Dietrich Marsal

Finite Differenzen und Elemente Numerische Lasung von Variationsproblemen und partiellen Differentialgleichungen

Mit 64 Abbildungen

Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York London Paris Tokyo 1989

Dr. phil. nat. Dietrich Marsal Professor an der Universitat Stuttgart 8399 Ering am Inn

ISBN 978-3-540-50192-3 DOl 10.1007/978-3-642-49948-7

ISBN 978-3-642-49948-7 (eBook)

CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Marsal, Dietrich: Finite Differenzen und Elemente: numer. Liisung von Variationsproblemen u. partietten Differentialgleichungen/Dietrich Marsal. Berlin; Heidelberg; New York ; London; Paris; Tokyo: Springer, 1989

ISBN 978-3-540-50192-3

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236213020-543210

Vorwort

Der vorliegende Text ist ein Lehr- und Arbeitsbuch fur den

Selbstunterricht, die Rechenpraxis und.Obungen. Er richtet

sich an jeden Interessierten,mag ~r Physiker oder Ingenieur,

Analytiker oder Numeriker, Chemiker orler Geowissenschaftler

sein, und mag er grope oder geringe Vorkenntnisse besitzen.

Gepragt durch Meine Programmentwicklungen zur Erdolexplora­

tion und ftir ~as Bayerische Umweltministerium, gepragt auch

insbesondere durch Meine Beratertatigkeit im Umfeld der KFA

Julich und beim Forschungslaboratorium der Shell Den Haag,

solI das Buch in einfacher Darstellung einen moglichst gro­

pen Schatz an effizienten Methoden und Erfahrungen vermit­

teln, wobei leichte Programmierbarkeit im Vordergrund steht.

Entsprechend dem Charakter als Arbeitsbuch sind die Litera­

turangaben knapp, eroffnen jedoch dem Leser ein weites Feld

verwandter und alterer Arbeiten.

1m Teil tiber finite Differenzen solI der Leser von einfach­

sten Aufgaben bis hin zu komplexen Problemen und Techniken

(numerische Dispersion, upstream-weighting, Vorkonditionie­

rung von Gleichungssystemen usw.) gefuhrt werden, und zwar

von der analytischen Fassung der Aufgabe bis zum fertigen,

knappen, fur dieses Buch entwickelten Programm. Die in For­

tran 77 geschriebenen Programme konnen zusatzlich auf Dis­

kette PC/AT-kompatibel bei mir angefordert werden. Um Mehr­

gittertechniken dem Anwender von der Praxis her nahezubrin­

gen, habe ich als Muster ein einfaches Programm fur die La-

VI

place/Poisson-Gleichung entwickelt. Bei mehrdimensionalen

(gewohnlich nichtlinearen) elliptischen und parabolischen

Problemen liegt der Nachdruck auf Programmen, die Grundge­

biete beliebiger Gestalt mit beliebig verteilten Randbedin­

gungen automatisch erfassen und verarbeiten. Das Kapitel

uber hyperbolische Gleichungen und Systeme wird in wei ten

Teilen yom CFL-Kriterium beherrscht.Gleichungen von Navier

und Stokes werden nicht explizit behandelt; sie wurden ein

eigenes Buch erfordern (siehe jedoch Ziffer 6.14 - 6.16).

Der Teil tiber finite Elemente setzt keine Strukturmechanik

voraus. Er ist ftir Leser geschrieben, die finite Elemente als

Alternative zu finiten Differenzen betrachten und nur Kennt­

nisse aus der Differential- und Integralrechnung mehrerer Va­

riablen mitbringen. Deshalb wird die finite Element-Methode

in einfacher Weise aus dem Grundgedanken des Ritzschen Prin

zips entwickelt, und zwar von der Differentialgleichung tiber

die zugehorige Variationsaufgabe zum algebraischen Gesamt­

gleichungssystem. Behandelt werden folgende Elemente:

Dreiecke, Rechtecke, windschiefe Vierecke; Tetraeder, recht­

eckige Blocke, windschiefe Blocke; jeweils mit und ohne ge­

krummte Rander. Dazu treten Intervallelemente verschiedener

Art. Ein Abschnitt tiber allgemeine finite Elemente gestattet

dem Leser, sich selbst neue Elemente zu konstruieren.

Die Darstellung lehnt sich zum Teil an mein seit einiger Zeit

vergriffenes Buch "Die numerische Losung partieller Differen­

tialgleichungen" an, das sich allerdings auf Dreieck- und Te­

traederelemente beschrankte.

Danksagung. Mein Freund Florian Lehner, Ph.D., Shell Den Haag,

versorgte mieh (wie schon beim Schreiben des Vorgangers dieses

Suches) mit Spezialliteratur. Herrn Dr. L. Dohmen, IES Jtilich,

verdanke ieh Viele Hinweise und ein Sonderprogramm zur Gau~eli­

mination. Herr Dr. K. Sttiben, GMD Schlo~ Birlinghoven, versorg­

te mieh mit zahlreichen Arheiten uber Mehrgittertechnik und

Ratsehlagen dazu. Ohne die Unterstutzung von Herrn Prof. Dr. R.

Gorenflo, FU Berlin, Herrn Prof. Dr. M. Blumenfeld, T. Faeh­

hoehsehule Berlin, und Herrn Aad van Kuyk, Shell Den Haag, hat­

te ieh wiehtige Teile des Kapitels 6 nieht so sehreiben konnen,

wie ieh es fur notwendig erachtete.

Ering,Stuttgart,Den Haag im Juli 1988 Dietrich Marsal

Inhaltsverzeichnis

Finite Differenzen

o Allgemeine Grundlagen

0.1 Zur Schreibweise

0.2 Synonyma des Wortes "Definitionsbereich"

0.3 Nebenbedingungen

0.4 Zur Klassifizierung partieller Differential­

gleichungen

3

3

4

4

0.5 Iteration 5

0.6 Matrizen und Gaup-Elimination 6

0.7 Gestaffelte Systeme, Dreiecksmatrizen, LR-Zerlegung 9

1 Grundlagen der Differenzenmethode

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

Prinzip und einfachste Formeln

Die Formel von Taylor

Approximati~n der ersten Ableitung

Approximation der zweiten Ableitung

Explizite und implizite Systeme

Stabile und instabile Systeme

Stabilitat im Sinne John von Neumanns

1.8 Elliptische, parabolische und hyperbolische

Gleichungen

1.9 Gitter und Randbedingungen

12

13

14

15

16

18

20

22

23

1.10 Unregelma~ige Gitter. Mehrgitterverfahren

Lokale Netzverfeinerung

1.11 Hahere Ableitungen auf quadratischen Gittern

1.12 Differenzenformeln hoher Genauigkeit

1.13 Differentialgleichungen mit variablen Koeffizienten

IX

25

29

30

Eichung/history matching. Stream weighting 32

1.14 Numerische Dispersion 1 33

1.15 Numerische Dispersion 2 34

1.16 Neun-Punkte Formeln fur den Laplace Operator 36

1.17 Herleitung der Neun-Punkte Formel D(p,u) 38

1.18 Praktische Fragen 40

1.19 Fehlernormen 41

1.20 Diskretisierung der selbstadjungierten Fo~m (Kux)x 43

1.21 Das Liebmannsche Mittelungsverfahren: Ein elemen-

tares klassisches Beispiel der Differenzenmethode 44

1.22 Literatur 46

2 Parabolische Gleichungen I

2.1 Zusammenfassung

2.2 Lineare tridiagonale Systeme

Das Programm Algorithmus TRIDIA

2.3 Nichtlineare tridiagonale Systeme

2.4 Implizite Lasung von uxx + Q(x,t)

2.5 Randbedingungen

2.6 Das Programm implizit.f77

2.7 Die Crank-Nicolson Variante CN. Das Programm

cranknic.f77

2.8 Die Gleichung uxx + Uyy + Q(x,y,t) = CUt. ADIP

2.9 Das ADIP-Programm adipr.f77 auf Rechteckgebieten

2.10 Die Gleichung u xx + Uyy + u zz + Q(x,y,z,t) = CUt

2.11 Nichtlinearitaten, Nichtrechteckgebiete und

Anisotropie

2.12 Explizite Lasung der 2- und 3-dimensionalen

Gleichung

2.13 Literatur

49

49

51

52

53

55

56

57

60

62

62

64

64

x

3 Elliptische Gleichungen

3.1 Zusammenfassung

3.2 Bandmatrizen

Der Gau~-Algorithmus BANDMATRIX

3.3 Direkte Losung der Gleichungen von Laplace und

Poisson mit hoher Genauigkeit

3.4 Das Programm poisson1.f77

3.5 Ein einfaches Mehrgitterverfahren fUr die Glei-

chungen von Poisson und Laplace

3.6 Das Programm multigrid.f77

3.7 Die Gleichung von Helmholtz

3.8 Fehlerabschatzung nach Richardson

3.9 Die nichtlineare selbstadjungierte elliptisch­

parabolische Gleichung auf inhomogenen, unregel­

ma~ig berandeten Gebieten

3.10 Die selbstadjungierte elliptische bzw. parabo-

lische Differenzengleichung

3.11 Die Koeffizienten S und T

3.12 Die Randbedingungen

3.13 Das Programm adjung.f77

3.14 Losung elliptischer Gleichungen mit adjung.f77

3.15 Die Austauschbarkeit elliptischer und paraboli-

scher Programme

3.16 Douglas-Rachford iterativ (DRI)

3.17 Die Biharmonische v4 u=v 2 (v 2 u)=0

3.18 Literatur

4 Hyperbolische Gleichungen

4.1

4.2

4.3

4.4

Zusammenfassung

Charakteristiken

Die Gleichung a(x,y)uxx-c(x,y)uyy=g(x,y)u+f(x,y) mit

a(x,y»O und c(x,y»O

Die Wellengleichungen Utt=puxx+f, Utt=p(uxx+Uyy)+f

und Utt=p(uxx+Uyy+uzz)+f mit p=c 2

67

67

69

72

73

76

77

78

78

80

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83

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86

86

87

87

89

89

91

92

4.5 Die eestimmung der zulassigen Maschenweiten fUr

Wellengleichungen. Das Kriterium von Courant,

Friedrichs und Lewy

4.6 Das Programm welle.f77 fUr 2D-Wellengleichungen

4.7 Die Charakteristiken der quasilinearen Gleichung

erster Ordnung

4.8 Die Charakteristiken quasilinearer Systeme erster

Ordnung

4.9 Die Losung hyperbolischer kanonischer Systeme

4.10 Beweis der Konvergenz der Niherungslosung

4.11 Systeme vom Telegraphengleichungstyp

4.12 Gleichungen und Systeme vom Typ u t = -~(x.t)vx 4.13 Das Programm utvx.f77

4.14 Numerische Langsdispersion 1

4.15 Das Lax-Wendroff Schema

4.16 Das Programm laxwf.f77

4.17 Numerische Langsdispersion 2

4.18 Integration der Gleichung Ux + Vy

4.19 Literatur

5 Parabolische Gleichungen II

5.1 Zusammenfassung

o

5.2 Die SOR-Methode zur Losung linearer Gleichungen

Die Verfahren von Jacobi und Gau~-Seidel

5.3 Neun-Punkte Formel des Operators (Tux)x + (Tuy)y

Minimalisierung der numerischen Querdispersion

5.4 Mehrdimensionale Grundgebiete beliebiger und wech­

selnder Gestalt. Gitterabtastung. Dreidimensionale

XI

93

95

96

98

99

100

101

102

103

104

106

107

107

109

110

112

112

117

Differentialgleichungen auf beliebigen Bereichen 118

5.5 Das Generalprogramm gebiet.f77 fUr selbstadjungier­

te Gleichungen auf beliebigen zweidimensionalen De-

finitionsbereichen mit Dispersionsminimalisierung 127

5.6 Das Arbeiten mit dem Generalprogramm gebiet.f77

5.7 Die Konvektions-Diffusionsgleichung auf beliebigen

129

dreidimensionalen Definitionsbereichen. e-Parameter 131

XII

5.8 Numerische Dispersion selbstadjungierter Gleichungen

und solcher yom Konvektions-Diffusionstyp 133

5.9 Automatische Zeitschrittwahl und Abschatzung der

Stabilitat und Dispersion niehtlinearer Gleichungen 136

5.10 Iteration nichtlinearer Gleichungen. Das Verfahren

von Newton und Raphson

5.11 Tensorgleichungen. Gleichungen mit gemischten Ablei-

tungen

5.12 Wandernde Fronten. stream weighting 1

5.13 Freie Rander. stream weighting 2

5.14 Ein Kurzprogramm fur selbstadjungierte Gleichungen

auf beliebigen dreidimensionalen Bereichen mit all­

gemeinen Randbedingungen, harmonischer Mittelung

und upstream weighting. Lasung explizit

5.15 Nichtkartesische Koordinaten mit unregelma~igen

Gitterabstanden, unendliche Definitionsbereiche,

logarithmische Unstetigkeiten und Anfangs-Sprung-

137

139

140

144

147

unstetigkeiten 151

5.16 Systeme parabolischer oder elliptischer Gleichungen 153

5.17 Eine Bemerkung zu Gleichungen der Form f(vxx'v yy '

VZZ,VX,Vy,Vz,Ut)=O

5.18 Zusammengesetzte Medien. Phasenubergange

5.19 Literatur

6 Gro~e lineare Gleichungssysteme

6.5

6.6 Vorteile und Nachteile von Gau~-Seidel (GS) und

dem Eliminationsverfahren von Gau~ (GE)

154

154

155

158

159

160

6.7 Vorteile und Nachteile des Verfahrens von Jacobi (J) 161

6.8 Gradienten(artige) Methoden mit ihren Vor- und

Nachteilen 162

6.9 Schlu~worte zur Besprechung der Vor- und Nachteile

der einzelnen Losungsverfahren

6.10 Definitionen: positiv definite, unzerlegbare,

diagonal dominierte Matrizen

6.11 Anwendung auf selbstadjungierte Gleichungen, Konver-

genz iterativer Verfahren und Gau~-Elimination

6.12 Sparlich besetzte Bandmatrizen

6.13 Das speicherplatzsparende Programm gauss.f77

6.14 Die Gradientenmethode CG (conjugate gradient algo-

rithm) fur positiv definite Systeme

6.15 Die Gradientenmethode CGS (conjugate gradients

squared) fur Navier-Stokes Gleichungen und andere

XIII

162

163

165

167

170

173

asymmetrische Probleme 174

6.16 Vorkonditionierung (preconditioning) 176

6.17 Platzsparendes Abspeichern der Koeffizientenmatrix 180

6.18 Einfachindizierung der Gitterpunkte bei Anwendung

direkter Verfahren und Gradientenmethoden

6.19 Literatur

Finite Elemente

7 Einfuhrung in die Methode der finiten Elemente

7.1 Finite Elemente und ihre Knoten

7.2 Variationsaufgaben. Die Verfahren von Ritz und

Galerkin

7.3 Vergleich der Differenzenmethode mit der finiten

Elementmethode bei Losung partieller Differential­

gleichungen

7.4 Die Uberfuhrung von Variationsaufgaben in Diffe-

rentialgleichungen. Nattirliche Randbedingungen

7.5 Der Arbeitsablauf bei der Ritz-Variante

7.6 Die Berechnung von aJ/au r

7.7 Eindimensionale Elemente

7.8 Die Losung eindimensionaler Variationsaufgaben

7.9 Die Entfernung von Innenknoten

181

189

195

196

198

199

201

203

204

205

208

XIV

7.10 Die wichtigsten Eulerschen Gleichungen

zu Variationsaufgaben 208

7.11 Variationsaufgaben zu gewohnlichen Differential-

gleichungen 211

7.12 Variationsaufgaben zu elliptischen Differential-

gleichungen in der Ebene und im Raum

7.13 Literatur

8 Die Losung von Variationsaufgaben I

8.1 Einleitung

8.2 Rechteckelemente

8.3 Dreidimensionale Blockelemente

8.4 Numerische Integration auf Intervall-, Rechteck­

und Blockelementen

8.5 Dreieckelemente

8.6 Dreieckelemente mit drei oder sechs Knoten

212

212

214

215

218

220

221

224

8.7 Tetraederelemente 227

8.8 Die Behandlung nichtlinearer Randwertprobleme.

Minimalflachen 231

8.9 Bemerkungen zur Programmierung und Gebietsaufteilung 232

8.10 Literatur 235

9 Die Losung von Variationsaufgaben II

9.1 Allgemeine finite Elemente

9.2 Schiefwinklige 4-Knoten-Viereckelemente

9.3 Windschiefe dreidimensionale Blocke

9.4 Die numerische Integration tiber schiefwinklige

236

239

242

Vierecke und windschiefe dreidimensionale Blocke 243

9.5 Dreieckelemente mit gekrtimmten Randern 1

9.6 Dreieckelemente mit gekrtimmten Randern 2

9.7 Dreieckelemente mit einem gekrtimmten Rand

9.8 Integration tiber krummlinig berandete Dreiecke

245

247

250

252

xv

9.9 Viereckelemente mit gekrummten Randern 254

9.10 Vergleich der praktischen Eigenschaften der Elemente 258

9.11 Die Biharmonische und andere Gleichungen vierter

Ordnung 259

9.12 Intervallelemente mit stetiger erster Ableitung.

Die Variationsaufgabe der gewahnlichen Differential-

gleichung vierter Ordnung

9.13 Literatur

10 Gemischte Randbedingungen. Der Galerkin-Proze~

10.1 Einleitung

10.2 Die Normalableitung

10.3 Naturliche Randbedingungen. Verschwinden der

Normalableitung auf dem Rand

10.4 Gemischte Randbedingungen fur Gleichungen mit

zwei Ortsvariablen

10.5 Durchfilhrung der Lasung fUr gemischte Rand­

bedingungen

10.6 Gemischte Randbedingungen fur Gleichungen

mit drei Ortsvariablen

261

262

263

263

264

265

267

269

10.7 Die Berilcksichtigung einfacher Nebenbedingungen 269

10.8 Der Galerkin-Proze~ 271

10.9 Lineare und nichtlineare parabolische, hyperbolische

und gemischte Gleichungen und nichtlineare ellipti-

sche Probleme

10.10 Systeme gewahnlicher Differentialgleichungen

10.11 Literatur

implicit.f77

subprg1.f77

cranknic.f77

adipr.f77

Fortran 77 Programme

272

274

274

277

278

279

280

XVI

subprg2.f77 281

pOissonl. f77 282

pmat. f77 283

multigrid. f77 285

adjung.f77 287

welle.f77 291

utvx.f77 292

laxwf.f77 293

gebiet.f77 294

gauss.f77 296

Sachverzeichnis 297

Matrizen. Die Losung von Gleichungssystemen

Bandmatrizen 67-69, 167-169

M-Matrizen 178

positiv definite, unzerlegbare, diagonal

dominierte Matrizen 163-165, 166, 167

spezielle elementare Matrizen 6-11

Gau~-Elimination fur Bandmatrizen 8,

160-161, 167, 170-172, 296

Gau(3-Seidel Iteration 114, 160-161, 166

Gradientenmethoden 162, 163, 173-180

Jacobi-Verfahren 114, 161-162, 166, 191

LR-Zerlegung 10-11

Mehrgitterverfahren 28, 46-47, 73-77,158

Newton-Raphson Verfahren 52, 138-139

SOR 112-117, 159, 166-167

tridiagonale lineare und nichtlineare

Gleichungen 49-52

Vorkonditionierung 162, 176-180