Department of Mathematics Some Problems of the...

Kingdom of Saudi Arabia

Ministry of Higher Education

Umm Al – Qura University

Faculty of Applied Sciences for Girls

Department of Mathematics

SSSooommmeee PPPrrrooobbbllleeemmmsss ooofff ttthhheee IIInnnttteeegggrrraaalll EEEqqquuuaaatttiiiooonnnsss iiinnn ttthhheee TTThhheeeooorrryyy ooofff EEElllaaassstttiiiccciiitttyyy

aaannnddd IIIttt'''sss NNNuuummmeeerrriiicccaaalll SSSooollluuutttiiiooonnnsss

A thesis Submitted by

Sharefa Eisa Ali Al-Hazmi The Department of Mathematics

in Partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of Philosophy Doctorate in Sciences

Applied Mathematics

(Elasticity and Numerical Analysis)

Supervised by

Prof. Mohamed Abdella Ahmed Abdou Professor of Applied Mathematics-Department of Mathematical

Sciences-Faculty of Applied Sciences Umm Al-Qura University

and

Dr. Fatheah Ahmed Al-Hendi Associative Professor of pure Mathematics-Girls Colleges of

Education-King Abdu-Alaziz University

1430 AH – 2009 AD

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

http://www.pdffactory.com

ةة السعوديياململكة العرب العــــــايلوزارة التعليـــــم

رىــــــــــــــــ أم الق ةــــــامعــج فرع الطالبات-العلوم التطبيقية كلية

ـاتـــــــم الريـاضيــــــقسـ

بعض مسائل املعادالت التكاملية يف نظرية املرونة وحلوهلا العددية

حبث مقدم منيفة بنت عيسى علي احلازميشر: احملاضرة

إىل قسم الرياضيات

ضمن متطلبات احلصول على درجة دكتوراه الفلسفة يف العلومتطبيقية رياضيات

ــــــرونة وحتليل عددي( )مـــــــ حتت إشراف

حممـــــد عبــد الـــــاله أمحــــد عبــــــده/ األســـــتاذ الدكــــــــتور جامعة أم القرى- كلية العلوم التطبيقية-قسم العلوم الرياضية -أستاذ الرياضيات التطبيقية

و

فتحيه بنت أمحد عبد الرزاق اهلندي/ الدكتوره البحتة املشارك بقسم الرياضيات كلية الرتبيـة للـبنات األقسام العلمية أستاذ الرياضيات

زعبد العزي امللك جامعة

م ٢٠٠٩ - ھـ ١٤٣٠



The thesis contains an introduction, five chapters, including (91) references, tables, appendix and

arabic summary.

Chapter one: contains the basic fundamental equations in the thermoelasticity, in the

presence of the heat, the displacement technique in one dimensional problem of cylindrical solid

bodies due to axi-symmetric temperature is discussed. Numerical results and discussions for the

thermal and radial stresses are considered.

Chapter two: is divided into six sections, we describe the fundamental problem for

nonlinear viscoelastic martial of a cylinder bar of elliptic cross section, where we obtain a

nonlinear Volterra integral equation of the second kind with weakly kernel. Moreover, we prove

the existence of a unique solutions by using Picard's method and Banach fixed point theorem.

Chapter three: is divided into five sections. We developed the Toeplitz matrix and the

product Nyström methods to obtain numerically the solution of the nonlinear Volterra integral

equation. Also, the errors of the two methods are analyzed. Then, we prove the existence of a

unique solution of the nonlinear algebraic system. Also, we discussed the equivalence and the

convergence of error for each method. Finally, we obtained numerical results, when the kernel

takes a logarithmic form and Carleman function.

Chapter four: is divided into eight sections. We deduce a mixed integral equation from

plane strain problem when the medium material contains a crack on one of the interface, under

certain conditions. Then, by using Banach fixed point theorem, the existence of a unique solution

is discussed. The general solution represented as a product of weight function and unknown

function which represents as a series of special orthogonal polynomials, depending on the value

of index K of the integral equation. When 0K = , we use Gauss-Jacobi formula, and for 1K = ,

we use Gauss- Chebyshev formula of the first kind. Finally, for 1K = − , we use Gauss-

Chebyshev formula of the second kind. Moreover, we use the Toeplitz matrix and the product

Nyström methods. Also, some different applications and numerical results are obtained.

Chapter five: divided into nine sections. The integro-differential equation in the

presence of time is established from a planar geometry problem of one-dimensional of the

neutron transport. Also, we used Banach fixed point theorem, to prove the existence of a unique

solution. Then, we use a numerical method obtain a system in one dimensional. Moreover, the

general solution of the linear system of first- order of differential equation is obtained with the

aid of properties of Chebyshev and Legendre polynomials. Also, the Sumudu transform and the

Trazaska's method are used to transform the linear system of first- order differential equation

into the linear algebraic system of the angular flux function. Finally, we presented some

applications to solve our problem numerically and we discussed the results.



. تتكون الرسالة من مقدمة باللغة االجنليزية وأخرى باللغة العربية ومخسة أبواب ومراجع "احلرارةة بتجويف دائري حتت تأثري صلبحتليلية وعددية ألجسام اسطوانية ةمعاجل " األوللبابا يف رونـة احلراريـة اململعادالت األساسـية يف نظريـة ا ةسارد تليها. مقدمة شملوي. فصول إىل أربعة الباب نقسمي

حتـت تـأثري جموفة سطوانيةاصلبة ألجسام دبعد واح يف سألة مل تقنية اإلزاحة مناقشة مث ، االسطوانية اإلحداثيات . الصلبةوادمللبعض ا القطري لإلجهاد احلراري و وحتليليةنتائج ومناقشات عدديةب ، مصحوبةةمتماثل درجة حرارة

"طية ومعادلة فولتريا غرياخلطيةخلزجة غريمرنة ضيب منتظم من مادة لقءمسألة االلتوا"الثاين بابال، جبانـب معادلـة لـزمن ا وجود يف للمرونة األساسية عادالت امل صياغة مث. مقدمة وحيتوي. فصولة نقسم إىل ست ي حـد حتت تأثري عملية اللـي علـى ا بيضاوي عرضي مقطع ذا اسطواين لقضيب األساسية سألة امل تصفو مث.لعزما

، ولقـد مت اة ضعيفة الشذوذنو النوع الثاين بمن طيةاخلغري التكاملية فولتريا معادلة ، واليت مثلت على شكل األطراف . نظرية باناخ للنقطة الثابتةو بيكاردطريقيت باستخدام طّيةاخل غري التكامليةفولترياعادلة مل وجود ووحدانية احللإثبات

"عددية املستخدمة حلل معادلة فولتريا غري اخلطية بنواة الشاذةبعض الطرق ال" الثالثبابال ضـرب تراصـة وطريقـة مت تطوير طريقة املصفوفة امل بعد ذلك .مقدمه حيتوي. فصول مخسة حيتوي هذا الباب على

برهنا بعـض مث. جربي من املعادالت غري اخلطية نظام حويلها اىل تل طّيةخل ا غري التكاملية فولتريامعادلة لحلنستروم باالضـافة اىل للنظام اجلربي الغري خطـي مت إثبات وجود ووحدانية احلل كما. نيتالنظريات لتحليل اخلطأ للطريق

حل تطبيقني لطريقـة املـصفوفة متايضا . طّي غري اخل والنظام اجلربي طّية غري اخل إثبات التكافؤ بني املعادلة التكاملية .الدالة اللوغارمتية، مث دالة كارملان عندما تأخذ النواة صورةم نسترو ضرب وطريقةاملتراصة نقـسم ي " من املواد ةدواملستخدمة ملعاجلة شرخ سطحي يف طبقات حمد املختلفة بعض الطرق العددية " الرابع الباب

من،يف فراغ باناخ الزمن وضعختلطة يف املو املعادلة التكاملية امل استنباط مت بعد ذلك .مقدمة يتضمن. فصول إىل مثانية إثبـات مث ت أحد الوصال يف شق على حتتوي بني طبقتني املادة املتوسطة نعندما تكو مسألة مرونة يف جمال االنفعال

ملعـادالت طريقة عددية لتحويـل ا مت استخدام بعد ذلك . وجود ووحدانية احلل باستخدام نظرية باناخ للنقطة الثابتة يف التكامليـة عادالت فردهومل مل م اخلطي إثبات وجود حل وحيد للنظا و ،يف املوضع نظام خطي التكاملية املختلطة إىل

بنواة الثاينو االول التكاملية للنوعفردهومل تمعادالحل ايضا مت . نظرية باناخ للنقطة الثابتة باستخدام Eفراغ باناخ باإلضـافة ،والثاين وع األول لناتشيبشيف من و، جلاكويب احلدودت كثريا طريقةخدام الصيغة التكاملية ل ستباكوشي،

شكل التطبيقات عندما تأخذ نواة فردهومل بعض مناقشنة مع، للنوع الثاين م ضرب نيسترو طريقيت مصفوفة التوبلز و إىل .اخلطأ لكل طريقةوحيث مت حساب النتائج العددية نواة كوشي

"تفاضليةال- التكامليةعادلةاحملولة و املمعادلة النيترونات " اخلامسالبابيف يف وجود الـزمن ليةضتفا ال- التكامليةاملعادلة مث صغنا ، ةمقدمة عام وحيتوي . فصول ةإىل مثاني نقسم ي بابهذا ال

للنقطـة نظريـة بانـاخ باسـتخدام تفاضلية ال - التكاملية معادلةلل حل وحيد وجود أثبتنا بعد ذلك .خ افراغ بان حل وجود ناتإثبو يف فراغ باناخ يف بعد واحد تفاضلية ال -ت التكاملية عادال امل منحلصول على نظام ا مت كما.بتةالثا

كحاصل ضرب دالة وزن تفاضليةال-للمعادلة التكاملية مثلنا احلل العام ايضا . اخلطأ حتليل باالضافة اىل للمسالة، وحيد اخلطية من الرتبة تفاضليةت ال ملعادال من انظام خطييث حصلنا على ل، حلنوع األو من ا تشيبشيف حدوديف كثريات

قـدمنا و .اهولة يف الدالة م جربي خطي انظ لنحصل على معا سكااترز وطريقة حمول سامودا ستخدمنا ا و. األوىل . العدديةوناقشنا النتائجددياً ع املسألةحللّ بعض التطبيقات



a

Contents

Nomenclatures General Introduction i-vi

1 Analysis and Numerical Treatments for Problem of Solid Hollow Circular

Cylinder in the Presence of Heat………..……..…………………………..…….… 1

1.1. Introduction................................................................................................................ 1

1.2. Basic Concepts of Problems.................................................................................. 2

1.2.1: Plane Stress and Strain.................................................................................... 2

1.2.2: The Equilibrium Equation in Cylindrical Coordinates…........................ 2

1.2.3: The Generalized Hook's Law…….................................................................. 4

1.2.4: Compatibility Equation of Strain in the Cartesian Coordinates……… 6

1.2.5: Compatibility Equation in Polar Coordinate with Thermal Strain....... 6

1.3. Displacement Technique in One Dimensional Problem…............................. 8

1.4. Numerical Results….................................................................................................. 15

2 Problem of Nonlinear Viscoelastic Material of Bar and the Nonlinear

Volterra Integral Equation……..………………………………….....……..……. 30

2.1. Introduction............................................................................................................... 30

2.2. Fundamental Equations of Elasticity in Three Dimensional in Presence

Time............................................................................................................................. 31

2.3. The Statement of the Viscoelastic Nonlinear Material Problem................. 34

2.4. The Solution of the Problem in the Form of Nonlinear Integral Equation.. 37



b

2.5. The Volterra Integral Equation.............................................................................. 40

2.6. The Existence of a Unique Solution of the Nonlinear Volterra Integral

Equation..................................................................................................................... 41

2.6.1: Picard Method............................................................................................... 42

2.6.2: The Banach Fixed Point Theorem............................................................ 45

3 Some Numerical Methods for Solving the Nonlinear Volterra Integral

Equation with Weakly Kernels………………….………..………..…………….… 48

3.1. Introduction….......................................................................................................... 48

3.2. Numerical Methods for Solving the Nonlinear Volterra Integral Equation

with Weakly Kernels................................................................................. 50

3.2.1: The Toeplitz Matrix Method…................................................................. 50

3.2.2: The Product Nyström Method.................................................................. 52

3.3. The Error Analysis.................................................................................................. 55

3.3.1: The Integral Equation of the Error.......................................................... 56

3.3.2: The Continuity and the Normality of the Integral Operator of Error. 56

3.4. The Nonlinear Algebraic Systems....................................................................... 58

3.4.1: The Existence of a Unique Solution for Nonlinear Algebraic of the

Toeplitz Matrix.…………………………………...…………………...….... 58

3.4.2 : The Equivalence Between the Nonlinear Volterra Integral Equation

and the Nonlinear Algebraic System of the Toeplitz Matrix.............. 63

3.4.3 : The Existence of a Unique Solution of the Nonlinear Algebraic

System of the Product Nyström Method.................................................. 65



c

3.4.4 : The Equivalence Between the Nonlinear Volterra Integral Equation

and the Nonlinear Algebraic System of the Product Nyström…….... 69

3.5. Applications and Discussions................................................................................ 70

3.6. The Conclusions...................................................................................................... 108

4 Some Different Numerical Methods for Treating the Surface Cracks in

Finite Layers of Materials……………….………..…………………………….. 110

4.1. Introduction............................................................................................................ 110

4.2. Formulation of the Problem................................................................................ 113

4.3. The Existence of a Unique Solution of the Mixed Integral Equation....... 120

4.4. The System of Fredholm Integral Equations.................................................. 123

4.5. The Existence and Uniqueness of the Solution of the System of Fredholm

Integral Equations................................................................................................... 125

4.6. The Numerical Methods for Solving Fredholm Integral Equation of First

Kind…….….…………..……………………….……..…………………………… 128

4.6.1: Gauss-Jacobi Polynomials Integration "Formula K= 0"…….............. 130

4.6.2 : Gauss-Chebyshev Polynomials Integration "Formula K =1"……... 137

4.6.3 : Gauss-Chebyshev Polynomials Integration "Formula K = -1"….... 138

4.7. The Numerical Methods for Solving Fredholm Integral Equations of the

Second Kind.......................................................................................................... 140

4.7.1: Solution by Jacobi Polynomials Integration………..….......….….… 140

4.7.2 : The Toeplitz Matrix Method................................................................... 144

4.7.3 : The Product Nyström Method................................................................ 145



d

4.8. Applications and Discussions............................................................................. 146

5 The Neutron Transport Equation and Integro-Differential Equation….. 179

5.1. Back Ground and Introduction........................................................................... 179

5.2. The Formulation of the Problem........................................................................ 182

5.3. The Existence of a Unique Solution of the Integro-Differential Equation 185

5.4. The System of Integro-Differential Equations................................................ 188

5.4.1: The Existence of a Unique Solution of the System of the Integro-

Differential Equation.................................................................................. 189

5.5. Error Analysis of Quadrature Method.........,,.................................................... 192

5.5.1: The Integro-Differential Equation of the Error………...…………..... 193

5.5.2: The Continuity and the Normality of the Integral Operator of the

Error…………………..………………...…………………………………. 194

5.5.3: Convergence of the Quadrature Method……….…………………...... 195

5.6. The Method Solution of the Integro-Differential Equation….......….....…… 196

5.7. The Sumudu Transform and the First- Order of Differential Equation.….. 200

5.8. Applications and Discussions…….…………………………….…….......…… 203

5.9. Conclusions........................................................................................................... 218

Appendices

A.1: Definitions….......................................................................................................... 219

A.2 : ………….................................................................................................................. 220

A.2-1 : The Torque Function................................................................................... 220

A.2-2 : Polyurethane Material............................................................................... 223



e

A.2-3 : Fiberglass Material............,,,,,,,,,,,,,,,,,....................................................... 224

A.3 : ………….......................................................................................................,,,........ 226

A.3-1 : Elasticity Equations in Terms of Displacement................................... 226

A.3-2 : Definitions of Jacobi's Polynomials and other relations.................... 226

A.3-3 : Definitions of Chebyshev polynomials and other relations............. 228

A.4 : ………….................................................................................................................. 230

A.4-1 : Some Properties and Relations for the Legendre Polynomials....... 230

A.4-2 : The Sumudu Transform............................................................................ 231

A.4-3 : The Trzaska’s Method............................................................................... 236

References……………………………………………………………………..………… 242

Arabic Summary



i

General Introduction

A body is called elastic if it returns to it's original shape upon the

removal of applied forces. All bodies exhibit elastic behavior under sufficiently small loads. The mathematical analysis of elastic behavior of a solid body is called the theory of elasticity.

The first name to be linked with the history of the theory of elasticity is Galileo [1564-1642]. The theory of elasticity embraces a wide field of phenomena. It contains the theory of heat conduction and the theory of stresses and strains due to the flow of heat, when coupling of temperature and strain fields occurs. The elasticity makes it possible to determine the stresses produced by the temperature field. Moreover, to calculate the distribution of temperature due to the action of internal forces which vary with the time. The elasticity may be defined as the property of returning back to the original shape and size for some bodies after removing the forces causing deformation, deals with the study of the behavior of deformable bodies. It is often assumed in this theory that the body is homogeneous, perfectly elastic. Worth mentioning, theory of elasticity is the fundamental reference for all researchers in different areas of analytic engineering, because it consists of all items of modern structural engineering, also we derive from it all rules of strain and deformation, and by the use of it we describe most of the dynamic phenomena, core of solid mechanics, various areas , such as engineering structural mechanics, materials science, geophysics and others. A problem in the theory elasticity is completely solved, when the displacement has been found in all points in the plane. We have to illustrate that the linear elasticity or (the first order elasticity) is the ability of a material to not be deformed under the effect of certain forces. But the nonlinear elasticity or (second order elasticity) is the ability of a material to be deformed under the effect of certain forces.



ii

A problem in the theory elasticity is completely solved, when the displacement has been found in all points in the plane, where we apply the principle equations of the theory of elasticity on the problem as 1-The equilibrium equations

, 0i ij jFρ σ+ = , ( ), , ,i j x y z= . (1)

2-The generalized Hook's law (The stress-strain relations) 2ij ij ije eσ µ λ δ= + , xx yy zze e e e= + + , ( ), , ,i j x y z= . (2)

3-The compatibility equations , , , , 0ij kl kl ij ik jl jl ike e e e+ − − = , , , , , ,i j k l x y z= . (3)

4- Boundary Conditions ( , , ) ( , , )i ij jT x y z x y zν σ ν= , , , ,i j x y z= . (4)

The rapid development of computer science has aroused the considerable interest of researches for the development of universal numerical methods for discussing and obtaining the solutions of the problems in the theory of elasticity with its different kinds. To solve the problems in the elasticity domain, thermoelasticity and viscoelasticity, we can use one of the following methods:

(1) Inverse method. (2) Semi inverse method. (3) Potential theory method. (4) Betti's method. (5) Integral equation methods. (6) Numerical methods. (7) Integral transformation method. (8) Complex variable method.

In this thesis, we concerned our attention for the IE methods and numerical methods. i.e. the domain of the thesis contains elastic problems of some different kinds, IEs and it's solution and different numerical methods. The thesis consists of (248) pages, including (91) references. Also, it contains an introduction, five chapters, tables, appendix and arabic summary.

Chapter one is divided into four sections. In section one, the works of some famous authors in the plane theory of elasticity are stated. In section two, the basic fundamental equations in the thermoelasticity theory



iii

in cylindrical coordinates are considered. These fundamental equations contain the following: the plane of the strain and stress, the equilibrium equations in cylindrical coordinates, generalized Hook's law, compatibility equations in rectangular coordinates. Also, we discuss the compatibility equations in polar coordinates, in presence of the external forces and thermal strain. In section three, the displacement technique in one dimensional problem of cylindrical solid bodies due to axi-symmetric temperature is discussed. Also, many special cases of this problem are discussed. In section four, numerical results and discussions for the thermal and radial stresses of hollow cylinder material are considered when the Young's module and Poisson coefficient take different values.

Chapter two is divided into six sections. In section one, we state some of the works of famous authors, in the two dimensional problem in the theory of elasticity, before the advent of computer. Also the works of some authors, in the recent years are considered, in the end of this section, we stated the formulation problem for the nonlinear viscoelastic material. In section two, we considered four basic fundamental equations in the presence of time, beside the moment equation, for the fundamental model of elasticity. In section three, we describe the fundamental problem for nonlinear viscoelastic martial of a cylinder bar of elliptic cross section, in the absence of the external forces. In section four, we reduce the nonlinear viscoelastic problem that described in section three to a NVIE of the second kind with weakly kernel. In section five, we establish special cases from the NVIE of the second kind. In section six, many theorems and lemmas are establish to prove the existence of a unique solutions of the NVIE of the second kind using Picard's method and Banach fixed point theorem.

Chapter three is concerned to discuss the numerical solution of the NVIE using two famous methods. So, it is divided into five sections. In section one, we written introduction contains some different methods to obtain the solution of the NVIE, numerically. In section two, we developed the Toeplitz matrix and the product Nyström methods to obtain numerically the solution of the NVIE with weakly kernels. In section three, some definitions and theorems for the error analysis of the two



iv

methods are stated and proved. Also, we prove that, the NIE of the error has a unique solution. Moreover, we prove that the integral operator of the error is continuous and contraction operator. In section four, after using the Toeplitz matrix and product Nyström methods, the NVIE transform into a NAS. Then, for each method, we derive some definitions and theorems, to prove the existence of a unique solution of the NAS. Also, we discussed the equivalence between the NVIE and the NAS, for each method, and we proved the convergence of error. In section five, we derive numerical results for the L(N)VIE when the kernel takes a logarithmic form and Carleman function, using Toeplitz matrix method, and product Nyström method. These numerical results are obtained after considering some materials which may be viscoelastic and nonlinear material or viscoelastic only. Also, more informations for these numerical methods are given in detail.

The new in this chapter, is the development of the Toeplitz matrix and the product Nyström methods to solve the NIE.

Chapter four is concerned to study the treatment of the cracks in finite layers of materials in the presence of time. This kind of problems leads to mixed IE (F-VIE) in position and time, where the term of Fredholm, with Cauchy kernel is considered in position, while the Volterra integral term in time. This chapter is divided into eight sections. In section one, the importance of solving the crack problems considered, and some famous papers, in this domain, are stated. All previous authors, in this domain, neglected the time. For this, we consider the problem of crack in the presence of time. In section two, we deduce our mixed IE from plane strain problem when the medium material contains a crack on one of the interface. Therefore, we derive a mixed IE from the four fundamental equations in the theory of elasticity, under certain conditions, and by using Fourier integral transform. In section three, by using Banach fixed point theorem, the existence of a unique solution of the mixed IE is discussed and proved. In section four, we use a numerical method to transform the mixed IE to a linear system of FIEs of the second kind. In section five, the existence of a unique solution of the linear system of FIEs, is discussed and proved, using Banach fixed point theorem. In section six, we presented the



v

principal procedures of the solution method of our problem where the general solution represented as a product of the weight function in the unknown function which represents a series of special orthogonal polynomials. Then, we use the orthogonal polynomials method to solve the linear system of FIEs of the first kind with Cauchy kernel, using the orthogonal polynomials, depending on the value of index K of the IE. For example, when 0K = , we use Gauss-Jacobi formula, and for 1K = , we use Gauss- Chebyshev formula of the first kind. Finally, for 1K = − , we use Gauss- Chebyshev formula of the second kind. In section seven, we discuss the solution of the linear system of FIEs of the second kind with Cauchy kernel numerically, using three different methods. The first method, we use the Jacobi orthogonal polynomials for the index 0K = . Then, we discuss, as special, the results when the index 1K = − and 1K = . Moreover, in the later of this section, we use the Toeplitz matrix and the product Nyström methods to discuss the solution of the crack problem numerically. In section eight, some different applications and numerical results are obtained. Also, many special cases are derived, and general conclusions are given.

The new in this chapter is, introducing the time [0, ],t T T∈ < ∞ to IE with Cauchy kernel to obtain a mixed IE with two separately kernels, one of them depends on position and the other on time.

Chapter five is concerned to discuss the solution of an I-DE with continuous kernel. The I-DE is established from the nuclear transport equation which is a linearized derivative of the equation developed by Boltzmann for the kinetic theory of gases. This chapter is divided into nine sections. In section one, back ground of the importance of neutron transport equation is written in detail. Also, general introduction of some methods for solving the neutron transport equation is represented. In section two, the basic equation and boundary conditions for the formulation of the problem are stated, then the I-DE in the presence of time is established from a planar geometry problem of one-dimensional of the neutron transport equation in the space 2 ([ 1,1] [0, ]) [0, ]L a C T− × × ,T < ∞ , and some special cases are derived and considered. In section three, we used Banach fixed point theorem, under certain conditions, to prove the



vi

existence of a unique solution of the mixed I-DE. In section four, we use a numerical method to divide the time interval [0, ],T T < ∞ , and obtain

a system of I-DEs in one dimensional in the space 2 ([0, ] [ 1,1])L a × − . Therefore, by using Banach fixed point theorem, under certain conditions, the existence of a unique solution of this system are proved. In section five, we analyzed the error, where we represent the error function as a mixed I-DE, then, the continuity and normality of the integral operator for the error function, are considered, in the space

2 ([ 1,1] [0, ]) [0, ]L a C T− × × , T < ∞ . Also, the convergence of the quadrature method is proved. In section six, we prove some properties for Chebyshev and Legendre polynomials, and then the general solution of the linear system of first- order of differential equation is obtained with the aid of properties of Chebyshev and Legendre polynomials. In section seven, the Sumudu transform and the Trzaska's method are used to transform the linear system of first- order differential equation into the LAS of the angular flux (unknown) function. In section eight, we presented some applications to solve our problem numerically and we discussed the results.



أ

بسم ا الرمحن الرحيم العـــــــــربيص لخـــــــامل

متلـك الـسلوك األجـسام كـلّ وعليه، ةاملؤثر ى إزالة القواألصلي بعده شكل إىلعاد مرن إذا سمىأي جسم ي تعـرف املرونـة بأهنـا خاصـية الرجـوع إىل الـشكل واحلجـم وبـذلك الـصغرية عليهـا، تأثري القـوى حتت املرن

سم جلـ املـرن يدعى التحليل الرياضي للـسلوك كما. إزالة القوى اليت سببت تشوهها سام بعد لألجاألصليني .رونة املةصلب، بنظري

ونظريـة املرونـة هتـتم ].١٦٤٢-١٥٦٤[ يف الفرتة غاليلو رونة هوريخ نظرية املا بت ارتبطاالسم األول الّذي األجسام لتأثري تلك القـوى ووضـع املعـادالت ومدى احتمال هذه،بدراسة أثر القوى املؤثرة على األجسام

. كما أهنا تبحث سلوك األجسام بعد تعرضها لتشوهات معينة ،اليت حتكم هذا األثر وحماولة حلها يتوصـيل احلـرار ال نظريـة فهـي تتنـاول ، مـن الظـواهر واسـع تتضمن جمـال رونةنظرية امل أن اجلدير بالذكر

، جمـال االنفعـال درجة احلرارة وازدواج بني حدوث سبب تدفق احلرارة، عند واإلجهاد ب االنفعالونظرية كمـا أن نظريـة املرونـة تعتـرب مرجعـاً ....وهي تفسر معظم الظواهر الديناميكية واجليوفيزيائيـة وغريهـا

. أساسياً لبعض الباحثني يف خمتلف جماالت اهلندسة التحليلية احلديثة وعلم اجلوامد :إىلنة وتنقسم املرو

وهي عدم تشوه املادة بعد وقوعها حتت تأثري قوى معينة): مرونة من الرتبة األوىل ( مرونة خطية ) ١ .وهي تشوه املادة بعد وقوعها حتت تأثري قوى معينة): مرونة من الرتبة الثانية ( مرونة غري خطية ) ٢



ب

املتقدمـة ث لتطوير الطـرق العدديـة الكبري للبحاالهتمامات م احلاسب التطوير السريع لعل احلايل أثار يف الوقت واملرونـة ، املرونة حللّ املشاكل يف جمال و. املختلفة ابأنواعهرونة امل يف نظرية املسائلحصول على حلول لل

: ميكن أن نستعمل أحد الطرق التالية، واملرونة اللزجة احلرارية

.عكوساملطريقة ) ١(

. املعكوسفطريقة نص) ٢(

.اجلهدطريقة نظرية ) ٣(

.Bettطريقة ) ٤(

.تكامليةال تعادالاملطرق ) ٥(

.عدديةالطرق ال) ٦(

.تكامليةال احملوالت قطر) ٧(

.املركب تغيراملطريقة ) ٨(

. حلـل مـسائل املرونـة التكامليـة والطـرق العدديـة تطـرق املعـادال ى علـ ركزنـا اهتمامنـا ، لرسـالة يف هذه ا تكامليـة العـادالت وامل ، واالتـصال ملسائل املرونة بعض األنواع املختلفة ةرسالحيتوي جمال ال : . ومبعنى آخر

مـشاكل العلـوم فكمـا هـو معلـوم لـدى البـاحثني أن ، مطورة و خمتلفة طرق عددية ب وحلوهلااملستنبطة منها كانــت عاديــة أم جزئيــة علــى شــكل معــادالت تفاضــلية ســواء اميكــن متثيلــه) مــسائل املرونــة( التطبيقيــة

مبختلف أنواعها و عنـدما تفـشل الطـرق التقليديـة يف حـل هـذه املـشاكل فإننـا نلجـأ إىل مـسلك املعـادالت .التكاملية

:فإذا نظرنا إىل الرسالة كوهنا ختصص يف علم املرونة فإن النظر إليها يكون بسلوكنا الطرق التالية



ج

خمتلطة يف املوضـع اواو يف الزمنادلة تكاملية سواء كانت يف املوضع و يتمثل يف استنباط مع: الطريق األول . و الزمن من مسألة املرونة اعتماداً على قواعد املرونة األربعة يف احلالة العامة

هذه الرسالة هتتم من وجهة نظر رياضية حبتة ، بدراسة معادالت تكاملية ، ومعادالت أن : الطريق الثاني بنـواة ضـعيفة الـشذوذ املعادلـة التكامليـة حـل انيـة مناقـشة وجـود و وحد من حيـث اضلية تف-تكاملية

و ذلك باستخدام طريقة بيكارد و عندما حددنا نقاط فشل طريقة بيكارد فقـد مت اسـتخدام طريقـة أكثـر . للنقطة الثابتة عمومية و هي نظرية باناخ

قتني عـدديتني يف حـل املعـادالت ييـث مت اسـتخدام أشـهر طـر ح،و هي وجهة نظر عددية : الطريق الثالث . و طريقـة ضـرب نيـسرتوم املرتاصـة ذات النـواة الـشاذة و مهـا طريقـة املـصفوفة من النوع الثـاني التكاملية

.أيضاً حال وحيداً هلا معادلة تكاملية أن اخلطأ ميثل نظريات اخلطأ و تقاربه و مت إثبات أيضاًــوي ــالة حتت ــذه الرس ــى ه ــفح) ٢٤٨ (عل ــضمن، ةص ــواب مخــس تت ــة، وأب ــة عام ــ) ٩١( ومقدم ، اًمرجع

.عربيبال ملخص و،ملحقو، وجداول ــ" األوللبـــابا ــلبحتليليـــة وعدديـــة ألجـــسام اســـطوانية ةمعاجلـ ــأثري صـ ة بتجويـــف دائـــري حتـــت تـ

"احلرارة يف النظرية ين املشهورنياملؤلفأعمال بعض تتضمن مت كتابة مقدمة،األول فصلاليف . فصولنقسم إىل أربعة ي

ــةاملـــستوية ــاني الفـــصليف . للمرونـ ــارد مت ،الثـ ــة ا ةسـ ــية يف نظريـ ــادالت األساسـ ــةملعـ ــة احلراريـ يف املرونـــطوانية اإلحــداثيات ــية ، اذ االس ــذه املعــادالت األساس ــايل علــى حتتــوي ه ــال جمــال: الت ــاد، االنفع واإلجه، ) Generalized Hook's law ( املعمــمهــوك ، قــانون االســطوانية اإلحــداثياتيف االتــزانمعــادالت االسـطوانية اإلحـداثيات يف الرتابـط معادالت نااقشأيضا، ن . الكارتيزبة اإلحداثياتيف الرتابطمعادالت



د

تقنيـة اإلزاحـة مناقشة ت مت، الفصل الثالث يف . اخلارجية واإلجهاد احلراري ى القو وجود، يف ةالقطبيوأيـضا العديـد مـن . متماثلـة درجـة حـرارة حتت تأثري جموفةسطوانيةاصلبة ألجسام دحبعد وايف سألة مل

لإلجهاد احلراري وحتليلية، نتائج ومناقشات عدديةابعرالالفصل يف . ذكرتاملسألةذه هلاحلاالت اخلاصة باسـتخدام نج ياومعامل بواسونعامل ملقيم خمتلفة اخذ عندجموفة استنتجت اسطوانيةواد مل القطريو

. (MatHmatica 4)برنامج يف مقالة بعنـوان .J. Calc. Soc ة جملر يفـــ للنشةولـــــــصل مقبــــ الفمن هذاليها عنا حصلاليت النتائج

". ملسألة جسم اسطواني صلب جموف حتت تأثري احلرارة معاجلة حتليلية وعددية " " لزجة غري خطية و معادلة فولتريا غري اخلطية مرنة قضيب منتظم من مادة لءمسألة االلتوا" الثانيبابال الثنائيـة سائلل املـؤلفني املـشهورين، يف املـ أعمـا حتتـوي مقدمـة ، األولالفـصل يف . فصولة نقسم إىل ست ي

غـري ادولمل املسألة صياغة ناذكر، فصلالهناية هذا يف . احلاسوباستخدام، قبل رونةاألبعاد يف نظرية امل ، جبانب معادلة لزمن اوجود يف للمرونة األساسية عادالت املمت صياغة ،الثاني الفصل يف . اللزجة اخلطية

بيـضاوي عرضـي مقطـع ذا اسـطواني لقـضيب األساسـية سألةصـف املـ مت و ، ثالـ ث الفصل ال يف. لعزما، الفـصل الرابـع يف. اخلارجيـة ىو، يف غيـاب القـ علـى احـد األطـراف (Tortion)حتت تأثري عملية اللـي

اة نـو النـوع الثـاني ب مـن طيـة اخلغـري التكامليةفولتريا إىل معادلة ثالثالفصل ال اليت وصفت يف دت املسألة ر للنوع غرياخلطية التكامليةفولتريا معادلة احلاالت اخلاصة منذكرنا ، مسا الفصل اخليف . ضعيفة الشذوذ

عادلـة ملثبـات وجـود ووحدانيـة احلـل إل املالحظـات النظريـات و بعضذكرنـا ، دسالفصل السا يف . الثاني نظرية ثم باستخدام " املتتالية التقريبات"طريقة بيكارد باستخدام للنوع الثاني ّطيةاخلغري التكاملية فولتريا

. ليبشتز وذلك عند حتقق شرط باناخ للنقطة الثابتة



ه

"شاذة ةي ذات ا نو اخلطيةملستخدمة حلل معادلة فولتريا غريابعض الطرق العددية " الثالثبابال مخسة توي هذا الباب علىحي .ّطية اخلغريلمعادالت التكاملية ل ةعدديبدراسة احللول ال هذا الباب يهتم

غـري مليـة لتكاملعـادالت ا ال املختلفـة حلـ العدديـة بعـض الطـرق مقدمـه تتـضمن ،الفصل االول يف . فصولالـيت تعتـرب أحـسن نـسرتوم ضـرب رتاصـة وطريقـة مت تطوير طريقـة املـصفوفة امل ، الفصل الثاني يف .ةطّياخل

وتعطــي أقــل خطــأ مقارنــة بــالطرق العدديــة ة حيــث أهنــا تعــاجل املنطقــة الــشاذة بــسهولطريقتــان عــدديتان جــربي مــن م نظــالتحويلــها اىل ّطيــةخل ا غــري التكامليـة فــولتريامعادلــة حــل يفحيــث اســتخدمت األخـرى

ني تبعض التعـاريف والنظريـات لتحليـل اخلطـأ للطـريق ادرجنـا ، ثالـ ث الفـصل ال يف. املعادالت غري اخلطيـة ، وهذه املعادلـة التكامليـة هلـا حـلّ خّطية غري تكاملية معادلةمتثل اخلطأدالة بأنأثبتنا ، حيث املذكورة

يف الفـصل . االنكمـاش حيقق نظرية وتصل ي للخطأ م التكاملاملعامل بأن أثبتناعالوة على ذلك، . وحيد املـصفوفة املرتاصـة طريقـة مـن للنظام اجلـربي الغـري خطـي النـاتج مت إثبات وجود ووحدانية احلل ،الرابع

وجـود ووحدانيـة احلـل إلثبـات للنقطـة الثابتـة بينمـا اسـتخدمنا طريقـة بيكـارد نظريـة بانـاخ باستخدام مت إثبات التكافؤ بني املعادلة التكامليـة أيضا، ، نسرتوم ضرب طريقةمن لغري خطي الناتج للنظام اجلربي ا

حـل مت ، اخلـامس يف الفـصل .للطـريقتني واثبـات نظريـات اخلطـأ طّـي غـري اخل والنظام اجلربي ّطية غري اخل دالـة كارملـان ، ثـم عنـدما تأخـذ النـواة صـورة نسرتوم ضرب وطريقة تطبيقني لطريقة املصفوفة املرتاصة

وقـد مت ، فقـط تكـون لزجـة خّطيـة أو لزجة وغري بعض املواد اليت قد تكون فرض بعد ، الدالة اللوغارمتية الـيت تـشمل دراسـة اخلطـأ ة اخلطيـ غـري وّطية خل ا تريا التكاملية ــــــ فول عددية ملعادلة احلصول على النتائج ال

أيـضا، املزيـد مـن املعلومـات هلـذه الطـرق العدديـة .(Maple 10)ج ـــ ــــــــــ برنام دامــــ باستخددياًـــــ ع حلل املعـادالت التكامليـة األفضل الطريقة للوصول إىل قاعدة عامة من تفضيل استخدام بالتفصيل نوقشت



و

حبيـث ميكننـا ،غري جـداً الناجتة من مسائل اللي يف نظرية املرونة للحصول على حلول عددية ذات خطـأ صـ . االستفادة من خواص املادة بعد إزالة التشوه احلادث فيها

حـل واسـتخدامها يف النسرتوم ضرب وطريقةتطوير طريقة املصفوفة املرتاصة : اجلديد يف هذا الباب هو ، "Comp.Appl. Math" للنـشر يف جملـة ارسـلت نتـائج هـذا البـاب .غري اخلطية املعادلة التكاملية

أخـرى بعنـوان ومقالـة "ب النيـسرتوم ضـر وطريقـة بأنويـة شـاذة معادلة فولتريا غـري اخلطيـة "مقالة بعنوان

. " وطريقة املصفوفة املرتاصةبأنوية شاذةمعادلة فولتريا غري اخلطية "

"ملواد من اةبعض الطرق العددية املستخدمة ملعاجلة شرخ سطحي يف طبقات حمدد" الرابعالبابيف خمتلفـة واد العـدد ملـ ة حمـدود طبقـات الناجتـة مـن تالمـس الـشقوق معاجلـة بدراسـة هذا الباب يتعلّق

) فولتريا-فردهومل( يف املوضع والزمن يؤدي إىل معادلة تكاملية مسائل املرونة هذا النوع من ، وجود الزمن يف هـذا اـال البـاحثني مجيـع األحبـاث الـسابقة أن وقد الحظنا مـن خـالل .من النوع الثاني بنواة كوشي

نقـسم إىل مثانيـة ي بـاب لاهـذا . ة جديـد دراسـة وجـود الـزمن يف وق ّ الشق مسألةعترب ت هلذا، ،زمن ال واأمهل املـشهورة، يف هـذا املقـاالت ضذكرنـا بعـ كمـا وق الـشقّ مـسائل أمهيـة ّ ضـحنا و ، األولالفصل يف . فصول

نعنـدما تكـو مـسألة مرونـة يف جمـال االنفعـال التكامليـة مـن ةعادلـ امل مت صياغة ،صل الثاني الف يف .االطة ة املتوسعلـى حتتـوي بني طبقـتني املاد املعـادالت علـى باالعتمـاد ، حيـث انـه ت أحـد الوصـال يف شـق

اســتنباط ،مت تكــاملي ال فــوريري حمــولوباســتخدام حتــت بعــض الــشروط، و،رونــة يف نظريــة املألساســية اــة امل ــة التكاملي ــعختلطــة يف املواملعادل ــزمن وض ــاخ ال ] يف فــراغ بان ]2 1,1 [0, ]L C T− ــث، × ــزءان حي اجل

بتكامـل فـولتريا بنـواة متـصلة مـرتبط باملوضـع ، بينمـا اجلـزء اخلـاص اخلاص بتكامل فردهومل بنـواة كوشـي



ز

T,0[t[مرتبط بالزمن مت إثبات وجود ووحدانيـة احلـل باسـتخدام ، الفصل الثالث يف .T>∞، حيث ∋ملعــادالت التكامليــة طريقــة عدديــة لتحويــل ااســتخدام مت ،الفــصل الرابــعيف . نظريــة بانــاخ للنقطــة الثابتــة

يف . فقـط يف املوضـع بنـواة كوشـي التكامليـة للنـوع الثـاني فردهـومل ت نظـام خطـي مـن معـادال املختلطة إىل Eيف فـراغ بانـاخ التكامليـة عـادالت فردهـومل مل م اخلطـي إثبات وجود حل وحيد للنظـا مت الفصل اخلامس

مت متثيل احلل العام للمعادلة التكامليـة كحاصـل ، الفصل السادسيف. باستخدام نظرية باناخ للنقطة الثابتة ، ثـم تسلسلة حتتوي كثرية حـدود متعامـدة توافـق دالـة الـوزن ضرب دالة الوزن يف دالة معلومة على شكل م

للنــوع نظــام معــادالت فردهــومل التكامليــة اخلطيــة حلــلّ احلــدود املتعامــدة كــثريات طريقــة خدمناســتا. K دليـل املعادلـة التكامليـة قيمـة يعتمـد علـى احلدود املتعامـدة كثريات نوع اختيار أنحيث .األول

وع األولـــــــــ للن تشيبشيف احلدود ونستخدم كثرية ، اكوبيجل احلدودخدم كثرية نست، K = 0عندما الفصل يف . للنوع الثاني تشيبشيف احلدودكثرية ، نستعمل K = -1ندماـ عأخريا .K = 1يف حالة طـرق ثـالث دامباسـتخ ، بنواة كوشي للنوع الثانينظام معادالت فردهومل التكاملية اخلطية حلّ مت ،السابعأيـضا، . K= 0 لـدليل اعنـدما اكوبيجلـ احلـدود نـستخدم كـثرية ، الطريقـة األوىل يف . خمتلفـة ةعدديـ اسـتخدمنا ذلكإىل باإلضافة ،K = 1 وK = -1 عندما الدليل فقطخاص، النتائجل كبش، ذكرنا

دالت فردهــومل ل نظــام معــاحلــطريقــة مــصفوفة التــوبلز و طريقــة ضــرب نيــسرتوم : أشــهر طــريقتني عــدديتني ناقـشنا ، الفـصل الثـامن يف أخـريا، . الـسابقة ق بنواة كوشـي ملقارنتـها بـالطر للنوع الثاني التكاملية اخلطية

حيــث مت حــساب النتــائج العدديــة نــواة كوشــي شــكل العديــد مــن التطبيقــات عنــدما تأخــذ نــواة فردهــومل ملعاجلـة األفـضل ثـم اسـتنتاج الطريقـة ، (Maple 10) م برنامــــج باستخــــدا و حساب اخلطأ لكل طريقة

.قدمت عامة أيضا استنتاجاتو ،ذكرت العديد من احلاالت اخلاصة.شقوق الناجتة بني الطبقاتال



ح

"تفاضليةال- التكامليةعادلةمعادلة النيرتونات احملولة و امل" اخلامسالبابحتـول ةمـن معادلـ امت اسـتنباطه ، الـيت بنواة متصلةتفاضلية -تكاملية لة مبناقشة حلّ معاد يهتم هذا الباب

ــا ــار تالنيرتون ــسمى باالنفج ــوو او ماي ــيت و يالن ــتقت ال ــ اش ــا م ــة نخطي ــان ل ةطــور امل املعادل بولتزم

(Boltzmann) ة للغازات للنوي حيتـ ، األولالفـصل ، فـصول ةإىل مثانينقسم ي بابهذا ال . ظرية احلركي مت ، الفصل الثانييف . مقدمة عامة ، وتعلى خلفية مفصلة عن أمهية وطرق حل معادلة حتول النيرتونا

2خ ايف فـراغ بانـ يف وجود الـزمن تفاضلية ال - التكاملية املعادلة صياغة ([ 1,1] [0, ]) [0, ]L a C T− × × عـالوة ،عـد مـن معادلـة نقـل النيـوترون أحاديـة الب هندسة مـستوية سألة ممن ،هلا يةشروط احلدالحتت

اسـتخدمنا ، الثالـث الفـصل يف. مـن املعادلـة املـذكورة تاستنبطالعديد من احلاالت اخلاصة على ذلك ــ ــات الضبع ــات وجــود نظري ــد إلثب ــةلل حــل وحي ــلية ال- التكامليــةمعادل ــض الــشروط تفاض ــت بع حت

، الـزمن طريقـة عدديـة لتقـسيم فـرتة اسـتخدمنا ،الرابـع صل الفـ يف. نظرية باناخ للنقطة الثابتـة باستخدام يف فـــــراغ بانـــــاخ يف بعـــــد واحـــــد تفاضـــــلية ال-ت التكامليـــــةعـــــادال املمـــــنللحـــــصول علـــــى نظـــــام

2 ([0, ] [ 1,1])L a × ، نظريـة بانـاخ للنقطـة الثابتـة باستخدام احلل ووحدانية وجود حيث مت إثبات ، − ةتفاضـلي - تكاملية اخلطأ كمعادلة دالة بتمثيل حتليل اخلطأ مت، صل اخلامس الفيف . حتت بعض الشروط

2فـراغ بانـاخ يف والوحدانيـة للحـل الوجـود نـا أثبتثم ، ([ 1,1] [0, ]) [0, ]L a C T− × مت إثبـات كمـا ، ×اخلـواص بعـض نـا ثبتأ ونا ذكر ،يف الفصل السادس . معيارية واتصال املؤثر التكاملي التفاضلي لدالة اخلطأ

، كحاصـل تفاضلية ال-مثلنا احلل العام للمعادلة التكاملية لكثريات حدود تشيبشيف وجلندرثم اهلامة اخلـواص اهلامـة بعـض اسـتخدام بواسـطة و ، للنـوع األول تشيبـشيف احلـدود ضرب دالة الـوزن يف كـثرية

إىل يف بعـد واحـد تفاضـلية ال-التكامليـة ت عادال امل نظام ويلوجلندر ، مت حت لكثريات حدود تشيبشيف



ط

حمــول ســتخدمنا ا، الفــصل الــسابعيف . األوىلمــن الرتبــة اخلطيــة تفاضــليةت ال ملعــادال مــن انظــام خطــي ــامودا ــة (Sumudu)س ــرز وطريق ــكاات ــا (Trazaska) س ــام اخلطــي مع ــل النظ ــن لتحوي ــادال ا م ت ملع

، قـدمنا الفـصل الثـامن يف .اهولـة لدالـة يف ام جـربي خطـي اظـ ناألوىل إىل من الرتبة اخلطية تفاضليةال . العدديةوناقشنا النتائج ، (Maple 10)عــــددياً باستخـــدام برنامـــج املسألة حللّ بعض التطبيقات

.واخلواص لبعض النقاط املذكورة يف البحث واألمثلة التعريفات ملحق يضمأدرجناية البحث ايف هن : أمهية البحث

غـري خطيـه أكـرب كميـة مـن ال اخلطيـة و اهلدف من البحث هو دراسة مدى حتمل املواد ذات املرونـة وبـذلك فـان هـذه الدراسـة تفيـد بـشكل كـبري يف تطـوير ) احلرارة والزمن معـا ( الضغوط والقوى اخلارجية

لتتحمل أقصى الضغوط اخلارجية ومواد البناء ت السرياميك وأنابيب البرتول والسيارات الطائرا ةصناع . املمكنة



Department of Mathematics Some Problems of the...

Documents

Transcript of Department of Mathematics Some Problems of the...