5 La Diferencial.-

Denicion 28 Sea F : A Rn ! Rm; X 7! F (X), una funcion den variables y a valores vectoriales, denida en un conjunto abierto A y seaX0 2 A: Se dice que F es diferenciable en X0 cuando existe una aplicacionlinealL : Rn ! Rm; H 7! L(H) tal que:

limH!

F (X0+H) F (X0) L(H)kHk = (vector nulo) (4)

Si en la condicion 4 se reemplaza H =X X0 se obtiene:

limX!X0

F (X) F (X0) L(X X0)kX X0k = (5)

Mirando esta ultima condicion podemos tomar la aplicacion

G(X) = (F (X0) L(X0)) +L(X) (6)que es la suma de un vector constante mas una aplicacion lineal (se llamaaplicacion afin), y escribir

limX!X0

F (X)G(X)kX X0k

= (7)

La condicion 7 se expresa diciendo que la funcion denida en 6 es unabuena aproximacion de la funcion f en una vecindad del punto X0. Ellimite 7 puede entenderse en el sentido que la diferencia F (X)G(X) tiendea cero, mas rapidamente que kX X0k, cuando X ! X0.Por esto, cuando f es diferenciable en el punto X0; se tiene la aproxi-

macion

F (X) G(X) = F (X0) +L(X X0)valida para X proximo de X0.La aplicacion lineal L de 4 se llama La Diferencial de F en el punto X 0

y se denota DF (X0) = L.Observaciones.-

1. Se puede probar que existe a lo mas una aplicacion lineal satisfaciendo4.

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2. Cuando no existe una L lineal que cumpla 4, se dice que F no esdiferenciable en el punto X0:

3. En el caso particular que F sea una aplicacion lineal, es inmediatovericar que L = F verica la condicion 4 de la denicion. O sea,DF (X0) = F , en cualquier punto X0.

4. Tambien, cuando F es una aplicacion afin, es decir F (X ) = B +L(X)(un vector constante mas una aplicacion lineal) se tiene que DF (X0) =L, en cualquier punto X0.

Tomemos una F diferenciable en X0 y considere el j-esimo vector e^j de labase canonica de Rn: Podemos restringir el limite de la condicion 4 al caminodeterminado por el eje xj (h 7! h e^j) y obtener

limh!0

F (X0 + h e^j) F (X0) L(h e^j)kh e^jk =

lo que lleva facilmente a:

L(e^j) = limh!0

F (X0 + h e^j) F (X0)h

Ahora si consideramos que F = (f1; f2; :::; fm) esta determinada por susfunciones componentes, lo mismo que L = (L1; L2; :::; Lm); la formula ante-rior da

Li(e^j) = limh!0

fi(X0 + h e^j) fi(X0)h

=@fi@xj

(X0)

Esto muestra que, con respecto a las bases canonicas en el dominio ycodominio, la matriz de L esta dada por:

JF (X0) =

0BBBBBBB@

@f1@x1

(X0)@f1@x2

(X0) ::: :::@f1@xn

(X0)

@f2@x1

(X0)@f2@x2

(X0) ::: :::@f2@xn

(X0)

::: ::: ::: ::: :::@fm@x1

(X0)@fm@x2

(X0) ::: :::@fm@xn

(X0)

1CCCCCCCAllamada matriz jacobiana de f en el punto X 0:

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Caso particular.- n=2 y m=1.Para f : A R2 ! R; (x; y) 7! f(x; y). diferenciable en (x0; y0) se tiene:

Jf(x0; y0) =

@f

@x(x0; y0)

@f

@y(x0; y0)

h

Df (x0; y0)(h; k) =@f

@x(x0; y0) h+ @f

@y(x0; y0) k

La buena aproximacion de f en una vecindad de (x0; y0) es

g(x; y) = f (x0; y0) +@f

@x(x0; y0) (x x0) + @f

@y(x0; y0) (y y0)

cuyo graco z = g(x; y) corresponde a un plano que pasa por el punto(x0; y0; f(x0; y0)). Precisamente la condicion 4 que dene diferenciabilidadde f en (x0; y0) hace que este plano sea tangente a la supercie graco de fen el punto (x0; y0; f(x0; y0)).

Ejemplo 29 Estudie la diferenciabilidad en (0; 0) de las funciones

f(x; y) =

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F (X0)L(XX0)+L(XX0): Luego, kF (X) F (X0)k kF (X ) F (X0) L(X X0)k+kL(X ) L(X0)k(5) implica que lim

X!X0kF (X) F (X0) L(X X0)k = 0 y por lo tanto

limX!X0

F (X) = F (X0)

En forma practica el Teorema se usa aplicando su contrareciproco: F nocontinua en X0 ) F no diferenciable en X0:

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