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UNIVERSIDAD DE HUANUCO ESTADISTICA - UDH J UNIVERSIDAD DE HUANUCO Sede Tingo María E.A.P DE INGENIERIA CIVIL TEMA: DISTRIBUCIONES DE PROBALIDAD DISCRETAS Y CONTINUAS CURSO : ESTADISTICA DOCENTE : Ing. Bermúdez Pino, Wilmer J ESTUDIANTE : Espinoza Camayo, Diego C CICLO : 2015-I
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ESTADISTICA - UDH
J
UNIVERSIDAD DE HUANUCO
Sede Tingo María
E.A.P DE INGENIERIA CIVIL
TEMA:
DISTRIBUCIONES DE PROBALIDAD
DISCRETAS Y CONTINUAS
CURSO : ESTADISTICA
DOCENTE : Ing. Bermúdez Pino, Wilmer J
ESTUDIANTE : Espinoza Camayo, Diego C
CICLO : 2015-I
UNIVERSIDAD DE HUANUCO
ESTADISTICA - UDH
INDICE
INDICE ............................................................................................................... 2
INTRODUCCION ............................................................................................... 3
VARIABLES ALEATORIAS .............................................................................. 4
DISTRIBUCIONES DE PROBABLIDADES. ...................................................... 4
I. Distribución de Bernoulli .............................................................................. 4
1.1. PROPIEDADES .................................................................................... 4
II. Distribución binomial .................................................................................... 5
2.1. La fórmula para la distribución Binomial ................................................ 6
2.2. Criterios o propiedades para definir la Distribución Binomial ................ 6
2.3. Características de la distribución binomial. ........................................... 7
2.4. Pasos para realizar el cálculo mediante Microsoft Excel...................... 8
III. Distribución Poisson .................................................................................. 11
Definición: ..................................................................................................... 11
3.1. El proceso de Poisson espacial .......................................................... 11
3.2. El proceso de Poisson temporal .......................................................... 12
3.3. Pasos para realizar el cálculo mediante Microsoft Excel.................... 13
3.4. Aproximación de la distribución Binomial por una de Poisson ............ 16
IV. Distribución normal .................................................................................... 16
4.1. Distribución normal o gaussiana ......................................................... 18
4.2. Características de la distribución Normal ............................................ 19
4.3. Propiedades de la distribución normal estándar ................................. 20
V. Ejercicios propuestos de Esquema de Bernoulli ........................................ 22
VI. Tablas ........................................................................................................ 25
6.1. Tabla de distribución binomial normal ................................................. 25
6.2. Tabla de Probabilidades de Poisson ......................................................... 34
6.3. Probabilidades acumuladas de la distribución normal estándar .......... 44
6.4. Probabilidades acumuladas de la distribución normal estándar .......... 45
Estandarización de valores reales ................................................................ 46
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INTRODUCCION
Una DISTRIBUCIÓN de PROBABILIDAD indica toda la gama
de valores que pueden representarse como resultado de un experimento.
Una distribución de probabilidad es similar al distribución de frecuencias
relativas .Sin embargo, en vez de describir el pasado, describe la
probabilidad que un evento se realice en el futuro, constituye una
herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que se puede
diseñar un escenario de acontecimientos futuros considerando las
tendencias actuales de diversos fenómenos naturales.
Las decisiones estadísticas basadas en la estadística inferencial son
fundamentales en la investigación que son evaluadas en términos de
distribución de probabilidades.
LAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD. Se emplean el estudio de
fenómenos aleatorios en disciplinas como la ingeniería y las ciencias
aplicadas o bien en negocios y la economía. En este manual se
desarrollará un método para determinar las distribuciones de probabilidad
de una función de variable aleatoria.
La elección de una distribución de probabilidad para representar un
fenómeno de interés práctico debe estar motivado tanto por la
comprensión de la naturaleza del fenómeno en sí, como por la posible
verificación de la distribución seleccionada a través de la evidencia
empírica.
En todo momento debe evitarse aceptar de manera tácita una
determinada distribución de probabilidad como modelo de un problema
práctico.
Se evalúan algunas distribuciones tanto discretas como continuas. En
cada caso se expondrán detalladamente las características distintas de
las distribuciones particulares de probabilidad y se establecerán sus
medias o promedios y varianzas.
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VARIABLES ALEATORIAS
Una variable estadística es una característica (cualitativa o cuantitativa) que se
mide u observa en una población. Si la población es aleatoria y la característica
es cuantitativa la variable estadística es denominada variable aleatoria. Las
variables aleatorias se clasifican en discretas y continuas.
Definición. Se denomina variable aleatoria, a una variable estadística
cuantitativa definida en un espacio muestral.
DISTRIBUCIONES DE PROBABLIDADES.
Desarrollar un sistema que permita llevar un control efectivo de inscripción y
pagos de cursos, así mismo de asistencia del profesor, practicante y bolsista en
los ambientes de los cuatro laboratorios de la facultad de Ingeniería de
informática y sistemas con la finalidad de contar con una información veraz,
precisa y ordenadamente al momento que el administrador o personal
encargado de los laboratorios lo requiera.
I. Distribución de Bernoulli Un experimento aleatorio se dice que es de Bernoulli cuando únicamente puede
tener dos resultados mutuamente excluyentes; uno de ellos se denomina “éxito”
y el otro “fracaso” y están representadas por dos valores (1=EXITO y
0=FRACASO.) Con probabilidad p y 1−p.
P (X = 1) = p; P (X = 0) = 1 – p
Ejemplos:
Los resultados “cara” o “cruz” en el lanzamiento de una moneda.
Las piezas “defectuosa” o “no defectuosa” en el control de calidad de un
producto
1.1. PROPIEDADES
Distribución de Bernoulli de parámetro p
Media μ E(X) = p
Varianza σ2 Var (X) = p (1 − p)
Desviación Típica √ p (1 − p)
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II. Distribución binomial Una variable aleatoria sigue una distribución binomial cuando cada ensayo tiene
exactamente dos posibles resultados. Distribución binomial se define como el
número de éxito puede esperarse que siga una muestra especial. Una
distribución de probabilidad se indica la distribución de los valores esperados.
Un histograma se utiliza para representar la distribución de los valores que
realmente se producen en un determinado de la muestra. La distribución binomial
es el origen de la popular prueba binomial de significación estadística. El
experimento de la falta de éxito, también llamado como experimento de Bernoulli
o ensayo de Bernoulli; cuando n = 1, la distribución binomial es una distribución
de Bernoulli. La distribución Binomial es una n veces repetida ensayo de
Bernoulli.
En común una distribución Binomial surge cuando contamos con las siguientes
4 condiciones:
1. n ensayos idénticos
2. Dos resultados posibles para cada prueba éxito y el fracaso
3. Los ensayos son independientes, por ejemplo, cada sorteo no afecta a
los demás
4. P (éxito) = p es el mismo para cada ensayo
Una sucesión de n pruebas se dice que es de Bernoulli cuando los
experimentos individuales
Verifican las siguientes condiciones:
1. Las n pruebas son independientes.
2. Cada prueba es de Bernoulli.
3. La probabilidad p de éxito es igual en todas las pruebas.
La variable aleatoria definida como “número de ´éxitos en n pruebas”, X _ B(n,
p), se dice que sigue una distribución binomial de parámetros n, p.
La variable puede tomar los valores {0, 1, 2,. . ., k,. . ., n} y su función de
probabilidad
Es la siguiente:
Pr(X = k) = Pr (k éxitos en n pruebas) = (𝑛𝑘
)𝑝𝑘𝑞𝑛−𝑘
Donde (𝑛𝑘
) = número de resultados posibles con k éxitos
n es el número de pruebas.
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K es el número de éxitos.
𝑝𝑘𝑞𝑛−𝑘 = P (cada resultado con k éxitos)
p es la probidad de éxito.
q es la probabilidad de fracaso.
Ejemplos:
Número de “veces” que aparece el resultado cara al lanzar una moneda
diez veces.
Número de ´éxitos en la recepción de un mensaje enviado a 100
destinatarios.
Número de ordenadores en una subred que han sido infectados por un
virus.
2.1. La fórmula para la distribución Binomial
Si están definidas las cuatro condiciones anteriores, a continuación, la
distribución Binomial puede calcularse mediante la fórmula
valoresotrospara
nxqpxXP xnxn
x
0
,.......,2,1,0,)(
La distribución de probabilidad binomial acumulado está dada por:
valoresotrospara
nxqpxXP xnxn
x
n
x
0
,.......,2,1,0,)(0
2.2. Criterios o propiedades para definir la Distribución Binomial
Resumiendo, podemos definir estos criterios:
1- El experimento aleatorio consiste en ensayos o pruebas repetidas, e
idénticas y fijadas antes del experimento (pruebas de Bernoulli). Son pruebas
con reemplazamiento o con reposición.
2- Cada uno de los ensayos o pruebas arroja solo uno de dos resultados
posibles resultados: éxito o fracaso.
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3- La probabilidad del llamado éxito ( , permanece constante
para cada ensayo o prueba.
4- Cada prueba o ensayo se repite en idénticas condiciones y es independiente
de las demás.
Cuando estas propiedades se cumplen en el experimento aleatorio se dice que
el constituye un proceso de Bernoulli y cada uno de los ensayos que lo
conforman se llama experimento de Bernoulli.
5. El interés recae en hallar la probabilidad de obtener número de éxitos al
realizar ensayos del mismo E.A.
La función de probabilidad de X en esas condiciones será:
Para entero y
2.3. Características de la distribución binomial.
Tendencia central: = aplicando la
definición de valor esperado se obtiene que para esta distribución:
Dispersión o variación: : = lo que conduce a que una v.a.
binomial X tiene como varianza
Por lo tanto su desviación estándar: .
Asimetría ó deformación (Forma): con base en la razón entre los momentos
centrales de orden dos y tres como quedo definido antes:
Sobre la base de que si:
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Generalmente la distribución binomial es sesgada ó asimétrica hacia la derecha,
sesgo que se va perdiendo cuanto más grande sea el valor de (# de pruebas)
y en la medida en que se acerque a (por lo tanto tienda a ),
limite en el cual se torna simétrica
Para el caso considerado y utilizando tanto la metodología tradicional de la
definición de conceptos como usando las fórmulas simplificadas, tenemos:
Total
0
; También
;
Su función de distribución acumulada será:
2.4. Pasos para realizar el cálculo mediante Microsoft Excel
Primer ejercicio.-Formalizando lo obtenido, en una variable binomial con 7 repeticiones y con
probabilidad de ´exito1/6, ¿Cuánto es la probabilidad de obtener 3 éxitos?
N=7
X=3
P=1/6
Realizando el cálculo reemplazando en la formula.
𝑝(𝑋 = 3) = (7
3) . 1/63. (1 − 1/6)7−3 = 0.0781
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Calculando mediante Microsoft Excel
Primer paso: seleccionas un cuadro dónde vas a hacer el cálculo y haces clic
en f(x) e insertas una función
Una vez hecho esta operación te saldrá el siguiente cuadro donde tienes que
elegir una categoría, haces clic en estadísticas.
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Entonces te saldrá la siguiente tabla donde tienes que escoger una función, en
este caso seleccionas la función que dice distribución binomial
A continuación te saldrá unos cuadros donde tienes que ingresar tus datos,
ingresas tus datos ya obtenidos una cada una según corresponda.
Pones aceptar y ya tienes el resultado, y asi de te facilita para resolver varios
ejercicios de probabilidades.
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III. Distribución Poisson
Definición:
En estadística, la distribución de Poisson es una de las distribuciones de
probabilidad discreta. Esta distribución se utiliza para calcular las posibilidades
de un evento con la tasa media dada de valor (λ). Una variable aleatoria de
Poisson (x) se refiere al número de éxitos en un experimento de Poisson.
Formula:
f(x)=e-λλx/x!
Cuando,
λ es una tasa promedio del valor.
X es una variable aleatoria de Poisson.
e es la base del logaritmo (e = 2,718).
3.1. El proceso de Poisson espacial
Supongamos un recipiente de volumen V con un líquido en el que hay n
bacterias, que se consideran de tamaño puntual. Se supone que el líquido está
bien batido, y que las bacterias no se atraen ni repelen entre sí. Estas dos
suposiciones se pueden formalizar respectivamente así:
Homogeneidad espacial: Para cada una de la n bacterias, y cada región D del
recipiente, la probabilidad de que la bacteria esté en D depende sólo del volumen
de D (y no de su forma o posición)
No interacción: Los eventos “la j-´esima bacteria está en D” (j = 1,. . ., n) son
independientes.
Dada ahora una región D con volumen v, se desea calcular la probabilidad del
evento “en D hay exactamente k bacterias”. Esta probabilidad depende s´olo de
v, por la primera suposición; la llamaremos gk(v). Sea h(v) la probabilidad de que
una bacteria dada esté en D (depende sólo de v). Si D1 y D2 son dos regiones
disjuntas con volúmenes v1, v2
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3.2. El proceso de Poisson temporal
Consideremos más en general la situación de la Sección 2.2.1. En vez de la
probabilidad de que en el intervalo [0, t) no se emita ninguna partícula,
calcularemos en general la probabilidad de que se emitan exactamente k
partículas. Para ello, definimos para k = 0, 1,. . . los eventos
Ak (t1, t2)= {en el intervalo de tiempo [t1, t2) se emiten exactamente k partículas}.
Calcularemos la forma de P {Ak(t1, t2)}.
Las suposiciones de invariancia y falta de memoria de página 16 se pueden
ahora traducir respectivamente así:
S1) P{Ak(s, s + t)} no depende de s
S2) Para todo n, cualesquiera sean t0 < t1 < t2 <. . .< tn y k1, k2,. . ., kn, los
eventos Ak1 (t0, t1), . . . ,Akn(tn−1, tn) son independientes.
A las dos suposiciones anteriores hace falta agregar la de que “las partículas se
emiten de a una”, que informalmente seria:
Sucesos aislados La probabilidad de que en un intervalo corto de tiempo se emita
más de una partícula, es despreciable comparada con la de que se emita una o
Respectivamente, tales que D = D1 _ D2, entonces v = v1 + v2, y como los
eventos “la bacteria está en D1” y “está en D2” son disjuntos, resulta:
h(v) = h(v1 + v2) = h(v1) + h(v2).
Además h es creciente. El lector puede probar fácilmente (ejercicio 2.18) que
h(v) = av donde a es una constante. Como h(V ) = 1, debe ser a = 1/V y por lo
tanto h(v) = v/V que es la proporción del volumen total correspondiente a D, como
era de esperar intuitivamente. Notemos ahora que estamos en la situación de la
binomial, con p = v/V , de modo que gk(v) = b(k; n, v/V ). En la mayoría de las
situaciones prácticas, n es muy grande, y las regiones que se consideran son
pequeñas comparadas con el recipiente total; de manera que se puede tomar n
_ _ y V _ _, con n/V _ c, donde c se puede interpretar como “cantidad media de
bacterias por unidad de volumen”. En estas circunstancias, por (2.17) resulta
para todos los efectos prácticos:
gk (v) = p(k; cv).
Por ejemplo, cuando se toma una muestra de sangre para hacer un recuento de
glóbulos rojos, V y v son los volúmenes de sangre en el cuerpo y en la muestra,
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3.3. Pasos para realizar el cálculo mediante Microsoft Excel
Ejercicio 02
Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondos por día, ¿cuáles son las
probabilidades de que reciba.
A) cuatro cheques sin fondo en un día dado.
B) cheques sin fondos en cualquiera de los dos días consecutivos?
Solución:
P= probabilidad de éxito
ƛ= (n*p)=la media de la distribución binomial.
ƛ=6 x=4
𝑝(𝑥) =𝑒−ƛ ƛ𝑥
𝑥!
𝑝(𝑥 = 4) =𝑒−6 64
4!= 0.13385
Lo cálculo mediante Microsoft Excel
Primer paso: abrimos Excel y cliqueamos donde está la Fx, insertamos una
función.
Segundo paso: seleccionamos la categoría de estadísticas.
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Tercer paso: seleccionar la función poisson.
Cuarto paso: ingresas los datos según correspondan.
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Quinto paso: hacemos clic en aceptar y ya contamos con el resultado.
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3.4. Aproximación de la distribución Binomial por una de Poisson
Algunas veces, si se desea evitar el tedioso trabajo de calcular las distribuciones
binomiales, sobre todo si n (ensayos) es muy grande y p o q (éxito y fracaso) es
muy pequeña, se puede usar a cambio la de Poisson, pero debe cumplir con
ciertas condiciones como:
_ n ≥ 30
_ np o nq < 5
En los casos en que se satisfacen tales condiciones, podemos sustituir la media
de la distribución binomial en lugar de la media de la distribución de Poisson de
modo:
l=np
Ejemplo:
Se sabe que 1% de los artículos de un gran embarque de transistores procedente
de un proveedor son defectuosos. Si se selecciona aleatoriamente una muestra
de 30 transistores, la probabilidad de que dos o más de ellos sean defectuosos.
P (X ≥ 2 I n=30, p= 0.01) = P (X=2) + P (X=3) + …= 0.0328+0.0031+0.0002 =
0.0361
Si l=np=30(0.01) = 0.3,
la aproximación de Poisson del anterior valor de probabilidad es:
P (X ≥ 2 I l = 0.3) = P (X=2) + P (X=3) + …= 0.0333 + 0.0033 + 0.0002 = 0.0368
Así la diferencia entre la aproximación de Poisson y el valor de probabilidad
binomial real es de sólo 0.0007
IV. Distribución normal Sin duda, la distribución continua de probabilidad más importante, por la
frecuencia con que se encuentra y por sus aplicaciones teóricas, es la
distribución normal, gaussiana o de Laplace-Gauss. Fue descubierta y
publicada por primera vez en 1733 por De Moivre. A la misma llegaron, de forma
independiente, Laplace (1812) y Gauss (1809), en relación con la teoría de los
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errores de observación astronómica y física. Y también, Un proceso opera en
condiciones normales, si tiene los materiales dentro de de especificaciones y del
mismo lote, un método consistente, un medio ambiente adecuado, el operador
capacitado, y el equipo ajustado correctamente, si se toman mediciones en
alguna característica del producto, mostrará el siguiente comportamiento:
Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,...) de una
especie (tallas, pesos, diámetros, perímetros,...).
Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un
mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen,...
Caracteres fisiológicos, por ejemplo: efecto de una misma dosis de un fármaco.
Fig. 1 Construcción de la distribución normal
La distribución normal es una de las distribuciones más usadas e importantes.
Se ha desenvuelto como una herramienta indispensable en cualquier rama de la
ciencia, la industria y el comercio.
Muchos eventos reales y naturales tienen una distribución de frecuencias cuya
forma es muy parecida a la distribución normal. La distribución normal es llamada
también campana de Gauss por su forma acampanada.
LAS PIEZAS VARÍAN DE UNA A OTRA:
Pero ellas forman un patrón, tal que si es estable, se denomina distr. Normal
LAS DISTRIBUCIONES PUEDEN DIFERIR EN:
SIZE TAMAÑO TAMAÑO
TAMAÑO TAMAÑO TAMAÑO TAMAÑO
TAMAÑO TAMAÑO TAMAÑO
UBICACIÓN DISPERSIÓN FORMA
. . . O TODA COMBINACIÓN DE ÉSTAS
Distribución gráfica de la variación – La Curva normal
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Cuando se incluyen todos los datos de un proceso o población, sus parámetros
se indican con letras griegas, tales como: promedio o media = (mu), y
desviación estándar (indicador de la dispersión de los datos) = (sigma).
Para el caso de estadísticos de una muestra se tiene media = X y desv. est.= s.
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes.
Valores estadísticos muestrales, por ejemplo: la media.
Y en general cualquier característica que se obtenga como suma de muchos
factores.
Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson se aproximan a la
normal. Distribuciones binomiales con n grande (n >30) y p ‘ni pequeño’ (np > 5)
‘ni grande’
(n (1-p) > 5).
4.1. Distribución normal o gaussiana
Está caracterizada por dos parámetros: la media, μ y la desviación típica, σ.
Su función de densidad es:
N (μ, σ) = P(x) = =1
σ√2𝜋𝑒
(𝑥−μ)2
2𝜎2 (σ>0)
La curva normal adopta un número infinito de formas, determinadas por sus
parámetros μ y σ.
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4.2. Características de la distribución Normal
Tiene forma de campana, es asintótica al eje de las abscisas (para x = ±∞)
Simétrica con respecto a la media (μ) donde coinciden la mediana (Mn) y la moda
(Mo).
N (μ, σ): Interpretación probabilista
Entre la media y una desviación
Típica tenemos siempre
la misma probabilidad:
Aproximadamente el 68%.
Entre la media y dos
Desviaciones típicas aprox. 95%
•Si tomamos intervalos centrados en μ, y cuyos extremos están…
–a distancia σ, tenemos probabilidad 68%
–a distancia 2 σ, tenemos probabilidad 95%
–a distancia 2’5 σ tenemos probabilidad 99%
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4.3. Propiedades de la distribución normal estándar
La distribución normal estándar tiene media = 0 y desviación estándar
=1. La media, Mediana y Moda coinciden, son iguales y se localizan en el
pico.
Propiedades de la distribución normal
El área bajo la curva o probabilidad de menos infinito a más infinito vale 1.
La distribución normal es simétrica, la mitad de curva tiene un área de 0.5.
La escala horizontal de la curva se mide en desviaciones estándar.
La forma y la posición de una distribución normal dependen de los parámetros
, , por lo que hay un número infinito de distribuciones normales.
Límite inferior de especs. Límite superior de especificaciones
Distribuciones normales con varias desv. Estándar
Curvas Normales con Medias iguales pero Desviaciones estándar diferentes
Curvas Normales con Medias iguales pero Desviaciones estándar diferentes
3.9
= 5.0
3.9
= 5.0
z0 1 2 3-1-2-3
z0 1 2 3-1-2-3 0 1 2 3-1-2-3
x x+ x+2 x+3x-x-2x-3 x x+ x+2 x+3x-x-2x-3
XX
La desviación estándar
sigma representa la
distancia de la media al
punto de inflexión de la
curva normal
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LIE LSE
Distribuciones normales con varias medias y desviaciones estándar
Existe una relación del porcentaje de probabilidad o área bajo la curva normal a
la desviación estándar. En la figura observamos por ejemplo que el área bajo la
curva para 1 tiene un porcentaje de 68.26%, 2 = 95.46% y
%73.993 .
Área bajo la curva de Distribución normal
Normales con Medias y Desviaciones estándar diferentes
Normales con Medias y Desviaciones estándar diferentes
= 5, = 3
= 9, = 6
= 14, = 10
= 5, = 3
= 9, = 6
= 14, = 10
+1s +2s +3s -1s -2s -3s
68.26%
95.46%
99.73%
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Lo anterior se puede calcular con la Tabla de distribución normal o con Excel (Fx
=distribución normal .estándar d(Z) proporciona el área desde menos infinito
hasta Z).
En la tabla normal, se busca el valor de Z y se encuentra el área bajo la curva.
La primera tabla sirve para determinar el área o probabilidad que se encuentra
fuera de los límites de especificaciones. La segunda tabla proporciona valores
de área bajo la curva para Z’s mayores a cero. En cada una se muestran
ejemplos de su uso.
V. Ejercicios propuestos de Esquema de Bernoulli 1. Se tira una moneda 6 veces consecutivas. Calcular la probabilidad de que
aparezca cara:
a) por lo menos una vez;
b) no menos de dos veces;
c) de 3 a 5 veces.
2. Calcular la probabilidad de obtener tres veces 6 puntos, al tirar un dado
5 veces.
3. En un proceso industrial, la probabilidad de que un cierto artículo resulte
defectuoso es 0,01. Calcular la probabilidad de que, en 10 artículos elegidos al
azar, resulten:
a) por lo menos un defectuoso
b) no menos de dos defectuosos.
4. En la trasmisión de un mensaje compuesto por signos, la probabilidad de que
ocurra un error en un signo es 0,1. Calcular la probabilidad de que, en un
mensaje con 4 signos:
a) no hayan errores
b) ocurra un error
c) ocurra no menos de un error.
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5. Calcular la probabilidad de que, en 2n experimentos en un esquema de
Bernoulli, se obtengan ´éxitos ´únicamente en los n experimentos con número
par, si la probabilidad de éxito en un experimento es p.
6. Un trabajador controla 5 máquinas de un mismo tipo. La probabilidad de que
una máquina requiera la atención del trabajador en el lapso de una hora es 1/3.
Calcular la probabilidad de que, en el curso de una hora, el trabajador sea
requerido por:
a) 2 máquinas
b) no menos de 2 máquinas.
7. Un matemático lleva consigo dos cajas de fósforos. Al principio, en cada caja,
hay n fósforos. Cada vez que el matemático precisa un fósforo, elige al azar una
de las cajas. Calcular la probabilidad de que, cuando se vacíe una de las cajas,
en la otra hayan exactamente r fósforos (0 < r ≤ n).
8. En una habitación hay tres lámparas. La probabilidad de que cada una de
estas lámparas no se queme, en el lapso de un año, es 0,8. Calcular la
probabilidad de que, en el curso de un año, estén funcionando:
a) 2 lámparas
b) por lo menos una lámpara.
9. La probabilidad de ´éxito en un experimento de Bernoulli es p. Calcular la
probabilidad de que, en el experimento que ocupa el k-ésimo lugar, ocurra ´éxito
por l-ésima vez (0 < l _≤k ≤n).
10. Una partícula que fluctúa por los puntos enteros de la recta real, en un cierto
momento (momento de salto) se traslada una unidad a la izquierda con
probabilidad 1/2, o una unidad a la derecha con probabilidad 1/2
(independientemente de la dirección de los movimientos anteriores). Este
esquema se denomina paseo al azar simple. Calcular la probabilidad de que,
luego de 2n saltos, la partícula se encuentre en el punto desde el cual comenzó
a trasladarse.
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11. Se tira una moneda 1600 veces. Calcular aproximadamente, la probabilidad
de que se obtenga cara: (a) exactamente 780 veces; (b) de 780 a 820 veces.
12. La probabilidad de acertar en un blanco es 0,8. Calcular aproximadamente,
la probabilidad de que en 400 disparos, se obtengan:
a) exactamente 300 aciertos
b) no menos de 300 aciertos.
13. En determinadas condiciones de producción de un cierto artículo, la
probabilidad de que resulte defectuoso es 0,01. Calcular la probabilidad de que,
entre 10000 artículos examinados de esta producción, resulten:
a) de 80 a 110 defectuosos
b) no menos de 9950 artículos sin defectos.
14. En una compañía de seguros hay asegurados 50.000 personas, de una cierta
edad y grupo social. La probabilidad de defunción en el curso de un año, para
cada individuo, es 0,006. Cada persona asegurada paga, al inicio del año, 40
dólares, y en caso de fallecer, sus parientes reciben de la compañía 5000
dólares. Calcular la probabilidad de que, en el lapso de un año, dicha compañía:
a) sufra perdidas
b) obtenga ganancias de por lo menos 300.000 dólares
c) obtenga ganancias de por lo menos 800.000 dólares.
15. Calcular la probabilidad de que, en una serie de 1000 tiradas de una moneda,
la frecuencia de aparición de cara se diferencie de la probabilidad de aparición
de cara, en no más de 0,03
16. La probabilidad de éxito en un experimento de un esquema de Bernoulli es
0,005. Calcular la probabilidad de que, en una serie de 800 experimentos, ocurra
por lo menos un éxito. (Sugerencia: utilizar la aproximación de Poisson a la
distribución binomial.)
17. La probabilidad de acertar en un blanco es de 0,001. Calcular la probabilidad
de acertar en el blanco dos o más veces, en una serie de 5000 disparos.
(Sugerencia: utilizar la aproximación de Poisson a la distribución binomial.)
UNIVERSIDAD DE HUANUCO
ESTADISTICA - UDH
VI. Tablas
6.1. Tabla de distribución binomial normal
Estas tablas de distribución binomial están hasta que n=20 comenzando de n =
1.
n = 1
P
X 0,05 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 0,95
0 0,950 0,900 0,800 0,700 0,600 0,500 0,400 0,300 0,200 0,100 0,050
1 0,050 0,100 0,200 0,300 0,400 0,500 0,600 0,700 0,800 0,900 0,950
n = 2
PROBABILIDAD
X 0,05 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 0,95
0 0,903 0,810 0,640 0,490 0,360 0,250 0,160 0,090 0,040 0,010 0,003
1 0,095 0,180 0,320 0,420 0,480 0,500 0,480 0,420 0,320 0,180 0,095
2 0,003 0,010 0,040 0,090 0,160 0,250 0,360 0,490 0,640 0,810 0,903
n = 3
P
X 0,05 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 0,95
0 0,857 0,729 0,512 0,343 0,216 0,125 0,064 0,027 0,008 0,001 0,000
1 0,135 0,243 0,384 0,441 0,432 0,375 0,288 0,189 0,096 0,027 0,007
2 0,007 0,027 0,096 0,189 0,288 0,375 0,432 0,441 0,384 0,243 0,135
3 0,000 0,001 0,008 0,027 0,064 0,125 0,216 0,343 0,512 0,729 0,857
n = 4
P
X 0,05 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 0,95
0 0,815 0,656 0,410 0,240 0,130 0,063 0,026 0,008 0,002 0,000 0,000
1 0,171 0,292 0,410 0,412 0,346 0,250 0,154 0,076 0,026 0,004 0,000
2 0,014 0,049 0,154 0,265 0,346 0,375 0,346 0,265 0,154 0,049 0,014
3 0,000 0,004 0,026 0,076 0,154 0,250 0,346 0,412 0,410 0,292 0,171
4 0,000 0,000 0,002 0,008 0,026 0,063 0,130 0,240 0,410 0,656 0,815
n = 5
P
X 0,05 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 0,95
0 0,774 0,590 0,328 0,168 0,078 0,031 0,010 0,002 0,000 0,000 0,000
1 0,204 0,328 0,410 0,360 0,259 0,156 0,077 0,028 0,006 0,000 0,000
2 0,021 0,073 0,205 0,309 0,346 0,313 0,230 0,132 0,051 0,008 0,001
3 0,001 0,008 0,051 0,132 0,230 0,313 0,346 0,309 0,205 0,073 0,021
4 0,000 0,000 0,006 0,028 0,077 0,156 0,259 0,360 0,410 0,328 0,204
5 0,000 0,000 0,000 0,002 0,010 0,031 0,078 0,168 0,328 0,590 0,774
UNIVERSIDAD DE HUANUCO
ESTADISTICA - UDH
n = 6
P
X 0 . 0 5 0 . 1 0 0 . 2 0 0 . 3 0 0 . 4 0 0 . 5 0 0 . 6 0 0 . 7 0 0 . 8 0 0 . 9 0 0 . 9 5
0 0 . 7 3 5 0 . 5 3 1 0 . 2 6 2 0 . 1 1 8 0 . 0 4 7 0 . 0 1 6 0 . 0 0 4 0 . 0 0 1 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0
1 0 . 2 3 2 0 . 3 5 4 0 . 3 9 3 0 . 3 0 3 0 . 1 8 7 0 . 0 9 4 0 . 0 3 7 0 . 0 1 0 0 . 0 0 2 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0
2 0 . 0 3 1 0 . 0 9 8 0 . 2 4 6 0 . 3 2 4 0 . 3 1 1 0 . 2 3 4 0 . 1 3 8 0 . 0 6 0 0 . 0 1 5 0 . 0 0 1 0 . 0 0 0
3 0 . 0 0 2 0 . 0 1 5 0 . 0 8 2 0 . 1 8 5 0 . 2 7 6 0 . 3 1 3 0 . 2 7 6 0 . 1 8 5 0 . 0 8 2 0 . 0 1 5 0 . 0 0 2
4 0 . 0 0 0 0 . 0 0 1 0 . 0 1 5 0 . 0 6 0 0 . 1 3 8 0 . 2 3 4 0 . 3 1 1 0 . 3 2 4 0 . 2 4 6 0 . 0 9 8 0 . 0 3 1
5 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 2 0 . 0 1 0 0 . 0 3 7 0 . 0 9 4 0 . 1 8 7 0 . 3 0 3 0 . 3 9 3 0 . 3 5 4 0 . 2 3 2
6 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 1 0 . 0 0 4 0 . 0 1 6 0 . 0 4 7 0 . 1 1 8 0 . 2 6 2 0 . 5 3 1 0 . 7 3 5
n = 7
P
X 0 . 0 5 0 . 1 0 0 . 2 0 0 . 3 0 0 . 4 0 0 . 5 0 0 . 6 0 0 . 7 0 0 . 8 0 0 . 9 0 0 . 9 5
0 0 . 6 9 8 0 . 4 7 8 0 . 2 1 0 0 . 0 8 2 0 . 0 2 8 0 . 0 0 8 0 . 0 0 2 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0
1 0 . 2 5 7 0 . 3 7 2 0 . 3 6 7 0 . 2 4 7 0 . 1 3 1 0 . 0 5 5 0 . 0 1 7 0 . 0 0 4 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0
2 0 . 0 4 1 0 . 1 2 4 0 . 2 7 5 0 . 3 1 8 0 . 2 6 1 0 . 1 6 4 0 . 0 7 7 0 . 0 2 5 0 . 0 0 4 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0
3 0 . 0 0 4 0 . 0 2 3 0 . 1 1 5 0 . 2 2 7 0 . 2 9 0 0 . 2 7 3 0 . 1 9 4 0 . 0 9 7 0 . 0 2 9 0 . 0 0 3 0 . 0 0 0
4 0 . 0 0 0 0 . 0 0 3 0 . 0 2 9 0 . 0 9 7 0 . 1 9 4 0 . 2 7 3 0 . 2 9 0 0 . 2 2 7 0 . 1 1 5 0 . 0 2 3 0 . 0 0 4
5 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 4 0 . 0 2 5 0 . 0 7 7 0 . 1 6 4 0 . 2 6 1 0 . 3 1 8 0 . 2 7 5 0 . 1 2 4 0 . 0 4 1
6 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 4 0 . 0 1 7 0 . 0 5 5 0 . 1 3 1 0 . 2 4 7 0 . 3 6 7 0 . 3 7 2 0 . 2 5 7
7 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 2 0 . 0 0 8 0 . 0 2 8 0 . 0 8 2 0 . 2 1 0 0 . 4 7 8 0 . 6 9 8
n = 8
P
X 0 . 0 5 0 . 1 0 0 . 2 0 0 . 3 0 0 . 4 0 0 . 5 0 0 . 6 0 0 . 7 0 0 . 8 0 0 . 9 0 0 . 9 5
0 0 . 6 6 3 0 . 4 3 0 0 . 1 6 8 0 . 0 5 8 0 . 0 1 7 0 . 0 0 4 0 . 0 0 1 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0
1 0 . 2 7 9 0 . 3 8 3 0 . 3 3 6 0 . 1 9 8 0 . 0 9 0 0 . 0 3 1 0 . 0 0 8 0 . 0 0 1 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0
2 0 . 0 5 1 0 . 1 4 9 0 . 2 9 4 0 . 2 9 6 0 . 2 0 9 0 . 1 0 9 0 . 0 4 1 0 . 0 1 0 0 . 0 0 1 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0
3 0 . 0 0 5 0 . 0 3 3 0 . 1 4 7 0 . 2 5 4 0 . 2 7 9 0 . 2 1 9 0 . 1 2 4 0 . 0 4 7 0 . 0 0 9 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0
4 0 . 0 0 0 0 . 0 0 5 0 . 0 4 6 0 . 1 3 6 0 . 2 3 2 0 . 2 7 3 0 . 2 3 2 0 . 1 3 6 0 . 0 4 6 0 . 0 0 5 0 . 0 0 0
5 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 9 0 . 0 4 7 0 . 1 2 4 0 . 2 1 9 0 . 2 7 9 0 . 2 5 4 0 . 1 4 7 0 . 0 3 3 0 . 0 0 5
6 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 1 0 . 0 1 0 0 . 0 4 1 0 . 1 0 9 0 . 2 0 9 0 . 2 9 6 0 . 2 9 4 0 . 1 4 9 0 . 0 5 1
7 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 1 0 . 0 0 8 0 . 0 3 1 0 . 0 9 0 0 . 1 9 8 0 . 3 3 6 0 . 3 8 3 0 . 2 7 9
8 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 1 0 . 0 0 4 0 . 0 1 7 0 . 0 5 8 0 . 1 6 8 0 . 4 3 0 0 . 6 6 3
n = 9
P
X 0 . 0 5 0 . 1 0 0 . 2 0 0 . 3 0 0 . 4 0 0 . 5 0 0 . 6 0 0 . 7 0 0 . 8 0 0 . 9 0 0 . 9 5
0 0 . 6 3 0 0 . 3 8 7 0 . 1 3 4 0 . 0 4 0 0 . 0 1 0 0 . 0 0 2 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0
1 0 . 2 9 9 0 . 3 8 7 0 . 3 0 2 0 . 1 5 6 0 . 0 6 0 0 . 0 1 8 0 . 0 0 4 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0
2 0 . 0 6 3 0 . 1 7 2 0 . 3 0 2 0 . 2 6 7 0 . 1 6 1 0 . 0 7 0 0 . 0 2 1 0 . 0 0 4 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0
3 0 . 0 0 8 0 . 0 4 5 0 . 1 7 6 0 . 2 6 7 0 . 2 5 1 0 . 1 6 4 0 . 0 7 4 0 . 0 2 1 0 . 0 0 3 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0
4 0 . 0 0 1 0 . 0 0 7 0 . 0 6 6 0 . 1 7 2 0 . 2 5 1 0 . 2 4 6 0 . 1 6 7 0 . 0 7 4 0 . 0 1 7 0 . 0 0 1 0 . 0 0 0
5 0 . 0 0 0 0 . 0 0 1 0 . 0 1 7 0 . 0 7 4 0 . 1 6 7 0 . 2 4 6 0 . 2 5 1 0 . 1 7 2 0 . 0 6 6 0 . 0 0 7 0 . 0 0 1
6 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 3 0 . 0 2 1 0 . 0 7 4 0 . 1 6 4 0 . 2 5 1 0 . 2 6 7 0 . 1 7 6 0 . 0 4 5 0 . 0 0 8
7 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 4 0 . 0 2 1 0 . 0 7 0 0 . 1 6 1 0 . 2 6 7 0 . 3 0 2 0 . 1 7 2 0 . 0 6 3
8 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 4 0 . 0 1 8 0 . 0 6 0 0 . 1 5 6 0 . 3 0 2 0 . 3 8 7 0 . 2 9 9
9 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 2 0 . 0 1 0 0 . 0 4 0 0 . 1 3 4 0 . 3 8 7 0 . 6 3 0
UNIVERSIDAD DE HUANUCO
ESTADISTICA - UDH
x 0,05 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 0,95
0 0,599 0,349 0,107 0,028 0,006 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
1 0,315 0,387 0,268 0,121 0,040 0,010 0,002 0,000 0,000 0,000 0,000
2 0,075 0,194 0,302 0,233 0,121 0,044 0,011 0,001 0,000 0,000 0,000
3 0,010 0,057 0,201 0,267 0,215 0,117 0,042 0,009 0,001 0,000 0,000
4 0,001 0,011 0,088 0,200 0,251 0,205 0,111 0,037 0,006 0,000 0,000
5 0,000 0,001 0,026 0,103 0,201 0,246 0,201 0,103 0,026 0,001 0,000
6 0,000 0,000 0,006 0,037 0,111 0,205 0,251 0,200 0,088 0,011 0,001
7 0,000 0,000 0,001 0,009 0,042 0,117 0,215 0,267 0,201 0,057 0,010
8 0,000 0,000 0,000 0,001 0,011 0,044 0,121 0,233 0,302 0,194 0,075
9 0,000 0,000 0,000 0,000 0,002 0,010 0,040 0,121 0,268 0,387 0,315
10 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,006 0,028 0,107 0,349 0,599
x 0,05 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 0,95
0 0,569 0,314 0,086 0,020 0,004 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
1 0,329 0,384 0,236 0,093 0,027 0,005 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000
2 0,087 0,213 0,295 0,200 0,089 0,027 0,005 0,001 0,000 0,000 0,000
3 0,014 0,071 0,221 0,257 0,177 0,081 0,023 0,004 0,000 0,000 0,000
4 0,001 0,016 0,111 0,220 0,236 0,161 0,070 0,017 0,002 0,000 0,000
5 0,000 0,002 0,039 0,132 0,221 0,226 0,147 0,057 0,010 0,000 0,000
6 0,000 0,000 0,010 0,057 0,147 0,226 0,221 0,132 0,039 0,002 0,000
7 0,000 0,000 0,002 0,017 0,070 0,161 0,236 0,220 0,111 0,016 0,001
8 0,000 0,000 0,000 0,004 0,023 0,081 0,177 0,257 0,221 0,071 0,014
9 0,000 0,000 0,000 0,001 0,005 0,027 0,089 0,200 0,295 0,213 0,087
10 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,005 0,027 0,093 0,236 0,384 0,329
11 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,004 0,020 0,086 0,314 0,569
x 0,05 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 0,95
0 0,540 0,282 0,069 0,014 0,002 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
1 0,341 0,377 0,206 0,071 0,017 0,003 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
2 0,099 0,230 0,283 0,168 0,064 0,016 0,002 0,000 0,000 0,000 0,000
3 0,017 0,085 0,236 0,240 0,142 0,054 0,012 0,001 0,000 0,000 0,000
4 0,002 0,021 0,133 0,231 0,213 0,121 0,042 0,008 0,001 0,000 0,000
5 0,000 0,004 0,053 0,158 0,227 0,193 0,101 0,029 0,003 0,000 0,000
P
n = 10
n = 11
P
n = 12
P
UNIVERSIDAD DE HUANUCO
ESTADISTICA - UDH
x 0 . 0 5 0 . 1 0 0 . 2 0 0 . 3 0 0 . 4 0 0 . 5 0 0 . 6 0 0 . 7 0 0 . 8 0 0 . 9 0 0 . 9 5
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P
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P
UNIVERSIDAD DE HUANUCO
ESTADISTICA - UDH
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P
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UNIVERSIDAD DE HUANUCO
ESTADISTICA - UDH
n = 1 7
P
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1 2 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 1 0 . 0 0 8 0 . 0 4 7 0 . 1 3 8 0 . 2 0 8 0 . 1 3 6 0 . 0 1 7 0 . 0 0 1
1 3 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 2 0 . 0 1 8 0 . 0 3 0 0 . 1 8 7 0 . 2 0 9 0 . 0 6 0 0 . 0 0 8
1 4 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 5 0 . 0 3 4 0 . 1 2 5 0 . 2 3 9 0 . 1 5 6 0 . 0 4 1
1 5 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 1 0 . 0 1 0 0 . 0 5 8 0 . 1 9 1 0 . 2 8 0 0 . 1 5 8
1 6 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 2 0 . 0 1 7 0 . 0 9 6 0 . 3 1 5 0 . 3 7 4
1 7 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 2 0 . 0 2 3 0 . 1 6 7 0 . 4 1 8
n = 1 8
P
x 0 . 0 5 0 . 1 0 0 . 2 0 0 . 3 0 0 . 4 0 0 . 5 0 0 . 6 0 0 . 7 0 0 . 8 0 0 . 9 0 0 . 9 5
0 0 . 3 9 7 0 . 1 5 0 0 . 0 1 8 0 . 0 0 2 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0
1 0 . 3 7 6 0 . 3 0 0 0 . 0 8 1 0 . 0 1 3 0 . 0 0 1 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0
2 0 . 1 6 8 0 . 2 8 4 0 . 1 7 2 0 . 0 4 6 0 . 0 0 7 0 . 0 0 1 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0
3 0 . 0 4 7 0 . 1 6 8 0 . 2 3 0 0 . 1 0 5 0 . 0 2 5 0 . 0 0 3 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0
4 0 . 0 0 9 0 . 0 7 0 0 . 2 1 5 0 . 1 6 8 0 . 0 6 1 0 . 0 1 2 0 . 0 0 1 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0
5 0 . 0 0 1 0 . 0 2 2 0 . 1 5 1 0 . 2 0 2 0 . 1 1 5 0 . 0 3 3 0 . 0 0 4 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0
6 0 . 0 0 0 0 . 0 0 5 0 . 0 8 2 0 . 1 8 7 0 . 1 6 6 0 . 0 7 1 0 . 0 1 5 0 . 0 0 1 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0
7 0 . 0 0 0 0 . 0 0 1 0 . 0 3 5 0 . 1 3 8 0 . 1 8 9 0 . 1 2 1 0 . 0 3 7 0 . 0 0 5 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0
8 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 1 2 0 . 0 8 1 0 . 1 7 3 0 . 1 6 7 0 . 0 7 7 0 . 0 1 5 0 . 0 0 1 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0
9 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 3 0 . 0 3 9 0 . 1 2 8 0 . 1 8 5 0 . 1 2 8 0 . 0 3 9 0 . 0 0 3 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0
1 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 1 0 . 0 1 5 0 . 0 7 7 0 . 1 6 7 0 . 1 7 3 0 . 0 8 1 0 . 0 1 2 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0
1 1 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 5 0 . 0 3 7 0 . 1 2 1 0 . 1 8 9 0 . 1 3 8 0 . 0 3 5 0 . 0 0 1 0 . 0 0 0
1 2 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 1 0 . 0 1 5 0 . 0 7 1 0 . 1 6 6 0 . 1 8 7 0 . 0 8 2 0 . 0 0 5 0 . 0 0 0
1 3 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 4 0 . 0 3 3 0 . 1 1 5 0 . 2 0 2 0 . 1 5 1 0 . 0 2 2 0 . 0 0 1
1 4 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 1 0 . 0 1 2 0 . 0 6 1 0 . 1 6 8 0 . 2 1 5 0 . 0 7 0 0 . 0 0 9
1 5 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 3 0 . 0 2 5 0 . 1 0 5 0 . 2 3 0 0 . 1 6 8 0 . 0 4 7
1 6 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 1 0 . 0 0 7 0 . 0 4 6 0 . 1 7 2 0 . 2 8 4 0 . 1 6 8
1 7 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 1 0 . 0 1 3 0 . 0 8 1 0 . 3 0 0 0 . 3 7 6
1 8 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 2 0 . 0 1 8 0 . 1 5 0 0 . 3 9 7
UNIVERSIDAD DE HUANUCO
ESTADISTICA - UDH
n = 1 9
P
X 0 . 0 5 0 . 1 0 0 . 2 0 0 . 3 0 0 . 4 0 0 . 5 0 0 . 6 0 0 . 7 0 0 . 8 0 0 . 9 0 0 . 9 5
0 0 . 3 7 7 0 . 1 3 5 0 . 0 1 4 0 . 0 0 1 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0
1 0 . 3 7 7 0 . 2 8 5 0 . 0 6 8 0 . 0 0 9 0 . 0 0 1 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0
2 0 . 1 7 9 0 . 2 8 5 0 . 1 5 4 0 . 0 3 6 0 . 0 0 5 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0
3 0 . 0 5 3 0 . 1 8 0 0 . 2 1 8 0 . 0 8 7 0 . 0 1 7 0 . 0 0 2 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0
4 0 . 0 1 1 0 . 0 8 0 0 . 2 1 8 0 . 1 4 9 0 . 0 4 7 0 . 0 0 7 0 . 0 0 1 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0
5 0 . 0 0 2 0 . 0 2 7 0 . 1 6 4 0 . 1 9 2 0 . 0 9 3 0 . 0 2 2 0 . 0 0 2 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0
6 0 . 0 0 0 0 . 0 0 7 0 . 0 9 5 0 . 1 9 2 0 . 1 4 5 0 . 0 5 2 0 . 0 0 8 0 . 0 0 1 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0
7 0 . 0 0 0 0 . 0 0 1 0 . 0 4 4 0 . 1 5 3 0 . 1 8 0 0 . 0 9 6 0 . 0 2 4 0 . 0 0 2 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0
8 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 1 7 0 . 0 9 8 0 . 1 8 0 0 . 1 4 4 0 . 0 5 3 0 . 0 0 8 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0
9 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 5 0 . 0 5 1 0 . 1 4 6 0 . 1 7 6 0 . 0 9 8 0 . 0 2 2 0 . 0 0 1 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0
1 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 1 0 . 0 2 2 0 . 0 9 8 0 . 1 7 6 0 . 1 4 6 0 . 0 5 1 0 . 0 0 5 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0
1 1 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 8 0 . 0 5 3 0 . 1 4 4 0 . 1 8 0 0 . 0 9 8 0 . 0 1 7 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0
1 2 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 2 0 . 0 2 4 0 . 0 9 6 0 . 1 8 0 0 . 1 5 3 0 . 0 4 4 0 . 0 0 1 0 . 0 0 0
1 3 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 1 0 . 0 0 8 0 . 0 5 2 0 . 1 4 5 0 . 1 9 2 0 . 0 9 5 0 . 0 0 7 0 . 0 0 0
1 4 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 2 0 . 0 2 2 0 . 0 9 3 0 . 1 9 2 0 . 1 6 4 0 . 0 2 7 0 . 0 0 2
1 5 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 1 0 . 0 0 7 0 . 0 4 7 0 . 1 4 9 0 . 2 1 8 0 . 0 8 0 0 . 0 1 1
1 6 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 2 0 . 0 1 7 0 . 0 8 7 0 . 2 1 8 0 . 1 8 0 0 . 0 5 3
1 7 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 5 0 . 0 3 6 0 . 1 5 4 0 . 2 8 5 0 . 1 7 9
1 8 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 1 0 . 0 0 9 0 . 0 6 8 0 . 2 8 5 0 . 3 7 7
1 9 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 1 0 . 0 1 4 0 . 1 3 5 0 . 3 7 7
n = 2 0
P
X 0 . 0 5 0 . 1 0 0 . 2 0 0 . 3 0 0 . 4 0 0 . 5 0 0 . 6 0 0 . 7 0 0 . 8 0 0 . 9 0 0 . 9 5
0 0 . 3 5 8 0 . 1 2 2 0 . 0 1 2 0 . 0 0 1 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0
1 0 . 3 7 7 0 . 2 7 0 0 . 0 5 8 0 . 0 0 7 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0
2 0 . 1 8 9 0 . 2 8 5 0 . 1 3 7 0 . 0 2 8 0 . 0 0 3 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0
3 0 . 0 6 0 0 . 1 9 0 0 . 2 0 5 0 . 0 7 2 0 . 0 1 2 0 . 0 0 1 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0
4 0 . 0 1 3 0 . 0 9 0 0 . 2 1 8 0 . 1 3 0 0 . 0 3 5 0 . 0 0 5 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0
5 0 . 0 0 2 0 . 0 3 2 0 . 1 7 5 0 . 1 7 9 0 . 0 7 5 0 . 0 1 5 0 . 0 0 1 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0
6 0 . 0 0 0 0 . 0 0 9 0 . 1 0 9 0 . 1 9 2 0 . 1 2 4 0 . 0 3 7 0 . 0 0 5 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0
7 0 . 0 0 0 0 . 0 0 2 0 . 0 5 5 0 . 1 6 4 0 . 1 6 6 0 . 0 7 4 0 . 0 1 5 0 . 0 0 1 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0
8 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 2 2 0 . 1 1 4 0 . 1 8 0 0 . 1 2 0 0 . 0 3 5 0 . 0 0 4 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0
9 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 7 0 . 0 6 5 0 . 1 6 0 0 . 1 6 0 0 . 0 7 1 0 . 0 1 2 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0
1 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 2 0 . 0 3 1 0 . 1 1 7 0 . 1 7 6 0 . 1 1 7 0 . 0 3 1 0 . 0 0 2 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0
1 1 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 1 2 0 . 0 7 1 0 . 1 6 0 0 . 1 6 0 0 . 0 6 5 0 . 0 0 7 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0
1 2 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 4 0 . 0 3 5 0 . 1 2 0 0 . 1 8 0 0 . 1 1 4 0 . 0 2 2 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0
1 3 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 1 0 . 0 1 5 0 . 0 7 4 0 . 1 6 6 0 . 1 6 4 0 . 0 5 5 0 . 0 0 2 0 . 0 0 0
1 4 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 5 0 . 0 3 7 0 . 1 2 4 0 . 1 9 2 0 . 1 0 9 0 . 0 0 9 0 . 0 0 0
1 5 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 1 0 . 0 1 5 0 . 0 7 5 0 . 1 7 9 0 . 1 7 5 0 . 0 3 2 0 . 0 0 2
1 6 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 5 0 . 0 3 5 0 . 1 3 0 0 . 2 1 8 0 . 0 9 0 0 . 0 1 3
1 7 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 1 0 . 0 1 2 0 . 0 7 2 0 . 2 0 5 0 . 1 9 0 0 . 0 6 0
1 8 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 3 0 . 0 2 8 0 . 1 3 7 0 . 2 8 5 0 . 1 8 9
1 9 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 7 0 . 0 5 8 0 . 2 7 0 0 . 3 7 7
2 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 1 0 . 0 1 2 0 . 1 2 2 0 . 3 5 8
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ESTADISTICA - UDH
Calculando mediante Excel la probabilidad de distribución binomial
normal.
X = número de éxito
N = número de ensayos
P = probabilidades
𝑝(𝑋 = 𝑥) = (𝑛
𝑥) . 𝑝𝑥. (1 − 𝑝)𝑛−𝑥 = 0.0000
Repitiendo los pasos anteriores ya mencionadas de cómo realizar el ingreso a
Excel en este caso solo daré dos pasos para calcular las probabilidades.
Primero ingresamos la categoría que es estadísticas y buscamos la función
distribución binomial normal.
Una vez ingresado eso solo a distribuir los datos correspondientes y a poner
acptar y de esa forma a conseguir lo resultados.
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Para la probabilidad acumuladas de la distribución binomial
Es solo lo contrario al realizar la operación bien como dice que es acumulado
solo se cambia lo que en el primero pusimos falso ahora ponemos verdadero
𝑝(𝑋 ≤ 𝑥) = 1 − (𝑛
𝑥) . 𝑝𝑥 . (1 − 𝑝)𝑛−𝑥
Tomando los mismos valores de la distribución binomial normal
X = número de éxito
N = número de ensayos
P = probabilidades
Y se repite los pasos ya mencionamos
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6.2. Tabla de Probabilidades de Poisson
λ x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.
5
0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
0 .9048 .8187 .7408 .6703 .6065 .5488 .4966 .4493
.4056 .3679
1 .0905 .1637 .2222 .2681 .3033 .3293 .3476 .3595
.3659 .3679
2 .0045 .0164 .0333 .0536 .0758 .0988 .1217 .1438
.1647 .1839
3 .0002 .0011 .0033 .0072 .0126 .0198 .0284 .3083
.0494 .0613
4 .0000 .0001 .0002 .0007 .0016 .0030 .0050 .0077
.0111 .0153
5 .0000 .0000 .0000 .0001 .0002 .0004 .0007 .0012
.0020 .0031
6 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0002
.0003 .0005
7 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
.0000 .0001
x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0
0 .3329 .3012 .2725 .2466 .2231 .2019 .1827 .1653 .1496 .1353
1 .3662 .3614 .3543 .3452 .3347 .3230 .3106 .2975 .2842 .2707
2 .2014 .2169 .2303 .2417 .2510 .2584 .2640 .2678 .2700 .2707
3 .0738 .0867 .0998 .1128 .1255 .1378 .1496 .1607 .1710 .1804
4 .0303 .0260 .0324 .0395 .0471 .0551 .0636 .0723 .0812 .0902
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9 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0001 .0001 .0002
x 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0
0 .1225 .1108 .1003 .0907 .0821 .0743 .0672 .0608 .0550 .0498
1 .2572 .2438 .2306 .2177 .2052 .1931 .1815 .1703 .1596 .1494
2 .2700 .2681 .2652 .2613 .2565 .2510 .2450 .2384 .2314 .2240
3 .1890 .1966 .2033 .2090 .2138 .2176 .2205 .2225 .2237 .2240
4 .0992 .1082 .1169 .1254 .1336 .1414 .1488 .1557 .1622 .1680
5 .0417 .0476 .0538 .0602 .0668 .0735 .0804 .0872 .0940 .1008
6 .0146 .0174 .0266 .0241 .0278 .0319 .0362 .0407 .0455 .0504
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8 .0011 .0015 .0019 .0025 .0031 .0038 .0047 .0057 .0068 .0081
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11 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0001 .0001 .0002 .0002
12 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001
x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0
0 .0450 .0408 .0369 0334 .0302 0273 .0247 .0224 .0202 .0183
1 .1397 .1304 .1217 .1135 .1057 .0984 .0915 .0850 0789 .0733
2 .2165 .2087 .2008 .1929 .1850 1771 .1692 .1615 .1539 .1465
3 .2237 .2226 .2209 .2186 .2158 .2125 .2087 .2046 .2001 .1954
4 .1734 .1781 .1823 .1858 .1888 .1912 .1931 .1944 .1951 .1954
5 .1075 .1140 .1203 .1264 .1322 .1377 .1429 .1477 .1522 .1563
6 .0555 .0608 .0662 .0716 .0771 .0826 .088! .0936 .0989 .1042
7 .0246 .0278 .0312 .0348 .0385 .0425 .0466 .0508 .0551 .0595
3 .0095 .0111 .0129 .0148 .0169 .0191 .0215 .0241 .0269 .0298
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10 .0010 .0013 .0016 .0019 .0023 .0028 .0033 .0039 .0045 .0053
11 .0003 .0004 .0005 .0006 .0007 .0009 .0011 .0013 .0016 .0019
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14 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0001 .0001 .0001 .0002 .0002
14 .0000 .0000 0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001
UNIVERSIDAD DE HUANUCO
ESTADISTICA - UDH
Probabilidades de Poisson (cont.)
λ x 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 0 .0166 0150 .0136 .0123 .0111 0101 .0091 .0082 .0074 0067
1 .0679 .0630 .0583 .0540 .0500 .0462 .0427 .0395 .0365 .0337
2 .1393 .1323 .1254 .1188 .1125 .1063 .1005 .0948 .0894 .0842
3 .1904 .1852 .1798 .1743 .1687 .1631 .1574 .1517 .1460 .1404
4 .1951 .1944 .1933 .1917 .1898 .1875 .1849 .1820 .1789 .1755
5 .1600 .1633 .1662 .1687 .1708 .1725 .1738 .1747 .1753 .1755
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145
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2 .0793 .0746 .0701 .0659 .0618 .0580 .0544 .0509 .0477 .0446
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4 .1719 .1681 .1641 .1600 .1558 .1515 .1472 .1428 .1383 .1339
5 .1753 .1748 .1740 .1728 .1714 .1697 .1678 .1656 .1632 .1606
6 .1490 .1515 .1537 .1555 .1571 .1584 .1594 .1601 .1605 .1606
7 .1086 .1125 .1163 .1200 .1234 .1267 .1298 .1326 .1353 .1377
8 .0692 .0731 .0771 .0810 .0849 .0887 .0925 .0962 .0998 .1033
9 .0392 .0423 .0454 .0486 .0519 .0552 .0586 .0620 .0654 .0688
10 .0200 .0220 .0241 .0262 .0285 .0309 .0334 .0359 .0386 .0413
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17 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0001 .0001 .001 .0001
UNIVERSIDAD DE HUANUCO
ESTADISTICA - UDH
Probabilidades de Poisson (cont.)
λ x 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 7.0 0 .0022 .0020 .0018 .0017 .0015 .0014 .0012 .0011 .0010 .0009
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2 .0417 .0390 .0364 .0340 .0318 .0296 .0276 .0258 .0240 .0223
3 .0848 .0805 .0765 .0726 .0688 .0652 .0617 .0584 .0552 .0521
4 .1294 .1249 .1205 .1162 .1118 .1076 .1034 .0992 .0912 .0912
5 .1579 .1549 .1519 1487 .1454 .1420 .1385 .1349 .1314 .1277
6 .1605 .1601 .1595 .1586 .1575 .1562 .1546 .1529 .1511 .1490
7 .1399 .1418 .1435 .1450 .1462 .1472 .1480 .1486 .1489 '1490
8 .1066 .1099 .1130 .1160 .1188 .1215 .1240 .1263 .1284 .1304
9 .0723 .0757 .0791 .0825 .0858 .0891 .0923 .0954 .0985 .1014
10 .0441 .0469 .0498 .0528 .0558 .0588 .0618 .0649 .0679 .0710
11 .0245 .0265 .0285 .0307 .0330 .0353 .0377 .0401 .0426 .0452
12 .0124 .0137 .0150 .0164 .0179 .0194 .0210 .0227 .0245 .0264
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145
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181
.0000 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0002 .0002 .0002
19 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0001
x 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 8.0
0 .0098 .0007 .0007 .0006 .0006 .0005 ..0005 .0004 .0004 .0003
1 .0059 .0054 .0049 .0045 .0041 .0038 .0035 .0032 .0029 .0027
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3 .0492 .0464 .0438 .0413 .0389 .0366 .0345 .0324 .0305 .0286
4 .0874 .0836 .0799 .0764 .0729 .0696 .0663 .0632 .0602 .0573
5 .1241 .1204 .1167 .1130 .1094 .1057 .1021 .0986 .0951 .0916
6 .1468 .1445 .1420 .1394 .1367 .1339 .1311 .1282 .1252 .1221
7 .1489 .1486 .1481 .1474 .1465 .1454
.1442 .1428 .1413 .1396 8 .1321 .1337 .1351 .1363 .1373 .1382 .1388 .1392 .1395 .1396 9 .1042 .1070 .1096 .1121 .1144 .1167 .1187 .1207 .1224 .1241
10 .0740 .0770 .0800 .0829 .0858 .0887 .0014 .0941 .0967 .0993
11 .0478 .0504 .0531 .0558 .0585 .0613 .0640 .0667 .0695 .0722 12 .0283 .0303 .0323 .0344 .0366 .0388 .0411 .0434 .0457 .0481
13 .0154 .0168 .0181 .0196 .0211 .0227 .0243 .0260 .0278 .0296
14 .0078 .0086 .0095 .0104 .0113 .0123 .0134 .0145 .0157 .0169
15 .0037 .0041 .0046 .0051 .0057 .0062 .0069 .0075 .0083 .0090
16 .0016 .0019 .0021 .0024 .0026 .0030 .0033
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17 .0007 .0008 .0009 .0010 .0012 .0013 .0015 .00Í7 .0019 .0021
18 .0003 .0003 .0004 .0004 .0005 .0006 .0006 .0007 .0008 .0009
19 .0001 .0001 .0001 .0002 .0002 .0002 .0003 .0003 .0003 .0004
20 .0000 .0000 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0002
21 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0001
UNIVERSIDAD DE HUANUCO
ESTADISTICA - UDH
Probabilidades de Poisson (conclusión)
λ
x
8.1 8.2 8.3
8.4
8.5
8.6
8.7
8.8
8.9
9.0
0 .0003 .0003 .0002 .0002 .0002 .0002 .0002 .0002 .0001 .0001
1 .0025 .0023 .0021 .0019 .0017 .0016 .0014 .0013 .0012 .0011
2 .0100 .0092 .0086 .0079 .0074 .0068 .0063 .0058 .0054 .0050
3 .0269 .0252 .0237 .0222 .0208 .0195 .0183 .0171 .0160 .0150
4 .0544 .0517 .0491 .0466 .0443 .0420 .0398 .0377 .0357 .0337
5 .0882 .0349 .0816 .0784 .0752 .0722 .0692 .0663 .0635 .0607
6 .1191 .1160 .1128 .1097 .1066 .1034 .1003 .0972 .0941 .0911
7 .1378 .1358 .1338 .1317 .1294 .1271 .1247 .1222 .1197 .1171
8 .1395 .1392 .1388 .1382 .1375 .1366 .1356 .1344 .1332 .1318
9 .1256 .1269 .1280 .1290 .1299 .1306 .1311 .1315 .1317 .1318
10 .1017 .1040 .1063 .1084 .1104 .1123 .1140 .1157 .1172 .1186
11 .0749 .0776 .0802 .0828 .0853 .0878 .0902 .0925 .0948 .0970
12 .0505 .0530 .0555 .0579 .0604 .0629 .0654 .0679 .0703 .0728
13 .0315 .0334 .0354 .0374 .0395 .0416 .0438 .0459 .0481 .0504
14 .0182 .0196 .0210 .0225 .0240 .0256 .0272 .0289 .0306 .0324
15 .0098 .0107 .0116 .0126 .0136 .0147 .0158 .0169 .0182 .0194
16 .0050 .0055 .0060 .0066 .0072 .0079 .0086
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21 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0002 .0002 .0002 .0002 .0003
22 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001
x 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 10
0 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001
.0000
1 .0010 .0009 .0009 .0008 .0007 .0007 .0006 .0005 .0005 .0005
2 .0046 .0043 .0040 .0037 .0034 .0031 .0029 .0027 .0025 .0023
3 .0140 .0131 .0123 .0115 .0107 .0100 .0093 .0087 .0081 .0076
4 .0319 .0302 .0285 .0269 .0254 .0240 .0226 .0213 .0201 .0189
5 .0581 .0555 .0530 .0506 .0483 .0460 .0439 .0418 .0398 .0378
6 .0881 .0851 .0822 .0793 .0764 .0736 .0709 .0682 .0656 .0631
7 .1145 .1118 .1091 .1064 .1037 .1010 .0982 .0955 .0928 .0901 8 .1302 .1286 .1269 .1251 .1232 .1212 .1191 .1170 .1148 .1126
9 .1317 .1315 .1311 .1306 .1300 .1293 .1284 .1274 .1263 .1251
10 .1198 .1210 .1219 .1228 .1235 .1241 .1245 .1249 .1250 .1251
11 .0991 .1012 .1031 .1049 .1067 .1083 .1098 .1112 .1125 .1137
12 .0752 .0776 .0799 .0822 .0844 .0866 .0888 .0908 .0928 .0948
13 .0526 .0549 .0572 .0594 .0617 .0640 .0662 .0685 .0707 .0729
14 .0342 .0361 .0380 .0399 .0419 .0439 .0459 .0479 .0500 .0521
15 .0208 .0221 .0235 .0250 .0265 .0281 .0297 .0313 .0330 .0347
16 .0118 .0127 .0137 .0147 .0157 .0168 .0180 .0192 .0204 .0217 17 .0063 .0089 .0075 .0081 .0088 .0095 .0103 .0111 .0119 .0128
18 .0032 .0035 .0039 .0042 .0046 .0051 .0035 .0060 .0065 .0071
19 .0015 .0017 .0019 .0021 .0023 .0026 .0028 .0031 .0034 .0037
20 .0007 .0008 .0009 .0010 .0011 .0012 .0014 .0015 .0017 .0019
21 .0003 .0003 .0004 .0004 .0005 .0006 .0006 .0007 .0008 .0009
22 .0001 .0001 .0002 .0002 .0002 .0092 .0003 .0003 .0004 .0004
23 .0000 .0001 .0001 0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0002
.0002
24 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0001 .0001
UNIVERSIDAD DE HUANUCO
ESTADISTICA - UDH
Calculando la distribucion de poisson en excel.
X = 0
N = 0.1 = media
𝑝(𝑋 = 𝑥) =𝑒−ƛ ƛ𝑥
𝑥!
Repitiendo los pasos anteriores ya mencionadas de cómo realizar el ingreso a
Excel en este caso solo daré dos pasos para calcular las probabilidades.
Primero ingresamos la categoría que es estadísticas y buscamos la función
distribución de poisson.
Una vez ingresado eso solo a distribuir los datos correspondientes y a poner
aceptar y de esa forma a conseguir lo resultados.
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ESTADISTICA - UDH
Tablas acumuladas de Poisson
Λ
X . 10 . 20 . 30 . 40 . 50 . 60 . 70 . 80 . 90
0 . 9048 . 8187 . 7408 . 6703 . 6065 . 5488 . 4966 . 4493 . 4066
1 . 9953 . 9825 . 9631 . 9384 . 9098 . 8781 . 8442 . 8088 . 7725
2 . 9998 . 9989 . 9964 . 9921 . 9856 . 9769 . 9659 . 9526 . 9371
3 1.0000 . 9999 . 9997 . 9992 . 9982 . 9966 . 9942 . 9909 . 9865
4 1.0000 1.0000 . 9999 . 9998 . 9996 . 9992 . 9986 . 9977
5 1.0000 1.0000 . 9999 . 9998 . 9997
6 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
λ
X 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
0 . 3679 . 3329 . 3012 . 2725 . 2466 . 2231 . 2019 . 1827 . 1653 . 1496
1 . 7358 . 6990 . 6626 . 6268 . 5918 . 5578 . 5249 . 4932 . 4628 . 4337
2 . 9197 . 9004 . 8795 . 8571 . 8335 . 8088 . 7834 . 7572 . 7306 . 7037
3 . 9810 . 9743 . 9662 . 9569 . 9463 . 9344 . 9212 . 9068 . 8913 . 8747
4 . 9963 . 9946 . 9923 . 9893 . 9857 . 9814 . 9763 . 9704 . 9636 . 9559
5 . 9994 . 9990 . 9985 . 9978 . 9968 . 9955 . 9940 . 9920 . 9896 . 9868
6 . 9999 . 9999 . 9997 . 9996 . 9994 . 9991 . 9987 . 9981 . 9974 . 9966
7 1.0000 1.0000 1.0000 . 9999 . 9999 . 9998 . 9997 . 9996 . 9994 . 9992
8 1.0000 1.000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 . 9999 . 9999 . 9998
9 1.0000 1.000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
λ
X 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9
0 . 1353 . 1225 . 1108 . 1003 . 0907 . 0821 . 0743 . 0672 . 0608 . 0550
1 . 4060 . 3796 . 3546 . 3309 . 3084 . 2873 . 2674 . 2487 . 2311 . 2146
2 . 6767 . 6496 . 6227 . 5960 . 5697 . 5438 . 5184 . 4936 . 4695 . 4460
3 . 8571 . 8386 . 8194 . 7993 . 7787 . 7576 . 7360 . 7141 . 6919 . 6696
4 . 9473 . 9379 . 9275 . 9162 . 9041 . 8912 . 8774 . 8629 . 8477 . 8318
5 . 9834 . 9796 . 9751 . 9700 . 9643 . 9580 . 9510 . 9433 . 9349 . 9258
6 . 9955 . 9941 . 9925 . 9906 . 9884 . 9858 . 9828 . 9794 . 9756 . 9713
7 . 9989 . 9985 . 9980 . 9974 . 9967 . 9958 . 9947 . 9934 . 9919 . 9901
8 . 9998 . 9997 . 9995 . 9994 . 9991 . 9989 . 9985 . 9981 . 9976 . 9969
9 1.0000 . 9999 . 9999 . 9999 . 9998 . 9997 . 9996 . 9995 . 9993 . 9991
10 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 . 9999 . 9999 . 9999 . 9998 . 9998
11 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 . 9999
12 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
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ESTADISTICA - UDH
TABLA D5: Tabla acumulada de Poisson (continuación)
λ
X 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9
0 . 0498 . 0450 . 0408 . 0369 . 0334 . 0302 . 0273 . 0247 . 0224 . 0202
1 . 1991 . 1847 . 1712 . 1586 . 1468 . 1359 . 1257 . 1162 . 1074 . 0992
2 . 4232 . 4012 . 3799 . 3594 . 3397 . 3208 . 3027 . 2854 . 2689 . 2531
3 . 6472 . 6248 . 6025 . 5803 . 5584 . 5366 . 5152 . 4942 . 4735 . 4532
4 . 8153 . 7982 . 7806 . 7626 . 7442 . 7254 . 7064 . 6872 . 6678 . 6484
5 . 9161 . 9057 . 8946 . 8829 . 8705 . 8576 . 8441 . 8301 . 8156 . 8006
6 . 9665 . 9612 . 9554 . 9490 . 9421 . 9347 . 9267 . 9182 . 9091 . 8995
7 . 9881 . 9858 . 9832 . 9802 . 9769 . 9733 . 9692 . 9648 . 9599 . 9546
8 . 9962 . 9953 . 9943 . 9931 . 9917 . 9901 . 9883 9863 . 9840 . 9815
9 . 9989 . 9986 . 9982 . 9978 . 9973 . 9967 . 9960 . 9952 . 9942 . 9931
10 . 9997 . 9996 . 9995 . 9994 . 9992 . 9990 . 9987 . 9984 . 9981 . 9977
11 . 9999 . 9999 . 9999 . 9998 . 9998 . 9997 . 9996 . 9995 . 9994 . 9993
12 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 . 9999 . 9999 . 9999 . 9999 . 9998 . 9998
13 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 . 9999
14 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
λ
x 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0 5.2 5.4 5.6 5.8
0 . 0183 . 0150 . 0123 . 0101 . 0082 . 0067 . 0055 . 0045 . 0037 . 0030
1 . 0916 . 0780 . 0663 . 0563 . 0477 . 0404 . 0342 . 0289 . 0244 . 0206
2 . 2381 . 2102 . 1851 . 1626 . 1425 . 1247 . 1088 . 0948 . 0824 . 0715
3 . 4335 . 3954 . 3594 . 3257 . 2942 . 2650 . 2381 . 2133 . 1906 . 1700
4 . 6288 . 5898 . 5512 . 5132 . 4763 . 4405 . 4061 . 3733 . 3421 . 3127
5 . 7851 . 7531 . 7199 . 6858 . 6510 . 6160 . 5809 . 5461 . 5119 . 4783
6 . 8893 . 8675 . 8436 . 8180 . 7908 . 7622 . 7324 . 7017 . 6703 . 6384
7 . 9489 . 9361 . 9214 . 9049 . 8867 . 8666 . 8449 . 8217 . 7970 . 7710
8 . 9786 . 9721 . 9642 . 9549 . 9442 . 9319 . 9181 . 9026 . 8857 . 8672
9 . 9919 . 9889 . 9851 . 9805 . 9749 . 9682 . 9603 . 9512 . 9409 . 9292
10 . 9972 . 9959 . 9943 . 9922 . 9896 . 9863 . 9823 . 9775 . 9718 . 9651
11 . 9991 . 9986 . 9980 . 9971 . 9960 . 9945 . 9927 . 9904 . 9875 . 9840
12 . 9997 . 9996 . 9993 . 9990 . 9986 . 9980 . 9972 . 9962 . 9949 . 9932
13 . 9999 . 9999 . 9998 . 9997 . 9995 . 9993 . 9990 . 9986 . 9980 . 9973
14 1.0000 1.0000 . 9999 . 9999 . 9999 . 9998 . 9997 . 9995 . 9993 . 9990
15 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 . 9999 . 9999 . 9998 . 9998 . 9996
16 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 . 9999 . 9999 . 9999
17 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
UNIVERSIDAD DE HUANUCO
ESTADISTICA - UDH
Continuando con la Tabla acumulada de Poisson
λ
X 6.0 6.2 6.4 6.6 6.8 7.0 7.2 7.4 7.6 7.8
0 . 0025 . 0020 . 0017 . 0014 . 0011 . 0009 . 0007 . 0006 . 0005 . 0004
1 . 0174 . 0146 . 0123 . 0103 . 0087 . 0073 . 0061 . 0051 . 0043 . 0036
2 . 0620 . 0536 . 0463 . 0400 . 0344 . 0296 . 0255 . 0219 . 0188 . 0161
3 . 1512 . 1342 . 1189 . 1052 . 0928 . 0818 . 0719 . 0632 . 0554 . 0485
4 . 2851 . 2592 . 2351 . 2127 . 1920 . 1730 . 1555 . 1395 . 1249 . 1117
5 . 4457 . 4141 . 3837 . 3547 . 3270 . 3007 . 2759 . 2526 . 2307 . 2103
6 . 6063 . 5742 . 5423 . 5108 . 4799 . 4497 . 4204 . 3920 . 3646 . 3384
7 . 7440 . 7160 . 6873 . 6581 . 6285 . 5987 . 5689 . 5393 . 5100 . 4812
8 . 8472 . 8259 . 8033 . 7796 . 7584 . 7291 . 7027 . 6757 . 6482 . 6204
9 . 9161 . 9016 . 8858 . 8686 . 8502 . 8305 . 8096 . 7877 . 7649 . 7411
10 . 9574 . 9486 . 9386 . 9274 . 9151 . 9015 . 8867 . 8707 . 8535 . 8352
11 . 9799 . 9750 . 9693 . 9627 . 9552 . 9466 . 9371 . 9265 . 9148 . 9020
12 . 9912 . 9887 . 9857 . 9821 . 9779 . 9730 . 9673 . 9609 . 9536 . 9454
13 . 9964 . 9952 . 9937 . 9920 . 9898 . 9872 . 9841 . 9805 . 9762 . 9714
14 . 9986 . 9981 . 9974 . 9966 . 9956 . 9943 . 9927 . 9908 . 9886 . 9859
15 . 9995 . 9993 . 9990 . 9986 . 9982 . 9976 . 9969 . 9959 . 9948 . 9934
16 . 9998 . 9997 . 9996 . 9995 . 9993 . 9990 . 9987 . 9983 . 9978 . 9971
17 . 9999 . 9999 . 9999 . 9998 . 9997 . 9996 . 9995 . 9993 . 9991 . 9988
18 1.0000 1.0000 1.0000 . 9999 . 9999 . 9999 . 9998 . 9997 . 9996 . 9995
19 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 . 9999 . 9999 . 9999 . 9998
20 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 . 9999
21 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1|.0000 1.0000 1.0000 1.0000
UNIVERSIDAD DE HUANUCO
ESTADISTICA - UDH
λ
X 8.0 8.5 9.0 9.5 10.0
0 . 0003 . 0002 . 0001 . 0001 . 0000
1 . 0030 . 0019 . 0012 . 0008 . 0005
2 . 0138 . 0093 . 0062 . 0042 . 0028
3 . 0424 . 0301 . 0212 . 0149 . 0103
4 . 0996 . 0744 . 0550 . 0403 . 0293
5 . 1912 . 1496 . 1157 . 0885 . 0671
6 . 3134 . 2562 . 2068 . 1649 . 1301
7 . 4530 . 3856 . 3239 . 2687 . 2202
8 . 5925 . 5231 . 4557 . 3918 . 3328
9 . 7166 . 6530 . 5874 . 5218 . 4579
10 . 8159 . 7634 . 7060 . 6453 . 5830
11 . 8881 . 8487 . 8030 . 7520 . 6968
12 . 9362 . 9091 . 8758 . 8364 . 7916
13 . 9658 . 9486 . 9261 . 8981 . 8645
14 . 9827 . 9726 . 9585 . 9400 . 9165
15 . 9918 . 9862 . 9780 . 9665 . 9513
16 . 9963 . 9934 . 9889 . 9823 . 9730
17 . 9984 . 9970 . 9947 . 9911 . 9857
18 . 9993 . 9987 . 9976 . 9957 . 9928
19 . 9997 . 9995 . 9989 . 9980 . 9965
20 . 9999 . 9998 . 9996 . 9991 . 9984
21 1.0000 . 9999 . 9998 . 9996 . 9993
22 1.0000 1.0000 . 9999 . 9999 . 9997
23 1.0000 1.0000 1.0000 . 9999 . 9999
24 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
25 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
26 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
27 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
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Calculando en Excel la probabilidad acumuladas de la distribución
poisson
Es solo lo contrario al realizar la operación bien como dice que es acumulado
solo se cambia lo que en el primero pusimos falso ahora ponemos verdadero
𝑝(𝑋 ≥ 𝑥) = 1 −𝑒−ƛ ƛ𝑥
𝑥!
Tomando los mismos valores de la distribución poisson normal
X = 0
N = 0.1 = media
Y se repite los pasos ya mencionamos para el ingreso y para hallar el resultado
ingresamos datos y como ya dije cambiamos en valor de falso a verdadero
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6.3. Probabilidades acumuladas de la distribución normal estándar
Ejemplo 1
a) Determinar el área bajo la curva de menos infinito a Z = - 1.
P(Z<= -1) = 0.1587
b) Determinar el área bajo la curva de menos infinito a Z = - 2.
P(Z<= - 2) = 0.0228
c) Determinar el área bajo la curva entre Z >= -2. hasta Z <= -1
P(- 2 <= Z<= -1) = 0.1259
Probabilidades Acumuladas de la Distribución Normal Estándar
Z 0.0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
-3.5 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 -3.4 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0002 -3.3 0.0005 0.0005 0.0005 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0003 -3.2 0.0007 0.0007 0.0006 0.0006 0.0006 0.0006 0.0006 0.0005 0.0005 0.0005
-3.1 0.0010 0.0009 0.0009 0.0009 0.0008 0.0008 0.0008 0.0008 0.0007 0.0007 -3.0 0.0013 0.0013 0.0013 0.0012 0.0012 0.0011 0.0011 0.0011 0.0010 0.0010 -2.9 0.0019 0.0018 0.0018 0.0017 0.0016 0.0016 0.0015 0.0015 0.0014 0.0014 -2.8 0.0026 0.0025 0.0024 0.0023 0.0023 0.0022 0.0021 0.0021 0.0020 0.0019 -2.7 0.0035 0.0034 0.0033 0.0032 0.0031 0.0030 0.0029 0.0028 0,0027 0.0026
-2.6 0.0047 0.0045 0.0044 0.0043 0.0041 0.0040 0.0039 0.0038 0.0037 0.0036 -2.5 0.0062 0.0060 0.0059 0.0057 0.0055 0.0054 0.0052 0.0051 0.0049 0.0048
-2.4 0.0082 0.0080 0.0078 0.0075 0.0073 0.0071 0.0069
0.0068 0.0066 0.0064 -2.3 0.0107 0.0104 0.0102 0.0099 0.0096 0.0094 0.0091
0.0089
0.0087
0.0084 -2.2 0.0139 0.0136 0.0132 0.0129 0.0125 0.0122 0.0119 0.0116 0.0113 0.0110 -2.1 0.0179 0.0174 0.0170 0.0166 0.0162 0,0158 0.0154 0.0150 0,0143 0.0143 -2.0 0.0228 0.0222 0.0217 0.0212 0.0207 0.0202 0.0197 0.0192 0.0188 0.0183
-1.9 0.0287 0.0281 0.0274 0.0268 0.0262 0.0256 0.0250 0.0244
0.0239 0.0233 -1.8 0.0359 0.0351 0.0344 0.0336 0.0329 0.0322 0.0314 0.0307 0.0301 0.0294 -1.7 0.0446 0.0436 0.0427 0.0418 0.0409 0.0401 0.0392 0.0384 0.0375 0.0367
-1.6 0.0548 0.0537 0.0526 0.0516 0.0505 0.0495 0.0485
0.0475 0.0465 0.0455 -1.5 0.0668 0.0655 0.0643 0.0630 0.0618 0.0606 0.0594 0.0582 0.0571 0.0559 -1.4 0.0808 0.0793 0.0778 0.0764
0.0749 0.0735 0.0721
0.0708
0.0694
0.0681 -1.3 0.0968 0.0951 0.0934 0.0918 0.0901 0.0885 0.0869 0.0853 0.0838 0.0823 -1.2 0.1151 0.1131 0.1112 0.1093 0.1075 0.1056 0.1038 0.1020 0.1003 0.0985
-1.1 0.1357 0.1335 0.1314 0.1292 0.1271 0.1251 0.1230 0.1210 0.1190 0.1170 -1.0 0.1587 0.1562 0.1539 0.1515 0.1492 0.1469 0.1446 0.1423 0.1401 0.1379
-0.9 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 0.1660 0.1635
0.1611 -0.8 0.2119 0.2090 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 0.1922 0.1894 0.1867 -0.7 0.2420 0.2389 0.2358 0.2327 0.2296 0.2266 0.2236 0.2206 0.2177 0.2148 -0.6 0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 0.2514 0.2483 0.2451 -0.5 0.3085 0.3050 0.3015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877 0.2843 0.2810
0.2776 -0.4 0.3446 0.3409 0.3372 0.3336 0.3300 0.3264 0.3228 0.3192 0.3156 0.3121 -0.3 0.3821 0.3783 0.3745 0.3707 0.3669 0.3632 0.3594
0.3557 0.3520 0.3483 -0.2 0.4207 0.4168 0.4129 0.4090 0.4052 0.4013 0.3974 0.3936 0.3897 0.3859
-0.1 0.4602 0.4562 0.4522 0.4483 0.4443 0.4404 0.4364 0.4325 0.4286 0.4247
-0.0 0.5000 0.4960 0.4920 0.4880 0.4840 0.4801 0.4761 0.4721 0.4681 0.4641
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6.4. Probabilidades acumuladas de la distribución normal
estándar
Z 0.0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199
0.5239 0.5279 0.5319
0.5359
0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596
0.5636 0.5675 0.5714
0.5753 0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987
0.6026 0.6064 0.610
3 0.6141
0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368
0.6406 0.6443 0.6480
0.6517
0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736
0.6772 0.6808 0.6844
0.6879
0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088
0.7123 0.7157 0.7190
0.7224
0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422
0.7454 0.7486 0.7517
0.7549
0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734
0.7764 0.7794 0.782
3
0.7852
0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023
0.8051 0.8078 0.8106
0.8133
0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289
0.8315 0.8340 0.8365
0.8339 1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531
0,8554 0.8577 0.859
9
0.8621
1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749
0.8770 0.8790 0.8810
0.8830
1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944
0.8962 0.8980 0.8997
0.9015
1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115
0.9131 0.9147 0.9162
0.9177
1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265
0.9279 0.9292 0.9306
0.9319
1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394
0.9406 0.9814 0.9429
0.9441
1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505
0.9515 0.9525 0.9535
0.9545
1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599
0.9608 0.9616 0.9625
0.9633
1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678
0.9686 0.9693 0.9699
0.9706
1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744
0.9750 0.9756 0.9761
0.9767 2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798
0.9803 0.9808 0.981
2 0.9817
2.1
0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842
0.9846 0.9850 0.9854
0.9857 2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878
0.9881 0.9884 0.988
7 0.9890
2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906
0.9909 0.9911 0.9913
0.9916
2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929
0.9931 0.9932 0,9934
0.9936
2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946
0.9948 0.9949 0.9951
0.9952
2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960
0.9961 0.9962 0.9963
0.9964 2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970
0.9971 0.9972 0.997
3 0.9974
2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978
0.9979 0.9979 0.9980
0.9981
2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984
0.9985 0.9985 0.9986
0.9986
3.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989
0.9989 0.9989 0.9990
0.9990
3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992
0.9992 0.9992 0.9993
0.9993
3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994
0.9994 0.9995
0.9995
0.9995
3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996
0.9996 0.9996 0.9996
0.9997
3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997
0.9997 0.9997 0.9997
0.9998
3.5 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998
0.9998 0.9998 0.9998
0.9998
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Ejemplo 2
a) Determinar el área bajo la curva de menos infinito a Z = 1.
P(Z <= 1) = 0.8413
b) Determinar el área bajo la curva de menos infinito a Z = 2.
P(Z <= 2) = 0.9772 8
c) Determinar el área bajo la curva de menos Z = 1 a Z = 2
P(1 <= Z <= 2) = 0.9772 – 0.8413 = 0.1369
EJERCICIO 1:
¿Qué porcentaje del área bajo la curva normal estándar o probabilidad está
incluido dentro de los siguientes rangos?
a) P(1.2 <= Z <= 2.2) = P(Z <= 2.2) – P(Z <= 1.2) =
b) P(-2.1 <= Z <= -0.4) = P(Z <= - 0.4) – P(Z <= -2.1) =
c) P( -1.3 <= Z <= 2.7) = P(Z <= 2.7) – P(Z <= -1.3) =
d) P( Z >= 2.4) = P(Z <= -2.4) =
e) P( Z<=-2.9) + P(Z>= 3.1) = P(Z <= -2.9) + P(Z <= -3.1) =
f) P(Z>= 1.9) = P(Z <= -1.9) =
Estandarización de valores reales
En la práctica, se tienen valores reales de promedio diferentes de cero y con
desviación estándar diferentes de uno, para determinar la probabilidad o área
bajo la curva, se determina el número de desviaciones estándar Z entre algún
valor X y la media de la población o de la muestra X como sigue:
XZ sí se consideran los datos completos del proceso.
s
XXZ
sí se consideran sólo los datos de una muestra.
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Ejemplo 3 El departamento de personal de una empresa requiere que los
solicitantes a un puesto en cierta prueba alcancen una calificación de 500. Si las
calificaciones de la prueba se distribuyen normalmente con media 485 y
desviación estándar 30 ¿Qué porcentaje de los solicitantes pasará la
prueba?
Calculando el valor de Z obtenemos:
XZ = 5.0
30
485500
Buscamos el valor correspondiente Z en las tablas de distribución normal
estándar o por medio de Excel =distr.norm.estand(0.5). Z0.5 = 0.69146 =
69.146%. Donde la probabilidad de que la calificación sea menor a 500 es P (X
<= 500). Dado que el porcentaje pedido es )500( XP la solución es 1-0.69146
=0.3085, por tanto sólo 30.85% de los participantes pasarán la prueba.
Otra forma es tomando la Z como negativa con P(Z <= -0.5) = 0.3085.
Fig. 6 Área bajo la curva de Distribución normal
Ejemplo 1.4 Suponga que un proceso tiene una distribución normal dada tiene
una media de 20 y una desviación estándar de 4. Calcule la probabilidad
P (X >=24) = 1 – P(X <= 24) =
En la barra de herramientas seleccione el icono de funciones
fx>Estadísticas>Distr.Norm.Estand. OK. El sistema muestra la siguiente
ventana, en la cual llenamos los siguientes datos:
485
Z.05
30.85%
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Fig. 7 Cálculo del área bajo la curva normal sin requerir Z
El resultado de la fórmula = 0.8413. , dado que esta es la probabilidad P(X24),
la probabilidad buscada es: P(X >= 24) = 1 - 0.8413= 0.1587
