Dinámica del Método de Newton - Inicio · el proceso comom etodo de Newton-Raphson. Sergio Plaza...

Dinamica del Metodo de Newton

Sergio Plaza1

Octubre de 2010Emalca, Quito, Ecuador

1Depto. de Matematicas, Facultad de Ciencias, Universidad de Santiago deChile.Casilla 307, Correo 2. Santiago, Chile. Part of this work was supportedFondecyt Grant 1095025. e–mail: [email protected].

Sergio Plaza Dinamica del Metodo de Newton

Metodo de Newton

Estudiaremos el metodo de Newton para encontrar aproximacionesde soluciones de ecuaciones no lineales en R, en otras palabras,consideramos una funcion f : R −→ R, y queremos encontrar losvalores de x ∈ R, tales que

f(x) = 0 (1)

una solucion ζ de la ecuacion (1) es llamada un cero o r aız de f .


Este es uno de los problemas mas antiguos, y quizas, uno de losmas estudiados. Por ejemplo, los antiguos babilonios utilizaban lasucesion de aproximaciones, que en notacion actual, es dada por

xn+1 =1

2

(xn +

α

xn

)(2)

para aproximar a la raız de la ecuacion x2 − α = 0, donde siemprese consideraba α > 0 y se procuraba aproximar la “raız positiva deα”.


Un poco de historia

¿Como Newton resolvıa ecuaciones? Consideremos

x3 − 2x− 5 = 0 (3)

Newton argumentaba de la siguiente manera:

Por tanteo, se ve por simple impeccion que la solucionesta cerca de 2.Haciendo x = 2 + ε y sustituyendo en la ecuacion (3) seobtiene

ε3 + 6ε2 + 10ε− 1 = 0. (4)

Ignorando los terminos ε3 + 6ε2 bajo el pretexto de que εes pequeno, se llega a que 10ε− 1 ' 0 o ε = 0.1. Enconsecuencia, x = 2.1 es una mejor aproximacion de lasolucion que la inicial.


Haciendo ahora ε = 0.1 + ν y sustituyendo en (3) sesigue que

ν3 + 6.3ν2 + 11.23ν + 0.061 = 0.

Ignorando de nuevo los terminos en ν de grado mayor oigual que dos, se llega a que ν ' −0.054 y, por tanto,x = 2.046 es una aproximacion que mejora las anteriores.Newton indicaba que el proceso se puede repetir las vecesque sean necesarias.


La idea de Newton consiste en anadir un termino corrector a unaaproximacion inicial dada. Para obtener el termino corrector, loque hace es truncar el binomio de Newton en el segundo termino,y obtiene expresiones del tipo

(a+ ε)n ' an + nan−1ε.

De esta manera, para obtener el valor aproximado de ε,simplemente hay que resolver una ecuacion lineal.Con la notacion actual y llamando p(x) = x3 − 2x− 5, tenemosque la nueva aproximacion es

2− p(2)

p′(2)= 2 +

1

10= 2.1,

que se corresponde con la conocida formulacion del metodo deNewton (6) cuando f(x) es el polinomio p(x) anterior.


No se tiene constancia de que Newton usara el calculo diferencialni de que expresara el proceso como un metodo iterativo en elsentido de que una aproximacion pueda ser considerada comopunto de partida de la siguiente. Ademas, Newton usaba “sumetodo” solo para resolver ecuaciones polinomicas. Por lo tanto,la idea que Newton tenıa de su metodo dista bastante de la quetenemos hoy en dıa.


La idea de iteracion se atribuye (veanse, por ejemplo, [10] y [53]) aJoseph Raphson (1648–1715), quien ademas simplifica el aspectooperacional de la tecnica de Newton. En 1690 publica un tratado,Analysis Aequationum Universalis, en el que se dan formulasexplıcitas para el termino corrector para algunos casos particularesde ecuaciones. En concreto, calcula los terminos correctores paralas ecuaciones x3 − r = 0 y x3 − px− q = 0 que son,respectivamente,

r − x303x20

yq + px0 − x30

3x20 − p,

siendo x0 la aproximacion inicial.Raphson publico su obra 46 anos antes que el “Metodo de lasfluxiones” de Newton. La contribucion de Raphson ha sido tenidaen cuenta historicamente, no en vano muchos autores denominanel proceso como metodo de Newton-Raphson.


La primera vez que aparece la discusion de la convergencia delmetodo de Newton es en 1768, en el Traite de la resolution desequations en general de Jean Raymond Mourraille (1720–1808). Apesar de contener ideas novedosas, la mayor parte del trabajo deMourraille paso inadvertido. Joseph-Louis Lagrange(1736–1813) ,en su Traite de la resolution des equations numeriques de tous lesdegres publicado en 1808 [18], afirma que el metodo atribuido aNewton es el que se emplea habitualmente para resolver ecuacionesnumericas. Ahora bien, advierte que este metodo solo se puedeusar para ecuaciones que estan ya “casi resueltas” en el sentido deque para aplicarlo se necesita una buena aproximacion de lasolucion. Ademas, plantea dudas sobre la exactitud de cada nuevaiteracion y observa que el metodo puede tener problemas para elcaso de raıces multiples o muy proximas entre sı.


Jean Baptiste Joseph Fourier (1768–1830) fue el primero enanalizar la velocidad de convergencia del metodo de Newton enuna nota titulada Question d’analyse algebraique (1818) [18]. Eneste trabajo, Fourier expresa el metodo con la notacion actual (6)y lo bautiza como la methode newtonienne, haciendo referenciaexplıcita a las obras de Newton, Raphson y Lagrange. Quizas,Fourier es el “causante” de la falta de reconocimiento para eltrabajo de Simpson.El siguiente matematico importante en estudiar el metodo deNewton fue Augustin Louis Cauchy (1789–1857, quien estudio estetema desde 1821, pero no dio una formulacion satisfactoria hastala publicacion de las Lecons sur le Calcul differentiel en 1829 [18].


Cauchy da condiciones, en terminos de las derivadas f ′ y f ′′, paraasegurar que el metodo de Newton es convergente a una solucionα de la ecuacion (1) para todo punto de partida x0 perteneciente aun intervalo determinado. Lo que Cauchy estaba buscando son,por tanto, resultados de convergencia global para el metodo deNewton; es decir, caracterizar los conjuntos B(α) ⊆ R para los que

limn→∞

xn = α, con x0 ∈ B(α),

el conjunto B(α) es llamado cuenca de atraccion o region deconvergencia de la raız α.


Aunque la mayorıa del trabajo de Cauchy se centra en el camporeal, al final del mismo dedica un apartado al estudio de raıcescomplejas. Pero el estudio del metodo de Newton para aproximarlas soluciones complejas de una ecuacion encerraba ciertassorpresas.Arthur Cayley, quien en 1879 planteo el problema de caracterizarlas regiones B(α) del plano complejo para las cuales el metodo deNewton converge a la raız α si x0 ∈ B(α). En concreto, Cayleycomenzo estudiando el problema de caracterizar las cuencas deatraccion para el caso de un polinomio de segundo grado con dosraıces distintas:

p(z) = (z − α)(z − β), α 6= β, α, β ∈ C.


Comprobo que las cuencas de atraccion de las dos raıces estabanformadas por los semiplanos en los que queda dividido el planocomplejo por la recta equidistante de las dos raıces (la mediatrizdel segmento de extremos α y β). Si tomamos un punto de partidaen la mediatriz, el metodo de Newton proporciona una sucesion depuntos en la propia mediatriz sin ningun orden aparente,apareciendo ası un comportamiento caotico.Pero el problema se complica sobremanera cuando se pasa de unpolinomio de segundo grado a uno de tercer grado. En palabras delpropio Cayley: “el caso de las ecuaciones cubicas parece quepresenta considerables dificultades”. Parece ser que Cayleycontinuo trabajando, sin exito, en este problema. Once anosdespues, en 1890, vuelve a escribir: “Espero poder aplicar estateorıa al caso de una ecuacion cubica, pero los calculos son muchomas difıciles”.


Aunque, casi en todas la citaciones del problema anterior, apareceel nombre de Cayley, antes que el, E. Schroder (1870) estudio elproblema de la convergencia para el metodo de Newton aplicado alpolinomio cuadratico. De hecho la solucion de Schroder es muchomas interesante que la de Cayley, pues utiliza el concepto deconjugacion entre funciones. Ademas, propone una cantidadinifnita de algoritmos iterativos para aproximar raıces, siendo lasiguiente familia la mas conocida,

Sm,p(z) = z +

m−1∑k=1

(−1)k

k!

hp,k(z)

(p′(z))2k−1(p(z))k , (5)

donde h1(z) = 1 y hk+1(z) = h′k(z)p′(z)− (2k − 1)hk(z)p

′′(z) ,para k = 1, 2, . . . .


Por ejemplo, para p = 3 y p = 4, tenemos

S3,p(z) = z − p(z)

p′(z)− p′′(z) (p(z))2

2 (p′(z))3

S4,p(z) = z − p(z)

p′(z)− p′′(z) (g(z))2

2 (p′(z))3

−

(1

2

(p′′(z)

)2 − 1

6p′(z)p′′′(z)

)(p(z))3

(p′(z))5.

Note que S2,p = Np .


El metodo de Newton en R

Geometricamente, la formula de iteracion de Newton es obtenidacomo sigue: Sea x0 ∈ R . Substituimos f por su aproximacionlineal, Lx0(f)(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) , y buscamos lasolucion de la ecuacion Lx0(f)(x) = 0 . Si f ′(x0) 6= 0 , obtenemosel punto

x1 = x0 −f(x0)

f ′(x0),

esto es, dada una condicion inicial, x0 , dibujamos la rectatangente al grafico de f en el punto (x0 , f(x0)) y buscamos lainterseccion de esta recta con el eje x. Obtenemos ası el puntox1 = Nf (x0). Enseguida si f ′(x1) 6= 0 , repetimos el procesoanterior a partir de la condicion inicial x1, y ası sucesivamente.


De este modo obtenemos una sucesion de iterados (xn)n∈N , donde

xn+1 = xn −f(xn)

f ′(xn),

si f ′(xn) 6= 0 . Si la condicion inicial x0 es elegida en forma“conveniente”, la sucesion (xn)n∈N converge rapidamente a unaraız de la ecuacion f(x) = 0 .Resumiendo, el metodo de Newton consiste en iterar la funcion

Nf (x) = x− f(x)

f ′(x), (6)

llamada funcion de iteracion de Newton. Dado x0 iterar unafuncion consiste en determinar la sucesion de iterados, (xn)n∈N, lacual es es definida por

xn = N◦nf (x0) = (Nf ◦ · · · ◦Nf )︸︷︷︸n veces

(x0) .


Dado x0, se define su orbita por la funcion de iteracion de Newtoncomo el conjunto

orb(x0) = {x0, x1, . . . , xk, . . .} (7)

donde xj = N◦jf (x0) y N◦0 es la funcion identidad.Una pregunta que surge de inmediato es: dado x0, ¿que podemosdecir sobre orb(x0)?, por ejemplo, para ser mas especifıcos nospodemos preguntar ¿cuales son sus puntos de acumulacion? (si esque tiene algunos), ¿Como se distribuye este conjunto en la recta?,si la sucesion de iterados xn+1 = Nf (xn) converge ¿que podemosdecir de lim

n→∞xn?, ¿que podemos decir de la cuenca de atraccion

de una raız de la ecuacion f(x) = 0?Decimos que α ∈ R es una raız simple o cero simple de la ecuacionf(x) = 0 si satisface f(α) = 0 y f ′(α) 6= 0 . En otro caso, decimosque α es una raız o cero multiple de f .


Si en una vecindad de un cero multiple α de f podemos escribirf(x) = (x− α)mg(x), donde g(α) 6= 0 y m > 2 es un entero,decimos que α es un cero de multiplicidad m de f . Se puedeprobar que el entero m no depende de la vecindad escogida de α, yesta unicamente determinado por α.


Puntos fijos y preriodicos

Un punto fijo de una funcion F es un punto p tal que F (p) = p.Decimos que el punto fijo p es atractor, repulsor o indiferente si|F ′(p)| es, respectivamente, menor que, mayor que o igual a 1. Uncaso especial de punto fijo atractor es cuando F ′(p) = 0, el cualllamamos superatractor.Volviendo al metodo de Newton, tenemos lo siguiente:Sea α un cero de f , entonces α es un punto fijo de Nf yreciprocamente. Esto se ve de inmediato desde la defincion de lafuncion de iteracion de Newton.Ahora, si α es un cero simple de f , entonces N ′f (α) = 0 , pues

N ′f (x) =f(x)f ′′(x)

(f ′(x))2,

en conclusion, los ceros simples de f son puntos fijossuperatractores de Nf .


Por lo tanto si la condicion inicial x0 es elegida suficientementeproxima a α , la sucesion (xn)n∈N , donde xn = Nn

f (x0) convergerapidamente a α, ya que el desarrollo de Taylor de Nf alrededor deα viene dado por

Nf (x) = x+1

2N ′′f (α)(x− α)2 + · · ·


Iteraciones con el metodo de Newton


Conducta local del metodo de Newton

El siguiente teorema sobre la conducta local del metodo deNewton muestra que ella es muy buena, pero como veremosdespues, desde el punto de vista global no lo es tanto.

Teorema

Sea f : R −→ R derivable. Si f ′(x0) 6= 0 , definimos

h0 = − f(x0)f ′(x0)

, x1 = x0 + h0 , J0 = [x1 − |h0|, x1 + |h0|] y

M = supx∈J0 |f′′(x)|. Si 2

∣∣∣ f(x0)M(f ′(x0))2

∣∣∣ < 1 , entonces la ecuacion

f(x) = 0 tiene una unica solucion en J0 y el metodo de Newtoncon condicion inicial x0 converge a dicha solucion.


Ejemplo

Sea f(x) = x3 − 2x− 5 . Tomando x0 = 2 , tenemos f(x0) = −1 ,f ′(x0) = 10 , h0 = 0.1 y J0 = [2 , 2.2] , puesto que f ′′(x) = 6xsobre J0 el supremo M es 13.2. Como∣∣∣ Mf(x0)(f ′(x0))2

∣∣∣ = 0.132 < 0.5 < 1 , el teorema garantiza que existe

una raız de la ecuacion f(x) = 0 en el intervalo [2 , 2.2], y enconsecuencia el metodo de Newton con condicion inicial x0 = 2converge a dicha raız.


Algunos ejemplos clasicos

Ejemplo

Raıces cuadradas Consideremos el problema de resolver laecuacion f(x) = x2 − a = 0, con a > 0.

Es claro que conocemos las soluciones de este problema. Usando laformula del metodo de Newton, obtenemos

xn+1 = Nf (xn) = xn −x2n − a

2xn=

1

2

(xn +

a

xn

).

Los babilonios tuvieron esta misma idea, claro esta, sin trabajarcon derivada.


Notemos que N ′f (x) =1

2

(1− a

x2

), luego N ′f (x) = 0 para

x =√a, es decir, la solucion del problema. Como vimos, la

propiedad N ′f (√a) = 0 hace que el metodo de Newton converja

rapidamente a la solucion cuando elegimos la condicion inicial x0en forma conveniente.En general, tenemos

xn+1 −√a =

1

2

(xn +

a

xn

)−√a

=1

2xn(xn −

√a )2

y llamado a la diferencia xj −√a el j–esimo error en la

aproximacion, el cual denotamos por ej , lo que tenemos entonceses

en+1 =1

2xne2n .


Si xn ≈√a, nos queda

en+1 ≈1

2√ae2n .

Esto significa numericamente, que en cada iteracion la cantidad dedıgitos significativos se duplica.


Ahora, graficamente, Nf (x) =1

2

(x+

a

x

)se ve como en la figura

abajo

En este ejemplo, es claro que considerando x0 > 0, las iteracionesxn+1 = Nf (xn)→

√a cuando n→∞, y por otra parte, si

x0 < 0, las iteraciones xn+1 = Nf (xn)→ −√a cuando n→∞, y

que para x0 = 0, estas no estan definidas.


Resolviendo con el metodo de Newton una ecuacion queno tiene raıces reales

Consideremos el problema de resolver f(x) = 0, paraf(x) = x2 + 1, usando el metodo de Newton, en otras palabraspidamosle al metodo de Newton lo imposible. Sabemos que esaecuacion no tiene raıces reales, pero de todas formas veamos queocurre con las iteraciones dadas por el metodo de Newton en estecaso. Las iteraciones vienen dadas por la recurrencia

xn+1 = Nf (xn) =1

2

(xn −

1

xn

).


El grafico de Nf (x) =1

2

(x− 1

x

)y las iteraciones de un punto

x0 6= 0, se muestran en las figuras siguientes.

Como se aprecia en la segunda figura, las iteraciones se comportan“aparentemente” sin ningun padron determinado y tienen alparecer un comportamiento caotico (concepto que no definimosaun, pero intuitivamente ası nos parece).


Usando un poco de trigonometrıa basica busquemos una formulamas amigable para las iteraciones. Llamemos a

x = cotan (θ) =cos(θ)

sen (θ), entonces

1

2

(x− 1

x

)=

1

2

(cos(θ)

sen (θ)− sen (θ)

cos(θ)

)

=cos(2θ)

sen (2θ)

= cotan (2θ) ,

en otras palabras

1

2

(cotan(θ)− 1

cotan(θ)

)= cotan(2θ) .


Luego, si x0 = cotan(θ), x1 = cotan(2θ),x2 = cotan(22θ), . . . , xn = cotan(2nθ), como puede versefacilmente por induccion. En otras palabras en cada iteracion

duplicamos el angulo. Por ejemplo, para x0 = 1, se tiene θ =π

4,

luego 2θ =π

2y x1 = 0 y 2

π

2= π, ası x2 no esta definido. Para

x0 =1√3

, se tiene θ =π

3, luego para x1, θ = 2

θ

3y

cotan

(2π

3

)=−1√

3, y 2 · 2π

3= 4

π

3, luego cotan

(4π

3

)=

1√3

, y

el ciclo x0 → x1 → x2 se repite indefinidamente. De este pequenoanalisis vemos que en este caso, aparecen muchos puntos donde lasiteraciones estan definidas una cierta cantidad de veces, orbitasque son ciclos, que llamaremos orbitas preiodicas o ciclos, eiteraciones que estan siempre definidas, pero que aparentementeno se acumulan en ningun punto o un conjunto finito de puntos,incluso se ven densas en el grafico.


Ahora, si θ1 = θ0 + ε1, donde ε es un error pequeno, entonces2nθ1 = 2nθ0 + 2nε, ası cuando n es suficientemente grande 2nε esgrande y por lo tanto las iteraciones

xn+1 = cotan(2nθ0) e yn+1 = cotan(2nθ1)

pueden comenzar muy proximas pero finalmente terminanseparandose,

esto significa que estamos en presencia del fenomenode “dependencia sensitiva respecto de las condiciones iniciales”.


Ahora, si θ1 = θ0 + ε1, donde ε es un error pequeno, entonces2nθ1 = 2nθ0 + 2nε, ası cuando n es suficientemente grande 2nε esgrande y por lo tanto las iteraciones

xn+1 = cotan(2nθ0) e yn+1 = cotan(2nθ1)

pueden comenzar muy proximas pero finalmente terminanseparandose, esto significa que estamos en presencia del fenomenode “dependencia sensitiva respecto de las condiciones iniciales”.


Dinamica y Metodo de NewtonConjugacion Topologica

Uno de los conceptos basicos en el estudio de la dinamica de unafuncion es el de conjugacion topologica. En lıneas generales, unaconjugacion topologica permite reducir el estudio dinamico dealgunas familias de funciones a algunas situaciones concretas.

Definicion

Sean f : D → D y g : E → E dos funciones. Decimos que ellasson topologicamente conjugadas si existe un homeomorfismoa

ϕ : D → E tal que ϕ ◦ f = g ◦ ϕ. En este caso, ϕ se llamaconjugacion topologica entre f y g.

aAplicacion continua con inversa continua


Teorema

Sean f : D → D y g : E → E dos funciones, y sea ϕ : D → E unaconjugacion topologica entre f y g. Entonces

(a) ϕ−1 : E → D es una conjugacion topologica entre g y f .

(b) ϕ ◦ fn = gn ◦ ϕ para todo n ∈ N.

(c) p es un punto periodico de f si y solo si ϕ(p) es un puntoperiodico de g. Ademas, p y ϕ(p) tienen perıodos iguales. Porotra parte, si p es un punto periodico de f y ϕ′ no se anula enla orbita de p, entonces p y ϕ(p) tienen el mismo caracter(atractor, repulsor, indiferente).

(d) Si p es un punto periodico de f con cuenca de atraccion B(p),entonces la cuenca de atraccion de ϕ(p) es ϕ(B(p)).

(e) Los puntos periodicos de f son densos en D si y solo si lospuntos periodicos de g son densos en E;

(f) f es caotica sobre D si y solo si g es caotica sobre E.


Ecuaciones cuadraticas: revisitadas

Supongamos que queremos resolver la ecuacion cuadraticaf(x) = (x− a)(x− b) = 0, por el metodo de Newton. En estecaso, claramente conocemos las raıces de esta ecuacion, pero loanalizaremos para ilustrar como funciona globalmente el metodode Newton.En este caso la funcion de iteracion de Newton asociada a f esta

dada por Nf (x) = x− x2−(a+b)x−ab2x−(a+b) = x2−ab

2x−(a+b) . Para analizarglobalmente los iterados de esta funcion, hacemos el siguientecambio de variables

x = ϕ(y) = by−ay−1 , si y 6= 1

y = ϕ−1(x) = x−ax−b , si x 6= b .

Observemos que ϕ aplica y = 0 e y = +∞ en x = a y x = b ,respectivamente. Tenemos y2 = g(y) = ϕ−1 ◦Nf ◦ ϕ(y).


En efecto,

ϕ−1 ◦Nf ◦ ϕ(y) = ϕ−1

(by−ay−1

)2− ab

2(by−ay−1

)− (a+ b)

= ϕ−1

(by2 − ay2 − 1

)

=

by2−ay2−1 − aby2−ay2−1 − b

= y2 = g(y) .

Luego Nf es conjugada a la aplicacion g(y) = y2 .


De esto tenemos:

i) si elegimos una condicion inicial x0 a la derecha de a+b2 , el

metodo de Newton converge a la raız mayor, digamos b ;

ii) si elegimos una condicion inicial x0 a la izquierda de a+b2 , el

metodo de Newton converge a la raız menor, a ;

iii) finalmente si elegimos la condicion inicial x0 = a+b2 , el

metodo de Newton no esta definido en este punto.


Conducta global del metodo de Newton

Al aplicar el metodo de Newton, pueden surgir algunasdificultades, por ejemplo:

(a) El metodo de Newton no esta definido en los puntos para loscuales la tangente a la grafica de f es horizontal, es decir, enlos puntos donde la derivada se anula.

(b) El metodo de Newton puede converger, pero lo hace a unaraız distinta a la esperada. Puede ocurrir que tomando unacondicion inicial, se esperarıa convergencia del metodo deNewton a la raız mas proxima, pero de hecho puede hacerlohacia una raız mas lejana.


(c) El metodo de Newton no converge si la condicion inicialelegida esta sobre una orbita periodica, por razones obvias,una orbita periodica

{z , Nf (z) , · · · , Nn−1f (z)}

solo sera considerada como tal cuando su perıodo es mayor oigual que 2.


Ejemplo de Smale. Sea f(x) = x3 − x+√22 . En este caso

Nf (x) =2x3−

√2

23x2−1 . Tenemos que f ′(x) = 0 si y solo si x = ±

√13 .

En estos puntos la recta tangente al grafico de f es horizontal, porlo tanto, Nf tiene una asıntota vertival en esos puntos. Por otra

parte, Nf (0) =√22 , y Nf (

√22 ) = 0 , es decir,

{0 ,√22

}es una

orbita periodica de perıodo 2 para Nf , y como(N2f

)′(x) = N ′f (Nf (x)) ·N ′f (x)

=f(Nf (x)) f ′′(Nf (x))

(f ′(Nf (x)))2f(x)f ′′(x)

(f ′(x))2,

se tiene (N2f )′(0) =

f(√2

2) f ′′(

√2

2)

(f ′(√2

2))2

f(0) f ′′(0)(f ′(0))2 , y siendo f ′′(0) = 0 , se

tiene que (N2f )′(0) = 0 , luego

{0 ,√22

}es una orbita periodica

superatractora de Nf ,


lo que implica que existe un itervalo abierto I, con 0 ∈ I, de modoque si elegimos condiones iniciales en I, sus orbitas se muevenciclicamente cerca de 0 y de

√2/2, y de hecho convergen a esa

orbita periodica, es decir, limn→∞

N2nf (x0) = 0 y

limn→∞

N2n+1f (x0) =

√2/2 para todo x0 ∈ I.

Grafico de iteraciones de Nf , para f(x) = x3 − x+√2/2


Ejemplo. Sea f(x) = x3 − x . Las raıces de la ecuacion f(x) = 0 ,son, 0, 1 y −1 . La funcion de iteracion de Newton para f esNf (x) = 2x3

3x2−1 . Tenemos:

a) f ′(x) = 0 si y solo si x = ±√33 . Para estos valores de x el

metodo de Newton no esta definido (no son los unicos valorespara los cuales el metodo de Newton de f no esta definido,existen muchos otros donde ocurre lo mismo, como veremosmas adelante);

b) para x0 = −0.515 , el metodo de Newton no converge a laraız mas proxima, x1 = −1 , si no que lo hace a la raız x2 = 1;


c) Para ver si Nf tiene orbitas periodicas, por simetrıa,busquemos un punto x tal que Nf (x) = −x , es decir,2x3

3x2−1 = −x ; de aquı obtenemos x = 0 o x = ± 1√5

. El

punto x0 = 0 es un punto fijo (superatractor) de Nf , y lospuntos x1 = 1√

5y x2 = − 1√

5forman una orbita periodica de

perıodo 2, la cual es repulsora, pues (N2f )′(

1√5

)= 36.

Grafico de iteraciones de Nf , con x0 = 1/√5


Propiedades basicas de la funcion de iteracion de Newton

En lo que sigue, asumiremos que f : R −→ R es de clase Cr,r > 2 .Supongamos que f satisface la condicion siguiente:C.1. Si f ′(x) = 0 entonces f ′′(x) 6= 0 ,es decir, los puntos crıticos (maximos o mınimos) de f son nodegenerados.Si f es de clase Cn+1 y f(x0) = f ′(x0) = · · · = f (n−1)(x0) = 0 ,pero f (n)(x0) 6= 0 , redefinimos Nf en x0 como Nf (x0) = x0 , ytenemos que Nf es de clase C1 en una vecindad de x0 yN ′f (x0) = n−1

n .


En efecto, de la hipotesis vemos que f(x) = (x− x0)ng(x) , cong(x0) 6= 0 . Luego f ′(x) = n(x− x0)n−1g(x) + (x− x0)ng′(x) =(x− x0)n−1(ng(x) + (x− x0)g′(x)) yf ′′(x) = (n− 1)(x− x0)n−2(ng(x) + (x− x0)g′(x)) + (x−x0)

n−1(ng′(x) + g′(x) + (x− x0)g′′(x)) =(n−1)(x−x0)n−2(ng(x)+(n+2)(x−x0)g′(x)+(x−x0)2g′′(x)) .Ahora como,

N ′f (x0) = limx→x0

N ′f (x)

= limx→x0

f(x)f ′′(x)

(f ′(x))2

= limx→x0

n(n− 1)(g(x))2

n2(g(x))2

=n− 1

n.


Ahora para simplificar nuestro estudio, en lo que sigue suponemosque f satisface la condicion C.1. y la siguiente condicion.C.2. Si f(x) = 0 , entonces f ′(x) 6= 0 ,esto es, si f(x0) = 0 entonces f es transversal al eje x en x0,equivalentemente, f solo tiene raıces simples.La propiedad fundamental de la funcion de iteracion de Newton,Nf , de f es transformar el problema de encontrar raıces de laecuacion f(x) = 0 en el problema de encontrar puntos fijos deNf . Las siguientes propiedades son basicas para el estudio de lasiteraciones de Nf .


(1) f(α) = 0 si y solo si Nf (α) = α . Ademas, si f(α) = 0entonces N ′f (α) = 0 , luego lim

k→∞Nkf (x) = α para todo x

suficientemente proximo a α .

(2) Nf tiene una asıntota vertical en cada solucion real x = c def ′(x) = 0 .Si c1 < c2 son raıces consecutivas de f ′(x) = 0 , el intervalo] c1 , c2 [ es llamado una banda (acotada) para Nf . Sif ′(x) = 0 tiene una mayor (resp. menor) raız c (resp. b), elintervalo ] c , +∞ [ (resp. ]−∞ , b[ ) es llamado una bandaextrema para Nf .

(3) Si ] c1 , c2 [ es una banda para Nf que contiene una raız def(x) = 0 , entonces lim

x→c+1Nf (x) = +∞ y

limx→c−2

Nf (x) = −∞ . En efecto, tenemos dos posibilidades

para el grafico local de f en el intervalo ] c1 , c2 [ comomuestran las figuras abajo.


En el primer caso, para x ∈ ] c1 , x0 [ , f(x) > 0 y f ′(x) < 0 .

Luego Nf (x) = x− f(x)f ′(x) −→ +∞ cuando x −→ c+1 . En el

intervalo ]x0 , c2 [ , f(x) < 0 y f ′(x) < 0 . Luego

Nf (x) = x− f(x)f ′(x) −→ −∞ cuando x −→ c−2 . El segundo caso es

completamente analogo.

(4) Si ] c1 , c2 [ es una banda para Nf , la cual no contiene raıcesde f(x) = 0 , entonces lim

x→c+1Nf (x) = lim

x→c−2Nf (x) = ±∞ .

En efecto, basta observar las graficas de f (figuras abajo) eneste caso para deducir a partir de esto el resultado.

(5) Los puntos extremos locales de Nf , si f ′(x) 6= 0, son lospuntos para los cuales f(x) = 0 o f ′′(x) = 0, esto es, losceros y los puntos de inflexion de f . En efecto, tenemos que

N ′f (x) = f(x) f ′′(x)

(f ′(x))2= 0 si, solo si, f(x) = 0 o f ′′(x) = 0.


(6) Si una banda para Nf no contiene una raız de f(x) = 0entonces una de las bandas adyacentes o una banda extremano contiene raıces de f(x) = 0 . Esta propiedadfrecuentemente vale tambien para bandas extremas. Unacondicion suficiente para que esta propiedad sea verdaderapara bandas extremas es que f ′′(x) sea siempre acotadadesde 0 cuando |x| −→ +∞ . Por ejemplo los polinomiostienen esta propiedad, sin embargo esta falla paraf(x) = xe−x . En este caso tenemos que f(x) = 0 si, y solosi x = 0 . Ademas, f ′(x) = e−x(1− x) . Luego las asıntotasde Nf , que son las soluciones de f ′(x) = 0 , se reducen a

solamente x = 1 , y Nf (x) = x− xe−x

e−x(1−x) = − x2

1−x = x2

x−1 .


Note que si x > 1, entonces limn→∞

Nnf (x) = +∞ y si x < 1

entonces limn→∞

Nf (x) = 0, esto es, la cuenca de atraccion de la raız

α = 0 es el intervalo ]−∞, 1[ . En este ejemplo ocurre unfenomeno curioso, si elegimos la condicion inicial x0 tal queNf (x0) sea negativo y grande en valor absoluto, la convergencia delas iteraciones es casi lineal cuando estamos lejos de 0.


Evidentemente cerca de cero la convergencia es rapida, comovimos se satisface en+1 = Ke2n, donde en es el error en el paso n,esto es tiene convergencia cuadratica por lo menos. Estocomprueba que la convergencia cuadatica del metodo de Newtones una propiedad local y no global.Finalmente de las propiedades (1)–(6) el grafico tıpico de Nf , conf que satisface C.1 y C.2 es como en la figura siguiente.


No convergencia de Nf : indefinicion de las iteraciones

Ahora estudiaremos en mas detalles la no convergencia de lasucesion (Nn

f (x))n∈N .

La manera mas simple en que la sucesion(Nnf (x0)

)n∈N

deja de

converger a una raız de f(x) = 0 es cuando esta se vuelveindefinida para algun n0 ∈ N , esto es, cuando existe n0 ∈ N , elprimero, tal que f ′(xn0) = 0 . Esto significa que Nn0

f (x0)pertenece a una asıntota de Nf . El conjunto de tales puntos es

A(f) = {x ∈ R : existe m = m(x) ∈ N tal que Nmf (x) ∈ Z(f ′) }

=⋃m∈N

(Nf )−m(Z(f ′)) ,

donde Z(g) = {x ∈ R : g(x) = 0 } es el conjunto de los cerosde la funcion g . Es claro que A(f) es numerable y no denso.


Ahora, sea

B(f) = {x ∈ R : limn→∞

Nnf (x) ∈ Z(f) } .

Desde el punto de vista computacional este es el conjunto quemas interesa. Estos dos conjuntos, A(f) y B(f) contieneninformacion que concierne a la parte mas simple de la dinamica deNf . Por otro lado, C(f) = R− (A(f)∪B(f)) es el conjunto quecontiene la parte complicada de la dinamica de Nf .


Decimos que un conjunto A es invariante por una funcion f sif(A) = A.

Proposicion

Los conjuntos B(f) , A(f) y C(f) son Nf–invariantes.

Demostracion.1) B(f) es invariante. Dado x ∈ B(f) sea y = Nf (x) , entonceslimn→∞

Nnf (y) = lim

n→∞Nn+1f (x) ∈ Z(f) , luego Nf (x) ∈ B(f) , esto

es, B(f) ⊆ Nf (B(f)) .Recıprocamente, si y ∈ Nf (B(f)) existe x ∈ B(f) tal quey = Nf (x) y como lim

n→∞Nnf (x) ∈ Z(f) , viene que

limn→∞

Nn−1f (y) = lim

n→∞Nnf (x) ∈ Z(f) , luego Nf (B(f)) ⊂ B(f) .

Claramente, B(f) es abierto.


2) A(f) es invariante. Dado x ∈ A(f) existe m = m(x) ∈ N talque Nm

f (x) ∈ Z(f ′) , es decir, Nm−1f (Nf (x)) ∈ Z(f ′) , de donde

Nf (x) ∈ A(f) luego A(f) ⊂ Nf (A(f)) .Recıprocamente, dado y ∈ Nf (A(f)) existe x ∈ A(f) tal quey = Nf (x) . Como x ∈ A(f) existe m ∈ N tal queNmf (x) ∈ Z(f ′) , esto es,

Nm−1f (y) = Nm−1

f (Nf (x)) = Nmf (x) ∈ Z(f ′) luego

Nf (A(f)) ⊂ A(f).Finalmente, como B(f) y A(f) son invariantes, el complementode su union, que es C(f) tambien lo es.


Problema: Determinar la estructura topologica de C(f) ycaracterizar la dinamica de Nf |C(f).

Mostraremos a continuacion que bajo ciertas condicionesadicionales, C(f) , es no numerable y contiene infinitas orbitasperiodicas de Nf .

Lema

Toda banda ] c1 , c2 [ que contiene una raız p de f(x) = 0contiene una orbita periodica de perıodo 2 de Nf .

Demostracion. Tomemos un intervalo I como muestra la figuraabajo. Se tiene que Nf (I) = [p , c2 [ y N2

f (I) =]−∞ , p] .

Luego, existe un intervalo cerrado K ⊂ I , tal que K ⊆ N2f (K) , y

de esto sigue el resultado en este caso. Para el caso restante elrazonamiento es analogo.


Observacion. Sea J = [a, p] , a = extremo derecho de I.Entonces para cada n ∈ N , Nn

f (J) ⊂ J y para cada x ∈ J ,limn→∞

Nnf (x) = p .

Lema

Sea g : D ⊂ R −→ R . Supongamos que I1 , . . . , Ik , k > 2 sonintervalos compactos disjuntos dos a dos, y que para cadaj = 1, 2, . . . , k , g|Ij es continua. Si para cada m ,

∪kj=1Ij ⊂ g(Im) , entonces g tiene puntos periodicos de todos losperıodos. De hecho para cada n ∈ N existen kn puntos quesatisfacen la ecuacion gn(x) = x , y la clausura del conjunto de lospuntos periodicos es no numerable e invariante.


Demostracion. De la hipotesis, para cada j ∈ {1, . . . , k} yn ∈ N , existe un intervalo compacto Kn,j en Ij tal queKn,j ⊂ gn(Kn,j) . Luego existe x ∈ Kn,j tal que gn(x) = x . Dehecho tenemos mas puntos. SeaΣ(n; k) = { (xi)

ni=0 : xi ∈ {1, . . . , k} } . Dada una sucesion

(xi)ni=0 ∈ Σ(n; k) , existe un intervalo J ⊂ ∪kj=1Ij tal que

(i) gi|J es continua, 0 6 i 6 n , y

(ii) gi(J) ⊂ Ixi , 0 6 i 6 n . De hecho gn(J) = Ixn .


De (i) y (ii), si x0 = xn , gn aplica J sobre si mismo, luego gn

tiene un punto fijo p((xi)) ∈ J . Ademas, si (yi)ni=0 es otra

sucesion en Σ(n; k) tal que y0 = yn pero yj 6= xj para algunj ∈ {1, · · · , k} , entonces como los intervalos Ii son disjuntos dosa dos, de la propiedad (ii) sigue que p((xi)) 6= p((yi)) . Luego elnumero de puntos fijos de gn es al menos tan grande como elnumero de sucesiones (xi)

ni=0 ∈ Σ(n; k) , con x0 = xn , y este

ultimo numero es precisamente kn .Para demostrar la ultima parte del lema, observe que el conjuntoΣ(∞, k) = { (xi)

∞i=0 : xi ∈ {1, . . . , k}} es no numerable. Ahora

la propiedad de la interseccion finita para conjuntos compactosgarantiza que dada una sucesion (xi)

∞i=0 ∈ Σ(∞, k) existe al

menos un punto q((xi)∞i=0) ∈

⋃kj=1 Ij , con gi(q((xi)

∞i=0)) ∈ Ixi ,

i = 0, 1, . . .. Ademas, se tiene que el conjunto de sucesionesperiodicas en Σ(∞, k) es denso.


La siguiente proposicion, es una generalizacion de un resultadoprobado por Barna en 1956 para polinomios de grado n > 4 , concoeficientes reales y con n raıces reales distintas.

Proposicion

Supongamos que f satisface las condiciones C.1 y C.2 , y tieneal menos 4 raıces reales distintas. Entonces Nf tiene puntosperiodicos de todos los perıodos. Ademas, A(f) ∪ C(f) (esto es,el conjunto de puntos que no convergen a una raız de f ,equivalentemente el conjunto de puntos que no convergen a unpunto fijo de Nf ) es no numerable.


Demostracion. Si una banda B contiene un punto fijo de Nf

entonces Nf (B) = R. Como f tiene al menos 4 raıces existen almenos dos de esas bandas; las otras dos pueden ser bandasextremas. Luego podemos elegir subintervalos compactos I1 e I2de esas bandas, los cuales satisfacen las hipotesis del lema anterior,por lo tanto existen puntos periodicos de todos los perıodos.Para mostrar que existe una cantidad no numerable de puntos queno convergen a puntos fijos de Nf note que

S = { (xi)∞i=0 ∈ Σ(∞; 2) : (xi)

∞i=0 no es eventualmente constante}

es no numerable; ((xi)∞i=0 ∈ Σ(∞; 2) es eventualmente constante

si existe m ∈ N tal que xm = xm+1 = · · · ). Tenemos entoncesque S es no numerable, pues para cada m ∈ N , el conjuntoEm = { (xi)

∞i=0 ∈ Σ(∞; 2) : xm = xm+1 = · · · } es numerable,

por lo tanto⋃∞m=0Em tambien lo es, y

S = Σ(∞; 2)−⋃∞m=0Em . Ahora, si (xi)

∞i=0 ∈ S , para el punto

q((xi)∞i=0) dado por el lema anterior, (Nn

f (q((xi)∞i=0)) no

converge a ningun punto fijo de Nf .Sergio Plaza Dinamica del Metodo de Newton

Para el caso de polinomios de grado mayor o igual que 4 concoeficientes reales y n raıces reales distintas, se tiene un poco mas.

Teorema

(Barna (1956)- M. Cosnard & M. Masse (1983)) Sea f unpolinomio de grado n con coeficientes reales. Suponga quen > 4 , y que f tiene n raıces reales distintas. Entonces

(i) C(f) es un conjunto de Cantor con medida de Lebesguecero, y

(ii) C(f) contiene orbitas periodicas de todos los perıodos deNf . Ademas, para cada x ∈ C(f) , N ′f (x) < −1 .


El teorema anterior garantiza, bajo sus hipotesis, que para casitodo x ∈ R los iterados Nn

f (x) convergen para alguna raız de f ,pues C(f) ∪A(f) tiene medida de Lebesgue cero (A(f) esnumerable). Mas aun, el conjunto C(f) es repulsor, luegoinaccesible computacionalmente, pues desde el punto de vistanumerico solo es posible, aunque muy poco probable, acceder atrayectorias muy largas.Definamos ahora numeros α y β como sigue:

(1) α es el numero de bandas extremas de Nf que:

(i) no contienen puntos fijos de Nf , y que(ii) son aplicadas en R por Nf .

Es claro que α = 0, 1 o 2.

(2) β es el numero de bandas de Nf que contienen puntos fijosde Nf .


Teorema

Sea f como antes. Si α+ β > 2 , existe un conjunto nonumerable de puntos x tales que Nn

f (x) no converge a ningunpunto fijo de Nf . Ademas, si β > 1 entonces Nf tiene puntosperiodicos de todos los perıodos.

Demostracion. Si β = 0 entonces α = 2 (ver figura abajo) luegoNf no tiene puntos fijos, y lo afirmado es trivial.Si β > 2 el resultado sigue de la proposicion 8.Los casos restantes son α = 1 o 2 y β > 1 . En estos casos existeal menos una banda extrema B con Nf (B) = R (ver figuraabajo), y podemos elegir intervalos I1 ⊂ B e I2 contenido en unabanda que contiene un punto fijo de Nf , tales queI1 ∪ I2 ⊂ Nf (I2) y I1 ∪ I2 ⊂ Nf (I1). La prueba ahora sigue comoen el lema 6.


Observaciones.

1) En el caso α = 2 y β = 0 en el Teorema, Nf tiene puntosperiodicos de todos los perıodos. Para probar esto esnecesario usar otras tecnicas. Por ejemplo en la figura anterior, N3

f (I1) ⊃ I1, luego existe un punto periodico de perıodo 3 ypor el Teorema de Li y Yorke, ver [27], existen puntosperiodicos de todos los perıodos.

2) Es posible que Nf tenga puntos periodicos de todos losperıodos, aun cuando α+ β = 0.

(i) B2 ⊂ Nf (B1) y B4 ⊂ Nf (B1); ( Nf (J) = B2 yNf (I) = B4).

(ii) B1 ⊂ Nf (B2); ( Nf (K) = B1).(iii) B1 ⊂ Nf (B4) , B2 ⊂ Nf (B4). (Nf (L) = B1 ,

Nf (M) = B2).


3) Si f ′′(x) es siempre acotada desde 0 cuando |x| es grande yx pertenece a una banda extrema, entonces la condicion 1 (i)anterior implica la condicion 1 (ii). En particular, cuando fes un polinomio de grado > 2 , la condicion anterior es valida.En efecto, si B = ]c , ∞[ (el otro caso es similar) la hipotesissobre f ′′ implica que ambas f y f ′ tienden a ∞ o ambastienden a −∞ cuando x −→∞ , luego para x grande f(x)

f ′(x)

es positivo, y por lo tanto Nf (x) < x para todo x > c .Tenemos que lim

x→c+Nf (x) = −∞ . Por otra parte, como

limx→∞

f ′(x) = ±∞ , la regla de L’Hopital muestra que

limx→∞

Nf (x) = +∞ .


No convergencia de Nkf : existencia de orbitas periodicas

atractoras

Desde el punto de vista de la dinamica, los resultados anterioresson satisfactorios, pues ellos indican que para muchas funciones f ,la funcion de iteracion de Newton Nf tiene dinamica complicada,incluyendo una cantidad no numerable de puntos x para los cualesNkf (x) no converge a una raız de la ecuacion f(x) = 0, y por otra

parte este conjunto puede ser pequeno en el sentido de la medidade Lebesgue, mas aun puede tener medida cero. En tal caso nodebemos esperar (en sentido probabilıstico) encontrar en lapractica tales puntos de no convergencia.


Ahora centraremos la atencion en la existencia de orbitasperiodicas atractoras (recuerde que no estamos considerando comoorbitas periodicas a los puntos fijos). Si Nf tiene orbitasperiodicas atractoras, entonces existe un intervalo abierto I talque, si x ∈ I , se tiene que Nk

f (x) no converge a una raız de f .Luego los puntos de I son bien comportados desde el punto devista de la dinamica, pero mal comportados desde el punto de vistade las iteraciones del metodo de Newton.Probablemente, el resultado mas antiguo en esta area es el deBarna, el cual nos dice que si f es un polinomio con coeficientesreales de grado mayor o igual que cuatro, con todas sus raıcesreales y distintas, entonces Nf no tiene orbitas periodicasatractoras. Para otro tipo de funciones, de hecho pueden existirorbitas periodicas atractoras.


En algunos de los ejemplos anteriores solo mostramos los graficos,y nos podemos plantear la siguiente pregunta. Este tipo de grafico¿corresponde al grafico de Nf para alguna f?


La respuesta es dada por el siguiente

Teorema

Sea g : R −→ R que satisface

1) g es de clase C2 , excepto en un numero finito de puntos{ ci }ki=1 , en los cuales g no esta definida, ylimx→ci

|g(x)| = +∞ ,

2) limx→c+i

g(x) = − limx→c−i

g(x) ,

3) g tiene un numero finito de puntos fijos, cada uno de loscuales es un punto crıtico de g, y cualquier par de esos puntoses separado por un elemento de { ci }ki=1 , y

4) g solo tiene un numero finito de puntos crıticos.

Entonces existe una funcion de clase C1 , f : R −→ R tal queg = Nf .


Como consecuencia del teorema anterior tenemos la siguiente

Proposicion

Dado k > 1 , existen polinomios cuyas funcion de iteracion deNewton tienen orbitas periodicas atractoras de perıodo k .

Demostracion. Del teorema anterior, del teorema aproximacionde funciones diferenciable por polinomios (Stone–Weierstrass), yde la estabilidad de las orbitas periodicas atractoras porperturbaciones C1 el resultado sigue.


Dinamica de la aplicacion de Newton para polinomioscuadraticos y cubicos

Estudiaremos la dinamica de la funcion de iteracion de Newtonpara polinomios de grado 2 y 3. Usaremos fundamentalmente laconjugacion de funciones de modo a reducir al maximo lasaplicaciones a estudiar, y que representen la dinamica de una granvariedad de funciones.

Proposicion

Sea p(x) = ax2 + bx+ c un polinomio cuadratico. Entonces

Np(x) = ax2−c2ax+b es conjugado a Nq(x) = x2+A

2x donde

q(x) = x2 −A y A = b2 − 4ac .

Demostracion. Consideremos la aplicacion τ(x) = 2ax+ b .Desarrollando τ ◦Np ◦ τ−1(x) se obtiene lo pedido.


Como consecuencia inmediata vemos que para conocer la dinamicade la funcion de iteracion de Newton de polinomios cuadraticos,tenemos que conocer la dinamica de la familia a 1–parametropλ(x) = x2 − λ , y para esta tenemos

Proposicion

Si q(x) = x2 − c2 , con c > 0 , entonces Nq tiene puntos fijos en±c , ambos superatractores. Ademas, Bc = ] 0,∞ [ yB−c = ] −∞, c [ .

Demostracion. Inmediata a partir del analisis grafico de lafuncion de iteracion de Newton para q .


Proposicion

Si q(x) = x2 + c2 , con c 6= 0 , entonces Nq es caotica sobre] −∞, 0 [ ∪ ] 0,∞ [ .

Para el caso q(x) = x2 , se tiene Nq(x) = x2 y la convergencia a la

raız 0 de q(x) = 0 es lineal.Para polinomios cubicos, la dinamica de la funcion de iteracion deNewton es mas interesante. Veamos el siguiente


Ejemplo

Sea p(x) = x3 − 1.265x+ 1 . Tenemos Np(x) = 2x3−13x2−1.265 .

Cuando comenzamos las iteraciones con x0 = 0 obtenemosx0 = 0 , x1 = 0.79051 , x2 = −0.019675 , x3 = 0.79125 ,x4 = −0.015043 , x5 = 0.79094 , x6 = −0.016973 ,x7 = 0.79106 , x8 = −0.016232 , x9 = 0.79101 ,x10 = −0.016527 , y vemos que la orbita de 0 por Np converge auna orbita periodica atractora de perıodo 2.Para probar que existe una orbita periodica atractora paraNp(x) = 2x3−1

3x2−1.265 , considere el intervalo I = [−0.03 , 0.03 ] ybasta probar que

(a) Np(I) ∩ I = ∅ ,

(b) N2p : I −→ I , y

(c) |(N2p )′(x)| < 1 para todo x ∈ I .

Lo que no es dıficil de hacer.


Ahora consideremos los polinomios cubicos,p(x) = ax3 + bx2 + cx+ d y q(x) = x3 +Bx+ C . Tenemos,

Np(x) =2ax3 + bx2 − d3ax2 + 2bx+ c

y Nq(x) =2x3 − C3x2 +B

.

Sea, τ(x) = 3ax+ b . Queremos encontrar los coeficientes B yC de q tales τ ◦Np = Nq ◦ τ . Tenemos que

τ ◦Np(x) =6a2x3 + 6abx2 + 2b2x+ bc− 3ad

3ax2 + 2bx+ cy

Nq ◦ τ(x) =54a3x3 + 54a2bx2 + 18ab2x+ 2b3 − C

27a2x2 + 18abx+ 3b2 +B.

De ahı, si elegimos 2b3 − C = 9a(bc− 3ad) , es decir,C = 2b3 − 9a(bc− 3ad) , y 3b2 +B = 9ac , tenemos entonces

Nq ◦ τ(x) =54a3x3 + 54a2bx2 + 18ab2x+ 9a(bc− 3ad)

27a2x2 + 18abx+ 9ac= τ ◦Np(x) .


Por lo tanto, hemos probado el siguiente

Teorema

Sean p(x) = ax3 + bx2 + cx+ d , a 6= 0 , y q(x) = x3 +Bx+C ,donde B = 9ac− 3b2 yC = 2b3 − 9a(bc− 3ad) = 27a2d+ 2b3 − 9abc . Entoncesτ(x) = 3ax+ b es una conjugacion global entre Np y Nq .


Ahora, tenemos la siguiente

Proposicion

Sean f(x) = x3 + ax+ b3 , b 6= 0 y g(x) = x3 + cx+ 1 , dondec = a

b2. Entonces τ(x) = x

b es una conjugacion global entre Nf yNg .

Demostracion. Basta desarrollar la ecuacion de conjugacionτ ◦Nf = Ng ◦ τ , lo cual es dejado como ejercicio al lector.Caso B 6= 0 , C 6= 0 arriba, haciendo

µ =C

( 3√B )2

=2b3 − 9a(bc− 3ad)

( 3√

9ac− 3b2 )2,

se tiene que Np es globalmente conjugada a la funcion deiteracion de Newton, Nµ , del polinomio hµ(x) = x3 + µx+ 1 .


Si C = 0 y B 6= 0 , considerando la familia a 1–parametro depolinomios cubicos kγ(x) = x3 + γx , vemos que la dinamica de lafuncion de iteracion de Newton Nγ de kγ , es globalmenteconjugada a la dinamica de la funcion de iteracion de Newton deuno de los siguiente polinomios:

(1) p+(x) = x3 + x , caso γ > 0 ,

(2) p−(x) = x3 − x , caso γ < 0 , y

(3) p0(x) = x3 , caso γ = 0 .


Descripcion de cuencas de atraccion en el metodo deNewton

Estudiaremos como se relacionan las diferentes cuenca de atraccionde los ceros de una funcion f . En general, ellas se entremezclan,dando lugar a una estructura muy complicada en la recta.Recordemos que un cero x∗ de f tiene multiplicidad m > 1 si

f(x) = (x− x∗)mf(x)

donde g(x∗) 6= 0. Un cero de multiplicidad 1 es llamado un cerosimple de f . Si x∗ es un cero de multiplicidad m > 2, se tiene queNf no esta definida en x∗, pues en este caso f ′(x∗) = 0, sinembargo ya vimos que la definicion de Nf puede ser extendida demodo a incluir tales ceros. Los ceros de multiplicidad finita de fson precisamente los puntos fijos de Nf .


Todos esos puntos fijos son atractores, pues

N ′f (x) =f(x)f ′′(x)

f ′(x)2.

Por lo tanto, si m = 1, entonces N ′f (x∗) = 0, en otras palabras losceros simples de f son puntos fijos superatractores de Nf , y sim > 2, entonces

Nf (x∗) =m− 1

m< 1 ,

esto es los ceros multiples son puntos fijos atractores, pero nosuperatractores, para Nf .


Cuencas de atraccion

Recordemos que la cuenca de atraccion de un cero α de f es elconjunto

B(α) = {x0 ∈ R : Nnf (x0)→ α , cuando n→∞} .

La cuenca de atraccion inmediata de α el mayor intervalo abiertoB0(α) ⊆ B(α) que contiene a α. La cuenca de atraccion de α esla union de todas las preimagenes de la cuenca inmediata, es decir,

B(α) =⋃n>1

N−nf (B0(α)) .

Por ejemplo, para f(x) = x2 − 1, se tieneB(1) = {x ∈ R : x > 0}, B(−1) = {x ∈ R : x < 0}, y parax = 0, Nf no esta definida.


Las cuencas de atraccion pueden exhibir una estructura geometricamuy complicada.Veamos un ejemplo especıfico. Consideremos la funcionf(x) = (x− 2)(x− 1)x(x+ 1)(x+ 2) = x5 − 5x3 + 4x, cuyosceros son α1 = −2, α2 = −1, α3 = 0, α4 = 1 y α5 = 2. Notemosque f tiene una asıntota vertical en cada cero de f ′ que sona1 ' −1.644432868, a2 ' −0.5439122559, a3 ' 0.5439122559 ya4 ' 1.644432868.Tomemos x0 = 0.65, en este caso la sucesion de iteradosxn+1 = Nn

f (x0)→ α3 = 0, y para x0 = 0.66, la sucesion deiterados xn+1 = Nf (x0)→ α4 = 1, mientras que para un puntointermedio, digamos x0 = 0.653, la sucesion de iterados converge aα5 = 2.


Iteraciones de Nf , con x0 = 0.65 Iteraciones de Nf , con x0 = 0.66

Iteraciones de Nf , con x0 = 0.653Sergio Plaza Dinamica del Metodo de Newton

Como puede verse, graficamente la situacion es mas biencomplicada y es difıcil de decidir hacia que cero de f , la sucesionde iterados xn+1 = Nn

f (x0) converge.De hecho, Barna probo que si f es un polinomio de grado al menos4 y que tiene todos sus ceros reales y simple, el conjunto decondiciones iniciales que no convergen a un cero de f es unconjunto de Cantor.Sobre este conjunto, la dinamica del metodo de Newton es caotica(ver [43]). Por otra parte Wong ([52]) extendio el teorema deBarna de modo a incluir ceros multiples. El caso es peor, comomostraron Curry, Garnett y Sullivan ([12]), cuando ceros complejosson permitidos, en esta situacion el metodo de Newton puede fallara converger para intervalos abiertos de condiciones iniciales.


Por ejemplo, consideramos el polinomio f(x) = x3 − 2x+ 2,debido a Smale, para el cual x0 = 0 y x1 = 1 forman una orbitaperiodica superatractora, por lo tanto, existe un intervalo abiertoI0 conteniendo a x0 y al menos al intervalo ] − 0.1, 0.1 [ , de modoque cada x0 ∈ I0, los iterados xn+1 = Nn

f (x0) se muevencıclicamente siguiendo las iteraciones

x0 → x1 → x0 → x1 → · · ·

y aproximandose a ella.


Para describir la geometrıa de las cuencas de atraccion, vamos anecesitar del siguiente resultado.

Lema

Sea f un polinomio de grado d. Supongamos que f solo tieneceros reales (repetidos o no) z1 < z2 < · · · < zk y seanc1 < c2 < · · · < ck−1 los puntos crıticos de f , que no son ceros def . Entonces las cuencas de atraccion inmediata de los ceros tienenlas siguientes formas

(i) Las cuencas de atraccion inmediata de z1 y de zk sonB0(z1) = ]−∞, c1[ y B0(zk) = ]ck−1,+∞[ .

(ii) Para 2 6 i 6 k − 1, la cuenca de atraccion inmediata de zi esel intervalo B0(zi) = ]li, ri[ , donde {li, ri} es el 2–ciclo de Nf

tal que li < zi < ri.


Demostracion. Tenemos que cada cero zi de multiplicidad mi

contribuye con un factor (x− zi)mi−1 para Nf , y tal cero nocontribuye con una asıntota vertical para Nf . Como f ′ tiene gradod− 1, vemos que f ′ tiene k − 1 ceros que no son ceros de f , esosson los puntos crıticos c1, c2, . . . , ck−1, en los cuales Nf tiene unaasıntota vertical. Escribamos f en la formaf(x) = a0 + a1x+ · · ·+ adx

d, y vemos que f tiene la asıntotaoblıcua

y =d− 1

dx+

d− 2

d· ad−1ad

.

Para cada punto crıtico c2, c3, . . . , ck−1, las lıneas tangentes algrafico de f cerca de ci muestran que lim

x→c+iNf (x) = +∞ y

limx→c−i

Nf (x) = −∞.


De modo analogo se ve que limx→c−1

Nf (x) = −∞ y

limx→c+k−1

Nf (x) = +∞. Entre dos asıntotas verticales digamos ci y

ci+1, Nf tiene un mınimo local mi y un maximo local Mi y uncero zi+1 de f , es decir, un punto fijo de Nf .Si zi+1 es un cero simple, entonces zi+1 es un mınimo o unmaximo local. Si zi+1 es un cero multiple, entonces es una puntode inflexion entre mi y Mi.Esto establece la forma basica del grafico de Nf .Para zi y zk+1, ceros simples o multiples de f , se tiene que, Nf esconcava en ]−∞, c1[ y convexa en ]ck+1,+∞[ . Los cerossimples son los extremos locales de Nf en esos intervalos.Ahora mostraremos que cada intervalo ]ci, ci+1[ contiene un2–ciclo cuyos puntos extremos forman un intervalo que contiene azi+1 y los interados por Nf de los puntos interiores de ese intervaloconvergen a zi+1.


Finalmente, veremos que algunos puntos fuera del intervalodeterminado por el 2–ciclo al iterarlos convergen a otro lugar.Para puntos x1 suficientemente proximo a zi+1, se tiene que|N2

f (x1)− zi+1| < |x1 − zi+1|. Por otra parte, para x2 ligeramente

menor que el punto N−1f (ci+1) y que esta en el intervalo ]ci, ci+1[ ,

se ve que |N2f (x2)− zi+1| > |x2 − zi+1|.

Por continuidad de Nf en ]ci, ci+1[ , existe un punto x3 entre x1 yx2 tal que |N2

f (x3)− zi+1| = |x3 − zi+1|. Desde la forma del

grafico de Nf se ve que N2f (x3) = x3. Por su construccion,

x3 = zi+1. Luego {x3, Nf (x3)} = {li, ri} forma un 2–ciclo paraNf en el intervalo ]ci, ci+1[ . Tambien, por construccion del2–ciclo, puntos en ]li, ri[ al iterarlos por Nf permanecen dentro deese intervalo. Sin embargo, esos iterados podrıan converger a otro2–ciclo dentro de ]ci, ci+1[ . Vamos a probar que ]ci, ci+1[contiene un unico 2–ciclo para Nf .


Supongamos que {l′i, r′i} es otro 2–ciclo en ]ci, ci+1[ , y que l′i < li.Necesariamente, l′i < li < mi y Mi < Nf (li) = ri < r′i. Luego, porel Teorema del Valor Medio.

l′i − li = N2f (l′i)−N2

f (li) = (N2f )′(ξ)(l′i − li)

para algun ξ entre l′i y li. Notemos que esto nos da (N2f )(ξ) = 1.

Recordando que N ′f es creciente en ]ci,mi[ y decreciente en]Mi, ci+1[ , y negativa en ambos, y que l′i < ξ < li yri < Nf (ξ) < r′i, vemos que N ′f (ξ) < N ′f (li) yN ′f (ri) > N ′f (Nf (ξ)). De la Regla de la Cadena, tenemos

1 = (N2f )′(ξ) = N ′f (Nf (ξ))N ′f (ξ) > N ′f (Nf (ξ))N ′f (li)

> N ′f (Nf (li))N′f (li) = (N2

f )′(li) .

Si zi+1 es un cero de multiplicidad m, N ′f (zi+1) =m− 1

m, se tiene

entonces que (N2f )′(zi+1) = N ′f (Nf (zi+1))N

′f (zi+1) =

(N ′f (zi+1))2 =

(m− 1

m

)2

< 1.


Considerando que (N2f )′(li) < 1 y (N2

f )′(zi+1) < 1 tiene

implicancias sobre el grafico de N2f entre li y zi+1, y vemos que

existe algun punto η entre li y zi+1, para el cual N2f (η) = η y

(N2f )′(η) > 1. Como zi+1 es el unico punto fijo de Nf en

]ci, ci+1[ , η debe pertenecer a un 2–ciclo y luego ci < η < mi. Deli < η, y usando la Regla de la Cadena, vemos que(N2

f )′(li) > (N2f )′(η). Como (N2

f )′(li) < 1 y (N2f )′(η) > 1,

obtenemos una contradiccion. Luego, ]ci, ci+1[ contiene un unico2–ciclo.


Lema

Las cuencas de atraccion de ceros distintos son disjuntas.

Demostracion. Sean ]ai, bi[ y ]aj , bj [ intervalos en las cuencasde atraccion de dos ceros zi y zj , con bi 6 aj . Tenemos que]ai, bi[ es una componente de N−mf (B0(zi)) y ]aj , bj [ es una

componente de N−nf (B0(zj)), para algunos m y n. Supongamosque B0(zi) = ]li, ri[ y B0(zj) = ]lj , rj [ (el caso de cuencasinmediatas semi–infinitas es tratado de modo analogo). Como elgrafico de Nf es decreciente entre dos puntos crıticos consecutivosde f y fuera de B0(zk), vemos que Nm

f (ai) y Nmf (bi) es igual a li

o ri, de acuerdo a si m es par o impar, y Nnf (aj) y Nn

f (bj) esigual a lj o rj de acuerdo a si n es par o impar.


Supongamos que bi = aj y n = m+ k. Entonces Nnf (aj) = lj o

rj y Nnf (bi) = Nm+k

f (bi) = Nkf (de li o ri) = li o ri, donde la

ultima igualdad se sigue pues {li, ri} es un 2–ciclo para Nf .Consecuentemente, el supuesto bi = aj implica que uno de los lj yrj es igual a uno de los li y ri. Esto es una contradiccion puesB0(zi) y B0(zj) son disjuntos.


Ahora, mostraremos que la geometrıa de las cuencas de atraccionpuede ser muy intrincada.

Teorema

Sea f un polinomio con todos sus ceros reales y con al menoscuatro ceros distintos, entonces las cuencas de atraccion de losceros de f se entremezclan entre si.

Demostracion. Sea ]ai, bi[ una componente de N−mf (B0(zi)) y

que ]aj , bj [ es una componente de N−nf (B0(zj)). Supongamos quen > m y escribamos n = m+ k. Por simplicidad, asumiremos queambas B0(zi) y B0(zj) son acotadas. Como las cuencas de laatraccion inmediata son acotadas por 2–ciclos, tenemos queNf (B0(zi)) = B0(zi). ConsecuentementeNnf ( ]ai, bi[ ) = Nm+k

f ( ]ai, bi[ ) = Nkf (B0(zi)) = B0(zi), y

analogamente, Nnf ( ]aj , bj [ ) = B0(zj).


Para un intervalo dado ]c, b[ que no incluye una asıntota verticalde Nf , tenemos que N−1f ( ]c, d[ ) es una union de intervalos. Elintervalo ]aj , bj [ es obtenido desde B0(zj) seleccionando unacomponente ]p, q[ de N−1f (B0(zj)), entonces una componente de

N−1f ( ]p, q[ ), y ası sucesivamente. Podemos esperar a tener quehacer un seguimiento de que componente se producen en cadanivel. (De hecho, esta es la aproximacion por dinamica simbolicausada por Wong). Sin embargo, aquı la situacion es mas simple, ydepende de dos observaciones.Primero, supongamos que ]r, s[ , ]t, u[ y ] v, w [ son intervalos queno contienen asıntotas verticales de Nf , y que ]t, u[ esta entre]r, s[ y ]v, w[ . Entonces una componente de N−1f ( ]t, u[ ) esta

entre las componentes de N−1f ( ]r, s[ ) y N−1f ( ]v, w[ ) que estan en

la misma componente (rama) del grafico de N−1f . Esto se sigue dela monotonocidad de cada rama de Nf fuera del intervalodeterminado por el 2–ciclo.


Segundo, suponiendo que i 6= j entre B0(zi) y B0(zj) encontramosuna componente ]t, u[ de N−1f (B0(zk)) para k 6= i, j sin tener en

cuenta cual componente de N−1f (B0(zi)) y N−1f (B0(zj)) estamos

usando para construir ]ai, bi[ y ]aj , bj [ , una componente de N−1f ,

esta entre ellas. Continuamos aplicando N−1f , en cada etapa

encontramos una componente de N−qf ( ]t, u[ ) entre las

componentes seleccionadas de N−qf (B0(zi)) y N−qf (B0(zj)).El caso i = j en la segunda parte de la prueba y el caso de una oambas componentes de B0(zi) y B0(zj) no acotadas, se trata enforma analoga.


Caos en el metodo de NewtonMetodo de Newton y aplicacion logıstica

Comencemos por intentar calcular los ceros de la funcion

fµ(x) =

(µx− µ+ 1

µx

) 1µ−1

, con 0 6 x 6 1 y 1 < µ 6 4 .

Realizando los calculos y con un poco de manipulacion algebraica,obtenemos que

Nfµ(x) = µx(1− x) , (8)


Denotemos Nfµ por `µ. Pasamos a anlizar un poco de lo queocurre con las iteraciones de puntos en en intervalo bajo Nfµ

Podemos asumir que 0 < µ 6 4, aunque para la funcion orignalparametros en el rango 0 6 µ 6 1 no tienen sentido. Note que si0 6 µ 6 4 , para puntos fuera del intervalo I = [0, 1] susiteraciones por `µ convergen a −∞ . Por lo tanto, solo nosinteresaran los puntos de I . El maximo de la parabola ocurre parax = 1

2 , y `µ(12) = µ4 . Luego `µ(I) = [0, µ4 ] y como µ 6 4 se

tiene que `µ(I) ⊆ I , es decir, `µ |I es una aplicacion de I en simismo, y para simplificar la notacion la continuamos llamando `µ .


Note tambien que para cada µ se tiene que `µ(0) = 0 , `µ(1) = 0y `′µ(0) = µ . Por lo tanto, si µ < 1 se sigue que `µ solo tiene a 0como punto fijo, el cual es atractor; ademas la orbita de cualquierpunto x0 ∈ ] 0, 1 [ tiende a x = 0 cuando n −→∞ . Para µ = 1 ,el punto fijo x = 0 continua siendo el unico punto fijo, pero ahoraes atractor debil, es decir, `′1(0) = 1 , y atrae todas las orbitas de] 0, 1 [ . Para µ > 1 , se tiene que x = 0 es punto fijo repulsor yaparece otro punto fijo xµ = (µ− 1)/µ . Ahora,

`′µ

(µ−1µ

)= 2− µ , luego 0 6 `′µ(xµ) < 1 para 1 < µ 6 2 ,

mientras que −1 < `′µ(xµ) < 0 para 2 < µ 6 3 , luego xµ es unpunto fijo atractor para 1 < µ < 3 . Por otra parte, para2 < µ < 3 , las orbitas se aproximan por ambos lados a xµ(aparece una “espiral” en el seguimiento de la orbita).


Para µ > 3 , ambos puntos fijos 0 y xµ = (µ− 1)/µ sonrepulsores. ¿Que ocurre con las orbitas de los puntos de I ,distintos de 0 y xµ?Considerando la aplicacion `◦2µ , vemos que su grafico intersecta ladiagonal en otros dos puntos aparte de los puntos fijos de `µ .Esto significa que existen puntos x1, x2 tales que `µ(x1) = x2 y`µ(x2) = x1 , esto es, aparece una orbita periodica de perıodo 2 .Tambien nos referiremos a las orbita periodica de perıodo k comoun k–ciclo, esta terminologıa es bastante comun en textos desistemas dinamicos, sobre todo en aquellos escritos por fısicos omatematicos aplicados.


Para µ = 3 , el punto fijo xµ de `µ se descompone en el cicloatractor {x1, x2} . Para verlo, busquemos el valor para lo cual estoocurre

x = `µ (`µ(x)) = µ (µx(1− x)) (1− µx(1− x)) .

Esta es una ecuacion de cuarto grado cuyas raıces son los puntosfijos y los puntos sobre la orbita periodica, los puntos fijos sonx = 0 y xµ = µ−1

µ . Para encontrar x1, x2 , dividimos el polinomio

por x(x− µ−1

µ

), despues de un poco de manipulaciones

algebraicas tenemos que

`µ (`µ(x))− x

x

(x− µ− 1

µ

) = −µ(µ2x2 − µ2x− µx+ µ+ 1)


y buscando las soluciones de esta ecuacion cuadratica obtenemos

x1, x2 =1

2+

1

2µ± 1

2

√(1 +

1

µ

)(1− 3

µ

).

La estabilidad del ciclo depende del valor de (`2µ)′(xj) , j = 1, 2,el cual es el mismo para x1 y x2 . Ahora,(`2µ)′

(xj) = `′µ (`µ(xj)) · `′µ(xj) = `′µ(x1) · `′µ(x2) . Resolviendo, ladesigualdad, |4 + 2µ− µ2| < 1 para 0 6 µ 6 4 , encontramos que3 < µ 6 1 +

√6 ≈ 3.449489743. Para µ en este intervalo, la

orbita de cualquier punto del intervalo, excepto los puntos fijos,tiende al 2–ciclo atractor {x1, x2}. Ahora, para µ > 1 +

√6 la

orbita periodica {x1, x2} es repulsora.


Para µ > 1 +√

6 ≈ 3.4494... una orbita periodica atractora deperıodo 4 aparece.Esta puede encontrarse numericamente resolviendo `4µ(x) = x y`2µ(x) 6= x . Se puede mostrar que esa orbita periodica de perıodo4 es atractora para 3.4495... < µ < 3.5441... y repulsora paraµ > 3.5441... . Para µ > 3.5441... una orbita periodica atractorade perıodo 8 emerge. Numericamente esta se obtiene resolviendo`8µ(x) = x y `4µ(x) 6= x . Esta orbita de perıodo 8 es atractorapara 3.5441... < µ < 3.54644... y repulsora para µ < 3.54644... .


Observemos ahora los valores para los cuales aparecio una nuevaorbita periodica, de perıodo el doble de la que habıa aparecidoantes: µ0 = 1 , µ1 = 3 , µ2 = 1 +

√6 ≈ 3.4495... ,

µ3 ≈ 3.5441... , µ4 ≈ 3.5644.... Llamamos a este fenomenobifurcacion de duplicacion de perıodo . El diagrama de bifurcacionpara la aplicacion logıstica es mostrado en la figura siguiente


Puede probarse que

µ∞ = limn→∞

µn = 3.5699... .

Este punto marca la separacion entre el regımen de perıodo y elregimen caotico para esta familia cuadratica. Ahora focalizamosnuestra atencion en una pequena parte de la teorıa: una constanteuniversal asociada con la acumulacion exponencial descrita arribaaparecen. Esta es llamada constante de Feigenbaum y es dada por

δ = limn→∞

µn − µn−1µn+1 − µn

= 4.6692016091... .


Metodo de Newton y aplicacion duplicacion de angulo

Consideremos la ecuacion x2 + 1 = 0 e intentemos resolverlautlizando el metodo de Newton, de antemano sabemos que notendremos exito, pues no posee raıces reales. Pero veamos lo quesucede en este caso.Al aplicar el metodo de Newton a f(x) = x2 + 1, obtenemos

Nf (x) =1

2

(x− 1

x

)(9)

Para ver mejor cuya grafica se muestra a seguir


Para visualizar mejor las iteraciones del metodo de Newton en estecaso, consideremos la aplicacion G : R −→ ]0, 1[ definida por

G(x) =1

2+

1

πarctan(x), cuya inversa es

G−1(x) = tan(

(2x− 1)π

2

). Definamos la aplicacion

NIf = G ◦Nf ◦G−1 : ]0, 1[−→ ]0, 1[ , la cual no esta definida enx = 0, x = 1/2 ni en x = 1, es facil ver que se puede extender ax = 0 y a x = 1, para x = 1/2, tenemos redefinir la funcion, porejemplo como NIf (1/2) = 0.


En la figura abajo se aprecian las dos situaciones.

Aplicacion de Newton en R Aplicacion de Newton en I = [0, 1]

La aplicacion NIf es entonces, modulo un cambio de coordenadasla aplicacion D : [0, 1] −→ [0, 1] dada por D(x) = 2x mod 1.


Definicion

Robinson) Una funcion es caotica un conjunto si

1 f es transitiva sobre tal conjunto

2 f tiene dependencia sensitiva respecto de las condicionesiniciales.


Ejemplo

La aplicacion D(x) = 2x mod 1 es caotica sobre [0, 1]. Por lotanto, Nf es caotica.

En efecto,Mostraremos primero que D es transitiva. Esto es equivalente aprobar que dados dos conjuntos abiertos U y V en [0, 1], existe unentero positivo n, tal que Dn(U) ∩ V 6= ∅. Esto se sigue del hechoque D es expansiva, es decir, |D′(x)| > λ > 1 para todox ∈ [0, 1]. Pues en este caso, cualesquier conjunto abierto esalargadado en su longitud por 2 a cada iteracion por D, por lotanto, los iterados de este eventualmente cubriran todo el intervalo[0, 1], y por lo tanto uno de sus iterados intersectara a V .


Para mostrar que tiene dependencia sensitiva respecto de lascondiciones iniciales, basta ver que el exponente de Lyapunov, quemide la razon exponencial a la cual orbitas vecinas se apartan, espositivo. Este es determinado por la media del logaritmo naturalde la derivada a lo largo de una orbita, en otras palabras, para casitodo x1 ∈ [0, 1],

λ = limn→∞

1

nΣnj=1 ln(|D′(xj)|)

=

∫ 1

0ln(|D′(x)|)dx

= ln(2)

la segunda expresion sigue del hecho que la medida de Lebesgue,L , es una medida invariante y ergodica para D, y por lo tantopodemos aplicar el Teorema Ergodico de Birkhoff.


Polinomios cubicos

Ya vimos que el estudio de las iteraciones de Nf para un polinomiocubico se reduce a las iteraciones de Nf para f•(x) = x3,f(x) = x3 − x, f+(x) = x3 + x o es un miembro de la familiafr(x) = x3 + rx+ 1. Para los primeros la dinamica ya fue descrita.Para la familia de poliomios cubicos fr, a seguir se muestra eldiagrama de bifrucacion, analogo al de la aplicacion cuadraticaanterior.

Diagrama de bifurcacion del metodo de Newton aplicado a frSergio Plaza Dinamica del Metodo de Newton

Ciclos en el metodo de Newton

Mostraremos una tecnica que nos permite construir ciclo paraalgunos metodos iterativos, nos centraremos en el metodo deNewton. De hecho nuestra tecnica permite construir ciclossuperatractores para el metodo de Newton y otros.Recordemos que un n–ciclo o ciclo de longitud n para unaaplicacion F : R −→ R, es un conjunto finito de n puntosdistintos, O = {x1, x2, . . . , xn}, que satisface F (xi) = xi+1, parai = 1, . . . , n− 1 y F (xn) = x1.


Consideremos una funcion f : R −→ R, derivable. Al aplicar elmetodo de Newton, obtenemos una aplicacionNf : Dom(Nf ) −→ R, definida por Nf (x) = x− f(x)/f ′(x). Sinperdida de generalidad vamos a suponer que Nf (xi) = xi+1 parai = 1, . . . , n− 1 y Nf (xn) = x1. Si esto ocurre, claramente O esun n–ciclo para Nf . Ahora desde las igualdadesxi+1 = Nf (xi) = xi − f(xi)/f

′(xi), para i = 1 . . . , n− 1 yNf (xn) = x1, despejando nos queda

f ′(xi) =f(xi)

xi − xi+1, i = 1, . . . , n−1 , y f ′(xn) =

f(xn)

xn − x1(10)

resumiendo esto, hemos probado la sioguiente proposicion

Proposicion

Sea f : R −→ R derivable y sea O = {x1, . . . , xn} ⊂ Dom(Nf ),con xi 6= xj para todo i, j ∈ {1, . . . , n}. Entonces O es un n–ciclode Nf si y solo si f satisface las ecuaciones (10)


Usando tecnicas de interpolacion de funciones vamos a construirpolinomios con la propiedad deseada. Tenemos ası, el siguienteresultado.

Proposicion

Para cada n > 2 existe un polinomio p de grado menor o igual que2n− 1, tal que Np tiene un n–ciclo.

Demostracion. Consideremos n puntos x1, x2, . . . , xn con lapropiedad que xi 6= xj si i 6= j para todo i, j ∈ {1, 2, . . . , n} y seany1, y2, . . . , yn otro n puntos. Por la Proposicion (8) , sif : R −→ R satisface f(xi) = yi para i = 1, . . . , n y lascondiciones (10), entonces el conjunto O = {x1, x2, . . . , xn} es unn–ciclo para Nf .


Para construir el polinomio p usaremos interpolacion de Hermite,la cual nos permite construir p de grado a lo mas 2n− 1 y quesatisface las condiciones

f(xi) = yi, i = 1, . . . , n,

f ′(xi) =yi

xi − xi+1, i = 1, . . . , n− 1, y

f ′(xn) =yn

xn − x1

(11)


Escribimos p como

p(x) = a1p1(x) + a2p2(x) + · · ·+ a2np2n(x) (12)

donde cada pi es un polinomio de grado i− 1, para i = 1, . . . , 2n,y son definidos por

p1(x) = 1p2(x) = p1(x)(x− x1) = (x− x1)p3(x) = p2(x)(x− x1) = (x− x1)2p4(x) = p3(x)(x− x2) = (x− x1)2(x− x2)p5(x) = p4(x)(x− x2) = (x− x1)2(x− x2)2

...p2i−1(x) = p2i−2(x− xi−1)p2i(x) = p2i−1(x)(x− xi)

...p2n−1(x) = p2n−2(x)(x− xn−1)p2n(x) = p2n−1(x)(x− xn)

(13)


Notemos que p2i−1(xi) = p2i−2(xi)(xi − xi−1) 6= 0 y quep2i(xi) = p2i−1(xi)(xi − xi) = 0, esto nos dice que pj(xi) 6= 0para j 6 2i− 1 y que pj(x) = 0 para j > 2i.Por otra parte, tenemos que p′2i(x) = p′2i−1(x)(x− xi) + p2i−1(x),de donde p′2i(xi) = p2i−1(xi) 6= 0 yp′2i+1(x) = p′2i(x)(x− xi) + p2i(x), asi p′2i+1(xi) = p2i(xi) = 0 .Luego, p′j(xi) 6= 0 para j 6 2i y p′j(xi) = 0 para j > 2i+ 1. Enorden a determinar el polinomio p(x) debemos ser capaces decalcular los coeficientes ai, para i = 1, . . . , 2n. Para ello, debemosresolver un sistema de 2n ecuaciones con 2n incognitas, si esposible hacerlo.


El sistema de ecuaciones asociado a nuestro problema es unsistema triangular inferior, cuyas filas, para i = 1, . . . , n son comosigue

A2i−1 = p1(xi) p2(xi) p3(xi) · · · p2i−1(xi) 0 0 0 · · · 0A2i = p′1(xi) p′2(xi) p′3(xi) · · · p′2i−1(xi) p′2i(xi) 0 0 · · · 0


Ası el sistema de ecuaciones lineales a resolver es dado porAX = b, donde

A =

A1...

A2n

, X =

a1...a2n

, y b =

y1y1

x1−x2...ynyn

xn−x1

(14)

este sistema tiene solucion, pues el determinante de la matriz A esno cero, para ello basta notar que la matriz A es triangular inferiory que las componente de su diagonal son los elementos de la formap2i−1(xi) y p′2i(xi), los cuales son no nulos para i = 1, . . . , n. Estocompleta la prueba de la proposicion.


Ejemplo

Para ejemplificar lo anterior, construyamos un polinomio cuyometodo de Newton asociado tenga una orbita periodica deperıodo 3.

Para ello consideremos los datosx1 = 0, y1 = 1x2 = 1, y2 = −1x3 = 2, y3 = 1 .

es decir, estamos imponiendo al polinomio p(x) que p(0) = 1,p(1) = −1 y p(2) = 1 y que sus derivadas en esos puntossatisfagan p′(0) = 1

0−1 = −1, p′(1) = −11−2 = 1, y p′(3) = 1

2−0 = 12 .


Ahora debemos construir los polinomios pi(x), i = 1, . . . , 6, loscuales son dados como sigue:

p1(x) = 1p2(x) = p1(x)(x− x1) = xp3(x) = p2(x)(x− x1) = x2

p4(x) = p3(x)(x− x2) = x2(x− 1)p5(x) = p4(x)(x− x2) = x2(x− 1)2

p6(x) = p5(x)(x− x3) = x2(x− 1)2(x− 2)

el polinomio buscado tiene la forma p(x) =a1 +a2x+a3x

2 +a4x2(x−1)+a5x

2(x−1)2 +a6x2(x−1)2(x−2)


y las filas de la matriz A del sistema de ecuaciones linealesAX = b es

A1 = p1(x1) 0 0 0 0 0A2 = p′1(x1) p′2(x1) 0 0 0 0A3 = p1(x2) p2(x2) p3(x2) 0 0 0A4 = p′1(x2) P ′2(x2) p′3(x2) p′4(x2) 0 0A5 = p1(x3) p2(x3) p3(x3) p4(x3) p5(x3) 0A6 = p1(x3)

′ p′2(x3) p′3(x3) p′4(x3) p′5(x3) p′6(x3)


calculando las derivadas de los polinomios pi(x), i = 1, . . . , 6 yevaluando pi(x)y p′i(x), obtenemos el sistema de ecuacioneslineales

1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 01 1 1 0 0 00 1 2 1 0 01 2 4 4 4 00 1 4 8 12 4

a1a2a3a4a5a6

=

1−1−1

1112

cuya solucion es a1 = 1, a2 = −1, a3 = −1, a4 = 4, a5 = −5/2, ya6 = 7/8. Por lo tanto, el polinomio buscado esp(x) = 1−x−x2 +4x2(x−1)− 5

2 x2(x−1)2 + 7

8 x2(x−1)2(x−2).


La figura a continuacion muestra el grafico de p y del metodo deNewton asociado, Np, con el 3–ciclo (repulsor) O = {0, 1, 2}.


Ahora veremos como obtener a partir del polinomio p(x) que fueconstruido en la Proposicion 9 otro polinomio tal que el n–ciclodado por la proposicion sea superatractor. Pero antes de esoveamos como caracterizamos el hecho que un n–ciclo seasuperatractor para el metodo de Newton.

Proposicion

Sea p(x) un polinomio cuyo metodo de Newton tiene un n–ciclo,O = {x1, x2, . . . , xn}. Si p′′(xi) = 0 para algun i ∈ {1, 2, . . . , n},entonces O es superatractor.

Demostracion. Sin perdida de generalidad, podemos suponer quep′′(x1) = 0. Ahora, por la regla de la cadena

(Nkp )′(x) = N ′p(N

k−1p (x))N ′p(N

k−2p (x)) · · ·N ′p(Np(x))N ′p(x) ,

y podemos suponer tambien que Np(xi) = xi+1 parai = 1, . . . , n− 1 y Np(xn) = x1.


Aplicando lo anterior, tenemos

(Nnp )′(x1) = N ′p(xn)N ′p(xn−1) · · ·N ′p(x2)N ′p(x1)

y como Np(x) = p(x)p′′(x)p′(x)2 y estamos suponiendo que p′′(x1) = 0,

en la expresion para (Nnp )′(x1) el factor N ′p(x1) se anula, por lo

tanto (Nnp )′(x1) = 0, y el resultado esta probado.


Ahora tenemos el siguiente resultado que nos permite construirciclos atractores para el metodo de Newton.

Teorema

Para cada n > 2 existe un polinomio p(x) de grado menor o iguala 2n de modo que Np(x) tiene un n–ciclo superatractor.

Demostracion. Dado un conjunto O = {x1, . . . , xn} de n puntosdistintos entre si, y dado otro conjunto de n puntos {y1, . . . , yn},usando la Proposicion 9 cosntruimos un polinomio p(x) tal que Oes un n–ciclo para Np(x), el polinomio p(x) tiene la formap(x) = a1p1(x) + · · ·+ a2np2n(x), definimos un nuevo polinomio

p(x) = p(x) + a2n+1p2n+1(x) ,

donde a2n+1 es un parametro a determinar. Para la determinacionde a2n+1 imponemos la condicion de que el n–ciclo O seasuperatractor para Np(x).


Notemos primero que la nueva condicion no altera O, ya quetenemos p2n+1(xi) = 0 para i = 1, . . . , n. Como queremos que Osea superatractora para Np(x), por la Proposicion 10, nos bastaencontrar a2n+1 de modo que p′′(x1) = 0, imponiendo estacondicion y resolviendo para a2n+1 se tiene lo pedido.


Continuacion del ejemplo 5. Tenemos quep(x) = 1−x−x2 +4x2(x−1)− 5

2 x2(x−1)2 + 7

8 x2(x−1)2(x−2),

luego

p(x) = 1− x− x2 + 4x2(x− 1)− 5

2x2(x− 1)2 +

7

8x2(x− 1)2(x− 2) + a7 x

2(x− 1)2(x− 2)2 .

Haciendo p ′′(0) = 0, obtenemos a7 = 37/16. Luego el polinomio

p(x) = 1− x− 115

8x3 +

385

16x4 − 13x5 +

37

16x6

es tal que Np = 1/2(−460x3 + 1155x4 − 832x5 + 185x6 −16)/(−8− 345x2 + 770x3 − 520x4 + 111x5) tiene a O = {0, 1, 2}como un 3–ciclo superatractor.


Bifurcaciones en el metodo de Newton

En lo que sigue estudiaremos los cambios en la dinamica de laaplicacion de Newton, llamadas bifurcaciones, cuando la aplicacionf pierde una raız pasando a traves de una tangencia cuadraticacon el eje x.Sea g : R −→ R una aplicacion de clase Cr , r > 3 que satisfacelas condicionesC.1. Si f ′(x) = 0 entonces f ′′(x) 6= 0

es decir, los puntos crıticos (maximos o mınimos) de f son nodegenerados.


Por conveniencia, asumiremos que

g(0) = 0, g′(0) = 0, g′′(0) > 0 .

Localmente, en una vecindad de 0, g tiene el grafico como se vecomo una parabola cuadraticaSea fµ(x) = g(x) + µ , las figuras para fµ se ven simplementecomo las traslaciones de una parabola cuadratica.Denotemos Nfµ simplemente por Nµ .


Localmente Nµ se ve como en la figura siguiente


Ahora, como fµ(x) = g(x) + µ se tiene que f ′µ(x) = g′(x) .

Luego Nµ(x) = x− g(x) + µ

g′(x)= Ng(x)− µ

g′(x)y

N ′µ(x) = N ′g(x) +µg′′(x)

(g′(x))2=

(g(x) + µ)g′′(x)

(g′(x))2. Si g′(x) 6= 0

entonces∂

∂µNµ(x) = − 1

g′(x). Note que esta derivada no

depende del parametro µ , y esta bien definida cuando g′(x) 6= 0 .


Por otra parte, existen puntos excepcionales (x0, µ0) donde∂

∂µNµ(x) no existe, por ejemplo, en (x0, µ0) = (0, 0) . Esos

puntos corresponden a puntos donde g′(x0) = 0 y µ0 = −g(x0)pues en ese caso, para µ = µ0 ambas fµ y f ′µ son ceros enx = 0 . Note que las bandas de Nµ son, esencialmente,independiente de µ y son las mismas que para Ng ; las unicasexcepciones ocurren en los valores del parametro µ en los cualesfµ tiene una raız que es tambien un punto crıtico, es decir, para(x0, µ0) tales que fµ0(x0) = 0 y f ′µ0(x0) = 0 , es decir,0 = fµ0(x0) = g(x0) + µ0 y f ′µ0(x0) = g′(x0) = 0 , o masespecıficamente {

g′(x0) = 0µ0 = −g(x0) .


Tenemos el siguiente lema

Lema

Sea I un intervalo compacto sobre el cual g′ no se anula,entonces cuando µ −→ 0 se tiene que Nµ converge a Ng y N ′µconverge a N ′g , siendo la convergencia en ambos casos uniforme.

Demostracion. Tenemos que

Nµ(x) = Ng(x)− µ

g′(x)

N ′µ(x) = N ′g(x) +µg′′(x)

(g′(x))2

y la prueba se sigue trivialmente.


Para encontrar puntos periodicos atractores de una aplicacion1–dimensional (real o compleja) es conveniente seguir la orbitas delos puntos crıticos de la aplicacion. Para nuestro caso, existen almenos dos razones para esto: primero si un punto crıtico de Nµ esperiodico de perıodo k entonces su orbita es superatractora;segundo si Nµ es una funcion racional (cuociente de dospolinomios sin factores comunes), cosa que ocurre por ejemplocuando g es un polinomio, entonces existe una fuerte conexionentre las orbitas periodicas atractoras y los puntos crıticos de Nµ

dada por el siguiente teorema.

Teorema

(Julia) Si h es una funcion meromorfa definida sobre el planocomplejo, entonces cada orbita periodica atractora de h contieneun punto crıtico en su cuenca de atraccion.


En lo que sigue estudiaremos las orbitas de los puntos crıticos deNµ cuando el grafico de fµ pasa a traves de una tangenciacuadratica con el eje x en el punto (x, µ) = (0, 0) . Asumiremos

que tal punto crıtico existe. Tenemos que N ′µ(x) =fµ(x)f ′′µ(x)

(f ′µ(x))2,

luego los puntos crıticos de Nµ , caso f ′µ(x) 6= 0 , son los puntosdonde fµ(x) = 0 (raıces de fµ ) o f ′′µ(x) = 0 (puntos deinflexion). Cuando un punto crıtico de Nµ no es una raız defµ(x) = 0 diremos que es punto crıtico libre. Como f ′′µ = g′′ setiene que los puntos crıticos de Nµ son aquellos donde g′′ seanula, es decir, genericamente, un punto de inflexion de g .


Como g′′(x) > 0 en una vecindad de x = 0 , la condicion deexistencia de un punto crıtico libre se puede formular de lasiguiente forma: existen puntos p < 0 < q tales que g′′(p) = 0 yg′′(x) > 0 sobre ]p, q[ . Esto junto con la condicion que impusimosa g , es decir, g(0) = 0 , g′(0) = 0 , g′′(0) > 0 , y el teorema delvalor medio implican que el unico punto sobre ]p, q[ donde o bieng o g′ se anulan es x = 0 , g(x) > 0 sobre ]p, q[ , g′(x) < 0sobre ]p, 0[ y g′(x) > 0 sobre ]0, q[ . Ademas, Nµ(0) = 1/2 ,luego N ′µ(x) > 0 sobre ]p, q[ . Ahora, como

N ′µ(x) = N ′g(x) +µg′′(x)

(g′(x))2se tiene que N ′µ(x) > N ′g(x) > 0

sobre ]p, q[−{0} y µ > 0 . Por otra parte, dado que∂

∂µNµ(x) = − 1

g′(x)se sigue que

∂

∂µNµ(x) > 0 sobre ]p, 0[ y

∂

∂µNµ(x) < 0 sobre ]0, q[ . Tenemos el siguiente lema.


Lema

Supongamos que µ > 0 . Si N iµ(p) < 0 para 0 6 i 6 k entonces

∂

∂µNkµ(p) > 0 .

Demostracion. Por la regla de la cadena, tenemos que∂

∂µN jµ(x) = Πj−1

`=0

∂

∂µNµ(N `

µ(x)) . Ahora como N iµ(p) < 0 para

0 6 i 6 k se tiene que∂

∂µNµ(Nµ(p)) > 0 . Por lo tanto,

∂

∂µNkµ(p) = Πk−1

`=0

∂

∂µNµ(N `

µ(p)) > 0 , como deseabamos probar.


Las hipotesis del lema anterior se satisfacen para valores pequenosde µ

Lema

Dado k > 0 existe µ0 > 0 tal que si |µ| > µ0 entoncesp < Nµ(p) < N2

µ(p) < · · · < Nkµ(p) < 0 .

Demostracion. Como N ′g(x) > 0 sobre ]p, q[ (N ′g(0) = 1/2 ) sesigue que Ng es monotona creciente sobre [p, q] , y para cualquierx ∈ [p, q] , Ng(x) esta entre x y 0luego, para cualquier x ∈ [p, q] la sucesion Nn

g (x) convergemonotonamente a 0. Ademas, para cualquier constante positivaβ , se tiene que Nµ converge C1 uniformemente a Ng sobre[p,−β] ∪ [β, q] cuando µ −→ 0 , ası si elegimosβ < min{Nk

g (q), |Nkg (p)|} encontramos µ0 como asegura el lema.


Lema

Dado k > 0 existe µ1 > 0 tal que si 0 < µ < µ1 entonces

(1) p < Nµ(p) < · · · < Nk−1µ (p) < 0 ;

(2) Nkµ(p) > Nk−1

µ (p) ;

(3) Nk−1µ (p) −→ 0 cuando µ↗ µ1 , luego, Nk

µ(p) −→∞cuando µ↗ µ1 .

Demostracion. Es una consecuencia inmediata de las condicionesy de los lemas anteriores. La idea es que si la condicion (1) vale, elconjunto {N i

µ(p)} es monotono en i para 0 6 i 6 k y en µ paraµ > 0 .


Por los dos ultimos lemas, para cada k > 1 existe un µ–intervalo[ak, bk] tal que si µ ∈ [ak, bk] entonces

N iµ(p) ∈ ]p, 0[ , 1 6 i 6 k,

Nkµ(p) ∈ [0, q] ,

Nkak

(p) = 0 ,Nkbk

(p) = q .

Ademas, para cada k se tiene que ak > bk+1 < 0 y limk→∞

ak = 0 .

Definamos la aplicacion jk : [ak, bk] −→ [0, q] porjk(µ) = Nk

µ(p) . Por el lema 4 cada aplicacion jk es monotonacreciente y aplica [ak, bk] sobre [0, q] .


Para valores pequenos y positivos de µ , se tiene que Nµ aplica elintervalo [0, q] sobre el intervalo [p, 0] ; luego el conjuntoN−1µ (p)∩ ]0, q[ es no vacıo. Por el teorema de la funcion implıcitase tiene que el conjunto N−1µ (p)∩ ]0, q[ es el grafico de unafuncion creciente x = Z(µ) . Las curvas Z y jk son mostradas enla figura siguiente.


Para todo k grande existe un punto (µk, xk) satisfaciendo{xk = Z(µk)xk = jk(µk) .

Consecuentemente, para µ = µk el punto crıtico p de Nµ estasobre una orbita periodica superatractora de perıodo k + 1 paraNµ . Tenemos xk = Z(µk) = N−1µk (p)∩ ]0, q[ , de dondeNµk(xk) = {p} ∩Nµk( ]0, q[ ) y xk = jk(µk) . Luego,p = Nµk(xk) = Nk+1

µk(p) , y como g′′(p) = 0 se tiene que

(Nk+1µk

)′(p) = 0 .


Tenemos el siguiente teorema

Teorema

Supongamos que g es de clase al menos C3 y satisface lasiguiente condicion g′(x) = 0 implica g′′(x) 6= 0 y queg(0) = 0 , g′(0) = 0 , g′′(0) 6= 0 . Sea fµ(x) = g(x) + µ . Siexiste un punto p con g′′(p) = 0 entonces para todo ksuficientemente grande, existe un intervalo abierto Ik sobre elµ–eje tal que

(1) Para cada µ ∈ Ik , la aplicacion de Newton Nµ tiene unaorbita periodica atractora de perıodo k ;

(2) cada intervalo Ik contiene al menos un punto µk tal que pes un punto periodico superatractor de Nµ para µ = µk ;

(3) si Ik = ]Lk, Rk[ entonces Lk y Rk tienden a 0 cuandok →∞ .


Demostracion. En lo anterior hemos tratado el caso p < 0 yg′′(p) > 0 . En esa condiciones hemos demostrado la existencia deuna orbita periodica superatractora para µ = µk . El teorema de lafuncion implıcita muestra que esa orbita continua existiendo paratodos los valores de µ suficientemente cercanos a µk . Sea Ik unintervalo que contiene a µk y tal que para cada µ ∈ Ik , Nµ tieneuna orbita periodica atractora de perıodo k que contiene a p ensu cuenca de atraccion. Si p > 0 el argumento es esencialmente elmismo. Para el caso g′′(0) < 0 , notemos que la aplicacion deNewton Nµ de g + µ es exactamente la misma que para −g − µla cual le podemos aplicar el argumento anterior. Esto completa laprueba del teorema.


Para ilustrar lo discutido anteriormente el lector puede considerarel ejemplo siguiente. Sea f(x) = x3 − 3x+ µ . Esta familia deaplicaciones tiene una tangencia cuadratica con el eje x en x = 1cuando µ = 2 . Tenemos f ′µ(x) = 3x2 − 3 , f ′′µ(x) = 6x . Luego elunico cero de f ′′µ es x = 0 . Por lo tanto, del teorema de JuliaNµ si tiene una orbita periodica de perıodo mayor que 1, entonceslos iterados de 0 deben tender a esa orbita. Un pequenoexperimento, nos muestra que

Perıodo k Valor del parametro µk2 3.6742346143 7.7513408204 15.5562133935 30.155532349...

...


2-ciclo 3-ciclo


4-ciclo 5-ciclo


Metodo de Newton en el plano complejo

Aplicaremos la dinamica de funciones racionales en el planocomplejo extendido y a metodos numericos para aproximar raıcesde ecuaciones polinomiales, en especial nos centraremos en elmetodo de Newton


Una de las principales motivacion para iniciar el estudio deiteraciones de funciones racionales en el plano complejo fuemotivado por el estudio del metodo de Newton, en especial caberesaltar los trabajos de A. Cayley (1879) y de E. Schroder (1870).Cayley en su intento por resolver el problema de las regiones deconvergencia para el metodo de Newton aplicado al polinomiocubico

p(z) = z3 − 1

y plantea que el problema es considerablemente mas dıficil que elcaso cuadratico, para el cual dio una descripcion completa de lasregiones de convergencia de las raıces.


Metodo de Newton para p(z) = z2 − 1 Metodo de Newton para p(z) = z3 − 1


Posteriormente, G. Julia y P. Fatou consideran funciones racionalesen una forma mas general, obteniendo resultados significativos ysientan el estudio de iteraciones de funciones racionales en el planocomplejo extendido, en otras palabras, con sus trabajos comienzaen forma sistematica el estudio de los sistemas dinamicoscomplejos. La base de sus trabajos fue el estudio realizado porMontel sobre familias normales.


Una funcion racional R : C −→ C es una funcion de la forma

R(z) =P (z)

Q(z), (15)

donde P y Q son polinomios coprimos (sin factores comunes).Las funciones racionales son las funcione analıtica de C en simisma.

Por ejemplo, si aplicamos el metodo de Newton para elcalculo aproximado de raıces de un polinomio complejo, p(z),obtenemos la funcion racional

Np(z) = z − p(z)

p′(z)=zp′(z)− p(z)

p′(z)(16)


Una funcion racional R : C −→ C es una funcion de la forma

R(z) =P (z)

Q(z), (15)

donde P y Q son polinomios coprimos (sin factores comunes).Las funciones racionales son las funcione analıtica de C en simisma. Por ejemplo, si aplicamos el metodo de Newton para elcalculo aproximado de raıces de un polinomio complejo, p(z),obtenemos la funcion racional

Np(z) = z − p(z)

p′(z)=zp′(z)− p(z)

p′(z)(16)


El grado de una aplicacion racional R(z) = P (z)/Q(z) es definidocomo

grado(R) = max{ grado(P ) , grado(Q) } , (17)

este es igual al numero (contado con multiplicidades) depreimagenes de un punto arbitrario.


Sea R : C −→ C una funcion racional.

Definicion

Dado un punto z0 ∈ C, la orbita positiva o conjunto de iteradospositivos (y en contexto de metodos numericos, simplementeiterados) de z0 por R es el conjunto

orb+R(z0) = {z0, z1 = R(z0), z2 = R(z1) = R◦2(z0), . . . ,

zn = R◦n(z0), . . .},

donde la notacion R◦n significa R ◦R ◦ · · · ◦R︸︷︷︸n-veces

.


Una manera elemental de distinguir orbitas, es contar el numero depuntos en ellas.

Definicion

Sea z0 ∈ C y orb+R(z0) su conjunto de iterados por R. Decimosque orb+(z0) es un n–ciclo u orbita periodica de perıodo n si,z0 = R◦n(z0) y Rj(z0) 6= z0 para 1 6 j 6 n− 1. Un 1–ciclo, esdecir, R(z0) = z0, es llamado un punto fijo de R. En otraspalabras, un n–ciclo consiste de los n punto{z0, R(z0), . . . , R

◦(n−1)(z0)}.


Definicion

Sea r ∈ C un punto fijo de una funcion racional R. Decimos que rtiene multiplicidad m > 1 si, r es una raız de multiplicidad m de laecuacion F (z) = R(z)− z = 0, esto es, F (j)(r) = 0 paraj = 0, . . . ,m− 1 y F (m)(r) 6= 0. Caso m = 1 decimos que r es uncero simple de R, es decir, F (r) = 0 y F ′(r) 6= 0.

Respecto a la cantidad de puntos fijos que puede poseer unafuncion racional, tenemos el siguiente resultado.

Teorema

Una funcion racional de grado d > 1 tiene precisamente d+ 1puntos fijos contados con multiplicidad.


Consideremos una ecuacion no lineal f(z) = 0, se tiene que losceros de f son puntos fijos de Nf y recıprocamente.Sea p(z) un polinomio,grado(p(z)) 6 d =⇒ grado(Np(z)) 6 des menor que d caso p(z) tiene raıces multiple, y este esexactamente d cuando si p(z) tiene raıces simple.Como las raıces de p(z) son punto fijos de Np, si este tiene d raıces(contadas con multiplicidad) y z =∞ es siempre un punto fijo paraNp, luego Np se tiene la cantidad maxima de d+ 1 puntos fijos.


Lo anterior no siempre ocurre, por ejemplo, la funcion de iteracionsiguiente, conocida como metodo del punto medio (ver [50])

Mf (z) = z − f(z)

f ′(z − f(z)

2f ′(z)

) (18)

cuando es aplicado al polinomio p(z) = z3 − 1, obtenemos

Mp(z) =z(13z6 + 22z3 + 1)

(5z3 + 1)2

que tiene a z = 0 como punto fijo no correspondiente a una raız dep(z).


Una propiedad basica que deben cumplir los metodos iterativosusados para encontrar aproximaciones a los cero de una funcion, esque estos ceros sean puntos fijos de los metodos utilizados. Unproblema serio es que al aplicar algun metodo iterativo, digamosM , a f , la funcion de iteracion obtenida, Mf , puede tener puntosfijos distintos de los cero de f , a estos puntos fijos los llamaremospuntos fijos extranos, por ejemplo, como vimos el metodo de puntomedio aplicado a p(z) = z3 − 1 tiene a z = 0 como un punto fijoextrano. Tambien puede ocurrir que algunas funciones deiteracion, aparte de tener puntos fijos extranos, pueden tener ciclosde largo mayor que 1. Es obvio que una condicion inicial sobre unciclo no convergera a un cero de la funcion.


Suponiendo que para las funciones de iteracion para aproximar lasraıces, digamos M , de una ecuacion no lineal satisfagan lapropiedad que raıces de la ecuacion f(z) = 0 son puntos fijos deMf . En el caso de un polinomio p(z) de grado d > 2, suponiendoque Mf tiene grado k(d), entonces en el peor de los caso,podemos tener k(d)− d puntos fijos extranos. En general, lospuntos fijos de una funcion de iteracion para aproximar raıcestienen multiplicidad mayor que 1.Por ejemplo, para el polinomio p(z) = z3 − 2z + 2, se tieneNp((z) = 2(z3 − 1)/(3z2 − 2) y para la condicion inicial z0 = 0,sus iterados son z0 = 0→ 1→ 0, es decir, orb+(0) = {0, 1}.


Definicion

Sea α = {z0, R(z0), . . . , R◦(n−1)(z0)} un n–ciclo de R. Su

multiplicador λ = λ(α) se define como λ(α) = (R◦n)′(z0).


Definicion

Decimos que un n–ciclo

α = {z0, R(z0), . . . , Rn−1(z0)}

es,superatractoratractorrepulsor

indiferente

si

λ = 0

0 < |λ| < 1|λ| > 1|λ| = 1

Los ciclos indiferentes se clasifican en dos tipos: racionalmenteindiferente o parabolico si λ es una raız de la unidad, esto significa,que existe un numero natural m, tal que λm = 1; en otro caso sedenominan irracionalmente indiferentes.


Para r > 0, denotamos por Dr el disco abierto de centro en elorigen y radio r, es decir, Dr = {z ∈ C : |z| < r }.

Teorema

(G. Konig), 1884 Si z0 pertenece a un n–ciclo atractor, conmultiplicador λ = (R◦n)′(z0), que satisface 0 < |λ| < 1, entoncesexiste una vecindad U de z0 y un homeomorfismo analıticoϕ : U → Dr (para algun r > 0), unico, tal que ϕ(z0) = 0,ϕ′(z0) = 1 y ϕ(R◦n(z)) = λϕ(z), para todo z ∈ U .

Teorema

(L. Bottcher, 1904) Sea orb+(z0) un n–ciclo superatractor.Supongamos que el multiplicador λ = (R◦n)(k)(z0) 6= 0, y que

(R◦n)′(z0) = (R◦n)′′(z0) = · · · = (R◦n)(k−1)(z0) = 0 .

Entonces existe una vecindad U de z0 y un homeomorfismoanalıtico ϕ : U → Dr (para algun r > 0) tal que ϕ(z0) = 0,ϕ′(z0) = 1, y ϕ(R◦n(z)) = (ϕ(z))k, para todo z ∈ U .


Para r > 0, denotamos por Dr el disco abierto de centro en elorigen y radio r, es decir, Dr = {z ∈ C : |z| < r }.

Teorema

(G. Konig), 1884 Si z0 pertenece a un n–ciclo atractor, conmultiplicador λ = (R◦n)′(z0), que satisface 0 < |λ| < 1, entoncesexiste una vecindad U de z0 y un homeomorfismo analıticoϕ : U → Dr (para algun r > 0), unico, tal que ϕ(z0) = 0,ϕ′(z0) = 1 y ϕ(R◦n(z)) = λϕ(z), para todo z ∈ U .

Teorema

(L. Bottcher, 1904) Sea orb+(z0) un n–ciclo superatractor.Supongamos que el multiplicador λ = (R◦n)(k)(z0) 6= 0, y que

(R◦n)′(z0) = (R◦n)′′(z0) = · · · = (R◦n)(k−1)(z0) = 0 .

Entonces existe una vecindad U de z0 y un homeomorfismoanalıtico ϕ : U → Dr (para algun r > 0) tal que ϕ(z0) = 0,ϕ′(z0) = 1, y ϕ(R◦n(z)) = (ϕ(z))k, para todo z ∈ U .Sergio Plaza Dinamica del Metodo de Newton

Usando esos dos resultados, podemos definir la cuenca deatraccion de un punto fijo (super)atractor como sigue. Sea ξ unpunto fijo (super)atractor de una funcion racional R, entoncesexiste un disco abierto Dr(ξ) de radio r > 0 y centro en ξ, tal quepara cada z0 ∈ Dr(ξ), los iterados R◦n(z0) estan definido paratodo n ∈ N, estan contenidos en Dr(ξ), y convergen a ξ cuandon→∞. El conjunto

B(ξ) =⋃n>0

R◦(−n)(Dr(ξ)) (19)

consiste de todos los puntos en el plano complejo extendido quepor iteraciones por R convergen a ξ. En otras palabras,B(ξ) = {z ∈ C : R◦n(z)→ ξ, cuando n→∞}. La cuenca deatraccion inmediata, B∗(ξ), es la componente conexa de B(ξ) quecontiene a ξ.


un punto z0 ∈ C es un punto crıtico de R si R′(z0) = 0 y suimagen w0 = R(z0) es llamado un valor crıtico.

Teorema

Sea C = C(R) el conjunto de puntos crıticos de una funcionracional R. Entonces

(a) El conjunto de puntos crıticos de R◦n es

C(R◦n) = C ∪R−1(C) ∪ · · · ∪R−n(C) .

(b) El conjunto de valores crıticos de R◦n es

R(C) ∪R◦2(C) ∪ · · · ∪R◦n(C)


Sea ξ un punto fijo indiferente de una funcion racional R de gradod > 2, localmente podemos suponer que

R(z) = z − zm+1 +O(zm+) , a 6= 0 y m > 1, (20)

El siguiente resultado describe las cuencas de atraccion en estecaso. Ver por ejemplo [2] o [32]


Teorema

(de los petalos) Sea R una funcion racional que tiene en ξ = 0 unpunto fijo racionalmente indiferente como en (20). Seanω1, . . . , ωm las m–esimas raıces de la unidad y sean η1, . . . , ηm lasm–esimas raıcesde −1. Entonces existe un radio r0 y un angulo θ0,tal que para j = 1, . . . ,m, los sectores Sj y Σj , definidos por

Sj =

{z : 0 <

∣∣∣∣ zωj∣∣∣∣ < r0 ,

∣∣∣∣arg

(z

ωj

)∣∣∣∣ < θ0

}y

Σj =

{z : 0 <

∣∣∣∣ zηj∣∣∣∣ < r0 ,

∣∣∣∣arg

(z

ηj

)∣∣∣∣ < θ0

}satisfacen

|R(z)| < |z| , para todo z ∈ Sj ,

y|R(z)| > |z| , para todo z ∈ Σj .


El siguiente teorema relaciona las cuencas de atraccion y losn–ciclos atractores.

Teorema

(Fatou, Julia) La cuenca de atraccion inmediata de un ciclo(super)atractor, contiene al menos un punto crıtico.

Este resultado en fundamental, pues nos dice que para determinarlos ciclos (super)atractores, debemos estudiar las iteraciones de lospuntos crıticos de la funcion de iteracion es cuestion.

Teorema

Una funcion rational de grado d > 2 tiene 2d− 2 puntos crıticoscontados con multiplicidad.


Tenemos ası el siguiente resultado sobre la cantidad maxima deciclos (super)atractores o indiferentes que puede tener una funcionracional.

Teorema

(Cotas sobre el numero de ciclos, Shishikura, 1987)Una funcion racional R : C→ C de grado d tiene a los mas 2d− 2ciclos, los cuales pueden ser (super)atractores o indiferentes.


El siguiente resultado muestra que la cota anterior puede seralcanzada para el metodo de Newton.

Teorema

(Hurley, 1986 [21]) Para cada d > 2 existe un polinomio p(z) degrado d, con coeficientes reales, tal que el metodo de Newton Np

tiene 2d− 2 ciclos atractores en el plano complejo, es decir, poseeel numero maximal de ciclos atractores que una funcion racional degrado d puede tener.


Existen varias formas de comenzar las exposiciones de la teorıa deP. Fatou y G. Julia (1919 y 1918). Adoptamos aquı la de Fatou[16]. Este se basa en el concepto de familia normal debido aMontel (ver [1]).

Definicion

Una familia Γ de funciones meromorfas definidas en un dominioU ⊂ C

Γ = { fi : U → C ; fi meromorfa }

es normal si cada sucesion (fn)n∈N de elementos de Γ posee unasubsucesion (fnk)k∈N que converge uniformemente sobre cadasubconjunto compacto de U .


Ahora nos centraremos en la familia de iterados{R◦n : n = 0, 1, 2, 3, . . .} de una funcion racional R : C −→ C.En este caso, equicontinuidad significa que iteraciones de puntosproximos no divergen.

Definicion

Un punto z ∈ C pertenece al conjunto de Fatou F(R) (tambienllamado dominio de normalidad o de estabilidad) si existe unavecindad U de z tal que la familia de iterados

Γ = {R◦n : U → C ; n = 0, 1, 2, 3, . . . }

es normal en U .

El conjunto de Julia de R , denotado por J (R) o simplemente porJ , cuando no exista peligro de confusion, es el complemento delconjunto de Fatou, esto es, J (R) = C−F(R).


Teorema

Supongamos z0 ∈ C esta sobre un ciclo. Si este ciclo es(super)atractor, entonces esta contenido en el conjunto de Fatou,y si es repulsor esta contenido en el conjunto de Julia de R.


Sea M un metodo iterativo para aproximar aproximar soluciones deuna ecuacion f(z) = 0. Una propiedad fundamental que debetener M es que los cero de f(z) son punto fijos (super)atractoresde Mf , funcion de iteracion obtenida al aplicar M a f . Tenemosası el siguiente resultado.

Teorema

Sea M un metodo iterativo para aproximar ceros de una funcionf(z). Denotemos por Mf la funcion de iteracion obtenida alaplicar M a f . Entonces los cero de f estan contenidos en elconjunto de Fatou F(Mf ) de Mf .


Teorema

(Fundamental (Fatou, Julia)) El conjunto de Julia, J (R), es novacıo. Ademas, Los ciclos repulsores son densos en J (R), es decir,

J (R) = clausura{z ∈ C : z sobre un ciclo repulsor de R} .

En particular, existe una cantidad infinita de ciclos repulsores ycada z ∈ J (R) es obtenido como lımite de puntos en ciclosrepulsores.

Esta propiedad es particularmente interesante, pues nos dice que sielegimos una condicion inicial sobre el conjunto de Julia de R paranuestras iteraciones, entonces los errores computacionales, porpequenos que sean, nos tendera a “alejar” del conjunto de Julia,en particular, si este tiene medida de Lebesgue cero, entonces, lomas probable es que despues de un numero pequeno de iterados,las siguientes iteraciones esten en el conjunto de Fatou, dondetenemos esperanza de convergencia.


Definicion

Sean R1 y R2 dos funciones racionales. Decimos que ellas sonconjugadas si existe una transformacion de Mobius M : C −→ Ctal que

R2 = M ◦R1 ◦M−1 .

Observacion. Si R1 y R2 son conjugadas por M , entoncesM(J (R1)) = J (R2) y M(F(R1)) = F(R2).


Teorema

(Cayley (1879), Schroder (1870). Sea p(z) un polinomiocuadratico con sus dos raıces distintas, entonces el metodo deNewton Np(z) aplicado a p es conjugado a la funcion g(z) = z2.


Teorema

(Reescalamiento) Sea T (z) = αz + β, α 6= 0, y seaq(z) = p(T (z)) = p ◦ T (z). Entonces

T ◦Nq ◦ T−1 = Np ,

esto es, T es una conjugacion entre Np y Nq.

Este teorema nos dice que mediante una transformacion afınpodemos transformar las raıces de p sin modificar cualitativamentela dinamica de la metodo de Newton.


Teorema

Sea za es un punto periodico atractor para una funcion racional R,entonces J (R) = ∂ B(za) (∂ A denota la frontera del conjunto A).

Corolario

Si F(R) es no vacıo, entonces el conjunto de Julia de R, J (R), notiene puntos interiores.

El resultado anterior junto con el teorema que le precede tienenaplicaciones directa en el caso de metodos iterativos para aproximarceros de una funcion f(z), pues como estamos asumiendo que lasraıces correspondan a puntos fijos (super)atractores, estospertenecen al conjunto de Fatou de la correspondiente funcionracional Mf , por lo tanto se tiene que el conjunto de Fatou,F(Mf ), es no vacıo y J (Mf ) = ∂B(α), donde α es un cero de f .


Definicion

Sea D una componente del conjunto de Fatou. Decimos que D esperiodica si existe n > 1 tal que R◦n(D) = D, y decimos que D espreperiodica si existe k > 1 tal que Rk(D) es periodico.


Teorema

((de los dominios no errantes)(Sullivan [49]))Sea R una funcion racional. Entonces todas las componentes delconjunto de Fatou son preperiodicas. Ademas, solo existe una cantidadfinita de componentes periodicas. Sea U una componente periodica delconjunto de Fatou de R, la cual podemos suponer que es fija, entonces Ues uno de los siguientes cinco tipos:

(i) superatractoras: contiene un punto fijo superatractor

(ii) atractoras: contiene un punto fijo atractor

(iii) parabolicas (o dominio de Leau): existe un punto fijo parabolico ensu frontera

(iv) disco de Siegel: contiene un punto fijo irracionalmente indiferenteque es un punto de Siegel, en este caso U es analiticamenteequivalente a un disco y R restricta a U es analiticamenteconjugada a una rotacion de angulo irracional.

(v) anillo de Herman : contiene un fijo irracionalmente indiferente quees un punto de Cremer, en este caso U es analiticamenteequivalente a un anillo y R restricta a U es analiticamenteconjugada a una rotacion de angulo irracional.


Teorema

Sea U una componente del conjunto de Fatou de una funcionracional R de grado d > 2, la cual podemos suponer fija. SeaC = C(R) su conjunto de puntos crıticos, y

C+(R) = ∪∞n=1R◦n(C) .

el conjunto postcrıtico de R.

(a) Si U es una componente (super)atractora o parabolica,entonces debe contener al menos un punto crıtico.

(b) Si U es un disco de Siegel o un anillo de Herman, entonces lafrontera de U esta contenida en la clausura de C+(R).

En particular, si R tiene un anillo de Herman, entonces J (R) noes conexo.


El teorema anterior toma en cuenta todos los puntos sobre ciclos,exceptos aquellos sobre ciclos irracionalmente indiferentes quepertenecen al conjunto de Julia J (R), esto es, los puntos deCremer.

El siguiente resultado muestra la coneccion entre los puntos deCremer y los iterados de puntos crıticos.

Teorema

Todo punto de un ciclo irracionalmente indiferente que estacontenido en el conjunto de Julia J (R) de una funcion racional Res un punto lımite del conjunto C+(R).


El teorema anterior toma en cuenta todos los puntos sobre ciclos,exceptos aquellos sobre ciclos irracionalmente indiferentes quepertenecen al conjunto de Julia J (R), esto es, los puntos deCremer.El siguiente resultado muestra la coneccion entre los puntos deCremer y los iterados de puntos crıticos.

Teorema

Todo punto de un ciclo irracionalmente indiferente que estacontenido en el conjunto de Julia J (R) de una funcion racional Res un punto lımite del conjunto C+(R).


Sobre el numero de componentes de Fatou, se tiene el siguienteresultado

Teorema

El conjunto de Fatou de una funcion racional R tiene 0, 1, 2 o unacantidad infinita de componentes.

Corolario

Sea M un metodo iterativo para aproximar raıces de un polinomiop(z). Supongamos que las raıces de p(z) son puntos fijosatractores o superatractores de M y que p(z) tiene al menos 3raıces distintas. Entonces F(M) tiene una cantidad infinita decomponentes.


La reciproca del corolario anterior no es verdadera, por ejemplo, siconsideramos el metodo de Chebyshev

Chebyf (z) = z − uf (z)

(1 +

1

2Lf (z)

). (21)

aplicado al polinomio cuadratico p(z) = z2 − 1, el conjunto deFatou tiene infinitas componentes


Algoritmos generalmente convergentes: limitacionalgoritmica de iteraciones

Veremos algunas limitaciones que tienen los algoritmos iterativospara aproximar raıces de polinomios en el plano complejo, enparticular no referimos al importante resultado de C. McMullen,1985, ([30]), en esta parte de la teorıa.

Comenzamos con la siguiente definicion.

Definicion

Dado un polinomio p(z) de grado d > 2. Una funcion racionalTp(z), de grado k(d), definida en terminos de z, p(z) y susderivadas es llamada una funcion de iteracion para tal polinomo si,cada raız de p(z) es un punto fijo (super)atractor de Tp(z). Si estapropiedad vale para todo polinomio p(z) de grado d, decimos quela funcion racional T definida por T (p(z)) = Tp(z) es un algoritmopuramente iterativo .


Algoritmos generalmente convergentes: limitacionalgoritmica de iteraciones

Veremos algunas limitaciones que tienen los algoritmos iterativospara aproximar raıces de polinomios en el plano complejo, enparticular no referimos al importante resultado de C. McMullen,1985, ([30]), en esta parte de la teorıa.Comenzamos con la siguiente definicion.

Definicion

Dado un polinomio p(z) de grado d > 2. Una funcion racionalTp(z), de grado k(d), definida en terminos de z, p(z) y susderivadas es llamada una funcion de iteracion para tal polinomo si,cada raız de p(z) es un punto fijo (super)atractor de Tp(z). Si estapropiedad vale para todo polinomio p(z) de grado d, decimos quela funcion racional T definida por T (p(z)) = Tp(z) es un algoritmopuramente iterativo .


Por ejemplo, el metodo de Newton

N : p(z)→ Np(z) = z − p(z)

p′(z)

es un algoritmo puramente iterativo.Una pregunta inmediata es ¿Cuan bueno es un metodo iterativopara aproximar las raıces de un polinomio?, o mas especificamente¿El metodo iterativo en cuestion converge para casi toda condicioninicial? Esto nos lleva a la siguiente definicion.

Definicion

Dado un polinimio p(z). Decimos que una funcion de iteracionTp(z) es generalmente convergente si, para casi todo z ∈ C susiteraciones por Tp convergen a una raız de p(z).


Por ejemplo, el metodo de Newton no es generalmenteconvergente. Por ejemplo, el metodo de Newton aplicado alpolinomio (Smale [48]) p(z) = z3 − 2z + 2 tiene un 2–ciclosuperatractor α = {0, 1}. Por continuidad, si q(z) es un polinomioproximo a p(z), entonces Nq tiene un 2–ciclo atractor proximo al2–ciclo α = {0, 1}. Ejemplo de Barna (1956),p(z) = 3z5 − 10z3 + 23z para el cual el metodo de Newton tiene elciclo superatractor α = {−1, 1}.

Metodo de Newton aplicado a p(z) = z3 − 2z + 2 Metodo de Newton aplicado a p(z) = 3z5 − 10z3 + 23z


El siguiente teorema fue probado por Barna para el caso especialde polinomios con todas sus raıces reales.

Teorema

(Barna, 1956) Sea p(z) un polinomio de grado mayor o igual que4, con todos sus raıces reales y sus puntos de inflexion contenidosen las cuencas de atraccion inmediatas de las raıces ξ1 , . . . , ξd dep(z). Entonces, excepto por un conjunto de Cantor C de numerosreales, cada numero real converge por iteraciones por Np a unaraız de p(z).


Para el metodo de Newton aplicado a un polinomio cubico, estepuede fallar debido a la existencia de un ciclo atractor. Como yaindicamos el metodo de Newton aplicado a polinomios no puedetener anillos de Herman, pues su conjunto de Julia es conexo, yconsecuentemente toda componente de Fatou es simplementeconexa. La aparicion de discos de Siegel para metodos iterativos,en especial para el metodo de Newton, es consecuencia de unresultado de McMullen (1897) y (1988).

Teorema

(Limitaciones algoritmicas, McMullen (1987)[30])No existenalgoritmos puramente iterativos generalmente convergentes pararesolver polinomios de grado mayor o igual que cuatro.


Una pregunta que surge de inmediato es ¿Como puede fallar unafuncion de iteracion para aproximar raıces para dejar de sergeneralmente convergente? Sabemos que la existencia de ciclosatractores nos lleva a una explicacion de la pregunta anterior,notemos que la existencia de un ciclo atractor para un elementop ∈ Polyd, conjunto de polinomios de grado d, implica laexistencia de una vecindad abierta Np de p en Polyd, de modo quecada q ∈ Np falla a converger por la existencia de un ciclo atractordel mismo largo que el de p, pero ¿Es esta la unica forma de queuna funcion de iteracion deje de ser generalmente convergente?,imaginemos que para una funcion de iteracion cuando es aplicadoa un polinomio, el conjunto de Julia obtenido tiene medida positiva(ya sabemos que no puede tener puntos interiores), entonces talfuncion de iteracion fallarıa a converger sobre un conjunto demedida positiva.


Lo anterior no implica que lo mismo ocurra para polinomiosproximos. Para ver la existencia de discos de Siegel, argumentamoscomo sigue. Si {Tλ}λ es una familia de funciones racionales conun ciclo que cambia de repulsor a atractor cuando λ varia,entonces este ciclo debe contener el centro de Siegel para algunvalor del parametro λ.


Teorema

El metodo de Newton no es generalmente convergente.

De hecho, tenemos el siguiente resultado

Teorema

Para cada d > 3, el metodo de Newton no es generalmenteconvergente para el polinomio

p(z) = zd − (d− 1)z + d− 1. (22)


Metodo de Newton para p(z) = z4 − 3z + 3


El teorema anterior nos permite construir polinomios p(z), demodo que el metodo de Newton asociado Np(z) tiene a α = {0, 1}como un 2–ciclo superatractor, pero la pregunta natural es sipodemos construir polinomios para los cuales el metodo deNewton asociado tenga un ciclo atractor, indiferente parabolico, undisco de Siegel o un punto de Cremer.


Consideremos un polinomio p(z) = z3 + a2z2 + a1z + a0 de grado

3, e impongamos las condiciones

(1) Np(0) = 1

(2) Np(1) = 0

(3) N ′p(0)N ′p(1) = λ, con λ ∈ C.

Teorema

Sea λ ∈ C− {4}. Entonces el polinomio

p(z) = z3 + (α− 2)z2 − αz + α

con α = α = 12

(1±

√1 + 32

4−λ

), satisface que {0, 1} es un

2–ciclo para Np(z), con multplicador (N◦2p )′(0) = λ.


Teorema

Una funcion de iteracion Tp(z) asociada a un polinomio p(z) esgeneralmente convergente si y solo si el conjunto de Julia J (Tp)tiene medida de Lebesgue cero y para todo z ∈ F(Tp) se tiene queorb+(z) converge a una raız de p(z).

En particular, esto significa que no existen ciclos de componentesde Fatou de largo mayor o igual que dos, ya sean (super)atractores,parabolicos, discos de Siegel o anillos de Herman.


Definicion

Decimos que un punto crıtico c de una funcion racional R espreperiodico si existe un menor entero positivo algun n > 1, talque R◦n(c) esta sobre un p–ciclo. Cuando p = 1, decimos que c esprefijo.

Lo anterior significa que n es el primer entero positivo, tal quec ∈ R◦−n(z0), donde z0 es un punto sobre un p–ciclo.

Teorema

(McMullen, 2004) Sea R una funcion racional. Supongamos queR tiene al menos un ciclo atractor. Si todos los puntos crıticos deR estan en cuencas de atraccion de atractores o son preperiodicos,entonces J (R) tiene medida del Lebesgue cero. Ademas, paratodo z /∈ J (R) se tiene que sus iterados por R convergen a unciclo atractor.


De esto deducimos el siguiente resultado

Teorema

Una funcion de iteracion Tp(z) asociada a un polinomiop p(z) esgeneralmente convergente si sus puntos crıticos son preperiodicos oconvergen a una raız de p(z).

Corolario

Sea Np(z) el metodo de Newton asociado a un polinomio p(z). Silas raıces de p′′(z) son preperiodicos o convergen a una raız dep(z), entonces Np es generalmente convergente.


Del teorema 31 y dado que sabemos que el metodo de Newton noes generalmente convergente para polinomios de grado 3, nospodemos preguntar si existe algun algoritmo generalmenteconvergente para polinomios de grado 3. El propio McMullenpropone un tal algoritmos, el cual es dado como sigue. Sea p(z) unpolinomio cubico, modulo un cambio de coordenada podemossuponer que tiene la forma p(z) = z3 + az + b, entonces elsiguiente algoritmo es generalmente convergente

Mp(z) = z − p(z)(3az2 + 9bz − a2)3az4 + 18bz3 − 6a2z2 − 6abz − 9b2 − a3

(23)

que resulta de aplicar el metodo de Newton a la funcion racionalq(z) = p(z)

3az2+9bz−a2 , es generalmente convergente, de hecho essuperconvergente, esto significa que los puntos crıticos de lafuncion de iteracion coinciden con las raıces del polinomio.


El siguiente resultado nos muestra que aun cuando el metodo deNewton no es generalmente convergente, podemos controlar lospuntos iniciales de modo a que siempre tengamos convergencia auna raız. Comenzamos introduciendo la siguiente notacion. Sea Pdel espacio de polinomios de grado d, normalizados de modo quetodas sus raıces esten en el disco abierto unitario D en el planocomplejo.

Teorema

(Hubbard, Schleicher, Sutherland, 2001) Para cada d > 2, existeun conjunto Sd consistiendo de a lo mas 1.11 d log(d)2 puntos enC, con la propiedad que para cada polinomio p ∈ Pd y cada una desus raıces, existe un punto s ∈ Sd en la cuenca de atraccion de laraız elegida. Para polinomios cuyas raıces son todas reales, existeun conjunto analogo S con a lo mas 1.3 d puntos.


Conjunto Sd Metodo de Newton aplicado a p(z) = z3 − 1


Note que el teorema anterior no hace que el metodo de Newtonsea de hecho un algoritmo, pues fijada una raız ξ de un polinomiop ∈ Pd y un error (tolerancia) ε > 0, no se tiene cotas sobre elnumero de iterados que debemos calcular para obtener|ξ − zn| < ε, donde z0 ∈ Sd lo escogemos en la cuenca deatraccion de ξ. Este problema fue resuelto por Schleicher en [46].


Teorema

(Schleicher, 2008, [46], Conjunto de condiciones inicialeseficientes) Dado ε > 0. Para cada grado d, existe un conjuntofinito de condiciones iniciales Sd ⊂ C conteniendo cd(log(d))2

puntos con la siguiente propiedad: suponga que p ∈ Pd. Entoncespara cada raız ξ de p(z), para al menos un punto z ∈ Sd lasiteraciones N◦np (z) convergen a ξ, y el numero de iteracionesrequerido, Mε de modo que

|N◦Mεp (z)− ξ| < ε

depende polinomialmente de d con exponente bajo. El conjunto Sdpuede ser especıficado explicitamente.


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Dinámica del Método de Newton - Inicio · el proceso comom etodo de Newton-Raphson. Sergio Plaza...

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