Diagrama de BODE

Conteudo

4 Diagramas de Bode 84

4.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.2 Plotagem da resposta em frequencia - Diagramas de Bode . . . . . . . . 86

4.3 Diagramas basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.3.1 Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.3.2 Polo na origem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.3.3 Zero na origem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.3.4 Termos de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.3.5 Termos de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.4 Sistemas de Fase Mınima e Nao-Mınima . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Capıtulo 4

Diagramas de Bode

Neste capıtulo sera apresentado o tipo de grafico mais utilizado para a representacao deuma funcao complexa do tipo H(jω) sao os diagramas de Bode. Estes graficos se consa-graram com os trabalhos de Bode sobre amplificadores realimentados na decada de 1940 ehoje sao muito utilizados na analise de sinais e sistemas. Nesses diagramas representa-seo modulo em decibel e a fase em graus, ambos em funcao da frequencia (tipicamente emHertz) numa escala logarıtmica. Assim, os diagramas de Bode apresentam a resposta emfrequencia de um determinado sistema.

4.1 Introducao

Considere o sistema LIT abaixo representado no domınio da frequencia:

A funcao H(ω) e a resposta impulsiva do sistema no domınio da frequencia, assim comoX(ω) e Y (ω) sao a entrada e saıda, respectivamente, neste mesmo domınio. A respostaimpulsiva do sistema pode ser escrita, de uma forma geral, conforme a equacao a seguir:

H(ω) =K · (jω + z1) · (jω + z2) · . . . · (jω + zn)

(jω + p1) · (jω + p2) · . . . · (jω + pn)(4.1)

onde os termos zn sao os chamdados zeros, que sao os valores que anulam o numeradorda equacao. Ja os termos pn sao os polos, termos que anulam o denominador.

Deseja-se estudar a resposta deste sistema a sinais senoidais. Considere entao entradassenoidais do tipo

x(t) = A. cos(ω0t)

Aplicando a transformada de Fourier, chega-se a uma expressao para X(ω):

X(ω) = A.π. [δ(ω − ω0) + δ(ω + ω0)]

Sistemas Lineares 85

A resposta em frequencia e entao dada por:

Y (ω) = A.H(ω).π.δ(ω − ω0) + H(ω).π.δ(ω + ω0)]

Y (ω) = A.H(ω0).π. [δ(ω − ω0) + δ(ω + ω0)]

Aplicando a transformada inversa de Fourier chega-se a resposta temporal:

y(t) = F−1 [Y (ω)] = A.H(ω0). cos(ω0t)

Como H(ω0) e um numero complexo, este possui modulo |H(ω0)| e fase φ. Assim,pode-se reescrever y(t) da seguinte forma:

y(t) = |H(ω|ω=ω0)|. cos(ω0t + φ) (4.2)

A equacao (4.2) mostra que para uma entrada do tipo senoidal, a saıda em regimepermanente de um sistema LIT tambem e senoidal, com uma amplitude que depende domodulo da funcao resposta em frequencia e com um angulo de fase igual ao angulo deH(ω)|ω=ω0

.

Exemplo 4.1 Suponha um sistema com a funcao de resposta em frequencia dada abaixo:

H(ω) =1

1 + τjω

O modulo e a fase da funcao resposta em frequencia sao:

|H(ω)| =1√

1 + τ 2ω2e φ(ω) = − tan−1 τω

Plotando o modulo e a fase em funcao da frequencia ω, encontra-se a resposta emfrequencia deste sistema, conforme a Figura 4.1.

Normalmente utiliza-se uma escala logarıtmica para representar |H(ω0)|. Ou seja,tracam-se graficos de log |H(ω0)| ou 20 log |H(ω0)| utilizando-se a unidade Decibel, abre-viada por dB.

A vantagem em se utilizar uma escala logarıtmica e que tanto o modulo quanto a fase doproduto (ou divisao) de numeros complexos sao transformados em soma (ou subtracao)dos modulos em dB e fases individuais de cada numero multiplicado (dividido). Assim,pode-se analisar separadamente a contribuicao de cada um dos termos. Isso facilitabastante a construcao manual dos graficos de modulo e fase.

Como exemplo desta propriedade, considere a seguinte funcao resposta em frequencia:

H(ω) =1

jω.(1 + τjω)⇒ |H(ω)| =

1

ω√

1 + τ 2ω2

A representacao de seu modulo em dB e:

20 log |H(ω)|dB = − log ω − 1

2. log(1 + τ 2ω2)


Figura 4.1: Exemplo de diagrama de resposta em frequencia.

4.2 Plotagem da resposta em frequencia - Diagramas

de Bode

Os diagramas de Bode sao um metodo para representar a variacao da funcao respostaem frequencia (tambem chamada de funcao de transferencia) com a frequencia angularde entrada. As principais caracterısticas dos diagramas de Bode sao:

• Escala de frequencia logarıtmica, que acomoda uma ampla faixa de frequencias(eixo das abcissas);

• Um grafico para |H(ω)| (eixo das ordenadas);

• Um grafico para a fase de |H(ω)| (eixo das ordenadas);

E comum nos diagramas de Bode se contar intervalos de frequencia por decada ouoitava.

Decada: Intervalo de frequencia ∆ω = ωf − ω0 onde ωf = 10ω0.

Oitava: Intervalo de frequencia ∆ω = ωf − ω0 onde ωf = 2ω0.

Para tracar o diagrama de Bode, faz-se inicialmente o calculo do modulo em dB dafuncao de transferencia. Considere a equacao (4.1) da funcao de transferencia, reescritade forma compacta:

H(ω) = K

∏m

i=1(jω − zi)∏n

i=1(jω − pi)(4.3)


Utilizando as propriedades do logaritmo, o modulo em dB da equacao anterior fica:

|H(ω)|dB = 20

log |K| +m

∑

i=1

log |jω − zi| −n

∑

i=1

log |jω − pi|

(4.4)

A fase de H(ω) fica:

∠H(ω) = φ(ω) =[1 − sgn(K)]

2.π +

m∑

i=1

θi −n

∑

i=1

φi (4.5)

Onde θi e o angulo dos termos no numerador e φi o angulo dos termos do denominador.

Assim, tanto o diagrama de magnitude quanto o de fase podem ser constituıdos a partirda soma das contribuicoes individuais dos polos (raızes do denominador) e zeros (raızesdo numerador). As contribuicoes dos polos e zeros no diagrama de bode serao vistas nasecao seguinte.

Cabe ressaltar que o ganho em dB |H(ω)|dB e positivo quando |H(ω)| > 1 e negativoquando |H(ω)| < 1. Quando o modulo da funcao de transferencia e 1, 10, 100 e 1000, oganho em dB correspondente sera 0, 20, 40 e 60, respectivamente.

4.3 Diagramas basicos

Serao vistos agora os diagramas de Bode de funcoes de transferencia elementares. Estesresultados serao uteis no tracado manual dos diagramas, pois diagramas de funcoes maiscomplexas podem ser tracados como uma soma destas funcoes.

4.3.1 Constante

Neste primeiro caso, a funcao de transferencia e uma constante:

H(ω) = K

Utilizando a equacao (4.4) verifica-se que o modulo em dB e dado por |H(ω)|db =20 log |K| enquanto que pela equacao (4.5) a fase e θ(ω) = 0 se K for positivo e θ(ω) =π = 180.

Como a constante K e invariante com a frequencia, o diagrama e uma linha retahorizontal, conforme a Figura 4.2. A constante desloca para cima e para baixo o diagramacompleto da funcao de transferencia.


Figura 4.2: Diagrama de Bode para uma constante.

4.3.2 Polo na origem

Quando a funcao de transferencia possui somente um polo na origem, ela tem a seguinteforma:

H(ω) =K

jω

Seu modulo em dB fica:

|H(ω)|db = 20 log

∣

∣

∣

∣

K

jω

∣

∣

∣

∣

= 20 log K − 20 log ω

Para K = 1, o grafico de |H(ω)|db tracado em escala logarıtmica de ω e uma linhareta com inclinacao negativa de 6 dB/oitava ou 20 dB/decada, cruzando o eixo ω em 1,conforme a Figura 4.3.

Figura 4.3: Diagrama de Bode para um polo na origem com K = 1.

Para outros valores de K, a curva e tambem uma linha reta com a mesma inclinacao,mas deslocada pela constante K, conforme a Figura 4.4.

A fase e constante θ(ω) = −90 se K for positivo ou ∠H(ω) = 180 − 90 = 90 se Kfor negativo.

Se o polo na origem for multiplo, entao

H(ω) =K

jωn


Figura 4.4: Diagrama de Bode para um polo na origem.

O ganho em dB e |H(ω)|db = 20 log K − 20n log ω e a fase θ(ω) = −n.90 se K > 0.Ou seja, um polo multiplo altera a inclinacao da curva e o valor da fase no diagrama deBode.

4.3.3 Zero na origem

Dado um zero na origem, a funcao de transferencia sera do tipo:

H(ω) = K.jω

O modulo em dB e dado por:

|H(ω)|db = 20 log K + 20 log ω

Esta curva e uma reta com inclinacao positiva de dB/oitava ou 20 dB/decada deslocadapela constante K, conforme a Figura 4.5. A fase e θ(ω) = 90 se K > 0.

Figura 4.5: Diagrama de Bode para um zero na origem.

Se o zero na origem for multiplo, [H(ω) = (jω)n. O modulo neste caso fica |H(ω)|db =20 log K + 20n log ω e a fase θ(ω) = n.90 se K > 0. Da mesma forma que no casoanterior, a multiplicidade do zero altera a inclinacao da reta e o valor da fase.


4.3.4 Termos de primeira ordem

Os termos de primeira ordem ocorrem quando ha um polo fora da origem na funcaode transferencia, conforme a equacao abaixo:

H(ω) =1

1 + jωτ

Esta funcao de transferencia possui um polo com frequencia de corte de 1/τ . As curvasde ganho em dB e da fase de H(ω) sao dados pelas seguintes expressoes, calculadas apartir das equacoes (4.4) e (4.5):

GdB = |H(ω)| = −20 log√

1 + ω2τ 2

θ = − tan−1 ωτ

Percebe-se que tanto o modulo quanto a fase nao sao mais segmentos de retas como noscasos anteriores. Para facilitar o tracado manual do diagrama de Bode pode-se tracardiagramas assintoticos avaliando as equacoes acima para valores de frequencia muitoabaixo e muito acima da frequencia de corte do polo.

Diagramas Assintoticos

As assıntotas sao retas que aproximam o comportamento do grafico real nas altas ebaixas frequencias. Nas medias frequencias as assıntotas se distanciam do grafico realmas podemos calcular o maior erro cometido. Esse erro ocorre na frequencia de corte quee definida como o ponto de encontro das duas retas assintoticas de alta e baixa frequencia.Essa frequencia pode ser facilmente calculada. Para um termo de primeira ordem do tipo1/(Ts + 1) a frequencia de corte e ω = 1/T . Conforme visto anteriormente, os termos dotipo K, s, 1/s nao possuem frequencia de quebra pois os graficos desses termos sao retasde inclinacao zero, 20 dB/decada e -20 dB/decada respectivamente.

Assim, pode-se dizer que:

• Em baixas frequencias, limω→01

jωτ+1= 1 (GdB = 0). Logo nas baixas frequencias o

termo se comporta como um fator constante unitario.

• Em altas frequencias, limω→∞

1jωτ+1

= 1jωτ

(ω → ∞) (GdB = −20 log ωτ). Logo nas

altas frequencias o termo se comporta como um fator do tipo 1jωτ

que possui fase

−90 e modulo decrescendo na razao de -20 dB/decada.

• Nas medias frequencias a frequencia de corte ω = 1/τ tem-se que 1jωτ+1

= 1j+1

que

possui modulo −20 log(√

2) = −3 dB e fase −tan−1(1) = −45 graus.

Percebe-se pela Figura 4.6 que as assıntotas (linhas pontilhadas) possuem, no modulo,inclinacoes de zero e -20 dB/decada para baixas e altas frequencias respectivamente. Afase vale zero graus nas baixas frequencias, -90 graus nas altas frequencias e nas mediasfrequencias pode ser aproximada por uma assıntota de inclinacao -45 graus/decada. Aqui


-30

-20

-10

0 db

Hz

Magnitude

0.1

T

1

T

10

T

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0 degrees

Hz

Phase

0.1

T

1

T

10

T

Figura 4.6: Diagrama de Bode do termo 1Ts+1

e assıntotas

consideram-se medias frequencias o intervalo entre uma decada abaixo e uma decadaacima da frequencia de quebra.

Para as variantes da funcao de transferencia de primeira ordem tem-se as seguintesmudancas do diagrama de bode em comparacao com o termo da Figura 4.6:

• Para H(ω) = 11−jωτ

, muda apenas a fase, que passa a ser positiva;

• Para H(ω) = 1 + jωτ , a reta para ω > 1/τ e positiva com 20dB/decada e a fase epositiva;

• Para H(ω) = 1 − jωτ , a reta tem inclinacao de 20dB/decada e a fase e negativa.

Exemplo 4.2 Desenhe os diagramas de Bode para o circuito da Figura 4.7.

Figura 4.7: Circuito RC do exemplo 4.2.

A funcao de transferencia e calculada da seguinte forma:

H(ω) =Vo(ω)

V1(ω)=

1/jωC

R + 1jωC

=1

1 + jωRC


A frequencia de corte neste caso e dada por ωc = 1RC

. O diagrama de Bode para esteexemplo esta tracado na Figura 4.8.

Figura 4.8: Diagramas de Bode para o exemplo 4.2.

A aproximacao das assıntotas e valida para ω >> ωc e ω << ωc. O erro em tornoda frequencia de corte pode ser determinado calculando o valor exato de |H(ω)|dB e θ(ω)para ω = ωc, ω = ωc/2 e ω = 2ωc:

Para ω = ωc/2:∣

∣

∣

∣

H

(

1

2RC

)∣

∣

∣

∣

dB

= 20 log

∣

∣

∣

∣

1

1 + j 12RC

RC

∣

∣

∣

∣

= 20 log

∣

∣

∣

∣

1

1 + j/2

∣

∣

∣

∣

∼= −1dB

θ

(

1

2RC

)

= −26, 6

Para ω = ωc:∣

∣

∣

∣

H

(

1

RC

)∣

∣

∣

∣

dB

= 20 log

∣

∣

∣

∣

1

1 + j 1RC

RC

∣

∣

∣

∣

= 20 log

∣

∣

∣

∣

1

1 + j

∣

∣

∣

∣

∼= −3dB

θ

(

1

RC

)

= −45

Para ω = 2ωc:∣

∣

∣

∣

H

(

2

RC

)∣

∣

∣

∣

dB

= 20 log

∣

∣

∣

∣

1

1 + j 2RC

RC

∣

∣

∣

∣

= 20 log

∣

∣

∣

∣

1

1 + 2j

∣

∣

∣

∣

∼= −7dB

θ

(

2

RC

)

= −63, 4

4.3.5 Termos de segunda ordem

A forma padrao para termos de 2a ordem e dada por:

H(ω) =ω2

n

(jω)2 + 2ξωnjω + ω2n

=1

1 + 2ξ jω

ωn+

(

jω

ωn

)2 (4.6)


onde ξ e a taxa de amortecimento e ωn e a frequencia natural do sistema. Estes valoresdependem dos parametros do sistema a ser analisado e serao mais explorados no capıtulode resposta ao degrau, a ser apresentado mais adiante.

GdB = |H(ω)| = −20 log

√

(

1 − ω2

ω2n

)2

+ 4ξ2ω2

ω2n

θ = − tan−1 2ξω/ωn

1 − ω2/ω2n

Diagramas Assintoticos

Usando o mesmo raciocınio do caso de primeira ordem, pode-se analisar as assıntotaspara valores extremos de frequencia. Assim, verifica-se que:

• Em baixas frequencias, limω→0ω2

n

(jω)2+2ξωn(jω)+ω2n

= 1, ou seja, GdB = 0. Logo nasbaixas frequencias o termo se comporta como um fator constante unitario.

• Em altas frequencias, limω→∞

ω2n

(jω)2+2ξωn(jω)+ω2n

= ω2n

(jω)2(ω → ∞), ou seja, GdB =

−40 log ω/ωn. Logo nas altas frequencias o termo se comporta como um fator

do tipo ω2n

(jω)2que possui fase -180 graus e modulo decrescendo na razao de -40

dB/decada.

• Em medias frequencias, na frequencia de corte ω = ωn temos

ω2n

(jω)2 + 2ξωn(jω) + ω2n

=1

j2ξ

que possui modulo −20 log(2ξ) dB e fase −tan−1(∞) = −90 graus.

Pela Figura 4.9 verifica-se que as assıntotas (linhas pontilhadas) possuem, no modulo,inclinacoes de zero e -40 dB/decada para baixas e altas frequencias respectivamente. Afase vale zero graus nas baixas frequencias, -180 graus nas altas frequencias e nas mediasfrequencias pode ser aproximada por uma assıntota de inclinacao -90 graus/decada. Aquiconsideramos medias frequencias o intervalo entre uma decada abaixo e uma decada acimada frequencia de quebra.

A frequencia e o pico de ressonancia sao calculados da seguinte forma:

d

dω|G(jω)| = 0 ⇒ d

dω

1√

[

1 − ( ωωn

)2]2

+[

2ξ ωωn

]2

= 0

Resolvendo a expressao acima encontra-se a frequencia de ressonancia:

ωr = ωn

√

1 − 2ξ2 , 0 ≤ ξ ≤√

2

2(4.7)


0.1 ωn

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20 db

Hz

Magnitude

-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0 degrees

Hz

Phase

ξ = 0.1

ξ = 5

0.1 ωn

ωn

ωn

ξ = 5

ξ = 0.1

assıntotas

assıntotas

10 ωn

10 ωn

Figura 4.9: Diagrama de Bode do termo ω2n

(jω)2+2ξωnjω+ω2n

e assıntotas

Se ξ >√

2/2 nao havera pico de ressonancia e o modulo decai monotonicamente de 1a zero.

Quando 0 ≤ ξ ≤√

2/2 o pico de ressonancia e:

Mr = |G(jω)|ω=ωr=

1

2ξ√

1 − ξ2(4.8)

Nota-se que neste caso, o erro na frequencia de corte nao e constante como no casoanterior de primeira ordem e sim varia conforme os parametros do sistema.

O termo ξ e a chamada taxa de amortecimento do sistema. A Figura 4.10 apresentauma serie de diagramas de bode para um sistema de segunda ordem na forma padraocom diversos valores de amortecimento.


Figura 4.10: Diagramas de Bode para um sistema de segunda ordem padrao.


Exemplo 4.3 Encontre os valores ξ e ωn da forma padrao para o sistema de segundaordem da figura 4.11.

+

-

R L

Cx(t) I(t)

+

-

SISTEMAEntrada

y(t)

Saıda

Figura 4.11: Sistema de segunda ordem padrao

Solucao: O primeiro passo para se resolver o problema e obter a funcao de transferenciado sistema que e indicada a seguir.

X(jω) = (RCjω + LC(jω)2 + 1)Y (jω) → Y (jω) = F (jω)X(jω)

F (jω) =1

LC(jω)2 + RCjω + 1

Por comparacao com (4.6) temos:

F (jω) =1

LC(jω)2 + RCjω + 1=

ω2n

(jω)2 + 2ξωnjω + ω2n

Logo:

ω2n =

1

LC; 2ξωn =

R

L⇒ ξ =

R

2

√

C

L

Note que a taxa de amortecimento ξ depende linearmente da resistencia do circuito eesta e responsavel pela dissipacao de energia. Ja a frequencia natural ωn depende dosvalores da capacitancia e indutancia que sao os elementos responsaveis pelas oscilacoesda resposta. Num sistema sem amortecimento, isto e R = 0 e portanto ξ = 0, a respostaoscila com a frequencia natural do sistema.

Exemplo 4.4 Construa os diagramas de Bode para:

G(jω) =10(jω + 10)

jω(jω + 1)(jω2 + 100jω + 104)

Solucao: Quando se dispoe do auxılio de um computador e um software adequado odiagrama se constroi bastante facilmente (veja figura 4.14). Quando se deseja apenas


um esboco manual do diagrama podemos construı-lo da seguinte forma. O primeiro passoconsiste em fatorar G(jω) numa forma onde se conhece os diagramas assintoticos de cadaum dos fatores individualmente. Os fatores que sao polinomios de primeira e segundaordem devem ter o termo independente unitario como indicado a seguir.

G(jω) =10−2(0, 1jω + 1)

jω(jω + 1)(10−4jω2 + 10−2jω + 1)

Em seguida construa os diagramas assintoticos de dois fatores quaisquer e some as duascurvas de modulo e de fase. Construa o diagrama assintotico de um terceiro fator esome as curvas obtidas com o resultado anterior. Repita esse procedimento ate que osdiagramas assintoticos de todos os fatores tenham sido levados em consideracao. Paraconstruir um esboco dos diagramas de Bode a partir dos diagramas assintoticos obtidosuse o fato que nas frequencias de quebra de fatores lineares a distancia entre a curva reale as assıntotas de de ±3 dB e nos fatores quadraticos e ±20 log(2ξ). As figuras 4.12,4.13e 4.14 ilustram esses passos. As curvas pontilhadas sao as assıntotas e curvas cheiassao graficos reais. O intervalo de frequencia pode ser escolhido como sendo uma decadaabaixo da menor frequencia de quebra e uma decada acima da maior.

-1

100

101

102

103

10

-60

-50

-40

-30

-20

-10 dbMagnitude

-1

100

101

102

103

10

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0 degreesPhase

rad/s

rad/s

Figura 4.12: Diagrama de Bode do termo G1(jω) = 0.01(0.1jω+1)jω

e assıntotas


-1

100

101

102

103

10

-120

-110

-100

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20 dbMagnitude

-1

100

101

102

103

10

-150

-140

-130

-120

-110

-100

-90 degreesPhase

rad/s

rad/s

Figura 4.13: Diagrama de Bode do termo G2(jω) = G1(jω) 1jω+1

e assıntotas

-1

100

101

102

103

10

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20 db

rad/s

Magnitude

-1

100

101

102

103

10

-270

-250

-230

-210

-190

-170

-150

-130

-110

-90 degrees

rad/s

Phase

Figura 4.14: Diagrama de Bode do termo G(jω) = G2(jω) 110−4jω2+10−2jω+1

e assıntotas


4.4 Sistemas de Fase Mınima e Nao-Mınima

Nesta secao serao estudadas algumas propriedades associadas aos zeros da funcao detransferencia.

Definicao 4.1 Um sistema e dito ser de Fase Mınima se todos os zeros da funcao detransferencia desse sistema estao no semi-plano complexo esquerdo. Caso contrario, istoe se existir algum zero no semi-plano direito ou sobre o eixo imaginario, o sistema e ditoser de Fase Nao-mınima.

Para que um sistema de controle tenha algum interesse pratico ele deve ser estavel,isto e todos os zeros da sua funcao de transferencia devem ter parte real estritamentenegativa. No entanto alguns sistemas fısicos estaveis podem possuir zeros no semi-planodireito.

Exemplo 4.5 O circuito da figura 4.15 possui x(t) como tensao de entrada e y(t) comotensao de saıda.

r2 r1

C

C r2

r1

x

+

-

y-

+

Figura 4.15: Circuito de fase nao mınima (r2 > r1)

A equacao diferencial que rege o comportamento do circuito e y + rCy = x− r0x onder = r1 + r2 e r0 = r2 − r1. A funcao de transferencia desse circuito e entao

G(jω) =1 − r0Cjω

1 + rCjω(4.9)

Note que G(s) possui um polo em s = − 1rC

e um zero em s = 1r0C

. Portanto o sistemae estavel de fase nao mınima se escolhemos r2 > r1, pois nesse caso o zero de G(s) estano semi-plano direito. Se escolhemos r2 < r1 o sistema e estavel de fase mınima poisagora o zero de G(s) esta no semi-plano esquerdo. O diagrama de Bode desse sistema eindicado na figura 4.16 para caso (a): r1 = 10KΩ, r2 = 20KΩ, C = 1µF e na figura4.17 para caso (b): r2 = 10KΩ, r1 = 20KΩ, C = 1µF . Veja que o diagrama de moduloe igual para os dois casos mas o diagrama de fase e diferente.


-1

100

101

102

103

10

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0 db

Hz

Magnitude

-1

100

101

102

103

10

-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0 degrees

Hz

Phase

Figura 4.16: Caso (a): Sistema de fase nao mınima (r2 > r1)

-1

100

101

102

103

10

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0 db

Hz

Magnitude

-1

100

101

102

103

10

-30

-26

-22

-18

-14

-10

-6

-2

2 degrees

Hz

Phase

Figura 4.17: Caso (b): Sistema de fase mınima (r2 < r1)


Sistemas de fase mınima possuem propriedades bastante interessantes. Sao mais sim-ples de serem controlados e os seus diagramas de Bode (modulo e fase) sao assintoticosnas altas e baixas frequencias e alem disso podemos relacionar a assıntota de modulo coma de fase atraves do grau relativo do sistema. Grau relativo de um sistema e a diferencade grau entre o denominador e o numerador da funcao de transferencia do mesmo.

Veja o que ocorre se for considerado um sistema que possui uma funcao de transferenciado tipo:

G(s) =K(am(jω)m + · · · + a1jω + 1)

bn(jω)n + · · · + b1jω + 1(4.10)

com an, bn, K reais positivos.

O grau relativo desse sistema e n−m. Note que para todo sistema de interesse praticoo grau relativo e sempre positivo, ou seja, n − m ≥ 0.

Nas baixas frequencias tem-se que:

limω→0

G(jω) = K

Logo o diagrama de modulo nas baixas frequencias e uma assıntota de inclinacao zeroe valor dado por 20 log(K). O diagrama de fase nas baixas frequencias tambem e umaassıntota de inclinacao zero e valor zero pois K > 0.

Para as altas frequencias:

limω→∞

G(jω) = limω→∞

Kam

bn

(jω)m−n

O diagrama de modulo nas altas frequencias e uma assıntota de inclinacao 20(m − n)dB por decada e o valor onde esta assıntota cruza o eixo das frequencias e dado por

ω = (K am

bn)

1

n−m . O diagrama de fase nas altas frequencias tambem e uma assıntota deinclinacao zero e valor 90(m − n) graus. Assim note que num sistema de fase mınimatemos que se o modulo decai assintoticamente com 20(m − n) dB por decada a fase vale90(m − n) graus. Verifique este resultado no exemplo 4.5. Nesse exemplo n = m = 1(grau relativo zero) e portanto no caso (b) quando r2 < r1 (sistema de fase mınima) omodulo tende a uma assıntota de inclinacao zero e a fase tende a zero graus nas altasfrequencias. Isto nao ocorre no caso (a) quando r2 > r1 (sistema de fase nao mınima).

Bibliografia

CLOSE, C. M., The Analysis of Linear Circuits, Harcourt, Brace & World, Inc.:NewYork, USA, 1966, 716p.

D’AZZO, J. J.; HOUPIS, C. H., Analise e Projeto de Sistemas de Controle Lineares,Editora Guanabara:Rio de Janeiro, RJ, 1984, 660p.

Diagrama de BODE

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