Dinamica Para Ing Civil

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MOVIMIENTO RECTILINEO DE UNA PARTICULA

VARIABLE “a”

CONSTANTE

MOVIMIENTO CURVILINEO GENERAL

5

MOVIMIENTO PROYECTIL

MH

MV

≠

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UNIDAD 1

CINEMATICA DE PARTICULAS.

INTRODUCCION

La dinámica forma parte de la mecánica que es una de las ramas en que se

divide la física para su estudio.

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Podemos representar con el siguiente diagrama las subdivisiones de la

mecánica.

La estática estudia el equilibrio de los cuerpos en reposo. La dinámica

estudia los cuerpos en movimiento.

La cinemática es la parte de la dinámica que estudia la geometría del

movimiento de los cuerpos sin ocuparse de las causas que generan dicho

movimiento.

La cinética es la parte de la dinámica que estudia el movimiento de los

cuerpos, considerando lo que causa dicho movimiento, o sea hay que tomar

en cuenta las fuerzas que actúan sobre los cuerpos.

Tanto la cinemática como la cinética se rigen primordialmente por las leyes

de Newton:

1a Ley: Todo cuerpo conservará su estado de reposo o movimiento mientras

no actúe sobre él una fuerza que altere dicho estado.

2a Ley. La fuerza aplicada sobre un cuerpo es directamente proporcional al

producto de la masa del cuerpo por su aceleración.

3a Ley: A toda acción (fuerza) que actúa sobre un cuerpo se opone una

reacción igual y de sentido contrario

UNIDADES UTILIZADAS

.

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En dinámica se utiliza tanto el sistema internacional de medidas como el

sistema ingles.

LONGITUD METRO (m) PIE (ft)

TIEMPO SEGUNDO SEGUNDO

FUERZA NEWTON LIBRA

MASA KILOGRAMO SLUG

EN TODAS ESTAS UNIDADES PUEDEN UTILIZARSE SUS MULTIPLOS

Y SUBMULTIPLOS. CONFORME SE AVANCE EN EL ESTUDIO SE DARAN

LAS EQUIVALENCIAS DE CONVERSION.

MOVIMIENTO RECTILINEO

Comenzaremos estudiando cinemática, considerando el movimiento de los

cuerpos en línea recta, este se denomina movimiento rectilíneo y es el

movimiento más simple de un cuerpo o partícula.

Una partícula se define como una porción pequeña de materia tal que su

dimensión o tamaño no tiene consecuencias en el análisis de un problema

físico.

En la mayor parte de los problemas que se presenten consideraremos como

partículas a cuerpos de tamaño finito, como cohetes, proyectiles, y

vehículos.

En general la cinemática de una partícula se caracteriza especificando la

posición, la velocidad y la aceleración de la partícula.

La posición, es el lugar en donde se encuentra la partícula, la velocidad es la

rapidez con que se mueve y si la velocidad de la partícula aumenta o

disminuye entonces tiene aceleración.

Para comenzar consideraremos el movimiento absoluto de una partícula, esto

es el movimiento medido con respecto a un sistema coordenado fijo.

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POSICION (x).

Consideraremos la posición de una partícula con respecto al origen de un

sistema de ejes coordenado.

En un instante t la partícula se encuentra en el punto P, situado a una

distancia x del origen (la posición de la partícula es x); un instante t+Δt

después la partícula se movió hasta alcanzar la posición P’ (x+Δx).

Podemos hacerlas siguientes consideraciones:

1º.- La posición de una partícula queda determinada por su distancia al punto

de referencia, en este caso el origen del sistema coordenado.

2º.- Cuando la partícula P se desplaza lo hace con una velocidad v que es una

cantidad vectorial.

3º.- Si x es positiva la partícula está a la derecha del origen y si es negativa

la partícula está a la izquierda del origen.

DESPLAZAMIENTO (Δx)

Se define como el cambio de posición de la partícula. Cuando la posición final

P’ de la partícula está a la derecha de P, Δx es positivo. Cuando P’ queda a la

izquierda de P, Δx es negativo.

LA DISTANCIA RECORRIDA POR LA PARTÍCULA ES DIFERENTE DEL

DESPLAZAMIENTO.

La distancia recorrida por la partícula es la longitud total de la trayectoria

de la partícula y siempre es positiva.

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Movimiento Rectilíneo Uniforme

PREGUNTAS CONCEPTUALES

1. El velocímetro del automóvil mide rapidez, velocidad o ambas y ¿por qué?

2. Un aeroplano vuela hacia el norte a 300km/h, mientras que otro vuela a 300km/h

hacia el este. ¿es igual su rapidez? ¿es igual su velocidad? Explique.

PROBLEMAS

1. Una partícula se mueve con velocidad constante de (15i + 18j) m/s durante 2

minutos. Determinar:

a) El desplazamiento realizado. R= (1800i+2160j) m

b) La distancia recorrida. R= 2811,69 m

c) El vector unitario de la velocidad. R= (0,64i+0,77j)

d) El vector unitario del desplazamiento. R= (0,64i+0,77j)

2. Una partícula recorre 75 m con una velocidad constante de (-16i - 18j)km/h.

Determinar:

a) El tiempo empleado. R= 11,21 s

b) El desplazamiento realizado. R= (-49,78i – 56,05j)

m

c) El vector unitario de la velocidad. R= (-0,66i – 0,75j)

d) El vector unitario del desplazamiento. R= (-0,66i – 0,75j)

3. Una partícula situada en el punto (4; -5) m se mueve con una velocidad constante

hasta el punto (-2; 7) m en 12 segundos. Determinar:

a) La velocidad empleada. R= (-0,5i + j) m/s

b) El desplazamiento realizado. R= (-6i + 12j) m

c) La distancia recorrida. R= 13,42 m

4. Un móvil que va por carretera recta con una velocidad constante de (-14i – 18j) m/s

se encuentra en el punto (5; -8) m en el tiempo igual a 15 segundos. Determinar:

a La posición que tuvo el móvil en t = 3 segundos R= (173i + 208j) m

b El desplazamiento realizado desde t₁ = 3 segundos hasta t₂ = 15 segundos.

R= (-168i – 216j) m

c La distancia recorrida en el último intervalo.R= 273,64 m

5. Desde un mismo punto parten dos móviles con una rapidez constante de 15 km/h y

21km/h respectivamente. Si llevan la misma dirección y sentido, y el primero sale

30 minutos antes. Hallar analíticamente y gráficamente dónde y cuándo se

encuentran.

R= A26, 5 km del lugar de partida y a1, 75 horas de haber partido el primero.

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6. Dos puntos A y B están separados 10 km. Desde A parte hacia B un móvil con

una rapidez constante de 4km/h. Simultáneamente, y desde B, parte hacia A otro

móvil con una rapidez constante de 3km/h, determinar analítica y gráficamente

donde y cuando se encuentran. R= A 5, 71 km de

donde partió el móvil A y a 1, 43 horas de haber partido.

7. Hallar la distancia recorrida por una partícula que viaja por una trayectoria recta,

con una rapidez constante de 72km/h durante 12 segundos. R= 240 m

8. Que tiempo necesita un cuerpo, para recorrer en forma rectilínea 2, 5 km, con una

rapidez constante de 8 m/s. R= 312, 5 s

9. Un vehículo recorre por una trayectoria recta 1, 45 km en 5 minutos. Calcular la

rapidez constante empleada en m/s. R= 4, 83

10. Un perro persigue a un gato por una trayectoria rectilínea. Calcular el tiempo que

tarda el perro en alcanzar al gato, cuando: el perro da 10 saltos cada 5 segundos; el

gato cada 3 segundos salta 6 veces, el perro en cada salto recorre 0, 5 metros; el

gato en cada salto recorre 0, 2 metros; el gato le lleva inicialmente 4 metros al

perro. R= 6, 66 segundos

11. Desde un mismo punto, parten dos partículas, con una rapidez constante de 108

km/h y 22 m/s respectivamente. Si el primero sale tres minutos antes que el

segundo, calcular la distancia que los separa a las 0,08 horas de haber salido el

segundo antes, cuando:

a) Llevan la misma dirección y sentido contrarios. R= 18,576 km

b) Llevan la misma dirección y sentido. R= 5,904 km

12. Dos puntos A y B están en la misma horizontal. Desde A parte hacia B una

partícula con rapidez constante de 36 km/h. Simultáneamente y desde B parte otra

partícula en el mismo sentido que A y con una rapidez constante de 7 m/s. Si se

encuentra a 250 m del punto B. Hallar la distancia entre A y B. R= 107, 14

m

13. Una pelota que viaja con rapidez constante pega en los bolos al final de la mesa de

16,5 m de longitud. El jugador oye el sonido de la bola que pega contra los bolos

2,5 s después de que la bola salió de sus manos. ¿Cuál fue la rapidez de está? La

rapidez del sonido es de 340m/s. R= 6,73m/s

14. Una persona viaja en auto de una ciudad a otra con diferente rapidez constante entre

dos ciudades. La persona conduce30min a 80km/h, 12min a100km/h y 45 min a

14

40km/h y dedica 15 min a almorzar y adquirir gasolina. a) Determine la rapidez

media del recorrido. b) Determine la distancia entre las ciudades iniciales y final a

lo largo de la ruta. R= a) 52,9km/h ; b)

90km

15. Para ahorrar combustible, un individuo mantiene la velocidad de su vehículo en

55millas/h en un viaje de Quito a Guayaquil, una distancia de 128 millas en la

carretera. Si hubiera conducido en esa distancia a 64 millas por hora, cuánto tiempo

menos hubiera empleado en llegar a su destino. R= 20minutos

16. Un conductor viajando a una velocidad de 100km/h se distrae un segundo para

mirar por el espejo retrovisor. ¿Cuál es la distancia recorrida en es segundo?

R= 27,8

17. Dos ciclistas viajan con rapidez constante por una carretera recta. El prime A corre

a 25km/h, el segundo B hace 32km/h. Exactamente al medio día A esta a 17,5 km

de B. A qué hora B rebasa a A y que distancia a recorrido cada uno desde el medio

día.

Movimiento Rectilíneo Uniforme Variado


1. ¿Puede un objeto que tiene aceleración constante detenerse alguna vez y

permanecer detenido?

2. Cite un ejemplo de un cuerpo que experimenta aceleración cuando viaja a rapidez

constante. ¿Es posible citar un ejemplo de un cuerpo sometido a aceleración que

viaje a velocidad constante?. Explique

3. Compare la aceleración de una motocicleta que acelera de 80 a 90 km/h con la de

una bicicleta que acelera del reposo a 10km/h en el mismo tiempo.

4. Se arroja una piedra verticalmente hacia arriba, desde la orilla de una barranco; se

arroja otra verticalmente hacia abajo con la misma velocidad inicial. ¿Cuál piedra

tiene mayor velocidad cuando se alcanza el fondo del barranco?. No tome la

resistencia del aire.

5. Si no fuera por la resistencia del aire, ¿por qué sería el peligro salir en días de

lluvia?

PROBLEMAS

1. Un trabajador está de pie en la azotea de un edificio de 10m de altura. Otro le tira

una herramienta desde el piso, la que toma el primero cuando ya va hacia el suelo.

Si el tiempo durante el cual la herramienta estuvo en el aire fue de 2,5 s ¿con qué

velocidad dejó la herramienta la mano del trabajador que estaba en el piso?

R=16,3 m/s

15

2. De dejan caer dos piedras desde el borde de un acantilado, primero una y 2

segundos después la segunda. Escriba una expresión para la distancia que separa las

dos piedras como función del tiempo. Encuentre la distancia que ha caído la

primera piedra cuando la separación entre las dos piedras es de 48 m.

R= 58,03m

3. Se dispara una bala a través de una tabla de 10 cm de espesor de tal manera que la

línea de movimiento de la bala es perpendicular al frente de la tabla. Si la rapidez

inicial de la bala es de 400 m/s y sale del otro lado de la tabla con una rapidez de

300 m/s, encuentre a) la aceleración de la bala cuando atraviesa la tabla y b) el

tiempo total en que la tabla está en contacto con la tabla. R= a)-3,5x10⁵ m/s2; b)

2,86 x 10‾⁴

4. Se deja caer una pequeña bolsa de correo desde un helicóptero que desciende

constantemente a 1,5 m/s. al cabo d 2s, a) ¿cuál es la rapidez de la bolsa? b) ¿a qué

distancia está debajo del helicóptero? c)¿ cuáles serian sus respuestas a los inicios

a) y b) si el helicóptero se elevase constantemente a 1,5 m/s? R= a) -21,1 m/s; b)

19,6m ; c) -18,1 m/s 19,6m

5. Un globo de aire caliente asciende en dirección vertical con una rapidez constante

de 5 m/s. Cuando se encuentra a 21 m encima del suelo, se deja caer un paquete

desde el globo. a) ¿durante cuánto tiempo permanece el paquete en el aire después

de que se le deja caer? b) ¿cuál es la velocidad del paquete un momento antes de su

impacto con el suelo? c) Repita a) y b) para el caso en que el globo descienda 5m/s.

R=

a)2,64 s; b)-20.9 m/s; c) 1,62 s y 20,9 m/s hacia abajo

6. Una persona lanza una pelota en dirección vertical hacia arriba y le atrapa al cabo

de 2s. encuentre a) la velocidad inicial de la pelota y b) la altura máxima que

alcanza. R= a) 9,8 m/s; b) 4,9 m

7. Un móvil que va por una carretera recta con una velocidad de (-8i + 6j) m/s, recorre

21,6 m con una aceleración de módulo 0,98 m/s2. Determinar:

a) La velocidad alcanzada R= (9,28i + 6,96j) m/s

b) El tiempo empleado R= 2 s

c) El desplazamiento realizado R= (17,28i + 12,96j) m

d) La velocidad media R= (-8,64i – 6,48j) m/s

e) La rapidez media R= 10,80 m/s

8. Al aproximarse un tren a la estación por una vía recta, la velocidad es de

(-15i – 18j) m/s. en ese momento el maquinista desconecta la locomotora

produciendo una desaceleración de módulo 0,5 m/s2. Determinar:

a) El desplazamiento del tren hasta su parada. R= (-351,46i – 421,75j) m

b) La distancia recorrida. R= 549 m

c) El tiempo empleado R= 46,86 s

d) La velocidad media R= (-7,5 – 9j) m/s

e) La rapidez media. R= 11,72 m/s

9. Un auto de carreras alcanza una rapidez de 40 m/s. en este instante, el auto inicia

una aceleración negativa uniforme por medio de un paracaídas y un sistema de

frenos hasta quedar en reposo en 5 segundos más tarde. Determinar: a) la

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aceleración del automóvil. b) la distancia recorrida por el auto a partir del momento

que inicia la aceleración. R= a) -8m/s2; b) 100m

10. El diagrama Vx –t de la figura representa el movimiento de tres autos A,B,C por

una carretera recta ay a partir de una misma posición inicial determinar:

a) El móvil de cada uno

b) La distancia que recorre cada uno R= A 90m; B 150m; C 110m

c) La distancia entre ellos R= A-B=60m; A-C= 20m; C-B= 40m

d) La velocidad media de cada uno R: A:14i m/s; B: 12,5 i m/s; C: 9,17i

m/s

e) Los gráficos rx – t y ax – t de cada uno

11. Un cuerpo lanzado hacia abajo, adquiere una velocidad de (-84j) m/s en 7s.

Determinar:

a) Con qué velocidad fue lanzado R= -15,4j m/s

b) Cuál fue el desplazamiento realizado en los 7s R= -347,9j m

c) La altura descendida R= 347,9 m

d) La velocidad media R= -49,7j m/s

e) La rapidez media R= 49,7j m/s

12. Un camión en un camino recto parte del reposo y acelera a razón de 2 m/s2 hasta

alcanzar una rapidez de 20 m/s. después el camión viaja a durante 20 segundos con

rapidez constante hasta que se aplican los frenos para detener el camión de manera

uniforme en 5 segundos más. a) cuánto tiempo permanece el camión en

movimiento. b) Cuál es la velocidad media del camión en el movimiento descrito.

R= a) 35 s; b) 16 m/s

13. El registro de un recorrido a lo largo de un camino recto es como sigue:

i. Arranque desde una posición de reposo con aceleración constante de 2,77

m/s2 durante 15 segundos

ii. Velocidad constante durante los 2,05 minutos siguientes.

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iii. Aceleración negativa constante de -9,47 m/s2 durante 4,39segundos

a) Cuál fue la distancia total del recorrido

b) Cuál es la velocidad media en los intervalos i,ii,iii y en el recorrido total

R= a) 5, 51 km; b) 20, 8 m/s; 41, 6 m/s; 20, 8 m/s; 38, 7 m/s

14. Un tren de 400 m de longitud avanza en una vía recta con una rapidez de 82,4

km/h. el maquinista aplica los frenos en una intersección, y mas tarde el último

vagón pasa por la intersección con una rapidez de 16,4 km/h. suponiendo que la

aceleración es constante, determine durante cuánto tiempo el tren obstruyó la

intersección. No tome en cuenta la anchura del cruce. R= 29,1 segundos.

15. Una motocicleta está parada en un semáforo acelera a 4,2 m/s2

en el momento que

la luz verde se enciende. En ese momento, un automóvil que viaja a 72km/h rebasa

al motociclista. Este acelera durante un tiempo T, y después conserva su velocidad.

Rebasa al automóvil 42s después de haber arrancado. A qué velocidad va el

motociclista cuando rebasa y a qué distancia esta del semáforo. R=21,3

m/s; 840 m

16. Un automovilista que viaja con una rapidez de 120 km/h pasa frente a una patrulla

de policía que está estacionada. El oficial de policía empieza a seguir al automóvil

con exceso de velocidad con una aceleración constante de 10 km/h (observe la

mezcla de unidades). ¿cuánto tiempo le llevará al oficial de policía alcanzar al

automovilista, suponiendo que este mantenga una rapidez constante? ¿a qué rapidez

ira irá la patrulla de policía en ese momento? R= 24s; 240

km/h

17. Una piedra se arroja verticalmente hacia arriba con una rapidez de 22 m/s a) ¿A qué

rapidez se mueve cuando alcanza una altura de 15m? b) ¿cuánto tiempo necesita

para alcanzar esa altura? c) ¿por qué hay dos respuestas en b) R= a)

± 13,8 m/s, b) 0,838s o 3,65s

18. Un corredor espera completar la carrera de 10000m en menos de 30 min. Después

de exactamente 27 min todavía le quedan 1100m por cubrir. ¿Durante cuántos

segundos debe el corredor acelerar a 0,2 m/s2

a fin de lograr el tiempo deseado.

R=3,1 s

19. Una piedra que cae tarda 0,3 s para pasar delante de una ventana de 2,2 m de altura

¿a qué altura sobre la ventana comenzó a caer la piedra? R= 1,8 m

18

20. Suponga ajusta la boquilla de la manguera de su jardín para tener un chorro de agua

con bastante presión. Apunta usted verticalmente hacia arriba y la altura de la

boquilla resulta de 1,5 m sobre el piso. Cuando mueve usted rápidamente la

boquilla apartándola de la vertical, oye que el agua choca con el piso cerca de usted

durante 2s. ¿Cuál es la velocidad del agua al salir de la boquilla? R= 9,1m/s

Movimiento Parabólico


1. ¿En cuál punto de su trayectoria un proyectil tiene la rapidez mínima?

2. Se deja caer una roca en el mismo instante en que se arroja horizontalmente una

pelota que está a la misma altura inicial. ¿Cuál de los dos objetos tendré mayor

rapidez al alcanzar el nivel del suelo?

3. Cuando un proyectil recorre su trayectoria, ¿hay algún punto a lo largo de la misma

en el que los vectores velocidad y aceleración sean? a) ¿perpendiculares entre sí? b)

¿paralelos entre sí?

4. El muchacho que está sobre la torre lanza una pelota la cual hace un recorrido sobre

la tierra de 20 metros, como se muestra. ¿Cuál es su rapidez de lanzamiento?

19

5. ¿A qué ángulo se debe sujetar una manguera de jardín para que el chorro de agua

llegue más lejos?

PROBLEMAS

1. Desde lo alto de un acantilado se lanza un cuerpo con una velocidad de (5i) m/s.

Determinar:

a) La aceleración, la velocidad y posición para cualquier tiempo.

R= -9.8 m/s2

; 5i-9,8 t j m/s; 5ti – 4,9 t2

j m

b) La velocidad que tiene el cuerpo a los 4s R= (5i – 39,2j) m/s

c) La posición del cuerpo a los 2s R= (10i – 19,6j) m

d) La aceleración tangencial y centrípeta a los 3s R= (1,62i – 9,52j9 m/s2

(-1,62i – 0,28j) m/s2

2. Se dispara un proyectil desde la orilla de un acantilado de 140 m de altura con una

rapidez inicial de 100 m/s y un ángulo de 37° con la horizontal, a) calcule el tiempo

que tarda el proyectil en llegar al punto P en el nivel del terreno. b) calcule el

alcance X del proyectil, medido desde la base del acantilado c) calcule las

componentes horizontal y vertical de la velocidad del proyectil, en el instante de

llegar al punto P d)calcule la magnitud de la velocidad e) calcule el ángulo que

hace el vector velocidad y la horizontal R= a) 14,3 s; b) 1,14 km; c) 79,9 m/s; d)

113 m/s; e) 45° por debajo de la horizontal

3. Demostrar que el alcance máximo es 4 veces la altura máxima.

4. Un cuerpo se desliza sobre una mesa horizontal de 1,1 m de altura y cae al suelo en

un punto situado a 0,95 m del borde de la mesa. Determinar:

a) La aceleración, velocidad y posición para cualquier tiempo.

R= -9,8j m/s2; 2i – 9,8 t j m/s; 2tj – 4,9 t

2 j m

b) El tiempo de caída R= 0,47s

c) La velocidad con que abandona la mesa R= 2i m/s

d) La velocidad con que choca contra el suelo R= (2i – 4,6j) m/s

5. Un balón de baloncesto sale de las manos del jugador a una altura de 2,1m sobre el

piso. La canasta está a 2,6m del piso. El jugador desea tirar el balón con un ángulo

20

de 38°. Si hace el tiro desde una distancia horizontal de 11m y debe tener exactitud

de ±0,22m, en sentido horizontal, ¿cuáles son los límites de velocidad inicial que

permiten hacer la canasta? R= 10,8 m/s < vo < 10,9 m/s

6. Un cuerpo lanzado desde un punto (5, 2) m con una velocidad de v˳ = (20i + 50j)

m/s sobre la superficie terrestre. Determinar:

a) La aceleración, velocidad y posición para cualquier tiempo R= -9,8j m/s2

;

20i +(50 – 9,8 t)j m/s; (5 + 20t)i + (2 + 50t – 4,9t2)j m

b) El tiempo de vuelo R= 10,24s

c) El alcance horizontal R= 209,8 m (204,08m en el nivel horizontal del

lanzamiento)

d) La altura máxima R= 129,55m

e) La velocidad del proyectil en t = 4s R= (20i + 10,8j) m/s

f) La aceleración tangencial y centrípeta en t = 4s R=(-4,1i - 2,21j)

m/s2; (-4,1i - 7,59j) m/s

2

7. Un saltador de longitud puede saltar 8m. suponiendo que su rapidez horizontal es

9,1 m/s al dejar la pista, ¿Cuánto tiempo permanece en el aire, y que altura alcanza?

Suponga que aterriza parado, esto es, en la misma posición que dejó el suelo. R=

0,88s; 0,95m

8. Un joven quiere lanzar una pelota sobre una cerca que está a 6m de distancia y tiene

15m de altura. Al instante de dejar la pelota en su mano, está a 1m sobre el piso.

¿Cuál debe ser la velocidad inicial de la pelota para que pase la cerca? R=

17m/s a 78°

9. Un proyectil se dispara desde la cumbre de una pendiente, que hace un ángulo de

22° con la horizontal, con una velocidad horizontal inicial de 52m/s. localizar el

punto donde el proyectil pega con el suelo. R= 240m

10. Durante la Segunda Guerra Mundial los bombarderos en picada fueron práctica

común. Suponiendo que un bombardero pica a un ángulo de 37° bajo lo horizontal

a una velocidad de 280 m/s. suelta una bomba cuando está a una altura de 400 m, la

que da contra el blanco. ¿Dónde estaba el blanco en relación con el aeroplano en el

momento de soltar la bomba? ¿Cuánto tiempo transcurrió desde que se soltó la

bomba y el impacto’ ¿Cuál era la velocidad de la bomba cuando pegó en el blanco?

R= 500m; 2,23s; 294m/s a-40,3°

11. Un arquero dispara contra una ardilla encaramada sobre un poste telefónico de 15m

de altura, que está a 20m de distancia. El arco se mantiene 1m sobre el piso. Si la

ardilla ve al arquero cuando dispara y se deja caer al suelo al mismo tiempo que la

flecha deja el arco; ¿en qué dirección debe tirar el arquero para hacer blanco en la

ardilla? Si la velocidad inicial de la flecha es de 28m/s, ¿alcanzará la flecha a la

ardilla antes que está llegue al suelo? si fuera así, ¿en dónde le pegaría la flecha a la

ardilla? R= 35°; sí; 11,4m

12. Los clavadistas de la Quebrada, en Acapulco, se lanzan horizontalmente desde una

plataforma de piedra que se encuentra aproximadamente a 35m por arriba de la

superficie del agua, pero deben evitar las formaciones rocosas que se extienden

dentro del agua hasta cinco metros de la base del acantilado, directamente debajo de

su punto de lanzamiento ¿cuál es la rapidez mínima de lanzamiento necesaria para

realizar el clavado sin peligro? ¿cuánto tiempo pasa un clavadista en el aire? ¿por

qué tratan de lanzarse horizontalmente? R= 1,9 m/s; 2,7s

21

13. Se lanza un ladrillo hacia arriba desde lo alto de un edificio con un ángulo de 25°

respecto a la horizontal y con una rapidez inicial de 15 m/s. si el ladrillo permanece

en el aire durante 3s, ¿cuál es la altura del edificio? R= 25m

14. Se lanza un cohete con un ángulo de 53° por encima de la horizontal con una

rapidez inicial de 100m/s. el cohete se desplaza durante 3s a lo largo de si línea

inicial de movimiento con aceleración de 30m/s2. En ese momento sus motores

fallan y el cohete comienza a moverse como cuerpo libre. Encuentre: a) la altitud

máxima alcanzada por el cohete, b) su tiempo de vuelo total y c) su alcance

horizontal. R= a) 1,52x103m; b) 36,1s; c) 4,05x10

3m

15. Un mortero lanza una granada con una velocidad de (90m/s; 45°). Cuando la

granada está descendiendo, choca contra un edificio de 52m de altura. Calcular:

a) El tiempo de vuelo de la granada. R= 12s

b) La posición de la granada, el momento del impacto. R= (765i + 52j)m

c) A qué distancia del mortero está el edificio. R= 765m

d) La velocidad en el momento del choque. R= (63,6i – 54,5j)

m/s

e) La aceleración tangencial y centrípeta del proyectil en el momento del choque.

R= (4,84i – 4,15j) m/s2; (-4,84i – 5,65j) m/s

2

16. Si una persona puede saltar una distancia horizontal máxima (con un ángulo de

proyección de 45°) de 3m sobre la tierra, ¿Cuál sería su alcance máximo en la luna,

donde la aceleración de caída libre es g/6 y g= 9,8 m/s2? Repita el cálculo para el

caso de Marte, donde la aceleración debida a la gravedad es de 0,38g.

R=18m en la luna; 7,9m en Marte.

17. Un jugador lanza una pelota, que es recogida 4 seg, después por un segundo

jugador, que está horizontalmente a 6m de distancia. Si el segundo jugador está 4m

más abajo que el primero, determinar:

a) La posición de la pelota en el momento del impacto R= (26i – 4j)m

b) La velocidad con que fue lanzada R=(6,5i + 18,6j) m/s

c) El ángulo de lanzamiento R= 70,74°

22

d) La velocidad en el momento del choque R= (6,5i – 20,6j) m/s

e) La aceleración tangencial y centrípeta de la pelota en el momento del impacto.

R= (2,81i – 8,92j) m/s2; (-2,81i – 0,88j) m/s

2

18. Se dispara un proyectil con una rapidez inicial de v˳ y con un ángulo θ˳ respecto a al horizontal, como en la figura, cuando el proyectil alcanza el punto más alto,

tiene coordenadas (x; y) que están dadas por (R/2; h) y cuando toca el suelo sus

coordenada son (R; o) donde R es el alcance horizontal a) Demuestre que el

proyectil alcanza una altura máxima h, dada por: ˳ θ˳

b) Demuestre que

su alcance horizontal está dado por

19. Se lanza un proyectil con una rapidez inicial de 60 m/s con un ángulo de 30° por

encima de la horizontal. El proyectil cae sobre una ladera 4s después. No tome en

cuenta la fricción del aire a) ¿qué velocidad tiene el proyectil en el punto más alto

de su trayectoria? b) ¿Cuál es la distancia en línea desde el punto de lanzamiento

del proyectil hasta el punto de impacto? R= a) 52m/s en dirección horizontal;

b) 210m

20. Se lanza un proyectil con una velocidad inicial de (300i + 250j) m/s desde un punto

A situado a 50m de altura. Calcular:

a) La altura (h) alcanzada por el proyectil R= 3239,3m

b) La distancia horizontal BC. R= 15362m

c) El tiempo empleado por el proyectil, para recorrer AD y AC R= 25,5s;

25,7s

d) La velocidad en C R= (300i – 251,8j)

m/s

23

e) La aceleración tangencial y centrípeta del proyectil en el punto C R=

(4,83i – 4,05j)m/s2: (-4,83i – 5,75j) m/s

2

21. Un cañón que está situado en lo alto de un acantilado de 120m de altura, dispara un

proyectil con una rapidez de 250m/s y haciendo un ángulo de 30° con la horizontal.

Calcular:

a) La distancia “x”, recorrida por el proyectil R= 5724,4m

b) Si un auto se mueve directamente hacia el acantilado con una rapidez constante

de 72km/h A qué distancia delante del auto, el cañón debe hacer el disparo para

hacer el blanco R=6253,2m

c) Repetir la pregunta anterior, si el auto se aleja del acantilado R= 5195,6m

22. Dados los datos en el siguiente gráfico, determinar

a) El tiempo de vuelo R= 2,7s

b) La posición del impacto del proyectil R= (32,78i – 11,9j) m

c) La distancia OP R= 34,88 m

d) Con que velocidad impacta el proyectil R= (12,14i – 17,54j) m/s

e) La aceleración tangencial y centrípeta del proyectil en el momento del impacto

R= (4,58i – 6,65j) m/s2; (4,58 – 3,15j) m/s

2

24

Movimiento Circular Uniforme

PROBLEMAS

1. Un avión de reacción que viaja a 1 800 km/h (500 m/s) sale de un picado

describiendo un arco de 5 km de radio. ¿Cuál es la aceleración del aeroplano, en

múltiplos de g? R= 5,1 veces g

2. Calcule la aceleración centrípeta de la Tierra en su órbita alrededor del sol y la fuerza

neta que este ejerce sobre la Tierra ¿Qué ejerce esa fuerza sobre la Tierra? Suponga que

la órbita terrestre es un círculo de 1,5x10 m de radio. R= 5,97x10 m/s; 3,57x10 N, sol.

3. Los neumáticos de un nuevo auto compacto tienen un diámetro de 2 pies y están

garantizados por 60 000 millas, a) Determine el ángulo (en radianes) que uno de estos

neumáticos recorrerá girando durante el periodo de garantía, b) ¿Cuántas revoluciones

del neumático son equivalentes a su respuesta al iniciar= a) 3,2x10 rad; b) 5x10 rev

4. Un cuerpo en rotación tienen una velocidad angular constante de 33 rev/min. a) ¿Cuál

es su velocidad angular en rad/s? b) ¿Qué ángulo, en radianes, recorre en 1,5 s?

R= a) 3,5 rad/s; b) 5,2 rad

5. Una rueda de alfarero comienza a girar a partir del reposo hasta alcanzar una

velocidad angular de 0,2 rev/s en 30 s. Determine su velocidad angular en radianes por

segundo por segundo. R= 4,2x10 rad/s

6. Una bicicleta con ruedas de 75cm de diámetro viaja a una velocidad de 12 m/s. ¿Cuál

es la velocidad angular de las ruedas de esta bicicleta R= 32 rad/s

7. El aspa de un helicóptero gira a 80 rpm. ¿Cuál es el valor de w en radianes por

segundo? Si el diámetro de la hélice es de 5 m. ¿Cuál es la velocidad tangencial en la

punta del aspa? R= 8,4 rad/s; 42 m/s

8. ¿Cuál es la velocidad tangencial de un disco LP en su perímetro? El diámetro del

disco es de 12 pulgadas y la velocidad angular es de 33,3 rpm. R= 0,531 m/s

9. Una rueda de esmeril tiene un diámetro de 10 cm y gira a 1800 rpm. ¿Cuál es la

velocidad de un punto sobre la circunferencia? R= 9,42 m/s

25

10. La Catarina de la rueda trasera de una bicicleta de tres velocidades tiene un radio de

4cm. El diámetro de la rueda es 58 cm. ¿Cuáles deben ser los radios de la estrella del

pedal para que la bicicleta viaje a 22 km/h cuando el ciclista pedalea a 1,4 rps, 1 rps o

0,75 rps? R= 9,58cm; 13,4cm; 17,9cm

11. Una partícula que gira por una trayectoria circular da 25 vueltas en 6s. Determinar:

a) La velocidad angular media R= 26,18 rad/s

b) El ángulo girado en 3s R= 78,54 rad

c) El tiempo necesario para girar un Angulo de 1600° R= 1,07 s

12. La velocidad angular de un motor cambia uniformemente de 1200 a 2100 RPM en

5s. Determinar:

a) La aceleración angular R= 18,85 rad/s

b) La velocidad angular media R= 172,79 rad/s

c) El desplazamiento angular R= 863,94 rad

13. Un cuerpo parte del punto (3;-6) cm en sentido anti horario por una pista circular

con centro en el origen, con una velocidad angular de 6 rad/s y se mueve durante 10 s

con una aceleración angular de 2 rad/s. Determinar:

a) La velocidad angular final R= 26 rad/s

b) La velocidad angular media R= 16 rad/s

c) El desplazamiento angular R= (-1,62i+6,51j) m

d) La posición final

14. La Tierra, cuyo radio aproximado tiene 6375 km, gira sobre su propio eje (rotación).

Determinar:

a) El periodo de rotación R= 86 400s

b) La frecuencia R= 1,15x10 s

c) La velocidad angular R= 7,27x10 rad/s

d) La rapidez de un punto del Ecuador en km/h R= 1 668 km/h

e) El modulo de la aceleración centrípeta R= 0,033 m/s

15. ¿Cuál es la rapidez de la Tierra por su movimiento anual alrededor del Sol?

R= 30km/s

16. La Luna órbita alrededor de nuestro planeta; la distancia promedio que la separa de

la Tierra es de 3,84x108m. Determinar:

a) El periodo de revolución R= 2 360 600s


26


d) La rapidez en km/h R= 3 679,52 km/h

e) El modulo de la aceleración centrípeta R= 2,72x10 m/s

17. Un cuerpo parte del punto (4;-3) m en sentido anti horario por una trayectoria

circular con centro en el origen y se mueve 12s con una velocidad angular constante de

3 rad/s. Determinar:

a) El desplazamiento angular R= 36 rad

b) La posición angular inicial R= 5,64 rad

c) La posición angular final R= 41,64 rad

d) La posición final R= (-3,49i-3,58j) m

e) Cuantas vueltas da R= 5,73 vueltas

f) El periodo R= 2,09s

g) La velocidad en la posición inicial R= (9i+12j) m/s

h) La aceleración centrípeta en la posición final R= (31,38i+32,25j) m/s

Movimiento Circular Uniformemente Variado

PROBLEMAS

1. Un motor eléctrico hace girar una rueda de amolar en un taller a razón de 100

rev/min. Suponga una aceleración angular negativa constante cuya magnitud es de 2

rad/s a) ¿Cuánto tiempo tarda la rueda en detenerse?; b) ¿Cuántos radianes recorrió la

rueda en el intervalo calculado en a?

R= a) 5,24s; b) 27,4 rad

2. Una rueda giratoria tarda 3 s en efectuar 37 revoluciones. Su velocidad angular al

termino del intervalo 3 s es de 98 rad/s. ¿Cuál es la aceleración angular constante de la

rueda?

R= 13,7 rad/s

3. Una moneda de 2,4 cm de diámetro se deja caer sobre una superficie horizontal. La

moneda comienza a rodar con una velocidad angular inicial de 18 rad/s y continua

rodando en línea recta sin resbalar. Si la rotación se retarda con una aceleración angular

cuya magnitud es de 1,9 rad/s, ¿Qué distancia recorre la moneda antes de detenerse?

R= 1,02 m

4. La tornamesa de un tocadiscos gira inicialmente a 33 rev/min y tarda 20 s en

detenerse a) ¿Cuál es la aceleración angular de la tornamesa, suponiendo que es

uniforme? b) ¿Cuántas revoluciones efectúa la tornamesa antes de detenerse? c) Si el

radio de la tornamesa es de 0,14m ¿Cuál es la rapidez lineal inicial de un insecto

montado en el borde?

27

R= a) -0, 17 rad/s; b) 5, 5 rev; c) 0, 48 m/s

5. Una parte de una maquina gira con una velocidad angular de 0,6 rad/s; su velocidad

se incrementa entonces a 2,2 rad/s a razón de una aceleración angular de 0,7 rad/s.

Determine el ángulo que la parte recorre; antes de alcanzar su velocidad final. R= 3,2

rad

6. a) ¿Cuál es la aceleración tangencial de un insecto en el borde de un disco de 10 pulg.

de diámetro si el disco pasa del reposo a una velocidad angular de 78 revoluciones por

minuto en 3s? b) Cuando el disco tiene s velocidad final, ¿Cuál es la velocidad

tangencial del insecto? c) un segundo después de que el insecto deja de estar en reposo,

¿Cuál es su aceleración tangencial, su aceleración radial y su aceleración total?

R= a) 3,5x10 m/s; b)1 m/s; c) 3,5x10 m/s 0,94 m/s 1 m/s a 20° con respecto a la

dirección de a)

7. Una motocicleta cuyas ruedas tienen un diámetro de 60cm se acerca a un cruce a una

velocidad de 72 km/h, cuando la motocicleta esta a 50 m de la intersección, el semáforo

cambia a alto y el conductor aplica los frenos, desacelerando uniformemente. Determine

a) la velocidad angular de las ruedas antes de aplicar los frenos, b) la aceleración

angular de las ruedas c) el ángulo que cada rueda recorre durante el tiempo que

desacelera la motocicleta

R= a) 66,7 rad/s; b) 13,3 rad/s; c) 167 rad

8. Un automóvil parte del reposo en una vía circular de 400m de radio con MCUV hasta

que alcanza una rapidez de 72 km/h en un tiempo de 50s. Determinar:

a) La velocidad angular final R= 0,05 rad/s

b) La velocidad angular madia R= 0,025 rad/s

c) La aceleración angular R= 0,001 rad/s

d) El desplazamiento angular R= 1,25 rad

e) La distancia recorrida R= 500 m

f) El tiempo que tarda en dar 100 vueltas R= 1121 s

g) El modulo de la aceleración total final R= 1,08 m/s

9. Un punto animado de movimiento circular cambia su velocidad angular de 200 RPM

a 2600 RPM en 2 min. Si el radio de la trayectoria es 1,5 m determinar:

a) La rapidez inicial R= 31,41 m/s

b) La velocidad angular final R= 272,27 rad/s



e) Cuantas vueltas dio R= 2799,95 vueltas

f) La distancia recorrida R= 26388,9 m

g) El modulo de la aceleración total inicial R= 657,73 m/s

10. A una partícula que está girando con una velocidad angular de 6 rad/s se le

comunica una aceleración angular de 2,8 rad/s durante 1 min. Si el radio de la

trayectoria circular es de 0,6 m determinar:


28

b) La velocidad angular final R= 174 rad/s

c) La rapidez final R= 104,4 m/s

d) La velocidad angular media R= 90 rad/s

e) El desplazamiento angular R= 5400 rad

f) Cuantas vueltas da R= 859,44 vueltas


11. Un volante de 10 cm de radio gira en torno a su eje a razón de 400 RPM. Un freno

lo para en 15 s. Determinar:

a) La velocidad angular inicial R= 41,89 rad/s

b) La rapidez en el momento de aplicar el freno R= 4,19 m/s

c) La velocidad angular media R= 20,94 rad/s


e) Cuantas vueltas da hasta detenerse R= 50 vueltas



12. Un punto animado de movimiento circular, cambia su velocidad angular de 800 rpm

a 400 rpm, por la acción de una aceleración angular de -2pi/5 rad/s. Si el radio de la

trayectoria es 2m, hallar:

a) El tiempo empleado R= 33,5 s

b) El desplazamiento angular R= 2105,3 rad

c) Cuantas revoluciones dio R= 335 rev

d) La distancia recorrida R= 4210,7 m

e) La rapidez final R= 83,7 m/s

f) El modulo de la aceleración total final R= 3507,8 m/s

13. Una partícula se mueve en una trayectoria circular de 1,4 m de radio en sentido

horario. Si parte del reposo y del punto B, alcanzando una velocidad angular de 7 rad/s

en 4s, determinar:


b) El desplazamiento angular R= -14 rad


d) La posición angular final R= -13,53 rad

29

e) La posición final R= (0,8i-1,15j) m

f) La velocidad final R= (-8,05i-5,59) m/s

g) La aceleración total final R= (-41,15i+54,94j)

m/s

14. Un cuerpo se encuentra girando en una trayectoria circular de 5m de radio. Cuando

en un instante determinado, se aplican los frenos, se produce una aceleración angular de

-3pi/11 rad/s y describe un ángulo de 11pi/3 rad hasta detenerse. Hallar:

a) La velocidad angular inicial

b) Que rapidez tenía el cuerpo en el instante que se aplicaron los frenos R= 22,1 m/s

c) El tiempo empleado en detenerse R= 5,2 s


e) La velocidad angular media R= 2,2 rad/s

f) El modulo de la aceleración total inicial R= 97,7 m/s

15. Una partícula se mueve en la trayectoria circular de la figura con una rapidez de 10

m/s y una aceleración angular de (-2π/5) rad/s2 hasta detenerse. Determinar:

a) La velocidad angular inicial R= 20 rad/s

b) La velocidad inicial R= (8,19i-5,74j) m/s

c) El tiempo hasta detenerse R= 15,92 s


e) La posición angular final R= 163,25 rad

f) La posición final R= (0,497i-0,056j) m

g) La aceleración total inicial R= (114,21i+164,19j) m/s

16. Una partícula se mueve en la trayectoria circular de la figura con una Vo= 4m/s en

t= 0s y una aceleración angular de -0,8 rad/s, Determinar:

30

a) El desplazamiento angular R= 4,24 rad

b) El espacio angular recorrido R= Horario: 4,48rad; anti horario: 8,72rad; total: 13,2

rad

c) El espacio lineal recorrido R= 19,8m

d) La posición cuando v= 0 R= (0,17i+1,49j) m

e) La posición final de la partícula R= (-1,1i+1,02j) m

f) La velocidad en t= 8 s R= (3,81i-4,1j) m/s

g) La aceleración total en t= 8 s R= (16,13i+13,36j) m/s

17. Un tambor de 1,20 m de diámetro que está girando a 25 rpm está desacelerando

constantemente hasta 10 rpm. Si durante este tiempo, se enrolla una cuerda en el tambor

y este se lleva a 120 m de cuerda, ¿Cuál fue el valor de a? R= -0,0144 rad/s

18. Una partícula parte del reposo desde el punto A, en sentido horario como indica la

figura. Si realiza un desplazamiento angular de 5pi rad en 10 segundos, calcular.

a) La aceleración angular producida R= 0,31 rad/s

b) La posición angular final R= -1144,5°

c) La posición final R= (1,29i-2,7j) m

d) La velocidad angular final R= 3,1 rad/s

e) La velocidad final R= (-8,4i-3,9j) m/s

f) La aceleración total final R= (-13i+25,7j) m/s

19. Una partícula animada de movimiento circular, se encuentra en la posición que

indica la figura en t= 1 seg. Si luego de 6 seg, alcanza una rapidez de 10 m/s,

determinar:


b) El desplazamiento angular R= 21 rad

c) La posición final R= (2i+0,1j) m

d) La velocidad final R= (-0,56i+9,9j) m/s

31

e) La aceleración total inicial R= (4,8i+6,4j) m/s

f) La aceleración total final R= (-49,9i-1,8j) m/s

20. Una partícula se mueve por una trayectoria circular, como indica la figura en t= 2s

Si se mueve durante 5 seg, con una aceleración angular de 2pi/5 rad/s, determinar:

a) La posición y velocidad angular inicial R= (3i) m; 1,6 rad/s



d) La posición final R= (1,5i-2,5j) m

e) La velocidad final R= (20,5i+12,2j) m/s

f) La aceleración total final R= (-94,4i+165,5j) m/s

Estática


1. Tanto el momento de torsión como el trabajo son productos de fuerza por distancia,

¿cuál es la diferencia entre ambos? ¿tienen las mismas unidades?

2. Una escalera descansa reclinada contra un muro. ¿se sentiría más seguro al subir la

escalera si se le dijera que el piso carece de ficción pero el muro es rugoso, o si se

le dijera que el muro carece de fricción pero el piso es rugoso? Justifique la

respuesta.

PROBLEMAS

1. Si el momento de torsión que se requiere para aflojar una tuerca que sostiene un

neumático desinflado en su lugar en un automóvil tiene una magnitud de 40 N.m

32

¿cuál es la fuerza mínima que el mecánico debe ejercer en el extremo de una llave

de 30 cm de largo para aflojar la tuerca? R= 133N

2. Calcule la torca neta con respecto al eje de la rueda que se ve en la figura. Suponga

que una torca de fricción de 0,4m.N se opone al movimiento R= 1,1 m.N

3. Los pernos de la cabeza de cilindro de algunos motores necesitan una torca de

apriete de 80 m.N. si una llave tiene 30 cm de longitud, ¿qué fuerza, perpendicular

a la llave, debe ejercer un mecánico en el extremo de la misma? Si la cabeza

hexagonal del perno tiene 15mm de diámetro, calcule la fuerza aplicada cerca de las

seis puntas con una llave de boca. R= 2.7x102 N; 1,8x10

3N

4. ¿Cuál es la torca máxima que ejerce una persona de 55kg que va en bicicleta,

cuando recarga todo su peso en cada pedal para subir por una cuesta? Los pedales

giran en un círculo de 17cm de radio. R= 91m.N

5. Calcule el momento de torsión neto (magnitud y dirección) sobre la viga de la

figura en torno a) un eje que pasa por 0 y es perpendicular a la página b) un eje que

pasa por C y es perpendicular a la página. R= 29,6 N.m en sentido contrario a las

manecillas del reloj; 35,6 N.m en sentido contrario a las manecillas de reloj

33

6. Un péndulo simple se compone de una masa puntual de 3kg que cuelga del extremo

de un cordel ligero de 2m de largo que está conectado a un punto de pivote. Calcule

la magnitud del momento de torsión (debido a la fuerza de gravedad) en entorno a

este punto de pivote cuando el cordel forma un ángulo de 5° con la vertical. R=

5,1 N.m

7. Un letrero semicircular uniforme de 1m de diámetro y cuyo peso es w está

sostenido por dos cables, como se muestra en la figura. ¿cuál es la tensión de cada

uno de los cables que sostienen el letrero? R= T(cable izquierdo)= 1/3 W,T(cable

derecho)=2/3 W

8. La viga AB de la figura, es de 100kg y 6m de longitud. El extremo A, está apoyado

sobre el suelo y formando un ángulo de 50°. Para mantener la viga en esta posición,

se coloca una cuerda, que va desde el punto medio de la viga D, hasta el punto C,

que está situado a 4m de A. Al mismo tiempo, se aplica en A, una fuerza Q, que

ayuda a que el sistema este en equilibrio. Calcular: a) la tensión de la cuerda. b) el

valor de la fuerza Q. R= a) 1307,24N b) 1218,85N

34

9. Una tabla uniforme de 2m de largo y cuya masa es de 30kg está sostenida por tres

cuerdas, como lo indican los vectores de la figura. Determine la tensión en cada

cuerda cuando una persona de 700N está a 0,5 m del extremo izquierdo.

R: T1= 501N; T2= 672N; T3= 384N

10. Dos cuerpos A y B, de 30kg y 20kg respectivamente, se encuentre suspendidos de

los extremos de una viga de masa despreciable. Calcular la distancia x, al extremo

del cuerpo A, a la cual debe suspenderse el sistema, para que permanezca en

equilibrio. R= 1,2m

11. En la figura, si la dos masas de la varilla y cuerdas son despreciables, ¿cuál debe ser

la masa de los cuerpos B y C, para que el sistema permanezca en equilibrio, si el

cuerpo A es de 10kg? R= 20kg 20,5kg

35

12. Calcule la tensión de las líneas de soporte en la figura.

R= a) 294N b) 784N c) 270N

13. Una varilla uniforme de 1,2 m de longitud, cuya masa es de 2kg, está sostenida del

techo por medio de los alambres delgados, como se ilustra en la figura. Determinar

la tensión en cada alambre y la masa M. R= 13,9N 19,6N 0,732N

14. Un mástil de 80kg se mantiene en posición vertical por medio de estayes, como se

puede ver en la figura. La tensión en el estay más corto es de 800N. ¿cuál es la

36

tensión del otro estay y las demás fuerzas que actúan sobre el mástil? R= 566N,

1,88x103N

15. La figura muestra una báscula romana sencilla. El brazo de la báscula es de 20 cm

de longitud y 2 cm de espesor y tiene una masa de 150g. Está sostenida por un hilo

delgado fijo la superficie superior del brazo, a 12 cm del extremo izquierdo. Una

masa de 10g se coloca en el extremo izquierdo del brazo. ¿qué masa se debe

suspender del extremo derecho de la báscula para que haya equilibrio? R= 52,5g

16. Una viga con masa de 15kg está fija en la pared en A con un perno y sostenida por

una cuerda, como se ve en la figura. La tensión máxima que puede aplicarse a la

cuerda es de 500N. Si las masas se suspenden del extremo de la viga, ¿cuál es la

mayor masa total que se puede colgar del extremo de la viga antes de que rompa la

cuerda? R= 5,25kg

37

17. En la figura representada, ¿cuál debe ser el valor de la distancia x en metros, para

que el sistema pertenezca en equilibrio? Se considera despreciable el peso de la

barra R= 4m

18. En la figura, determinar las reacciones en los apoyos A y B, causadas por las cargas

que actúan sobre la viga de peso despreciable.

R: RAx= 285,14N; RAy= 727,41N; RB= 529,1 N

19. En la figura, la barra AB tiene un peso de 400N. determinar la tensión en el cable y

la reacción en A. R= 3983,43 N; (2560,5i + 2384,52j) N

20. En la figura, el puntal AB de 100kg, tiene una longitud de 8m y tiene su centro de

gravedad en el punto medio. Si el peso del cuerpo suspendido es 1500N, calcular:

a) La tensión en las cuerdas BD y BC R= 3000N 3747N

b) La magnitud y dirección de la fuerza ejercida sobre el puntal, en el extremo A.

R=(1148,92i + 2480,5j)N

38

21. En la figura, la viga AB tiene un peso de 300N por metro de longitud. Determinar:

a) La tensión sobre el cable R= 1261,09N

b) La fuerza del pasador A sobre la viga R= (1033,03i + 576,6j) N

22. Una escalera de 15m de longitud tiene una masa de 20kg. Descansa contra una

pared vertical lisa, y su parte inferior se encuentra en el piso a 4m de la pared. ¿cuál

debe ser el coeficiente mínimo de fricción estática entre la escalera y el suelo, para

que una persona de 80kg pueda subir con seguridad hasta el 70% de la escalera?

R= 0,18

23. En la figura, la viga AB de peso despreciable y 10m de longitud, está apoyada en

una pared vertical A y en una esquina C perfectamente lisas. Determinar:

a) El ángulo ⍬ para que l viga esté en equilibrio. R= 47,98°

39

b) Las reacciones en los puntos de apoyo. R: RA= 110,98iN; RC=(-110,98i + 100j)

N

24. La viga de la figura, está apoyada en un pasador liso en A y en un rodillo en B.

cuando se aplica a la viga las tres recargas de la figura, calcular:

a) Las reacciones en A y B R=(203,5i + 529,52j) N (538,21j) N

b) Verificar los resultados, aplicando ∑Fy=0

25. En la figura, la viga está empotrada en el extremo izquierdo. Si sobre ella actúan la

tres fuerzas indicadas, hallar la reacción en el extremo empotrado. R=(450j) N;

1000Nm

26. Una escalera de 50kg, tiene una longitud de 10m y se apoya contra una pared

vertical sin rozamiento. El extremo inferior de la escalera, descansa sobre un piso

áspero, separado 4m de la pared. Calcular las reacciones en la pared y en el piso.

R=(106,87i)N; (-106,87i + 490J) N

40

27. Un letrero rectangular uniforme de 500N con 4m ancho y de 3m de alto está

suspendido de una varilla horizontal uniforme de 6m de largo y 100N, como se

indica en la figura. El extremo izquierdo de la varilla está sostenido por una bisagra

y el derecho por un cable delgado que forma un ángulo de 30° con la vertical, a)

calcule la tensión, T, del cable, b) determine las componentes horizontal y vertical

de la fuerza que la bisagra ejerce sobre el extremo izquierdo de la varilla. R: 443

N; 222 N hacia la derecha 216 N hacia arriba

28. Una escalera uniforme de 8m y 200 N descansa contra un muro liso. El coeficiente

de fricción estática entre la escalera y el suelo es de 0,60 y la escalera forma un

ángulo de 50° con el suelo. ¿hasta qué altura de la escalera puede una persona subir

sin que la escalera comience a resbalar? R= 6,2m

Trabajo, Energía y Potencia


1. Considere un juego de tira y afloja en el que dos equipos que tiran de una cuerda

están equilibrados, de tal modo que no ocurre movimiento alguno. ¿Se realiza

41

trabajo sobre la cuerda? ¿Sobre las personas que tiran de ella? ¿sobre el suelo? ¿Se

realiza trabajo sobre algo?

2. Un equipo de cargadores de muebles desea cargar un camión por medio de una

rampa colocada entre el suelo y la parte superior del vehículo. Uno de los

cargadores afirma que se requeriría menos trabajo para cargar el camión si se

aumentase la longitud de la rampa a fin reducir el ángulo respecto a la horizontal.

¿Es válida su afirmación? Explique su repuesta.

3. A los caminos que ascienden por las mañanas se les da forma en zigzag: el camino

va de un lado a otro a lo largo de la pendiente de tal manera que hay sólo un ligero

ascenso en cualquier parte de la carretera. ¿Se consigue con esto que el automóvil

deba realizar menos trabajo para ascender la mañana, en comparación con conducir

en un camino que sube en la línea recta por la pendiente? ¿por qué se utiliza la

forma zigzag?

4. un auto de modelo antiguo acelera de 0 a la rapidez v en 10 segundos. Un auto

deportivo nuevo, más potente acelera de 0 a 2v en el mismo periodo. ¿Cuál es la

proporción, de las potencias desarrolladas por ambos vehículos? Considere que la

energía proveniente del motor se manifiesta sólo como energía cinética en los

autos.

5. Cuando un péndulo simple oscila de un lado para otro, las fuerzas que actúan sobre

la masa suspendida son las fuerzas de gravedad, la tensión del cordón que le

sostiene y la resistencia del aire, a) ¿Cuál de estas fuerzas, en su caso, no realiza

trabajo sobre el péndulo? b) ¿Cuál de estas fuerzas realiza trabajo negativo en todo

momento durante el movimiento? c) describa el trabajo que la fuerza de gravedad

realiza mientras el péndulo se balancea.

6. En la mayor parte de las situaciones que hemos encontrado en este capítulo, las

fuerzas de fricción tienden a reducir la energía cinética de un objeto. Sin embargo,

en ocasiones las fuerzas de fricción pueden aumentar la energía cinética de un

objeto. Describa algunas situaciones en las que la fricción cause un incremento en

la energía cinética.

7. Una pesa está ligada a un resorte suspendido verticalmente del techo. Si se desplaza

la pesa hacia abajo desde su posición de equilibrio y después se la libera, oscilará

hacia arriba y abajo. Si no se toma en cuento la resistencia del aire, ¿se conserva la

energía total del sistema (pesa y resorte)? ¿cuántas formas de energía potencial

están presentes en esta situación?

8. Una persona está acomodando los libros en los anaqueles de una biblioteca y

levanta un libro del piso al anaquel más alto. La energía cinética del libro en el piso

será cero, y su energía cinética en el anaquel superior es cero, de modo que no hay

cambio alguno de energía cinética. Sin embargo, la persona realizó cierto trabajo

para levantar el libro. ¿se ha violado el teorema y la energía cinética?

9. Un satélite terrestre describe una órbita circular a una altitud de 500 km. Explique

por qué el trabajo realizado por las fuerzas de gravedad que actúa sobre el satélite

es cero. Con base en el teorema del trabajo y la energía cinética, ¡qué se puede

afirmar acerca de la rapidez del satélite?

42

PROBLEMAS

1. Un bombero de 65kg sube por una escalera de 10m de altura. ¿cuánto trabajo

requiere para subir? R= 6,37x103 J

2. ¿A qué altura llegará una piedra que es lanzada directamente hacia arriba por una

persona que realiza 80 J de trabajo sobre ella? Desprecie la resistencia del aire.

R= 46,6m

3. ¿cuál es el trabajo mínimo necesario para empujar un automóvil de 1000kg, 300m

pendiente arriba de una cuesta de 17,5°, a) sin tener en cuenta la fricción, b)

suponiendo que el coeficiente efectivo de fricción es 0,25? R= 8,8x105 J; 1,6x10

6 J

4. Ocho litros, cada una de 4,6 cm de ancho y con una masa de 1,8 kg, se encuentran

acostados sobre una mesa. ¿Cuánto trabajo se necesita para apilarlos una sobre

otro? R= 23 J

5. Un ingeniero se encuentra diseñando un resorte que debe colocarse en la base del

hueco de un elevador. Si el cable del elevador llegara a romperse a una altura h por

encima del resorte, calcule el valor que debe tener la constante del resorte, de modo

que las personas que están dentro sufran una aceleración no mayor a 5g cuando

alcancen el reposo. Sea M la masa total del elevador y sus ocupantes.

6. a) calcule la fuerza necesaria para comunicar una aceleración de 0,1g hacia arriba a

un helicóptero de masa M b) Calcule el trabajo efectuado por esa fuerza, cuando el

aparato se mueve una distancia h hacia arriba. R= a) 1,1 Mg; b) 1,1 Mgh

7. a) Si se duplica la energía cinética de una partícula, ¿por qué factor aumenta su

velocidad?

b) S la rapidez de una partícula se hace del doble, ¿en qué factor aumenta su EC?

R= ; 4

8. un automóvil tiene el doble de masa que otro, pero sólo la mitad de energía

cinética. Cuando ambos vehículos aumentan se velocidad 6m/s, tienen la misma

energía cinética. ¿cuáles fueron las velocidades originales de los dos automóviles?

R= 4,2 m/s; 8,5 m/s

9. un excursionista de 55kg parte de una altura de 1600m y sube hasta la cumbre de un

pico de 31000m, a) ¿Cuál es la variación de energía potencial del excursionista? b)

Cuánto es el trabajo mínimo que hace? c) el trabajo real puede ser mayor que el

anterior? Explique la respuesta. R= a) 8,1x105 J; b) 8,1x10

5 J; c) si

10. Un acróbata de 75kg salta verticalmente hacia arriba desde la parte superior de una

plataforma con una rapidez de 5m/s hacia una cama elástica a) ¿Qué rapidez lleva

al momento de tocar la cama elástica, que se halla 3m más abajo? b) si la cama

elástica se comporta como un resorte de constante 5,2x104 N/m, ¿qué distancia la

comprime el acróbata? R a) 9,2 m/s; b) 0,35m

43

11. Un pequeño objeto de masa m se desliza sin fricción a lo largo de la pista que se

muestra en la figura. Si en la parte superior de la vuelta cuyo radio es r, ¿desde qué

distancia mínima debe soltarse? R= 2,5 r

12. Un esquiador que se desplaza a 12m/s alcanza la base de una pendiente hacia arriba

inclinada 18° y se desliza suavemente una distancia de 12,2m antes de quedar en

reposo. ¿Cuál fue el coeficiente de fricción promedio? R= 0,31

13. Un ciclista trata de ascender por una colina de 14° cuya altura vertical es 120m.

suponiendo que la masa de la bicicleta y la de la persona sea 75kg, a) calcule

cuánto trabajo se debe efectuar contra la gravedad; b) si en cada revolución

completa de los pedales avanza 5,1 m la bicicleta, calcule la fuerza promedio que se

debe ejercer sobre los pedales, en dirección tangente a su trayectoria circular. No

tenga en cuenta la fricción ni otras pérdidas. Los pedales giran en un circulo cuyo

diámetro es de 36cm. R= a) 8,82x104 J; b) 802 N

14. Un cajón de madera de 70kg, iniciando desde el reposo, se jala por el piso con una

fuerza horizontal constante de 200 N. durante los primeros 10m, el piso no tiene

fricción, y en los siguientes 10m el coeficiente de fricción es de 0,3, ¿cuál es la

rapidez final del cajón? R= 7,4 m/s

15. ¿Cuánto tarda un motor de 1700 W en elevar un piano de 350kg hasta una ventana

en el sexto piso, a 16m de altura? R= 32,3s

16. a) Demuestre que un caballo de fuerza inglés (550 pies. Ib/s) es igual a 746 W

b) ¿Cuál es la producción de caballos de fuerza de una bombilla eléctrica de 100W?

R= b) 0,134 caballos de fuerza

17. un automóvil de 1000kg tiene una potencia máxima de 120hp. ¿Qué inclinación

puede tener una subida para que la pueda ascender a una velocidad constante de

70km/h, si las fuerzas de fricción suman 600 N R= 24°

44

18. una pesista levanta un juego de pesas de 350 N desde el suelo hasta una posición

por encima de su cabeza, distancia vertical de 2m. ¿Cuánto trabajo realiza el

pesista, suponiendo que mueve las pesas con rapidez constante? R= 700 J

19. partiendo de una posición de reposo, un bloque de 5kg se desliza hacia abajo 2,5 m

por un plano inclinado áspero de 30°. El coeficiente de fricción cinética entre el

bloque y la pendiente es µC = 0,436. Determine: a) el trabajo realizado por la fuerza

de gravedad, b) el trabajo realizado por las fuerzas de fricción entre el bloque y el

plano inclinado, y c) el trabajo realizado por la fuerza normal. R= a) 61 J; b) -46 J;

c) 0 J

20. un corredor de base de 70kg comienza su deslizamiento hacia la segunda base

cuando su rapidez es de 4 m/s. el coeficiente de fricción entre su ropa y el suelo es

de 0,7. El jugador resbala de tal manera que su rapidez es cero en el momento de

alcanzar la base, a) ¿Cuánta energía mecánica se pierde a causa de la fricción que

actúa sobre el corredor? b) ¿Qué distancia resbala) R= a) 560 J; b) 1,2m

21. un esquiador parte del reposo en lo alto de una colina que presenta una inclinación

de 10,5° respecto a la horizontal. La ladera tiene 200m de largo y el coeficiente de

fricción entre la nieve y los esquíes es de 0,075. Al pie de la colina la nieve es

horizontal y el coeficiente de fricción no cambia. ¿Qué distancia recorre el

esquiador a lo largo de la parte horizontal de la nieve antes de detenerse? R=

289m

22. una niña de 40 N está en un columpio sujeto a cuerdas de 2m de largo. Determine la

energía potencial gravitatoria de la niña respecto a su posición más baja a) cuando

las cuerdas están horizontales, b) cuando las cuerdas forman un ángulo de 30° con

la vertical y c) en la parte más baja del arco circular. R= a) 80 J; b) 11 J; c) 0 J

23. una bala de 2sale del cañón de un rifle con una rapidez de 300m/s. a) determine su

energía cinética, b) calcule la fuerza media que los gases en expansión ejercen

sobre la bala cuando está recorre los 50 cm de longitud del cañón. R= 90 J; 180

N

24. se suelta desde una posición de reposo un péndulo de 2m de largo cuando la cuerda

que lo sostiene forma un ángulo de 25° con la vertical. ¿Cuál es la rapidez del disco

en la parte más baja de su oscilación? R= 1,9 m/s

25. un niño y un trineo con masa combinada de 50 kg se deslizan cuesta abajo por una

colina sin fricción. Si el trineo parte del reposo y tiene una rapidez de 3 m/s al pie

de la pendiente, ¿cuál es la altura de la colina? R=0,459 m

26. una partícula de 200 g que está en reposo en el punto A se suelta dentro de un tazón

semiesférico liso de radio R= 30cm. Calcule a) su energía potencial gravitatoria en

A respecto a B, b) su energía cinética en B, c) su rapidez en B y d) su energía

potencial en C respecto a B y su energía cinética en C. R= a) 0,588 J; b)

0,588 J; c) 2,42 m/s; d) 0,392 J 0m,196 J

45

27. Tres masas m1 = 5kg, m2 = 10kg y m3 = 15kg están unidas por medio de cordeles

sobre poleas carentes de fricción. La superficie horizontal no tiene fricción y el

sistema se libera cuando están en reposo. Con base en conceptos de energías,

determine la rapidez de m3 cuando ha descendido 4m R= 5,1 m/s

28. Un clavadista de 70kg se lanza desde una posición de reposo de una torre de 10m,

en línea recta hacia el agua. Si el clavadista se detiene a 5m bajo la superficie,

determine la fuerza de resistencia media que el agua ejerció sobre él. R0

2,1x103 N

29. Un automóvil de 2,1x103 kg parte de una posición de reposo en lo alto de un

camino de acceso de 5 m de largo con una pendiente de 20° respecto a la

horizontal. Si una fuerza de fricción media de 4x103 N dificulta el movimiento,

determine la rapidez del vehículo en la parte inferior del camino.

R=3,8 m/s

30. Un cable impulsado por un motor tira de un esquiador cuya masa es de 70kg para

subirlo por una pendiente, a) ¿cuánto trabajo se necesita para subirlo 60m por una

pendiente de 30° (que se supone sin fricción) con una rapidez constante de 2m/s?

b) ¿cuántos caballos de fuerza debe tener el motor para llevar a cabo esta tarea?

R= a) 2,1x104 J; b) 0,92 hp

31. El agua fluye sobre una sección de las cataratas del Niágara a razón de 1,2x106 kg/s

y cae 50m. ¿cuánta potencia genera el agua que cae? R= 590 MW

32. Al correr, una persona disipa alrededor de 0,6 J de energía mecánica por paso y por

kilogramos de masa corporal. Si una persona de 60kg desarrolla una potencia de 70

W durante una carrera, ¿con qué rapidez corre esa persona? Suponga que un paso

de carrera instantánea tiene una longitud de 1,5m R= 2,9 m/s

46

33. Un automóvil sube una cuesta con pendiente de 5% (se eleva 5 m por cada 100 m

de carrera) a 60km/h. Hay una señal de alto en la cumbre de la pendiente. El

conductor dese ahorrar gasolina y frenos y decide seguir hasta la señal de alto. Si

las pérdidas de fricción son mínimas, ¿a qué distancia del letrero de alto debe

cambiar a punto muerto el conductor? R= 283 m

34. Una masa de 2kg se suelta partiendo del reposo en la parte superior del plano

inclinado de la figura. Al llegar a la parte inferior ha alcanzado una velocidad de

5m/s. determine el coeficiente de fricción cinética entre el plano y la masa. R=

0,455

35. Una regla aproximada die que una persona en buenas condiciones físicas puede

subir a una montaña con una velocidad vertical de 1000 pies/h. ¿A qué velocidad

efectúa trabajo una persona de 170 libras que sube 1000 pies/h cargando en la

espalda al mismo tiempo una mochila de 30 libras? R= 75 W

36. Un elevador de 900kg puede llevar una carga total de 500kg. El elevador está

impulsado por un motor eléctrico. ¿cuál deberías ser la potencia del motor si el

elevador debe subir a una velocidad de 1,2 m/s, dando un factor de seguridad de

1,5? (la capacidad del motor debe ser 1,5 veces la potencia necesaria que se

calcule.) R= 25 kW

37. Un automóvil acelera de 20 km/h hasta 40 km/h en 4s. ¿Cuánto tiempo tardará en

acelerar de 40 hasta 60 km/h con la misma potencia (sin tener en cuenta las

pérdidas por fricción) R= 6,67s

38. Una masa de 3 kg parte del reposo en un plano inclinado de 2m, como se muestra

en la figura. En la parte inferior del plano hay un resorte, S, cuya constante de

resorte es k = 1x104 N/m. el coeficiente de fricción cinética entre el plano y la

masa es de 0,3; entre los puntos A y B, el coeficiente de fricción es cero. Encuentre

a) la velocidad de la masa exactamente antes de hacer contacto con el resorte; b) la

comprensión máxima del resorte; c) la altura a la cual sube la masa después de

rebotar con el resorte R= a) 3,07m/s b) 5,46 cm c) 63,3 cm

47

Todas estas consideraciones se hacen cuando la partícula se mueve a lo

largo de una trayectoria recta, por lo que a este tipo de movimiento se le

designa como MOVIMIENTO RECTILINEO.

VELOCIDAD (v).

Si consideramos que la partícula se mueve con un desplazamiento positivo

Δx desde P hasta P’ durante un intervalo Δt, entonces la velocidad media de

la partícula se define como:

Si tomamos valores mas y mas pequeños de Δt y por consecuencia de Δx,

obtendremos la velocidad instantánea, definida como:

v

Esto es: v dx

Tanto la velocidad media como la velocidad instantánea pueden tener

valores positivos o negativos.

Sus unidades son: v m s t s

ACELERACION. (a)

Se define aceleración media como:

48

am v

t

Y la aceleración instantánea será:

a t

v

t

a dv

dt

La aceleración también podemos expresarla considerando:

Si v dx

dt entonces a

d dxdt

dt a

x

dt

También sabemos que: v dx

dt despejando dt tenemos:

dt dx

v

Sustituyendo en la expresión de aceleración

a dv

dt

dv

dxv

vdv

dx

Si a es positiva; indica que la velocidad aumenta.

Si a es negativa; indica que la velocidad disminuye.

Generalmente la posición de una partícula se puede representar en función

del tiempo

x (t)

Ejemplo:

x

49

como v dx

dt entonces v t t

y a t – 8

a las expresiones anteriores se les llama: ecuaciones del movimiento de

una partícula.

Si tenemos a la posición x, la velocidad v, y la aceleración a como funciones

del tiempo se dice que el movimiento de la partícula está caracterizado, o

sea que es posible conocer su posición x, velocidad v, y aceleración a en

cualquier instante.

Ejemplo:

Una partícula se mueve en línea recta y su posición está dada por x = 2t3 –

4t2 + 3, donde x está en metros y t en segundos.

Calcular: a) Los tiempos en los cuales v = 0 y a = 0

b) El desplazamiento neto entre t = 0 y t = 2s

c) La distancia total recorrida en el mismo intervalo del inciso

anterior.

SOLUCION:

x = 2t3 – 4t2 + 3

v = dv

dt = 6t2- 8t y a =

dv

dt = 12t – 8

a) Si v = 0 tenemos 6t2 – 8t = 0

factorizando 2t( 3t – 4) = 0

t1 = 0

t2 = 4/3

Si a = 0

12t – 8 = 0

t = 8/12 = 2/3 s

b)

Si t = 0

50

x = 2(0)3 – 4(0)2 +3

x = 3

Si t = 2s x = 2(2)3- 4(2)2 + 3

x = 3m

el desplazamiento neto en el intervalo t = 0, t = 2 será:

x –

O sea la partícula está en el mismo lugar en donde se empezó a estudiar su

movimiento.

c) La distancia total depende del sentido de los movimientos y éste

cambia cuando v = 0, lo que sucede en t1 = 0 y t2 = 4/3 s

Ya sabemos que si t = 0, x = 3

Ahora si t = 4/3 s, tenemos:

x = 2(4/3)3 – 4(4/3)2 + 3

x = 0.63 m

La distancia total recorrida será entonces:

D = xt – xt + xt xt

D = . – +

D = 4.74 m

51






PROBLEMAS



e) El desplazamiento realizado. R= (1800i+2160j) m

f) La distancia recorrida. R= 2811,69 m

g) El vector unitario de la velocidad. R= (0,64i+0,77j)

h) El vector unitario del desplazamiento. R= (0,64i+0,77j)


Determinar:

e) El tiempo empleado. R= 11,21 s

f) El desplazamiento realizado. R= (-49,78i – 56,05j)

m

g) El vector unitario de la velocidad. R= (-0,66i – 0,75j)

h) El vector unitario del desplazamiento. R= (-0,66i – 0,75j)



d) La velocidad empleada. R= (-0,5i + j) m/s

e) El desplazamiento realizado. R= (-6i + 12j) m

f) La distancia recorrida. R= 13,42 m



d La posición que tuvo el móvil en t = 3 segundos R= (173i + 208j) m

e El desplazamiento realizado desde t₁ = 3 segundos hasta t₂ = 15 segundos.

R= (-168i – 216j) m

f La distancia recorrida en el último intervalo.R= 273,64 m




encuentran.


52





















c) Llevan la misma dirección y sentido contrarios. R= 18,576 km

d) Llevan la misma dirección y sentido. R= 5,904 km





m





53






90km







R= 27,8




día.















lluvia?

PROBLEMAS





54

R=16,3 m/s





R= 58,03m






2,86 x 10‾⁴





19,6m ; c) -18,1 m/s 19,6m






R=







f) La velocidad alcanzada R= (9,28i + 6,96j) m/s

g) El tiempo empleado R= 2 s

h) El desplazamiento realizado R= (17,28i + 12,96j) m

i) La velocidad media R= (-8,64i – 6,48j) m/s

j) La rapidez media R= 10,80 m/s




f) El desplazamiento del tren hasta su parada. R= (-351,46i – 421,75j) m

g) La distancia recorrida. R= 549 m

h) El tiempo empleado R= 46,86 s

i) La velocidad media R= (-7,5 – 9j) m/s

j) La rapidez media. R= 11,72 m/s



55






f) El móvil de cada uno

g) La distancia que recorre cada uno R= A 90m; B 150m; C 110m

h) La distancia entre ellos R= A-B=60m; A-C= 20m; C-B= 40m

i) La velocidad media de cada uno R: A:14i m/s; B: 12,5 i m/s; C: 9,17i

m/s

j) Los gráficos rx – t y ax – t de cada uno


Determinar:

f) Con qué velocidad fue lanzado R= -15,4j m/s

g) Cuál fue el desplazamiento realizado en los 7s R= -347,9j m

h) La altura descendida R= 347,9 m

i) La velocidad media R= -49,7j m/s

j) La rapidez media R= 49,7j m/s






R= a) 35 s; b) 16 m/s


iv. Arranque desde una posición de reposo con aceleración constante de 2,77


56

v. Velocidad constante durante los 2,05 minutos siguientes.

vi. Aceleración negativa constante de -9,47 m/s2 durante 4,39segundos

c) Cuál fue la distancia total del recorrido

d) Cuál es la velocidad media en los intervalos i,ii,iii y en el recorrido total

R= a) 5, 51 km; b) 20, 8 m/s; 41, 6 m/s; 20, 8 m/s; 38, 7 m/s







en el momento que





m/s; 840 m







km/h




± 13,8 m/s, b) 0,838s o 3,65s





R=3,1 s



57

















58


llegue más lejos?

PROBLEMAS


Determinar:

e) La aceleración, la velocidad y posición para cualquier tiempo.

R= -9.8 m/s2

; 5i-9,8 t j m/s; 5ti – 4,9 t2

j m

f) La velocidad que tiene el cuerpo a los 4s R= (5i – 39,2j) m/s

g) La posición del cuerpo a los 2s R= (10i – 19,6j) m

h) La aceleración tangencial y centrípeta a los 3s R= (1,62i – 9,52j9 m/s2

(-1,62i – 0,28j) m/s2












e) La aceleración, velocidad y posición para cualquier tiempo.

R= -9,8j m/s2; 2i – 9,8 t j m/s; 2tj – 4,9 t

2 j m

f) El tiempo de caída R= 0,47s

g) La velocidad con que abandona la mesa R= 2i m/s

h) La velocidad con que choca contra el suelo R= (2i – 4,6j) m/s



59






g) La aceleración, velocidad y posición para cualquier tiempo R= -9,8j m/s2

;

20i +(50 – 9,8 t)j m/s; (5 + 20t)i + (2 + 50t – 4,9t2)j m

h) El tiempo de vuelo R= 10,24s

i) El alcance horizontal R= 209,8 m (204,08m en el nivel horizontal del

lanzamiento)

j) La altura máxima R= 129,55m

k) La velocidad del proyectil en t = 4s R= (20i + 10,8j) m/s

l) La aceleración tangencial y centrípeta en t = 4s R=(-4,1i - 2,21j)

m/s2; (-4,1i - 7,59j) m/s

2




0,88s; 0,95m




17m/s a 78°










R= 500m; 2,23s; 294m/s a-40,3°















60










3m



f) El tiempo de vuelo de la granada. R= 12s

g) La posición de la granada, el momento del impacto. R= (765i + 52j)m

h) A qué distancia del mortero está el edificio. R= 765m

i) La velocidad en el momento del choque. R= (63,6i – 54,5j)

m/s

j) La aceleración tangencial y centrípeta del proyectil en el momento del choque.

R= (4,84i – 4,15j) m/s2; (-4,84i – 5,65j) m/s

2









f) La posición de la pelota en el momento del impacto R= (26i – 4j)m

g) La velocidad con que fue lanzada R=(6,5i + 18,6j) m/s

h) El ángulo de lanzamiento R= 70,74°

61

i) La velocidad en el momento del choque R= (6,5i – 20,6j) m/s

j) La aceleración tangencial y centrípeta de la pelota en el momento del impacto.

R= (2,81i – 8,92j) m/s2; (-2,81i – 0,88j) m/s

2





b) Demuestre que







b) 210m



f) La altura (h) alcanzada por el proyectil R= 3239,3m

g) La distancia horizontal BC. R= 15362m

h) El tiempo empleado por el proyectil, para recorrer AD y AC R= 25,5s;

25,7s

i) La velocidad en C R= (300i – 251,8j)

m/s

62

j) La aceleración tangencial y centrípeta del proyectil en el punto C R=

(4,83i – 4,05j)m/s2: (-4,83i – 5,75j) m/s

2



Calcular:

d) La distancia “x”, recorrida por el proyectil R= 5724,4m

e) Si un auto se mueve directamente hacia el acantilado con una rapidez constante



f) Repetir la pregunta anterior, si el auto se aleja del acantilado R= 5195,6m


f) El tiempo de vuelo R= 2,7s

g) La posición del impacto del proyectil R= (32,78i – 11,9j) m

h) La distancia OP R= 34,88 m

i) Con que velocidad impacta el proyectil R= (12,14i – 17,54j) m/s

j) La aceleración tangencial y centrípeta del proyectil en el momento del impacto

R= (4,58i – 6,65j) m/s2; (4,58 – 3,15j) m/s

2

63


PROBLEMAS













R= a) 3,5 rad/s; b) 5,2 rad













64




0,75 rps? R= 9,58cm; 13,4cm; 17,9cm






5s. Determinar:












Determinar:







R= 30km/s





65
















PROBLEMAS





R= a) 5,24s; b) 27,4 rad



rueda?

R= 13,7 rad/s





R= 1,02 m






66

R= a) -0, 17 rad/s; b) 5, 5 rev; c) 0, 48 m/s




rad







dirección de a)






























67



























en 4s, determinar:





68




m/s





















69



rad



















determinar:





70











Estática







respuesta.

PROBLEMAS



71










3N








72





5,1 N.m




derecho)=2/3 W







73




R: T1= 501N; T2= 672N; T3= 384N




equilibrio. R= 1,2m




74


R= a) 294N b) 784N c) 270N






75


1,88x103N










cuerda? R= 5,25kg

76



barra R= 4m



R: RAx= 285,14N; RAy= 727,41N; RB= 529,1 N





c) La tensión en las cuerdas BD y BC R= 3000N 3747N

d) La magnitud y dirección de la fuerza ejercida sobre el puntal, en el extremo A.

R=(1148,92i + 2480,5j)N

77


c) La tensión sobre el cable R= 1261,09N

d) La fuerza del pasador A sobre la viga R= (1033,03i + 576,6j) N





R= 0,18



c) El ángulo ⍬ para que l viga esté en equilibrio. R= 47,98°

78

d) Las reacciones en los puntos de apoyo. R: RA= 110,98iN; RC=(-110,98i + 100j)

N



c) Las reacciones en A y B R=(203,5i + 529,52j) N (538,21j) N

d) Verificar los resultados, aplicando ∑Fy=0



1000Nm




R=(106,87i)N; (-106,87i + 490J) N

79
















80













forma zigzag?





autos.


























81

PROBLEMAS





R= 46,6m




6 J



otro? R= 23 J










velocidad?


R= ; 4




R= 4,2 m/s; 8,5 m/s





5 J; c) si






82


























83









c) 0 J











289m








N











0,588 J; c) 2,42 m/s; d) 0,392 J 0m,196 J

84





66. Un clavadista de 70kg se lanza desde una posición de reposo de una torre de 10m,

en línea recta hacia el agua. Si el clavadista se detiene a 5m bajo la superficie,


2,1x103 N





R=3,8 m/s

68. Un cable impulsado por un motor tira de un esquiador cuya masa es de 70kg para

subirlo por una pendiente, a) ¿cuánto trabajo se necesita para subirlo 60m por una

pendiente de 30° (que se supone sin fricción) con una rapidez constante de 2m/s?

b) ¿cuántos caballos de fuerza debe tener el motor para llevar a cabo esta tarea?

R= a) 2,1x104 J; b) 0,92 hp

69. El agua fluye sobre una sección de las cataratas del Niágara a razón de 1,2x106 kg/s

y cae 50m. ¿cuánta potencia genera el agua que cae? R= 590 MW

70. Al correr, una persona disipa alrededor de 0,6 J de energía mecánica por paso y por

kilogramos de masa corporal. Si una persona de 60kg desarrolla una potencia de 70

W durante una carrera, ¿con qué rapidez corre esa persona? Suponga que un paso

de carrera instantánea tiene una longitud de 1,5m R= 2,9 m/s

85

71. Un automóvil sube una cuesta con pendiente de 5% (se eleva 5 m por cada 100 m

de carrera) a 60km/h. Hay una señal de alto en la cumbre de la pendiente. El







0,455






PROBLEMAS



i) El desplazamiento realizado. R= (1800i+2160j) m

j) La distancia recorrida. R= 2811,69 m

k) El vector unitario de la velocidad. R= (0,64i+0,77j)

l) El vector unitario del desplazamiento. R= (0,64i+0,77j)


Determinar:

i) El tiempo empleado. R= 11,21 s

j) El desplazamiento realizado. R= (-49,78i – 56,05j)

m

k) El vector unitario de la velocidad. R= (-0,66i – 0,75j)

l) El vector unitario del desplazamiento. R= (-0,66i – 0,75j)



g) La velocidad empleada. R= (-0,5i + j) m/s

h) El desplazamiento realizado. R= (-6i + 12j) m

i) La distancia recorrida. R= 13,42 m

86



g La posición que tuvo el móvil en t = 3 segundos R= (173i + 208j) m

h El desplazamiento realizado desde t₁ = 3 segundos hasta t₂ = 15 segundos.

R= (-168i – 216j) m

i La distancia recorrida en el último intervalo.R= 273,64 m




encuentran.






















e) Llevan la misma dirección y sentido contrarios. R= 18,576 km

f) Llevan la misma dirección y sentido. R= 5,904 km



87



m










90km







R= 27,8




día.












88




lluvia?

PROBLEMAS





R=16,3 m/s





R= 58,03m






2,86 x 10‾⁴





19,6m ; c) -18,1 m/s 19,6m






R=







k) La velocidad alcanzada R= (9,28i + 6,96j) m/s

l) El tiempo empleado R= 2 s

m) El desplazamiento realizado R= (17,28i + 12,96j) m

n) La velocidad media R= (-8,64i – 6,48j) m/s

89

o) La rapidez media R= 10,80 m/s




k) El desplazamiento del tren hasta su parada. R= (-351,46i – 421,75j) m

l) La distancia recorrida. R= 549 m

m) El tiempo empleado R= 46,86 s

n) La velocidad media R= (-7,5 – 9j) m/s

o) La rapidez media. R= 11,72 m/s








k) El móvil de cada uno

l) La distancia que recorre cada uno R= A 90m; B 150m; C 110m

m) La distancia entre ellos R= A-B=60m; A-C= 20m; C-B= 40m

n) La velocidad media de cada uno R: A:14i m/s; B: 12,5 i m/s; C: 9,17i

m/s

o) Los gráficos rx – t y ax – t de cada uno


Determinar:

k) Con qué velocidad fue lanzado R= -15,4j m/s

l) Cuál fue el desplazamiento realizado en los 7s R= -347,9j m

m) La altura descendida R= 347,9 m

n) La velocidad media R= -49,7j m/s

o) La rapidez media R= 49,7j m/s

90






R= a) 35 s; b) 16 m/s


vii. Arranque desde una posición de reposo con aceleración constante de 2,77


viii. Velocidad constante durante los 2,05 minutos siguientes.

ix. Aceleración negativa constante de -9,47 m/s2 durante 4,39segundos

e) Cuál fue la distancia total del recorrido

f) Cuál es la velocidad media en los intervalos i,ii,iii y en el recorrido total

R= a) 5, 51 km; b) 20, 8 m/s; 41, 6 m/s; 20, 8 m/s; 38, 7 m/s







en el momento que





m/s; 840 m







km/h




± 13,8 m/s, b) 0,838s o 3,65s





R=3,1 s

91











92










llegue más lejos?

PROBLEMAS


Determinar:

i) La aceleración, la velocidad y posición para cualquier tiempo.

R= -9.8 m/s2

; 5i-9,8 t j m/s; 5ti – 4,9 t2

j m

j) La velocidad que tiene el cuerpo a los 4s R= (5i – 39,2j) m/s

k) La posición del cuerpo a los 2s R= (10i – 19,6j) m

l) La aceleración tangencial y centrípeta a los 3s R= (1,62i – 9,52j9 m/s2

(-1,62i – 0,28j) m/s2










93



i) La aceleración, velocidad y posición para cualquier tiempo.

R= -9,8j m/s2; 2i – 9,8 t j m/s; 2tj – 4,9 t

2 j m

j) El tiempo de caída R= 0,47s

k) La velocidad con que abandona la mesa R= 2i m/s

l) La velocidad con que choca contra el suelo R= (2i – 4,6j) m/s








m) La aceleración, velocidad y posición para cualquier tiempo R= -9,8j m/s2

;

20i +(50 – 9,8 t)j m/s; (5 + 20t)i + (2 + 50t – 4,9t2)j m

n) El tiempo de vuelo R= 10,24s

o) El alcance horizontal R= 209,8 m (204,08m en el nivel horizontal del

lanzamiento)

p) La altura máxima R= 129,55m

q) La velocidad del proyectil en t = 4s R= (20i + 10,8j) m/s

r) La aceleración tangencial y centrípeta en t = 4s R=(-4,1i - 2,21j)

m/s2; (-4,1i - 7,59j) m/s

2




0,88s; 0,95m




17m/s a 78°










R= 500m; 2,23s; 294m/s a-40,3°










94















3m



k) El tiempo de vuelo de la granada. R= 12s

l) La posición de la granada, el momento del impacto. R= (765i + 52j)m

m) A qué distancia del mortero está el edificio. R= 765m

n) La velocidad en el momento del choque. R= (63,6i – 54,5j)

m/s

o) La aceleración tangencial y centrípeta del proyectil en el momento del choque.

R= (4,84i – 4,15j) m/s2; (-4,84i – 5,65j) m/s

2






95




k) La posición de la pelota en el momento del impacto R= (26i – 4j)m

l) La velocidad con que fue lanzada R=(6,5i + 18,6j) m/s

m) El ángulo de lanzamiento R= 70,74°

n) La velocidad en el momento del choque R= (6,5i – 20,6j) m/s

o) La aceleración tangencial y centrípeta de la pelota en el momento del impacto.

R= (2,81i – 8,92j) m/s2; (-2,81i – 0,88j) m/s

2





b) Demuestre que







b) 210m



96

k) La altura (h) alcanzada por el proyectil R= 3239,3m

l) La distancia horizontal BC. R= 15362m

m) El tiempo empleado por el proyectil, para recorrer AD y AC R= 25,5s;

25,7s

n) La velocidad en C R= (300i – 251,8j)

m/s

o) La aceleración tangencial y centrípeta del proyectil en el punto C R=

(4,83i – 4,05j)m/s2: (-4,83i – 5,75j) m/s

2



Calcular:

g) La distancia “x”, recorrida por el proyectil R= 5724,4m

h) Si un auto se mueve directamente hacia el acantilado con una rapidez constante



i) Repetir la pregunta anterior, si el auto se aleja del acantilado R= 5195,6m


k) El tiempo de vuelo R= 2,7s

l) La posición del impacto del proyectil R= (32,78i – 11,9j) m

m) La distancia OP R= 34,88 m

n) Con que velocidad impacta el proyectil R= (12,14i – 17,54j) m/s

o) La aceleración tangencial y centrípeta del proyectil en el momento del impacto

R= (4,58i – 6,65j) m/s2; (4,58 – 3,15j) m/s

2

97


PROBLEMAS













R= a) 3,5 rad/s; b) 5,2 rad













98




0,75 rps? R= 9,58cm; 13,4cm; 17,9cm






5s. Determinar:












Determinar:







R= 30km/s





99
















PROBLEMAS





R= a) 5,24s; b) 27,4 rad



rueda?

R= 13,7 rad/s





R= 1,02 m






100

R= a) -0, 17 rad/s; b) 5, 5 rev; c) 0, 48 m/s




rad







dirección de a)






























101



























en 4s, determinar:





102




m/s





















103



rad



















determinar:





104











Estática







respuesta.

PROBLEMAS



105










3N








106





5,1 N.m




derecho)=2/3 W







107




R: T1= 501N; T2= 672N; T3= 384N




equilibrio. R= 1,2m




108


R= a) 294N b) 784N c) 270N






109


1,88x103N










cuerda? R= 5,25kg

110



barra R= 4m



R: RAx= 285,14N; RAy= 727,41N; RB= 529,1 N





e) La tensión en las cuerdas BD y BC R= 3000N 3747N

f) La magnitud y dirección de la fuerza ejercida sobre el puntal, en el extremo A.

R=(1148,92i + 2480,5j)N

111


e) La tensión sobre el cable R= 1261,09N

f) La fuerza del pasador A sobre la viga R= (1033,03i + 576,6j) N





R= 0,18



e) El ángulo ⍬ para que l viga esté en equilibrio. R= 47,98°

112

f) Las reacciones en los puntos de apoyo. R: RA= 110,98iN; RC=(-110,98i + 100j)

N



e) Las reacciones en A y B R=(203,5i + 529,52j) N (538,21j) N

f) Verificar los resultados, aplicando ∑Fy=0



1000Nm




R=(106,87i)N; (-106,87i + 490J) N

113
















114













forma zigzag?





autos.


























115

PROBLEMAS





R= 46,6m




6 J



otro? R= 23 J










velocidad?


R= ; 4




R= 4,2 m/s; 8,5 m/s





5 J; c) si






116


























117









c) 0 J











289m








N











0,588 J; c) 2,42 m/s; d) 0,392 J 0m,196 J

118





100. Un clavadista de 70kg se lanza desde una posición de reposo de una torre de

10m, en línea recta hacia el agua. Si el clavadista se detiene a 5m bajo la superficie,


2,1x103 N





R=3,8 m/s

102. Un cable impulsado por un motor tira de un esquiador cuya masa es de 70kg

para subirlo por una pendiente, a) ¿cuánto trabajo se necesita para subirlo 60m por

una pendiente de 30° (que se supone sin fricción) con una rapidez constante de

2m/s? b) ¿cuántos caballos de fuerza debe tener el motor para llevar a cabo esta

tarea? R= a) 2,1x104 J; b) 0,92 hp

103. El agua fluye sobre una sección de las cataratas del Niágara a razón de 1,2x106

kg/s y cae 50m. ¿cuánta potencia genera el agua que cae? R= 590 MW

104. Al correr, una persona disipa alrededor de 0,6 J de energía mecánica por paso y

por kilogramos de masa corporal. Si una persona de 60kg desarrolla una potencia

de 70 W durante una carrera, ¿con qué rapidez corre esa persona? Suponga que un

paso de carrera instantánea tiene una longitud de 1,5m R= 2,9 m/s

119

105. Un automóvil sube una cuesta con pendiente de 5% (se eleva 5 m por cada 100

m de carrera) a 60km/h. Hay una señal de alto en la cumbre de la pendiente. El







0,455









calcule.) R= 25 kW

109. Un automóvil acelera de 20 km/h hasta 40 km/h en 4s. ¿Cuánto tiempo tardará

en acelerar de 40 hasta 60 km/h con la misma potencia (sin tener en cuenta las


110. Una masa de 3 kg parte del reposo en un plano inclinado de 2m, como se

muestra en la figura. En la parte inferior del plano hay un resorte, S, cuya constante

de resorte es k = 1x104 N/m. el coeficiente de fricción cinética entre el plano

y la masa es de 0,3; entre los puntos A y B, el coeficiente de fricción es cero.

Encuentre a) la velocidad de la masa exactamente antes de hacer contacto con el

resorte; b) la comprensión máxima del resorte; c) la altura a la cual sube la masa

después de rebotar con el resorte R= a) 3,07m/s b) 5,46 cm c) 63,3 cm

120

111.









calcule.) R= 25 kW











121

PROBLEMAS:

1.- La relación que define el movimiento de una partícula es x = 2t3- 8t2 + 5t

+ 15 con x expresada en pulgadas y t en segundos. Determínense la posición,

velocidad y aceleración en t = 3 seg.

Resp. x = 12 pulg. V = 11 pulg./seg. A = 20 pulg./seg.2

2.- El movimiento de una particular está definido por la relación x = 2t3 –

6t2 + 10, donde x esta expresada en pies y t en seg. Determínense el

tiempo, la posición y la aceleración cuando v = 0.

Resp. T1 = 0 x = 10 pies a = - 12 pies/seg.2

t2 = 2 seg. X = 2 pies a = 12 pies/seg.2

3.- El movimiento de una partícula está definido por la relación x = 2t3 -15t2

+ 24t + 4, con x expresada en metros y t en seg. Determínense a) t para

que la velocidad sea cero y b) la posición y la distancia total recorrida

cuando la aceleración es cero

Resp. t1 = 1 seg. T2 = 4 seg. X = 1.5 mts. D = 24.5 mts.

122

DETERMINACION DEL MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA.

En algunas ocasiones la aceleración de una partícula se expresa como

función de una de las variables: tiempo, posición o velocidad:

a = f(t) a = f(x) a = (v)

si tenemos las ecuaciones correspondientes, estas pueden integrarse para

obtener expresiones que relacionan al tiempo la posición y la velocidad.

En estos casos a k y se tienen como variables independientes, el tiempo

(t), la posición (x) y la velocidad (v).

Si a = f (t) usamos la expresión a = dv

dt

De ahí tenemos dv = a dt

dv a dtt

t

vo

Si a = f (x) usamos la expresión a = vdv

dx

De ahí v dv = a dx

v dv a dxx

xo

v

vo

123

Si a = f (v) podemos utilizar a dv

dt

Utilizando a v dv

dx tenemos dx v

dv

a integrando, se obtiene

una relación entre v y x.

Utilizando cualquiera de las anteriores con v dx

dt se obtiene una relación

entre x y t, que caracteriza el movimiento de la partícula.

EJEMPLOS:

1.- La aceleración de una partícula se define mediante la relación a = kt2. Si

sabemos que la velocidad de la partícula es v = -32 ft/s cuando t = 0 y v =

+32 cuando t = 4s. Determinar el valor de la constante k y escribir las

ecuaciones del movimiento, sabiendo que x = 0 cuando t = 4s.

SOLUCION:

a = f (t)

dv a dt t

dt

v

t

32 – (-32) = k

64 =

Determinación de las ecuaciones del movimiento.

dv t dtt

v

124

v – ( ) t

t

v + 32 = t3

v = t3 – 32

v dx

dt dx v dt

dx dt t t

dtt

x

x – 0 = t

t

t t

x = t

t –

x = t

– t +

t

t +

Y por supuesto la última ecuación del movimiento es: a = 3t2

2.- La aceleración de una partícula se define por a = - kx-2. La partícula está

inicialmente en x = 800 mm, sin velocidad inicial y se observa que su

velocidad es 6 m/s cuando x = 500 mm.

Determinar: a) el valor de k y b) la velocidad de la partícula cuando x = 250

mm

SOLUCION:

a) a = vdv

= -kx-2

v dv - x- dxx

v

125

v

x

x

x

v

x

Se sabe que x = 0.5 cuando v = 6 m/s

Sustituyendo y despejando, encontramos que k = 24

b) Sustituyendo en la ecuación para v2 los valores de k = 24 y x = 0.25

Encontramos que v = 11.49 m/s

3.- La relación que define la aceleración de una partícula es a = - 0.4v, en

donde a está en in/s2 y v en in/s. si sabemos que para t = 0 la v = 30 in/s.

Determinar:

a) La distancia que la partícula viajará antes de detenerse.

b) El tiempo necesario para que la partícula se detenga.

c) El tiempo necesario para que la partícula reduzca su velocidad al 1% de su

valor inicial.

SOLUCION.

a) a = vdv

v

Eliminando v y considerando que x = 0 cuando v = 30 in/s

dv - . dxx

v

V – 30 = -0.4 x

Cuando la partícula se detiene v = 0, entonces

0 – 30 = -0.4 x

x

in.

b) a = dv

dt v

dv

v

v

dtt

126

ln v – ln 30 = -0.4 t

ln 30 – ln v = 0.4 t

Despejando t; t

v ln

v

cuando v = 0 t =

c) para que v = 0.01(30) = 0.3 in/s

t . ln

t . s

PROBLEMAS

1.- La relación que define a la aceleración de una partícula es a = 9 – 3t2. las

condiciones iniciales de la partícula son: t = 0, con v = 0 y x = 5 mts.

Determínense a) el tiempo para el cual la velocidad es otra vez cero, b) la

posición y la velocidad cuando t = 4 seg. y c) la distancia total recorrida por

la partícula desde t = 0 hasta t = 4 seg.

Resp. t = 3 seg. v = -28 mts./seg. x = 13 mts. D = 32.5 mts.

2.- La aceleración de una partícula está definida por la relación a = -k / x.

Se ha encontrado experimentalmente que v = 5 mts./seg. Cuando x = 200

mm. Y que v = 3 mts./seg. Cuando x = 400 mm. Determinar a) la velocidad de

la partícula cuando x = 500 mm., b) la posición de la partícula cuando su

velocidad es cero.

Resp. v = 1.962 mts./seg. x = 0.591 mts.

3.- La relación que define la aceleración de una partícula es a = 25 -3x2,

donde a se expresa en pulg./seg.2 y x en pulgadas. La partícula parte de la

posición x = 0 desde el reposo. Determinar a) la velocidad cuando x = 2 pulg.

b) la posición donde la velocidad es de nuevo cero y c) la posición donde la

velocidad es máxima.

Resp. v = -+ 9.17 mts./seg. x = 5 mts. x = 2.89 mts.

127

4.-La aceleración de una partícula está definida por la relación a = -kv2,

donde a se expresa en pies/seg.2 y v en pies/seg..La partícula parte de x = 0

con una velocidad de 25 pies/seg. y cuando x = 40 pies se encuentra que su

velocidad es de 20 pies/seg.

Determinar la distancia que la partícula viajará: a) antes que su velocidad

disminuya a 10 pies/seg. y b) antes de detenerse.

Resp. x = 164.3 pies. x =

MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE ACELERADO

MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA CON ACELERACION CONSTANTE.

Cuando la aceleración de una partícula no varía con respecto al tiempo se

dice que tiene aceleración constante, es decir su aceleración no varía

durante el movimiento.

Cuando esto sucede es posible obtener expresiones matemáticas para

aplicar directamente para resolver el problema sin necesidad de estar

recurriendo al cálculo.

A partir de la expresión a dv

dt podemos deducir:

dv a dt

dv a dtt

v

vo ya que a = constante.

v – vo = at

v = vo + at

También de a = vdv

v dv = a dx

v dvv

vo

a dxv

vo

128

v

vo

a x xo

v vo a x x

v vo a x x

A partir de v dx

dt podemos obtener una expresión para la posición de la

partícula:

dx v dt

dx v dtt

x

xo

Sabemos que v = vo + at ; sustituyendo en la ecuación anterior

dx v + at dtt

x

xo

x xo vo t + at

x xo vot +

at

ESTAS ECUACIONES SE UTILIZAN CUANDO a = CONSTANTE Y

CUANDO a = 0

EJEMPLOS.

1.- La aceleración de una partícula es a = - 4 ft/s2. Si sabemos que vo = 24

ft/s cuando x = 0 y t = 0.Calcular la velocidad, posición y distancia

recorrida por la partícula cuando t = 8s.

SOLUCION: v = vo + at

v = 24 + (-4)(8)

v = -8 ft/s

129

x-xo = vot + ½ at2

x – 0 = 24(8) – ½ (4) (8)2

x = 64 ft Esta es la posición de la partícula a los 8s.

Para calcular la distancia recorrida necesitamos saber cuándo (tiempo) y

donde (posición) se detiene.

Se detiene cuando la velocidad se hace cero.

v = 0 = 24 – 4t

t

s

Si t = 6s x - xo

x = 72 ft.

x x + x x

+

D = 80 ft.

2.- Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba desde un puente situado

40 m sobre el agua. Si la piedra golpea el agua 4s después de soltarse,

determinar: a) La velocidad con la cual se lanzó hacia arriba y b) La

velocidad con que golpeó el agua.

130

40m

SOLUCION:

En este problema la aceleración es constante igual a – 9.81 m/s2 (aceleración

de la gravedad)

Utilizando la fórmula para diferencia de posiciones:

y - y vot +

at

y considerando que y final es cero cuando t = 4s

vo

vo m s

Para calcular la velocidad con que golpea el agua ( un instante antes de

hacerlo)

v = vo + at

v = 9.62 + (- 9.81)(4)

v = - 29.62 m/s

3.- Un autobús tiene una aceleración de 0.75 m/s2 al moverse de A hasta B.

Sabiendo que su velocidad inicial era de 27 km/h al pasar por el punto A.

Determinar a) El tiempo requerido por el autobús para llegar al punto B y b)

La velocidad con la que pasa por B.

Vo = 27 km/h

a = 0.75 m/s2

131

x – xo = vot + ½ at2

x = xo + vot + ½ at2

150 = 0 + 7.5t + ½(0.75)t2

Resolviendo para t

t = 12.36s.

v = vo + at

v = 7.5 + 0.75 (12.36)

v = 16.77 m/s

A B

150 m

132

PROBLEMAS

1.-Un automovilista recorre 1200 pies en 30 seg. con aceleración constante

de 1.8 pies/s2. Determinar a) su velocidad inicial, b) su velocidad final y c) la

distancia recorrida durante los primeros 10 seg.

Respuestas: vo = 13 pies/s v = 67 pies/s D = 220 pies.

2.- Una piedra se deja caer desde un ascensor que se mueve hacia arriba

con una velocidad de 15 pies/s, y alcanza el fondo del pozo en 3 s. a) ¿a qué

altura se encontraba el ascensor cuando se dejó caer la piedra? b) ¿con qué

velocidad cae la piedra al fondo del pozo?

Respuestas yo = 99.9 pies. v = 81.6 pies/s

3.- Dos automóviles A y B viajan en la misma dirección en líneas contiguas de

la carretera. El automóvil B se para cuando es rebasado por A, el cual va a

una velocidad constante de 15 mi./h. Si 2 s. después el automóvil B inicia su

movimiento con una aceleración de 3 pies/s2, determinar a) cuando y donde

B rebasará a A, y b) la velocidad de B en ese momento.

Respuestas: t = 18.45 s. xA = xB = 406 pies vB = 33.6 mi./h.

4.- Los automóviles A y B circulan en carriles adyacentes en una carretera,

y es t = 0 están separados una distancia de 75 pies y sus velocidades son

(vA)o = 24 mi./h y

(vb) = 36 mi./h. Sabiendo que el automóvil A tiene una aceleración constante

de 1.8 pies/s2 y que el B tiene una desaceleración constante de 1.2 pies/s2.

Determinar a) cuando y donde A rebasará a B, y b) la velocidad de cada

automóvil en ese instante.

133

Respuestas: t = 15.05 s xA = 734 pies vA = 42.5 mi./h vB =

23.7 mi./h.

MOVIMIENTO RELATIVO DE DOS PARTICULAS.

Sean A y B dos partículas que se mueven sobre la misma línea recta.

xA es la coordenada de posición de A

xB es la coordenada de posición de B

La coordenada de posición relativa de B con respecto a A se define como la

diferencia de xB con xA :

xB/A = xB - xA

ó xB = xB/A + xA

Si xB/A es positivo, indica que B está a la derecha de A.

Si xB/A es negativo, indica que B está a la izquierda de A.

Esto es independiente de las posiciones de A y B con respecto al origen O.

La velocidad relativa de B con respecto a A se designa vB/A y se obtiene

derivando la fórmula anterior.

vB = vB/A + vA

Si vB/A es positivo indica que B visto desde A se mueve en sentido positivo.

Si vB/A es negativo entonces B visto desde A se mueve en sentido negativo.

XA XB/A

XB

134

La aceleración relativa de B con respecto a A se obtiene derivando la

expresión anterior. a B/A = aB – aA

ó aB = aB/A + aA

Para todas las consideraciones anteriores hay que tomar en cuenta que:

xB/A = - xA/B

vB/A = - vA/B

aB/A = - aA/B

EJEMPLO: Dos autos A y B se aproximan uno al otro habiendo entre ellos

una distancia de 2 km cuando t = 0. El auto A acelera hacia la derecha a una

razón a = 0.2 m/s2 y en t =0 su v = 15 m/s. E l auto B acelera hacia la

izquierda a una razón a = 0.5 m/s2 y en t = 0 su v = 20 m/s. Calcular: a) la

posición xm sobre la autopista donde se cruzan los vehículos. b) la velocidad

relativa de A con respecto a B en ese instante.

A B

O 2 km.

Para el auto A: aplicando la ecuación: x -xo vot +

at

x t +

t

Para el auto B: xB – 2000 = -20t – ½(0.5)t2

t + t t

t

0.35t2 + 35t – 2000 = 0

Resolviendo para t, encontramos: t1 = 40.63 s t2 = -140.6 s

el valor negativo se desecha, sustituyendo t1 en cualquier ecuación

encontramos que xm = 774.53 m

Calculando las velocidades de cada auto con v = vo + at

135

vA = (vA)o + (0.2)(40.63)

vA = 23.13 m/s

vB = -20 – (0.5)(40.63)

vB = -40.32 m/s

entonces tenemos:

vA/B = vA – vB = 23.13 – (-40.32)

vA/B = 63.44 m/s .

MOVIMIENTOS DEPENDIENTES

En algunos casos, la posición de una partícula dependerá de la posición de

otra u otras partículas, se dice entonces que los movimientos son

dependientes. Observemos la siguiente figura:

Si el bloque B sube, entonces necesariamente el bloque A tiene que bajar.

Para analizar el movimiento de ambos bloques hay que escoger un sistema de

referencia y considerar la longitud de la cuerda que une a los bloques,

constante.

136

Expresando la longitud de la cuerda en términos de las posiciones de los

bloques:

XA + 2XB = L

Derivando esta expresión (Si X fuera función de t)

VA + 2VB = 0 y derivando de nuevo AA + 2 AB = 0

138



139




PROBLEMAS



m) El desplazamiento realizado. R= (1800i+2160j) m

n) La distancia recorrida. R= 2811,69 m

o) El vector unitario de la velocidad. R= (0,64i+0,77j)

p) El vector unitario del desplazamiento. R= (0,64i+0,77j)


Determinar:

m) El tiempo empleado. R= 11,21 s

n) El desplazamiento realizado. R= (-49,78i – 56,05j)

m

o) El vector unitario de la velocidad. R= (-0,66i – 0,75j)

p) El vector unitario del desplazamiento. R= (-0,66i – 0,75j)



j) La velocidad empleada. R= (-0,5i + j) m/s

k) El desplazamiento realizado. R= (-6i + 12j) m

l) La distancia recorrida. R= 13,42 m



j La posición que tuvo el móvil en t = 3 segundos R= (173i + 208j) m

k El desplazamiento realizado desde t₁ = 3 segundos hasta t₂ = 15 segundos.

R= (-168i – 216j) m

l La distancia recorrida en el último intervalo.R= 273,64 m




encuentran.







140
















g) Llevan la misma dirección y sentido contrarios. R= 18,576 km

h) Llevan la misma dirección y sentido. R= 5,904 km





m










90km

141







R= 27,8




día.















lluvia?

PROBLEMAS





R=16,3 m/s





R= 58,03m

142






2,86 x 10‾⁴





19,6m ; c) -18,1 m/s 19,6m






R=







p) La velocidad alcanzada R= (9,28i + 6,96j) m/s

q) El tiempo empleado R= 2 s

r) El desplazamiento realizado R= (17,28i + 12,96j) m

s) La velocidad media R= (-8,64i – 6,48j) m/s

t) La rapidez media R= 10,80 m/s




p) El desplazamiento del tren hasta su parada. R= (-351,46i – 421,75j) m

q) La distancia recorrida. R= 549 m

r) El tiempo empleado R= 46,86 s

s) La velocidad media R= (-7,5 – 9j) m/s

t) La rapidez media. R= 11,72 m/s








p) El móvil de cada uno

143

q) La distancia que recorre cada uno R= A 90m; B 150m; C 110m

r) La distancia entre ellos R= A-B=60m; A-C= 20m; C-B= 40m

s) La velocidad media de cada uno R: A:14i m/s; B: 12,5 i m/s; C: 9,17i

m/s

t) Los gráficos rx – t y ax – t de cada uno


Determinar:

p) Con qué velocidad fue lanzado R= -15,4j m/s

q) Cuál fue el desplazamiento realizado en los 7s R= -347,9j m

r) La altura descendida R= 347,9 m

s) La velocidad media R= -49,7j m/s

t) La rapidez media R= 49,7j m/s






R= a) 35 s; b) 16 m/s


x. Arranque desde una posición de reposo con aceleración constante de 2,77


xi. Velocidad constante durante los 2,05 minutos siguientes.

xii. Aceleración negativa constante de -9,47 m/s2 durante 4,39segundos

g) Cuál fue la distancia total del recorrido

h) Cuál es la velocidad media en los intervalos i,ii,iii y en el recorrido total

R= a) 5, 51 km; b) 20, 8 m/s; 41, 6 m/s; 20, 8 m/s; 38, 7 m/s

144







en el momento que





m/s; 840 m







km/h




± 13,8 m/s, b) 0,838s o 3,65s





R=3,1 s



145


















llegue más lejos?

PROBLEMAS


Determinar:

146

m) La aceleración, la velocidad y posición para cualquier tiempo.

R= -9.8 m/s2

; 5i-9,8 t j m/s; 5ti – 4,9 t2

j m

n) La velocidad que tiene el cuerpo a los 4s R= (5i – 39,2j) m/s

o) La posición del cuerpo a los 2s R= (10i – 19,6j) m

p) La aceleración tangencial y centrípeta a los 3s R= (1,62i – 9,52j9 m/s2

(-1,62i – 0,28j) m/s2












m) La aceleración, velocidad y posición para cualquier tiempo.

R= -9,8j m/s2; 2i – 9,8 t j m/s; 2tj – 4,9 t

2 j m

n) El tiempo de caída R= 0,47s

o) La velocidad con que abandona la mesa R= 2i m/s

p) La velocidad con que choca contra el suelo R= (2i – 4,6j) m/s








s) La aceleración, velocidad y posición para cualquier tiempo R= -9,8j m/s2

;

20i +(50 – 9,8 t)j m/s; (5 + 20t)i + (2 + 50t – 4,9t2)j m

t) El tiempo de vuelo R= 10,24s

u) El alcance horizontal R= 209,8 m (204,08m en el nivel horizontal del

lanzamiento)

v) La altura máxima R= 129,55m

w) La velocidad del proyectil en t = 4s R= (20i + 10,8j) m/s

147

x) La aceleración tangencial y centrípeta en t = 4s R=(-4,1i - 2,21j)

m/s2; (-4,1i - 7,59j) m/s

2




0,88s; 0,95m




17m/s a 78°










R= 500m; 2,23s; 294m/s a-40,3°


















148







3m



p) El tiempo de vuelo de la granada. R= 12s

q) La posición de la granada, el momento del impacto. R= (765i + 52j)m

r) A qué distancia del mortero está el edificio. R= 765m

s) La velocidad en el momento del choque. R= (63,6i – 54,5j)

m/s

t) La aceleración tangencial y centrípeta del proyectil en el momento del choque.

R= (4,84i – 4,15j) m/s2; (-4,84i – 5,65j) m/s

2









p) La posición de la pelota en el momento del impacto R= (26i – 4j)m

q) La velocidad con que fue lanzada R=(6,5i + 18,6j) m/s

r) El ángulo de lanzamiento R= 70,74°

s) La velocidad en el momento del choque R= (6,5i – 20,6j) m/s

t) La aceleración tangencial y centrípeta de la pelota en el momento del impacto.

R= (2,81i – 8,92j) m/s2; (-2,81i – 0,88j) m/s

2

149





b) Demuestre que







b) 210m



p) La altura (h) alcanzada por el proyectil R= 3239,3m

q) La distancia horizontal BC. R= 15362m

r) El tiempo empleado por el proyectil, para recorrer AD y AC R= 25,5s;

25,7s

s) La velocidad en C R= (300i – 251,8j)

m/s

t) La aceleración tangencial y centrípeta del proyectil en el punto C R=

(4,83i – 4,05j)m/s2: (-4,83i – 5,75j) m/s

2

150



Calcular:

j) La distancia “x”, recorrida por el proyectil R= 5724,4m

k) Si un auto se mueve directamente hacia el acantilado con una rapidez constante



l) Repetir la pregunta anterior, si el auto se aleja del acantilado R= 5195,6m


p) El tiempo de vuelo R= 2,7s

q) La posición del impacto del proyectil R= (32,78i – 11,9j) m

r) La distancia OP R= 34,88 m

s) Con que velocidad impacta el proyectil R= (12,14i – 17,54j) m/s

t) La aceleración tangencial y centrípeta del proyectil en el momento del impacto

R= (4,58i – 6,65j) m/s2; (4,58 – 3,15j) m/s

2


PROBLEMAS

151













R= a) 3,5 rad/s; b) 5,2 rad
















0,75 rps? R= 9,58cm; 13,4cm; 17,9cm






5s. Determinar:




152









Determinar:







R= 30km/s

















153




PROBLEMAS





R= a) 5,24s; b) 27,4 rad



rueda?

R= 13,7 rad/s





R= 1,02 m






R= a) -0, 17 rad/s; b) 5, 5 rev; c) 0, 48 m/s




rad







dirección de a)





154









































155












en 4s, determinar:








m/s










156














rad






157














determinar:












158




Estática







respuesta.

PROBLEMAS










159



3N












5,1 N.m




derecho)=2/3 W

160










R: T1= 501N; T2= 672N; T3= 384N

161




equilibrio. R= 1,2m





R= a) 294N b) 784N c) 270N

162







1,88x103N






163





cuerda? R= 5,25kg



barra R= 4m



R: RAx= 285,14N; RAy= 727,41N; RB= 529,1 N



164



g) La tensión en las cuerdas BD y BC R= 3000N 3747N

h) La magnitud y dirección de la fuerza ejercida sobre el puntal, en el extremo A.

R=(1148,92i + 2480,5j)N


g) La tensión sobre el cable R= 1261,09N

h) La fuerza del pasador A sobre la viga R= (1033,03i + 576,6j) N




165


R= 0,18



g) El ángulo ⍬ para que l viga esté en equilibrio. R= 47,98°

h) Las reacciones en los puntos de apoyo. R: RA= 110,98iN; RC=(-110,98i + 100j)

N



g) Las reacciones en A y B R=(203,5i + 529,52j) N (538,21j) N

h) Verificar los resultados, aplicando ∑Fy=0



1000Nm

166




R=(106,87i)N; (-106,87i + 490J) N








167





















forma zigzag?





autos.





168






















PROBLEMAS





R= 46,6m




6 J



otro? R= 23 J









169


velocidad?


R= ; 4




R= 4,2 m/s; 8,5 m/s





5 J; c) si














170





















134. partiendo de una posición de reposo, un bloque de 5kg se desliza hacia abajo 2,5

m por un plano inclinado áspero de 30°. El coeficiente de fricción cinética entre el




c) 0 J






136. un esquiador parte del reposo en lo alto de una colina que presenta una

inclinación de 10,5° respecto a la horizontal. La ladera tiene 200m de largo y el

coeficiente de fricción entre la nieve y los esquíes es de 0,075. Al pie de la colina la

nieve es horizontal y el coeficiente de fricción no cambia. ¿Qué distancia recorre el


289m

137. una niña de 40 N está en un columpio sujeto a cuerdas de 2m de largo.

Determine la energía potencial gravitatoria de la niña respecto a su posición más

baja a) cuando las cuerdas están horizontales, b) cuando las cuerdas forman un

ángulo de 30° con la vertical y c) en la parte más baja del arco circular. R= a) 80 J;

b) 11 J; c) 0 J

138. una bala de 2sale del cañón de un rifle con una rapidez de 300m/s. a) determine

su energía cinética, b) calcule la fuerza media que los gases en expansión ejercen

171


N

139. se suelta desde una posición de reposo un péndulo de 2m de largo cuando la

cuerda que lo sostiene forma un ángulo de 25° con la vertical. ¿Cuál es la rapidez

del disco en la parte más baja de su oscilación? R= 1,9 m/s

140. un niño y un trineo con masa combinada de 50 kg se deslizan cuesta abajo por

una colina sin fricción. Si el trineo parte del reposo y tiene una rapidez de 3 m/s al

pie de la pendiente, ¿cuál es la altura de la colina? R=0,459 m

141. una partícula de 200 g que está en reposo en el punto A se suelta dentro de un

tazón semiesférico liso de radio R= 30cm. Calcule a) su energía potencial

gravitatoria en A respecto a B, b) su energía cinética en B, c) su rapidez en B y d)

su energía potencial en C respecto a B y su energía cinética en C. R= a) 0,588 J;

b) 0,588 J; c) 2,42 m/s; d) 0,392 J 0m,196 J





143. Un clavadista de 70kg se lanza desde una posición de reposo de una torre de

10m, en línea recta hacia el agua. Si el clavadista se detiene a 5m bajo la superficie,


2,1x103 N




172


R=3,8 m/s

145. Un cable impulsado por un motor tira de un esquiador cuya masa es de 70kg

para subirlo por una pendiente, a) ¿cuánto trabajo se necesita para subirlo 60m por

una pendiente de 30° (que se supone sin fricción) con una rapidez constante de

2m/s? b) ¿cuántos caballos de fuerza debe tener el motor para llevar a cabo esta

tarea? R= a) 2,1x104 J; b) 0,92 hp

146. El agua fluye sobre una sección de las cataratas del Niágara a razón de 1,2x106

kg/s y cae 50m. ¿cuánta potencia genera el agua que cae? R= 590 MW

147. Al correr, una persona disipa alrededor de 0,6 J de energía mecánica por paso y

por kilogramos de masa corporal. Si una persona de 60kg desarrolla una potencia

de 70 W durante una carrera, ¿con qué rapidez corre esa persona? Suponga que un

paso de carrera instantánea tiene una longitud de 1,5m R= 2,9 m/s

148. Un automóvil sube una cuesta con pendiente de 5% (se eleva 5 m por cada 100

m de carrera) a 60km/h. Hay una señal de alto en la cumbre de la pendiente. El







0,455









calcule.) R= 25 kW

173











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