Díez, Falguera & Lorenzano (Eds)-Estructuralismo Metateórico

MetatheoriaRevista de Filosofía e Historia de la Ciencia Journal of Philosophy and History of Science Revista de Filosofia e História da Ciência

EDUNTREF

Volumen 1, Número 2 abril 2011issN 1853-2322

Introducción |

Metatheoria Revista de Filosofía e Historia de la Ciencia

Journal of Philosophy and History of ScienceRevista de Filosofia e História da Ciência

Volumen 1, Número 2, Abril 2011

EDUNTREFEditorial dE la univErsidad nacional dE trEs dE fEbrEro

| Metatheoria

Metatheoria | Revista de Filosofía e Historia de la Ciencia | Journal of Philosophy and History of Science | Revista de Filosofia e História da Ciência

Editores | Editors-in-Chief | Editores César Lorenzano (Universidad Nacional de Tres de Febrero) y Pablo Lorenzano (Universidad Nacional de Quilmes/CONICET)

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Comité Asesor | Advisory Editorial Board | Comitê AssessorEvandro Agazzi (University of Genoa - Italia)Nancy Cartwright (London School of Economics & University of California in San Diego - Reino Unido & Estados Unidos)Newton da Costa (Universidade Federal de Santa Catarina - Brasil)Javier Echeverría (Consejo Superior de Investigaciones Científicas - España)Steven French (University of Leeds - Reino Unido)Jean Gayon (Université Paris - Francia)Larry Laudan (Universidad Nacional Autónoma de México - México)Rachel Laudan (Investigadora Independiente)C. Ulises Moulines (Ludwig-Maximilians-Universität München - Alemania)León Olivé (Universidad Nacional Autónoma de México - México)Eduardo L. Ortiz (Imperial College - Reino Unido)Michel Paty (Centre National de la Recherche Scientifique & Université Paris 7 - Francia)Roberto Torretti (Universidad de Puerto Rico - Puerto Rico)Hans-Jörg Rheinberger (Max-Planck Institut für Wissenschaftsgeschichte - Alemania)Merrilee Salmon (University of Pittsburgh - Estados Unidos)Joseph D. Sneed (Colorado School of Mines - Estados Unidos)Bas van Fraassen (San Francisco State University - Estados Unidos)

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ISSN 1853-2322© Copyright by Editorial de la Universidad Nacional de Tres de Febrero. Registro de la propiedad intelectual en trámite.

Introducción |

Volumen temático: Estructuralismo metateórico | Thematic Volume: Metatheoretical Structuralism | Volume Tematico: Estruturalismo metateórico

Introducción | Introduction | Introdução

José A. Díez, José L. Falguera, Pablo Lorenzano ................................................................. 1

Artículos | Articles | Artigos Primera Parte

C. Ulises Moulines, Cuatro tipos de desarrollo teórico en las ciencias empíricas ........... 11

Adolfo García de la Sienra, Estructuras, sistemas modelo y aplicabilidad empírica......... 29

José L. Falguera, Consideraciones de índole ontoepistemosemántica ............................ 39

Xavier de Donato Rodríguez, Idealization within a Structuralist Perspective .................. 65

Segunda Parte

Joseph D. Sneed, Prolegomena to a Structuralist Reconstruction of Quantum Mechanics ..................................................................................................93

María Caamaño, Conmensurabilidad empírica entre teorías inconmensurables: el caso del flogisto .....................................................131

Andoni Ibarra y Jon Larrañaga, De las redes teóricas a las constelaciones de elementos teóricos: las prácticas científicas en la Ecología de Poblaciones ............167

Luis M. Peris-Viñé, Actual Models of the Chomsky Grammar .....................................195

Reseñas bibliográficas | Book Reviews | Resenhas bibliográficas

George Reisch, Cómo la guerra fría transformó la filosofía de la ciencia. Hacia las heladas laderas de la lógica / Álvaro Peláez ...................................................229

George Reisch, Cómo la guerra fría transformó la filosofía de la ciencia. Hacia las heladas laderas de la lógica / Ambrosio Velasco Gómez .................................235

Índice | Index | Índice

| Metatheoria

Introducción |

Editorial

Metatheoria publica artículos en el ámbito de la “Filosofía de la Ciencia”, entendida en senti-do amplio, que incluye no solo enfoques “sistemáticos”, “sincrónicos” o aun “formales”, sino también “históricos” y “diacrónicos”, en el sentido de “Epistemología Histórica” o “Historia de la Ciencia escrita con mirada filosófica”, que aporten a profundizar nuestra comprensión de la ciencia. Esta publicación es de interés para investigadores en filosofía e historia de la ciencia, así como para científicos e individuos dedicados a la enseñanza y comunicación pú-blica de la ciencia y ciudadanos, gestores y políticos que hacen uso de la ciencia. Metatheoria se publica dos veces por año (abril y octubre). Sus idiomas oficiales son el castellano, el inglés y el portugués. La revista cuenta con Consejo Editorial y Comité Asesor internacionales. Los trabajos son sometidos a evaluación conocida como “referato doble ciego”.

Metatheoria publishes manuscripts in the field of philosophy of science–including not only systematic, synchronic, and formal philosophy of science, but also historical, diachronic ap-proaches to the field as well as historical epistemology, and history of science from a philo-sophical point of view that contribute to deepen our understanding of Science. This publica-tion is of interest for researchers in philosophy and history of science, and also for scientists and individuals involved in science education and public communication, in addition to lay people and politicians that use science. Metatheoria is published twice a year (April and Octo-ber). Its official laguages are Spanish, English, and Portuguese. The journal has international Editorial Board and Advisory Editorial Board. Manuscripts are peer reviewed in a double-blind review process.

Metatheoria publica trabalhos no âmbito da “Filosofia da Ciência”, entendida no sentido amplo, que inclui não só enfoques “sistemáticos”, “sincrônicos” ou ainda “formais”, senão também “históricos” e “diacrônicos”, no sentido de “epistemologia histórica” ou “história da ciência escrita com olhar filosófico”, que colaborem para aprofundar nosso entendimento da ciência. Esta publicação é de interesse para pesquisadores em filosofia e história da ciência, assim como para cientistas e aqueles que se dedicam ao ensino, a comunicação pública da ciência e cidadãos, gestores e políticos que fazem uso da ciência. Metatheoria tem dois nú-meros por ano (abril e outubro). Seus idiomas oficiais são o espanhol, o inglês e o português. A revista conta com Conselho Editorial e Comitê Assessor internacionais. Os trabalhos são submetidos a avaliação conhecida como “avaliação dupla cega”.

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Introducción | 1

Introducción

En este año se cumplen cuarenta años de la publicación de la primera edición del libro de Joseph D. Sneed, The Logical Structure of Mathematical Physics (Dordrecht: Reidel, 1971, 2a ed. revisada 1979). Con ella nace la metateoría que primero se llamaría, sencillamen-te, “sneedismo”, luego “concepción no-enunciativa”, y finalmente pasó a denominarse “concepción estructuralista (o estructural) de las teorías”, “metateoría estructuralista (o estructural)”, simplemente “estructuralismo” o –para distinguirlo de otros tipos de estruc-turalismos– “estructuralismo metacientífico” o “estructuralismo metateórico” (aunque, últimamente, en ámbitos anglosajones, se suela referirse a esta metateoría también con la denominación de “estructuralismo alemán” o “escuela estructuralista alemana”).

Si bien gran parte del aparato de análisis es original, en el surgimiento y desarrollo del estructuralismo han influido las escuelas metacientíficas anteriores: la filosofía clásica de la ciencia, especialmente Carnap; los llamados en su día nuevos filósofos de la ciencia, principalmente Kuhn y en menor medida Lakatos; y la escuela modeloteórica de Suppes. De los filósofos clásicos hereda su confianza en los métodos e instrumentos formales como medio de análisis de una parte importante de la actividad científica y de los resultados o productos de dicha actividad, adoptando la virtud carnapiana de la claridad y precisión conceptuales y utilizando todos los instrumentos lógico-matemáticos que pueden contri-buir a ello (por ejemplo, además del instrumento favorito de la filosofía clásica –la lógica de predicados de primer orden–, la teoría de modelos, la teoría de conjuntos, la topología o la teoría de categorías). De los historicistas asume que las teorías no son un conjunto de enunciados o axiomas, sino que son entidades dúctiles y sujetas a evolución histórica tan-to intrateórica como interteórica, por lo que un análisis de la estructura de las teorías solo podrá considerarse adecuado si presenta a estas como entidades susceptibles de evolución; también aceptan algunas ideas específicas importantes, como la contenida en la noción kuhniana de paradigma-matriz disciplinar, según la cual para la identidad de las teorías son esenciales tanto las leyes (esquemas de ley o generalizaciones simbólicas) como las aplicacio-nes (o ejemplares). De la escuela de Suppes recoge la tesis semanticista básica (compartida por los demás miembros de la familia semanticista, a la que también pertenecen Bas van Fraassen, Frederick Suppe, Ronald N. Giere, Maria Luisa Dalla Chiara, Marian Przelecki, Ryszard Wójcicki, Günther Ludwig, Newton da Costa y Steven French, entre otros) de que es metateóricamente más adecuado e iluminador identificar las teorías mediante sus modelos que mediante sus afirmaciones o axiomas; así como la predilección, no com-partida por todos los semanticistas, por la teoría de conjuntos como instrumento formal con el que desarrollar el análisis. Podríamos decir que dichos elementos, presentes en las mencionadas escuelas metacientíficas anteriores, los reencontramos en el estructuralismo metateórico, pero bajo una suerte de “Aufhebung” de corte hegeliano.

José A. Díez / José Luis Falguera / Pablo Lorenzano

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Por otro lado, la concepción estructuralista es, dentro de la familia de concepciones semánticas, la que ofrece un análisis más detallado de la estructura fina de las teorías, tanto desde un punto de vista sincrónico como diacrónico, a través tanto del tratamiento de una mayor cantidad de elementos como de una mejora en el de los previamente identi-ficados. Además, la concepción estructuralista es, dentro de la familia semanticista, la que más atención ha dedicado al análisis y la reconstrucción de teorías científicas particulares y la que mayores frutos ha dado en la clarificación de los problemas conceptuales y en la explicitación de los supuestos fundamentales de teorías científicas concretas. En palabras de Nancy Cartwright, quien resume las dos ventajas relativas de la metateoría estructuralista respecto de otras propuestas semánticas: “Los estructuralistas alemanes indudablemente ofrecen el tratamiento más satisfactoriamente detallado y bien ilustrado de la estructura de las teorías científicas disponible” (Cartwright, N., “Reply to Ulrich Gähde”, en Bovens, L., Hoefer, C. y S. Hartmann (eds.), Nancy Cartwright’s Philosophy of Science, New York: Routledge, 2008, p. 65).

Este volumen temático se estructura en dos partes. Cada una de ellas contiene tra-bajos que acentúan o bien una o bien otra de las dos características distintivas –estre-chamente vinculadas, como se puede apreciar en las contribuciones– del estructuralismo metateórico mencionadas: ofrecer un instrumental conceptual de análisis diferenciado de la estructura (sincrónica y diacrónica) de las teorías y aplicar sus conceptos al análisis de las más diversas teorías de las ciencias empíricas.

La primera parte de este volumen temático inicia con el artículo “Cuatro tipos de desarrollo teórico en las ciencias empíricas”, de uno de los principales representantes del estructuralismo metateórico, C. Ulises Moulines. En él, Moulines distingue cuatro tipos fundamentales de estructuras diacrónicas en la ciencia –cristalización, evolución teórica, incrustación y suplantación con inconmensurabilidad (parcial)– y propone una caracteri-zación formal de ellos en términos estructuralistas, a partir de las nociones de subestruc-tura parcial escalonada y de red teórica diacrónica. Asimismo, ejemplifica la cristalización con el caso de la termodinámica fenomenológica de Clausius, mientras que la evolución teórica la ejemplifica con los casos de la mecánica newtoniana y de la termodinámica gibbsiana.

En “Estructuras, sistemas modelo y aplicabilidad empírica”, Adolfo García de la Sienra, a partir de la distinción propuesta por Frigg entre sistemas modelo y estructuras conjuntistas, y reconociendo que los sistemas modelo son una parte importante del apa-rato de las ciencias empíricas, intenta aclarar de qué manera se utilizan las estructuras conjuntistas para hacer aserciones empíricas acerca de sistemas objetivo reales y cuál es el papel que juegan en ello los sistemas modelo y las estructuras de datos.

José L. Falguera, en “Consideraciones de índole ontoepistemosemántica”, analiza las implicaciones que posee la propuesta de ontoepistemosemántica que defiende Moulines para el tratamiento estructuralista de ciertos aspectos de la ciencia, tales como modelos, leyes, modelos de datos, y plantea una manera de superar las limitaciones de la propuesta de Moulines en su aplicación a los términos científicos.

En “Idealization within a Structuralist Perspective”, Xavier de Donato Rodríguez se propone brindar una reconstrucción, en términos estructuralistas, de la concepción de la idealización de Leszek Nowak, que aventaje a los otros intentos realizados desde el estruc-turalismo de proporcionar tal reconstrucción.

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La segunda parte de este volumen comienza con un artículo del iniciador del estruc-turalismo metateórico, Joseph D. Sneed, denominado “Prolegomena to a Structuralist Re-construction of Quantum Mechanics”. En él se proporciona un “esquema de reconstruc-ción” estructuralista de una teoría idealizada, abstracta, QM. Dicha teoría, si bien posee algunas características esenciales de la mecánica cuántica, posee un elemento teórico básico que debería ser considerado más una especialización de la teoría de la probabilidad que una teoría física. Sin embargo, se señala que podrían introducirse características esencialmente físicas y de mecánica cuántica en el nivel de las especializaciones del elemento teórico bási-co de la teoría ideal, abstracta, QM, mostrando así el camino a desarrollos futuros.

María Caamaño, en su trabajo “Conmensurabilidad empírica entre teorías incon-mensurables: el caso del flogisto”, analiza estructuralmente un caso histórico de teorías in-conmensurables –el que conforman las teorías del flogisto y del oxígeno– de modo tal de llegar a precisar formalmente y dar soporte empírico a la noción de inconmensurabilidad. En él se reconstruyen estructuralmente las teorías mencionadas y, luego de precisar las no-ciones de reducción ontológica débil y de inconmensurabilidad, se muestra que estas son las relaciones interteóricas que se dan entre las teorías del flogisto y del oxígeno.

En “De las redes teóricas a las constelaciones de elementos teóricos: las prácticas científicas en la Ecología de Poblaciones”, Andoni Ibarra y Jon Larrañaga proponen la noción de “constelación teórica” para dar cuenta de prácticas científicas, del tipo identifi-cado en la Ecología de Poblaciones, de integración, en una misma unidad epistémica, de elementos teóricos de redes distintas.

Por último, Luis M. Peris-Viñé, en su artículo “Actual Models of the Chomsky Grammar”, propone un modo de solucionar algunas inadecuaciones en la exposición y en la concepción propia de la gramática de Chomsky, CHG, expuesta en The Logical Structure of Linguistic Theory, a partir de la identificación de los modelos potenciales y los modelos actuales de esa teoría.

IntroductionThis year is the fortieth anniversary of the publication of the first edition of Joseph D. Sneed’s The Logical Structure of Mathematical Physics (Dordrecht: Reidel, 1971, 2nd revised ed. 1979). This work marks the birth of the metatheoretical approach, initially labelled simply ‘Sneedian’, later the ‘Non-Statement View’ and nowadays the ‘Structuralist View of Theories’, ‘Structuralism’ or, in order to distinguish it from other structuralisms, ‘Meta-Scientific Structuralism’ (although in some Anglo-Saxon circles it is also common to refer to it as ‘German Structuralism’ or ‘German Structuralist School’).

Although a great part of the structuralist framework is original, some previous meta-scientific approaches have influenced its development in different ways: the classical phi-losophy of science, and specially Carnap; the so-called new philosophers of science, prin-cipally Kuhn and, to a lesser extent, Lakatos; and Suppes’ model-theoretic school. From the Received-View it inherits its confidence in formal analyses of a large part of scientific practice and products thereof, together with the Carnapian virtues of conceptual clarity and rigour, and the use of any logic-mathematical tool that may contribute to the formal analysis (e.g. in addition to classical philosophy’s favourite tool–first order predicative

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logic–, model-theory, set-theory, topology and category-theory). From the historicist phi-losophers, structuralism incorporates the idea that scientific theories are not “frozen” sets of statements or axioms but more complex and ductile entities with essential historical features, both intra- and inter-theoretical, and, consequently, that for an analysis of the structure of theories to be adequate, it must characterize scientific theories as essentially historical entities; structuralism also accepts some specific proposals, mainly the Kuhnian notion of paradigm/disciplinary matrix according to which the identity of the theory is constituted both by its laws (law-schemata or symbolic generalizations) and its exemplars or specific phenomena to which the theory applies. Regarding Suppes’ school, structuralism assumes the fundamental semanticist thesis (shared by the other members of the seman-ticist family, such as Bas van Fraassen, Frederick Suppe, Ronald N. Giere, Maria Luisa Dalla Chiara, Marian Przełecki, Ryszard Wójcicki, Günther Ludwig, Newton da Costa and Steven French) according to which it is more suitable for theories to be identified through their models than with a set of axioms, and also the preference (not shared by other members of the family) for set-theory as the formal tool for metatheoretical analysis. All these elements, which were already present in the previous approaches, are incorpo-rated into the structuralist framework, but by a kind of Hegelian “Aufhebung”.

Among the semanticist approaches, structuralism is the one that provides the most detailed analysis of the structure of theories, of both their synchronic and diachronic components. Structuralism is also the semanticist approach that has analyzed and re-constructed a greater number of particular theories, their structure and their conceptual grounds. In Nancy Cartwright’s words, emphasizing two advantages compared with other semanticist approaches: “The German structuralists undoubtedly offer the most satisfac-tory detailed and well illustrated account of the structure of scientific theories on offer” (Cartwright, N., “Reply to Ulrich Gähde”, in Bovens, L., Hoefer, C. and S. Hartmann (eds.), Nancy Cartwright’s Philosophy of Science, New York: Routledge, 2008, p. 65).

This special issue is divided in two parts, each one of which including contributions that emphasize either one or the other of the aforementioned distinctive features of the approach: the general framework for a conceptual analysis of the structure of theories, and its application to a diversity of specific case studies in empirical sciences.

Part One opens with “Four Types of Theoretical Development in Empirical Scien-ces” authored by C. Ulises Moulines, who is one of the main proponents of the school. Here Moulines distinguishes between four fundamental types of diachronic phenomena in science–crystallization, theory-evolution, embedding, and replacement with (partial) incom-mensurability–and proposes a formal characterization within the structuralist framework using the notions of a partial substructure as an echelon-set and of diachronic theory net. He exemplifies crystallization with Clausius’ phenomenological thermodynamics as a case study, and theory evolution with Newtonian mechanics and Gibbsian thermodynamics.

In “Structures, Model Systems, and Empirical Applicability”, Adolfo García de la Sienra discusses Frigg’s distinction between model system and set-theoretic structure, the role that model systems play in empirical science, and he systematizes different uses of set-theoretic structures in empirical claims about real object systems, and the role played by model systems and data structures.

José L. Falguera, in “Considerations of An Ontoepistemicsemantical Kind”, analyses Moulines’ ontoepistemicsemantic proposal for the intensional aspects of theories and its

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implications for different components of the structuralist analysis; i.e. models, theoretical terms, laws and data structures, and sketches a modification of Moulines’ proposal aimed at solving some of the problems regarding theoretical terms.

In “Idealization within a Structuralist Perspective”, Xavier de Donato Rodríguez ap-proaches Leszek Nowak’s notion of idealization from a structuralist viewpoint, improving on previous structuralist analysis of idealization in science.

Part Two opens with the paper “Prolegomena to a Structuralist Reconstruction of Quantum Mechanics”, by Joseph D. Sneed, the founder of the structuralist program. Here Sneed presents a sketch of a structuralist reconstruction of an abstract, idealized theory, QM. This theory shares some of the essential features of quantum mechanics, but its basic theory-element should be considered as a specialization of a formal theory of probability rather than a physical theory. Nevertheless, one could introduce specific physical features characteristic of the quantum realm at the level of the specializations of the abstract theory QM obtaining a more physically interpretable theory.

In “Empirical Commensurability Between Incommensurable Theories: The Phlo-giston Case”, María Caamaño analyses a historical case of incommensurable theories: the theories of phlogiston and oxygen. After reconstructing the structure of the theories involved, she introduces the notions of weak ontological reduction and incommensura-bility and applies them to the oxygen-phlogiston case study.

In “From Theory-Nets to Constellations of Theory-Elements: Scientific Practices in Population Ecology”, Andoni Ibarra and Jon Larrañaga introduce the new concept of ‘constellation’ of theory-elements in order to account for certain traits of scientific prac-tices, based on their analysis of such practices in the field of population ecology.

This volume closes with “Actual Models of the Chomsky Grammar”, by Luis M. Peris-Viñé, who proposes a new way of dealing with some conceptual and expository insuf-ficiencies in the way Chomsky presents his grammar, CHG, in The Logical Structure of Lin-guistic Theory, through the identification of the potential and actual models of this theory.

IntroduçãoNeste ano se cumprem quarenta anos da publicação da primeira edição do livro de Joseph D. Sneed, The Logical Structure of Mathematical Physics (Dordrecht: Reidel, 1971, 2ª ed. revisada 1979). Com ela nasce a metateoria que primeiro se chamaria, simplesmente, “sneedismo”, logo “concepção não-enunciativa”, para finalmente passar a denominar-se “concepção es-truturalista (ou estrutural) das teorias”, “metateoria estruturalista” (“ou estrutural”), sim-plesmente “estruturalismo” ou – para distinguir-lo de outros tipos de estruturalismos, “es-truturalismo metacientífico” ou “estruturalismo metateórico” (ainda que, ultimamente, em âmbitos anglo-saxões, se costume referir-se a esta metateoria também com a denominação de “estruturalismo alemão” ou “escola estruturalista alemã”).

Se bem grande parte do aparato de análise é original, no surgimento e desenvolvimen-to do estruturalismo influenciaram as escolas metacientíficas anteriores: a filosofia clássica da ciência, especialmente Carnap; os chamados em seus dias novos filósofos da ciência, prin-cipalmente Kuhn e em menor medida Lakatos; e a escola modelo-teórica de Suppes. Dos

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filósofos clássicos herda sua confiança nos métodos e instrumentos formais como meio de análise de uma parte importante da atividade científica e dos resultados ou produtos desta atividade, adotando a virtude carnapiana da claridade e precisão conceitual e utilizando os instrumentos lógico-matemáticos que podem contribuir com esta virtude (por exemplo, além do instrumento favorito da filosofia clássica –a lógica de primeira ordem–, da teoria de modelos, a teoria de conjuntos, a topologia ou a teoria de categorias). Dos historicistas assume que as teorias não são um conjunto de enunciados ou axiomas, mas que são en-tidades dúcteis e sujeitas a evolução histórica tanto intra-teórica como inter-teórica, pelo que uma análise da estrutura das teorias só poderá considerar-se adequada se apresenta a estas como entidades suscetíveis de evolução; também aceitam algumas idéias específicas importantes, como a contida na noção kuhniana de paradigma-matriz disciplinar, segundo a qual para a identidade de uma teoria são essenciais tanto as leis (esquemas de lei ou gene-ralizações simbólicas) como as aplicações (ou exemplares). Da escola de Suppes recorre à tese semanticista básica (partilhada por demais membros da família semanticista, à que tam-bém pertencem Bas van Fraassen, Frederick Suppe, Ronald N. Giere, Maria Luisa Dalla Chiara, Marian Przełecki, Ryszard Wójcicki, Günther Ludwig, Newton da Costa e Steven French, entre outros) de que é metateoricamente mais adequado e iluminador identificar as teorias mediante seus modelos que mediante suas afirmações ou axiomas; assim como a predileção, não compartida por todos os semanticistas, pela teoria de conjuntos como instrumento formal com o qual desenvolver a análise. Poderíamos dizer que estes elemen-tos, presentes nas mencionadas escolas metacientíficas anteriores, os reencontramos no estruturalismo metateórico, mas sob uma sorte de “Aufhebung” de corte hegeliano.

Por outro lado, a concepção estruturalista é, dentro da família de concepções semân-ticas, a que oferece uma análise mais detalhada da estrutura fina das teorias, tanto desde um ponto de vista sincrônico, a través tanto do tratamento de uma maior quantidade de elementos como de uma melhora dos previamente identificados. Além disso, a concep-ção estruturalista é, dentro da família semanticista, a que mais atenção tem dedicada a análise e reconstrução de teorias científicas particulares e a que maiores frutos tem dado na clarificação dos problemas conceituais e na explicação dos pressupostos fundamentais de teorias científicas concretas. Nas palavras de Nancy Cartwright, quem resume as duas vantagens relativas da metateoria estruturalista a respeito de outras propostas semânticas: “Os estruturalistas alemães sem sombra de dúvida oferecem o tratamento mais satisfato-riamente detalhado e bem ilustrado da estrutura das teorias cientificas disponível” (Car-twright, “Reply to Ulrich Gähde”, in Bovens, L., Hoefer, C. e S. Hartmann (eds.), Nancy Cartwright’s Philosophy of Science, New York: Routledge, 2008, p. 65).

Este volume temático se estrutura em duas partes. Cada uma delas contém trabalhos que acentuam ou bem uma ou bem outra das duas características distintivas –estreitamen-te vinculadas, como se pode apreciar nas contribuições– do estruturalismo metateórico mencionadas: oferecer um instrumental conceitual de análise diferenciado da estrutura (sincrônica e diacrônica) das teorias e aplicar seus conceitos à análise das mais diversas teorias das ciências empíricas.

A primeira parte deste volume temático inicia com o artigo “Cuatro tipos de desar-rollo teórico en las ciencias empíricas”, de um dos principais representantes do estrutu-ralismo metateórico, C. Ulises Moulines. Nele, Moulines distingue quatro tipos funda-mentais de estruturas diacrônicas na ciência –cristalização, evolução teórica, incrustação

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e suplantação com incomensurabilidade (parcial)– e propõe uma caracterização formal delas em termos estruturalistas, a partir das noções de subestrutura parcial escalonada e de rede teórica diacrônica. Também, exemplifica a cristalização com o caso da termodinâ-mica fenomenológica de Clausius, enquanto que a evolução teórica a exemplifica com os casos da mecânica newtoniana e da termodinâmica gibbsiana.

Em “Estructuras, sistemas modelo y aplicabilidad empírica”, Adolfo García de la Sienra, a partir da distinção proposta por Frigg entre sistemas modelo e estruturas conjun-tistas, e reconhecendo que os sistemas modelo são uma parte importante do aparato das ciências empíricas, tenta aclarar de que maneira se utilizam as estruturas conjuntistas para fazer asserções empíricas acerca de sistemas objetivo reais e qual é o papel que desempe-nham nisto os sistemas modelo e as estruturas de dados.

José L. Falguera, em “Consideraciones de índole ontoepistemosemántica”, analisa as implicações que possui a proposta de ontoepistemosemântica que defende Moulines para o tratamento estruturalista de certos aspectos da ciência, tais como modelos, leis, modelos de dados, e propõe uma maneira de superar as limitações da proposta de Moulines em sua aplicação aos termos científicos.

Em “Idealization within a Structuralist Perspective”, Xavier de Donato Rodríguez propõe-se a apresentar uma reconstrução, em termos estruturalistas, da concepção de idea-lização de Leszek Nowak, que supere às outras tentativas realizadas desde o estruturalismo de proporcionar tal reconstrução.

A segunda parte deste volume começa com um artigo do precursor do estruturalis-mo metateórico, Joseph D. Sneed, denominado “Prolegomena to a Structuralist Recons-truction of Quantum Mechanics”. Nele se proporciona um “esquema de reconstrução” estruturalista de uma teoria idealizada, abstrata, QM. Esta teoria, se bem possui algumas características essenciais da mecânica quântica, possui um elemento teórico básico que de-veria ser considerado mais uma especialização da teoria da probabilidade que uma teoria física. Sem embargo, se indica que poderiam introduzir-se características essencialmente físicas e de mecânica quântica no nível das especializações do elemento teórico básico da teoria ideal, abstrata, QM, mostrando assim o caminho para desenvolvimentos futuros.

María Caamaño, em seu trabalho, “Conmensurabilidad empírica entre teorías in-conmensurables: el caso del flogisto”, analisa estruturalmente um caso histórico de teorias incomensuráveis –o que conformam a teoria do flogisto e do oxigênio– de modo tal a che-gar precisar formalmente e dar suporte empírico a noção de incomensurabilidade. Nele são reconstruídas formalmente as teorias mencionadas e, depois de precisar as noções de redução ontológica débil e de incomensurabilidade, se mostra que estas são as relações inter-teóricas que se dão entre as teorias do flogisto e do oxigênio.

Em “De las redes teóricas a las constelaciones de elementos teóricos: las prácticas científicas en la Ecología de Poblaciones” Andoni Ibarra y Jon Larrañaga propõem a no-ção de “constelação teórica” para dar conta de práticas científicas, do tipo identificado na ecologia de populações, de integração, em uma mesma unidade epistêmica, de elementos teóricos de redes distintas.

Por último, Luis M. Peris-Viñé, em seu artigo “Actual Models of the Chomsky Gram-mar”, propõe um modo de solucionar algumas inadequações na exposição e na concepção própria da gramática de Chomsky, CHG, exposta em The Logical Structure of Linguistic Theory, a partir da identificação dos modelos potenciais e dos modelos atuais desta teoria.

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Cuatro tipos de desarrollo teórico en las ciencias empíricas | 9

Artículos | Articles | ArtigosPrimera parte

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Cuatro tipos de desarrollo teórico en las ciencias empíricas*

ResumenEn este artículo se arguye que pueden distinguirse cuatro tipos fundamentales de estructuras diacrónicas en la ciencia y que estos cuatro tipos pueden representarse formalmente median-te una versión refinada del aparato del estructuralismo metateórico. Los cuatro tipos pueden describirse como: cristalización, evolución teórica, incrustación y suplantación con incon-mensurabilidad (parcial). Ellos se elucidan primeramente en términos intuitivos, informales, y se sugieren algunos ejemplos históricos (algunos de los cuales ya se han reconstruido en la literatura estructuralista). En la segunda parte del ensayo, los cuatro tipos se caracterizan for-malmente en términos estructuralistas; en ello tienen un papel central las nociones de subes-tructura parcial escalonada y de red teórica diacrónica. Se exponen los ejemplos del desarro-llo de la termodinámica fenomenológica de Clausius como caso de cristalización, y de la me-cánica newtoniana y de la termodinámica gibbsiana como casos de evolución teórica.

Palabras clave: cristalización - evolución teórica - incrustación - inconmensurabilidad - redes teóricas - conjunto-escalón - subestructura parcial

AbstractThis paper argues that four fundamental types of diachronic structures in science may be dis-tinguished, and that these four types can be represented formally through a refined version of the apparatus of metatheoretical structuralism. These four types may be described as: crys-tallization, theory-evolution, embedding, and replacement with (partial) incommensurability. They are first explicated in intuitive, informal terms, and some historical examples (some of which have already been reconstructed in the structuralist literature) are suggested for each type. In the second part of the essay, the four types are formally characterized in structuralis-tic terms; the notions of a partial substructure as an echelon-set and of a diachronic theory-net thereby play a central role. The examples of the development of Clausius’s phenomeno-logical thermodynamics as an instance of a crystallization process, and of Newtonian mecha-nics and Gibbsian thermodynamics as instances of theory-evolutions are laid out.

Keywords: crystallization - theory-evolution - embedding - incommensurability - theory-nets - echelon-sets - partial substructures

* Recibido: 16 Enero 2011. Aceptado en versión revisada: 9 Marzo 2011.† Seminar für Philosophie, Logik und Wissenschaftstheorie, University of Munich. Para contactar al autor,

por favor escriba a: [email protected].‡ Debo a dos revisores anónimos de una primera versión de este ensayo algunas propuestas de mejoras que se

han incluido en la versión final. Este trabajo participa del proyecto de investigación PICTR 2006 Nº 2007, de la Agencia Nacional de Promoción Científica y Tecnológica, de la República Argentina.Metatheoria 1(2)(2011): 11-27. ISSN 1853-2322.

© Editorial de la Universidad Nacional de Tres de Febrero. Publicado en la República Argentina.

C. Ulises Moulines†‡

Four Types of Theoretical Development in Empirical Sciences


1. IntroducciónEl objetivo general de este ensayo es presentar una tipología estructuralista del desarrollo teórico de las ciencias empíricas que reúna las siguientes condiciones: a) ser intuitivamente (históricamente) plausible; b) ser formalmente precisa; c) ser uniforme y sistemática, es decir, proponer un esquema general que sirva para encajar en él las diversas formas diacrónicas de la ciencia; d) ser aplicable a la re-construcción de casos concretos (“el movimiento se demuestra andando”).

Desde sus inicios, la metateoría estructuralista se propuso mostrar su perti-nencia no solo para un análisis diferenciado de las diversas estructuras sincróni-cas de las teorías, sino también para la elucidación de sus aspectos diacrónicos. Ya en el último capítulo de The Logical Structure of Mathematical Physics (1971), Jo-seph D. Sneed hizo algunas insinuaciones en ese sentido; de manera más exten-sa y sistemática, la segunda parte de Theorienstrukturen und Theoriendynamik (1973) de Wofgang Stegmüller está dedicada a la reconstrucción estructuralista (avant la lettre) de las estructuras diacrónicas de la ciencia, en especial de la ciencia normal y la “ciencia revolucionaria” de Thomas Kuhn, así como de los “programas de in-vestigación” de Imre Lakatos. Más adelante, Wolfgang Balzer, Joseph Sneed y yo mismo dedicamos el Capítulo V de nuestra Architectonic for Science (1987), a de-sarrollar un aparato formal adecuado para tratar por lo menos una forma diacró-nica determinada de la ciencia, lo que allí llamamos “evoluciones teóricas”; ella corresponde más o menos a la “ciencia normal” de Kuhn y a los “programas de investigación” de Lakatos. Y aplicamos dicho aparato a la reconstrucción de dos casos reales de la historia de la ciencia: la evolución de la mecánica newtoniana y la de la termodinámica gibbsiana. En años subsiguientes, he vuelto una y otra vez a considerar las posibilidades de aplicación del estructuralismo al análisis diacró-nico de las teorías científicas (véase Moulines 1982, 1991 y 1996). Sin embargo, es en el presente ensayo donde propongo por primera vez un esquema formal ge-neralizado para el tratamiento uniforme de todas las formas de desarrollo teórico en las ciencias. Además, propongo una elucidación formal de un tipo de desarro-llo que hasta ahora ha recibido poca atención tanto dentro del estructuralismo como fuera de él: lo que llamo “cristalizaciones teóricas”. Esta elucidación está basada en mi análisis reciente de un caso concreto, el desarrollo de la termodiná-mica de Clausius (véase Moulines 2010).

2. El trasfondo historicistaAparte de los estructuralistas, los únicos filósofos de la ciencia que han intenta-do de manera sistemática construir esquemas generales para analizar la diacronía de las teorías han sido, como es bien sabido, los autores llamados historicistas y, en particular, Kuhn, Lakatos y Larry Laudan (véase Kuhn 1962, Lakatos 1970, Laudan 1977). Pero también es bien sabido que los esquemas propuestos por es-tos autores brillan por su vaguedad e incontrolabilidad ante ejemplos concretos. Al parecer, ellos eran de la opinión de que es impracticable aplicar herramientas


formales o cuasi formales a cuestiones de la filosofía diacrónica de la ciencia.1 El resultado de esta actitud metodológica también es consabido: los filósofos inte-resados por la diacronía de la ciencia se han vuelto rabiosamente antiformalistas y los filósofos de la ciencia que aún creen en la utilidad de los instrumentos for-males se han desinteresado por la diacronía de la ciencia. Los estructuralistas nos hemos esforzado por navegar entre esa Scylla y esa Caribdis y creo que lo hemos hecho con bastante éxito. Aquí propongo iniciar una nueva etapa en ese difícil camino.

3. Diacronía tetravalente de la cienciaIncluso dejando de lado las insuficiencias de las metateorías diacrónicas de Kuhn, Lakatos y Laudan debidas a su vaguedad y falta de control (meta-)empírico, un defecto del que adolecen es que parten de un esquema demasiado simplificado para detectar las diversas formas de desarrollo teórico. En efecto, podemos de-cir que es común a esos autores que su esquema sea solo bivalente. Es decir, dis-tinguen solo dos formas diacrónicas: en Kuhn, ellas son la “ciencia normal” y la “ciencia revolucionaria”; en Lakatos son el desarrollo teórico dentro de un pro-grama de investigación y la competencia entre programas de investigación rivales; en Laudan, se trata, o bien del desarrollo de una tradición de investigación, o bien de la tensión entre tradiciones de investigación distintas. Mi tesis es, por el contrario, que (independientemente de cualquier metateoría concreta como pue-da ser el estructuralismo) necesitamos partir de un esquema que sea por lo me-nos tetravalente por lo que respecta a los tipos de desarrollo teórico. Es decir, pue-den detectarse por lo menos cuatro tipos fundamentales distintos de desarrollo. Los podemos denominar así:

1) emergencia o cristalización de teorías;2) evolución de teorías;3) incorporación o incrustación de una teoría en otra;4) suplantación de una teoría por otra acompañada de inconmensurabilidad

parcial.

Por supuesto, como en cualquier otra ciencia de la cultura (y la filosofía de la ciencia, por su objeto, forma parte de las ciencias de la cultura), se trata de tipos ideales en el sentido de Max Weber. Pero aunque sean “ideales” son también lo bastante concretos y sustanciales como para que con ellos podamos ordenar el material histórico adecuadamente. Habrá, sin duda, casos históricos concretos de difícil clasificación, o casos intermedios; pero ello no le quita a la tipología su im-portancia y utilidad.2

1 Para ser justos con Kuhn, él admitió en alguna ocasión la posibilidad de que ciertas herramientas formales, en especial las del estructuralismo, pudieran contribuir de manera significativa a la filosofía diacrónica de la cien-cia (véanse sus observaciones en Kuhn 2000). Sin embargo, él mismo nunca se adentró por ese camino.

2 No afirmo que la lista de los cuatro tipos mencionados sea exhaustiva, aunque tampoco estoy seguro de que no lo sea. José Luis Falguera me hizo notar, en un comentario a una versión previa de este texto (presentada


La tarea que se nos plantea a los estructuralistas, en consecuencia, consiste en tratar de elucidar con la mayor precisión posible, empleando las herramien-tas de nuestra metateoría, cada uno de los tipos (y establecer una comparación entre ellos). Esta tarea ha sido ya realizada de manera bastante completa para el tipo 2) (la evolución de teorías) (véase Moulines 1982, y Balzer, Moulines & Sneed 1987, Cap. V). Se han dado también ya algunos pasos, aunque insuficien-tes, para la elucidación de 3) y 4) (véase, entre otros, Balzer, Moulines & Sneed 1987, Caps. VI y VII, así como Lorenzano 2008 y Caamaño 2009); con respecto a 1) no se ha hecho casi nada. Mi objetivo en este ensayo es elucidar cada uno de los tipos mencionados y hacerlo, además, dentro de un esquema uniforme. Son sobre todo dos nociones formales las que nos permitirán este tratamiento unifor-me de la diacronía científica: la noción ya bien conocida de red teórica y la noción (introducida aquí por primera vez) de subestructura parcial escalonada.

Pero antes de pasar a la reconstrucción estructuralista de los cuatro tipos fun-damentales de desarrollo teórico mencionados, conviene describirlos de una ma-nera intuitiva, que nos guíe en la construcción de las elucidaciones formales pos-teriores. Para facilitar la comprensión y proporcionar a la vez una base ulterior de control de las elucidaciones formales respectivas, también daré una lista de ejem-plos históricos “paradigmáticos” de cada tipo. Respecto a cada uno de los tipos, mencionaré dos grupos de casos paradigmáticos: aquellos que son plausibles in-tuitivamente como ejemplos del tipo en cuestión, pero que aún no han sido re-construidos en la literatura estructuralista, y aquellos que ya han sido reconstrui-dos estructuralísticamente.

3.1. Emergencia o cristalizaciónEn la fase inicial de una disciplina (emergencia) o después de la quiebra de una teoría anterior en una disciplina ya constituida, y a través de un proceso largo y gradual, al que genéricamente podemos denominar “cristalización”, los modelos de una nueva teoría se van construyendo paso a paso, a través de muchos esta-dios intermedios, fragmentarios, antes de que aparezca una nueva red teórica ple-namente desarrollada. Este proceso revela poseer las siguientes características (en terminología estructuralista):

1) Puede haber (aunque ello no es necesario) diversas redes teóricas en com-petencia durante el mismo periodo, que comparten algunos, pero no todos los componentes de los modelos.

en el VII Encuentro Iberoamericano de Metateoría Estructuralista) que es plausible concebir otros tipos de desa-rrollo científico, además de los señalados. Falguera propone tres más: a) desarrollo “preparadigmático”; b) cri-sis de una teoría sin suplantación; c) escisión. Ahora bien, el caso a) de Falguera me parece estructuralmente (aunque no históricamente) análogo a lo que llamo “cristalización”; respecto al tipo b), mi apuesta es que los ejemplos históricos correspondientes pueden reconstruirse, ya sea como casos de evolución teórica, o bien como incorporaciones en mi sentido (como el propio Falguera insinúa). Solo el tipo c) parece a primera vis-ta un tipo no reducible a los demás pero, para dirimir esta cuestión, habría que analizar algún ejemplo his-tórico claro para filtrar a partir de él su estructura general. Sea como sea, prima facie no parecen plantearse obstáculos insuperables para reconstruir esas supuestas escisiones mediante el aparato formal que se expone más abajo.


2) Los elementos teóricos básicos en periodos sucesivos de un proceso de cris-talización son esencialmente distintos; es decir, los modelos potenciales, los parciales y los actuales, difieren de una red a otra, aunque comparten algunos componentes.

3) Aunque los elementos teóricos básicos de las redes sucesivas son distintos, algunos elementos no-básicos, es decir, algunas especializaciones, son igua-les o cuasi iguales, especialmente en el sentido de que comparten las mis-mas aplicaciones intencionales, o casi las mismas, y algunos de los concep-tos T-teóricos.

4) El proceso de cristalización concluye con el establecimiento de una red teó-rica arbórea, es decir, con un solo elemento teórico básico, firmemente es-tablecido.

Ejemplos plausibles no reconstruidos: la emergencia de la mecánica aristotélica (s. IV-III a.C.); la emergencia de la astronomía “ptolemaica” (s. III a.C.-s. II d.C.); la cristalización de la mecánica cartesiana después de la quiebra de la dinámica aris-totélica (1630-1670); la emergencia de la genética “mendeliana” (1865-1905), o sea, desde los trabajos originales de Mendel hasta el establecimiento del primer “paradigma” genético por parte de Bateson (véase Lorenzano 2006).

Ejemplo reconstruido (parcialmente): la cristalización de la termodinámica feno-menológica después de la quiebra de la teoría del calórico (1825-1878) y, en par-ticular, la cristalización parcial de la termodinámica fenomenológica en los escri-tos de Rudolf Clausius “Über die bewegende Kraft der Wärme” (1850) y “Über eine veränderte Form des zweiten Hauptsatzes der mechanischen Wärmetheorie” (1854); este último, en realidad, consta de dos ensayos distintos, probablemente concebidos en periodos diferentes (véase Moulines 2010).

3.2. Evolución teóricaEn este caso, una red teórica se transforma a lo largo de varios periodos añadien-do o suprimiendo algunos elementos teóricos especializados, pero sin perder su identidad esencial, definida por un núcleo teórico básico K

0 (que consiste siem-

pre del mismo marco conceptual general y la(s) misma(s) ley(es) fundamental(es)). En cada periodo sucesivo aparecen nuevas leyes especiales (= nuevas especializa-ciones) que son especialización de alguna especialización del periodo precedente. Los conjuntos de aplicaciones intencionales en periodos sucesivos, ni son idénti-cos, ni están necesariamente en la relación conjuntista de inclusión; pero al me-nos sus intersecciones no son vacías. Lo que aquí llamamos “evoluciones teóri-cas” corresponde aproximadamente a la “ciencia normal” de Kuhn, a un “progra-ma de investigación” de Lakatos o a (al menos algunos ejemplos de) una “tradi-ción de investigación” en el sentido de Laudan.

Ejemplos plausibles: la astronomía ptolemaica desde el s. II d.C. hasta mediados del siglo XVI; la química del flogisto a lo largo del siglo XVIII; la teoría del ca-lórico entre 1790 y 1825; la teoría de la relatividad generalizada desde 1916; la genética “mendeliana” (en su segunda fase) desde los trabajos de Morgan y cola-


boradores a partir de 1910 hasta el advenimiento de la genética molecular en los 1960s.

Ejemplos reconstruidos: la evolución de la mecánica newtoniana desde 1687 (año de la aparición de los Principia de Newton) hasta principios del siglo XIX; la evolución de la termodinámica fenomenológica desde 1878 (año de la publica-ción de la segunda parte de la monografía de Gibbs, “On the Equilibrium of He-terogeneous Substances”) hasta años cuarenta (véase Balzer, Moulines & Sneed 1987, Cap. V).

3.3. Incorporación o incrustaciónAquí, los modelos (potenciales y actuales) de una teoría previa se incorporan o incrustan (aproximadamente y quizás no completamente) en los modelos de una nueva teoría, más compleja, de modo que todas (o casi todas) las aplicaciones in-tencionales de la primera teoría, hayan sido exitosas o no, pasan a ser aplicaciones intencionales exitosas de la segunda. Este tipo de proceso responde (presumible-mente) a uno de los sentidos del concepto de “revolución científica” en Kuhn.

Ejemplos plausibles no reconstruidos: la incorporación de la óptica ondulatoria en la electrodinámica de Maxwell y la de esta última en la teoría especial de la relatividad; la incorporación de esta última en la teoría generalizada de la relati-vidad; la incorporación de la mecánica cuántica (versión Schrödinger o Heisen-berg) en la electrodinámica cuántica (de Dirac), y la de esta última en el “modelo estándar” de la física de partículas; la incorporación de la teoría darwiniana de la evolución en la teoría “sintética”; la incorporación de la genética “mendeliana” (en realidad, “morganiana”) en la genética molecular.

Ejemplos reconstruidos: la incorporación de la mecánica cartesiana del choque en la mecánica newtoniana (véase Balzer, Moulines & Sneed 1987, Cap. VI); la incorporación de la teoría planetaria de Kepler en la mecánica newtoniana (véase Balzer, Moulines & Sneed 1987, Cap. VII).

3.4. Suplantación con inconmensurabilidad (parcial)Una teoría destinada a sistematizar un conjunto dado de aplicaciones intencio-nales puede ser completamente suplantada (abruptamente o en un plazo relativa-mente breve) por otra teoría (con un marco conceptual muy diferente) destinada a más o menos el mismo conjunto de aplicaciones. En tal caso, la suplantación es debida a que algunas aplicaciones intencionales de la primera teoría no son exitosas (son “anomalías”), mientras que sí lo son en la nueva teoría. Esto corres-ponde al sentido más plausible de las “revoluciones científicas” de Kuhn como “cambios de paradigma”. A pesar de la suplantación (y diga lo que diga Kuhn), la nueva teoría recupera algunos de los componentes de los modelos potenciales de la primera y sobre todo muchas de sus aplicaciones intencionales, aunque sea aproximadamente.

Ejemplos plausibles no reconstruidos: la suplantación de la astronomía ptolemai-ca por la astronomía copernicana; la suplantación de la mecánica aristotélica por la cartesiana; la suplantación de la teoría lamarckiana de la evolución por


la darwiniana; la suplantación de la mecánica newtoniana por la relativista (caso muy controvertido).

Ejemplo reconstruido: la suplantación de la teoría del flogisto por la teoría del oxígeno de Lavoisier (véase Caamaño 2009).

4. Conceptos metateóricos generalesAntes de pasar a la elucidación formal de cada uno de los tipos fundamentales de diacronía científica, conviene introducir algunas nociones metateóricas gene-rales que son necesarias para nuestra tarea y que intervienen en todos los tipos a reconstruir. Las dos nociones clave que operan en todos los casos son las de red teórica diacrónica y la de subestructura parcial escalonada.3 Presupongo que el lector ya está familiarizado con las demás nociones estructuralistas estándar, en especial la de red teórica (sincrónica). La noción de subestructura parcial escalonada es de reciente cuño y, por lo que sé, no ha sido definida previamente en la literatura, estructuralista o no-estructuralista. La noción de red teórica diacrónica fue intro-ducida ya en Balzer, Moulines & Sneed (1987), Cap. V, pero allí fue definida so-lamente para elucidar el tipo de proceso diacrónico que hemos llamado “evolu-ción teórica”. Aquí se modificará levemente aquella definición para hacerla ade-cuada a cualquiera de los cuatro tipos de proceso diacrónico.

Para simplificar la exposición, de entre las nociones usuales del estructuralis-mo prescindiremos en lo sucesivo de las condiciones de ligadura (constraints), de los vínculos ínterteóricos (links) y de los conjuntos borrosos (blurs). Nada esencial se pierde con ello con respecto a la argumentación de este ensayo. Su incorpora-ción a las elucidaciones aquí propuestas sería relativamente fácil aunque tediosa.

4.1. Subestructuras parciales escalonadasSea S = ⟨A

1,…, A

n⟩ una estructura con m dominios D1,…, Dm, y n-m relaciones (con

n > m) Rm+1,…, Rn. Sea S ′ una estructura. Sea A un dominio o una relación.

Def. D.1.1: A ∈ S syss ∃i(1 ≤ i ≤ n ∧ A = Ai).

La fórmula “A ∈ S” se lee: “A es un componente de S”.

Def. D.1.2: S ′ ∈ S syss ∀A ∈ S ′ : A ∈ S.La fórmula “ S ′ ∈ S” se lee “ S ′ es una subestructura parcial de S”.

Nota: Cualquier componente de una estructura S puede ser considerado trivial-mente como una subestructura parcial de S.

3 La noción de subestructura (o subsistema) es estándar en la teoría de modelos: una estructura (o sistema) S es subestructura (o subsistema) de otra(o) S* cuando el (los) dominio(s) de S es (son) subconjunto(s) propio(s) o impropio(s) del (de los) dominio(s) de S*, y por tanto las relaciones de S son restricciones de las relaciones de S* (véase Manzano 1989); la noción de subestructura parcial está menos divulgada: S es subestructura parcial de S* cuando, además de ser subestructura de S*, ocurre que hay por lo menos una relación R* en S* que carece de contrapartida en S, es decir, no hay ninguna relación R en S que sea restricción de R*. Finalmente, la noción de subestructura parcial escalonada se ha introducido específicamente para el tema que nos ocupa (véase la definición D.1.5 más abajo).


Def. D.1.3: Θ es la operación conjuntista que consiste en aplicar sucesivamen-te un número finito de veces las operaciones “Pot” (conjunto-potencia) y “×” (producto cartesiano) a cierto(s) conjunto(s) previamente dado(s), empezando siempre por Pot.

Def. D.1.4: A es un conjunto-escalón sobre B1,…, B

m syss A ∈ Θ(B

1,…, B

m).4

Ejemplos:• A es un conjunto-escalón sobre sí mismo, pues A ∈ Pot(A), y por tanto A ∈ Θ(A).

• Si A ⊆ B, entonces A es un conjunto-escalón sobre B, pues A ∈ Pot(B), y por tanto A ∈ Θ(B).

• Si A ⊆ B × C , entonces A ∈ Θ(B, C).• Si A ⊆ B × Pot(C) × D, entonces A ∈ Θ(B, C, D).• Etc.

Def. D.1.5: S es una subestructura parcial escalonada de S* (S η S*) syss ∀Si(S

i ∈ S)

∃S*k(S*

k ∈ S*): S

i ∈ Θ(S*

k).

Teorema: η es una relación reflexiva y transitiva, y por tanto induce un cuasi orden en el conjunto de las estructuras definidas en un contexto dado. (La prueba de este teorema es inmediata dada la definición.)Ejemplos:Sean las estructuras S = ⟨A

1,…, A

n⟩ y S* = ⟨B

1,…, B

m⟩. Supongamos que A

1 ⊆ B

1, y

que A2 ⊆ B

1 × Pot(B

3). Entonces, A

1, A

2 y ⟨A

1, A

2⟩ son diversas subestructuras par-

ciales escalonadas de S*.Nota bene: Si S η S*, entonces la n-ariedad de S no tiene por qué ser menor que la n-ariedad de S*, es decir, puede ocurrir que, si n es la n-ariedad de S y m la de S*, se dé n > m . (Posible ejemplo: la relación entre la estructura espaciotemporal newtoniana y la estructura espaciotemporal relativista; en efecto, sea E el espacio euclidiano tridimensional de la mecánica newtoniana, T la variedad unidimen-sional que representa el tiempo en la mecánica newtoniana, y V la variedad tetra-dimensional que representa el espacio-tiempo en la mecánica relativista. Enton-ces ⟨E, T⟩ η V, pues E ∈ Θ(V) y T ∈ Θ(V).)

4.2. Redes teóricas diacrónicasDef. D.2.1: T es un elemento teórico diacrónico syss existen K, I, CC, h, G tales que

(A) T = ⟨K, I, G⟩(B) ⟨K, I⟩ es un elemento teórico(C) CC es una comunidad científica(D) h es un periodo histórico(E) G es una generación de científicos y ∃g: g(h, CC) = G(F) G tiene la intención de aplicar K a I

4 La noción de conjunto-escalón (ensemble échelon en francés, echelon set en inglés) se debe originalmente al gru-po Bourbaki en su reconstrucción conjuntista de las matemáticas. Posteriormente esa noción fue implemen-tada para la filosofía de la física por Günther Ludwig y Erhard Scheibe (véase Ludwig 1978, Scheibe 1997).


Def. D.2.2: N es una red teórica diacrónica syss N es un conjunto de elementos teóricos diacrónicos y Tb es un conjunto de elementos teóricos diacrónicos (llamados “básicos”) tales que:(1) Tb

⊆ N(2) ∀Ti ∈ N ∃T

0 ∈

Tb (Ti σ T

0)

(3) ∀Ti, T

j ∈ N (G

i = G

j)

Def. D.2.3: Sean T, T ′ dos elementos teóricos diacrónicos.T ′ es una especialización diacrónica de T (T ′ δ T) syss (A) K ′ σ K(B) I ′ ∩ I ≠ Ø(C) h < h′ 5

Nota bene: En este concepto generalizado de especialización diacrónica, no se exige que la comunidad científica CC siga siendo la misma en el tránsito de T a T ′ . Esto solo es plausible exigirlo en un determinado tipo de proceso diacrónico, el de las llamadas evoluciones teóricas, pero no en los demás.

Def. D.2.4: Sean N, N ′ dos redes teóricas diacrónicas.N ′ es posterior a N ( N ′�N) syss∃T ′∈N ′ ∃ T ∈ N (T ′ δ T)

Def. D.2.5: Sean N, N ′ dos redes teóricas diacrónicas.N ′ es inmediatamente posterior a N ( N ′ π N) syss(A) N ′�N(B) ¬ ∃N*(N ≠ N* ≠ N ′ ∧ N ′�N*�N)

5. Elucidación formal de los cuatro tipos de procesos diacrónicos5.1. Cristalización teórica

Sean n redes teóricas N1,…, Nn. Sea biT el conjunto de los elementos teóricos bá-

sicos de cada Ni (con ∥ b

iT ∥ ≥ 1).⟨N1,…, Nn⟩ es una cristalización teórica syss(1) Para todo i < n: Ni+1 π Ni (2) ∀i, k(1 ≤ i, k ≤ n ∧ i ≠ k →

biT ≠ b

kT )(3) ∀i(1 ≤ I ≤ n): ∃ k ∃ k*(Tk ∈ Ni ∧ Tk ∉

bkT ∧ Tk* ∈ Ni+1:

(a) ∀x ∈ Mk ∃ x* ∈ M

k* (x η x*) ∧

(b) ∃ S, y, y*(y ∈ Ik ∧ y* ∈ Ik* ∧ S η y ∧ S η y*))

De acuerdo con esta definición, lo especifico de una cristalización se resume en tres características: en primer lugar, las redes sucesivas no son necesariamente ar-bóreas ni tienen necesariamente los mismos elementos teóricos básicos (aunque

5 El símbolo “<” para la relación de precedencia histórica entre periodos debe interpretarse como una relación cualitativa y no cuantitativa. Ello significa, entre otras cosas, que dos periodos distintos que están en la rela-ción “<” pueden solaparse cronológicamente (pueden compartir años o meses, por ejemplo).


pueden compartir algunos de ellos); en segundo lugar, existen al menos algunos elementos teóricos no-básicos de una red precedente cuyos modelos son subes-tructuras parciales escalonadas (incluyendo posiblemente la identidad) de algún modelo de algún elemento teórico (básico o no) de la red inmediatamente poste-rior; y, en tercer lugar hay algunas aplicaciones intencionales de una red y de la red que le sigue inmediatamente, las cuales, aunque posiblemente no sean idén-ticas (por no compartir todos los conceptos T-no-teóricos), comparten al menos una subestructura parcial escalonada (es decir, algunos de los conceptos T-no-teó-ricos).

El ejemplo de la cristalización de la termodinámica de Clausius cumple con esta caracterización, como puede comprobarse en la sucesión de grafos expuestos a continuación. Nótese en este ejemplo que los elementos teóricos básicos de las tres redes sucesivas son distintos, pero que hay algunas especializaciones, como

Clausius 2a fase (1854a)

Clausius 1a fase (1850)


IG (gases ideales) que son comunes a redes sucesivas. El lector interesado en el significado de los símbolos que aparecen en cada nódulo de las redes puede acu-dir a Moulines (2010). Se trata de las denominaciones de diversos tipos de siste-mas termodinámicos estudiados por Clausius.

5.2. Evolución teórica⟨N

1,…, N

n⟩ es una evolución teórica syss

(1) ∀i(1 < i ≤ n): Ni π Ni-1

(2) ∃T0 ∀i, k(1 ≤ i, k ≤ n): b

iT = bkT = {T

0}

(3) ∀Ni(1 < i ≤ n) ∀T

j ∈ Ni ∃N

k(k < i) ∃T

h ∈ Nk(Tj

δ Th)

(4) ∀i, k(1 ≤ i, k ≤ n): CCi = CCk

Las tres características específicas de una evolución teórica son, por consiguien-te, que en ella hay un solo elemento teórico básico T

0 que rige toda la evolución,

que todo elemento teórico de una red anterior es especializado por algún elemen-to teórico de una red posterior y que la comunidad científica permanece invaria-ble.

En Balzer, Moulines & Sneed (1987, Cap. V), aparecen reconstruidos con detalle dos ejemplos históricos que son instancias de este concepto de evolución teórica: la evolución de la mecánica newtoniana desde Newton hasta la época de Coulomb y Laplace, así como la evolución de la termodinámica gibbsiana desde Gibbs hasta la época de Nernst y Bridgman. A modo de recordatorio se reprodu-cen aquí los grafos respectivos, con ligeras simplificaciones.

I. La evolución de la mecánica newtoniana (1687-180..):

N1: (1687-172..)

Clausius 3a fase (1854b)


N2: (172..-177..)

N3: (177..-180..)

CPM

NCPM

ICPM

PCPM ?¡CPM ?

2CPM ?

3CPM

CCPM

FCPM

FGCPM

ISCPM

GCPM

NGCPM

PCPM

CCPM

FrOCPM

HCPM

OCPM

FoOPM

NCPM

MCPM

CMCPM CECPM ECPM

GCPM

ISCPM


II. La evolución de la termodinámica fenomenológica (1878-194..)

N1: (1878-188..)

N2: (188..-1906)

N3: (1906-194..)

ISETH

SETH

PRSETH

SETH

PRSETHBBSETHVSETH

WSETH BSETH ISETH

SETH

NSETH VSETH BBSETH PRSETH

WSETH BSETH ISETH


5.3. Incorporación teóricaPara definir esta noción formalmente necesitamos previamente la noción auxiliar de “éxito”.Def. E.3.1.: Sea m un modelo actual de un elemento teórico Ti de la red N. Di-

remos que m es un “modelo exitoso” en N syss existe una aplicación inten-cional y de ese elemento teórico, es decir y ∈ Ii, tal que y = r(m). Diremos que una aplicación intencional y ∈ Ii es una aplicación exitosa syss existe un mode-lo actual m de Ti tal que y = r(m).

Def. E.3.2.: La red N es incorporable en la red N* syss (1) Todo modelo exitoso en N es una subestructura parcial escalonada (aproxi-

mativa) de algún modelo exitoso en N* (2) Toda aplicación intencional exitosa en N es una subestructura parcial es-

calonada (aproximativa) de alguna aplicación intencional exitosa en N*.6

Nota bene: Obsérvese que, en esta comprensión generalizada de la noción de in-corporación, en primer lugar no se exige que N* sea estrictamente más exitosa que N: considérese el caso de dos redes empíricamente equivalentes (ejemplos: mecánica newtoniana de partículas y mecánica lagrangiana; mecánica ondulato-ria de Schrödinger y mecánica de matrices de Heisenberg). En segundo lugar, tampoco se exige que N preceda diacrónicamente a N*: por razones de mayor simplicidad, didáctica o práctica, puede que posteriormente se construya una red teórica N* que sea incorporable a una N precedente (ejemplo: la mecánica del sólido rígido formulada por Euler medio siglo después de la formulación por Newton de la mecánica de partículas).Teorema: Las relaciones ínterteóricas de equivalencia, reducción y aproximación son subtipos especiales de incorporación.7

6. Tránsito conmensurableIntuitivamente, los fenómenos diacrónicos de evolución e incorporación mues-tran cierto “aire de familia”: en ambos casos se trata de manifestaciones claras de un “progreso científico”, en el que los estadios posteriores en el desarrollo apor-tan más éxitos e informaciones que los estadios precedentes. Por ello puede ser conveniente subsumirlos bajo un concepto más general: “tránsito conmensura-ble” entre redes teóricas.

6 Una primera versión estructuralista de la noción de incorporación se encontrará en Díez & Moulines (2008, Cap. 13.4). La versión actual aparece como más adecuada y “elegante”.

7 No he demostrado formalmente este teorema, pero me parece plausible vistas las nociones en cuestión. La po-sibilidad de una prueba formal del teorema dependerá, en lo esencial, de la definición de reducción adopta-da (pues la equivalencia y la aproximación son “variaciones” de la reducción). El problema estriba en que no existe todavía un consenso (ni entre estructuralistas ni entre no-estructuralistas) acerca de cuál es la elucida-ción formal más adecuada de la reducción interteórica. Ahora bien, si aceptamos que, sea cual sea la elucida-ción definitiva, un componente esencial de esta será lo que en Moulines (1984) denominé “reducción onto-lógica”, entonces parece que la prueba del teorema será bastante directa, dado que la reducción ontológica se puede definir justamente en términos de lo que aquí llamo “subestructuras parciales escalonadas”.


N transita (conmensurablemente) hacia N* syss(1) N* π N(2a) N y N* forman parte de una misma evolución teórica

o bien(2b) N es incorporable en N*

o bien(2c) N* es incorporable en N

7. Suplantación con inconmensurabilidad (parcial) Sean dos redes teóricas N y N*. Diremos que N es suplantada (con inconmensura-bilidad parcial) por N* syss:

(1) Ningún modelo actual en N es subestructura parcial escalonada de algún modelo actual en N*.

(2) (Casi todas) las aplicaciones intencionales exitosas en N (o partes de las mismas) son subestructuras parciales escalonadas de aplicaciones inten-cionales en N*.8

(3) Existen aplicaciones intencionales no-exitosas en N (“anomalías”) que son subestructuras parciales escalonadas de aplicaciones intencionales exito-sas en N*.

En las suplantaciones se da el fenómeno de la “inconmensurabilidad” en el sen-tido de que en ellas constatamos la presencia de conceptos T-teóricos de N que no son reproducibles mediante los conceptos T-teóricos de N* (ni siquiera como subestructuras parciales escalonadas), y por consiguiente tampoco son reproduci-bles en N* las leyes fundamentales de N. Sin embargo, en tales casos, la incon-mensurabilidad solo puede ser parcial, pues las dos teorías deben ser compara-bles en cuanto a sus éxitos respectivos. Ello no significa que las aplicaciones in-tencionales de N deban necesariamente reaparecer de forma idéntica entre las de N*; pero al menos sus componentes, y por tanto las aplicaciones mismas, deben ser reconstruibles como subestructuras parciales escalonadas de las aplicaciones intencionales de N*.

8 Kuhn y Stegmüller han alegado en algunos escritos que hay casos históricos de “revoluciones científicas” (co-rrespondientes a lo que aquí denominamos “suplantación”), en los que se “pierden” u “olvidan” algunas apli-caciones intencionales exitosas del paradigma precedente a la revolución que no tienen cabida en el paradigma posterior a la revolución. (Stegmüller llama a este supuesto fenómeno diacrónico “Kuhn-loss”, o sea, “pérdida a lo Kuhn”.) Es una cuestión controvertida si existen ejemplos históricos reales que puedan plausiblemente interpretarse en este sentido. Pero, por si acaso, añadimos en nuestra condición (2) la cualificación “casi to-das”, pues, aun en el caso de que hubiera ejemplos históricos de “pérdidas a lo Kuhn” en un proceso de su-plantación, tales pérdidas serán sin duda en número escaso por comparación con el excedente de éxitos de la teoría posterior: de lo contrario ningùn científico en su sano juicio estaría a la larga dispuesto a suplantar la primera teoría por la segunda.


8. ConclusiónLa argumentación llevada a cabo hasta aquí muestra que los cuatro tipos funda-mentales examinados de desarrollo teórico en las ciencias empíricas (cristaliza-ción, evolución, incorporación y suplantación), para cada uno de los cuales se pueden aducir ejemplos históricos ya reconstruidos, son perfectamente “forma-lizables” de manera uniforme mediante el aparato usual de la metateoría estruc-turalista, enriquecido con la noción “conjuntista” general de subestructura parcial escalonada.

Quod erat demonstrandum

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Estructuras, sistemas modelo y aplicabilidad empírica | 29

Estructuras, sistemas modelo y aplicabilidad empírica*

ResumenAceptando la distinción que hace Frigg (2010) entre sistemas modelo y estructuras conjun-tistas, y reconociendo que los sistemas modelo son una parte importante del aparato de las ciencias empíricas, mi propósito en este artículo es precisamente responder las siguientes pre-guntas: ¿De qué manera se utilizan las estructuras conjuntistas para hacer aserciones empíri-cas acerca de sistemas objetivo reales y cuál es el papel en esta tarea de los sistemas modelo y de las estructuras de datos? En particular, ¿de qué manera los sistemas modelo representan-t (para usar la terminología de Frigg) a sus respectivos sistemas objetivo?

Palabras clave: estructura conjuntista - sistema modelo - sistema objetivo - aplicación empírica - estructuras de datos - estructuralismo

AbstractAccepting Frigg’s (2010) distinction between model systems and set-theoretical structures, and acknowledging that model systems are an important part of the apparatus of empirical sciences, my purpose in this paper is precisely to respond the following questions: How are set-theoretical structures used to make empirical claims about real objective systems and what is the role in this endeavor of model systems and structures of data? In particular, how do model systems t-represent (to use Frigg’s terminology) their respective objective systems?

Keywords: set-theoretical structure - model system - objective system - empirical application - structures of data - structuralism

1. IntroducciónFrigg (2010) enfatiza la necesidad de distinguir lo que él llama ‘sistemas modelo’ (model systems) de las estructuras conjuntistas. Refiriéndose a la concepción que identifica a los sistemas modelo con estructuras conjuntistas, concepción cuyo origen atribuye a Suppes (1960), Frigg sostiene que:

* Recibido: 21 Diciembre 2010. Aceptado en versión revisada: 26 Marzo 2011.† Instituto de Filosofía/Facultad de Economía, Universidad Veracruzana. Para contactar al autor, por favor

escriba a: [email protected].‡ Este trabajo participa del proyecto de investigación PICTR 2006 Nº 2007, de la Agencia Nacional de Pro-

moción Científica y Tecnológica, de la República Argentina.Metatheoria 1(2)(2011): 29-37. ISSN 1853-2322.


Adolfo García de la Sienra†‡

Structures, Model Systems, and Empirical Applicability

30 | Adolfo García de la Sienra

This conception of model systems is too narrow. Although structures do play an important role in scientific modelling (I come back to this below), model systems cannot be identified with structures. What is missing in the struc-turalist conception is an analysis of the physical character of model systems. The view of model systems that I advocate regards them as imagined physical systems, i.e. as hypothetical entities that, as a matter of fact, do not exist spa-tio-temporally but are nevertheless not purely mathematical or structural in that they would be physical things if they were real. If the Newtonian model system of sun and earth were real, it would consist of two spherical bodies with mass and other concrete properties such as hardness and colour, proper-ties that structures do not have; likewise, the populations in the Lotka-Volte-rra model would consist of flesh-and-blood animals if they were real, and the agents in Edgeworth’s economic model would be rational human beings (Frigg 2010, p. 253).

Frigg considera que hay dos razones para preferir su concepción a la estructuralista:

The first is that scientists often talk about model systems as if they were phy-sical things, which is a natural thing to do if models are imagined physical entities. […] The second reason has to do with how model systems relate to the world. A structure is not about anything in the world, let alone about a particular target system. Those who take model systems to be structures sug-gest connecting structures to target systems by setting up a morphism between them (the most common morphism is isomorphism; other suggestions inclu-de partial isomorphism, homomorphism, and embedding). But a morphism holds between two structures and not between a structure and a part of the world per se. In order to make sense of the notion that there is a morphism between a model system and its target we have to assume that the target exem-plifies a particular structure, and this cannot be had without bringing non-structural features into play (Frigg 2010, pp. 253-254).

Frigg observa que “in order for it to be true that a target system possesses a par-ticular structure, a more concrete description must be true of the system as well” (Frigg 2010, p. 254), porque los “structural claims are abstract in the sense that they cannot be true unless some more concrete claims are true as well” (Frigg 2010, p. 254) y acepta que: “[…] this by itself would not have to worry the struc-turalist. The problem, and this is the second step, arises when we realise that the descriptions we choose to ground structural claims are almost never true descrip-tions of the target system” (Frigg 2010, p. 254).Y agrega:

Taken literally, descriptions that ground structural claims (almost always) fail to be descriptions of the intended target system. Instead, they describe a hypo-thetical system distinct from the target system. This has unfortunate conse-quences for the structuralist. If the descriptions employed to attribute a struc-ture to a target system were just plain descriptions of that system, then the claim that model systems are just structures would appear at least prima facie plausible. But once we acknowledge that these descriptions describe hypothe-tical systems rather than real target systems, we also have to acknowledge that hypothetical systems are an important part of the theoretical apparatus we em-ploy, and that they therefore have to be included in our analysis of how scien-tific modelling works. (Frigg 2010, pp. 254-255)


Aceptando la distinción entre sistemas modelo y estructuras conjuntistas, y re-conociendo que los sistemas modelo son una parte importante del aparato de las ciencias empíricas, mi propósito en este artículo es precisamente resolver este problema. ¿De qué manera se utilizan las estructuras modelo para hacer asercio-nes empíricas acerca de sistemas objetivo reales y cuál es el papel en esta tarea de los sistemas modelo y de los modelos de datos? En particular, ¿de qué manera los sistemas modelo representan-t (para usar la terminología de Frigg) a sus respecti-vos sistemas objetivo? En la siguiente sección trataré esta última pregunta. Dedi-caré la última al problema de la cuádruple relación estructura-sistema modelo-sis-tema objetivo-modelo de datos y a la cuestión de cómo es posible aplicar teorías empíricas a sistemas objetivo a través de sistemas modelo.

2. La representación-t de sistemas objetivoEn su interesante teoría de la pretensión, Frigg distingue las representaciones-p, las cuales son representaciones de objetos meramente ficticios, de las representa-ciones-t, las cuales además representan un cierto sistema objetivo:

These two senses of ‘representation’ need to be clearly distinguished, and for this reason I call the former ‘p-representation’ (‘p’ for ‘prop’) and the latter ‘t-rep-resentation’ (‘t’ for ‘target’). Using this idiom, the two acts mentioned in the introduction can be described as, first, introducing a p-representation specify-ing a hypothetical object and, second, claiming that this imagined object t-rep-resents the relevant target system (Frigg 2010, p. 264).

Frigg cree que “The apparent comparison with a nonexistent object eventual-ly comes down the unproblematic comparison of properties, and the statement making this comparison is true if the statement comparing the properties with each other is true” (Frigg 2010, pp. 263-264).

Quisiera discutir con cierta precisión, mediante un ejemplo importante en teoría económica, cómo se suele y se debe hacer esta comparación.

En efecto, es usual en el proceso de elaboración de teorías científicas la cons-trucción de sistemas modelo a partir de conceptos que, si bien se originan en la experiencia y corresponden a propiedades reales de entes reales, han sufrido una suerte de deformación. Por ejemplo, es indudable que los agentes económicos reales son seres humanos que manejan cierta información, que pueden recordar algunos eventos y que, además, pueden realizar operaciones aritméticas. Es por ello que los predicados

‘x posee información’ (1)‘x tiene memoria’ (2)

y‘x es capaz de realizar cálculos’ (3)

son verdaderos de los seres humanos que realizan transacciones económicas en cualquier lugar. Sin embargo, si bien la teoría económica tiene que referirse de alguna manera a las propiedades que expresan, el uso del método matemático re-


quiere el uso de versiones deformadas de tales predicados. Algunas especializacio-nes de la teoría económica requieren, por ejemplo, que los agentes económicos posean información perfecta, memoria perfecta y poderes computacionales ilimi-tados. Así, por ejemplo, los predicados (1), (2) y (3) son deformados para obte-ner

‘x posee información perfecta’ (4)‘x tiene memoria perfecta’ (5)

y‘x tiene poderes computacionales ilimitados’ (6)

La conjunción de predicados‘x posee información perfecta ∧ x tiene memoria perfecta ∧ x tie-ne poderes computacionales ilimitados’ (7)

define un predicado compuesto P(x) que sirve como “prop” para generar un ob-jeto ficticio –un sistema modelo–, inexistente en la realidad, pero necesario para encauzar el razonamiento matemático. Como lo dijera Walras:

el método matemático no es un método experimental; es un método racional […] la ciencia pura de la economía debería entonces abstraer y definir concep-tos de tipos ideales en términos de los cuales conducir su razonamiento. El re-torno a la realidad no debería tener lugar hasta que la ciencia sea completada y entonces solamente con vista en las aplicaciones prácticas (Walras 1954, p. 71). (La traducción es mía.)

Llamaremos ‘conceptos idealizados’ (o, brevemente, ‘idealizaciones’) a los concep-tos ideales obtenidos por deformación a partir de conceptos verdaderamente predi-cables de entes reales si, a pesar de esta deformación, estos son significativos –aun-que sean falsos– de estos objetos reales y conservan una intensión emparentada con aquellos. Siguiendo a Frigg (2010, p. 252), llamo ‘sistema modelo’ a los tipos ideales construidos mediante conjunciones de predicados que expresan idealiza-ciones. Los sistemas modelo representan-t a sus respectivos sistemas objetivo en primer lugar porque los predicados que definen a los primeros son deformaciones inteli-gibles de predicados literalmente verdaderos de los segundos. Pero esta representación es hasta cierto punto convencional y obedece a que, usualmente, el sistema modelo fue construido precisamente con la intención de representar ese sistema objetivo, la comunidad científica relevante así lo estima, y es así como se presenta en los libros de texto de la disciplina. Si el sistema modelo m representa-t al sistema ob-jetivo r escribimos m ≜ r, siguiendo una notación introducida por Bunge (1972).

3. Sistemas modelo y estructurasLos axiomas de una teoría económica consistente definen directamente un pre-dicado conjuntista (como A es una ‘estructura de preferencia regular’) pero tam-bién son oblicuamente verdaderos, al menos bajo alguna interpretación típica de los términos primitivos, de sistemas modelo. Considérese la siguiente definición de un predicado conjuntista.


Definición 1: A es una estructura de preferencia regular syss existen X y ≿ tales que(0) A = ⟨X, ≿⟩(1) X es un conjunto no vacío(2) ≿ es una relación binaria sobre X(3) ≿ es conectada(4) ≿ es transitiva.

Es discutible que la relación de preferencia exhibida (parcialmente) por un agen-te humano en un momento dado sea conectada y transitiva. Sin embargo, el de-sarrollo sistemático de la teoría puede proceder como si esta fuese acerca de un agente que satisface con precisión los axiomas (3) y (4).

La teoría de la utilidad ha procedido a través de la construcción de sistemas modelo dotados de propiedades idealizadas. Se ha supuesto, por ejemplo, que el agente (un sistema modelo), además de satisfacer el predicado P(x) definido arri-ba en (7), define su relación de preferencia sobre un espacio de cestas de consu-mo que es representable por un subconjunto convexo del ortante no negativo de Ω de RL (otro sistema modelo). Otras idealizaciones que han sido introducidas sobre estas son las de relación de preferencia continua o relación de preferencia insaciada (o localmente insaciada).

Al ser idealizaciones, los predicados “relación de preferencia continua” o “re-lación de preferencia insaciada” son deformaciones (inteligibles) de predicados que denotan propiedades reales. Podemos imaginar y entender perfectamente bien que un pequeño (inobservable) cambio en un menú de consumo no debe-ría alterar notablemente (observablemente) la satisfacción que el primero aporta a un consumidor real. Igualmente, dentro de ciertos límites, al menos, podemos entender que un consumidor prefiera más bienes que menos. En todo caso, las idealizaciones en cuestión son falsas de los consumidores que la teoría ha focali-zado como sistemas objetivo pero entonces, si son falsas, es que siguen teniendo un significado inteligible. Todas las idealizaciones anteriormente mencionadas (es-pacio de consumo, relación de preferencia regular, continua, insaciada) son nece-sarias para demostrar la existencia de funciones de utilidad que posean ciertas ca-racterísticas requeridas por la teoría económica (continuidad, monotonía).

En este ejemplo se ve que un predicado conjuntista (bajo cierta interpreta-ción de los términos primitivos) es satisfecho con toda exactitud por uno o varios sistemas modelo que a su vez representan ciertos sistemas objetivos. Es un error categorial decir que un predicado conjuntista es satisfecho por un sistema obje-tivo, pues los sistemas objetivos no son entidades conjuntistas. Así (dejando de lado el problema de Ramsey) no es posible expresar la aserción empírica de una teoría T diciendo que los sistemas objetivo (reales) en una cierta clase satisfacen el predicado conjuntista que define las estructuras de la teoría.

Una forma más correcta de expresar la aserción empírica consistiría, pues, en afirmar que la teoría T es aplicable a la clase de sistemas objetivo C. Para hacer plausible esta aserción, sin embargo, se requiere hacer ciencia normal aplicando efectivamente la teoría a cada uno de los casos en C. La aplicación a un caso pre-tendido c ∈ C consiste típicamente en elaborar un objeto modelo m que satisface


los términos no teóricos de T (bajo cierta interpretación semántica), y tal que m ≜ c. Esto resuelve el problema de que las descripciones que escogemos para ate-rrizar aserciones estructuralistas casi nunca son descripciones verdaderas del sis-tema objetivo (Frigg 2010, p. 254). Desde luego, así descrita, la aserción empírica involucra aserciones verdaderas que no son expresables en términos puramente de estructuras. Pero la verdad es que nadie ha sostenido que lo sean: el estructu-ralismo siempre ha insistido en que dichas aserciones involucran consideraciones históricas y pragmáticas. Incluso Suppes, al defender su idea de medición funda-mental, insiste en que las “estructuras empíricas” son el resultado de considera-ciones no sistemáticas.

4. Sistemas modelo y sistemas objetivoPara terminar este artículo, quisiera mostrar mediante un ejemplo de qué mane-ra se entrelazan las estructuras con los sistemas modelo y con los sistemas objeti-vo. Consideraremos la teoría clásica de la demanda.

La teoría clásica de la preferencia (si se me permite llamarla así) empieza por definir el predicado “estructura de preferencia clásica”, del modo siguiente.Definición 2: A es una estructura de preferencia clásica syss existen X y ≿ tales que

(0) A = ⟨X, B, ≿⟩(1) X es un subconjunto del ortante no negativo del espacio euclidiano R

L

(2) ⟨X, ≿⟩ es una estructura de preferencia regular(3) B es una familia de subconjuntos compactos de X(4) ≿ es estrictamente convexa(5) ≿ es continuamente diferenciable.

Es posible demostrar que la relación de preferencia ≿ es representable mediante una función de utilidad u: X → R que es cuasicóncava y continuamente diferen-ciable, de modo que u asume un máximo exactamente en un punto x

B* ∈ B, para

cada B ∈ B. La función u: B → X que asigna a cada B ∈ B el punto xB

* ∈ B es la función de demanda walrasiana.

La teoría clásica de la demanda requiere la construcción de un sistema mode-lo m consistente en un consumidor con memoria infinita que sabe de antemano cuál sería su elección al confrontar las opciones de cualquier conjunto B ∈ B.1 Esta información es representada en una estructura conjuntista mediante una función de demanda “no teórica” (relativamente a la teoría T de la demanda clá-sica) η: B → X. Si la matriz de Slutsky correspondiente a η es semidefinida ne-gativa y simétrica, el consumidor sabe que coincide con una función de demanda walrasiana µ y, además, dado que m posee capacidades computacionales ilimita-das, puede determinar instantáneamente la relación de preferencia de la que pro-viene dicha µ (y por lo tanto la η).

1 Los conjuntos B en este caso son los conjuntos presupuestales definidos como {x X /px w}, donde p es un sistema de precios y w un nivel de renta. El conjunto de los precios es P y el de las rentas es W.


Si c es un sistema objetivo (un consumidor humano de carne y hueso) y la comunidad científica representa a c con m, el científico normal puede intentar aplicar la teoría T a c. Que T sea aplicable o no aplicable a c es una cuestión en-teramente empírica. Decir que lo es, es un claim que tiene que ser sustentado con base en datos empíricos. Varian (1983) ha subrayado que hay dos aproxima-ciones a este problema. Uno, el enfoque basado en el cálculo diferencial e inte-gral, el cual se originó en el trabajo de Slutsky (1915) y Antonelli (1886), deri-va condiciones necesarias y suficientes sobre las derivadas de la función de de-manda η. El segundo, que se origina en el trabajo de Samuelson (1938, 1947, 1948), deriva condiciones sobre la función de demanda implicadas por la con-ducta maximizadora y es llamado ‘no-paramétrico’ porque no supone forma es-pecífica alguna para la función η.

The distinction between the two approaches is very important in empiri-cal work. The calculus approach assumes the entire demand function [nues-tra η] is available for analysis, while the algebraic approach assumes only a finite number of observations on consumer behaviour is available. Since all existing data on consumer behavior does consist of finite number of obser-vations, the latter assumption is much more realistic (Varian 1983, p. 99).

Podemos explicar el método no paramétrico mediante el concepto de estructura de datos. A partir de la observación de la conducta del agente obtenemos una es-tructura de datos:

D = ⟨X, F, ⟩,donde es una función definida sobre un subconjunto finito F de P × W, preci-samente el de pares de sistemas de precios y rentas bajo las cuales se ha observa-do la conducta del consumidor. La función de demanda empírica

es obviamen-

te finita y discreta, por lo que la estructura D se puede exponer mediante la ta-bla. El método no paramétrico no busca construir directamente la completa fun-ción de demanda η, sino que utiliza un algoritmo para construir directamente una función de utilidad que “racionalice” los datos, siempre y cuando la estructu-ra D satisfaga las condiciones del siguiente teorema.

Teorema. (afriaT) Las siguientes condiciones son equivalentes:(1) Existe una función de utilidad no saciada que racionaliza los datos. (2) Los datos satisfacen el axioma general de la preferencia revelada.

D

Argumento(p1, w1)(p2, w1)

…(pk, wk)

…(pN, wN)

Valor de η x1 = η (p1, w1) x2 = η (p2, w2)

…xn = η (pk, wk)

…xN = η (pN, wN)

ˆˆ

ˆ

ˆ ˆ

ˆ

ˆˆ

ˆ


(3) Existen números Ui, λi > 0 (i = 1,…, N) que satisfacen las desigualdades de Afriat: Ui ≤ Uj + λj pj (xi - xj) para i, j = 1,…, N.

(4) Existe una función de utilidad cóncava, monótona, continua y no saciada que racionaliza los datos.2

Afriat (1967) y Varian (1982) proveyeron algoritmos mediante los cuales es posi-ble construir una función de utilidad u que racionalice los datos de una estructu-ra D. Esto significa “brincar”, por así decirlo, de un modelo de datos a la función T-teórica u. Luego es posible incrustar D en la estructura parcial que consiste de la función de demanda walrasiana µ inducida por u. Es decir, µ restringida a F coincide puntualmente con . El método paramétrico busca determinar primero la función de demanda no teórica η sin involucrar al término teórico u y luego trata de recuperar u a partir de η.3

Queda elucidada, así, por lo menos en este ejemplo, la cuádruple relación es-tructura-sistema modelo-sistema objetivo-modelo de datos, y resuelta la cuestión de cómo es posible aplicar teorías empíricas a sistemas objetivo a través de siste-mas modelo. El enigma se resuelve a través de la relación ≜, y de notar que, fi-nalmente, la aplicabilidad de una teoría a un sistema objetivo determinado (re-presentado por sistemas modelo idealizados que satisfacen con precisión los axio-mas de la teoría) es una cuestión enteramente empírica.

2 Para una demostración, véase Varian (1983).3 Para una explicación estructuralista de este procedimiento, véase García de la Sienra (2009).


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Consideraciones de índole ontoepistemosemántica | 39

Consideraciones de índole ontoepistemosemántica*

ResumenEl término “ontoepistemosemántica” es un neologismo introducido en la literatura filosófica –hasta donde conozco– por C.U. Moulines, con el que se quiere dar cuenta de los estrechos vínculos que ontología, semántica y epistemología tienen entre sí. Al respecto Moulines seña-la a Frege como el primer filósofo en haberse percatado plenamente de la mutua imbricación entre las principales preguntas ontológica, epistemológica y semántica, dando preeminencia metodológica a la última. Sin embargo, la propuesta concreta de Moulines, explicitada para el ámbito de la elucidación de la ciencia, adopta una tesis de un claro carácter internista, que a mi entender está más en consonancia con Carnap, Goodman o Kuhn. El propósito de mi trabajo es considerar la peculiar propuesta de ontoepistemosemántica que defiende Mouli-nes para analizar sus implicaciones en relación con el tratamiento que la metateoría estruc-turalista, de la que el propio Moulines es una figura relevante, hace de ciertos aspectos de la ciencia, como son: modelos, leyes, modelos de datos; y para establecer cómo superar las limi-taciones de la propuesta de Moulines en su aplicación a los términos científicos.Palabras clave: ontoepistemosemántica - Moulines - ontológico - óntico - términos científicos - significado - sentido - referencia

AbstractThe term ‘ontoepistemosemantics’ is a neologism introduced in the philosophical literature, to my knowledge, by C.U. Moulines, with which he intends to explain the close links that ontology, semantics and epistemology bear with each other. Moulines regards Frege as the first philosopher who realized the mutual imbrication among the main ontological, epis-temological and semantic questions, paying special methodological attention to the latter. However, the specific proposal which Moulines gives to us, explicitly for the elucidation of science, adopts a thesis of a clear internist character, which I believe is more in line with Car-nap, Goodman and Kuhn. The purpose of my work is to consider the particular proposal of ontoepistemosemantics defended by Moulines, in order to analyze its implications in rela-tion to the treatment that the structuralist metatheory –of which Moulines himself is a major

* Recibido: 22 Febrero 2011. Aceptado en versión revisada: 10 Abril 2011.† Universidad de Santiago de Compostela. Para contactar al autor, por favor escriba a: [email protected].‡ Este trabajo participa del proyecto de investigación FFI2009-08828, financiado por el Ministerio de Cien-

cia e Innovación de España y por el FEDER, del proyecto PICTR 2006 Nº 2007, de la Agencia Nacional de Promoción Científica y Tecnológica, de la República Argentina, y del PTDC/FIL-FIL/109882/2009, finan-ciado por la Fundação para a Ciência e a Tecnologia (Ministério da Ciência, Tecnologia e Ensino Superior de Portugal). Agradezco a José A. Díez y a Pablo Lorenzano sus comentarios a una versión preliminar. Ellos no son responsables de las deficiencias que aún preserve el trabajo.Metatheoria 1(2)(2011): 39-63. ISSN 1853-2322.


José L. Falguera†‡

Considerations of an Ontoepistemicsemantical Kind

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figure– makes of certain aspects of science, such as: models, laws and data models; and to ex-plain how to overcome the limitations of the proposal that Moulines has given to us in their application to scientific terms.Keywords: ontoepistemosemantics - Moulines - ontological - ontic - scientific terms - me-aning - sense - reference

Al contrario de lo que se cree, sentido y significado nunca han sido lo mismo, el significado se queda aquí, es directo, literal, explícito, cerrado en sí mismo, unívoco podríamos decir, mientras que el sentido no es capaz de permanecer quieto, hierve de segundos sentidos, terceros y cuartos, de direcciones radiales que se van dividiendo y subdividiendo en ramas y ramajes hasta que se pierde de vista, el sentido de cada palabra se parece a una estrella cuando se pone a proyectar mareas vivas por el espacio, vientos cósmicos, perturbaciones magné-ticas, aflicciones.

José Saramago, Todos los nombres, Madrid: Alfaguara, 1997, pp. 154-155.

1. IntroducciónEn la obra de Moulines el término “ontoepistemosemántica” vino precedido por el de “ontosemántica”, introducido en 1980, con su artículo “Ontosemántica de las teorías científicas” (1980), para explicitar la tesis filosófica de la interdepen-dencia existente entre ontología y semántica. Además, con tal supuesto, inten-taba responder a la cuestión de qué es una teoría factual a la luz de algunas co-rrientes de filosofía de la ciencia, para lo que se apoyaba en distinciones de ori-gen fregeano, como son las de los pares de categorías ‘referencia’ y ‘sentido’, por un lado, y ‘objeto’ y ‘función’, por otro lado. Con el tiempo, Moulines ha enten-dido que la mencionada interdependencia solo era parte de la cuestión y desde 1998 (1998a, 1998b, y 2011) ha hecho explícita la necesidad de tomar en consi-deración los estrechos vínculos que ontología y semántica tienen también con la epistemología. Digo que ha hecho explícita tal necesidad desde 1998 porque esta ya estaba tácitamente presente en su obra previa, al abordar las cuestiones onto-semánticas conforme a la perspectiva fregeana, tal y como ya señalé. De hecho, Moulines presentaba no hace mucho (en Granada) a Frege como el primer filóso-fo en haberse percatado plenamente de la mutua imbricación entre las principa-les preguntas ontológica, epistemológica y semántica, dando preeminencia meto-dológica a la última (Moulines 2011).

2. Los principios de la ontoepistemosemántica, según Moulines

No hay ni que decir que para Moulines la reflexión ontoepistemosemántica so-bre las ciencias factuales va de la mano de la metateoría estructuralista, corriente de análisis de los productos cognoscitivos de la ciencia atendiendo a las dimen-siones sincrónica y diacrónica de estos. La consideración de que la metodología estructuralista proporciona, hasta ahora, la manera más adecuada de elucidación


de la identidad de las teorías conforma uno de los principios básicos que articu-lan su enfoque ontoepistemosemántico, a saber, el que denomina la Metodolo-gía del Estructuralismo Metacientífico (MEM). Este principio, según Moulines, se suma a otros dos: el Principio de la Subordinación de la Ontología a la Epistemología (PSOE) y el Principio de la Contextualidad Teórica del Ser (PCTS); siendo este se-gundo subsidiario del primero. El PSOE viene a indicar que establecemos lo que hay a partir de lo que asumimos como conocimiento. Por tal conocimiento con-sidero que podemos entender conocimiento conjetural, sistemas de creencias fia-bles pero falibles; NO creencias verdaderas justificadas. El PCTS plantea que es en el contexto de una teoría científica en el que cabe establecer lo que hay, ya que las teorías, en cuanto entidades estructuradas y sistematizadas, son las unida-des más fiables con las que conformamos conocimiento (falible) acerca del mun-do externo.

Con los mencionados, un principio más es presentado por Moulines como caracterizador del enfoque que él defiende. Se trata del Principio de la Relevancia Ontológica del componente No-referencial (PRON). Tras este principio está la idea de que la semántica de un término viene dada por dos vectores: uno referencial y otro no-referencial (o intensional). En el caso de cada teoría científica, el vector referencial de sus términos científicos nos proporciona su ontología, pero esta de-pende del no-referencial o intensional. Considero que con ello se adopta un en-foque internista, oponiéndose a los enfoques externistas (al menos a los de orden realista que pretenden que hay entidades naturales con las que entramos en con-tacto los humanos y determinan los referentes de, al menos, algunas de nuestras expresiones y en especial de las científicas; aunque tal vez no a un externismo de índole social según el cual los referentes se fijan en los usos sociales de las expre-siones.) Un enfoque externista de entidades naturales que contemple intensiones procede en el sentido de que lo sean las entidades intensionales lo condicionan las entidades naturales, mientras que en el enfoque propuesto son contenidos epistémico/intensionales los que determinan maneras de recortar el mundo.1

3. Una propuesta de principios preliminares a la ontoepistemosemántica

A mayores de los cuatro principios de la ontoepistemosemántica que propone Moulines entiendo que es preciso establecer otros cuatro de carácter preliminar a la ontoepistemosemántica. De estos, Moulines ni se hace cargo, ni tiene, por tanto, responsabilidad alguna sobre ellos. Serían:

•El Principio de Autonomía Óntica del Mundo-con-soporte-físico (PAOM): El mun-do-con-soporte-físico, que es objeto del conocimiento empírico, tiene estruc-tura y mobiliario con independencia de la manera en que lo conceptuemos y lo conozcamos conjeturalmente.

1 Los cuatro principios (PSOE, PCTS, PRON y MEM) aparecen en Moulines (1998 y 2011).


•El Principio acerca de la Pretensión de Determinación Óntica de la Ciencia (PP-DOC): La pretensión de la ciencia es dar cuenta de las parcelas del mun-do-con-soporte-físico, es decir, determinar sus respectivas estructuras y mo-biliarios.

•El Principio de la Indeterminación Óntica del Mundo-con-soporte-físico (PIOM): El mundo-con-soporte-físico, tal y como realmente es, nos resulta indetermina-ble, si llegamos a acertar en alguna conjetura acerca de él (i.e., de manera verdadera), esto no lo sabemos (i.e., no podemos proporcionar una justifica-ción de peso, por ejemplo de índole fundamentista). (Rechazo las tesis de de-terminación externista causal de conceptos generales y de leyes naturales.)

•El Principio de la Primacía de la Ciencia Empírica en la Indagación Ontológica del Mundo-con-soporte-físico (PPCEIOM): La mejor forma de indagar sobre las parcelas del mundo-con-soporte-físico, a fin de intentar dar cuenta de sus respectivas estructuras y mobiliarios, la proporciona la ciencia empírica (i.e., las conjeturas que, aunque falibles, basan su fiabilidad en la observa-ción –no necesariamente ‘perceptual’–, en la experimentación y en la me-dición). Este principio puede recordar al principio ontosemántico llamado PSOE. Sin embargo, el PSOE, tal y como está formulado, habla de la me-jor manera de establecer lo ontológico, mientras que aquí se dice que esa manera de establecer lo ontológico es la más seria para pretender dar cuen-ta de lo óntico (la que, a la luz de sus controles y procedimientos de elec-ción, es más fiable, aunque sea falible).

Pueden sorprender los primeros dos principios preliminares de la ontoepistemo-semántica una vez que se ha asumido una posición internista, según señalába-mos antes a la luz de los principios de la ontoepistemosemántica formulados por Moulines. Parecería que hay alguna suerte de incoherencia. Además, esta apa-riencia puede verse incrementada por los usos de las expresiones “ontológica”, en los principios de la ontoepistemosemántica dados por Moulines, y “óntica”, en los principios preliminares que acabo de enunciar. Permítaseme empezar por aclarar que, tal y como entiendo esas expresiones, la primera –“ontológica”– es relativa a las expresiones de una lengua natural o lenguaje artificial (incluidos los formales con contenidos establecidos), es decir, trata de lo que se dice que hay mediante una lengua o lenguaje; mientras que la segunda –“óntica”– depende de lo que realmente haya en el mundo-con-soporte-físico, en sus (posibles) diferentes niveles de complejidad. Hablar de mundo-con-soporte-físico supone: por un lado, no rechazar que el mundo (en general) incluya modalidades diferentes de la físi-ca, como la abstracta y la de entes de ficción; y, por otro lado, que el mundo-con-soporte-físico puede tener extractos o niveles que devienen del físico (aunque no se reduzcan a él), como el bioquímico, el biológico, o el mental. La conveniencia –yo diría la necesidad– de tener en cuenta que hay un mundo-con-soporte-físico con estructura y mobiliario deviene de tomarse en serio la propia ciencia empíri-ca frente a propuestas cognoscitivas pseudocientíficas –cualesquiera que sean es-tas o los criterios para establecer la distinción, que no son los asuntos que ahora nos conciernen– y sobre todo de posicionarse frente a propuestas relativistas en


las que cualquier conjetura o sistema conjetural tiene el mismo valor epistémico. Las conjeturas de la ciencia son apropiadas en tanto que son evaluables a la luz de controles posibilitados por la observación, la experimentación y la determina-ción –la medición en el caso de nociones métricas–, que son procedimientos de interacción sobre el mundo-con-soporte-físico que sirven de constricción para di-chas conjeturas, y, más concretamente, para las teorías científicas.

También supone un rechazo a los enfoques idealistas y a planteamientos es-trictamente fenomenológicos. De ahí el PAOM. La propia ciencia empírica tiene su justificación, en tanto que actividad que produce contenidos cognoscitivos, en la medida en que su aspiración es la de dar cuenta de un mundo-con-sopor-te-físico que es independiente de los productos cognoscitivos que conformamos. De ahí el PPDOC. Otra cosa es si esa aspiración se logra o no y, cuando se lo-gra, en qué medida. Al respecto, mi posición está en la línea del discurso kantia-no, y eso es lo que se refleja con el PIOM. A pesar de la indeterminación óntica del mundo-con-soporte-físico, la mejor manera de dar cuenta de las parcelas de dicho mundo la proporciona la ciencia empírica debido a que, aun siendo fali-ble, es la mejor manera de intentar dar cuenta del mundo-con-soporte-físico. Y esto último se debe a sus procedimientos o prácticas materiales, basados en la observación, la determinación operacional de los conceptos científicos –clasifica-torios, comparativos y métricos, según el caso–, la experimentación, los controles sobre las predicciones y el sometimiento racional a evaluación de los productos cognoscitivos.

De ahí el PPCEIOM. Al aferrarnos a este principio estamos aceptando que el mundo-con-soporte-físico, en sus diferentes niveles o extractos, constriñe, me-diante las prácticas materiales de la ciencia, los conceptos y conjeturas postulados en la ciencia; donde constreñir no es determinar, sino limitar posibilidades.

4. Algunos precedentes de la ontoepistemosemántica

Si antes hacía referencia a los precedentes fregeanos de la ontoepistemosemánti-ca, ahora parece pertinente indicar que, a la luz de los mencionados principios que la caracterizan, encontramos un antecedente más claro en los puntos de vis-ta defendidos por Carnap en “Empiricism, Semantics, and Ontology” (1950). Carnap distingue entre cuestiones ontológicas internas y cuestiones ontológicas externas. Las últimas, según Carnap, conciernen a la existencia o realidad de un sistema de entidades como un todo, y constituyen un pseudoproblema; no son para él una cuestión teórica real sino una cuestión práctica acerca de la acep-tación y uso, o no aceptación y no uso, de un determinado marco lingüístico, como por ejemplo, el propio de una teoría o el del lenguaje cosista-observacio-nal. Las primeras, las internas, son las que conciernen a la existencia de cier-tas entidades dentro de un marco lingüístico. Téngase presente que para Carnap (1950) una teoría conforma uno de estos marcos. Al respecto señala:


Si alguien quiere hablar en su lenguaje acerca de un nuevo tipo [género; kind] de entidades, tiene que introducir un sistema de nuevas maneras de hablar, sujeto a nuevas reglas; llamaremos a este procedimiento la construcción de un marco lingüístico para las nuevas entidades en cuestión. (Carnap 1950, v.i. p. 206; v.c. p. 402).2

En “What Classes of Things Are There?” (de 1998), Moulines nos recuerda que otro precedente lo encontramos en la obra de Quine, quien afirma algo que po-dríamos identificar con el PCTS, al decir:

Nuestra ontología queda determinada en cuanto fijamos el esquema concep-tual más general que debe ordenar la ciencia en el sentido más amplio; y las consideraciones que determinan la construcción razonable de una parte de aquel esquema conceptual –la parte biológica, por ejemplo, o la parte física– son de la misma clase que las consideraciones que determinan una construc-ción razonable del todo. (Quine 1953, v.i. pp. 16-17, v.c. p. 44).

En este sentido, conviene tener presente que la dependencia de la ontología res-pecto del componente intensional, que postula Moulines, la tiene en tanto que este está dado relativamente a cada teoría factual (considerada como entidad ge-nidéntica). Eso es lo que entiendo que resulta al combinar el principio de la re-levancia ontológica del componente no-referencial (PRON) y el principio de la contextualidad teórica del ser (PCTS). Efectivamente, si lo que hay depende del componente intensional (o no-referencial) y del contexto de una teoría, es por-que con cada teoría factual se fijan los componentes no-referenciales relevantes de los que devienen los compromisos ontológicos de dicha teoría, los géneros (kinds) de cosas que hay según la teoría en cuestión. Más adelante veremos la fuer-za que encierra esta consideración.

Solo indicar, ya desde ahora, que tales propuestas están en consonancia con un tipo de planteamientos internistas, como los de Carnap y Quine ya menciona-dos, que podemos denominar conceptualista. Otros referentes que cabe identifi-car en esta línea conceptualista son Goodman (1978) y Kuhn (1962/70, 1983a, 1983b, 1983c, 1989a, 1989b, 1990, 1991, 1993 y 2000).3 Además, hago mía la consideración de que la MEM permite mostrar la peculiar manera en que la on-tología depende de la semántica (del componente no-referencial) y de la episte-mología (de las teorías asumidas como adecuadas).

5. ModelosLa idea de que las teorías factuales son las que determinan lo que hay, en conjun-ción con la idea de que la elucidación más apropiada de tales teorías la propor-ciona la metateoría estructuralista, nos aboca a tener presente que según esta las

2 En la traducción existente del texto de Carnap la expresión ‘kind’ aparece traducida por ‘tipo’, pero con fre-cuencia en otros textos filosóficos se traduce por ‘género’.

3 Quizás la propuesta de Goodman adquiere un sesgo relativista que no compartiría este enfoque ontoepiste-mosemántico. A Kuhn también se le ha achacado un deriva relativista, pero sus pronunciamientos en contra han sido explícitos, aunque no siempre totalmente claros.


unidades fundamentales de una teoría son sus modelos. En la metateoría estruc-turalista, como en el conjunto de planteamientos teórico-modelistas de filosofía de la ciencia, por modelos se entiende el tipo de estructuras propias de la semán-tica formal –o de la teoría de modelos– tal que cada una sirve para proporcionar una interpretación semántica de un (fragmento de) lenguaje formal, en la línea de la tradición tarskiana. Es decir, un modelo se presenta como una estructura como la siguiente:

⟨ 1xD ,…,

xkD , 1

xA ,…, xlA , 1

xR ,…, xmR , 1

xS ,…, xnS ⟩

(donde cada xiD , 1 ≤ i ≤ k, es un dominio base; cada

xiA , 1 ≤ i ≤ l, es un domi-

nio auxiliar de entidades numéricas; cada xiR , 1 ≤ i ≤ m, y cada

xjS , 1 ≤ j ≤ n, es

una relación (algunas son funciones) que se genera según las técnicas conjuntistas a partir de los dominios base y de los dominios auxiliares).

La peculiaridad en el tratamiento estructuralista para explicitar la identidad de una teoría estriba en que estrictamente no es parte de lenguaje formal –o frag-mento de éste– alguno, ya que no interesa para dicho cometido considerar una determinada sintaxis que explicite cierta formulación lingüística de la teoría en cuestión. La idea es que la identidad de una teoría no depende de la formulación lingüística que elijamos considerar –asumiendo que hay múltiples posibles–, sino que más bien depende de su aparato conceptual característico y de cómo éste se articula –con independencia de que se opte por presentar dicho aparato concep-tual bajo una formulación lingüística u otra, es decir, a través de una enuncia-ción de tal teoría u otra–.

El aparato conceptual de una teoría y su manera de articularse quedan repre-sentados por los modelos potenciales de la teoría y por las restricciones de dife-rentes tipos establecidas para estos (es decir, para las variables de conceptos apro-piados de la teoría). Los modelos potenciales se conciben como estructuras como la indicada arriba, que representan posibles sistemas apropiados para la teoría. Los tipos de restricciones para estos modelos potenciales son, en jerga estructura-lista, las leyes científicas, las ligaduras y los vínculos interteóricos. Las restriccio-nes de estos diferentes tipos aplicadas a los modelos potenciales (o a combinacio-nes de estos) fijan el contenido teórico de la teoría.

En lo que concierne a la identidad de una teoría, hay que añadir que, jun-to a los modelos potenciales y las restricciones para los modelos potenciales, se debe contemplar a aquellas realizaciones concretas (o aplicaciones pretendidas) que son tomadas en consideración (por la comunidad de científicos) que trabaja con la teoría –que trabaja con su contenido teórico–.

La apelación a los modelos, en cuanto estructuras de la semántica formal, como unidad fundamental de una teoría, puede recordarnos una consideración que tuvo un cierto eco entre finales de los cincuenta y comienzos de los sesen-ta del pasado siglo XX. Con esta también se afirmaba que una teoría no era un sistema de enunciados sino que se identificaba a través de sus modelos, propo-niendo esto como una clara alternativa a la idea neopositivista de que las teo-rías factuales se podían identificar como sistemas axiomáticos de enunciados. Pero al tematizar bajo dicho enfoque sobre los modelos que conforman una


teoría, se empezaba por considerar los modelos analógicos (y a veces se restrin-gía el discurso a estos), para pasar (algunos) a hablar de los modelos matemáti-cos y los teóricos como constituyentes característicos de las teorías maduras. E. Hutten (1954), M. Black (1962), M. Hesse (1963), P. Achinstein (1965, 1968), E. McMullin (1968) y R. Harré (1970, 1976) son algunos de los que han escrito so-bre modelos en este sentido. Kuhn, con posterioridad con respecto a la mayo-ría de ellos, al hablar sobre ‘matrices disciplinares’ en “Epílogo” y en “Segundos pensamientos sobre paradigmas”, diferencia entre los modelos analógicos y los categoriales (u ontológicos). Kuhn, en la línea de esta tradición, presenta a un modelo analógico como un elemento heurístico para representar cierta parcela (cierto tipo de parcela) de la naturaleza a partir de las semejanzas establecidas con otro sistema para el que ya existe una teoría con la que comprenderlo (que sirve para explicarlo y para establecer predicciones); la semejanza supuesta entre el sistema a explicar y aquel para el que hay una teoría justificaría explicitar una teoría formalmente similar a esta última de modo tentativo para la parcela (el tipo de parcela) de la naturaleza a comprender (para la/el) que precisamos ex-plicación y mecanismos de predicción). Los modelos analógicos son para Kuhn elementos heurísticos para la conformación de nuevas teorías. Solo cuando un modelo analógico se toma en serio, a los efectos de concebir de hecho una par-cela –un tipo de parcela– de la naturaleza a la manera en que previamente se re-presentaba solo por analogía, es cuando pasa a ser un ‘modelo categorial’; en ese momento disponemos de una teoría para esa parcela (ese tipo de parcela), no ya de modo tentativo sino como hipótesis firme (aunque falible) para la misma (el mismo) (Kuhn 1970 y 1974).

La cuestión es que, pese a la inicial aparente conexión entre los modelos de la MEM y los de esta última tradición, habría razones para pensar que unos y otros modelos son entidades de índole diferente. Quienes sostienen que los mo-delos de las ciencias factuales son de carácter diferente a los de la semántica for-mal aducen que los primeros no son estructuras que interpreten el lenguaje for-mal de un cálculo, sino más bien representaciones. En este sentido se han pro-nunciado pensadores como M. Black, P. Achinstein y E. McMullin. Frente a tal punto de vista P. Suppes ha defendido que el concepto de modelo de la semán-tica formal es el mismo que el de las ciencias factuales, aunque tras la unidad de concepto hay diferencia de usos. Así dice:

Pretendo que el concepto de modelo en el sentido de Tarski puede usarse sin distorsión y como concepto fundamental […]. En este sentido, aseveraré que el significado del concepto de modelo es el mismo en matemáticas y en las cien-cias empíricas. La diferencia que se encuentra en esas disciplinas se encuentra en sus usos del concepto. (Suppes 1960, v.c. p. 112).

Sin embargo, la pretensión de Suppes encuentra serias dificultades, ya que en las ciencias factuales o empíricas, y con ellas en la tradición de Hutten, Hesse, Harré y Kuhn, los modelos parecen consistir en maneras de representar (de concebir) sis-temas de la naturaleza. Pero los modelos de MEM a veces se entienden como los propios sistemas de la naturaleza en cuanto interpretan los términos (o variables


conceptuales) característicos(as) de una teoría. Tras esta manera de entender los modelos de MEM está un enfoque interpretacional de la semántica, que es carac-terístico de la tradición de semántica formal tarskiana. Algunos de los textos de la tradición estructuralista contribuyen en no poca medida a ello. Así, al comienzo de An Architectonic for Science se presentan los modelos (en la línea de la semántica for-mal) como la cosa pintada, evitando que se confunda con la pintura de la cosa, acep-ción esta que está más en consonancia con los usos de la expresión ‘modelo’ que tienen que ver con representaciones de determinados asuntos (como los usos habi-tuales en las ciencias factuales), de manera semejante a como las maquetas son re-presentaciones respecto de sus asuntos (Balzer, Moulines & Sneed 1987, pp. 2-3).

Cabe, sin embargo, adoptar un enfoque alternativo al interpretacional para los modelos de la semántica formal y con ello para los de MEM. Este enfoque fue planteado por Etchemendy al establecer para los modelos de la semántica formal: “Los modelos son exactamente representaciones abstractas del mundo, ambas de como es y de como podría haber sido” (Etchemendy 1988, p. 95; traducción mía).

Etchemendy plantea esto, además, para mostrar que, aunque la concepción interpretacional funciona para dar cuenta de nociones como la de ‘verdad lógica’ y ‘consecuencia lógica’ con lenguajes bastante sencillos por el mero hecho de que seleccionamos las expresiones apropiadas como teniendo significado fijo –las que consideramos como sus constantes lógicas–, esto no tiene por qué estar asegura-do de manera generalizada; mientras que sí lo está cuando adoptamos la concep-ción representacional. La moraleja está servida: si la perspectiva interpretacional no sirve para dar cuenta adecuadamente de nociones como la de ‘verdad lógica’ para cualquier lenguaje, tampoco debería ser la perspectiva a adoptar a ningún otro efecto (Etchemendy 1988 y 1990).

La perspectiva interpretacional se caracteriza por tomar como modelos a par-celas del mundo-como-efectivamente-es a fin de interpretar las expresiones variables de un lenguaje formal, siendo arbitrario qué expresiones se toman como fijadas y cuáles como variables. La alternativa representacional considera que todas las expresiones tienen un significado fijado y cada modelo es una representación de una posibilidad de ser (de parcelas) del mundo; cada modelo es una representa-ción conceptual (de una parcela) del mundo. La perspectiva representacional per-mite concebir los modelos de la MEM como una manera de explicitar los mo-delos de la ciencia conforme a la tradición que incluye a Hesse, Harré y Kuhn, ateniéndose al vocabulario descriptivo característico de cada teoría. Permítaseme añadir que la perspectiva representacional supone una aproximación al vocabu-lario descriptivo de las teorías científicas que está más en consonancia con un enfoque conceptualista como el que abrazaban Carnap (1950, §§ 2 y 3) y Quine (1953, § 7) frente a los enfoques realista o nominalista, ya que no parte de nada que suponga un mundo dado (como-efectivamente-es) para la semántica referencial de un lenguaje, sino posibilidades de ser del mundo. No me cabe duda de que Moulines se sitúa en la estela conceptualista de Carnap, Quine y otros (como Kuhn y Goodman) tal y como el propio Moulines da a entender en “What Clas-ses of Things Are There?” (Moulines 1998b).


Permítaseme aclarar que la idea de un significado fijado (para las expresiones características de una teoría factual) no debe entenderse como si todo el conteni-do intensional (todo el vector no-referencial) estuviera dado de una vez por to-das, sin posibilidad de variaciones con el desarrollo de la teoría. Entenderlo así supondría considerar que el contenido intensional de los términos característicos de una teoría factual está cerrado, cuando una lección claramente aprendida en la filosofía de la ciencia –ya por los propios neopositivistas– es la de que el con-tenido intensional de cada término descriptivo de una teoría factual está abierto –en especial si es teórico, relativamente a una teoría–. La compatibilidad de signi-ficado fijado y contenido intensional abierto se alcanza si asumimos que hay un núcleo duro de la componente intensional de cada término descriptivo teórico de una teoría que queda fijado desde la consolidación de la teoría, mientras que hay aspectos periféricos que (habitualmente) cambian con el desarrollo de la teo-ría. (Más adelante volveré sobre esta idea.)

Conforme a lo dicho, si aceptamos la idea de que los modelos de la MEM son maneras de representar –de conceptuar– posibles parcelas del mundo, junto con la de que son las unidades básicas de las teorías, hemos de tener presente que la forma de conceptuar en las ciencias factuales (y seguramente también en las for-males) es holista. Tal carácter holista muestra una suerte de interdependencia de las nociones características de una teoría; interdependencia que se hace palpable en los modelos en cuanto representaciones de posibles parcelas de la naturaleza. A mi entender uno de los aspectos relevantes de concebir los modelos como uni-dades fundamentales de las teorías es este. No solo se trata de cuestionar un en-foque enunciativista, por lo que suponga identificar una teoría con determinada formulación lingüística de las muchas posibles, sino también de cuestionarlo por lo que supone de pérdida de este rasgo de holismo elemental. Las teorías, según esto, tratan sobre la naturaleza en tanto que organizada como sistemas y solo sub-sidiariamente tratan sobre supuestos hechos básicos de los sistemas.

6. Modelos de datosPodría pensarse que lo dicho acerca de los modelos para la ciencia encuentra su piedra de toque en los llamados “modelos de datos”. También Suppes (1962) es pionero al incorporar tal noción a la elucidación acerca de la ciencia. Con inde-pendencia de que Suppes no habla estrictamente de aplicaciones pretendidas, como ya había hecho su discípulo Adams (1959), puede considerarse que esta es una forma de incorporar un elemento pragmático para las teorías y asegurar su contenido empírico. La propuesta de Suppes, considerada desde la perspecti-va actual de la MEM, supone aceptar que la interpretación empírica de una teo-ría factual abstracta T0 se obtiene a través de una jerarquía de teorías subyacen-tes, entre las que a la base se encontrarían teorías de modelos de datos. Cada teoría subyacente a T0 es una teoría más elemental (menos teórica); como por ejemplo, a la mecánica clásica subyace la cinemática clásica, y a su vez a la cine-mática subyacen la geometría euclidiana aplicada y la cronometría clásica. Una


imagen gráfica permite considerar una posible jerarquía de teorías subyacentes (véase Figura 1).

Figura 1Interpretación empírica de T0

mediante jerarquía de teorías subyacentes

T0

T1.1 T1.2T1.3

T2.1.1 T2.1.2T2.3.1 T2.3.2

T2.3.3

Tn.1.1...

Teorías de modelos de datos

Tn.m.k...

Estos modelos de datos conformarían la base observacional (intersubjetiva) para la teoría de partida y para las correspondientes ramas de teorías subyacentes. Ha-blar de teorías para los modelos de datos (como llega a hacer Suppes) puede re-sultar algo pretencioso, máxime si tenemos presente que los modelos de datos aparentemente no incorporarían datos teóricos para teoría alguna, aunque incor-poran los datos extraídos de situaciones experienciales.4 Como señala Moulines (2011) un modelo de datos lo que proporciona “son presupuestos operacionales para fijar el universo de discurso de ese modelo de datos” y, cabe añadir por mi parte, de algunas otras nociones básicas (y con ello alguno de los universos de discurso de la teoría de partida y de la rama de teorías subyacentes que conectan con ese modelo de datos –supuesto que algunas de esas teorías pueden tener di-ferentes suertes de universos de discurso empírico; es decir, pueden ser sortales–.)

La imagen que intuitivamente de entrada resulta de esta propuesta acerca de los modelos de datos es la de un enfoque fundamentista. La idea de que a la base de una teoría compleja, y a través de las teorías subyacentes, encontramos final-mente una base última rocosa. Si esto fuera así, nos encontraríamos con que esta

4 Suppes (1962) habla de modelos del experimento. Moulines (2011) habla de “situaciones experienciales in-tersubjetivamente controladas” (SEIC). La diferencia entre un modelo del experimento (o SEIC) y un corres-pondiente modelo de datos estriba en que en el primero se incorporan descripciones del experimento más acordes con el lenguaje cotidiano, mientras que en el segundo los datos se registran conforme a cierto aparato conceptual básico apropiado para la teoría de partida y a las ramas de teorías subyacentes que conectan con (la “teoría” de) los correspondientes modelos de datos. Suppes asume que en la jerarquía subyaciendo a (la teoría de) los correspondiente modelos de datos están ciertas condiciones ceteris paribus relacionadas con las situaciones experimentales.


imagen de los modelos de datos terminaría por socavar lo que habíamos plantea-do como un enfoque representacional, y a la postre la propuesta ontoepistemo-semántica representacional que veníamos defendiendo. Habría un nivel, el de los modelos de datos, en el que los modelos no parecerían consistir en posibilidades de ser (de parcelas) del mundo, sino en parcelas del mundo-como-efectivamente-es. De ser adecuado tal enfoque interpretacional afectaría los niveles de teorías superiores, en el sentido de que:

•los modelos de un nivel de teoría superior tendrían que acomodarse a los modelos de datos;

•los modelos de datos responderían a un enfoque externista (NO internista);•supondría una limitación al PRON y al PSOE.

Sin embargo, cabe contemplar una consideración alternativa de los llamados “modelos de datos”. Según esta alternativa:

•los llamados modelos de datos solo son puntos en los que nos paramos (pro-visionalmente), no exentos al PRON y al PSOE, en una línea similar a la defendida por Popper (1935/59, 1972 y 1983) acerca de la base empírica;

•no se asumiría un enfoque fundamentista de corte clásico; se abogaría por un enfoque coherentista o por un fundamentismo de base coherentista, o mejor por lo que, siguiendo a Haack (1993), he denominado “fundaheretis-mo para la filosofía de la ciencia” (Falguera 2006);5

•cualquier solución que se adopte como alternativa resulta problemática a la luz del papel atribuido a los datos para la ciencia, para las teorías. Se desha-ría la imagen de que los datos proporcionan la evidencia última y definitiva.

Si la solución es aceptable, como defiendo, se mantendrá el enfoque representa-cional de los modelos y la opción conceptualista de la ontoepistemosemántica, incluso a este nivel de los modelos de datos.

7. LeyesNo obstante lo dicho acerca del papel predominante de los modelos, conforme a la MEM hay expresiones enunciativas y, sobre todo, proposiciones expresadas por estas, que juegan un papel relevante en las teorías. Me refiero a las que co-rresponden a las leyes de las teorías. Estos son elementos esenciales en la articu-lación conceptual de los modelos, en explicitar la interdependencia conceptual que se refleja gracias a los modelos. Es cierto que hay, conforme a ese enfoque, otros elementos que juegan un papel en la articulación conceptual, pero entre modelos; así, las ligaduras en la articulación conceptual entre modelos de una teoría y los vínculos interteóricos en la articulación entre los modelos de diferen-

5 En Falguera (2006) se plantea además la paradójica consecuencia que arrastraría, para (las teorías de) los mo-delos de datos, la consideración defendida por Suppes (1960) de que no hay diferencia sustancial entre una teoría factual y una teoría matemática y que en parte se mantiene en su Suppes (1962), aunque en parte se desdice con su pretensión de que una teoría factual cobre interpretación empírica a través de teorías subya-centes que llevan finalmente a modelos de datos.


tes teorías. En todo caso las leyes científicas juegan, sin duda, para la MEM un papel especialmente relevante en la articulación conceptual, pero de cada mode-lo. Además de las leyes, en la MEM se consideran las tipificaciones y las caracteri-zaciones de cada concepto descriptivo característico de una teoría, pero tales ele-mentos son condiciones implícitas en las leyes, que solo se precisan a los efectos de una elucidación semiformal de la estructura de los modelos de una teoría (Bal-zer, Moulines & Sneed 1987, §§ I.2 y I.3).

Tal constatación acerca de las leyes es acorde con el papel destacado que ha-bitualmente se ha supuesto que les correspondía en la ciencia y, en concreto, con el papel destacado que se les otorga al establecer la estructura e identidad de las teorías científicas. Sin embargo, las leyes científicas pasan por malos tiempos para la metaciencia. Desde diferentes frentes son atacadas con motivo de cuestionar una lectura realista de estas; lectura que daba lugar a presentarlas como generali-zaciones universales que realmente explican en la medida en que son verdaderas y expresan una necesidad natural. Entre los críticos para con este papel de las le-yes destacan van Fraassen (1980, 1989), Cartwright (1983) y Giere (1999).

Este último nos invita, en Science without Laws (1999), a prescindir de la no-ción de ‘ley’ para la comprensión de las ciencias factuales. Giere manifiesta que las propuestas de leyes científicas –como las leyes newtonianas del movimiento o la ley de la gravitación universal o la segunda ley de la termodinámica– ni son universales, ni necesarias, ni siquiera verdaderas: no son leyes de la naturaleza (en el sentido realista que se suele dar a esta denominación). Y añade que no se so-luciona asumiendo que las leyes llevan implícita una cláusula de “proviso” (cete-ris paribus) que apela a condiciones de excepción, conocidas o no (como propu-sieron Coffa 1968, y Hempel 1988). Giere rechaza tal solución porque con ella se sigue asumiendo: (i) que las leyes expresan generalizaciones universales; y (ii) que sus términos (los llamados descriptivos) tienen significado empírico, con lo que expresan directamente algo sobre la naturaleza, de manera tal que el enun-ciado de una ley debe ser verdadero o falso. Frente a ello, Giere señala que la re-lación con la naturaleza debe estar mediada por modelos que representen parce-las de ella. En su propuesta lo que realmente se rechaza es la apelación a ‘leyes’, por las connotaciones que encierra la expresión y, sobre todo, porque el discur-so sobre leyes científicas suele plantearse en términos de lo que habitualmente se entiende por leyes de la naturaleza; es decir, apelando a su carácter universal y necesario.

La propuesta de Giere enfatiza el papel mediador de los modelos, en cuan-to representaciones, en una acepción que podemos considerar similar a la es-tructuralista (si adoptamos la perspectiva representacional para los modelos de la MEM). Y aunque rechaza hablar de leyes, en realidad no prescinde estrictamente de estas, sino que pasa a hablar de ellas como ‘principios’ (o como ‘ecuaciones’ en los casos en que están explicitadas en forma matemática), para señalar:

Los principios, sugiero, deberían ser entendidos como reglas ideadas por los humanos para que sean usadas a fin de construir modelos para representar as-pectos específicos del mundo natural. (Giere 1999, p. 94, traducción mía)


La propuesta de Giere casa con la consideración que veníamos haciendo de las leyes al comienzo de este apartado y, una vez deshechos del ropaje realista con el que con frecuencia se interpretan, parece más oportuno seguir hablando de ellas como “leyes científicas”, a la vista de que es la denominación que habitualmen-te reciben en la práctica científica –al tiempo que se adopta, cuando menos, un cierto agnosticismo acerca de si algunas de las leyes ideadas son o no son leyes de la naturaleza–.

La idea de que las leyes científicas son principios reguladores debe ser com-binada con la idea estructuralista de que las leyes en una teoría están organiza-das jerárquicamente para conformar una imagen arbórea (como en la Figura 2); de manera tal que, si cada nudo del árbol de leyes de una teoría corresponde a una ley, habría un nudo común a todas las ramas (l

f), que representa a las leyes

fundamentales de la teoría (suelen ser una o dos), y cada rama desembocaría en un nuevo nudo ((l

i.j ó l

i.j.k ó …) que representa a una ley que restringe (especializa)

a las que le preceden hasta el nudo común.6 Una ley especial presupone las que le preceden en el árbol, una vez establecidas (aquellas otras de las que es una es-pecialización). Cada ley especial tiene, por lo general, un ámbito de aplicaciones pretendidas más restringido que aquella otra ley de la que es una especialización.

6 No confundir una jerarquía de teorías subyacentes (como aquellas que consideramos al hablar de modelos de datos), con una red teórica arbórea de teorías especializadas. En el primer caso, cada teoría subyacente tiene menos aparato conceptual y, por ello, menos condiciones para el aparato conceptual característico que aque-lla de la que es subyacente y se aplica a subestructuras parciales de posibles aplicaciones de la teoría a la que subyace. En el caso de una red teórica arbórea, el conjunto de elementos teóricos comparten el mismo apara-to conceptual característico y una teoría es especialización de otra si incorpora condiciones más restrictivas y se aplica a un conjunto menor (o al menos igual) de aplicaciones pretendidas.

Figura 2

lf= ley fundamental

Lo relevante de la figura 2 es que las leyes más especializadas son (normalmen-te) apropiadas para un menor conjunto de modelos que las menos especializadas (aquellas restringen más que estas); y solo las leyes fundamentales de una teoría son apropiadas para todos los modelos para los que son apropiadas el resto de leyes de la teoría. De hecho cabe señalar que las leyes fundamentales de una teo-


ría T son la condición presupuesta para la determinación, junto con alguna(s) ley(es) especiales, de los valores de las nociones T-teóricas de cualquier aplicación pretendida. Dicho de otra forma, son los principios constitutivos de la manera de representar parcelas de la naturaleza por esa teoría. Y esto en dos sentidos: (a) con ello se da información acerca de cómo representar conceptualmente parcelas de la naturaleza; y (b) con ello se establece cuál es el requisito básico que regula, como sistemas, la representación conceptual de parcelas de la naturaleza. Las le-yes fundamentales son constitutivas de la ontología en dos sentidos: (a’) de géne-ros de entidades básicas –entidades de los dominios base– y géneros de entida-des derivadas –entidades de las relaciones–; y (b’) del género de posibles modelos para la teoría. Esta es, a mi entender, la forma de darse el PSOE y el PCTS a la luz de la MEM.

En ciertas teorías (por ejemplo, mecánica clásica de partículas) encontramos leyes fundamentales con un peculiar carácter, que Moulines identificó como ‘principios-guía’ (por ejemplo, la segunda ley de la mecánica clásica de partículas). El papel constitutivo de tales leyes fundamentales está enraizado en su peculiar carácter, que no es compartido por las otras leyes de la teoría, las leyes especiali-zadas. Dichas leyes son principios cuasi vacuos e irrefutables, aunque sí son re-chazables; mientras que las demás leyes (habitualmente) son susceptibles de cierta contrastación (aunque a resultas de la suerte de holismo epistémico que caracte-riza a las leyes de una teoría solo se descarten mediante aplicación prudente de la máxima de la mínima mutación). Moulines en (1978) ya mostró que el carác-ter cuasi vacuo y la irrefutabilidad de los principios-guía se debe a su forma lógi-ca subyacente, caracterizada por estar presidida por cuantificadores existenciales de segundo orden (al menos) que cuantifican sobre variables de relaciones.7 Aun-que, según Moulines, tal forma lógica no sería más que una condición necesaria de los principios-guía, ya que hay leyes que no cabe considerar principios-guía para una teoría compleja y satisfacen tal requisito.8

Así, pues, el papel constitutivo de una ley fundamental que es principio-guía ha de deberse a algo más que a su forma lógica. Además, ha de tenerse en cuenta, como ya recordó Stegmüller (1976, pp. 162 y ss., 1978, p 168, 1979, pp. 74-75), que, junto a la inmunidad a la refutación, una ley fundamental jue-ga un papel nuclear en la identidad de una teoría, de manera que su preserva-ción –aunque cambien ciertas leyes especializadas– es esencial para que poda-mos decir que estamos ante la misma teoría, que no se produce un cambio re-volucionario. Así, pues, un principio-guía también es constitutivo en el sentido de establecer los límites de cambios admisibles y servir como guía para el de-sarrollo de la teoría. Tal rasgo no impide que cualquier principio-guía sea des-echado, según vimos, y por ello un principio-guía no puede considerarse nece-

7 En concreto, en los ejemplos que Moulines maneja cuantifican sobre variables de funciones (Moulines 1978).8 Así, tenemos el caso de las leyes más básicas de la termodinámica de los sistemas simples, que es una subteoría

de la termodinámica reversible y por ello, a pesar de la forma lógica de cada una (con un cuantificador exis-tencial de segundo orden presidiéndolas), no serían leyes fundamentales (Moulines 1982, p. 104).


sario. Si no es necesario, no puede ser una proposición analítica; pero sí cabe decir que es a priori. Definitivamente, tal rasgo no se debe a que sea analítico, pero sí a una suerte de aprioricidad de éste. No se trata de una aprioricidad ab-soluta, sino relativizada al marco de la teoría (como entidad genidéntica). Los principios-guía de cada teoría se puede decir que son proposiciones sintético a priori relativizadas.9

La idea de que ciertas leyes son a priori relativizadas ya fue propuesta (y des-pués desechada) por Reichenbach (1920). Recientemente la han retomado explí-citamente Friedman (1997, 2000 y 2001) y Kuhn (1989a, 1990,1993).10 Todos ellos asumen que ciertos postulados (de la matemática y) de las ciencias factua-les –estrictamente, hablan de la física– son a priori porque son “constitutivas del objeto de conocimiento”. Tal propuesta considero que está en la línea de lo que Moulines podría aceptar, a la luz de los principios ontoepistemosemánticos por él formulados y explicitados al comienzo de este trabajo. Tal idea está en conso-nancia con el papel que la MEM depara a determinadas leyes fundamentales, atendiendo a la forma lógica antes considerada. Además, en realidad Moulines llegó a hablar del carácter apriorístico de una ley fundamental como es la Segun-da Ley de Newton (el ejemplo paradigmático de principio guía y, por tanto, de ley fundamental, de la MEM) y reconoció, en Exploraciones metacientíficas, que dicho principio proporciona las condiciones de posibilidad de la mecánica clá-sica (Moulines 1982, pp. 94 y 95). Si aceptamos tal propuesta, al combinar esto con el PSOE, el PCTS y el PRON, tendríamos que, en teorías con principio(s)-guía(s) como ley(es) fundamental(es), la ontología que determina una teoría me-diante su vector intensional (o no referencial) la determina básicamente median-te esa(s) ley(es) fundamental(es). Sin embargo, el caso de los principios-guía es un caso en el que tenemos buenas razones basadas en su forma lógica (es decir, en el hecho de que estén precedidos por cuantificadores existenciales de al menos segundo orden) para dar cuenta de su irrefutabilidad, pero es habitual en la lite-ratura estructuralista plantear que cualquier ley fundamental de una teoría algo compleja (una red arbórea) también goza de irrefutabilidad (aunque no sea nece-saria y, por ello, rechazable). Si esto es así, cabría hablar de cierto estatus de aprio-ricidad de cualquier ley fundamental en una teoría algo compleja y, por ello, de un papel constitutivo de cualquier ley fundamental.

Pero permítaseme afirmar, conforme a todo lo dicho anteriormente, que la idea de que estas leyes fundamentales de una teoría son constitutivas del objeto (que plantean Reichenbach 1920, Friedman 1997, 2000, 2001 y Kuhn 1989a, 1990,1993),11 queda enriquecida a la luz de la MEM porque no solo se muestra

9 Desarrollo esta idea en Falguera (2004b) “Leyes fundamentales, a priori relativizados y géneros” (en prensa).10 Sobre las relaciones entre los planteamientos de Kant y esos autores acerca de los “sintético a priori relatiza-

dos” y los análisis de la MEM en relación con las leyes fundamentales, hemos venido reflexionando Falguera (2004b), Jaramillo (2004) y Lorenzano (2007, 2008).

11 Es de gran interés la presentación histórica de los debates en la década de los años veinte entre Reichenbach, por un lado, y Cassirer por otro, con Schlick, según la planteó Coffa (1991). Para distintos sentidos de “consti-tutivo a priori”, vinculados con lo aquí discutido, también se puede ver Lorenzano (2008).


que constituyen los géneros de entidades para la teoría, sino también el del gé-nero (kind) de modelos posibles y además, con ello, se establecen los límites de cambios admisibles en la teoría y se guía el desarrollo de la teoría. Mi intuición es que no es ajeno a ese carácter constitutivo el papel de tales leyes fundamentales de una teoría en relación con la teoricidad relativa a ella de algunos de sus térmi-nos característicos, según el criterio pragmático de teoricidad de la MEM.12

8.Vector intensional, géneros y extensionesDecía antes que la forma de conceptuar en las teorías factuales, a la luz de la MEM, supone un holismo elemental. Este holismo semántico elemental, por el que priman los modelos, no es más que el trasunto de que el núcleo duro del vector intensional de los conceptos descriptivos teóricos de una teoría, el signifi-cado de los términos que expresan dichos conceptos, viene dado por la(s) ley(es) fundamental(es) de esa teoría; y de que tales leyes articulan dichos conceptos teó-ricos, en conexión a los no-teóricos, para constituir el género (kind) de modelos potenciales de la teoría. Si hablo de holismo semántico elemental es porque este se integra en niveles superiores de holismo (a modo de las sucesivas capas de una cebolla). No pretendo en esta ocasión hablar de estos niveles superiores de ho-lismo, aunque los conocedores de la literatura estructuralista los tendrán presen-tes. Ahora solo me interesa que quede presente que postular un núcleo duro del vector intensional (o no referencial) conlleva aceptar que este es complejo, en el sentido de que junto al núcleo duro único, o significado, de un término descrip-tivo, hay una serie de elementos periféricos, de sentidos varios para ese término dependientes (básicamente) de las leyes especializadas. El núcleo duro, o signi-ficado, de un término teórico para una teoría dada lo determinan su(s) ley(es) fundamental(es), cada sentido de un término descriptivo teórico lo determinan ciertas leyes especializadas (junto con las fundamentales). Los sentidos de un tér-

12 La propuesta ontoepistemosemántica que aquí se formula está en cierta discrepancia con lo que defiende Díez (2002) acerca de la identidad de los conceptos científicos. No es posible entrar aquí a una considera-ción pormenorizada de la propuesta de Díez, ni tampoco pretendo desarrollar con detalle mi propuesta –esto será objeto de otro trabajo–, pero permítaseme de forma breve apuntar: La propuesta de Díez reconoce la ne-cesidad de considerar (i) un componente legaliforme pero no delimita el alcance de tal componente, es de-cir, no deja claro a qué leyes alcanza y esa indeterminacón no solo es insatisfactoria sino que es en sí misma problemática, ya que podría conllevar variación conceptual si hay variación en ese grupo de leyes para una teoría compleja (y tal variación de leyes solo es estrictamente descartable para la(s) ley(es) fundamental(es) de una teoría compleja). Además, considera otros cuatro componentes: (ii) el aplicativo (que parece exigir la relación de determinadas aplicaciones pretendidas); (iii) el observacional (que parece exigir la relación “directa o indirecta”con una familia de conceptos pre-científicos observacionales); (iv) el operacional (que vincula algunos conceptos científicos con procedimientos de determinación fundamental); (v) el de antepa-sado-folk (que conecta un concepto científico con prácticas explicativas precientíficas populares o de senti-do común). En este trabajo se pretende dar alguna razón en lo que concierne a la delimitación de (i) a la(s) ley(es) fundamenta(es) de una teoría compleja. Respecto de (ii) he señalado la necesidad de que el significado de un término científico suponga la aplicatividad de la teoría en la que es teórico, pero no veo por qué unas aplicaciones u otras tengan que determinar su significado, ya cambiaría este en función de las seleccionadas. Respecto de (iii) y (v) me parece que están muy poco especificados como para poder tomarlos en considera-ción. Respecto de (iv) admito que tal vez sea relevante como componente específico para términos con proce-dimientos de medición fundamental, pero no de manera generalizada para todo término científico.


mino teórico para una teoría pueden cambiar como pueden cambiar sus leyes es-pecializadas (y otras condiciones, incluido cualquier método de determinación para ese término).

La idea de un vector intensional con dos componentes tiene la virtualidad de dar cuenta al mismo tiempo de que hay algo que perdura en el vector intensional de los términos descriptivos de una teoría, a pesar de los cambios de la teoría y del holismo semántico de mayor alcance (que el que he llamado elemental), y hay algo que cambia en dicho vector intensional con los cambios en la teoría. La pro-puesta permite entender por qué el holismo semántico de mayor alcance no im-pide hablar de un mismo concepto descriptivo teórico a través de los cambios de teoría mientras se mantengan la (las) ley(es) fundamental(es) (y por ello conside-rar la teoría como entidad genidéntica). También permite entender que con los cambios de leyes fundamentales (y por ello de teoría) cambia el concepto, aunque se preserve un término. La propuesta es compatible con la tesis de la inconmen-surabilidad lingüístico-conceptual, y le da plausibilidad.

Tras esta propuesta hay la asunción de que el holismo semántico –y podría decirse lo mismo del epistémico– está estructurado, no es igualatorio, no pone a todo lo que interviene en la semántica de las expresiones de una teoría al mismo nivel o plano. Creo que una de las contribuciones importantes de la concepción estructuralista es hacer patente, y permitir establecer con cierta precisión, esta idea de holismo estructurado.

Antes he introducido la expresión “géneros de entidades” donde Moulines suele hablar de “clases de cosas” (Moulines 1998b).13 Probablemente no es del gusto de Moulines hablar de ‘géneros’. Por el contrario, parece más partidario de seguir la práctica quineana (Quine 1953, § VI); tal vez por pensar que las clases son entidades abstractas más controlables y más respetables que los géneros. No se trata de evitar los universales, las clases también lo son, sino de evitar un tipo de universales. Según esto las extensiones de términos generales parecerían más tratables que los problemáticos géneros. Sabemos que las clases tienen criterios claros de identidad, a saber, la totalidad de sus miembros; mientras que los géne-ros pueden ser distintos, aunque se presenten en las mismas cosas (Quine 1953, v.i. p. 107). A pesar de ello, y en parte por ello, mi punto de vista es que, si no apela a los géneros, la ontoepistemosemántica de las ciencias factuales se atranca. Tengamos presente que, para considerar un género, no nos tenemos que preocu-par de la totalidad de sus instancias (posibles o efectivas): nos basta con tener pre-sentes instancias paradigmáticas que ejemplifiquen el género.

Si aceptamos que la extensión efectiva de un término teórico de una deter-minada teoría varía al menos en función de las aplicaciones pretendidas para esa teoría y de las leyes especializadas, encontramos que el referente de dicho térmi-no también varía si viene dado por la extensión efectiva del término. El problema es que así adoptamos como referente de un término teórico para una teoría algo

13 Sin embargo, Moulines (2006) habla de “kinds” (“géneros”, según mi traducción) al tratar de cuestiones on-tológicas. No deja de sorprender esta concesión (¿ocasional?) de Moulines.


que cambia con el desarrollo de esta. No parece muy razonable esta propuesta. La variación ontológica sería extrema, no solo se produciría con los cambios revolu-cionarios de teorías, como postulaban Kuhn y Feyerabend, sino que se daría con cambios menores. Creo que es sensato aceptar que no hay cambio ontológico si no hay cambio de leyes fundamentales en una teoría y que los cambios revolucio-narios en relación con la manera de dar cuenta de ciertas parcelas de la naturaleza se dan con cambios de leyes fundamentales. Pero si esto es así, debemos adoptar algo diferente a las extensiones, a los conjuntos, como las referencias de los térmi-nos descriptivos de las ciencias factuales. Mi propuesta es que sean los géneros.

Evidentemente, eso no conlleva minusvalorar la relevancia ontoepistemose-mántica de las extensiones, pero sí supone no magnificarla. La extensión efectiva de un (término que expresa un) concepto científico cambia con el desarrollo en el tiempo, dependiendo de los procedimientos o métodos de determinación –de medición si es un concepto métrico- y de las aplicaciones pretendidas. Los proce-dimientos o métodos de determinación de un concepto científico, con el trans-curso del tiempo, incorporan nuevos ítems, se modifican en aras de la mayor precisión, algunos se desechan,… Y con ello varía la extensión efectiva asociada a un (término que expresa un) concepto científico. Pero, aun cuando los procedi-mientos o métodos de determinación para un concepto científico permanecieran inmutables desde el establecimiento del concepto (cosa harto improbable para la mayor parte de los casos) la extensión efectiva cambiaría con las variaciones en el conjunto de aplicaciones pretendidas para las que tiene relevancia el concepto. La extensión efectiva de un (término que expresa un) concepto científico es de-pendiente de factores pragmáticos, como lo son los procedimientos de determi-nación y las aplicaciones pretendidas. Por eso es preciso apelar a una entidad es-table como referencia asociada a dicho concepto. De ahí el recurso a los géneros. Pero, en todo caso los componentes que integran los grafos de las extensiones efectivas de un (término que expresa un) concepto científico, en un momento del devenir del concepto, conforman las instancias concretas (cambiante con el tiempo) de la referencia correspondiente a ese concepto, es decir, del género que determina ese concepto. Un género cobra concreción gracias a sus instancias, es decir, gracias a los elementos que forman la extensión efectiva (cambiante con el tiempo) correspondiente al concepto que determina tal género.

Antes decíamos que con las leyes fundamentales de una teoría T se consti-tuyen los objetos de conocimiento que corresponden a los conceptos T-teóricos. Ahora cabría reexpresarlo diciendo que con las leyes fundamentales se constitu-yen los diferentes géneros que son referencias de los términos que expresan los diferentes conceptos T-teóricos al tiempo que se fijan esos conceptos. Con los procedimientos o métodos de determinación y con las aplicaciones pretendidas que se consideran en cada momento de la vigencia de un concepto científico se establece la extensión efectiva asociada a un contenido pragmáticamente determi-nado para ese concepto.

El enfoque al hablar de géneros es, así, conceptualista. Hablar de géneros no supone adoptar un planteamiento realista, no supone comprometerse con ‘géne-


ros naturales’ en la acepción que habitualmente tiene tal expresión. Tampoco re-quiere ser un nominalista respecto de los ‘géneros’. El discurso sobre ‘géneros’ tiene cabida desde un enfoque conceptualista. Las restricciones del conceptualis-ta son la coherencia y la adecuación teórica. La adecuación teórica presupone la coherencia. La adecuación teórica es compatible con el pluralismo teórico, pero no con el relativismo, que es contradictorio. Los géneros aceptables están dados por las teorías consideradas adecuadas.

Véanse en forma de esquema las relaciones ontoepistemosemánticas para un término T-teórico (Figura 3).

14 Desarrollo estas ideas acerca de Kuhn en Falguera (2004a y 2004b).15 He desarrollado estas ideas en diferentes trabajos como Falguera (1997, 2002, 2004a y 2004b).

Mi convicción es que los últimos trabajos de Kuhn (1990, 1991 y 1993) en Fi-losofía de la Ciencia pretendieron defender tal enfoque conceptualista sobre los géneros, presentándolos como referentes de los términos científicos (aunque no de manera muy clara). Kuhn defendió como condición restrictiva de los géneros aceptables el que vinieran dados por términos de género que fueran proyectables, es decir, términos que tienen que formar parte de generalizaciones que expresen regularidades que supuestamente se dan en las aplicaciones consideradas (Kuhn 1993, v.i. pp. 316 y ss., v.e. pp. 273 y ss.). El requisito de proyectabilidad para los géneros aceptables presupone la coherencia.14

Aceptar estas propuestas conlleva no limitarse a las categorías ontosemánticas fregeanas. Ello supone una variación con respecto a las preferencias que Mouli-nes ha mostrado en algunos trabajos.15 Pero permite dar cuenta de algunas de las ideas que entiendo que Moulines ha asumido a lo largo de su obra en Filosofía

Figura 3

Expresa

Significado: un concepto [a]: [MASA (clásica)]

Referencia: un género [[a]]: [[masa clásica]]

Término científico: “a”: “masa (clásica)”

Cuya identidad fijan la(s) ley(es) fundamental(es) de la teoría T en la que a es T-teórico: La segunda ley de Newton (de la Mecánica Clásica)

Extensiones efectivas: diversas extensiones efectivas: ||a1||, …, ||a

i||, …., ||a

n||:

||m(c)1||,…, ||m(c)i||,…, || m(c)

n||

Sentidos: diversos contenidos |a1|, …, |a

i|, …., |a

n|:

|m(c)1|, …, |m(c)i|,…, | m(c)

n|

Se establecen mediante procedimientos o métodos de determinación y aplicaciones

Designa

Refiere

Determinan


de la Ciencia. Las propuestas no habrían sido posibles sin el trabajo previo de Moulines, y no descarto que deban ser revisadas gracias a su trabajo futuro. El gran reto ahora es disponer de una teoría ontológica (en el sentido asumido para esta noción al comienzo de este trabajo) que permita tratar con seriedad los gé-neros tal y como aquí los he presentado. El reto, por más que complejo, resulta atractivo una vez vista la necesidad de los géneros para una ontoepistemosemán-tica como la propuesta.

9. Relaciones ontológicas interteóricasUna de las dimensiones en que se ha desarrollado la ontoepistemosemántica a la luz de la MEM en los últimos años, y a propuesta de Moulines, ha sido la de con-siderar que las relaciones estructurales entre modelos de teorías o, incluso, entre conceptos de teorías, no son suficientemente finas y, a veces, serían claramente insuficientes, para dar cuenta de todos los aspectos involucrados en las relacio-nes interteóricas, es decir, entre diferentes redes teóricas. Para una elucidación más satisfactoria de tales cuestiones hay que apelar a las conexiones ontológicas. Se trata de que, aun cuando haya divergencia estructural y conceptual entre dos teorías, aun cuando la divergencia no permita mostrar relaciones estructurales entre los respectivos modelos potenciales o entre el aparato conceptual, cabe y, además, es preciso, recurrir a las relaciones ontológicas entre ambas teorías. Espe-cial importancia tiene el que tal recurso permite apelar a las conexiones entre los dominios básicos (o subdominios básicos) de las teorías consideradas. Moulines (1984, 1991) empezó explicitando tal cuestión para la relación de reducción in-terteórica. Yo (Falguera 2011) planteé a la luz de sus propuestas la expansión de las relaciones ontológicas a casos de teorías inconmensurables mediante una for-mulación intuitiva. El propio Moulines (2006 y 2011b) ha generalizado reciente-mente la consideración de las relaciones ontológicas entre teorías para dar cuenta de diferentes tipos de desarrollo científico, haciendo una formulación formal ex-quisitamente elegante.16 La noción básica que introduce Moulines para dar cuen-ta de las conexiones ontológicas entre teorías con alguna (menor o mayor) diver-gencia conceptual es la de “subestructura parcial escalonada”. Ni hay espacio, ni acertaría a exponer estas ideas con la elegancia con que lo hace Moulines en el último de sus trabajos mencionado (Moulines, 2011b), por lo que remito al lec-tor a dicho ensayo.

16 Moulines ha presentado esta propuesta recientemente en el VII Encuentro Iberoamericano de Metateoría Es-tructuralista, celebrado en septiembre de 2010 en Santiago de Compostela. Una versión mejorada de esa propuesta constituye la contribución de Moulines al monográfico en el que también aparece este trabajo.


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Idealization within a Structuralist Perspective | 65

Idealization within a Structuralist Perspective*

AbstractThis is a study of the concept of idealization in terms of the structuralist view of scientific the-ories. In the structuralist literature, the notion of idealization has been commonly analyzed as a sort of model construction. A short overview of this is provided in the first part of the paper. The main aim of the paper is however to provide a reconstruction of Leszek Nowak’s account of idealization as a relation between structures. Other attempts at providing such an analysis are examined and compared. It will be shown that the present account amounts to considerable advantages. After a presentation of Nowak’s syntactic approach and its main problems, I will try to reconstruct his analysis in structuralist terms. Although intuitively well motivated, Nowak’s approach has some philosophical drawbacks associated to its essential-ism, its syntacticism, and its counterfactual character. Our structuralist reconstruction will overcome these difficulties.Keywords: idealization - Poznań approach - model construction - abstraction - counterfactuals - truth approximation

ResumenEl presente trabajo es un estudio del concepto de idealización en términos de la concepción estructuralista de las teorías. En la bibliografía estructuralista, la noción de idealización se ha analizado comúnmente en relación con la construcción de modelos. En la primera parte de este trabajo, se presenta un breve resumen de cómo ha sido tratada esta noción en el es-tructuralismo. El principal propósito del artículo, sin embargo, es proporcionar una recons-trucción, en términos estructuralistas, de la concepción de la idealización de Lezkez Nowak, uno de los filósofos más relevantes en el estudio de la idealización. En el artículo también se examinan y discuten otros intentos del estructuralismo de proporcionar tal reconstrucción, mostrándose cuáles son las principales aportaciones y ventajas de la presente. Tras presentar la concepción sintáctica de Nowak y sus principales problemas, se intenta llevar a cabo una reconstrucción de su análisis en términos de relaciones entre estructuras. Aunque intuitiva-mente bien motivada, la concepción de Nowak de la idealización presenta varios inconve-nientes asociados a su esencialismo, su sintacticismo y su carácter contrafáctico. Nuestra re-construcción estructuralista pretende superar todas estas dificultades.Palabras clave: idealización - escuela de Poznań - construcción de modelos - abstracción - con-trafácticos - aproximación a la verdad

* Received: 21 January 2011. Accepted in revised version: 10 April 2011.† University of Santiago de Compostela. To contact the author, please write to: [email protected].‡ This work was supported by the research project FFI2009-08828 (Ministry of Science and Innovation, Spain).

Metatheoria 1(2)(2011): 65-90. ISSN 1853-2322.© Editorial de la Universidad Nacional de Tres de Febrero. Publicado en la República Argentina.

Xavier de Donato Rodríguez†‡

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1. IntroductionThough there is an unanimous consensus that idealization is an usual resource in scientific reasoning and an essential aspect in the construction of scientific theories, there is by no means the same consensus in the use of the word “ideali-zation” and there is no unique systematic (formal or informal) way to treat such idealizations and to understand their role in the structure of scientific theories. According to Leszek Nowak, undoubtedly one of the authors who has contribu-ted a great deal to putting the term in the middle of the philosophical discussion, we can distinguish five different approaches to idealization:

(1) idealization is a method of transforming raw empirical data into “scien-tific facts”;

(2) idealization is a method of constructing scientific notions;(3) idealization is a deliberate falsification which never attempts to be more

than truthlike;(4) idealization is a way to create a construction that would fall exactly under

the mathematical formalism serving as a model for the imprecise external world;

(5) idealization consists in abstracting or separating what is essential in the appearance of a phenomenon.1

These are however very informal and imprecise characterizations. For example, what is it meant by “scientific fact” in (1)? Or what is it meant by “truthlike” in (3)? Many papers and books in the philosophy of science literature from the sixties un-til now are devoted to this last question.2 It is not my purpose here to discuss the notion of “truthlikeness” nor the vague one of “scientific fact”, but to make preci-se the ubiquitous concept of idealization (more particularly, in structuralist terms).

Judging by the classification above, it could be said that the term “idealiza-tion” is an equivocal, ambiguous one and, in fact, there are many authors who advocate one or another idealization conception of the list from the point of view of different and sometimes seemingly opposed methodological approach-es. But, although (1)-(5) have indeed led to different methodological proposals, I want to leave open the possibility of a mutual reconciliation of these five concep-tions, because–according to their informal characterization–I do not see a contra-diction among them.

Among the few formal (or semi-formal) attempts to reconstruct the notion of idealization, Nowak’s is one of the most prominent.3 Nowak’s view has been followed, not only in Poland, by the members of the so-called Poznań-School, but also by well known philosophers as Nancy Cartwright (1989), who essential-ly agrees with him and adopts his account4 and has influenced many others as

1 This classification and the formulation of these five conceptions of idealization correspond almost literally to Nowak (1992), pp. 9-10.

2 See Niiniluoto (1998) for an outline of the different accounts until the recent years.3 See Nowak (1980, 1989, 1990, 1991a, 1991b, 1992, 1995, and 2000).4 See essentially Cartwright (1989), pp. 202-204.


well.5 Nowak sees in Galileo the introducer of idealization as the main method in the natural sciences (whereas Karl Marx would be the introducer of this meth-od in the social sciences). In fact, many authors speak about “Galilean Idealiza-tion”, understanding by that a process of counterfactual deformation or misrep-resentation in the sense of consciously supposing that something false is the case for practical reasons (see McMullin 1985, Haase 1995 and, more recently, Weis-berg 2007). We will offer a brief sketch of Nowak’s account later in this article.

Another possibility of representing idealization in formal terms is given by the idea of understanding idealization in modal-theoretical terms (this is also accept-ed by Nowak 1991a), that is, by trying to represent counterfactual deformations as statements about possible worlds that are enough similar to a centered, fixed one, which is considered to be “the actual world”. Following this line of thought, some philosophers use possible worlds and modal logic to provide an analysis of idealized generalizations. For example Cohen (1989), who sees idealization as a form of inductive reasoning, claims that idealized generalizations are to be graded inductively by means of the method of “relevant variables” in terms of their respective degree of “legisimilitude” and this notion of “legisimilitude” can be analyzed in its turn in modal-theoretical terms. Ronald Laymon is also among the most important philosophers who have concerned themselves with the problem of idealization. In his many contributions,6 idealization is treated as a sort of ap-proximation to the truth to a certain degree. Laymon (1982) explicitly admits a “converging counterfactual theory of confirmation”, according to which scientists would proceed as if they were developing more and more accurate descriptions of reality: “convergence to experimental values given more realistic treatments is then seen as confirming the theoretical basis of these calculations” (Laymon 1982, p. 115). Laymon does not explicitly provide a formal account in terms of modali-ties, but this suggestion can surely be carried out, by providing an appropriate se-mantics for the counterfactual conditionals involved. A Lewisian semantics could do the job, but no one has provided a formal account of idealization explicitly in these terms. In his most formal contribution, Laymon (1987) uses lattices (Scott domains) to provide a model of approximation and idealization in the testing of scientific theories. Following Laymon’s idea, Ibarra & Mormann (1994) present a reconstruction of the idealizations involved in the case of the law of simple pen-dulum in structuralist terms.

Following with the formal approaches to idealization that try to take the counterfactual aspects into account, Rott’s contribution (1994) makes use of Pe-ter Gärdenfors’s concept of epistemic importance and its application to the problem of the rational changes of belief. With the aim of offering an adequate analysis of the non-monotone character of theory change, Rott suggests treating a scientific theory as a set of statements (just as the classical concept) plus a relation of “theo-

5 The whole series of Rodopi’s volumes entitled “Idealization”, which belongs to the Studies in the Philosophy of Science and the Humanities, may serve as testimony.

6 See Laymon (1980, 1982, 1985, 1987, and 1989).


retical importance”, concept introduced to make possible minimal revisions with-in the content of a theory through counterfactual assumptions.

As interesting and fruitful as these approaches may be, I think they are not offering a general account of idealization in formal terms. Lattices (or Scott-do-mains), as used by Laymon (1987), may be helpful as a way of representing ideali-zation and Rott’s approach is surely interesting and fruitful in his attempt of giving a theoretical account of what we attempt to do in belief revision processes, particularly when counterfactual moves are involved with the aim of retaining part of the old and (partially) wrong theories. But they seem not good enough to capture the general aspects of idealization, mainly if we are interested in the na-ture of this concept. In my opinion, the counterfactual aspect of idealization is better to be captured in terms of a modal semantics, but a sufficiently accurate approach in these terms has not yet been provided. I must say that I am now working on this particular issue, but in the present paper I am more interested in providing a general discussion of the concept and a structuralist analysis of it, mainly as understood by Nowak, which has been one of the main advocates of the concept.7

My plan for the next is, then, the following. In the following section, I will present a first approach to idealization by distinguishing between different lev-els in which idealization can be realized in science. I will speak about a “hierar-chy of idealization levels”, but this hierarchy must not be understood in a restric-tive way. Section 3 focuses on the role of idealization in model construction and, more particularly, on the issue of the data models, which has attracted the atten-tion of several semanticist and structuralist authors. In section 4, I will present a brief sketch of Nowak’s syntactic approach and try to reconstruct his analysis in structuralist terms. Finally, I will conclude with some general remarks.

2. Different levels of idealization. The structuralist viewThe apparent divergence between the different concepts of idealization examined at the beginning of section 1 may be in part caused by the fact that some of these con-cepts capture different levels of idealization. Insofar as this is the case, there would not be contradiction between them. The present section is devoted to the pre-sentation of what I call the “different levels of idealization”. As was the case in the previous sections, we shall focus our attention on physics.

When one looks at the physics textbooks, it becomes clear that idealization takes place at different levels. They can be summarized in the following way, or at least I propose to do so:

(i) Selection of the relevant parameters: no system is really isolated from the rest of the world, but the great number of variables would make the inves-tigation impossible, unless we neglect the influence of some of them. For

7 For more reference to the counterfactual approach to idealization and its relation to Nowak’s account see Mormann (2007), Niiniluoto (2007), and Shaffer (2007).


example, in the law of the pendulum, we do not take into account the po-sition of the moon and in the law of the fall of the bodies we neglect air resistance.

(ii) Simplifications introduced in the relevant parameters, as when we are stu-dying the movement of satellites and make the ideal assumption that the surface of the Earth is perfectly spherical and that the density is constant inside it.

(iii) Approximation among laws: we get new, more realistic versions of a law within a theory and the old law can then be considered as an “ideal case” of the new one, as in the case of the relation between the law for simple pendulum and its more concretized version that takes into account the am-plitude. When the amplitude is small enough, it becomes a parameter that can be neglected.

(iv) Approximation between theories: old theories can be “derived” as ideal or limiting cases of the new theories. For instance, Kepler’s Laws of Planetary Motion as a limiting case of Newton’s Theory of Gravitation, or this last one as a limiting case of Einstein’s relativistic version. In such “derivations”, idealizations play an essential role.

(v) Simplification and approximation methods to deal with complicated equa-tions for which it is very difficult to find analytical solutions: these include numerical methods and the approximation methods of governing equations.

Idealization in the sense of (i) and (ii) plays an essential role in what we may call “model construction” (construction of data models as well as of theoretical models) and is related to some important problems like the abstraction/idealiza-tion distinction, the non-isolability of systems and ceteris paribus clauses.8 Ideali-zations in the sense of (iii) are ideal versions of more concretized laws within a theory and, in the sense of (iv), are usually laws of an old theory which can be seen as ideal cases of laws of a newer and more accurate theory. In the sense of (iii) and (iv), idealization meets approximation (and the structuralist notion of specialization). One can even ask whether such cases as that of Kepler-Newton can be reconstructed more as a case of idealization (as Rott 1994 or the authors of the Poznań School) or more as a case of approximation (as Balzer, Moulines & Sneed 1987). The answer is that such cases can legitimately be reconstructed as cases of approximation and idealization as well. Note that to consider a par-ticular example as a case of (iii) or as case (iv) means to consider the ideal case as a particular law within a theory or better as a different theory. It depends on how we want to reconstruct the case. It is a matter of pragmatics whether we take the law of ideal gases as an ideal case of the more concretized version for-mulated by van der Waals within the same theory (thermodynamics) or as a case

8 On the abstraction/idealization distinction see, for example, Harré (1970, 1989), Cartwright (1989), Dilworth (1989), Suppe (1989), pp. 94-96, Nowak (1990), Haase (1995), pp. 113-136, Hüttemann (1997), pp. 129-177, and Thomson-Jones (2005). On the relation of idealization to the isolation of systems see in particular Sklar (2000). And on the relation of idealization to ceteris paribus clauses see Kowalenko (2009).


of approximation between two theories: the old Boyle-Mariotte theory of ideal gases and the newer one of van der Waals’ thermodynamics. According to the structuralist analysis of thermodynamics, Boyle-Mariotte’s law is more accurate-ly reconstructed as a theory-element of the theory-net of thermodynamics (the “ideal-gas simple equilibrium thermodynamics”) and van der Waals’ version, as another theory-element (“van der Waals’ simple equilibrium thermodynamics”) of the same theory-net. Actually the relation between these two theory-elements is reconstructed as one of specialization and not of approximation.9 The Kepler-Newton case is reconstructed as a relation of approximation between two theory-elements, that of Kepler’s theory of planetary motion and that of Newton’s gra-vitational classical particle mechanics (more properly a theory-element belonging to another theory-net). Idealization has then to do with both relations.10 Idealiza-tion in the sense of (v) includes all mathematical tools for simplifying equations and finding approximated solutions.

The above classification of five levels coincides to a great extent with that of Balzer, Moulines & Sneed (1987). They distinguish among (1) model construction approximation, (2) application approximation, (3) law approximation, and (4) in-tertheoretical approximation (Balzer, Moulines & Sneed 1987, p. 325). Besides the fact that they speak preferably about approximation, the only differences seem to be that we have added the (v)-level, included by the said authors in their type (3) and that we have not explicitly mentioned type (2) as a level of idealization; nevertheless this kind should be included in our levels (i) and (ii): just because we are aware of our idealizations by constructing data and theoretical models in the way we do it, we should recognize the idealized character of the application of our theory to reality. Type (2), application approximation, consists in subsuming a conceptually systematized collection of data, i.e., a data model of a particular phe-nomenon that we want to explain, under a theoretical law, that is, under an “ac-tual model” in structuralist terms. Model construction approximation (type 1) has to do with the construction of a “potential model” or a “partial potential model” out of the data model. Type (1) may be termed “pre-theoretical approximation”, because at this level only potential and partial potential models are considered. Types (2) and (3) are called “intratheoretical” to distinguish them from the type (4) or intertheoretical approximation. We have already said that the authors of An Architectonic put both approximation and idealization together, although when they speak about the relation between laws and theories, they use the term “ap-proximation”: only when they consider the model construction, they use explicitly that of “idealization”. When they introduce the notions of theory-element, empiri-cal claim or theory-net, they do it adding the adjective “idealized” to these labels in order to indicate that such notions are not realistic, because they do not take into account the fact that all empirical theories contain features of approximation.11

9 Balzer, Moulines & Sneed (1987), pp. 192-198.10 For a more recent account of the relation between idealization and approximation see Liu (1999).11 Balzer, Moulines & Sneed (1987), p. 89.


Moulines & Straub (1994), who start from the structuralist foundations as ex-posed in An Architectonic, explicitly distinguish between idealization and approxi-mation, characterizing the first as any attempt to relate a scientific theory to the data, or to empirical reality, or even to another theory. The important idea is that idealization is more general than approximation: it is the attempt to relate the theory to the world through the construction of certain ideal structures. Approxi-mation is more specifically viewed as a process of comparison of structures which are already idealized. Moulines (1996) begins with recognizing the plausibility of the assumption according to which idealization and approximation are more or less the same thing, the only difference being that they describe differently the same phenomenon: theoretical inaccuracy. In this sense, the idealization consist-ing in characterizing the Earth as a perfect sphere would be just a paraphrase to express that this characterization is a good approximation of the geodesic values we would obtain if we measured the distance from the centre of the Earth to its surface point by point.12 But Moulines (1996) goes further and argues that this quasi-identification between the two concepts does not reflect all the possible (interesting) senses of idealization and right away proposes the same distinction found in Moulines & Straub (1994). His example now is the application of New-ton’s gravitation theory to the (real) planetary system. In order to apply Newton’s theory we must make some idealizations, among them the assumption that the planets move as a set of particles on smooth paths. From the structuralist point of view, this means to reconstruct the planetary system as a potential model of Newton’s theory. Another question would be whether the planetary system fulfils Newton’s gravitation law, i.e., whether the planetary system is an actual model too. The last question is one of approximation and, as Moulines says, “[w]e may be successful in idealizing but fail in approximating”.13 The point of the struc-turalists is that approximation is a more specific notion, a kind of idealization, but there are other sorts. The point I am arguing here is therefore similar, be-cause, according to the conception sketched above, approximation is one of the levels at which idealization may occur, just a kind of idealization. My main contri-bution will be to introduce a special relation between structures (not just a model construction) which is intended to capture Nowak’s concept of idealization but turning into a structuralist notion what originally was thought as a syntactic rela-tion between statements (laws). This work will be carried out in section 4.

3. Model construction and data systemsRecent contributions have revealed how complicated the relation between pheno-mena and theory may be.14 For example, Bogen & Woodward (1988, 1992 and

12 Moulines (1996), pp. 158-159.13 Moulines (1996), p.160.14 Bogen & Woodward (1988, 1992 and 2003), Mayo (1996), Cartwright (1999), Giere (1999), Woodward

(2000), Bailer-Jones (2009).


2003) point out the difference between phenomena and data by highlighting that a large number of causal factors usually play a crucial role in experiments depen-ding on the specific experimental setup, on the kind of apparatuses that are em-ployed in the measuring procedures and on the different methods involved in data processing and data analysis. The idea that theories are not confronted direc-tly with brute experience, i.e., with raw and unordered data, but with structures of highly idealized data, the so-called data models, constructed out of the analysis of the raw data, is traced back to Patrick Suppes (1962), who took an example from learning theory as a case study. Suppes restricts the data models to those as-pects of the experiment which have a parametric analogue in the theory. Models of data are designed to incorporate all the information about the experiment which can be used in statistical tests of the adequacy of the theory. But, at the same time, the empirical testing of a theory involves other models and conditio-ns at different levels: theories of error, models of experiment and experimental design, ceteris paribus conditions, which typically involve important idealizations (Suppes 1962, pp. 258-259). More recently, Mayo (1996) and Harris (1999) have re-sorted to a similar distinction and have equally argued for a hierarchy of models.

The idea of “data model”, as introduced by Suppes in the context of the sta-tistical analysis of data, was soon followed by the authors of the semantic con-ception of theories–as particularly defended by van Fraassen (1980) and Suppe (1989)–and by the advocates of the Structuralist View. More recently, van Fraas-sen (2008) has distinguished between data models and surface models and con-tends that theories are really confronted with surface models; this distinction is new (it does not appear in van Fraassen 1980). Data models are those that summa-rize the relative frequencies that we find in nature and surface models idealize this summary to replace those frequencies by measures with a continuous range of values (see van Fraassen 2008, p. 167). The structures that are embeddable in theoreti-cal models are the surface models. Van Fraassen further distinguishes between observable phenomena and appearances. He introduces the triple distinction theory-phenomena-appearances as a result of defending the autonomy of experi-ment and a pragmatic account of scientific representation. The observable phe-nomena underlie the appearances and the appearances are the outcome of the measurement procedures as recorded in various data models. Appearances are said to represent phenomena and are embeddable in theoretical models.

In recent years, Moulines (2005 and 2007) has presented an illuminating study of the relation of idealization to model construction and the characteriza-tion of the data models. For Moulines, idealization should be distinguished from approximation: idealization has to do with model construction, whereas approxi-mation is a relation between already constructed (idealized) models. Moulines’s approach begins with an observation about what is the starting point of scienti-fic research. Scientists seem to start with a particular experiential situation (ES) which at the very beginning is to be described in ordinary language. But it is be-cause of the vagueness and uncertainty of identity criteria for ES that scientists should refine and modify these descriptions of ES by constituting an operational


base (OB) for ES. By means of such an OB, which mainly consists of systematic and public observation and manipulation of medium-sized objects, ES is trans-formed into an intersubjectively controlled experiential situation (ICES). It is im-portant to see that the connection between ES, OB and ICES is not a necessary one and that there is no one-to-one correspondence even among OB and ICES: the same OB (or a different one) may serve to determine other ICESs. The essen-tial is that the scientific community has decided by an intersubjectively control led process to transform the ES into a certain ICES. The construction of ICESs then depends on the community of scientists, or on a group of them. ICESs are to be codified and represented by correspondent data models. This also takes pla-ce within the community of scientists: it is the community that decides (partly by convention, partly by normalized and established procedures) to accept cer-tain axioms in virtue of which the ICESs are represented in a certain way. So the construction of the data models has to do with the presentation of certain axioms or statements which are to be admitted by convention. These axioms include spe-cifications about how the universe of discourse of our data models must be. The group of scientists surely has elaborated a theory to be identified with the class of its models, M(T). For any structure x ∈ M(T), x should satisfy the laws of the theory. The application of theory T to reality cannot be done in a direct way, but via data models. Once we have constructed the data models, our task consists of trying to embed them as substructures of the theory.

The elements and different steps of the process can then be summarized in the following way (see Moulines 2005, pp. 326 and ff. and Moulines 2007, pp. 261 and ff.):

(1) scientists are confronted with an experiential situation (ES)(2) scientists redefine the ES through an operational base (OB)(3) scientists become an intersubjectively controlled experiential situation

(ICES)(4) construction of the data model corresponding to the ICES(5) embedding of the data model under the theory, which is synonymous

with the claim “the ICES can be subsumed under the theory”.Let us illustrate Moulines’ account with examples. By conceptualizing the ES as a certain ICES and by constructing a data model corresponding to this ICES, the scientist goes from the ordinary language to the theoretical one and tries to con-struct from the hard data a corresponding data structure which can be embedded into his theory. By the process of conceptualization, idealizations and approxima-tions usually take place. In the case of classical particle mechanics, macroscopic bodies are seen as particles without taking into account their color, form or mag-nitude (extension), their paths are considered continuous and their position are to be represented as points in a vector space. In the original description theoreti-cal concepts do not take place, though the concepts we use may be theoretical with respect to other theories presupposed by the theory we now use and try to test. In structuralist terms, we first construct the data models and then we try to subsume them under the partial potential models of our theory. Finally, we ex-


tend the structures obtained in this way, if it is possible, as actual models of the theory. The relation between the data model and the partial potential models of our theory should be that of the model-theoretical concept of substructure. Re-call that a structure ′M = ⟨ ′D1 ,…, ′Rn ⟩ is a substructure of M = ⟨D1,…, Rn⟩ iff ′D1 ⊆

D1,…, ′Rn

⊆ Rn, where some components of the substructure ′M may be empty. Data models are always finite and what we do is to state the hypothesis that our theory can subsume these data. The idea behind our hypothesis is that for each data model mD

∈ MD from the class of the data models there is an actu-al model m ∈ M(T) such that m can be made to correspond to mD in the sense just specified. This relation between structures can be blurred and, then, what we have is an approximation version of the same statement relative to certain met-rics d and degree of accuracy ε, namely: for each data model mD

∈ MD from the class of the data models there is an actual model m ∈ M(T) and there is an ap-proximation m* to m such that d(m*, mD) ≤ ε and m* can be made to corre-spond to mD in the appropriate sense. This idea can be found more precisely for-mulated in Balzer (1997), chapter 3.15

Some authors have questioned the idea that models of the phenomena are ar-rived at as deidealizations of theoretical models.16 It is well-known that the same data model can be embedded into different theoretical models, but this fact can-not be confused with the idealization-concretization process at the theoretical level. To invoke the first fact, which leads to the problem of underdetermination of the theory by the data, cannot serve as an argument against the idealization-concretization process and against the idea that as more correction terms are in-troduced, the (theoretical) model becomes more realistic (in relation to the data model)–just as Cartwright, Shomar & Suárez (1995) seem to argue.17 The problem of underdetermination has been used as a weapon against scientific realism and in fact can be used to argue against the thesis that the idealization-concretiza-tion method provides us with an argument in favor of scientific realism, but not against the method itself as a way of approaching the data structures in a more realistic way. On the other hand, there are interesting answers to the anti-realis-tic arguments based on the underdetermination problem which give some hope to the realists.18

4. Nowak’s account of idealization and its structuralist reconstruction

Nowak’s account of idealization, which is the core of the Poznań-School appro-ach, was presented as a book in English for the first time in 1980 as a systematic

15 See also Balzer, Moulines & Sneed (1987), chapter 2 for the concept of partial potential model and chapter 7 for the relation of approximation.

16 See for instance Cartwright, Shomar & Suárez (1995).17 Cartwright, Shomar & Suárez (1995), p. 142. See also Morrison & Morgan (1999).18 See Psillos (1999), Chapter 8. A well-known paper about the problem is Laudan & Leplin (1991).


interpretation of the Marxian idea of science, but it goes back to his many En-glish and Polish papers published in the seventies. Although not belonging to the School, Krajewski’s (1977) contribution to the study of the correspondence principle is very close to the ground ideas developed by Nowak and his followers. Further contributions were Zielinska’s (1990), Kupracz’s (1992) and Paprzycka’s (1992). Nowak’s approach was also very criticized in Poland and gave raise to a vi-vid controversy.19 Nowak received two sorts of criticism: on one side, some Mar-xist authors criticized him–perhaps with a certain dogmatism–for misinterpreting Marx’s own ideas on methodology; on the other, he was criticized on philosophi-cal grounds and for logical inaccuracies.20 Only this second sort of criticism will deserve our attention later.

An excellent survey of the idealizational approach to science is Nowak’s (1992), which presents an overview of the different contributions and applica-tions to case studies. Nowakowa’s (1994) is also a suitable introduction to the main ideas of the School. Nowak & Nowakowa (2000) collects many papers of Nowak, his wife or even of both, some of which had not appeared in English earlier, or at all.21 The book contains also an exhaustive bibliography on idealiza-tion. Brzezinski et al. (2007) presents a recent collection of different essays pre-sented in honor of Prof. Nowak. All of them discuss different aspects of his phi-losophy, but the book is mainly dedicated to the concept of idealization.

Nowak and his followers adopt a syntactic view on idealization by analyzing it as a relation between lawlike statements. A law (in the present context) will typi-cally have the form of a universally quantified statement (Nowak and followers use first-order logic, but this is not an essential point) and theories are supposed to be classes of such statements. Nowak’s account of the idealization-concretiza-tion process can be presented in the following way. We can start from the most idealized law (T

k) to the least one (T

0). Let be x to denote a given “real system” (in

Nowak’s words). “Real systems” are here to be understood as individuals belong-ing to the domain of the theory: real systems are (particular examples of) conduc-tors in the case of the theory of electricity or gases in the case of the theory of gases. They then constitute the ontology of the theory. Let F(x) be a magnitude or a quality of x, H 1(x),...,H n (x) some parameter functions which F(x) necessary de-pends on, p

k,...p

1 the parameter functions which can be taken into account in the

progressive concretizations of the most idealized law Tk, f

k,..., f

0 the laws through

which we can determine the value of F(x), and assume that x belongs to a class R which constitutes the empirical domain of that system and that all these func-tions are real-valued. When Nowak says that H(x) plays the role of a necessary fac-tor, he is assuming that there are factors which cannot be neglected, which neces-sarily (in some sense of necessity) determine the value of F(x). He does not specify

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19 Unfortunately almost all the authors who took part in the discussion wrote their contributions only in Polish.

20 See Krajewski (1977), p. 22.21 Nowak (1992) is also included in the book (see pp. 109-184).

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what he has in mind and in fact this is one of the critical points which have been noticed by his commentators. Essentialism is a characteristic aspect of Nowak’s position. He ascribes this distinction between essential and adventitious factors to Marx’s Capital and considers it a fundamental feature of the method of ideali-zation.22 This is a first controversial point, because it seems clear to me that we can support an idealizational approach without defending any such metaphysi-cal thesis. According to Nowak, there are usually more than one essential fac-tor (maybe many) and even among the essential factors a hierarchy can be distin-guished according to their degree of influence.23 For the sake of simplicity, let us suppose that there is only one of such necessary factors.

Returning to our point of departure: the structure of idealized laws is that of a conditional statement, in which the antecedent contains some idealizations (which typically have the form: for certain x certain parameter function assumes the value 0, 1 or infinity). We have here a second point of controversy, namely that of the interpretation of such conditionals. If we assume they are material con-ditionals, then we come to the well-known problem that they are always (trivial-ly) true (because ideal conditions are false). So it seems more natural to interpret such conditionals as counterfactuals.24 But this does not seem to be Nowak’s in-terpretation and on the other hand neither he nor his followers present any analy-sis of such counterfactuals at all. The most idealized law, Tk, contains k idealizing or counterfactual assumptions: p

k(x) = 0,..., p

1(x) = 0. The next, less idealized one,

Tk-1, must contain k −1 idealizing assumptions, etc. Ti is said to be “the immediate idealization” of Ti-1 and, conversely, Ti-1

is “the immediate concretization” of Ti:25

(T) F(x) = fk(H(x)).(Tk) R(x) ∧ p1(x) = 0 ∧…∧ pk-1(x) = 0 ∧ pk(x) = 0 ⇒ F(x) = fk(H(x)).(Tk-1) R(x) ∧ p1(x) = 0 ∧…∧ pk-1(x) = 0 ∧ pk(x) ≠ 0 ⇒ F(x) = fk-1(H(x), pk(x)).(Tk-2) R(x) ∧ p1(x) = 0 ∧…∧ pk-2(x) = 0 ∧ pk-1(x) ≠ 0 ∧ pk(x) ≠ 0 ⇒ F(x) = fk-2(H(x), pk(x), pk-1(x)).............................................................................................................................(Ti) R(x) ∧ p1(x) = 0 ∧…∧ pi(x) = 0 ∧ pi+1(x) ≠ 0 ∧…∧ pk-1(x) ≠ 0 ∧ p(x) ≠ 0 ⇒ F(x) = fi(H(x), pk(x),…, pi+1(x)).............................................................................................................................(T0) R(x) ∧ p1(x) ≠ 0 ∧…∧ pk(x) ≠ 0 ⇒ F(x) = f0(H(x), pk(x), pk-1(x),..., p1(x)).

Obviously this scheme does not cover all forms of idealizing laws, but capture the general idea of the process. There are two important points to be noticed. One is the interpretation of ‘⇒’. If we interpret this connective as a material condi-tional, as in fact it seems that Nowak and his followers have done, idealizations become vacuously true statements. It seems therefore that the conditional must

22 Nowak (1980), p. 95.23 See Nowak (1980), pp. 97-98.24 Compare Niiniluoto (1999), p. 137.25 These are not Nowak’s terms, but mine, because I interpret that the idealization relation is transitive.


be counterfactual.26 The second point is the fact that it is surely intended that the idealization relation is transitive, that is, Tk is an idealization of Tk-1

but also of Tk-2, which is the immediate concretization of Tk-1. It also seems that Nowak’s cha-racterization implies a linear sequentiality of factors which are supposed to be or-dered according to their degree of importance. But, if my interpretation is correct, Nowak’s analysis would become too restrictive, because we can neglect whichever of the factors we think to be negligible in a given time. Nowak’s characterization can also be interpreted in the sense that it is a reconstruction made a posteriori by the philosopher of science, who simply orders the factors just according to the chronological order in which they were discovered by the scientist. According to the Poznań-School Conception, Tk-1 pass asymptotically into Tk when for each x, pk(x) tends to zero.27 Normally, even T0 is not met in empirical sciences. Instead, the scientist introduces corrections in order to approximate the value of F. In this case, we introduce approximations of idealizations instead of concretizations.

Nowak’s account of idealization is certainly an interesting achievement in phi-losophy of science and his idea is intuitively valid. This notwithstanding, Nowak’s approach has some difficulties. We are going to see now the problems which–in my opinion–render unsatisfactory the Poznań-School conception of idealization. The objections can be summarized in the following way:

(1) The Poznań-School approach to idealization is too much depending on the classical view of scientific theories. It is true that, for instance, Nowak (1972) criticizes Nagel’s account as inadequate and incomplete on the ground that his model does not cover idealizations as an important part of scientific method, but only on an empirical basis and that, for Nowak, this is so because of the positivistic view to which Nagel is still subjected. But it is also true that Nowak’s idealization presupposes the classical con-ception of theory according to which theories are classes of statements and that idealization is basically reconstructed as a relation between sta-tements. Our first objection is surely not a problem per se, but it becomes a difficulty for all those philosophers who argue that to treat scientific theories just as classes of statements is an insufficient or even a wrong way of reconstructing their logical structure.

(2) Nowak’s analysis seems to be not sufficiently general, since the neglected parameters can take other values than 0, and not sufficiently accurate, be-cause it does not say, for instance, how the functions fk and fk-1

are related for one to be part in an idealization of the other.

(3) If my interpretation of Nowak is correct and it presupposes a linear ordering of idealizations-concretizations, that is, it presupposes that there is a linear ordering of parameters according to their influence, then his characteri-zation does not seem to be accurate. Why should it not be legitimate to take a different parameter for the idealization (for example, if we do not

26 See, for instance, Niiniluoto (1999), p. 137.27 Nowak does not specify any metric or topology.


know how much influent it is). It also presupposes a notion of essentia-lity of factors which, as Paprzycki & Paprzycka (1992) have correctly po-inted out, needs at least a more precise definition. Nowak’s further ideas presuppose also a distinction between ideal and real objects and leads to a metaphysical conception of science which is, in my opinion, something suspicious.28

(4) Since ideal conditions are manifestly false, we can not use the material conditional to formalize an idealizational law, but a counterfactual con-ditional. But this leads to the well-known problem of the analysis of such conditionals. Nowak and his followers do not seem to say anything about this.

(5) Nowak and his followers do not seem to recognize the role of approxima-tion as another important relation between laws, but rather as a method of comparison of the values of the parameters appearing in the laws.

(6) My last objection is the most important one and has to do with the fact that Nowak’s analysis does not seem to grasp well enough the difference between an intratheoretical idealization and an intertheoretical one. His analysis seems to be more an attempt at characterizing the relation of in-tratheoretical idealization (as idealization between lawlike statements of a given theory) or at least it is not enough clear which theory each idealiza-tional statement belongs to. In which theories these statements should be satisfied?

For other kinds of criticisms see Krajewski (1977) and Haase (1995).29 After having sketched my objections to Nowak’s idealizational approach, I want to focus the rest of the section on the reconstruction of Nowak’s ideas in structuralist terms.

Nowak (1989), (1990) and (1991) presents an analysis of the phenomenon of idealization in terms of the notion of counterfactual deformation. Ibarra & Mor-mann (1994) reconstruct Nowak’s idea of counterfactual deformation by intro-ducing it as a relation between structures: (potential) models are presented not in the usual way, but adding to the base sets and relations a new component which consists of the carriers U1,…, Up of the relations f1,…, fp so that each fi is a subset of Ui. Potential models are then of the form: x = ⟨A1,…, An, f1,…, fp, U1,…, Up⟩. We can then define:

Def. 1: If x = ⟨A, f, U⟩ is a (potential) model, then x′ is a soft counterfactual defor-mation of x iff there exists f ′ such that x′ = ⟨A, f ′ , U ′ ⟩, and x′ is a hard coun-terfactual deformation of x iff there exist f ′ and U ′ sucht that x′ = ⟨A, f ′ , U ′ ⟩, where U ≠ U ′ .

The relation of concretization/idealization is defined as a relation between theory-elements in terms of that of counterfactual deformation operator in this way:

28 See Krajewski (1977), pp. 25-28.29 See Krajewski (1977), chapter 1; Haase (1995), chapter 2, section 2.1.4, in particular p. 101 for a survey.


Def. 2: If T = ⟨K, I⟩ is a theory-element, K = ⟨M, Mp, Mpp, r, C⟩, where Mp has as elements structures of the form ⟨A, f, U⟩, a counterfactual deformation operator d of T is a map d: Mp → Mp of the following form:

(1) d(⟨A, f, U⟩) = ⟨A, f ′ , U ′ ⟩, where f ′ and U′ are as above(2) dd = d(3) d[M] ⊆ M

U can be identical to U ′ or not, so that d(⟨A, f ′ , U ′ ⟩) can be either a soft coun-terfactual deformation or a hard one. Conditions (i) and (ii) seem well motivat-ed. Condition (ii) says that d is idempotent: the double application of a counter-factual deformation operator does not yield anything new. But what about con-dition (iii)? The idea is that d should be a projection which preserves the actual models. They argue: “The purpose of counterfactual deformation is to transform a ‘good’ potential model into an actual one” (Ibarra & Mormann 1994, p. 187). The role of counterfactual deformation operators is then “to eliminate certain factualities that hinder potential models from being actual ones” (Ibarra & Mor-mann 1994, p. 187). They are thinking of examples such as that of assuming that the bob of a pendulum is a mass-point. This seems to be the case within this ex-ample, but there are other examples of idealization in which our ideal conditions contradict the axioms of the theory. For instance, the supposition made in rela-tivity physics (by Einstein and others) according to which there are rigid bodies (in the classical sense). This contradicts the principles of relativity. Newton neglect-ed the influence of the attraction of the Sun by the planets despite the fact that it contradicts his actio-reactio principle. So I think condition (iii) is only accept-able for a particular kind of counterfactual deformations: those which are used to characterize the theoretical domain and are contingently false with respect to the actual facts, just as in the case of the pendulum. It is interesting to make an ob-servation here. The case of the supposition of the mass-point in classical mechan-ics is self-contradictory only when we have the concepts of gravitational potential and gravitational mass. Newton was aware of the impossibility of fact of the mass-points, but his argument is only philosophical:

The qualities of bodies, which admit neither intensification nor remission of degrees, and which are found to belong to all bodies within reach of our experiments, are to be esteemed the universal qualities of all bodies whatsoever. [...] the extension, hardness, impenetrability, mobility, and inertia of the whole, result from the ex-tension, hardness, impenetrability, mobility, and inertia of the parts (Newton 1687[1934], vol. II, pp. 398-399; my italics).

Ideal conditions that strictly speaking condradict the theory in which such suppo-sitions are made are typical when we try to derive an old theory from the new, more precise one. Newton made them when he attempted to derive Kepler’s laws from his own theory. Ibarra and Mormann’s reconstruction then seems not suita-ble for intertheoretical cases in particular.

Ibarra & Mormann (1994) suggest to assume that the set of counterfactual deformation operators for a theory-element is (at least) a semilattice, that is, that


the composition of d satisfies the property of commutativity. Ibarra and Mor-mann also require idempotence and associativity (which is always guaranteed in the composition of functions). This suggestion seems also well motivated and tries also to mirror Laymon’s account. They then define:

Def. 3: A theory-element T with an idealization structure D, denoted by ⟨K, I, D⟩, is a theory-element ⟨K, I⟩ endowed with a semilattice D of counterfactual deforma-tion operators defined on Mp. Provided a partial order ⟨D, ≤⟩ between the ele-ments of D, where ≤ is a relation defined in this way: d ≤ ′d iff there is a ′d such that d = ′d , ⟨D, ≤⟩ induces in a natural way a partial order on Mp: x ≤ y iff there is a d ∈ D with d(x) = y. The idea behind it is that we want to become more idealized theories by applying progressively more counterfactual deforma-tion operators: if x ≤ y, we then say that y is an idealization of x or, conversely, that x is a concretization of y.Def. 4: If T = ⟨K, I, D⟩ and ′r = ⟨ ′K , ′I , ′D ⟩ are theory-elements with idealiza-tion structures, T is called a concretization of ′T (we write: T ≤ ′T ) iff:

(1) K = ⟨M, ′pM , ′ppM , ′r ⟩, ′K = ⟨ ′r , ′pM , ′ppM , ′r ⟩(2) D ⊆ ′D (3) for all potential models x ∈ ′pM for which there is a counterfactual defor-

mation operator ′d ∈ ′D such that ′d (x) ∈ ′M there is a counterfactual deformation operator d ∈ D with d ≤ ′d such that d(x) ∈ M.

(4) I = ′I .

(I have introduced some small changes in Ibarra and Mormann’s definitions.)

Let us briefly comment both definitions. Conditions (2) and (3) of Def. 4 should preclude that the counterfactual deformations of the idealized theory are stron-ger than those of the concretized theory and that is well motivated. But condi-tions (1) and (4) are too strong, if we want–as I think Nowak does–to take inter-theoretical cases into account, because the new, more precise theories have ex-tended their set of intended applications: think of the Newton-Kepler case, whe-re Newton’s theory is intended to be applied not only to planetary systems–as in the case of Kepler’s celestial mechanics–but to all mechanical systems. (1) is also too strong, because the new theories usually have also extended their com-ponents, they are even structures of a different similarity type, as in the Kepler-Newton case. I believe Nowak and his followers attempted at covering also these cases. Therefore, I conclude Ibarra and Mormann’s analysis is not even appro-priate as a reconstruction of Nowak’s ideas. Recently, Mormann (2007) explores the relation between idealization, representation and counterfactual deformation in the framework of a possible worlds-account. I will not discuss his approach in the present article, because it has not explicitly to do with the aim at providing a structuralist reconstruction of Nowak’s ideas.

Similarly, Haase (1995) and (1996) has provided a structuralist analysis of the notion of idealization which is very close, and in fact is also based upon, Nowak’s typology of deformational procedures. Both idealization and abstraction


are for Hasse the most important methods of what she generally calls (in ger-man) “Veränderungen von Repräsentationen” (alterations of representations). For Haase, representations can be of a formal nature: formalizations of a theory in a given language which is sufficient for representing all the complexity of the theory, but there can also be mental, “experimental” (which could be formulat-ed as physical models of a certain kind) and even other kinds of representation–Haase is not very precise in this point–. In the present context, the important point is that to each representation always corresponds a universe of discourse. She then defines a relation of idealization to hold between universes in the fol-lowing terms:30 Rij ⊆ Ui × ′U j (for 1 ≤ i ≤ m and 1 ≤ j ≤ n) is an idealization re-lation iff there are families of universes U and ′U such that U is a family of non-empty and non-idealized universes–that is, universes to which it has been applied an operation of idealization in the sense of Nowak–, ′U is a family of non-empty idealized universes, and U ∩ ′U ≠ ∅ . This means that for the objects within the universes of the families related by idealization must hold the counterfactual deformation method of idealization in the sense of Nowak. Haase distinguishes between a non-idealized representation (RI) and an idealized representation (RII) and defends a pragmatic conception of Galilean idealization. In this sense, her definition of “idealized representation” is more subtle, because it includes the reference to the scientific community of a certain period in the history of science and the concept of intention. In such terms, she defines two relations between representations: one of idealization and the other of abstraction, the main dif-ference being that the relation of abstraction is made in terms of a selection of characteristics (“Merkmale”) or properties (parameters if you want) just as in case of Nowak. Whereas the relation of idealization implies the application of a coun-terfactual deformation procedure, that of abstraction does not requires that.31 The same objections could be raised to Haase’s analysis as in the case of Nowak’s new account. The principal objection would be that it does not seem accurate enough to reduce the idealization relation between two theories merely to a rela-tion among their universes of discourse, because the deformation procedures are to be applied to the specifications of the theoretical domains and these specifi-cations usually belong to the axioms of a theory. Idealization as intertheoretical relation involves therefore more a relation between statements (as in the case of the Poznań School) or between the statements used to determine a certain class of structures (if we follow the structuralist approach). But, in any case, a positive contribution of Hasse’s account seems to be the incorporation of a pragmatic ele-ment which surely should to be taken into account in a more complete analysis of idealization. These pragmatic aspects of idealization can easily be incorporated in a structuralist version of Nowak’s idealization.

Comparisons between the Poznań-School approach to idealization and the structuralist conception have been made by Kuokkanen (1988), Hamminga

30 Haase (1995), p. 124.31 Haase (1995), pp. 128-129.


(1989), Kuokkanen & Tuomivaara (1992) and Balzer & Zoubek (1994). See also Haase (1995) and (1996). As I cannot here comment all of them, I will only present my own structuralist reconstruction and results, which are in part based on the work of these authors. I am particularly indebted to Balzer & Zoubek (1994) and Kuokkanen & Tuomivaara (1992). I will later mention the main dif-ferences between the account of these authors and my own account. In what fol-lows I suppose a certain familiarity with the structuralist methods.

Let θ be the similarity type for structures of the form: ⟨ ′D1 ,…, ′Rn ⟩ is a sub-structure of M = ⟨D1,…, Dr, A1,…, Am, R1,…, Rn, p1,…, pi⟩, where D1,…, D

r are

base-sets, A1,…, Am are auxiliary base-sets, R1,…, Rn are functions, relations or constants over D1,…, Am, and p1( x ),…, pi( x ) ∈ R (where 0 < i < k and R = Aj, for some j = 1,…, m), where p

1,…, p

i are distinguished parameter functions which

can be neglected under certain conditions, or what is the same, the different factors introduced by the successive concretizations. The domains of these func-tions are subsets of some of the base-sets D1,…, Dr. Let θ′ be an expansion of θ, ⟨D1,…, Dr, A1,…, Am, R1,…, Rn, p1,…, pi, pi+1⟩, in order to include one factor more. Let T be a given theory understood as a certain class {m: m = ⟨D1,…, Dr, A1,…, Am, R1,…, Rn, p1,…, pi⟩} which satisfies some axioms linking the different components of the θ-structures. Let now ′T be another theory, understood in the same way, as a certain class of θ-structures. Let M(T) and M( ′T ) be the class-es of those structures which satisfy the axioms of T and ′T respectively, and I(T) and I( ′T ), the classes of the intended applications of T and ′T , respectively. In M( ′T ), p

i+1 takes a value greater than 0 (for each x). Let red: Str(θ′) → Str(θ) be the

“reduct” function which for each m = ⟨D1,…, Dr, A1,…, Am, R1,…, Rn, p1,…, pi, pi+1⟩ gives the structure red(m) = ⟨D1,…, Dr, A1,…, Am, R1,…, Rn, p1,…, pi⟩.

Let M* := {⟨D1,…, Dr, A1,…, Am, R1,…, Rn, p1,…, pi, pi+1⟩ ∈ Mp( ′T ): ∀ x(p1( x ) ≥ 0 ∧…∧ pi+1( x ) ≥ 0)}.

I disagree with Balzer’s and Zoubek’s reconstruction in a first point: while they take distinguished values (real numbers) of the parameter functions as com-ponents of the structures, I prefer to take the parameter functions themselves. So pi,…, pi+1 are the parameter functions which we can idealize and nRR ,...,1 the main relations and functions which are necessarily to be taken into account (in Nowak’s terminology). The difference between main or essential factors and se-condary factors (those that can be successively neglected, i.e., that can be “idea-lized”) is also presupposed in Kuokkanen & Tuomivaara (1992, pp. 79-80). But this sort of essentialism could be easily skipped from the present account.

Then we can define:Def. 5: T is an idealization of ′T (and hence that ′T is a concretization of T) iff:

(i) I(T) ⊂ red[I( ′T )] (ii) red[M( ′T )] ∩ M(T) = ∅(iii) ∀m ∈ Str(θ)(m ∈ M(T) ↔ ∃m*(m* = ⟨D1,…, Dr, A1,…, Am, R1,…, Rn,

p1,…, pi, pi+1⟩ ∈ M( ′T ) ∧ ∀ x (1

*i

mp+

)( x ) = 0) ∧ red(m*) = m).The essential point in this structuralist reconstruction of the Poznań account is that, instead of classes of formulas, we have classes of models. The models of the


concretized theory contain the parameter function which is taken for the first time into account, while in the models of the corresponding idealized theory this same parameter function turns out to be a constant function which always yields the value zero (or another constant value) and hence it becomes to be negligible. Then the process of concretization can be reconstructed in the fol-lowing way: We can get the non-idealized theory ′T as the class of structures which take into account the new parameter from the idealized theory T, which is viewed as the reduction by the function red of the class of structures ′T . This transition must satisfy conditions (i)-(iii). Condition (i) says that the intended ap-plications of the idealized theory are exactly the same of the concretized theory, except only that this second theory takes a new factor into account; this means that the concretized theory has more intended applications than the idealized one. Condition (ii) says that the concretized theory and the idealized one are dra-matically different with respect to their actual models, although they coincide en-tirely with respect to their potential models (the potential models of the idealized theory are simply reductions by r of the potential models of the concretized theo-ry). This is so, because according to the concretized theory it is not possible for a real system to be a model of the concretized theory without taking into account a certain relevant factor, which is not taken into account by the idealized theory. Condition (iii) says that M(T) can be seen as the “reduct” of that part of M* in which the new parameter equals zero, being the laws of M(T) the same as those of M( ′T ) in this special case. A similar counterpart is lacking in Kuokkanen & Tuomivaara’s (1992) approach. The main difference between their and my own account is that, in my case, idealized structures can be obtained as reducts of more concretized structures by means of an idealized assumption consisting in stating that certain factor can be neglected, whereas in the case of Kuokkanen and Tuomivaara the same factors are always present in the structures (those con-cretized and those idealized as well). It is an alleged advantage of my account that it can represent the idealization process by means of an operation (the “reduct” function) and, at the same time, to make clearer the difference between ideal-ization and de-idealization at the level of the mathematical structures. As a re-construction of Nowak’s approach my account reveals to be better too, because idealized and concretized structures can be easily presented in this way as those structures satisfying certain idealized and concretized statements as formulated by Nowak. Now let us see how this reconstruction allows us to overcome the main difficulties associated with Nowak’s approach. Nowak’s essentialism can easily be skipped from the structuralist account, as the idealization relation is a relation between structures already available, i.e., previously constructed. The idealization can then be seen basically as a relation between theory-elements just as any other intertheoretical relation. And no further essentialist consideration should neces-sarily be introduced in this framework. The idea of understanding idealization as a relation between structures seems to be better motivated if we think of ideal-ization as a relation among theories better than among sentences or statements. Although Nowak’s original intuition was not in terms of counterfactuals, it cer-


tainly has a counterfactual character that could be formally captured by a mod-al framework, but no such framework has yet been provided and it is not clear that such a framework, in case it could be provided, can be general enough to be applied to scientific theories. Contrary to this, the structuralist view is a powerful tool of representing scientific theories and it is already available. Finally, the dis-tinction between idealization as model construction and idealization as intertheo-retical relation can be shown in a much easier way within the structuralist perspec-tive. The other difficulties have to do with the lack of generality of Nowak’s ac-count, which is too restrictive because of the nature of the parameters involved, but this difficulty can also be resolved by modifying the definition in an appro-priate way.

Now we focus on the empirical confirmation problem. As we know, the em-pirical claim of a theory T says: I(T) ⊆ r[M(T)]. We can ask for a similar condi-tion for idealized theories according to which the idealized theory can be shown to be empirically correct. At least, the following result can be proved: that the empirical claim of an idealized theory follows from a condition imposed on its set of intended applications, namely that there is an expansion of this set which is included in the reduct of the class of the M*-structures in which the factor pi+1 takes the value 0. Let T id ′T denote that T is an idealization of ′T :32

Theorem 1. T id ′T ∧ ∃Y(Y ⊆ r[M* – {m: m ∈ Mp( ′T ) ∧ 1i

mp+

= 0}] ∧ I(T) ⊆ red[Y]) → I(T) ⊆ [M(T)].

Proof: It is easy if we notice that(+) red[M* ∩ {m: m ∈ Mp( ′T ) ∧

1i

mp+

= 0}] ⊆ M(T), because if m ∈ red[M* ∩ {m: m ∈ Mp( ′T ) ∧

1i

mp+

= 0}], then there is a m* ∈ M* such that

1

*i

mp+

= 0 and red(m*) = m. Therefore, m ∈ M(T).By (+), r[red[M* ∩ {m: m ∈ Mp( ′T ) ∧

1i

mp+

= 0}] ⊆ r[M(T)], whence(++) red[r[M* ∩ {m: m ∈ Mp( ′T ) ∧

1i

mp+

= 0}] ⊆ r[M(T)].Since by assumption I(T) ⊆ red[Y] and red[Y] ⊆ red[[M* ∩ {m: m ∈ Mp( ′T ) ∧

1i

mp+

= 0}]],we obtain by (++): I(T) ⊆ [M(T)].

In order to make an account of the approximations, ATi, of the idealization-al statements, we can construct–following the suggestion of Balzer & Zoubek (1994)–a continuos sequence of models in which the value of the parameter in-troduced by the concretized theory becomes closer and closer to zero (or another constant). Let us only sketch (without giving any precise formalization) how it would look. We should consider the class {m

i ∈ M*: ∀ x (

1

*i

mp+

)( x ) = r ∧ | r – 0 |

≤ ε}, that is, where r ∈ R is a certain real number satisfying the property of being “small enough”. For each different r ∈ R satisfying this property, we become a se-quence of models m

i (of their reducts) converging to some model m ∈ M(T). Let

U be a topology on Str(θ). Then we can say that there is an “idealizational con-

32 Compare this result with that of Balzer & Zoubek (1994), Theorem 1.b., p. 68.


vergence” of T to ′T with respect to topology U if T is an idealization of ′T in the former sense and there exists a sequence of models {m

i} such that each m

i =

⟨D1,…, Rn, pi+1⟩ ∈ M*, for each x there exists a real number r such that pi+1( x ) = r and r → 0 with respect to the natural topology in R, and red(m

i) → m with res-

pect to U.33 Furthermore, there is an intimate connection between the empirical claim of preceding models in the sequence and the empirical claim of the most idealized mode. The connection is the following: we can say that the most ideal-ized theory is empirically adequate, even if it is not possible to show this directly, by showing that its concretized versions (the preceding models in the sequence) are empirically adequate. Though I will not show this as a separate theorem, I think it would be easy to show this taking into account the preceding consider-ations (this is work for another article).

What should this convergence show? Or what should this iterative procedure of successively applying idealizations and concretizations mean? Well, science seems to grow by trying to make the laws and theories we have more precise. Sometimes it is necessary to correct them and empirical investigation leads us to extend the do-main of our theories. New theories can be applied to a greater domain of entities and old theories can be shown to be valid for a restricted subclass of this domain when we make certain counterfactual (idealizing) assumptions. Under these ideal conditions, it is possible to somehow derive old theories from the new ones. A pa-radigmatic case of this seems to be that of Kepler-Newton, which is typically taken as an example of an approximative intertheoretical relation (though also involving idealizing assumptions). The concretization process usually means to formulate tentative hypotheses stating whether a certain (new) factor has or doesn’t have an appreciable influence on our computations, on our laws. These concretizations can be made years or centuries after a theory has been formulated, as in the case of Newton trying to derive Kepler’s laws from his own gravitational theory. But they can also be made immediately as a way of testing our hypotheses. The idea-lization-concretization process, understood as the process which leads from idea-lizations by constructing models to the concretizations which make our theories more accurate, seems to be the essence of scientific method. The accuracy of our theoretical models must be understood as the degree to which our theoretical models approach the data. Idealizations can then be justified by showing how they lead to more accurate theories by the converse relation, i.e., that of concreti-zation. As Laymon puts it:

[i]f it can be shown that more realistic initial conditions will lead via theory to correspondingly more accurate predictions, then the original highly idealized initial conditions are justified in the sense that they provided the starting po-int for a successful confirmational process (Laymon 1982, p. 115).

The well-known puzzle of how to confirm idealizations can be solved in its turn

33 Recall that a sequence in a space Y is a map φ: Z → Y and that we say that φ “converges to” y0 if ∀U(y

0) ∃N∀n

n ≥ N: φ(n) ∈ U, where U(y0) is a neighborhood of y

0. For sequences of reals, φ→y

0 becomes: ∀ε > 0 ∃N ∀n

≥ N: φ(n) ∈ B(y0, ε), where B(y

0, ε) is defined as the set {y: d(y,y

0) < ε}. See Dugundji (1966), p. 209.


by invoking the concept of approximation: it is argued that it is “impossible” to test idealizations, because their antecedents (ideal conditions) are never realisa-ble. To this objection we can reply: maybe idealizations themselves cannot be di-rectly confirmed, but the statements in which it is stated that the idealized fac-tors do not assume the limit value, but approach to it, these statements can usually be easily confirmed. We merely need to experimentally reproduce a situation which approaches that of the ideal or limit conditions and try to show whether the ide-alized law approximately holds. There is another kind of justification for the use of idealizations: they should allow for practical computability. In intertheorical cases, such as the Kepler-Newton and the Newton-Einstein relations, the practical computability allowed by the idealized theory enable us to use the old laws in some restricted domains and to a certain degree of accuracy. Science always impels us to find the best explanation of a phenomenon. In the present context, this turns into try-ing to find the best concretized form of a certain law or theory, which is proved to be only approximately true. In many paradigmatic cases of “revolution” in sci-ence, we have a new theory which ideally tries (1) to explain the anomalies of the old theory, (2) to explain the same successful empirical consequences as the old theory, (3) to have more predictive power, and (4) if it is possible, to be applica-ble to a much broader empirical domain of entities. Theories which were well ac-cepted in the past and that are proved to be approximately true according to the new and more precise ones should not be rejected. They can still be applicable in a restricted domain. In these cases, it is desirable that the new theories can pro-vide a theoretical explanation of the fact that the old theory is still successful to some extent. For example, Newton accepted Kepler’s laws as empirical generaliza-tions holding only approximately and arrived at his theory of gravitation in part trying to give a theoretical explanation for these laws. And Einstein tried to give a formulation for the gravitation field equations which could explain the success-ful part of Newton’s theory. These considerations seem to me in accordance with Kuipers’ (2007) reflections on the relation of idealization to truth approximation (he also understands this notion as a relation between idealized structures).

5. ConclusionThe comparison between the two accounts, Nowak’s and that of the structural-ist view, shows that Nowak’s original formulation in terms of the syntactic view is inadequate for methodological purposes. At the same time, our structuralist re-construction indicates the relevance of the concept of idealization as a specific re-lation between structures distinct both from the notion of idealization as model construction and from the concept of approximation. As we have shown, this par-ticular kind of idealization, which Nowak tried to capture with his own analysis, can also be formalized in structuralist terms. In this sense, our work should be added to that of Balzer & Zoubek’s (1994), who similarly endorse a structuralist version of Nowak’s concept of idealization. In further publications I will provide some historical examples that can be reconstructed according to my own account.


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Prolegomena to a Structuralist Reconstruction Of Quantum Mechanics | 91

Artículos | Articles | ArtigosSegunda parte

92 | Joseph D. Sneed

Prolegomena to a Structuralist Reconstruction Of Quantum Mechanics | 93

Prolegomena to a Structuralist Reconstruction of Quantum Mechanics*

* Received: 10 January 2011. Accepted in revised version: 18 March 2011† Division of Liberal Arts and International Studies, Colorado School of Mines. To contact the author, please

write to: [email protected].‡ The author is grateful for the comments of two anonymous reviewers on an earlier draft.

Metatheoria 1(2)(2011): 93-130. ISSN 1853-2322.© Editorial de la Universidad Nacional de Tres de Febrero. Publicado en la República Argentina.

Joseph D. Sneed†‡

AbstractA structuralist “reconstruction sketch” of an idealized theory is provided. This theory, QM, has some essential features of quantum mechanics. QM is a theory about abstract “result-ob-servation events”, formal characterizations of interactions among physical systems and their results. QM is a stochastic theory and in the stochastic apparatus some features of “real life” quantum mechanics are recognizable. The result-observation events themselves exhibit nei-ther essentially quantum mechanical features nor essentially physical features. At the level of the basic theory element QM is more like a specialization of probability theory than a physi-cal theory. It is only at the level of specialization of the basic theory element that essentially physical and quantum mechanical features may be introduced. The account provides a “re-construction sketch” rather than a reconstruction largely in that no account is given of physi-cally interesting specializations. It also falls short of a full reconstruction in that the mathe-matical apparatus is restricted to finite structures.Keywords: structuralism - quantum - mechanics - probability

ResumenSe proporciona un “esquema de reconstrucción” estructuralista de una teoría idealizada. Esta teoría, QM, tiene algunas características esenciales de la mecánica cuántica. QM es una teo-ría acerca de “eventos de observación de resultados” abstractos, caracterizaciones formales de las interacciones entre los sistemas físicos y sus resultados. QM es una teoría estocástica y en el aparato estocástico son reconocibles algunas características de la mecánica cuántica de la “vida real”. Los eventos de observación de resultados mismos no exhiben características esen-cialmente mecánico-cuánticas ni características esencialmente físicas. En el nivel del elemen-to básico de la teoría, QM es más como una especialización de la teoría de la probabilidad que una teoría física. Es recién en el nivel de especialización del elemento básico de la teoría que se pueden introducir características esencialmente físicas y de mecánica cuántica. En el presente artículo se ofrece un “esquema de reconstrucción” más que una reconstrucción, de-bido en gran medida a que no proporciona un tratamiento de las especializaciones físicas in-teresantes. Tampoco constituye una reconstrucción completa en tanto el aparato matemático se limita a estructuras finitas.Palabras clave: estructuralismo - cuántica - mecánica - probabilidad


1. Introduction The aim here is to provide a structuralist “reconstruction sketch” of a somewhat abstract, idealized theory which has some of the essential features of quantum mechanics. This is an abbreviated version of a longer work in which most of the mathematical detail and illustrative examples have been omitted.

The discussion presupposes acquaintance with the structuralist approach to reconstruction of empirical theories as described in detail in Balzer, Moulines & Sneed (1987), Sneed (1971), and in somewhat less detail in Stegmüller (1979). A summary discussion of this approach in a somewhat wider context is provided in Schmidt (2003). Within this framework, the focus is on sketching the formal core of a basic theory element ⟨Mpp, Mp, M, C⟩ [1-1] where the components of this core are described respectively in [2], [3], [4] and [6]. Some specializations are considered informally in [5]. Intended applications will not be explicitly considered.

The theory is called “QM”. QM is essentially a theory about abstract “result-observable events”. Roughly, result-observable events are abstract, formal characterizations of interactions among physical systems and the results of these interactions. QM is a stochastic theory and it is mainly in the stochastic apparatus that some features of “real life” quantum mechanics can be recognized. The result-observable events themselves exhibit no essentially quantum mechanical features. Indeed, they exhibit no essentially physical features. At least at the level of the basic theory element [E-1-1] QM is more like a specialization of probability theory than a physical theory. Somewhat like the Cheshire Cat’s grin, QM is quantum mechanics with everything but the probability theory and linear algebra removed.

It is only at the level of specialization of the basic theory element that essentially physical and quantum mechanical features may be introduced. The present account provides a “reconstruction sketch” rather than a reconstruction largely in the sense that no account is given of these physically interesting specializations. It also falls short of a full reconstruction in that the mathematical apparatus is restricted to finite structures.

The main ideas of QM are sketched here. This sketch is intended to indicate the basic features of QM to be elaborated below and suggest analogues to quantum mechanics. These analogues will be intuitively apparent only to those who have some knowledge of quantum mechanics. There is no attempt to provide this knowledge here. Within the framework of QM it is also possible to characterize linear operators assigned to observables, their eigenvalues and expectation values [4.2]. While this might make the resemblance between QM and some well known formulations of quantum mechanics more apparent, it does

Prolegomena to a Structuralist Reconstruction of Quantum Mechanics | 95

not appear to be the most efficient approach to a structuralist reconstruction. The basic idea of QM [1.1] and the formal constructs representing them [1.2] are sketched. An overview of the subsequent elaboration of these ideas is provided [1.3]. The unfamiliar notation in this section is explained in [3.1].

1.1 Basic idea QM is a theory about result-observation events described by conjunctions roughly of the form

~~υο ˆ

υο ˆˆ ∈ [1-2]

where υ and ο are respectively an observable and a result of that observable. Observables υ are partitions of the set of states of a system; results ο are members of partitions υ. The meaning of the under-script ‘~’ is explained below [2.2.3.3].

These results are associated with vectors ο [1-3]

in a Hilbert space , a finite dimensional, complex inner product space. Values

of certain conditional probabilities, fundamental to the theory, are determined by the inner product in the following way

2•

=

••

οουουο ˆˆˆˆˆˆ~~~~

p . [1-4]

The vectors ο and the space in which they live are theoretical concepts in

QM. The ο play a role in QM analogous to that of state vectors in quantum

mechanics. The results appearing in vectors on the right side of [E-1-4] are associated with their corresponding observables in the conditional probability on the left side. These conditional probabilities are the non-theoretical concepts of QM.

The vector ο may be expressed as a linear combination (superposition) of

basis vectors for any basis in . But, the notation ‘~~υο ˆ’ keeps in view the

“natural” bases in which ο is itself the single non-null basis vector in the expression.

That ‘~~υο ˆ’ is a conjunction is essential to viewing

2ˆˆ •οο

[1-5]

as the value of a conditional probability. Roughly, ‘~~υο ˆ’ is understood to mean

‘ ο is the result of observation of observable υ.’


The conditional probability can be given a more concrete interpretation by including a temporal index so that

2

-1t-1t-1t

tt

•=

••

οουουο ˆˆˆˆˆˆ t

~~~~p .

[1-6]

The under-script ‘~’ appears in the probability expression to indicate that the entities are “events”, appropriate arguments for probability functions. Thus, ‘

t~ο

t~υ ’ is understood to mean

‘t~

ο is the result of observation of t~

υ at time t.’

The conditional probability is then ‘the probability that

t~ο results, given that an observation of

t~υ occurs at

t, and that -1t~

ο was the result of observation of -1t~

υ occuring at time t – 1.’

The notation (explained more fully in 2.2.3.3) works so that ‘t~

υ ’ and ‘-1t~

υ ’

generally denote observations of different observables, the ‘t’ and ‘t – 1’ serving to distinguish the observables.

Though it is not always made explicit, quantum mechanics may be viewed as dealing with conditional probabilities roughly of the form [E-1-6] where the conditioning proposition describes a “state preparation procedure” and an “observation” of a system in the prepared state. In the terminology of QM, a result-observation event is a state preparation and a observation event alone is an observation. A QM observable is analogous to the physical interpretation of a quantum mechanical observable, a Hilbert space operator.

An explicit expression of this view is provided by:

[...] to assert that the state vector is Ψ can be regarded as implying that the system has undergone a corresponding state preparation procedure, which could be described in more detail but all the relevant information is contained in the specification of Ψ. (Ballentine 1986, pp. 885-886)

Much the following discussion may be viewed as nothing more than working out the formal details required to view quantum mechanical probabilities in this way. More explicitly, that “which could be described in more detail” is. In the course of doing this the precise sense in which “all the relevant information is contained...in Ψ” will become clear.

Roughly, QM observables do two things: 1) determine the structure of the result lattice [2.2.2], the fundamental

non-theoretical construct of QM; 2) describe the probabilities treated by QM [2.3].

However, they do not play an explicit role in determining these probabilities [4].


Explicitly describing the probabilities treated by QM is essential to a structuralist formulation of the theory. It is required for formal description of the non-theoretical structures. Intuitively, it is required to say what the theory is “about”. Examples will be provided to demonstrate that this view of probability statements is a plausible, internally consistent rendering of probability statements in contexts analogous to those appearing in standard expositions of quantum mechanics.

But, it will not be argued systematically that this view is adequate to all uses of probability statements in quantum mechanics.

Aside from plausibility and internal consistency, the chief virtue in this view is that quantum mechanical probabilities are simply special cases of the probability concept now standard in mathematical treatments of probability theory. This view has been sketched in (Sneed 1971) and elaborated in (Herbut 1992). Here, it is elaborated in somewhat more detail within the framework of a structuralist reconstruction (Balzer, Moulines & Sneed 1987). Another virtue is ontological austerity. All constructs are based on “systems” viewed a sets of “states” manipulated with familiar mathematical apparatus. Possibly, the chief vice in this view is the cumbersome notation required to describe it precisely.

1.2 Formal Constructs Result-observation events are abstract models for events which may be intuitively conceived as interactions of object and apparatus systems with results which are interpreted as values of certain observables of the object system.

This conception is elaborated by considering somewhat abstract system-observable structures ⟨S, OS⟩ [1-7] where S is a finite set and OS is a set of partitions of S. Members of S σ ∈ S [1-8] are states of system S. Members υ ∈ OS ⊆ POT(S) [1-9] of Os are S-observables. Intuitively, these are partitions that can be “physically realized” in the sense that there are physical means of determining which member of the partition contains the state of S at a specific time.

Partitions of S are viewed as a lattice VS with “finer than” partial ordering s .

The set of observables OS is required to be “upwardly closed” under s in that

υ ∈ OS, ss O∈⇒••υυυ . [1-10]

It is characterized by a sub-set of maximal partitions sO , sO ⊆ OS [1-11]


the s -finest partitions. Intuitively, the members of maximal partitions

sOˆ ∈υ [1-12]

provide them maximally specific information about the state of S that can be OS-observed.

Sets of Results for observable υ ∈ OS will be denoted generically by ‘ο’ so that ‘ου’ denotes an ordered pair consisting of an observable of υ together with the result ο.

The set { }υοου ⊆=soB [1-13]

may be given the structure of a Boolean algebra soBυ whose order relation is

determined by the sub-set ordering of soBυ .

The set

sO

soL

∈=

υυ [1-14]

may be given the structure of a result lattice soL with an order relation derived

from the sub-set relations on soL . The atoms of s

oL are

sO

soA ˆˆ

ˆ∈

=υ

υ . [1-15]

The central theoretical construct of QM is [|], an embedding of the result lattice soL into the lattice of sub-spaces L of the Hilbert space , so that [ο] is a sub-space

of . For the [ ]-image of atoms, soA∈ο , traditional notation for normalized

vectors ο viewed as representing one dimensional subspaces [ο ] is employed.

Probability functions in QM are familiar Kolmogorov probabilities defined on a finite Boolean algebra. In theoretical structures of QM, conditional probabilities in the static case are determined by [ ] [ ]tt

1-t1-tttοουουο ˆ

~~~~WTrp =

[1-16]

where |W| is a statistical operator on such that

[ ] [ ] 1ˆ =1-t1-t οο WTr . [1-17]

The overscript O denotes the adjoint of operator O . The notation departs

from the usual and is explaned in 3.1 below. This reduces to [E-1-6] in the case of one-dimensional subspaces where |[ο]| is

the projection operator corresponding to the subspace [ο]. A more general formulation is provided in [4.1].


1.3 Overview The discussion of QM begins with the non-theoretical structures Mpp [2] which consist of probability functions over a Boolean algebra of descriptions of sequences result-observation events. Ultimately, QM determines the values of certain conditional probabilities for these probability functions. Roughly, these are the probability that a specific result obtains, given the occurrence of an observation event and the results of a previous observation event. The result descriptions which appear in these conditional probabilities have the structure of an orthomodular, orthocomplemented lattice, a result lattice s

oL [2.2.2].

The central mathematical construct for quantum mechanics is a separable, infinite dimensional, complex Hilbert space [3.1]. More abstractly, the mathematical structure is the lattice of closed sub-spaces of such a Hilbert space, a modular, orthocomplemented lattice. Here, we restrict our attention to the

special case of finite dimensional Hilbert spaces and their lattice of sub-spaces.

Theoretical structures Mp of QM [3] are essentially an embedding [.] of the non-theoretical result lattice s

oL into the lattice of sub-spaces in such a way that the

lattice structure is preserved [3.2]. The fundamental theoretical law determining the class of models M for QM

[4] requires that the conditional probability values in the non-theoretical structures are determined by the inner product on the Hilbert space (generally, together with a statistical operator on the Hilbert space) into whose lattice of sub-space the non-theoretical non-theoretical projector lattice is [.]-embedded. Different [.]-embeddings result in different determinations.

Constraints C for the basic theory element for QM will be informally considered in [6].

2. Non-theoretical Structures: Mpp[QMS]

The set of non-theoretical structures for QM is Mpp[QMS]. Its members are of

the form ⟨S, T, p⟩ [2-1] where S is a “system”, T is an interval of integers interpreted as “time” and p is a conditional probability function on sequences of “result-observation” events, described in more detail below [2.2.3].

2.1 System structures: S

S = ⟨, ≈, ι, , , O⟩ [2-2]


where is a set of systems, S ∈ . Systems are finite sets of states, though may be

infinite. Members and sub-sets of system S σ ∈ S ∈ POT(S) [2-3] are respectively micro states and macro states of S. Both are states of S. Intuitively, systems have histories in which S is in exactly one of its states at any time in its history.

Members of are disjoint. Components ≈ and are respectively an

equivalence relation and a concatenation operation on [2.1.1]. ι is an

isomorphism function for equivalent systems. Intuitively, ≈-equivalent systems are systems of the same kind, e.g. electrons. They have the same cardinality and the isomorphism ι describes what counts as the same state in distinct, but equivalent

systems. is a set of elementary systems from which all members of are

constructed via -concatenation. O assigns to systems certain partitions of their

states which are “observable” [2.1.2]. Here we will focus mainly on and O. The

remainder of the elements in the structure S are essential for formulating the

constraints C, which we treat only summarily and informally [6]. A full discussion

of system structures would require consideration of the construction of from .

This is not provided here.

2.1.1 Concatenation -concatenation is simply set-theoretic cross product, ×, renamed to indicate its

role in this context. Thus,

∈ SET(2, ) [2-4]

such that, for all SI, SII ∈ ,

SIII = SI SII = SI × SII. [2-5]

States of concatenations correspond to states in their concatenates in the manner defined by ( ) ( )( )IIIIIII

I SPOT,SPOTSETO ∈ [2-6]

such that, for all I ∈ POT(SI), ( ) IIIIIII

IIII

I S O: ×== . [2-7]

Intuitively, members of ( )IIIIIO are sets of pairs, the first member of which is a

member of a member of I and the second member is any member of SII. Still


more intuitively, all you know about members of ( )IIIIIO is that the first member

of pairs it is in I.

2.1.2 Observables The element O appearing in [E-2-2] is an S-observable structure [2.1.2.2],

assignment of certain s -structured sets of S-partitions [2.1.2.1] to members of .

2.1.2.1 S-partitions The partition lattice of system S VS = ⟨|VS|, s

, s, s, {S}, vS ⟩. [2-8]

Partitions in concatenations correspond to partitions in their concatenates in the manner defined by ( )IIIIIII

I V,VSETV ∈ [2-9]

{ } { }IIIIII

IIIIIIIII

IIII SV υοουοου ∈=∈×== : . [2-10]

Thus, members of ( )IIIIIV υ are sets of pairs, the first member of which is a

member of a member of υI and the second member is any member of SII. Note that

IIIIυ III III

IIυ ∈ |VIII|. [2-11]

2.1.2.2 S-observable structures For S ∈ , the set of S-observable structures is

S = {OS = ⟨|OS|, s ⟩|

1) |OS| ⊆ |VS|; 2) υ ∈ |OS|,

•υ ∈ |VS|, υ

••⇒υυs

∈ |OS|; [2-12]

3) os = s

|sO

}.

Members of S are partial orderings (members of |PO|) whose elements are sets

of S-partitions |OS| [E-2-12-1] upwardly closed under the partition refinement relation s

[E-2-12-2], and ordered by the restriction of s to |OS| [E-2-12-3].

The set of -observable structures is

= {S| S ∈ } [2-13]


an S-observable assignment, a function O ∈ SET(, ) [2-14]

such that, for all S ∈ ,

OS:= O(S) ∈ s. [2-15]

The element O appearing in [E-2-2] is an S-observable assignment. Intuitively, observables are partitions that can be “empirically realized” in the

sense that there are empirical means of determining which member of the partition contains the state of S at specific times in the history of S. Thus, if we can determine which member of υ contains the state of S and

•υυ s

, then we

can determine which member of •υ contains this state. Members of observable υ

have no numerical values. They are related to “quantum mechanical observables” in a manner described in 4.2 below.

The set of terminal observables for S is | sO

|, the set of lower bounds for Os. The set of maximal observables is |ÔS| = {υ ∈ | sO

| | #(υ ) = max{#(υ ) | υ ∈ | sO

|}}. [2-16]

The dimension of OS is dimOS = #(υ ) υ ∈ |OS|. [2-17] Os is homogeneous just when |ÔS| = | sO

|. [2-18]

2.1.3 Notation It is sometimes convenient to regard members of S as well as members of |Os| and their members to be indexed. Indexed members of S are denoted by iσs ∈ S [2-19]

‘ siυ ’ denotes the i-th observable of system S so that

si

si υο ∈i [2-20]

is element i of partition i of system S. Note that ‘iσs’ denotes a micro state, a member of S, while ‘ s

iοi ’ denotes a macro state, a sub-set of S. Below the right

superscript ‘S’ will be omitted where context makes the relevant system evident. For compound systems, this notation becomes

ijσIII = ⟨iσI, jσII⟩ ∈ SIII [2-21]

III

:IiIII

ij υοοο ∈×= II

jIi

jiij III IIIj:IIυ . [2-22]


2.1.4 Interpretation Intuitively, is provided by models for some “underlying” empirical theory

distinct from QM. For example, it might be that = M[CPM] [2-23]

where the underlying theory is classical particle mechanics. In the structuralist formalism, this situation would be represented by an inter-theoretical link. Where

the structures in S ∈ are tuples of numerical valued functions over some

domain, the obvious choice for the states of S is configurations of function values consistent with the relations among the functions in the structure in M[CPM].

While it is possible that might be provided by a non-mechanical theory, e. g.

thermodynamics, or even a non-physical theory, say from the behavioral sciences, no plausible “real life” examples spring readily to mind. The result-observable ontology and specific features of QM probabilities [2.3], thus far, appear to be de facto confined to mechanical theories.

This conception of the relation between QM and some underlying theory is somewhat like the “instrumentalist” view of quantum mechanics sometimes attributed to Heisenberg (Jammer 1966, p. 323 ff.). Indeed, the structuralist formulation of QM may be regarded as a defense/explication of this view in that the view is expounded within the framework of a general, coherent view of how empirical theories work (Balzer, Moulines & Sneed 1987).

A result-observation event may be intuitively conceived as an “observation process”, an interaction between an “object system” S and some “apparatus system” ′S associated with the partition υ whose results are observed. This appears appropriate for cases in which the underlying theory is a physical theory. In some very abstract way, it may be generally appropriate. However, the formal apparatus of QM and the result-observable ontology are logically independent of this intuitive conception. Indeed, QM lacks the formal apparatus to express these intuitive ideas and standard treatments of quantum mechanics do not go beyond intuitive discussion. One may, however, at the cost of considerable notational complexity, emend QM to accommodate these ideas. Such an emendation appears essential to raising the question of the comparability of QM-probabilities with an underlying hidden variable determinism. This is not undertaken here.

2.2 Algebraic structures The central algebraic construct for QM is the OS-result lattice s

oL . It is convenient to view s

oL as constructed from Boolean algebras sBυ generated by S-observables OS. The domain for probability functions relevant to QM is the


Boolean algebra of result-observable sequences soTB . These sequences are

composed of S-result-observable pairs.

2.2.1 Result boolean algebras Let Bs = ⟨POT(S), ⊆s, s, s, ~s, S, Λ⟩ [2-24]

the Boolean algebra of sub-sets of S and sBυ = ⟨| sBυ |, ⊆ s

υ , sυ , s

υ , ~ sυ , S, Λ⟩ [2-25]

the sub-Boolean algebra of Bs generated by partition υ ∈ |Vs|. Note that

sj

sj j

B'' υυυ ⇒ Boole

s

jB

'υ . [2-26]

2.2.2 Result lattice The the Os-result lattice is s

oL = ⟨| soL |, s

o , so , s

o , ¬ so , S, Λ⟩ [2-27]

| soL | =

sO∈υυ s

o = ⊆s | soL |2. [2-28]

The operations are such that, for all x, y ∈ | soL |:

x s y = z ∈ | soL | ⇒ x s

o y = z

otherwise x so y = S;

x s y = z ∈ | soL | ⇒ x s

o y = z [2-29]

otherwise x so y = Λs;

x = ~.sy ∈ | soL | ⇒ x = ¬ s

o y.

It can be shown that soL is an orthomodular, orthocomplemented lattice

(Birkhoff 1967, p. 52 ff.) and thus, generally non-distributive. The lattice dimension of s

oL is

dimOLATsoL = dimOs = max{#(υ ) | υ ∈ |Ôs|}. [2-30]

Intuitively, to form soL , the Boolean algebras soBυ , υ ∈ |Ôs|, are “pasted

together” with identical elements in different soBυ “overlapping”. Each soBυ is a

sub-lattice of soL . Members of each soBυ mutually commute (lattice theoretically);

members of different soBυ ’s do not.


2.2.3 Result-observable sequence boolean algebra

Result-observable sequences [2.2.3.2] are sequences of result-observable pairs [2.2.3.1]. A result-observable sequence Boolean algebra so

TB [2.2.3.3] serves as the

domain for probability functions in QM.

2.2.3.1 Result-observable pairs The set of SO-result observable pairs is { }ss

o O∈= si

si

si υυο ,iΞ . [2-31]

Members of soΞ are members of | s

oL | paired with all observables of which they

are members. Generally, a single ο ∈ | soL | will be paired with many different

observables. Intuitively, we think of S-observables υ ∈ |Os| as physical systems that interact with system S yielding different “results”, ο ∈ υ depending on the state of S. The same result may be obtained from different observables. The physical motivation for this abstraction is something like the Stern-Gerlach experiment (Fano & Fano 1959, Feynman 1965, Ch. 5).

2.2.3.2 Result-observable sequences Essentially, QM is a theory about probabilities of certain result-observable sequences associated with S. For T ∈ INT(), we characterize these sequences as SO-result-observable sequences. ( )s

osoT TSET ΞΠ , = . [2-32]

The brackets and comma will be suppressed in the notation for members of soΞ

so that iοiυi := ⟨iοi, υi⟩ ∈ s

oΞ [2-33]

where the index ‘i’ of the observable υ and the index ‘i’ of a specific result iοi of υ have been suppressed. Or, more concisely, when it is not necessary to specify the result ου := ⟨ο, υ⟩, ο ∈ υ. [2-34] Note that the “null” observable {S} and its single result S appear as S{S} [2-35] the null result-observable pair. Intuitively, this is understood to be associated with an event in which no observation of S occurs, i.e. S is “isolated” or “undisturbed”.

The generic member of soTΠ will be denoted by

soTΠ∈ο [2-36]

so that, for all t ∈ T, there is some iοiυi ∈ soΞ such that


( ) ttt:jt:it t υουοοο === i: . [2-37]

2.2.3.3 Boolean algebra: soTB

soTB is the algebra of SO-result-observable sequences where

| soTB | = POT( so

TΠ ). [2-38]

Of particular interest are the members of | soTB |:

( ){ }( ){ }

~

~

:

: .

ο ο π ο ο

υ ο π ο υ

= ∈ =

= ∈ =

so iT ti:t

so iT ti:t

1

2

Π

Π

ii

[2-39]

For these, juxtaposition denotes set theoretic intersection (conjunction). For example,

tT

tt ~~~~: υουο =

t. [2-40]

Note that

tttt ~~~~ουυο = . [2-41]

and that expressions like ‘1-tt ~~

υο ’ are also well defined as members of | soTB |.

Likewise, the expressions ‘t:jt:i ~~

ˆˆ υυ ’ and ‘t:jt:i ~~

υοi ’ are well defined. However,

Λ

Λ

=⇒≠

=

t:it:ijii

t:jt:i

ji~~

~~

,

ˆˆ

υουυο

υυii

[2-42]

Intuitively, ‘tt ~~

υο ’ denotes a “result-observation event”, or an “observation at t of

observable υ with result ο“. Generally, symbols with the under-script ‘~’ denote “events”, elements of the Boolean algebra so

TB . Symbols stripped of this under-

script denote observables and their results associated with these events. Formal discussion required to explain rigorously this notational distinction is omitted.

In this notation,

( )[ ] ( ) ( )( )[ [ )tt1tt

1tt1tti-ti-tttt1tt i Tt ∆+∆

+∆+∆+∆ ∈∈∈∆= --

---

,0,0

~~~~~~, : ,υουουογ [2-43]

is a sequence of result-observation events. The ‘t-i’ subscript indicates the position of the result observation event

i-ti-t ~~υο in the sequence. The same sequence would be

denoted by any permutation of the order of the conjuncts e.g.

1-ttt1-t1-t1-ttt ~~~~~~~~ουουυουο = . [2-44]

For intuitive clarity, the conjuncts appear in decreasing order in the sequence with result preceding observations.


2.3 Probabiltiy functions Probabilities appearing in non-theoretical structures for QM [E-2-1] are p ∈ PROB( so

TB ) [2-45]

where PROB(B) is the set of all probability functions over the Boolean algebra B. Certain conditional probabilities derived from these are those determined by QM. These conditional probabilities need to be identified in a way that is completely explicit about their arguments. Doing this is effected using the rather cumbersome notation developed in [2.2.3.3].

Conditional probabilities determined by QM are those of the form

( ) ( )

+∆+∆∆∆ 1t1t ---- tttttti-ti-tttp

~~~~~~~~υουουουο .

[2-46]

These are projection probabilities. It is important to understand that the order of the result observation events [E-2-43] is decisive in indicating which conditional probabilities are determined by QM, though the order of the conjuncts in the condition is not. Thus,

=

2-t2-t1-t1-ttt2-t2-t1-t1-ttt

pp~~~~~~~~~~~~υοουυουουουο

[2-47]

is determined by QM while

2-t2-t1-ttt1-t

p~~~~~~υουυοο and

2-t2-t1-tt1-ttp

~~~~~~υουυοο

[2-48]

though well defined as probability expressions (the arguments of the p-function being members of | so

TB |), are not determined by QM. Likewise, all the

probability expressions in ( ) ( )

1-t1-tt1-t1-ttt1-t1-tttppp

~~~~~~~~~~~/: υουυουουουο =

[2-49]

are well defined, but only the expression on the left side is determined by QM. QM determines these conditional probabilities without determining separately the components of the customary definition of conditional probabilities. Of course, QM does put limits on the values or the probabilities on the right. It will be seen below [4.1] that the specific way in which these conditional probabilities are determined by QM depends essentially on the order of the result observation events in [E-2-43].

Letting sequence right-to-left indicate temporal sequence, using the notation of [2.1.3] and being imprecise about the sequence of the right sub-scripts, [E-2-46] becomes

kkjjiip

~~~~~~υουουο kji

[2-50]


Further, letting the right subscripts on the ‘j~

οj ’’s indicate a temporally preceding

‘j~

υ ’, it becomes

kjip

~~~οοο kji

. [2-51]

It will become apparent below [4.1] that [E-2-51] is roughly the way probabilities are commonly viewed in discussions of quantum mechanics (Ballentine 1986, pp. 885-886, quoted above [1.1]). Quantum mechanical probabilities are indeed usually taken to be conditional probabilities, but the explicit nature of the conditioning event is suppressed in the notation. This considerably simplifies the notation and suffices for most purposes. But, certain questions of interpretation ([5.1.1.1.3], [4.2]) are clarified by more explicit notation.

QM is a theory about probabilities as described in modern treatments of mathematical probability theory. Intuitively, these are probabilities of individual events which are determined, in some way, by facts about these individual events. However, QM has nothing to say about these individual events nor the way in which facts about them determine probabilities. More specifically, QM has nothing to say about how one might come to know about result-observation sequences that appear in these conditional probabilities nor about how this knowledge is related to the probability function values. In this sense QM is “incomplete”. Usual formulations of quantum mechanics are also “incomplete” in this way. This is viewed by some as a defect and efforts are made to remedy it (von Neumann 1955, Ch. VI, Sneed 1964, Chs. IV, V, Lombardi & Castagnino 2008). This matter is not considered further here.

More generally, QM is not committed to any specific view about the appropriate “interpretation” (e.g. personalistic, relative frequency, ensemble, propensity) of probability function values. There is a large body of general philosophical, as well as specifically quantum mechanical, literature pertaining to this question. No contribution to this literature is offered here. However, it may be useful to note that the personalistic interpretation, long defended by Jaynes (2003) as appropriate to statistical mechanical probabilities, has recently been suggested to be uniquely appropriate to quantum mechanics (Caves, Fuchs & Schack 2002).

3. Theoretical structures: Mp[QMS]

The set of theoretical structures for QM is Mp[QMS]. Its members are of the form

⟨S, T, p, , [.], V⟩ [3-1]

where non-theoretical structures ⟨S, T, p⟩ ∈ Mpp[QMS] [3-2]


are emended with a Hilbert space , a lattice morphism [.] which maps | soL |

many-one into |L|, the lattice of sub-spaces of , and V, a set of unitary

operators on . Members of V are dynamic operators, analogous to the

Hamiltonian operator, which contribute to determining projection probabilities when null result observation events [E-3-35] occur. In the customary jargon of quantum mechanics, dynamic operators determine the change over time in the state vector of an isolated system.

Members of V have no non-theoretical “correlates”; they are fully theoretical.

This is a consequence of the austerity of the system concept in QM. When this concept is filled out to something like a physical theory, features of this theory will very likely constrain the choice of dynamic operators.

3.1 Hilbert structures: The Hilbert space = ⟨⟩, ⟨⟩⟩ [3-3]

is a vector space ⟩ over the field of complex numbers supplied with and inner

product ⟨⟩. We require that the dimension of is that of Os, i.e

dimVEC(⟩) = dimOs [3-4]

[E-3-17] which is finite since S is a finite set.

For the most part, familiar notation for constructs related to is employed.

Exceptions are: ‘|O|’ denotes generic linear operators on ; ‘|P|’ projection

operators; ‘|W|’ statistical operators; ‘|Ô|’ the adjoint of ‘|O|’; ‘|I|’ is the identity operator. Adjacent ‘|’’s are merged in operator application and multiplication; thus, we write ‘|O|v⟩’ and ‘|O|O|’. These exceptions are motivated by notational symmetry and harmony with the Dirac bra-ket notation. The use of overscript ‘’ in ‘|Ô|’ is totally unrelated to the use of the same

notational device in ‘ο ’. In contrast to most familiar expositions of quantum mechanics, rather than

itself, the theoretical structure if QM focuses on the lattice of sub-spaces of

(Halmos 1958, p. 16 ff.) L = ⟨|L|, , , , , 0 , ⟩. [3-5]

It is a modular, orthocomplemented lattice (Birkhoff 1967, p. 52 ff.). L may be


visualized intuitively as an infinite number of “overlapping” Boolean algebras each corresponding to a basis for .

3.2 [.]-Embeddings A [.]-embedding is a dimension preserving, orthocomplemented lattice morphism [»] ∈ OLAT( s

oL , L) [3-6]

such that, for all ο ∈| soL |,

element-dimOLAT(ο) = sub-space-dim([ο]). [3-7]

Some additional notation is convenient. For all ο ∈| soL |, let

[ο] := [.](ο) |[ο]| := |P|[ο] [3-8]

where |P|[ο] is the projection operator for in corresponding to the sub-space

[ο]. The [»]-image of soL in |⟩| is denoted by ‘[ s

oL ]’ and the set of projection

operators corresponding to members of [ soL ] by ‘|[ s

oL ]|’ so that

|[ soL ]| ⊂ P [3-9]

the set of projection operators for .

For sOˆ ∈υ ,

{ }υοου ˆˆˆ:ˆ ∈= ][][ [3-10]

is a set of mutually orthogonal (as sub-spaces) one-dimensional subspaces of ,

atoms of L.

Generic normalized vectors in these sub-spaces are denoted by | ο ⟩ ∈ [ο ]. [3-11]

Thus, for υ , sOˆ ∈•υ , inner products appear as

⟨ο |ο ⟩. [3-12] For ο i, ο j ∈ υ , ο i ≠ ο j, | ο i⟩ and |ο j⟩ are orthogonal (as vectors), i.e. ⟨iο | ο j⟩ = 0. [3-13] The normalization requirement is that ⟨iο |ο i⟩ = 1. [3-14] Requiring that the | ο ⟩ to be normalized simplifies some notation by allowing the omission of a “normalization factor”.

The Kochen-Specker theorem (Held 2008) may be viewed, in part, as describing limitations on configurations of sub-spaces in |L| that can be the images of a [.]-embedding. However, conclusions frequently drawn from these limitations require further assumptions which are not true for QM [4.2].


4. Theoretical laws: M[QMS]

For theoretical structures of the form ⟨S, T, p, , [.], V⟩ ∈ Mp[QMS] [4-1]

the basic theoretical law of QM requires that the probability functions p [2.3] are

partially determined by the inner product on the Hilbert space via the

embedding function [.]. The projection probability values [E-2-46] for maximal observables and ∆t=0 are completely determined in this way. Exogenous statistical operators together with dynamic operators U ∈ V determine the remainder.

Theoretical structures satisfying these additional conditions are models for QM, members of M[QMS].

A general formulation [4.1] of QM-requirements is, of necessity, somewhat abstract. A more direct, intuitive insight is provided by considering some special cases [5.1]. An alternative formulation in terms of operator expectation values is sketched [4.2]. The empirical content of M[QMS] is discussed [4.3].

4.1 General case The most direct way to impose the desired conditions on the probability function

p is to require that, for all ∆t ∈ [0, t – (∆t + 1) ∈ T,

( )[ ] ( ) ( )1t1t1t

+∆+∆+∆ =

---

tti-ti-ttttt ~~~~~~, υουουογ [4-2]

there is some |W|, a statistical operator for , and

|E| ∈ SET(T, |[ soL ]| V) [4-3]

such that Tr|[ ( )1t +∆-tο ]|W|[ ( )ο ∧

+∆-t 1t]| = 1 [4-4]

and, for all i ∈ ∆t, |Et-i|=|U| ∈ V ⇒ i- tο i- tυ = S{S} |Et-i|=|P| ∈ |[ s

oL ]| ⇒ |[ i- tο ]|=|P| [4-5]

such that

( ) ( )

+∆+∆∆∆ 1tt1ttttt-ti-ti-ttp

--- ~~~~~~~~υουουουο

t=Tr|Et|Et-1|...|Et-∆t|W|Êt-∆t|…|Êt-1|Êt|.

[4-6] Note that the overscript ‘’ in [E-4-4] pertains to the operator |[ ( )1tt +∆-ο ]| and not

to the ‘ο’ in ‘ ( )1tt +∆-ο ’.

These are projection probabilities [E-2-46]. Recall that notation like ‘t~

ο ’,


‘t~

υ ’, etc. denotes a set of result-observation paths [2.3] which are appropriate

arguments for the probability function p while ‘ tο ’ denotes a member of | soL |

which is an appropriate argument for [.]. Requirement [E-4-21] assures that |W| assigns probability 1 to the result

( )1tt +∆-~ο of the initial observation

( )1tt +∆-~υ being in the sub-space [ ( )1tt +∆-ο ]. In

effect, it “initializes” the statistical operator |W|. Requirement [E-4-6] determines the conditional probability of the result

t~ο ,

given the observation t~

υ , the result-observation sequence

( ) ( )~ ~ ~ ~ ~ ~

ο υ υ ο ο υ∆ ∆ ∆ + ∆ +- -

t -i t -i t - t t - t t tt 1 t 1 [4-7]

and the initial result-observable event

( ) ( )1tt1tt +∆+∆ -- ~~υο [4-8]

as the value of the trace function Tr|Et|Et-1|...|Et-∆t|W|Êt-∆t|...|Êt-1|Êt| [4-9] where |Et|Et-1|...|Et-∆t|W|Êt-∆t|...|Êt-1|Êt| [4-10]

is the statistical operator obtained by the iterated application of some sequence of projection and unitary operators |E|, satisfying [E-4-5], on the initial statistical operator |W|. Note that the order of result-observable events is significant here both in determining |W| and in determining the order of subsequent operations on it.

Condition [E-4-5] assures that the operators in |E| correspond to members of ( )[ ]t1tt ,+∆-γ in such a way that members of V correspond to

instances of the null result-observation event S{S} and projection operators [|]-corresponding to their results are assigned to non-null result-observation events.

Intuitively, |W| represents some exogenous probability distribution over the members of the partition ( )1t +∆-tυ in which the result ( )1tt +∆-ο has

probability 1 ([5.1.2.1.1]). The sequence |E| represents successive transformations of this probability distribution into probabilities of results

i-t~ο of observation events

i-t~υ .

The expression on the right side of [E-4-6] is essentially the same as that appearing in standard expositions of quantum mechanics (Ballentine 1998, p. 46, Messiah 1961, Ch. VIII) in somewhat unfamiliar notation suggested by Nielson & Chuang (2000, Sec. 8.2.). The probability expression on the left expresses the QM-interpretation of the right side of as a conditional probability. This


interpretation is implicit in many (but, surely not all) expositions of quantum mechanics. For QM, it is explicit (compare [E-4-51]).

4.2 Operator expectation values In many discussions of quantum mechanics, what we present as the choice of a

[.]-embedding is presented as the assignment of operators in to “physical”

observables. The physical content of specific applications of quantum mechanics inheres in this operator assignment. For this reason it is useful to see how operator assignment appears in QM. A rough sketch of this is provided.

Eigenvalues of operators do not fall naturally out of the QM approach because results are not associated with numerical values. These can be added arbitrarily with a one-one function v ∈ ISET(POT(S), [1, #POT (S)) [4-11]

which assigns integer “values” to all sub-sets of S, and thus to all results. For [.]-embedding [.], υi ∈ |Os|,

[ ] [ ]( )ii OO υ,:= [4-12]

is the linear operator on assigned to υi by [.] just when the spectral

representation of [ ]iO in the orthonormal basis for associated with maximal

observable is

j υυ ˆ

{ } n

1

=

=

j

j

jjο [4-13]

is [ ][ ] ( )( ) j

jj οοο ˆˆˆ jjjiO

v= [4-14]

where ( )jοj

is that unique ii υο ∈ˆi such that ji οο ˆˆ ji ⊆ . The usual convention

that repeated upper and lower indices ‘j’ indicate summation over j is observed. Only conditional operator expectation values are determined by QM since it

determines only conditional probabilities. Thus, for operator [ ]iO at time t for

probability function p is [ ] ( )

p1-t1-ttt

p1-t1-ttiO

~~~~~~ˆˆˆˆˆˆˆ υουουου v= [4-15]

( )( )

=1-t1-tt

tt p~~~

ˆˆˆ υουοο jj

v (sum j). [4-16]

The QM restriction to conditional expectation values has non-trivial consequences. The Bell-Kochen-Specker argument (Held 2008) that simultaneous assignment of values to all quantum mechanical observables can not be carried


through in an obvious way for QM simply because QM operator expectation values are conditioned on observation events and results of previous observation events. This is not surprising. This conditioning is a violation of “noncontextuality” in the terminology sometimes used in discussions of this argument. Indeed, the use of conditional probabilities in QM might be regarded as simply a formal expression of “contextuality”.

4.3 Empirical content In the absence of constraints, the empirical claim of QM is that the projection probabilities in its intended applications (i.e “found in nature”) can be obtained via [E-4-6] from some

[|]-embedding____statistical operator |W|___sequence of dynamic and projection operators |E|

satisfying [E-4-21] and [E-4-5]. Here, [|], |W| and |E| play a role roughly analogous to that of the mass and force functions the familiar structuralist reconstruction of the empirical claim of classical particle mechanics (CPM) (Balzer, Moulines & Sneed 1987, III.3) and projection probabilities play a role analogous to that of particle paths. Clearly, in the absence of further restrictions on these constructs, any member of Mpp[QMS] can be filled out in some way to a

member of M[QMS]. Just as in CPM, the empirical content of the “top-level”

element of QM’s specialization net is trivial. It is only with restrictions, specifically on [|] and the dynamic operators V that the empirical content

becomes non-trivial. On an instrumentalist view [2.1.4], QM is simply a very general scheme for

describing all possible projection probabilities. Some probabilities found in nature require [|]’s, and (perhaps less obviously) V’s with surprising, counter

intuitive properties. That probabilities found in nature (are thereby revealed to) have such properties is a “mysterious fact” apparently crying out for “explanation”. No explanation is provided here.

5. Specialization Specializations of M[QMS] may be conveniently divided into non-theoretical

[5.1] and theoretical specializations. The most obvious specializations are those already mentioned [2.1] in which the underlying system structure is imported from some other theory. These are non-theoretical specializations. Other non-theoretical specializations pertain to specific kinds of sequences of result-observation events. They are analogous to particle mechanical systems with small sets of particles. Generally, theoretical specializations are identified by subsets of


V [5.2.1]; among these are models in which “entangled' non-product vectors in

the tensor product space for compound systems are produced by unitary transformations from V acting on initial product vectors assigned to results of

initial observations on the compound system [5.2.1].

5.1 Non-theoretical It is useful to distinguish special cases of QM-requirements on p according to whether observables are all maximal [5.1.1], mixed maximal, non-maximal [5.1.2] all non-maximal and whether observations are non-null or null.

[|]-images of results of maximal observables are essentially vectors in , pure

QM-states; non-maximal observables are represented by a more general statistical operator |W|, “mixed QM -states”. Non-null observations have non-trivial results; null observations have trivial results, but may result in dynamic changes in QM-states described by dynamic operators in V. The distinction between pure and

mixed QM-states is analogous to the familiar distinction between pure and mixed quantum mechanical states.

In all cases, values of ∆t ∈ {0, 1} suffice to demonstrate features of QM-probabilities illustrating QM analogs to familiar features of quantum mechanical probabilities. A selection of these cases suffices for this purpose without providing exhaustive, detailed consideration of all cases.

5.1.1 Maximal observables

In the case that, for all i ∈ [1, ∆t + 1], there exist sOˆ ∈υ , υο ˆˆ ∈ such that

i-ti-ti-ti-t ~~~~

ˆˆ υουο = [5-1]

i.e. all observables are maximal,

( )( )οο ˆˆ 1t+∆

+∆= --

t1ttW οο ˆˆ t

ttE = [5-2]

and

( ) ( )

+∆+∆∆∆ 1tt1tttttti-ti-tttp

---- ~~~~~~~~ˆˆˆˆˆˆˆˆ υοουυουο = Tr|Et|Et-1|...|Et-∆t|W|Êt-∆t|...|Êt-

1|Êt||. [5-3]

Intuitively, the result of an initial maximal observation t-(∆t + 1) is propagated by a sequence of further, non-null observations and./.or dynamic operations until a final maximal observation at t. The special cases of sequences of all non-null observations [5.1.1.1] and two non-null observations separated by a sequence of null observations are considered [5.1.1.2].


5.1.1.1 Non-null Here { }SSii ≠υο ˆˆ . [5-4]

Thus, the [|]-embedding suffices to determine all probabilities. Two special cases [5.1.1.1.1], [5.1.1.1.2] are considered and some implications of these cases for conditional, joint probability distributions considered [5.1.1.1.3].

5.1.1.1.1 ∆t = 0 Here οο ˆˆ 1-t

1-tW = οο ˆˆ ttttt EE ==∆- . [5-5]

( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ .

ο υ ο υ ο ο ο ο ο ο

ο ο ο ο

ο ο ο ο

ο ο

=

=

=

=

t t -1 tt t t -1 t -1 t t -1 t

t t -1t -1 t

t tt -1 t -1

t t -1

p Tr

2

[5-6]

The analog to [E-5-6] in quantum mechanics is sometimes called ‘the Born rule’ recalling the historical origin of the probabilistic interpretation of the Hilbert space formalism. It is the key feature of a probabilistic interpretation of this formalism.

5.1.1.1.2 ∆t = 1 Here οο ˆˆ 1-t

1-t1-ttt EE ==∆- οο ˆˆ tttE = οο ˆˆ 2-t

2-tW = [5-7]

( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ο υ ο υ ο υ ο ο ο ο ο ο ο ο ο

ο ο ο ο ο ο ο ο

ο ο ο ο

=

=

=

t t -1 t -2 t -1t t t -1 t -1 t -2 t -2 t t -1 t -2 t -1 t

t t -1 t -2 t -1t -1 t -2 t -1 t

t t -1t -1 t -2

p Tr

2 2

( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ .ο υ ο υ ο υ ο υ= t t t -1 t -1 t -1 t -1 t -2 t -2p p

[5-8]

5.1.1.1.3 Conditional joint distributions The cases [5.1.1.1.1], [5.1.1.1.2], serve to illustrate an important point about the role of conditional joint probability distributions in QM.

For distinct iυ , jυ , kυ the most obvious expression for a conditional joint

distribution of the results of observations of non-commuting, maximal observables,


1-t:j1-t:kt:jt:it:jt:ip

~~~~~~ˆˆˆˆˆˆ υουυοο kji

[5-9]

is not defined because

0=

2-t:j2-t:kt:jt:i

p~~~~ˆˆˆˆ υουυ k

[5-10]

[E-5-42]. Intuitively, QM simply does not consider simultaneous observation of distinct maximal observables.

The probabilities

=

2-t:j2-t:k1-t:jt:i

1-t:j2-t:j2-t:k1-t:j1-t:jt:it:i2-t:j2-t:k1-t:jt:it:jt:ippp

~~~~

~~~~~~~~~~~~~

ˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

υουυ

ουουουουουυοο

k

jkjikji

[5-11]

results of iυ and jυ indexed by different values of i, j are well defined. However,

QM [E-5-6] does not determine these probabilities unless one is willing to assume generally that

=

2-t:j2-t:k1-t:j1-t:j2-t:j2-t:k1-t:jt:i1-t:jpp

~~~~~~~~~ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ υουουουυο kjkj .

[5-12]

Such an assumption appears quite arbitrary within the framework of QM. The probabilities

1-t:k1-t:kt:it:i

p~~~~ˆˆˆˆ υουο ki

1-t:k1-t:kt:jt:jp

~~~~ˆˆˆˆ υουο kj

[5-13]

though determined by QM [E-5-6], are not marginal distributions derived from the joint distribution of [E-5-11]. The two conditional probabilities of [E-5-13] have different conditions. There is no reason to expect that their values, for results indexed by different values of i, j, can be derived as marginal distributions from any common joint distribution. The conditional probability of [E-5-11], is indeed a well defined, conditional joint probability distribution, albeit not derivable from the laws of QM. But the condition is different from that in either of the probabilities in [E-5-13]. It is not a joint distribution for which the probabilities in [E-5-13] are marginal distributions. For QM, this fact effectively blocks the analog of Wigner-Moyal (Moyal 1949, Wigner 1932) approach to attempting (unsuccessfully) a calculation of joint density functions for non-commuting observables in quantum mechanics. Probability values for results of observations non-commuting observables will always be conditional probabilities on different conditions and thus need not be derivable from a common joint distribution. That these probabilities can, not be derivable from a common joint distribution is no argument against the employment of the usual concept of mathematical probability in QM.


5.1.1.2 Null Next, consider the case in which all result-observation events except initial and terminal are null, i. e. for all i ∈ [1, ∆t + 1], { }SSi-ti-t =υο ˆˆ . [5-14]

Intuitively, after an initial preparation at t – (∆t + 1), the system is isolated and subjected to a sequence of (generally non-identity) dynamic operators from V over the interval [t – 1, t – ∆t] and finally a observation

t~υ

{ } { }( ) ( )

2v

UUWUUTr

SSSSp

t

tttt1-t1-ttt

tt

1tt1ttttt-ti-ti-ttt

ο

οοοο

υουο

ˆ

ˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆ~~~~

=

==

=

∆∆

+∆+∆∆∆

--

---~~~~

[5-15]

where

( )( )

tt1-t1tt

1tt1-ttt UUUUvv ∆+∆

+∆∆= --

-- ˆˆˆˆ οο . [5-16]

Note that there need not be any soL∈ο such that

][ ο=vv . [5-17]

Intuitively, sequences of dynamic operators in V may (but need not) carry the [|]-

image of the result of an observation event into a vector in |⟩| that is not the

[|]-image if any member of soL . Roughly, projection operators not in ][ s

oL may

have “empirical significance” in QM. Whether such exist depends on the

contents of V. Indeed, it may (but need not) be the case that all of |⟩| is

reachable by some sequence of dynamic operators in V.

For members of M[QMS], it is natural to take QM-states of S to be the [|]-

images members of soL together with those members of |L| which are

reachable via [E-5-5] by some sequence of projection operators in soL and

dynamic operators in V.

5.1.2 Maximal, non-maximal observables In these cases, it is convenient to expresses projection operator explicitly in terms of the distinct, non-intersecting, orthonormal bases, { } n

1

=

=

i

iiοi { } n

1

=

=

j

jjοj { } n

1

=

=

k

kkοk . [5-18]


Recall [2.2.2] that [ ]( )

∈=⇒⊂∈=

j

jjj jj jj

j j οοοοο ˆ ; , ˆˆ sum nosum n1,][ . [5-19]

Only non-null observations will be considered.

5.1.2.1 ∆t = 0 In the case of ∆t = 0, there are two sub-cases

1-t1-ttt ~~~~ˆˆ υουο

1-t1-ttt ~~~~ˆˆ υουο [5-20]

both of which are considered in more detail.

5.1.2.1.1 1-t1-ttt ~~~~

ˆˆ υουο

QM requires [4.1] that there is some statistical operator |W| such that Tr|W|[οt-1]| = 1 [5-21] and οοοουουο ˆˆˆˆˆˆ

~~~~

tt

tt

1-t1-tttWTrp =

. [5-22]

If, in the orthonormal bases of [E-5-18], ( )

[ ]( )sum nosum,

sum no

n1, jjj

1-t

iit

t

; ˆˆ

ˆˆˆˆ

⊂∈=

=

jjjj

ii

οοο

οοοο

][

[5-23]

then there exist [ ] [ ]( )n1,0,1 sum, 1 ⊂∈=∈ jjj

jj

j , WW [5-24]

such that [ ]( )n1,sum, ⊂∈= jjj

ii

j ˆˆ jj WW οο [5-25]

and [ ]( )

=

=

⊂∈=

jjii

ij

ii

jj

ii

1-t1-ttt

pW

W

WTrp

~~~~

~~~~

ˆˆˆˆ

ˆˆ

ˆˆˆˆˆˆˆˆ

υουο

οο

οοοοοουουο

jij

j

ij

jj

ii

jj

jj

ii jj

2

n1, sum,

[5-26]

Intuitively, the jWj are a probability distribution over the vectors jοj which

span the subspace [οt–1]. jWj is the probability that the QM-state jοj represents

the result of observation 1-t~

υ . This probability is not determined by QM.


5.1.2.1.2 1-t1-ttt ~~~~

ˆˆ υουο

If, in the orthonormal bases of [E-5-18], [ ]( )

( )( )sum no

sum no

sum no ;sum, n1,

jj

jj1-t

1-t

ii

t

W

i

οο

οοοο

οοο

ˆˆ

ˆˆˆˆ

ˆˆ

jj

jj

ii ii

=

=

⊂∈= ][

[5-27]

( ) ( ) [ ]( )

∑

∑∑

∈

∈

∈

=

=

=

=

⊂∈=

i

ji

i ij

i ji

ii

ii

jj

ii

ii

jj

ii j ,ii

jjii

ij

ji

ii

ii

jj

ii

ii

jj

ii

1-t1-ttt

p

Tr

j i,Trp

~~~~

~~~~

ˆˆˆˆ

ˆˆ

ˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

; ˆˆˆˆˆˆˆˆ

υουο

οο

οοοο

οοοοοο

οοοοοουουο

2

n1, sum no sum,

[5-28]

5.1.2.2 ∆t = 1 In the case of ∆t = 1, there are 4 sub-cases

2-t2-t1-t1-ttt ~~~~~~

ˆˆˆˆ υουουο 2-t2-t1-t1-ttt ~~~~~~

ˆˆˆˆ υουουο 2-t2-t1-t1-ttt ~~~~~~

ˆˆˆˆ υουουο

2-t2-t1-t1-ttt ~~~~~~

ˆˆ υουουο .

[5-29]

Of these, only 2-t2-t1-t1-ttt ~~~~~~

ˆˆˆˆ υουουο will be considered in detail. It illustrates

“interference” for QM probabilities. First, the abstract mathematics is considered [5.1.2.2.1] then an interpretation in terms of slit interference is provided.

5.1.2.2.1 Mathematics If

1-tjs

j υυυ =ˆ [5-30]

so that

[ ]( )k

k

jj

1-t

ii

t

W οο

οοο

οοο

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

kk

jj

ii

jj

=

⊂∈=

=n1,sum, ][

][

[5-31]

then


( ) ( )( )

( )( )( )( )

2

∑ ∈=

=

=

=

=

=

j kj

ji

ii

jj

kk

jj

ii

ii

jj

kk

jj

ii

ii

jj

kk

jj

ii

ii

jj

kk

jj

ii

ki

οοοο

οοοοοοοοοο




υουουουουουο

ˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ




ˆˆˆˆˆˆˆˆ~~~~~~~~~~~~

kj

ji

ii

jj

kk

jj

ii

ii

jj

kk

jj

ii

ii

jj

kk

jj

ii

ii

jj

kk

jj

ii

kkjjii2-t2-t1-t1-ttt

Tr

Tr

Tr

Tr

pp

IF

IF

IF

22

2

+

=

+=

+=

∑

∑∑

∈

∈

∈

j

kjji

j kj

ji

j kj

ji

kkjjjjii

kj

ji

kj

ji

pp~~~~~~~~ˆˆˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆ

ˆˆˆˆ

υουουουο

οοοο

οοοο

[5-32]

where ( )'-

'

' θθοοοοοοοο cosj ,j' k

jj

ik

jj

i∑ ∈=

ˆˆˆˆˆˆˆˆ k

jj

ik

jj

i2IF [5-33]

and θ pertains to the polar representation of the complex inner products. Traditionally, the summands in IF are called ‘interferfence terms’.

5.1.2.2.2 Interference The mathematics of [5.1.2.2.1] can be interpreted to provide an analog of the familiar quantum mechanical treatment of “slit interference”. The treatment here closely follows that of Feynman in (Feynman, Leighton & Sands 1965, Sec. 3-1). Roughly, it attempts to show that essential features of this discussion can be reproduced within the conceptual framework of QM. The further discussion of Sec. 3-2 can also be rendered in the QM framework considering a compound electron-photon system, but this is not described here.

In Feynman’s terms, make the intuitive identifications:

kυ ~ source kοk ~ source state |s⟩ iυ ~ detector

iοi ~detector state |xi⟩

[5-34]

jυ ~ wall jοj ~ wall states |j⟩. [5-35]

Feynman considers examples only of 1 and 2 state “walls” the states of which are |1⟩, |2⟩.


Intuitively, in Feynman’s terminology, the source system produces a beam of particles in state |s⟩; the wall system is a configuration of “slits” in a “wall” through which the beam passes; the detector system is a “screen” which collects the particles. In the QM treatment, there is only one system S, the particle, and three different observables for this system. The probabilities [E-5-32] for a fixed

value of kkjji ~~~~~

ˆˆˆ υουου k and different values of i in i~

οi provide a probability

distribution of detector-observable results. One may envision this distribution displayed vertically on a “screen” in the manner of the diagrams in Feynman’s discussion. These probabilities correspond to relative numbers of particles collected at a specific position on the screen.

In the QM treatment, the source beam is a maximal result-observation event

kk ~~ˆˆ υοk , represented by it's [|]-image, the QM state kοk . The passage of the

beam through the wall is the nonmaximal result observation event jj ~~

υο ,

represented by [ ]( )

∈=⊂∈=

j

jjj jj jjj

jj οοοοο ˆ ˆˆ n1,sum, ][ . [5-36]

The wall itself may be viewed as the non-maximal observable jυ . The arrival of

the beam at the detector is the maximal result-observation event ii ~~

ˆˆ υοi ,

represented by iοi .

Walls may be viewed more generally as non-maximal observables jυ such that

j

sj υυ

ˆ [5-37]

where jυ is any maximal observable distinct from, and non-intersecting with, iυ

and kυ . The null observable {S} may be viewed as an n-slit wall

[ ]( )n1,sum, ∈= jjjj ˆˆ Ij

j οο [5-38]

each elementary projection operator in the sum being a slit. Walls with m < n slits are produced by closing slits in the {S} wall to obtain [ ]( )n1,sum, ⊂∈jjj

j ˆˆ jj οο [5-39]

where the elementary projection operators in the sum are the remaining open slits. A 1-slit wall is

jj οο ˆˆ j

j (no sum). [5-40]

A 2-slit wall

jj

jj οοοο ˆˆˆˆ j'

j'j

j + j ≠ ′j [5-41]

is obtained from this 1-slit wall by opening another slit corresponding to jυ result 'jοj .


A wall may be viewed as a selection device for results of maximal observable

jυ . A 1-slit wall selects a single result; a 2-slit wall selects a set of two results, etc.

The n-slit wall selects all results, i. e. no results. Both source and detector maximal observables may be viewed as 1-slit walls though this is not usually regarded as relevant to discussions of interference. Walls with 1 [5.1.2.2.2.1] and 2 slits [5.1.2.2.2.2] are considered in more detail.

5.1.2.2.2.1 1-Slit # = 1

If # = 1, the wall has “one slit”.

1οj ~ wall state |1⟩. [5-42]

This case is identical with [5.1.1.1.2] above where, now in more explicit notation, ( )

~ ~ ~ ~ ~ ~

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ .

ο υ ο υ ο υ ο υ ο υ ο υ

ο υ ο υ ο υ ο υ

= =

i k

i k

t t t -1 t -1 t -2 t -2i i j j k k

i i j j j j k k

p p

p p

1

1 1

[5-43]

5.1.2.2.2.2 2-Slit # = 2

If # = 2, the wall has “two slits”.

1οj , 2οj ~ wall states |1⟩, |2⟩ [5-44]

kk

jj1-t

jj

jj

1-t

ii

t

W οο

οοο

οοοοο

οοο

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆˆˆ

ˆˆ

kk

ii

=

=

+=

=

21

22

11

][

][

[5-45]

and [E-5-32] reduces to

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ο υ ο υ ο υ ο υ ο υ ο υ ο υ

ο υ ο υ ο υ ο υ

= + + +

p

i i j j k k i i j j j j k k

i i j j j j k k

p p p

p

1 1

2 2 IF.

i k i k

i k

[5-46]

Thus, probabilities

kkjjiip

~~~~~~ˆˆˆˆ υουουο ki at the detector are not the sum of

probabilities for the 1- slit observables. There are “interference terms” IF. Within the austere conceptual apparatus of QM, this result is not particularly

surprising or counter intuitive. There is no good reason to expect that the


probabilities at the detector would simply be the sum of the conditional probabilities segments of the separate “paths” from the source to the detector calculated in the manner of [5.1.1.1.2]. But, there are some bad reasons. This expectation might arise from (perhaps implicitly) taking the probabilities in question to be unconditional “path probabilities” ( ) ( )

( )( ) ( )

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ


ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ .

ο υ ο υ ο υ ο υ ο ο υ ο υ



= =

= =

= +

i k i k

i k i k

i k i k

i i j j k k i i j j j k k

i i j j k k i i j j k k


p p

p

p p

1 2

1 2

1 2

[5-47]

But, these are not among the probabilities determined by QM. Probabilities actually determined by QM yield ( )~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~


ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ .

ο υ ο υ ο υ ο υ ο ο υ ο υ


= = =

i k i k

i k i k

i i j j k k i i j j j k k


p p

p

1 2

1 2

[5-48]

On might be tempted to identify the expression on the right of the last line above with

+

kkjjikkjjii ~~~~~~~~~~~~ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ υουουουουουο kki 21

ipp i .

[5-49]

But, this would be a mistake. This identification is not a consequence of the usual axioms of probability theory. Further, the conditional probabilities appearing as summands above are not among those determined by QM.

That the quantum mechanical result analogous to [E-5-46] is surprising and counter intuitive appears to be a consequence of features of the underlying theory

about [2.1.4]. In particular, quantum mechanical systems have spatial concepts

which carry with them certain pre-theoretic, intuitive expectations. That these expectations are not met is (was historically) surprising.

5.2 Theoretical Special cases of unitary operators in two-dimensional observable structures [5.2.1] and entanglement models [5.2.2] are considered.

5.2.1 Two dimensional V Consider a 2-dimensional observable structure Os, such that


{ }Λ,,ˆ,ˆ SOs21 υυ= { }1

21

11 οου ˆ,ˆˆ = { }2

22

12 οου ˆ,ˆˆ = [5-50]

and a [|]-embedding yielding the orthonormal basies { } { }ˆ ˆ ˆ ˆ, , .ο ο ο ο⊥ ⊥= =B B1 21 1 2 21 2 1 2 [5-51]

Let U be the set of all unitary operators on a 2-dimensional .

Consider some special cases of |U| ∈ U, exhibiting their matrix

representations (denoted generally by ‘Ui’ without ‘| |’ ) in the orthonormal basis i⊥B :

|X|

=

01

101X α β

= β α 0 1

1 0

[5-52]

2

11

1 οο ˆˆ =X 11

21 οο ˆˆ =X [5-53]

|Z|

=

01

101Z α α

= − β −β 1 0

0 1

[5-54]

1

11

1 οο ˆˆ =X 11

21 οο ˆˆ −=X [5-55]

|H|

−

=11

11

2

11H α α + β

= − β α − β 1 11 11 12 2

[5-56]

( ) 221

11

11 /ˆˆˆ οοο +=H ( ) 22

11

12

1 /ˆˆˆ οοο −=H [5-57]

More generally, let U1 = {|U|1 | ∃|U| ∈ U U1 is the matrix representation of |U| in 1

⊥B }. [5-58]

Abusing notation, consider U1 ∈ SET(||4, U1) [5-59]

such that, for all α, β, γ, δ ∈ ||4,

( )

−

=

iδδ/

iδδ/-

iββ/

iββ/-

e

e

cossin

sinγ

cos

e

eδ γ, β, α,0

0

22

220

0γγ

γ1U .

[5-60]

It can be shown that (Nielson & Chuang 2000, p. 20)


U1 ∈ SET(||4, U1). [5-61]

Define an equivalence relation U≈ on ||4 by

( ) ( )'' ρρρρ 11 UUU

=⇔≈ . [5-62]

Then, sub-sets of ||4/U≈ determine theoretical specializations of the non-

theoretical specialization of QM to 2-dimensional observable structure.

5.2.2 Entanglement Entanglement models for QM are roughly those in which “entangled” non-product vectors in the tensor product space representing the QM -state for the compound system have the following property. Projection probabilities for results of observations of component system observables for each of the compound systems are “correlated” in such a way that the probability of a component system observable result for one component, given that of another, is either 1 or 0. Entangled vectors do not represent the result of any observation on the compound system. Rather, they are produced by unitary transformations from V

acting on initial product vectors assigned to results of initial observations on the compound system.

More precisely, an entanglement model for QM is an ⟨SI

II, T, p, I⊗II, [|]I⊗II, VI⊗II⟩ ∈ M[QMS] [5-63]

such that there exist ∆t ∈ [0, t – (∆t+1) ∈ T,

{ } ( ) ( )IIIIII

i-t

IIIo1tt

III1tt

IIIii-t

IIIi-t

III1-t

IIIII1-t

IIIII

jt

IIIIt

IIII

i

U

SS⊗⊗

+∆+∆

∈

Ξ∈

V

-- υουουο ˆˆˆˆ

[5-64]

such that, for ( ) ( )1t-t

IIIii

1t-tIII

IIIW +∆+∆⊗ =

οο ˆˆ [5-65]

[ ] [ ] ij

IIIt-t

III2-t

IIIIII2-t

IIIt-t

III

1-tIII

IjIII

tIII

IiIII UUWUUTr δοο =⊗

∆⊗⊗⊗⊗

∆

⊗⊗⊗ ˆˆ

.

[5-66]

Thus, in entanglement models { } ( ) ( ) i

j1t-tIII

1t-tIIIi

i-t

IIIi-t

III

1-t

III

II1-t

III

II

j

t

III

I

III

I

i SSp δυουουο =

+∆+∆

~~~~~~ˆˆˆˆ

~~t. [5-67]

Here the observables tIII

Iυ and 1-t

IIIIIυ are members of |OIII| corresponding to

component system maximal observables Iυ .and IIυ in |ÔI| and |ÔII| respectively. These corresponding compound system observables are not maximal, hence their results are not decorated with overscript ‘’. The ‘i’ and ‘j’ left superscripts index the results of observables Iυ and IIυ . For simplicity, we assume these


# Iυ = # IIυ [5-68]

so that [E-5-66] establishes a one-one correspondence between the results of these observables.

Here mathematical details about component system observables and the projection operators [|]-corresponding to their results have been omitted.

Intuitively, for some initial result-observation events ( ) ( )1t-t

III1t-t

IIIi+∆+∆

~~ˆˆ υο [5-69]

there exists a sequence of dynamic operators from VI⊗II that carries the projection

operator corresponding to this event ( )[ ] ( ) ( ) III

1t-tIIIi

i1t-tIII1t-t

IIIi W ⊗+∆

+∆+∆ =

οοο ˆˆˆ [5-70]

into a projection operator III

t-tIII

2-tIIIIII

2-tIIIt-t UUWUU ⊗

∆⊗⊗⊗⊗

∆ˆˆ

[5-71]

such that two subsequent projection operations [ ] [ ] III

1-tIII

IjIII

tIII

Ii ⊗⊗

οο [5-72]

corresponding to result-observation events

t

III

It

III

I

i

~~υο and

1-t

III

II1-t

III

II

j

~~υο [5-73]

yield a projection operator whose TrI⊗II-value is the delta function ijδ .

Still more intuitively, the conditional probability [E-5-67] may be understood

to mean that knowing the result of observation event 1-t

III

II

~υ on a system SIII in

QM-state ( )i

1t-tIII ο+∆

allows one to predict with certainty the result of observation

event 1-t

III

I

~υ on the system in the QM-state resulting from the first observation

event. That entangled models for QM exist is a mathematical fact demonstrated by

the example of the QM-counterpart of Bell states (Nielson & Chuang 2000, pp. 25-26). The counter intuitive features of Bell states largely escape capture in the QM framework due to the absence of spatial concepts. Quantum mechanical counterparts of QM entangled states play a key role in theoretical discussions of quantum computing and physical realizations of them have been produced.

6. Constraints: C[QMS]

Four constraints, Ci ⊂ POT(Mp[QMS]) [6-1]


i ∈ [0, 1, 2, 3] will be considered informally, so that C[QMS] =

i iC . [6-2]

C0 requires that systems in can be regarded as “real” physical systems in that

they can not appear more than one place members of C0. C1 requires that the theoretical apparatus of QM assigned to systems be regarded an “intrinsic property” of ≈-equivalence classes of these systems in the sense ≈-equivalent systems are assigned the same theoretical apparatus wherever they appear in members of C1. It appears that C0 and C1 should be taken to apply to all intended applications of QM. That is, it should appear in the basic or “top” theory element in the specialization “tree” for QM.

C2 requires that whenever -concatenations of elementary systems equivalent

to those appearing in members of Mp ∈ C2 appear as concatenates in another

member of Mp, the Hilbert space assigned to the concatenation is the tensor

product of the ’s assigned to the concatenates. Further, the [|]-embedding

works in such a way that [ ] [ ] [ ] III

IIIII

III

I⊗=⊗ οοοο [6-3]

where the details of the tensor product notation have not been explained here. This is somewhat analogous to the requirement in classical collision mechanics that mass be extensive with respect to concatenation (Balzer, Moulines & Sneed 1987, pp. 105-106).

C3 requires, in addition, that the [ ]-embedding into these tensor product spaces have certain symmetry properties with respect to certain ≈-equivalence classes of systems. Describing these symmetry properties requires some general concepts pertaining to permutations of sets and identifying certain ≈-equivalence classes of

the set systems , analogous to Bosons and Fermions.

This leads to the definition of a general concept of [|]-symmetry of which concepts analogous to those commonly encountered in quantum mechanics appear as special cases.

It appears that C2 and C3 are less general than C0 and C1 in that they might pertain only to certain kinds of systems.


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Conmensurabilidad empírica entre teorías inconmensurables: el caso del flogisto | 131

Conmensurabilidad empírica entre teorías inconmensurables: el caso del flogisto*

ResumenEl presente trabajo pretende dar respuesta a la demanda, abiertamente hecha por Kuhn (1976) y Feyerabend (1977), así como por los impulsores de la corriente estructuralista, Bal-zer, Moulines & Sneed (1987), sobre la necesidad de analizar estructuralmente casos históri-cos de teorías inconmensurables para llegar a precisar formalmente y dar soporte empírico a la noción de inconmensurabilidad. El trabajo se estructura en tres partes: en la primera, se aclara el tipo de entidad teórica que conformarían las teorías del flogisto y del oxígeno; en la segunda, se presentan sus correspondientes reconstrucciones estructurales y finalmente, en la tercera, se desarrolla un análisis de las relaciones interteóricas entre la teoría del flogisto y la del oxígeno, mostrando cómo su modo de relacionarse satisface las condiciones establecidas en las definiciones de reducción ontológica débil y de inconmensurabilidad.Palabras clave: inconmensurabilidad - teoría del flogisto - reconstrucción estructural - reduc-ción ontológica

AbstractThis work constitutes an attempt to meet Kuhn’s (1976) and Feyerabend’s (1977) request, also shared by the main proponents of the structuralist meta-theory, Balzer, Moulines and Sneed (1987), for a structural analysis of incommensurable theories, so that it becomes possible to formally specify and empirically support the notion of incommensurability. The paper is struc-tured in three parts: first, the kind of theoretical entity corresponding to the phlogiston and oxygen theories is determined; second, their respective structural reconstructions are present-ed, and, finally, an analysis of both theories’ intertheoretical relations is developed, showing that they satisfy the definitions of weak ontological reduction and incommensurability.Keywords: incommensurability - phlogiston theory - structural reconstruction - ontological reduction

* Recibido: 14 Enero 2011. Aceptado en versión revisada: 21 Marzo 2011.† Departamento de Filosofía, Facultad de Filosofía y Letras, Universidad de Valladolid. Para contactar al au-

tor, por favor escriba a: [email protected].‡ Estoy en deuda con José A. Díez por su extraordinaria perspicacia y paciencia en la revisión de muchas versio-

nes previas de este artículo. También estoy enormemente agradecida a C. Ulises Moulines por proporcionar-me claras directrices con las que abordar el tratamiento estructuralista del caso del flogisto. Agradezco, asimis-mo, a Pablo Lorenzano sus valiosos comentarios sobre mi trabajo durante el VI Encuentro Iberoamericano de Metateoría Estructuralista celebrado en Auxerre (Francia, 2008). Este trabajo ha sido financiado por el Minis-terio de Educación de España, la Fundación Fulbright y con cargo a los proyectos “Lenguaje y pensamiento: dependencia contextual” (FFI2008-06421-CO2-02/FISO) y “Actitudes cognitivas y la justificación del conoci-miento” (FFI2009-08828), ambos subvencionados por el Ministerio de Ciencia e Innovación español.Metatheoria 1(2)(2011): 131-166. ISSN 1853-2322.


María Caamaño†‡

Empirical Commensurability between Incommensurable Theories: The Phlogiston Case

132 | María Caamaño

1. Aclaraciones preliminares1.1. Enfoque, objetivos y estructura del trabajo

Este trabajo aborda el problema de la inconmensurabilidad de las teorías cien-tíficas, centrándose en un episodio histórico concreto propuesto por T.S. Kuhn como un caso paradigmático de inconmensurabilidad. Recordemos que la no-ción de inconmensurabilidad fue introducida simultánea e independientemente por Thomas S. Kuhn y Paul K. Feyerabend en 1962, con objeto de caracterizar la relación entre teorías científicas rivales.1 La relación es caracterizada por cada autor de modo parcialmente divergente, aunque ambos coinciden en presentarla como una forma radical de disparidad conceptual entre teorías que se aplican a un mismo dominio de investigación. La radicalidad de la disparidad conceptual se debería no solo a que las teorías estarían constituidas por conceptos diferen-tes, sino también a que las condiciones de formación de tales conceptos serían incompatibles. De acuerdo con ambos autores, ello se manifiesta en la incompa-tibilidad entre las reglas de uso de los términos que transmiten dichos conceptos. La inconmensurabilidad entre teorías científicas rivales quedaría patente no solo en la imposibilidad de traducir mutuamente los lenguajes que expresan tales teo-rías, sino también en la imposibilidad de ampliar uno de los lenguajes de modo que incorpore el otro.

La defensa de la tesis de la inconmensurabilidad, por parte de Kuhn y Feye-rabend, ha ido pareja tanto a su rechazo de los modelos verificacionista y falsa-cionista de la relación entre teorías sucesivas, como a su reivindicación de una versión radical de la tesis de la carga teórica de la observación. La dependencia teórica de toda observación, entendida como dependencia de toda observación con respecto a la teoría para la que cuenta como observación, implica una rela-tivización de toda observación al contexto teórico en el que es tenida en cuenta. Lo anterior conlleva tres consecuencias estrechamente conectadas: 1) el recha-zo de la distinción entre enunciados teóricos y enunciados observacionales, 2) la asunción de un holismo semántico radical, conforme al cual el significado de un término depende del contexto teórico en el que ocurre, y 3) una inconmensura-bilidad semántica radical, derivada del alcance global que el holismo semántico radical confiere a la variación del significado característica del paso de una teoría a otra inconmensurable.

La investigación que se presenta a continuación se elabora como respuesta a la demanda, abiertamente hecha por Kuhn, Feyerabend y por los impulsores de la corriente estructuralista, sobre la necesidad de analizar estructuralmente casos históricos de teorías inconmensurables para llegar a precisar formalmente y dar soporte empírico a la noción de inconmensurabilidad (Kuhn 1976 y Feyerabend 1977). Otra motivación general del trabajo es la de contribuir a una caracteriza-ción más coherente de la noción de inconmensurabilidad, desarrollando la pro-

1 Este primer recurso a la noción de inconmensurabilidad se encuentra en Kuhn (1962/1970) y Feyerabend (1962).


puesta del último Kuhn de presentar esta como un relación local o parcial entre teorías (Kuhn 1983, pp. 669-688), lo que permitiría superar las paradojas susci-tadas por otras nociones más extremas. En particular, se pretende superar la pa-radoja consistente en afirmar que teorías globalmente inconmensurables se apli-can, no obstante, a un dominio común.

Por lo que respecta al enfoque asumido en la investigación desarrollada aquí, su especificidad consiste en combinar el enfoque de tipo formal estructuralista con el enfoque de carácter informal historicista. Lo que constituye la novedad del enfoque no es, pues, otra cosa que la aplicación de un tratamiento formal a un caso concreto de inconmensurabilidad, teniendo en cuenta el contexto histó-rico de conocimientos y de creencias en el que surge dicho caso.2 Esta elección metodológica contrasta con la que subyace a la reconstrucción estructural del caso del flogisto ofrecida por Andreas Kamlah. A pesar de la rigurosidad y utili-dad de su estudio, este no solo se revela como explícitamente anacrónico,3 sino también como limitado por su recurso a la distinción teórico/observacional, evi-tada por estructuralistas posteriores y reemplazada por aquella entre conceptos T-teóricos y conceptos T-no-teóricos.

Adoptando el enfoque señalado, trataré de defender la plausibilidad de la te-sis de la inconmensurabilidad local introducida por el último Kuhn. Defenderé, pues, que el enfoque estructuralista permite establecer un criterio restrictivo del alcance de la inconmensurabilidad y ello, a su vez, una comparabilidad interesan-

2 P. Lorenzano (2008) presenta un estudio muy similar al que aquí se ofrece, tanto en cuanto a los objetivos y el enfoque asumidos como en relación con las conclusiones alcanzadas. Además del enfoque estructuralista, existen otros de gran sofisticación e interés para abordar el problema de la inconmensurabilidad. Cabe desta-car tres de ellos: el tratamiento cognitivista y computacional de Paul Thagard, desarrollado en su obra Concep-tual Revolutions (1992), aquel otro a cargo de Larry Laudan, inaugurador del enfoque denominado ‘problem-solving approach’, caracterizado en Progress and Its Problems (1977), y el propuesto por Ilkka Niiniluoto en el marco de su realismo científico crítico, que expone en “Scientific Progress” (1980).

3 “I shall use a quite modern formulation for my purpose, and I shall disregard completely the fact that che-mists in the eighteen century were not able to express their ideas in the same way. I still think that I do not miss the point by my anachronistic account. Furthermore I do not try to do justice to the historical facts. I just want to formulate a phlogiston theory which is the best I can think of and which explains as many che-mical facts as possible. After all the problem at issue is not only an historical one but also a problem of lo-gical analysis” (Kamlah 1984, p. 223). El tratamiento anacronista que Kamlah realiza de la relación entre la teoría del flogisto y la del oxígeno descansa de forma crucial en conceptos como los de peso molecular o peso atómico, que no se hallaban disponibles hasta que John Dalton desarrolló su teoría atómica a comienzos del siglo XIX. Así descrita, la relación entre dichas teorías rivales puede parecer más estrecha estructuralmente de lo que realmente es, al emplearse, para redefinir los conceptos teóricos de una teoría a partir de los de la otra, más información de la disponible en aquel período histórico. No olvidemos que, para poder entender las razones por las que finalmente se produjo la transición de la teoría del flogisto a la del oxígeno, es nece-sario proporcionar una descripción históricamente fiel de las dos teorías en competencia. Al hacer uso de nociones anacrónicas, Kamlah introduce implícitamente un trasfondo experimental claramente fuera de las posibilidades experimentales para identificar substancias disponibles en la época de Priestley y Lavoisier. Más concretamente, la distinción química entre átomos y moléculas no se estableció antes de Amedeo Avogadro, requiriendo la determinación experimental de los gases a distintas condiciones de temperatura y presión, algo extensamente desarrollado en la teoría atómica daltoniana. Más aún, la conclusión de Kamlah de que la teo-ría del flogisto es reducible a una teoría del oxígeno restringida, a pesar de sus discrepancias relativas a los postulados ontológicos, solo se mantiene si aceptamos como versión canónica de la primera una conforme a la cual al flogisto le es atribuible un peso atómico negativo (véase Kamlah 1984, p. 227). Esto, sin embargo, no parece adecuado, puesto que dicha atribución suele considerarse como apoyada en una hipótesis ad hoc surgida, a su vez, solo una vez que la teoría del flogisto se hallaba en un fase de crisis.


te entre teorías inconmensurables. Dicha comparabilidad requerirá analizar tanto las coincidencias o equivalencias conceptuales como las divergencias e incompati-bilidades conceptuales. Es decir, se intentarán determinar no solo los componen-tes inconmensurables sino también los componentes inconmensurables de las teorías del flogisto y del oxígeno.

Por lo que concierne a la estructura del trabajo, las partes a desarrollar serán las siguientes: en primer lugar, la aclaración acerca del tipo de entidad teórica que conformarían las teorías del flogisto y del oxígeno, en segundo lugar, la pre-sentación de sus correspondientes reconstrucciones estructurales y, finalmente, el análisis de las relaciones interteóricas entre la teoría del flogisto y la teoría del oxígeno, mostrando cómo su modo de relacionarse satisface las condiciones esta-blecidas en las definiciones de reducción ontológica débil y de inconmensurabi-lidad. Dado lo limitado del espacio disponible para el desarrollo de los distintos temas, se habrán de presuponer tanto una familiaridad suficiente con el episodio histórico referido como un conocimiento mínimo de la metodología estructura-lista.

1.2. Caracterización del tipo de entidad teórica que constituyen las teorías del flogisto y del oxígeno

Teniendo en cuenta que el objetivo de las reconstrucciones modeloteóricas que se ofrecen a continuación es la comparación estructural de dos teorías inconmensu-rables, deberá aclararse y justificarse previamente cuál de las diversas nociones es-tructuralistas de teoría se aplicará en este caso.

Desde un enfoque estructuralista sincrónico se contemplan principalmente dos posibilidades: concebir las teorías como elementos teóricos o como redes teó-ricas (Balzer, Moulines & Sneed 1987, pp. 167-177). Aunque mencionada como cuestión preliminar, el tipo de entidad teórica que representa la teoría del flogis-to y la del oxígeno es una cuestión empírica que solo puede esclarecerse a poste-riori. La labor empírica de reconstrucción se inició tratando de probar la hipóte-sis más simple: que sendas teorías constituyen elementos teóricos. Una vez con-firmada tal hipótesis por las reconstrucciones ofrecidas en los apartados poste-riores, trató de evaluarse la hipótesis más compleja de que las dos teorías de la combustión analizadas perteneciesen a un tipo de teoría también más compleja, representable en el estructuralismo como red teórica.4 En concreto se intentaron caracterizar FLO y OXG como especializaciones de las redes teóricas de los prin-

4 En la literatura estructuralista la noción de red teórica se define estableciendo dos condiciones: 1) que existan un conjunto finito y no vacío de elementos teóricos TE y una relación de especialización σ; 2) que la relación de especialización se restrinja al conjunto TE. Añadiendo nuevas condiciones a las dos anteriores resulta po-sible definir un tipo de red teórica más restringido. Se trata de la red teórica arbórea o árbol teórico, cuyas ca-racterísticas específicas son: 1) la conexión entre todos los elementos teóricos que pertenezcan a TE, de modo que para cualquier par de elementos teóricos diferentes pertenecientes a TE se cumpla que o bien ambos son especializaciones de algún otro elemento teórico común, o bien ambos tienen alguna especialización en co-mún; 2) la existencia, dentro de dicho conjunto, de un único elemento teórico básico, esto es, de un solo ele-mento teórico que no constituye una especialización de ningún otro elemento teórico del citado conjunto. Puesto que la definición de red teórica presupone la de especialización, deberán apuntarse, siquiera de pasa


cipios, de la composición y de las reacciones químicas.5 Ninguna de estas hipóte-sis pudo corroborarse, habiendo una posible razón, de índole general, para ello, como es el hecho de que FLO y OXG pertenezcan a una etapa incipiente de la química, en la que tanto los ámbitos de aplicación como los aparatos conceptua-les de las teorías se solapaban frecuentemente, sin que las redes teóricas hubiesen llegado todavía a desarrollarse.6

Se evaluó, todavía, una última posibilidad, a saber, la de caracterizar ambas teorías como elementos teóricos alternativos pertenecientes a holones teóricos su-cesivos. Dentro del estructuralismo, la denominación de ‘holón teórico’ se reser-va para aquellas “totalidades” teóricas o macro-unidades científicas generadas a partir de la interconexión de un grupo de teorías mediante vínculos interteóricos o leyes puente (Balzer, Moulines & Sneed 1987, pp. 386-423, y Díez & Moulines 1997/1999, p. 365). Tales vínculos, representados mediante funciones parciales, tendrán una direccionalidad definida (no serán reversibles), conectarán a todos los elementos teóricos del dominio con al menos otro y serán transitivos. Las teo-rías relacionadas pueden constituir parte de una disciplina o incluso de varias. Este parece ser el caso, precisamente, de las dos teorías en estudio, ambas vincula-das no solo a teorías químicas como el camaralismo, sino también a teorías físicas como la mecánica newtoniana y aun a otras convergentes con la medicina, como sucede en FLO con la iatroquímica.7 El vínculo general característico de los ho-

da, los principales rasgos definitorios de esta. Son los siguientes: a) igualdad entre las clases de modelos po-tenciales y de modelos potenciales parciales de los respectivos elementos teóricos relacionados, y, b) inclusión de la clase de modelos actuales, la clase de condiciones de ligadura, la clase de vínculos y la de aplicaciones intencionales de la teoría que especializa respectivamente en la clase de modelos actuales, la clase de condicio-nes de ligadura, la clase de vínculos y la de aplicaciones intencionales de la teoría que es especializada. Expre-sado de otro modo, dos elementos teóricos relacionados mediante una relación de especialización comparti-rán su aparato conceptual, mientras que divergirán en cuanto al alcance de sus leyes y, consecuentemente, en cuanto a la extensión de sus clases de aplicaciones intencionales, ya que el elemento teórico que especializa restringe las leyes y el alcance empírico del elemento teórico especializado.

5 En lo sucesivo, la teoría del flogisto se designará por medio de la abreviatura FLO, y la teoría del oxígeno me-diante OXG.

6 Como quedará patente en las reconstrucciones, ambos elementos teóricos divergen, en particular, en lo que atañe a su dependencia (FLO) o no (OXG) de la teoría de los principios y, por consiguiente, de una teoría de la composición química cualitativa. Ninguna de las dos teorías estudiadas constituye una red teórica porque no ha sido necesario establecer leyes más específicas para dar cuenta de diferentes tipos de casos concretos de combustión, ni es el caso que ambas teorías especialicen una misma teoría. Tampoco constituyen parte de una red teórica, puesto que no satisfacen ninguna de las condiciones que ha de cumplir toda especialización; es decir, ni las leyes de ninguno de los dos elementos teóricos restringe alguna ley fundamental establecida desde otro, ni sus correspondientes clases de los modelos potenciales y modelos potenciales parciales coinci-den con los de algún otro elemento teórico. Como se verá en las reconstrucciones, P y Q, por ejemplo, deter-minan respectivamente Mp de FLO y de OXG, pero no así Mp de la teoría camaralista de los elementos (de la que dependen ambas). Del mismo modo, la relación de igual o menor respirabilidad, R, no determina Mpp ni de la teoría de los principios, ni de la composición, ni de las reacciones y sí, en cambio, los Mpp de las teo-rías de la combustión.

7 La teoría química camaralista, de marcado carácter industrial, se desarrolló durante la segunda mitad del siglo XVII y comienzos del XVIII y sirvió como soporte teórico para las nociones de elemento y agregado presen-tadas en las teorías químicas del XVIII. En cuanto teoría de la composición, la química camaralista suminis-tra un criterio para la clasificación de substancias, en virtud del cual a cada tipo de sustancia (fluida, gruesa y vidriosa) le corresponden uno o varios tipos de principios que le confieren su especificidad. De acuerdo con lo estipulado en esta teoría, ampliamente difundida por el camaralista Johann Becher, los elementos han de satisfacer las condiciones de pureza y simplicidad, considerándose la primera en el sentido de unicidad de


lones teóricos puede adoptar la forma de cualquier tipo de relación interteórica (especialización, teorización, reducción, equivalencia) (Balzer, Moulines & Sneed 1987, p. 390), por lo que en cada caso habrá que especificar su modo particular de concreción. Entra en juego, por tanto, un criterio mixto de identificación de totalidades teóricas. Aplicando el citado criterio al caso de estudio aquí tratado, se constata que la dependencia de las teorías de la combustión con respecto a otras obedece a que cada una de las primeras constituyen teorizaciones diferentes de las segundas. A pesar de no haber acometido la reconstrucción de estas, la úl-tima hipótesis apuntada parece suficientemente confirmada a partir de datos cru-ciales obtenidos en las reconstrucciones de las teorías rivales de la combustión.

Sin negar la importancia que el examen minucioso de este tipo de unidad macro-teórica tendría para la comprensión de la estructura global de disciplinas científicas como la química, ha de tenerse en cuenta que tal tarea rebasaría el propósito del presente análisis, a saber, el esclarecimiento del tipo de relación de inconmensurabilidad que se da entre FLO y OXG. Por otra parte, la restricción en el alcance de las reconstrucciones explica que no se hayan tomado en conside-ración conceptos centrales de la química de aquella época, como los de principio y elemento, característicos de otras teorías relacionadas con las teorías de la com-bustión. La exclusión de tales conceptos en las reconstrucciones comporta, como consecuencia, la omisión de toda referencia al cambio experimentado por ellos, habitualmente destacado por los teóricos de la inconmensurabilidad al tratar el caso del flogisto.

2. Reconstrucción de la teoría del flogistoPor medio de FLO pretenden explicarse la combustión y otros fenómenos rela-cionados con ella como la calcinación, la reducción y la composición de sustan-cias químicas.8 Este conjunto de fenómenos de diversos tipos constituiría, pues,

estado de agregación y la segunda en el de indescomponibilidad en substancias distintas. Tanto el criterio como las condiciones aludidos se incorporan a la teoría del flogisto, asumiéndose aquel desde la teoría del oxígeno solo parcialmente; se adopta la taxonomía de substancias prescindiendo, en cambio, del aspecto re-lativo a los principios. Por otra parte, la distinción, también característica del camaralismo, entre compues-tos y mezclas atendiendo respectivamente a la estabilidad e inestabilidad de la combinación cuantitativa de elementos, se recoge como clasificación máximamente general de los agregados tanto en la teoría del flogisto como en la del oxígeno (véase Partington 1962-1970, p. 639, y Brock 1992, p. 81). Por otra parte, varias no-ciones y principios específicos de la teoría iatroquímica, desarrollada principalmente durante comienzos del siglo XVII por continuadores del sistema de Paracelso como Joan-Baptista van Helmont y los defensores de la teoría ácido-alcalina, resultaron imprescindibles para definir el aire, la respirabilidad y la combustión dentro de las teorías del flogisto y del oxígeno. El estudio del aire fue llevado a cabo en gran medida por el iatroquí-mico Helmont, quien lo definió como un fluido elástico transportador de substancias. En la teoría del flogis-to se recurrirá a la misma definición, que será contundentemente rechazada desde la teoría del oxígeno. Las nociones de respirabilidad y combustión, en la medida en que dependen del concepto de aire, se ven afec-tadas de la misma manera por la conexión con la teoría iatroquímica en el caso de la del flogisto y la desco-nexión con la misma teoría en el caso de la del oxígeno. No obstante, tanto la primera como la segunda com-parten la vinculación con la teoría iatroquímica en lo concerniente a la caracterización de la respiración como emisión y absorción de gases (véase Brock 1992, pp. 47-54).

8 Las principales fuentes historiográficas que se utilizarán en las reconstrucciones de las teorías del flogisto y del oxígeno son las siguientes: Conant (1948, pp. 67-115), Partington (1962), Cohen (1985) y Brock (1992). Aun-


la clase de aplicaciones intencionales de FLO. Para dar cuenta de ellos se postu-lará la existencia de un principio químico, el flogisto, estableciéndose como ley fundamental la emisión de dicha sustancia en la combustión (por parte de las sustancias químicas sometidas a tal proceso).

Con objeto de simplificar el análisis metateórico, se tendrán en cuenta solo combustiones completas, es decir, combustiones en las que se agota el flogisto del cuerpo sometido a combustión. Por otra parte, todas las reacciones químicas consideradas serán combustiones, ocurriendo que cada modelo de FLO es una combustión. Antes de comenzar con las definiciones formales de los diferentes ti-pos de modelos, ha de enfatizarse que el presente estudio pretende ser fiel al con-texto histórico en el que surgen las teorías; por lo que, con el fin de evitar incu-rrir en anacronismos, no se utilizarán ciertos términos cuantitativos (como ‘den-sidad’, ‘volumen’, etc.).

2.1. Modelos potenciales de FLOMp(FLO): x es un modelo potencial de la teoría del flogisto (x ∈ Mp(FLO)) syss

existen S, T, C, A, F, c, w, R, ° tales que9

(1) x = ⟨S, T, C, A, F, ℝ+, c, w, R, °⟩ (2) S es un conjunto finito no vacío(3) T = {t1, t2}(4) C ⊂ S y C ≠ ∅(5) A ⊂ S y A ≠ ∅, asimismo A ∩ C = ∅ (6) F ⊂ S y F ≠ ∅(7) c: (C × A × {t1}) → (S × A × {t2}) (8) w: S → ℝ+

(9) R ⊆ A × A, y R determina un orden débil(10) °: S × S → S

Interpretación pretendida básica: S es un conjunto de porciones de sustancias químicas concretas (no tratándose de una clase de tipos de sustancias), T es un conjunto cuyos únicos elementos son dos instantes temporales, uno anterior a la combustión (t1) y otro posterior a ella (t2). C es un subconjunto de S que excluye A, y se interpreta como el conjunto de porciones de sustancias combustibles con-cretas. A es un conjunto de porciones de sustancias químicas de aire, esto es, de la sustancia que circunda los cuerpos sometidos a combustión. Finalmente, por lo que concierne a los dominios, F es un conjunto de porciones de un elemento denominado ‘flogisto’.

que rebasando los límites del estudio estrictamente histórico, las siguientes obras filosóficas de Philip Kit-cher ofrecen un examen claro y detallado de la transición entre la teoría del flogisto y la del oxígeno en Kit-cher (1978, 1982, 1993). La obra de Paul Thagard de 1992, de carácter igualmente filosófico, ofrece asimis-mo un desarrollo histórico preciso del caso del flogisto. Lo mismo sucede con el artículo de Kamlah de 1984, a pesar de su planteamiento explícitamente anacronista. Cabe citar, por último, los trabajos de C.E. Perrin “The Chemical Revolution: Shifts in Guiding Assumptions” (véase bibliografía), Estany (1990).

9 Siguiendo el modo de presentar las reconstrucciones utilizado en An Architectonic for Science, incluiré los con-juntos de números entre los constituyentes de los modelos.


La función c determina las combustiones o reacciones químicas, asignando a cada porción de sustancia combustible c y cada porción de aire a en t1 una porción de sustancia s y porción de aire a′ en t2. w es la función que determina el peso, asig-nando a cada sustancia química s su peso w(s) como un elemento de ℝ+. R relacio-na diferentes porciones concretas de aire atendiendo a su igual o menor respirabili-dad. Reparemos en que R no tiene carácter funcional. Puede ocurrir que el mismo aire sea tan o menos respirable que más de un aire, esto es, que le correspondan va-rios aires tan o más respirables que él. La combinación de sustancias formando agre-gados se representa por medio de la función °. A cada par de sustancias se le asigna otra sustancia, un agregado, que resulta de la combinación de las dos primeras.

A continuación se definirán algunas nociones derivadas de los conceptos pri-mitivos de FLO.

Si x = ⟨S, T, C, A, F, ℝ+, c, w, R, °⟩ ∈ Mp(FLO) entonces (1) Sean ⟨c, a, t1⟩ y ⟨s, a′ , t2⟩ tales que c(⟨c, a, t1⟩) = ⟨s, a′ , t2⟩, entonces c1(c) =

def

s y c2(a) =def

a′ (esto es, la imagen de una sustancia s bajo la función de com-bustión, c1(c), es el residuo de s obtenido a partir de s, y la imagen de una sus-tancia a bajo la función de combustión, c2(a), es la sustancia a′ obtenida a partir de a).

En (1) se definen los conceptos de residuo de la sustancia combustible obtenido tras la combustión y de aire obtenido tras la combustión a partir del aire previo a la combustión. Tales conceptos se definen por medio de restricciones de c respec-to de los dominios C y A.(2) Sean s, s′ , s′′ tales que °(s, s′ ) = s′′ , entonces s′′ =

def s ° s′ (léase s′′ es la

agregación de s y s′ ).En (2) se define el concepto de agregado, mediante la aplicación de la función , como el valor asignado a los argumentos de dicha función, esto es, como aquella sustancia resultante de la combinación de otras dos.(3) s contiene s′ syss

def: existe algún s′′ tal que s = s′ ° s′′ o s = s′′ ° s′ .

En (3) se define la relación mereológica de contener, también a partir de la fun-ción °, como la relación entre el valor asignado a los argumentos de dicha fun-ción y uno u otro de éstos; es decir, como la relación entre aquella sustancia re-sultante de la combinación de otras dos y una u otra de éstas.(4) fs es la cantidad total (o máxima) del flogisto contenido en s syss

def: s contiene fs

y para todo f´ si s contiene f´ entonces fs contiene f´.A partir de la función de agregación y de la relación mereológica de contener (deri-vada de ella), resulta posible definir en (4) el concepto de cantidad total o máxima del flogisto contenido en una sustancia como aquella porción de flogisto que cons-tituye uno de los argumentos de la función ° dando como valor s, ó, expresado en otros términos, como aquella porción de flogisto que se combina con alguna otra sustancia produciendo el agregado s.(5) P ⊆ S × S y sP s′ syss

def: w(fs) ≤ w(fs´) (léase (aplicado a la combustión) s′ se

desflogistiza dando lugar a s syss la cantidad total de flogisto de s pesa menos o igual que lo que pesa la cantidad total de flogisto de s′ ).


P se define en (5), a partir del concepto primitivo de peso y del concepto deri-vado de cantidad total de flogisto de una sustancia, como una relación entre di-ferentes porciones concretas de sustancias según su igual o menor contenido en flogisto. La relación P determina un orden débil.

2.2. Modelos de FLOM(FLO): x es un modelo de la teoría del flogisto (x ∈ M(FLO)) syss existen S, T,

C, A, F, c, w, R, ° tales que(1) x = ⟨S, T, C, A, F, ℝ+, c, w, R, °⟩(2) x ∈ Mp(FLO)(3) para todo ⟨c, a, t1⟩ ∈ DI(c):

(3i) c contiene c1(c) (3ii) existe algún f ∈ F tal que s contiene f en t1 y c1(c) no contiene f en

t2 y c2(a) contiene f en t2 y a no contiene f en t1

(3iii) para todo f ∈ F: si a contiene f en t1 entonces c2(a) contiene f en t2 (4) para todo a ∈ A: c2(a)Ra syss w (fc

2(a)) ≥ w(fa)

La condición (3) es el requisito de que exista un tipo de entidad que actúe como principio en la combustión, siendo emitida por las sustancias sometidas a dicho proceso. (3i) requiere que la sustancia sometida a combustión contenga el rema-nente que quedará tras la combustión. (3ii) establece que la sustancia responsa-ble de la combustión pase del cuerpo al aire. (3iii) exige que no pase nada de di-cha sustancia del aire al cuerpo. Por último, en (4) se establece la disminución de la respirabilidad para aquella sustancia aire que, al haber absorbido flogisto, con-tiene una cantidad mayor de esta sustancia.

La demostración del siguiente teorema, implicado por los axiomas (3) y (4), permite concluir la menor respirabilidad del aire tras la combustión.

Teorema (I): para todo ⟨c, a, t1⟩ ∈ DI(c): c2(a)Ra y no es el caso que aRc2(a) Prueba: Supuesto ⟨c, a, t1⟩ ∈ DI(c):

⟨c1(c), c2(a), t2⟩ = c(⟨c, a, t1⟩) por definición de cpara todo f ∈ F si a contiene f en t1 entonces c2(a) contiene f en t

2 por (3iii)

c2(a)Raexiste algún f ∈ F tal que c2(a) contiene f en t2

y a no contiene f en t1 no para todo f ∈ F es el caso que si c2(a) contiene f entonces a contiene fno es el caso que aRc2(a) por (4)q.e.d.

A partir del axioma (4) y de la definición (5) se sigue un nuevo teorema, en el que se establece la menor flogististización del aire más respirable y la mayor flo-gististización del aire menos respirable. Es decir, el teorema expresa una correla-ción entre la menor respirabilidad del aire que interviene en la reacción y su ma-yor flogististización, presentando la restricción de P al dominio A como la rela-ción inversa de R, y, por tanto, como implicando una menor cantidad del flogis-to en el aire más respirable.


Teorema (II): para todo ⟨c, a, t1⟩ ∈ DI(c): aPc2(a) syss c2(a)RaPrueba: Supuesto ⟨c, a, t1⟩ ∈ DI(c):

⟨c1(c), c2(a), t2⟩ = c(⟨c, a, t1⟩) por definición de cpara todo a, a′ ∈ A: c2(a)Ra syss w(fc

2(a)) ≥ w(fa) por (4)

cPs syss w(fc) ≤ w(fs) por def. (5) aPc2(a) syss w(fa) ≤ w(fc

2(a)) por restricción de P al dominio A

w(fa) ≤ w(fc2(a)) syss w(fc

2(a)) ≥ w(fa) por inversa de ≥/≤

aPc2(a) syss c2(a)Ra por sustitución a partir de def. (5) y axioma (4)q.e.d.

2.3. Modelos potenciales parciales de FLOMpp(FLO): y es un modelo potencial parcial de la teoría del flogisto (y ∈

Mpp(FLO)) syss existe un x tal que x = ⟨S, T, C, A, F, ℝ+, c, w, R, °⟩ ∈ Mp(FLO) e y = ⟨S, T, C, A, F, ℝ+, c, w, R, °⟩

La cuestión de la teoricidad atañe a S, T, C, A, F, c, w, R, °. Los dos primeros conjuntos básicos, junto con los dos siguientes derivados, la relación (no funcio-nal) R y las funciones, c, w, y °, son FLO-no-teóricos, puesto que todos ellos pue-den ser determinados sin recurrir a las leyes fundamentales de FLO. F y la rela-ción derivada, no-primitiva, P, en cambio, deben considerarse como FLO-teóri-cos dada su dependencia de dichas leyes. En particular, tanto la determinación de F como la de P exigen la asunción de la ley donde se afirma la existencia de un elemento, al que se denomina flogisto, que actúa como principio en la com-bustión. Tal ley aparece en la definición formal de M(FLO) como el axioma (3). A pesar de que flogisto y vocablos relacionales como flogistizar, desflogistizar, etc., sean los únicos términos FLO-teóricos, la importancia de los conceptos que se les asocian se refleja en el hecho de que necesariamente intervengan en la de-terminación de uno de los conjuntos derivados de la teoría. Dicha importancia se deriva del rol conceptual clave que ejercen articulando el esquema conceptual específico de FLO.

Examinaré pues, a continuación, los criterios para la determinación de las funciones y/o nociones expresadas por los términos FLO-no-teóricos. Los fenó-menos o entidades a los que refieren dichos términos se reconocerán, al menos en parte, atendiendo a tales criterios. Ello queda especialmente patente en el caso de S, A, c y R, al determinarse (durante el período histórico en que impera FLO) aplicando principalmente nociones independientes de toda teoría científi-ca, pertenecientes al conocimiento ordinario.

Algunos términos del lenguaje ordinario son introducidos en las teorías cien-tíficas como términos primitivos, es decir, no definidos en dichas teorías. Así ocurre con la noción de combustión en FLO. Esta ha de entenderse como una noción primitiva únicamente determinable a partir de una disyunción de des-cripciones o predicados que expresan diferentes propiedades: aumento de tem-peratura, disminución de tamaño, emisión de gases, menor respirabilidad del


aire circundante,10 etc. A partir de las razones ya apuntadas, es posible inferir que los criterios para la determinación de c se identificarán con aquellos que se em-pleen en la determinación de Mpp. Pues, siendo la combustión el principal fenó-meno del que trata FLO, y dado que la noción de combustión ha de caracterizar-se dentro del lenguaje FLO-no-teórico (concretamente en el lenguaje ordinario, esto es, en el nivel más básico de conceptualización), se deduce que efectivamen-te la determinación de c se rige por los mismos criterios que la de Mpp. c es el fe-nómeno FLO-no-teórico que se pretende explicar.

Relegaré el análisis de los conceptos FLO-no-teóricos al apartado 2.5., don-de se concretarán los vínculos interteóricos esenciales de FLO, es decir, aque-llos vínculos necesarios para definir o caracterizar (en el caso de los términos primitivos) algunos de los conceptos FLO-no-teóricos. No obstante, adelanta-ré las distintas teorías o conceptualizaciones de que depende la determinación de tales conceptos. La función w se determinará recurriendo a la mecánica clá-sica de partículas. La determinación de T presupone algún tipo de teoría cro-nométrica. La teoría camaralista de la composición, junto con las teorías físicas de Boyle y Newton, resultarán imprescindibles en la determinación de la fun-ción de agregación °. Como se ha indicado más arriba, S, A, c y R serán de-terminados empleando fundamentalmente el lenguaje ordinario, si bien la ca-racterización de las nociones de aire, combustión y respirabilidad exigirá asi-mismo tener en cuenta tanto la teoría iatroquímica de la composición como la física y la química de Boyle. T no se tratará en 2.5., pues, al ser una noción muy común en teorías científicas y no específica de la química, el análisis de sus vínculos interteóricos no presenta especial interés para el presente estudio.

Antes de pasar al siguiente apartado, conviene aclarar una última cuestión: se trata del problema que parece comportar la inclusión del subdominio FLO-teó-rico F en el dominio FLO-no-teórico S. Podría pensarse que tal inclusión supo-ne la necesaria determinación FLO-teórica de S y, por lo tanto, su carácter FLO-teórico. Sin embargo, el problema es solo aparente, ya que el dominio S no se determina recurriendo necesariamente a sus distintos subdominios, sino a partir de ciertas propiedades FLO-no-teóricas que ha de tener cada elemento de dicho dominio (tener peso, determinado tamaño, etc.).11 En el caso del subdominio F, que históricamente se descubrió como vacío, su inclusión en el dominio de las sustancias se explicaría por la aceptación de que no en todos los casos las sustan-cias a las que los químicos pretenden referirse sean empíricamente determinadas, permitiéndose que su existencia se infiera a partir de ciertas propiedades FLO-no-teóricamente determinables (como por ejemplo, la mayor o menor respirabili-dad del aire que circunda la sustancia sometida a combustión).

10 La menor respirabilidad del aire circundante no remite a ninguna ley de FLO pues resulta posible identificar la combustión en virtud de otras propiedades.

11 Por las mismas razones, la inclusión del subdominio OXG-teórico O en el dominio OXG-no-teórico S no im-plica la necesaria determinación OXG-teórica de S.


2.4. Condiciones de ligadura de FLOComo se verá, las distintas constricciones identificables en FLO, al igual que las identificables en OXG, no son propiamente de dichos elementos teóricos, sino heredadas o importadas de otras teorías, en particular de la mecánica newtonia-na, con la que se hallan conectados por medio de vínculos interteóricos. Hay dos condiciones de ligadura naturales: identidad del peso y extensividad del peso. Las constricciones C1 y C2

son las mismas que se presentan en la mecánica clásica de choque relativamente a la masa. En C1 se exige que el peso de cualquier sustancia sea independiente del sistema en el que aparece dicha sustancia. C2 requiere que relativamente a alguna operación de agregación, representada por la noción bá-sica °, el peso se comporte como aditivo bajo dicha relación. ° asigna a cada par de sustancias químicas otra sustancia química cuyo peso resulta de la adición de ambas sustancias.

C1(FLO): para todo X: X ∈ C1(FLO) syss ∅ ≠ X ⊆ MpC1(FLO) y para todo x, y ∈ X y para todo s: si s ∈ Sx ∩ Sy entonces wx (s) = wy (s)

C2(FLO): para todo X: X ∈ C2(FLO) syss ∅ ≠ X ⊆ Mp(FLO) y para todo x, y, z ∈ X:

(a) °: S × S → S donde S := ∪ {Sx/x ∈ Mp(FLO)}(b) para todo s ∈ Sx, s′ ∈ Sy (si s s′ ∈ Sz entonces wz(s ° s′ ) = wx(s) + wy( s′ ))

La condición de ligadura global de FLO sería:GC(FLO) = C1(FLO) ∩ C2(FLO)

El teorema demostrado a continuación, implicado por el axioma (3) y por C2(FLO), establece la disminución de peso de todo cuerpo sometido a combus-tión.Teorema (III): para todo ⟨c, a, t1⟩ ∈ DI(c): w(c1(c)) < w(c)Prueba: Supuesto ⟨c, a, t1⟩ ∈ D

I(c):

⟨c1(c), c2(a), t2⟩ = c(⟨c, a, t1⟩) por def. cc contiene c1(c) por (3i)w( s′ ° c1(c)) = w( s′ ) + w(c1(c)) por C2(FLO)w(c) = w( s′ ) + w(c1(c)) por sustitución a partir de (3i)w(c1(c)) < w(c)q.e.d.

2.5. Vínculos interteóricos de FLOEn lo que sigue examinaré los diversos vínculos que han de considerarse como constituyentes esenciales de FLO. El primero de ellos es el que provee a FLO de los valores de la función w. Estos se determinan por medio de varios instrumen-tos, a saber, balanzas analíticas, balanzas de brazos y dinamómetros. El uso de tal instrumental requiere asumir algún modelo de la mecánica del sólido rígido (RBM). Teniendo en cuenta que tal teoría es reducible a la mecánica clásica de


partículas (CPM), puede afirmarse que se precisa un vínculo L1 entre M(RBM) (o M(CPM)) y Mp(FLO).

L1(FLO) ⊆ M(RBM) × π(RBM, 1, 2, 5) × Mp(FLO) × π(FLO, 1, 2, 9)determinado por la siguiente condición:12

Para todo x ∈ M(RBM) y x′ ∈ Mp(FLO):⟨x, ⟨Px, Tx , mx⟩, x′ , ⟨Sx , Tx´, wx´⟩⟩ ∈ L1(FLO) syss hay s ∈ S y t = Tx ∩ Tx tal que(a) Sx´ = Px(b) wx´(s) = mx(s)

P se interpreta como un conjunto de partículas, T como un conjunto de instan-tes temporales y m como la función para la determinación de la masa.

Además de w, existen otras funciones, relaciones y dominios (conjuntos bá-sicos) FLO-no-teóricos determinados por vínculos esenciales concretos con otras teorías. Sin embargo, al tratarse de teorías precientíficas y/o no axiomatizadas, no se acometerá la reconstrucción estructural o definición formal de dichos vín-culos interteóricos. Se indicará simplemente, de manera informal, en qué con-sisten los vínculos interteóricos que determinan S, C, A, c, R, °,13 señalando el modo en que las nociones FLO-no-teóricas que intervienen en tal determina-ción dependen de ciertas teorías. Como ya se ha señalado más arriba, la caracte-rización de algunas de estas nociones involucra principalmente un tipo de con-ceptualización expresada en el lenguaje ordinario, no presentada en forma de teoría. Solo algún aspecto de la caracterización dependerá directamente de teo-rías precientíficas o científicas anteriores. Así ocurrirá con las nociones represen-tadas por C, c y R, las cuales demandarán un análisis tanto de los vínculos estric-tamente interteóricos como de la ligazón con conceptualizaciones pertenecien-tes al conocimiento ordinario. Huelga decir que este conocimiento ordinario, transmitido a través del lenguaje ordinario, ha de relativizarse, del mismo modo que con las teorías, al período histórico bajo consideración. Examinaré a conti-nuación los términos ‘sustancia’, ‘aire’, ‘respirabilidad’, ‘combustión’, ‘sustancia’ ‘combustible’, y ‘agregación’ siguiendo el orden en que se han mencionado.

En la determinación de S se emplea la noción de materia característica de la teoría física o corpuscular de la materia. Durante finales del siglo XVII y princi-pios del XVIII las teorías mecanicistas de Boyle y Newton, precursoras de la teo-ría atómica de Dalton, consolidaron una concepción de las sustancias en térmi-nos eminentemente físicos, en cuanto conglomerados de partículas o cuerpos. Con objeto de definir el término ‘materia’ se hace uso de cualidades geométricas y de los mecanismos de afinidad y repulsión, rechazándose, en cambio, la utiliza-ción de cualidades secundarias (temperatura, color) así como de las formas de la

12 Los axiomas designados en π(RBM, 1, 2, 5) se corresponden con los establecidos en Balzer, Moulines & Sneed (1987, p. 269), donde se define la clase de los modelos potenciales para la mecánica del sólido rígido.

13 El análisis informal que sigue se apoya en el estudio histórico de la química presentado en Brock (1992, pp. 43-86).


física aristotélica (Brock 1992, pp. 66, 75). Indiscutiblemente, el peso ha de con-siderarse como una propiedad esencial de la materia. En realidad, solo con el de-sarrollo de la mecánica newtoniana comenzó a diferenciarse entre materia y peso. Resulta obvio que tal asociación conduce necesariamente a la dependencia de la teoría del flogisto con respecto a la mecánica clásica de partículas, pues los méto-dos de determinación del peso presuponen el empleo de CPM o de alguna teo-ría reducible a ella como RBM (Balzer, Moulines & Sneed 1987, pp. 53-54). Al comienzo del presente epígrafe se indica la conexión entre los modelos de RBM y los modelos potenciales de FLO en virtud del peso.

La determinación del conjunto básico A se realiza de acuerdo con los modos de determinación del aire estipulados en la teoría iatroquímica presentada por Joan-Baptista van Helmont (Brock 1992, p. 49). En ella, el aire se concibe como el entorno de las reacciones químicas y se define como un fluido elástico que transporta partículas, sustancias, elementos químicos. Los resultados de los estu-dios químicos de Boyle a este respecto ratifican los ofrecidos por Helmont (Brock 1992, p. 59).

La relación de igual o menor respirabilidad del aire se deriva de la propiedad del aire de ser respirable, siendo esta determinable por medio del conocimiento ordinario, por ejemplo a partir de las acciones de inspirar y espirar. No obstante, para definir el concepto de respirabilidad, indisociable del concepto de aire, ha de recurrirse nuevamente a la definición iatroquímica del término ‘aire’. Algunos de los modelos de la teoría iatroquímica coincidirán necesariamente con algu-nos de los modelos potenciales de FLO debido, también, a que la concepción de la respiración como absorción y emisión de gases, junto con la correspondiente caracterización de la noción de gas, constituyen otra de las aportaciones de Hel-mont a la química de su tiempo. El subconjunto de las sustancias formado por los gases se determinaría pues conforme al análisis iatroquímico de estos, por me-dio del cual se establece que los gases son compuestos formados por aire y tierra o agua (Brock 1992, p. 51).

En cuanto a la noción de combustión, a pesar de que existen algunos víncu-los constitutivos con otras teorías imprescindibles para determinar c, tales víncu-los no contribuirán a formar un criterio de determinación, esto es, un conjun-to de condiciones necesarias y suficientes para esta. También deberán tenerse en cuenta, como modos de determinación de c, la comprobación del aumento del calor, de la disminución del tamaño, de la emisión de gases, de la menor respi-rabilidad del aire circundante, etc. Todo ello involucra, principalmente, diversas parcelas del conocimiento ordinario. No obstante, en la medida en que el con-cepto de gas interviene en dicha determinación y este se considere científico, existirá al menos un vínculo esencial derivado de dicha intervención. Como ya se ha señalado al analizar la noción de respiración, los gases se consideraban, con-forme a la teoría iatroquímica y a la química de Boyle, compuestos y/o mezclas ya de tierra y aire ya de agua y aire (Brock 1992, pp. 51, 71-72). En consecuencia, y dado que la determinación de la función c exige tanto la comprobación de que en el proceso de combustión se emiten gases, como de la menor respirabilidad


del aire circundante a la reacción, el vínculo esencial de c con las citadas teorías se generará por una doble vía. En primer lugar, de forma más directa, por su de-pendencia de la noción de gas; en segundo lugar, de manera más indirecta, por su dependencia de la noción de respiración, a su vez directamente dependiente de la de gas.

El concepto de agregación, caracterizado mediante la función °, da cuenta de dos casos diferentes dentro de la teoría camaralista: el de los compuestos y el de las mezclas. Su origen es físico, pues se cimienta en las teorías físicas de Boyle y Newton (Brock 1992, pp. 55, 75). Conforme a ellas, la materia está compuesta de partículas organizadas jerárquicamente en grupos o racimos para formar mez-clas o compuestos. Las primeras se caracterizarán por haberse constituido me-diante una combinación cuantitativamente inestable de elementos. Las segundas, por el contrario, se definirán en virtud de una combinación cuantitativamente estable de elementos.

Deben señalarse, no obstante, algunas diferencias significativas entre el con-cepto físico y el químico de composición. Con el primero se alude a la relación de concatenación entre partículas, cuyo resultado sería la concatenación o agru-pación de dichas partículas. Con el segundo, en cambio, se explica la relación de agregación entre sustancias químicas, que conduciría a la formación de un agre-gado. La diferencia esencial estriba en que un agregado no consiste en una mera agrupación de sustancias sino en una nueva sustancia obtenida a partir de otras distintas. Este aspecto diferenciador no se trata empleando conceptos específicos de ninguna teoría científica sino nociones propias del lenguaje ordinario. Así, en la descripción de dicho aspecto diferenciador solo intervienen términos ordina-rios como ‘sustancia’, ‘formación’, etc. Finalmente, ha de subrayarse la necesidad de tomar en consideración tanto la significación física como la estrictamente quí-mica de la noción de agregación. Pues, aunque parte del significado del término ‘agregación’ dependa de nociones propias del lenguaje ordinario, otra parte fun-damental precisa de nociones características de la física para su determinación. En concreto, entrarán en juego los conceptos físicos de ‘masa’ y ‘conservación de la masa’. Por ello, parece razonable sostener que existe un vínculo interteóri-co esencial de ° con las teorías corpusculares de Boyle y Newton, de modo que la noción de composición de tales teorías resulta imprescindible para fijar el signifi-cado de agregación. Sin embargo, como ya se ha indicado, la especificación de este vínculo será necesaria pero no suficiente para dar el significado de dicho término, habiendo de tenerse en cuenta también el mencionado conocimiento ordinario.

Si se concede que las teorías físicas de Boyle y Newton son imprescindibles en la determinación de w, ° y S, con la teoría iatroquímica y la química boyleana, necesarias para determinar A, c y R, entonces el vínculo global de FLO podría definirse como la intersección de todos los vínculos interteóricos de FLO.

2.6. Elemento teórico de FLO y su aserción empíricaT(FLO) := ⟨K(FLO), I(FLO)⟩ en dondeK(FLO) := ⟨Mp(FLO), M(FLO), Mpp(FLO), GC(FLO), GL(FLO)⟩


e I(FLO) ⊆ Mpp(FLO) es tal que(1) I0 ⊆ I(FLO) donde I0 es {la combustión de sustancias inorgánicas no me-

tálicas (madera, carbón), la calcinación del mercurio, la reducción y la composición del mercurio}

(2) todos los miembros de I(FLO) son suficientemente similares a aquellos de I0.

Formulación de la aserción empírica de FLO: las aplicaciones intencionales pue-den extenderse a un conjunto de modelos conectados entre sí por GC(FLO) que satisfacen las leyes y los vínculos.

Más concretamente, la aserción expresa que los miembros de I(FLO) que consisten en varias estructuras de sustancias S como son el aire A y las sustan-cias combustibles C pueden extenderse a estructuras que contienen la sustancia flogisto F. Las estructuras han de cumplir las leyes y las condiciones de ligadura. Los miembros de I(FLO) consistirán en una estructura de instantes temporales T, con una serie de funciones c para determinar las reacciones de combustión, funciones w para el peso, así como ° para la agregación. Las relaciones R y P tam-bién intervienen dando cuenta de los miembros de I(FLO), pues establecen co-nexiones entre distintas sustancias respectivamente en virtud de la propiedad de ser igual o menos respirable y de acuerdo con su igual o menor flogististización. En cada reacción individual o proceso de combustión determinado por c, T y S (y, consecuentemente, sus subconjuntos C, A, F) junto con las otras funciones y relaciones mencionadas, deben satisfacer las leyes de FLO. Por otra parte, cada sustancia de S será extensiva en al menos un miembro de I(FLO). La ristra de funciones w debe asignar a cada sustancia el mismo peso en toda reacción quími-ca en I(FLO) donde intervenga.

3. Reconstrucción de la teoría del oxígenoCon OXG, al igual que con FLO, se intenta dar cuenta del fenómeno de la com-bustión así como de otros fenómenos asociados a ella; principalmente, la calcina-ción, la reducción (análisis) y la composición (síntesis) de sustancias químicas. El conjunto formado por los (tipos de) fenómenos mencionados constituye la clase de aplicaciones intencionales de OXG. Para explicarlos se postulará la existencia de un nuevo elemento químico, el oxígeno, estableciéndose como ley fundamen-tal la absorción de dicha sustancia en la combustión (por parte de las sustancias químicas sometidas a tal proceso).

3.1. Modelos potenciales de OXGMp(OXG): x es un modelo potencial de la teoría del oxígeno (x ∈ Mp(OXG)) syss

existen S, T, C, O, c, w, R, ° tales que(1) x = ⟨S, T, C, A, O, ℝ+, c, w, R, °⟩ (2) S es un conjunto finito no vacío


(3) T = {t1, t

2}

(4) C ⊂ S y C ≠ ∅(5) A ⊂ S y A ≠ ∅, asimismo A ∩ C ≠ ∅, siendo también el caso que A ∩

O ≠ ∅(6) O ⊂ S y O ≠ ∅(7) c: (C × A × {t

1}) → (S × A × {t

2})

(8) w: S → ℝ+

(9) R ⊆ A × A, y R determina un orden débil (10) °: S × S → S

Interpretación pretendida básica: S es un conjunto de porciones de sustancias químicas concretas, T es un conjunto cuyos únicos elementos son dos instantes temporales, uno anterior a la combustión (t1) y otro posterior a ella (t2). C es un subconjunto de S que incluye elementos de A y que se interpreta como el con-junto de porciones de sustancias combustibles concretas. A es un conjunto de porciones de sustancias químicas de aire, esto es, de la sustancia constituida por porciones de elementos, algunos de cuales intervienen en los procesos de com-bustión. Por último, en lo que concierne a los dominios, O es un conjunto de porciones de un elemento denominado oxígeno.

La función c determina las combustiones o reacciones químicas, asignando a cada porción de sustancia combustible c y cada porción de aire a en t1 una por-ción de sustancia s y porción de aire a′ en t2. w es la función que determina el peso, asignando a cada sustancia química s su peso w(s) como un elemento de ℝ+. R relaciona diferentes porciones concretas de aire atendiendo a su igual o menor respirabilidad. Téngase en cuenta que R, a diferencia del resto de las rela-ciones que figuran en la definición de Mp(OXG), no tienen carácter funcional. Puede ocurrir que el mismo aire sea tan o menos respirable que más de un aire, esto es, que le correspondan varios aires tan o más respirables que él. La combina-ción de sustancias formando agregados se representa por medio de la función °. A cada par de sustancias se les asigna otra sustancia, un agregado, que resulta de la combinación de las dos primeras.

A continuación se definirán algunas nociones derivadas de los conceptos primi-tivos de OXG, de manera análoga a como se ha hecho en la reconstrucción de FLO.

Si x = ⟨S, T, C, A, O, ℝ+, c, w, R, °⟩ ∈ Mp(OXG), entonces(1) Sean ⟨c, a, t

1⟩ y ⟨s, a′ , t

2⟩ de los que c(⟨c, a, t

1⟩) = ⟨t, a′ , t2⟩, entonces c1(c)

=def

s y c2(a) =def

a′ (esto es, la imagen de una sustancia c bajo la función de combustión, c1(c), es el residuo de s obtenido a partir de c, y la imagen de una sustancia a bajo la función de combustión, c2(a), es la sustancia a′ obte-nida a partir de a).

En (1) se definen los conceptos de residuo de la sustancia combustible obtenido tras la combustión y de aire obtenido tras la combustión a partir del aire previo a la combustión. Tales conceptos se definen por medio de restricciones de c res-pecto de los dominios S y A.


(2) Sean s, s′ , s′′ tales que °(s, s′ ) = s′′ , entonces s′′ =def

s ° s′ (léase s′′ es la agregación de s y s′ ).

En (2) se define el concepto de agregado, mediante la aplicación de la función °, como el valor asignado a los argumentos de dicha función, esto es, como aquella sustancia resultante de la combinación de otras dos.(3) s contiene s′ syss

def: existe algún s′′ tal que s = s′ ° s′′ o s = s′′ ° s′ .

En (3) se define la relación mereológica de contener, también a partir de la fun-ción °, como la relación entre el valor asignado a los argumentos de dicha fun-ción y uno u otro de estos; es decir, como la relación entre aquella sustancia re-sultante de la combinación de otras dos y una u otra de estas.(4) os es la cantidad total (o máxima) del oxígeno contenido en s syssdef: s contie-

ne os y para todo o′ si s contiene o′ , entonces os contiene o′.A partir de la función de agregación y de la relación mereológica de contener (derivada de ella), resulta posible definir en (4) el concepto de cantidad total o máxima del oxígeno contenido en una sustancia como aquella porción de oxíge-no que constituye uno de los argumentos de la función ° dando como valor s, o, expresado en otros términos, como aquella porción de oxígeno que se combina con alguna otra sustancia produciendo el agregado s.(5) Q ⊆ S × S y sQ s′ syssdef: w(os) ≤ w(os′) (léase (aplicado a la combustión) s′ se

desoxigena (pierde oxígeno) dando lugar a s syss la cantidad total de oxígeno de s pesa menos o igual que lo que pesa la cantidad total de oxígeno de s′ ).

Q se define en (5), a partir del concepto primitivo de peso y del concepto deri-vado de cantidad total de oxígeno de una sustancia, como una relación entre di-ferentes porciones concretas de sustancias según su igual o menor contenido en oxígeno. La relación Q determina un orden débil.

3.2. Modelos de OXGM(OXG): x es un modelo de la teoría del oxígeno (x ∈ M(OXG)) syss existen S,

T, C, A, O, c, w, R, ° tales que

(1) x = ⟨S, T, C, A, O, ℝ+, c, w, R, °⟩(2) x ∈ Mp(OXG)(3) para todo ⟨c, a, t1⟩ ∈ DI(c):

(3i) a contiene c2(a)(3ii) existe algún o ∈ O tal que a contiene o en t1 y c2(a) no contiene o en

t2 y c1(c) contiene o en t2 y c no contiene o en t1

(3iii) para todo o ∈ O: si s contiene o en t1 entonces c1(c) contiene o en t2 (4) para todo a ∈ A: c2(a)Ra syss w(oc

2(a)) ≤ w(oa)

La condición (3) es el requisito de que exista un tipo de entidad que sea absor-bida en la combustión por las sustancias sometidas a dicho proceso. (3i) requie-re que la sustancia aire que participa en la combustión contenga el remanente que quedará tras la combustión. (3ii) establece que la sustancia responsable de la


combustión pase del aire al cuerpo. (3iii) exige que no pase nada de dicha sustan-cia del cuerpo al aire. En (4) se establece la disminución de la respirabilidad para aquella sustancia aire con menor cantidad de oxígeno.

La demostración del siguiente teorema, implicado por los axiomas (3) y (4), permite concluir la menor respirabilidad del aire tras la combustión.

(I) Teorema: para todo ⟨c, a, t1⟩ ∈ DI(c): c2(a)Ra y no es el caso que aRc2(a) Prueba: Supuesto ⟨c, a, t1⟩ ∈ DI(c):

⟨c1(c), c2(a), t2⟩ = c(⟨c, a, t1⟩) por definición de ca contiene o en t1 y c2(a) no contiene o en t2 por 3 (ii)c2(a)Ra por (4) y por def. (5)no para todo o ∈ O no es el caso que a contiene o en t1 y c2(a) no contiene o en t2

no para todo o ∈ O es el caso que a contiene o en t1 entonces c2(a) contiene

o en t2 no es el caso que aRc2(a) por (4)q.e.d.

A partir del axioma (4) y de la definición (5) se sigue un nuevo teorema, en el que se establece la menor oxigenación del aire menos respirable y la mayor oxige-nación del aire más respirable. Es decir, el teorema expresa una correlación entre la menor respirabilidad del aire que interviene en la reacción y su menor oxige-nación, presentando la restricción de Q al dominio A como una relación isomór-fica con ‘R’, y, por tanto, como implicando una menor cantidad de oxígeno en el aire menos respirable.

(II) Teorema: para todo ⟨c, a, t1⟩ ∈ DI(c): c2(a)Qa syss c2(a)Ra Prueba: Supuesto ⟨c, a, t1⟩ ∈ DI(c)

⟨c1(c), c2(a), t2⟩ = c(⟨c, a, t1⟩) por definición de cpara todo a, c2(a) ∈ A, para todo o ∈ O: c2(a)Ra syss w(oc

2(a)) ≤ w(oa) por (4)

s′ Qs syss w(os′) ≤ w(os) por def. (5)c2(a)Qa syss w(oc

2(a)) ≤ w(oa) por restricción de Q con respecto a A

c2(a)Qa syss c2(a)Ra por sustitución a partir de definición (5) y de axioma (4)q.e.d.

3.3. Modelos potenciales parciales de OXGMpp(OXG): y es un modelo potencial parcial de la teoría del oxígeno (y ∈

Mpp(OXG)) syss existe un x tal que x = ⟨S, T, C, A, O, ℝ+, c, w, R, °⟩ ∈ Mp(OXG) e y = ⟨S, T, C, A, ℝ+, c, w, R, °⟩

La cuestión de la teoricidad afecta a ⟨S, T, C, A, O, c, w, R, °. ‘Oxígeno’, ‘oxida-ción’ y términos derivados como desoxigenación, constituyen los únicos térmi-nos OXG-teóricos, ya que solo ellos dependen de las leyes de OXG para la de-terminación de su significado. La determinación de O y de la relación no-primi-tiva Q requieren, en concreto, la asunción del axioma (3) perteneciente a la defi-


nición formal de M(OXG), donde se expresa una de las leyes fundamentales de OXG. En dicha ley se afirma la existencia de un elemento, el oxígeno, que es ab-sorbido por todos los cuerpos sometidos a un proceso de combustión. El papel de los conceptos de oxígeno y oxidación en la articulación del esquema concep-tual específico de OXG es primordial dada su involucración en la conformación de las leyes fundamentales de dicha teoría. Los conceptos de oxígeno y oxidación intervienen en el esquema conceptual proporcionado por Mp(OXG), que, a su vez, está presupuesto en aquel ofrecido por M(OXG).

El resto de los conjuntos, los básicos (S y T) y los caracterizados a partir de ellos (C y A), junto con la relación (no funcional) R y las funciones (c, w y °), pueden considerarse OXG-no-teóricos, pues resultan determinables sin recurrir al concepto OXG-teórico de oxígeno ni a las leyes fundamentales de OXG. El hecho de que el oxígeno figure como un componente del aire no conlleva que ‘aire’ deba concebirse como un término OXG-teórico, ya que la identificación de la sustancia aire resulta posible por medios independientes de tales leyes propor-cionados desde la teoría iatroquímica. Según lo establecido en ésta, el aire se defi-niría como el fluido elástico transportador de partículas que actuaría como entor-no en la combustión. Se comprueba que FLO y OXG comparten todos sus tér-minos T-no-teóricos. La idea kuhniana de que los términos teóricos de una teo-ría podrían infectar a los no teóricos no se confirma a la luz de los resultados del análisis precedente.14 En el caso del tránsito de la teoría del flogisto a la del oxí-geno, la determinación de los conceptos FLO-no-teóricos heredados por OXG no precisa de la intervención de las leyes fundamentales de OXG, por lo que se mantienen como conceptos OXG-no-teóricos.

Teniendo en cuenta que los modelos potenciales parciales se determinan por medio de conceptos T-no-teóricos y que, según lo dicho, FLO y OXG compar-ten todos sus conceptos no teóricos, se concluye que Mpp(FLO) = Mpp(OXG). La coincidencia por parte de ambas teorías en proporcionar una explicación para el fenómeno no teórico de la combustión, que ejemplificarán de la misma ma-nera, junto con la asunción de que las clases de aplicaciones intencionales son subconjuntos de las clases de los modelos potenciales parciales, permite inferir que I(OXG) ∩ I(FLO) ≠ ∅. Esto equivale a decir que las clases de aplicaciones intencionales de OXG y FLO no son excluyentes sino que se solapan, cubrién-dose total o parcialmente.

El análisis precedente permite llevar a cabo un estudio sobre las discrepan-cias y coincidencias entre las aplicaciones intencionales exitosas y no exitosas de ambas teorías. Semejante estudio debería dar cuenta del éxito de ambas teorías al explicar la menor respirabilidad del aire circundante a la combustión. Asimis-mo tendría que explicar el éxito de OXG, frente a FLO, al resolver la anomalía del aumento de peso de los metales calcinados, y su fracaso, también en contraste con FLO, al dejar irresuelto el problema de la (como luego se comprueba) apa-rente disminución de peso de las sustancias no metálicas sometidas a combustión.

14 Kuhn (1983, p. 673) manifiesta esta preocupación.


No me detendré a elucidar el modo en que se determinan las distintas nocio-nes expresadas por los términos OXG-no-teóricos pues, al tratarse de nociones compartidas por FLO, su criterio de determinación ya ha sido examinado en el epígrafe 1.5.

3.4. Condiciones de ligadura de OXGOXG comparte con FLO las condiciones de ligadura heredadas (no propias) C1 y C2

para la identidad y extensividad del peso. Recordemos que en C1 se exi-ge que el peso de cualquier sustancia sea independiente del sistema en el que tal sustancia aparece. C2 requiere que relativamente a alguna operación de agrega-ción, representada por la noción básica °, el peso se comporte como aditivo bajo dicha relación. ° asigna a cada par de sustancias químicas otra sustancia química cuyo peso resulta de sumar el peso de ambas sustancias.

No debe pasarse por alto, sin embargo, un punto de discrepancia crucial en-tre FLO y OXG. El punto de divergencia tiene que ver con el teorema III de la teoría del flogisto, implicado por (3) y C2(FLO). En él se establece la disminu-ción de peso de toda sustancia tras haber sido sometida a un proceso de com-bustión. Como se ha indicado, este teorema se deduce a partir de la constricción que estipula la aditividad de la agregación y de una de las leyes fundamentales de FLO según la cual toda sustancia emite flogisto al ser quemada. Dado que OXG comparte C2

con FLO, pero no así la mencionada ley fundamental, la deduc-ción del mismo teorema a partir de los axiomas de OXG resulta imposible. Una consecuencia importante se desprende de esto, a saber, que desde OXG no se da cuenta de la aparente disminución de peso que experimentan algunos cuerpos al ser sometidos a combustión. Solo se proporcionará una explicación para el au-mento de peso de los metales y algunos minerales (como el azufre) al ser quema-dos. Conjugando C2(OXG) y el axioma (3) incluido en la definición formal de M(OXG), donde se establece la absorción de oxígeno por parte de los cuerpos que reaccionan en la combustión, puede obtenerse un teorema en el que se ex-prese el aumento de peso experimentado por las sustancias combustibles al ser quemadas. Debe repararse en que dicho teorema contradice al segundo teorema de FLO derivado a partir de C2(FLO) y del axioma (3) perteneciente a la defi-nición formal de M(FLO). Sirva este apunte para destacar cómo el aumento de peso de los metales constituye la principal anomalía a la que se enfrentaron, sin éxito, los defensores de la teoría del flogisto, y cómo la resolución de dicha ano-malía desde la teoría del oxígeno requiere rechazar la teoría del flogisto, negando algunas de las consecuencias que se siguen de la ley fundamental de dicha teoría.

A continuación se dan las definiciones de las condiciones de ligadura de OXG, coincidentes, como ya se ha indicado, con las de FLO.

C1(OXG): para todo X: X ∈ C1(OXG) syss ∅ ≠ X ⊆ Mp(OXG) y para todo x, y ∈ X y para todo s: si s ∈ Sx ∩ Sy entonces wx (s) = w

y (s).

C2(OXG): para todo X: X ∈ C2(OXG) syss ∅ ≠ X ⊆ Mp(OXG) y para todo x, y, z ∈ X:


(a) °: S × S → S donde S := ∪ {Sx/x ∈ Mp(OXG)}

(b) para todo s ∈ Sx, s′ ∈ Sy (si s ° s′ ∈ Sz entonces wz(s ° s′ ) = wx(s) +

wy( s′ )) La condición de ligadura global de OXG sería:

GC(OXG) = C1(OXG) ∩ C2(OXG)El teorema demostrado a continuación, implicado por el axioma (3) y por C2(OXG), establece el aumento de peso de todo cuerpo sometido a combustión.

(III) Teorema: para todo ⟨c, a, t1⟩ ∈ DI(c): w(c1(c)) > w(c) Prueba: Supuesto ⟨c, a, t1⟩ ∈ DI(c)

⟨c1(c), c2(a), t2⟩ = c(⟨c, a, t1⟩) por definición de cc1(c) contiene o en t2

y c no contiene o en t1 por (3ii) w(c1(c)) = w(c) + w(o) por C2(OXG)w(c1(c)) > w(c) q.e.d.

3.5. Vínculos interteóricos de OXGEs posible identificar seis vínculos esenciales de OXG. De ellos, los relativos a S, C, w y ° son compartidos con FLO. Al tratarse de vínculos ya examinados me limitaré a indicar su procedencia, sin detenerme a analizarlos. Como ya se seña-laba en el capítulo anterior para determinar los valores de la función w se nece-sita asumir algún modelo de la mecánica clásica de partículas (CPM). Es decir, se precisa un vínculo L1 entre M(CPM) y Mp(OXG). Del mismo modo, con res-pecto a la determinación de S, se apuntaba la necesidad de recurrir a la noción de materia tal como se define en las teorías mecanicistas de Boyle y Newton, así como a la caracterización de w ofrecida en CPM. Por último, ° conserva también sus vínculos, los cuales conectan OXG con la mecánica clásica, con la teoría ca-maralista y con la teoría corpuscular de Boyle. No ha de olvidarse su dependen-cia del conocimiento ordinario, ya descrita en el capítulo anterior.

Los conceptos de aire, respiración, combustión y sustancia combustible pier-den algunos de sus vínculos con la teoría iatroquímica al igual que con la física de Boyle. No obstante, su determinación, principalmente dependiente del cono-cimiento ordinario, no variará, de modo que los cambios de creencias que justi-fican la desaparición de dichos vínculos no justifican, sin embargo, que dicha va-riación se considere como generando un cambio conceptual.

Incidiré en un par de aspectos históricos relativos a las alteraciones de los vínculos interteóricos. El primero de ellos es la evolución del concepto de aire (Brock 1992, pp. 124-127); el segundo, el papel de Boyle como impulsor de la re-volución científica y precursor del atomismo químico de Dalton. Ambos temas se hallan parcialmente vinculados, pues el aire no solo deja de considerarse como entorno para pasar a considerarse como un agregado compuesto por una varie-dad de elementos activos en la combustión, sino que también se disocia comple-tamente del estado en el que se presente. El aire deja de considerarse una sustan-


cia sui generis, meramente portadora de partículas y pasiva en el proceso de com-bustión, para pasar a considerarse, pues, como una sustancia compuesta por dife-rentes tipos de elementos, entre los que figura el oxígeno, y activa en el proceso de combustión. Los conceptos de respiración, combustión y sustancia combusti-ble, en la medida en que dependen del concepto de aire, también verán modifi-cados algunos de sus vínculos interteóricos con la teoría iatroquímica y la física de Boyle. Para la determinación de los tres conceptos, con todo, continuará sien-do fundamental el empleo del conocimiento ordinario. Los estados, en general, se disocian de los elementos, explicándose los primeros en virtud de cambios de temperatura o afinidades con otras sustancias, no a partir de principios químicos o propiedades intrínsecas de los elementos. Como resultado de ello, en la quími-ca de Lavoisier el aire se identificará con los gases (agregados de elementos), sin que se requiera que las sustancias denominadas como tales permanezcan necesa-riamente en estado gaseoso. Según lo dicho, los elementos se disocian tanto de los estados como de los principios. En consecuencia, las reacciones químicas, in-cluyendo la combustión, ya no se explicarán recurriendo a principios sino a re-laciones proporcionales entre sustancias. La desaparición efectiva de la noción de principio en química no ocurrirá hasta el surgimiento de la teoría atómica de Dalton. No obstante, los defensores de OXG harán un uso meramente nominal de tal noción, variando el significado de ‘principio’ hasta hacerlo coincidir con el de ‘elemento sistemáticamente activo en determinado tipo de reacciones’.

Si, como se ha supuesto en el capítulo anterior, se concede que las teorías fí-sicas de Boyle y Newton son imprescindibles en la determinación de w, ° y S, en-tonces el vínculo global de OXG podría definirse como la intersección de todos los vínculos interteóricos de OXG.

3.6. Elemento teórico de OXG y su aserción empíricaT(OXG) := ⟨K(OXG), I(OXG)⟩, en dondeK(OXG) := ⟨Mp(OXG), M(OXG), Mpp(OXG), GC(OXG), GL(OXG)⟩y I(OXG) ⊆ Mpp(OXG) es tal que

(1) I0 ⊆ I(OXG) donde I0 es {la combustión de sustancias inorgánicas no metálicas (madera, carbón), la calcinación del mercurio, la reducción y la composición del mercurio}

(2) todos los miembros de I(OXG) son suficientemente similares a aquellos de I0.

Formulación de la aserción empírica de OXG: las aplicaciones intencionales pue-den extenderse a un conjunto de modelos conectados entre sí por GC(OXG) que satisfacen las leyes y los vínculos interteóricos.

La aserción expresa que los miembros de I(OXG), que consisten en varias es-tructuras de sustancias S como son el aire A y las sustancias combustibles C, pue-den extenderse a estructuras de la sustancia oxígeno O. Las estructuras han de cumplir las leyes y las condiciones de ligadura. Los miembros de I(OXG) con-sistirán en una estructura de instantes temporales T, con una serie de funciones


c para determinar las reacciones de combustión, funciones w para el peso, así como ° para la agregación. Las relaciones R y Q también intervienen dando cuen-ta de los miembros de I(OXG), pues establecen conexiones entre distintas sus-tancias respectivamente en virtud de la propiedad de ser igual o menos respirable y de acuerdo con su igual o menor oxidación. En cada reacción individual o pro-ceso de combustión determinado por c, T y S (y, consecuentemente, sus subcon-juntos C, A, O) junto con las otras funciones y relaciones mencionadas, deben sa-tisfacer las leyes de OXG. Por otra parte, cada sustancia de S será extensiva en al menos un miembro de I(OXG). La ristra de funciones w debe asignar a cada sus-tancia el mismo peso en toda reacción química en I(OXG) donde intervenga.

4. Análisis de la relación de inconmensurabilidad entre FLO y OXG

En el presente apartado argumentaré en favor de la tesis, asumida por algunos es-tructuralistas, de que toda noción coherente de inconmensurabilidad implica la de reducción aplicativa (Díez & Moulines 1997/1999, p. 459), e incluso, la de reducción ontológica, aunque propondré una versión modificada de esta, que no presuponga la de reducción teórica. Repárese en que, si la inconmensurabilidad se presenta como incompatible con cualquier tipo de relación de reducción, se debería entonces disponer de recursos alternativos a la reducción para darle sen-tido a la afirmación de que teorías inconmensurables no reducibles de ninguna manera dan cuenta, no obstante, del mismo ámbito de realidad. Sin embargo, no ha habido una propuesta suficientemente desarrollada, en este sentido, por parte de los defensores de la tesis de la inconmensurabilidad.

El episodio de inconmensurabilidad reconstruido en este trabajo mostrará la posibilidad de aplicar una reducción aplicativa u ontológica débil entre teo-rías inconmensurables, aun cuando la reducción exacta, aproximativa u onto-lógica tout court no sean aplicables. La noción de reducción ontológica débil o aplicativa no presupone el cumplimiento de las condiciones para una reducción estricta o teórica, sino solo el de las condiciones para una correspondencia en-tre [cierto subconjunto especialmente relevante de] las aplicaciones pretendidas de las teorías, cuyos dominios habrían de ser compartidos o correlacionables con estructuras relacionales de la otra teoría. La propuesta de este tipo de re-ducción responde, en parte, a consideraciones metodológicas (como es garan-tizar una noción coherente de inconmensurabilidad) y, en parte, al reconoci-miento de la evidencia metateórica disponible (derivada del estudio de teorías inconmensurables).15

15 La literatura relevante a este respecto aparece citada en Moulines (1984, pp. 69-70). Allí se mencionan nu-merosos pares de teorías entre las que se da una relación de reducción ontológica, siendo plausible suponer que ella implicaría alguna suerte de traducción entre dichas teorías en el ámbito de modelos potenciales par-ciales (al menos para el caso de la reducción ontológica homogénea, que se expondrá más adelante). Algunos


La postura que mantendré puede sintetizarse en términos acuñados por Steg-müller (y empleados también por Moulines), diciendo que la inconmensurabili-dad aquí contemplada será la teórica y no la empírica (Stegmüller 1979, § 11, y Moulines 1982, p. 207). Es decir, la relación de inconmensurabilidad afectará a la clase de los modelos potenciales de las teorías involucradas, sin extenderse a la clase de los modelos potenciales parciales (esto es, las estructuras que determinan las aplicaciones intencionales de las teorías). Esta última clase constituirá un ám-bito susceptible de reducción.

4.1. Relación de inconmensurabilidad teórica entre FLO y OXG

Reproduciré, a continuación, la definición de inconmensurabilidad dada por J. A. Díez y C.U. Moulines en una obra reciente en la que se presentan algunos nuevos desarrollos del programa estructuralista.16

Sean N, N* dos redes teóricas distintas. Diremos que N es suplantable (incon-mensurablemente) por N* syss existen una relación ρ ⊆ *

pM × Mp y un conjunto no-vacío Ia tales que:

(1) ρ no es efectivamente calculable.(2) ρe es función, es efectivamente calculable y Rec(ρe) = Mpp.(3) No existen n conjuntos no vacíos *

1M , …, *nM incluidos en *

0M tales que ρ[ *

1M ∪ … ∪ *nM ] ⊆≈ M0.

(4) (i) Ia ⊆ I0 ∩ ρe[*0I ] y (ii) para todo y ∈ Ia (y ∈ r[ *

0M ] ∧ y ∉ r[M0]). (Díez & Moulines 1997/1999, p. 459)

Al explicar la definición formal precedente, ambos autores inciden en un aspec-to de máximo interés. Se trata de la distinción entre dos factores de inconmen-surabilidad: uno, conceptual (referido en la condición (1), que afecta a los mode-los potenciales y, por tanto, los aparatos conceptuales de las respectivas teorías) y otro, proposicional (referido en la condición (3), que afecta a los modelos actua-les y, por consiguiente, a las leyes de las respectivas teorías). El primero determi-na la imposibilidad de establecer una correlación sistemática entre los modelos potenciales (y, por tanto, entre los conceptos básicos) de las dos teorías. El segun-

de los pares de teorías aludidos son los siguientes: la teoría planetaria de Kepler y la mecánica newtoniana de partículas, la óptica geométrica y la óptica ondulatoria, la termodinámica simple de los gases y la teoría cinéti-ca del gas, la mecánica newtoniana de partículas y la mecánica cuántica, la genética mendeliana y la biología molecular (véase Moulines 1984, pp. 61-62).

16 La definición de suplantación teórica con inconmensurabilidad se establece en Díez & Moulines (1997/1999, pp. 456-460). La razón por la que no se reproduce aquí la definición de inconmensurabilidad dada en Bal-zer, Moulines & Sneed (1987, pp. 306-320), tiene que ver con su menor interés para el análisis de este caso particular. En el presente estudio de caso se precisa de una definición de inconmensurabilidad que pueda ser independiente de la de reducción teórica y, de este modo, se ajuste a todos los casos posibles de inconmen-surabilidad, entre ellos los no susceptibles de reducción teórica, como el aquí tratado. Disponemos de una propuesta estructuralista más reciente y adecuada para definir la relación de inconmensurabilidad. Su carác-ter más global permite sustituir condiciones muy concretas pero poco esclarecedoras para el presente caso por otras más generales y reveladoras. En particular, posibilita prescindir del prerrequisito de la relación de reducción, recurriendo a la relación T-no-teórica ρ

e para establecer una conexión suficientemente significati-

va entre las teorías.


do determina la imposibilidad de deducir las leyes fundamentales de la teoría su-plantada a partir de las leyes de la suplantadora. Por otra parte, las condiciones (2) y (4) dan cuenta del carácter parcial de la inconmensurabilidad (o del grado de conmensurabilidad que implica), atendiendo, igualmente, a los dos factores citados. En (2) se determina la posibilidad de correlacionar sistemáticamente los modelos potenciales parciales (y, en consecuencia, los conceptos T-no-teóricos bá-sicos) de cada teoría. Finalmente, (4) determina que el conjunto de anomalías de la teoría suplantada forme parte del conjunto de aplicaciones intencionales de ambas teorías, y que tales anomalías no sean subsumibles bajo las leyes de la teo-ría suplantada pero sí lo sean bajo las leyes de la teoría suplantadora.

Para demostrar que la relación entre FLO y OXG cumple la condición (1) es necesario demostrar que dicha relación no satisface la definición de reduc-ción exacta. Atendamos, pues, primeramente, a las seis condiciones constitutivas de la definición de reducción establecidas en el programa estructuralista (Balzer, Moulines & Sneed 1987, pp. 275-279). En primer lugar, se establece la condi-ción de derivabilidad (D) de las leyes de la teoría reducida T a partir de las leyes de la teoría reductora ′T y a través de la mediación de ρ. En segundo lugar, se requiere que la reducción sea compatible (C) con las condiciones de ligadura de las dos teorías. Una tercera condición es la compatibilidad (L) de la reducción con los vínculos de ambas teorías. La cuarta condición exige que cada modelo potencial de T se halle relacionado (sea traducible) (T) mediante la reducción con algún modelo potencial de ′T . En quinto lugar, se requiere la independen-cia (I), con respecto a la definición de ρ, de la derivación expresada en (D). Por último, como sexta condición se establece la conexión (IA) entre las aplicaciones intencionales de las dos teorías.

Reproduciré ahora (en castellano) la definición formal de reducción propues-ta en el programa estructuralista:

Si T y ′T son elementos-teóricos idealizados, entonces ρ reduce directamente T a ′T ( ′T ρ T) syss

(1) ρ ⊆ ′pM × Mp(2) DII(ρ) = Mp(T)(3) para todo x′ , x: si ⟨ x′ , x⟩ ∈ ρ y x′ ∈ ′M , entonces x ∈ M(D)(4) para todo X ′ ⊆ DI(ρ): si X ′ ∈ ′GC entonces ρ( X ′ ) ∈ GC(C)(5) para todo x′ , x: si x′ ∈ ′GL y ⟨ x′ , x⟩ ∈ ρ entonces x ∈ GL(L)(6) para todo y ∈ I hay algún y′ ∈ ′I tal que ⟨ y′ , y⟩ ∈ ρ

e(IA)

Fijémonos ahora en las dificultades que la definición estructuralista de reducción presenta en su aplicación al presente caso, donde quedará patente la imposibi-lidad de calcular la relación de reducción entre FLO y OXG. En primer lugar, el cumplimiento de la condición (3) es incompatible con el cumplimiento de la condición (4). La intervención del flogisto en la combustión, necesaria para el cumplimiento de (3), comporta consecuencias incompatibles con la intervención del oxígeno en el mismo fenómeno, ya que la condición de ligadura C2(OXG) de la extensividad del peso, necesaria para que se cumpla (4), comporta que en


un caso la sustancia combustible disminuya de peso y, en el otro, que la misma sustancia aumente de peso. El marco conceptual donde el oxígeno es la sustancia principalmente activa en el proceso de combustión, reconocible por ser absorbi-da por las sustancias que son sometidas a dicho proceso, y donde estas, a causa de C2(OXG), habrán de aumentar de peso, resulta incompatible con aquel otro en el que la sustancia principalmente activa en la combustión es el flogisto, reco-nocible por ser emitido por las sustancias que se sometan a dicho proceso y don-de estas, a causa de C2(FLO), habrán de disminuir de peso. Incongruencias simi-lares surgirían al tratar de determinar desde OXG el concepto derivado desflogis-tistización, perteneciente a FLO. Por las razones expuestas, las condiciones (3) y (4) no pueden satisfacerse conjuntamente y, puesto que ambas son condiciones necesarias para la reducción exacta, puede concluirse ya que esta no se dará. Demostración:

Supongamos que (3) para todo x′ , x: si ⟨ x′ , x⟩ ∈ ρ y x′ ∈ M(OXG), entonces x ∈ M(FLO), y (4) para todo X ′ ⊆ DI(ρ): si X ′ ∈ GC(OXG), entonces ρ( X ′ ) ∈ GC(FLO)

(4) para todo X ′ ⊆ DI(ρ): si X ′ ∈ GC(OXG), entonces ρ( X ′ ) ∈ GC(FLO)Supongamos que X ′ ∈ GC(OXG) para todo X ′ si X ′ ∈ GC(OXG) entonces para todo s ∈ Sx′ , s′ ∈ Sy′ (si s ° s′ ∈ Sz′ entonces wz′(s ° s′ ) = wx′(s) + wy′(s′ )), por definición de C2(OXG) y de GC(OXG)para todo ⟨c, a, t1⟩ ∈ DI(c): w(c1(c)) > w(c), Teorema (III) de OXGpara todo X si X ∈ GC(FLO), entonces para todo s ∈ Sx, s′ ∈ Sy (si s ° s′ ∈ Sz entonces wz(s ° s′ ) = wx(s) + wy(s′)), por definición de C2(FLO) y de GC(FLO)para todo ⟨c, a, t1⟩ ∈ DI(c): w(c1(c)) < w(c), Teorema (III) de FLOpara todo ⟨c, a, t1⟩ ∈ DI(c): w(c1(c)) < w(c) y para todo ⟨c, a, t1⟩ ∈ DI(c): no w(c1(c)) < w(c)no es el caso que ρ(X ′) ∈ GC(FLO)Si X ′ ∈ GC(OXG), entonces no es el caso que ρ( X ′ ) ∈ GC(FLO)para todo X ′ ⊆ DI(ρ): si X ′ ∈ GC(OXG), entonces ρ(X ′) ∈ GC(FLO) y Si X′ ∈ GC(OXG), entonces no es el caso que ρ( X ′ ) ∈ GC(FLO)No es el caso que (3) para todo x′ , x: si ⟨ x′ , x⟩ ∈ ρ y x′ ∈ M(OXG), entonces x ∈ M(FLO), y (4) para todo X ′ ⊆ DI(ρ): si X ′ ∈ GC(OXG), entonces ρ( X ′ ) ∈ GC(FLO), por absurdo.

No se cumple, tampoco, la condición (6), dado que hay aplicaciones intencio-nales exitosas de FLO que se pierden en la transición a OXG, aunque se re-cuperen más adelante en el desarrollo de la química. A pesar de que la condi-ción que establece la conexión (IA) entre las aplicaciones intencionales de las dos teorías no es satisfecha en una interpretación literal, sí lo es en una versión más restringida en donde I e ′I se sustituyan, según corresponda, por Ia, (con-


junto de anomalías de que adolece la teoría del flogisto), I0′ (conjunto de apli-caciones paradigmáticas de la teoría del flogisto) y I0′ (conjunto de aplicaciones paradigmáticas de la teoría del oxígeno). En efecto, aunque no para cada apli-cación exitosa de FLO existe la correspondiente aplicación exitosa en OXG (re-cuérdese, por ejemplo, la combustión del hidrógeno), es el caso que existe un conjunto formado por aplicaciones pretendidas de ambas teorías tal que dichas aplicaciones no son subsumibles bajo las leyes de FLO y sí lo son bajo las de OXG. Expresada formalmente, la nueva versión de la condición (IA) sería la siguiente:17

Ia ⊆ I0 ∩ ρe[I0′ ] y para todo y ∈ Ia (y ∈ r[M0′ ] ∧ y ∉ r[M0]);

donde ‘r’ representa la función de “recorte” de conceptos T-teóricos, que asigna modelos potenciales parciales a modelos potenciales o actuales constituidos aña-diendo conceptos T-teóricos a dichos modelos potenciales parciales.

Tras revisar qué condiciones definitorias de la reducción exacta cumple la re-lación entre FLO y OXG y cuáles incumple, se comprueba que solo es satisfecha la última condición (IA), aquella que involucra principalmente a las aplicaciones intencionales y, por tanto, al marco conceptual T-no-teórico (Mpp) común a am-bas teorías en el que se caracterizan tales aplicaciones intencionales, entre ellas, las anomalías de FLO resueltas en OXG. En conclusión, la relación entre FLO y OXG no se adecua a una relación de reducción exacta, dado que no cumple cinco de las seis condiciones necesarias para esta, pero, al satisfacer la condición (IA), sí se adecua a un nuevo tipo de reducción ontológica, de carácter débil o aplicativo (que se caracterizará a continuación), y satisface una de las dos condi-ciones generales de la reducción exacta, a saber, la resolución de anomalías de la teoría que pretende reducirse. La irreductibilidad se debe, en consecuencia, al in-cumplimiento de la otra condición general de la reducción exacta, la derivabili-dad de las leyes de la teoría que pretende reducirse a partir de las leyes de la teo-ría que se pretende reductora.

La condición (2) del definiens de la relación de inconmensurabilidad se cum-ple pues, como se sigue de las definiciones de Mpp(FLO) y de Mpp(OXG), a cada modelo parcial de OXG (que interviene en la relación de reducción), le corres-ponde un modelo parcial de FLO hasta agotar el dominio de los modelos parcia-les de FLO. Más aún, como hemos visto, cada modelo parcial de OXG se identi-fica con un modelo parcial de FLO.

Se cumple, asimismo, la condición (3) del definiens de la relación de incon-mensurabilidad, ya que la correlación entre modelos actuales en imposible en to-dos los casos, debido a que la aplicación de las leyes y la satisfacción de las condi-ciones de ligadura en ambas teorías es incompatible. Es decir, la aplicación de las leyes y la satisfacción de las condiciones de ligadura en una teoría son incompati-bles con la aplicación de las leyes y la satisfacción de las condiciones de ligadura en la otra teoría. La deducibilidad de las leyes de la teoría suplantada a partir de

17 Como se reiterará más adelante, esta condición se presenta en Díez & Moulines (1997/1999, p. 459), como una de las condiciones definitorias de la relación de inconmensurabilidad.


las leyes de la teoría suplantadora es imposible en todos los casos dado el alcance general de dicha incompatibilidad.

Finalmente, se cumple también la condición (4) del definiens de la relación de inconmensurabilidad, puesto que el conjunto (interesante) de anomalías de la teoría suplantada contiene anomalías subsumibles bajo las leyes de la teoría su-plantadora (y no bajo las de la teoría suplantada). Cualquier ejemplo de calcina-ción de metales constituye un caso en el que se cumple lo anterior.

4.2. Conmensurabilidad empírica y reducción ontológica débil entre FLO y OXG

Volviendo a la cuestión de la conmensurabilidad empírica entre teorías teórica-mente inconmensurables, cabe preguntarse por los tipos de relaciones interteóri-cas globales en las que ella se plasma en el presente caso.

En primer lugar, la convergencia empírica entre ambas teorías queda paten-te en su convergencia en la aproximación preteórica o las presuposiciones teóri-cas. Como se establece en su definición, la relación interteórica de teorización se caracteriza por la presencia de un tipo especial de vínculos determinantes, como son los vínculos interpretativos (Balzer, Moulines & Sneed 1987, pp. 250-251, 278-279). La existencia de vínculos determinantes entre la teoría teorizada y la que teoriza constituye una condición presupuesta que ha de cumplirse para ga-rantizar la presencia de vínculos interpretativos. Estos, por otra parte, deben sa-tisfacer los requisitos de que los vínculos determinantes desemboquen siempre en modelos actuales de la teoría precedente (o subyacente) y de que no sean “re-versibles”, esto es, que no impliquen otro vínculo determinante en sentido in-verso. La determinación semántica de los términos FLO-no-teóricos y OXG-no-teóricos, ya sea referencial o definicional, presupone la aceptación de las leyes de teorías que subyacen a ambos elementos teóricos. Dado que FLO y OXG com-parten todos sus conceptos no teóricos, las teorías presupuestas en su determina-ción o interpretación serán las mismas. La teoría del flogisto y la del oxígeno co-inciden, por tanto, en teorizar (o, al menos, presuponer) las mismas teorías de la materia, la respiración y la composición.

En segundo lugar, ambas teorías son reducibles aplicativamente o mediante una reducción ontológica débil, como se verá un poco más adelante. Téngase en cuenta, primero, que, tal y como Moulines explicita, la estructura conformada a partir de los términos T-no-teóricos constituye el “mundo exterior” a T, mien-tras que la estructura correspondiente a los términos T-teóricos puede concebirse como el aparato específico de T para “ver el mundo” (Moulines 1991, p. 277). El primer tipo de subestructura se considerará como un modelo potencial par-cial de T y jugará un papel decisivo en la interpretación y aplicación empíricas del modelo potencial en el que se incluya. Con carácter más general, la clase de los modelos potenciales parciales se identifica con la base de contrastación empí-rica o aplicación empírica de T, denominando al subconjunto relevante de ellos “aplicaciones intencionales” de T. Por lo que respecta a FLO y OXG, y como se desprende de lo establecido anteriormente, ambas serían teorizaciones de la físi-


ca de Boyle y de la de Newton (necesarias para determinar el dominio de las sus-tancias y las funciones de agregación y peso), al tiempo que de la iatroquímica y de la química boyleana (imprescindibles en la interpretación del dominio de las sustancias aire, la función de combustión y la relación de respirabilidad). Asimis-mo, a tenor de lo dicho, las subestructuras de FLO y OXG configuradas a par-tir de los términos no teóricos compartidos ‘sustancia’, ‘sustancia’ ‘combustible’, ‘aire’, ‘agregación’, ‘peso’, ‘aire’, ‘combustión’ y ‘respirabilidad’ conforman el vo-cabulario en el que se caracterizarían los modelos potenciales parciales comunes de ambas teorías, y, por ello, necesariamente intervendrían en la caracterización de la base de contrastación compartida.

La noción de reducción ontológica fue introducida en el contexto metateóri-co estructuralista por C.U. Moulines, con objeto de enriquecer el esquema de re-ducción exacta, que ha sido reproducido en el apartado anterior. En tal esquema se obviaría, a su juicio, el aspecto ontológico inherente a nuestra intuición acerca de la reducción. Moulines explica su propuesta en el artículo “Ontological Reduc-tion in the Natural Sciences” (Moulines 1984), así como en el epígrafe III.3.6. de Pluralidad y recursión, “Conexiones ontológicas en la reducción de teorías” (Mouli-nes 1991, pp. 264-274). Ella también entra en juego, aunque de forma implícita, en la definición de inconmensurabilidad dada dentro del programa estructuralista (Balzer, Moulines & Sneed 1987, pp. 317-320). El interés de la noción de reduc-ción ontológica radica, pues, en que permite identificar la relación entre los domi-nios de las respectivas teorías, asegurando así que la relación teórica de reducción que se establezca entre estas nos dé información acerca del mundo, de lo empírico.

La noción de reducción ontológica es de gran relevancia para el tratamien-to del problema de la inconmensurabilidad, ya que permite concebir un nuevo tipo de reducción ontológica, de carácter aplicativo, que esclarezca ciertos aspec-tos de dicho problema. Es necesario comenzar por señalar que la reconstrucción de la correspondencia entre dominios característica de la reducción ontológica puede emplearse no solo para comprobar la adecuación empírica de la reducción interteórica, sino también con la finalidad de determinar la conexión empírica entre teorías que mantengan una relación interteórica distinta a la de reducción teórica. Por ejemplo, puede hacerse uso de ella para examinar el tipo y grado de conexión empírica existente entre teorías inconmensurables a nivel teórico. Este será, de hecho, el propósito del análisis que se ofrece a continuación, en el que se mostrará cómo la relación entre FLO y OXG cae bajo la definición de un nuevo tipo de reducción ontológica y, en consecuencia, cómo la inconmensura-bilidad teórica (asociada a irreducibilidad teórica) conlleva conmensurabilidad empírica (asociada a reducción ontológica).

Fijémonos en la formalización de la relación entre los dominios básicos rea-lizada por C.U. Moulines. Dado que la relación estructural entre los conjuntos básicos de diferentes teorías podrá alcanzar un alto grado de complejidad y que, además, comporta consecuencias directas para la relación estructural entre las respectivas relaciones y funciones tipificadas sobre dichos conjuntos básicos, con-viene recordar primero la forma de las tipificaciones. Estas indicarán qué clase de


argumentos toman las funciones o a qué clase de relatos se aplican las relaciones; lo harán estableciendo un procedimiento para construir los conjuntos correspon-dientes a tales funciones o relaciones a partir de conjuntos previamente dados, sobre los que se aplican repetidamente las operaciones conjuntistas de conjunto potencia y producto cartesiano (Balzer, Moulines & Sneed 1987, pp. 6-7).

Siendo T y ′T dos teorías relacionadas mediante reducción, cada uno de sus respectivos modelos potenciales tendrán la forma:

x = ⟨D1,…, Dn, A1,…, Am, r1,…, rp⟩ yx′ = ⟨D1′ ,..., Dv′′ ,..., A1′ ,..., Dw′′ , r1′ ,..., rz′′⟩

Di (o Di′) son los conjuntos básicos, Ai (o Ai′) los conjuntos básicos auxiliares, y ri (o ri′) las funciones o relaciones que constituyen el modelo potencial. Para cada ri habrá una tipificación τ

i permitiendo establecer que:

ri ∈ τi(Di1,…, Dih, Aj1,…, Ajk)donde {Di1,…, Dih} ⊆ {D1,…, Dn} y{Aj1,…, Ajk} ⊆ {A1,…, Am}(y análogamente para cada ri′ en ′T ).

Se dirá que ρ ⊆ ′pM × Mp es un vínculo reductivo ontológico entre ′T y T si, además de satisfacer la definición formal de reducción, “está compuesto en parte al menos de una conexión entre algunos de los Di y algunos de los iD ′ y quizás también algunos de los Aj′” (Moulines 1991, p. 266). Estos últimos no se tendrán en cuenta en la definición formal debido a que pertenecen al ámbito de la matemática y no son específicos de las teorías empíricas. Apoyándose en una distinción informal de M. Spector entre reducción preservadora de dominio y re-ducción con eliminación de dominio (Spector 1978), Moulines establece una dis-tinción formal entre reducción ontológica homogénea y reducción ontológica he-terogénea. Ambos tipos corresponden a dos formas generales en las que pueden relacionarse los dominios de teorías distintas vinculadas reductivamente. Si los conjuntos básicos de la teoría reducida se relacionan por medio de una identi-dad total o parcial (inclusión propia) con los de la teoría reductora, las teorías se considerarán conectadas mediante una relación de reducción ontológica homo-génea. Mientras que, si alguno de los conjuntos básicos de la teoría reducida se relaciona con alguno/s de la teoría reductora de modo tal que no implica identi-ficación de elementos sino correspondencia biunívoca entre dominios, las teorías se estimarán relacionadas por medio de una reducción ontológica heterogénea. Las teorías conectadas mediante ambos tipos de vínculos de reducción ontológi-ca mantendrían una relación de reducción ontológica mixta. Veamos la defini-ción formal del primer tipo de reducción, aquella relevante para el presente caso.

Si T es reducible a ′T por medio de ρ, entonces: ρ es un vínculo reductivo (on-tológico) homogéneo de T a ′T syss:Para todo x ∈ ′pM Mp, x′ ∈ Mp′, si ρ( x′ ) = x, entonces hay algún i, j ∈ ℕ tal que Di[x] es un conjunto básico de x, Dj[x′] es un conjunto básico de x′ , y D

i[x] ⊆ Dj[x′]


Siendo las teorías del flogisto y del oxígeno no-reducibles, resulta obvio que la condición presupuesta en las dos definiciones anteriores, la reducibilidad entre ambas teorías, no se cumplirá. Sin embargo, dejando aparte ese punto, tiene to-davía sentido preguntarse por la satisfacción o no del resto de las condiciones de-finicionales, aquellas directamente expresadas en las condiciones. Como se ha puesto de relieve anteriormente, al demostrar que entre FLO y OXG no se daba una relación de reducción estricta ρ, entre ambas teorías se da, no obstante, un tipo especial de relación reducción (representable mediante ‘ρ

a’) al nivel de sus

respectivas clases de aplicaciones intencionales paradigmáticas. Si en la defini-ción de reducción ontológica se sustituye la precondición de que se dé una re-lación ρ por otra que establezca que ha de darse una relación ρ

a, se conseguiría

establecer un nuevo tipo de relación de reducción ontológica. Para definir este nuevo tipo de relación es necesario, pues, definir primero la relación ρ

a, de la

que depende el carácter novedoso de aquél. Si T y ′T son dos elementos teóricos idealizados, entonces ρa reduce débil o

aplicativamente T a ′T ( ′T ρaT) syss existen una relación ρ

e ⊆ ′ppM × Mpp y un

conjunto no-vacío Ia tales que:(1) ρ

e es función, es efectivamente calculable y para todo y, y’: si ⟨y', y⟩ ∈ ρ

e

entonces y′ = y (2) (i) Ia ⊆ I0 ∩ ρ

e[I0′] y (ii) para todo y ∈ Ia (y ∈ r[M0′] ∧ y ∉ r[M0])”.

La relación entre FLO y OXG cumple la condición (1) en virtud de las definicio-nes de las clases de los modelos potenciales parciales de sendas teorías. El cumpli-miento de la condición (2) por dicha relación ya ha sido comentada en el aparta-do anterior.

Comprobemos ahora que ρa es un vínculo reductivo (ontológico) débil homogéneo

de FLO a OXG.Tenemos que FLO es reducible a OXG por medio de ρ

a, por las definiciones

de Mpp(FLO) y Mpp(OXG), así como por el análisis de la relación entre las clases de aplicaciones intencionales de ambas teorías previamente desarrollado

y que para todo y ∈ Mpp(FLO), y′ ∈ Mpp(OXG), si ρa( y′) = y,

entonces hay un S, S ′ tal queS(y) es un conjunto básico de y, S ′ ( y′) es un conjunto básico de y′, y S(y) = S ′(y′), por las definiciones de Mpp(FLO) y Mpp(OXG)Asimismo, tenemos que FLO es reducible a OXG por medio de ρ

a

y que para todo y ∈ Mpp(FLO), y′ ∈ Mpp(OXG), si ρa( y′ ) = y,

entonces hay un T, T ′ tales queT(y) es un conjunto básico de y, T ′( y′) es un conjunto básico de y′, y T(y) = T ′(y′) , por las definiciones de Mpp(FLO) y Mpp(OXG)

Se cumplen pues, para OXGρaFLO, todas las condiciones del definiens de la re-

ducción ontológica homogénea. Todos los conjuntos básicos de FLO, a saber, S y T, se hallan vinculados homogéneamente con los conjuntos básicos de OXG, S ′ y T ′ .


El hecho de que la situación sea diferente para alguno de los conjuntos o dominios derivados se debe a que alguno de ellos depende de conceptos T-teó-ricos, para los cuales no existe, ni puede existir, equivalente en la otra teoría. Concretamente, me refiero a los dominios F de FLO y O de OXG. No ocurre tan solo que F no resulte identificable con ningún conjunto o subconjunto de-rivado de OXG ni correlacionable con ninguna tipificación de OXG, sino tam-bién que cualquier intento de identificación o correlación semejante por me-dio de alguna modificación en OXG conduciría a incompatibilidades dentro de la propia teoría. La irreductibilidad ontológica de los conjuntos derivados F y O, ambos dependientes de conceptos T-teóricos con implicaciones incompa-tibles, manifiesta uno de los rasgos definitorios de la inconmensurabilidad en-tre la teoría del flogisto y la teoría del oxígeno. Por lo que respecta al resto de los dominios derivados, A y C se encuentran homogéneamente vinculados con A′ y C′ .

4.3. Resolución de anomalías y progreso científico de FLO a OXG

En tanto que relación comparativa o gradual, conmensurable por lo que respecta a las subestructuras de los modelos potenciales (Mpp, I), la inconmensurabilidad permite comparar el éxito de ambas teorías a partir de las aplicaciones intencio-nales compartidas que constituyen anomalías en FLO (consistentes en el aumen-to de peso de ciertas sustancias al ser quemadas) y no así en OXG. Luego existe un procedimiento objetivo (interteórico) para comparar el mayor o menor éxito de la teoría del oxígeno relativamente a la teoría del flogisto. La explicación del progreso científico en virtud de la relación entre las aplicaciones intencionales de las teorías rivales es desarrollada en detalle por C.U. Moulines, en su artícu-lo “Is There Genuinely Scientific Progress?” (Moulines 2000). El autor argumen-ta que la tesis de la inconmensurabilidad, así como aquella de la carga teórica que la acompaña, es compatible con la comparabilidad epistemológica en el ni-vel de las aplicaciones intencionales, a la vez que con el progreso científico, eva-luable a partir de dicha comparabilidad. Este, sin embargo, no se entendería ya como un saber más acerca de las mismas cosas, lo que presupondría una concep-ción conceptualmente lineal y veritativamente acumulativa del desarrollo cientí-fico que presentaría las teorías como conjuntos de enunciados referidos a cosas, sino como un saber más sobre algunos subdominios idénticos u homomorfos de aplicaciones intencionales paradigmáticas de especial relevancia epistemológica o pragmática. Esta concepción del progreso científico admite que se produzcan dis-continuidades conceptuales o cambios parciales en los universos de discurso de las teorías en competencia, pero también exige una mínima continuidad entre al-gunos de ellos. Del mismo modo, la discontinuidad conceptual no permite pen-sar en una acumulación de verdades ligada a la transición entre teorías, aunque sí en una acumulación de problemas resueltos (o de problemas especialmente in-teresantes resueltos). Desde el estructuralismo se afirma la existencia de un crite-


rio epistémico-pragmático interteórico para priorizar ciertas aplicaciones intencio-nales cuya posible extensión a los modelos resulte de especial interés en ese senti-do. Lo dicho se corresponde con la condición (4) (i) de la segunda definición de inconmensurabilidad citada. El saber más acerca de las mismas cosas se sustituye por un saber mejor cómo solucionar los mismos problemas. El carácter altamen-te pragmático de las aplicaciones intencionales refuerza esta idea. La posibilidad de extender más aplicaciones intencionales o, simplemente, aplicaciones más in-teresantes, a los modelos de una teoría equivale a poder resolver más problemas (epistémico-pragmáticos) o problemas más interesantes. Moulines formaliza este último aspecto, más cuantitativo, del progreso científico del siguiente modo:

S =: I ∩ r(M),18

donde ‘S’ es el éxito de una teoría, I su clase de aplicaciones intencionales y r(M) la clase de los modelos potenciales parciales que forman parte de sus mode-los. El éxito de una teoría se define, pues, en virtud de aquellas aplicaciones in-tencionales efectivamente extendibles a modelos de la teoría a la que pertenecen.

Para comparar el éxito de dos teorías rivales aplicando la definición anterior, estas tendrán que compartir al menos parte de sus aplicaciones pretendidas y, en consecuencia, de sus modelos potenciales parciales; ya que, de lo contrario, am-bas teorías no podrían ser comparadas con respecto a la misma propiedad, esto es, su éxito en la aplicación de la teoría a los mismos fenómenos. Al compartir I y Mpp, FLO y OXG comparten el tipo de propiedad requerida para examinar el mayor o menor éxito de una de ellas con respecto a la otra. A pesar de que se precisarán varias décadas para la demostración experimental del mayor éxito de la teoría del oxígeno con respecto al de la teoría del flogisto, lo cierto es que en la primera existen muchas más aplicaciones paradigmáticas extendibles a mode-los que en la segunda. Ejemplo de ello son todos los casos de calcinación de los metales. Expresado formalmente:

S[FLO] ⊆ S[OXG].De lo dicho hasta aquí se infiere que la decisión entre teorías científicas se rige por un criterio racional de éxito (resolución de ciertos problemas cognoscitivos y/o pragmáticos); es decir, que dicho criterio interteórico permite la determina-ción y la comparación del progreso científico entre teorías inconmensurables (T-no-teóricamente conmensurables). Se refuta, de este modo, la idea de que la tesis de la inconmensurabilidad va ligada a la defensa del irracionalismo en la evalua-ción de teorías, así como a un relativismo teórico absoluto.

5. ConclusionesSubrayaré, a continuación, los tres principales resultados que el estudio de caso presentado ha permitido alcanzar:

18 Moulines ofrece una formalización relativa a redes teóricas (Moulines 2000, p. 190), la presentada aquí, rela-tiva a elementos teóricos, supone una versión simplificada de aquella.


1) La aportación de un ejemplo en favor de la tesis de que existen teorías local-mente inconmensurables, más en particular, teóricamente inconmensurables pero empíricamente conmensurables.

2) La demostración de la irreducibilidad estricta entre sendas teorías dada la in-compatibilidad entre el cumplimiento de la condición de deducibilidad y el de la condición de mantenimiento de las condiciones de ligadura.

3) La posibilidad de reducción aplicativa y ontológica débil homogénea entre las dos teorías y, en consecuencia, la determinación del factor clave para explicar la objetividad del progreso que supone la transición entre teorías inconmensu-rables.

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De las redes teóricas a las constelaciones de elementos teóricos | 167

De las redes teóricas a las constelaciones de elementos teóricos: las prácticas científicas

en la Ecología de Poblaciones*

ResumenLa metateoría estructuralista concibe las teorías científicas como redes formadas por elemen-tos teóricos que poseen la misma estructura conceptual y están interconectados por relaciones de especialización. Además, postula que gran parte de la práctica científica tiene como fin con-cretar el elemento básico de estas redes añadiéndoles elementos más especializados. Así, pues, concibe el núcleo básico de elementos de una teoría como el paradigma que guía su evolución y la práctica científica normal como la adición, a redes preexistentes, de nuevos elementos teó-ricos. En el artículo se propone que, en la ecología de poblaciones, el patrón de la actividad científica es diferente, pues es habitual el uso conjunto de elementos de distintas redes. Se in-troduce la noción de “constelación teórica” para dar cuenta de estas prácticas científicas de in-tegración, en una misma unidad epistémica, de elementos teóricos de redes distintas.Palabras clave: redes teóricas - constelaciones teóricas - metateoría estructuralista - ecología de poblaciones - prácticas científicas

AbstractThe structuralist metatheory conceives scientific theories as networks consisting of theory-elements that have the same conceptual structures and are connected by specialization rela-tions. Moreover, the structuralist Ansatz postulates that a considerable part of scientific prac-tice aims at elaborating the basic elements of such nets by adding more specialized theory-elements. Thereby structuralism considers the core elements of a theory as a paradigm that guides its further evolution, and the normal practice of a theory is conceived as the addition of new theory-elements to already existing nets. The basic thesis of this paper contends that the pattern of scientific activity in population ecology is different, since it is common to use

* Recibido: 14 Enero 2011. Aceptado en versión revisada: 21 Marzo 2011.† Departamento de Lógica y Filosofía de la Ciencia, Universidad del País Vasco/Euskal Herriko Unibertsita-

tea (UPV/EHU). Para contactar a los autores, por favor escriba a: [email protected], [email protected].

‡ Agradecemos a dos revisores anónimos de Metatheoria, así como a los participantes en el VII Encuentro Ibe-roamericano de Metateoría Estructuralista, y especialmente a Diego Méndez, sus comentarios críticos y suge-rencias a versiones previas de esta contribución. El trabajo se ha desarrollado parcialmente en el marco del proyecto de investigación “Modelos y representación en ciencias formales y fácticas. Análisis históricos y conceptuales” (PICTR2006, Nº 2007), financiado por la Agencia Nacional de Promoción Científica y Tec-nológica de la República Argentina.Metatheoria 1(2)(2011): 167-194. ISSN 1853-2322.


Andoni Ibarra / Jon Larrañaga†‡

From Theory-Nets to Constellations of Theory-Elements: Scientific Practices in Population Ecology

168 | Andoni Ibarra / Jon Larrañaga

theory-elements from distinct nets. In order to take into account these practices the concept of “theoretical constellation” is introduced intending to capture the idea of an epistemic uni-fication of theory-elements that come from different nets.Keywords: theory-nets - theoretical constellations - structuralist metatheory - population ecology - scientific practices

1. IntroducciónLa ecología de poblaciones estudia el modo en que diversos factores (la compe-tencia, la depredación, las migraciones, la distribución espacial y temporal de los recursos, etc.) hacen que el tamaño de las poblaciones cambie. Este estudio se ha visto fuertemente condicionado por el hecho de que las poblaciones son sis-temas muy complejos en cuyas dinámicas influyen muchos y muy diversos facto-res y se ha basado, fundamentalmente, en la construcción, análisis y puesta en común de elementos teóricos de muy diferentes características. Ante la compleji-dad de los sistemas ecológicos y para evitar los problemas asociados a la excesiva complejidad de los elementos teóricos, los ecólogos han abandonado la preten-sión de construir elementos teóricos que incluyan a estos factores de manera ex-haustiva. En su lugar, han optado por una aproximación pluralista, en la que se utilizan elementos teóricos o representaciones de muy diferentes tipos, que inclu-yen la influencia de una cantidad limitada de factores o fenómenos, y cuyos com-portamientos son comparados entre sí para obtener conocimiento sobre cómo esos factores o fenómenos influyen en las dinámicas de las poblaciones. Dicho de otro modo, el procedimiento por el cual los ecólogos teóricos han tratado de comprender la influencia de diversos factores en las dinámicas de las poblacio-nes ha sido el de la construcción de elementos teóricos diferentes, que incluyen o no determinados factores o procesos o que los incluyen de maneras diferentes, y compararlos entre sí. Esta práctica, característica de la ecología de poblaciones, replantea algunos aspectos bien fijados de la metateoría estructuralista.

Según esta metateoría, las teorías científicas suelen ser, al menos la mayoría de ellas, redes formadas por cierta cantidad de elementos, que poseen la misma estructura básica y se encuentran interconectados por medio de relaciones de especialización (Balzer, Moulines & Sneed 1987, pp. 167-204, Moulines 1996, 2010). En estas redes teóricas se identifican uno o muy pocos elementos básicos, definidos por leyes fundamentales de carácter muy esquemático, y una cantidad más o menos grande de elementos teóricos más especializados, que se construyen mediante un proceso de especificación sucesiva de los elementos teóricos básicos. Estos elementos teóricos secundarios se definen o caracterizan por otras leyes y por restricciones que se añaden a las leyes y restricciones básicas. Este proceso da lugar a una serie de elementos teóricos cada vez más especializados, cuyo domi-nio de aplicaciones pretendidas es, también, cada vez más limitado. Estas redes son, además, genidénticas, en el sentido de que, mientras que el elemento bási-co de la teoría o núcleo duro de aplicaciones paradigmáticas se preserva a lo lar-go de toda la vida de la teoría, muchas de las especializaciones derivadas de este


elemento básico o núcleo duro aparecen y desaparecen dependiendo de diversos factores o circunstancias.1

Desde un punto de vista formal, podemos definir una red teórica idealizada (idealized theory-net) como sigue (Balzer, Moulines & Sneed 1987, pp. 172-177):

N es una red teórica idealizada syss existen T y σ tales que(1) N = ⟨ T , σ⟩(2) T es un conjunto finito, no-vacío, de elementos teóricos(3) σ ⊆ T × T es la relación de especialización (restringida a T ).

Sin embargo, esta definición de red teórica es excesivamente general, ya que per-mite la existencia de redes teóricas que carecen de estructura jerárquica, cuando, de acuerdo con la metateoría estructuralista, las redes realmente existentes en la ciencia tienen estructura jerárquica. Esta condición introduce una restricción en la definición anterior. Llamamos red teórica conectada (connected theory-net) a la red definida de la siguiente manera:

N es una red teórica conectada syss existen T y σ tales que(1) N = ⟨ T , σ⟩ es una red teórica idealizada(2) para toda Ti, Tj ∈ T existen

1kT ,..., nkT tales que:

(Ti σ 1kT ∨

1kT σ Ti) ∧ ... ∧ (Tj σ nkT ∨

nkT σ Tj).Esta segunda definición exige que dos elementos teóricos cualesquiera de N sean especializaciones de otro elemento de orden superior o tengan una especializa-ción común. Obviamente, en toda red teórica conectada habrá elementos teóri-cos que no sean especializaciones de ningún otro elemento teórico (normalmente uno por cada red). Estos serían los elementos teóricos básicos de la red, los ele-mentos de los que, por medio de relaciones de especialización, se derivan todos los demás elementos de la red teórica. De esta definición se sigue, además, que todos los elementos de una red teórica conectada poseen los mismos modelos po-tenciales (Mp) y modelos potenciales parciales (Mpp).

La metateoría estructuralista postula, también, que gran parte de la actividad de los científicos tiene como fin concretar, progresivamente y en diversas direc-ciones, el núcleo inicial de estas teorías, añadiendo a las redes teóricas elemen-tos cada vez mázs especializados. Esto último sugiere que la metateoría estructu-ralista concibe el núcleo básico de elementos teóricos que conforman una teoría como el paradigma (sensu Kuhn) que guía los subsiguientes desarrollos teóricos. Así pues, durante los periodos de ciencia normal el desarrollo teórico consistiría, fundamentalmente, en añadir en la red teórica nuevos elementos cada vez más especializados (evolución teórica).

Ciertamente, la metateoría estructuralista contempla el hecho de que las teorías no son entidades aisladas y reconoce la existencia de vínculos interteó-ricos que relacionan entre sí elementos teóricos de distintas redes y dan lugar

1 Esta imagen de las redes ha sido corroborada en un gran número de teorías reconstruidas como redes; ver Diederich, Ibarra & Mormann (1989, 1994).


a estructuras formadas por elementos de varias redes teóricas: los denominados holones teóricos (Balzer, Moulines & Sneed 1987, pp. 386-423). Sin embargo, al poner el énfasis en la reconstrucción de teorías, en la metateoría estructuralis-ta prima la visión de la práctica científica en periodos de ciencia normal como consistente en la ampliación de las redes preexistentes mediante la adición de nuevos elementos más especializados a los elementos teóricos. Ello elucidaría la intuición kuhniana de la actividad “normal” del científico “en el marco de un paradigma”.

En la ecología de poblaciones, el patrón de las prácticas científicas parece ser algo diferente al bosquejado hasta aquí. También en otras disciplinas, pero sin-gularmente en esta, la práctica teórica fundamental consiste en la construcción y el análisis comparativo de elementos teóricos. Sin embargo, a menudo los ele-mentos teóricos que se construyen y se comparan entre sí no pueden ser consi-derados desarrollos o especializaciones de una única red teórica. Por el contrario, en las prácticas normales de la ecología de poblaciones se utilizan conjuntamente elementos teóricos que no pueden ser considerados especializaciones de una úni-ca red teórica preexistente. Estos elementos teóricos no suelen ser objetos aisla-dos, sino que son producidos y analizados en un marco en el que es fundamental la comparación o puesta en común con otros elementos de otras redes teóricas. Todo esto sugiere que en la ecología de poblaciones las prácticas “normales” in-tegran elementos pertenecientes a diferentes redes teóricas. Estos elementos teó-ricos relacionados estrechamente en las prácticas constituyen asociaciones que aquí denominaremos constelaciones teóricas. Las constelaciones teóricas se utilizan para el análisis de un determinado dominio de aplicación, por ejemplo, el estu-dio de la dinámica de la población X.

Para hacer razonable esta interpretación procederemos como sigue: en la sec-ción siguiente mostraremos un esbozo de la red teórica asociada a la denomina-da teoría logística clásica; luego, en la sección 3, expondremos cómo la conside-ración discreta del tiempo permite generar una red de elementos alternativa a la anterior y cómo el conocimiento robusto relativo a las poblaciones naturales se obtiene a partir de prácticas de comparación de elementos teóricos de las dos re-des, esto es, considerando las unidades que denominamos constelaciones teóri-cas. Finalmente, en la sección 4, se analizará una red independiente de estas dos, pues consta de elementos teóricos que, a diferencia de la teoría logística clásica y su alternativa en tiempo discreto, tiene en cuenta cada uno de los individuos que conforman la población y que, sin embargo, es utilizada para abordar las mismas cuestiones poblacionales que analizan las dos teorías clásicas ya mencionadas. A partir de esa reconstrucción se mostrará cómo las prácticas científicas integran elementos de esta red más compleja, junto con elementos más sencillos de otras redes, en constelaciones que procuran la obtención de resultados robustos. Con-cluiremos mostrando la conveniencia de incorporar a la teoría de la ciencia la unidad epistémica de las constelaciones teóricas para dar cuenta de la naturaleza de las prácticas científicas en algunos dominios, como el de la ecología de pobla-ciones.


Figura 1

La versión integral de la ecuación logística de Verhulst representa el tamaño de la población frente al tiempo dando lugar a la conocida curva sigmoidea donde se observa que: (1) cuan-do la densidad es baja la población crece lentamente; (2) la tasa de crecimiento de la pobla-ción aumenta con la densidad hasta que esta llega a K/2, densidad a partir de la cual la ve-locidad de crecimiento de la población va disminuyendo gradualmente; y (3) el tamaño de la población se acerca asintóticamente a K.

Una de las críticas más habituales que se hace al elemento teórico de Verhulst es la de su escaso realismo, pues su comportamiento en nada se parece a lo que se observa en las poblaciones naturales (Hall 1988). Habitualmente, se explica la discrepancia entre lo predicho y lo observado alegando que el modelo logísti-co es muy poco realista, muy idealizado o muy abstracto y se recuerda que el ele-mento teórico asociado a él representa las poblaciones como entes cerrados en los que no se producen movimientos migratorios, todos los individuos de la po-blación son iguales, la capacidad de carga es constante, la relación entre los cam-bios de densidad y los cambios en la tasa de crecimiento de la población es lineal y, además, estos cambios se producen de manera inmediata (Gotelli 2001, pp. 30-31).

Time (t)

Popu

lati

on S

ize

(N)

0 10 20 30 40 50

500

400

300

200

100

0

2. La teoría logística clásica y su estructuraLa teoría logística para el estudio de los factores que regulan el crecimiento de una población es un sencillo ejemplo del tipo de teorías que puede hallarse en la ecología de poblaciones. En el origen de esta teoría se encuentra la conocida ecuación logística de Verhulst (Kingsland 1995, p. 65):

−=

KNrN

dtdN 1

donde N es el tamaño de la población, t el tiempo, r la tasa de natalidad per capi-ta y K un parámetro que limita el tamaño máximo que puede alcanzar la pobla-ción y que se conoce como capacidad de carga de la población. Así pues, en su forma de ecuación diferencial, este elemento teórico representa la velocidad de crecimiento de la población como función del tamaño o de la densidad de la po-blación.

dNdt

= rN


El hecho de que el elemento teórico de Verhulst no represente adecuadamen-te el modo en que la densidad influye en las dinámicas de las poblaciones está en el origen de la construcción de otros elementos teóricos en los que se integran al-gunas variaciones relativas a diversos parámetros (generando así líneas de especia-lización en la red teórica, en el sentido estipulado por la concepción estructuralis-ta). Un ejemplo es el elemento teórico theta-logístico, que explora la posibilidad de que la relación entre la densidad y la tasa de crecimiento no sea lineal y cuya ley tiene la siguiente forma:

€

dNdt

= rN 1−NK

θ

Como se puede ver intuitivamente en sus leyes respectivas, la única diferencia formal entre este nuevo elemento teórico y el de Verhulst es la inclusión de un nuevo parámetro, θ, y, obviamente, el comportamiento de este segundo modelo depende en gran medida del valor de ese nuevo parámetro. Es decir, es atribu-yendo diferentes valores al parámetro θ como se exploran las consecuencias de que la relación entre los cambios en densidad y los cambios en la tasa de creci-miento de la población no sea lineal. Obsérvese que el elemento teórico de Ver-hulst puede considerarse una especialización del elemento theta-logístico para θ = 1 o, dicho de otro modo, que el elemento theta-logístico es una generalización de aquel (Turchin 2003, pp. 49-50).

Otros elementos se construyen a partir de una línea de especialización que tiene en cuenta el denominado efecto Allee. Existen indicios de que en las pobla-ciones muy pequeñas la tasa reproductiva de los individuos suele ser menor que la observada en poblaciones mayores, debido a que las interacciones cooperativas entre individuos (en la búsqueda de alimentos, la defensa frente a los depredado-res, etc.) suelen fallar. Este fenómeno es conocido como efecto Allee y, cuando este es muy marcado, puede ocurrir que, por debajo de un umbral de densidad mínimo, la población comience a decrecer y se extinga (Lande, Engen & Saether 2003, p. 36). En esta línea de especialización dependiente del efecto Allee el ele-mento teórico más sencillo es el asociado al conocido como “modelo logístico con limitación de densidad mínima” , cuya ley es:

−

−=

NC

KNrN

dtdN 11

Este elemento, a diferencia del elemento teórico de Verhulst, presenta un compo-nente (1-C/N), donde C es un umbral de densidad crítica por debajo del cual el ta-maño de la población comienza a decrecer. A causa de este nuevo término, el ele-mento teórico describe un punto de equilibrio inestable en N = C, ya que cualquier incremento de N por encima de C da lugar a un proceso de crecimiento que acer-ca la densidad de la población a K, pero cualquier fluctuación que haga descender la densidad por debajo de C lleva a la extinción de la población (Wimsatt 1980).

Como puede deducirse de los ejemplos mostrados, la red logística clásica está compuesta por elementos teóricos con diferentes líneas de especialización en las que las variables principales son la densidad de población, N, y el tiempo, t, y

dNdt

= rN

dNdt

= rN


siempre aparecen como parámetros la capacidad de carga K, más un parámetro adicional que representa la capacidad reproductora de los componentes de la po-blación, habitualmente, la tasa de crecimiento per capita, r. No es nuestro objeti-vo desarrollar una reconstrucción formal precisa de la red teórica logística, pero sí queremos mostrar un esbozo de reconstrucción que sirva como sostén provisio-nal para los argumentos que seguidamente se desarrollarán.

La estructura del marco conceptual de la teoría logística, identificada con la clase de los modelos potenciales del elemento logístico de Verhulst, se define como sigue:

Mp(LOGV): x es una población logística de Verhulst potencial (x ∈ Mp(LOGV)) syss existen N, T, r, k y f tales que

(1) x = ⟨N, T, r, k, f⟩(2) N es un conjunto finito, no vacío y N ={n ∈ ℝ: 0 ≤ n ≤ k}(3) T es un conjunto y T ⊆ ℝ(4) k ∈ ℕ(5) r ∈ ℝ(6) f: T → N

donde N es el tamaño poblacional y T el tiempo. r y k son, respectivamente los parámetros conocidos como tasa de crecimiento per capita y capacidad de carga o límite máximo que la población no podrá superar.2 La función f asigna un tama-ño poblacional (n) a cada instante de tiempo (t); tiene que ser una función con-tinua y derivable, ya que la velocidad de crecimiento se define como la derivada del tamaño poblacional con respecto al tiempo (esto exige, aunque resulte contra-intuitivo, atribuir valores reales a los elementos del conjunto N, esto es, a los ta-maños de la población).

La clase de los modelos actuales del mencionado elemento teórico se define de la siguiente manera:M(LOGV): x es una población logística de Verhulst (x ∈ M(LOGV)) syss existen N,

T, r, k y f tales que

(1) x = ⟨N, T, r, k, f⟩(2) x ∈ Mp(LOGV)(3) Df = rn(1 − n/k)

donde Df denota la derivada de la función f.Por su parte, el elemento teórico theta-logístico (THLOG) presenta una es-

tructura prácticamente idéntica, salvo por el hecho de que incluye un parámetro más, el parámetro θ, que, como se ha dicho ya, determina el tipo de relación exis-tente entre los cambios en el tamaño de la población y los cambios en su veloci-dad de crecimiento y que vendría dado por un número real. Así, la clase de los modelos potenciales de este elemento teórico tiene la siguiente estructura:

2 Dado que la densidad de una población es una cantidad de individuos, los ecólogos solo atribuyen valores en-teros y positivos a este parámetro; cualquier otro valor resulta contraintuitivo.


Mp(THLOG): x es una población theta-logística potencial (x ∈ Mp(THLOG)) syss existen N, T, r, k, θ y f tales que

(1) x = ⟨N, T, r, k, θ, f⟩(2) N es un conjunto finito, no vacío y N ={n ∈ ℝ: 0 ≤ n ≤ k}(3) T es un conjunto y T ⊆ ℝ(4) k ∈ ℕ(5) r ∈ ℝ(6) θ ∈ ℝ(7) f: T → N

Una población theta-logística es toda población que satisface las siguientes condi-ciones: M(THLOG): x es una población theta-logística (x ∈ M(THLOG)) syss existen N,

T, r, k, θ y f tales que

(1) x = ⟨N, T, r, k, θ, f⟩(2) x ∈ Mp(THLOG)

(3)

€

Df = rn 1−nk

θ

En cambio, para ser una población logística equipada con el efecto Allee (LOGA), una población debe incluir, además de los componentes de una pobla-ción logística de Verhulst, un parámetro adicional c, mayor que 0 y menor que k, que determina un umbral de densidad crítica por debajo del cual el crecimiento de la población sería negativo y por encima del cual el crecimiento sería positivo. Así pues, una población logística Allee (LOGA) potencial se define como sigue:Mp(LOGA): x es una población logística Allee potencial (x ∈ Mp(LOGA)) syss existen

N, T, r, k, c y f tales que

(1) x = ⟨N, T, r, k, c, f⟩(2) N es un conjunto finito, no vacío y N ={n ∈ ℝ: 0 ≤ n ≤ k} (3) T es un conjunto y T ⊆ ℝ(4) k ∈ ℕ(5) r ∈ ℝ(6) c ∈ ℕ y 0 < c < k(7) f: T → N

Los modelos actuales de este elemento teórico satisfacen las siguientes condicio-nes:M(LOGA): x es una población logística Allee (x ∈ M(LOGA)) syss existen N, T, r, k, c y f tales que

(1) x = ⟨N, T, r, k, c, f⟩(2) x ∈ Mp(LOGA)(3) Df = rn(1 − n/k)(1 − c/n)


A la vista de estas reconstrucciones tentativas, parece claro que, en la medida en que los tres elementos teóricos mencionados comparten en sus núcleos básicos, Mp, los componentes N, T, k y r, así como los conjuntos ℕ y ℝ, pueden ser con-siderados integrantes de una misma red teórica a la que denominaremos red logís-tica. El fragmento de la red logística que integra estos tres elementos tiene la si-guiente forma:

THLOG LOGA

LOGV

Figura 2

Fragmento de red teórica en el que se integran el elemento teórico theta logístico el elemento teórico logístico con efecto Allee y el elemento logístico de Verhulst.

El elemento logístico de Verhulst puede ser considerado un caso particular tan-to del elemento teórico theta-logístico (concretamente para θ = 1), como del ele-mento que incluye el efecto Allee (en este caso, para c = 0).

Es más, podríamos integrar en la red teórica logística otros muchos elemen-tos teóricos de mayor o menor complejidad, siempre y cuando contengan entre sus variables la densidad poblacional, N, y el tiempo, t, y entre sus parámetros la capacidad de carga, K. Así, por ejemplo, puede integrarse el siguiente elemento, que corresponde a la ley propuesta por Gause en 1934 (Jensen 1975):

−=

KNbN

dtdN 1

donde la tasa de crecimiento per capita, r, es sustituida por la tasa de natalidad per capita, b.3 Este último elemento teórico puede integrarse en la red logística de la siguiente manera:

3 Téngase en cuenta que la tasa de crecimiento per capita, r, puede descomponerse en dos componentes, la tasa de na-talidad per capita, b, y la tasa de mortalidad per capita, d, de modo que r = b−d (Vandermeer & Goldberg 2003, p. 6).

THLOG LOGA

LOGV

Figura 3

GAuse

Posición que ocupa el elemento teórico de Gause en la red teórica logística.

dNdt

= bN


Es decir, el elemento teórico de Gause puede considerarse una especialización del elemento logístico de Verhulst aplicable en aquellos casos en los que el efecto de la tasa de mortalidad sobre la población fuera despreciable.

De modo semejante, pueden incluirse en la red logística muchos otros ele-mentos, en los que las variables principales sean la densidad de población y el tiempo y que, junto a un parámetro que dé cuenta del modo como los compo-nentes de la población aumentan en cantidad, incluya otro que marque un lími-te de tamaño o densidad máximo que la población no puede superar.

Sin embargo, las prácticas científicas de los ecólogos no se limitan a incorpo-rar nuevos elementos a la red logística. Característicamente, al investigar la in-fluencia de diferentes factores en las dinámicas de las poblaciones naturales, los ecólogos recurren, de manera sistemática, a elementos de diferentes redes teó-ricas, que utilizan de manera conjunta, bien para mostrar el contraste entre las conclusiones a que dan lugar, bien para mostrar la coincidencia de resultados. En la ecología de poblaciones teórica, una de las estrategias más habituales para comprender la influencia de determinados factores en el comportamiento de las poblaciones es la comparación o puesta en común de elementos teóricos integra-dos en redes teóricas diferentes. Es decir, en sus prácticas normales los ecólogos hacen uso simultáneo de elementos teóricos de diferentes redes, combinándo-los entre sí. Esta combinación permite la descripción y explicación de los hechos bajo escrutinio.

3. La comparación entre elementos teóricos como práctica genuina en la ecología de poblaciones.

El papel de las constelaciones teóricasComo ha quedado indicado, la práctica característica en la ecología de poblacio-nes es la de combinar diversos elementos teóricos para tratar de dar cuenta del papel de diferentes factores o procesos en la dinámica de poblaciones. Por eso, pese a tener escasa capacidad de predicción o mostrar comportamientos que no se ajustan bien a lo observado en las poblaciones naturales, los elementos teóri-cos son considerados útiles para esa labor. Se considera que estos elementos, pese a ser representaciones demasiado burdas de las poblaciones naturales, pueden servir, sobre todo si se utilizan en combinación con otros elementos, para extraer conclusiones robustas sobre la influencia de diferentes factores en las dinámicas de las poblaciones (Levins 1966, Odenbaugh 2003, Weisberg 2006). A continua-ción mostraremos cómo esas combinaciones involucran elementos de redes teó-ricas diferentes.

Una estrategia de combinación posible entre estos elementos teóricos interre-ticulares se genera a partir de la consideración del tiempo transcurrido entre un cambio en la densidad poblacional y la manifestación de sus efectos. El elemento logístico de Verhulst representa las poblaciones naturales como agregados en los que la incorporación o la desaparición de cierta cantidad de individuos tienen


como consecuencia un cambio en la tasa de crecimiento de la población. Ade-más, de acuerdo con este elemento teórico, dicho cambio se produce de manera inmediata, por lo que se considera que el elemento logístico de Verhulst no in-cluye retrasos temporales. Sin embargo, parece más razonable suponer que, con frecuencia, las consecuencias de los cambios de tamaño de la población no son inmediatas, sino que se manifiestan transcurrido un período. Los ecólogos han construido elementos teóricos que, de una manera u otra, incluyen la influencia de estos retrasos temporales y, por tanto, sirven para estudiar sus efectos.

Uno de los más sencillos es el denominado modelo de Hutchinson, cuya ley es:

−= −

KNrN

dtdN t τ1

La estructura de los modelos potenciales del elemento teórico asociado a esta ley viene definida de la siguiente manera:Mp(LOGH): x es una población logística de Hutchinson (o una población con retraso tem-

poral) potencial (x ∈ Mp(LOGH)) syss existen N, T, r, k, τ y f tales que(1) x = ⟨N, T, r, k, τ, f⟩(2) N es un conjunto finito, no vacío y N ={n ∈ ℝ: 0 ≤ n ≤ k} (3) T es un conjunto y T ⊆ ℝ(4) k ∈ ℕ(5) r ∈ ℝ(6) τ ∈ ℝ+

(7) f: T → N donde τ es el retraso temporal.

Los modelos actuales de este elemento teórico satisfacen las siguientes condi-ciones:M(LOGH): x es una población logística (x ∈ M(LOGH)) syss existen N, T, r, k, τ

y f tales que(1) x = ⟨N, T, r, k, τ, f⟩(2) x ∈ Mp(LOGH)(3) Df = rn(1 − nt−τ/k)

Obsérvese que la ley de este último elemento teórico es prácticamente idéntica a la del elemento teórico de Verhulst, salvo que, para calcular la tasa de crecimien-to de la población en un instante t, tiene en cuenta, además de la densidad de la población en ese instante (n en la reconstrucción modeloteórica), la densidad de la población en un instante anterior t–τ (nt−τ en la reconstrucción modeloteóri-ca), donde τ es el tiempo que transcurre desde que ocurre un cambio en la densi-dad de la población hasta que se manifiestan sus efectos.

Esta similitud de estructura indica que el elemento teórico de Hutchinson también forma parte de la red logística y el hecho de que el elemento logístico de Verhulst pueda ser considerado un caso límite del elemento teórico de Hutchin-son para el caso en el que el retraso temporal sea inexistente (τ = 0) sugiere que

dNdt

= rN


la configuración del fragmento de red logística en el que está incluido este último elemento es el siguiente:

Posición que ocupa el elemento teórico de Hutchinson en la red logística.

Es más, este fragmento de red logística sugiere que existe al menos un elemen-to teórico primitivo del que se especializarían el resto de los elementos teóricos hasta ahora mencionados (al lado de las conexiones entre los elementos teóricos se indican las transformaciones que dan lugar al elemento teórico del nivel infe-rior).4

4 La figura representa, como acaba de indicarse, un fragmento de la red. De ahí que la imagen resultante no se corresponda con la habitual del árbol reticular. No es nuestro objetivo reconstruir enteramente la red logísti-ca sino mostrar la naturaleza reticular de las relaciones entre los elementos logísticos y cómo ellos son utiliza-dos en las prácticas de los ecólogos.

Figura 4

THLOG LOGA

LOGV

GAuse

LOGH

Figura 5

Fragmento de red teórica en el que se integran todos los elementos teóricos en tiempo continuo analizados y se muestra la posición que ocuparía el elemento teórico del que todos ellos serían especializaciones.

LOGHLOG-ALLeTH-LOC

LOGV

GAuse


Ahora bien, desde el punto de vista ecológico, lo interesante de este elemento teórico es que sugiere que la existencia de retrasos temporales tiene un efecto des-estabilizador en la población (Gotelli 2001, pp. 33-34; Figura 6).

Comportamiento del elemento teórico logístico con retraso temporal para di-ferentes valores de r y τ. El retraso temporal tiene un efecto desestabilizador, en el sentido de que cuando el valor de τ supera un determinado umbral la dinámica de la población pasa de ser sigmoidea a estar caracterizada por ciclos amortiguados o por ciclos con límites estables. De arriba abajo, primer gráfico r = 0,2 y τ = 2; segundo r = 0,5 y τ = 2 y tercero r = 0,6 y τ = 3.

El elemento teórico de Hutchison es el más sencillo de los que pueden construir-se considerando la introducción de retrasos temporales en una ley diferencial. Ahora bien, la investigación de los factores que afectan a las dinámicas de las poblaciones ha dado lugar a otros elementos teóricos que no forman parte de la red logística y que, sin embargo, han sido utilizados junto con elementos de esa

Figura 6

Time (t)

Popu

lati

on S

ize

(N)

0 10 20 30 40 50

500

400

300

200

100

0

600

Time (t)

Popu

lati

on S

ize

(N)

0 10 20 30 40 50

500

400

300

200

100

0

600

Time (t)

Popu

lati

on S

ize

(N)

0 10 20 30 40 50

1200

1000

800

600

400

0

1400

200


red para analizar la influencia de los retrasos temporales en las dinámicas de las poblaciones naturales. Dicho de otro modo, el estudio de los efectos desestabili-zadores de los retrasos temporales se ha llevado a cabo comparando entre sí ele-mentos de diferentes redes teóricas, lo que ha permitido afianzar la conclusión de que los retrasos temporales tienen una influencia desestabilizadora en las po-blaciones. En otras palabras, es la comparación de elementos teóricos pertene-cientes a diferentes redes lo que permite afirmar la robustez de la conclusión de que los retrasos temporales tienen efectos desestabilizadores en las poblaciones.

En efecto, las ecuaciones diferenciales características de los elementos de la red logística no son la única manera de representar la dinámica de las poblacio-nes. Existen otras posibilidades, una de las cuales, tan habitual como el uso de ecuaciones diferenciales, es el uso de ecuaciones en diferencias. En este segundo tipo de ecuaciones, el tratamiento del tiempo es diferente, ya que este es tratado como una variable discreta, mientras que en las ecuaciones diferenciales es trata-do como variable continua. Por este motivo, en la literatura ecológica, a las ecua-ciones en diferencias se las denomina, también, “modelos en tiempo discreto”, mientras que los elementos teóricos asociados a leyes dadas por ecuaciones dife-renciales son conocidos como “modelos en tiempo continuo”.

Pues bien, podemos reconstruir un buen número de elementos teóricos aso-ciados a leyes dadas por ecuaciones en diferencias en el marco de una nueva red, distinta de la logística. De hecho, es posible construir análogos en tiempo discreto de prácticamente todos los elementos teóricos de la red logística, aunque, en ge-neral, se suelen construir a partir de los elementos teóricos más generales, deriván-dolos al modo de relaciones de especialización. Actualmente, los elementos teóri-cos en tiempo discreto son una de las principales herramientas de la ecología de poblaciones, ampliamente utilizados, tanto con fines teóricos como en la gestión ambiental. Además, por el mero hecho de estar asociados a ecuaciones en diferen-cias, estos elementos teóricos en tiempo discreto incorporan ya la influencia del retraso temporal, aunque suelen existir variaciones notables en la forma en que incluyen dicho retraso. Seguidamente, mostraremos algunos de estos elementos.5

5 La red de elementos que presentamos es controvertible. Podría argüirse, como lo hace uno de los revisores, que los elementos teóricos con el tiempo como variable discreta podrían reconstruirse como formando parte, junto con los elementos de la red logística, de una red que subsumiría a todos ellos y sería generada a partir de un elemento teórico con muy poco contenido empírico (p.e., el número de miembros de una población en un momento dado depende de su número en algún momento anterior). La dependencia de la forma ma-temática concreta que asume el tiempo, continua o discreta, fijaría una de las especializaciones de esa red sub-sumidora de todos los elementos.Como se viene sosteniendo, el objetivo del artículo es ofrecer una imagen de las prácticas científicas más plausible que las sugeridas por la ciencia normal de Kuhn o sus secuelas estructuralistas. Los ecólogos utilizan profusamente el concepto teoría y, más aún, marco teórico de manera imprecisa. Para ellos, los marcos teóri-cos son conjuntos más o menos diversos de elementos teóricos con los que analizan cuestiones tales como las dinámicas de poblaciones aisladas, las interacciones entre dos poblaciones de especies diferentes, las dinámi-cas de las comunidades insulares, la influencia de la distribución espacial de los individuos en la persistencia de las poblaciones que estos forman, etc. El hecho característico de muchas prácticas científicas, como las eco-lógicas, es que habitualmente esas cuestiones se abordan apelando a conjuntos conformados por elementos teóricos del marco logístico, de sus representaciones del tiempo como variable discreta, etc. Y, frecuentemen-te, esos marcos son diferentes según los diversos autores que los aplican y que muestran preferencias distintas por un marco u otro.


Existen al menos tres análogos en tiempo discreto del elemento logístico de Verhulst (Turchin 2003, pp. 52-55). Uno de ellos es el asociado al que entre los ecólogos es conocido como modelo de Ricker, que fue desarrollado como herra-mienta para la gestión de pesquerías, pero ha sido utilizado también con fines teóricos, y cuya ley tiene la forma:

( )tbNtt eNN −

+ = 01 λdonde N es el tamaño o la densidad de población y los subíndices t y t+1 recuer-dan que el tiempo es tratado como una variable discreta; el parámetro λ

0 es una

tasa de crecimiento independiente de la densidad, y b es una medida de la depen-dencia de la densidad (b = λ

0/K).

Los modelos potenciales del elemento teórico de Ricker satisfacen las siguien-tes condiciones:Mp(R): x es una población de tipo Ricker potencial (x ∈ Mp(R)) syss existen N, T, λ

0,

k y b tales que(1) x = ⟨N, T, λ

0, k, b⟩

(2) N es un conjunto finito, no vacío y N ⊆ ℕ(3) T contiene exactamente dos elementos (T = {t1, t2})(4) λ

0 ∈ ℝ

(5) k ∈ ℕ y k < N(6) b = λ

0/k

(7) Trunc: ℝ → ℕ donde Trunc: ℝ → ℕ es una función que redondea un número real a su entero más próximo, pues los tamaños poblacionales solo pueden ser números enteros positivos.

Los modelos actuales del elemento teórico de Ricker se definen como sigue:M(R): x es una población de tipo Ricker (x ∈ M(R)) syss existen N, T, λ

0, k y b tales que

(1) x = ⟨N, T, λ0, k, b⟩

(2) x ∈ Mp(R)(3) n(t2) = Trunc (λ

0 n(t1)e

(-b n(t1)))siendo n(t1) y n(t2) los tamaños de las poblaciones en los intstantes t1 y t2 respec-tivamente.

Argumentar que la red logística y la que representa el tiempo como variable discreta pueden capturarse bajo la forma de una única red, identificando un elemento teórico en un nivel más elevado, como el indicado, es poco plausible. Incluso aunque este argumento pudiera ser formalmente correcto, es una estrategia artificial porque el nuevo elemento teórico no es un elemento empírico de las prácticas ecológicas. Como se mostrará más adelante, el uso de constelaciones de elementos no pertenecientes a la misma red teórica se extiende no solo a elementos de redes afines, como en el caso presente, sino de redes con marcos conceptuales de repre-sentación más diferenciados. Por ello, aun cuando pudiera aceptarse la estrategia de integrar la reconstruc-ción del tiempo como variable discreta y como variable continua en una única red, encontraríamos dificul-tades para interpretar con ella la complejidad de determinadas prácticas científicas, como son las ecológicas, objeto de este artículo. Supondría reducir impropiamente esa complejidad a algunos patrones de prácticas científicas bien fijadas por la imagen de ciencia normal kuhniana.

(-bNt)


Como puede verse, el marco conceptual (definido por la clase Mp) de este ele-mento teórico es notablemente diferente al de los elementos teóricos que confor-man la red logística, aunque, como aquellos, incluye un elemento, k, que impone un límite teórico máximo al tamaño que puede alcanzar la población, de ahí que los ecólogos lo consideren “análogo” al elemento logístico de Verhulst.

Lo mismo puede decirse del elemento teórico asociado a la ley de Beverton-Holt. Esta ley tiene la siguiente forma:

t

tt bN

NN+

=+ 10

1λ

El elemento teórico de Beverton-Holt puede reconstruirse así:Mp(BH): x es una población de tipo Beverton-Holt potencial (x ∈ Mp(BH)) syss exis-

ten N, T, λ0, k y b tales que

(1) x = ⟨N, T, λ0, k, b⟩


0 ∈ ℝ

(5) k ∈ ℕ y k < N(6) b = λ

0−1/k

(7) Trunc: ℝ → ℕ Y para la clase de los modelos actuales:M(BH): x es una población de tipo Beverton-Holt (x ∈ M(BH)) syss existen N, T, λ

0,

k y b tales que(1) x = ⟨N, T, λ

0, k, b ⟩

(2) x ∈ Mp(BH)(3) n(t2) = Trunc (λ

0 n(t1)/1 + b n(t1))

Igualmente, existe un elemento teórico asociado al denominado mapa logístico o mapa cuadrático, cuya ley tiene la forma:

−=+ k

NNN ttt 101 λ

y, por tanto, puede reconstruirse modeloteóricamente como sigue:Mp(C): x es una población de tipo cuadrático potencial (x ∈ Mp(C)) syss existen N, T,

λ0 y k tales que

(1) x = ⟨N, T, λ0, k⟩


0 ∈ ℝ

(5) k ∈ ℕ y k < N(6) Trunc: ℝ → ℕ

La clase de sus modelos actuales es reconstruible así:

λ0 Nt

1+bNt


M(C): x es una población de tipo cuadrático (x ∈ M(C)) syss existen N, T, λ0 y k ta-

les que(1) x = ⟨N, T, λ

0, k⟩

(2) x ∈ Mp(C)(3) n(t2) = Trunc (λ

0 n(t1)(1 − n(t1)/k))

Este último elemento teórico es conocido por haber introducido el caos en la ecología (May 1974a, 1974b). En efecto, el mapa logístico muestra un compor-tamiento que depende básicamente del valor del parámetro λ

0, y va desde el cre-

cimiento sigmoideo, cuando los valores de λ0 son bajos, al caos, cuando λ

0 >

2,449, pasando por los ciclos amortiguados y los ciclos con límites estables cuan-do los valores de λ

0 son intermedios (Figura 7).

Figura 7

Time (t)

Popu

lati

on S

ize

(N)

0 10 20 30 40 50

500

400

300

200

100

0

Time (t)

Popu

lati

on S

ize

(N)

0 10 20 30 40 50

700

500

400

200

100

0

Time (t)

Popu

lati

on S

ize

(N)

0 10 20 30 40 50

1000

800

600

400

200

0

600

300


Comportamiento del mapa logístico para diferentes valores de λ0. De arriba

abajo, primer gráfico λ0 = 0,2; segundo gráfico λ

0 = 2, tercer gráfico λ

0 = 2,45

y cuarto gráfico λ0= 2,9.

El elemento teórico de Ricker representa situaciones de comportamiento seme-jantes al del mapa logístico, mientras que el elemento de Beverton-Holt muestra un comportamiento muy similar al del elemento logístico de Verhulst, pues el único resultado a largo plazo es la aproximación monótona a un punto de equi-librio estable. Esto se atribuye al hecho de que la forma en que los elementos teóricos de Ricker y del mapa logístico introducen la dependencia de la densi-dad es más extrema que en el elemento de Beverton-Holt (Hastings 2005). Así pues, y esta es la información relevante obtenida de la constelación de los elemen-tos de dos redes teóricas distintas, estos tres elementos teóricos, aunque basados, al igual que el elemento logístico de Verhulst, en la idea de que toda población posee un tamaño máximo que no le es posible superar (al menos no por mucho tiempo), muestran un comportamiento diferente de sus respectivos análogos en tiempo continuo, más diferente cuanto más extrema es la forma en que incorpo-ran la dependencia de la densidad. Esto apoya la idea de que los retrasos tempo-rales tienen un efecto desestabilizador en relación a los cambios en la densidad poblacional. Dicho de otro modo, el aquí presentado es un ejemplo de que es la comparación o la puesta en común de los resultados de una constelación teó-rica, esto es, de elementos de redes teóricas diferentes, lo que lleva a resultados robustos. Los ecólogos teóricos confrontan sistemáticamente elementos pertene-cientes a diferentes redes teóricas, para ver si sus predicciones teóricas coinciden y, en los casos en que así es, consideran que la coincidencia de resultados apoya la idea de que las predicciones de los elementos teóricos comparados son robus-tas. Así pues, la idea fundamental sobre la que se basa la noción de resultado ro-busto es la de que, si los resultados de varios elementos de una constelación teó-rica que representan un mismo proceso pero poseen diferente forma o estructura convergen, es menos arriesgado concluir que la influencia del proceso estudiado es, precisamente, la que representan los elementos teóricos de la constelación. Es decir, solo comparando entre sí elementos teóricos diferentes (pertenecientes a redes teóricas diferentes), puede saberse si los resultados a los que apuntan uno o varios elementos teóricos son robustos, de ahí que la comparación entre ele-mentos teóricos de una constelación sea una práctica habitual en la ecología de poblaciones.

Time (t)

Popu

lati

on S

ize

(N)

0 10 20 30 40 50

1200

1000

800

400

200

0

600


Una constelación teórica es un conjunto de al menos dos elementos teóri-cos, algunos de los cuales pertenecen a teorías o redes teóricas distintas (de ahí que sus modelos potenciales sean diferentes), pero comparten (al menos) parte del dominio de aplicaciones intencionales. Es más, dado que el dominio de apli-caciones intencionales se define como subconjunto del conjunto de modelos po-tenciales parciales (I ⊆ Mpp)

(Balzer, Moulines & Sneed 1987, pp. 86-89), el he-cho de que la intersección entre dominios de aplicaciones intencionales sea un conjunto no vacío implica que también los modelos potenciales parciales de los elementos teóricos que componen la constelación teórica compartirán (al menos) algunos elementos comunes, es decir, Mpp (Ti

) ∩ Mpp(Tj) ≠ ∅ (por ejemplo, to-dos los elementos teóricos que se han analizado en esta sección poseen un con-junto de tamaños poblacionales entre los componentes de sus modelos potencia-les y modelos potenciales parciales).

La constelación teórica puede definirse modeloteóricamente, entonces, como sigue:Sea C = ⟨T1, ..., Tn⟩ un conjunto de elementos teóricos T1 = ⟨Mp(T1), Mpp(T1), M(T1), GC(T1), GL(T1), I(T1)⟩,..., Tn = ⟨Mp(Tn), Mpp(Tn), M(Tn), GC(Tn), GL(Tn), I(Tn)⟩, identificados en los términos estructuralistas habituales. C es una constelación teórica syss ∃A tal que:

(1) A = ⟨Ti, Tj⟩ y A ⊂ C(2) Mp(Ti) ≠ Mp(Tj)(3) Ii ∩ Ij ≠ ∅

Obviamente, esta es una versión idealizada de constelación teórica. Una defini-ción más realista de las constelaciones debería considerar constricciones sobre otros componentes estructurales de los elementos teóricos, como por ejemplo GL: para dar cuenta, por ejemplo, de las relaciones existentes entre la tasa de cre-cimiento per capita, r, en los elementos teóricos de la red logística y el parámetro λ

0, que también es una tasa de crecimiento independiente de la densidad, en los

elementos de la red logística en tiempo discreto.En todo caso, la situación que se ha analizado en esta sección no represen-

ta sino una instanciación muy sencilla de confrontación de resultados ofrecidos por elementos de una constelación teórica con el fin de llegar a conclusiones más robustas que las que pueden obtenerse de la combinación de elementos de una única red. En la sección siguiente se considerará otro caso, más complejo, de la actividad ecológica a partir de constelaciones teóricas que dan origen a resultados robustos.

4. Constelaciones complejas: elementos teóricos sensibles a las diferencias individuales

y la práctica de simulaciones informáticasEl desarrollo de la modelización actual en la ecología de poblaciones está estre-chamente vinculado a la construcción de “modelos” complejos construidos para ser implementados en un ordenador. Característicamente, estos “modelos infor-


máticos” no han desplazado a los componentes de las redes presentadas anterior-mente, elementos teóricos mucho más sencillos pero que siguen siendo conside-rados útiles (Grimm 1999, Railsback 2001). ¿Por qué?

El uso de la informática ha permitido, entre otras cosas, introducir en las teo-rías ecológicas la variabilidad individual. Hasta hace relativamente poco, la ma-yor parte de las teorías ecológicas ignoraba las diferencias entre individuos o, a lo sumo, distinguía entre unas pocas clases de edades o de tamaños. En cambio, durante las dos últimas décadas, es cada vez más habitual el uso de lo que los ecó-logos denominan “modelos basados en el comportamiento de los individuos” o IBMs (individual based models). Son estos elementos teóricos en los que a cada uno de los individuos que forman la población se le atribuye una serie de caracterís-ticas particulares, con lo que la población deja de ser un agregado de individuos idénticos o un agregado de individuos de unos pocos tipos.

En esta sección procuraremos, en primer lugar, mostrar que los elementos teóricos a los que da lugar este tipo de investigación se insertan en redes teóricas distintas a las dos que se han analizado en las secciones anteriores y que, en se-gundo lugar, frente a la imagen de la ciencia normal de Kuhn y el estructuralis-mo, los ecólogos incorporan también estos nuevos elementos en el análisis de las constelaciones que construyen para obtener resultados robustos.

Entre los IBMs destinados a estudiar los factores que regulan las dinámicas de las poblaciones individuales se encuentra el desarrollado por Uchmański para estudiar cómo el reparto de recursos y el tipo de competencia afectan la regula-ción de las poblaciones (Uchmański 1999). Uchmański comienza construyendo y analizando un primer elemento teórico “nulo” en el que todos los individuos son iguales. A partir de él, modifica este primer elemento introduciendo diferencias individuales de diverso tipo. Así, hace que la mortalidad sea aleatoria y que, pese a existir recursos suficientes, solo algunos de los individuos lleguen a reproducir-se. O introduce diferencias en el crecimiento individual debidas a la competen-cia por los recursos. Comparando el comportamiento de esos tres elementos teó-ricos, Uchmański concluye, en claro contraste con lo que sugieren otras teorías como las que previamente aquí se han analizado, que, para que el crecimiento de la población se encuentre regulado, es necesario que exista algún tipo de variabi-lidad individual.

Nos detendremos a continuación en la propuesta de Uchmański, en tan-to que red teórica distinta de las precedentes. La red teórica desarrollada por Uchmański tiene como características fundamentales de su marco conceptual (Mp) el tratar de manera individualizada cada uno de los componentes de la po-blación y el representar de manera explícita los recursos utilizados por cada uno de ellos. Para ello, establece, en primer lugar, que los individuos crecen de acuer-do con la siguiente ecuación:

21 21bb wawa

dtdw −=

donde w es el peso del individuo, b1 describe el aumento de masa corporal debi-do a la asimilación de recursos y b2 describe las pérdidas debidas a la respiración.

dwdt


VV+ d

La asimilación de recursos y la respiración son iguales cuando el peso del indivi-duo es igual al peso final dado por la ecuación siguiente:

12

1

2

1 bbend a

aw −

=

El coeficiente a1 varía dependiendo de las condiciones de los recursos, V; la rela-ción entre a1 y V viene dada por la ecuación de Michaelis-Menten:

donde d es la constante de semisaturación y a1max es el valor máximo del paráme-tro a1. Los parámetros a2 y b2 son constantes, lo que implica que la tasa de respi-ración del individuo es constante e independiente de la cantidad de recursos de la que el individuo dispone.

La cantidad de descendientes que produce un individuo, z, es proporcional a la diferencia entre el peso final y un umbral de peso wthr:

z = Trunc(c(wend – wthr))

donde c es una constante y la función Trunc redondea un número real hasta su entero más próximo. Por tanto, se considera que un individuo muere sin descen-dencia si su peso es menor que wthr.

Por último, para analizar las dinámicas de la población formada por indivi-duos con esas características, en la que todos los individuos son iguales, la dispo-nibilidad de recursos no varía durante cada generación y las generaciones no se solapan se utiliza la siguiente ecuación:

∑==

+tN

iit zN

11

y los recursos disponibles en la siguiente generación se calculan de la siguiente manera:

111

bendttt wuaNgVV −+=+

donde g es el flujo de recursos al sistema, Nt la cantidad de individuos en la gene-ración t, el parámetro u es inversamente proporcional al coeficiente de eficiencia en la asimilación y el término

1

1bendwa es una aproximación del consumo acumu-

lado durante la vida del individuo.Reconstruiremos modeloteóricamente el elemento teórico más complejo pro-

puesto por Uchmański: ofreceremos un esquema de su reconstrucción, suficiente a nuestro juicio para mostrar la naturaleza claramente diferente respecto de los elementos teóricos considerados hasta ahora:Mp(uCH): x es una población de Uchmański potencial (x ∈ Mp(uCH)) syss existen

I, T, V, Z, b1, b2, δ, a1, a1 max, a2, c, g, u, w, wthr y wend tales que

(1) x = ⟨I, T, V, Z, b1, b2, d, a1, a1 max, a2, c, g, u, w, wthr, wend⟩(2) I es un conjunto finito, no vacío y I ={i1, …,in}

ua end

δ+=

VVaa max,11

end

end


(3) T es un conjunto y T contiene dos elementos T ={t, t +1}(4) N es un conjunto finito, no vacío y N ⊂ ℕ(5) Z es un conjunto finito, no vacío y Z ⊂ ℕ(6) V es un conjunto finito, no vacío y V ⊂ ℝ(7) b1: I → ℝ para todo i ∈ I: b1(i)

> 0(8) b2: I → ℝ para todo i ∈ I: b2(i)

> 0(9) d ∈ ℝ+

(10) a1: I → ℝ para todo i ∈ I: 0 < a1(i) ≤ a1 max

(11) a1 max: I → ℝ para todo i ∈ I: 0 < a1(i) ≤ a1 max

(12) a2: I → ℝ para todo i ∈ I: a2 > 0(13) c ∈ ℝ(14) g ∈ ℝ(15) u = 1/b

1

(16) w: I × T → ℝ para todo i ∈ I: w(i) > 0 y w es continua y derivable(17) wthr ∈ ℝ

Como puede observarse, en lo que a sus modelos potenciales respecta, este ele-mento teórico sería muy diferente de cualquiera de los demás elementos teóricos que aquí se han analizado, no solo por su mayor complejidad, sino también por-que incorpora elementos que ninguno de los modelos potenciales de los anterio-res elementos teóricos incluirían, como, por ejemplo, un conjunto I formado por individuos cada uno de los cuales llevaría asociada una serie de variables y pará-metros como su peso, la capacidad de asimilar nutrientes del medio y, por tanto, aumentar de peso, un umbral de peso mínimo que necesita superar para poder reproducirse, etc. Es más, la teoría de Uchmański tiene la particularidad de que representa de manera explícita la cantidad de recursos de que dispone cada in-dividuo de la población, algo que ninguno de los elementos teóricos anteriores hace. Como consecuencia, en esta teoría el tratamiento de la natalidad es radical-mente diferente con respecto a las teorías poblacionales clásicas. Esta deja de ser representada únicamente mediante un parámetro y es tratada como una función dependiente del estado de cada individuo que, a su vez, depende de la cantidad de recursos disponible en el medio y de la capacidad individual para asimilarlos. Lo mismo ocurre con la mortalidad y con el tratamiento de la competencia.

La red teórica de Uchmański contiene los elementos teóricos que represen-tan las diferentes leyes que Uchmański requiere satisfacer a cada uno de los fac-tores identificados en Mp(uCH). Las posibilidades son, pues, varias. Una de ellas sería la siguiente:M(uCH): x es una población de Uchmański (x ∈ M(uCH)) syss existen I, T, V, Z,

b1, b2, d, a1, a1 max, a2, c, g, u, w, wthr y wend tales que

(1) x = ⟨I, T, V, Z, b1, b2, d, a1, a1max, a2, c, g, u, w, wthr, wend⟩(2) x ∈ Mp(uCH)(3)

€

Dw(i) = a1(i)w(i)b1 ( i) − a2(i)w(i)b2 ( i)


( 4 )

€

wend (i) =a1(i)a2(i)

1

b2 ( i)−b1 (i)

( 5 )

€

a1(i) = a1max (i)V

V +δ(6)

€

z(i) = Trunc(c(wend (i) − wthr ))

(7)

€

nt +1 = zii=1

nt

∑(8)

€

vt +1 = vt + g − ntu(i)a1(i)wend (i)b1

Ahora bien, como se acaba de apuntar, la red teórica que Uchmański propone puede irse ampliando en la medida en que la investigación sugiera la necesidad de introducir nuevos elementos teóricos, asociados a nuevas leyes, para investigar nuevas cuestiones. Esto implicaría que las cláusulas 3 a 8 podrían variar y que po-drían, incluso, añadirse nuevas cláusulas.

Así, cuando Uchmański modifica su elemento teórico inicial para hacer que la mortalidad afecte de manera diferencial a los individuos que conforman la po-blación, lo hace asignando al nuevo elemento teórico asociado la siguiente fun-ción:

Vmm

+=

αα

max

donde mmax es la mortalidad máxima, V la cantidad de recursos disponible y α una constante. Igualmente, la competencia se incorpora al elemento teórico co-rrespondiente haciendo que los individuos tengan diferentes pesos corporales y la cantidad de recursos que pueden asimilar dependa de esta variable, de acuerdo con esta otra función:

€

a1i = a1

i w0i ,V( )

que se puede especificar de diferentes maneras para representar diferentes tipos de competencia en diferentes elementos teóricos, dando así lugar a una red teó-rica más compleja cuantas más formas de competencia se quieran incorporar a la teoría.

Así pues, es claro que los elementos teóricos de Uchmański integran una red diferente de la red logística o la red formada por los elementos teóricos que re-presentan el crecimiento poblacional mediante ecuaciones en diferencias. Esta nueva red puede ampliarse con otros elementos teóricos que representan de ma-nera explícita el comportamiento de los individuos que conforman la población, como en (Uchmański 2000) donde se considera la influencia de diferentes for-mas de reparto de recursos en las dinámicas de las poblaciones.

Finalmente, la red de Uchmański muestra que la regulación de las poblacio-nes exige la existencia de diferencias entre los individuos que componen las po-blaciones. Muestra, en concreto, que la estabilidad de las poblaciones es mayor cuanto mayor es la diferencia entre individuos, pues las poblaciones formadas por individuos idénticos no parecen estar reguladas, las poblaciones en las que

α

α + V

end

end

end


existe una variabilidad limitada entre individuos muestran indicios de regulación débil y aquellas en las que la variabilidad individual es alta (existen diferencias entre todos los individuos de la población) la regulación de las poblaciones es efectiva y estas persisten durante largo tiempo.

Sin embargo, el aspecto relevante a destacar aquí radica en que es la cons-telación teórica integradora de elementos de la red de Uchmański y de otras re-des la que permite considerar como un resultado robusto la afirmación de que el factor que más influye en la regulación y la persistencia de las poblaciones es la existencia o no de algún tipo de variabilidad individual. Entre esas otras redes se sitúan, sin duda, los diversos elementos teóricos de Łomnicki, que hacen de-pender de las diferencias individuales en la obtención de recursos la estabilidad y la persistencia de las poblaciones (Łomnicki 1988, 2009). Un elemento teórico de Łomnicki representa los efectos del reparto desigual de recursos entre indivi-duos a partir de cuatro elementos diferentes, cada uno de los cuales representa de manera diferente el reparto de recursos en poblaciones cuyas generaciones no se solapan (si bien se considera que todos los individuos que componen la pobla-ción son genéticamente iguales y de la misma edad y sexo). En este caso, la esta-bilidad y la persistencia de una población exigen un reparto desigual de los recur-sos. Otro elemento teórico de la red de Łomnicki asume que las generaciones se solapan y en este caso puede concluirse que la relación entre la distribución des-igual de los recursos entre diferentes individuos de la población y la estabilidad y la persistencia de las poblaciones es general. Justamente, un elemento teórico de la red de Uchmański representa en tiempo continuo la situación de este segundo elemento de Łomnicki, haciendo dependiente del parámetro emigración la esta-bilidad o no de las dinámicas de las poblaciones: con emigración o sin ella, las di-námicas poblacionales presentan puntos de equilibrio estables (lo que demuestra que en la estabilidad de las poblaciones no influye únicamente de la emigración, sino también de algún otro factor, probablemente la existencia de diferencias in-dividuales en la obtención de alimentos) (Uchmański 1983). Junto a estos ele-mentos más complejos, también se integran en esta constelación teórica elemen-tos más sencillos como el que vincula la distribución desigual de los individuos de la población a la competencia por el alimento y al reparto desigual de este en-tre los individuos de la población (Kimmel 1986).

En suma, en la literatura ecológica son cada vez más abundantes este tipo de elementos teóricos relativamente complejos, que constituyen redes que toman en consideración aspectos hasta ahora descuidados por las teorías poblacionales clá-sicas. Ahora bien, lo que nos interesa resaltar aquí es que, en las prácticas “nor-males” de los ecólogos, estos nuevos elementos teóricos no reemplazan a elemen-tos –o a redes– teóricos anteriores, demasiado sencillos para representar adecua-damente los procesos que tienen lugar en las poblaciones y, por tanto, parcial-mente obsoletos. Por el contrario, los ecólogos combinan simultáneamente en constelaciones teóricas elementos de diversas redes (complejas o más sencillas).

Los elementos son complementarios en el siguiente sentido. Los elementos teóricos complejos tienden a ser opacos, más opacos cuanto más complejos. Quie-


re decirse con esto que en los elementos complejos en los que se incluye una can-tidad relativamente grande de variables y parámetros, suele ser difícil aprehen-der los mecanismos por los cuales el parámetro (o parámetros) del elemento se comporta(n) de una manera determinada (Grimm & Railsback 2005, pp. 363-369). En cambio, en los elementos teóricos más sencillos esto es relativamente fácil. Así pues, la construcción e integración de elementos teóricos de caracterís-ticas muy diferentes (pertenecientes a redes distintas) y de muy diferentes niveles de complejidad en asociaciones modelísticas como las constelaciones, que se apli-can a un dominio común de aplicación, tiene por objetivo comprender de mane-ra cada vez más profunda cómo diferentes factores y procesos influyen en el com-portamiento de los sistemas estudiados. Los elementos integrados en las constela-ciones teóricas procuran aproximaciones simbióticas en la solución a problemas comunes.

5. ConclusiónEn esta contribución se han analizado algunos aspectos de las prácticas de cons-trucción teórica en la ecología de poblaciones con un triple fin. En primer lugar se ha buscado hacer evidente, bien que de manera bastante intuitiva, la estructu-ra de los denominados “modelos” de la ecología de poblaciones a partir de su re-construcción como elementos teóricos integrados en redes y relacionados entre sí por relaciones de especialización. En segundo lugar, se ha querido poner de ma-nifiesto, mediante un ejemplo sencillo, la importancia del análisis e integración en constelaciones teóricas de elementos de redes diferentes que, sin embargo, in-cluyen la influencia de un mismo factor o proceso a la hora de asegurar que las consecuencias extraídas sobre la influencia de los mencionados factores o proce-sos sean robustas. Por último, se ha querido mostrar que, en la ecología de pobla-ciones, es cada vez más usual la construcción de elementos teóricos relativamente complejos, pertenecientes a redes muy diferentes a las preexistentes, cuya utilidad depende, en gran medida, de la existencia de elementos teóricos más sencillos, pertenecientes a otras redes, con los que pueden ser comparados. En suma, se ha querido hacer razonable la idea de que en la ecología de poblaciones es una es-trategia habitual y una práctica epistémicamente fecunda la comparación de los resultados de elementos teóricos de redes diferentes, con el fin de llegar a conclu-siones robustas sobre la influencia de determinados factores en las dinámicas de las poblaciones naturales.

Habitualmente, esta práctica exige agrupar en una misma unidad epistémica elementos pertenecientes a diferentes redes teóricas. Esos agrupamientos caracte-rísticos de la ecología de poblaciones se integran en lo que hemos denominado constelaciones teóricas, unidades epistémicas que aplican diversos elementos teó-ricos de redes distintas a un dominio común de aplicación. No es posible adqui-rir resultados robustos analizando los factores que influyen en las dinámicas de las poblaciones con base en el marco conceptual provisto por una única red teó-rica, dada la compleja naturaleza de las poblaciones. De ahí que se requiera la in-


tegración de elementos de diversas redes en una imagen de la ciencia normal dis-tinta de la ofrecida por Kuhn. En la imagen de las prácticas científicas que aquí se propone, el ecólogo no dispone, en términos estructuralistas, de una teoría, de una red teórica, sino de constelaciones teóricas.

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Actual Models of the Chomsky Grammar | 195

Actual Models of the Chomsky Grammar*

AbstractWe defend that there is a link between the mathematical analytical models (characteristic of the structural tradition) and the mathematical synthetic models (characteristic of the gen-erative tradition) that is peculiar to Chomsky’s grammar exposed in The Logical Structure of Linguistic Theory, CHG. To identify this link helps to identify the objects and the task of the grammars in CHG and also to detect some inadequacies in the exposition and conception underlying in CHG (related to the connection between levels of representations, the con-ception of the objects and the conception of transformational representation). In order to clarify these inadequacies, we defend that a grammar can be conceived as a theory that as-signs the values of its notions to the sentences of a language, and we propose the following basic relational notions for CHG: phrase structure, transformed structure, phonemic representation and phonetic representation. By means of the structural metatheory, we define the potential models (after formulating the typifications and the characterizations of these notions) and the actual models of CHG (after formulating its fundamental law).Keywords: philosophy of linguistics - Chomsky grammar - structural metatheory - represen-tation levels

ResumenEn este trabajo defendemos que existe un vínculo entre los modelos matemáticos analíticos (característicos de la tradición estructural) y los modelos matemáticos sintéticos (caracterís-ticos de la tradición generativa) que es peculiar de la gramática de Chomsky expuesta en The Logical Structure of Linguistic Theory, CHG. Identificar ese vínculo ayuda a identificar los objetos y la tarea de las gramáticas en CHG y también a detectar algunas inadecuaciones en la exposición y en la concepción propia de CHG (relativas a la conexión entre niveles de representación, la concepción de los objetos y la concepción de la representación transfor-macional). Para clarificar estas inadecuaciones, defendemos que una gramática puede con-cebirse como una teoría que asigna los valores de sus nociones a las oraciones de un len-guaje, y proponemos las siguientes nociones relacionales básicas para CHG: estructura sin-tagmática, estructura transformada, representación fonémica y representación fonética. Mediante la metateoría estructuralista definimos los modelos potenciales (tras formular las tipificaciones y

* Received: 15 February 2011. Accepted in revised version: 12 April 2011.† Departamento de Filosofía I, Facultad de Filosofía y Letras, Universidad de Granada. To contact the author,

please write to: [email protected].‡ This work was carried out with the help of several investigation projects: Group of Investigation HUM101

and Project of Excellency SEJ1558 (Department of Innovation, Science and Enterprise, Government of An-dalusia, Spain), and Project of Investigation PICTR 2006 Nº 2007 (National Agency of Scientific and Tech-nological Promotion, Government of Argentina).Metatheoria 1(2)(2011): 195-226. ISSN 1853-2322.


Luis M. Peris-Viñé†‡

196 | Luis M. Peris-Viñé

las caracterizaciones de esas nociones) y los modelos actuales de CHG (tras formular su ley fun-damental).Palabras clave: filosofía de la lingüística - gramática de Chomsky - metateoría estructuralista - niveles de representación

0. IntroductionThe foundation of generative linguistics, since their beginning in the fifties, has been dependent on the fulfillment of some patterns of scientific theory. In that foundation there are still questions unresolved in three domains: prior domain (mainly centered on their relationships with the distributional grammar), interi-or domain (mainly centered on the criteria of internal change) and global domain (mainly centered on their linking with the natural sciences). They are unresolved questions because they arose when certain assumptions were adopted in the six-ties without justification. The main assumptions were: the incommensurability between generative grammar and distributional grammar, the mentalist concep-tion of grammar as a theory of the mind, the innatist conception of acquisition of the language and the pretences of naturalization of linguistics. These assump-tions actively continue today in the current developments of the generative lin-guistics around the minimalist program, and they underlie the most recent de-bates on the foundations of the discipline.1 Only by understanding faithfully the developments of the fifties can we capture the novelty of such additional assump-tions, and evaluate to what degree they have been successfully expedited and the so-lidity of the foundation that supports them. This period, between Chomsky’s ear-liest writing up to 1965, constitutes a critical stage that incorporates crucial events to understand the relationships between generative linguistics and the structural trend of the time, the peculiarities of the posterior evolution of the generative linguistics in different versions and the peculiarities of linguistics as knowledge.

Our more general proposal is that, in order to understand these constituent aspects of generative linguistics and of linguistics as a scientific knowledge, a rig-orous metatheoretical analysis of those first years of generative linguistics is neces-sary. The reconstruction from the philosophy of the science allows to obtain con-clusions about different aspects of the foundation of the linguistic theories: the nature of their objects, the task that they develop, the type of notions used in that task, their intertheoretical relationships, etc. These considerations justify the interest in reconstructing the first theory of the generative trend.

We will analyze and reconstruct the essential parts of the theory exposed orig-inally in Chomsky’s The Logical Structure of Linguistic Theory (Chomsky 1955), that we will call Chomsky Grammar, CHG. This work is the temporal and conceptual base of the whole later generative transformational trend. In our proposals of log-

1 In the minimalist program it continues open, for example, the debate on the nature of the grammar’s objects delineates the possibility that the computational systems can be sensitive to the conceptual-intentional sys-tems and to the articulatory-perceptual systems.


ical reconstruction we use the tools of analysis provided by the structural concep-tion of theories.2 In CHG a grammar is configured as a hierarchical set of levels of representation for the sentences of a language, and therefore can be conceived as a theory that assigns to these sentences the structural representation obtained in those different levels. The hierarchy or connection proposed between the dif-ferent representation levels can be formulated in terms of a fundamental law and thus allows us to identify the actual models of the theory.

1. Particular grammar and general theoryIn CHG the distinction and relation between grammar of a particular language (par-ticular grammar) and general theory is very important. A particular grammar purpor-ts to show the structure of the language, the final aim being to provide a specifi-cation and description of the grammatical utterances of the language. To achie-ve these objectives, various representation levels are organized. Thus a sentence token can be represented as a sequence of phonemes, also as a sequence of mor-phemes, words, and phrases. Therefore each sentence token will have associated with it a whole set of representations, each representation being its spelling in ter-ms of elements of one linguistic level. The grammar of a language must state the structure of each grammatical utterance of the language on each linguistic level. These representations are such that they constitute a specification of the gram-matical sentences of a language. Furthermore, a grammar is a scientific theory,

a complete scientific theory of a particular subject matter, and if given in pre-cise enough form, a formalized theory. Any interesting scientific theory will seek to relate observable events by formulating general laws in terms of hypo-thetical constructs, and providing a demonstration that certain observable events follow as consequences of these laws. In a particular grammar, the ob-servable events are that such and such is an utterance of the language, and the demonstration that this event is a consequence of the theory consists in stating the structure of this predicated utterance on each linguistic level, and showing that this structure conforms to the grammatical rules, or the laws, of the theory. The grammar thus gives a theory of these utterances in terms of such hypothetical constructs as the particular phonemes, words, phrases, etc. of the language in question. (Chomsky 1955, p. 77)

On the other hand, the general theory is the upholds theory in which these sys-tems of representation are constructed and studied in an abstract manner, and the relations between them explicitly characterized, i.e., it is the abstract theory in which the basic concepts of grammar are developed, and by means of which each proposed grammar can be evaluated. Every grammar must be compatible with the general theory in the sense that the elements set up in the grammar must exhibit the general properties required by the theory. Particular grammars must be models of general theory and they must exemplify the general theory.

2 See Sneed (1971), Balzer, Moulines & Sneed (1987), Balzer & Moulines (1996) and Balzer, Moulines & Sneed (2000).


Chomsky (1955) includes an exposition of the general theory as well as a particular grammar of English. Our purpose in this paper is to reconstruct some fundamen-tal aspects of the general theory of the CHG.3

2. Linguistic levelsA grammar is configured as a hierarchical set of representation levels for the sen-tences of a language. In section 2.1 we will present the general characterization of linguistic levels offered by Chomsky (1955), in section 2.2 we will investigate the existing connection between representation levels and generative grammars, and in section 2.3 we will summarize the description of different levels as carried out by Chomsky (1955).

2.1. General characterization of representation levelsIn carrying out linguistic analysis, then, we must construct on each level L a set of elements (which we will call “L-markers”), one of which is assigned to each grammatical utterance. The L-marker of a given utterance T must con-tain within it all information as to the structure of T on the level L. (Chomsky 1955, p. 107)

The construction of L-markers, that is to say, the construction of utterance repre-sentations in the level L, is achieved departing from a finite alphabet of elements or primes:

Given two primes of L we can form a new element of L by an operation called “concatenation”, symbolized by the arch ^ [...] In general, given two elements X and Y of L, whether primes or not, we can form by concatenation new ele-ments X^Y and Y^X, and concatenation is associative for such compound ele-ments. The elements of the system L will be called strings in L. Every nonprime string has a unique spelling in terms of primes. It is convenient to assume that the system L contains an identity element which when concatenated with any string X yields again the string X. We will call this element, which is unique on each level, the unit U of L. (Chomsky 1955, pp. 105-106)

Thus, it becomes clear that a representation level is configured as a concatenation algebra (to be exact, as a type of algebra called monoid). But a linguistic level of representation is a concatenation algebra with certain peculiarities added:

In very general terms, then, a level L is a system (…) L = [L, ^, R1,…, R

m, µ, Φ,

ϕ1,…, ϕ

n] where

(i) L is a concatenation algebra with L its set of primes(ii) R

1,…, R

m are classes and relations defined within L. R

1 is the identity re-

lation = (iii) µ is a set of L-markers–elements of some sort constructed in L(iv) Φ is a mapping which, in particular, maps µ into the set of grammati-

cal utterances

3 The reconstruction of a grammar for some particular language requires having a previous reconstruction of the general theory. See Peris-Viñé (2010) and Peris-Viñé (2011).


(v) ϕ1,…, ϕ

n express the relations between L and other levels (Chomsky

1955, p. 108)

Given this general characterization, if we want to characterize a particular level L, according to Chomsky (1955), we must describe the set L of primes of L, the set µL of L-markers, the relations among elements of L, the mapping ΦL of L-mark-ers into grammatical utterances, and the conditions of compatibility relating L to other levels.

One must distinguish between the primes of a level and the occurrences of these primes; the same prime can have more than one occurrence in an utter-ance. Relationships between level L and other levels, mentioned in (v), can con-veniently be described as mappings which associate elements of L with elements of the other levels, and express the conditions of compatibility between levels; Φ, one of the relations considered in (v), is a mapping that expresses a special re-lationship among levels. As far as the manner of describing Φ it can be said that:

It is not necessary in general to describe the mapping Φ as a mapping of L-markers directly into grammatical utterances. If on some level L' the mapping ΦL' has been defined from L'-markers to grammatical utterances, then ΦL can be defined from L-markers to L'-markers. (Chomsky 1955, p. 107)

We propose to refer to these two manners of describing the mapping Φ as primi-tive description and derived description respectively. In terms of the primitive descrip-tion, ΦL(X) designates the grammatical utterances whose representation in the level L is the L-marker X. In terms of a derived description, ΦL(X) designates the L'-marker that constitutes the representation in L' of the sentences whose rep-resentation in L is X.4 Chomsky (1955) alternates constantly between these two manners of describing the mapping Φ, even using derived description in several degrees.

2.2. Representation levels and generative grammarsThe specialized literature often states that a grammar consists of an organized set of representation levels. However, after a careful reading of Chomsky (1955) it becomes clear that, strictly speaking, representation levels and grammars are different things; that is to say, to define a grammar simply as a series of repre-sentation levels is not exact. To understand in what sense this is true, we will at-tempt to understand the position of Chomsky (1955), beginning with a distinc-tion among types of mathematical models used in the study of the language.

This distinction is one that sets up the analytical models in opposition to the synthetic (or generative) models. It also reflects a difference in the perspective from which the structure of the language (or, more specifically, the structure of utte-rances or sentences of the language) is studied:

There are two fundamental types of models which are studied in algebraic lin-guistics: generative and analytic. Simplifying, we might say that within the fra-

4 This is fulfilled only if L is not the phonetic level, Pn; since to markers of Pn are always assigned utterances. That is to say, of ΦPn it is only possible to give a primitive description.


mework of a generative model, the starting point is a certain grammar, while the object we study is the language generated by this grammar. An analytic mo-del presents an inverse situation; here the starting point is a certain language, i.e., a certain collection of sentences, whereas the purpose of the study is to es-tablish the structure of these sentences, their constitutive elements, and the re-lations among them within the framework of sentences. (Marcus 1967, p. vii)

In the structural trend the utterances of the language were the departure point, and an attempt was made to develop procedures to determine the structure of those utterances at different levels. The result was grammars conceived as repre-sentation systems that assign representations to utterances. This indicates that the models developed in the structural trend were analytical models. A grammar as a representation system (an analytical grammar) is formulated as an algebraic sys-tem. But from the perspective initiated by Chomsky (1955) the objective is to de-rive utterances.5 In this way, grammars are conceived as generation systems. This in-dicates that the models developed in the generative transformational trend were synthetic models. A grammar as a system of generation (generative grammar) is formulated as a set of rules.

From this we can deduce that a generative grammar (formulated as a set of rules) must express the information about the utterances that the corresponding analytical grammar (formulated as an algebraic system) provides. We can say that in Chomsky (1955) a generative grammar is conceived as being associated with a corresponding analytical grammar.6 Thus it is understood that the purpose of Chomsky (1955) will be to show the close connection that exists between the representation levels and the (generative) grammars:

For each linguistic level, we show how the information about utterances provi-ded on this level can be presented as a sequence of conversions, and how the underlying algebra (i.e., the structure of the level) can be reconstructed from the sequence of conversions […]. Then, given a corpus, we can construct a set of compatible levels, each with the proper internal structure, and such that the correlated sequence of conversions produce the corpus (along with much else). (Chomsky 1955, pp. 67-68)

In other words, given an utterance and the representation that an analytical gram-mar assigns to it, it should be possible to build a derivation of the utterance from the corresponding generative grammar; a derivation that furthermore expresses the information contained in the representation that the analytical grammar as-signed to the utterance.

Bearing in mind this correspondence between an analytical grammar (formu-lated as a set of algebraic systems) and a generative grammar (formulated as a set of conversions or generation rules), we will understand the exact meaning of the idea of a grammar organized in representation levels.

5 Or sentences, as will be said in the subsequent development of the generative grammar (see below section 3).6 This is an additional feature of the dependency on the structural tradition displayed by the first proposals of

Chomsky.


This correspondence between analytical grammars and generative grammars enables Chomsky (1955) to study certain aspects of representation systems starting from the corresponding generative grammars. It especially permits him to detect some of the deficiencies of representation systems belonging to the structural tra-dition, particularly the deficiencies whose solution requires the introduction of a new representation level, the transformational level. When the advantages of in-troducing such transformational rules in a grammar were recognized, the type of grammar that was standard up until then was proved to be inadequate. This led Chomsky (1955) to characterize the representation level corresponding to this new type of rules, the transformational representation level.

2.3. Description of particular levelsWe will now try to summarize the description of the different representation le-vels that Chomsky (1955) offers in order to have a reference for our reconstruc-tion of CHG. Another objective of this description is to point out the links bet-ween the algebraic structure of each level and the generative rules that produce the corpus; that is to say, the links between analytical grammar and generative grammar expressed in Chomsky (1955) (see above section 2.2).

The set of primes in the LEVEL P OF PHRASE STRUCTURE is a finite and nonempty set that will include, for English, such representations of strings of words as Sentence (S), Noun Phrase (NP), Verb Phrase (VP), Noun (N), Verb (V), etc., as well as elements corresponding to individual words and the grammati-cally functioning morphemes (as morphological heads and syntactically function-ing affixes), as John, ing, components expressing agreement in number. For other languages, this level will also include components expressing gender agreement.7 Within this level the relation ρ among the strings formed from the set of primes is defined, and it is irreflexive, asymmetrical, transitive and nonconnected.8 ρ is the relation of representation (that is to say, it is read ‘represents to’), and it is the relation maintained, for example, between Sentence and NP^VP, between Sen-tence and John^came^home, between NP^VP and John^came^home. Thus, we will say that Sentence represents to NP^VP, ρ(Sentence, NP^VP); etc. There will be a set of strings X such that for no Y, ρ(X, Y), that is to say, a set of strings that do not represent any other string. Chomsky designates P to this set. P will have strings that correspond to non grammatical strings of words and strings that correspond to some grammatical strings of words. The strings of P that correspond to gram-matical strings of words will be called terminal strings. Gr(P) will be the set of these strings, the grammatical strings in P . Sentence, S, is the only prime such that ρ(S, Y) for all string Y ∈ Gr(P). That is, S is the only prime that represents every gram-matical string. The structure of the grammatical utterances on the level P, that is, the structure of strings of Gr(P), is expressed by P-markers. The P-marker as-

7 See Chomsky (1955), p. 172.8 Note that ρ is one of the relations R

1,..., R

n mentioned in the general level characterization (see above section

2.1).


signed to a sentence will carry all the information about the constituent struc-ture of this sentence. A P-marker can be defined as a certain set of strings that represents a terminal string associated with the sentence, and gives an analysis of a properly parenthesized expression, where each parenthesized part is represent-ed by a prime that states what sort of constituent it is.9 The representation that from the level P is assigned to utterances will be obtained in a generative gram-mar through the application of phrase structure rules. The description of ΦP oscil-lates between what we have called primitive description and derived description. The derived description of ΦP takes place in several degrees, that is to say, recurring to different representation levels lower than P, to levels that even Chomsky has considered on occasions to be embedded at the level of phrase structure. For dif-ferent reasons provided by Chomsky 1955, ΦP cannot be reformulated as a se-quence of rules similar to those which permit the derivation of terminal strings, but rather must be reformulated as a compound transformation. That is to say, the reformulation of ΦP in terms of a generative grammar can be accomplished only by transformational rules, in the TRANSFORMATIONAL LEVEL T.

The rules of ΦP are not the only transformational rules of a generative gram-mar. The transformational rules of ΦP must be applied to generate any utter-ance of language, they are obligatory transformations. To generate certain utterances some optional transformations are applied.

The set of strings which do result from Gr(P) by application of ΦP we call the kernel of the language, and we require that all other grammatical string of words be derived ultimately from kernel strings (more correctly, from the strings in Gr(P) which underlie kernel strings) by grammatical transformations. (Chomsky 1955, p. 402)10

In any case, whether we apply only the transformational rules of ΦP or other transformational rules, we will obtain what Chomsky (1955) calls a string of words. Each transformation T converts a string with phrase structure into a string with a derived phrase structure, that is, operates on a string Z with the constituent in-terpretation K, which may or may not be a P-marker, and converts it into a new string Z with the derived interpretation K . Chomsky (1955) denote ‘T(Z, K)’ to Z . In general, Chomsky (1955) considers as a T-marker any string S

1^S

2^…

^Sm where S

1 = Z

1^K

1^T

1 and each S

i is either T

i or is Z

i^K

i^T

i. For Chomsky,

the manner of representing the sentences of a language is very different accord-

9 See Chomsky (1955), pp. 69-70. In Chomsky (1955) a P-marker can be considered as a set of strings or as a parenthesized expression; that is, as the set of representations that integrate the derivation that concludes in the terminal string corresponding the sentence in question, or as an expression in which the class of constit-uents to which the elements of the terminal string belong are indicated by brackets and labels. These ideas about what a P-marker is are compatible if we understand that a P-marker (conceived as a set of represen-tations) is similar to a box of immediate constituents, and that if we crush that box, incrusting the smaller compartments into the bigger ones, the outcome will be the parenthesized equivalent expression.

10 If we keep in mind that, in some cases, certain (optional) transformations that do not belong to ΦP can be ap-plied before some transformations of ΦP, then we can say that when all the transformations applied belong to ΦP and not to ΦT- ΦP that is to say, when all the transformations are obligatory, the outcome is a kernel string (see Peris-Viñe 2011).


ing to whether we do it from the transformational level or from any other. If, in terms of previous levels, we can represent each sentence as a string of phonemes, words, syntactic categories, and, in various ways, as string of phrases, now in T level we will be able to represent a sentence as a sequence of operations by which this sentence is derived from the kernel of basic sentences, each such sequence of operations corresponding to a T-marker.11 That is to say, the representation of sentences from the transformational level would consist of an indication of what to do to obtain a certain structure (specifically, to obtain what Chomsky calls a string of words), while from other levels the representation of sentences consists of an indication of their structure. As a consequence of this perspective on the rep-resentation in level T, Chomsky must consider as primes of this level all that ap-pears in such indications of how to obtain the string of words corresponding to a sentence. Things include transformational rules, compound transformations (in particular, ΦP), P-markers, strings of words and morphemes belonging to P and also any set of these strings.12

Once transformational rules have been applied, the representation of the sentence in question can be established in terms of phonemes. However, the assignment of the phonemic representation of sentences is expressed from the LEVEL W OF WORDS, more exactly through the mapping ΦW, which is a speci-fication of the phonemic shape of words. For Chomsky (1955) ΦW will be a sin-gle-valued mapping of words and strings of words into strings of phonemes. If X and Y are strings in W, then ΦW(X^Y) = ΦW(X)^ ΦW(Y). That is to say, given the strings of words X and Y, the phonemic representation that the grammar will as-sign to the string X^Y will be equal to the string that results from concatenating the phonemic representation of X with the phonemic representation of Y. The assignment ΦW effected in the level W, in a generative grammar can be given by a sequence of statements of the form X → Y, so that derivations of phonemic sequences from word sequences can be constructed. The primes that appear in these rules will be words, morphemes, morphophonemes and phonemes. Note that Chomsky (1955) calls this level ‘level W of words’. However, as we can ap-preciate, representations in terms of words are not obtained from this level, but phonemic representations. Something similar occurs with levels Pm and Pn, in which the values of the assignment do not belong to these levels. This contrasts with, for example, the level P of phrase structure from which the representation of sentences in terms of phrase structure is obtained.

The phonetic representation of sentences is obtained from the PHONEMIC LEVEL Pm. In this level ΦPm carries strings of phonemes into strings of phones and is single-valued, that is, the reading of a phonemic representation must be unambiguous. For Chomsky (1955) the mapping ΦPm assigns a physical content to the symbols of the phonemic alphabet. If X and Y are strings in Pm, then

11 See Chomsky (1955), p. 306.12 See below section 4.2 for our critical commentaries regarding this perspective adopted by Chomsky (1955)

about the nature of the transformational representation and his conception about the output of the transfor-mational component as mere strings of words.


ΦPm(X^Y) = ΦPm(X)^ΦPm(Y). That is to say, given the phonemic representations X and Y, the phonetic representation that the grammar will assign to the X^Y string will be equal to the string that results from concatenating the phonetic representation of X with the phonetic representation of Y. The assignment that ΦPm fulfils can be obtained in a generative grammar through rules of a certain type that rewrite phonemes in phones depending on the context. The physical content of phonemic representations is provided by the phonetic level.

The PHONETIC LEVEL Pn is the lowest level of representation and provides a physical description of phones. The primes of this level are phonetic symbols, and with each of them is associated a certain set of S of defining physical proper-ties. This level is taken as an absolute level, fixed and available for all linguistic de-scription. According to Chomsky (1955) the level Pn relates phonetic represen-tations with those utterance tokens which are represented by them. To be more specific:

if X is a string of phones, then “ΦPn(X)” will designate the set of utterance to-kens which are represented by X on the level Pn. [...] Thus ΦP gives a specifica-tion of strings in Pn in terms of certain physical properties associated with the alphabet Pn. A string X in Pn may represent (by ΦPn) utterances of the corpus [...] or it may represent grammatical or nongrammatical utterances which do not happen to be in the corpus. (Chomsky 1955, pp. 158-159)

That is to say, in this level representations would not be assigned but rather sets of utterances. If a generative grammar must reformulate the assignment of repre-sentations accomplished by the mappings of the different levels by way of rules, then, a question emerges immediately: what are the rules by which the mapping ΦPn is reformulated in a generative grammar? The reading of Chomsky (1955) does not allow us to imagine what such rules would be (see below section 4.2).

In general, in CHG, the linguistic analysis formulated in terms of representa-tion levels is reproduced through different types of rules. This linguistic analysis begins by considering a corpus of utterance tokens upon which conformity has been defined by the paired utterance test. This test

gives us a classification of utterance tokens into utterance types. To apply this test we must have an initial segmentation of the corpus into sentence tokens. These sentence tokens are further segmented into discrete units which may be called phone tokens. We might extend the primitive notion of conformity to co-ver all sequences of one or more phone tokens, deriving the notion of phone type and phone sequence type. […] The next step in the development of lin-guistic theory is the definition of the notion phoneme […]. The development of a system of phonemic representation does not conclude the process of linguis-tic analysis. We also want to discover the morphemes, words, and phrases of the language, and to determine principles of sentence construction that could hardly be stated directly in terms of phonemes. (Chomsky 1955, pp. 98-99)

Now then, this entire analysis process, which starts with the identification of phones (as minimal acoustic units of the phonetic description), should be repro-duced in the generation process of sentences, but in the inverse order. The steps of this process are:


(i) Derive a terminal string from Sentence by the first part of the sequence of conversions. From this derivation, we can reconstruct uniquely the P-marker of this string. (ii) Select a T-marker and apply it to the terminal string with the given phrase structure. If the T-marker is just ΦP, we have a kernel string; otherwise, a transform. In either case, we have a string of words. (iii) Derive a string of phones from this string of words by the remaining conversions. From this derivation we can reconstruct the lower-level representations of the de-rived string. (Chomsky 1955, pp. 73-74)

3. Domain of objects and the task of the grammarIn this section we will try to specify what the objects of a grammar are and the characteristic task or action a grammar carries out on such objects. It is evident that both problems are closely connected; furthermore, the response given to these problems will radically condition basic aspects of our logical reconstruction of CHG, for instance, the form of the fundamental law proposed. In Chomsky (1955) we do not always find an explicit response to such problems. Thus, on some occasions, it seems that the objects of the grammar are sentences, while at others it seems that they are utterances and on still other occasions it seems that they are certain representational structures. On the other hand, sometimes it seems that Chomsky (1955) defends that grammars effect a representational task (assigning representations to objects) but sometimes it seems that what is defended is that the peculiarity of grammars is a generative task (assigning sentences to their repre-sentations). To begin to handle these problems we will depart from the existing connection between representation levels and generative grammars (see above sectio-ns 2.2 and 2.3).

Which is the task that characterizes a grammar? As we have seen in section 2.2 the task that an analytical grammar accomplishes is one of representational character, i.e., the objective is to represent utterances. Furthermore, Chomsky (1955) proposes generative grammars as a means to express the type of informa-tion that was already expressed by analytical grammars and to detect their defi-ciencies; therefore we could accept that the basic objective of a generative grammar and of an analytical grammar is the same: to represent utterances of a language, to assign to utterances their representation, even though this assignment is carried out (or is expressed) through a generation process. Therefore, if the task is funda-mentally of representational character, then the objects cannot be the representa-tions, but those entities to which the representations are assigned.13

What are the objects to which the grammar assigns representations? Choms-ky (1955) uses indistinctly the terms utterance and sentence for designating the objects of the grammar. Also he speaks of sentence tokens and utterance tokens without establishing differences. As he uses both terms (grammatical utterance and grammatical sentence) we can infer that both utterances and sentences can be either

13 Some aspects of the description of mappings Φ effected by Chomsky (1955) could lead us erroneously to think that the objects of CHG are representations.


grammatical or not. It is possible that this use, apparently equivocal, was cohe-rent with the general use of those terms in the fifties. According to Harris (1951), Chomsky’s teacher, an utterance is any stretch of talk, by one person, before and after which there is silence on the part of the person, and sentences are utte-rances which satisfy certain structural formulae (or sequence of categories). In any case, after an unbiased reading of Chomsky (1955), we would have to assign to CHG the following theses:

T1 The objects of a grammar are sentences T2 The objects of a grammar are utterances T3 Utterances and sentences are objects of the same type

Somebody can consider T2 to be coherent with the structural tradition. But nei-ther T2 nor T3 is coherent with the subsequent development of the transforma-tional generative trend that Chomsky (1955) begins: in this trend, a sentence is not a stretch of talk, a sentence does not consume time, it is not a physical object or event; the objects of grammars are sentences, not utterances. That is to say, in the subsequent development of the generative transformational trend, T1 is maintained but T2 and T3 are rejected: we should not confuse utterances with sen-tences; an utterance can express more than one sentence, or exactly one sentence, or only a part of a sentence; furthermore, the same sentence can be expressed by many utterances.

A reconstruction of CHG could be limited to verifying the initial coexist-ence of two types of objects. But this is not our intention, since we believe that in Chomsky (1955) there are elements that would have permitted its author to reject theses T2 and T3, as indeed happened thereafter. Our reconstruction, at this point, intends to emphasize those elements that reconcile CHG with its future. Those elements are none other than the new methods of representation assign-ment proposed in Chomsky (1955): the generative rules. The change proposed in the procedures of representation assignment (generative grammars versus ana-lytical grammars) should have been accompanied by a change in the type of ob-jects of those representations (sentences versus utterances). New methods are incom-patible with old objects: the generation and representation of all utterances of a language is an impossible objective and theoretically uninteresting; while the generation and representation of all the sentences of a language is a possible and interesting objective. We can say that the new (generative) methods could have expressly promoted the constitution of new objects (sentences) in Chomsky (1955), which is precisely what happened in the subsequent development of the generative transformational trend. This incoherence of Chomsky (1955) with its underlying assumptions should not prevent us from considering that the actual objects of CHG are sentences and not utterances; otherwise its principal and ef-fective contributions to linguistics would not be understood. In fact the objects of CHG cannot be utterances. Accordingly, in our reconstruction of CHG, the term sentence is a primitive term that designates the objects that integrate the do-main of a grammar, and the grammar of a language is a theory of the set L of sen-tences of that language.


But there are different conceptions about what constitutes a sentence. What notion of sentence is used in CHG? In Chomsky (1955) a sentence is a string of signs, an entity that we can build and obtain by mathematical tools. These mathematical tools are employed in the construction of a derivation of the sen-tence. That is to say, to conceive a sentence as a string of signs is coherent with assigning to grammar a generative task: a grammar generates sentences-as-strings. But against this notion of sentence-as-string we can argue that a sentence of a natural language is not a string of signs; a sentence is somewhat more than that, although it is difficult to specify, it is an abstract object. This is sometimes forgot-ten, like when a grammar is equated with an automaton. Automata (examples of generative grammars) generate the sentences of the language for which they have been conceived, sentences that, because they belong to an artificial language, can be considered strings of signs. But the grammar of a natural language does not generate sentences of this language (since sentences are not things that can be generated). What a grammar generates are certain strings of signs associated with sentences and used as representation of these sentences. Therefore, to reject the notion of sentence-as-string is coherent with the rejection of the view that the task of a grammar is to generate sentences. At the same time, a conception ac-cording to which the task of a grammar is to represent sentences is coherent with a notion of sentences not as mere strings of signs. We conclude saying that the task of a grammar is to represent sentences of a language, for which it generates representations-as-strings.

As we have already indicated, in relation to the terms utterance and sentence, Chomsky’s line of thought underwent an evolution: utterances stopped being con-sidered objects of the grammar and that role was performed only by sentences. This change concerning objects was accompanied by a corresponding change concerning his global perspective on language. If we keep in mind that analyti-cal models depart from objects in order to be able to formulate their grammar, while synthetic models depart from the formulation of the grammar in order to derive objects, it is understandable that in the analytical models (characteristic of the structural tradition) the objects in question will not be sentences-as-strings (they will be utterances), while in the synthetic models (characteristic of the genera-tive tradition) the objects in question will be sentences-as-strings. The structural (empirical) linguist finds utterances (concrete physical objects) while the generative (mathematical) linguist derives sentences-as-strings of signs. Chomsky ended a first and short period in which he considered that utterances as well as sentences-as-strings were objects of the grammar (which prompted him perhaps to make his interest in analytical models compatible with his interest in synthetic models), and proceeded to a second and extended period in which he was interested only in synthetic models (which prompted him to maintain that the objects of a gram-mar are sentences-as-strings).

The representational character of the task of a grammar (analytical as well as gen-erative) is similar to the one we can identify in other theories, especially in the natural sciences. That is to say, it is normal for scientific theories to be conceived


as procedures which assign values of certain notions to their objects. Those values represent or interpret basic aspects of objects of the theory, and they will be used to express regularities with which the theory is concerned. The basic no-tions of a theory are relations (and in some cases functions). This analysis has been shown to be useful and fruitful in approaching theories belonging to vari-ous fields and we believe that it can also be applied successfully to linguistics and especially to CHG. Thus, one of the basic assumptions of our reconstruction of CHG is that its structure can be reflected adequately by conceiving it as a theory that assigns to its objects the values of certain notions, i.e., its basic notions. The basic notions of CHG express its representational character. Therefore, as an im-portant step in our reconstruction, we should specify the basic notions of CHG and the values assigned.

4. Basic notionsAccording to Chomsky, a grammar is a theory of the sentences of a language, and it can be conceived as a procedure to assign different grammatical representations to those sentences. This permits us to analyze the CHG as a theory that assigns values of certain basic notions (grammatical representations) to objects of its do-main (sentences). Chomsky (1955) examines different representations and diffe-rent representation levels wherein such representations are administered. In or-der to identify the basic notions of CHG and establish their structure, we will analyze the sometimes confused account of Chomsky (1955) about the organiza-tion of representations levels and its conception of transformational representa-tion.

In the representation levels considered in CHG certain mappings Φ occupy a fundamental position. But the basic notions of CHG are not directly expressed by the mappings Φ. The mappings Φ assign sentences to L-markers and they are elements of the (algebraic) formulation context. The mappings Φ do not formulate the task of a grammar, which we already saw to be of representational charac-ter. On the other hand, basic notions of the grammar, which, as we have already said, must perform a representational task, are elements of the linguistic analysis context. The basic notions assign L-markers to sentences.

4.1. Identification and nature of basic notionsWhat are the basic notions of CHG? We can obtain the answer to this question by examining Chomsky’s (1955) way of organizing the representational levels of a grammar (see above section 2.3). The conduct of Chomsky (1955) seems to be guided, in part, by a maxim about when to build a representation and when to cha-racterize a representation level. We will call 1-1M (one-representation-one-level maxim) to this hypothetical maxim. 1-1M consists of two paths: l-r PATH: if there is a grammatical representation level from which some represen-tation is assigned, then we will be able to build a representation (through a set of rules that generate it)


r-l PATH: if there is a representation (generated through a set of rules), then we will be able to characterize a representation level from which to assign said representa-tion.Chomsky (1955) seems to be acting under this maxim when, having identified a certain transformational representation, insists that with reference to this repre-sentation it is possible to configure a representation level similar to other levels of the grammar. A consequence that we would expect from this maxim is that between the representations assigned in the linguistic analysis and the represen-tation levels that formulate this assignment there must be a certain correspondence. Such a correspondence that, for example, if the representation r is formulated in the level R, then R will assign the representation r to sentences. We will soon see if this correspondence is manifested or not in the account of Chomsky (1955). Bearing in mind 1-1M, let us pay special attention to how Chomsky (1955) orga-nizes levels of the grammar.

Since we can represent sentences of a language specifying their phrase structure, we will be able, according to the r-l path of 1-1M, to characterize the phrase structure level P. Transformational rules are applied to the phrase structure of a sentence in order to build the sentences’ representation that Chomsky (1955) calls string of words; our author considers that the sequence of transformational rules applied is also a representation for sentences; then, continuing the r-l path of 1-1M we can speak of the transformational level T and of the level W of words. However, curiously, the representation string of words is not assigned from the level W of words (in the manner that happens in the level P of phrase structure) but from the transformational level T. Could it be that the level W of words lacks representation to assign? Not so, since the l-r path of 1-1M guarantees its existence and that of rules that generate it. Therefore what is then the representation that is assigned in the level W of words? Chomsky (1955) responds that in the level W of words phonemic representations are assigned. We find that this level is not designated according to the representation that it generates (as happens in the level P of phrase structure) but rather according to the representation assignable from another level (the transformational level T). Now that there are phonemic representations, we can characterize the phonemic level Pm following the r-l path of 1-1M. But, according to Chomsky (1955), phonemic representations are not assigned from this level (as happens in the level P of phrase structure) since, as we have seen, such representations are assigned in the level W of words. What representation is assigned in the phonemic level Pm, and whose existence (together with the existence of rules that generate it) is guaranteed by the l-r path of 11M? Chomsky (1955) responds that in the phonemic level Pm phonetic representations are assigned. Again, just as occurred in the level W of words, this level is designated not according to the representation that it generates (as happens in the level P of phrase structure) but with respect to the representation assignable from another level (the level W of words). Now we have phonetic representations, so if we continue with the r-l path of 1-1M we will be able to characterize the phonetic level Pn. But we can already see that


phonetic representations are not assigned at this level, since these are assigned at the phonemic level Pm. Once again, as occurred in the level W of words and at the phonemic level Pm, this level is designated considering not the representation that it generates but rather the representation assignable at another level (the phonemic level Pm). But what representation does this level assign and what are the rules that generate that representation? since the l-r path of 1-1M guarantees the existence of both of these. Perhaps this representation level assigns some type of representation to objects of the domain of the grammar? The answer is no. This level of representation would simply assign the objects themselves (sentences or utterances; see above section 3). But what are the rules that generate objects?

This short analysis of the exposition of Chomsky (1955) helps us identify certain erroneous consequences or features of his proposal for the organization of representation levels in a grammar: one of the representations would include rules; certain levels would not assign the corresponding representation; in the transformational level T two representations would be assigned; the represen-tation phonetic level Pn would not assign representation, but rather sentences. We believe that these erroneous consequences do not proceed from the 1-1M maxim, but from other assumptions or factors that interact with it, and mainly of Chomsky’s (1955) conception of the nature of transformational representation.14

4.2. The nature of transformational representationsAccording to CHG’s conception of the nature of transformational representa-tion, one of the representations that the grammar assigns to sentences from the transformational level is integrated by (transformational) rules and by certain struc-tures to which those rules are applied. But we believe that rules in a grammar should be conceived as auxiliary or as formal procedures, originating from a pre-vious theory more basic than the grammar of a language, namely the general rules theory, GRUT (see below section 8.1). The role of rules in a grammar is similar to that fulfilled by arithmetic operations and set theory operations (or even certain experimental procedures) in theories of other disciplines, particularly those ope-rations which are employed to formulate (fundamental or special) laws and not to characterize the range of basic notions of theories. We must distinguish between the values that basic notions assign and the (auxiliary) procedures through whi-ch those values are obtained, calculated or reconstructed. This difference is ba-sic in analyzing the structure of any theory and is also exemplified perfectly in CHG: the difference in question is the one that exists between the represen-tation assigned to sentences from different levels, on the one hand, and, on the other, conversions, rules and transformations that are the means used by a gram-mar to reconstruct those representations assigned to sentences. Furthermore, this difference is present in Chomsky (1955) at all levels except at level T.

14 Some of those factors are the fluctuation between representations and sentences as the objects for grammar, the influence of the study of artificial languages, and the persistence of utterances as objects of the grammar. These assumptions were considered in detail in Peris-Viñé (1996), being shown how they produce those con-sequences.


Chomsky’s position leads him to consider such heterogeneous items as trans-formations, compound transformations, strings, sets of strings as primes of the level T. Thus, while in levels other than T the L-markers are strings (with structure) of signs belonging to basic vocabularies, according to Chomsky’s (1955) conception, the T-markers would end up being indications of what operations one must per-form and on what particular structured sign strings. We believe that the values of basic notions of a theory are not integrated by the auxiliary procedures used to obtain the values of the notions of such a theory. What is more, the practice of grammarians in their linguistic analysis corroborates this view. Grammarians do not stop their linguistic analysis when they have indicated what transformational rules one must apply, but rather they apply them and consider that the result of that application is what represents the sentence in question.

We think that what results after applying transformational rules cannot be conceived as a mere string of words, but as a string of words with a characteris-tic structure. If each transformation converts a string with phrase structure into a string with derived phrase structure, as Chomsky (1955) asserts, then the output of the transformational level can be conceived as the derived phrase structures obtained after the last applied transformation. We will designate these structures transformed structures. Chomsky (1955) himself does not seem so distant from this interpretation when he says that one must provide derived constituent structure to the results of the application of transformations15 or when he says that the string of words obtained by transformations “has a constituent structure by virtue of the fact that transformations impose a derived interpretation on the strings which they yield.” (Chomsky 1955, p. 409) Furthermore, usually, the structure obtained from level P, i.e., the structure on which different transformations begin to be applied, is very different from the structure obtained from level T; this last struc-ture cannot be obtained through phrase structure rules, since within it are found a certain order, a certain hierarchy and even certain morphological items that only can be introduced at the level T. In other words, what results from applying transformations constitutes a different representation of sentences, and therefore the grammar must offer a concept which reflects that difference. Consequently, our proposal is that the result of applying transformational rules should be con-sidered to be a structured grammatical string of words (what we have called trans-formed structure) rather than a mere string of words.

In our reconstruction of CHG we will now move away from the exposition of Chomsky (1955) and try to reflect on the practice of a grammarian working in the sphere of transformational generative grammar for linguistic analysis. In the pre- sence of a sentence, this grammarian would apply phrase structure rules and ob-tain the phrase structure of the sentence, upon which he/she would apply transfor-mational rules and obtain a structured string of words, upon which he/she would ap-ply phonemic rules and obtain a phonemic representation, upon which, finally, he/she would apply phonetic rules and obtain a phonetic representation. To conclude

15 See Chomsky (1955), pp. 320-321, and Sections 86 and 87.


in summary, we propose the following as basic notions of CHG: phrase structure, transformed structure, phonemic representation and (acoustic) phonetic representation; and we will use the letters p, t, f and α respectively to refer to these notions.16

We will now try to indicate the structure of each one of these notions, prior to which we argue that, besides the particular conclusions on the reconstruction of the CHG that we have been able to make up until now, our analysis also per-mits the formulation of a general conclusion that affects the reconstruction of any theory: to adequately reconstruct the structure of a theory not only must one attend to expositions of that theory but also to practical situations in which the theory is applied. In other words, it is desirable to listen to what grammarians say that they do, but it is also necessary to watch what they do.17

5. Base setsA grammar is a theory that assigns the values of certain notions (corresponding to various representation levels) to sentences of a language. Grammatical sentences of the language will be only those sentences that can be described by the gram-mar for this language. But what is the structure of such notions? Some aspects of the response to this question have already been advanced, but for a complete response we must establish the typification corresponding to each one of the basic notions of CHG.

From a mathematical point of view, basic notions of theories are usually rela-tions. A relation, also from a mathematical and extensional point of view, is con-ceived as a set. On the other hand the conceptual structure of a basic notion is ex-pressed indicating how the corresponding set is built from certain base sets. Tech-nically, the conceptual structure of a notion is expressed formulating the typifica-tion for that notion:

Intuitively, a typification is a statement expressing that some given set R has a definite set-theoretic type over other, given, sets, D

1,…, D

k. Such an indication

of the set-theoretic type is necessary for the relations of functions occurring in a theory, for otherwise one could not know what kinds of arguments the func-tion takes or the relation applies to. (Balzer, Moulines & Sneed 1987, p. 6)18

It is clear that the formulation of typifications for a theory is of great importance in the definition of models of that theory.

16 In Chomsky (1955) other levels are studied, such as the level of words, the level of morphemes and the level of syntactic categories, but its effective proposal of grammatical description is formulated by levels corresponding to the four notions mentioned above. To be more exact, one must say that the level of words and the level of morphemes are considered to be embedded into the level of phrase structure, and that the latter is intended to remedy the inadequacy of the analysis of grammaticalness provided by the level of syntactic categories.

17 Certainly, this is neither a surprising nor a daring recommendation. What is surprising is that there are those who dare to describe the structure and function of grammars without taking that recommendation into ac-count. Metalinguistic analysis can constitute a valuable contribution to analyzed linguistic theories. So, the reconstruction of a theory may not only be contrary to some metalinguistic analysis performed by linguists; it can even alter certain aspects of the formulation of the linguistic theory itself.

18 See Bourbaki (1970), Ch. IV, Sec. 1.


The typification of basic notions of a theory is established from certain sets called base sets; some of these are principal base sets and others are auxiliary base sets. The auxiliary base sets are normally those sets to which elements that consti-tute values of basic notions of a theory belong. Therefore they are available pri-or to the configuration of such notions. For example, purely mathematical sets such as the set of natural numbers or the set of real numbers are sets of this type cor-responding to certain physics theories. On the other hand, the principal base sets of a theory make up the domains or sets of objects of the theory.

According to our section 3, notions of CHG are configured starting from a principal base set–the set L of sentences of a language–and from several auxiliary base sets. To understand what the auxiliary base sets of CHG are we should bear in mind the description of the representation levels of the grammar proposed by Chomsky (1955) (see above section 2). In each one of those levels there was a pro-cedure to build certain strings that were used to represent sentences. To be more exact, the starting points were an alphabet of primes (or primitive symbols) for each level and also an operation of concatenation. The strings formed by concatenating primes of the alphabet for a particular level and/or by concatenating compound elements are the elements for this level. Some of these strings may represent the structure of sentences on this level; these strings form the set of L-markers for each level L and they are the values that the basic notion corresponding to that level can assign to sentences.19 In other words, not every string of primes is a mar-ker; that is, it is not necessarily a representation of some sentence. In abstract construction of linguistic theory we must determine what sort of elements appear as markers on each level.20 To do so, the general linguistic theory would have to specify certain (linguistic) conditions of formation that the strings should fulfill in or-der to be considered representations of sentences. Having done this, the auxiliary base sets for basic notions of CHG will be sets of possible representations: the set of possible phrase structures, P; the set of possible transformed structures, T; the set of possi-ble phonemic representations, F; and the set of possible phonetic representations, A. Ad-ditionally we will make use of the set N of natural numbers. The sets P, T, F, A, and N are the auxiliary base sets for CHG, and the values of its basic notions be-long to the first four sets.

We consider establishing alphabets, formulating conditions of concatenation and specifying (as far as possible) the content of sets of possible representations to be a previous and auxiliary task with regards to the task of assigning representa-tions to sentences that CHG accomplishes. This auxiliary task is clearly accom-plished by the general linguistic theory, or to be exact, with a portion of the general

19 We consider that, to a sentence s, the notion p assigns the string in Gr(P) (the grammatical terminal string) cor-responding to s along with the P-marker of that string. Or we can simply consider that the P-markers them-selves already contain the corresponding string of Gr(P), as Chomsky seems to when he says that “Each P-marker is a set of strings in P-containing exactly one lowest level string of Gr(P)” (Chomsky 1955, p. 205). In any case the P-markers are not merely strings but sets of strings, and therefore, to be more exact, we would have to incorporate set-theory procedures in addition to procedures of concatenation to specify the L-markers.

20 See Chomsky (1955), p. 107.


linguistic theory we call the general representations theory, GRET. The characteri-zation of auxiliary base sets sought by GRET is not complete, it is only a partial characterization. Specifically, the intention is not to determine each and every one of the linguistic conditions of formation. In fact, Chomsky (1955) does not offer a complete list of such conditions. Furthermore these conditions can be de-termined only progressively during the application of the grammar.

6. Typifications and characterizationsTypifications and characterizations state the structure of notions of a theory and also express additional properties. The general procedure to establish typifica-tions and characterizations consists of indicating for each basic notion R of a the-ory the set to which the set corresponding to R belongs.21 This is achieved by in-dicating the operations of set-theory that are applied on base sets D

1,…, D

k of the

theory in question. The operations used are: projection, cartesian product and power set; these operations can be applied repeatedly and in combination with each oth-er. The result will indicate the conceptual structure of R. In this section we will specify the typifications and characterizations of basic notions of CHG.22

For each notion R, operations that should be applied on base sets D1,…,D

k

are indicated through several schemes (schemes of type of base k, in short, types of base k, or simply k-types). A k-type is a rule used to build a set of that type from the sets D

1,…,D

k; if s is a k-type, s(D

1,…,D

k) will be that set. Such sets are desig-

nated echelon sets. As we have said, there are six base sets of CHG, therefore for this theory the number k is 6. L, P, T, F, A and N will be echelon sets of 6-type for CHG. But there are more. What is the complete range of echelon sets that express the type of set-theoretical entity corresponding to the basic notions of CHG? For an answer to this question we will begin by making two important as-sumptions: the first is that the notion p takes elements of the sets L and N as its arguments, and the second is that p and t are ternary relations and f and α are binary relations. Later on we will justify both assumptions. Given the aforemen-tioned, these echelon sets would be the following:(1) Pot((π

1⟨L, P, T, F, A, N⟩ × π

6⟨L, P, T, F, A, N⟩) × π

2⟨L, P, T, F, A, N⟩)

Pot((π1⟨L, P, T, F, A, N⟩ × π

2⟨L, P, T, F, A, N⟩) × π

3⟨L, P, T, F, A, N⟩)

Pot(π1⟨L, P, T, F, A, N⟩ × π

4⟨L, P, T, F, A, N⟩)

Pot(π1⟨L, P, T, F, A, N⟩ × π

5⟨L, P, T, F, A, N⟩)

Thus, given echelon sets of (1), typifications of basic notions of CHG would be the following:(2) F

1: p ∈ Pot((π

1⟨L, P, T, F, A, N⟩ × π

6⟨L, P, T, F, A, N⟩) × π

2⟨L, P, T, F, A, N⟩)

F2: t ∈ Pot((π

1⟨L, P, T, F, A, N⟩ × π

2⟨L, P, T, F, A, N⟩) × π

3⟨L, P, T, F, A, N⟩)

21 See Balzer, Moulines & Sneed (1987), pp. 7-8, and Moulines (1991), p. 228.22 The different steps of this general procedure are applied with detail in Peris-Viñé (1996) to obtain the typi-

fications and the characterizations of CHG.


F3: f ∈ Pot(π

1⟨L, P, T, F, A, N⟩ × π

4⟨L, P, T, F, A, N⟩)

F4: α ∈ Pot(π

1⟨L, P, T, F, A, N⟩ × π

5⟨L, P, T, F, A, N⟩)

But establishing typifications of basic notions of a theory is not the same as thoroughly establishing the conceptual structure of such notions. Supplemen-tary information on the structure of basic notions is articulated through expres-sions of a more generic nature designated characterizations and usually are included in the definition of potential models of theories. A characterization expresses no connection at all among relational notions, though it can express some connection among base sets. For this reason, typifications will be a subset of characteriza-tions. Characterizations that are not typifications usually indicate certain formal or mathematical properties of base sets or of relations. In our case, characteriza-tions will indicate if notions of CHG must be reconstructed as functions or as relations.

7. Potential modelsIn this section we justify our assumptions about typifications, as well as determi-ne if the basic notions of CHG are functions or not. Results will later be expres-sed in the definition of the set of potential models of CHG.

We begin by considering the notions phonemic representation, f, and phonetic representation, α. According to Chomsky (1955), the projection that assigns pho-nemic representations and the projection that assigns phonetic representations are single-valued: the first of these projections is the one designated ΦW, while the second is the one designated ΦPm. ΦW is a single-valued mapping of words and strings of words into strings of phonemes, and ΦPm carries strings of phonemes into strings of phones. Now then, we should take into account that the map-pings ΦW and ΦPm found in Chomsky (1955) do not represent notions f and α, therefore we cannot say that these two notions are functions simply because ΦW and ΦPm are functions. However, since for each sentence there is only one string of words, and since ΦW and ΦPm are functions, there will be only one phonemic representation and one phonetic representation for each sentence. That is to say, the notions phonemic representation and phonetic representation will have the struc-ture of a function. This feature of both notions will be expressed through one of the aforementioned characterizations.

We will now consider the notions phrase structure, p, and transformed structure, t. The issue of whether these notions of CHG are functions or simply relations can be handled by investigating the way in which the grammar assigns the val-ues of those notions in cases of constructional homonymity.23 The existence of such cases of constructional homonymity or structural ambiguity could make, in

23 “We have a case of constructional homonymity on the level L when the mapping M assigns two or more L-markers to a single utterance. This utterance then falls in the overlap of two distinct patterns, and, if our theory is adequate, such utterances should be, intuitively, cases of structural ambiguity” (Chomsky 1955, p. 108).


theory, the structure of affected notions be that of a relation and not that of a function.

In level P constructional homonymity will be produced when several P-mark-ers are assigned to a given string in Gr(P); that is, if the notion p assigns more than one value to the same sentence. Let us look at some examples of such sentences:(3) 1. I saw many old men and women

2. They are flying planes3. Flying planes can be dangerous

These sentences can be represented from the level P in two different ways. Such differences are shown partially in the following structures:(4) 1.a I saw many [old men] and [women]

1.b I saw many [old [men and women]]

The grammar must account for these cases by assigning two (or more) represen-tations on the level P to the same sentence. Therefore, if the basic notion p must express this representation assignment, one could consider that the relation p as-signs elements of P to elements of L and that it is not a function. In (1), we assu-med that p takes as arguments elements from both L and N; now we will try to justify that assumption.

It is true that a sentence can have more than one phrase structure, but in each case we can find out how many there are and what they are, and also derive them through the grammar. That is to say, we cannot always speak of the phrase struc-ture of the sentence s, but we can always speak of the first, the second (etc.) phra-se structure of the sentence s. Something similar occurs with the notion force in classic particle mechanics: we cannot speak of the force that acts on a particle, since more than one force can act on a particle according to that theory, but we can speak of the i-th force that acts on a particle. Nevertheless we said that force is a function. For the same reason we will speak of “the i-th phrase structure of sen-tence s” and we will consider that p is a function that takes two arguments: one element of L and one element of N greater than 0. This is the reason for our as-sumption about p of (1) and (2).

The consideration of cases of constructional homonymity in the level T by Chomsky (1955) has the general purpose of arguing in favor of a syntactic analy-

2.a [They] are [flying planes] NP are NP

2.b [They] [are flying] [planes] NP Verb NP

3.a Flying [planes] can be dangerous Adj N

NP NP

3.b Flying [planes] can be dangerous Verb N

NP NP


sis that includes a transformational level T as well as a phrase structure level P and against a syntactic analysis that only includes a phrase structure level P. The most frequently used argument indicates the existence of certain ambiguous ca-ses that cannot receive a multiple syntactic analysis, as might be expected, unless we include a transformational level along with a phrase structure level. That is to say, the syntactic analysis of certain ambiguities performed exclusively from a phrase structure level would be insufficient and incorrect.

How is the constructional homonymity in the level T manifested? In Choms-ky (1955) the possibility of assigning several T-markers to a given sentence exists. Recall that additionally, for Chomsky (1955), the T-markers consist of an indica-tion of the transformational rules applied. Consequently, according to Chomsky (1955), at level T the

cases of constructional homonymity and difference of interpretation will have their formal analogue in the assignment of […] different sequences of opera-tions originating from the same or different kernel sentences, and resulting in a given string. Chomsky (1955, pp. 306-307)

Or, as is sometimes said, they will occur when nonequivalent T-markers are ma-pped into the same string of words. Therefore the source of constructional ho-monymity would be found in the existence of various sequences of transforma-tions applied to obtain the same string of words. Having come this far, it is ne-cessary to indicate that the string of words corresponding to a sentence also has a structure in terms of its constituents. It is the representation assigned from the transformational level, which we have designated transformed structure, t. For Chomsky (1955) the assignment of multiple analysis on the level T has the same effect as constructional homonymity on any other level, namely, ambiguity of inter-pretation of the sentences. Because of this, we can realize that the ambiguity in the interpretation of sentences is manifested in the following way: the string of words that may be obtained by the application of more than one sequence of transfor-mational rules will present more than one transformed structure. Thus, it could be said that the ambiguity in the level T will be produced by the application of vario-us sequences of transformational rules and will be expressed in the derivation of various transformed structures t for the same sentence. Let us consider a senten-ce that according to Chomsky (1955) manifests constructional homonymity from the level T:(5) John was frightened by the new methods

The sentence of (5) is ambiguous, but if we analyze it without the level T then we will be able to say only that its p is of the type:

(6) [John] was [frightened] [by the new methods] NP Adj PP

But that would not explain its evident ambiguity. If, on the contrary, we analyze (5) from the level T as well as from the level P, then we will be able to specify two transformational process to obtain the sentence: one process in which only obligatory transformations would be applied, and another in which the optional


transformation PASSIVE would also be applied. This analysis, which certainly accounts for the ambiguity of (5), has the consequence that two values of p are assigned to (5): one is (6) itself and the other is a structure like (7) on which the PASSIVE transformation can be applied.(7) [the new methods] [ed] [frighten] [John] NP

1 VP

A V

T NP

2

Another result is that (5) will have two transformed structures: one which is very si-milar to (6), since it would be obtained by applying only obligatory transformations, and another (8), which results after applying the optional PASSIVE transformation to (7) amongst other transformations.24

(8) [John] [ed] be en [frighten] by [the new methods] NP

2 VP

A V

T NP

1

From this last statement, one could conclude that the notion t cannot be recons-tructed as a function. However, this conclusion would be rash. This is because the fact that a sentence has more than one transformed structure does not pre-vent the reconstruction of the notion t as a function. This reconstruction can be obtained if we assign transformed structures not to sentences alone, but rather to pairs formed by a sentence and a phrase structure. That justifies our proposal of typification of t expressed in F

2 of (2). We would be presented with a case akin

to the notion velocity in certain physical theories, wherein multiple values of that notion correspond to the same particle. However, this does not prevent the re-construction of this notion as a function, specifically as a function dependent on time. Hence the notion velocity does assign a single value to each pair formed by a particle and a temporal instant. A close consideration of the examples of cons-tructional homonymity analyzed in Chomsky (1955) finds no case in which more than one transformed structure is assigned to the same pair formed by a sentence and a phrase structure.

This provides the following typifications of the basic notions of CHG (once the operations π

i of (2) are carried out):

(9) F1: p ∈ Pot((L × N) × P)

F2: t ∈ Pot((L × P) × T)

F3: f ∈ Pot(L × F)

F4: α ∈ Pot(L × A)

This permits us finally to define the potential models of CHG, wherein we expre-ss the characterizations of the relational notions of that theory including its typi-fications:(10) x is a potential Chomsky Grammar (x ∈ Mp(CHG)) iff there exist L, p, t, f, α,

such that

24 Notice that the values of p are deeper syntactic representations of s that the syntactic representations of s of-fered by the values of t. This shows that in 1955 there were already antecedents of the notion deep structure developed in the sixties. And that therefore the main requirement to develop the semantics starting from the sixties, a deep level of syntactic representation, was already present in the fifties.


1) x = ⟨L, P, T, F, A, N, p, t, f, α⟩ 2) L is a numerable and non empty set3) p: L × N → P4) t: L × P → T5) f: L → F6) α: L → A

8. The fundamental lawThe definition of actual models of a theory is accomplished by formulating the most basic connection among the values of the different notions of the theory upon which its proponents agree. This connection is summarized in the deno-minated fundamental law of the theory. The fundamental law of CHG must for-malize the correlation between the representations at each level of sentences of a language, representations which are the values that basic notions of CHG assign to sentences. Our purpose in this section is to formulate the fundamental law of CHG and define actual models of CHG.

8.1. Previous auxiliary notions: rules and derivationsThe fundamental law of CHG is formulated using some previous auxiliary notions, such as the notion rule and the notion derivation. These notions fulfill in CHG a role like the role of the notions sum, multiplication, derivative, integral, etc. in some physics theories. Therefore the definition of these auxiliary notions for CHG is not a task to accomplish from CHG itself, but from a theoretical and conceptual previous ambit to CHG, which we design the general rules theory, GRUT. This would be a second theory, together with the general representations theory, GRET, which is auxiliary and previous to CHG. CHG uses the notions rule and deriva-tion but it does not define them. Rules and derivations are the typical procedures that a generative grammar uses to express the assignation of representations to sentences that was accomplished from an analytical grammar conceived as an al-gebraic system (see above section 2.2).

Representations of sentences can be obtained through the application of cer-tain rules (see above section 2.3). A rule is an operation that assigns one string to another string, both strings being formed using the alphabets provided by the GRET, i.e., using the sets of primes of each level. This demonstrates a point of contact between GRUT and GRET. In fact, we use four notions of rules to formulate the fundamental law of CHG, one for each level of representation. Thus, the GRET defines the P-rules (rules of the phrase structure level), T-rules (rules of the transformational level), F-rules (rules of the phonemic level) and A-rules (rules of the acoustic phonetic level). The definition of these rules is accom-plished using procedures of the field of formal grammars. P-rules, F-rules and A-rules are basically of the same type, while T-rules are of a different type. The first three are of the type rewrite X as Y, where X and Y are strings, and they establish


the relation it follows from between representations integrated in derivations con-structed at different levels. More explicitly, the relation of representation ∆ de-fined in the level P can be expressed in terms of the notion rule. A P-rule assigns a string of elements of its alphabet to one element of this alphabet. An F-rule as-signs a string of phonemes to a string of morphemes. An A-rule assigns a string of phones to a string of phonemes. As for the T-rules, what they do is to assign a parenthesized terminal string of morphological heads and syntactically function-ing affixes to another string of this sort. Some elementary transformations are known as deformation, permutation, or adjunction.

Besides defining these four types of rules, the GRUT defines certain condi-tions for each type of rule, conditions relating to the order of rules, to the repeat-ed application and recursive use of certain rules, to the obligatory or optional character of some rules, to possible combinations of elementary operations that make up the transformational rules and so on. In general, the different condi-tions will be expressed in a language made up of resources derived from set the-ory and from formal grammars. In this way, GRUT defines P-conditions for P-rules, T-conditions for T-rules, F-conditions for F-rules and A-conditions for A-rules. In our reconstruction: CP(P) will mean that the P-rules of the set P satisfy different P-conditions c

1,…, c

n; CT(T) will mean that the T-rules of the set T

satisfy different T-conditions c1,…, c

n; CF(F) will mean that the F-rules of the set F

satisfy different F-conditions c1,…, c

n; CA(A) will mean that the A-rules of the set

A satisfy different A-conditions c1,…, c

n. We can define these predicates in the

following way:

(11) CP(P) iff ∀r ∈ P ∃c1,…, c

n ∈ P-conditions: P-rules (r) ∧ c

i(r)

CT(T) iff ∀r ∈ T ∃c1,..., c

n ∈ T-conditions: T-rules (r) ∧ c

i(r)

CF(F) iff ∀r ∈ F ∃c1,..., c

n ∈ F-conditions: F-rules (r) ∧ c

i(r)

CA(A) iff ∀r ∈ A ∃c1,..., c

n ∈ A-conditions: A-rules (r) ∧ c

i(r)

These conditions are specified in the reconstruction of specific applications of the net of specializations corresponding to the particular grammars.

Representations that a generative grammar assigns to sentences of a language are obtained from certain sequences of strings built through the application of rules of the grammar. These sequences of strings are called derivations. Strings inte-grated in derivations are those strings that GRET permits us to build from al-phabets of primes; that is, GRUT makes use of objects provided by GRET, this being another point of contact between the two theories. A derivation is a se-quence of representations ⟨R

1,…, R

n⟩ so that for each i (1≤i<n), R

i+1 follows from

Ri by one rule, and where R

1 is the representation Sentence, R

n is an (acoustic and

articulatory) phonetic spelling, and R2,…, R

n-1 are intermediate representations. It

can therefore be said that ⟨R1,…, R

n⟩ is a derivation of R

n. Nevertheless, we can

delimit different portions of a derivation, those portions corresponding to different representation levels; thus GRUT can define one type of (partial) derivation for each type of rule: P-derivations for P-rules, T-derivations for T-rules, F-deriva-tions for F-rules and A-derivations for A-rules.


In our reconstruction: ∆P[S] denotes the string derived from the prime Sen-tence by rules of the set P of P-rules; ∆T[p] denotes the string derived from the string p by rules of the set T of T-rules; ∆F[t] denotes the string derived from the string t by rules of the set F of F-rules; ∆A[f] denotes the string derived from the string f by rules of the set A of A-rules. Strings so denoted are those that Chomsky (1955) calls the product of derivations, with which we can specify the represen-tation that each basic notion of CHG assigns.

8.2. Actual models We know that in a fundamental law the different basic notions of the theory should be related to each other. How does this occur in the case of CHG?

Chomsky (1955) repeatedly insists that the representations assignment to the sentences of a language, carried out by particular grammar at its different levels (what he sometimes calls the structure of a language) must be obtained by applying (the rules of) a generative grammar. This requirement about the connection bet-ween levels of representation and generative grammar constitutes a basic precept of general linguistic theory (see above section 2.2).

It should be remembered that a system of representation levels offers diffe-rent representations for the same sentence. Now then

We must be able to recover from a grammar a sequence of representations (R

1,…, R

n) for each sentence, where R

1 is the representation Sentence, R

n is a

phonetic spelling, and R2,…, R

n-1 are intermediate representations in terms of

phrases, words, phoneme, etc. We can generate these representation sequen-ces by rules of the form 1 X → Y interpreted as the instruction “rewrite X as Y”. We call each such rule a conver-sion. The string Z^Y^W is said to follow from the string Z^X^W (where Z, W, or both may be the identity element U) by the conversion 1. We say that the se-quence (R

1,…, R

n) is a derivation of R

n, generated by a set C of conversions, if R

1

is Sentence and for each i (1≤i<n), Ri+1

follows from Ri by one of the conversions

of C. (Chomsky 1955, p. 114)

Thus, for each representation level of an analytical grammar, it is necessary to specify the set of rules of the corresponding generative grammar that permits us to generate the representation assigned from that level.25 The assignment of L'-markers to L-markers accomplished by the mappings ΦL of an analytical grammar can be conceived, from a generative perspective, to be the result of the applica-tion of certain rules on the L-markers to the point of converting them into the L'-markers. So, the characterization of the different mappings ΦL can be achieved by a reformulation using rules, indicating which rules permit the conversion of L-markers into the corresponding L'-markers. The following quotation concisely states this relation between the structure (or the representation) of sentences (or of the language) from the level P and the form of the grammar in terms of rules:

25 Chomsky’s (1955) manner of speaking in these and other passages can be interpreted as a way of defending that a generative grammar, conceived as a system of rules, can provide at the very least the analysis in immedi-ate constituents of sentences that was being performed by the structural linguistics at that moment.


we want (…) [the] grammar to be related to P in such a way that given P, we can derive the grammar, and given the grammar, we can determine the under-lying system of phrase structure P on which it is based, and the constituent analysis that this underlying P carries along with it. (Chomsky 1955, p. 186)

We think that the definition of the fundamental law for CHG must reflect this connection between the structure of the language and a generative grammar. Thus, in terms of our reconstruction, for example, if z is the phrase structure that the grammar assigns to the sentence s from the level P through its basic notion p, then we would have to be able to specify the rules of the grammar whose applica-tion permits the derivation of z. That is, the fundamental law for CHG must ex-press the connection between the values of the basic notions and the procedure used in a generative grammar to obtain these values; in short, an expression that formu-lates the connections that are established (through rules of the grammar) among the different representations assigned to sentences by a grammar. More specifi-cally, the fundamental law of CHG will indicate the type of derivation –and in so doing the type of rules– that allows the generation of values that basic notions assign to sentences. It will indicate the first string of all of these derivations, and it will also indicate several conditions that rules of each type must satisfy. Bearing this in mind, and making use of auxiliary notions that we have mentioned let us define the actual models of CHG:(12) x is a Chomsky Grammar (x ∈ M(CHG)) iff there exist L, p, t, f, a, such that

1) x = ⟨L, P, T, F, A, N, p, t, f, a⟩2) x ∈ Mp(CHG)3) ∀s ∈ L ∃ P T F A:

pi(s) = ∆P[S] ∧ CP(P) ∧t(s,p

i(s)) = ∆T[p

i(s)] ∧ CT(T) ∧

f(s) = ∆F[t(s,pi(s))] ∧ CF(F) ∧ α(s) = ∆A[f(s)] ∧ CA(A)

Thus, the actual models of CHG will be those potential models of CHG (consti-tuted by a set L of sentences, several sets of possible representations, the set of natural numbers and by certain assignments of linguistic representations to sen-tences of L) that satisfy the fundamental law 12.3. According to 12.3, for every sentence s exists a set P of P-rules, a set T of T-rules, a set F of F-rules and a set A of A-rules such that: the notion p

i assigns to the sentence s the string derived

from S by the rules of P that satisfies certain P-conditions; the notion t assigns to the pair (s, p

i(s)) the string derived from p

i(s) by the rules of T that satisfy cer-

tain T-conditions; the notion f assigns to the sentence s the string derived from t(s, p

i(s)) by the rules of F that satisfy certain F-conditions; the notion a assigns to

the sentence s the string derived from f(s) by rules of A that satisfy certain A-con-ditions.

The linguist will try to specify the rules of the sets P, T, F and A and its condi-tions in order to be able to recover representations of every sentence of (a corpus of) the language. His/her conviction is that this will be possible for all sentences of the language and only for them. The fundamental law of CHG shares charac-teristic features with fundamental laws of theories of other sciences, in form as


well as in function. This can be easily accepted if we note that the fundamental law of CHG constitutes a complex formula which connects all the relational terms of the theory, in which universal and existential quantification appear, and in which it is shown that the value of most of the relational terms depend on the value of other relational terms. Existential quantification affects to sets of rules and to conditions for those rules, and appears in an implicit manner upon utilizing auxiliary procedures of derivation.

Additional features of this law are: it is neither a description of a fact nor a defi-nition, it is an irrefutable statement, it represents a promise (more than an achieve-ment) and it is the base for puzzle resolution.26 That the fundamental law of CHG is indisputable is evidenced in the practice of grammarians when faced with an unsuccessful attempt to specify the rules that permit the derivation of the value that a function of CHG assigns to a kind of sentence. This practice that basically consists of not giving up on the fundamental law but beginning a new attempt in the search for adequate rules, assuming, perhaps, the modification of some of the factors that intervene in the derivation process. (Sometimes that modifi-cation will even consist of an alteration of the value that some other basic notion assigns to the sentence in question.) That is to say, the grammarian will try to make the assumptions and the results of his/her investigation compatible with the fundamental law. But if these things are not compatible in some respect, he/she will propose modifications in the assumptions as well as in the results, until the latter harmonize with what is anticipated by his/her fundamental law. What the grammarian will not do, in the task of normal investigation, is renounce to the fun-damental law when the first problems arise. If this occurred, it would be a sign of the fact that a period of extraordinary investigation is starting, in the sense that this expression has in the work of Kuhn, and this will give rise afterwards to the consolidation of a new fundamental law. The irrefutable nature of the fundamen-tal law of CHG has to do with its character of promise. To assert the existence of something without showing it is equivalent to promising that something exists and justifies the search for it. To be committed to the fundamental law of CHG is compatible with failing in this search, since the fundamental law expresses the conviction of a future success, a promise. On the other hand, the attempts at giving substance to that promise constitute attempts to find the solution to a puzzle or enigma, the results of which depend on the ability of the grammarian.

9. ConclusionsThe reconstruction of CHG will be completed with successive steps that we can-not undertake here. The most immediate steps are the application of the criterion of T-theoreticity to the basic notions of CHG, the definition of their constraints, the definition of the links with diverse theories and the configuration of the theory-net

26 See Moulines (1982) for an analysis of the form and function of fundamental laws.


into which it participates. Some relevant results in these areas already exist but we lack a complete picture. In general, it is possible to affirm that the characte-ristic instruments of the structural metatheory are applicable to generative linguistics and with results of interest for the linguistics as discipline.

We believe that a structural analysis of linguistic theories is necessary to de-velop an adequate foundation for these theories. Some foundation proposals de-fended by linguists themselves are mere expressions of the desire of the authors, who on occasions are unaware of or confused about the nature of their theories or about the still influential past of their discipline. The metatheoretical analysis permits us to obtain conclusions about various central aspects of the linguistics’ foundation, for example, the nature of the objects a grammar is concerned with, the task that a grammar performs, and the type of notions employed in that task. Clarification of these aspects will make it possible to outline, with some proba-bility of success, certain problems about the intertheoretical relationships and about the nature of theories.

In the case of CHG, the metatheoretical analysis permits us to outline pro-blems on the relationships between this theory and structural linguistics. These problems affect the foundation of the generative trend in its entirety, in which there is a debate on whether this foundation has been mentalist from the begin-ning and also on whether it should be mentalist or not. The metatheoretical analysis also permits the study of the relationships between various versions of the generative trend which have been developed over time, and thereby assesses whether the change criteria have been empirical and scientific criteria (as say the linguists) or not. The metatheoretical analysis of linguistic theories is especially useful to evaluate the recent proposals of naturalization of linguistics based on the interrelationship between linguistics and some of the natural sciences. Such pro-posals would be justified only if a metatheoretical analysis revealed these sup-posed interrelationships.

The strength, brilliancy and transcendency of the proposals made by linguists deserve the attention of the philosophers of science.

References

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Harris, Z.S. (1951), Methods in Structural Linguistics, Chicago: University Chicago Press.

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Moulines, C.U. (1991), Pluralidad y recursión. Estudios epistemológicos, Madrid: Alianza.

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Sneed, J.D. (1971), The Logical Structure of Mathematical Physics, Dordrecht: Reidel.

Reisch, George, Cómo la guerra fría transformó la filosofía de la ciencia... | 227

Reseñas bibliográficas / Book Reviews / Resenhas bibliográficas

228 | Álvaro Peláez


Hasta hace relativamente poco tiempo todavía se escuchaban en las aulas univer-sitarias relatos históricos como el siguiente:

“Érase una vez un movimiento filosófico llamado positivismo lógico o empi-rismo lógico, constituido por filósofos interesados exclusivamente en los fun-damentos de la física y las matemáticas, en la lógica y en la teoría del conoci-miento clásica de corte empirista. Defendían una teoría algorítmica de la racio-nalidad científica, poseían un talante antimetafísico e ignoraban las cuestiones atinentes no solo al fenómeno del cambio científico, sino a las cuestiones so-ciales y políticas. Afortunadamente”, continuaba la historia, “a comienzos de los años sesenta, una nueva filosofía de la ciencia vino a poner las cosas en su sitio, eliminando de una vez y para siempre esa filosofía que a lo sumo simplifi-caba y trivializaba la empresa científica”.

Hoy en día las cosas han cambiado sustancialmente. Gracias a las investigaciones pioneras de Alberto Coffa y Joëlle Proust, continuadas por Michael Friedman, Thomas Uebel, Alan Richardson y del autor del libro que tenemos el honor de presentar, esa imagen tradicional recogida en mi narración ficticia ha quedado rotunda y completamente desacreditada.

En verdad, resulta extremadamente curioso cómo en cada una de las áreas y tópicos de los que se ocuparon los empiristas se dieron confusiones y malentendi-dos profundos. Por mencionar solo algunos de ellos, consideremos, por ejemplo, la cuestión acerca del cambio científico, donde suele decirse que dicho tema vino

* Recibido: 20 de Diciembre de 2010. Aceptado: 5 de enero de 2011.Metatheoria 1(2)(2011): 229-234. ISSN 1853-2322.


Reseña de Reisch, George, Cómo la guerra fría transformó la filosofía de la ciencia. Hacia las heladas laderas de la lógica, Quilmes:

Universidad Nacional de Quilmes, 2009, 480 pp.Traducción de Daniel Blanco de Reisch, George, How the Cold War

Transformed Philosophy of Science. To the Icy Slopes of Logic, Cambridge: Cambridge University Press, 2005, xxiv + 418 pp.*

Review of Reisch, George, Cómo la guerra fría transformó la filosofía de la ciencia.Hacia las heladas laderas de la lógica, Quilmes: Universidad Nacional de Quilmes,

2009, 480 pp. Translation by Daniel Blanco of Reisch, George, How the Cold War Transformed Philosophy of Science.To the Icy Slopes of Logic,

Cambridge: Cambridge University Press, 2005, xxiv + 418 pp.


a constituir el centro de la agenda filosófica a partir de Kuhn. Sobre esto basta re-cordar que los empiristas lógicos, junto con algunos miembros prominentes de la escuela neokantiana de Marburgo, protagonizaron la primera gran discusión sobre la aparente caída de la concepción newtoniana del mundo y el surgimiento de la teoría de la relatividad. El primer artículo filosófico sobre dicho tema data de 1915 y su autor fue Moritz Schlick.1 A este siguieron las colaboraciones de Rei-chenbach, Carnap y Cassirer,2 publicadas todas entre 1920 y 1923.3 Asimismo, en una réplica a Quine, Carnap plantea algunas ideas acerca de lo que constituye el fenómeno del cambio científico, dice:

Primero que todo, debo hacer una distinción entre dos clases de reajustes en el caso de un conflicto con la experiencia, a saber, entre un cambio en el len-guaje y un mero cambio en –o adición de– un valor de verdad adscrito a un enunciado del lenguaje. Un cambio de la primera clase constituye una altera-ción radical, a veces una revolución, y ocurre solo en ciertos puntos decisivos en el desarrollo de la ciencia. Por otro lado, los cambios de la segunda clase ocurren a cada minuto. Un cambio de la primera clase constituye, estrictamen-te hablando, una transición de un lenguaje L

n a un nuevo lenguaje L

n+1. (Car-

nap 1963, p. 921)

Tal vez este pasaje explique la simpatía que Carnap le demostró a Kuhn por la publicación de La estructura de las revoluciones científicas como volumen de la Enci-clopedia de la ciencia unificada.4

Otra de las atribuciones falsas hechas al empirismo lógico fue su supuesta ca-rencia de interés por los fundamentos de las ciencias sociales. En este rubro no solo cabe destacar las investigaciones más conocidas de Otto Neurath, sino las que el propio Carnap desarrolló tempranamente en La construcción lógica del mun-do. Allí, donde su propósito consiste en proponer un sistema lógico-epistemoló-gico de los conceptos u objetos que constituyen el mundo de la ciencia, ocupan un lugar preponderante los objetos culturales o pertenecientes a las ciencias de la cultura. Lo que es más interesante en esta conexión es la adherencia de Carnap a los reclamos de la escuela de Dilthey acerca de la independencia del género de objetos culturales de los de las ciencias de la naturaleza.

Podría haber más asuntos sobre los cuales mostrar que lo que se ha dicho so-bre el empirismo lógico es incorrecto o irrelevante. Pero, por supuesto, lo que me interesa es comentar brevemente la importancia del finísimo trabajo de George Reisch cuya traducción hoy presentamos.

La tesis central del libro parte de la pregunta de qué ocasionó que la filoso-fía de la ciencia actual se convirtiera en una disciplina carente en lo absoluto de

1 Me refiero a su artículo “Die philosophische Bedeutung des Relativitätsprinzips”, versión inglesa en Mulder & van de Velde-Schlick (1979).

2 Los trabajos a los que me refiero son, en su orden: Relativitätstheorie und Erkkentnis A priori (1920), “Über die Aufgabe der Physik und die Anwendung des Grundsatzes der Einfachstheit” (1923) y Zur Einsteinschen Relativi-tätstheorie. Erkenntnistheoretische Betrachtungen (1923).

3 Para una reconstrucción de la discusión en torno a la teoría de la relatividad, véase mi (2007).4 Sobre la cercanía filosófica de Carnap y Kuhn, así como sobre el episodio particular de su intercambio epistolar al-rededor de la publicación de La estructura de las revoluciones científicas, véase el trabajo de Irzik & Grünberg (1995).


compromisos sociales, culturales y políticos, habiendo tenido en sus orígenes a un grupo de filósofos que articularon gran parte de sus proyectos con un ojo puesto en dichos problemas. Creo que el tratamiento de Reisch de este asun-to a través de dicha pregunta, independientemente de la respuesta concreta so-bre el responsable o responsables del enfriamiento de los compromisos políticos asociados a la filosofía de la ciencia, es doblemente fructífero: primero porque coadyuva una vez más a la disolución de una imagen del empirismo lógico esen-cialmente falaz y, en segundo lugar, porque tiene la virtud de sugerir cómo los intereses sociales y políticos que motivaron esencialmente a los empiristas lógi-cos no están esencialmente divorciados de las cuestiones que usualmente tratan los filósofos. Así, el libro se propone mostrar que la filosofía de la ciencia empi-rista lógica, importada a los Estados Unidos a partir del ascenso del antisemitis-mo en los países de habla alemana, pierde su motivación política, representada esencialmente por el proyecto de la unidad de la ciencia, cuando en los años cin-cuenta comienza una cacería de brujas que respondió a la guerra fría desatada entre los Estados Unidos y los países del bloque comunista. Dicho de esta ma-nera resumida, el objetivo puede parecer bastante simple. Sin embargo, los deta-lles de este camino recorrido por la filosofía de la ciencia clásica son complejos y apasionantes.

Después de una presentación de las figuras que serán los principales protago-nistas de la historia, Neurath, Frank, y Carnap, el libro relata la migración a los Estados Unidos (con la salvedad del primero) y la coincidencia de intereses con los pragmatistas americanos, lo cual dio un primer empuje al movimiento en el Nuevo Mundo. Esto se plasmó en el entusiasmo por el proyecto de la Enciclope-dia de la ciencia unificada. El capítulo 8 se ocupa del clima intelectual durante la guerra fría, el antiintelectualismo que dominó dicho periodo y el rechazo, común a pragmatistas y empiristas lógicos, a subsumir las cuestiones concernientes a los valores al discurso científico. Con posterioridad se analizan las críticas de Neura-th a la asunción de Carnap de una teoría de la verdad al estilo de Tarski, sobre la base de que esta constituía un compromiso con concepciones metafísicas y ab-solutistas. Junto a esto, se valoran los intentos denodados de Frank por promo-cionar una filosofía de la ciencia que sirviera como puente en la educación supe-rior entre la ciencia y las humanidades. Los capítulos 12 y 13 tratan de la lucha de Morris, Carnap y Frank por revitalizar el movimiento en medio de presiones políticas anticomunistas, que incluyeron juramentos de lealtad, investigaciones llevadas adelante por el FBI y querellas por parte de sus colegas. Los capítulos fi-nales se ocupan de las divisiones al interior del movimiento y de su destino final habiendo prevalecido en esas luchas intestinas una concepción de la filosofía de la ciencia afín a tópicos más técnicos y políticamente neutral.

Para terminar, quisiera referirme a dos asuntos que Reisch trata en su capítu-lo final: el concepto de unidad de la ciencia y el caso especial de Carnap. Sobre el primero, simplemente apuntalar las observaciones de Reisch acerca de que las críticas a dicho concepto que se dieron, tanto en los días en que el movimiento todavía estaba vivo como en los nuestros, provienen de una mala comprensión


de dicho concepto. En efecto, si tomamos la manera en que Neurath entendió el proyecto de unidad de la ciencia y la enciclopedia, encontramos poco de lo que los críticos han atribuido a él, esencialmente una especie de tendencia au-toritaria. En su colaboración al primer volumen de la Enciclopedia, Neurath afir-ma, contra todo ideal racionalista, que la unidad de la ciencia ha de ser concebi-da como una tarea, como el esfuerzo mancomunado de aquellos comprometidos con la actitud científica. Este compromiso implica, por supuesto, una libre elec-ción, un principio de tolerancia. Neurath lo señala al comparar el propósito de su proyecto de unificación con el de los ilustrados franceses, dice:

Uno debe ver cuidadosamente su trabajo como importante ejemplo de coope-ración organizada. Tal vez la misma clase de tolerancia científica aparecerá en esta enciclopedia […]. Generaciones sucesivas serán capaces de evaluar cuán le-jos esta enciclopedia expresa actividades vivas, viejas tradiciones y un futuro en construcción (Neurath 1938, p. 3).

Un segundo punto de consideración en la concepción neurathiana de la unidad de la ciencia es el que tiene que ver con el grado de sistematización y de unifica-ción del vocabulario científico. Desde su perspectiva, la unidad de la ciencia pre-senta límites insalvables. Neurath plantea el problema de una manera clara: “Si uno rechaza la idea de una superciencia tanto como la idea de una anticipación seudorracionalista de el sistema de la ciencia, ¿cuál es el máximo de coordinación científica que es posible?” (Neurath 1938, p. 20). Neurath afirmó, en una frase bien conocida, que “el sistema es la gran mentira científica” (Neurath en Cohen & Neurath 1983, p. 116). De los datos a nuestra disposición podemos deducir más de un sistema que se encuentra en armonía con la ciencia. No hay un méto-do que pueda conducirnos sin ambigüedad hacia un único sistema de prediccio-nes. Podemos diferir, dice Neurath, de una máquina inductiva que prediga sin ambigüedad el estado del mundo futuro y podemos hacerlo porque el proceder de la ciencia se asemeja más a un cambio constante de la máquina y a avanzar so-bre la base de nuevas decisiones. Lo único que los científicos pueden hacer, en su opinión, es “construir puentes sistemáticos de ciencia a ciencia, analizar con-ceptos que son usados en diferentes ciencias, considerar todas las preguntas que tratan con la clasificación, el orden, etc.” (Neurath 1938, p. 18). Es decir, depen-de de nosotros qué tan lejos podamos ir en la construcción de un corpus ordena-do de verdades científicas. La sistematización puede ser posible, pero sin la supo-sición metafísica de que las verdades irradian deductivamente desde un centro común de certeza indubitable. Para ponerlo en las propias palabras de Neurath: “Ningún sistema desde arriba, sino sistematización desde abajo” (Neurath en Co-hen & Neurath 1983, p. 153).

Paso ahora brevemente a la cuestión del caso de Carnap. Estoy totalmente de acuerdo con Reisch cuando afirma que Carnap sostuvo que la lógica de la cien-cia, su sustituto para la teoría del conocimiento, es neutral respecto de los llama-dos factores externos, en tanto que dicha disciplina se encarga del contexto de justificación. Sin embargo, esto no significa que Carnap no concediera importan-cia a las cuestiones morales y políticas. En su autobiografía explica:


La transformación y el abandono final de mis convicciones religiosas en nin-gún momento me llevaron a una actitud nihilista con respecto a las cuestiones morales. Mis valores morales continuaron siendo, después de todo, esencial-mente los mismos de antes. No resulta fácil describir estos valores en pocas pa-labras, puesto que no se basan en principios explícitamente formulados sino que más bien constituyen una actitud implícita constante. Así pues, lo que si-gue debe entenderse puramente como una aproximación concisa y escueta a al-gunas características básicas: en mi opinión la tarea principal de un individuo consiste en el desarrollo de su personalidad y en la creación de relaciones fe-cundas y sanas entre los seres humanos. Este objetivo implica cooperar en el avance de la sociedad –y en último término de toda la humanidad– hacia una comunidad en la que cada individuo tenga la posibilidad de llevar una vida sa-tisfactoria y de participar de los bienes culturales (Carnap 1963/1992, p. 38).

Para muestra de esta actitud, quisiera recordar que Rudolf Carnap visitó México, poco antes de morir, con motivo de que dos de sus amigos filósofos mexicanos, Nicolás Molina Flores y Eli de Gortari, se encontraban detenidos acusados de presuntas actividades comunistas. Transcribo, para terminar, parte del informe que Carnap hizo poco después de su estancia en México y que fue publicado en el Journal of Philosophy:

Molina y de Gortari fueron arrestados en septiembre de 1968 por la policía, que entró a sus casas por la fuerza y sin una justificación para su arresto. Cuan-do estaba en la Ciudad de México en enero de 1970, estuve en contacto cerca-no con Rafael Ruiz Harrell, quien me dio información acerca de los filósofos arrestados. Le propuse darle una suma de dinero para los prisioneros, cuyo uso futuro podía determinarse después […]. A mi solicitud, Ruiz me presentó a la señora de Gortari (Artemisa de Gortari). Ella me dijo que su esposo y Molina estaban en la misma celda […]. Le dije a Ruiz que me gustaría mucho ver a mi viejo amigo Molina, si eso fuera posible. La señora de Gortari me dijo que su esposo sería muy feliz si también lo visitara.

La visita: [….] El oficial envió un hombre quien, después de un momento, retornó con de Gortari […]. Su esposa me presentó y él expresó su felicidad por verme. Se sentó entre nosotros y conversamos. Refiriendo a su carta de 1966, valoré sus intereses que iban desde la metodología de la física a campos como la teoría axiomática de conjuntos. Su discurso fue muy animado y el rostro de su esposa reflejó la felicidad de sus buenos espíritus.

[…] el oficial envió a un policía y, después de un momento, retornó con Molina. Saludé a mi amigo con un cordial abrazo (en español, en el original). Nos sentamos y le hice preguntas sobre su vida y su trabajo […].

La señora de Gortari me dio dos tarjetas blancas y me invitó a que escri-biera unas pocas palabras para los dos filósofos. Al principio dudé, debido a que podría parecer sospechoso a los policías, pero observé que ellos no habían prestado la más mínima atención a nuestra conversación. Así, escribí para cada uno de ellos algunas palabras de admiración por su fortaleza, tenacidad y estoi-ca ecuanimidad con la cual enfrentaban su duro destino… y también expresé la esperanza de que el día de la liberación no estaría lejos. Ambos hombres leye-ron las tarjetas y se vieron visiblemente emocionados; dijeron que conservarían dichas tarjetas para siempre.

Sorpresivamente, las trompetas y los tambores dieron la señal del fin de la visita. Me despedí con un cordial abrazo de de Gortari y luego de Molina. Ellos


expresaron su agradecimiento muy calurosamente, dijeron que había sido el día más feliz de su vida desde septiembre de 1968. Luego caminé con la seño-ra de Gortari el largo camino a través de las barracas. Varias veces miré hacia atrás; vi a los dos hombres parados en el portal y los saludé con la mano. Lue-go entré a la administración, tomé mi dinero y pasaporte y finalmente dejé la cárcel. Rudolf Carnap, Verano de 1970. (Carnap 1970, pp. 1026-1029).

álvaro PeláezUniversidad Autónoma Metropolitana, Cuajimalpa.

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La Guerra Fría y la Filosofía de la Ciencia**

El campo más exitoso de la filosofía en el siglo XX ha sido la filosofía de la cien-cia, precisamente porque logró construir una narrativa de su historia reciente que muestra un continuo progreso a través de debates internos con diferentes en-foques y corrientes y discusiones externas con otras disciplinas como la sociología y la historia de la ciencia. El punto de partida de esta narrativa es el Círculo de Viena de los años veinte y el programa del positivismo lógico, cuya recepción y difusión en el mundo anglosajón ha servido, ante todo, como objeto de crítica y de fuente de errores que se han logrado superar a lo largo del siglo XX. Empezan-do por Popper y después Polanyi, Kuhn, Lakatos, Laudan, entre otros, han cues-tionado el positivismo lógico como un rival con pies de arena fácil de derrotar.

Solo en los últimos años del milenio pasado y en los primeros que hemos vi-vido del actual, se ha corregido la interpretación simplista y errónea del positi-vismo lógico que predominó durante el siglo XX y que está en la base de la mala fama que se ha construido sobre este programa filosófico.

La versión tergiversada sobre el positivismo lógico consiste básicamente en considerarlo un empirismo dogmático que establece una clara separación entre el contexto de justificación y el contexto de descubrimiento, reduciendo el pri-mero a cuestiones lógicas, semánticas y metodológicas y excluyendo totalmente

* Recibido: 16 de Enero 2011. Aceptado: 5 de Febrero 2011. ** Este trabajo se realiza dentro del marco del Proyecto “Normatividad y praxis: El debate actual después de

Wittgenstein” (FFFI2010-15975).Metatheoria 1(2)(2011): 235-242. ISSN 1853-2322.


Reseña de Reisch, George, Cómo la guerra fría transformó la filosofía de la ciencia. Hacia las heladas laderas de la lógica, Quilmes:

Universidad Nacional de Quilmes, 2009, 480 pp.Traducción de Daniel Blanco de Reisch, George, How the Cold War

Transformed Philosophy of Science. To the Icy Slopes of Logic, Cambridge: Cambridge University Press, 2005, xxiv + 418 pp.*

Review of Reisch, George, Cómo la guerra fría transformó la filosofía de la ciencia.Hacia las heladas laderas de la lógica, Quilmes: Universidad Nacional de Quilmes,

2009, 480 pp. Translation by Daniel Blanco of Reisch, George, How the Cold War Transformed Philosophy of Science.To the Icy Slopes of Logic,

Cambridge: Cambridge University Press, 2005, xxiv + 418 pp.

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el segundo del ámbito de la filosofía de la ciencia, por considerarlo carente de racionalidad, y relegándolo al ámbito de la historia y la sociología de la ciencia. La objetividad y racionalidad de la ciencia se reduce a la contrastabilidad empírica con base en un lenguaje observacional, universal, seguro e inmutable y de infe-rencias inductivas que trasmiten a la teoría las fortalezas de la base empírica.

A partir de esa imagen deformada del positivismo lógico se han montado muchas críticas que han justificado las reconstrucciones progresivas de la filoso-fía de la ciencia en el siglo XX. Popper cuestiona el supuesto fundamentalismo del fisicalismo del positivismo lógico, así como su nula preocupación por el cam-bio científico. Lo interesante de las críticas sucesivas es que subrayan la persisten-cia de prejuicios y errores que tienen su origen en el positivismo lógico. Así por ejemplo, Michael Polanyi, en su original e innovador libro Personal Knowledge, cuestiona la filosofía de la ciencia positivista, la popperiana y el empirismo lógico en virtud de que todos ellos pierden de vista al sujeto de la ciencia, a su forma-ción, actividad y prácticas, reduciendo el conocimiento científico a un producto terminado formado por enunciados independientes de todo sujeto. La historia de los errores persistentes se repite con Kuhn quien, en términos muy parecidos a los de Polanyi, reclama a toda la filosofía de la ciencia anterior no tomar en cuenta los procesos de formación de los científicos y de la comunicación entre ellos, ni tampoco el núcleo fundamental de la ciencia, la comunidad científica. Pero, como nos dice Reisch,

Kuhn pasó por alto o tal vez no se dio cuenta del hecho de que el programa que criticara a fines de la década de 1950 había minimizado hacía poco tiem-po los intereses de Morris, Neurath y Frank respecto a las conexiones de la ciencia con la vida social, histórica y económica y sus esperanzas que esos tó-picos prosperarían entre las preocupaciones centrales de la disciplina. (Reisch 2009, p. 44)

Las confrontaciones y disputas entre historiadores y filósofos de la ciencia tuvie-ron una expresión culminante en el Congreso de Filosofía de la Ciencia de Lon-dres de 1964. Como resultado de este congreso, se pactó un solemne acuerdo cuyo epígrafe enunció elocuentemente Lakatos, parafraseando a Kant, en térmi-nos de que la filosofía de la ciencia es hueca sin la historia de la ciencia y la his-toria de la ciencia es ciega sin la filosofía de la ciencia. A partir del maridaje en-tre filosofía e historia de la ciencia se establece una división de aguas entre la fi-losofía pre y poskuhniana, siendo esta última resultado de un cambio radical en la concepción de la ciencia, tal y como lo explicó claramente Ian Hacking en la introducción a su excelente antología de filósofos pospositivistas de la ciencia, Re-voluciones científicas.

En esta nueva filosofía de la ciencia, la historia tiene el papel de proveer la base de contrastación empírica para las interpretaciones filosóficas de la ciencia, interpretaciones que incluyen tanto el análisis de la estructura y las funciones de las teorías científicas como la reconstrucción racional del cambio histórico en forma de tradiciones, programas o paradigmas de investigación. Sin embargo, en esta nueva visión de la filosofía de la ciencia, el rigor del análisis lógico y semánti-


co de las teorías, rigor propio del positivismo lógico, se había deteriorado signifi-cativamente. Ante ello, el programa estructuralista de Sneed, Stegmüller y Mouli-nes se propuso renovar el rigor del análisis lógico y semántico, para dar cuenta tanto de la estructura estática de las teorías científicas como de su dinámica histó-rica. De cierta manera, la concepción modelo-teórica de la ciencia concluye todo un ciclo de más de medio siglo de progreso de la filosofía empirista de la ciencia, hacia finales de los años setenta.

Pero la integración de la historia como base de contrastación de las interpre-taciones filosóficas abrió la puerta a la sociología de la ciencia, sobre todo, al lla-mado “programa fuerte” de Barnes y Bloor, y posteriormente de Woolgar y La-tour, programas que rechazaban contundentemente toda función normativa de la filosofía de la ciencia debido a que concebían las cuestiones epistémicas como epifenómenos de causas sociales y políticas. Estos enfoques iconoclastas fueron ubicados en perspectivas posmodernas, vinculados a estudios deconstruccionistas inspirados en Foucault. Esquemáticamente, la tesis básica de esta concepción es que la verdad, la racionalidad y, en última instancia, el proceso entero de justifi-cación del conocimiento científico no tiene un sustento propio ni es autónomo, sino más bien es un discurso de carácter eminentemente ideológico, resultado de prácticas sociales y relaciones de poder.

Ante esta radicalidad de los estudios sociales de la ciencia, la mayoría de los filósofos que habían aceptado con entusiasmo la integración de la historia y la fi-losofía de la ciencia, reaccionaron enérgicamente en contra del construccionismo sociológico posmoderno. Sin duda, uno de los más destacados y audaces críticos de la filosofía pospositivista de la ciencia ha sido Larry Laudan. En el primer ca-pítulo de su libro Beyond Positivism and Relativism, titulado “‘The Sins of the Fa-thers…’ Positivist Origins of Postpositivist Relativisms”, Larry Laudan señala que los errores y excesos de los naturalismos históricos, sociológicos o psicológicos que ponen en cuestionamiento la justificación misma de la filosofía de la ciencia se deben a que se asumen supuestos erróneos del positivismo lógico. Entre estos supuestos se destacan los siguientes:

•Si existe la racionalidad científica, esta debe tener un criterio universal, preciso.

•Si existe la posibilidad de una justificación empírica de teorías, debe basar-se sobre un lenguaje observacional plenamente confiable y una metodolo-gía algorítmica y concluyente.

•Si existe progreso en la ciencia, se debe exclusivamente al aumento de la corroboración empírica y de la aplicación de teorías para la explicación y predicción de procesos y fenómenos.

Mientras que los autores del positivismo lógico consideraban que todas estas con-diciones son efectivamente factibles, los pospositivistas consideran que son impo-sibles de realizar y por ello, mientras los primeros defienden la racionalidad y el progreso científico, otros lo niegan rotundamente sobre los mismos presupuestos.

La confrontación entre los estudios sociales de la ciencia y la filosofía de la ciencia representó en la última década del siglo XX un fuerte dilema o impasse


que aún persiste en nuestros días. Este dilema obliga a escoger entre una perspec-tiva naturalizada y meramente descriptiva de la filosofía de la ciencia y la tecno-logía que, si bien reconoce la complejidad de las relaciones sociales y políticas en la producción del conocimiento, soslaya las cuestiones filosóficas centrales relati-vas a la racionalidad, objetividad, verdad, fuerza explicativa, etc.; por otro lado, si se quiere tomar en serio estas cuestiones propiamente epistemológicas, se tienen que hacer a un lado las consideraciones de carácter social y político que inciden necesariamente en la producción del conocimiento, a fin de poder rescatar la función normativa de la filosofía de la ciencia.

En las últimas dos décadas del siglo XX, la filosofía de la ciencia ha ensayado diversos intentos para superar este dilema al impulsar un naturalismo normativo en la filosofía de la ciencia, o bien procurando desarrollar estudios sociales de la ciencia con una orientación normativa. Pero tanto desde la filosofía de la cien-cia como desde los estudios sociales de la ciencia y la tecnología se ha llegado a la conclusión de que la superación del dilema requiere de un cambio radical del concepto mismo de racionalidad científica que incluya en su seno tanto las cues-tiones lógicas, semánticas y metodológicas, como aspectos éticos, sociales y polí-ticos. Cabe señalar que, con este propósito, próximamente aparecerá el libro co-lectivo, Nuevas miradas sobre la racionalidad de la ciencia, coordinado por Ana Rosa Pérez Ransanz y Ambrosio Velasco Gómez, que integra una treintena de trabajos de filósofos iberoamericanos que exploran de diferentes maneras nuevas concep-ciones de la racionalidad científica que permitan superar el dilema planteado.

Pero en esta ocasión no puede culparse del dilema al positivismo lógico; por el contrario, las nuevas interpretaciones del positivismo lógico, tanto en el ámbito an-glosajón como en el iberoamericano, muestran que ese concepto amplio de raciona-lidad había sido ya formulado originariamente a principios del siglo XX por autores como Duhem y Neurath. Sin embargo, Duhem ha sido poco reconocido y a Neu-rath, junto con el positivismo lógico, simple y llanamente se le negaba por prejui-cios esa nueva visión de la racionalidad científica que incluye, entre otros aspectos, lo que él denomina “motivos auxiliares”, que se refieren a cuestiones sociales y po-líticas que inciden directamente en la justificación y selección racionales de teorías.

¿Cómo fue posible tal ceguera? ¿Cómo pudo malinterpretarse y tergiversarse el programa amplio del positivismo lógico reduciéndolo a sus aspectos meramen-te lógicos y metodológicos?

A estas preguntas responde el libro de Georg Reisch Cómo la Guerra Fría trans-formó la filosofía de la ciencia. Hacia las heladas laderas de la lógica, Quilmes: Univer-sidad Nacional de Quilmes, 2009.

La importancia del libro se constata en función de las preguntas a las que da respuesta. La reflexión crítica sobre esos problemas es fundamental para poder recuperar el tiempo perdido por la filosofía de la ciencia del siglo XX al abando-nar el amplio programa filosófico-político de la ciencia que propuso el positivis-mo lógico, destacadamente Neurath, en las primeras décadas del siglo XX. Den-tro de este programa la ciencia se reconoce como un conocimiento cuya justifica-ción racional no solo está en función de un lenguaje y de una metodología rigu-


rosa, sino que también requiere de la aceptabilidad social y la legitimidad política en función de los beneficios y consecuencias de la ciencia y la tecnología sobre la sociedad en su conjunto. Por ello, considero que la propuesta de Otto Neurath constituye el origen de la filosofía política de la ciencia, que hoy en día constitu-ye una de las perspectivas más promisorias para superar los dilemas que enfrenta la filosofía de la ciencia.

Entre las virtudes del libro está primeramente la de interpretar con objetivi-dad el programa amplio del Círculo de Viena, así como las transformaciones y obstáculos que tuvieron que enfrentar sus más destacados representantes. A par-tir de ello, se da una imagen totalmente distinta de la filosofía positivista de la ciencia que corrige los graves errores reduccionistas que predominaron durante todo el siglo XX y, en consecuencia, se ofrece una historia de la filosofía de la ciencia muy distinta a la visión progresista y lineal a la que estamos acostumbra-dos. Y, en tercer lugar, se ofrece una explicación reveladora desde una visión po-lítica de la filosofía de la ciencia de por qué se abandonó y encubrió el progra-ma revolucionario, social y políticamente comprometido con la democracia y la igualdad social del positivismo lógico, en aras de una filosofía de la ciencia muy limitada en sus problemas métodos y alcances, pero cómoda e inclusive justifica-dora del proyecto liberal-capitalista de la posguerra.

Reisch muestra que, en los años treinta, el positivismo tuvo una muy buena aceptación en los Círculos liberal progresista y socialista en los Estados Unidos de Norteamérica, especialmente a partir de la visita de Neurath a invitación de Ernest Nagel en 1936. En esos años había en ese país, especialmente en Nueva York, un espíritu de renovación filosófica, marcadamente crítica, en la que se podrían distinguir diferentes grupos intelectuales en un espectro que se movía desde el pragmatismo democrático hasta el marxismo radical, pasando por libe-rales y socialistas. La acogida favorable del positivismo lógico se dio precisamente entre los filósofos de orientación democrática tanto pragmatistas liberales como marxistas socialistas, entre los que destacan Dewey y Ernest Nagel. Todos ellos compartían el reconocimiento de la valía epistémica, social y política de la cien-cia como base de la ilustración emancipadora de la ciudadanía y también coin-cidían en un fuerte rechazo a la metafísica. Desde luego la izquierda pragmática liberal difería del positivismo lógico respecto al estatus cognitivo de los juicios de valor, pero esto no obstó para que se unificaran en defensa de la ciencia experi-mental y de la democratización de la sociedad.

A diferencia de los grupos liberales y socialistas democráticos, los marxistas radicales, que defendían la línea estalinista, cuestionaban el positivismo lógico en cuanto este rechazaba contundentemente la metafísica, pues la adopción del materialismo dialéctico por parte de esos grupos marxistas radicales implicaba la adopción de fuertes compromisos metafísicos absolutamente incompatibles con el programa positivista. Refiriéndose a los grupos de izquierda radical reunidos en torno a las revistas Science and Society y The Communist, Reisch señala:

Muchos no podían soportar el rechazo de la metafísica por parte del empiris-mo lógico y el subsiguiente desmerecimiento de uno de los debates metafísicos


más celebrados de la izquierda radical –la defensa de Lenin del materialismo contra el (alegado) idealismo de Mach– (Reisch 2009, p. 84).

De la misma manera reaccionaron contra la crítica positivista a la metafísica otros destacados filósofos marxistas europeos recién exiliados en los Estados Unidos en 1935: Max Horkheimer y Herbert Marcuse. El primero de ellos malentendió la propuesta fisicalista del positivismo lógico, confundiéndola con un reduccionismo a la ciencia física. Con una interpretación tan errónea llegó a afirmar, nos dice Reisch, que los positivistas lógicos “no tenían nada correcto que decir acerca del conocimiento, la conciencia, la historia, la política y el papel de la ciencia en la so-ciedad” (Reisch 2009, p. 155). Esta reacción de Horkheimer, continúa Reisch

sugiere cuán profundamente sentía Horkheimer el aguijón del rechazo a la me-tafísica por parte del empirismo lógico […]. Si esto fuera cierto, el proyecto in-telectual de Horkheimer, la Teoría Crítica, no tendría plataforma alguna sobre la cual erigirse (Reisch 2009, p. 153).

Así, Horkheimer y Marcuse también contribuyeron a distorsionar la concepción del positivismo lógico sobre la ciencia y su significación social y política. Con ello, se sumaron al esfuerzo de los liberales de derecha de reducir el positivismo lógico a una mera metodología empirista, carente de fuerza transformadora de la realidad social.

En oposición a esta visión distorsionada del positivismo propiciada tanto por marxistas como Horkheimer y Marcuse como por los filósofos empiristas de la posguerra, Reisch hace un análisis pormenorizado y ameno del surgimiento del primer Círculo de Viena y su desarrollo posterior. En todo este análisis, Neurath es el filósofo central, precisamente porque es quien con mayor claridad vincula la filosofía y la política, en contraste con Carnap, que a juicio de Reisch es

quien puso más énfasis en el tema de la demarcación entre filosofía y política […]. Su visión de la filosofía como una empresa neutral respecto a la política de-vino en tiempos de posguerra en una cuestión central para la reputación del em-pirismo lógico como un programa estrictamente filosófico. (Reisch 2009, p. 71)

Pero, más allá de las diferencias polémicas internas entre los positivistas lógicos, Reisch nos ofrece en conjunto una interpretación renovada de esta escuela filosófi-ca. Su detallado análisis del proceso de transformación de la filosofía de la ciencia en el periodo de la Guerra Fría deja en claro que los caminos que adopta la filoso-fía y la ciencia no solo responden a cuestiones teóricas y académicas internas a las disciplinas, sino también son resultado de procesos sociales y conflictos políticos.

Frente a la concepción heredada del positivismo lógico, Reisch nos ofrece una visión renovada que se acerca mucho a las más innovadoras propuestas de nuestros días. En primer lugar, lejos de sustentar un reduccionismo o fundamen-talismo empirista, la interpretación del fisicalismo que nos presenta, particular-mente en la versión de Neurath, es holista y falibilista. Asimismo, lejos de sus-tentar una visión correspondentista de la verdad se muestra que los positivistas se inclinaban por el coherentismo. En contra del absolutismo semántico y meto-dológico, defienden el pluralismo; en lugar de comprender a la ciencia como un sistema de enunciados, prefieren verla como una “enciclopedia”. Finalmente, y


esto es lo más importante, frente a la concepción cartesiana de la racionalidad científica, basada en fuentes inmutables y métodos infalibles para la construcción del conocimiento absoluto, concepción que Neurath denomina “pseudoraciona-lista”, se propone una nueva idea de racionalidad científica que, si bien incluye aspectos lógicos, lingüísticos, metodológicos y teóricos, también reconoce los lí-mites y riesgos de estos elementos, por lo que incluye también lo que denomina “motivos auxiliares” que se refieren a ideas y valores, éticos, sociales y políticos. La inclusión de los motivos auxiliares en la racionalidad científica, necesariamen-te requiere del juicio prudencial y la responsabilidad de los sujetos:

Era solo una presunción filosófica la que llevó a Descartes y sus seguidores a suponer que en principio la razón sigue disponible para analizar cualquier situación problemática, determinar y clasificar resultados y así relevarnos de nuestra responsabilidad en la toma de decisiones […]. Tal vez es ese aspecto decisionista de la concepción de Neurath lo que le da mayor sentido a su pro-yecto como un proyecto histórico y existencial […]. El conocimiento científico es una herramienta que los humanos crean en última instancia para su propio uso y como tal es concebido apropiadamente como parte de una empresa so-cial y colectiva –un movimiento– que la vuelve tan comprometida social y políti-camente como lo están otras instituciones creadas y sostenidas de manera acti-va por los seres humanos. (Reisch 2009, p. 54)

El compromiso social y político de la mayoría de los positivistas lógicos era a fa-vor de la democracia y la equidad social y, por ello, Carnap no dudaba en afir-mar: “todos nosotros en el Círculo [de Viena] estábamos fuertemente interesados en el progreso político y social. La mayoría de nosotros, incluido yo mismo, éra-mos socialistas” (citado por Reisch 2009, p. 49).

El sentido ético y político que los miembros del Círculo de Viena dieron a la ciencia y a la filosofía de la ciencia era incompatible con la ideología liberal-capi-talista y sobre todo con el macartismo de la posguerra. Por ello, Reisch sostiene enfáticamente:

Lo que sobrevivió a la Guerra Fría fue el empirismo lógico sin el movimiento de unidad de la ciencia de Neurath […]. Para fines de la década de 1950, ve-remos más adelante, las figuras prominentes en el ámbito de la filosofía de la ciencia típicamente distanciaron a la disciplina de las cuestiones normativas de la ética y la política utilizando argumentos y suposiciones que habían sido desafiadas por Neurath, Frank, Morris, Dewey y otros en la década de 1930. (Reisch 2009, p. 44)

El detallado análisis que hace Reisch del proceso de transformación de la filoso-fía de la ciencia en el periodo de la Guerra Fría deja en claro que los caminos que adopta la filosofía y la ciencia no solo responden a cuestiones teóricas y aca-démicas internas a la disciplina, sino también son resultado de procesos sociales y conflictos políticos. Esta observación refuerza la importancia de desarrollar una filosofía política de la ciencia sobre bases propuestas hace ya cien años por los más destacados filósofos del Círculo de Viena.

Ambrosio Velasco GómezInstituto de Investigaciones Filosóficas, Universidad Nacional Autónoma de México.


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3. Las colaboraciones pueden ser en castellano, inglés o portugués. El documento debe tener el siguiente formato: Times New Roman-12 puntos, a doble espacio; todas las páginas deben estar numeradas. Se deben usar itálicas para énfasis. Se debe usar el editor de ecuaciones o MathType para ecuaciones. El do-cumento debe tener formato .RTF o haber sido procesado con Word. Se ruega a los usuarios del Word 2007 utilizar el modo de compatibilidad (extensión .doc). Si contienen figuras, cuadros, gráficos o ma-pas, especificar dónde deben ser insertadas. Las figuras, cuadros, gráficos o mapas se incluirán en hojas separadas del texto, numerados y titulados. Se numeran como “figuras” (gráficos, mapas, etc.) y “fotos” (fotografías). Las figuras y fotos se presentarán confeccionadas para su reproducción directa y tienen que ser en blanco y negro. Deben ser de buena calidad. Los archivos de las figuras pueden ser: JPEG, GIF, EPS (Encapsulated Postscript) o TIFF. Si se usan figuras o fotos de otro autor, se debe tener el permiso correspondiente. Los encabezados deben usar el sistema decimal con no más de tres niveles. Las abrevia-turas deben ser definidas en la primera mención y luego usadas consistentemente a lo largo del texto.

4. Los artículos centrales no deberán exceder las 15.000 palabras; las notas y reseñas de libros, las 3.000 palabras. Ambos casos incluyendo notas al pie y referencias bibliográficas.

5. Puesto que todos los manuscritos recibidos para publicación son sometidos a referato doble ciego, el nombre del autor o autora solo debe aparecer en la primera página. Esta debe contener el título del artículo (en minúsculas, negritas y centrado), seguido del nombre y apellido del autor/a, el lugar de pertenencia institucional (centro de trabajo, universidad de procedencia, etc.) y la dirección postal y de correo electrónico. Los agradecimientos a personas y las fuentes de financiamiento también se consigna-rán en esta primera página, en nota al pie, mediante un asterisco remitido desde el título del trabajo. Los nombres de instituciones financiadoras deben ser consignados en su totalidad.

6. Una segunda página debe contener un resumen en el idioma original del artículo de 100 a 150 palabras con cuatro palabras clave. Los resúmenes no deben incluir abreviaturas no definidas o referencias no especificadas. En caso de tratarse de artículos escritos en castellano o en portugués, deberá incluirse también la traducción al inglés del título, del resumen y de las palabras clave.

7. El formato del texto o cuerpo central es el siguiente: El texto irá encabezado por el título. Las llamadas en el texto deben marcarse con números arábigos como exponentes. Las notas a pie de página se enu-merarán correlativamente y en la página correspondiente. Las obras citadas, si las hubiera, se listarán al final y se hará referencia a ellas en los lugares apropiados del texto principal colocando el apellido del autor seguido del año de publicación entre paréntesis y el número de página cuando se lo necesitara.

8. Las referencias bibliográficas irán por orden alfabético de autores. La forma de citar la bibliografía utiliza-da, así como mayor información acerca de las normas de publicación, se encuentra disponible en:http://metatheoria.com.ar/Index.php/m/about/submissions#authorGuidelines

For information to contributors in English, see:http://metatheoria.com.ar/Index.php/m/about/submissions

Para informação para os autores em portugués, ver:http://metatheoria.com.ar/Index.php/m/about/submissions

Primera edición, abril 2011.© EDUNTREF. Universidad Nacional de Tres de Febrero.ISSN 1853-2322Queda hecho el depósito que marca la Ley 11.723. Impreso en la Argentina© Copyright by Editorial de la Universidad Nacional de Tres de Febrero. Registro de la propiedad intelectual en trámite.

Metatheoria | Volumen 1, Número 2, abril 2011 | issN 1853-2322

Revista de Filosofía e Historia de la Ciencia | Journal of Philosophy and History of Science | Revista de Filosofia e História da Ciência

Volumen temático: Estructuralismo metateórico | Thematic Volume: Metatheoretical Structuralism | Volume Tematico: Estruturalismo metateórico

Introducción | Introduction | Introdução José A. Díez / José L. Falguera / Pablo Lorenzano

Artículos | Articles | Artigos

Primera Parte

C. Ulises Moulines, Cuatro tipos de desarrollo teórico en las ciencias empíricas

Adolfo García de la Sienra, Estructuras, sistemas modelo y aplicabilidad empírica

José L. Falguera, Consideraciones de índole ontoepistemosemántica

Xavier de Donato Rodríguez, Idealization within a Structuralist Perspective

Segunda Parte

Joseph D. Sneed, Prolegomena to a Structuralist Reconstruction of Quantum Mechanics

María Caamaño, Conmensurabilidad empírica entre teorías inconmensurables: el caso del flogisto

Andoni Ibarra y Jon Larrañaga, De las redes teóricas a las constelaciones de elementos teóricos: las prácticas científicas en la Ecología de Poblaciones

Luis M. Peris-Viñé, Actual Models of the Chomsky Grammar

Reseñas bibliográficas | Book Reviews | Resenhas bibliográficasGeorge Reisch, Cómo la guerra fría transformó la filosofía de la ciencia. Hacia las heladas laderas de la lógica / Álvaro Peláez

George Reisch, Cómo la guerra fría transformó la filosofía de la ciencia. Hacia las heladas laderas de la lógica / Ambrosio Velasco Gómez

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Díez, Falguera & Lorenzano (Eds)-Estructuralismo Metateórico

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