Determinación de la banda prohibida en un semiconductor

Banda prohibida en un semiconductor - Israel Garca Garca

Determinacin del intervalo de energa prohibida en un semi-conductor

Sinopsis

Con esta prctica se pretende la familiarizacin con la medida de las propiedades elctricas de un material semiconductor, en concreto el germanio. Usando medidas de la conductividad elctrica de este material en un rango determinado de temperaturas se podr determinar la anchura de la banda prohibida del semiconductor, as como una estimacin de la cantidad de dopado del material estudiado.

Fundamento terico

Un semiconductor es un slido cristalino que a 0K posee una banda electrnica completamente llena, o banda de valencia, separada de una banda electrnica vaca (o de conduccin) por un gap de energa o banda prohibida, de energa (~1 eV o me-nor). A esta temperatura no hay conduccin elctrica porque los electrones no son ca-paces de cambiar sus estados energticos en presencia de campos elctricos pequeos. Sin embargo, a temperaturas ms altas, existe suficiente activacin trmica como para que algunos electrones sean excitados desde la banda de conduccin a la banda de valencia. Un campo elctrico externo puede ahora efectuar a los estados electrni-cos en ambas bandas crendose una intensidad de corriente. Cuanto ms alta sea la temperatura ms electrones sern excitados a la banda de conduccin aumentando por tanto la conductividad elctrica.

La presencia de pequeas cantidades de determinadas impurezas puede afectar de forma sustancial la estructura de bandas del material (creando nuevos niveles electr-nicos) y por tanto modificando las propiedades elctricas de los semiconductores. As podemos clasificar a los semiconductores en intrnsecos (si poseen una cantidad insig-nificante de impurezas) y extrnsecos (donde la contribucin de las impurezas es apre-ciable). Con determinado tipo de impurezas se pueden conseguir niveles energticos adicionales muy cercanos (~0,01eV) a las bandas de conduccin y valencia. Depen-diendo del tipo de impurezas se obtendrn a 0K un nivel energtico completamente lleno con una energa inferior, aunque muy cercana al lmite inferior de la banda de conduccin (semiconductor tipo n), o un nivel energtico completamente vaco muy cercano al lmite superior de la banda de valencia (semiconductor tipo p).

Entre los semiconductores comunes se encuentran elementos qumicos y compues-tos, como el silicio, el germanio, el selenio, el arseniuro de galio, el seleniuro de cinc y el telururo de plomo. El incremento de la conductividad provocado por los cambios

1


de temperatura, la luz o las impurezas se debe al aumento del nmero de electrones conductores que transportan la corriente elctrica. En un semiconductor caractersti-co o puro como el silicio, los electrones de valencia (o electrones exteriores) de un tomo estn emparejados y son compartidos por otros tomos para formar un enlace covalente que mantiene al cristal unido. Estos electrones de valencia no estn libres para transportar corriente elctrica. Para producir electrones de conduccin, se utiliza la luz o la temperatura, que excita los electrones de valencia y provoca su liberacin de los enlaces, de manera que pueden transmitir la corriente. Las deficiencias o hue-cos que quedan contribuyen al flujo de la electricidad (se dice que estos huecos trans-portan carga positiva). ste es el origen fsico del incremento de la conductividad elctrica de los semiconductores a causa de la temperatura.

El nmero de portadores y por tanto la conductividad elctrica de un semiconduc-tor extrnseco vara con la temperatura segn se muestra en la figura 1. Pueden dis-tinguirse 3 regmenes bien diferenciados. A bajas temperaturas empiezan a ionizarse las impurezas. Los portadores se crean mediante la excitacin trmica de los niveles energticos adicionales creados por la presencia de impurezas. A este rgimen se le denomina rgimen de ionizacin o extrnseco. Para temperaturas moderadas se consi-dera que todas las impurezas estn ionizadas, de modo que el nmero de portadores permanece constante y la conductividad slo depender ligeramente con la tempera-tura a travs de la movilidad de los portadores. Este es el rgimen de saturacin. A temperaturas superiores, la energa trmica de los electrones es suficiente para excitar un gran nmero de electrones desde la banda de valencia a la de conduccin, siendo este nmero mucho mayor que el de impurezas, asemejndose el comportamiento al de los semiconductores intrnsecos. Por eso se denomina rgimen intrnseco.

Figura 1: Nmero de portadores de un semiconductor en funcin de la temperatura

2


En el rgimen intrnseco podemos obtener la magnitud de la banda prohibida de energa de un semiconductor a partir de la representacin de la conductividad elctri-ca en funcin de la temperatura usando:

=0 exp( E g2k BT ) (1)

Donde E g es la magnitud de la banda prohibida, k B es la constante de Boltz-man y T es la temperatura en kelvin.

Es sabido que la conductividad y la resistencia en un slido se encuentran relacio-nados mediante la ecuacin:

R=C (2)

Donde es la conductividad y C es un parmetro que depender de la geome-tra de la sustancia.

Si pasamos en (1) 0 al primer miembro y ayudndonos de la expresin (2) ten-dremos que:

0=exp ( E g2kBT )

R0R=exp( E g2k BT )

Haciendo logaritmo neperiano a ambos miembros de la ecuacin:

ln (R0R )=(E g2kB )T1 (3)Esta ecuacin nos ser de gran utilidad en el transcurso de la memoria.

Por otra parte para estimar la concentracin de impurezas debemos de analizar qu estado corresponde al rgimen de saturacin. Claramente debe estar a temperatu-ras bajas del rgimen intrnseco y si nos fijamos en la figura 1, teniendo en cuenta que T1 es alta a T bajas, los puntos tienden a relajarse (tienden a la zona de satu-racin).

La conductividad va a depender de los portadores obedeciendo la ecuacin:

=(n n+ p p)e

3


En principio no sabemos si las impurezas del dopaje (por ser un semiconductor ex-trnseco) son de tipo p o son de tipo n ya que la placa no lo especificaba as como la prctica. Lo que comentaremos los resultados sobre la concentracin de impurezas para ambos casos.

4


Montaje experimental:

Para obtener el valor de la banda prohibida E g del semiconductor estudiado de-bemos medir la conductividad para distintas temperaturas en el rgimen intrn-seco. Para esto debemos disear un dispositivo experimental que nos permita medir la conductividad en funcin de la temperatura del semiconductor.

Se dispone de los siguientes equipos para realizar la prctica:

Una muestra de germanio dopado desconocido de dimensiones conocidas embutida en una pieza de plstico que acta como aislante (vase la figura 2). Las dimen-siones de la muestra son de 20.0mm10.0mm1.0mm . Sobre la placa se en-cuentra as mismo integrados una resistencia cuya funcin es calentar el semicon-ductor mediante efecto Joule, un termopar tipo K (cromel- alumel) y seis conexio-nes para elementos externos.

Un transformador (de 220V a 6V) conectado en paralelo a un potencimetro regu-lable (cuya funcin es limitar el voltaje de salida) que se encargar de calentar la placa de germanio por disipacin de calor en la resistencia.

Un voltmetro de corriente alterna para medir la ddp suministrada por el transfor-mador.

Un voltmetro de corriente continua para medir la diferencia de potencial (fuerza electromotriz termoelctrica) producida en la soldadura del termopar y as poder medir la temperatura de la placa. Para este tipo de termopar y a temperaturas moderadas puede usarse la siguiente escala: 40V /K

Un multmetro que ha de usarse en configuracin de ohmmetro para medir la re-sistencia de la placa semiconductora.

Usando todos estos elementos vamos a disear un circuito elctrico que nos permi-ta medir la conductividad. Esto aparece en el apartado de resultados.

5


Realizacin

1. Realizamos la medida de la temperatura ambiente del laboratorio. Esta es la tem-peratura de referencia del termopar. Medimos la resistencia del semiconductor para esta temperatura.

2. Encendemos el potencimetro con el valor del voltaje al mnimo. Dado que la rea-lizacin ms correcta de esta prctica requerira demasiado tiempo, se ha procedi-do a medir los valores de la resistencia para cada variacin de 0,10mV en el ter-mopar hasta alcanzar un valor mximo de 4mV. A medida que la temperatura de la placa va aumentando es necesario suministrar ms potencia y por consiguiente suministrar mayor voltaje e el potencimetro.

3. Una vez alcanzada la temperatura mxima, 100C correspondientes a los 4mV, se procede a disminuir progresivamente el voltaje y por consiguiente la temperatura de la placa. En el proceso de enfriamiento se toman asimismo valores de la resis-tencia en funcin de la ddp del termopar usando los mismos intervalos de 0,10mV que en la subida.

4. Volvimos a medir la temperatura ambiente en el laboratorio pero esta se mostra-ba inalterada.

Tanto el calentamiento como el enfriamiento de la placa debe ser lo ms lento po-sible, dentro de las limitaciones impuestas por el tiempo del que se disponga, hacien-do que la velocidad de subida sea homognea y lo ms parecida posible a la velocidad de bajada. De este modo, el error sistemtico que se presente en el calentamiento ser igual y de signo opuesto al producido durante el enfriamiento. Este error se cancela al hacer la media de los valores tomados durante estos procesos.

6


Resultados

El montaje del circuito que hemos diseado a partir de los dispositivos que dispo-nemos quedas especificados en la figura 2 y 3:

Figura 2: Montaje real del circuito a partir de los dispositivos especificados

Figura 3: Montaje esquematizado del circuito

7


Todas las conexiones estn montadas en paralelo. El potencimetro en paralelo con el transformador (1) se ocupa de regular la tensin que va a ir soportando el cir -cuito en cada instante. Todo ello va conectado al voltmetro (2) que nos indica la tensin con la que estamos trabajando. Este voltmetro lleva una conexin hasta la resistencia que calienta el semiconductor (3). A continuacin, el multmetro en confi-guracin de ohmmetro (4) se conecta en los bornes del semiconductor para medir as la resistencia que va variando en ste como funcin de la temperatura. Al termopar tipo K (cromel- alumel) es conectado un multmetro funcionando como voltmetro (5) con lo que nos va a medir la tensin entre las soldaduras y con ello las variaciones de temperatura en el semiconductor.

Los datos que hemos obtenido a lo largo de la prctica quedan registrados en la ta-bla 1.

V /mV ( 0,01) R/( 0,01) R/( 0,01) V /mV ( 0,01) R/( 0,01) R/( 0,01)

0.00 354.96 353.88 2.10 90.40 85.42

0.10 350.50 343.43 2.20 84.31 79.10

0.20 341.54 330.41 2.30 78.77 73.59

0.30 329.88 316.40 2.40 73.43 67.98

0.40 316.61 300.42 2.50 68.19 63.29

0.50 301.39 284.48 2.60 63.40 59.32

0.60 284.61 269.99 2.70 58.76 55.45

0.70 267.33 249.58 2.80 54.47 51.29

0.80 250.15 234.79 2.90 51.09 47.97

0.90 232.28 217.63 3.00 47.67 44.85

1.00 217.41 203.55 3.10 43.95 42.06

1.10 200.77 187.36 3.20 41.44 39.90

1.20 185.62 172.73 3.30 38.87 37.06

1.30 172.33 158.88 3.40 36.88 34.82

1.40 158.64 146.74 3.50 34.14 32.87

1.50 146.81 136.22 3.60 32.10 30.89

1.60 134.61 126.24 3.70 30.36 29.13

1.70 125.32 116.52 3.80 28.64 27.55

1.80 111.98 107.74 3.90 27.15 26.35

1.90 106.85 99.06 4.00 25.63 24.62

2.00 98.18 91.35

8


Tabla 1: Datos experimentales obtenidos en el laboratorio. De izqda. a dcha.: 1 y 4 columna tensiones registradas en el termopar, 2 y 5 se presenta la resistencia en el semiconductor en la subida, finalmente 3 y 6 resistencia del semiconductor en la bajada

Si echamos un vistazo a la ecuacin 3 del fundamento terico vemos que para cal-cular el valor de la banda prohibida necesitamos representar ln (R0/ R) frente a

T1 siendo R0 es el valor de la resistencia en el semiconductor cuando V=0,00mV. Sea R la resistencia media entre la subida y la bajada para un valor cualquiera de la tensin registrada en el termopar y vamos a mostrar el los clculos para V= 0,70mV.

Tendremos que:

R=R+R

2= 267,33+249,58

2=258,46

y su error: R=RR

2=267,33249.58

2=8,88

Luego: R=(2589)

Ahora R0R=354.92

258=1.373 y su error:

R0R=R0R ( R0R0 )2+( RR )2=1,373( 0.04354.92 )2+( 9258 )2=0,05

Por tanto R0R=1,370,05

Veamos el clculo del logaritmo neperiano:

ln ( R0R )=ln (1,37)=0.317 y su error ln (R0R )=

R0R

R0R

=0,034

Con lo que finalmente: ln ( R0R )=0,32 0.03Para el clculo de la temperatura en el semiconductor hay que tener en cuenta que

la temperatura medida en el laboratorio era de 25C. Si T 0 es la temperatura am-biente medida en Kelvin T 0=T '+T amb=(273,15+25)K=298.15K :

9


T 0,70 mV=T=T 0+0,70mV 1V

103mV 140V /K

=315.65K

y su error ser:

T=(T (VV )2+( 0,0010,040 )2)2+ (T ' 2+T amb2 )2==(315.65K (0,010,70 )2+( 0,0010,040 )2)2+ (0,012+12 )2=9,14 K

Con lo que: T=(316 9)K

Para terminar nos queda calcular T1 : T1=1 /316K=0.00317K1

y su error: (T1)=T1 TT =0.00317K1 9315=0.00009K

1

Por ello: T1=(317 9) 105K1

Todos los clculos han sido realizados para V=0,70mV. Los clculos para las de-ms tensiones los omitiremos pero los resultados quedarn contemplados en la tabla 2:

V /mV ( 0,01) R/ ln ( R0 / R) T /K T1/105K1

0.00 354.920.04 0.000.00 2981 3351

0.10 3474 0.0230.010 30131 33334

0.20 3366 0.0550.017 30317 33018

0.30 3237 0.0940.021 30613 35714

0.40 3098 0.140.03 30811 32512

0.50 2938 0.190.03 31110 32210

0.60 2777 0.250.03 3139 31910

0.70 2589 0.320.03 3169 3179

0.80 2428 0.380.03 3189 3149

0.90 2257 0.460.03 3219 3129

1.00 2107 0.520.03 3239 3098

1.10 1947 0.600.04 3269 3078

1.20 1796 0.680.04 3289 3058

1.30 1667 0.760.04 3319 3028

1,40 1536 0.840.04 3339 3008

1.50 1425 0.920.04 3369 2988

1.60 1304 1.000.03 3389 2968

1.70 1214 1.080.04 3419 2948

1.80 1102 1.1730.019 3439 2918

1.90 1034 1.240.04 3469 2897

10


V /mV ( 0,01) R/ ln ( R0 / R) T /K T1/105K1

2.00 953 1.320.04 3489 2877

2.10 882 1.400.03 3519 2857

2.20 823 1.470.03 3539 2837

2.30 763 1.540.03 3569 2817

2.40 713 1.610.04 3589 2797

2.50 65.72.5 1.690.04 3619 2777

2.60 61.42.0 1.760.03 3639 2757

2.70 57.11.7 1.830.03 3669 2737

2.80 52.91.6 1.900.03 3689 2727

2.90 49.51.6 1.970.03 3719 2707

3.00 46.31.4 2.040.03 3739 2687

3.10 43.01.0 2.1110.022 37610 2667

3.20 40.70.8 2.1660.019 37810 2647

3.30 38.00.9 2.2350.024 38110 2637

3.40 35.60.7 2.3010.021 38310 2617

3.50 33.50.6 2.3600.019 38610 2597

3.60 31.50.6 2.4220.019 38810 2587

3.70 29.80.6 2.4790.021 39110 2566

3.80 28.10.6 2.5360.019 39310 2546

3.90 26.80.4 2.5850.015 39610 2536

4.,00 26.62.0 2.590.08 39810 2516

Tabla 2: Por columnas de izqda. a dcha.: Tensin aplicada, Resistencia media registrada en el semiconductor, Logaritmo neperiano del co-ciente entre la resistencia para V=0.00mV y la resistencia con la tensin aplicada, temperatura a la que se encuentra el semiconductor y fi-nalmente inversa de la temperatura.

11


Con estos datos vamos a representar la columna 3 frente a la columna 5:

Figura 4: Logaritmo neperiano del cociente entre la resistencia para V=0.00mV y la resistencia con la tensin aplicada frente al inverso de la temperatura. Si excluimos los puntos extremos vemos que los res -tantes se encuentran bien alineados dndose una fuerte dependencia lineal entre ambas magnitudes. Vase como la funcin tiende hacia el rgimen de saturacin.

Figura 5: Logaritmo neperiano del cociente entre la resistencia para V=0.00mV y la resistencia con la tensin aplicada frente al inverso de la temperatura. Hemos omitido para este anlisis los puntos extremos que no quedaban alineados quedndonos slo con las temperaturas altas (rgimen intrnseco).

12

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

250 275 300 325 350

0,50

0,90

1,30

1,70

2,10

2,50

250 260 270 280 290 300 310

ln ( R0/ R )

T1/105K1

ln ( R0/ R )

T1/105K1


Vamos a ver los datos que se obtienen a partir de la pendiente:

Pendiente: m=(3697 9 )KOrdenada: n=11,94 0,03

Coeficiente de Correlacin = -0,999919residuo= 0,001577

residuo medio= 0,000060654

La funcin que se ha representado en la figura 5 obedece tericamente a la expre-sin:

ln (R0R )=(E g2kB )T1

Por ello:

m=(E g2k B ) E g=m2 k B=(3697K 8,62 105 eV /K 2 )=0.63736eVy su error:

E g=E g( mm )2+( k Bk B )2=0.63736eV( 93697 )2+( 0,018,62 )2=0,0017 eVPor tanto E g=(0,6374 0,0017)eV

Para estimar la concentracin de impurezas debemos de analizar en la figura 4 qu estado corresponde al rgimen de saturacin. Claramente debe estar a temperaturas bajas y si nos fijamos en la figura, T1 altos = a T bajas, los puntos tienden a rela-jarse (tienden a la zona de saturacin). Luego como la temperatura ms baja que he-mos medido es la ambiente, ah todas las impurezas deben encontrarse ionizadas.

La temperatura ambiente era de 298K. La conductividad depende de los portado-res obedeciendo la ecuacin:

=(n n+ p p)e

Como comentamos en el fundamento terico no sabemos si las impurezas del dopa-je son de tipo p o son de tipo n ya que esto no quedaba especificado.

Si el conductor es de tipo p las impurezas van a ser aceptoras y si son de tipo n se-rn donadoras.

13


En rgimen de saturacin todas las impurezas estarn ionizadas con lo que o son todas de tipo n o p as pues:

a) Si son de tipo n: p0Tendremos entonces que 0=

lS R0

sustituyendo en la ecuacin anterior para

p0 y conocidas las dimensiones del semiconductor:

n= lS R0 ne

= 20mm

10mm 2 103m

1mm 354,920,39m 2/Vs 1,60217653 1019C

=9,01829 1019m3

n=n ( ll )2+( ss )2+( R0R0 )2+( nn )2==9,01829 1019m3( 0,120,0 )2+( 1,010,0 )2+( 0,04354,92 )2+( 0,010,39 )2=0,9 1019m3

Con lo que n=(9,0 0,9) 1019m3

b) Si son de tipo p: n0

p= lS R0 pe

= 20mm

10mm 2 103m

1mm354,92 0,18m2 /Vs 1,60217653 1019C

=1,953964 1020m3

p= p ( ll )2+( ss )2+( R0R0 )2+( p p )2==1,953964 1020 m3 ( 0,120,0 )2+( 1,010,0 )2+( 0,04354,92 )2+( 0,010,18 )2=0,22 1020m3

Con lo que p=(1,95 0,22) 1020m3

14


Discusin:

El valor terico aceptado para el germanio puro es de E g=0,67eV . Vemos que los datos obtenidos experimentalmente arrojan valores (E g=(0,6374 0,0017)eV )que no concuerdan con el aceptado comnmente. Esto debemos atriburselo a dife-rentes factores que colaboran en esta diferencia como por ejemplo incidencias natura-les sobre los diversos dispositivos (deterioro del semiconductor etc...), o quizs si pu-diramos trabajar a temperaturas superiores a 388K (V T=4mV ) habramos obteni-do ms puntos en rgimen intrnseco con lo que puede que nos acercramos ms an al valor terico aceptado.

Ntese que el error experimental en la determinacin de la anchura de banda prohibida es muy pequeo, dado que el error de la pendiente en la figura 5 lo es (puntos muy alineados). Esto pone de manifiesto la fuerte dependencia lineal entre las distintas magnitudes.

No obstante hemos tratado que la memoria recoja de la forma ms pedaggica-mente posible los objetivos programados por la asignatura.

15


Bibliografa:

- Introduccin a la fsica del estado slido por Charles Kittel- Apuntes y transparencias de clase (Fsica del estado slido)- Cmo escribir textos cientficos por Jose Mara Martn Olalla

16

Determinación de la banda prohibida en un semiconductor

Documents

Transcript of Determinación de la banda prohibida en un semiconductor