosti se rešujejo na enaktivnem nivoju ....... 39

3.3.2 Hipoteza 2 – Pripravljenost izvajalcev. .................................... 42

3.3.3 Hipoteza 3 – Uspešnost izvedbe aktivnosti. ............................ 45

3.3.4 Hipoteza 4 – Zahtevnost aktivnosti. ......................................... 49

3.3.5 Hipoteza 5 – Nadgradnja aktivnosti. ........................................ 53

3.4 SKLEPNE MISLI EMPIRIČNEGA DELA ........................................ 55

4 PRAKTIČNI DEL ............................................................................. 57

4.1 POSEBNOSTI IZVAJANJA AKTIVNOSTI PRI DIDAKTIČNEM

PETKOTNIKU IN SPLOŠNI NAPOTKI PRI IZVAJANJU

AKTIVNOSTI V DIDAKTIČNEM PETKOTNIKU ............................. 57

4.1.1 Organizacija dela in organizacija skupin .................................. 57

4.1.2 Uvod v aktivnosti – namigi ....................................................... 58

4.1.3 Vprašanja pri izvajanju aktivnosti ............................................. 59

4.2 KLASIFIKACIJA AKTIVNOSTI GLEDE NA RAZRED .................... 61

4.3 AKTIVNOSTI – OPIS AKTIVNOSTI, POVEZAVE Z DRUGIMI

AKTIVNOSTMI, REŠITVE, NAVODILA ZA REŠEVANJE,

DODATNE AKTIVNOSTI ............................................................... 62

Aktivnost: Razvrščanje balonov ......................................................... 63

Aktivnost: Čez reko ........................................................................... 65

Aktivnost: Iskanje zaklada ................................................................. 67

Aktivnost: Mačka in miška ................................................................. 68

Aktivnost: Prerazporeditev................................................................. 71

Aktivnost: Razvrstitev stolov .............................................................. 73

Aktivnost: Ribnik ................................................................................ 75

Aktivnost: Razdelitev kroga s črtami .................................................. 77

Aktivnost: Urina številčnica ................................................................ 79

Aktivnost: Poveţi pike........................................................................ 82

Aktivnost: Rokovanja ......................................................................... 84

Aktivnost: Krave in hlevi, psički in košare .......................................... 89

Aktivnost: Sestavljanje testa .............................................................. 91

Aktivnost: Tehtanje ............................................................................ 92

Aktivnost: Polţ in steber .................................................................... 94

Aktivnost: Najmanjši in največji ......................................................... 97

Aktivnost: Magični kvadrati ................................................................ 99

Aktivnost: Deset kovancev .............................................................. 104

Aktivnost: Volk, koza in zelje ........................................................... 106

Aktivnost: Matematični kviz ............................................................. 110

Aktivnost: Enajst mostov ................................................................. 114

Aktivnost: Oblačenje ........................................................................ 116

Aktivnost: Zelene in rjave ţabe ........................................................ 118

Aktivnost: Vsote zaporednih števil ................................................... 121

Aktivnost: Poţeruh .......................................................................... 123

Aktivnost: Drţavne zastave ............................................................. 126

Aktivnost: Naloge rekreativne matematike ...................................... 130

Aktivnost: Štirje iz enega ................................................................. 132

Aktivnost: Tangram ......................................................................... 135

Aktivnost: Aktivnosti z vţigalicami ................................................... 137

Aktivnost: Štiri štirice ....................................................................... 141

Aktivnost: Rubikova kocka............................................................... 143

Aktivnost: Četverčki ......................................................................... 146

Aktivnost: Telesa iz četverčkov ....................................................... 148

Aktivnost: Gnezda ........................................................................... 151

Aktivnost: Mostovi čez reko Pregel .................................................. 157

Aktivnost: Domine ........................................................................... 160

Aktivnost: Mize (praštevila) .............................................................. 162

Aktivnost: Geoplošča ....................................................................... 165

Aktivnost: Razdelitev bonbonov ...................................................... 168

Aktivnost: Nariši z eno potezo ......................................................... 169

Aktivnost: Koliko trikotnikov? Koliko kvadratov? .............................. 171

5 SKLEP ........................................................................................... 172

LITERATURA ......................................................................................... 175

PRILOGE

KAZALO SLIK

Slika 1: Komunikacijske dejavnosti ............................................................ 6

Slika 2: Struktura Didaktičnega petkotnika ............................................... 15

Slika 3: Rezultati hipoteze 1 v odstotkih ................................................... 40





KAZALO PREGLEDNIC

Preglednica 1: Raziskovalni vzorec poročil glede na izvajalca in

aktivnost ......................................................................... 34

Preglednica 2: Podatki o številu učencev na posameznih šolah pri

določenih izvajalcih ......................................................... 36

Preglednica 3: Klasifikacija pojmov .......................................................... 37

Preglednica 4: Rezultati hipoteze 1 glede na posamezne razrede .......... 40





Preglednica 9: Klasifikacija aktivnosti glede na razred ............................. 61

Preglednica 10: Potek reševanja aktivnosti Čez reko .............................. 66

Preglednica 11: Rešitev aktivnosti Rokovanja – moţnost 3 ..................... 85

Preglednica 12: Rešitev aktivnosti Polţ in steber ..................................... 95

Preglednica 13: Primeri magičnih kvadratov v mreţi 3 × 3 ...................... 99

Preglednica 14: Primeri magičnih kvadratov v mreţi 4 × 4 .................... 101

Preglednica 15: Potek reševanja aktivnosti Volk, koza in zelje .............. 108

Preglednica 16: Rešitev aktivnosti Zelene in rjave ţabe ........................ 119

Preglednica 18: Rešitev aktivnosti Vsote zaporednih števil ................... 121

Preglednica 17: Vsote zaporednih števil ................................................ 121

Preglednica 19: Rešitev aktivnosti Poţeruh ........................................... 123

Preglednica 20: Rešitev aktivnosti Drţavne zastave – glede na

število polj na zastavi, število uporabljenih barv in

število različnih zastav .................................................. 129

Preglednica 21: Rešitev aktivnosti Štirje iz enega glede na mnoţice

trojk in četvork............................................................... 133

Preglednica 22: Rubikova kocka – število barv, število kock, lega ......... 143

Preglednica 23: Rubikova kocka – velikost kocke in število

pobarvanih ploskev ....................................................... 143

Preglednica 24: Rešitev Rubikove kocke – število barv, število kock,

lega ............................................................................... 144

Preglednica 25: Rešitev Rubikove kocke – velikost kocke in število

pobarvanih ploskev ....................................................... 144

Preglednica 26: Gnezda – število uporabljenih kock, ali gnezdo lahko

sestavimo, velikost luknjice, primeri gnezd in skice ...... 151

Preglednica 27: Rešitev aktivnosti Gnezda – 1. del ............................... 152



Preglednica 30: Rešitev aktivnosti Mize (praštevila) .............................. 162

Preglednica 31: Aktivnost Mize (praštevila) – število uporabljenih

kock, ali mizo lahko sestavimo, oblika zgornje

ploskve in skica............................................................. 163

Preglednica 32: Aktivnost Mize (praštevila) – število uporabljenih

kock, število kock, ki sestavljajo zgornjo ploskev,

velikost zgornje ploskve ................................................ 164

1

1 UVOD

Eden najpomembnejših elementov sodobne druţbe je komunikacija.

Prisotna je ţe od začetka obstoja ţivih bitij na našem planetu. Ne

komuniciramo samo ljudje, komunikacija poteka tudi med drugimi ţivimi

bitji. Naš obstoj je odvisen od nje. Spreminja in prilagaja se potrebam, ki

se pojavijo. Pred tisočletji je bilo dovolj mrmranje, godrnjanje, gibanje.

Sedaj komuniciramo preko medijev, interneta. Ne glede na to, kako

komuniciramo, za to vedno uporabljamo dva kanala: govorno-slušni ali

pisno-vidni. Osnovna enota komunikacije je informacija, vendarle pa ni

edina. Komunikacije ni, če informacije nimamo od kod dobiti ali pa je

nimamo kam posredovati. Še veliko bi lahko povedali o komunikaciji…

Za temo diplomskega dela je bila izbrana zaradi pomembnosti, ki jo ima v

šolskem okolju. O tej pomembnosti, bi se strinjali mnogi raziskovalci.

Čeprav nekateri pripisujejo in utemeljujejo večji pomen pisne

komunikacije, drugi pa govorne, slušne ali bralne; smo ugotovili, da so

pomembne vse in vse enako. Govorjenje, poslušanje, branje in pisanje so

soodvisni in tako prepleteni, da ne moremo izpustiti in zanemariti

nobenega.

Čeprav je koncept Didaktičnega petkotnika bil oblikovan zaradi teţje po

izboljšanju kakovosti izobraţevanja bodočih učiteljev, pa to ni njegov edini

namen. Namen koncepta je tako sprememba predstav, ki jih imajo

študenti o matematiki, o znanju in poučevanju matematike, kot tudi

prepoznavanje, usmerjanje in razvijanje sposobnosti nadarjenih učencev.

Koncept predstavlja tudi uspešen način prenosa teoretičnih spoznanj iz

področja didaktike matematike, ki jih študenti pridobivajo v času študija, v

prakso. Posredno pa učitelji, ki so ţe vključeni v redni vzgojno-

izobraţevani proces, ostajajo v kontaktu z novostmi in nasploh z

informacijami, ki so jih deleţni študenti na fakultetah. Nezanemarljiv je tudi

vir informacij, ki jih dobivajo visokošolski učitelji – didaktiki in starši, ki so

prav tako vključeni v delovanje koncepta.

2

Koncept Didaktičnega petkotnika je naravnan tako, da se nenehno razvija,

dopolnjuje ter prilagaja. Ponuja pa tudi veliko moţnosti za raziskovanje.

Tako smo v diplomski nalogi najprej preiskali izjemno široko področje

pojma komunikacije, ga omejili na inter- in intrapersonalno komunikacijo in

še oţje na didaktično komunikacijo, na koncu pa jo preko splošnih

spoznanj razčlenili in predstavili v okviru matematike. Nato smo analizirali

in izpostavili določena mesta v analizah preteklega dela pri Didaktičnem

petkotniku, kjer bi lahko spoznanja iz teoretične preiskave in rezultate

empirične, zdruţili in oplemenitili tako, da bodo skupaj tvorili vir uporabnih

informacij za bodoče izvajalce programa Didaktični petkotnik.

V empiričnem delu diplomske naloge torej preverjamo in raziskujemo, ali

se študenti pripravijo na izvajanje aktivnosti, če so aktivnosti splošno

rešene uspešno in če so dovolj zahtevne. Preverjamo pa tudi, kdaj se

reševanje aktivnosti zaključi in če je s tem doseţen namen in določeni cilji

samega koncepta. Ugotavljamo pa tudi s pomočjo katerega modela

reprezentacij so učenci reševali aktivnosti.

V praktičnem delu se diplomska naloga dotakne praktičnega vidika

samega koncepta, ki doslej še ni bil podrobneje predstavljen. Tako

predstavlja izboljšana navodila za reševanje aktivnosti, skupaj z rešitvami

in ponekod dodatnimi aktivnostmi.

Osnova koncepta so tehtno izbrane aktivnosti, ki jih študenti predelajo in

izvedejo z izbranimi sposobnejšimi učenci. Če upoštevamo spoznanja o

uspešnih pristopih k učenju in poučevanju matematike ter o komunikaciji

nasploh, potem bodo aktivnosti dovoljevale učencem, da svoje

matematično znanje komunicirajo na drugačen način. Če bomo uspešni,

pa bodo pridobljeno znanje uporabili tudi na drugih predmetnih področjih.

Tako upamo, da bo diplomsko delo olajšalo delo bodočim izvajalcem. Da

jim bo koristilo tako kot pripomoček ob teţavah in izzivih, kot tudi kot

orientacija in vir informacij, ko bodo iskali nove aktivnosti.

3

2 TEORETIČNI DEL

2.1 KOMUNIKACIJA IN DIDAKTIČNA KOMUNIKACIJA

Če bi ţeleli podati definicijo komunikacije, bi naleteli na teţavo, kajti

različne vede ji dajejo različen pomen in jo različno razlagajo. Je eden

najbolj domačih in samoumevnih terminov. Pa vendar »zajema področje,

ki je zaradi svoje subjektivnosti, kompleksnosti in procesnosti teţko

dostopen analizi in raziskovanju…« (Skalar, 1990, str. 9). Človek se pri

komuniciranju ali sporazumevanju največkrat opira na vid in sluh, vendar

pa komunikacija poteka tudi preko vonja, okusa in tipa (Platt, 2005, str. 7).

Komunikacija je intrapersonalna (notranja, znotraj-osebna),

interpersonalna (medosebna, malo udeleţencev) in mnoţična (mediji,

veliko udeleţencev). Če se osredotočimo na komunikacijo, ki poteka med

osebami, bi lahko rekli, da je za človeka ključna in ţivljenjsko pomembna,

hotena, usmerjena, smiselna interakcijska dejavnost ali proces. Njen

rezultat je besedilo, njen cilj je razumevanje. Lahko je verbalna ali

neverbalna. Komunikacijo omejujejo načela sporočanja in sporočanjske

okoliščine – prostor in čas sporočanja, udeleţenci, druţbeno razmerje

med udeleţenci, namen sporočanja, prenosnik, kod, nanašanjski okvir in

pa (so)besedilo. Da zoţimo obravnavano temo1, bi se raje omejili na

komunikacijo v šolskem prostoru, ali mogoče natančneje na didaktično

komunikacijo, kot jo je v svoji diplomski nalogi definirala Zebec-Drevenšek

(1996).

Avtorica navaja, da didaktična komunikacija poteka v času pouka oz. učne

ure, pa naj gre za projektno delo, integriran pouk, naravoslovni, kulturni,

športni dan ali šolo v naravi. Poteka med vsemi subjekti, vključenimi v

šolsko okolje – učenci, učitelji, drugimi delavci šole:

1 Za več informacij priporočamo: Ule, 2005; Fiske, 2004; Škerlep, 1997; Ţagar, 1990;

Mandić, 1998.

4

Od splošne, vsakdanje komunikacije jo lahko ločimo po njeni

skrbni načrtovanosti, smotrnosti, ki vključuje in upošteva

predpisan program dela in ţivljenja v šoli, po njeni omejenosti

na določeno vsebino ali učno enoto, temo, predpisano s tem

dokumentom, po omejenosti na čas, kraj in velikokrat na tipične

udeleţence v njej – enega učitelja in učence enega razreda.

(Prav tam.)

Didaktična komunikacija je povezana s splošno komunikacijo, nanjo

vplivajo in se v njej odraţajo vse značilnosti le-te, prav tako pa je pogojena

z vsemi dejavniki in značilnostmi vzgojno-izobraţevalnega procesa.

Za potrebe diplomske naloge se moramo premakniti nekoliko globlje v

komunikacijo in izpostaviti posebnosti komunikacije pri matematiki.

5

2.2 KOMUNIKACIJA PRI MATEMATIKI

V zadnjih letih avtorji prispevkov s področja matematike in poučevanja

matematike poudarjajo rastoči pomen komunikacije pri matematiki.

Predvsem se študije pojavljajo v Zdruţenih drţavah Amerike, kjer so

oblikovali zdruţenje učiteljev matematike – National council of teachers of

mathematics (skrajšano NCTM). V zdruţenju skrbijo za vizijo poučevanja

matematike in nudijo vodenje in profesionalni razvoj za učitelje ter tako

zagotavljajo pravično poučevanje na visokem nivoju za vse učeče (About

National Council of Teachers of Mathematics, b.d.). Komunikacijo smatrajo

kot eno petih procesnih ciljev. Za diplomsko nalogo je bil največji vir

informacij njihov letni zbornik Communication in mathematics – K-12 and

beyond (Elliott in Kenney, 1996).

Avtorji utemeljujejo matematiko kot jezik (Pimm, 1989)2, čeprav je za

marsikoga tuj jezik, je za druge materni jezik, in se ga včasih napačno

smatra kot mrtev jezik, jezik nesmislov ali abstrakten jezik (Usiskin, 1996).

Ima svoje karakteristike, kot ostali jeziki, je pisna in ustna, lahko je

formalna in neformalna. Ima svojo slovnico in pravopis. Seveda pa je jezik

posebne vrste (prav tam). Kot drugje je tudi tukaj komunikacija eden

njenih glavnih ciljev in namenov. Vendar pa preden definiramo

komunikacijo pri matematiki, moramo opredeliti različne komunikacijske

dejavnosti kot osnovna vodila komunikacije.

Komunikacijske dejavnosti, kot so poslušanje, govorjenje, pisanje in

branje, sluţijo komunikaciji posameznika z drugimi ljudmi / okoljem in

samim seboj (Pečjak, 2000, str. 10). Lernerjeva poudarja:

… da omenjene štiri komunikacijske dejavnosti predstavljajo

enoten, integriran jezikovni sistem. Z razvojem vsake

2 Pimm pravzaprav meni, da bi bilo napačno razmišljati o jeziku in matematiki kot o dveh

neodvisnih entitetah. V svoji knjigi pa razlaga matematiko kot jezik skozi učenčev matematični govor, skozi komunikacijo v učilnici, matematični register in sintakso ter razlaga branje in pisanje (gl. Pimm, 1989).

http://cobiss2.izum.si/scripts/cobiss?ukaz=FFRM&mode=5&id=2145580720525456&PF1=AU&PF2=TI&PF3=PY&PF4=KW&CS=a&PF5=CB&run=yes&SS1=%22Elliott,%20Portia%20C.%22

http://cobiss2.izum.si/scripts/cobiss?ukaz=FFRM&mode=5&id=2145580720525456&PF1=AU&PF2=TI&PF3=PY&PF4=KW&CS=a&PF5=CB&run=yes&SS1=%22Kenney,%20Margaret%20J.%22

6

posamične dejavnosti krepimo enoten / bazičen jezikovni

sistem, ki potem vpliva / seva tudi na druge dejavnosti. In

obratno: primanjkljaj pri katerikoli dejavnosti slabi enoten

jezikovni sistem, kar negativno vpliva tudi na druge dejavnosti

(Lerner, 1993; cit. po Pečjak, 2000, str. 10).

Slika 1: Komunikacijske dejavnosti

Poslušanje, govorjenje, branje in pisanje niso znanje, ampak so spretnosti,

ki jih otrok pridobi, če jih vadi, izboljšuje. Znanje pridobivamo iz druge

roke, je posredovano; spretnosti pa si pridobimo samo, če sami nekaj

izvajamo. V času šolanja otrok razvija vse štiri komunikacijske dejavnosti.

Ta razvoj pa se ne zaključi v osnovni šoli, ampak se nadaljuje tudi

kasneje, v fazi sekundarnega izobraţevanja. Vendar pa je treba poudariti

tudi, da se komunikacijske dejavnosti dojemajo kot dejavnosti, ki nimajo

kvalitetnega vrha.

Več o tem, koliko časa človek preţivi v posamezni komunikacijski

dejavnosti, in podrobnejšo razlago teh, najdemo pri Pečjakovi (2000).

PRIMARNE (NARAVNE) SPRETNOSTI, SPOSOBNOSTI

SEKUNDARNE (CIVILIZACIJSKE) SPRETNOSTI, SPOSOBNOSTI

RECEPTIVNE KOMUNIKACIJSKE PRODUKTIVNE KOMUNIKACIJSKE DEJAVNOSTI DEJAVNOSTI (SPREJEMANJE SPOROČIL) (TVORJENJE SPOROČIL)

RAZUMEVANJE BESEDILA

POSLUŠANJE

GOVORJENJE

INTEGRIRAN JEZIKOVNI SISTEM

BRANJE

PISANJE

7

Sedaj pa si poglejmo, kako se posamezne dejavnosti odraţajo pri

matematiki.

Pomembnost pisanja in branja ter poslušanja in govorjenja ne more biti

dovolj poudarjena. Avtorji ugotavljajo predvsem rastoči pomen pisanja pri

matematiki (Price 1989; Waywood, 1992; Freitag, 1997; Baker in

Czarnocha, 2002; Fetzer, 2003). Skozi celo ţivljenje bodo učenci

uporabljali svojo sposobnost pisanja in branja za učenje in komunikacijo.

Določene discipline, kot npr. matematika, lahko od učencev zahtevajo, da

razvijejo posebne spretnosti za učinkovito branje in pisanje. Zato je toliko

večjega pomena, da razredni učitelji svoje učence naučijo, kako se učiti in

komunicirati v posamezni disciplini. Če tega ne doseţemo, nam lahko

spodleti priprava učencev na preţivetje v druţbi, kjer sta komunikacija in

lastno učenje vedno bolj pomembni.

Raziskave so pokazale tudi, da učenci ne smatrajo matematike kot

discipline, ki se razvija in dopolnjuje in je povezana z dogodki in

izkušnjami iz vsakdanjega ţivljenja (Siegel, Borasi, Fonzi, Sandridge in

Smith, 1996), kar dodatno prispeva k negativnemu mnenju o matematiki in

njeni omejeni uporabnosti v ţivljenju. Seveda je takšno mnenje

neutemeljeno. K izboljšanju in predvsem k spremembi takšnih pogledov

na matematiko prispevajo sodobni koncepti in pristopi k poučevanju

matematike. Le-ti pa temeljijo, med drugim, na komunikaciji. House (1996)

je svojo raziskavo o kreativnem pisanju pri matematiki zaključila tako:

»Naše največje spoznanje je bilo, da ima matematika tudi igrivo, človeško

plat, kreativen čar, kot tudi resen namen, preciznost.«

8

2.2.1 Osnove in spodbujanje poslušanja pri matematiki

Poslušanje je ena najbolj razširjenih komunikacijskih dejavnosti in je

vsekakor prva dejavnost, ki se pojavi pri otroku. Zlasti v začetku šolanja je

najpomembnejši način pridobivanja znanja – preden se otrok nauči brati in

pisati. Pečjakova (2000) poslušanje deli na priloţnostno, doţivljajsko,

terapevtsko, razločujoče in na poslušanje z razumevanjem. Predvsem to,

slednje, ima v šoli velik pomen.

Pri poslušanju lahko v okviru matematike govorimo tako o poslušanju

učencev, kot tudi učiteljev. Pirie (1996) se v svojem prispevku osredotoča

prav na funkcijo in naravo aktivnega poslušanja s strani učitelja. Cilj

prispevka je osredotočanje na določene spontane reakcije učiteljev, ki so

bile spoznane in definirane kot dobre, avtorica pa sprašuje, ali so res

vedno ustrezne. V svojem prispevku utemeljuje poslušanje »kaj«, »kdaj«,

»kako« in »karkoli / vse«.

Eden od ciljev učiteljevega dela je pomagati učencem pravilno uporabljati

matematični jezik in eden dobrih načinov, kako to doseči, je ta, da

pomagamo, da matematične besede postanejo del vsakdanjega jezika v

učilnici. Učitelj torej učenčev naravni govor zamenja z matematičnim in

skuša doseči, da bi ga učenci tudi uporabljali. Vendar je pri tem treba biti

pozoren na besede, ki jih uporabljajo učenci, ker lahko le-te pokaţejo

učenčevo nerazumevanje (gl. Elliott in Kenney, 1996, str. 106, 107).

Velikokrat učenec opazuje in posluša vse – učiteljeve besede, mimiko,

način govora, artikulacijo, pavze… in iz tega sklepa oz. ugiba, ko daje

odgovor. Poslušati je treba ne samo besede, ampak tudi kontekst. Kaj

hitro se lahko zgodi, da učenec pravilno razume nalogo, vendar se

napačno izrazi. Le z zavestnim in specifičnim polaganjem pozornosti na

ustno, govorno komunikacijo učencev lahko dobimo vpogled v njihovo

razumevanje matematike, z drugimi besedami – z aktivnim poslušanjem in

ne le s slišanjem, kaj govorijo.

http://cobiss2.izum.si/scripts/cobiss?ukaz=FFRM&mode=5&id=2145580720525456&PF1=AU&PF2=TI&PF3=PY&PF4=KW&CS=a&PF5=CB&run=yes&SS1=%22Elliott,%20Portia%20C.%22

http://cobiss2.izum.si/scripts/cobiss?ukaz=FFRM&mode=5&id=2145580720525456&PF1=AU&PF2=TI&PF3=PY&PF4=KW&CS=a&PF5=CB&run=yes&SS1=%22Kenney,%20Margaret%20J.%22

9

2.2.2 Osnove in spodbujanje govorjenja pri matematiki

Govor človeku sluţi kot sredstvo za vzpostavljanje komunikacije z okoljem

in ima v razvoju človeka pomembno vlogo. »Za razvijanje govornih

sposobnosti pri otrocih je najprej potrebno poznati osnovne značilnosti

njihovega jezikovnega razvoja.« (Pečjak, 2000, str. 67)

Avtorici prispevka »Talk your way into writing« (Huinker in Laughlin, 1996)

govorita o vlogi govora pri učenju matematike. »Priloţnosti za govorjenje,

ki jih učenci dobijo v razredu, jim omogočajo, da poveţejo jezik, ki ga

poznajo iz svojih osebnih izkušenj in osebnega ozadja, z jezikom v

razredu in z matematičnim jezikom.« (Gawned, 1990; povz. po Huinker in

Laughlin, 1996, str. 81). Z izbiro pravilnega jezika, torej besed, ki jih bodo

ostali prepoznali in sprejeli; učenci spreminjajo obstoječe razumevanje in

dajejo pomen matematičnim idejam. V osnovi dialog učencem omogoča,

da z govorom dajejo pomen. Prav tako govor skrbi za sodelovanje in

pomaga pri gradnji »okolja za učenje« v razredu.

2.2.3 Osnove in spodbujanje branja pri matematiki

Pečjakova (2000, str. 93) pravi, da:

Če govorimo o branju in razvijanju bralnih sposobnosti pri

učencih, potem moramo ta razvoj videti v luči treh povezanih,

vendar hierarhično organiziranih stopenj, ki vodijo k bralni

pismenosti. Najniţja stopnja v razvoju bralnih sposobnosti je

stopnja avtomatizirane bralne tehnike, sledi ji stopnja branja z

razumevanjem (t.i. smiselnega branja), najvišja pa je stopnja

fleksibilnega branja. /…/ Relativno sočasno [lahko] razvijamo

vse tri sposobnosti.

10

Na bralno učinkovitost otrok vplivajo različni dejavniki. Izpostaviti je treba

inteligentnost ter čustvene in pa motivacijske dejavnike. Tukaj sta

najpomembnejša odnos do branja oz. pravilno pojmovanje branja in

interes za branje.

Branje lahko najde osrednjo vlogo pri dajanju matematičnih navodil tako,

da učence aktivno zaposli v učenje. Bralec aktivno oblikuje tekst in je od

njega tudi oblikovan (Rosenblat, 1978; povz. po Siegel, Borasi, Fonzi,

Sandridge in Smith, 1996, str 67). Kar pomeni, da bralec ne vzame le

pomena iz teksta, ampak uporabi svoje znanje, interese, vrednote in

občutke, da ustvari pomen. Da bralec tekst razume, da tekst ima smisel,

zatorej zahteva, da vpliva na bralca in da ga ta tudi vzame za svojega. Iz

tega, nekoliko drugačnega pogleda na branje, sledi širša definicija, kakšni

teksti bi lahko bili ustrezni za bralni material v matematični učilnici, kako bi

lahko ti teksti bili prebrani in zakaj so brani (Borasi in Siegel, 1994; povz.

po Siegel idr., 1996, str. 67).

Pomembno pri branju je razumevanje prebranega. Freitag (1997) navaja,

da lahko branje smatramo kot dvodelen proces. Prvi del je prenos

šifriranih informacij od zapisanega teksta do bralca. Drugi del je bralčevo

razumevanje informacij iz besedila. Če se bralec ali okoliščine branja

spremenijo, se razumevanje branja spremeni. Razumevanje besedila pa

ne pride samo po sebi, ampak zajema interakcijo tako z besedilom, kot

tudi z drugimi bralci. Če ţelimo razumeti tekst neke določene discipline,

potem moramo razviti bralne spretnosti posebej za to disciplino. In še

posebej to velja za branje matematičnih tekstov. (Prav tam.)

Noonan (1990; cit. po Freitag, 1997, str. 17) pravi:

Brati matematični tekst pomeni, da iz strani potegneš globalni

pomen besedila in ne le, da si sposoben prebrati nekaj vrstic

besedila. Pomeni, da je treba oceniti strukturo vprašanja in v

kakšni relaciji so z različnimi grafi, diagrami in slikami. Branje

11

matematičnega teksta zahteva različne spretnosti in znanje s

strani bralca, da doseţe ţeleno raven bralnega razumevanja.

/…/ branje matematičnega teksta je veliko bolj komplicirano kot

le branje besed na določeni strani. Gre za razumevanje

matematičnih idej, ki jih tekst ţeli predstaviti.

Pri branju matematičnega teksta lahko največje teţave povzroča

besedišče. Učenci se namreč morajo naučiti uporabe izrazov, ki jih najdejo

le pri matematiki, razumeti pa morajo tudi koncepte, ki leţijo za temi izrazi.

Enako je s simboli. Če besedilo vsebuje veliko simbolov, predvsem, če

vsebuje enačbe in formule, le-te prekinejo in oteţijo tok branja, ker jih

mora učenec med branjem dešifrirati. Ker ima branje matematičnega

teksta veliko moţnih pasti, mora bralec nujno biti pri branju aktiven in

previden. Matematično branje ni linearno in učenci ga naj ne skušajo brati

na enak način kot na primer pravljice in podobno. Učenci se morajo od

vsega začetka zavedati, da je matematične tekste treba prebrati večkrat

skozi, da doseţemo razumevanje. Za razumevanje pa sta potrebna čas in

napor in posledično morajo učenci vaditi potrpeţljivost, koncentracijo in

odločnost (Freitag, 1997).

2.2.4 Osnove in spodbujanje pisanja pri matematiki

Otroci najprej poslušajo, nato govorijo, berejo in na koncu zapišejo

besedila. Pri pisanju gre za dajanje vidne podobe glasovnemu znaku, v

nasprotju z branjem, kjer otrok grafični znak spremeni v glasovni znak.

Pečjakova pravi tudi, da pisno sporazumevanje ni le mehanično

preoblikovanje ene simbolne oblike v drugo, pač pa gre tudi za procese

ustvarjalnosti, črkovanja, poznavanja in upoštevanja slovničnih pravil,

moţnosti izbiranja ustreznih besed ipd. Pri pisnem sporazumevanju je še

posebej potrebno biti pozoren na globalno strukturo, ki pri zapisanem in

govorjenem besedilu ni enaka. (Prav tam.)

12

Dokazano je bilo, da lahko pisanje prispeva k učenju in procesu dajanja

pomena ter da zagotavlja pomembno sredstvo za pospešitev razvoja

konceptualnega razumevanja. Ta trditev je teoretično podkrepljena z

Brunerjem in Vygotskim (gl. Fetzer, 2003). Konceptualno razumevanje

učenci gradijo ob tem, ko besedilne naloge zapisujejo z enaktivno

(manipulacija s konkretnimi predmeti, ), ikonično (grafična

reprezentacija konkretnih predmetov ) ali simbolno (2 + 1 = 3)

reprezentacijo koncepta3.

Emig (1977; cit. po Freitag, 1997) pravi, da je pisanje najbolj vplivna in

edinstvena komunikacijska dejavnost. Kot takšna je smatrana zato, ker

izvira od učenca in je grafično zabeleţena. Vsakršno raziskovanje pisanja

pa je omejeno na ta grafični produkt, zapis. Ker je proces pisanja, kot tak,

zanemarjen, je bilo nemogoče pridobiti vpogled v učenje, ki je vključeno v

dejanje pisanja. Nove teoretične ideje, ki omogočajo vpogled v le-to

učenje, predstavlja Fetzer (2003) v svojem članku.

Pisanje je uporabno tudi zato, ker prinaša edinstven način povratne

informacije – takoj, ko je nekaj zapisano, lahko učenec pregleda, ali je

pravilno (to spoznanje je izjemno uporabno pri večini aktivnosti, ki jih

izvajamo v Didaktičnem petkotniku). Pisanje razjasnjuje in organizira

učenčeve misli. Ker je primerno počasnejše kot poslušanje, govorjenje in

(v nekaterih primerih) branje, prisili razmišljanje, da se upočasni do tempa

pisanja. To pa učencu omogoča, da sproti preveri svoje misli in zagotovi,

da so pravilne in popolne, preden jih zapiše. (Freitag, 1997; tudi Masingila

in Prus-Wisniowska, 1996.)

Grossman, Smith in Miller (1993; povz. po Freitag, 1997, str. 19) pravijo:

… da je učenčeva sposobnost, da razloţi koncepte s pisanjem,

povezana s sposobnostjo razumevanja in uporabe

3 Več o reprezentacijah v Mason in Johnston-Wilder (2004)

13

matematičnih konceptov. To je uporabno tako v kratkih, kot tudi

v daljših časovnih okvirih. Ugotovitve dalje predlagajo, da ko

učenec demonstrira sposobnost pisanja o konceptih, je to lahko

vzeto/videno tako kot izraţanje razumevanja, kot tudi kot

produkt znanja.

Pri pisanju se lahko pojavijo enake teţave kot pri branju. Učenci imajo

lahko teţave z uporabo matematičnega sistema simbolov in besedišča.

Lahko imajo teţave z zapisom matematičnih situacij v preglednice in

grafično obliko ali pri razlaganju, kako so grafi in preglednice povezani s

situacijo, ki jo razlagajo. V takšnih primerih je pisanje teţje, ker ne zahteva

le razumevanja besedila in koncepta, o katerem piše, ampak mora učenec

poskušati pridobiti to razumevanje tudi pri naslovniku (Freitag, 1997) – pri

pisanju mora misliti na naslovnika (ki je lahko učenec sam ali pa je

naslovnik druga oseba – učitelj, sošolec, starš…). Na ta način pisanje

zahteva boljše razumevanje konteksta in sposobnost komuniciranja le-

tega (Fetzer, 2003).

Več informacij iz področja pisanja pri matematiki najdemo tudi v Ganguli in

Henry (1994), ki opisujeta vse raziskave, ki so bile na to temo objavljene

do leta 1990.

14

2.3 DIDAKTIČNI PETKOTNIK – TEORETIČNA OSNOVA,

ORGANIZACIJA, TEŢAVE IN DODATNA LITERATURA

Didaktični petkotnik je didaktični koncept, oblikovan zaradi teţnje po

izboljšanju kakovosti izobraţevanja študentov, bodočih učiteljev. Koncept

temelji na interakciji petih udeleţencev osnovnošolskega in

visokošolskega prostora – učencev, študentov, didaktikov, učiteljev in

staršev.

Teoretično osnovo koncepta je v svoji diplomski nalogi predstavil

Drnovšek (2006). V njej izpostavlja teoretična izhodišča, trende

izobraţevanja bodočih učiteljev v Sloveniji, podrobneje predstavlja

obravnavo nadarjenih otrok in izpostavlja pomanjkljivosti v izobraţevanju

bodočih učiteljev. Prav tako razpravlja o sodelovalnih konceptih med starši

in šolo ter šolami in pedagoškimi fakultetami in utemelji, da je potrebna

nadgradnja tovrstnega sodelovanja. Natančneje opiše in predstavi cilje,

organizacijsko strukturo ter principe dela v Didaktičnem petkotniku.

Predvsem ta, zadnja poglavja njegove diplomske naloge (organizacijska

struktura in principi dela) so se v letih od začetka izvajanja programa

nekoliko spreminjala in prilagajala. Več o tem kasneje.

Didaktični petkotnik je zgrajen na tako teoretično kot empirično

preverjenem dejstvu, da je koncept partnerstva med

pedagoškimi fakultetami in šolami produktiven le v primeru, ko

med subjekti te kooperacije prevladuje sinergičen odnos.

Namenjen je praktičnemu usposabljanju študentov razrednega

pouka na področju matematike, pri čemer teţi k povezovanju in

interakciji med nekaterimi ključnimi participanti vzgojno-

izobraţevalnega procesa in hkrati k medsebojnemu prepletanju

treh okolij [domače, šolsko in visokošolsko], ki vsako na svoj

način gradi značaj šolske sfere. (Drnovšek, 2006, str. 44.)

15

Udeleţence koncepta si poglejmo skozi relacije, ki potekajo med njimi,

glede na nov način dela v Didaktičnem petkotniku.

Slika 2: Struktura Didaktičnega petkotnika

Študenti Razrednega pouka Pedagoške fakultete Maribor in matematično

sposobnejši učenci (relacija A) se srečujejo tedensko pri uri interesne

dejavnosti. Aktivnosti se izvajajo skozi celo šolsko leto, po eno uro na

teden, na matični šoli, ki poskrbi tudi za materialne pogoje. Učenci in starši

(relacija B) se učijo skupaj, ko poskušajo razumeti predstavljen problem.

Študent na prvem srečanju predstavi problem in zagotovi razumevanje,

morebiti predlaga način reševanja. Učenci doma (skupaj s starši ali sami)

razmislijo o problemu in o rešitvah ter oblikujejo strategije reševanja. Na

naslednjem srečanju učenci te svoje rešitve predstavijo, se o njih

pogovarjajo (diskutirajo) s študentom-izvajalcem, nato izberejo ustrezen

način reševanja in problem rešijo. Reševanje problema lahko poteka tudi

več kot eno srečanje. Na naslednjem srečanju se izvede tudi kritična

refleksija, morebiti poskus reševanja še na kak drug način. Relacija C

(starši in učitelji) poteka dnevno ob prihodu in ob odhodu otrok v in iz šole.

Relacija D je po naravi najbolj neformalna. Didaktik in razredni učitelj se

dobivata neplanirano in neorganizirano (ob izbiri učencev, po predavanjih,

ob nastopih, na nivoju osebnih poznanstev…). Ta relacija zagotavlja, da

so učenci pravilno izbrani, da se vsebine pri kroţku in v razredu ne

ponavljajo. Didaktiku ta relacija sluţi kot sekundarna povratna informacija

16

o odzivu učencev, staršev in šole v zvezi s potekom kroţka. Relacija E

prav tako poteka ob različnih priloţnostih, povezanih z izobraţevanjem

bodočih učiteljev (predavanja, vaje, nastopi, analize izvajanj, sodelovalno

poučevanje, mikropouk…). Študent in starši (relacija F) se dobivajo

neformalno ob prihodu ali odhodu otrok na/s kroţka. Prav tako se srečajo

na roditeljskem sestanku, kjer se srečajo tudi starši in didaktik (relacija J),

več o njih kasneje. Študenti in razredni učitelji (relacija G) se srečujejo

tedensko, pogovorijo se o morebitnih teţavah in preverijo napredek

učencev. Relacija H je edini odnos, ki se ne realizira neposredno. Didaktik

ni neposredno vključen v proces dela z matematično sposobnejšimi

učenci. Ostaja še relacija I, med učenci in razrednimi učitelji, ki se realizira

dnevno pri rednem pouku. (Lipovec in Bezgovšek, 2006a.)

Osnovo dela v Didaktičnem petkotniku predstavljajo tehtno izbrane

aktivnosti za matematično sposobnejše otroke na razredni stopnji. Te

aktivnosti so izbrane s strani mentorja-didaktika, lahko pa tudi s strani

izvajalcev-študentov. »Aktivnosti zajemajo širok spekter problemskih

situacij, ki so teţavnostno prilagojene sposobnejšim otrokom in ki

predstavljajo podlago za opazovanje in beleţenje morebitnih znakov

matematične nadarjenosti.« (Drnovšek, 2006, str. 45.) Izvirajo iz

vsakdanjih ţivljenjskih problemov, različnih z logiko rešljivih nalog ter

splošnih ugank in zank, ki so včasih le posredno povezane z matematiko.

Aktivnosti bi naj učence uvajale in navajale ter jim pribliţale miselne

procese, povezane s fleksibilnostjo, fluentnostjo in originalnostjo, kot

najpomembnejšimi komponentami ustvarjalnega mišljenja (prav tam).

Tako bi jih naj, učence namreč, privajale na način razmišljanja, ki bo zanje

uporaben skozi vse šolanje in pri različnih predmetih.

Aktivnosti se iz leta v leto spreminjajo v smislu, da dodajamo nove.

Ugotovili pa smo tudi, da so potrebna natančnejša navodila za izvajanje

aktivnosti, ki na ta način študentom-izvajalcem prikaţejo nekaj moţnosti

17

za njihovo izvajanje in jim aktivnost kot tako, podrobneje predstavijo. Sami

pa jih nato lahko prilagajajo učencem in njihovim sposobnostim.

Za študente so tekom leta bili organizirani tudi timski sestanki, ki so sluţili

izmenjavi izkušenj in opaţanj, obravnavi aktivnosti – priprava in

razreševanje morebitnih nejasnosti – in drugim organizacijskim

formalnostim. V prvem letu izvajanja (2005/2006) so ti sestanki potekali

uspešno, dvakrat mesečno. V naslednjem študijskem letu (2006/2007) je

sestankov bilo manj in so študentje bili bolj prepuščeni samostojnemu

delu. V letu 2007/2008 pa je izvajanje potekalo veliko bolj vodeno.

Študenti so se na izvajanje pripravili in vse aktivnosti izvedli na

seminarskih vajah. Tudi izvedba aktivnosti v razredu je bila veliko

počasnejša in sistematična.

Ena od nalog študentov-izvajalcev je bila organizacija in izpeljava

roditeljskega sestanka za starše. Na tem informirajo starše (tudi razredne

učitelje) o principu dela v Didaktičnem petkotniku, predstavijo pa jim tudi

sodobne smernice poučevanja matematike in moţnosti ter načine

obravnave matematično sposobnejših otrok v razredu in doma. Predstavi

se tudi neprimernost transmisijskih metod oz. proceduralnega poučevanja,

ki bi lahko nastopilo pri relaciji B. S tem ţelimo doseči pretok informacij

med vsemi udeleţenci in spodbuditi opazovanje in poročanje o razvoju

sposobnosti in spretnosti vključenih učencev.

2.3.1 Kronologija izvajanja Didaktičnega petkotnika

Študijsko leto 2004/2005

Delo je potekalo od marca do junija na treh mariborskih osnovnih šolah.

Vključenih je bilo 6 študentov in 82 učencev. Aktivnosti so bile samostojno

izbrane s strani izvajalca.

18


Delo je potekalo celo študijsko leto. Sodelovalo je 33 študentov

razrednega pouka in 140 učencev iz petih mariborskih osnovnih šol.

Posebnosti: skozi leto smo vodili timske sestanke, kjer smo podrobneje

predelali izvajane aktivnosti (aktivnosti so bile vnaprej izbrane) in

komentirali izvedbo preteklih aktivnosti. Študenti so pisali poročila. V večini

razredov sta bila po dva izvajalca. Organizirali smo roditeljski sestanek in

ekskurzijo v Hišo eksperimentov v Ljubljani.


Delo je potekalo od novembra do maja. Sodelovalo je 11 študentov

razrednega pouka in 122 učencev iz petih mariborskih osnovnih šol.

Posebnosti: skozi leto smo vodili občasne timske sestanke. Aktivnosti so

študenti izbirali po lastni presoji. Večina priprav in posledično izvedbe je

bila odvisna od študentov samih. Organizirali smo roditeljski sestanek.


Delo je potekalo v letnem semestru v sklopu laboratorijskih vaj pri

predmetu Didaktika matematike. Vključen je bil ves četrti letnik.

Posebnosti: študenti so sami organizirali kroţek (vključno z roditeljskim

sestankom). Izvedli so 4 aktivnosti na 12 srečanjih. Nanje so se pripravljali

na vajah. Svoje izvajanje so posneli (avdio in video) in napisali poročila.


Izvajanje Didaktičnega petkotnika poteka v okviru izbirnega predmeta.

Sodeluje 12 študentov 3. letnika.

Posebnosti: študenti organizirajo roditeljski sestanek na matičnih osnovnih

šolah. Aktivnosti se izvajajo trodelno: igra vlog, delo z manipulatorji,

komunikacijski del. Dodane so nove aktivnosti (Teselacija, Hanojski stolpi,

Tangrami…). Longitudinalno se testira matematično znanje in kreativne

sposobnosti, učenci pa ob izbranih aktivnostih pišejo tudi matematične

eseje.

19

2.3.2 Komunikacija pri didaktičnem petkotniku

Komunikacija pri Didaktičnem petkotniku se le malo razlikuje od

komunikacije pri matematiki. Vsa dognanja in poudarki komunikacije so

uporabni pri izvajanju programa, lahko bi rekli tudi, da je okolje, v katerem

se izvaja Didaktični petkotnik, idealno za učenje in spoznavanje uspešnih

modelov komunikacije s strani študentov, nekoliko manj pa s strani

učencev. Namreč v skupini je le majhen del celotne populacije otrok.

Študenti se torej spoznavajo z uspešnimi modeli komunikacije preko

interakcije z omejenim številom učencev. Vadijo lahko postavljanje

vprašanj, dajanje navodil, diskusijo, se spoznavajo z različnimi načini

razmišljanja učencev in spoznavajo različne načine reševanja

problemov… Kar je najpomembnejše, pa je sprememba študenta –

bodočega učitelja, v smislu tega, da se učijo od učencev, oz. da

prevzemajo odnos do matematike od učencev. Spoznanja in izkušnje,

pridobljene ob izvajanju Didaktičnega petkotnika, bi jim kasneje naj

pomagale pri njihovem delu izven študijskega okolja.

2.3.3 Težave, s katerimi se sooča Didaktični petkotnik

Glavna teţava programa je nihajoč interes študentov za izvajanje

programa. Če primerjamo število sodelujočih v preteklih letih, opazimo, da

je v drugem letu izvajanja bil interes izjemen in da je takoj naslednje leto

drastično upadel. Za kakršno koli posploševanje bi potrebovali veliko

daljšo študijo. Glavni razlog za nihajoč interes, ki smo ga pridobili na

podlagi razgovorov s študenti, je organizacija izobraţevalnega procesa

(urniki), ki študentom puščajo le malo »prostega časa«. Navsezadnje je

Didaktični petkotnik v prvih letih izvajanja bil prostovoljna, neobvezna in

neplačana dejavnost, ki ni bila vključena v ure rednega izobraţevalnega

procesa na študijskem programu Razredni pouk.

20

Ena od teţav pri izvajanju Didaktičnega petkotnika v prvih letih je bilo tudi

prehitro reševanje aktivnosti. Premalo časa je bilo namenjenega verifikaciji

rezultatov, pogovoru o drugih rešitvah in postopkih reševanja, kar je vodilo

v slabo razumevanje aktivnosti. Manjkalo je tudi prilagajanje

individualnemu tempu dela otrok, ki je izjemno pomembno. Glavni cilj

izvajanja je bil, da je večina učencev uspešno (je pravilno) rešila aktivnost,

ne glede na to, da je velikokrat reševanje bilo vodeno s strani izvajalca.

Izvajalci so aktivnosti v prvem in tretjem letu izvajanja izbirali sami, čemur

je sledilo, da nekatere niso bile v skladu z razvojno stopnjo otrok in

njihovimi sposobnostmi. Večino aktivnosti se lahko izvaja v vseh razredih

(glej Preglednico 9, str. 61), potrebne je le nekaj več pozornosti pri

izvajanju. Da se ta teţava ne bi več pojavila, se nova navodila in

predvsem nov način organizacije učne ure veliko bolj prilagajajo in dajejo

več napotkov pri usmerjanju študentov za optimalnejše delo z učenci

različnih starosti in za dohajanje individualnega tempa dela učencev.

V prvih letih izvajanja se je pojavila tudi teţava slovnično in vsebinsko

neustreznih delovnih listov, ki so jih pripravljali izvajalci. To smo hitro

popravili tako, da smo delovne liste pripravili skupaj z izvajalci na timskih

sestankih. V četrtem in petem letu izvajanja so vse aktivnosti predelane s

strani študentov, opravljeni so mininastopi in temeljita analiza poteka

reševanja, rešitev in strategij reševanja.

Prav tako je ena od teţav enoličnost aktivnosti oz. dejstvo, da se le-te iz

leta v leto ponavljajo. Ta teţava je posebej izstopila v tretjem letu izvajanja

Didaktičnega petkotnika, kajti nekateri učenci so kroţek obiskovali ţe tretje

leto, študentom pa je zaradi prehitrega izvajanja ostalo le malo nerešenih

aktivnosti. Problem je bil rešen s prestrukturiranjem učnih ur. Tako v letih

2007/2008 in 2008/2009 ena aktivnost traja minimalno dva do tri srečanja.

21

Teţave, s katerimi se sooča koncept niso neobvladljive. Medtem ko smo

nekatere ţe uspešno odpravili, pa vendarle pričakujemo, da se bodo s

časom pojavile nove. Vendar je ravno zato koncept ţe v osnovi naravnan

in pripravljen tako, da so spremembe nekaj nujno potrebnega za

doseganje večje kakovosti.

2.3.4 Viri in dodatna literatura na temo Didaktičnega petkotnika

Pri oblikovanju zadnjega poglavja so nam bili v pomoč naslednji prispevki:

Drnovšek in Lipovec (2005); Drnovšek in Lipovec (2006); Lipovec in

Bezgovšek (2005a); Lipovec in Bezgovšek (2005b); Lipovec in Bezgovšek

(2006a); Lipovec in Bezgovšek (2006b); Lipovec in Bezgovšek (2008);

Lipovec in Kosi-Ulbl (2008); Lipovec in Pangrčič (2008).

Priporočamo jih tudi kot dodatno literaturo na temo Didaktičnega

petkotnika.

22

2.4 USPEŠNI MODELI IZBOLJŠEVANJA KOMUNIKACIJE

PRI MATEMATIKI

V zadnjih letih se torej povečuje pomen komunikacije pri matematiki.

Opravljene so bile številne raziskave, ki predstavljajo različne modele, ki

so se izkazali za uspešne pri uvajanju, obnavljanju, razvijanju, izboljšanju,

utemeljevanju pozitivnih učinkov različnih modelov komunikacije, pri

različnih komunikacijskih dejavnostih. V naslednjem poglavju so na kratko

predstavljene te uspešne prakse z namenom, da bi dale nove ideje

bodočim študentom-izvajalcem.

Pisanje matematičnega dnevnika (Waywood, 1992)

Obstaja razlika med zapisovanjem v delovni zvezek in pisanjem

matematičnega dnevnika. Ta razlika temelji na stopnji vpletenosti, ki jo

pisanje zahteva od učenca. Vendar pa obstaja tudi klasifikacija pri samem

matematičnem dnevniku. Avtorica utemeljuje »(obširno) poročilo«,

»povzetek« in »dialog«, ki pa ne temeljijo na analizi besedila iz

slovničnega zornega kota, pač pa je njihovo bistvo to, v kakšni zvezi so z

učenjem matematike. Bistvo te aktivnosti je, da se učenci premaknejo od

»komunikacije o matematiki« skozi »komunikacijo matematike« v

»uporabo matematike za komuniciranje« (Clarke, Stephens in Waywood,

1990; cit. po Waywood, 1992, str. 71).

Matematična komunikacija v učenčevih odgovorih (Peressini in

Bassett, 1996)

Učenca seznanimo z aktivnostjo. Predstavimo mu en ali dva načina

rešitve problema. Učenec skozi opazovanje, povpraševanje, raziskavo

aktivnosti oceni njeno pravilnost, popravi napačnost. Temu pa sledi

učenčeva utemeljitev svojih dognanj in rešitev aktivnosti.

23

Misli – govori – napiši (Huinker in Laughlin, 1996)

Ker je za večino otrok govorjenje naravno in pisanje ni, ta strategija gradi

na času za oblikovanje misli in času za premislek in organizacijo idej in

njihovo testiranje (v smislu diskusije), preden je od učencev pričakovano,

da nekaj zapišejo. Tako naj bi komunikacija potekala od zaposlitve

učencev z razmišljujočim monologom o neki matematični temi, preko

diskusije in izmenjave mnenj z ostalimi učenci in tudi učiteljem, do pisanja.

Metoda se izkaţe za posebej učinkovito, ko je od učencev zahtevano, da

razloţijo, povzamejo ali razmišljajo o neki temi oz. problemu.

Delovni list povezav (Shield in Swinson, 1996; McCoy, Baker in Little,

1996)

List papirja, razdeljen na štiri dele, ki so naslovljeni: »Matematični primer«,

»Primer iz vsakdanjega ţivljenja«, »Diagram, slika, graf ali preglednica«,

»Moja (učenčeva) razlaga«. V zgornjem delu lista tudi osebni podatki

učenca in beseda, simbol ali postopek, katerega delovni list razlaga.

Gre za komunikacijski pripomoček za razjasnjevanje in razvijanje

matematičnih idej in procesov. Uporaben predvsem v višjih razredih.

Ustvarjen je bil z namenom, da bi pomagali učencem izboljšati

razumevanje ter komuniciranje o matematičnih idejah in postopkih, ki se

jih učijo. Ta aktivnost spodbuja učence k povezovanju različnih

reprezentacij matematičnih idej in h komuniciranju pomena le-teh z

drugimi učenci in učiteljem – kot diagnostični pripomoček.

Nalogo lahko učencem predstavimo iz različnih izhodišč – lahko je

izhodišče matematični primer, primerjava iz vsakdanjega ţivljenja ali pa je

izhodišče diagram, slika, graf ali preglednica. Teţje bi bilo, če kot

izhodišče damo učenčevo razlago. Še posebej ta strategija pride v poštev,

ko je več moţnih rešitev problema.

24

Dopisovanje med učenci in bodočimi učitelji (bodoči učitelji: Crespo,

2002; učenci: Phillips, 1996)

Učenci napišejo prvo pismo, v katerem se predstavijo, opišejo njihov

matematični razred, samooceno tega, kako dobri so pri matematiki ter

katera matematična tema jim je najbolj všeč in katera jim ni. Bodoči učitelji

so nato učencem odgovarjali s postavljanjem matematičnih nalog in

problemov ter z analizo le-teh, ki jim je sledilo učenčevo reševanje in

samoanaliza ali pa zastavljanje drugih nalog s strani učencev. Učenci so

se spoznavali z reflektivnim pisanjem, vendar le, če so jim dopisovalci

priskrbeli reflektivni model. Za učence je bilo dopisovanje priloţnost, da so

pisali o matematiki ter priloţnost za branje o matematiki. Za bodoče

učitelje pa je bila priloţnost za samoanalizo svojega »učiteljevskega

govora« in za analizo načina dajanja odgovorov – pohval in popravljanja

napak.

To dopisovanje je s strani učencev zaţeleno, ker: 1. Bodo učenci pisali o

svojih matematičnih izkušnjah. 2. Brali bodo odgovore o matematiki. 3.

Ustvarjali bodo matematiko. Zanima jih, ali bo takšno pisanje učencem

pomagalo preiti od opisovalnega pisanja do pisanja z osebnim interesom,

tj. reflektivnega pisanja. Vendar pa Phillipsova (1996) ugotavlja, da je pot

do dobrih, uporabnih in ocenljivih vnosov/zapisov v dnevnike dolga in

zahteva veliko prakse in izkušenj, preden so učenci sposobni zastavljati

vprašanja, pisati o svojem razmišljanju in razširjati ideje, ki so jih predelali

v razredu.

Naloge za naše čute (Pimm, 1996)

Naloge zahtevajo dobro besedišče. Po izvedbi je potrebna diskusija in

učenci morajo dobiti povratno informacijo o svojem delu. Omejitve pri takih

aktivnostih naj učenci vidijo kot pravila igre.

25

Dva učenca sedita s hrbti skupaj – en opisuje predmete (na sliki, v roki, iz

mnoţice predmetov), drugi ugotavlja, za kateri predmet gre, ga mora

narisati ali izbrati iz mnoţice. »Feely box« – škatla s skritimi predmeti in

odprtino na eni strani. Učenec z rokami seţe v škatlo, tako da predmetov v

njej ne vidi. Nato opisuje predmet, ki si ga je izbral sošolcem, ki ta predmet

skušajo poimenovati. Naloga se lahko izvede tudi tako, da učenec, ki

opisuje, predmet pred tem vidi. Ko učenec opisuje, naj sedi na svojih

rokah, da jih ne bo uporabljal. Različne verzije teh aktivnosti. En učenec je

glava in drugi roke. Učenec/glava lahko le govori in daje navodila, medtem

ko učenec/roke delajo – reţejo, rišejo, lepijo; glede na to, kar je

učenec/roke razumel. Branje navodil (učenec/glava), izdelava

(učenec/roke).

Učenci, dobro naučite svoje starše! (Hart, Smyth, Vetter in Hart, 1996;

Freiberg, 2004)

Prikazan je uspešen model komunikacije med šolo in domom – učenci

učijo svoje starše, skrbnike in posledično poglabljajo svoje znanje

določenega področja na eni strani, na drugi pa dajejo staršem vpogled v

način dela v matematičnem razredu. Razmišljanje o tem, kako nekoga

nekaj naučiti, daje učencem moţnost za razvoj tako metakognitivnih

sposobnosti, kot tudi organizacijskih in komunikacijskih.

Na primer, s postavljanjem kratkih vprašanj, kratkih razlag, do celih lekcij.

Aktivnosti pa naj bodo zanimive, vsebujejo naj konkretno delo, ne le

razlaganje in zajemajo naj področja matematike, ki jih starši ne poznajo

dovolj dobro. Učenci raziskujejo neko temo, nalogo; jo rešijo in se jo

naučijo. V razredu se skupaj pripravijo na poučevanje naloge. Pripravijo si

načrt, kako poučiti starše. Doma vse poteka po planu, starši so v vlogi

učencev. Sledi razredna diskusija o poteku dela doma in kratka pisna

analiza tega.

26

Slike ↔ besede (Pimm, 1996)

Spreminjanje besed v slike in nazaj v besede ali spreminjanje slik v

besede in nazaj v slike. Slika je v tem primeru, ne glede na to, kako smo jo

opisali, z enakimi besedami, v mislih vsakega učenca popolnoma različna.

Zato je pomembno, da jo otrok nato nariše ali pa opiše vrstniku.

Naučiti se govoriti kot matematik, obsega, da znaš uporabiti jezik za to, da

lahko prikličeš in obvladuješ (oblikuješ, udejaniš) matematične slike, kot

tudi to, da jih znaš predstaviti drugim. Dve moţnosti izvedbe: 1. Učencem

opišemo predmet. Ti ga narišejo in potem svojo risbo opišejo sošolcu. Ta

mora po opisu narisati še svojo predstavo opisanega predmeta. 2.

Učencem pokaţemo sliko, ki jo opišejo sošolcu, ta jo nariše…

Zbiranje podatkov (Folkson, 1996)

Problem grafov je v tem, da so narejeni s strani odraslih in da kot taki ne

prikazujejo predstav in mišljenja otrok. Njihovo nastajanje poteka po

principu: 1. Pridobivanje podatkov. 2. Organiziranje podatkov (pomembno

je, da otroci sami najdejo, predlagajo in uporabijo način predstavitve). 3.

Zaključek (pomembno je, da učenci pri zbiranju in obdelavi podatkov

poslušajo, upoštevajo ideje drugih, jih kritično ocenijo in jih zavrnejo ali

vzamejo za svoje).

Matematika v literaturi (Halpern, 1996; Whitin in Whitin, 1996; Narode,

1996)

Knjige, ki vsebujejo elemente matematike, ne v smislu učenja branja ali

učenja matematike, pač pa v zabavne namene in ne vsebujejo nekih

posebnih matematičnih predstav.

27

Na eni strani so knjige, ki ţe vsebujejo matematiko (na primer knjiga

Anastazija Krupnik (Lowry, 2002) – deli kjer so preglednice z lastnostjo in

njeno negacijo), učenci pa dejansko s tem delo razumejo bolje. Lahko tudi

učitelj napiše dodatke, seveda matematične, ki učencem pojasnjujejo

določene dele knjige ali pa so ti deli nato uporabljeni za obdelavo katere

matematične teme. Tretji način je, da učenci pišejo matematične dodatke.

Seveda obstajajo tudi knjige, ki so pri matematiki lahko uporabljene na več

tematskih področij, ampak pridejo v poštev šele v višjih razredih osnovne,

tudi srednje šole (Tolstoj, L. N. (1950). Polikuška in druge povesti – Koliko

zemlje človek potrebuje. Ljubljana: Slovenski knjiţevni zavod.) (gl. Narode,

1996).

* * *

Vsi našteti modeli so se izkazali kot uspešni predvsem zato, ker na

določeni točki izvajanja poudarjajo pomen diskusije oz. učenčevega

komuniciranja svojih misli. Vsaki nalogi, aktivnosti, vsakemu reševanju

problema, mora slediti diskusija. Bodisi, da gre za ubeseditev

razumevanja naloge, utemeljevanje in dokazovanje rešitve, ali pa za

koncentracijo misli, ki so se učencu porodile ob reševanju. Na drugi strani

je lahko diskusija tudi bistven element celotnega reševanja problema.

Sprva naj bi bila vodena s strani učitelja, kasneje vedno bolj

samoiniciativno prevzeta s strani učencev. Učenci bi torej naj čutili

potrebo, da svojo rešitev, svoje ideje komunicirajo z ostalimi v razredu, da

jih utemeljijo, dokaţejo in zagovarjajo, tako pred sošolci, kot tudi pred

učiteljem.

2.4.1 Diskurz pri matematiki

Podrobneje opredelimo diskurz, kot enoto pogovora o določeni temi. Ker

ima pojem »razrednega diskurza« lahko hkrati več pomenov, pa v tem

primeru označuje govor in izraţanje o matematiki tako s strani učitelja in

študentov, kot s strani učencev (Blanton, Berenson in Norwood, 2001).

http://cobiss2.izum.si/scripts/cobiss?ukaz=FFRM&mode=5&id=2312366153471335&PF1=AU&PF2=TI&PF3=PY&PF4=KW&CS=a&PF5=CB&run=yes&SS1=%22Lowry,%20Lois%22

28

Poudarjanje razrednega diskurza je ključnega pomena za reformiranje

poučevanja matematike. Zakaj je temu tako? Ker diskurz ne informira le o

našem razumevanju učenčevega matematičnega mišljenja, ampak tudi o

učiteljevem razmišljanju o poučevanju matematike (prav tam).

McNair (2000) pravi in s primerov dokazuje, da starost in matematična

zrelost nista predpogoj za to, da vodimo diskurz, ki izrecno temelji na

učenju matematike. Utemeljuje tudi, da poznamo dve plati matematičnega

diskurza, ki ju lahko izboljšujemo:

1. Besedilo diskurza in dejanski izrazi, mnenja sodelujočih. Besedilo se

izboljšuje skozi povečano sodelovanje pri matematičnih aktivnostih v

matematični učilnici. Ko so učenci izpostavljeni in ko razvijajo

matematične koncepte, so lahko le-ti integrirani v njihov diskurz in s tem

priskrbijo stopnjo matematične izboljšave.

2. Drug del, ki ga lahko izboljšamo je ta, ki diskurzu daje namen, strukturo

in koherenco. En takšen primer za to so učiteljeva navodila. Tudi učenci

lahko pripomorejo k dajanju namena tako, da komentirajo in postavljajo

vprašanja v povezavi z zadolţitvijo ali problemom, s katerim se

ukvarjajo.

Zelo pomembno pa je, da razredni diskurz ne postane zaporedje rutinskih

vprašanj in odgovorov. Na primer: Učiteljeva / študentova občutena

dolţnost, da razjasni učenčevo razmišljanje, se lahko spremeni v serijo

rutinsko zastavljenih vprašanj (takih, katerih odgovor ţe pozna), ki so

namenjena temu, da učenca korak za korakom vodijo do pravilne rešitve.

Sočasno lahko učenec čuti potrebo po tem, da da učitelju ţelen odgovor,

kar lahko privede do rutinskega ugibanja pri učencih. Skupaj ti dve rutini

predstavljata vzorec razredne interakcije in sta nezaţelen cilj in primer

razrednega diskurza.

Crespo (2002) ugotavlja, da imajo bodoči učitelji v času študija omejene

moţnosti raziskovanja koristi in uspeha, ki ga prinaša diskurz v razredu.

29

Na eni strani so omejeni s premalo izkušnjami na tem področju – torej z

aktivnim praktičnim delom v razredu v času študija. Na drugi strani pa so

omejeni zaradi t.i. učiteljskega (»poučevanjskega«) paradoksa, s katerim

se soočajo vsi učitelji, ki ţelijo pomagati učencem pri učenju z

razumevanjem. Učiteljski paradoks je »medsebojno delovanje med učenci,

ki dajejo nečemu smisel ali gradijo nek pomen in med zagotavljanjem, da

se učenci naučijo matematike kot take« (Putnam, Heaton, Prawat in

Remillard, 1992; povz. po Crespo, 2002, str. 747). Za laţje razumevanje

predstavimo primer iz študije, predstavljene v članku iste avtorice,

povezane s krajšim opisom v začetku poglavja (str. 24) – Dopisovanje

med učenci in bodočimi učitelji. Paradoks se je v pričujoči študiji pokazal,

ko so se morali bodoči učitelji soočiti z odgovarjanjem na učenčeve

napačne odgovore oz. rešitve v pismih. Iz dnevnikov, ki so jih pisali bodoči

učitelji, je razvidno, da so bili v dilemi, ali naj pohvalijo delo, ki ga je

učenec vloţil v reševanje in ne komentirajo rezultata, ali pa naj učencem

povedo, da je rezultat napačen. Zbali so se, da bi tak komentar negativno

vplival na odnos učencev do nadaljnjega pisanja pisem oz. reševanja

nalog in posledično do negativnega odnosa do matematike.

2.4.2 Doseganje uspešne komunikacije

Za uspešno reševanje problemov in maksimalno komunikacijo med

udeleţenci v skupini je potrebno nenehno sočasno potekanje kognitivnega

in metakognitivnega obnašanja, delovanja. Pri tem kognicija povezuje

izvajanje in delo, metakognicija pa izbiranje, načrtovanje, nadziranje in

uravnavanje tega, kar je bilo narejeno. Te dejavnosti so: branje,

razumevanje, raziskovanje, analiziranje, načrtovanje, izvajanje,

preverjanje, opazovanje, poslušanje (Artzt, 1996).

Zelo pomembna komponenta učinkovite komunikacije je tudi socialno in

sodelovalno obnašanje učencev. Pomembno je, da učenec pride do

spoznanja, kako pomembno in cenjeno je nadziranje in reguliranje dela

30

med postopkom reševanja problema. To je, da sebe in druge vprašajo:

»Kaj delaš? Zakaj delaš to? Kako ti bo to pomagalo pri rešitvi problema?«

(Prav tam.)

Komunikacijo izboljšujejo tudi postopne, dobro premišljene in osmišljene

aktivnosti, ki postopoma od učencev zahtevajo uporabo različnih strategij

reševanja problemov in različne komunikacijske spretnosti. Vse to pa se

dogaja v okolju, kjer je takšna komunikacija vsakdanja, naravna in

cenjena. To dosegamo tako, da učencem sprva večkrat natančno

razloţimo in na primeru pokaţemo, kaj od njih pričakujemo, pri izvajanju

aktivnosti. Učenci bodo to ponotranjili in te strategije uporabili, ko bodo

delali samostojno – ne le pri matematiki, ampak tudi pri drugih predmetih

(Schoen, Bean in Ziebarth, 1996). Od učencev je torej pričakovano, da ne

samo rešijo aktivnost, problem, ampak tudi, da pokaţejo postopek

reševanja in da dokaţejo, zagovarjajo in/ali prilagodijo svoje odgovore.

Aktivnosti, problemi so zastavljeni tako, da nam dovoljujejo in prinašajo

vpogled v učenčevo matematično razmišljanje in sklepanje (Cai, Lane in

Jakabscin, 1996).

Uspešna komunikacija ne obogati le učenčevega učenja, ampak pomaga

tudi učitelju, da naredi natančno oceno učenčevega razmišljanja in

razumevanja matematike (Peressini in Bassett, 1996).

Ker se v programu Didaktičnega petkotnika srečujemo z učenci v najniţjih

razredih osnovne šole, od njih ne moremo pričakovati širokega

matematičnega besedišča in povsem natančne in ustrezne uporabe

matematičnih terminov. Zato je zelo pomembno, da jih postopoma

navajamo na ţeleno besedišče. Pri zapisih rešitev pa se sprva ne

osredotočamo pretirano na estetski izgled zapisa in pravopis, ampak se

temu posvečamo postopoma.

31

2.4.3 Primeri situacij, ki zavirajo uspešno komunikacijo

Poglejmo, kako so pravilni odgovori sprejeti pri matematiki. Učenci

rešujejo primer: »Koliko sta dve tretjini od devet?« in učenec odgovori:

»Šest.« Normalen učiteljev refleks je, da ta odgovor sliši kot pravilen in da

1. Nadaljuje uro. 2. Pohvali učenca. 3. Se strinja in odgovor ponovi (ali ga

mora ponoviti učenec), da ga slišijo vsi. Raziskovalci so izpostavili takšna

dejanja učiteljev, kot da promovirajo oslabljene mite o poznavanju in

uporabi matematike. Raziskovalci poudarjajo tudi, da učenci, ki dlje časa

sodelujejo v takšnem razrednem diskurzu, začno verjeti, da je »učenje

matematike enostavno«, da je »predolgo ukvarjanje z nekim problemom

zapravljanje časa« in da je »delanje napak zadrega in ne priloţnost za

učenje« (Borasi, 1990; cit. po Crespo, 2002, str. 740). Bolje bi bilo, da bi

od učencev zahtevali, da razloţijo in utemeljijo svoj odgovor, ne glede na

to, ali je pravilen ali ne. S tem smisel in cilj razrednega diskurza ni le

poročanje pravilnih odgovorov, ampak raziskovanje matematičnih idej ter

vrednotenje njihove pravilnosti glede na dokaze in ne glede na avtoriteto

učitelja ali učbenika. Vpeljevanje uspešnih in sodobnih modelov diskurza v

učilnico pa le ni tako preprosto, kot zgleda, vendar več o tem v

nadaljevanju.

Ena od problematičnih situacij je tudi naslednja. Učitelj namreč ves čas

dela sklepe o tem, kar sliši, in nemalokrat ugiba, kaj dejansko ţeli učenec

s tem povedati. Frazi »Mislim, da vem, kaj misliš, …« sledi povzetek ali z

drugimi besedami povedan učenčev odgovor. In ta fraza je pomembna ne

le zato, ker pove, da učitelj posluša in skuša v tem, kar je povedal učenec,

najti smisel in ne le preveriti učenčeve ugotovitve v primerjavi s svojo oz.

svojim razumevanjem. Vendar pa tukaj obstaja tudi problem

nerazumevanja učenčevih misli in besed. Tako s frazo »Nisem siguren/na,

da sem razumela, kaj ţeliš povedati…« doseţemo, da učenec v primerih,

ko nismo sigurni, ali je razumel nalogo in pravilno odgovoril na vprašanje

ali pa o pravilnosti le ugiba, učenec svojo izjavo ponovi in podrobneje

razloţi. (Pirie, 1996.)

32

2.5 DODATNA LITERATURA IN NADALJNJE RAZISKOVANJE

Pri oblikovanju diplomskega dela smo črpali iz mnoţice virov. Nekaterih ne

navajamo in citiramo med besedilom, vseeno pa se nam zdi pomembno,

da bralca napotimo nanje: Furlan, 1972; Kovač, 2001; McClain, 2002;

Paterson, 2000a; Paterson, 2000b; Paterson, 2004; Polonijo, 1990;

Shayer, 2003; Ţakelj, 2003.

33

3 EMPIRIČNI DEL

3.1 OPREDELITEV PROBLEMA

3.1.1 Namen

Namen empiričnega dela diplomske naloge je podrobna analiza poročil

izvajalcev programa Didaktični petkotnik v študijskem letu 2006/2007, na

podlagi ključnih besed. Na podlagi teh analiz, lastnih izkušenj in

pogovorov na timskih sestankih z drugimi izvajalci v študijskih letih

2005/2006 in 2006/2007 smo izpostavili hipoteze v povezavi z učenci,

izvajalci in aktivnostmi. Tako v praktičnem delu diplomske naloge

predstavljamo nova, izboljšana navodila za reševanje aktivnosti, ki

upoštevajo tako dognanja iz teoretičnega dela diplomske naloge, kot tudi

dognanja empiričnega dela diplomske naloge.

3.1.2 Raziskovalna vprašanja

~ S pomočjo katerega modela reprezentacij bodo učenci reševali

aktivnosti in ali je uporabljen model odvisen od lastnega izbora ali je

predlagan (vsiljen) od izvajalca?

~ Ali se bodo izvajalci pripravili na izvajanje aktivnosti?

~ Ali bo večina aktivnosti izvedena uspešno, kar pomeni, da bodo učenci

problem razumeli in ga rešili?

~ Ali so aktivnosti dovolj zahtevne za učence?

~ Kdaj se reševanje aktivnosti zaključi?

3.1.3 Raziskovalne hipoteze

~ Predpostavljamo, da učenci aktivnosti rešujejo na enaktivnem nivoju.

~ Predpostavljamo, da se izvajalci pripravijo na izvajanje aktivnosti.

~ Predpostavljamo, da je večina aktivnosti izvedena uspešno.

~ Predpostavljamo, da so aktivnosti dovolj zahtevne za vse učence.

~ Predpostavljamo, da se reševanje aktivnosti zaključi, ko učenci

aktivnost pravilno rešijo.

34

3.2 METODOLOGIJA

3.2.1 Raziskovalna metoda

Raziskava temelji na deskriptivni in kavzalno-neeksperimentalni metodi

empiričnega pedagoškega raziskovanja ter kvalitativni vsebinski analizi.

Pri raziskavi smo uporabili tako kvantitativne kot tudi kvalitativne

raziskovalne postopke, torej kombinacijo tradicionalnega empirično-

analitičnega in interpretacijskega raziskovanja (Sagadin, 1993; Mesec,

1998; Ivanko, 2007; Javornik Krečič, 2008).

3.2.2 Raziskovalni vzorec

Vzorec predstavlja 137 zapisov oz. poročil o delu (preglednica 1). Zapise

je oblikovalo enajst izvajalcev, ki so delali z 122 učenci iz 2., 3., 4. in 5.

razredov, štirih mariborskih in ene murskosoboške osnovne šole (razvidno

iz preglednice 2).

Preglednica 1: Raziskovalni vzorec poročil glede na izvajalca in aktivnost

IZVAJALEC

AKTIVNOST 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Razvrščanje balonov

X

X

Čez reko

X X X X X X X X

Iskanje zaklada X X X

X

Mačka in miška

X X X X X

Ribnik

X X

X

Razdelitev kroga s črtami

X

Urina številčnica

X X

X X X X

Poveţi pike

X X

X

X

Rokovanja X X X X X

Razvrstitev stolov

X X

X

Krave in hlevi

X X X

35

* Skupini izvajalcev 3 in 6 sta pri obdelavi podatkov bili zaradi laţje

obdelave razdeljeni na 4. in 5. ter 3. in 4. razred – kar je v preglednici

razvidno kot podvojeni podatki.

V skupine so bili vključeni matematično sposobnejši učenci, kot so jih

izbrali učitelji razredniki posameznih razredov. Nekateri učenci so se

programa udeleţevali prvič, drugi so sodelovali ţe v preteklih letih.

Aktivnosti so bile izvajane ob različnih dnevih in urah, v obdobju

študijskega leta 2006/2007. Sodelujoče osnovne šole: OŠ Bojana Ilicha,

Sestavljanje testa

X X X X

X

X

Tehtanje

X X

X

X

Polţ in steber

X X

X

X

Najmanjši in največji X

X X

Magični kvadrati

X X

X X

Deset kovancev X X X X

Volk, koza in zelje

X

X X X

X

Matematični kviz

X

X

Enajst mostov

X

X X X X

Oblačenje X

X X X

X

Zaporedja

X

X

Zelene in rjave ţabe X X

Vsote zaporednih števil

X

X

Vlaki

X

Poţeruh

X

X X

Drţavne zastave X X X X X

X

Štirje iz enega

X

X

Tangram

X X

X

Aktivnosti z vţigalicami X

X X X

X

Štiri štirice

X X X X

Geoplošča X

SKUPAJ

9 10 26* 14 14 14* 17 6 7 14 6

137

36

OŠ Ludvika Pliberška, Osnovna šola borcev za severno mejo, OŠ Franca

Rozmana Staneta in OŠ Murska Sobota 1.

Preglednica 2: Podatki o številu učencev na posameznih šolah pri določenih izvajalcih

3.2.3 Postopki zbiranja podatkov

Študenti so preko strukturiranega opazovanja v študijskem letu 2006/2007

pisali poročila o izvajanju Didaktičnega petkotnika. Zapisi (protokol) so

temeljili na:

1. zapisovanju prisotnosti (Priloga A),

2. beleţenju prisotnosti pri posameznih aktivnostih (Priloga B),

3. komentarjih (ti podatki so bili uporabljeni pri obdelavi podatkov) o

poteku izvajanja (Priloga C):

~ osnovna šola,

~ razred,

~ izvajalec,

IZVAJALEC OSNOVNA ŠOLA RAZRED ŠTEVILO UČENCEV

1

A

2. a, 2. b 10

2 3. a, 3. b 9

3 4. b 4

5. a 3

4 B

4. a 9

5 4. b 8

6 C 3. a, 3. b, 3. c 15

4. a, 4. b, 4. c 19

7

D

3. c 14

8 5. a 8

9 5. b, 5. c 12

10 E

4. razred 4

11 3. b 7

122

37

~ datum,

~ aktivnost (opis podrobnosti o izvajani aktivnosti),

~ naštevanje in opis uporabljenih pripomočkov pri delu (H1, H2),

~ odziv učencev: komentarji glede na učence (H3, H4, H5),

~ opaţanja: komentarji glede na izvajalce (H2),

~ opombe: komentarji glede na aktivnosti (H2, H3, H4, H5).

3.2.4 Postopki obdelave podatkov

Podatki so bili obdelani kvalitativno, in sicer po naslednjem postopku:

1. Urejanje gradiva – zbiranje in razvrščanje poročil o določeni aktivnosti.

2. Določanje enot kodiranja – oblikovanje ključnih besed glede na

zastavljena raziskovalna vprašanja in ponavljajoče se sorodne pojme,

fraze.

3. Pripisovanje pojmov4 – glej preglednico 3.

4. Izbor in definiranje relevantnih pojmov in kategorij – grupiranje

pridobljenih podatkov.

5. Formuliranje teorij – opisi in razlaga dobljenih skupin iz točke 4., njihova

vzročno-posledična razlaga.

6. Vzpostavitev odnosov in vzročno-posledična razlaga rezultatov.

Preglednica 3: Klasifikacija pojmov

4 V poglavju »3.3 Rezultati in interpretacija rezultatov« jih najdemo poudarjene – zapisani

so poševno.

HIPOTEZA 1 Delo s konkretnimi materiali in igro vlog; reševanje z risanjem skic, grafik, ipd.; reševanje s simboli, ki so podrejeni matematičnim pravilom; neuvrščeni zapisi

HIPOTEZA 2 Izvajalec je pripravljen, izvajalec ni pripravljen, neuvrščeni zapisi

HIPOTEZA 3 Uspešno, neuspešno, delno uspešno izvedena aktivnost, neuvrščeni zapisi

HIPOTEZA 4 Ustrezna, nezahtevna/lahka, zahtevna/teţka aktivnost, aktivnosti, rešene s pomočjo, neuvrščeni zapisi

HIPOTEZA 5 Nadgradnja aktivnosti, z rešitvijo se aktivnost zaključi

38

Podatke sem statistično obdelala ročno. Rezultati so bili obdelani

kvantitativno, in sicer so prikazani v preglednicah in grafično. V

preglednicah so prikazani rezultati glede na klasifikacijo moţnih zapisov in

glede na starost – razred. Grafično – tortni modeli, so procentualno

prikazani rezultati za posamezne skupine, ne glede na starost (razrede) in

pomagajo rezultate razumeti splošno, neodvisno od starosti učencev.

39

3.3 REZULTATI IN INTERPRETACIJA REZULTATOV

3.3.1 Hipoteza 1 – Aktivnosti se rešujejo na enaktivnem nivoju

Primeri iz zapisov:

~ reševanje na enaktivnem nivoju, z enaktivnimi reprezentacijami

»Vsakemu učencu sem razdelila in barvnega kartona izrezane balone, ki so

jih razvrstili v pravilen vrstni red.« (Izvajalec 10, aktivnost Razvrščanje

balonov)

»Najprej smo se postavili v krog in sem jih razloţila nalogo. nato smo se

rokovali, tako kot je zapisano v nalogi.« (Izvajalec 4, aktivnost Rokovanja)

»Nalogo smo reševali na konkreten način; vsak učenec je predstavljal svoje

bitje, katera so nastopala. Levi del razreda je bil levi breg, desni del pa desni

breg. Učenci so hodili sem in tja ter iskali rešitve.« (Izvajalec 2, aktivnost

Volk, koza in zelje)

~ reševanje na ikoničnem nivoju, z ikoničnimi reprezentacijami

»Na učne liste so si narisali pot od mačke do miši in šteli.« (Izvajalec 11,

aktivnost Mačka in miška)

»Vsi so se lotili reševanja tako, da so si plezanje in spuščanje polţa prikazali

s pomočjo grafa.« (Izvajalec 4, aktivnost Polţ in steber)

»Vsak si je narisal na list svojo »sanjsko« uro in jo poskušal razdeliti.«

(Izvajalec 10, aktivnost Urina številčnica)

~ reševanje na simboličnem nivoju, s simboličnimi reprezentacijami

»Naloge so se najprej lotili s poskušanjem, nekateri pa so sešteli števila od 1

do 9 med seboj in jih delili s 3, ter so tako dobili vsoto v eni vrstici.«

(Izvajalec 4, aktivnost Magični kvadrati)

»Tudi pri tej so si eni račune in rešitve zapisovali.« (Izvajalec 5, aktivnost

Tehtanje)

»… naloga kjer so morali računati, …« (Izvajalec 7, aktivnost Zaporedja)

~ neuvrščeni zapisi

Sestavljanje testa – iz zapisov ni razvidno, kakšne naloge so sestavili.

Matematični kviz – iz zapisov ni razvidno, na katerem nivoju so učenci

naloge reševali.

40

Preglednica 4: Rezultati hipoteze 1 glede na posamezne razrede

Slika 3: Rezultati hipoteze 1 v odstotkih

Ugotavljamo, da večina učencev aktivnosti rešuje na ikoničnem nivoju, z

ikoničnimi reprezentacijami, kar pomeni, da uporabljajo ponazorila, skice,

grafe; kar zavrača hipotezo. Učenci se takšnega reševanja posluţujejo v

42,33 %. Vendar pa je reševanje na enaktivnem nivoju, torej s konkretnimi

materiali in igro vlog, prav tako pogosto, 36,50 %. V 17-ih primerih ali

12,41 % so učenci aktivnosti reševali na simbolnem nivoju. To pomeni, da

so uporabljene reprezentacije bile vzete iz simbolnega sistema, ki ga

upravljajo matematična pravila in zakoni. Nekaterih aktivnosti nismo mogli

razvrstiti v nobeno od kategorij. Največkrat zato, ker nismo mogli razbrati,

z uporabo katerih reprezentacij so aktivnosti bile rešene.

Predvidevamo, da je uporaba določenega modela reprezentacij odvisna

na prvem mestu od izvajalcev, kajti ti so tisti, ki načrtujejo potek reševanja

in predlagajo ali celo vsilijo uporabo določenih reprezentacij. Glede na

36,50 %

42,33 %

12,41 %

8,76 %

enaktivne reprezentacije

ikonične reprezentacije

simbolne reprezentacije

ne razberemo

2. RAZRED 3. RAZRED 4. RAZRED 5. RAZRED SKUPAJ

ENAKTIVNE REPREZENTACIJE

9 12 21 8 50

IKONIČNE REPREZENTACIJE

20 26 12 58

SIMBOLNE REPREZENTACIJE

4 9 4 17

NE RAZBEREMO

4 6 2 12

SKUPAJ 9 40 62 26 137

41

rezultat tretje hipoteze – uspešnost aktivnosti – lahko ugotovimo, da je

nivo reševanja, vsaj v večini primerov, ustrezen.

Pomembno pa je poudariti tudi, da se vseh aktivnosti ne da reševati z

uporabo vseh modelov reprezentacij. Na prvem mestu zato, ker še učenci

niso usvojili potrebnega znanja, predvsem pri uporabi simboličnih

reprezentacij. Ali pa ker samo navodilo aktivnosti zahteva reševanje na

določenem nivoju (Primer aktivnosti: Poveţi pike, Razdelitev kroga s

črtami, Razvrščanje balonov…).

Zanimivo je tudi dejstvo, da so v 8 primerih, kar je pribliţno ena tretjina

vseh aktivnosti, učenci v petih razredih reševali aktivnosti na enaktivnem

nivoju. Glede na njihovo starost in nivo znanja matematike, bi pričakovali,

da bodo aktivnosti reševali predvsem na simboličnem nivoju. Ta

ugotovitev potrjuje predvidevanje, da je nivo reševanja in uporaba modela

reprezentacij odvisna od izvajalcev, njihove priprave na izvajanje in izbiro

modela.

Resnično razumevanje aktivnosti in problema doseţemo (v povezavi z

modeli reprezentacij), ko učenec fluentno prehaja med vsemi modeli in

zna aktivnost rešiti ali pa njeno rešitev prikazati s pomočjo vseh treh

modelov. Ţal to spoznanje do sedaj ni bilo dovolj upoštevano pri pripravah

na izvajanje. To dokazuje hipoteza 5. Izvajalci so le v 7,3 % enega ali več

učencev (nikoli cele skupine) napeljali k iskanju ali zapisu rešitve še na

kak drug način od tega, katerega so uporabili pri reševanju aktivnosti.

42

3.3.2 Hipoteza 2 – Pripravljenost izvajalcev.

Ključne besede: biti pripravljen, pripraviti, reševati, rešiti, iskanje rešitev…

Kot priprave štejemo:

~ da so študenti sami poskušali rešiti aktivnosti in tako bili delno

seznanjeni z načinom reševanja

»Moram priznati, da sem tudi sama kar precej časa porabila, da sem rešila

nalogo.« (Izvajalec 3, aktivnost Čez reko)

»Predhodno sem si pripravila delovne liste in kartončke, da je aktivnost

potekala čim bolj na konkretni ravni. Nato sem poiskala vse moţne rešitve,

da sem za delo bila pripravljena.« (Izvajalec 2, aktivnost Razvrstitev stolov)

»Z nalogo sem se spopadla tako, da sem seštela števila med seboj in jih

delila, ter sem tako dobila vsoto posameznega dela in sem nato številčnico

samo razdelila.« (Izvajalec 4, aktivnost Urina številčnica)

~ rešitve so poiskali v literaturi

»Ker sem v rešitvah našla samo 12 razdelitev, sem ostali 2 morala najti

sama. Moram priznati, da ne tako zlahka, ampak ko mi je to le uspelo, sem

čutila še poseben ponos.« (Izvajalec 3, aktivnost Štirje iz enega)

~ pomoč so poiskali drugje

»Tudi sama sem imela teţave, tako da sem za pomoč pri drugem računu

prosila Ireno Kosi Ulbl, na vajah pri didaktiki matematike. In ko sva ugotovili

rešitev, sem se počutila prav smešno, malce osramočeno.« (Izvajalec 3,

aktivnost Aktivnosti z vţigalicami)

~ reševanje aktivnosti ob kakšni drugi priloţnosti

»Zastavice smo pobarvali ţe pri vajah na fakulteti, tako da mi ni delalo

posebnih teţav. Tudi sortirno mreţo smo naredili na vajah, tako da posebnih

priprav na to aktivnost nisem imela.« (Izvajalec 4, aktivnost Drţavne

zastave)

»Naloge z vţigalicami sem poznala ţe od prej, tako da posebnih priprav na

aktivnost nisem imela.« (Izvajalec 4, aktivnost Aktivnosti z vţigalicami)

»Naloga mi ni predstavljala teţav, saj sem jo izvajala ţe lansko leto v

drugem razredu.« (Izvajalec 9, aktivnost Poţeruh)

43

Študenti se na izvajanje niso pripravili:

~ ker tudi sami aktivnosti niso razumeli ali znali rešiti

»Pri nalogi sem naletela na teţave, ker učenci niso razumeli kako naj to

naredijo. Tudi sama sem imela teţave kako to naredit.« (Izvajalec 5,

aktivnost Poveţi pike)

»Naletela sem na teţavo, kako to nalogo razloţit, pred tem bi se morala

malo bolj pripravit, na različna vprašanja učencev.« (Izvajalec 5, aktivnost

Čez reko)

~ ker so ocenili, da priprave niso potrebne

»Pri tej aktivnosti nisem potrebovala posebnih priprav.« (Izvajalec 2,

aktivnost Sestavljanje testa)

»… ker sem 1. v razred vstopala brez kakšne priprave.« (Izvajalec 3,

aktivnost Rokovanja)

»Na nalogo se ni bilo treba posebej pripravljat…« (Izvajalec 3, aktivnost

Sestavljanje testa)



53,28 %

7,30 %

39,42 %izvajalec je pripravljen

izvajalec ni pripravljen

ne razberemo


IZVAJALEC JE

PRIPRAVLJEN 8 44 21 73

IZVAJALEC NI

PRIPRAVLJEN 1 6 3 10

NE RAZBEREMO 9 31 12 2 54

SKUPAJ 9 40 62 26 137

44

Ugotavljali smo, ali se izvajalci pripravljajo na izvajanje aktivnosti. V več

kot polovici primerov so študenti bili na izvajanje pripravljeni in le v 7,3 %

se na izvajanje niso pripravljali. Iz skoraj polovice zapisov pa nismo uspeli

razbrati, ali so se študenti na izvajanje pripravili.

Opaziti je tudi, da so svoje priprave opisovali le določeni izvajalci, medtem

ko drugi svojih priprav sploh niso komentirali. Ta ugotovitev še posebej

izstopa pri izvajalcih v drugih in tretjih razredih. Pri izvajalcu v drugem

razredu ni bilo mogoče iz nobenega zapisa razbrati, če in kako se je na

izvajanje pripravil. Razlogi so lahko različni. Na prvem mestu vsekakor

neupoštevanje navodil za zapis opaţanj.

Od priprav študentov na izvajanje aktivnosti je odvisna tudi naslednja

hipoteza (3), ki ugotavlja, ali so bile aktivnosti izvedene uspešno, torej če

so učenci našli rešitev problema.

45

3.3.3 Hipoteza 3 – Uspešnost izvedbe aktivnosti.

Ključne besede: teţave, so / niso znali, razumevanje, interes, zanimanje,

biti všeč…

Med uspešno izvedene sodijo aktivnosti, za katere so izvajalci zapisali, da:

~ učenci niso imeli teţav z reševanjem in pri reševanju niso potrebovali

pomoči

»Učenci so nalogo reševali na konkreten način s pomočjo delovnega lista in

kartončkov. Ko so prišli do prave rešitve, so to narisali. Najprej so dejali, da

nalog ni moţno rešiti. Potem so pa eden za drugim prihajali do pravilnih

rešitev. Naloge so jim bile všeč.« (Izvajalec 2, aktivnost Razvrstitev stolov)

»Vsak si je narisal na list svojo »sanjsko« uro in jo poskušal razdeliti. Naloga

je bila prijetna in zanimiva za reševanje, tudi učencem je dala misliti in zato

jim je bila tudi zanimiva.« (Izvajalec 10, aktivnost Urina številčnica)

»Tudi pri tej nalogi so bili učenci zelo aktivni. Večina učencev je nalogo

reševala tako, da so si narisali številčno os in na njo potem risali za koliko

koala spleza in zdrsne, ter nato prešteli po kolikem času spleza do vrha.«

(Izvajalec 7, aktivnost Polţ in steber)

~ da so bili nad aktivnostjo navdušeni

»Po razgovoru učencev, je to naloga, ki jim je bila najbolj všeč. Zato, ker je

bila v obliki tekmovanja dveh skupin, ker so zaklade sami skrili in potem

sami narisali zemljevide.« (Izvajalec 3, aktivnost Iskanje zaklada)

»Ta aktivnost se je zdela učencem zelo zabavna. Posebej jim je bilo všeč,

ko so se rokovali en z drugim in ugotavljali rešitve naloge. Pri aktivnosti so

zelo dobro sodelovali in tudi zelo dobro razmišljali.« (Izvajalec 5, aktivnost

Rokovanja)

»Takšnega veselja nad neko nalogo, še nikjer nisem videla. To, da so lahko

bili učitelji in da so me lahko celo ocenili, jim je predstavljalo neizmerno

veselje.« (Izvajalec 3, aktivnost Sestavljanje testa)

Neuspešne so bile tiste aktivnosti, za katere so izvajalci zapisali

~ da jih učenci niso znali rešiti, ker so jim bile preteţke ali jih niso

razumeli

46

»Naloga mi sprva ni delovala tako, da bi lahko otrokom delala večje teţave.

Predvidevam, da so si otroci teţko predstavljali situacijo kako potekajo skoki

mačke ter miške in so se med samim razmišljanjem izgubili oziroma nekateri

sploh niso vedeli kako naj se lotijo reševanja naloge.« (Izvajalec 7, aktivnost

Mačka in miška)

»Otroci so imeli teţave pri razumevanju navodil, večina ni razumela poteka

naloge, ker so vajeni iskanje skritega predmeta zgolj po igri toplo-hladno.«

(Izvajalec 6, aktivnost Iskanje zaklada)

»Pri nalogi sem naletela na teţave, ker učenci niso razumeli kako naj to

naredijo.« (Izvajalec 5, aktivnost Poveţi pike)

~ ker je bila aktivnost prezahtevna glede na starost učencev in uporabljen

model reprezentacij

»Lahko pa priznam, da nisem pričakovala spoznanja o premajhni starosti

učencev za to aktivnost. / Med sestavljanjem so se ukvarjali s stvarmi, ki

niso bile tako pomembne, npr. s katero barvo kaj napisati, koliko točk pri

kateri nalogi, če morajo črte risati, da bom lahko na njih pisala.« (Izvajalec 2,

aktivnost Sestavljanje testa)

»To aktivnost so zelo teţko dojeli. Porabili smo celo uro, da so jo rešili. Ni jim

bilo jasno kako lahko s tremi kovanci spremenijo celo obliko roţice. / Ta

naloga se mi zdi teţka za drugi razred, pa čeprav imajo konkretni material.«

(Izvajalec 1, aktivnost Deset kovancev)

»Bila sem presenečena, da so jim vţigalice bile tak trn v peti. Zelo teţka jim

je bila aktivnost. / Ni primerna za drugi razred. Ker učenci še ne poznajo

rimskih števil.« (Izvajalec 1, aktivnost Aktivnosti z vţigalicami)

~ ker aktivnost za učence ni bila zanimiva

»Nalogo so reševali individualno, in sicer z nezanimanjem. Ves čas so čakali

na mojo pomoč. Povedali so, da neradi barvajo in da jim je to delo

dolgočasno.« (Izvajalec 3, aktivnost Drţavne zastave)

»Naloga učencem ni bila všeč, preveč zamudno se jim je zdelo barvanje

zastav in kasneje tudi rezanje le-teh. Pa tudi, ko so jih morali razvrščati v

mreţe, niso bili zainteresirani. Naloga se jim je zdela prelahka in po

njihovem mnenju predolga.« (Izvajalec 3, aktivnost Drţavne zastave)

»… motivacija jim je hitro padla. Bili so polni nematematičnih rešitev –

domišljijskih.« (Izvajalec 8, aktivnost Čez reko)

47

Kot delno uspešne so bile kategorizirane aktivnosti, ki so jih reševali le

nekateri učenci; ker jih ostali učenci niso razumeli ali so bile zanje

preteţke ali pa so učenci pri reševanju potrebovali veliko pomoči.

Primeri iz zapisov:

»… vsi so razmišljali in iskali rešitve, naštevali so tudi napačne rešitve.

Večina naloge ni rešila brez moje postopne pomoči.« (Izvajalec 6, aktivnost

Čez reko)

»Aktivnost je bila zanimiva le nekaterim učencem, in sicer tistim, ki imajo raje

logične naloge, ki zahtevajo nekolikšen razmislek. Nalogo so aktivno

reševali trije učenci (H., M. in S.), ki so rešitve tudi prikazovali na tabli.«

(Izvajalec 7, aktivnost Razvrstitev stolov)

»Aktivno so sodelovale le tri učenke, ki so poskušale ilustrativno rešiti

nalogo, ostalim učencem pa se je naloga zdela nekoliko preteţka, zato se

ne niso resno lotili.« (Izvajalec 7, aktivnost Oblačenje)

»Največ kvadratov sta sestavili M. in N.. Drugo nalogo z pari pa je rešila

samo M.. Pri popravljanju napak so prvi primer rešili vsi učenci, drugega pa

ni rešil nihče. Pri sestavljanju trikotnikov pa je bil zelo spreten Ţ., ki je zelo

hitro sestavil tetraeder.« (Izvajalec 5, aktivnost Aktivnosti z vţigalicami)



USPEŠNO IZVEDENA

AKTIVNOST 6 19 38 18 81

NEUSPEŠNO

IZVEDENA AKTIVNOST 3 10 8 5 26

DELNO USPEŠNO

IZVEDENA AKTIVNOST 11 12 3 26

NE RAZBEREMO

4

4

SKUPAJ 9 40 62 26 137

48


Ugotavljali smo, kolikšna je bila uspešnost izvedbe aktivnosti, in ugotovili,

da so aktivnosti bile v več kot polovici primerov izvedene uspešno. Iz

enakega deleţa aktivnosti smo razbrali, da so aktivnosti bile izvedene

neuspešno ali le delno uspešno.

Če primerjamo podatke glede na posamezne razrede, ugotovimo, da je v

večini primerov bil deleţ uspešno izvedenih aktivnosti večji kot deleţ delno

in neuspešno izvedenih aktivnosti. Izstopajo le tretji razredi, kjer je ravno

obratno deleţ delno in neuspešno izvedenih aktivnosti skupaj, višji od

deleţa uspešno izvedenih aktivnosti.

Uspešnost izvedbe aktivnosti je v tesni povezami z ugotovitvami hipoteze

1 in 4. Namreč, če je ponujen ali izbran model reprezentacij oz. nivo

reševanja bil ustrezen, so posledično bile tudi aktivnosti rešene in

izvedene uspešno in obratno. In enako, če je aktivnost bila ustrezno

zahtevna za učence, je tudi izvedba posledično bila uspešna.

59,12 %18,98 %

18,98 %2,92 %

uspešno izvedena aktivnost

neuspešno izvedena aktivnost

delno uspešno izvedena aktivnost

ne razberemo

49

3.3.4 Hipoteza 4 – Zahtevnost aktivnosti.

Ključne besede: lahka, teţka aktivnost, razumevanje, pomoč…

Kot nezahtevne smo kategorizirali aktivnosti, ki so jih ali izvajalci ali učenci

označili kot lahke, pri katerih niso imeli teţav z reševanjem in niso

potrebovali pomoči in so jo tudi v večini primerov rešili vsi učenci. Sem

sodijo tudi aktivnosti, ki so jih učenci poznali od prej.

Primeri iz zapisov:

»Sprva sem nameravala v uri izvesti le eno izmed obeh nalog, vendar ker je

bila naloga Krave in hlevi učencem tako enostavna, smo rešili še eno laţjo

nalogo (Najmanjši ni največji). Pri nobeni izmed nalog ni bilo nobenih teţav,

saj so nalogi razumeli tudi slabši učenci.« (Izvajalec 7, aktivnost Krave in

hlevi)

»Naloga se je učencem zdela prelahka, zato so jo vsi zelo hitro rešili.«

(Izvajalec 4, aktivnost Tehtanje)

»Naloga je bila za učence prelahka. Podobno nalogo so baje ţe reševali.

Rešili so jo vsi učenci.« (Izvajalec 5, aktivnost Najmanjši in največji)

»Učenci so nalogo takoj razumeli in jo hitro tudi rešili. Poiskali so več moţnih

rešitev. Delo je potekalo individualno. Ob nalogi so se dolgočasili, niso

pokazali aktivnega razmišljanja.« (Izvajalec 2, aktivnost Enajst mostov)

»Naloga, ki je bila predvsem zabavna in ne toliko utrujajoča za moţgančke.

Igro so ţe poznali, tako da so imeli ţe narejene taktike.« (Izvajalec 10,

aktivnost Poţeruh)

Nasprotno smo kot zahtevne kategorizirali aktivnosti, pri katerih so učenci

imeli teţave in jih niso znali rešiti. Tukaj lahko naredimo povezavo s

hipotezo 3, v kateri smo ugotavljali uspešnost izvedbe aktivnosti. Razlogi

za neuspešnost in zahtevnost so podobni. Za učence so bile zahtevne

aktivnosti, pri katerih so morali veliko razmišljati ali narediti več poskusov.

Prav tako sem sodijo aktivnosti, ki jih učenci niso razumeli (bodisi navodil

bodisi aktivnosti same).

Primeri iz zapisov:

»Naloga jim je delala teţave, T. je nalogo po parih poskusih rešila. Ostalim

učencem pa naloga ni šla.« (Izvajalec 5, aktivnost Čez reko)

50

»Naloga, ki se je sprva zdela lahka, vendar jim je povzročila kar nekaj teţav.

/ Tu so imeli učenci veliko teţav, ki jih sploh nisem pričakovala.« (Izvajalec

10, aktivnost Mačka in miška)

»Na prvi pogled se jim je zdela naloga zelo teţka in nerešljiva.« (Izvajalec

11, aktivnost Ribnik)

»Preveč je pomembnih informacij, ki jih drugošolec le s teţavo dojame

(premik, preskok). Preteţka aktivnost za drugi razred, čeprav sem uporabila

konkretni material.« (Izvajalec 1, aktivnost Zelene in rjave ţabe)

»Otroci so imeli precej teţav, vsak je sestavil vsaj eno podobo, nekateri tudi

po dve.« (Izvajalec 6, aktivnost Tangram)

Ustrezno zahtevne so aktivnosti, ki so jih učenci reševali z minimalno

pomočjo ali pa so preko strategije poskusov in napak sami našli rešitev.

Primeri iz zapisov:

»Premetali o celotno učilnico, stole vlekli sem ter tja, ampak sprva jim ni in ni

šlo v glavo, kako naj bi se to rešilo. Pa smo poskusili na listih. No potem se

jim je odprlo in rešili so nalogo.« (Izvajalec 3, aktivnost Razvrstitev stolov)

»Učenci so nalogo dobro sprejeli. Najprej smo jo prebrali na glas, nato so

pričeli z reševanjem. Vsi so se lotili reševanja tako, da so si plezanje in

spuščanje polţa prikazali s pomočjo grafa.« (Izvajalec 4, aktivnost Polţ in

steber)

»Aktivnost so zelo radi reševali. Delali so po skupinah, in smo priredili pravo

tekmovanje, kdo jih najde največ. / Najprej smo ponovili like. Potem pa po

sami iskali vse moţne like in zapisali so največje število moţnih likov.«

(Izvajalec 1, aktivnost Geoplošča)

Pojavljajo se tudi zapisi, iz katerih je razbrati, da so učenci aktivnost sicer

bolj ali manj uspešno reševali, vendar pa zapisi ne sodijo v nobeno od

prejšnjih kategorij. Učenci so pri reševanju potrebovali pomoč, vendarle pa

na koncu tudi prišli do rešitve. Ali pa za reševanje niso pokazali

pretiranega interesa.

Primeri iz zapisov:

»Učenci so našli vseh 14 rešitev. Čeprav je bilo mišljeno, da dela vsak sam,

so kasneje, ko niso več našli novih razdelitev, stopili v skupine in s

51

sodelovanjem našli še preostale. Tako, da so bili zelo zadovoljni s svojim

delom.« (Izvajalec 3, aktivnost Štirje iz enega)

»Nalogo so reševali individualno, in sicer z nezanimanjem. Ves čas so čakali

na mojo pomoč. Povedali so, da neradi barvajo in da jim je to delo

dolgočasno. Sicer je večina pobarvala vse moţne rešitve.« (Izvajalec 2,

aktivnost Drţavne zastave)

»Učenci so imeli največ teţav pri drugem delu naloge, ko so morali v vse

vrstice in stolpce razvrstiti števke tako, da je bila povsod enaka vsota. Ko

sem jim pomagala in jim dejala kolikšna je vsota, so nekateri popolnoma

pozabili, da so številke le od 1 do 9 ter da se vsaka ponovi le enkrat, saj so

začeli zapisovati kar številke vsote. Ker se ni nič nikamor premaknilo, sem v

pomoč zapisala nekaj števil, nato je reševanje potekalo brez teţav.«

(Izvajalec 7, aktivnost Magični kvadrati)

Nerazvrščene so ostale aktivnosti, pri katerih se iz zapisov ni dalo razbrati,

kakšno je bilo splošno reševanje aktivnosti.

»Nalogo smo reševali miselno, brez pripomočkov.« (Izvajalec 10, aktivnost

Tehtanje)

»Nalogo smo reševali v skupini pred tablo (na tablo so si risali, če se jim je

zdelo potrebno)« (Izvajalec 10, aktivnost Polţ in steber)

»Na učnem listu so povezovali hlače in majice s puščicami. Fant1 je

ugotovil, da bi to lahko tudi izračunal. Fant1 in Punca sta dobila pravilno

rešitev. Fant2 je rešitev prepisal od fanta1, ker je imel narisanih le 16

puščic.« (Izvajalec 11, aktivnost Oblačenje)



NEZAHTEVNA / LAHKA

AKTIVNOST 4 9 1 14

ZAHTEVNA / TEŢKA

AKTIVNOST 3 7 8

18

USTREZNA AKTIVNOST 5 15 31 16 67

AKTIVNOST, REŠENA S

POMOČJO 1 13 9 9 32

NE RAZBEREMO

1 5

6

SKUPAJ 9 40 62 26 137

52


Ugotavljali smo, kako so izvajalci in učenci ocenili zahtevnost izvajanih

aktivnosti. Skoraj polovica aktivnosti je bila ustrezno zahtevnih za učence.

Učenci oz. izvajalci so 10,22 % aktivnosti označili kot lahke oz.

nezahtevne, nekoliko več aktivnosti, 13,14 %, pa kot zahtevne oz. teţke.

Pri skoraj eni četrtini aktivnosti so učenci potrebovali pomoč pri reševanju.

Iz šestih primerov pa se ni dalo razbrati, ali je aktivnost bila za učence

ustrezna ali ne.

Zanimivo pa je primerjati rezultate v preglednici, po posameznih razredih.

Tako vidimo, da je v drugih in tretjih razredih nekako polovica aktivnosti

ustreznih, lahkih in druga polovica rešenih s pomočjo in za učence teţkih.

Medtem ko pa je v četrtih in petih razredih veliko več aktivnosti za učence

ustreznih in lahkih. To lahko poveţemo tudi z uspešnostjo izvedbe iz

hipoteze 3. V četrtih in petih razredih je razmerje med uspešno in delno

uspešno izvedenimi aktivnostmi ter neuspešno izvedenimi aktivnostmi

večje kot v drugih in tretjih razredih.

48,91 %

10,22 %

13,14 %

23,36 %

4,38 %ustrezna aktivnost

nezahtevna / lahka aktivnost

zahtevna / teţka aktivnost

aktivnost, rešena s pomočjo

ne razberemo

53

3.3.5 Hipoteza 5 – Nadgradnja aktivnosti.

Na koncu smo ţeleli preveriti še, kakšen je bil cilj reševanja.

Primeri iz zapisov:

»J. je prvi ugotovil, da števila med seboj seštejemo, ter jih delimo z 2 ali s 6

in tako dobimo vsoto števil posameznega dela urine številčnice. / Mogoče bi

bilo dobro učence spomnit na to, da naj še kako drugače skušajo rešiti

nalogo, kot pa s poskušanjem.« (Izvajalec 4, aktivnost Urina številčnica)

»Učencem naloga ni bila teţka glede na njihov sistem reševanja, za

katerega pa so potrebovali precej časa, saj so pri zadnjem primeru, ko je bil

steber visok 100 m, potrebovali zelo veliko časa, da so si narisali os ter nato

delali črtice koliko se koala na dan dvigne. Tak primer sem jim dala nalašč,

če bi tudi sami začeli razmišljati v tej smeri kakor učenka (M.), ki se je naloge

lotila računsko. Najprej je izračunala koliko koala pride vsak dan višje, nato

pa je ta rezultat delila s številom kolikor spleza vsak dan.« (Izvajalec 7,

aktivnost Polţ in steber)

»Zelo fajn jim je bilo sledeče, ko sem ubrala obratno pot. Dodala sem še

enega fantka, oni pa so morali napisati nalogo. Zelo dobro so se počutili, ko

so sošolci morali reševati njihove naloge.« (Izvajalec 1, aktivnost Najmanjši

in največji)

»Naloge so se najprej lotili s poskušanjem, nekateri pa so sešteli števila od 1

do 9 med seboj in jih delili s 3, ter so tako dobili vsoto v eni vrstici. / Nisem

pa si mislila, da bo kdo prišel do rešitve, da lahko števila med seboj

seštejemo in jih delimo ter tako pridemo do vsote v vrstici. / Mislim, da je pri

tej aktivnosti pomembno, da jih spodbujamo, če lahko še kako drugače

pridemo do rešitve, kot pa s poskušanjem.« (Izvajalec 4, aktivnost Magični

kvadrati)

»Na učnem listu so povezovali hlače in majice s puščicami. Fant1 je

ugotovil, da bi to lahko tudi izračunal.« (Izvajalec 11, aktivnost Oblačenje)

»Nalogo je rešila ena učenka (M.), ki pa je nekoliko nepregledno narisala

moţno rešitev (hlače in majice je narisala nasproti, nato pa je vse povprek

povezovala ter nato preštela črte). Povprašala sem jo, če zna rešitev narisati

bolj pregledno ter ji svetovala kako naj začne. Na koncu je rešitev zapisala

tudi numerično.« (Izvajalec 7, aktivnost Oblačenje)

»Vsi, razen S., ni imel nobenega sistema za barvanje zastavi. Zato so vedno

spraševali, koliko jih je. S. pa si je izbrala sistem, da je bila najprej rdeča

barva na prvem mestu in je nato pobarvala vse zastavice tako, nato je dala

drugo barvo na prvo mesto.« (Izvajalec 4, aktivnost Drţavne zastave)

54

»Naredili smo nekaj primerov na tablo in takoj so ugotovili, kaj morajo početi.

Ko so reševali delovni list so prišli celo do sistema.« (Izvajalec 3, aktivnost

Vsote zaporednih števil)

»Učenci so si v zvezke takoj napisali račun 5×4=20. Večina učencev je

začela risati hlače in puloverje, potem pa smo rešitev ponazorili še s

pomočjo kombinatoričnega drevesa.« (Izvajalec 9, aktivnost Oblačenje)



Ugotovili smo, da izvajalci aktivnost zaključijo takrat, ko vsi ali večina

učencev aktivnost pravilno reši. Torej pravilna rešitev je konec aktivnosti.

Le v 7,3 % primerov so izvajalci (le) enega ali več učencev skušali

pripraviti do tega, da bi aktivnost rešili tudi kako drugače; ali pa ugotovili,

da bi to bilo potrebno.

Ta hipoteza je povezana s hipotezo 1, v kateri smo ugotavljali, s katerimi

modeli reprezentacij so učenci reševali aktivnosti. Ţe tam smo ugotovili, da

bi izvajalci morali učence napeljevati k iskanju drugih moţnih zapisov za

rešitev aktivnosti, v kolikor to ustreza njihovemu doseţenem znanju.

7,30 %

92,70 %

nadgradnja aktivnosti

rešitev je konec aktivnosti


NADGRADNJA

AKTIVNOSTI 1 3 4 2 10

REŠITEV JE KONEC

AKTIVNOSTI 8 37 58 24 127

SKUPAJ 9 40 62 26 137

55

3.4 SKLEPNE MISLI EMPIRIČNEGA DELA

Če sklenemo, smo zavrgli eno hipotezo in potrdili ostale štiri. Vseeno

lahko med vsemi hipotezami vzpostavimo povezavo. Tako uspešnost

reševanja kot tudi zahtevnost aktivnosti sta odvisni od modela

reprezentacij, ki so jih učenci uporabili pri reševanju. Le-te učenci

uporabljajo glede na to, kako jih izvajalci predvidijo, oz. pripravijo.

Prav tako je uspešnost reševanja aktivnosti povezana s pripravami

študentov na izvajanje aktivnosti. V študijskem letu, v katerem so nastali

zapisi, so izvajalci (kot je ţe bilo omenjeno) veliko priprav opravili sami.

Tako je bila komunikacija med študenti-izvajalci in didaktikom-mentorjem

minimalna. Za ugotavljanje uspešnosti in načina komunikacije med učenci

in izvajalci bi potrebovali veliko natančnejše zapise (tudi zvočne in video) s

strani izvajalcev, vendar se je to uspešno izvedlo šele v poletnem

semestru študijskega leta 2007/2008. Pred tem nam študenti tovrstnih

podatkov niso posredovali.

Pri branju poročil bi lahko izpostavili tudi druge ugotovitve, ki sicer niso

reprezentativne, vendarle pa jih je dobro omeniti. Kot prava taka

ugotovitev je to, da se učenci ob reševanju spomnijo, da so podobno

aktivnost ţe reševali in da si skušajo z znanjem, ki so ga pridobili pri

reševanju, pomagati pri novem reševanju. Primer: reševanje aktivnosti

Volk, koza in zelje ter kasneje reševanje aktivnosti Čez reko. To

ugotovitev bi bilo zanimivo preveriti natančneje in jo uporabiti v nadaljnjem

izvajanju.

Druga ugotovitev je ta, da učenci, kadar neke aktivnosti ne znajo takoj

rešiti (ne razumejo in ne upoštevajo navodil), iščejo rešitve izven okvira

aktivnosti. Izvirnost in ustvarjalnost sta sicer pohvalni in bi ju morali krepiti

in nadgrajevati, vendar pa moramo ostati v povezavi s problemom samim.

Na primer tako, da učence ob koncu reševanja povprašamo, kako bi lahko

še drugače rešili aktivnost (in pričakujemo tovrstne odgovore), vendar pa

56

preko pogovora tudi doseči spoznanje in razumevanje, zakaj taka rešitev

ni ustrezna (ker ne izpolnjuje določenih pogojev iz navodil ipd.).

Primera iz zapisov:

»… so dajali moţne rešitve, kot so: da se pripelje še en čoln, da se ostala

dva vlečeta v vodi s čolnom, da sami preplavajo reko…« (aktivnost Čez

reko)

»Sprva je bilo precej teţav, saj so učenci nameravali narediti okoli hrastov

nekakšne otočke, oziroma drevesa kar prestaviti.« (aktivnost Ribnik)

Tretja ugotovitev pa je ta, da študentke pri reševanju učencem preveč

pomagajo z napotki in namigi in preveč nadzirajo potek reševanja.

Izvajalci so tako učence vodili skozi aktivnost in nadzirali, kaj delajo in

kako, in jih popravljali na vsakem koraku, namesto, da bi jim pustili, da

rešujejo sami, da bi se posluţili individualnih nasvetov in namigov. Prav

tako so aktivnosti prevečkrat reševali frontalno in tako, da so jih učenci

skupaj reševali pred tablo.

Primeri iz zapisov:

»Po nakazovanju z moje strani, kako lahko le malo povečaš ribnik, je ena

učenka prišla do pravilne rešitve.« (aktivnost Ribnik)

»Učenci so imeli največ teţav pri drugem delu naloge, ko so morali v vse

vrstice in stolpce razvrstiti števke tako, da je bila povsod enaka vsota. Ko

sem jim pomagala in jim dejala kolikšna je vsota, so nekateri popolnoma

pozabili, da so številke le od 1 do 9 ter da se vsaka ponovi le enkrat, saj so

začeli zapisovati kar številke vsote. Ker se ni nič nikamor premaknilo, sem v

pomoč zapisala nekaj števil, nato je reševanje potekalo brez teţav.«

(aktivnost Magični kvadrati)

»Naloge smo reševali tako, da so učenci izmenično prihajali pred tablo.

Reševali so z velikim zanimanjem. Upoštevali smo ideje vseh.« (aktivnost

Zelene in rjave ţabe)

»Naloga je bila za učence zanimiva, vsi so razmišljali in iskali rešitve,

naštevali so tudi napačne rešitve. Večina naloge ni rešila brez moje

postopne pomoči.« (aktivnost Čez reko)

57

4 PRAKTIČNI DEL

4.1 POSEBNOSTI IZVAJANJA AKTIVNOSTI PRI

DIDAKTIČNEM PETKOTNIKU IN SPLOŠNI NAPOTKI PRI

IZVAJANJU AKTIVNOSTI V DIDAKTIČNEM PETKOTNIKU

4.1.1 Organizacija dela in organizacija skupin

Ustrezna izbira učnih oblik pri izvajanju aktivnosti je ključna za uspešnost

izvedbe. Medtem ko so nekatere aktivnosti uspešneje reševane s

skupinskim delom, je pri drugih veliko bolj učinkovito individualno delo ali

delo v dvojicah. Še več, določene aktivnosti so nastavljene tako, da so

lahko izvedene le v skupinah, in določene tako, da jih lahko učenci izvajajo

le individualno.

Medtem ko je individualno delo v največji meri odvisno od posameznika in

od njegovih sposobnosti ter vsekakor tudi od izvajalca in njegove

sposobnosti pri podajanju namigov, kadar ima učenec teţave z

reševanjem in na drugi strani z oteţevanjem in nadgradnjo aktivnosti,

kadar učenec aktivnost zelo hitro in uspešno reši, je delo v skupinah in

dvojicah nekoliko bolj kompleksno. Ker je »komunikacija bistvo dela v

majhnih skupinah« (Patton, Giffin in Patton, 1989; cit. po Artzt, 1996, str.

116) in ker so najbolj uspešne skupine tiste, katerih delovni cilj je

medsebojno odvisno delo, morajo skupine biti sestavljene tako, da se

udeleţenci dobro razumejo in imajo ustrezne medosebne odnose.

Okoliščine, v katerih prihaja do produktivne komunikacije, pa niso

vzpostavljene avtomatično, ko učence razdelimo v skupine. Webb (1991;

povz. po Stacey in Gooding, 1992, str. 2) ugotavlja, da je kritična točka

skupinske interakcije skrbno in podrobno pripravljena pomoč, ki so je bili

deleţni učenci. Prav tako so učenci, ki so pokazali visoko stopnjo

elaboracije, na primer pri razlaganju in pojasnjevanju svojim sošolcem,

pokazali višje doseţke kot učenci, ki te stopnje niso dosegali.

58

Uspešnost skupinskega dela torej zagotavljamo z uspešno formacijo

skupin. Zanjo je potrebno dobro poznavanje sposobnosti in delovnih

navad učencev, čas v katerem se učenci navadijo skupinskega dela…

Skupina pa je učinkovita in uspešna šele, ko se učenci med seboj

upoštevajo, sprašujejo in poslušajo – vsak učenec mora svoje mnenje,

rešitev, razlago, potek ali strategijo reševanja znati utemeljiti in zagovarjati

ter prilagoditi v primeru, če se izkaţe napačno.

Kaj skupinsko delo zahteva od učencev? Na prvem mestu to, da najprej

individualno in nato še skupinsko razmislijo o aktivnosti. Sledi

razpravljanje o aktivnosti. Nato poslušajo druge udeleţence v skupini in

jim predstavijo svoje mnenje ter jih pogosto tudi morajo prepričati o svojem

planu ali rešitvi. Učenci morajo oceniti mnenje, idejo soudeleţencev,

izbrati najustreznejšo in jo na koncu skupaj predstaviti kot skupinsko

rešitev. Seveda se pojavlja še nekaj vmesnih faz (analiziranje,

raziskovanje, preverjanje, izdelava novega načrta…).

4.1.2 Uvod v aktivnosti – namigi

Aktivnosti naj bodo avtentične, bogate, očarljive, aktivne, izvršljive,

pravične in odprtega tipa. Strukturirane morajo biti tako, da povečujejo

moţnosti, da se bodo učenci zapletli v spraševanje, skrbno in podrobno

izdelavo ter obdelavo podatkov, razlaganje in druge načine verbalizacije, v

katerih lahko učenci izrazijo svoje ideje in misli in sprejemajo povratno

informacijo ostalih udeleţencev v skupini (Slavin, 1989; cit. po Artzt, 1996,

str. 116). Seveda lahko prihaja do komunikacije tudi pri slabše

pripravljenih aktivnostih – učenci si pomagajo med sabo, delijo odgovore

in rešujejo problem, vendar tovrsten način komunikacije ni naš ţelen cilj

(prav tam).

Majhni nasveti pri izvajanju aktivnosti: učenci si naj najdejo vsak svoj

»skrivni kotiček« v razredu – tako so ločeni od ostalih učencev v skupini in

59

na zanimiv način doseţemo povsem individualen pristop k reševanju

aktivnosti.

Ker so skupine pri Didaktičnem petkotniku ţe v osnovi majhne (5 učencev

in več), je formacija še manjših skupinic včasih nemogoča. V primeru, da

je aktivnost nastavljena tako, da bi lahko bila uspešno izvedena v večji

skupini (na primer aktivnost Iskanje zaklada ali Morske ţivali) se lahko za

izvajanje dogovorimo z drugimi razredi, skupinami.

Z učenci oblikujte krog nekje v učilnici – sede na tleh, na stolih.

Predstavite jim aktivnost in jo preko nevihte moţganov ali na kak drug

način skupaj rešujte.

Prav tako lahko učence posedete v ravno vrsto pred tablo in aktivnost

rešujete frontalno vi ali izmenično en od učencev.

»Delo v skupini mi pomaga… zato, ker otroci moje starosti razloţijo stvari,

ki jih ne razumem, z besedami, ki jih razumem. Lahko povem, kako jaz

nekaj razumem in tako pomagam nekomu drugemu razumeti.« (Schoen,

Bean in Ziebarth, 1996.)

4.1.3 Vprašanja pri izvajanju aktivnosti

Eden pomembnejših elementov uspešnega komuniciranja je uspešno

postavljanje vprašanj. Tukaj navajamo tista, ki izvajalcem pripomorejo pri

katerikoli aktivnosti in sluţijo temu, da izvajalec učence usmeri v reševanju

ali pa si razloţi njihovo delo, razumevanje problema5.

Kje naj začnem? Kaj lahko storim? Kaj lahko opazim? Kako lahko ta in

druge ideje pomagajo pri reševanju? Kaj naj naredim z idejo, ki se je

5 Za več informacij o vprašanjih in strategiji postavljanja vprašanj priporočamo Pólya,

1985.

60

izkazala za napačno? Kaj ţelim poiskati? Katere podatke imam? Kaj ţelim

poiskati? Kaj zahteva problem? Premisli ponovno.

Ali je kdo našel še kakšno drugo metodo, strategijo? Ali so te strategije

resnično enake ali se v čem razlikujejo? Kako so enake, kako se

razlikujejo? Na koliko različnih načinov lahko prikaţemo ta koncept s temi

materiali?

Kako si prišel do tega? Ali bi ţelel z nami deliti svoje razmišljanje, ki si ga

uporabil pri reševanju? Kateri koraki so te pripeljali do tega zaključka? Ko

si reševal problem, kaj si storil najprej?

Sem ţe kdaj reševal podoben primer? Kako si rešil podobno nalogo? Ali

lahko uporabiš rešitev prejšnjega problema? Ali lahko uporabiš način

reševanja pri novem problemu? Ali lahko rešiš vsaj del problema? Si

uporabil vse podatke? Si upošteval vse pogoje?

Si prepričan, da je vsaka stopnja načrta, rešitve pravilna? Ali lahko

dokaţeš pravilnost rešitve? Ali lahko dokaţeš pravilnost postopka

reševanja? Ali lahko pridemo do enakega rezultata še na kak drug način?

Ali lahko rezultat uganemo na prvi pogled? Ali lahko postopek reševanja

uporabimo pri reševanju katerega drugega problema?

61

4.2 KLASIFIKACIJA AKTIVNOSTI GLEDE NA RAZRED

Preglednica 9: Klasifikacija aktivnosti glede na razred

Legenda: √ – aktivnost je primerna za razred O – učenci bi lahko imeli teţave ali pa bi jim aktivnost bila prelahka / – aktivnost za razred ni ustrezna

AKTIVNOST 2. RAZRED 3. RAZRED 4. RAZRED 5. RAZRED

1 Razvrščanje balonov √ √ O O

2 Čez reko O √ √ √

3 Iskanje zaklada √ √ √ √

4 Mačka in miška O √ √ √

5 Prerazporeditev √ √ √ √

6 Razvrstitev stolov √ √ √ √

7 Ribnik O √ √ √

8 Razdelitev kroga s črtami O √ √ √

9 Urina številčnica O √ √ √

10 Poveţi pike √ √ √ √

11 Rokovanja √ √ √ √

12 Krave in hlevi, psički in košare √ √ O O

13 Sestavljanje testa / O √ √

14 Tehtanje O √ √ O

15 Polţ in steber O √ √ √

16 Najmanjši in največji √ √ √ O

17 Magični kvadrati O √ √ √

18 Deset kovancev O √ √ √

19 Volk, koza in zelje √ √ √ √

20 Matematični kviz √ √ √ √

21 Enajst mostov √ √ √ O

22 Oblačenje √ √ √ √

23 Zelene in rjave ţabe O √ √ √

24 Vsote zaporednih števil O √ √ √

25 Poţeruh √ √ √ √

26 Drţavne zastave √ √ √ √

27 Naloge rekreativne matematike O √ √ √

62

4.3 AKTIVNOSTI – OPIS AKTIVNOSTI, POVEZAVE Z

DRUGIMI AKTIVNOSTMI, REŠITVE, NAVODILA ZA

REŠEVANJE, DODATNE AKTIVNOSTI

28 Štirje iz enega O √ √ √

29 Tangram O √ √ √

30 Aktivnosti z vţigalicami √ √ √ √

31 Štiri štirice O O √ √

32 Rubikova kocka O √ √ √

33 Četverčki √ √ √ √

34 Telesa iz četverčkov O √ √ √

35 Gnezda √ √ √ √

36 Mostovi čez reko Pregel √ √ √ √

37 Domine O √ √ √

38 Miza (praštevila) O √ √ √

39 Geoplošča √ √ √ √

40 Razdelitev bonbonov √ √ √ √

41 Nariši z eno potezo √ √ √ √

42 Koliko trikotnikov? Koliko kvadratov? √ √ √ √

63

AKTIVNOST: RAZVRŠČANJE BALONOV

OPIS AKTIVNOSTI:

POVEZAVA Z AKTIVNOSTJO:

Drţavne zastave – aktivnost Baloni je lahko za 4. in 5. razred uvodno

ogrevanje.

REŠITEV AKTIVNOSTI:

1. Poljubno.

2. Zelen in rumen balon sta skupaj, moder je med rdečim in rumenim:

ali .

3. Rumen in zelen balon nista skupaj, rdeč balon je skupaj z modrim,

moder balon je med zelenim in rdečim: ali .

4. Ja. Rumen balon je na koncu vrste, zelen balon je med rdečim in

modrim, rdeči balon pa med zelenim in rumenim: .

1. Naslikaj rdeč, zelen, moder in rumen balon v poljubnem vrstnem

redu!

2. Naslikaj balone v vrsto tako, da bosta zelen in rumen balon

skupaj, moder pa bo med rdečim in rumenim.

3. Naslikaj balone v vrsto tako, da rumen in zelen balon ne bosta

skupaj, da bo rdeč balon skupaj z modrim in da bo moder balon

med zelenim in rdečim.

4. Ali lahko naslikaš balone v vrsto tako, da bo rumen balon na

koncu vrste, zelen balon med rdečim in modrim ter rdeči balon

med zelenim in rumenim?

64

NAVODILA ZA REŠEVANJE:

Otroci na podlagi izjav razvrščajo balone v vrstni red. Pred otroke

postavimo rdeč, zelen, rumen in moder balon. Nato morajo balone

postaviti v vrsto, tako kot je zahtevano. Ko otroci probleme rešijo na

konkretni ravni, jim balone odvzamemo, rešitve novih problemov pa

morajo naslikati na list papirja. To je za otroke teţje, saj si morajo rešitev,

preden jo podajo na listu, v mislih predstavljati in imajo manjšo moţnost

reševanja po principu poskusov in napak.

Za ogrevanje naj učenci balone postavijo v vsa moţna različna zaporedja,

tako da bo na začetku vrste vedno balon iste barve (vsak učenec naj kot

prvo barvo dobi različen balon). Učenci naj v drugem in tretjem razredu

delajo na konkretni ravni pri vseh primerih, nato jim balone odvzamemo in

morajo izpolniti delovni list. V četrtem in petem razredu naj vse aktivnosti

izvedejo samo z delovnim listom.

DODATNE AKTIVNOSTI:

Od tretjega do petega razreda si naj učenci izmislijo svoje primere, ki jih

preverimo (preverimo tudi, če imajo učenci enake primere) in jih za tem

zastavimo ostalim v skupini. V drugem in tretjem razredu naj aktivnost

izvajajo s konkretnim materialom, v višjih razredih pa naj si zamisli

skicirajo.

65

AKTIVNOST: ČEZ REKO

OPIS AKTIVNOSTI:

LITERATURA:

Perške, J.P. in Klepić, D. (1995). Moja zabavna matematika. Ljubljana:

Mladinska knjiga. Naloga 180.

Ilustrirala: Brina Fekonja

Dva odrasla popotnika sta potovala po Afriki in prišla do reke, ki jima

je preprečila nadaljevanje poti. Eden od njiju je opazil dva fanta, ki

sta se vozila s čolnom. Na prošnjo popotnikov sta fanta pristala na

bregu. Toda čoln je bil tako majhen, da bi se v njem lahko peljal

samo en popotnik ali samo oba fanta. Fanta sta se spomnila, kako

pripeljati oba popotnika na drugi breg in na koncu jima je to tudi

uspelo. Kako?

66


Volk, koza in zelje.


Najprej fant 1 odloţi fanta 2 na nasprotnem bregu, kot sta popotnika. Fant

1 se odpelje k popotnikoma. Popotnik 1 se sam odpelje čez reko. Tam

čoln prevzame fant 2 in se odpelje do fanta 1 in popotnika 2. Fant 1

ponovno pelje fanta 2 na nasprotni breg – k popotniku 1 – in se sam

odpelje do popotnika 2. Ta se sam odpelje na drugi breg reke, čoln pusti

fantu 2, ki se odpelje po fanta 1 in nato nadaljujeta svojo pot…

Preglednica 10: Potek reševanja aktivnosti Čez reko


Učencem aktivnost preberemo in jim jo obvezno izročimo napisano na

papirju. Damo jim tudi prazen list (ali zvezek) za reševanje. Sprva jih

pustimo, da razmislijo in skušajo ugotoviti rešitev. Nato naj se lotijo

reševanja s pomočjo konkretnih materialov (tretji razred) in risanja skice

(četrti, peti razred) – v primeru, da učencem v četrtem razredu aktivnost

dela teţave, jim ponudimo konkreten material. Ko vsi učenci pridejo do

rešitve, jo preverimo. Nato pa od učencev zahtevamo, da narišejo

preglednico ali skicirajo potek reševanja. Slednjič pa tudi, da napišejo,

kako so prišli do rešitve – z besedami, v nekaj stavkih.

Izhodišče F1, F2 P1, P2 Stanje 4 P1, F1, F2 P2

Korak 1 F2 F1 → P1, P2 Korak 5 P1, F2 F1 → P2

Stanje 1 F2 F1, P1, P2 Stanje 5 P1, F2 F1, P2

Korak 2 F2 ← P1 F1, P2 Korak 6 P1, F2 ← P2 F1

Stanje 2 F2, P1 F1, P2 Stanje 6 P1, P2, F2 F1

Korak 3 P1 F2 → F1, P2 Korak 7 P1, P2 F2 → F1

Stanje 3 P1 F1, F2, P2 Cilj P1, P2 F1, F2

Korak 4 P1 ← F1, F2 P2

67

AKTIVNOST: ISKANJE ZAKLADA

OPIS AKTIVNOSTI:


Aktivnost je rešena oz. igra se konča, ko eden od iskalcev pobere vse

zaklade ali ko obema zmanjka korakov.


Aktivnost večinoma izvajamo z vsemi učenci, ki sodelujejo pri

matematičnem kroţku na šoli. Če je učencev veliko, jih lahko razdelimo v

skupine – drugi razredi skupaj, tretji razredi skupaj itd.

Otroke razdelimo v dve skupini. Pri vsaki skupini določimo enega

iskalca zaklada. Vsakega od njiju postavimo v en kot razreda in jima

naročimo, naj miţita ali pa ju odvedemo iz razreda. Ta čas pred

očmi ostalih članov obeh skupin skrijemo kovance na različnih

mestih v razredu (npr. zalepimo kovance pod klopi) in jim damo

nalogo, naj narišejo zemljevide zakladov (vsak učenec nariše

enega) za svojega iskalca zaklada vedoč, da bo imel iskalec

zaklada vsega skupaj le 20 korakov.

Iskalec zaklada na začetku svojega iskanja izmed zemljevidov

članov njegove skupine izvleče en zemljevid in napravi 5 korakov.

Nato ta zemljevid odloţi, počaka eno potezo, da njegov nasprotnik

naredi isto, nato zopet izvleče enega od še neuporabljenih

zemljevidov članov njegove skupine in zopet napravi 5 korakov proti

zakladu.

Igra se konča, ko eden od iskalcev zakladov pobere vse kovance,

oziroma ko obema zmanjka korakov. Zmagovalna skupina je tista, ki

nabere več zakladov.

68

AKTIVNOST: MAČKA IN MIŠKA

OPIS AKTIVNOSTI:

LITERATURA:


Mladinska knjiga. Naloge 29, 110 in 111.


Miška je oddaljena od svoje luknje 20 korakov. Mačka je oddaljena

od miške 5 skokov. Medtem ko skoči mačka enkrat, naredi miška tri

korake, toda en mačkin skok je dolg kot deset mišjih korakov. Ali se

bo miška pravočasno rešila v luknjo?

69


Miški uspe pobegniti za en korak (če je od luknje oddaljena 20 korakov).

Mačka miško ulovi, če je miška od luknje oddaljena 25 korakov. Če je

miška od luknje oddaljena 22, 23, 24, 25… korakov, jo mačka ulovi.


Miška se bo rešila Miška se ne bo rešila

(ime učenca) (ime učenca)

Učenci naj pred začetkom reševanja dve minuti o problemu razmislijo in

nato ocenijo, ali se bo miška rešila ali ne (stavnica). Njihove ocene

zapišite v preglednico na tablo. Vsak učenec naj pove tudi, zakaj misli, da

se bo miška rešila in zakaj misli, da se ne bo.

Učenci naj delajo s konkretnimi materiali v drugem in tretjem razredu, v

četrtem si lahko pomagajo s skiciranjem. Tudi v drugem in tretjem razredu

je priporočljivo, da sprva poskusijo o aktivnosti razmisliti, si jo sami skicirati

in šele, če jim na tak način ne uspe rešiti aktivnosti, jim damo konkretni

material. Ena od moţnosti je ta, da učenci aktivnost rešujejo v parih, v

katerih je en učenec mačka, drugi pa miška.

V primeru, da aktivnosti nikakor ne znajo rešiti s skico in, ali konkretnimi

materiali, šele takrat lahko aktivnost rešimo z igro vlog – en učenec je

mačka, drugi miš. Miška dela korake v dolţini enega stopala, mačka pa

skok v dolţini enega koraka.

V drugem in tretjem razredu bo dovolj, da aktivnost rešite po osnovnih

navodilih. V četrtem in petem razredu lahko aktivnost oteţite tako, da

učence vprašate, oz. jim zastavite naslednje aktivnosti: »Kaj bi se zgodilo,

70

če bi miška bila od svoje luknje oddaljena 25 korakov? Za koliko korakov

bi od luknje morala biti oddaljena miška, da bi jo mačka ujela?« In: »Nariši

graf za osnovno aktivnost (torej nekaj podobnega temu, kar lahko najdete

pri Rešitvi aktivnosti).«

Ko učenci rešijo aktivnost, skupaj preverite, kdo je ocenil pravilno in kdo

napačno.

DODATNE AKTIVNOSTI:

1. Pes se je pognal za zajcem v trenutku, ko je bil zajec od njega oddaljen

30 m. Pes dela trimetrske skoke, zajec pa dvometrske. Koliko skokov

mora narediti pes, da bo dohitel zajca?

Rešitev: Vsak skok psa in zajca zmanjša razdaljo med njima za 1 m, torej

bo pes potreboval 30 skokov.

2. Volk preganja zajca. Zajec skače trikrat hitreje kot volk, vendar je

njegov skok dvakrat krajši od volčjega. Ali bo zajec ušel volku?

Rešitev: Bo, ker je zajec hitrejši.

71

AKTIVNOST: PRERAZPOREDITEV

OPIS AKTIVNOSTI:

LITERATURA:




Razvrstitev stolov.


V vogale kvadrata poloţimo po dve figuri, eno na drugo.


Pri tej aktivnosti lahko kot figure uporabite karkoli. Pravokotni, za drugi

razred bo bolje, če bo kvadratni, okvir si lahko učenci narišejo sami ali pa

uporabite zvezek, šolsko mizo, na katero si učenci nastavijo figure.

Učenci naj (od tretjega do petega razreda) na list napišejo, kako so prišli

do rešitve.

12 figur (lahko so kovanci, koščki papirja, gumbi) je razporejenih v

obliki pravokotnega okvira s štirimi figurami na vsaki stranici.

Poskusite jih razporediti tako, da jih bo na vsaki stranici pet.

72

DODATNE AKTIVNOSTI:

Aktivnost lahko v višjih razredih (tretji do peti razred) izvedete sočasno z

drugimi aktivnostmi. Vaši presoji je prepuščeno, ali boste sočasno izvajali

vsebinsko podobne aktivnosti ali pa jih boste izvajali ob različnih

priloţnostih ter tako preverjali, ali so učenci osvojili strategijo reševanja.

1. V vsakem kotu sobe sedi po ena mačka in vsaka izmed njih vidi tri

mačke. Koliko mačk je v sobi?

Rešitev: V sobi so štiri mačke.

2. Razvrsti dvanajst gumbov, da bodo tvorili tri vodoravne in tri vodoravne

in tri navpične vrste.

Rešitev:

73

AKTIVNOST: RAZVRSTITEV STOLOV

OPIS AKTIVNOSTI:

LITERATURA:


Mladinska knjiga. Naloge 322, 178, 225 in 347.


Prerazporeditev.



Aktivnost lahko v drugem razredu izvajate na konkretni ravni z dejanskim

prestavljanjem stolov v učilnici, le da učilnico omejite (na tla s kredo

narišete "pomanjšano učilnico"). V tretjem in četrtem razredu lahko učenci

delajo s konkretnim materialom (tudi v drugem razredu) – izrezanimi

slikami stolov – ali pa narišejo skice.

Kako postaviti 16 stolov ob 4 stene v sobi tako, da bo ob vsaki

steni 5 stolov?

Kako razvrstiti 6 stolov ob štiri stene v sobi, da bosta stala ob

vsaki steni po 2 stola?

Kako postaviti 10 stolov ob 4 stene sobe, da bo ob vsaki steni

enako število stolov?

74

Od tretjega do petega razreda naj na list papirja narišejo rešitve in zraven

napišejo postopek reševanja. Na primer: Najprej sem na eno stranico

nastavil pet stolov, nato pa sem preostale stole nastavil še na druge

stranice.

DODATNE AKTIVNOSTI:

1. Razvrsti 16 gumbov (kovancev, ploščic…) v 10 vrst

tako, da bodo v vsaki vrsti po štirje.

Rešitev:

2. Razvrsti devet gumbov v deset vrst tako, da bodo v

vsaki vrsti po trije gumbi.

Rešitev:

3. Razvrsti 10 točk na 5 daljic tako, da bodo na vsaki

daljici po 4 točke.

Rešitev:

4. Razvrsti 6 točk na 4 daljice tako, da bodo na vsaki daljici po

3 točke.

Rešitev:

5. Ali je mogoče 24 kroglic razvrstiti v 6 vrst tako, da bo v vsaki vrsti po 5

kroglic?

Rešitev: Razvrstimo jih v obliki šestkotnika.

75

AKTIVNOST: RIBNIK

OPIS AKTIVNOSTI:

LITERATURA:





Nekje na svetu obstaja kvadratni ribnik. Ob njegovih kotih rastejo tik

ob vodi štirje hrasti. Ribnik je potrebno povečati tako, da ostane tudi

po razširitvi kvadraten. Stari hrasti morajo ostati, kjer so. Ali lahko

povečamo površino ribnika tako, da ohrani kvadratno obliko in da

bodo hrasti, ki ostanejo na svojih mestih, na bregovih novega

ribnika?

76


Najlaţje bo, da se učenci lotijo aktivnosti po strategiji reševanja s poskusi

in napakami. Rešujejo naj individualno. Če nihče ne pride do rešitve,

učence razdelimo v dvojice ali skupine po tri učence in naj rešujejo skupaj

tako, da si vsak najprej pove in predstavi, katere moţnosti je ţe sam

poskusil. Učenci naj komunicirajo. Vsak naj pove svoj predlog, kako bi

aktivnost rešil, nato naj skupaj preverijo moţnosti.

Izdelek pri tej aktivnosti naj bo skica, na kateri bo vsak učenec prikazal,

kako je skušal aktivnost rešiti, skupaj z vsemi neuspešnimi poskusi.

DODATNE AKTIVNOSTI:

V petem razredu lahko aktivnost oteţimo tako, da ribnik dobi dejanske

dimenzije – npr. Nekje na svetu obstaja kvadraten ribnik velikosti 20 m x

20 m. … Kolikšna bo velikost novega ribnika? / Kolikšna je dolţina ene

stranice ribnika, če vemo, da je njegova površina xy m2? …

77

AKTIVNOST: RAZDELITEV KROGA S ČRTAMI

OPIS AKTIVNOSTI:

LITERATURA:


Mladinska knjiga. Naloga 185, 216 in 226.


Krog lahko razdelimo na 11 delov.


V drugem razredu lahko naredite aktivnost, zapisano pri Dodatne

aktivnosti.

Tudi te aktivnosti se učenci večinoma lotijo po strategiji reševanja s

poskusi in napakami. Od učencev zahtevajte, da vsak nov poskus

izvedejo na novem krogu in naj ne radirajo ali črtajo prejšnjih poskusov! V

drugem razredu bo aktivnost vzela precej časa, bolje bi bilo, da za učence

izreţete kroge in črte in naj poskušajo aktivnost rešiti s konkretnim

materialom. V primeru, da je ne uspejo rešiti, jo rešite skupaj, na tablo,

postopoma, tako da vam učenci narekujejo vsak naslednji korak. Potek

reševanja je lahko enak tudi v tretjem razredu. Če so učenci dovolj

sposobni in do rešitev pridejo individualno – nadaljujte z zadnjim

odstavkom.

V četrtem in petem razredu bi naj učenci imeli manj teţav z rešitvijo.

Delajo naj brez konkretnega materiala. Vsak učenec naj najprej razmisli / v

mislih oceni aktivnost (3 minute, brez pogovarjanja ali skiciranja), svojo

oceno nariše, skicira na prej pripravljen košček papirja (napiše tudi svoje

ime). Le-te po preteku 3 minut poberete in shranite. Če mu aktivnost uspe

rešiti v prvem poskusu, je njegova naslednja zadolţitev poiskati, če je še

Na največ koliko delov je mogoče s štirimi črtami razdeliti krog?

78

kakšna moţnost za rešitev problema. V primeru, da v prvem poskusu

učenci niso rešili aktivnosti, se naj lotijo iskanja rešitve.

Vsak poskus naj označijo z zaporedno številko, radirka je nedovoljen

pripomoček. Ko vsi učenci rešijo aktivnost, svoje rešitve najprej primerjajo

z oceno, ki so jo narisali na začetku ure. Tako ugotovijo, koliko blizu, daleč

so bili pravilnemu odgovoru. Slednjič vsak učenec svojo rešitev skicira na

tablo ali pa na cel A5 list papirja, usedete se v krog in primerjate rezultate

– preverite, ali so enaki, različni.

DODATNE AKTIVNOSTI:

1. Štirikotnik razdeli z dvema črtama tako, da boš dobil dva trikotnika in

dva petkotnika.

2. Ovce in zelje. Kako ločiti ovce od zelja s tremi ravnimi črtami? Aktivnost

najdete v: Perške, J.P. in Klepić, D. (1995). Moja zabavna matematika.

Ljubljana: Mladinska knjiga. Naloga 226.

79

AKTIVNOST: URINA ŠTEVILČNICA

OPIS AKTIVNOSTI:

LITERATURA:




1 + 2 + 11 + 12 = 26, 3 + 4 + 9 + 10 = 26, 5 + 6 + 7 + 8 = 26

12 + 1 = 13, 11 + 2 = 13, 10 + 3 = 13, 9 + 4 = 13, 8 + 5 = 13, 7 + 6 = 13


Vsak učenec si naj skicira svojo uro (obveza je, da je analogna in da

vsebuje vse številke) – najbolje, če s kemičnim svinčnikom, voščenko,

flomastrom, nalivnim peresom. Reševanja se lotijo s svinčnikom, da lahko

napačne poskuse zradirajo.

Vsak učenec naj dobi A4 list papirja z urami in brez radiranja poskuša

rešiti aktivnost.

Od učencev skušajte zahtevati (ali pa vsaj od njih pričakujte), da se bodo

aktivnosti lotili po premisleku in da ne bodo začeli reševati s strategijo s

Znate urino številčnico razmejiti z dvema ravnima črtamo tako, da bo

vsota števil v vsakem razmejenem delu enaka?

Jo znate razmejiti na šest delov tako, da je vsota števil v vseh šestih

delih enaka?

80

poskusi in napakami. Na tak način lahko aktivnost rešujejo le v drugem

razredu, v primeru, da je skupina dovolj sposobna.

V drugem razredu lahko v primeru, da imajo učenci teţave z reševanjem

uporabite namige, ki so navedeni spodaj, sami ocenite, ali je smotrno

namige povedati vsem učencem v skupini ali le posameznikom. V tretjem

razredu prav tako uporabite namige, le da jih poveste individualno

učencem, ki imajo teţave. V četrtem razredu namige uporabite le v prvem

primeru – 1. del aktivnosti; individualno za vsakega učenca, ki ima teţave

in šele takrat, ko se učenec popolnoma ustavi. V petem razredu so namigi

skorajda nepotrebni, uporabite jih le v primeru, da se kateremu učencu

reševanje povsem ustavi.

V drugem razredu lahko učenci aktivnost rešujejo v parih ali v skupinah po

tri. V tem primeru poskrbite, da bo vsak učenec dal predlog, kako rešiti

aktivnost, da bo vsak učenec komentiral predlog sošolca v skupini in da

bodo v skupini poskusili vse predlagane predloge. V parih ali skupinah

lahko rešujete tudi v višjih razredih, vendar le v primeru, da učencem

aktivnost povzroča veliko teţav in nikakor ne pridejo do rešitve. V primeru,

da učenci rešujejo v parih ali skupinah, se skušajte izogniti dajanju

namigov ali jih uporabite le v primeru, ko pri opazovanju skupine ocenite,

da razmišljajo v napačni smeri ali ne najdejo nobene rešitve.

Od učencev (od tretjega razreda dalje) zahtevajte, da zapišejo ugotovitve.

Le-te bodo nekako vzporedne z namigi. Kar pomeni, da bo učenec med

razmišljanjem prišel do določenih sklepov. Na primer: Če moram

številčnico razdeliti z dvema ravnima črtama, jo lahko razdelim na 3 dele.

Če naj bodo seštevki v vsakem delu enaki, kako si lahko pomagam? Tako,

da število delov (3), razdelim s vsoto vseh števil (78). In tako dalje.

NAMIGI za 1. del aktivnosti:

Na koliko delov lahko razdeliš številčnico z dvema ravnima črtama?

Koliko bo vsota števil v vsakem delu?

Vsoto vseh števil na številčnici deli z številom delov.

Na koliko delov je številčnico bolj smiselno razdeliti?

81

Številčnico razdeli na tri dele.

Razdeli tako, da bo vsota števil v vsakem delu 26.

Številčnico razdeli na tri dele z dvema vzporednicama.

V enem delu so števila 11, 12, 1 in 2.

NAMIGI za 2. del aktivnosti:

Koliko bo vsota števil v vsakem delu?

Vsoto vseh števil na številčnici deli s številom delov (6).

Koliko števil bo v enem delu?

Poišči pare števil na številčnici, ki dajo vsoto 13.

Številčnico razdeli na šest delov z vzporednicami.

V enem delu sta števili 1 in 12.

DODATNE AKTIVNOSTI:

V drugem in tretjem razredu bo dovolj, če rešijo le prvi del aktivnosti,

nekoliko kasneje ali pa v višjem razredu pa še drugi del aktivnosti. Na tak

način preverimo, ali so učenci usvojili postopek reševanja. V četrtem in

petem razredu naj rešijo oba dela aktivnosti.

82

AKTIVNOST: POVEŢI PIKE

OPIS AKTIVNOSTI:

LITERATURA:




Poveţi z eno potezo.



Učenci naj aktivnost rešujejo s strategijo reševanja s poskusi in napakami.

Napotke dajemo le v primeru, če imajo učenci teţave z reševanjem.

Na sliki je devet točk. S štirimi ravnimi črtami poveţi vse pike, ne da

bi pri tem odmaknil svinčnik od papirja. Nobene pike ne smeš

izpustiti ali prečrtati dvakrat.

83

Napotki:

Črte, s katerimi povezujemo pike, so večje, daljše kot le od pike do pike.

Začni pri kateri koli od pik v kotu.

Dve povezovalni črti sta navpični ali vodoravni.

Dve povezovalni črti sta diagonalni.

DODATNE AKTIVNOSTI:

Na koliko različnih načinov lahko rešimo aktivnost? (4).

84

AKTIVNOST: ROKOVANJA

OPIS AKTIVNOSTI:

LITERATURA:




Na praznovanje Tinetovega rojstnega dneva je prišlo šest prijateljev

in prijateljic in vsi so se rokovali med seboj. Kolikokrat so si segli v

roke? (Vseh skupaj je bilo 7!)

85


Moţnost 1:

Moţnost 2:

Preglednica 11: Rešitev aktivnosti Rokovanja – moţnost 3

# Vseh otrok je 7. Vsak od njih se rokuje s šestimi prijatelji, kar pomeni:

7 · 6 = 42. Toda: Ko si v roke seţeta Tine in Miha, je to enako, kot da si v

roke seţeta Miha in Tine. To pomeni, da gre med njima za eno rokovanje.

Iz tega sledi: 42 ÷ 2 = 21. Kar pa pomeni, da je rokovanj za polovico manj.

Moţnost 3:

Število oseb Število rokovanj n ∙ (n – 1) ÷ 2 #

2 1 1 1 2 ∙ 1 ÷ 2 = 1

3 3 1 + 2 2+1 3 ∙ 2 ÷ 2 = 3

4 6 3 + 3 3+2+1 4 ∙ 3 ÷ 2 = 6

5 10 6 + 4 4+3+2+1 5 ∙ 4 ÷ 2 = 10

6 15 10 + 5 5+4+3+2+1 6 ∙ 5 ÷ 2 = 15

7 21 15 + 6 6+5+4+3+2+1 7 ∙ 6 ÷ 2 = 21

8 28 21 + 7 7+6+5+4+3+2+1 8 ∙ 7 ÷ 2 = 28

9 36 28 + 8 8+7+6+5+4+3+2+1 9 ∙ 8 ÷ 2 = 36

… … … … …

86

Moţnost 4:


Drugi razred:

Učencem damo nekaj trenutkov, da premislijo, in jih nato vprašamo, kaj

mislijo, kolikokrat so si segle v roke? Če kateri od učencev odgovori

pravilno, ga prosimo, da nam (torej vsem, ki nismo rešili pravilno) razloţi,

kako je prišel do rešitve. Učence nato prosimo, da na papir skicirajo, kako

in kolikokrat so se rokovale čarovnice. Če imajo s skiciranjem teţave,

povabimo štiri učence pred razred, jih postavimo tako, da se vsi gledajo, in

jih prosimo, naj se rokujejo – zaporedoma, ne vsi povprek. Ostali učenci

so v vlogi opazovalcev in morajo beleţiti, kolikokrat so se "čarovnice"

rokovale. Nato jih vprašamo, kolikokrat bi se rokovale, če bi na skrivni

sestanek prišle tri čarovnice.

Za konec učence prosimo, da rokovanja skicirajo s pikami in črtami –

pokaţemo jim primer rokovanja dveh čarovnic. Po njihovih navodilih pa na

☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺

● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

● ● ● ● ● ●

● ● ●

●

☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

● ● ● ● ● ● ● ● ●

● ● ● ● ● ● ●

● ● ● ● ●

● ● ●

●

Na skrivni sestanek so prišle štiri čarovnice. V pozdrav so se

rokovale. Kolikokrat so si segle v roke?

87

tablo narišemo, skiciramo tudi primer rokovanja treh čarovnic. Sami naj

nato narišejo primer rokovanja štirih čarovnic. Nato naj skušajo na podlagi

skic, ki so jih narisali, narisati še primer rokovanja petih čarovnic.

Tretji razred:

Učencem damo nekaj trenutkov, da premislijo, in jih nato vprašamo, kaj

mislijo, kolikokrat so se rokovali? Če kateri od učencev odgovori pravilno,

ga prosimo, da nam (torej vsem, ki nismo rešili pravilno) razloţi, kako je

prišel do rešitve. Učence nato prosimo, da na papir skicirajo, kako in

kolikokrat so se rokovali oficirji. V primeru, da nihče ni aktivnosti rešil

pravilno in da nihče ne ve, kako bi se aktivnosti lotil, pokličemo pred

razred 4 učence, vse, ki so ostali za mizami, pa vprašamo, kaj mislijo,

kolikokrat se bodo rokovali in zakaj tako mislijo. Če kateri učenec odgovori

pravilno, ga vprašamo, oz. ga zadolţimo, da na izbranih učencih prikaţe

svoj odgovor. Dejansko situacijo skiciramo na tablo in na podlagi te skice

naj učenci skušajo ugotoviti, kolikokrat se je rokovalo šest oficirjev. Rešitev

naj skicirajo. Njihove skice primerjajte med seboj, skušajte doseči skice,

podobne Moţnosti 2 ali 3. Če sami najdejo kak drug način skiciranja, iz

katerega je dobro razviden potek rokovanj, ga "posvojite".

Četrti in peti razred:

Učenci naj aktivnost rešujejo samostojno in individualno. V primeru, da

ima kateri od njih teţave z reševanjem, mu pomagamo individualno.

Napeljemo jih k risanju skice ali oblikovanju grafa. Ko učenci aktivnost

rešijo, primerjamo njihove rešitve. Učenci naj razloţijo, kako so prišli do

rešitve in zakaj mislijo, da imajo prav (predvsem v primerih, ko je rešitev

napačna, moramo poslušati in poudariti razlago). Učenci morajo drug

drugega poslušati in v primeru, da ugotovijo, da so aktivnost rešili narobe,

Pred angleško kraljevo palačo se je srečalo šest oficirjev kraljeve

garde. Vsi so se rokovali. Kolikokrat so si segli v roke?

88

napako odpraviti. Ko je aktivnost rešena, med seboj primerjamo tudi

različne načine reševanja (lahko s skico, grafom, računsko). V primeru, da

je otrok aktivnost rešil s pomočjo skice, jo naj reši tudi tako, da oblikuje

graf ali preglednico ali računsko in obratno.

Cilj aktivnosti je, da otrok vidi, da lahko rešitev aktivnosti prikaţe, zapiše

na več različnih načinov.

Učenci naj aktivnost rešujejo samostojno in individualno. V primeru, da

ima kateri od njih teţave z reševanjem, mu pomagamo individualno.

Napeljemo jih k risanju skice ali oblikovanju grafa. Ko učenci aktivnost

rešijo, skušamo poiskati najbolj izvirne zapise, rešitve. Vsak učenec naj

predstavi svojo strategijo. Nato jih izzovete, da skušajo s svojo strategijo

zapisati, kolikokrat bi se rokovali dve osebi, tri, štiri itd. Svojo strategijo naj

torej poskušajo posplošiti.

DODATNE AKTIVNOSTI:

Aktivnost lahko v višjih razredih oteţite tako, da npr. učenci med seboj

primerjajo zapisane strategije. Nato vsak svojo zagovarja. Zakaj misli, da

je njegova boljša od strategije njegovega sošolca/ke ali zakaj bi raje izbral

drugo strategijo. Če kateri od učencev ne razvije svoje strategije, lahko

prevzame strategijo drugega učenca, vendar pa naj poskuša pojasniti,

zakaj se je odločil za uporabo te. V primeru, da v četrtem in petem razredu

nihče od učencev ne oblikuje katere od strategij, ki so predstavljene pri

Rešitvi aktivnosti, jim pokaţite, kako bi se aktivnosti lotili sami. Cilj te

aktivnosti je tudi ta, da učenci ugotovijo in razumejo, da obstaja več

pravilnih poti, po katerih lahko pridemo do rešitve nekega problema.

Če aktivnost izberete kot uvodno – torej za prvi stik z učenci, potem lahko

uporabite tudi, kako se pozdravljajo drugi narodi ali celo ţivali – Francozi

se poljubljajo na lička, eskimi se podrgnejo z noski; kuţki se ovohajo…

Lahko pa si izmislite tudi svoj pozdrav – kako se boste vsako srečanje

pozdravili med sabo. Npr. da se podrgnete s hrbtno stranjo roke, da se

dotaknete z kazalcem leve roke, da zaokroţite drug okoli drugega ali pa si

izmislite serijo stiskov roke.

89

AKTIVNOST: KRAVE IN HLEVI, PSIČKI IN KOŠARE

OPIS AKTIVNOSTI:


Tehtanja. Najmanjši in največji.


Na travniku se pase 9 krav. Poleg travnika stojijo trije hlevi (A, B,

C). Ker se bliţa noč, se krave začno počasi odpravljati v hleve.

Toda hlevi so različno veliki. V hlev A gre enkrat manj krav kot v

hlev B. V hlevu C je prostora za 3 krave, kar je za eno kravo manj

kot v hlevu B. Koliko krav gre lahko v hlev A?

90


V hlevu A sta dve kravi (kuţka…), v hlevu B so štiri krave (kuţki…), v

hlevu C so tri krave (kuţki…).


V drugem razredu se pri aktivnost lahko pojavijo teţave. Učenci si morajo

aktivnost dobro prebrati, delajo naj s konkretnim materialom. Namesto

namigov, jih pripravite do tega, da izpostavijo podatke, pomembne za

rešitev (v hlevu C so tri krave ali da so te tri krave v hlevu C za eno kravo

manj kot v hlevu B in, ali, da je v hlevu A enkrat manj krav kot v hlevu B.).

Ko imajo učenci te podatke izpostavljene, se bodo laţje lotili reševanja.

Aktivnost lahko izvajate v dvojicah ali pa v skupinah.

V tretjem razredu z aktivnostjo ne bi smeli imeti teţav. Sprva jo lahko

poskušate rešiti tako, da učencem daste samo zapisano aktivnost. Naj jo

večkrat preberejo, skušajo rešiti sami. Naj si izpišejo pomembne podatke.

Če se pri reševanju pojavijo teţave, jih razdelite v večje skupine in naj se

o rešitvi pogovorijo, diskutirajo s sošolci.

V četrtem razredu lahko aktivnost uporabite, če vam pri kateri drugi ostane

nekaj časa. Učenci z reševanjem ne bi smeli imeti teţav.

91

AKTIVNOST: SESTAVLJANJE TESTA

OPIS AKTIVNOSTI:


Jih ni. Test rešuje izvajalec sam, pri določenih nalogah se lahko tudi

nalašč zmotite. Ko učencem rešene teste vrnete, jih morajo pregledati in

ovrednotiti. Skupaj se pogovorite o tem, kako so se počutili ob pisanju

testov, kaj se jim je zdelo teţko in kaj lahko.


Zavedajte se, da je učencem v niţjih razredih (drugi, tretji razred) zelo

teţko napisati test, ker jih ne poznajo. Učenci se bodo predvsem

koncentrirali na vizualno podobo testa in ne toliko na vsebino.

Učencem povem, da bomo enkrat za spremembo zamenjali vloge

tako, da bom jaz njihov učenec/učenka, oni pa moji učitelji. Njihova

naloga je, da sestavijo test z matematičnimi nalogami, ki jih bom jaz

reševal/a. Ni vaţno, katero področje matematike si bodo izbrali,

opozorim jih le na to, da naj poskusijo sestaviti čim teţje naloge, da

morajo vse naloge znati rešiti sami in naj bodo pri tem izvirni. Teste

rešim tako, da se pri nekaterih nalogah nalašč zmotim. Učenci

dobijo teste nazaj in jih morajo vrednotiti (popraviti morebitne

napake in napisati oceno).

92

AKTIVNOST: TEHTANJE

OPIS AKTIVNOSTI:


Stol tehta 10 kg, omara tehta 20 kg, postelja tehta 20 kg, miza tehta 10 kg.


V drugem razredu lahko učencem aktivnost predstavite na slikovnem

nivoju. Lahko jim aktivnost predstavite tudi zapisano na delovnem listu,


V sobi imamo različne dele pohištva, zanima pa nas njihova teţa.

Kolikšna je teţa stola, omare, postelje in mize, če vemo:

da dva stola skupaj tehtata 20 kg,

da stol in omara skupaj tehtata 30 kg,

da postelja in trije stoli skupaj tehtajo 50 kg,

da dva stola, omara in miza skupaj tehtajo 50 kg.

93

vendar prej preverite, če učenci ţe znajo brat. V višjih razredih aktivnost

izvedite brez pripomočkov in računanja, torej na pamet.

Učence v tretjem in četrtem razredu razdelite v pare. Vsak učenec si naj

izmisli podobno aktivnost tudi sam in jo zastavi svojemu »nasprotniku« v

paru. Vendar naj spremenijo kaj več kot le podatke o teţi ali vrsti

predmetov. Lahko tudi priredite tekmovanje, kdo si bo izmislil najbolj

zanimivo novo aktivnost.

DODATNE AKTIVNOSTI:

Aktivnost lahko priredite, zamenjate ali spremenite podatke o teţi ali

podatke o predmetih.

94

AKTIVNOST: POLŢ IN STEBER

OPIS AKTIVNOSTI:

LITERATURA:




Za plezanje potrebuje 6 dni.

5x – (x – 1) · 4 = 10


Polţ pleza na 10 metrov visok steber. Podnevi spleza 5 metrov,

ponoči pa se spusti 4 metre niţje. Koliko dni bo potreboval do vrha

stebra?

95

Podnevi: Ponoči:

1. dan: 0 m + 5 m = 5 m; 5 m – 4 m = 1 m

2. dan: 1 m + 5 m = 6 m; 6 m – 4 m = 2 m

3. dan: 2 m + 5 m = 7 m; 7 m – 4 m = 3 m

4. dan: 3 m + 5 m = 8 m; 8 m – 4 m = 4 m

5. dan: 4 m + 5 m = 9 m; 9 m – 4 m = 5 m

6. dan: 5 m + 5 m = 10 m; 10 m – 4 m = 6 m

7. dan: 6 m + 5 m = 11 m

Preglednica 12: Rešitev aktivnosti Polţ in steber


Aktivnost skupaj preberite in nato učencem dajte nekaj časa, da o njej

razmislijo. Lotijo se naj reševanja, kot ţelijo. Lahko z risanjem skice ali pa

na kak drug način. Verjetno bodo vsi takoj rekli, da polţ za plezanje porabi

10 dni. Če vam odgovorijo s tem odgovorom, potem od njih zahtevajte, da

vam to tudi dokaţejo, z risanjem, z računom ipd… Naj ne bo vaša prva

reakcija, da rešitev ni pravilna. Učenci naj povedo in utemeljijo, zakaj

mislijo, da je pravilna in zakaj nekdo drug misli, da ni. Ko boste skupaj

ugotovili pravilen odgovor, naj bo zadolţitev učencev ta, da skicirajo pot, ki

jo je opravil polţ in naj z nekaj stavki opišejo, kako so prišli do rezultata.

Dan 1

Noč 1

Dan 2

Noč 2

Dan 3

Noč 3

Dan 4

Noč 4

Dan 5

Noč 5

Dan 6

Noč 6

Dan 7

10 m

9 m

8 m

7 m

6 m

5 m

4 m

3 m

2 m

1 m

96

DODATNE AKTIVNOSTI:

Lahko naredite katero od spodnjih aktivnosti, ali pa spremenite podatke pri

osnovni aktivnosti. Dodatnih aktivnosti ne delajte naenkrat, ampak naj

med njimi mineta dve do tri srečanja, tudi več.

1. Leni pajek se vzpenja na drevo, ki je visoko 16 m. Najprej se 1 uro

vzpenja 4 m visoko, nato pa 1 uro počiva in ta čas zdrsne po drevesu 1

m navzdol. Čez koliko časa bo dosegel vrh drevesa, na katerem ima

spleteno svojo mreţo?

2. Lastovica leti proti svojemu gnezdu, ki je od nje oddaljeno 20 m. Vendar

piha zelo močan veter. Vsako 1 minuto veter popusti in ptica se

premakne za 2 m bliţe gnezdu. Ko veter začne ponovno pihati,

lastovica obstane na mestu za še 1 minuto. Čez koliko minut bo

dosegla gnezdo?

3. Koala na drevesu…

97

AKTIVNOST: NAJMANJŠI IN NAJVEČJI

OPIS AKTIVNOSTI:

LITERATURA:


Mladinska knjiga. Naloga 235, 275 in 280.


Krave in hlevi.


Štefan – največji, Tomo, Joţe – najmanjši.


V razredu so trije prijatelji: Joţe, Štefan in Tomo. Pri urah telesne

vzgoje stojijo v vrsti drug za drugim: najvišji spredaj, za njim srednji

in na koncu najmanjši. Štefan ni manjši od Toma in Joţe ni večji od

Toma. Kateri izmed njih je najmanjši, kateri srednji in kateri največji?

98


Učenci niţjih razredov si lahko pomagajo s skiciranjem. V višjih razredih bi

znali aktivnost rešiti brez skic, torej na pamet.

DODATNE AKTIVNOSTI:

Tovrstne aktivnosti se pojavljajo ţe v učbenikih za matematiko, zato jih

učenci poznajo in nimajo teţav z reševanjem. Veliko dodatnih aktivnosti

lahko najdemo v knjigi Moja zabavna matematika, navajamo dva primera:

1. Deţurstvo v knjiţnici: Knjiţničarka mora razporediti dekleta na

deţurstvo v ponedeljek, torek in sredo. Takrat naj bi deţurala Ana,

Vesna in Mia, vendar so povedale svoje ţelje. Ana: »V sredo ne morem

deţurati, ker imam računalniški kroţek.« Vesna: »Ob torkih imam

plavanje.« Mia: »Mene lahko določite za torek.« Knjiţničarka jim je

izpolnila ţelje. Kako je razporedila dekleta?

Rešitev: Ana – ponedeljek, Vesna – sreda, Mia – torek.

Aktivnost oteţite tako, da dodate podatke in osebe še za četrtek in petek.

2. Katera je plesala? Na svečanosti ob koncu šolskega leta so sodelovale

pri programu tri učenke 3. razreda: Sanja, Mateja in Saša. Samo ena od

njih je plesala v folklorni skupini. Prijateljice iz sosednje šole so jih

kasneje vprašale, katera je plesala v folklorni skupini, Sanja pa je

odgovorila: »Naj odgovori vsaka od nas, ve pa uganite, katera je

plesala. Vendar si zapomnite, da Saša vedno govori resnico.« »Dobro

so se strinjale prijateljice, »pa poslušajmo.« Sanja: »Jaz sem plesala.«

Mateja: »Jaz nisem plesala.« Saška: »Ena od sošolk govori resnico,

druga pa ne.« Dekleta s sosednje šole so se zamislila. Pomagaj jim!

Najprej ugotovi, katero dekle – Sanja ali Mateja – govori resnico, potem

je lahko odgovoriti na vprašanje, katera je plesala.

Rešitev: Resnico govori Mateja, laţe pa Sanja; kajti, če bi Sanja govorila

resnico, potem bi Mateja govorila neresnico, to pa ni mogoče, ker bi to

pomenilo, da je plesala tudi Mateja, kar pa ni res, ker je znano, da je

plesalo le eno dekle.

99

AKTIVNOST: MAGIČNI KVADRATI

OPIS AKTIVNOSTI:

LITERATURA:


Mladinska knjiga. Naloge 360 – 365, 367 in 371.


Rešitev je pri tej aktivnosti veliko. Dejansko je veliko odvisno od tega, kako

aktivnost predstavite učencem.

Preglednica 13: Primeri magičnih kvadratov v mreţi 3 × 3

2 7 6

9 5 1

4 3 8

1. a Magična vsota je 15. (Izpolnjena so polja, ki so poudarjena.) 1. b V magični kvadrat vpiši številke od 1 do 9, tako da bo seštevek v vsaki smeri 15.

V prazna polja morajo učenci vpisati različna števila (vsako število

se lahko ponovi le enkrat, oz. če hočemo nalogo narediti teţjo, se

nobeno število ne sme ponoviti), tako da je vsota števil v vsaki vrsti

oziroma stolpcu konstantna.

Teţavnost naloge povečamo tako, da zvečamo število stolpcev in

vrstic (npr. naredimo mreţo 4 x 4). Za laţji začetek pa lahko

učencem nekaj števil ţe vpišemo v magični kvadrat.

100

3 1 2

1 2 3

2 3 1

2. a V prazna polja vpiši številke 2, 2, 2, 3, 3, 3, tako da bo seštevek v vsaki smeri 6. (Izpolnjena so polja, ki so poudarjena.) 2. b Magična vsota je 6. Izpolni polja s številkami, tako da bo v vsakem stolpcu in vrstici seštevek števil 6.

4 7 3

4 1 9

6 6 2

3. a Magična vsota je 14. (Izpolnjena so polja, ki so poudarjena.) 3. b Dopolni magični kvadrat, tako da bo v vsakem stolpcu in vrstici seštevek števil enak. Števila se lahko ponovijo enkrat.

5 10 3

4 6 8

9 2 7

4. a Magična vsota je 18. (Vsa polja so prazna.) 4. b Izpolni prazna polja s številkami od 2 do 10, tako da bo seštevek v vsaki smeri 18.

11 4 9

6 8 10

7 12 5

5. a Magična vsota je 24. 5. b Dopolni magični kvadrat, tako da bo v vsakem stolpcu in vrstici seštevek števil enak. Števila se ne smejo ponoviti.

10 3 8

5 7 9

6 11 4

6. a V prazna polja vpiši številke 3, 4, 5, 6, 8, 9, tako da bo seštevek v vsaki smeri 21. 6. b Dopolni magični kvadrat, tako da bo v vsakem stolpcu in vrstici seštevek števil enak. Števila se ne smejo ponoviti.

12 2 16

14 10 6

4 18 8

7. a V prazna polja vpiši številke 2, 4, 6, 8, 12, 14, 16, 18, tako da bo seštevek v vsaki smeri 30. 7. b Magična vsota je 30. Izpolni polja s številkami, tako da bo v vsakem stolpcu in vrstici seštevek števil 30. Števila se ne smejo ponoviti.

11 4 9

6 8 10

7 12 5

8. a V prazna polja vpiši številke 4, 6, 7, 9, 10, 11, 12, tako da bo seštevek v vsaki smeri 24. 8. b Magična vsota je 24. Izpolni polja s številkami, tako da bo v vsakem stolpcu in vrstici seštevek števil 24. Števila se ne smejo ponoviti.

7 17 3

5 9 13

15 1 11

9. V prazna polja vpiši vse neparne številke od 1 do 17, tako da dobiš pri seštevanju v vsaki smeri vsoto 27.

101

Preglednica 14: Primeri magičnih kvadratov v mreţi 4 × 4

9 19 5

7 11 15

17 3 13


19 29 15

17 21 25

27 13 23


26 21 28

27 25 23

22 29 24

12. Magični kvadrat izpolni s števili 21, 22, 23, 24, 26, 27, 28, 29, tako da bo seštevek v vsaki vrstici in stolpcu 75.

20 27 22

25 23 21

24 19 26

13. Magični kvadrat izpolni s števili 19, 20, 21, 22, 24, 26, 27, tako da bo seštevek v vsaki vrstici in stolpcu 69.

49 54 47

48 50 52

53 46 51

14. Magični kvadrat izpolni s števili 46, 47, 48, 49, 52, 53, 54, tako da bo seštevek v vsaki vrstici in stolpcu 150.

15. Sedaj, ko poznaš magične kvadrate, si izmisli svojega. Magična vsota je ___ .

13 12 3 6

10 8 15 1

7 9 2 16

4 5 14 11

1. a Magična vsota je 34. Uporabi števila od 1 do 16, vendar se nobeno ne sme ponoviti. (Izpolnjena so polja, ki so poudarjena.) 1. b V magični kvadrat vpiši številke od 1 do 16, tako da bo seštevek v vsaki smeri 34.

102


Reševanje aktivnosti je v veliki meri odvisno od razreda in predstavitve

aktivnosti. V drugih razredih bo najlaţje, če boste učencem določene

številke ţe vpisali v kvadrat. Lahko jo predstavite tako, da na tablo, skupaj

z učenci, izpolnite različne preglednice velikosti 2 x 2. Vpišete na primer

eno številko, učenci pa morajo izpolniti preostale 3 prazne kvadrate. Nato

jim razdelite delovne liste z magičnimi kvadrati velikosti 3 x 3. Izberete eno

ali več števil, ki jih učenci zapišejo v kvadrate, ki jih določite, nato pa

morajo sami poiskati ostala števila. Primer 3.

V tretjem in višjih razredih učencem števil ni potrebno vpisovati v kvadrate

vnaprej. Skupaj lahko rešite nekaj primerov magičnih kvadratov 2 x 2, nato

naj rešitve iščejo sami. aktivnost je za učence zelo zanimiva in kmalu bodo

sami iskali nove rešitve in tudi povečevali obstoječ magični kvadrat. V

četrtem in petem razredu se lahko preizkusijo z magičnimi kvadrati

dimenzije 5 x 5.

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1


14 7 1 12

9 4 6 15

8 13 11 2

3 10 16 5


4. Sedaj, ko poznaš magične kvadrate, si izmisli svojega. Magična vsota je ___ .

103

V vsakem primeru naj najprej skušajo najti rešitve tako, da se števila v

kvadratu lahko ponavljajo. In ko najdejo en ali več takšnih primerov, naj

poiščejo nato še magične kvadrate, v katerih se števila ne ponovijo.

Primer 1, 5, 6, 7, 8.

DODATNE AKTIVNOSTI:

1. Soduku.

2. V kroţce trikotnika vstavi številke od 1 do 9, tako da bo seštevek številk

na vsaki stranici 20.

3. V kroţce trikotnika vstavi številke od 1 do 9, tako da bo seštevek številk

na vsaki stranici 17.

104

AKTIVNOST: DESET KOVANCEV

OPIS AKTIVNOSTI:

LITERATURA:





Aktivnost je nekoliko bolj primerna za učence od tretjega razreda dalje.

Pripravite jim kroţce (povprašajte razredno učiteljico, če jih lahko dobite v

šoli) ali pa jih izreţite iz kartona. Uporabite lahko tudi gumbe. Obe sliki

projicirajte na grafoskopu ali pa jih narišite na tablo. Lahko pa aktivnost

razdelite učencem tudi zapisano na delovnem listu. Nato naj jo sami

poskušajo rešiti, na primer tako, da si vsak v razredu najde svoj skrivni

kotiček, kar bo seveda pripomoglo k samostojnem reševanju problema.

Mlajši kot so otroci, teţja jim bo aktivnost. Njihov prvi odgovor bo, da se je

ne da rešiti. Če se bo komu od učencev posrečilo, naj svoje strategije ne

pokaţe takoj sošolcem, ampak naj bo to le potrditev, da je aktivnost

rešljiva.

↓ ↓

Nada je postavila kovance tako, kot prikazuje prva slika. Nato je s

tem, da je premaknila samo tri kovance, postavila razpored, ki ga

kaţe druga slika. Kako je to naredila?

Razporeditev 1 Razporeditev 2

105

V primeru, da imajo vsi učenci teţave, lahko aktivnost olajšate na dva

načina. Odvisno je tako od vas, kot od otrok, kateri način jim bo bolj

pomagal.

Prvi način: Na projekciji izpostavite »roţico«, torej tistih sedem kroţcev, ki

se ne premaknejo, ki ostanejo na mestu. Nekaterim učencem bo ta prvi

korak pomoči takoj razkril rešitev, drugim učencem pa kot naslednji korak

predlagajte, naj skušajo te tri kroţce, ki ne sodijo v »roţico«, premakniti

tako, da bodo dobili postavitev, razporeditev na drugi sliki.

Drugi način: Nekaterim učencem bo morebiti bolj blizu in laţje razumljivo,

predstavljivo, če kroţce ločite z vodoravnimi črtami in poudarite število

kroţcev v posameznih vrsticah. Oziroma, če njihovo pozornost usmerite

na enakosti med obema postavitvama. V tem primeru morate postavitvi

predstaviti nekoliko drugače: obe »roţici« sta v isti višini (prvi namig), in

sta barvno izpostavljeni (drugi namig).

DODATNE AKTIVNOSTI:

Iz kovancev, gumbov… je sestavljen trikotnik na sliki a. Oblikuj sliko b

tako, da premakneš 2 kovanca, gumba.

Rešitev: Ena od rešitev:

SLIKA A SLIKA B SLIKA A SLIKA B

106

AKTIVNOST: VOLK, KOZA IN ZELJE

OPIS AKTIVNOSTI:

LITERATURA:




Čez reko.


Neki moţ je moral prepeljati čez reko volka, kozo in zelnato glavo. V

čolnu je bilo prostora samo za moţa, ob njem pa še za kozo, zelje ali

volka. Toda, če pusti volka s kozo, bo volk kozo pojedel; če pusti

kozo z zeljem, bo koza pojedla zelje; če je prisoten moţ, pa seveda

ne bo nihče nikogar ali ničesar pojedel. Moţu se je vendarle

posrečilo prepeljati čez reko volka, kozo in zelje. Kako je to naredil?

107


Rešitvi sta dve.

Rešitev 1: Najprej čez reko pelje kozo – volk zelja ne bo pojedel. Nato se

vrne po volka, ga prepelje čez reko, vzame kozo in jo odpelje nazaj k

zelju. Kozo pusti na prvem bregu, vzame zelje, ga pelje do volka in se

nato vrne po kozo.

Rešitev 2: Najprej čez reko pelje kozo – volk zelja ne bo pojedel. Nato se

vrne po zelje, ga prepelje čez reko, vzame kozo in jo odpelje nazaj k

volku. Kozo pusti na prvem bregu, vzame volka, ga pelje do zelja in se

nato vrne po kozo.


Učenci kmalu ugotovijo, kdo se čez reko pelje prvi. Večinoma se jim

ustavi, ker ne ugotovijo, da se lahko peljejo tudi nazaj. Največkrat jim je to

dejstvo treba izpostaviti, vendar je veliko bolj učinkovito, da to spoznajo

sami. Kako? Na primer z vprašanjem: »Kaj bi lahko sedaj naredili? Kaj

mislite, kaj bi bilo potrebno storiti, da bi aktivnost lahko rešili?« Ali

konkretneje: »Najprej ste čez reko prepeljali kozo, sedaj ste se vrnili po

zelje (volka) in ker imate oba na istem bregu, se bosta pojedla, če jih

pustite sama. Kaj bi lahko naredili, da se to ne bi zgodilo?« Veliko boljše

bo, če boste ta vprašanja postavljali učencem individualno.

Če se aktivnosti lotite v drugem razredu, potem zagotovite, da boste

aktivnost reševali z igro vlog. Na papir skicirajte slike volka, koze, zelja in

moţa, na tla učilnice narišite reko, učenci naj aktivnost zaigrajo. Ko

aktivnost rešite, jim še razdelite delovni list, na katerem naj s pomočjo

konkretnih materialov ponovno rešijo aktivnost in jo obenem skicirajo,

nekako tako, kot kaţe preglednica.

108

Preglednica 15: Potek reševanja aktivnosti Volk, koza in zelje

– moţ – volk – zelje – koza

V tretjem razredu igra vlog ni potrebna, je pa priporočljivo, da imajo učenci

ob sebi konkreten material. Rešitev naj skicirajo ali pa napišejo z

besedami (na primer ob skici). Opozorite jih, da ima aktivnost dve rešitvi,

zato naj poiščejo obe.

V četrtem in petem razredu naj aktivnost rešujejo samostojno, brez

pripomočkov, ali pa si jih naj izdelajo sami. Rešitev naj po korakih zapišejo

z besedami (ali pa jo skicirajo), zapišejo pa naj tudi ugotovitve.

Ugotovitve:

1. Pri obeh rešitvah najprej čez reko peljem kozo.

2. Kozo nato lahko peljem nazaj.

3. V tretjem koraku lahko čez reko peljem ali zelje ali volka.

Napotki:

Pripomočki.

Skica.

Koga lahko moţ čez reko pelje prvega?

Začetek

1. korak → →

2. korak

3. korak → →

4. korak ← ←

5. korak

6. korak → →

7. korak

8. korak → →

Konec

109

Koga bi lahko moţ peljal čez reko drugega?

Človek lahko vozi volka, kozo in zelje v obe smeri.

Če bo kot 2. Peljal volka, naj kozo pusti samo z njim?

Volka naj moţ pusti na drugem bregu, kozo pa odpelje nazaj s sabo.

Koga naj pelje nato? Kozo ali zelje?

Ali bi lahko aktivnost rešili drugače? Kako?

DODATNE AKTIVNOSTI:

Nekaj tednov za tem, ko rešite to aktivnost, učencem predstavite še

aktivnost Čez reko. V vseh razredih (razen drugega) z reševanjem ne bi

smeli imeti teţav. Preden jim poveste, da je aktivnost Čez reko v principu

enaka aktivnosti Volk, koza in zelje, jim pustite nekaj časa, da aktivnost

skušajo rešiti sami – šele če se jim ne posreči, jih opomnite na to

aktivnost.

110

AKTIVNOST: MATEMATIČNI KVIZ

OPIS AKTIVNOSTI:

Otrokom zastavljamo vprašanja, ti pa morajo na njih odgovarjati kar

se da hitro:

Dečka sta našla na cesti 5 evrov. Koliko evrov bi na isti cesti

našlo pet dečkov?

Štirje kosci pokosijo travnik v dveh dneh. V kolikšnem času bo isti

travnik pokosilo osem koscev?

Štirje kmetje so šli v mesto. Spotoma so srečali dva kmeta.

Koliko kmetov je šlo v mesto?

Gorelo je šest sveč. Štiri so ugasnile. Koliko sveč je ostalo?

V druţini je sedem bratov. Vsak brat ima eno sestro. Koliko je

vseh otrok?

Kaj je laţje, kilogram vate ali kilogram ţeleza?

Koliko prstov je na dveh rokah? Koliko prstov je na desetih

rokah?

Par konj je pretekel 20 km. Koliko km je pretekel vsak konj?

Dva sinova in dva očeta so pojedli tri jajca. Koliko jajc je pojedel

vsak?

Petelin, ki stoji na eni nogi, tehta 2,5 kg. Koliko bo tehtal, če se

postavi na obe nogi?

Vsaka palica ima dva konca. Koliko koncev ima palica in pol?

111

LITERATURA:


Mladinska knjiga. Naloge 32, 42, 26, 30, 78, 85, 183, 201, 210 in 318.

Naloge za nekoliko bolj temeljito razmišljanje in pisalo ter prazen

list (četrti, peti razred):

Kolikokrat na dan (v 24 urah) minutni kazalec na uri prehiti

urnega?

Od kosa blaga dolţine 27 m odreţe šivilja po 3 m za eno obleko.

Kolikokrat mora šivilja prerezati blago, da bo vsega razrezala na

kose po 3 m?

Kokoš in pol znese v dnevu in pol jajce in pol. Koliko jajc znese

devet kokoši v devetih dneh?

Na koliko načinov je mogoče sestaviti vlakovno kompozicijo treh

potniških in dveh tovornih vagonov, če tovorna vagona ne smeta

biti pripeta drug na drugega?

S posodama za 3 litre in 5 litrov odmerite iz vodovodne pipe v

vrč 4 litre vode.

Kateri dve števili imata to »lastnost«, da je njun seštevek enak

njunemu zmnoţku?

Lonec valjaste oblike je do vrha poln vode. Kako bi lahko

odmerili točno polovico vode, ne da bi uporabili kakršnokoli

drugo posodo ali mersko pripravo?

Na mizi so trije polni in trije prazni kozarci, razvrščeni v vrsto.

Spremeni njihov vrstni red tako, da bodo razvrščeni izmenično,

vendar lahko pri tem v roko vzameš le en kozarec.

112


1.

5 evrov. Denar ne leţi na cesti kar tako.

Travnik je ţe pokošen.

Štirje. Dva kmeta, ki so jih srečali, nista šla v mesto.

Dve.

Osem.

Enako.

50.

20 km.

Vsak je pojedel eno jajce – bili so sin, oče in dedek.

2,5 kg.

Štiri konce.

2.

Dvaindvajsetkrat.

Osemkrat.

54 jajc.

KOKOŠI JAJCA DNEVI JAJCA

1,5 + 1,5 = 3 1,5 + 1,5 = 3 1,5 + 1,5 = 3 9 + 9 = 18

3 + 1,5 = 4,5 4,5 4,5 9 · 3 = 27

4,5 + 1,5 = 6 6 6 9 · 4 = 36

6 + 1,5 = 7,5 7,5 7,5 9 · 5 = 45

7,5 + 1,5 = 9 9 > v 1,5 dneva = 9 jajc 9 9 · 6 = 54

6 načinov.

P T P T P P T P P T P P T P T

T P P P T T P T P P T P P T P

113

Napolnijo petlitrsko posodo in iz nje napolnijo trilitrsko posodo, ostanek

zlijejo v vrč (2 litra). Postopek ponovijo še enkrat in v vrču bo 4 litre

vode.

0 in 2.

Lonec nagnemo, da iz njega odteče toliko vode, da se

preostala voda »dotakne dna«.

Vzamemo kozarec številka dve in vodo iz njega prelijemo v kozarec

številka pet.


To aktivnost lahko izvajamo na zelo različne načine. Lahko kot tekmovanje

individualno, v dvojicah, skupinah, med razredi. In tudi tekmovanj je več

vrst. Torej je izvedba aktivnosti povsem prepuščena vaši presoji, izbiri.

Vendarle pa je treba upoštevati, da tudi te aktivnosti imajo nek cilj in jih je

treba rešiti smiselno. Kot prvo je pomembno to, da vsak učenec o

aktivnosti razmisli in poišče odgovor. Kar pomeni, da če učenci delajo v

skupini, mora vsak učenec najti odgovor na zastavljeno vprašanje, vsak

učenec mora svoj odgovor deliti, povedati skupini in skupina se skupaj

odloči, kateri odgovor je pravilen.

114

AKTIVNOST: ENAJST MOSTOV

OPIS AKTIVNOSTI:

LITERATURA:




Poveţi z eno potezo.


Je mogoče. Moţnih rešitev je več. Ena od moţnosti:


Na sliki je jezero s tremi otočki in enajstimi mostovi. Ali je mogoče

obhoditi vseh enajst mostov, tako da gremo čez vsakega enkrat?

115


Aktivnost je izvedljiva v vseh razredih. Učenci se bodo reševanja lotili s

poskušanjem. Aktivnost je rešljiva, vendar ne v praktični situaciji – Kako

pridemo na mali otoček ali z njega, ne da bi prehodili isti most dvakrat?

Če imate moţnost, učence peljite ven na dvorišče in situacijo narišite s

kredami na tla. Učenci naj aktivnost poskušajo rešiti. Tako boste ugotovili

tudi, da aktivnost je rešljiva, če je pravilo takšno, da gremo čez vsak most

enkrat in se nam ni treba vrniti na izhodiščno točko. Če pa je pravilo

takšno, da se moramo vrniti na izhodiščno točko, pa aktivnost ni rešljiva.

Nato aktivnost rešite še v razredu, s skiciranjem na papir.

116

AKTIVNOST: OBLAČENJE

OPIS AKTIVNOSTI:

LITERATURA:




Na koliko načinov se lahko obleče dekle, ki ima 5 hlač in 4

puloverje?

117


Obleče se lahko na 20 različnih načinov.


Učenci bodo način reševanja dokaj hitro našli sami, ne glede na razred.

Teţave se lahko pojavijo v drugem razredu, vendar, če jih opomnimo, da

si naj hlače in puloverje narišejo, večjih teţav ne bo. V primeru, da

aktivnost izvajate na začetku šolskega leta (drugi in tretji razred), je bolje,

da za učence pripravite kartončke, na katerih so narisane hlače in

puloverji. Oni jih naj najprej pobarvajo, nato pa poiščejo vse moţne

odgovore, le-te pa naj na nek smiseln način tudi prikaţejo. (Delovni list,

preglednica…)

DODATNE AKTIVNOSTI:

Poiščite podobne aktivnosti z različnimi oblačili, predmeti. Lahko tudi z več

kombinacijami. Na primer: Na koliko načinov se lahko obleče Tadej, če

ima 4 dolge hlače, 7 majic in 2 puloverja?

118

AKTIVNOST: ZELENE IN RJAVE ŢABE

OPIS AKTIVNOSTI:

LITERATURA:

Fideršek, L. in Letonja, N. (1996). Zelene in rjave ţabe. V S. Kmetič (ur.)

Prispevki k poučevanju matematike (str. 271-274). Maribor: Rotis.

Razpet, N. (1996). Malo za šalo, malo za res. V S. Kmetič (ur.) Prispevki k

poučevanju matematike (str. 16). Maribor: Rotis.

Horvat, M. (1996). Raziskovanje pri pouku matematike. V S. Kmetič (ur.)


Ţabec Zdravko (zelene barve) in ţabica Ţiva (rjave barve) sta dobra

prijatelja. Stanujeta vsak v svoji mlaki. Ţabec Zdravko bi ţelel videti,

kako je pri ţabici Ţivi, ţabica Ţiva pa, kako je pri ţabcu Zdravku.

Zato se dogovorita, da bosta stanovanji za en dan zamenjala.

Vendar pa se morata pri menjavi drţati treh pravil:

Zelena ţaba lahko skoči samo v desno, rjava ţaba pa samo v

levo (ali obratno). Tak skok imenujemo PREMIK.

Ţabi lahko skočita na sosednji kamen le, če je prazen.

Ţaba lahko skoči čez drugo ţabo tako, da pristane v praznem

polju. To gibanje imenujemo SKOK.

Zeleni ţabec Zdravko se je čez eno leto poročil z zeleno ţabico,

rjava ţabica Ţiva pa z rjavim ţabcem. Svojima partnerjema sta

ţelela pokazati sosednjo mlako.

Ţabec Kviki, ţabec Kvaki, vsak bila sta v svoji mlaki. Ker samote sta se bala, sta si pismi napisala.

»Pridi, dragi ţabji brat, v mlako kdaj me obiskat! V dvoje nama bo lepo, sam ţiveti je teţko.«

(zapisal Jernej Zaplotnik, 5. razred; v Pilu, letnik 55, številka 9, maj 2003)

119

Kmetič, S. (1996). Od pojma do definicije. V S. Kmetič (ur.) Prispevki k

poučevanju matematike (str. 221-222). Maribor: Rotis.


Preglednica 16: Rešitev aktivnosti Zelene in rjave ţabe


Sliko dveh (treh, več) ţab poenostavite tako, da narišete kroţce ali

kvadrate, ki predstavljajo polje reševanja.

V drugem in tretjem razredu aktivnost začnite tako, da učencem preberete

navodila, pravila zapišete na tablo ter jih sočasno razloţite še s pomočjo

modelov. Nato pred tablo pokličite dva učenca in prinesite tri stole. En

učenec naj igra ţabca Zdravka, drugi pa ţabico Ţivo. Ostali učenci ju naj

premikajo v skladu s pravili. Sočasno naj izpolnjujejo preglednico.

1. 1.

2. 2.

3. 3.

4. 4.

5.

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

6. 11.

7. 12.

8. 13.

9. 14.

15.

16.

120

Nato se naj lotijo reševanja z dvema zelenima ţabicama in dvema rjavima

ţabicama. Pomagajo si naj s konkretnim materialom (iz kartona izrezane

ţabice in trak s tremi, petimi, sedmimi kamenčki). V drugem in tretjem

razredu naj rešijo vsaj primer s štirimi ţabicami, če jim aktivnost ne dela

preveč teţav, naj poskusijo še s šestimi ţabicami.

V četrtem in petem razredu prav tako preberite aktivnost in poudarite ter

razloţite pravila. To lahko storite tako, da skupaj na tablo rešite prvi primer

z dvema ţabicama. Učenci se lahko aktivnosti lotijo s konkretnimi materiali

ali pa najdejo svoj način reševanja. Predlagate jim lahko izpolnjevanje

preglednice.

121

AKTIVNOST: VSOTE ZAPOREDNIH ŠTEVIL

OPIS AKTIVNOSTI:

LITERATURA:

Kmetič, S. in Frobisher, L. (1996). Izzivi za mlade matematike: izzivi za

učence, učitelje in starše. Maribor: Obzorja.


Preglednica 18: Rešitev aktivnosti Vsote zaporednih števil

2 zaporedni števili 3 zaporedna števila 4 zaporedna števila 5 zaporednih števil

3 1 + 2 / / /

4 / / / /

5 2 + 3 / / /

6 / 1 + 2 + 3 / /

7 3 + 4 / / /

8 / / / /

9 4 + 5 2 + 3 + 4 / /

10 / / 1 + 2 + 3 + 4 /

11 5 + 6 / / /

Števila 3, 4, 5 so zaporedna števila. Njihova vsota je 3 + 4 + 5 = 12.

Poiščimo zaporedna števila, katerih vsota je 18!

Raziskuj vsote zaporednih števil in izpolni preglednico (do 24).

Preglednica 17: Vsote zaporednih števil

2 zaporedni

števili 3 zaporedna

števila 4 zaporedna

števila 5 zaporednih

števil

3

4

5

6

122


Najprej se z učenci pogovorite in opredelite, kaj je vsota in kaj so

zaporedna števila. Skupaj rešite primer: Števila 3, 4, 5 so zaporedna

števila. Njihova vsota je 3 + 4 + 5 = 12. Poiščimo zaporedna števila,

katerih vsota je 18! Nato učence spodbudite, da skušajo poiskati še druga

naključna zaporedja in njihove vsote. Pogovorite se tudi o tem, koliko

števil lahko oblikuje zaporedje (2, 3, 4, 5, 6…).

Učenci lahko zaporedja iščejo individualno in ko končajo skupaj, zapolnite

preglednico. Lahko pa oblikujete skupino in vsak učenec ali pa v paru

iščejo vsote dveh, treh, štirih, petih, šestih… zaporednih števil. Ali pa

zaporedna števila za določene vsote. Učenci, pari nato v skupini

predstavijo svoje rezultate, ostali člani skupine jih preverijo in skupaj

izpolnijo preglednico, ki ste jo prej pripravili (recimo A3 plakat, risalni list).

Pomembno je, da vsak učenec ali par predstavi svoje ugotovitve in da jih

ostali preverijo. S tem doseţemo, da bodo vsi vedeli, za kaj gre in

prispevali k pravilni rešitvi aktivnosti.

V četrtem, predvsem pa v petem razredu se nato pogovorite, ali iz

preglednice lahko najdemo kakšno ponavljanje, kakšen ključ, po katerem

bi lahko brez poskušanja in računanja ugotovili, katero zaporedje, katera

vsota bo naslednja v preglednici.

DODATNE AKTIVNOSTI:

Iščete vsote za 6, 7, 8… zaporednih števil.

12 / 3 + 4 + 5 / /

13 6 + 7 / / /

14 / / 2 + 3 + 4 + 5 /

15 7 + 8 4 + 5 + 6 / 1 + 2 + 3 + 4 + 5

16 / / / /

17 8 + 9 / / /

18 / 5 + 6 + 7 3 + 4 + 5 + 6 /

19 9 + 10 / / /

20 / / / 2 + 3 + 4 + 5 + 6

123

AKTIVNOST: POŢERUH

OPIS AKTIVNOSTI:


Preglednica 19: Rešitev aktivnosti Poţeruh


Učenci naj sprva nekajkrat zaigrajo. Lahko tudi priredite razredno

tekmovanje. V polfinalu in finalu morajo učenci, ki so ţe izpadli, zapisati

strategijo igranja najboljših igralcev – torej kako igrajo. Učenec, ki zmaga,

mora predstaviti način igranja.

Sedaj jim poveste, da lahko zapišemo strategijo reševanja, po kateri bomo

lahko vedno zmagali ali vsaj vedeli, kako pravilno igrati, da zmagamo.

Sprva naj jo poskusijo zapisati sami. Če jim ne gre, jim lahko daste

napotek, da naj začno na koncu igre. Ali pa jim v pomoč zapišete

preglednico. Lahko pa zmagovalno strategijo zapišete skupaj:

~ Ali ste ugotovili pri koliko kroţcih pred vami ţe veste, da boste izgubili?

(3) Predamo se lahko torej pri treh. Naredimo preglednico.

~ Ali se predamo, če je pred nami 1 kroţec? Seveda ne, ampak ga

vzamemo in zmagamo. V preglednico naredimo kljukico.

1 kroţec pred nami

2 kroţca pred nami

3 kroţci pred nami

4 kroţci pred nami

5 kroţcev

pred nami

6 kroţcev

pred nami

7 kroţcev

pred nami

8 kroţcev

pred nami

9 kroţcev

pred nami

10 kroţcev

pred nami

√ √ X √ √ X √ √ X √

Igra »Poţeruh« je igra za dva igralca. Nastavite 10 (11, 12, 13…)

kroţcev. Ko je igralec na vrsti, lahko vzame enega ali dva kroţca.

Zmaga tisti, ki pobere zadnji kroţec.

Ste odkrili zmagovalno strategijo? Zapišite jo.

124

~ Ali se predamo, če sta pred nami 2 kroţca? Seveda ne, ampak ju

vzamemo in zmagamo. V preglednico naredimo kljukico.

~ Za tri kroţce pred nami vemo, da se lahko predamo, kajti če vzamemo

enega, bo nasprotnik vzel dva in zmagal, če pa vzamemo dva, bo

nasprotnik vzel enega in zmagal. Zato v preglednico naredimo kriţec.

*** Povzetek ves čas spremlja demonstracija. ***

~ Ali se predamo, če so pred nami 4 kroţci? Seveda ne, vzamemo

enega, pri čemer pred nasprotnikom ostanejo trije, za kar vemo, da je

predaja. Naredimo kljukico.

~ Ali se predamo, če je pred nami 5 kroţcev? Seveda ne, vzamemo dva,

pri čemer pred nasprotnikom ostanejo trije, za kar vemo, da je predaja.

Naredimo kljukico.

~ Ali se predamo, če je pred nami 6 kroţcev? Če vzamemo enega, bo

nasprotnik vzel dva (če igra pametno). Pred nami ostanejo trije, kar

pomeni predajo. Če vzamemo dva, bo nasprotnik vzel enega (če igra

pametno). Pred nami ostanejo trije, kar pomeni predajo. Zato v

preglednico naredimo kriţec. Zapomnimo si, tri ali šest kroţcev pred

nami pomeni predajo za tistega, ki je na potezi.

*** Kroţci so v demonstraciji grupirani po tri za laţje

razumevanje, tj. v tem trenutku OOO OOO. ***

~ Ali se predamo, če je pred nami 7 kroţcev? Seveda ne, vzamemo

enega, pri čemer jih pred nasprotnikom ostane šest, za kar vemo, da je


~ Ali se predamo, če je pred nami 8 kroţcev? Seveda ne, vzamemo dva,

pri čemer jih pred nasprotnikom ostane šest, za kar vemo, da je


~ Ali se predamo, če je pred nami 9 kroţcev? Če vzamemo enega, bo

nasprotnik vzel dva (če igra pametno). Pred nami jih ostane šest, kar

pomeni predajo. Če vzamemo dva, bo nasprotnik vzel enega (če igra

pametno). Pred nami jih ostane šest, kar pomeni predajo. Zato v

125

preglednico naredimo kriţec. Zapomnimo si, tri, šest ali devet kroţcev

pred nami pomeni predajo za tistega, ki je na potezi.

~ Ali se predamo, če je pred nami 10 kroţcev? Seveda ne, vzamemo

enega, pri čemer jih pred nasprotnikom ostane devet, za kar vemo, da

je predaja. Naredimo kljukico.

Iz preglednice ugotovimo, katero naslednje število pomeni predajo. Kako

imenujemo števila 3, 6, 9, 12... (za tretji razred in več oz. drugi razred po

obravnavi poštevanke)? Ali bi sedaj znali zmagati, če bi bilo na začetku 11

kroţcev?

DODATNE AKTIVNOSTI:

V višjih razredih dodajte število kroţcev.

126

AKTIVNOST: DRŢAVNE ZASTAVE

OPIS AKTIVNOSTI:

LITERATURA:




Baloni, Vlaki.



V drugem razredu aktivnost izvedite s tribarvnimi zastavami.

To je zastava, sestavljena iz štirih barv. Poišči vse moţne zastave,

obarvane s štirimi barvami.

127

Na tablo narišite dve nepobarvani zastavi.

Po navodilih učencev jo pobarvajte (ali pa pred tablo pokličite štiri učence

in naj prvo zastavo pobarvajo sami). Nato pa vprašajte, kakšna bi morala

biti druga zastava, da bi bila drugačna od tiste na tabli, in jo po navodilih

pobarvajte. Učencem povejte, da boste iskali čim več različnih štiribarvnih

zastav in jim razdelite preglednico z nepobarvanimi zastavicami. Učenci

potrebujejo tudi štiri različne barvice, vendar vsi enake štiri (laţje

preverjanje rešitev in nadaljnje delo). Veliko laţje bo, če učenci delajo v

parih. Med tem, ko učenci iščejo rešitve, opazujte različne strategije pri

iskanju zastav. Dokler učenci iščejo zastave, jim pri tem ne pomagajte,

prav tako jim ne povejte, koliko je vseh moţnih zastav, četudi vprašajo. Jih

pa čim bolj spodbujajte, naj poiščejo še kakšno, v primeru, da jih niso našli

več kot pribliţno polovico.

Ko ocenite, da je večina izčrpala vse moţnosti, naj nehajo z iskanjem.

Vprašajte jih, koliko jih ima med svojimi zastavami takšno, ki ima na prvem

mestu (skrajno levo) enako barvo, kot jo ima zastava, narisana na tabli

(tista prva), vse druge barve pa so na drugih mestih. Nato naj te zastave

preštejejo. Če jih kateri učenec najde 6, spodbudite še ostale učence, da

poskušajo poiskati 6 različnih zastav z enako barvo na prvem mestu.

V naslednjem koraku učencem razdelite Sortirno mreţo (dva A4 lista

skupaj):

Zelena JE na levi. Zelene NI na levi.

Učenci naj v prvo vrstico levega stolpca sortirne mreţe napišejo »Zelena

JE na levi.« (ali rdeča, modra, rumena…), v drugo vrstico desnega stolpca

pa »Zelene NI na levi.« lahko uporabite tudi kartončke z napisi. Nato naj

sortirajo zastave, ki so jih pobarvali, glede na navodila v velika stolpca na

Sortirni mreţi. V preglednico naj vpisujejo, koliko zastav je v posameznih

stolpcih.

128

Učenci naj povedo, koliko je zastav z rumeno, rdečo, zeleno in modro

barvo na levi. Sprva jih bodo morali sortirati. Ko bodo reševali prvo

preglednico, pa bodo začeli ugotavljati, da jim pri nekaterih pogojih

določene zastavice manjkajo in da je število različnih zastav v vsakem

primeru 6. Tisti, ki niso našli vseh 24 zastav, bi naj ugotovili, da jim

manjkajo, in jih dopolnili. Če tega ne ugotovijo, skušajte do odgovora,

rešitve priti preko pogovora ali pa tako, da učenci, pari med seboj

primerjajo pobarvane zastave in ugotovijo, katere jim manjkajo.

V drugem razredu lahko na tem mestu zaključite. V tretjem, četrtem in

petem razredu naredite še naslednjo aktivnost. Pri sortirni mreţi 2×2 gre

za sortiranje glede na dve lastnosti in njuni negaciji. Učenci naj izpolnijo

tudi drugo preglednico.

Še nekaj drugih moţnih lastnosti, ki jih lahko uporabimo pri sortiranju

zastav: »Zelena je sosednja rumeni.« »Rdeča je med modro in zeleno.«

»Rumena je na koncu, skrajno desno.«… Učenci pa lahko iščejo tudi

druge lastnosti, ki povezujejo ali razlikujejo zastave. Na primer:

~ »Barve so v obratnem vrstnem redu.«

~ ali pa sestavljajo zastave v ciklične »druţine«:

129

V četrtem in petem razredu naj učenci za zaključek aktivnosti razmislijo in

poskušajo izpolniti še naslednjo preglednico:

Preglednica 20: Rešitev aktivnosti Drţavne zastave – glede na število polj na zastavi,

število uporabljenih barv in število različnih zastav

Število polj na zastavi Število uporabljenih barv Število različnih zastav

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 6

24 120

?

DODATNE AKTIVNOSTI:

Zastave niso nujno pravokotne oblike. Učenci

lahko raziskujejo, kaj se zgodi, če je zastava

trikotna ali petkotna.

Razporeditev polj na zastavi je lahko drugačna.

Neka določena, izbrana barva se ponovi, vendar ne zaporedoma. Na

primer: dovoljeno ni dovoljeno

Zanimivo je primerjati dejanske zastave svetovnih drţav med sabo,

katere so enake, imajo enake barve, ampak različna zaporedja, katere

so različnih barv…

130

AKTIVNOST: NALOGE REKREATIVNE MATEMATIKE

OPIS AKTIVNOSTI:

LITERATURA:


Mladinska knjiga. Naloge 37, 86, 113, 142 in 143.

1. Dva otroka imata skupaj deset orehov. Ko je eden od njiju pojedel

en oreh in drugi tri, je vsakemu ostalo enako število orehov.

Koliko orehov je imel vsak na začetku?

2. Če da mati vsakemu otroku po 5 jabolk, ji ostanejo 3 jabolka; če

bi hotela dati vsakemu otroku po 6 jabolk, bi imela 2 jabolki

premalo. Koliko jabolk in koliko otrok ima mati?

3. Ali lahko dvajset jabolk razdelimo med pet otrok, tako da nihče ne

bo dobil parnega števila jabolk?

4. Moţ je zapustil 11 kamel. Prvi sin naj dobi polovico, drugi sin

četrtino in tretji sin šestino premoţenja. Kako razdeliti kamele?

5. Bolnemu Kitajcu se zahoče lubenic, zato naroči sinu: »Pojdi v

mesto in mi prinesi lubenico, vendar misli na to, da boš moral

mimo štirih davkarjev, izmed katerih ti bo vsak vzel polovico

lubenic, ki jih boš nosil. Zato moraš kupiti toliko lubenic, da jih boš

imel za davkarje, kolikor jim jih pripada, in da boš vendarle

prinesel eno domov.« Koliko lubenic je moral kupiti sin?

6. Kmet je prodal 100 glav rogate ţivine – krav, volov in telet – za

100 evrov. Krave je prodal po 2 €, vole po 1 € in teleta po 0,5 €.

Koliko krav, volov in telet je imel?

131


1. Šest in štiri orehe.

2. Otrok je 5, jabolk pa 28.

3. Ni mogoče. Seštevek petih neparnih števil ne more biti parno število.

4. (Pri sosedu) si sposodijo 1 kamelo, tako da jih imajo 12. Prvi sin dobi

polovico = 6, drugi dobi četrtino = 3, tretji pa šestino = 2, ostane jim ena,

ki jo vrnejo (sosedu).

5. Sin mora kupiti 17 lubenic.

6. 10 krav, 60 volov in 30 telet.


Aktivnosti lahko rešujete (ne vseh naenkrat) kot uvodno motivacijo ali pa

ob koncu ure, če ste pred tem končali katero drugo aktivnost in vam

ostane čas. Najbolje je, da imate te aktivnosti zapisane na kartončkih in jih

razdelite učencem, oni pa naj sami ali pa v parih aktivnost skušajo rešiti,

čim bolj brez vaše pomoči. Lahko tudi aktivnost rešujejo vsi učenci skupaj

tako, da vsak predlaga, kako bi se lotil reševanja, nato pa, ali vse načine

preizkusijo ali pa izberejo tistega, ki se jim zdi najbolj pravilen.

132

AKTIVNOST: ŠTIRJE IZ ENEGA

OPIS AKTIVNOSTI:

LITERATURA:






Razdelitev kroga s štirimi črtami.


333, 334, 335, 336, 344, 345, 444; 3333, 3334, 3344, 3345, 3444, 3445,

4444.


Na tablo narišite velik kvadrat . Učencem povejte, da ţelite ta kvadrat

razdeliti z dvema ravnima črtama (v drugem razredu z eno ravno črto) na

čim več različnih likov. Vprašajte jih, če ima kdo kak predlog, kako bi to

lahko naredili. Nekaj naštetih primerov narišite na tablo (ali jih naj pridejo

narisati učenci). Učencem razdelite delovni list s kvadrati in jih

prosite, da prvega razdelijo enako, kot ste ga vi na tabli:

Kvadrat z dvema ravnima črtama razdeli na vse moţne večkotnike.

Rešitev zapiši v obliki, na primer (3, 4, 4, 5). Skupaj je 14 moţnosti!

133

Z učenci se dogovorite, da boste razdelitev kvadrata opisali glede na to,

na koliko večkotnikov je razpadel, potem ko smo ga razmejili z dvema

črtama. Za primer na tabli (3, 4, 4, 5). Vrstni red številk ni pomemben. Prav

tako ni pomembno, da daljici potekata od stranice do stranice kvadrata:

, omejitev, da črti potekata od stranice do stranice, naj

velja v tretjem razredu.

Učenci naj poiščejo še druge delitve kvadratov in zapišejo, na katere

večkotnike se kvadrat razdeli. Učenci naj delajo samostojno, v tretjem

razredu lahko tudi v dvojicah. Rešitve se lahko tudi podvajajo. Po

določenem času vprašajte, če je kdo razdelil kvadrat na, na primer: tri

trikotnike, tri trikotnike in en štirikotnik, tri štirikotnike; na štiri trikotnike; na

dva trikotnika, en štirikotnik in en petkotnik... Ker ste ugotovili, da med

rešitvami vlada pravi nered, vprašajte učence, kako bi lahko rešitve uredili.

Skušajte poiskati dober način sortiranja, če vam ne uspe, če učenci ne

dajo nobenega predloga, pa oblikujte naslednjo preglednico:

Preglednica 21: Rešitev aktivnosti Štirje iz enega glede na mnoţice trojk in četvork

V tretjem razredu jim ni potrebno najti

vseh moţnih rešitev. Prav tako ne

izpolnjujte preglednice. Učenci naj le

primerjajo rešitve med seboj in dodajo

tiste, ki jih prej niso imeli.

Nekaterih mnoţic se seveda ne bo dalo

narisati, nekatere se bodo podvajale,

nekateri učenci bodo našli tudi mnoţico dvojic. Če katere od navedenih

mnoţic nimajo, jih naj poiščejo. Na koncu naj učenci rešitve med seboj

primerjajo, kajti opazili bodo, da se nekatere kvadrate lahko razdeli na iste

večkotnike na različne načine. Naj pa v preglednico tudi vpišejo, kolikokrat

so našli enako mnoţico.

Mnoţica trojic Mnoţica četvork

333 334 335 336 344 345 355 444 445 …

3333 3334 3344 3345 3355 3444 3445 4444 4445

…

134

DODATNE AKTIVNOSTI:

V četrtem in petem razredu se lahko učenci poskusijo tudi v iskanju rešitev

za razdelitev kvadrata s tremi ravnimi črtami. Lahko pa tudi spremenite

osnovni lik – namesto kvadrata je lahko pravokotnik, petkotnik, trikotnik.

Moţne aktivnosti za ogrevanje:

Lik razdeli na 4 skladne štirikotnike.

Rešitev:

Lik razdeli na štiri skladne dele tako, da bosta v

vsakem delu po dve točki in en kvadratek.

Rešitev:

Lik razdeli na štiri enake dele tako, da bo v vsakem po

ena zvezdica.

Rešitev:

* * * *

* * * *

135

AKTIVNOST: TANGRAM

OPIS AKTIVNOSTI:

LITERATURA:

Šuc, L. (1996). Tangram. Ljubljana: Raquel it.


Rešitev je odvisna od izbrane oblike.


Različne oblike dobite, skupaj s kompletom tangramov, v zbirki na

fakulteti. Dodatne oblike pa najdete pri Šuc (1996).

Otroci v drugem razredu bodo z aktivnostjo imeli teţave.

Učencem od tretjega do petega razreda predstavite tangram (sestavljen v

kvadrat). Povejte jim, da lahko iz sedmih delov tangrama sestavimo

Iz sedmih delov tangrama sestavi različne oblike.

http://cobiss4.izum.si/scripts/cobiss?ukaz=FFRM&mode=5&id=0115441084404006&PF1=AU&PF2=TI&PF3=PY&PF4=KW&CS=a&PF5=CB&run=yes&SS1=%22Suc,%20Lojze%22

136

različne oblike. Na določeno mesto v učilnici odloţite oblike, ki jih učenci

naj po lastni izbiri sestavljajo. Če ima kdo s katero obliko teţave, mu lahko

pomagate z rešitvijo.

DODATNE AKTIVNOSTI:

Poiščite jih v naslednji literaturi:




http://cobiss4.izum.si/scripts/cobiss?ukaz=FFRM&mode=5&id=0115441084404006&PF1=AU&PF2=TI&PF3=PY&PF4=KW&CS=a&PF5=CB&run=yes&SS1=%22Suc,%20Lojze%22

137

AKTIVNOST: AKTIVNOSTI Z VŢIGALICAMI

OPIS AKTIVNOSTI:

1. Iz 12 vţigalic sestavi čim več kvadratov.

a) odvzemi dve vţigalici tako, da dobiš dva neenaka kvadrata

(ostalih vţigalic ne smeš premakniti),

b) preloţi tri vţigalice tako, da dobiš tri enake kvadrate,

c) preloţi štiri vţigalice tako, da dobiš tri enake kvadrate,

d) preloţi dve vţigalici tako, da dobiš sedem kvadratov (dovoljeno je

polagati vţigalico na vţigalico),

e) preloţi štiri vţigalice tako, da dobiš deset kvadratov (dovoljeno je

polagati vţigalico na vţigalico).

2. Popravi napake tako, da preloţiš le eno vţigalico:

VI – IV = IX, I – III = II, .

(Le otroci, razredi, ki poznajo rimska števila!!)

3. Postavi v vrsto 10 vţigalic. Potem jih razvrsti v pet parov tako, da

vsakič preskočiš z eno vţigalico dve drugi in jo postaviš na tretjo.

Vsaka premeščena vţigalica skoči čez dve drugi samo enkrat.

(Tretji, četrti razred)

4. Postavi v vrsto 15 vţigalic. Potem jih razvrsti v pet skupin po tri

vţigalice. Vţigalica, ki jo premikamo, mora preskočiti tri druge in

pristati na četrti ali na paru vţigalic, ki leţijo za tremi. Vsaka

premeščena vţigalica skoči čez druge tri samo enkrat.

5. Lik je sestavljen iz osmih vţigalic. Odstrani dve vţigalici, da dobiš

tri kvadrate.

138

LITERATURA:


Mladinska knjiga. Naloge 405, 407, 410, 412, 419, 426, 430, 431, 438,

439, 440 in 443.

6. Šest vţigalic zloţi tako, da dobiš tri kvadrate in šest

pravokotnikov.

7. Kako dobiš iz leve »hišice«, ki je sestavljena iz enajstih vţigalic,

desno, če premakneš eno vţigalico?

8. Devet vţigalic zloţi v šest kvadratov.

9. Osem vţigalic sestavi tako, da nastanejo en osemkotnik, dva

kvadrata in osem trikotnikov – vse skupaj v enem liku (dovoljeno

je prekrivanje vţigalic).

10. Iz devetih vţigalic sestavi pet enakostraničnih trikotnikov, potem

pa odstrani dve vţigalici tako, da ostaneta dva enakostranična

trikotnika.

11. Sestavi iz vţigalic skladne trikotnike, kot na sliki. Nato odstrani

štiri vţigalice tako, da bodo ostali štirje skladni trikotniki.

12. Šest vţigalic sestavi tako, da bodo tvorile štiri trikotnike.

139


3. Ena od rešitev: 4 se premakne k 1, nato 7 k 3, 5 k 9, 2 k 6 in 8 k 10.

4. Vrstni red potez pri eni od rešitev: 5 se premakne na 1, nato 6 na 1, 9

na 3, 10 na 3, 8 na 14, 7 na 14, 4 na 2, 11 na 2, 13 na 15, 12 na 15.

5. Rešitev:

6. Glej prejšnjo rešitev.

7. Premakneš srednjo, poševno postavljeno vţigalico.

8. Rešitev:

2. V + IV = IX in VI + IV = X, I = III – II,

¯I

+

¯I

=

I¯

I¯ ¯I ¯I

¯ ¯ ¯

140

9. Rešitev:

10. Rešitev:

11. Rešitev:

12. Rešitev je tetraeder.


Namesto vţigalic lahko uporabite zobotrebce.

Učencem daste navodila, lahko tudi zapisana na delovnem listu.

Reševanja se lotijo sami. Če se pojavijo teţave, jih lahko usmerjate,

vendar morate biti previdni, da jim ne poveste preveč. Katere aktivnosti

boste izvajali, je v veliki meri odvisno od učencev. V drugem razredu bodo

aktivnosti 1, 2 in 6 dovolj. Vendar, če z njimi niso imeli večjih teţav, lahko

poskusite izvesti še katero drugo.

Učenci tretjih, četrtih in petih razredov ne bi smeli imeti teţav z nobeno od

aktivnosti.

DODATNE AKTIVNOSTI:

Za tiste, ki bi ţeleli izvesti še več podobnih aktivnosti, jih najdete v knjigi

Moja zabavna matematika.

141

AKTIVNOST: ŠTIRI ŠTIRICE

OPIS AKTIVNOSTI:

LITERATURA:

Tahan, M. (1998). Moţ, ki je računal. Ljubljana: Zaloţba Vale-Novak.



44 – 44 = 0 44 ÷ 44 = 1 4 ÷ 4 + 4 ÷ 4 = 2

(4 + 4 + 4) ÷ 4 = 3 4 + (4 – 4) ÷ 4 = 4 (4 · 4 + 4 ) ÷ 4 = 5

(4 + 4) ÷ 4 + 4 = 6 44 ÷ 4 – 4 = 7 4 + 4 + 4 – 4 = 8

4 + 4 + 4 ÷ 4 = 9 (44 – 4) ÷ 4 = 10


Aktivnost ni primerna za drugi razred.

V tretjem razredu povejte, da lahko s štirimi štiricami zapišemo vsa števila

od 0 do 10, tako da uporabimo seštevanje, odštevanje, mnoţenje in

deljenje. Trditev dokaţite na poljubno izbranem primeru, nato pa učence

spodbudite, da sami poskusijo najti še druge rešitve. Učenci naj delajo

samostojno ali pa v dvojicah. Ne zahtevajte, da najdejo vse rešitve. Ko

opazite, da so učenci izčrpali vse moţnosti, njihovo delo ustavite. Na tablo

ali pa na list papirja (sedite vsi v krogu nekje v učilnici) napišite števila od 0

do 10. Učenci naj vam povedo, narekujejo rešitve, ki so jih našli. Če so jih

našli večino, potem naj tiste, ki jih niso, skušajo poiskati doma ali med

odmori. Če vam bodo na naslednjem srečanju povedali vse rešitve, je s

tem aktivnost rešena, vendar naj do rešitve pride čim več učencev. Če

aktivnost reši le eden ali dva, preostale rešitve poiščite skupaj s strategijo

S štirimi štiricami zapiši vsa števila od 0 do 10!

142

reševanja s poskusi in napakami. Če učencem aktivnosti nikakor ne uspe

rešiti, jim povejte, da jo bodo reševali ponovno v višjem razredu.

Kot namig jim lahko poveste:

1. Katere računske operacije so prisotne v posamezni rešitvi (na primer: 2

= deljenje, seštevanje; 7 = deljenje odštevanje…).

2. Koliko mestna so števila (na primer: 3 = štiri enomestna števila; 10 =

eno dvomestno število in dve enomestni… ).

V četrtem in petem razredu z reševanjem ne bi smeli imeti teţav. V

primeru, da učenci najdejo vse rešitve v okviru enega srečanja, je s tem

aktivnost zaključena. Če učenci v okviru enega srečanja ne najdejo vseh

rešitev, jih naj skušajo poiskati do naslednjega srečanja, če ocenite, da je

potrebno, jim lahko pomagate z namigi. Na naslednjem srečanju rešitve

preverite in dopolnite, če so teţave, ponudite namige.

143

AKTIVNOST: RUBIKOVA KOCKA

OPIS AKTIVNOSTI:

Spoznavamo Rubikovo kocko. Kaj z njo počnemo? Iz koliko kockic je

sestavljena? Koliko barv ima kocka? Zakaj toliko? Bi lahko bila

Rubikova kocka sestavljena iz 16 kockic? Zakaj ja, ne?

Sestavi svojo Rubikovo kocko (iz 27 link kock). Pobarvaj njene

ploskve. Raziskuj, kolikšno je število pobarvanih ploskev na

posamezni kockici in izpolni preglednico!

Preglednica 22: Rubikova kocka – število barv, število kock, lega

ŠTEVILO BARV NA KOCKI ŠTEVILO KOCK LEGA (kje kocko najdemo)

1 6 sredi ploskev

Skušaj odgovoriti še na ta vprašanja: Ali obstaja tudi nepobarvana

kockica na kocki 3 × 3 × 3? Kje se nahaja? Ali lahko sestavimo še

kakšne druge, večje ali manjše kocke? Koliko kockic potrebujemo?

Ob raziskovanju izpolni preglednico:

Preglednica 23: Rubikova kocka – velikost kocke in število pobarvanih ploskev

VELIKOST

KOCKE

ŠTEVILO POBARVANIH PLOSKEV

0 1 2 3

2 × 2 × 2 - - - 8

3 × 3 × 3 1 6 12 8

15 × 15 × 15 (15 – 2)·(15 – 2)·(15 – 2) 6 · (15 – 2)·(15 – 2) 12 · (15 – 2) 8

Ali obstaja takšna kockica, ki je v sredini kocke in je iz vseh strani

obdana z drugimi kockicami, ki nimajo pobarvane nobene ploskve? Iz

koliko kockic je sestavljena / kako velika je? Kakšen je pogoj, da

takšna kocka obstaja?

144

LITERATURA:

Šavora, S. (1996). Gradimo s kockami. V S. Kmetič (ur.), Prispevki k





Preglednica 24: Rešitev Rubikove kocke – število barv, število kock, lega

Preglednica 25: Rešitev Rubikove kocke – velikost kocke in število pobarvanih ploskev

Kockica, ki je v sredini in ki jo obdajajo druge nepobarvane kockice,

obstaja, ko kocko naredimo iz 125 kockic, njena velikost je 5 × 5 × 5.

Takšna kockica obstaja samo takrat, ko je osnovna ploskev kocke

sestavljena iz lihega števila kockic (5 × 5 × 5, 7 × 7 × 7…). Kajti, ko je

osnovna ploskev kocke iz sodega števila kockic, v sredini ni samostojne

kockice, ampak je središče take kocke, sestavljeno iz štirih kockic (2 × 2 ×

2).

ŠTEVILO BARV NA KOCKI ŠTEVILO KOCK LEGA (kje kocko najdemo)

1 6 sredi ploskev

2 12 sredi robov

3 8 v ogliščih

4 … …

VELIKOST

KOCKE

ŠTEVILO POBARVANIH PLOSKEV

0 1 2 3

2 × 2 × 2 – – – 8

3 × 3 × 3 1 6 12 8

4 × 4 × 4 8 24 24 8

5 × 5 × 5 27 54 36 8

… … … … …

15 × 15 × 15 (15 – 2) · (15 – 2) · (15 – 2) 6 · (15 – 2) · (15 – 2) 12 · (15 – 2) 8

n × n × n (n – 2)3

6 · (n – 2)2

12 · (n – 2) 8

145


Učenci imajo vsak svojo Rubikovo kocko in dovolj link kock, da lahko

sestavijo novo v velikosti 3 × 3 ali 4 × 4.

V drugem razredu rešujte samo prvo preglednico ob uporabi konkretnih

materialov (link kocke, Rubikova kocka). Če učenci rešijo zlahka, potem

lahko rešite tudi del druge preglednice – do 4 × 4 × 4.

V ostalih razredih skušajte z učenci ugotoviti tudi posplošitve, vendar ne z

matematičnimi simboli (zadnja vrstica druge preglednice), ampak opisno.

Učenci naj sestavljajo različno velike kocke in skušajo odgovoriti na

zastavljena vprašanja.

Drug vidik, način reševanja aktivnosti:

Na sliki je kocka z robom dolţine 3 cm in je obarvana na vseh ploskvah.

Odgovorite na naslednja vprašanja:

1. Kolikokrat bi bilo treba prerezati kocko, da bi dobili manjše kocke z

robovi dolţine 1 cm?

2. Koliko takih kock bi dobili?

3. Koliko kock bi imelo obarvane štiri ploskve?

4. Koliko kock bi imelo obarvane tri ploskve?

5. Koliko kock bi imelo obarvani dve ploskvi?

6. Koliko kock bi imelo obarvano eno ploskev?

7. Koliko kock bi bilo nepobarvanih?

Rešitev:

1. Šestkrat. 2. 27 kock. 3. Nobena. 4. Osem. 5. Dvanajst. 6. Šest. 7. Ena.

146

AKTIVNOST: ČETVERČKI

OPIS AKTIVNOSTI:

LITERATURA:




Vir: Šavora, S. (1996). Gradimo s kockami. V S. Kmetič (ur.), Prispevki k poučevanju matematike (str. 102).

Maribor: Rotis.


Učenci sestavljajo s štirimi kockami (link kocke, enotske kocke). Nastala

telesa imenujmo četverčki. Z učenci se pogovorimo in razjasnimo tudi

pravila sestavljanja.

Uporabimo 4 link kocke in sestavljamo telesa. Nastala telesa

imenujemo četverčki.

Pravila sestavljanja:

1. Vsakič uporabimo natanko štiri kocke.

2. Četverčka sta različna, če pri nobenem obratu ne preideta eden v

drugega.

3. Ko postavljamo dve kocki skupaj, se morata stikati s celima

mejnima ploskvama.

147

Učenci drugih razredov lahko sestavljajo četverčke v skupinah. Ko nimajo

več idej, predstavijo sestavljene četverčke najprej v skupini. Potem

primerjajo dobljene četverčke med skupinami in dodajo manjkajoče.

Najverjetneje ne bodo našli vseh. Največ teţav bodo imeli s 6., 7. in 8.

Poveste jim, da je vseh četverčkov osem in jim pomagate izdelati zadnje

tri. Posebej si ogledate 7. in 8. četverček. Učenci naj ugotovijo in

poudarijo, kje sta enaka in predvsem, po čem se razlikujeta.

Od tretjega do petega razreda lahko delajo individualno ali v dvojicah. Ko

najdejo večino četverčkov, jim lahko poveste, da je vseh osem. V tretjem

razredu bodo prav tako imeli teţave z zadnjima dvema četverčkoma.

Namig: oba izhajata iz šestega četverčka in sta si zelo podobna.

DODATNE AKTIVNOSTI:

V tretjem, četrtem in petem razredu nadaljujte z aktivnostjo Telesa iz

četverčkov.

148

AKTIVNOST: TELESA IZ ČETVERČKOV

OPIS AKTIVNOSTI:

LITERATURA




Četverčki.


1. Telesa iz dveh četverčkov (nekatere moţnosti):

Vir: Šavora, S. (1996). Gradimo s kockami. V S. Kmetič (ur.), Prispevki k poučevanju matematike (str. 103).

Maribor: Rotis.

2. Nekaj moţnih trojic, ki po sestavljanju tvorijo kvader: (3, 6, 7), (2, 5, 8),

(2, 7, 8), (2, 5, 7), (3, 6, 8).

3. Postopek izgradnje kocke (ena od moţnosti):

1 – Najprej postavimo skupaj 6. in 4. četverček, kot vidimo na sliki.

2 – Dodamo 3. četverček levo zadaj.

1. Iz dveh četverčkov sestavite čim več različnih teles in jih označite,

skicirajte.

2. Iz katerih treh četverčkov lahko sestavimo kvader?

3. Poskusite sestaviti kocko.

149

3 – Dodamo 8. četverček.

4 – Dodamo 7. četverček.

5 – Dodamo trojček.

6 – Postavimo 2. četverček zgoraj.

Vir: Šavora, S. (1996). Gradimo s kockami. V S. Kmetič (ur.), Prispevki k poučevanju matematike (str.

104). Maribor: Rotis.


1. Dva četverčka

Tretji razred. Na prosojnico si pripravite skice teles, ki so sestavljena iz

dveh četverčkov. Lahko si pripravite tudi modele. Učenci naj sami iščejo

enaka telesa in ugotavljajo, kateri četverčki jih sestavljajo. Lahko jim

pripravite tudi učni list, na katerem naj pobarvajo z različnimi barvami

četverčke, ki sestavljajo predstavljeno telo.

V četrtem in petem razredu lahko telesa iščejo in skicirajo sami in jih ne

potrebujete na prosojnici. Skice naj bodo »dvobarvne« ali pa naj pri vsaki

skici zapišejo prej dogovorjeno zaporedno številko četverčkov, ki

sestavljajo telo. Če bi učenci pri skiciranju ali sestavljanju imeli teţave, jim

lahko pomagate s skico iz Rešitev.

2. Trije četverčki sestavljajo kvader

Iz treh četverčkov lahko sestavimo naslednji kvader:

Učenci naj sestavijo prikazani kvader iz treh

150

četverčkov. Obstaja več moţnosti, zato naj zapišejo, kateri četverčki

sestavljajo njihov kvader – pred tem določite zaporedno število vsakemu

četverčku (primer pri Rešitvah v aktivnosti Četverčki).

3. Kaj pa kocka?

Naslednja preizkušnja za učence je izdelava kocke. Sprva jim pustite

nekaj časa, da poskušajo sami. Čez čas bodo ugotovili, da izdelava ni

mogoča. En četverček je vedno odveč. Torej enega dajo na stran. Učence

v tretjem razredu opozorite, v četrtem in petem razredu bi naj ugotovili

sami, da za izdelavo kocke potrebujejo 27 kock. Vseh kock, ki sestavljajo

sedem četverčkov (enega smo ţe odstavili), pa je 28. Kocka, ki jo

sestavljajo, ima vse stranice dolge po 3 kocke – 3 × 3 × 3 je 27. Torej

bodo morali en četverček prilagoditi, spremeniti. Četverček, z zaporedno

številko 5 (ali katero drugo, odvisno, kako ste jih označili), zamenjamo s

trojčkom:

Tako lahko iz preostalih šestih četverčkov in dodanega trojčka sestavijo

kocko. Postopek za sestavo kocke najdete pri rešitvah (3.).

5. ČETVERČEK

151

AKTIVNOST: GNEZDA

OPIS AKTIVNOSTI:

To je gnezdo. Koliko kock potrebujemo za najmanjše moţno

gnezdo? Ali lahko sestaviš gnezdo iz poljubnega števila kock?

Utemelji! Razišči različna gnezda in skušaj izpolniti preglednico.

Barvna gnezda: sestavljaj gnezda s prepletanjem dveh/treh barv.

Kdaj se gnezdo izide?

Preglednica 26: Gnezda – število uporabljenih kock, ali gnezdo lahko sestavimo,

velikost luknjice, primeri gnezd in skice

ŠTEVILO UPORABLJENIH KOCK

5 6 7 … 19 20 …

Gnezdo – da/ne

Velikost luknjice / Št. prostorov za jajčka

Skica

Gnezda iz kock 2 barv

Skica


Skica


Skica

152

LITERATURA:

Felda, D. (1996). Obarvana matematika. V S. Kmetič (ur.), Prispevki k



Preglednica 27: Rešitev aktivnosti Gnezda – 1. del


5 6 7 8 9 10 11

GNEZDO – DA/NE X X X √ X √ X

VELIKOST LUKNJICE / ŠT. PROSTOROV ZA JAJČKA

1

(ali 1 × 1)

2 (ali 2 × 1)

SKICA

GNEZDA IZ KOCK 2 BARV X X X √ X √ X

SKICA

GNEZDA IZ KOCK 3 BARV X X X X X X X

SKICA

GNEZDA IZ KOCK 4 BARV X X X √ X X X

SKICA

153



12 13 14 15 16

GNEZDO – DA/NE √ X √ X √


3 × 1 ali 2 × 2

3 × 2

ali 4 × 1

2 × 4 ali 3 × 3

SKICA

GNEZDA IZ KOCK 2 BARV √ X √ X √

SKICA

GNEZDA IZ KOCK 3 BARV √ X X X X

SKICA

GNEZDA IZ KOCK 4 BARV √ X X X √

SKICA

154



17 18 19 20 …

GNEZDO – DA/NE X √ X √ …


3 × 5

ali 3 × 4 …

SKICA

GNEZDA IZ KOCK 2 BARV X √ X √ …

SKICA

GNEZDA IZ KOCK 3 BARV X √ X X …

SKICA

GNEZDA IZ KOCK 4 BARV X X X √ …

SKICA

155

V drugem razredu naj v vrstico »velikost luknjice« vpišejo le števila, brez

podatkov, ki so v oklepajih. V tretjem in višjih razredih naj poiščejo tudi

podatke, ki so tukaj navedeni v oklepajih.


Sestavite poljubno gnezdo. Pokaţete ga učencem, poveste,

da je to gnezdo in da jih sestavljamo iz enotskih kock.

Gnezda so lahko različnih velikosti in oblik in prva

zadolţitev učencev je, da jih poiščejo čim več. Za enkrat ni

pomembno, kakšna so in iz kolikih kock so sestavljena, učenci jih naj le

skicirajo na prazen list papirja (tako lahko kocke uporabijo pri novem

gnezdu). Ko učenci sami sestavijo nekaj gnezd, jim recite, da ţelite, da

sestavijo gnezdo, ki ima luknjico iz 2 × 2 kock. Vprašajte jih, koliko kock so

potrebovali za izdelavo. Na tablo (prosojnico na grafoskopu, večji list

papirja na sredini kroga, če delate sede v krogu) narišite preglednico

(pribliţno na sredino) – zgoraj napišite število uporabljenih kock, spodaj pa

skicirajte gnezdo. Sedaj učencem naročite, da izdelajo gnezdo iz 11 kock.

Ugotovili bodo, da ne gre. Na tablo napišite število in pod njim znak, da ni

rešitve. Nato jim naročite, da naredijo gnezdo, z najmanjšo moţno

luknjico. In enako zapišite na tablo število uporabljenih kock in skico

gnezda. Sedaj učencem predlagajte, da poiščete vsa moţna gnezda in

vse moţne rešitve. Vprašajte, kako bi to lahko naredili. Učenci bodo

morda sami predlagali, da dopolnijo preglednico, ki ste jo ţe začeli

izpolnjevati. Če se ne spomnijo sami, jim to predlagajte.

Ko izpolnijo preglednico nekje do 17 kock, jih ustavite. Vprašajte jih, če

lahko na podlagi preglednice, ki so jo izpolnili, uganejo, koliko luknjic bo

imelo gnezdo iz 18 kock. Ali lahko torej izdelamo gnezda iz poljubnega

števila kock? Ja, vendar mora poljubno število biti sodo, parno. In

posledično, gnezd ne moremo izdelati iz neparnega, lihega števila kock.

Do teh zadnjih dveh ugotovitev morajo priti učenci sami.

156

Na naslednje srečanje (če se niso naveličali gradnje gnezd; lahko tudi

vmes naredite še kakšno drugo aktivnost) prinesite kocke treh različnih

barv. Izdelajte gnezdo s prepletanjem dveh barv.

Povejte jim, da se to gnezdo izide, ker nikjer nista skupaj

dve enaki barvi kock – ker ste uporabili enako število kock

ene in druge barve. Ne da bi učenci ţe sami začeli

sestavljati dvobarvna gnezda, naj ocenijo, (stavijo in na

tablo narišete stavnico) ali lahko vsa gnezda, ki ste jih izdelali na

prejšnjem srečanju, izdelajo tudi s prepletanjem dveh barv. Svoje

odgovore naj utemeljijo – torej zakaj mislijo, da se izidejo ali zakaj mislijo,

da se ne izidejo. Nato naj vzamejo preglednico iz prejšnjega srečanja in

dodajo novo vrstico (Gnezda iz kock 2 barv) ter poiščejo rešitve. Sami bi

naj ugotovili in to tudi povedali, da se vsako gnezdo lahko sestavi iz kock

dveh različnih barv. Te rešitve naj tudi skicirajo ali pa vsaj izdelajo nekaj

takih gnezd.

V naslednji fazi jih vprašajte, ali mislijo, da bi lahko izdelali tudi gnezda iz

treh različnih barv. Naj izdelajo dve različni gnezdi iz treh barv – torej

uporabiti morajo enako število kock vseh treh barv. Sočasno naj tudi

izpolnijo preglednico – vključujoč skico. Če učenci ţe dovolj dobro poznajo

poštevanko, jih vprašajte, kakšna so števila, iz katerih lahko izdelamo

gnezda s prepletanjem treh barv – so večkratniki števila tri, ki so parni,

sodi – 12, 18, 24, 30, 36… S tem aktivnost lahko zaključite.

DODATNE AKTIVNOSTI:

Če aktivnost izvajate v času velikonočnih praznikov, lahko prvo gnezdo, ki

ga sestavijo učenci, zapolnite s čokoladnimi jajčki.

157

AKTIVNOST: MOSTOVI ČEZ REKO PREGEL

OPIS AKTIVNOSTI:

Pred stoletji je v Rusiji, v mestu Königsberg, bilo na reki Pregel

zgrajenih sedem mostov.


V tistem času so si nekateri meščani svoje nedeljske sprehode

popestrili z naslednjo uganko:

»Ali se je mogoče sprehoditi preko mostov na reki tako, da

gremo čez vseh sedem, vendar čez nobenega več kot enkrat,

in se na koncu vrnemo na izhodiščno točko?«

Poskusi jim pomagati!

Nekaj let kasneje so čez reko Pregel zgradili še osmi most. Bi se

sedaj lahko sprehodili čez vse mostove enkrat in se vrnili v

izhodiščno točko? … Kaj pa tako, da sprehod zaključimo na nekem

drugem mestu?


158

LITERATURA:

Domajnko, V. (2000). Leonhard Euler in razvedrilna matematika.

Ljubljana: Math.

Novak, L. (2007). Teorija grafov v prvih triletjih osnovne šole. Diplomsko

delo, Maribor: Univerza v Mariboru, Pedagoška fakulteta.


Enajst mostov.


Cilj oz. rešitev aktivnosti je ta, da učenci vseh razredov ugotovijo, da pri

sedmih mostovih ne moremo iti čez vse mostove enkrat in se vrniti v

izhodiščno točko in da prav tako ne moremo iti čez vseh sedem mostov

enkrat, ne da bi se vrnili v izhodiščno točko. Torej: čez vseh sedem

mostov ne moremo iti tako, da bi čez vsakega šli le enkrat.

Prav tako pri osmih mostovih ni moţno iti čez vsakega enkrat tako, da bi

se vrnili na začetno točko. Je pa moţno iti čez vseh osem mostov tako, da

gremo čez vsakega enkrat, v primeru, da pot končamo nekje drugje.


Da bi bilo bolj zanimivo, jih lahko odpeljete na dvorišče in reko ter mostove

narišete na tla. Učenci se bodo aktivnosti lotili s poskušanjem. Če boste

aktivnost reševali na papirju, poskrbite, da bo vsak učenec dobil svojo

kopijo skice mostov.

Navodila za ostale podobne aktivnosti:

Pri katerikoli razmestitvi mostov čez reko je mogoč tak obhod, pri katerem

gre sprehajalec čez vsak most, a čez vsakega le enkrat in se na koncu

vrne na izhodiščno mesto, le tedaj, ko tam ni nobenega brega, na

katerega bi vodilo liho število mostov.

Pri katerikoli razmestitvi mostov čez reko je mogoč tak sprehod, pri

katerem gre sprehajalec čez vsak most, a čez vsakega le enkrat in ni

159

nujno, da bi se na koncu vrnil na izhodiščno mesto, le tedaj, ko tam ni več

kakor dveh bregov, na katera bi vodilo liho število mostov.

DODATNE AKTIVNOSTI:

1. Poišči tako kroţno pot po parku, ki

gre po vsaki njegovi potki, vendar

po nobeni več kot enkrat.

Rešitev: Taka pot je seveda moţna.

2. Na vrhu ţičnega modela oktaedra čepi

mravljica in premišljuje, ali je mogoče

narediti tak obhod po ţicah, da bi šla pri

tem čez vsako ţico, vendar čez nobeno več

kakor enkrat, in se na koncu vrnila na

mesto, kjer je sedaj. Če je tak obhod

mogoč, jo neznansko zanima tudi načrt

zanj. Pomagaj ji ga najti!

Rešitev: Lahko se sprehodi.

3. Tine je v zabaviščem parku in se je

odločil, da si ogleda hišo strahov. Dobil je

načrt soban. Stoji pred vhodom in

razmišlja, ali obstaja pot, ki pelje skozi

sleherna vrata hiše in skozi vsaka samo

enkrat. Poskušaj jo ti najti!

Rešitev: Tine ne more iti skozi vsaka vrata le enkrat. Moral bo iti večkrat.

160

AKTIVNOST: DOMINE

OPIS AKTIVNOSTI:

LITERATURA:


Ljubljana: Math.


Eulerjevi grafi.


Z kompletom D6 domin se igra vedno izide. Pri kompletu D3 se igra ne

izide.

Vzamemo komplet klasičnih domin. Označimo ga z D6. Sestavljajo

ga vse domine, na katerih je vsako polje pokrito z največ šestimi

pikami. Zaigramo. Ali se igra izteče? Nam katere domine ostanejo?

Poskusimo ponovno!

… Igra se izteče brez ostanka (nobena domina ne ostane). Bi bilo

tako tudi, če bi imeli na razpolago D3? Poskusimo! Narišimo sliko,

ponazorimo postavljanje domin.


161


Aktivnost izvajate od tretjega razreda dalje.

Učenci so razdeljeni v pare. Vsak par ima komplet domin. Sprva naj

zaigrajo igro domin tako, da jim nobena domina ne ostane. Igro lahko

ponovite, lahko tudi premešate dvojice. Igra se navadno izteče brez

ostanka (to pomeni, da ne ostane nobena domina, ki bi se na enem ali

drugem koncu ne prilegala v verigo. In navadno se igra izteče celo tako,

da je sklenjena – na obeh koncih sta domini z enakim številom pik na

prostih poljih).

Nato odstranite vse domine, ki imajo polja s štiri in več pikami. Učenci naj

skušajo zaigrati tako, da jim nobena domina ne ostane. Ob tem naj potek

igre rišejo na delovni list.

Ne glede na to, kako se bodo lotili igranja, jim bo vedno katera domina

ostala – ne dobo mogli sestaviti verige, niti razklenjene ne.

Ko bodo to ugotovili, naj med sabo primerjajo še različne poteke iger, ki so

jih zaigrali.

162

AKTIVNOST: MIZE (PRAŠTEVILA)

OPIS AKTIVNOSTI:


Preglednica 30: Rešitev aktivnosti Mize (praštevila)

ŠTEVILO

UPORABLJENIH KOCK MIZO LAHKO / NE

MOREMO SESTAVITI OBLIKA ZGORNJE PLOSKVE – SKICA

21 √ 4 · 3 = 12

21 – 12 = 9 3 × 3

15 X 4 · 3 = 12

15 – 12 = 3

16 √ X 4 · 3 = 12

16 – 12 = 4 2 × 2

32 √ 4 · 3 = 12

32 – 12 = 20 5 × 4

17 X 4 · 3 = 12

17 – 12 = 5

18 √ 4 · 3 = 12

18 – 12 = 6 2 × 3

19 X 4 · 3 = 12

19 – 12 = 7

22 √ 4 · 3 = 12

22 – 12 = 10 2 × 5

Sestavite mizo iz 21 (15, 16, 17, 18, 19, 22, 32) kock. Miza naj ima

noge, visoke 3 kocke, in pravokotno ploskev na vrhu. Zapišite svoje

ugotovitve.

163


Aktivnost izvajate z enotskimi kockami ali link kockami. Sestavite mizo, na

primer z zgornjo ploskvijo 3 × 3 ali 4 × 4 kocke, 4 nogami s po 3 kockami.

Učencem poveste, da je to miza. Miza mora imeti 4 noge, sestavljene iz 3

kock. Zgornja ploskev pa mora biti v obliki kvadrata ali pravokotnika.

Učencem razdelite delovni list z preglednico, preglednico narišite na tablo

ali pa na večji list papirja (če aktivnost izvajate skupaj, v krogu).

Preglednica 31: Aktivnost Mize (praštevila) – število uporabljenih kock, ali mizo lahko

sestavimo, oblika zgornje ploskve in skica

Učenci se naj lotijo iskanja rešitev in sproti izpolnjujete preglednico.

V drugem razredu zadostuje, da učenci pravilno izpolnijo preglednico in

povedo, koliko kock vedno potrebujejo za sestavo nog. Če bodo na

podlagi tega podali še kakšne druge ugotovitve, je to spodbudno, ni pa

nujno. Zraven tega je njihova zadolţitev, da sestavijo mizo in ob tem

uporabijo število kock, ki ga še nimajo navedenega v preglednici (na

primer 28 > 16 + 12 ali 24 > 12 + 12). Poiščejo pa naj tudi število, iz

katerega mize ne moremo izdelati.

V tretjem razredu morajo ugotoviti, da za noge vedno potrebujejo 12 kock

in da od podanega števila uporabljenih kock to število odštejejo, nato pa

preverijo, ali iz preostalih kock lahko sestavijo kvadratno ali pravokotno

obliko, ki je zgornja ploskev mize. Poiščejo naj še dve novi mizi in vsaj dve

števili uporabljenih kock, iz katerih miz ne moremo izdelati.

Število uporabljenih

kock 21 15 16 32 17 18 19 22

Mizo lahko / ne moremo

sestaviti

Oblika zgornje ploskve –

skica

164

V četrtem in petem razredu bi naj takoj ugotovili, da od podanega števila

odštejemo kocke, ki jih uporabimo za izdelavo nog – 12. Če tega ne

povedo sami, jih napeljite k temu. Načeloma lahko brez praktične izdelave

miz iz kock izpolnijo preglednico, dodajte vrstico z izračuni. Poiščejo naj še

vsaj tri nove mize in vsaj tri števila uporabljenih kock, iz katerih miz ne

moremo izdelati. Pozornost učencev usmerimo na števila, iz katerih miz ne

moremo sestaviti – laţje je, če najprej od števila uporabljenih kock

odštejemo število kock, potrebnih za izdelavo nog. Učenci naj ugotovijo,

po čem se ta števila razlikujejo od ostalih in v čem so si enaka. Če ne

poznajo izraza »praštevila«, jim ga ni potrebno povedati, nujno je le, da

izpostavijo enakosti med sabo in razliko od ostalih števil.

Preglednica 32: Aktivnost Mize (praštevila) – število uporabljenih kock, število kock, ki

sestavljajo zgornjo ploskev, velikost zgornje ploskve

ŠT. KOCK

ŠT. KOCK –

OSNOVNA

PLOSKEV

VELIKOST

ZGORNJE

PLOSKVE

ŠT. KOCK

ŠT. KOCK –

OSNOVNA

PLOSKEV

VELIKOST ZGORNJE

PLOSKVE

16 4 2 × 2 34 22 2 × 11

17 5 35 23

18 6 2 × 3 36 24 2 × 12, 3 × 8, 4 × 6

19 7 37 25 5 × 5

20 8 2 × 4 38 26 2 × 13

21 9 3 × 3 39 27 3 × 9

22 10 2 × 5 40 28 2 × 14, 4 × 7

23 11 41 29

24 12 2 × 6, 3 × 4 42 30 2 × 15, 3 × 10, 5 × 6

25 13 43 31

26 14 2 × 7 44 32 2 × 16, 4 × 8

27 15 3 × 5 45 33 3 × 11

28 16 4 × 4, 8 × 2 46 34 2 × 17

29 17 47 35 5 × 7

30 18 2 × 9, 3 × 6 48 36 2 × 18, 3 × 12, 4 × 9

31 19 49 37

32 20 2 × 10, 4 × 5 50 38 2×19

33 21 3 × 7

165

AKTIVNOST: GEOPLOŠČA

OPIS AKTIVNOSTI:

LITERATURA:

Šuman, R. (1996). Pickov izrek. V S. Kmetič (ur.) Prispevki k poučevanju

matematike (str. 107-124). Maribor: Rotis.

Kirkby, D. in Patilla, P. (b.l.). Actipack; Investigate geoboards. Nottingham:

Nes Arnold.


1. Če predpostavljamo, da sta ta trikotnika enaka

potem je na plošči 3 × 3 je 8

trikotnikov:

1. Koliko različnih trikotnikov in koliko različnih štirikotnikov lahko

oblikujete na geoplošči 3 × 3?

2. Raziskuj, katere druge like še lahko oblikujemo na geoplošči 3 ×

3. Poišči nekaj petkotnikov in nekaj šestkotnikov.

3. Na geoplošči 4 × 4 raziskuj različne pravokotnike in poišči, koliko

je vseh kvadratov. Raziskuj štirikotnike na geoploščah različnih

velikosti.

4. Polovičke. Na geoplošči 4 × 4 oblikuj različne like, ki bodo

pokrivali natanko polovico geoplošče.

166

Na plošči 3 × 3 je 16

štirikotnikov:

2. Petkotnikov je skupaj 23, šestkotnikov pa 22.

3. Vseh kvadratov je 5.

4. Nekaj primerov:

167


Učencem predstavite geoploščo in pokaţite princip dela z njo. Sprva jim

pustite nekaj časa, da se z njo spoznajo. Iskanje lahko izvedete tudi kot

tekmovanje učencev, ki so razdeljeni v dvojice ali skupine ali pa

individualno.

Ker bo pri napenjanju več gumic hkrati na geoplošči ostalo premalo

prostora za vse, se z učenci pogovorite, kaj bi lahko naredili, da bi ves čas

imeli pregled nad ţe poiskanimi liki. Najlaţje bo, če si učenci like skicirajo.

Glede na vse različne like, ki jih boste iskali, si oblikujte preglednico.

V drugem razredu je dovolj, če naredite prvo aktivnost. Glede na obseg

znanja, ki ga imajo učenci, lahko prilagojeno izvedete še ostale aktivnosti.

Z učenci v vseh razredih se pogovorite še o tem, kaj oni predvidevajo, bi

lahko vse iskali na geoploščah (npr. like z dvema enakima stranicama,

pravokotne like, like z ostrimi koti in topimi koti, lik z največ moţnimi

stranicami, glede na velikost geoplošče, katerih likov ne moremo

izdelati…).

1. Ugotovijo naj, koliko različnih trikotnikov lahko sestavimo na geoplošči.

Pri tem naj za vsak nov trikotnik uporabijo novo gumico. Ker bo kmalu

nastala velika zmeda, jim predlagajte, da si ţe najdene trikotnike

skicirajo. Enako za štirikotnike. Opozorite jih, da sta ta trikotnika enaka.

2. Nato naj raziskujejo, katere druge like še lahko naredimo na geoplošči 3

× 3. Poiščejo naj nekaj različnih pet in šestkotnikov. Moţni so prikazani v

rešitvah.

3. Učenci naj raziskujejo različne štirikotnike na geoplošči 4 × 4. Nato pa

poiščejo vse kvadrate. Raziskujejo lahko tudi štirikotnike na različno

velikih geoploščah.

4. To je ena enota na geoplošči. Lahko jo razpolovimo. Učenci naj poiščejo

različne like, ki bodo pokrivali polovico geoplošče in jih skicirajo.

DODATNE AKTIVNOSTI:

Iščete lahko vse tiste like, o katerih ste se pogovarjali na začetku srečanja.

Učenci naj poiščejo vse trikotnike in štirikotnike, ki znotraj lika nimajo

nobene točke. Ali pa vse tiste, ki imajo znotraj eno (dve, tri…) točko.

168

AKTIVNOST: RAZDELITEV BONBONOV

OPIS AKTIVNOSTI:

LITERATURA:




Bonbone lahko razdelimo na 31 načinov:

30 = 0 + 30 30 = 1 + 29 30 = 2 + 28 30 = 3 + 27

30 = 4 + 26 30 = 5 + 25 30 = 6 + 24 30 = 7 + 23

30 = 8 + 22 30 = 9 + 21 30 = 10 + 20 30 = 11 + 19

30 = 12 + 18 30 = 13 + 17 30 = 14 + 16 30 = 15 + 15

30 = 16 + 14 30 = 17 + 13 30 = 18 + 12 30 = 19 + 11

30 = 20 + 10 30 = 21 + 9 30 = 22 + 8 30 = 23 + 7

30 = 24 + 6 30 = 25 + 5 30 = 26 + 4 30 = 27 + 3

30 = 28 + 2 30 = 29 + 1 30 = 30 + 0


Drugi razred. Učence razdelimo v pare. Damo jim konkreten material –

bonbone, kocke… Učenci se bodo sprva reševanja lotili nesistematično.

Napeljimo jih k temu, da si ugotovitve na nek način zapišejo – v

preglednico, s skico.

V tretjem, četrtem in petem razredu naj najprej podajo oceno – nevihta

moţganov ali stavnica na tabli. Dalje naj aktivnost rešijo individualno. V

četrtem razredu ni nujno, v petem pa si naj podobno aktivnost izmislijo

sami.

Na koliko načinov lahko razdelimo 30 bonbonov med dva otroka?

Svoje ugotovitve zapiši v preglednico.

169

AKTIVNOST: NARIŠI Z ENO POTEZO

OPIS AKTIVNOSTI:

1. Katere izmed naslednjih likov je mogoče narisati, ne da bi

umaknili svinčnik od papirja in risali dvakrat po isti črti?

2. Naslednje risbe nariši z eno potezo.

3. Naslednje risbe nariši s čim manj potezami (poteza je v tem

primeru vsaka neprekinjena črta).

170

LITERATURA:




Ljubljana: Math.


1. Narišemo lahko prvo, tretjo, peto, šesto, sedmo in osmo obliko.

2. Narišemo lahko vse tri risbe.

3.


Učencem ponudite le prazen list papirja in delovni list z narisanimi

oblikami. Sami naj poskušajo poiskati pravilno rešitev. V drugem in tretjem

razredu naj skušajo najti rešitev za oblike 1 – 5 in 7. V četrtem in petem

razredu pa še ostale. Aktivnosti 2 in 3 sta za tretji, četrti in peti razred.

DODATNE AKTIVNOSTI:

Četrti in peti razred.

Na otoku Grafos je le nekaj majhnih vasic, a ima kljub temu prav

neverjetno dobro razvito cestno omreţje. Vsaka tamkajšnja vas je namreč

povezana z direktno cesto z vsako od preostalih vasi. Pri tem se celo

nobeni dve cesti ne kriţata. Največ koliko vasi je lahko na otoku Grafos?

Namig: na otoku so 4 vasi.

171

AKTIVNOST: KOLIKO TRIKOTNIKOV? KOLIKO KVADRATOV?

OPIS AKTIVNOSTI:

LITERATURA:




Na prvi sliki je 35 trikotnikov, na drugi sliki jih je 20. Na tretji sliki je 10

kvadratov in osem pravokotnikov. Na četrti sliki je 25 kvadratov.


Aktivnost lahko izvedete, če vam kdaj pri kateri drugi ostane nekaj časa.

Učenci vseh razredov se bodo reševanja lotili na različne načine –

preštevanje, barvanje.

DODATNE AKTIVNOSTI:

Učence razdelite v pare. Vsak učenec si naj izmisli podobno aktivnost za

nasprotnika v paru.

Preštej trikotnike!

1 2

Preštej kvadrate in pravokotnike! Preštej kvadrate!

3 4

172

5 SKLEP

V diplomski nalogi smo se torej osredotočili na komunikacijo in izpostavili

posebnosti komunikacije pri matematiki, tako da smo si jo pobliţje

pogledali skozi štiri komunikacijske dejavnosti: poslušanje, govorjenje,

branje in pisanje. Ugotovili smo, da je za uspešno uporabo katere koli

komunikacijske dejavnosti potrebno razvijanje vseh ostalih in da nobena

nima kvalitetnega vrha – torej vsako od dejavnosti lahko nenehno

dopolnjujemo in izboljšujemo. Prav tako smo predstavili nekaj moţnih

teţav, ki se lahko pojavijo pri posamezni dejavnosti. Izbrali in predstavili

pa smo tudi uspešne modele, ki izboljšujejo komunikacijo, z namenom, da

bi bili v pomoč bodočim izvajalcem programa, da bi jim dali nove ideje

kako se lotiti izvedbe Didaktičnega petkotnika. Sočasno uspešni modeli

komunikacije nakazujejo tudi, česa bi se še lahko lotili pri nadgrajevanju

koncepta. Ugotovili in definirali smo tudi pomeni diskurza pri matematiki in

kako pomembno je, da se bodoči učitelji zavedajo pomanjkljivosti in

omejitev, ki jih prinaša, če nismo dovolj dosledni. Zato na kratko

predstavimo kako dosegamo uspešno komunikacijo in opišemo nekaj

primerov situacij, ki zavirajo uspešno komunikacijo. Na kratko pa

predstavljamo tudi Didaktični petkotnik, njegove udeleţence in relacije

med njimi, ter kronologijo izvajanja programa. V prvih treh letih izvajanja,

so se pojavile tudi prve teţave, ki smo jih opisali in sočasno predstavili

načine in moţnosti kako jih odpraviti.

Zelo pomembna za diplomsko nalogo so bila poročila izvajalcev, ki smo jih

zbrali v prvih letih izvajanja in so nam dala veliko informacij tako o delu

študentov-izvajalcev, kot tudi učencev. Postavili smo si nekaj raziskovalnih

vprašanj, nekatere smo lahko raziskali, za druge nismo imeli ustreznih

podatkov. Po podrobni analizi smo nazadnje ugotovili, da lahko

vzpostavimo povezave med hipotezami. Najprej smo ugotavljali s pomočjo

katerega modela reprezentacij učenci rešujejo aktivnosti in ali sami

izberejo določen model ali pa jim ta model »vsilijo« izvajalci in koliko je to

odvisno od priprav in načrtovanja poteka dela s strani izvajalcev. Ugotovili

173

smo, da učenci aktivnosti večinoma rešujejo s pomočjo simbolnih

reprezentacij in da jim je ta model na nek način vsiljen. Izvajalci se namreč

na izvajanje pripravljajo in od njihove priprave je odvisno ali bodo

učencem za reševanje ponudili tudi konkretne materiale, ali bodo aktivnost

rešili z igro vlog, računanjem, itd., ali pa bodo izbiro prepustili učencem. To

pa ni edino, kar je odvisno od priprav študentov-izvajalcev. Njihove

priprave vplivajo tudi na uspešnost izvedbe in zahtevnost aktivnosti. Tako

smo ugotovili, da so aktivnosti v večini primerov izvedene uspešno, kar

pomeni, da jih večina učencev reši in pri tem ne potrebujejo pomoči s

strani izvajalcev. Pribliţno enak pa je deleţ neuspešno rešenih aktivnosti

in takih, ki so bile le delno uspešne. S temi ugotovitvami so tesno

povezane tudi ugotovitve o zahtevnosti aktivnosti. Učenci in izvajalci so

slabo polovico aktivnosti označili kot teţavnostno ustreznih, medtem ko so

preostanek označili kot preteţke ali prelahke aktivnosti in aktivnosti pri

katerih so potrebovali pomoč in jih posledično nismo mogli kategorizirati v

nobeno drugo skupino. Na koncu smo ugotovili tudi, da študenti-izvajalci

vse prehitro zaključijo reševanje aktivnosti in da so potrebne spremembe

pri sami organizaciji učnih ur in nasploh premik v prepričanjih, ki jih imajo

študenti o načinu in poteku reševanja problemskih nalog.

Zadnji in najobseţnejši del diplomske naloge zdruţuje vsa spoznanja

prejšnjih delov. Vsaki aktivnosti, ki smo jih izvajali v preteklih letih se

posveti in podrobneje opiše rešitve ter poda moţen način izvedbe

aktivnosti, nakaţe pa tudi moţnosti za njeno nadgradnjo.

Morebiti najpomembnejša ugotovitev diplomske naloge je spremenljivost

koncepta in njegove neomejene moţnosti za prilagajanje študentom-

izvajalcem in sposobnejšim učencem, ne glede na njihovo starost. In to je

tudi glavno sporočilo diplomske naloge. Koncept je prešel skozi vsaj dve

organizacijski fazi – prva leta smo delali samostojno, z le določeno mero

vodenosti s strani didaktikov, koncept je bil izvajan prostovoljno in

neodvisno od rednega študijskega procesa, v okviru Didaktike

174

matematike. Danes je koncept njegov sestavni del, čeprav še vedno

prostovoljen.

Tako kot se je komunikacija spreminjala skozi stoletja in se prilagaja

posebnostim njenih uporabnikov, ţelimo, da se razvija in prilagaja tudi

koncept Didaktičnega petkotnika. Upamo, da bodo izvajalci upoštevali

informacije, ki jih prinaša diplomska naloga in vse ostale raziskave, ki so

bile narejene v okviru koncepta, ter jih uporabili tako pri delu v okviru

Didaktičnega petkotnika, kot tudi pri delu v rednem razredu.

175

LITERATURA

About National Council of Teachers of Mathematics. (b.d.). Pridobljeno 3.

11. 2008, iz http://www.nctm.org/about/default.aspx?id=166

Artzt, A.F. (1996). Developing problem-solving behaviours by assessing

communication in cooperative learning groups. V P.C. Elliott (Ur.),

Communication in mathematics, K-12 and beyond (str. 116-125).

Reston (VA): National Council of Teachers of Mathematics.

Baker, W. in Czarnocha, B. (2002). Written meta-cognition and procedural

knowledge. Pridobljeno 13.01.2008, iz spletne strani University of

Crete: http://www.math.uoc.gr/~ictm2/Proceedings/pap391.pdf

Blanton, M.L., Berenson, S.B. in Norwood, K.S. (2001). Using classroom

discourse to understand a prospective mathematics teacher's

developing practice. Teaching and teacher education, 17, 227-242.

Pridobljeno 13.01.2008, iz

http://www.ncsu.edu/crmse/research_papers/use_discourse.pdf

Cai, J., Lane, S. in Jakabcsin, M.S. (1996). The role of open-ended tasks

and holistic scoring rubrics: assessing students' mathematical

reasoning and communication. V P.C. Elliott (Ur.), Communication in

mathematics, K-12 and beyond (str. 137-145). Reston (VA): National

Council of Teachers of Mathematics.

Crespo, S. (2002). Praising and correcting: prospective teachers

investigate their teacherly talk. Teaching and teacher education, 18,

str. 739-758.


Ljubljana: Math.

Drnovšek, U. (2006). Didaktični petkotnik. Diplomsko delo, Maribor:

Univerza v Mariboru, Pedagoška fakulteta.

http://www.nctm.org/about/default.aspx?id=166

http://www.math.uoc.gr/~ictm2/Proceedings/pap391.pdf

http://www.ncsu.edu/crmse/research_papers/use_discourse.pdf

176

Drnovšek, U. in Lipovec, A. (2005). Avtentične oblike ocenjevanja dela

študentov znotraj koncepta didaktični petkotnik (učenci-učitelji-starši-

študenti-didaktiki). V Preverjanje in ocenjevanje, 2 (4), str. 63-75.

Drnovšek, U. in Lipovec, A. (2006). Didaktični petkotnik. V Educa, 14 (5/6),

str. 39-50.

Elliott, P.C. in Kenney, M.J. (1996). Communication in mathematics, K-12

and beyond. Reston (VA): National Council of Teachers of

Mathematics.

Felda, D. (1996). Obarvana matematika. V S. Kmetič (Ur.), Prispevki k


Fetzer, M. (2003). Interaction in collective writing processes and early

mathematical learning. Pridobljeno 13.01.2008, iz spletne strani

University of Pisa:

http://fibonacci.dm.unipi.it/~didattica/CERME3/proceedings/Groups/T

G8/TG8_Fetzer_cerme3.pdf

Fideršek, L. in Letonja, N. (1996). Zelene in rjave ţabe. V S. Kmetič (Ur.),


Fiske, J. (2004). Uvod v komunikacijske študije. Ljubljana: Fakulteta za

druţbene vede.

Folkson, S. (1996). Meaningful communication among children: data

collection. V P.C. Elliott (Ur.), Communication in mathematics, K-12

and beyond (str. 20-34). Reston (VA): National Council of Teachers

of Mathematics.

Freiberg, M.R. (2004). Getting Everyone Involved in Family Math. The

Mathematics Educator, 14 (1), 35-41. Pridobljeno 13.01.2008, iz

http://math.coe.uga.edu/TME/Issues/v14n1/v14n1.Freiberg.pdf

Freitag, M. (1997). Reading and writing in the mathematics classroom.

The mathematics educator, 8 (1), 16-21. Pridobljeno 13.01. 2008, iz

http://www.paec-fame.org/reading_docs/rdgwrtgmathclassfreitag.pdf

http://fibonacci.dm.unipi.it/~didattica/CERME3/proceedings/Groups/TG8/TG8_Fetzer_cerme3.pdf

http://fibonacci.dm.unipi.it/~didattica/CERME3/proceedings/Groups/TG8/TG8_Fetzer_cerme3.pdf

http://math.coe.uga.edu/TME/Issues/v14n1/v14n1.Freiberg.pdf

http://www.paec-fame.org/reading_docs/rdgwrtgmathclassfreitag.pdf

177

Furlan, I. (1972). Učenje kot komunikacija. Ljubljana: Drţavna zaloţba

Slovenije.

Halpern, P.A. (1996). Communicating the mathematics in children's trade

books using mathematical annotations. V P.C. Elliott (Ur.),



Hart, A., Smyth, M., Vetter, K. in Hart, E. (1996). Children, teach your

parents well: communication in mathematics between home and

school. V P.C. Elliott (Ur.), Communication in mathematics, K-12 and

beyond (str. 180-186). Reston (VA): National Council of Teachers of

Mathematics.

Horvat, M. (1996). Raziskovanje pri pouku matematike. V S. Kmetič (Ur.),


House, P.A. (1996). Try a little of the write stuff. V P.C. Elliott (Ur.),



Huinker, D. in Laughlin C. (1996). Talk your way into writing. V P.C. Elliott

(Ur.), Communication in mathematics, K-12 and beyond (str. 81-88).


Ivanko, Š. (2007). Raziskovanje in pisanje del: metodologija in tehnologija

raziskovanja in pisanja strokovnih in znanstvenih del. Kamnik: Cubus

image.

Javornik Krečič, M. (2008). Pomen učiteljevega profesionalnega razvoja

za pouk. Ljubljana: i2.

Kirkby, D. in Patilla, P. (b.l.). Actipack; Investigate geoboards. Nottingham:

Nes Arnold.

Kmetič, S. (1996). Od pojma do definicije. V S. Kmetič (Ur.), Prispevki k


178

Kmetič, S. in Frobisher, L. (1996). Izzivi za mlade matematike: Izzivi za


Kovač, P. (2001). Zgodbe od A do Ţ. Ljubljana: Mladinska knjiga.

Lipovec, A. in Bezgovšek, H. (2005a). Didaktični petkotnik (učenci-učitelji-

starši-študenti-didaktiki) oz. povezava teoretičnih spoznanj in

empiričnih izkušenj pri izobraţevanju učiteljev razrednega pouka na

področju dela z matematično sposobnejšimi učenci. V Konferenca z

mednarodno udeleţbo "Partnerstvo in mentorstvo v izobraţevanju

učiteljev" (str. 9-10). Ljubljana: Center za pedagoško izobraţevanje

Filozofske fakultete.

Lipovec, A. in Bezgovšek, H. (2005b). Sporočanje pri pouku matematike v

niţjih razredih osnovne šole. V Izvlečki / 2. mednarodni znanstveni

sestanek »Vpliv sodobnih znanstvenih doseţkov na zgodnje učenje«

(str. 47). Koper: Pedagoška fakulteta.

Lipovec, A. in Bezgovšek, H. (2006a). Izobraţevanje bodočih učiteljev ob

delu z mlajšimi matematično sposobnejšimi učenci. V C. Peklaj (Ur.),

Teorija in praksa v izobraţevanju učiteljev (str. 113-119). Ljubljana:

Center za pedagoško izobraţevanje Filozofske fakultete.

Lipovec, A. in Bezgovšek, H. (2006b). The didactic pentagon: students-

teachers-parents-preservice teachers-teacher educators. Department

of mathematics report series, 14, 85-88.

Lipovec, A. in Bezgovšek, H. (2008). Matematična ustvarjalnost učencev

in bodoči učitelji razrednega pouka. V I. Ferbeţer (Ur.), Mednarodna

znanstvena konferenca Holistični pogled na nadarjenost (str. 236-

240). Ljubljana: MIB.

Lipovec, A. in Kosi-Ulbl, I. (2008). Interesna dejavnost s področja

matematike v različnih šolskih okoljih. Revija za elementarno

izobraţevanje, 1 (3/4), 79-86.

179

Lipovec, A. in Pangrčič, P. (2008). Elementary preservice teachers and

math club activities. V M. Cindrić (Ur.), Pedagogy and the knowledge

society (str. 219-223). Zagreb: Učiteljski fakultet.

Lowry, L. (2002). Anastazija Krupnik. Ljubljana: Mladinska knjiga.

Mandić, T. (1998). Komunikologija: Psihologija komunikacije. Ljubljana:

Glotta Nova.

Masingila, J.O. in Prus-Wisniowska, E. (1996). Developing and assessing

mathematical understanding in calculus through writing. V P.C. Elliott



Mason, J. in Johnston-Wilder, S. (2004). Fundamental Constructs in

Mathematics Education. New York: Routeledge Falmer.

McClain, K. (2002). Teacher’s and Students’ Understanding: The Role of

Tools and Inscriptions in Supporting Effective Communication. The

journal of the learning sciences, 11, 217-249. Pridobljeno

13.01.2008, iz http://talkbank.org/media/PDF/JLS-PDF/217-249.pdf

McCoy, L.P., Baker T.H. in Little L.S. (1996). Using multiple

representations to communicate: An algebra challenge. V P.C. Elliott



McNair, R.E. (2000). Working in the mathematics frame: Maximizing the

potential to learn from students' mathematics classroom discussions.

Educational studies in mathematics, 42 (2), str. 197-209.

Mesec, B. (1998). Uvod v kvalitativno raziskovanje v socialnem delu.

Ljubljana: Visoka šola za socialno delo.

Narode, R. (1996). Communicating mathematics through literature. V P.C.

Elliott (Ur.), Communication in mathematics, K-12 and beyond (str.

76-80). Reston (VA): National Council of Teachers of Mathematics.

http://talkbank.org/media/PDF/JLS-PDF/217-249.pdf

180

Novak, L. (2007). Teorija grafov v prvih triletjih osnovne šole. Diplomsko

delo, Maribor: Univerza v Mariboru, Pedagoška fakulteta.

Paterson, K. (2000a). Pripravljeni! Pozor! Zdaj!: Ogrevanje za učenje.

Radovljica: MCA.

Paterson, K. (2000b). Na pomoč!: Kako preţiveti kot učitelj? Radovljica:

MCA.

Paterson, K. (2004). Kako lahko poučujem: namigi za začetnike in

izkušene učitelje. Ljubljana: Rokus.

Pečjak, S. (2000). Z igro razvijamo komunikacijske sposobnosti učencev.

Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za šolstvo.

Peressini, D. in Bassett, J. (1996). Mathematical communication in

students' responses to a task performance-assessment. V P.C. Elliott

(Ur.), Communication in mathematics, K-12 and beyond (str. 146-

158). Reston (VA): National Council of Teachers of Mathematics.


Mladinska knjiga.

Phillips, E. (1996). Mathematics pen-pal letter writing. V P.C. Elliott (Ur.),



Pimm, D. (1987). Speaking Mathematically: Communication in

Mathematics Classrooms. London, New York: Rouledge.

Pimm, D. (1996). Diverse communications. V P.C. Elliott (Ur.),



Pirie, S.E.B. (1996). Is anybody listening? V P.C. Elliott (Ur.),



Platt, R. (2005). Komunikacija od hieroglifov do hiperpovezav. Murska

Sobota: Pomurska zaloţba.

181

Polonijo, M. (1990). Matematički problemi za radoznalce. Zagreb: Školska

knjiga.

Pólya, G. (1985). Kako rešujemo matematične probleme. Ljubljana:

Društvo matematikov, fizikov in astronomov SR Slovenije.

Price, J.J. (1989). Learning mathematics through writing: some guidelines.

The College Mathematics Journal, 20 (5), str. 393-401.

Razpet, N. (1996). Malo za šalo, malo za res. V S. Kmetič (Ur.), Prispevki

k poučevanju matematike (str. 16). Maribor: Rotis.

Sagadin, J. (1993). Poglavja iz metodologije pedagoškega raziskovanja

(2. izd.). Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za šolstvo in šport.

Schoen, H.L., Bean, D.L. in Ziebarth, S.W. (1996). Embedding

communication throughout the curriculum. V P.C. Elliott (Ur.),



Shayer, M. (2003). Not just Piaget; not just Vygotsky, and certainly not

Vygotsky as alternative to Piaget. Learning and Instruction, 13, 465-

485. Pridobljeno 13.01.2008, iz

http://www.caaweb.co.uk/files/research/piaget_vygotsky.pdf

Shield, M. in Swinson K. (1996). A communication aid for clarifying and

developing mathematical ideas and processes. V P.C. Elliott (Ur.),



Siegel, M., Borasi, R., Fonzi, J. M., Sanridge, L.G. in Smith, C. (1996).

Using reading to construct mathematical meaning. V P.C. Elliott (Ur.),



Skalar, M. (1990). Od besede do odnosa v medosebni šolski komunikaciji.

V F. Ţagar (Ur.), Komunikacija in jezikovna kultura v šoli: Zbornik

(str. 9-16). Ljubljana: Pedagoška akademija.

http://www.caaweb.co.uk/files/research/piaget_vygotsky.pdf

182

Stacey, K. in Gooding, A. (1992). Communication and learning in small

group discussion (Raziskovalno poročilo). Quebec: Seventh

International Congress of Mathematical Education.

Škerlep, A. (1997). Komunikacija v druţbi, druţba v komunikaciji.

Ljubljana: Fakulteta za druţbene vede.


Šuman, R. (1996). Pickov izrek. V S. Kmetič (Ur.), Prispevki k poučevanju

matematike (str. 107-124). Maribor: Rotis.

Tahan, M. (1998). Moţ, ki je računal. Ljubljana: Zaloţba Vale-Novak.

Tolstoj, L.N. (1950). Polikuška in druge povesti – Koliko zemlje človek

potrebuje. Ljubljana: Slovenski knjiţevni zavod.

Ule, M. (2005). Psihologija komuniciranja. Ljubljana: Fakulteta za

druţbene vede.

Waywood, A. (1992). Journal writing and learning mathematics. For the

learning of mathematics, 12 (2), str. 68-77.

Whitin, D.J. in Whitin P.E. (1996). Fostering metaphorical thinking through

children's literature. V P.C. Elliott (Ur.), Communication in

mathematics, K-12 and beyond (str. 60-65). Reston (VA): National

Council of Teachers of Mathematics.

Zebec-Drevenšek, V. (1996). Didaktična komunikacija na razredni stopnji.

Diplomsko delo, Maribor: Univerza v Mariboru, Pedagoška fakulteta.

Ţagar, F. (1990). Komunikacija in jezikovna kultura v šoli: Zbornik.

Ljubljana: Pedagoška akademija.

Ţakelj, A. (2003). Kako poučevati matematiko: teoretična zasnova modela

in njegova didaktična izpeljava. Ljubljana: Zavod Republike Slovenije

za šolstvo.

PRILOGE

Priloga A

PRISOTNOST

OSNOVNA ŠOLA: IZVAJALKA:

IME PRIIMEK R

AZ

RE

D

DATUM

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Priloga B

AKTIVNOSTI

OSNOVNA ŠOLA: RAZRED: IZVAJALKA:

DATUM AKTIVNOST PRIPOMOČKI, POMAGALA

ODZIV UČENČEV

OPAŢANJA OPOMBE

Priloga C

PREVERJANJE PRISOTNOSTI PRI POSAMEZNIH AKTIVNOSTIH

OSNOVNA ŠOLA: RAZRED: IZVAJALKA:

PRISOTNOST PRI AKTIVNOSTI UČENEC

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 R

AZ

VR

ŠČ

AN

JE

BA

LO

NO

V

ČE

Z R

EK

O

ISK

AN

JE

ZA

KLA

DA

MA

ČK

A IN

MIŠ

KA

PR

ER

AZ

PO

RE

DIT

EV

RIB

NIK

RA

ZD

EL

ITE

V K

RO

GA

S Č

RT

AM

I

UR

INA

ŠT

EV

ILČ

NIC

A

PO

VE

ŢI

PIK

E

RO

KO

VA

NJA

RA

ZV

RS

TIT

EV

ST

OLO

V

KR

AV

E I

N H

LE

VI

SE

ST

AV

LJA

NJE

TE

ST

A

TE

HT

AN

JE

PO

LŢ

IN

ST

EB

ER

NA

JM

AN

JŠ

I IN

NA

JV

EČ

JI

MA

GIČ

NI K

VA

DR

AT

I

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.


18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

DE

SE

T K

OV

AN

CE

V

VO

LK

, K

OZ

A I

N Z

ELJE

MA

TE

MA

TIČ

NI K

VIZ

EN

AJS

T M

OS

TO

V

OB

LA

ČE

NJE

ZA

PO

RE

DJA

ZE

LE

NE

IN

RJA

VE

ŢA

BE

VS

OT

E Z

AP

OR

ED

NIH

ŠT

EV

IL

KO

NG

RU

EN

CE

VLA

KI

PO

ŢE

RU

H

DR

ŢA

VN

E Z

AS

TA

VE

NA

LO

GE

RE

KR

EA

TIV

NE

MA

TE

MA

TIK

E

ŠT

IRJE

IZ

EN

EG

A

TE

HT

AN

JA

TA

NG

RA

M

SIS

TE

M D

VE

H L

INE

AR

NIH

EN

AČ

B Z

DV

EM

A N

EZ

NA

NK

AM

A

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.


35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51

MA

TE

MA

TIČ

NI K

EN

GU

RU

NA

LO

GE

Z V

ŢIG

AL

ICA

MI

ŠT

IRI

ŠT

IRIC

E

RU

BIK

OV

A K

OC

KA

ČE

TV

ER

ČK

I

TE

LE

SA

IZ

ČE

TV

ER

ČK

OV

TIM

SS

20

03

GN

EZ

DA

SU

PE

R U

M

EU

LE

RJE

VI G

RA

FI

DO

MIN

E

SO

DO

-LIH

O

PR

AŠ

TE

VIL

A

MIZ

A (

PR

AŠ

TE

VIL

A)

GE

OP

LO

ŠČ

A

MA

ČJE

GLA

VE

(D

ELI C

ELO

TE

)

OB

SE

G IN

PLO

ŠČ

INA

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

DIPLOMSKO DELO - COnnecting REpositoriesZAHVALA Najprej bi se ţelela zahvaliti svoji mentorici,...

Documents

Transcript of DIPLOMSKO DELO - COnnecting REpositoriesZAHVALA Najprej bi se ţelela zahvaliti svoji mentorici,...