determiannate
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8/19/2019 determiannate
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DETERMINANTES
1
MATEMÁTICAII
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8/19/2019 determiannate
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Calcula la determinante de una matriz por los métodos
siguientes:
I. Determinante por método directos:Para orden 1x1 manera directa.
Para orden 2x2 método cruzado.Para orden 3x3 método sarrus.
II. Determinante por método de Cofactores.
III. Determinante por el método de Gauss.
PROPÓSITO DE LA CLASE
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DEFINICIÓN
Sea una matriz A= el determinante de A esun operador det(A) o que aplicada acualquier matriz le corresponde un únicovalor numérico.
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I. DETERMINANTE
POR MÉTODOSDIRECTOS
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MÉTODO DIRECTO PARA
ORDEN 1x1
Sea la matriz A =
= =
Halla la determinante de A=
= = – 4
Ejemplo
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MÉTODO CRUZADOS
PARA ORDEN 2x2Sea la matriz !
! !. .
Halla la determinante de A == = (4.7) – (!.7)= 4!
Ejemplo
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"n la ecuaci#n el $alor de x es :
x % 2 ! .
Calcule &x' satisface la ecuaci#n:
!11
"fectua:
% ( !
Ejemplos
1
2
3
13
21
−−
43
12 −−
-
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MÉTODO SARRUS PARA
ORDEN 3x3
Sea la matriz" A= =
A#re#ar dos primeras $las en la parte in%erior.
A =
suma de la izquierda
suma de la derecha
)a determinante ! suma derec*a + suma izquierda
..
..
..
..
..
..
-
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Si" A = . &alcule " A
,esuel$a
1
2
Ejemplos
341
235
312
-
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II. DETERMINANTEPOR COFACTORES
"s recomenda-le *acer uso de este
método para calcular determinante deorden maor /ue tres .
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Sea la matriz !
Para resolver por el método elegir la fila o columna /ue
contenga la maor cantidad de ceros si fuera la primera fila
resol$er0amos de la siguiente manera
= ''
-
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Si: ! .
Calcule :
Ejemplo
1
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II. DETERMINANTE
POR EL MÉTODO DE
GAUSS
"s recomenda-le *acer uso de este
método para calcular determinante deorden maor /ue tres .
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4
• l emplear el método de Gauss para transformar un determinante en otroe/ui$alente pero con todos los elementos nulos por de-ao de la diagonal
principal *a /ue tener en cuenta lo siguiente:• Si se multiplica o di$ide una fila o columna por un nmero el $alor del
determinante /ueda multiplicado o di$idido por dic*o nmero.
• Si se cam-ia el orden de las filas o columnas el $alor del determinantecam-ia de signo.
• Si se cam-ia el orden de los elementos en todas las filas o columnase/ui$ale a permutar cam-iando de signo el $alor.
• 4o se puede a5adir o suprimir ninguna fila aun/ue los elementos de unafila o columna sean com-inaci#n lineal de los de otras.
• Se suma o resta a una fila o columna otra multiplicada por unnúmero.
• "n determinantes s#lo se podr6 aplicar Gauss aplicando una propiedad deforma directa pues de lo contrario podr0a implicar errores.
• 4o o-stante si se puede es el meor método para desarrollar
determinantes.
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• Consiste en transformar el determinante:
• Donde am-os determinantes son e/ui$alentes.• )a soluci#n o $alor del determinante ser0a:
• 7 sea el producto de los elementos de la diagonal principal.
MÉTO O E GAUSS
11 12 13 14 11 12 13 14
21 22 23 24 22 23 24
31 32 33 34 33 34
41 42 43 44 44
0| | ... ... | |
0 0
0 0 0
a a a a b b b b
a a a a b b b A en B
a a a a b b
a a a a b
= =
11 12 13
11 12
44 22 23 44 33 11 22 33 4422
33
| | . 0 . . . . .00 0
b b bb b
A b b b b b b b b bbb
= = =
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Calcule la siguiente determinantes por el método de Gauss:
• |A|= ! 1.1.2.8(19 ! – 2
Ejemplo
1 0 1 1
1 1 0 0| |
0 1 1 1
1 1 0 1
A
− = −
−
1 0 1 1
0 1 1 1
0 1 1 1
0 1 1 2
= −
− −
1 0 1 1
0 1 1 1
0 1 1 1
0 0 0 1
= −
−
1 0 1 1
0 1 1 1
0 0 2 2
0 0 0 1
=
−
-
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7
Calcule la siguiente determinantes por el método de Gauss:
• |A|= 126
Ejemplo
1 2 0 1
3 1 2 0| |
2 0 4 11 1 0 3
A
− = −
-
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PROP!"A"!S #$S%AS "! "!&!R'(A(&!S
EL ETERMINANTE E UNA
MATRIZ RESULTA CERO
CUAN O:
Si la matriz es nula
Si la matriz tiene una $la o unacolumna de ceros
Si una $la o columna esi#ual o múltiplo de una$la o columna
Si es una matriz antisimétrica de orden impar
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EL DETERMINANTE DE UNA MATRIZRESULTA EL PRODUCTO DE SU
DIAGONAL PRINCIPAL SI Y SOLO SI:
Si la matriz esdia#onal
Si la matriz esescalar
Si la matriz es trian#ular
superior
Si la matriz es trian#ular
in%erior
*a matrizidentidadtienedeterminante
PROP!"A"!S #$S%AS "! "!&!R'(A(&!S
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Si multiplicamos a una $la o columna de una matriz sudeterminante queda multiplicado por dic+o escalar
Si multiplicamos a la matriz por un escalar su determinantequeda multiplicado por dic+o escalar elevado a su orden
Si intercam,iamos dos $las o dos columnas la determinantequeda cam,iada de si#no
=
=
PROP!"A"!S #$S%AS "! "!&!R'(A(&!S
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Ejemplos
Calcule la determinante de las siguientes matrices
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Aplicaci-n de ladeterminante en elclculo de reas de
pol/#onos con
coordenadas conocidasde los vérticesSe eli#e una coordenada del vértice
del pol/#ono lue#o se coloca de %ormaanti +oraria las coordenadasincrementando al $nal la primera $la 0
lue#o aplicar sarrus.
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Ejemplo
;se determinante los $értices dados para encontrar el
6rea del triangulo:
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“Pre cálculo”
Octava edición
Larson - Hostetler
BIBLIOGRAFÍA
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GRACIAS