Determinan From Wikipedia, the free encyclopedia Dari Wikipedia, ensiklopedia bebas Jump to: navigation , search Langsung ke: navigasi , cari This article is about determinants in mathematics. Artikel ini adalah tentang penentu dalam matematika. For determinants on epidemiology , see Risk factor . Untuk penentu pada epidemiologi , lihat faktor resiko .

In algebra , the determinant is a special number associated with any square matrix . Dalam aljabar , determinan adalah nomor khusus yang terkait dengan matriks persegi . The fundamental geometric meaning of a determinant is a scale factor or coefficient for measure when the matrix is regarded as a linear transformation . Arti geometrik dasar determinan adalah sebuah faktor skala atau koefisien untuk mengukur ketika matriks dianggap sebagai transformasi linier . Thus a 2 × 2 matrix with determinant 2 when applied to a set of points with finite area will transform those points into a set with twice the area. Jadi, 2 × 2 matriks dengan 2 determinan ketika diterapkan pada satu set poin dengan luas terbatas akan mengubah titik-titik tersebut menjadi satu set dengan dua kali daerah tersebut. Determinants are important both in calculus , where they enter the substitution rule for several variables, and in multilinear algebra . Faktor-faktor penentu yang penting baik dalam kalkulus , dimana mereka memasuki aturan substitusi untuk beberapa variabel, dan dalam aljabar multilinear .

When its scalars are taken from a field F , a matrix is invertible if and only if its determinant is nonzero; more generally, when the scalars are taken from a commutative ring R , the matrix is invertible if and only if its determinant is a unit of R . Ketika skalar yang diambil dari F lapangan, sebuah matriks invertible jika dan hanya jika determinan adalah nol, lebih umum, ketika skalar diambil dari ring komutatif R, matriks invertible jika dan hanya jika determinan adalah unit R. Determinants are not that well-behaved for noncommutative rings. Determinan tidak yang berperilaku baik untuk cincin noncommutative.

The determinant of a matrix A is denoted det( A ), or without parentheses: det A . Determinan dari matriks A dinotasikan det (A), atau tanpa tanda kurung: Sebuah det. An alternative notation, used for compactness, especially in the case where the matrix entries are written out in full, is to denote the determinant of a matrix by surrounding the matrix entries by vertical bars instead of the usual brackets or parentheses. Sebuah notasi alternatif, digunakan untuk kekompakan, khususnya dalam kasus di mana entri matriks ditulis dalam penuh, adalah untuk menunjukkan determinan dari matriks oleh sekitar entri matriks dengan bar vertikal bukan kurung biasa atau kurung. Thus Demikian

denotes the determinant of the matrix menunjukkan determinan dari matriks

For a fixed nonnegative integer n , there is a unique determinant function for the n × n matrices over any commutative ring R . Untuk integer n nonnegatif tetap, ada fungsi penentu unik untuk × n matriks n atas setiap R ring komutatif. In particular, this unique function exists when R is the field of real or complex numbers . Secara khusus, fungsi ini unik ada ketika R adalah bidang yang nyata atau bilangan kompleks .

Contents Isi

[hide]

1 Interpretation as the area of a parallelogram 1 Interpretasi sebagai daerah jajaran genjang

2 3-by-3 matrices 2 3-by-3 matriks 3 n-by-n matrices 3 n-by-n matriks 4 Determinant from LU decomposition 4 Determinan dari dekomposisi LU 5 Applications 5 Aplikasi

o 5.1 Eigenvalues 5.1 Eigenvalues o 5.2 Orientation of a basis 5.2 Orientasi dasar o 5.3 Volume 5.3 Volume

6 Properties characterizing the determinant 6 Properties karakteristik penentu 7 Example 7 Contoh 8 Further properties 8 Selanjutnya sifat

o 8.1 Basic properties 8.1 Dasar properti o 8.2 Sylvester's determinant theorem 8.2 Sylvester penentu Teorema o 8.3 Block matrices 8.3 Blok matriks o 8.4 Relationship to trace 8.4 Hubungan dengan jejak

8.4.1 Size-specific relationships to trace 8.4.1 Ukuran hubungan khusus untuk melacak

8.4.1.1 Proof Outline 8.4.1.1 Bukti Outline o 8.5 Derivative 8,5 Derivatif o 8.6 Natural transformation 8.6 Alam transformasi

9 Abstract formulation 9 Abstrak formulasi 10 Algorithmic implementation 10 algorithmic pelaksanaan 11 History 11 Sejarah 12 See also 12 Lihat juga 13 Notes 13 Catatan

14 References 14 Referensi 15 External links 15 Pranala luar

[ edit ] Interpretation as the area of a parallelogram [ sunting ] Interpretasi sebagai daerah jajaran genjang

The area of the parallelogram is the absolute value of the determinant of the matrix formed by the vectors representing the parallelogram's sides. Luas jajaran genjang adalah nilai absolut dari determinan matriks yang dibentuk oleh vektor yang mewakili sisi dari jajaran genjang itu.

The 2×2 matrix 2 × 2 matriks

has determinant telah determinan

If A is a 2x2 matrix, its determinant det A can be viewed as the oriented area of the parallelogram with vertices at (0,0), ( a , b ), ( a + c , b + d ), and ( c , d ). Jika A adalah matriks 2x2, det determinannya A dapat dipandang sebagai daerah yang berorientasi kepada jajaran genjang dengan simpul di (0,0), (a, b), (a + c, b + d), dan (c, d). The oriented area is the same as the usual area , except that it is negative when the vertices are listed in clockwise order. Daerah berorientasi sama dengan biasa daerah , kecuali bahwa itu adalah negatif ketika simpul tercantum dalam urutan searah jarum jam.

Further, the parallelogram itself can be viewed as the unit square transformed by the matrix A . Selanjutnya, jajaran genjang itu sendiri dapat dilihat sebagai unit persegi diubah oleh A matriks. The assumption here is that a linear transformation is applied to row vectors as the vector-matrix

product x T A T , where x is a column vector. Asumsi di sini adalah bahwa transformasi linear diterapkan pada baris vektor-matriks sebagai produk vektor T x T, di mana x adalah vektor kolom. The parallelogram in the figure is obtained by multiplying matrix A (which stores the co-ordinates of our parallelogram) with each of the row vectors The genjang dalam gambar diperoleh dengan mengalikan matriks A (yang menyimpan koordinat genjang kita) dengan

masing-masing vektor baris and dan in turn. pada gilirannya. These row vectors define the vertices of the unit square. Vektor baris ini mendefinisikan simpul dari unit persegi. With the more common matrix-vector product A x , the parallelogram has vertices at Dengan produk umum vektor matriks-lebih A x, paralelogram telah

vertex di and dan (note that A x = ( x T A T ) T ). (Perhatikan bahwa A x = (x T A T) T).

Thus when the determinant is equal to one, then the matrix represents an equi-areal mapping . Jadi ketika determinan sama dengan satu, maka matriks mewakili -areal pemetaan equi .

[ edit ] 3-by-3 matrices [ sunting ] 3-by-3 matriks

The volume of this Parallelepiped is the absolute value of the determinant of the matrix formed by the rows r1, r2, and r3. Volume ini parallelepiped adalah nilai absolut dari determinan matriks yang dibentuk oleh r1, r2 baris, dan r3.

The determinant of a 3×3 matrix Determinan dari matriks 3 × 3

is given by diberikan oleh

The determinant of a 3x3 matrix can be calculated by its diagonals. Penentu dari sebuah 3x3 matriks dapat dihitung dengan diagonal-nya.

The rule of Sarrus is a mnemonic for this formula: the sum of the products of three diagonal north-west to south-east lines of matrix elements, minus the sum of the products of three diagonal south-west to north-east lines of elements when the copies of the first two columns of the matrix are written beside it as below: Para Aturan Sarrus adalah mnemonik untuk rumus ini: jumlah produk dari tiga utara-barat-timur diagonal garis selatan unsur matriks, dikurangi jumlah produk-produk dari tiga selatan barat-diagonal garis utara-timur elemen ketika salinan dari dua kolom pertama dari matriks ditulis di sampingnya sebagai berikut:

This mnemonic does not carry over into higher dimensions. Mnemonic ini tidak terbawa ke dimensi yang lebih tinggi.

[ edit ] n -by- n matrices [ sunting ]-by-n matriks n

The determinant of a matrix of arbitrary size can be defined by the Leibniz formula (as explained in the next paragraph) or the Laplace formula . Determinan dari matriks ukuran sewenang-wenang dapat didefinisikan oleh rumus Leibniz (seperti yang dijelaskan dalam paragraf berikutnya) atau formula Laplace .

The Leibniz formula for the determinant of an n -by- n matrix A is Rumus Leibniz untuk penentu sebuah oleh--n n A matriks

Here the sum is computed over all permutations σ of the set {1, 2, ..., n }. A permutation is a function that reorders this set of integers. Berikut jumlahnya dihitung atas semua permutasi σ set

{1, 2, ..., n} adalah A. permutasi suatu fungsi yang reorders ini himpunan bilangan bulat. The position of the element i after the reordering σ is denoted σ i . Posisi elemen i setelah σ penataan kembali dilambangkan i σ. For example, for n = 3, the original sequence 1, 2, 3 might be reordered to S = [2, 3, 1], with S 1 = 2, S 2 = 3, S 3 = 1. Sebagai contoh, untuk n = 3, urutan asli 1, 2, 3 mungkin akan mengatur kembali untuk S = [, 2 3, 1], dengan S 1 = 2, S 2 = 3, S 3 = 1. The set of all such permutations (also known as the symmetric group on n elements) is denoted S n . Himpunan semua permutasi tersebut (juga dikenal sebagai kelompok simetris pada elemen n) dilambangkan n S. For each permutation σ, sgn(σ) denotes the signature of σ; it is +1 for even σ and −1 for odd σ. Untuk setiap σ permutasi, ttd (σ) menunjukkan tanda tangan dari σ, melainkan +1 untuk bahkan σ dan -1 untuk σ aneh. Evenness or oddness can be defined as follows: the permutation is even (odd) if the new sequence can be obtained by an even number (odd, respectively) of switches of numbers. Kemerataan atau oddness dapat didefinisikan sebagai berikut: permutasi bahkan (ganjil) jika urutan baru dapat diperoleh oleh bilangan genap (ganjil, masing-masing) switch angka. For example, starting from [1, 2, 3] and switching the positions of 2 and 3 yields [1, 3, 2], switching once more yields [3, 1, 2], and finally, after a total of three (an odd number) switches, [3, 2, 1] results. Misalnya, mulai dari [1, 2, 3] dan switching posisi 2 dan 3 menghasilkan [1, 3, 2], switching sekali hasilnyapun lebih banyak [3, 1, 2], dan akhirnya, setelah total tiga ( angka ganjil) switch, [3, 2, 1] hasil. Therefore [3, 2, 1] is an odd permutation. Oleh karena itu [3, 2, 1] adalah permutasi ganjil. Similarly, the permutation [2, 3, 1] is even ([1, 2, 3] → [2, 1, 3] → [2, 3, 1], with an even number of switches). Demikian pula, permutasi [2, 3, 1] bahkan ([1, 2, 3] → [2, 1, 3] → [2, 3, 1], dengan bahkan jumlah switch). It is explained in the article on parity of a permutation why a permutation cannot be simultaneously even and odd. Hal ini dijelaskan dalam artikel tentang paritas dari permutasi permutasi mengapa tidak dapat secara bersamaan bahkan dan aneh.

In any of the n ! summands, the term Dalam salah satu n! Summands, istilah

is notation for the product of the entries at positions ( i , σ i ), where i ranges from 1 to n : adalah notasi untuk produk entri pada posisi (i, i σ), dimana i berkisar dari 1 sampai n:

For example, the determinant of a 3 by 3 matrix A ( n = 3) is Sebagai contoh, determinan dari 3 3 3) matriks A (n = adalah

This agrees with the rule of Sarrus given in the previous section. Hal ini sesuai dengan aturan Sarrus diberikan dalam bagian sebelumnya.

The formal extension to arbitrary dimensions was made by Tullio Levi-Civita , see ( Levi-Civita symbol ) using a pseudo- tensor symbol. Perpanjangan formal untuk dimensi sewenang-wenang dibuat oleh Tullio Levi-Civita , lihat ( Levi Civita simbol- ) menggunakan pseudo- tensor simbol. An alternative, but equivalent definition of the determinant can be obtained by using the following theorem: Definisi alternatif, tapi setara determinan dapat diperoleh dengan menggunakan teorema berikut:

Let M n ( K ) denote the set of all Misalkan n M (K) menyatakan himpunan semua matrices over the field K . matriks atas field K. There exists exactly one function Terdapat tepat satu fungsi

with the two properties: dengan dua sifat:

F is alternating multilinear with regard to columns; F bolak multilinear berkaitan dengan kolom;

One can then define the determinant as the unique function with the above properties. Satu kemudian dapat menentukan determinan sebagai fungsi yang unik dengan sifat di atas.

[ edit ] Determinant from LU decomposition [ sunting ] Determinan dari dekomposisi LU

For matrices larger than 3x3 it is computationally cheaper (in number of operations conducted) to express, if possible, P A = L U , where P is a permutation matrix , L is a lower triangular matrix with diagonal elements equal to 1, and U is an upper triangular matrix. See LU decomposition for details on existence, uniqueness and algorithms for such a decomposition. Untuk matriks lebih besar dari 3x3 itu adalah komputasi lebih murah (dalam jumlah operasi yang dilakukan) untuk mengungkapkan, jika mungkin, P A = L U, di mana P adalah matriks permutasi , L adalah matriks segitiga bawah dengan unsur-unsur diagonal sama dengan 1, dan U adalah

matriks segitiga Lihat atas. dekomposisi LU untuk rincian tentang eksistensi, keunikan dan algoritma untuk seperti dekomposisi.

The determinant is then calculated as follows: determinan tersebut kemudian dihitung sebagai berikut:

because det( L ) = 1 ; the right hand side is easily computed as the product of all diagonal elements of U multiplied with the determinant of the permutation matrix P (which is +1 for an even permutation and is -1 for an odd permutation). karena det (L) = 1; sisi kanan mudah dihitung sebagai produk dari semua elemen diagonal U dikalikan dengan determinan dari matriks permutasi P (yang +1 untuk permutasi bahkan dan -1 untuk permutasi ganjil ). This is more efficient than calculating the determinant of A because the determinant of a (upper or lower) triangular matrix is the product of its diagonal elements. Ini lebih efisien daripada menghitung determinan dari A karena determinan dari (atas atau bawah) matriks segitiga adalah produk dari unsur-unsur diagonal.

A small example: Contoh kecil:

Therefore Oleh karena itu

Of course, for a 2-by-2 matrix the determinant is easily computed directly, 6 × 3 − 3 × 4 in this example, but for large matrices the LU decomposition produces significant computational savings: it reduces the number of operations from O ( n !) for the Leibniz formula to O ( n 3 ) . Tentu saja, selama 2-by-2 matriks determinan mudah dihitung langsung, 6 × 3 - 3 × 4 dalam contoh ini, tetapi untuk matriks yang besar, dekomposisi LU menghasilkan simpanan komputasi yang signifikan: mengurangi jumlah operasi dari O ( n)!) untuk Leibniz rumus ke O (n 3.

[ edit ] Applications [ sunting ] Aplikasi

Determinants are used to characterize invertible matrices (ie, a matrix is invertible if and only if it has a non-zero determinant), and to explicitly describe the solution to a system of linear equations with Cramer's rule : Determinan digunakan untuk mencirikan matriks invertible (yaitu, sebuah matriks invertible jika dan hanya jika memiliki determinan bukan nol), dan secara eksplisit menggambarkan solusi untuk sistem persamaan linier dengan aturan Cramer's :

For a matrix equation Untuk persamaan matriks

the solution is solusinya adalah

where A i is the matrix formed by replacing the i th column of A by the column vector b . di mana saya A adalah matriks dibentuk oleh mengganti kolom ke i dari A oleh b vektor kolom.

Determinants are useful to state solution properties. Determinan berguna untuk properti solusi negara. It has recently been shown that Cramer's rule can be implemented in O( n 3 ) time, which is comparable to more common methods of solving systems of linear equations, such as LU , QR , or singular value decomposition . Baru-baru ini telah menunjukkan bahwa itu aturan Cramer dapat diterapkan dalam O (n 3) waktu, yang sebanding dengan metode umum lebih memecahkan sistem persamaan linier, seperti LU , QR , atau dekomposisi nilai singular .

[ edit ] Eigenvalues [ sunting ] Eigenvalues

Main article: Eigenvalues and eigenvectors Artikel utama: Eigenvalues dan vektor eigen

Determinants can be used to find the eigenvalues of the matrix A through the characteristic polynomial Determinan dapat digunakan untuk menemukan nilai eigen dari matriks A melalui polinomial karakteristik

where I is the identity matrix of the same dimension as A . di mana I adalah matriks identitas dari dimensi yang sama seperti A.

Again, this formula is useful to state the properties of eigenvalues, but not to numerically compute them if n > 2. Sekali lagi, rumus ini berguna untuk menyatakan sifat-sifat nilai eigen, tetapi tidak untuk numerik menghitung mereka jika n> 2. It is much more efficient and reliable to compute eigenvalues, eg, with the QR algorithm . Hal ini jauh lebih efisien dan dapat diandalkan untuk menghitung nilai eigen, misalnya, dengan algoritma QR .

[ edit ] Orientation of a basis [ sunting ] Orientasi dasar

Main article: Orientation (mathematics) Artikel utama: Orientasi (matematika)

One often thinks of the determinant as assigning a number to every sequence of n vectors in Orang sering berpikir tentang determinan sebagai menugaskan angka untuk setiap urutan vektor n di , by using the square matrix whose columns are the given vectors. , Dengan

menggunakan matriks persegi yang kolom adalah vektor diberikan. For instance, an orthogonal matrix with entries in Sebagai contoh, sebuah matriks ortogonal dengan entri dalam represents a set of basis vectors in Euclidean space . merupakan satu set vektor basis dalam ruang Euclidean . The determinant of such a matrix can be used to determine whether the orientation of the basis is consistent with or opposite to the orientation of the standard basis . Penentu semacam matriks dapat digunakan untuk menentukan apakah orientasi basis konsisten dengan atau berlawanan dengan orientasi dasar standar . Namely, if the determinant is +1, the basis has the same orientation. Yakni, jika determinan adalah +1, dasar memiliki orientasi yang sama. If it is -1, the basis has the opposite orientation. Jika -1, dasar memiliki orientasi berlawanan.

This implies that, if the determinant of R is positive, R represents an orientation-preserving linear transformation (namely, a rotation matrix ), while if it is negative, R switches the orientation of the basis (namely, it acts as a reflexion , possibly combined with a rotation). Hal ini menunjukkan bahwa, jika penentu R adalah positif, R merupakan orientasi-melestarikan transformasi linear (yaitu, sebuah rotasi matriks ), sedangkan jika negatif, R switch orientasi dasar (yakni, bertindak sebagai refleksi , mungkin dikombinasikan dengan rotasi).

[ edit ] Volume [ sunting ] Volume

Determinants are used to calculate volumes in vector calculus : the absolute value of the determinant of real vectors is equal to the volume of the parallelepiped spanned by those vectors. Determinan digunakan untuk menghitung volume dalam kalkulus vektor : dengan nilai absolut dari determinan vektor nyata adalah sama dengan volume parallelepiped membentang oleh mereka vektor. As a consequence, if the linear map Sebagai konsekuensinya, jika peta linear

is represented by the matrix A , and S is any measurable subset of diwakili oleh matriks A, dan S adalah setiap terukur subset dari , then the volume of f ( S ) is given by ,

Maka volume f (S) diberikan oleh . . More generally, if the linear

map Secara umum, jika peta linear is represented by the m -by- n matrix A , and S is any measurable subset of diwakili oleh oleh--n m matriks A, dan S adalah setiap subset terukur dari , then the m - dimensional volume of f ( S ) is given by , Maka m - dimensi

volume f (S) diberikan oleh . . By calculating the volume of the tetrahedron bounded by four points, they can be used to identify skew lines . Dengan menghitung volume tetrahedron dibatasi oleh empat poin, mereka dapat digunakan untuk mengidentifikasi garis condong .

The volume of any tetrahedron, given its vertices a , b , c , and d , is (1/6)·|det( a − b , b − c , c − d )|, or any other combination of pairs of vertices that would form a spanning tree over the vertices. Volume tetrahedron ada, yang diberikan titik-titik sudutnya a, b, c, dan d, adalah (1 / 6) · | det (a - b, b - c, c - d) |, atau kombinasi lainnya pasang simpul yang akan membentuk suatu pohon rentang atas simpul.

[ edit ] Properties characterizing the determinant [ sunting ] Properties karakteristik penentu

In addition to the Leibniz formula above, there is another way of calculating determinants of matrices. Selain rumus Leibniz di atas, ada cara lain untuk menghitung determinan matriks. It is based on the following properties of determinants: Hal ini didasarkan pada sifat determinan berikut:

1. If A is a triangular matrix , ie a i , j = 0 whenever i > j or, alternatively, whenever i < j , then Jika A adalah matriks segitiga , yaitu i, j = 0 jika i> j atau sebaliknya, setiap kali i <j, maka

, ,

the product of the diagonal entries of A . produk dari entri diagonal A. This is because, for triangular matrices, the product Hal ini karena, untuk matriks segitiga, produk

, for any permutation σ different from the identity permutation (the one not changing the order of the numbers 1, 2, ..., n ) , Untuk σ permutasi pun berbeda dari permutasi identitas (yang tidak mengubah urutan 1, angka 2, ..., n)

2. If B results from A by interchanging two rows or two columns, then det( B ) = −det( A ). Jika hasil B dari A oleh bertukar dua baris atau dua kolom, maka det (B) =-det (A).

3. If B results from A by multiplying one row or column with a number c , then det( B ) = c · det( A ). Jika hasil B dari A dengan cara mengalikan satu baris atau kolom dengan c angka, maka det (B) = det ° C (A).

4. If B results from A by adding a multiple of one row to another row, or a multiple of one column to another column, then Jika hasil B dari A dengan menambahkan kelipatan satu baris ke baris, atau kelipatan dari satu kolom ke kolom lain, kemudian

These four properties can be used to compute determinants of any matrix, using Gaussian elimination . Keempat sifat dapat digunakan untuk menghitung determinan dari matriks, menggunakan eliminasi Gauss . This is an algorithm that transforms any given matrix to a triangular matrix, only by using the operations in the last three items. Ini merupakan algoritma yang mengubah apapun yang diberikan matriks untuk matriks segitiga, hanya dengan menggunakan operasi dalam tiga item terakhir. Since the effect of these operations on the determinant can be traced, the determinant of the original matrix is known, once Gaussian elimination is performed. Karena dampak dari operasi pada determinan dapat ditelusuri, determinan matriks asli diketahui, setelah dilakukan eliminasi Gauss.

It is also possible to expand a determinant along a row or column using Laplace's formula , which is efficient for relatively small matrices. Hal ini juga memungkinkan untuk memperluas determinan sepanjang baris atau kolom menggunakan 's formula Laplace , yang efisien untuk matriks relatif kecil. To do this along row i , say, we write Untuk melakukan hal ini baris i sepanjang, katakanlah, kita menulis

where the C i , j represents the i , j element of the matrix cofactors , ie C i , j is ( − 1) i + j times the minor M i , j , which is the determinant of the matrix that results from A by removing the i -th row and the j -th column, and n is the length of the matrix. dimana i C, j merupakan i, j elemen dari matriks kofaktor , yaitu C i, j adalah (- 1) i + j kali kecil M i, j, yang merupakan determinan dari matriks yang dihasilkan dari A dengan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j, dan n adalah panjang dari matriks.

[ edit ] Example [ sunting ] Contoh

The following compares various ways of calculating the determinant of the three-by-three matrix Berikut ini membandingkan berbagai cara menghitung determinan dari tiga-by-tiga matriks

Method Metode

Calculation Perhitungan

Rule of Sarrus Aturan Sarrus Laplace expansion, along the second column (for ease of calculation, it is best to choose a row or column with many zeros) ekspansi Laplace, sepanjang kolom kedua (untuk kemudahan perhitungan, yang terbaik

adalah untuk memilih baris atau kolom dengan nol banyak)

In this case we see that j=2 and i will change as we move down the column. Dalam hal ini kita melihat bahwa j = 2 dan saya akan berubah seperti yang kita bergerak turun kolom. The last value will be zero and is not necessary to calculate (due to a 0 coefficient). Nilai terakhir akan menjadi nol dan tidak diperlukan untuk menghitung (karena 0 koefisien).

Or, by using the first row : Atau, dengan menggunakan baris pertama:

Gauss algorithm Algoritma Gauss

B is obtained from A by adding −1/2 × the first row to the second, so that det( A ) = det( B ) B diperoleh dari A dengan menambahkan -1 / 2 × baris pertama untuk yang kedua, sehingga det (A) = det (B)

C is obtained from B by adding the first to the third row, so that det( C ) = det( B ) C diperoleh dari B dengan menambahkan yang pertama ke baris ketiga, sehingga det (C) = det (B)

D is obtained from C by exchanging the second and third row, so that det( D ) = −det( C ) D diperoleh dari C dengan mempertukarkan dan ketiga baris kedua, sehingga det (D) =-det (C)

The determinant of the (upper) triangular matrix D is the product of its entries on the main diagonal : (−2) · 2 · 4.5 = −18. Penentu dari (atas) D matriks segitiga adalah produk dari entri terhadap diagonal utama : (-2) · 2 · 4,5 = -18. Therefore det( A ) = +18. Oleh karena det (A) = 18.

[ edit ] Further properties [ sunting ] properti lebih lanjut

[ edit ] Basic properties [ sunting ] Sifat Dasar

In this section all matrices are assumed to be n -by- n matrices. Pada bagian ini semua matriks diasumsikan n-oleh n matriks-.

The determinant of the identity matrix Penentu identitas matriks

is one. adalah satu. This is even true if n = 0 , even though I 0 is an empty matrix . Ini bahkan benar jika n = 0, meskipun aku 0 adalah matriks kosong .

The determinant is linear in each row of the matrix and also in each column of the matrix (in other words, when viewed as a function of the rows of the matrix, the determinant is a multilinear map , and also when viewed as a function of the columns of the matrix). determinan yang linear pada setiap baris dari matriks dan juga di setiap kolom dari matriks (dengan kata lain, bila dilihat sebagai fungsi dari baris dari matriks, determinan adalah peta multilinear , dan juga bila dilihat sebagai fungsi kolom dari matriks). This means that if one fixes any row or column, and writes that row/column v of A as a linear combination of row/column vectors v k , then det( A ) is equal to the same linear combination of the determinants of the matrices obtained from A by replacing v by v k while leaving all other entries unchanged. Ini berarti bahwa jika salah satu perbaikan setiap baris atau kolom, dan menulis baris itu / kolom v A sebagai kombinasi linier dari baris / vektor v kolom k, maka det (A) adalah sama dengan kombinasi linear yang sama dari determinan dari matriks diperoleh dari A dengan mengganti v dengan k v sementara meninggalkan semua entri lainnya tidak berubah. In particular, multiplying any individual row or column by r multiplies the determinant by r , implying that Secara khusus, mengalikan setiap baris individu atau kolom dengan mengalikan determinan r dengan r, yang menyiratkan bahwa

The determinant is an alternating function of the rows of the matrix, and also of the columns of the matrix: whenever a matrix contains two identical rows or two identical columns, its determinant is 0. determinan tersebut adalah fungsi bolak baris dari matriks, dan juga dari kolom matriks: setiap kali matriks berisi dua baris atau dua kolom yang identik sama, determinannya adalah 0. The rules given for the behaviour of the determinant under row and column operations follow from the multilinear and alternating properties. Aturan yang diberikan untuk perilaku penentu di bawah operasi baris dan kolom ikuti dari sifat multilinear dan bergantian. In fact the determinant can be characterized as the unique map from square matrices to scalars with the three properties listed so far. Padahal determinan dapat dicirikan sebagai peta unik dari matriks persegi untuk skalar dengan tiga sifat yang terdaftar sejauh ini.

The determinant of a rank -deficient matrix (one with rank less than n ) is zero. Penentu dari rank defisiensi matriks-(satu dengan peringkat kurang dari n) adalah nol.

The determinant of a matrix product of square matrices equals the product of their determinants: Penentu dari produk matriks dari matriks persegi sama dengan produk dari penentu mereka:

Thus the determinant is a multiplicative map . Dengan demikian determinan adalah peta perkalian. This formula is generalized by the Cauchy-Binet formula to (square) products of rectangular matrices. Formula ini digeneralisasi oleh -Binet formula Cauchy untuk (persegi) produk dari matriks persegi panjang.

A matrix over a commutative ring R is invertible if and only if its determinant is a unit in R . Sebuah matriks atas ring komutatif R adalah invertible jika dan hanya jika determinan adalah suatu unit dalam R. In particular, if A is a matrix over a field , such as the real or complex numbers , then A is invertible if and only if det( A ) is not zero. Secara khusus, jika A adalah matriks atas lapangan , seperti nyata atau bilangan kompleks , maka A adalah invertible jika dan hanya jika det (A) tidak nol. In this case Dalam hal ini

An important implication of the previous properties is the following: if A and B are similar , ie, if there exists an invertible matrix X such that Sebuah implikasi penting dari sifat sebelumnya adalah sebagai berikut: jika A dan B adalah sama , yaitu jika terdapat matriks X sedemikian sehingga invertible , then , Maka

This means that the determinant is a similarity invariant . Ini berarti bahwa determinan adalah invarian kesamaan . Because of this, the determinant of some linear transformation T : V → V for some finite dimensional vector space V is independent of the basis for V . Karena itu, determinan dari beberapa transformasi linear T: V → V untuk beberapa hingga dimensi ruang vektor V adalah independen dari dasar V.

If A is triangular, then its determinant is the product of its diagonal entries. Jika A adalah segitiga, maka determinannya adalah produk dari entri diagonal.

A matrix and its transpose have the same determinant: Sebuah matriks dan yang transpos memiliki determinan yang sama:

The determinant is a natural transformation : for any ring homomorphism ƒ : R → S and any square matrix A with entries in R , the determinant of the matrix obtained by applying ƒ to each of the entries of A equals ƒ (det( A )). determinan adalah transformasi natural : untuk setiap cincin homomorfisma f: R → S dan setiap A matriks persegi dengan entri dalam R, determinan dari matriks yang diperoleh dengan menerapkan ƒ untuk setiap entri A sama dengan f (det (A)) . This means in particular for matrices with polynomials as entries, that substitution of a value for the indeterminate in the determinant of the matrix gives the same result as first performing that substitution into all entries of the matrix and taking the determinant of the resulting matrix; it is thanks to this property that one sees that the roots of the characteristic polynomial of a matrix are precisely the eigenvalues of the matrix. Ini berarti khususnya untuk matriks dengan polinomial

sebagai entri, bahwa substitusi nilai untuk tak tentu dalam determinan dari matriks memberikan hasil yang sama seperti pertama melakukan substitusi bahwa ke semua entri dari matriks dan mengambil determinan dari matriks yang dihasilkan, melainkan adalah berkat properti ini bahwa salah satu melihat bahwa akar dari polinomial karakteristik dari matriks adalah justru nilai eigen dari matriks. Other applications of this property are for complex matrices: the determinant of its complex conjugate matrix (or of its conjugate transpose) is the complex conjugate of its determinant, and for integer matrices: the reduction modulo m of the determinant of such a matrix is equal to the determinant of the matrix reduced modulo m (the latter determinant being computed using modular arithmetic). Aplikasi lain dari properti ini adalah untuk matriks kompleks: determinan yang kompleks konjugat matriks (atau transposisi conjugate perusahaan) adalah konjugasi kompleks penentu, dan untuk matriks integer yaitu pengurangan modulo m dari determinan suatu matriks sama dengan determinan dari matriks mengurangi modulo m (penentu terakhir yang dihitung dengan menggunakan aritmatika modular).

If A has real or complex entries, then det( A ) is the product of the eigenvalues of A , counted with their algebraic multiplicities . Jika A telah nyata atau kompleks entri, maka det (A) adalah produk dari nilai eigen A, dihitung dengan mereka multiplicities aljabar .

[ edit ] Sylvester's determinant theorem [ sunting ] penentu teorema's Sylvester

Sylvester's determinant theorem states that for A , an m -by- n matrix, and B , an n -by- m matrix, Sylvester determinan Teorema menyatakan bahwa untuk A, sebuah m-by-n matriks, dan B, sebuah n-by-m matriks,

, ,

where mana and dan are the m -by- m and n -by- n identity matrices, respectively. adalah m-by-m dan n-oleh n identitas matriks-masing.

For the case of column vector c and row vector r , each with m components, the formula allows the quick calculation of the determinant of a matrix that differs from the identity matrix by a matrix of rank 1: Untuk kasus vektor kolom dan vektor c r baris, masing-masing dengan komponen m, formula memungkinkan perhitungan cepat dari determinan sebuah matriks yang berbeda dari identitas matriks dengan matriks 1 peringkat:

. .

More generally, for any invertible m -by- m matrix X [ 1 ] , Secara umum, untuk setiap m invertible m-by-matriks X [1] ,

, ,

and dan

. .

[ edit ] Block matrices [ sunting ] Blok matriks

Suppose A, B, C, and D are n × n -, n × m -, m × n -, and m × m -matrices, respectively. Misalkan A, B, C, dan D adalah n n × -, n m × -, m n × -, dan × m m-matriks, masing-masing. Then Kemudian

This can be seen from the Leibniz formula or by induction on n. Hal ini dapat dilihat dari formula Leibniz atau dengan induksi di n. When A is invertible , employing the following identity Ketika Sebuah invertible , menggunakan identitas berikut

leads to menyebabkan

When D is invertible, a similar identity with Ketika D adalah invertible, identitas yang sama

dengan factored out can be derived analogously [ 2 ] , that is, keluar faktor dapat diturunkan analog [2] , yaitu,

Moreover, when the blocks are square matrices of the same order the following holds [ 3 ] , Selain itu, ketika blok matriks persegi urutan yang sama setelah memegang [3] ,

When C and D commute, that is CD=DC, Ketika C dan D bolak-balik, yang adalah CD = DC,

. .

When A and C commute, that is AC=CA, Ketika A dan C bolak-balik, yaitu AC = CA,

. .

When B and D commute, that is BD=DB, Ketika B dan D bolak-balik, yaitu BD = DB,

. .

When A and B commute, that is AB=BA, Ketika A dan B bolak-balik, yaitu AB = BA,

. .

[ edit ] Relationship to trace [ sunting ] Hubungan dengan jejak

As mentioned above, the determinant equals the product of the eigenvalues. Sebagaimana disebutkan di atas, determinan sama dengan produk dari nilai eigen. Similarly, the trace equals the sum of the eigenvalues while the set of all the eigenvalues is the Spectrum of a matrix . Demikian pula, jejak sama dengan jumlah nilai eigen sedangkan himpunan semua nilai eigen adalah Spektrum matriks . Thus, Dengan demikian,

where mana denotes the matrix exponential of menunjukkan eksponensial matriks dari , because every eigenvalue λ of , Karena setiap λ eigenvalue corresponds to the eigenvalue

exp(λ) of sesuai dengan exp eigenvalue (λ) dari . .

Under the substitution Dalam substitusi ↦ ↦ , the matrix logarithm of , Dengan logaritma matriks dari , the above equation yields , Hasil panen persamaan di atas

. . Similarly, Demikian pula, . .

The expression Ekspresi is closely related to the Fredholm determinant . erat terkait dengan determinan Fredholm .

[ edit ] Size-specific relationships to trace [ sunting ] khusus hubungan Ukuran untuk melacak

For an Untuk matrix matriks , these formulae can be used to derive: , Rumus ini dapat digunakan untuk menurunkan:

n = 1: n 1 =:

n = 2: n 2 =:

n = 3: n 3 =:

n = 4: n 4 =:

These formulae are closely related to Newton's identities . formula ini berhubungan erat dengan itu identitas Newton .

[ edit ] Proof Outline [ sunting ] Bukti Garis Besar

is a polynomial in the variable x , has degree at most n , and the coefficient of x n is adalah polinom dalam variabel x, telah gelar pada n kebanyakan, dan koefisien n x adalah

. . Working with Bekerja dengan small enough so that the power series for cukup

kecil sehingga seri daya untuk converges absolutely, we compute benar-benar menyatu, kita menghitung

Note that, despite appearances, each of these expressions simplifies to a polynomial of degree at most n . Perhatikan bahwa, meskipun penampilan, masing-masing ekspresi menyederhanakan ke polinomial derajat pada n paling. In particular, it is safe to ignore all x m terms, for m > n . Secara khusus, adalah aman untuk mengabaikan semua ketentuan m x, untuk> n m. The coefficients of x 1 , x 2 , x 3 , and x 4 in this last expression give the above formulae. Koefisien dari x 1, x 2, x 3, dan x 4 dalam ekspresi terakhir memberikan rumus di atas.

[ edit ] Derivative [ sunting ] Derivatif

By definition, eg, using the Leibniz formula, the determinant of real (or analogously for complex) square matrices is a polynomial function from R n × n to R . Menurut definisi, misalnya, menggunakan rumus Leibniz, penentu riil (atau analog untuk kompleks) matriks persegi merupakan fungsi polinom dari R n × n ke R. As such it is everywhere differentiable . Karena itu ada dimana-mana terdiferensialkan . Its derivative can be expressed using Jacobi's formula : Its derivatif dapat dinyatakan dengan menggunakan rumus Jacobi's :

where adj(A) denotes the adjugate of A. In particular, if A is invertible, we have mana adj (A) menunjukkan adjugate A. Secara khusus, jika A adalah invertible, kita memiliki

Expressed in terms of the entries of A , these are Disajikan dalam hal entri A, ini adalah

Yet another equivalent formulation is Namun formulasi lain yang setingkat adalah

, ,

using big O notation . menggunakan notasi O besar . The special case where A = I , the identity matrix, yields Kasus khusus di mana A = aku, identitas matriks, hasil

This identity is used in describing the tangent space of certain matrix Lie groups . Identitas ini digunakan dalam menggambarkan ruang singgung tertentu matriks kelompok Lie .

If the matrix A is written as Jika matriks A ditulis sebagai where a , b , c are vectors, then the gradient over one of the three vectors may be written as the cross product of the other two: dimana a, b, c adalah vektor, maka gradien lebih dari satu dari tiga vektor dapat ditulis sebagai produk silang dari dua lainnya:

[ edit ] Natural transformation [ sunting ] transformasi Alam

A matrix over a commutative ring R is invertible if and only if its determinant is a unit in R . Sebuah matriks atas ring komutatif R adalah invertible jika dan hanya jika determinan adalah suatu unit dalam R. For a commutative ring R and a natural number n , det is a mapping between GL n ( R ) (the group of invertible n × n matrices with entries in R ) and R × (the group of units in R ), making det R (the specialization of det for a concrete commutative ring R ) a morphism in the category of groups Grp . Untuk ring komutatif R dan n bilangan asli, det adalah pemetaan antara n GL (R) (kelompok matriks n × n invertible dengan entri dalam R) dan R × (kelompok unit di R), membuat det R (spesialisasi det untuk beton ring komutatif R) suatu morphism dalam kategori kelompok Grp. The category of commutative rings CRng and Grp are related by two functors GL n and ( ) × , where GL n maps any given commutative ring R to the group GL n ( R ), and ( ) × maps any given commutative ring R to the group R × . The kategori cincin komutatif CRng dan Grp terkait oleh dua functors n GL dan () ×, dimana GL n peta setiap ring komutatif R diberikan kepada GL n kelompok (R), dan () × peta setiap ring komutatif R yang diberikan kepada kelompok R ×. Every morphism f : R → S in CRng (with R and S being commutative rings)

induces corresponding morphisms GL n f : GL n ( R ) → GL n ( S ) and f × : R × → S × in Grp , with det S ° GL n f = f × ° det R . Setiap morphism f: R → S di CRng (dengan R dan S akan cincin komutatif) menginduksi morphisms sesuai n GL f: n GL (R) → GL n (S) dan f ×: R → S × × di Grp, dengan det GL n ° S f = ° F det R ×. Therefore det is a natural transformation between GL n and ( ) ×

. [ 4 ] Oleh karena det adalah transformasi alami antara n GL dan () ×. [4]

The above stated more briefly: Let R be a commutative ring. Semakin singkat disebutkan di atas: Misalkan R suatu ring komutatif. The map 'take-the-determinant' is a morphism of algebraic groups from GL n,R to G m,R . Peta 'mengambil-the-determinan' merupakan morphism kelompok aljabar dari n GL, R untuk m G, R.

[ edit ] Abstract formulation [ edit ] perumusan Abstrak

An n × n square matrix A may be thought of as the coordinate representation of a linear transformation of an n -dimensional vector space V . Sebuah n × n matriks persegi mungkin dianggap sebagai koordinat representasi dari transformasi linear dari n-dimensi ruang vektor V. Given any linear transformation Mengingat setiap transformasi linier

we can define the determinant of A as the determinant of any matrix representing A . kita dapat mendefinisikan determinan dari A sebagai penentu dari setiap matriks A yang mewakili. This is a well-defined notion (ie independent of a choice of basis ) since the determinant is invariant under similarity transformations. Ini adalah yang terdefinisi dengan baik pengertian (yaitu independen dari pilihan dasar ) karena determinan tidak berubah dalam transformasi kesamaan.

The determinant of a linear transformation A can be formulated in a coordinate-free manner, as follows. Determinan transformasi linear A dapat dirumuskan dalam bebas secara koordinat, sebagai berikut. The set of alternating multilinear forms Λ n V is a vector space, on which A induces a linear transformation. Himpunan bolak bentuk multilinear Λ n V adalah ruang vektor, di mana A menginduksi transformasi linear. Given φ ∈ Λ n V , define A(φ) ∈ Λ n V as Mengingat φ ∈ Λ n V, define A (φ) n ∈ Λ V sebagai

Because n is also the dimension of V , Λ n V is one-dimensional and this operation is just multiplication by some scalar that depends on A . Karena n adalah juga dimensi V, Λ n V adalah satu-dimensi dan operasi ini hanya perkalian oleh beberapa skalar yang bergantung pada A. This scalar is called the determinant of A . skalar ini disebut determinan A. That is, det( A ) is defined by the equation Artinya, det (A) didefinisikan oleh persamaan

To see that this definition agrees with the coordinate-dependent definition given above, one can use the characterization of the determinant given above: for example switching two columns

changes the parity of the determinant; likewise, permuting the vectors in the exterior product v 1 ∧ v 2 ∧ ... Untuk melihat bahwa definisi ini setuju dengan koordinat-tergantung definisi yang diberikan di atas, kita dapat menggunakan karakterisasi dari determinan yang diberikan di atas: misalnya switching dua perubahan kolom yang paritas dari determinan; juga, permuting vektor dalam produk eksterior v 1 ∧ v 2 ∧ ... ∧ v n to v 2 ∧ v 1 ∧ v 3 ∧ ... ∧ v n ke v 2 v 1 ∧ ∧ ∧ v 3 ... ∧ v n , say, also alters the parity. n v ∧, mengatakan, juga mengubah paritas tersebut. Minors of a matrix can also be cast in this setting, by considering lower alternating forms Λ k V with k < dim V . Minor dari matriks juga dapat berperan dalam pengaturan ini, dengan mempertimbangkan bentuk-bentuk yang lebih rendah bolak V k Λ dengan <k V redup .

[ edit ] Algorithmic implementation