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Detailed lecture notes in Quantum FieldTheory

Diego Restrepo

Instituto de FsicaUniversidad de Antioquia

2012


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Contents

Introduction 1

1 Classical Field Theory 31.1 Lagrangian Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Ecuaciones de Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Teorema de Noether para simetras internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.3 Teorema de Noether para simetras externas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Global gauge invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 Local phase invariance in the Scrodingers Lagrangian . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4 Notacion relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4.1 Ejemplos de cuadrivectores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4.2 Lorentz tranformation for fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.5 Vector field Lagrangian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.5.1 Energa del campo electromagnetico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.6 Scrodinger Equation in presence of the electromagnetic field . . . . . . . . . . . . . . 331.6.1 Euler-Lagrange equation for . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.6.2 Euler-Lagrange equation forA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.6.3 Conserved currents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.7 Gauge Transformation Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.8 Proca Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.9 Klein-Gordon Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.9.1 Complex scalars. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.10 Lorentz transformation of the fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.11 Diracs Action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.11.1 Lorentz transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.11.2 Corriente conservada y Lagrangiano de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.11.3 Tensor momento-energa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521.11.4 Ecuaciones de Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

v


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vi CONTENTS

1.11.5 Propiedades de las matrices de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

1.11.6 Lorentz Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591.11.7 Lorentz invariance of the Dirac Action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

1.11.8 Diracs Lagrangian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641.12 Electrodinamica Cuantica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661.13 Cromodinamica Cuantica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

1.13.1 Ecuaciones de EulerLagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781.13.2 Derivada covariante adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

1.14 Spontaneous symmetry breaking. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 841.15 Fermiones quirales de cuatro componentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 901.16 Standard model Lagrangian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

1.16.1 Spontaneous symmetry breaking in SU(3)c

SU(2)L

U(1)Y . . . . . . . . . 97

1.16.2 Yukawa Lagrangian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1021.16.3 Fermion-gauge interactions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1021.16.4 Self-interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1061.16.5 Lagrangiano del modelo estandar para la primera generacion . . . . . . . . . . 108

1.16.6 Dinamica de sabor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1091.17 Fenomenologa Electrodebil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

1.17.1 Decaimientos debiles mediados por corrientes cargadas . . . . . . . . . . . . . 1161.18 Calculo de procesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

2 Computational QFT 121

2.1 LanHEP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1212.2 CalcHEP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

2.3 LanHEP/CalcHEP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

3 Second quantization 1313.1 Quantization of the nonrelativistic string . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

3.1.1 The clasical string . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1313.1.2 Quantization of the string . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1373.1.3 Generalization to three dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

3.2 Quantization of the Klein-Gordon field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

3.3 Quantization of Fermions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

4 Quantization of the electromagnetic field 1654.1 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

4.2 Quantization of the electromagnetic field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167


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CONTENTS vii

5 Propagators 169

5.1 Scalars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1695.2 Fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1695.3 Bosons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

6 Smatrix 1716.1 The Smatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1716.2 Relativistic and no relativistic normalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1736.3 Process probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1756.4 Cross Section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

6.4.1 2to2 cross section. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1816.5 Decay Rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

6.5.1 Two body decays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1886.6 Backup. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

7 Two body decays 1917.1 Particle decays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1917.2 Width decay. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1927.3 e+e + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

8 Feynman Rules 1978.1 Interaction picture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1978.2 Atomic decay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

8.3 Yukawa interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2078.4 Wick Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2118.5 Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

9 Three body decays 2239.1 Muon decay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

9.1.1 Amplitude estimation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2239.1.2 Amplitude calculation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

9.2 three body decays in radiative seesaw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2359.A Sample point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2429.B Preliminary discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

10 Renomalization at 1-loop 24510.1 Self-energy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24510.2 Other . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249


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Introduction

We have organized the topics in order of complexity, and, in the same spirit than in previous book[1], we have tried to write the calculations as detailed as possible. In Chapter 3 we included thebuilding blocks of quantum field theory, in Chapter 6we introduce the Smatrix in the Scrodinger

Picture separating the kinematical and normalization factors from the matrix element. Then theexpressions for the decay rates and cross sections are obtained. The explicit calculation of thematrix element from the expansion of the Smatrix to obtain the Feynman rules, is postponed toChapter8. In Chapter7 we use the Feynman rules necessary to calculates the matrix element, anddevelop the techniques associated to the squaring of the matrix element. In Chapter8we obtain theFeynman rules used in two body decays directly from the first order expansion of the Smatrix inthe interaction picture. The subsequent chapters have applications of the techniques developed tothe calculation of tree-level, Chapter 9and loop processes.

This notes are based in books [2], [3], [4]. In each Chapter or Section the main reference usedis cited. Also, we have included material developed by students Juan Alberto Yepez, Jose David

Ruiz Alvarez. This notes are written in English, because at this level it is expected that any physicsstudent be fluently in reading technical texts in this language.

This work have been partially supported by Dedicacion Exclusiva 2008-2009 project: RR 26663

1


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2 CONTENTS


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Chapter 1

Classical Field Theory

This chapter is a summary of the main topics developed in the course Hacia la teora cuanticade campos [1]. We will introduce special relativity as the necessary ingredient to guarantee thelocal conservation of electric charge in quantum mechanics. The symmetries of the electromagneticLagrangian will be extended to include the electron, as one Dirac spinor. The resulting QuantumElectrodynamics theory will be used as a paradigm to explain the other fundamental interactions.

1.1 Lagrangian Formulation

1.1.1 Ecuaciones de Euler-Lagrange

Definamos

=

x, (1.1)

En tres dimensiones, la accion de la se puede escribir como:

S[, ] =

R

d4xL(, ) (1.2)

donde d4x= dtdxdy dz. Considere primero una variacion solo de los campos, tal que (x= x)

(x) =(x)

(x) (1.3)

De otro lado, conx= x x, la expansion de Taylor para f(x+x) es

f(x+x) =f(x) + f

xx+ (1.4)

3


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4 CHAPTER 1. CLASSICAL FIELD THEORY

ParaL, tenemos de la ec. (1.3)

L(, ) = L(+, +())= L +L

+

L()

() (1.5)

Entonces, de imponer que S= 0, tenemos

S=S S=R

d4x L(, ) R

d4x L(, )

=

R

d4x

L

+ L()

()

= R d4x

L

L() + R d4x

L()

S=

R

d4x

L

L

()

+

L

()

d= 0. (1.6)

Donde hemos aplicado el Teorema de GaussV

A d3x=S

A dS (1.7)generalizado a cuatro dimensiones. Como la variacion dees cero sobre la hipersuperficie resulta

R

d4x

L

L

()

= 0. (1.8)

Como es cualquier posible variacion entre las fronteras de la hipersuperficie, el integrando debeanularse y resultan las ecuaciones de Euler-Lagrange:

L

()

L

= 0. (1.9)

La densidad Lagrangiana

L= L +((x)) (1.10)donde (x) es cualquier funcion de los campos de la densidad Lagrangiana original, da lugar a laAccion

S = R d4x L= R d4x L + R d4x =

R

d4x L +

d

=S , (1.11)


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1.1. LAGRANGIAN FORMULATION 5

para una hipersuperficie suficientemente grande. De modo que dos densidades lagrangianas que

difieran solo en derivadas totales dan lugar a la misma Acci on.Usando el principio de mnima accion en terminos del campo , tenemos que para la densidadLagrangiana (??)

L =12

1

v2

t

2

z

2, (1.12)

las ecuaciones de Euler-Lagrange (1.9)

0

L

(0)+3

L

(3)L

=0

t

L(/t)

+

z

L(/z)

=0

1

v2

t

t

z

z

=0

1

v22

t2

2

z2 =0 , (1.13)

que corresponde a la ecuacion de onda.Generalizando a tres dimensiones vemos que la ecuacion para una onda propagandose a una

velocidadv ,

1v2

2

t2

2= 0 , (1.14)proviene de una densidad Lagrangiana (hasta derivadas totales)

L =12

1

v2

t

2

=1

2

1

v20 0 i i

. (1.15)

1.1.2 Teorema de Noether para simetras internasPara un campo complejo la ec. (1.2) se generaliza a

S[, , , ] =R

d4x L(, , , ) (1.16)


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Usando el mismo procedimiento, se obtiene

S= R

d4x L

L()

+ R

d4x L

L()

+

R

d4x

L

()+

L()

= 0. (1.17)

Usando de nuevo el Teorema de Gauss resultan las ecuaciones de Euler Lagrange para y

L

()

L

= 0,

L

()

L

= 0. (1.18)

De otro lado, si asumimos queysatisfacen las ecuaciones de EulerLagrange, en lugar de asumirque y se anulan sobre la hipersuperficie, los dos primeros terminos de la ec. (1.17) se anulany tendremos que para que S= 0:

R

d4x (J) = 0, (1.19)

donde,

J =

L

()

+

L

()

(1.20)

Entonces J satisface la ecuacion de continuidad:

J = 0 (1.21)

J0

t + J= 0 (1.22)

Integrando con respecto al volumenV

J0

t d3x+

V

J d3x= 0,V

J0

t d3x+

S

J dS= 0, (1.23)

Escogiendo una superficie suficientemente grande que abarque toda la fuente de densidad = J0, dela corriente J, el segundo integrando es cero y

d

dt

V

d3x= 0. (1.24)

Este resultado es conocido como Teorema de Noether. Este establece que para toda transformacioncontinua del tipo (1.3), debe existir una cantidad conservada,dQ/dt= 0, que en este caso correspondea

Q=

V

d3x. (1.25)


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Figure 1.1: Traslacion de funcion y coordenadas en una dimension: (x) =(x)

1.1.3 Teorema de Noether para simetras externas

Para el caso de una simetra externas, por ejemplo la correspondiente a una traslacion espaciotemporal

x x =x +ax =a (1.26)

tenemos

(x) =(x+a) (1.27)

(x) + (x)

x a (1.28)

= [(x) +(x)] +

x[(x) +(x)]a (1.29)

(x) +(x) + (x)x

a, (1.30)

donde, por simplicidad, es de nuevo un campo real, y en el ultimo paso hemos despreciado untermino de orden a. Entonces,

(x) (x) (x) =(x) + (x)x

a. (1.31)

Para una traslacion, (x) = 0, ver figura1.1. De modo que

= ()a

, (1.32)

y la transformacion del campo como consecuencia de la traslacion es

(x) (x) =(x) +(x) =(x) ((x))a . (1.33)


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Sia es constante (un analisis mas general es hecho en [?])

d4x= d4x (1.34)

En este caso, asumiendo que el campo satisface las ecuaciones de Euler-Lagrange y usando la ec. (1.32)y (1.9) tenemos

S=

R

d4x L(, , x) R

d4x L((x), (x), x)

=

R

d4x L(+, +(), x +a) R

d4x L

R d4x L +

L

+ L

()

() + (

L)a R d

4x

L=R

d4xL

+

L()

() + (L)a

=

R

d4x

L

()

+

L()

() + (L)a

=

R

d4x

L

()

+ (L)a

=

R

d4x

L

()+ La

= R d4x L()a + La=

R

d4x

L

()a

+ L(a)

=

R

d4x

L

()() +

L

a

(1.35)

= R d4x (Ta) = 0. (1.36)Y por consiguiente

Ta

= 0, (1.37)

De modo que para cada , con a = 0, se satisface:


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T

= 0, (1.38)donde

T = L()

() L (1.39)

El tensor Tproviene de asumir la homogeneidad del espacio y el tiempo y es llamado el tensor demomentumenerga.

Para una traslacion temporal: = 0, se genera entonces la ecuacion de continuidad:

T

0 = 0 (1.40)

Donde la densidad de Energa, o mas de forma mas general: la densidad Hamiltonina corresponde aT00

H =T00 =L

L (1.41)

=(x)(x)

t L. (1.42)

Comparando con la expresion correspondiente en la formulacion Lagrangiana de la Mecanica Clasica,tenemos que si(x) es la variable canonica, la variable canonica conjugada es (x)

(x) =

L((x)/t) . (1.43)El teorema de Noether en este caso establece que la invarianza de la Acci on bajo traslaciones tem-porales da lugar a la ecuacion de continuidad (1.38) para= 0

T

0 = 0 (1.44)

cuya carga conservada corresponde a la energa

H=

V

d3x T00 =

V

d3x H. (1.45)

De igual forma la invarianza bajo traslaciones espaciales de lugar a ecuaciones de continuidad paracada componente =i (i= 1, 2, 3)

Ti = 0, (1.46)


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cuyas densidad de cargas conservadas, T0i, que en forma vectorial escribiremos como T0, dan lugar

a la conservacion del momentum

P=

V

d3x T0 . (1.47)

Generalizando a un campo complejo

T = L()

() + ()

L()

L (1.48)

1.2 Global gauge invariance

Haciendo = 1, el Lagrangiano que da lugar a la ecuacion de Schrodinger es

L(, , , ) = 12m

i2

t

t

+V (1.49)

= 1

2mi

i i2

(0 0) +V .

Aplicando las ecuaciones de Euler-Lagrange (1.18) para la funcion de ondaobtenemos la ecuacionde Scrodinger con = 1:

0 = L

() L

=0

L(0)

+i L

(i) L

. (1.50)

Como

L(0)

= i2

L

(0)=

i

2

L(i)

= 1

2mi

L(i)

= 1

2mi (1.51)

L

= i

20

+V L

= i

20+V .

Entonces, reemplazando la ec. (1.51) en la ec. (1.50), tenemos

0 = L

()

L

=0 i

2

+i 1

2mi i

20+V

=

i

20+

1

2mii+

i

20 V . (1.52)


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1.2. GLOBAL GAUGE INVARIANCE 11

Que puede escribirse como

i

t = 12m2 +V. (1.53)El Lagrangiano en ec (1.49), y por consiguiente la Accion, es invariante bajo una transformacion

de fase = ei. (1.54)

Por consiguiente, de acuerdo al Teorema de Noether, debe existir una cantidad conservada. Lacorriente conservada se obtine de la ec. (1.20). Para los campos y, tenemos

= = (ei 1) i (1.55) i. (1.56)

Usando ademas la ec. (1.51) en la definicion de J0 dada por la ec. (1.20), tenemos

J0 =

L

(0)

+

L

(0)

= i

2(i) + (i) i

2

=, (1.57)

y

Ji = L(i) + L(i)=

1

2mi

(i) + (i) 12m

i

= i

2m(i

i) . (1.58)

Entonces, normalizando apropiadamente la corriente escogiendo = 1, tenemos

J0 = (1.59)

J= i

2m( ) . (1.60)

De acuerdo a la ec. (1.59), la cantidad conservada corresponde a la probabilidad de la funci on deonda y normalizando apropiadamente la ec. (1.25)

Q=

V

d3x= 1. (1.61)


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En cuanto a las simetras externas, tenemos de la ec. (1.39) que da lugar a las ecuaciones de

continuidad (1.44)(1.46)T

0 = 0,

Ti = 0 (1.62)

Las cargas conservadas corresponden entonces a T00 yT0i. Usando las ecs. (1.51) en la ec. (1.48)

T0i = L

(0)(i) + (i

) L

(0)

T0i = i

2(i) +

i

2(i

) (1.63)

Entonces, definiendo

T0

= i

2( ) (1.64)Ademas

T0 = i

2(() )

= i+ i2() . (1.65)

Integrando en el volumen V

T0 d3x= iV

d3x+ i

2

V

d3x (1.66)

De acuerdo a la ec. (1.61), la ultima integral es una constante yV

T0 d3x= iV

d3x

p = V

pd3x (1.67)De modo quep son las cargas conservadas asociadas al valor esperado el operador de momentump= i . (1.68)De otro lado

T00 = L(0)

0+0 L

(0) L= i

20+

i

20

12m

ii+

i

2(0 0) V

= 12m

ii V (1.69)


20/259

1.2. GLOBAL GAUGE INVARIANCE 13

Como las corrientes solo estan determinadas hasta un factor de proporcionalidad, definimos

H T00 = 12m +V

= 1

2m () 1

2m2+V . (1.70)

Integrando sobre el volumen y usando la ec. (1.67)V

H d3x= 12m

V

() +V

12m

2 +V

d3x

= 1

2m

V() +

V

1

2m2 +V

d3x

= i

2m p +

V

1

2m2 +V d3x

=

V

12m

2 +V

d3x . (1.71)

Entonces

HV

H d3x=V

12m

2 +V

d3x

= V d3x H= H. (1.72)

Que es un resultado bien conocido de la mecanica cuantica.Como H= 1

2mp2 +V , (1.73)

podemos escribir la ec. (1.53) como

i

t=H . (1.74)

Podemos identificar entonces los operadores de energa y momentum.

H=i t , p= i. (1.75)Retornando a la ec. (1.67), tenemos que para la solucion de partcula libre de la ecuacion de

Schrodinger= A eikx, (1.76)


21/259


la condicion de normalizacion en ec. (1.61) implica que|A|2 = 1/L3, yV

T0 d3x= k. (1.77)

jercicio: De la ec. (1.72) obtenega la densidad Hamiltoniana, y usando la ec. (1.41) encontrar la densidadLagrangiana (1.49).

1.3 Local phase invariance in the Scrodingers Lagrangian

When we discuss the wave function (x),x represents the point in space at which we want to knowthe value of the wave function. Since complex numbers are, well, complex, you cant represent

them by a position on a simple number line. Instead, the have to be represented by a point in atwodimensional plot.

In addition the length of the arrow pointing to the complex number we also need an angle tospecify exactly how to draw the arrow pointing to the complex number. The observable is encodedinto the length of the arrow representing the value of the complex valued wave function at that pointof the spacetime. Its angle is unobservable.

The complex number (x) in the Scrodinger equation is just the number whose square is therelative probability of finding the object at that point.

Now, suppose that you arbitrarily decide to make a change of phase of the wave function tochange, at every point in space, the angle of the complex number makes with the real axis. Here

is the critical point: Is this change phase is global, if the phase that you change the phase angle is the same everywhere in space, the this change of phase will not destroy the delicate and essentialbalance between the kinetic and potential energy in the Scrodinger equation.

However, in the view implemented by Einsteins relativity, the need to require that quantummechanical systems be unaltered only by global changes of phase seemed to be very unnatural. Onceyou choose the phase of the wave function at one space-time point, the requirement of global phaseinvariance fixes it at all other space-time points:

As usually conceived however, this arbitrariness is subject to the following limitation: once onechoose [the phase of the wave function] at one spacetime point, one is then not free to makeany choices at other spacetime points.

It seems that it is not consistent with the localized field concept that underlies the usual physicaltheories. In the present paper we wish to explore the possibility of requiring all the interactionsto be invariant under independent [change of phases] at all space-time points.

Yang-Mills, Physical Review, 1954


22/259

1.3. LOCAL PHASE INVARIANCE IN THE SCRODINGERS LAGRANGIAN 15

This is similar to what happens in electromagnetic theory expressed in terms of scalar and vector

potentials. The can be changed by arbitrary functions in a such way that the measured electricand magnetic fields remain invariant. As we will see, this feature is deeply connected with the localconservation of electric charge.

We start again with the Scrodinger Lagrangian as written in eq. (1.49):

L(, , , ) = 12m

i2

t

t

+V (1.78)

= 1

2mi

i i2

(0 0) +V .

This Lagrangian is not invariant under local phase changes of the wave function:

=

ei(x)

=

ei(x)

+ei(x)

=ei(x) (i(x)) +ei(x)

=ei(x) [i(x) +] . (1.79)

In order to have a new Lagrangian invariant under local phase changes, or local gauge transformations,we need to introduce a new term to compensate for the term arising from the derivate ofei(x):

D

D

=(+X) ei(x)=ei(x) [i(x) +] +X ei(x)

=ei(x)

i(x) ++X

. (1.80)

The transformation condition of the new termX, in order to compensate for the term arising fromthe derivative of the local phase, i(x), is just that

X X= X i(x) . (1.81)

Replacing back in Eq. (1.80) we have

D

(D

) =D

=(

+X

) ei(x)=ei(x) [i(x) ++X i(x)] =ei(x) [+X]

=ei(x) (D) . (1.82)


23/259


Note thatD transforms like the field , and because of this is called the covariant derivative of. Similarly

(D) (D)=(+X)

ei(x)

=i(x) ++X+i(x)ei(x)

=

+X

ei(x)

= (D) ei(x) . (1.83)

It is convenient to redefine X in terms ofA:

A 1

iqX , (1.84)

such that the covariant derivative can be conveniently written as

D= +iqA . (1.85)

The transformation properties ofA can be obtained from the X transformation in eq. (1.81):

iqAiqA= iqA i(x)A

A

= A

1

q(x) . (1.86)

We define local gauge invarianceas an arbitrary way of choosing the complex phase factor of acharged field1 at all space time points.

In this way, we can change the original Lagrangian for a new one which is invariant under localphase transformations:

L(, , , , A) = 12m

(Di) Di i2

[D0 (D0) ] +V(x). (1.87)

where

A A= A 1

q(x) . (1.88)

1like the electron field as described by the usual Scrodinger equation.


24/259

1.4. NOTACI ON RELATIVISTA 17

This is just the gauge transformation which left the Electromagnetic fields invariant. In fact, the

new Lagrangian is now invariant under the local phase transformations

L L= 12m

(Di)(Di) i2

(D0) (D0)

+V(x)

= 1

2m(Di)ei(x)ei(x) (Di)

i2

ei(x)ei(x) (D0) (D0)ei(x)ei(x)

+ei(x)ei(x)V(x).

=L . (1.89)

To preserve invariance one notices that it is necessary to counteract the variation of withx,y ,z, andt by introducing the electromagnetic field A. In this way, the electromagnetic interaction isobtained as the result of impose local gauge invariance under U(1) (local phase transformations). Tofully implement the gauge principle, i.e, the paradigm to obtain the interactions as the result of thegauge invariance, we need to introduce some concepts of special relativity to be developed below.

1.4 Notacion relativista

Las transformaciones de Lorentz se definen como la transformaciones que dejan invariante al productoescalar en el espacio de Minkowski definido como

a2 =gaa

aa

=a02

aiai =a0

2

a

a (1.90)

donde , = 0, 1, 2, 3, i = 1, 2, 3 y se asume suma sobre ndices repetidos. Ademas

a ga (1.91)

Finalmente la metrica usada se define como

{g} =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0

1

(1.92)

donde{g} denota la forma matricial del tensor g.El producto de dos cuadrivectores se define en forma similar como

ab =ga

b =a0b0 a b (1.93)


25/259


El inverso de la metrica es

{g

} {g}1

= {g} (1.94)tal que

gg= and a

=ga (1.95)

Bajo una transformacion de Lorentz.

a a =a (1.96)a a=a

La invarianza del producto escalar en ec. (1.93)

ab=ab

ga

b

=ga

b

ga

b =ga

b

gab =ga

b , (1.97)

da lugar ag=

g

or {g} = {}T {g}

. (1.98)

En notacion matricial

g= Tg . (1.99)

From eq. (1.98) we also have

gg=gg

=, (1.100)

or

=

. (1.101)

Since 1

= (1.102)

the inverse of is 1

= , (1.103)

or 1

= , (1.104)


26/259


Example: Lorentz invarianceab ab =abp

=a

bp

=

1

abp

=abp

=ab .

Como un ejemplo de Transformacion de Lorentz considere un desplazamiento a lo largo del eje x

{x} = t

xyz

t

xy

z=

t+vx1v2x+vt

1v2yz

= cosh sinh 0 0

sinh cosh 0 00 0 1 00 0 0 1

t

xyz

= {} {x} , (1.105)donde

cosh = sinh =v, and = 11 v2 . (1.106)

y, por ejemplo:

t cosh +x sinh =(t+vx) = t+vx

1 v2 . (1.107)

El

definido en la ec. (1.105) satisface la condicion en ec. (??),

Tg =

cosh sinh 0 0sinh cosh 0 0

0 0 1 00 0 0 1

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1


0 0 1 00 0 0 1

=


0 0 1 00 0 0 1


0 0 1 00 0 0 1

=cosh2

sinh2 cosh sinh

cosh sinh 0 0

cosh sinh cosh sinh sinh2 cosh2 0 00 0 1 00 0 0 1

=g (1.108)


27/259


Denotaremos los cuadrivectores con ndices arriba como

a = (a0, a1, a2, a3) = (a0, a) (1.109)

Entonces el correspondiente cuadrivector con ndices abajo, usando la ec. (1.91), es

a= (a0, a1, a2, a3) = (a0, a1, a2, a3) = (a0, a). (1.110)

Con esta notacion, el producto escalar de cuadrivectores puede expresarse como el producto escalarde los dos vectores de cuatro componente a ya.

1.4.1 Ejemplos de cuadrivectores

x =(x0, x1, x2, x3) = (t,x,y,z) = (t, x) (1.111)

p =(p0, p1, p2, p3) = (E, px, py, pz) = (E, p) (1.112)

De la relatividad especial tenemos que

E=m

p=mv . (1.113)

Por lo tanto, ya que v2

=v2

= |v|2

E2 p2 =2m2(1 v2) =m2 . (1.114)

El invariante de Lorentz asociado a p corresponde a la ecuacion de momento energa una vez seidentifica la masa de una partcula con su cuadrimomentum

p2 =pp =m2 =E2 p2 (1.115)

De [?]

The intuitive understanding of this equation is that the energy of a particle is partiallydue to its motion and partially due to the intrinsic energy of its mass. The applicationto particle detectors is that if you know the mass of a particular particle, or if its goingso fast that its energy and momentum are both huge so that the mass can be roughlyignored, then knowing the energy tells you the momentum and vice versa


28/259


Parap= 0, es decir cuando la partcula esta en reposo se reduce a la famosa ecuacion E=mc2

(c= 1)Del electromagnetismo tenemos

J = (J0, J) = (, J) (1.116)

A = (A0, A) = (, A) (1.117)

Del calculo vectorial

x

=

x0,

x1,

x2,

x3

=

x0,

x1,

x2,

x3

=

t

,

x

,

y

,

z=(0, ) = (0, ) (1.118)=

x =

t,

x,

y,

z

= (0,) (1.119)

Por consiguiente:

=

x (1.120)

Producto escalar:

ab =gab

=a0b0 a1b1 a2b2 a3b3 =a0b0 aibi =a0b0 a b (1.121)Entonces

a =

a0

t + a (1.122)

La ecuacion de continuidad J = 0 es un invariante bajo transformaciones de Lorentz: J

=J

= 0 El operador cuadratico es, usando la ec. (1.90)

=00 2 = 2

t2

2

x2

2

y2

2

z2 (1.123)

Los operadores de energa y momentum de la mecanica cuantica tambien forman un cuadrivector

p

= (p0

,p) = (H,p) (1.124)conH, y pdados en la ec. (1.75). Entonces

p =i =i(0, i) =i(

t, ) (1.125)


29/259


Las derivada covariante en la ec, (1.85) es en terminos de componentes:

D0 =0+iqA0Di =i iqAi . (1.126)

Definiendo D de la misma forma que el gradiente, tenemos

Di =i+iqAiD = +iqA . (1.127)

Podemos definir el cuadrivector

D=(D0,D)=(0,) +iq(A0, A)=(0, i) +iq(A0, Ai)=(0, i) +iq(A0, Ai)

=(0+iqA0, i+iAi)

=(D0, Di)=(D0, Di) , (1.128)

donde hemos usado

Di= i+iqAi . (1.129)Ademas A tiene la transformacion gauge

A A= A + A0 A0= A0 t (1.130)En notacion de cuadrivectores

A A =

A0 t

, A +

=

A0

t, Ai +i

=

A0 0, Ai i=

A0, Ai

0, i

A A =A . (1.131)Note that the eq. (1.131) can be written as

A A= A (x) (1.132)which is just the transformation obtained in eq. (1.88).


30/259


1.4.2 Lorentz tranformation for fields

The scalar field is defined by their properties under Lorentz transformation. In section 1.1.3 westudy the behavior of one scalar field under a spacetime translation. Under a general Lorentztransformation

x x = x , (1.133)Now we will study the effect of a Lorentz tranformation on the field (x), for example under a boost.By definition the scalar field does not change by the Lorentz transformation, the functional form isunaltered the scalar field still satisfy

(x) (x) =(x) . (1.134)By using eq. (1.133) we have

(x) =(1x) . (1.135)

Therefore, for an arbitrary space-time point we have that the scalar field transforms under a Lorentztransformation as

(x) (x) =(1x) . (1.136)In order to check the Lorentz invariance of the scalar we need to obtain the Lorentz transformation

properties for . It is convinient to invert eq. (1.133)1

x =

1

x

=x

=x , (1.137)

1

x =

1

1

x, (1.138)

or

1

x = 1 1x, (1.139)and the defintion of the Lorentz transformation itself:

g =

1

g

1

. (1.140)


31/259


From eq. (1.139) we can obtain the Lorentz transformation for = /x:

x

=1

x

=

1

, (1.141)

The field A(x) transforms simultaneously as field and as vector under Lorentz transformation

A(x) A(x) = A(1x) . (1.142)

1.5 Vector field Lagrangian

We are now are in position to answer the following question: What is the most general Lagrangianfor a the fourcomponents field A compatible with Lorentz invariance and the gauge transformation

A A =A (x) ? (1.143)Definiendo

F =A AG =A +A

El Lagrangiano que da lugar a una Accion invariante de Lorentz para el cuadrivector A es, hasta

derivadas totales y potencias en los campos de hasta dimension 4:

L = 14

FF14

GG JA+12

m2AA+1A(x)A(x)A

(x) +2AAA

A

+3F(x)A(x)A(x) +4G

(x)A(x)A, . (1.144)

Ejercicio: Show that terms like A(x)A(x), and hence FF, transforms asA

1x

A

1x

(1.145)

Hint: use the Lorentz transformation properties of in eq. (1.141).

In the case ofJA:

J(x)A(x) gJ(x)A(x) =gJ

1x

A 1x

=gJ

1x

A

1x

=gJ

1x

A

1x

, (1.146)


32/259

1.5. VECTOR FIELD LAGRANGIAN 25

in the case A(x)A(x)A

(x):

A(x)A(x)A(x) A(x)A(x)A(x) =1A 1xA 1xA 1x=A

1x

A

1x

A

1x

=A

1x

A

1x

A

1x

,

(1.147)

and similarly for the other terms. Under a Lorentz transformation the full Lagrangian transform as

L(x) L(x) = L(1x) (1.148)Since the Action involves the integration over all the points, it is invariant under the Lorentz transfor-mation. TheJ(x) does not involves the introduction a new vector field, because it will be identifiedlater as the 4current.

Terms like

KA(x)A(x)A

(x) , (1.149)

(forKconstant) are not Lorentz invariant:

KA(x)A(x)A

(x) KA(x)A(x)A(x) =KA

1x

A

1x

A

1x

. (1.150)

K(x)A(x)A(x)A

(x) is Lorentz covariant but not gauge-invariant (see below).Bajo la transformacion gauge (1.132)

F

F

=(

A

A

)=A A +=A A +=F (1.151)

Si queremos que la Accion refleja las simetras de las ecuaciones de Maxwell debemos mantenersolo los terminos del Lagrangiano para A en (1.144) que sean invariantes hasta una derivada total.Bajo una transformacion gauge, cada uno de los terminos

14

GG+1

2m2AA + 1A

AA+ 2A

AAA+ 3F

AA+ 4GAA+ K(x)A

AA

dan lugar a un L = (algo) y la Accion no es invariante bajo la transformacion gauge. Para losterminos restantes

L = 14

FF JA , (1.152)


33/259


usando la ec. (1.166), tenemos

L = L L = 14

FF JA+14FF+ J

A

= JA+J(x) JA=(J

) (J)(x) (1.153)For the action

S=

d4x [(J

) (J)(x)]

=

d4x(J

)(x)

= d3x

dt(J)(x) . (1.154)

In order to have S= 0 we need to assume for the while that J = 0. However we will see that

this is just a self-consistent condition.In summary, if the electromagnetic current is conserved, then the Lagrangian is invariant under

the gauge transformation (1.143). Note that the Lagrangian density is not locally gauge invariant.However, the action (and hence the theory) is gauge invariant.

Por lo tanto, el Lagrangiano

L = 14

FF JA (1.155)

es el mas general que da lugar a una Accion invariante de Lorentz e invariante gauge local.The definition ofF already includes the homogeneous Maxwell equations. To see this we note

first that the only non-zeroF components are

F =

F0 =Fi0 = 0

Fl =Fml = l(1.156)

For = 0 we have

Fi0 =iA0 0Ai

= (

A0

xi Ai

x0 )

= ( A0

xi +

Ai

x0)

=Ei (1.157)


34/259


where

E= At

. (1.158)

while for =l we have

Fml =mAl lAm= (ljmi limj)iAj= (ljmi limj)iAj= (limj ljmi)iAj

= (limj

ljmi)Aj

xi

=lmkijkAj

xi

=lmk( A)k=lmkB

k , (1.159)

where

B= A . (1.160)Then we have

{F} =

0 E1 E2 E3E1 0 213B

3 312B2

E2 123B3 0 321B

1

E3 132B2 231B

1 0

=

0 E1 E2 E3

E1 0 B3 B2E2 B3 0 B1E3 B2 B1 0

. (1.161)From eqs. (1.158), and (1.160)

E= t A

= Bt

,


35/259


and

B= ( A)= 0

which are just the homogeneous Maxwell equations. Therefore the expression

F =A A. (1.162)with the{F} given in (1.161), is just an equivalent form for the homogeneous Maxwell equations.The remaining Maxwell equations can be obtained from the Euler-Lagrange equations for A:

Con miras a calcular las ecuaciones de Euler-Lagrange para el Lagrangiano en ec. (1.155), tenemos

FF =(A A)(A A)=AA AA AA+AA=gg(AA AA AA+AA).

Entonces

(A)FF =g

g(A+A A A A A+ A+A).

=ggA+ggA ggA ggA

ggA ggA+ggA+ggA=A +A A A A A +A +A=4(A A)

(A)FF = 4F

(1.163)

Usando la ec. (1.163), tenemos

L

(A)

L

A= 0

14

(A)

(FF)+J AA

= 0

F+J= 0F

=J. (1.164)


36/259


Como era de esperarse una Accion invariante de Lorentz e invariante gauge local, expresada en

terminos del Lagrangiano (1.155), da lugar a la Teora Electromagnetica.Tomando la derivada con respecto a en ambos lados tenemos

F =J

. (1.165)

De la parte izquierda de esta ecuacion tenemos

F = 12(F

+F)

= 12(F

+F) intercambiando ndices mudos

= 12(F

+F

) conmutando derivadas= 1

2(F

F) usando antisimetra de F= 0 ,

Por consiguiente, la cuadricorriente J es conservada:

J = 0 . (1.166)

Again, for = 0, we have

F0 =J0

iFi0 =J0

xiFi0 =J0

Ei

xi =J0 , (1.167)

and therefore

E= . (1.168)

while for =k we have


37/259


Fk =Jk

iFik +0F

0k =Jk

iFki 0Fk0 =Jk

(ikjBj)

xi E

k

t =Jk

ijkBj

xi E

k

t =Jk

( B)k Ek

t =Jk. . (1.169)

and therefore

B Et

=J . (1.170)

In this way the expression

F =J where F =A A , (1.171)

is completely equivalent to the full set of Maxwell equations:

B= 0,

E +

B

t

= 0 (1.172)

E= , B Et

=J . (1.173)

1.5.1 Energa del campo electromagnetico

Necesitamos la expresion para F,

F=ggF

F0i = F0=g00gijF

0j = F0i para = 0Fij =Fi=gikgjlF

kl =Fij para = i(1.174)

De la ec. (1.39), se tiene

T = L

(A)(A) L

= F(A) L (1.175)


38/259


La energa del campo, corresponde a la componenteT00 :

T00 = F0(0A) L= F0(0A) +1

4FF+J

A

Usando las ecuaciones (??), (??), (1.174)

T0

0 = F0

(0A) +

1

4F

F+ J

A

= F0(0A) +14

=0 F0F0+

1

4

=i FiFi+J

A

= F0A0 F0F0+14

F0F0+1

4FiFi+J

A . (1.176)

Tenemos dos partes

F0F0+14

F0F0+14

FiFi= Fi0Fi0+14

Fi0Fi0+14

=0 F0iF0i+14

=j FjiFji= Fi0Fi0+1

4Fi0Fi0+

1

4Fi0Fi0+

1

4FjiFji

= 12

Fi0Fi0+1

4FjiFji . (1.177)

Ademas

F0

A0+J

A= (A0F0

) +A0F0

+J

A= (A0F0) A0F0 +JA= (A0F0) A0J0 +JA= i(A0F0i) J A . (1.178)


39/259


Entonces

T00 = i(A0F0i) 1

2Fi0Fi0+

1

4FjiFji J A

= i(A0F0i) +12

Fi0Fi0 +1

4FjiFji J A, suma tambien sobre i, j

=1

2EiEi +

1

4ijkB

kijlBl +i(A0E

i) J A, suma tambien sobre i, j

=1

2E2 +

1

2klB

kBl + (A0E) J A

=1

2E2 +

1

2B2 + (A0E) J A (1.179)

Entonces, en ausencia de corrientes

H =12

E2 +1

2B2 + (A0E) . (1.180)

Similarmente la densidad Lagrangiano puede escribirse como

L = 14

FF=1

2 E2 B2

(1.181)

En vista a la ec. (1.176), ya que la densidad Lagrangiana esta definida hasta una derivada total,como (A0E) =(A0F0), la densidad Hamiltoniana tambien estara definida hasta una derivadatotal. De hecho, el Hamiltoniano es

H=1

2

V

d3x (E2 + B2) +

V

d3x (A0E)

=1

2

V

d3x (E2 + B2), (1.182)

y corresponde a la expresion conocida para la energa del campo electromagnetico. Hemos usado elhecho que en ausencia de corrientes todo lo que entra a un volumen debe salir y por consiguiente lasintegrales sobre el volumen de la divergencia de cualquier vector es cero.

Similarmente el momentum total del campo, en ausencia de corrientes, corresponde al vector de


40/259

1.6. SCRODINGER EQUATION IN PRESENCE OF THE ELECTROMAGNETIC FIELD 33

Pointing:

T0i = L

(0A)iA

= F0iA= F0j(iAj jAi) F0jjAi= F0jFij F0jjAi= F0jFij j(F0jAi) + (jF0j)Ai=EjjikB

k +j(EjAi) + (J

0)Ai

= (E B)i (AiE) Ai (1.183)

En ausencia de cargas y corrientes

Pi = V

d3x T0i =

V

d3x (E B)i +V

d3x (AiE)

P=

V

d3x (E B) . (1.184)

1.6 Scrodinger Equation in presence of the electromagnetic

fieldOnce we have established the set of fields, as in this case , , and A, we should write the mostgeneral Lagrangian. Therefore

L(, , , , A) = 12m

i

(Di) Di i2

[D0 (D0) ] +V(x) 14

FF JA.(1.185)

If we further assume that all interactions are obtained from the covariant derivative, then we

need only consider the free Lagrangian of each field, but with the normal derivative replaced by thecovariant one:

L(, , , , A) = 12m

i

(Di) Di i2

[D0 (D0) ] 14

FF. (1.186)


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The expansion of the Lagrangian in terms of the field ,, and A is

L = 12m

i

(i+iqAi)(i+iqAi) i

2[(0+iqA0) (0+iqA0) ] 1

4FF

= 1

2m

i

(i iqAi) (i+iqAi) i

2[(0+iqA0) (0 iqA0) ] 1

4FF

= 1

2m i i

i iqAii+iqiAi+q2AiAi

i2

[0+iqA0 (0)+iqA0] 14

FF

= 1

2m

i

i


i2

[0 (0)+ 2iqA0] 14

FF. (1.187)

By using the sum convention upon repeated indices we have

L = 12m

i


i2

[0 (0)+ 2iqA0] 14

FF. (1.188)

From this we can obtain the Euler-Lagrange equation for each field.


42/259


1.6.1 Euler-Lagrange equation for

In particular for we have

L

()

L

=0

0

L

(0)

+i

L

(i)

L

=0

i

20 1

2mi

i+iqAi 1

2m

iqAii+q2AiAi i2

(0+ 2iqA0)

=0

i0

qA0

1

2m i i+iqAi+iqAi i+iqAi=0i(0+iqA0) 1

2m(i+iqAi)(

i+iqAi) =0

iD0+ 12m

i

DiDi=0 , (1.189)

If we define

D iqA . (1.190)

we have in components:

Di= i iqAiDi= i+iqAi . (1.191)

Then we have the new wave equation:

iD0= 12m

D D

iD0= 12mD2 , (1.192)

que corresponde a la ecuacion de Scrodinger con la derivada normal reemplazada por la derivadacovariante.


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Expandiendo esta ecuacion tenemos

it

+ iqA0 = 1

2mi

(i+iqAi)2

i

t qA0

= 1

2m

i

(i iqAi)2i

t q

= 1

2m( iqA)2H q = i2

2m( iqA)2

= 1

2m(i +qA)2

= 1

2m(i qA)2

= 1

2m(p qA)2 . (1.193)

In this way, the Scrodinger equation in presence of the electromagnetic field, can be obtained fromthe original Scrodinger equation but with the minimum substitution:HH q p p qA . (1.194)

De la ecuacion (1.193) podemos obtener la ecuacion de Schodinger en presencia de un campo

electromagnetico

i

t=

1

2m(i qA)2 +qA0

. (1.195)

Para que la mecanica cuantica sea consistente con las ecuaciones de Maxwell es necesario que lastransformaciones gauge (1.86) de los potenciales de Maxwell esten acompanados por una transfor-macion de la funcion de onda, , donde satisface la ecuacion

iD0= 12m

D2

i

t = 12m(i qA)2 +qA0 . (1.196)Como la forma de la ecuacion (1.196) es exactamente la misma que la forma de (1.195) entoncesambas describen la misma fsica. Se dice que la ec. (1.195) es covariante gauge, lo que significa quemantiene la misma forma bajo una transformacion gauge.


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Ejemplo:Demuestre que la ec. (1.196) es covariante:Como

= ei(x) (1.197)Entonces

D= [( iqA) i] ei(x)

=i()ei(x)+ei(x) iqAei(x) i()ei(x)=ei(x)( iqA)

=ei(x)

(D

) (1.198)

y

D2= D(D)

= [( iqA) i] ei(x)(D)=i()ei(x)(D) +ei(x)(D) iqAei(x)(D) iei(x)(D)=ei(x)( iqA)(D)=ei(x)(D2) (1.199)

De la misma maneraD0= ei(x)(D0) (1.200)

De modo queD D= ei(x)(D) (1.201)

y la derivada covariante del campo transforma como el campo. Tenemos entonces que

iD0= 12m

D2

iei(x)D0= 12m

ei(x)D2

iD0= 12m

D2 (1.202)

En resumen, paraD = +iqA (1.203)


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y reemplazando q tenemosA A= A (x)

= eiq(x)D D= eiq(x)(D) . (1.204)

En esta convencionqcorresponde algeneradorde la transformacion y al parametro de la transfor-macion.

1.6.2 Euler-Lagrange equation forA

Para el campoAtenemos

L(A)

LA

= 0 . (1.205)

Usando el Lagrangiano en (1.187) y el resultado de (1.164) tenemos

(F) LA

= 0

que da lugar a dos conjuntos de ecuaciones, una para Ai

(Fj) +

LAj

=0

(Fj

) 1

2m [iq(i

) iq(i

) + 2q2

Ai

] =0

(Fj) iq

2m[(i) (i) 2iqAi] =0

(Fj) iq

2m[(i) iqAi (i) iqAi] =0

(Fj) iq

2m{[(i iqAi)] (i +iqAi)} =0

(Fj) iq

2m[(Di) Di] =0 , (1.206)

y otra para A0

(F0) + L

A0=0

(F0) +q=0

(1.207)


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Entonces

F =j

con

j =

q = 0iq

2m [(Di) Di] =i(1.208)

Que incluye el termino corriente para una partcula cargada y es diferente de la corriente de proba-bilidad en ec. (1.57). En otras palabras es la carga electrica la que se converva localmente.

1.6.3 Conserved currents

The 4-current can be obtained directly from the Noethers Theorem:

J =L

+ L

=

L0

+ L0

= 0Li

+ Li = i. (1.209)

J0 = i2

(iq) iq i2

=q , (1.210)

Ji = 1

2m[(i iqAi) iq iq(i+iqAi) ]

Ji =iq

2m[(Di) (Di)] . (1.211)

When is fixed to 1 as in ec. (1.57) to define the probability, we get eq. (1.465).It is worth to notice that for T00 , andT

0i we should obtain

H=it

q p= i qA . (1.212)


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1.7 Gauge Transformation Group

Ejemplo:Muestre que los campos electromagneticos son invariantes bajo las siguientes transformaciones

A A= A + = t

(1.213)

Ya que

E E= + t A

t

t= E (1.214)

B B= A +

= 0=B (1.215)

Esto implica que diferentes observadores en diferentes puntos del espacio, usando diferentescalibraciones para sus medidas, obtienen los mismos campos. Las ecs. (1.213), corresponden atransformaciones gauge locales

En notacion de cuadrivectores

A A =A (1.216)

SeaUun elemento del Grupo de Transformaciones U(1):

U=ei(x) U(1) (1.217)El Grupo esta definido por el conjunto infinito de elementos Ui= e

i(xi). Entonces

Producto de GrupoU1 U2= ei[(x1)+(x2)] ei(x3) U(1)

Identidad:(x) = 0 tal que UI= 1

Inverso

(x) = (x) tal que U1 =ei(x)

Note que si

A A =U A U1 + iq

(U)U1 (1.218)


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1.8. PROCA EQUATION 41

y si es suficientemente pequeno

U=ei(x) 1 +i(x) + O(2) U1 =ei(x) 1 i(x) + O(2) (1.219)Entonces

A=[1 +i(x) + O(2)]A[1 i(x) + O(2)] + iq

(i(x))[1 +i(x) + O(2)][1 i(x) + O(2)]

=A 1q

(x) + O(2) (1.220)

which is just the eq. (1.86)

1.8 Proca Equation

Consideraremos ahora el efecto de adicionar un termino de masa a la teora de Maxwell. Los camposvectoriales masivos juegan un papel importante en fsica. Campos como W, Z que median lasinteracciones debiles son ejemplos de campos de este tipo. Las implicaciones de una masa finita parael foton pueden inferirse de un conjunto de postulados que hacen de las ecuaciones de Proca la unicageneralizacion posible de las ecuaciones de Maxwell [?].

Teniendo en cuenta solo el termino de masa en la ec. (1.155)

L = 14

FF+1

2m2AA JA. (1.221)

Usando las ecuaciones de Euler-Lagrange, tenemos

14

(A)FF

A

1

2m2AA JA

= 0

F+m2A =J. (1.222)

Tomando la cuadridivergencia a ambos lados de la ecuacion y usando la ec. (??), tenemos

A A +m2A =J

A A +m2A =J

m2A =J (1.223)

De este modo, en ausencia de corrientes, la ecuaciones de Proca dan lugar a la condici on de Lorentz.De otro lado, si asumimos que la corriente se conserva, la condicion de Lorentz tambien aparece. Porconsiguiente, si la masa de campo vectorial es diferente de cero, la condici on de Lorentz, ec. (??),


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emerge como una restriccion adicional que debe ser siempre tomada en cuenta. De este modo la

libertad gauge de las ecuaciones de Maxwell se pierde completamente en la ecuaciones de Proca, quesin perdida de generalidad se pueden reescribir, usando A = 0 y las ec. (1.222), como:

F+m2A =J

A A +m2A =J

( +m2)A =J (1.224)

donde esta definido en la ec. (1.123). En ausencia de corrientes, cada una de las componentes delcampo vectorial satisface la ecuacion de Klein-Gordon (??). Por consiguiente m corresponde a lamasa del campo vectorialA.

Aplicando la condicion de Lorentz a la ec. (1.221), obtenemos el Lagrangiano de la Ecuacion de

Proca (1.224)

L = 14

FF+1

2m2AA JA

= 14

(AA+ AA AA AA) +1

2m2AA JA

=1

2AA1

2m2AA+ J

A, (1.225)

donde hemos reabsorbido un signo global que no afecta las ecuaciones de movimiento. El primertermino que incluye solo derivadas de los campos es llamado termino cinetico y dependen solo delespn de las partculas. El termino cuadratico en los campos corresponde al termino de masa, y el

ultimo corresponde a la interaccion del campo con una corriente. Cuando un Lagrangiano contienesolo terminos cineticos y de masa diremos que el campo que da lugar al Lagrangiano es libre deinteracciones, o simplemente que es uncampo libre. Las otras partes del Lagrangiano seran llamadasLagrangiano de Interaccion. De este modo podemos reescribir el Lagrangiano (1.225) como

L = Lfree+ Lint,donde,

Lfree= 12

AA12

m2AA

Lint= J

A. (1.226)

Debido a que la teora masiva ya no es invariante gauge, la condicion de Lorentz aparece au-tomaticamente como la unica restriccion apropiada sobre el campo vectorial.

Una vez se toma en cuenta la condicion de Lorentz el campo masivo libre puede expandirse enondas planas con tres grados de libertad independientes de polarizacion. Dos de estos corresponden


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1.9. KLEIN-GORDON EQUATION 43

a los dos estados transversos que aparecen en las ondas electromagneticas (A1,A2), y el tercero (A3)

corresponde a un estado longitudinal en la direccion del momento de la partcula [?].Aunque hemos hecho el analisis de la ecuacion de Proca permitiendo un termino de masa parael foton, las implicaciones experimentales de una teora de este tipo dan lugar a restricciones muyfuertes sobre la masa del foton[?]. El lmite actual sobre la masa del foton es m < 6 1017 eV(1.1 1052 Kg) [?]. Debido al principio gauge local, desde el punto teorico se espera que la masa delfoton sea exactamente cero. En general, los campos vectoriales puede ser generados a partir de otrascargas no electromagneticas y pueden ser masivos. El reto durante varias decadas fue entender comolas masa de los campos vectoriales de la interaccion debil podra hacerse compatible con el principiogauge local.

1.9 Klein-Gordon EquationDe la componente escalar de la ecuacion de Proca, (1.225), obtenemos la ecuacion de KleinGordonpara un campo escalar real = A0,

L =12

12

m22 + (1.227)

Donde es la densidad de carga que actua como fuente del campo . El Lagrangiano mas generalposible que cuya accion sea invariante de Lorentz, para el campo escalar real (x) es

L =12

12

m22 V() , (1.228)

donde V() es alguna funcion de con operadores de dimension menor o igual a 4. Para demostrarla invarianza de Lorentz.

The kinetic part of Klein-Gordon Lagrangian transforms as

(x)(x) g(x)(x)

=g

1

1x

1

1x

=

1

g

1

1x

1x

=g

1x

1x

=

1x

1x

. (1.229)

Since(x) (x) = (1x), under a Lorentz transformation the full Lagrangian transform asL(x) L(x) = L(1x) (1.230)

Since the Action involves the integration over all the points, it is invariant under the Lorentz trans-formation.


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EjercicioDemuestre que un termino(x)a(x) . (1.231)

con a constante, no es invariante de Lorentz, de modo que en efecto, el Lagrangiano en deKlein-Gordon en (1.228) es el mas general posible (hasta terminos de interccion en(x).)

El campo puede pensarse como proveniente de una fuente de la misma manera como el campoelectromagnetico surge de partculas cargadas. Como en el caso del electromagnetismo, en estaseccion podemos considerar los campos sin preocuparnos de las fuentes. En tal caso tendremos unateora en la cual el campo escalar juega el papel de partcula mediadora de la interaccion.

Si el campo escalar se generaliza para que pueda tener otros numeros cuanticos, como cargaelectrica, entonces estos pueden ser las fuentes de las respectivas cargas y corrientes en la ecuaciones

para campos vectoriales. Esto se estudiara en la seccion??. En tal caso podramos tener por ejemploatomos formados de partculas escalares que se excitan emitiendo fotones.

La ecuaciones de Euler-Lagrange para V() = dan lugar a:( +m2)= .

2

t2 2 +m2

= . (1.232)

Con el cuadrivector (1.125) podemos construir la siguiente ecuacion

pp= m2

ii= m2= m2

2

t2 2 +m2

= 0. (1.233)

Que corresponde a la ecuacion de Klein-Gordon (??). Una expresion escrita en terminos de productosescalares de Lorentz se dice que esta en forma covariante.

De acuerdo a la ec. (1.226), tenemos

Lfree= 12

1

2m22

Lint= (1.234)

T = L

() L , (1.235)


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T00 =00 L

=(x)0(x) L=00 1

20

0 12

ii+

1

2m22

=1

2

0

0+i

ii

+

1

2m22

H =12

t

2+ ()2

+

1

2m22 . (1.236)

donde

(x) = L(/t)

=

t . (1.237)

La densidad de momentum es

T0i = L

(0)i

T0

i

=0i

T0 =

t . (1.238)

1.9.1 Complex scalars

En la seccion anterior se trabajo con un campo escalar real que solo podra describir un pion neutro.Para describir piones cargados debemos construir un campo escalar complejo. En mecanica cuanticala funcion de onda compleja puede describir parcialmente a un electron cargado. Sin embargo lafuncion de onda del electron tambien debe ser generalizada para poder dar cuenta del espn. Estocorresponde al funcion de onda de la ecuacion de Dirac en la seccion??.

De hecho, algunas consecuencias fsicas interesantes surgen si consideramos un sistema de doscampos escalares reales,1 y2, que tengan la misma masa m. Entonces

L =12

[11 12

m221] +1

2[22 1

2m222] (1.239)


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Si definimos

= 1+i2

2then (1.240)

=1 i2

2, and (1.241)

2=(1+i2)

2=(1 i2). Therefore2(+) =212( ) =2i2. Then

1=+

2 (1.242)2=

2i

. (1.243)

Reemplazando la ecuaciones (1.242) y (1.243) en la ec. (1.239), tenemos

L =14

[(+)(+) 12

m2(+)2]

+i21

4[( )( ) 1

2m2( )2]

=14

[++ 2 m2(2 +2) + 2]1

4[+

2 m2(2 +2) 2]

=1

4[4 4m2]

L = m2 (1.244)

De la ec. (1.18) de la seccion ??,

De las ecuaciones de Euler-Lagrange para , usando el Lagrangiano en ec. (1.244)

L()

L

= 0

+m2= 0

( +m2)= 0, (1.245)


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y de la ecuaciones de Euler-Lagrange para ,

( +m2)= 0. (1.246)

De este modo tanto , como , satisfacen la ecuacion de Klein-Gordon. Cada campo ademascorresponde a una partcula de masa m como en el caso de 1 y2

Estamos ahora interesado en las simetras internas del Lagrangiano. Entonces la corriente con-servada puede definida en la seccion??, eq. (1.20)

J = L

()+

L()

J =+. (1.247)

Ademas de la invarianza de Lorentz, el Lagrangiano en ec, (1.244) tambien es invariante bajo elgrupo de transformaciones U(1) definido en las seccion ??, pero con una fase constante

U=ei 1 +i.Entonces

U = ei (1 +i)

=+i. (1.248)

Entonces,

= i (1.249)

= i. (1.250)Reemplazando en ec. (1.247)

J i( ), (1.251)y

= J0 i(

t

t). (1.252)

DefinimosJ comoJ =i(

), (1.253)

Como puede ser negativo no puede interpretarse como una probalidad, como se hizo con la funci onde onda de la ecuacion de Scrodinger. Esto presento un obstaculo en la interpretacion inicial de laecuacion de Klein-Gordon. Sin embargo una vez se cuantiza el campo escalar la probabilidad de losestados cuanticos queda bien definida [?].


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1.10 Lorentz transformation of the fields

Note again, that a term like

(x)a(x) , (1.254)

does not left the Action invariant. To have a proper formulation of the quantum mechanics throughthe general equation

i

t= H , (1.255)

with some, to be determined, relativistic Hamiltonian operatorH, we should be able to build aLagrangian with temporal derivatives of order one. Therefore, the Lorentz invariant requires all thederivatives of order one.

Consider spinor fields, which transforms as

a(x) a(x) =Sab()b(1x) , (1.256)

whereS() is some spinorial representation of the Lorentz Group. We will check in next section ifa Action with a term like

a(x)aabb(x) (1.257)

could be invariant under Lorentz transformations, for some internal representation of the LorentzGroup.

In summary we have the following Lorentzs transformation properties for the fields

(x) (x) =(x) Scalar field,A(x) A =A(1x) Vector field,

(x) (x) =S()(1x) Spinor field. (1.258)

1.11 Diracs Action

The Scrodinger equation can be written as

i

t= HS , (1.259)


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1.11. DIRACS ACTION 49

where

HS= (1.260)

In order to have a well defined probabilty in relativistic quantum mechanics it is necessary thatLagrangian be linear in the time derivative, in order to obtain the general Sccodinger equation:

i

t= H , (1.261)

like the Scrodinger Lagrangian. However, this automatically imply that the Lagrangian will be alsolinear in the spacial derivatives. A pure scalar field cannot involve a Lorentz invariant term of onlyfirst derivatives (see eq. (1.254)). Therefore the proposed field must have some internal structureassociated with some representation of the Lorentz Group. Therefore we build the Lagrangian for a

field of several components

=

12...

n

(1.262)

1.11.1 Lorentz transformation

If the field is to describe the electron. it must have spin and in this way it must transform undersome spin representation of the Lorentz Group

(x) (x) =S() 1x . (1.263)One possible invariant could be the term (x)(x). However, under a Lorentz transformation weshould haveSS. As we cannot assume thatS() is unitary, the solution is to define theadjointspinor

= b . (1.264)

which transforms as

(x)

(x) = (x)b= 1xS()b , (1.265)

and,

(x)(x) (x)(x) = 1xS()bS() 1x (1.266)


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The condition that must be fulfilled for Lorentz invariance of the Action is

S()bS() =b , (1.267)

and therefore,

(x)(x) (x)(x) = 1x 1x , (1.268)and:

(x) (x) = 1x bS1()=

1x

S1() . (1.269)

A Action with a Lagrangian term linear in the derivatives, could be Lorentz invariant if, takinginto account:

(x)(x) (x)(x) =a

1x

S1ab()bc

1

Scd()d

1x

=

1x

1

S1()S()

1x

=(x)(x) , (1.270)

if the following condition is satisfied:

S1

()

S() =

. (1.271)

the most general Lagrangian for this field is

L =i m, (1.272)

Where the coefficients have been already fixed by convenience. Since the Action is real, it is convenientto rewrite this as

L =i m=

1

2 i+i m

= i2

() i

2+i

m

= i

2 i

2()

m . (1.273)


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Para que este nuevo Lagrangiano sea real se requiere que,

b= b

b2 =I

bb= (1.274)

ya que

L=

i

2b

i

2

b

mb

=

i

2b2b

i

2

b2b mb

= i

2bb

i

2b

b

m=

i

2 i

2

m

1.11.2 Corriente conservada y Lagrangiano de Dirac

De la ec. (??)

J0

= L(0) + L0=i0 (1.275)

El Lagrangiano es invariante bajo transformaciones de fase globales, U(1)

= ei i, (1.276)

de modo que

= i. (1.277)Por consiguiente

J0 =0 (1.278)

Para queJ0 pueda interpretarse como una densidad de probabilidad, se debe cumplir

b0 =I (1.279)


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La densidad de corriente es

J0 . (1.280)Que podemos interpretar como una densidad de probabilidad.

De la ec. (1.279), ya que la inversa de es unica:

b= 0 . (1.281)

se define como la adjuntade :

= 0 . (1.282)

It is convenient at this point to summarize the properties for 0:

0=0 02 =1 00 =S()0S() =0 . (1.283)

En general

J

L()

+

L

i(i) i(i)

=

(1.284)y

J =b . (1.285)

1.11.3 Tensor momento-energa

T00 = L(0)

0+0 L

0 L

=i00 L

= i

i

i+m,

= ( p +m),=0( p +m),=H, (1.286)


60/259


donde

H=

0

( p +m) (1.287)la ecuacion de Scrondinger de validez general es entonces:

i

t= H (1.288)

y, como en mecanica clasica usual

H =

H d3x. (1.289)

Ademas

T0i =

L(0)i+i

L0=i0i

= (ii) (1.290)

de modo que

p =

p d3x (1.291)

1.11.4 Ecuaciones de Euler-Lagrange

Queremos que el Lagrangiano de lugar a la ecuacion de Scrondinger de validez general

i

t= H (1.292)

con el Hamiltoniano dado en la ec. (1.289), que corresponde a un Lagrangiano de solo derivadas deprimer orden y covariante, en lugar del Hamiltoniano para el caso no relativista.

De hecho, aplicando las ecuaciones de Euler-Lagrange para el campo al Lagrangiano en ec. (??),tenemos

L

L

= 0

L

= 0

i m= 0. (1.293)


61/259


Expandiendo

i00+iii m= 0

i00 (i) m= 0,i00= ( p +m),

de donde

i02

t= 0( p +m). (1.294)

tenemos que

02

= 1. (1.295)

De la ec. (1.287)

H=0( p +m), (1.296)A este punto, solo nos queda por determinar los parametros.

La ec. (1.292) puede escribirse como i

t H

= 0. (1.297)

El campo tambien debe satisfacer la ecuacion de Klein-Gordon. Podemos derivar dicha ecuacion

aplicando el operador i

t H

De modo que, teniendo en cuenta que H/t= 0,

it

H

i

t H

= 0

it

H

i

t H

= 0

2t2

+iHt+iH

t iH

t + H2= 0

2

t2+ H2

= 0. (1.298)


62/259


De la ec. (1.296), y usando la condicion en ec. (1.295), tenemos

H2 = (0 p +0 m)(0 p +0 m)= (0 p)(0 p) +m0 p0+m20 p +m2 (1.299)

Sea

=0

i =i

i =i (1.300)

H2 = ( p)( p) +m p+m p +m2= ( p)( p) +m(+) p +m2 (1.301)

SeaA una matriz y en un escalar. Entonces tenemos la identidad

(A )2 =i

Ai2i

2+i


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Demostracion[(A )] =

ij

Ai

i

Aj

j

=ij

ij

AiAj

=

ij

ijAiAj

=

i

i2AiA

i +

ij

ijAiAj

= i i2AiAi + ii jiAjAi=

i

i2AiA

i +

i


64/259


En terminos de las matrices las condiciones en ec. (1.305) son

02 = 1i2

= 1 0i0i = i2 = 1 i2 = 1i0 +0i =

i, 0

= 0 (1.308)

De modo que i, j

= 0i0j +0j0i = 0 i =j00ij 00ji = 0 i =j

ij +ji = 0 i =ji, j= 0 i =j (1.309)

Las ecuaciones (1.308)(1.309) pueden escribirse como

{, } + = 2g1 (1.310)donde

= (0, i) (1.311)

Ademas, de la ec. (1.283)00 =. (1.312)

Cualquier conjunto de matrices que satisfagan el algebra en ec. (1.310) y la condicion en ec. (1.312),se conocen como matrices de Dirac. A se le llama espinor de Dirac.

En terminos de la matrices, el Lagrangiano de Dirac y la ecuacion de Dirac, son respectivamentede las ecs. (??) y (??)

L = (i m) , (1.313)i m= 0, (1.314)

donde= 0. (1.315)

1.11.5 Propiedades de las matrices de DiracDe la ec. (1.312)

= 00

0= 0 = 0

i= 02i = i = i . (1.316)


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Definiendo

5 = i0123, (1.317)entonces,

25 = 0123012325 = +

20 123123

25 = +123123

25 = 232325 =2233

25 =1 . (1.318)

25 =1, (1.319)

Teniendo en cuenta que 2 1y conmuta con las demas matrices, tenemos por ejemplo

53 =i01223 =

23 i012 = 3i0123= 35

52 = i0122 3 = 22 i013= 2i0123= 2551 =i0

21 23=

21 i023 = 1i0123= 15

50 =i01230= 20 i123= 05 . (1.320)

De modo que {, 5} = 0. (1.321)Expandiendo el anticonmutador tenemos

5 = 555=

Tr (55) = Tr Tr (55) = Tr

Tr = Tr , (1.322)

y por consiguienteTr = 0. (1.323)

De otro lado, si U U, (1.324)


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para alguna matriz unitaria U, entonces corresponde a otra representacion de algebra de Dirac

en ec. (1.310), ya que

{, } = U U, UU=U{, } U= 2gU U

= 2g1. (1.325)

Claramente, la condicion en ec. (1.312) se mantiene para la nueva representacion. Como 0 eshermtica, siempre es posible escoger una representacion tal que 0 U 0U sea diagonal. Como20 = 1, sus entradas en la diagonal deben ser1, y como Tr 0 = 0, debe existir igual numero de+1 que de1. Por lo tanto la dimension de0 (y de ) debe ser par: 2, 4, . . .. Para un fermion sinmasa

L =i000+i0ii= i0+iii , (1.326)

solo se requieren tres matrices 2 2 que satisfaceni, j

= 2ij , (1.327)

y por lo tanto pueden identificarse con las tres matrices de Pauli. Como en general tenemos 4 matricesindependientes, su dimension mnima debe ser 4.

Como i

=0

i

0

=i

= i

, podemos definir la representacion de paridad

0 =0, i = i , para U=0 (1.328)

1.11.6 Lorentz Group

We must build a representation of the Lorentz Group in the Dirac space ofndimensions. First, letus consider a simpler group, corresponding to the rotation group in tree dimensions. The generatorsare the angular momentum operators Ji, which satisfy the commutation relations

Ji, Jj= i

ijkJk . (1.329)

The Pauli matrices are set of matrices satisfying this commutation relations:i

2,

j

2

= i ijk

k

2 (1.330)


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donde i

1 = 0 11 0 2 = 0 ii 0 3= 1 00 1 (1.331)dividas por dos, corresponden a los generadores del Grupo. Las constantes de estructura del Grupocorresponden a ijk . Como los generadores no conmutan, SU(2) es un Grupo de Lie no Abeliano.Definiendo los generadores de S U(2) como

Ti =i2

, (1.332)

un elemento del Grupo puede escribirse como

U=eiTii

1 +iTii = 1 +i

i

2i . (1.333)

Como antes,i es el parametro de la transformacion.Las matrices de Pauli y por consiguiente Ti satisfacen

i =iTr (i) = 0 (1.334)

Ademas

det(i) = 1

{i, j} = 2ij I 2

i =ITr

ij

= 2ij

ij =iijkk+ij (1.335)

In [8]:

It is generally true that one can find matrix representations of a continuous group byfinding matrix representations of the generators of the group (which must satisfy theproper commutation relations), then exponentiating these infinitesimal representations.

For our present problem, we need to know the commutation relations of the generators ofthe group of Lorentz transformations. For the rotation group, one can work the commu-

tation relations by writing the generators as differential operators; from the expression

J= x p= x (i) , (1.336)the angular momentum commutation relations (1.329) follow straightforwardly.


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The last equation can be written as (summation of repeated indices)

Jk = [x (i)]k = iijkxij =iijkxij (1.337)

Jlm lmkJk =ilmkijkxij=i(limj ljmi)xij=i(xlm xml) . (1.338)

Involving three generators. The generalization to four-dimensions give to arise three further genera-torsJ0i:

J =i(x

x) . (1.339)

The six generators J satisfy the algebra

[J, J] =i(gJ gJ gJ +gJ) . (1.340)From[8]:

Any matrices that are to represent this algebra must obey these same commutation rules.

The exponentiation of the generators give to arise to group elements

= expiJ

2 (1.341)To find a representation of the usual boosts and rotations, consider a boost

{x} =

txyz

t

x

y

z

=

t+vx1v2x+vt

1v2yz

=


0 0 1 00 0 0 1

txyz

= {} {x} , (1.342)Since

cosh =

n=0

2n

2n! 1 + O(2)

sinh =n=0

2n+1

(2n+ 1)! + O(2) , (1.343)


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one infinitesimal boost along x is

{}xboost

1 0 0 1 0 00 0 1 00 0 0 1

. (1.344)Similarly a rotation by an infinitesimal angle = 3 along xyplane (or about the zaxis)

{}xyrotation

1 0 0 00 1 00 1 00 0 0 1

. (1.345)

In general we define the six independent LorentzGroup parameters:

0i = i0i12 = 213 32 = 23 2 13 = 311 . (1.346)

The 4 4 matrices(J) =i (

) , (1.347)

where and label which of the six matrices we want, while and label components of thematrices. These matrices satisfy the commutations relations (1.340), and generate the three boosts

and three rotations of the ordinary Lorentz 4-vectors:

i2

(J) (1.348)

= 1 +ibi +

1

2iijkr

jk , (1.349)

bi = iJi0 rjk = iJjk . (1.350)

1.11.7 Lorentz invariance of the Dirac Action

We need to satisfy the following conditions

S1()S() =

S()0S() =0 or S()0 =0S1() . (1.351)


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In order to find a representation of the Lorentz Group in terms of the Dirac matrices we propose

S() = 1 +iBi +1

2iijkR

jk . (1.352)

Instead of show the Lorentz invariance of the Dirac Action, we use the conditions derived from theinvariance, to find a representation in terms of the Dirac matrices for B i and Rjk . As a consistencycheck, the resulting representation would satisfy the Lorentz algebra. In this way, by using eq. (1.349)and (1.352), we obtain from

S1()S() = , (1.353)

that

Bi =1

20i

Rjk =1

2jk , (1.354)

which can be written in covariant form if we define

S = i4

[, ] . (1.355)

In fact, the six set of non-zero independently generators are

S0i = i40i i0= i

20i =iBi

Sij = i4

ij ji= i

2ij =iRij . (1.356)

It is worth notices that in factS satisfy the Lorentz algebra, and therefore are the generators ofthe Lorentz group elements:

S() = exp

iS

2

1 i

2S

. (1.357)

Another consistency check is

S()0S() =0 , (1.358)


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or equivalently

S()0 =0S1()1 +

i

2S

0 =0

1 +

i

2S

S0 =0S . (1.359)

Taking into account that

0 =

02

02

0 =0 , (1.360)

we have

S0 = i4

[, ] 0

= i4

,

0

=i

4

,

0

=i

4[, ] 0

=0S(1.361)

1.11.8 Diracs Lagrangian

Para una matriz de ndimensiones existenn2 matrices hermticas (o antihermticas) independientes.Si se sustrae la identidad quedan n2 1 matrices hermticas (o antihermticas) independientes detraza nula. En el cason = 2 corresponden a las 3 matrices de Pauli. En el caso de la ecuacion deDirac se requieren 4 matrices independientes, por lo tanto deben ser matrices 4 4. En efecto paran= 4 existen 15 matrices independientes de traza nula dentro de las cuales podemos acomodar sinproblemas las 4 .

De [15]:

All Dirac matrix elements will now be written in the form

(x)(x) , (1.362)

where is a 44 complex matrix. The most general such matrix can always be expandedin terms of 16 independent 4 4 matrices multiplied by complex coefficients. In short


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Matriz Transformacion Numero Escalar en Dirac1 Escalar (S) 1

5 Pseudoescalar (P) 1 5 Vector (V) 4 5 Vector axial (A) 4 5=

i2[, ] Tensor antisimetrico (T) 6

16

Table 1.1: Matrices i.

the matrices can be regarded as a 16dimensional complex vector spacespanned by 16matrices.

It is convenient to choose the 16 matrices, i, so that they have well defined transformationproperties under the Lorentz Transformations. Since the s have such properties, weare lead to choose the following 16 matrices for this basis:

En la Tabla 1.1 se muestran las matrices de traza nula con sus propiedades de transformacionbajo el Grupo de Lorentz. En la ultima se muestra el correspondiente escalar en el espacio de Dirac. Demostracion

J(x) (x)(x) (1x)S1()S()(1x)

=

(

1

x)

(1

x)=J

(1x) . (1.363)

In [15]: Problem 5.4:

5 S1()5S()= (det )5 (1.364)

The solution is in Appendix C. of Burgess book, by using

5 = i

24

(1.365)

and

det =

1

2

3

4 . (1.366)


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1.12 Electrodinamica Cuantica

Para hacer el Lagrangiano en ec. (1.313) invariante gauge local bajoU(1)Q, procedemos de la formausual. El campo transforma como

= ei(x)Q = ei(x)Q , (1.367)

donde Q es el generador de carga electrica en unidades de la carga del electron.La derivada covariante se define de manera que transforma de la misma

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