Decision Utility Theory - mpra.ub.uni-muenchen.de · Decision Utility Theory: Back to von Neumann,...
Transcript of Decision Utility Theory - mpra.ub.uni-muenchen.de · Decision Utility Theory: Back to von Neumann,...
Munich Personal RePEc Archive
Decision Utility Theory: Back to von
Neumann, Morgenstern, and Markowitz
Kontek, Krzysztof
Artal Investments
1 December 2010
Online at https://mpra.ub.uni-muenchen.de/27141/
MPRA Paper No. 27141, posted 01 Dec 2010 15:19 UTC
� ��
�������������� ����������������������������
�������������������������
�
�������������� �!�
"#�����
������������ ����������������������������������������������������������� ����������
��� ���������� ������!�"�������#��� ������ �����������������������������$��������%���
������������������!������������� ��������������������������������������� $������������
������� &'������� �������� ���� � ����� �������� �� ���� � ������(��� � �)��%���(� ���*��$� ����
������������ �����decision����� ��������������� ���������� �� �����+�����������)�����'
��������,,�!�"�������#��� ������ ���������������������������%���������$������������������
� ���������������%��������� ������������������������������$���������������������������
�����������������������������������-���� $������������ ������� ��������� ���������!�
�
$%&��������������.����$�"/0$�"1��
�
����������2 �����#��� ������ $�)��%���(�3 �������$������������� $�"�������#��� $�
4������������ $��������5����2���$�5��%�4�����)�������$�4���������6����!�
� '����������
���������������� �������������������� �7������������������������������ ��1����'
�� �������������������&!����������������� !�7������������������������� ������������
������������������������������������������������������������������������ !���� ���������'
������ ��� � ����� ���� ������� ��� ���� � ��������!� &���� � ���������$� 7�����$�)���� ����
&�����%������������������������������������������������������� ���(����������� ��5���$�
�//,�!����������� �����������cardinal����� $��!�!����������������������������������������������
���������$�������������������� ���!�������������������� ���������� ������������������� �
���������������������������������������������������4����8��������$���!�������%������09�/*$�/�',�,�:�����$�������$��'����.�%%���%�///; ����!�����������������������%�������%���������������������������������$���������������$��������������������������.�3��� �)��%���($������(�7����$�<������5���%�$�������(�� �(%������������������������������$�=������&�%�'>���%�$�&������� $�=�������6�����$�����)������7�������!�
� ��
���������������������������$������!������������������������������$��������$�������������
� ����ordinal����� � ������!����������� ���������������� � �������� ����������$�������� �
�������!�5����������0�������������������������������� �����������������$������������
����� ���������� ����� ���� +������� ���� )���������� ���������� ���� Theory of Games and
Economic Behavior����,,�!��������������������������� �������������?��������������������'
������� ��� �������� �� ����� ������������������������������������� ������� � �������u�����
��������������������������������������%������������������� ��������� ������.�
� { }( ) ( ) ( )�
?n
i i
i
v x p u x p E u x=
= = ∑ � ��!���
������x�����p��������� �������������������������������������������������!�@���+�������
���� )���������� ������� ��������� �� ������ ��� ���������� ���� � ��� ����� �������!� &�������
��������� ����� ����� ���������� ����� ���!� A���$� ����������� ���� � ������ �������� ��������
���������� ������$� �������� ������������������������ �������������������!�&����$� ��������
����� � ����� � �������� ���������� ���%� ����������������� � �������� ���������� � ���� �
�%����������������!������������������������-����������������������� �A�������$�&������
���,1������)��%���(����*��$������������������ ��������������� ��������������������� '
������ ��������������!��������� ���������������$��������$� ��� ������ ��������������������
�� ��������� � ��������� ����� ������� �� ��� ���������� � ��� ������ ����������%���$� ������
B���������� C� ��� ����� ���������� ������� �� � ��������� ����� ��� � ����������� ����2 �����
#��� ������ !�)�������������-����������������������������������� �����������4������
������ ���������������� ��������������������!�#��� ������������-������������������� �����'
�������� ����������� ��$����� �������������������� ������������������� ��������� ���� ���
���� �����������������.��
� { }( ) ( ) ( )�
?n
i i
i
v x p u x w p=
=∑ � ��!���
������������������������������������������������������ �������������+��'2 �����
#��� ���������!�������������������������� ��<�������$������% $������������������������
��������������% $�<�������$������!��������������������������� ��������������$��������'
��������� ��������� ��������� � ������������� �� ������ ��� ������� ��������� ����������
���������� ���������� ���������!�
������������� ���������"�������#��� ������ $���������������������������������� ��
� 0�
������ ��������������������������!����� ���� ������������������������������������������
���� !����������������������������������������������������� �7��������$�������$�����+��'
����� ���� )���������$� ���� <�������� ���� �����% � ��� ��� �� ����� ���� �� ������ ������ ���
���� � ������������� ������-�!����� ����� ��� ������� �����������������������������������
���������������%0!������������� �������������������&'������������������� ����������������
�������� ������(���� �)��%���(� ���*��$� ���� �������� ��� � �����decision� ���� ����������
�������� ���������� ���������� �����+�����������)�������������,,�!�
!� (�������������������)�����������������
@���+�����������)��������������������������������������������� ���������������
�����������The Theory of Games and Economic Behavior����,,,�.�BConsider three events, C, A,
B, for which the order of the individual’s preferences is the one stated. Let p be a real number
between 0 and 1, such that A is exactly equally desirable with combined event consisting of a
chance of probability 1 % p for B and the remaining chance of probability p for C. Then we sug%
gest the use of p as a numerical estimate for the ratio of the preference of A over B to that of C
over BC���!��1$� ��������������������� ����������������������DαE� ��������������� � � ��DpE�!�
������������������ �����������������������.�
�( ) ( )( ) ( )
u A u Bp
u C u B
−=
−� ��!���
������u��������������� �����������!������������������������!���������������������!�8������ �
����������$������A�������������� ��������������������B�����C?����������� ������������'
���� ������� ��� FB$�CG� �����$� �������� ������� ��� ������ ��� ��������� �p!�7��� ������� ������$�
�������$� ��������$������������������ ������������������������� !�"�����������������'
����� ��������p���������H��������������A����������������������� ��������������!�
�������� ����A���������������������� ( ) ( )$u B u C ������$������������� �p������������'
�����������/� �����!�@���+�����������)���������� ������� ��� Butility is a number up to a
�������������������������������������������������0����� ����B������������ C��������� ��� ����� ��������%��� �<�������� �<�������$�����$�<�������$�:�%%��$�&����$� ����$�<�������$�������$� �//I�!�"����������� � ��� �������� ��� �������.�“The weight that is assigned to the
desirability of an outcome in the context of a decision is called its decision utility. Decision utilities are inferred from
choices and are used to explain choices”!�<����������������.�“The Prospect Theory value function represents
the decision utility of the gains and losses associated with possible outcomes”!� ����$� �������$� ��� ��� ����!�4�'�����������������������������������������������$��������� �����������������!�,�������������������������������������������������*0!�
� ,�
linear transformationC���!��*�!�8�������!���������������������������� �u�����������������u1�
J�a u�K�b$������� �b����� /!a ≠ ����������� ( ) /u B = ����� ( ) �u C = ������������� �����������$����
�����������!���������������.�
� ( )p u A= � ��!���
8� �������� ��� ��� ���� � ��� �����A� ��� � �������� � � ��� ��������� � ��� ��� �������!�
L������������������ $����������������������� !������� �������������������$��������'
����� ��������������������� $��������������������������������� ������������!���������H����
���������������������������������� ������������������������������������������!��
6����������������������������B$�A$�����C���������� ������� ��������x1$�x2$�����
x3$�������� � � 0x x x< < $������������������u’������������������� ���� ����������������x2!�
���������������������������A�������!����������������������������������H���� ���������� �
����������������������%���������!�6���������������������������������������x4�����x5�����
���
� � , * 0x x x x< < < � ��!0��
&������� ������������������$����� ����������������������������x2���������
� , � *x x x< < � ��!,��
�*������!+ �&���)�,�-�����������������������������.������/+�0����1�,�-��������������������������������.����
��/������������������������������������-�����������������+��
����������������� �u’’�������������� �������������������������������������������� �
u’!�����������.�
� ( ) ( ), ,u'' x u' x= � ��!*��
���� �
� ( ) ( )* *u'' x u' x= � ��!I��
� *�
3 ����������������u’’�������������� ��������������� �u’� ���A�������!��������!�����
H��������� ����������������������������� �����������u’ ��� u’’��������������������������
������Fx4$�x5G!������H��������� ����������!���������������������� ������������������������������
�����H������� ����������������������������������������������� ��������!�+������������� �
��������� ���������������������������� $���(!�������������������������������$�������������
�� �����������������!�"�������������-�����$�������������������������u’ ��� u’’��� ������
����������������������������Fx4$�x5G!�8�������������������������������������������������������
���������$����� ��������������������������������������� �����!��
2� %3-����������������������������
4� ����� ������� ��� � ��������� ��� ��� ������ ��� ��� ���� � ����� ����� ����� �������
���������+�����������)���������E�����%!�M������ �������%��������� �������������% �����
<��������������$������������������������������������������������ ������������!��
������ � ��������� �������� ��� �1� �������� ���� ������ ���� �1� �������� ���� ������!� ������
�������������������� �������.�N/$�*/O$�N/$��//O$�N/$��//O$�N/$�,//O$�N*/$��//O$�N*/$��*/O$�����
N�//$��//O!��������������������������P�������������������� �������������!������% �����
<�������� ���������� ����� � �H��������� ���� �������� ������������������� ���� �����!�"���'
��������H��������� ��� �������������� ������������������ ���������$���(!� �����������������'
�������������������������������!� 8��� $��������$�������������������������������������'
����������������������������������������������������������!������ ���������������������
������� �������������������������������� ������������A������0!��!�����������������������'
������������������������$������������������������������������������!�
����������������������������������������������������������!�A���$�������������������
��������������� ���������� ��������������� ������% �����<�����������������!�8�����$�
�� �����&'����������$����������� $���������������������������������������������!�
&����$� ��� ������ ��� ��� ���� � ����� ���� �� �������������������� ��� ��� ������������
���������!� A��� ������$� ���� � ��� ������ ��� ��� ������ F/$� */G� ���� ��� ������ ��� P,/$� ���
������ ��������������������F/$��//G������������������������!�)�������%�������������������'
������������ ������������P�*!�#��� � ��������� ��� ��� ������F/$��//G$� ������ � ������� ��� ���
�������F/$��//G�����F*/$��//G��������� ��������������F/$�,//G�����F*/$��*/G!�&������������������
��������������� ���� ��� ���������P��*!�#������� ���� ������ ��� ��� ������� F/$��//G� ���� F*/$�
� I�
�*/G$�������� ��������������F/$�,//G�����F�//$��//G!�8����%����%��������������� ����%�����������
���� ��������������������!�
�*������2+ ���������#������������ �������������������4������5 66!7+�%����-���������-��������������)
�-��������������������.8��98/��.8�� 88/��.8��!88/��.8��:88/��.98�� 88/��.98�� 98/������. 88��!88/+�
�
�*������2+!�&���1��������������������.8��98/��.8�� 88/��.98�� 88/��.98�� 98/������. 88��!88/���������������������
���������������-����������������� ������������.8��!88/+�0����1� ��������� ������������.8��!88/� ���������
������������������������-�����������������������������.8��:88/�
� ��
������������������� (����������������������A������0!�������!��������� �������������F/$�
�//G������������������������!�#��������������������F/$�*/G$�F/$��//G$�F*/$��//G$�F*/$��*/G$�����
F�//$� �//G� ���� ������� � ����������� ������� ����� ��������� ������ ��� ��� ������ ���� !�@�� �
����� $��� �������������������������������!�:��E������$�������� �������������F/$��//G�
������������������� �������������F/$�,//G��A������0!��'������������!�
������������������������������������������������������������������������������
�� ��� ����������������������������������� � ��������������������� ���������������� ������'
������!������������������������ ���������������������������������������������������'
���� ���������������� ��� ������������ �� ������������������������������������!� 8� ��������
����������������������� ����� �������������������������� ���������� ������������������!�8�
���������������������������� ������������������ ������������� ������������ ��������
��� ������������������ ��������� !�����������������������������$��������$������������'
���������������������������� ���������������������� ��������������!�
:� ��������������
4���������������0$�������� �������������������������� ������������������������������
�����!�������� ������������ ������������������ ��� ���������������������������!�8��������
���������� �������$������������������������ ��H�������������������� �����������������
F/$��G��������������.�
� $min
max min
ce Pr
P P
−=
−� �,!���
������ r� ������� ��� �������� ��������(���������$�ce� ������� ��� ����� � �H�������$�Pmax�J�
)� �x���������� ��������� ������$�����Pmin�J�Min�x�������������������� ������!�4���
���������������r� ����������� ����� ����������������������p����� �������������������������
�������A������,!��!�4��������������������� ������ ���������&'�����$�������������� ������'
�����*!�8�������������������������� ��������D�����������.�
� ( )p D r= � �,!���
���������������������������� �����������������������!��
�������������������������������������������������*���������������7���"������������������������ ���� �����������$� ��� �� ��� ������� %������������������ �����������������������������������������F/$��G!�
� 1�
�
*������:+ � ������������������ �;�5�7����������������� �������������������4������ 5 66!7+�&��� 1� ���
����������������+�0����1�������������������+�<�������-������-��#�#���������������-��������������5������)
����7��������+�
"����������� ������� ����������������������%����������� ���������� �����+�������
����)���������$�����������������������������������������������������!�8����������������'
����������������������������������������������%$������������������������������������������
����������� ������ ������!������������ ���������������� ���� �� ��������������� �� ���������
�������$���������������� ������������������F/$��G��������!�8�������������������,!�������������
����� ������������ �������I!�3������$� ��� �� �����$� ��� ��������� ��� �������� ��� �������� �����
��H������ ����� ������� ����!����������������� ����� ����� ����������� �� ��� �������� ����� �
�H�������.�
� ( )�
rce D p−= � �,!0��
��������������������������������������������.�
� ( )min r max mince P ce P P= + − � �,!,��
A��� /minP = $��,!,��������������.�
� ( )�
maxce P D p−= � �,!*��
���� ��������� ��� ��� � �������� ��� ��� ���� ��� ����'������ �������� � ��� ��� ���
��H������������������ �������������������������������������!�6�������������������������
� ����������� ��H�������������������� �� ��������B����C�������������� �2 �����#��� �
���������������� !���������������������������������$���������������� ����������������'
�������������������������������������������������I�������������������������������� ���������������������������� ���������������������������� ���� !�8���������� ���$� �������� ��� ������ ����������� ��� ����������� �������������� �� ������������������ ����!� 8�� �������������$�������������������������������������$��������������������������� ��������������������!�
� ��
�����������������������������������������������!��
9� =������0����%�����
4������ �����$�����������5����2�������� (���� �<�����������������% �����������
�������� ����������������������������� ������!�
<��#���� �����������������
4.�,$///���������������� ����/!1/����� 7.�0$///���������������� �����!//�
� /���������������� ����/!�/� �
<��#����!���������������� �
�.�,$///���������������� ����/!�/����� ".�0$///���������������� ����/!�*�
� /���������������� ����/!1/� � � /���������������� ����/!�*�
2 ���������� ��������������� � ������� ��������������������������7��������������
���� ������ �� ��� �������� �!� 2 ����� #��� � ����� $� ���� ����$� ������� ��� ������� ������
�������������4������������7�����"�$������������������������������������������(��������������
���������������������� ����������������������,�������������������������!��������������
����������������������� �� ��������A������*!�$�����!�
�
*������9+ � ���=������0�����%�����-�����������-�����3�������%3-����������5���7������3-�������������
��������������������������5����7+�
������������������������������� ������������������������������������� �����������
��������� ���� � ������� ������� ���������� ������ ����� A������ *!�$� �����!����� ������ ��� ����
���� ����������������������� ������������������������� �������������,!*��!�����������������
������������F/$�,///G������������������������������4������$��������������� �����������
��� ,$///!� ���� ������ ��� ��� ����� ����� ��� F/$� 0///G� ��� ���� ��������������� �������7� ����"$�
� �/�
�������������� ��������������0$///!���������� ��H����������������������������������
������x'� ���������������������������!�A����������������������$�������7���������������������4$�
�������������������������$�����������������������"!���������������� ��������������������� '
��������!�8������� $�����������������������H���������&'����������� �����!�4����������$�
���������������A�������!�$��������������� �������%�����������!��
>� ������������������������������,�-�������
���������������� �����������������������������-���� ��������������������������������
A������,!�!���������� ����������������A������I!�!�Q��������������� $���������������������������
� ������(��� � �)��%���(� ���*��!� 8� ���� ����� ��������� ������ ����� ������)��%���(� ���'
������� ���������!������������������������� �����������������������������������������
�������!������������������� ����������������������������� �)��%���(!�������� ����'
���������������������������� ������������������������ ���������������������������������'
��������������������� �)��%���(!��
� � �
*������>+ �&���)�������������������������;�5�7���������������������?�0����)�����������������-�����������
��������������-�������5 69!7+�
�������� �������������������A������I!�������������������� ����������������������� �
������������ $��������������������������������� �����������!�+����������$�����������������
���������� � ��������� ��� ��� ���������� ��������� � � ���� ���� !����������� ������� ����� �
�������$��������������������$���������������%����%������������������������������$��������%�
����������������������������������!���������� $�����������������������������$�������������������
��� ���%� ���%���� ��� ���� ��������������������$� ���� ���%� ������� ��� ������� ����������������!������
�����$�%��������B������������������������%������C$�������������� ����������������������'
� ���
���������������� �����������������!����������������$��������$������������ ���������������
���������������������� �����!�������������������������������'����� $������$����� $�����
������'��������������� �� ��������B��������������C!��
)��%���(E���������������������� ������������������������������������� ��������
��������� ��������������������������������������������������������������������� ������
��������� ������������������� �� ��������!�����������������<�����������������% �����-��
���)��%���(� � �������� ������������������������ !�&��������� ��� ��$� �������$� ��� � '
�����������������)��%���(������������������������������$��!�!�� ���������������� !������
���������� ��������������������������5����2��������������������������������������������
��������4������������ ����� �������!�
@� ������������������������������ ������
6�����������������������������r� ���������� ��������'�������������������������
���������� ������,!��.�
�( ) ( )( ) ( )
min
max min
v ce v Pr
v P v P
−=
−� ��!���
������v��������������������� !������������v��� ��������������������� ����������������
������������ ���������������������� ������-�!�8����������������������������� ����������
���������������������������������������������� ���������,!�4����������������������%��
����������������$�������������������$��������� �����������������������$��� ��������� ����
�������!������������������������������������������������ ������!��
&�����������!��������,!������������.�
�( ) ( )( ) ( )
min
max min
v ce v Pp D
v P v P
−= −
� ��!���
������������������ ���������������.�
� ( ) ( ) ( )( ) ( )
� min
max min
v ce v PD p
v P v P
− −=
−� ��!0��
4��������������������������!0���������.�
� ( ) ( ) ( ) ( ) ( )� ��min maxv ce v P D p v P D p− − = − + � ��!,��
6���������������v����������������������� ����������������� �D− ��������������'
� ���
����� �����������������w!��������!,������������������ ��H���������������H����������'
���������� ������$����������������������� !�8��������������������������� �������
�������� �����������������"�������#��� ������ !��
������������������������ ����������������������������������(��!����������2 '
�����#��� ������ ���������������'���������� ���������������������������.�
� p r= � ��!*��
����� ������� ����� � ����� ��� ����+������')���������������� ��!��� ���� ��� ��������
������������������!��!����������"�������#��� ������ ������������������������.�
� ( )p D r= � ��!I��
������D� ������������������� !����������������� ������������.���������� �p� ������������ �
�������D�r�� ������ ����� � r$� ��� ��������� �����+�����������)���������$� ���� ������ ���
2 �����#��� ��������������������"�������#��� ������ !����������������� �������������
�����������������!0����.��
� ( )w p r= � ��!���
������w�������������������� ����������������!���������%����� ���%��������������������!I�����
��!�����������������������������������!�����������������-����������������������������������
�� ������!�
6����������������������������������������������������������������� $��������
��� � � �� -���� � ����������!�A���������7������������,�$� ������������������� ���������� �����
�� ���� ������ ������������������������
� ( )5 = 3 φ= � ��!1��
������ ��� ��������� ������� ( )5 == Ψ � ������� ��� ����������5� �� ��� ������������ Ψ $� ���� ���
�� ���� ����� ������� ( )3 φΨ = � ������� ��� �� ��������� ������������ Ψ � �� ��� �� �����
���������������������� φ !����������������� ���������!�������� �� �������������������!1�$�
������������� �p����������������5$������������� �D�����������������������=$�������������'
� �v��������� ���� ������������3$���������������������������������� �����������������
����������φ !���������������������������� ����� !��
�������������������������������������������������������������������!���������������������.� ( ) ( ) ( ) ( )�u A p u B p u C= − + ������������������������ ���������
� ��������� �����������!��!�
� �0�
B��������� ���� C� ��� ���������� ���������� B�� ���� ����� ������C$� ��� ��� ����+��'
����')�������������� �u�������������������� ��������������v��������� �������������'
��� ����������������� ���� �������������������� !�����$��������$��������� ����������� ���
��������!1�������!������������������������������� ���!�������,!�������������������������� �
�� ��������������'�� �������������%���������!�
A� B������������������C���������
���������� ���������� ������������ ������ �� ������������ ���"�������#��� �����
������������ ���������������������$� ������ ����������������� ���������������������������
��!I��������!���!��������������������� �������� ���������!���������������������!0��������!,��
����%��������� ������������������������� $��������������� ��������������������!����������'
������������������������������������������������� �������������� ���������������'
�������� !�8������H����$��������� ����������������������������������� ������!�������'
�������������������� ������� ��� ���������� ���� ������ ��������������� ���� �����������������'
���!�
6������������������� �����������������P�//������������������� ����/!*!����������
���������������������������������������.���������������������������!��������� �������������
� ����������.�
� ( ) ( ) ( ) ( )�/!* �// /!, �//u y w v v= ≈ � �1!���
6�� ��� ���� �������� ��� ��������� P�//����%�������� ���� */����������� P�//�����
��������� ����/!/�����!������������������������������������������//������.�*/�������������
*/� ������$� ����� ��� ��������� � ��� ����� ���� � ��� ��� ����� ���!� &����� ������������� ���� ����
������������ �������� �������������� $� ��� ��� ��� � ������� �������� �������� � ����� ��
����������� �������������������������������.�
� ( ) ( ) ( ) ( ) ( )� */ /!/� �// */ /!/* �// �!* �//u y w v v v= ≈ ⋅ ≈ � �1!���
��������������������������������������������� �����P�//����������*/�����������
������ ����������I��������������������� �������������������$����������!*�����������
������������P�//!�&��������� ����������������� ��������������������������$������������
���������� ���������$��������������������������������������������!��������������������������
�������.��������������������������������$������������������!��������%�������������������'
�� ��������������������������������!��
� �,�
)�� ������� �������������������������������������������������:����$����,�!�4�
����$� ������� ����� � �������� ��� ������� ��������� ��������� ����� ��� ������������ ���
��������������������������������������������������������������������������%���$��!�!���'
����� ��� ���� ����������������!��������������������� ������������� ���������?� ���� �������
�������������1!��� ������������!�������������������� �������� ��������� ���� ��� ���� ���'
�������������������'�������������������������6��������������������� �����������'
�� �!����������$�������� ���������� ���������������������������� ����� ���������������� �
��������� �� ��������� ������������� ������ ���� ����������� ����� �Q������$� ��1��!� 5��%'
"��������2 �����#��� ������ $������ ��������� �����������$� ��H�����$��������$� ��� ���
��������������������������� ���������������������� $����������������%�����������!�������'
�� � �������� ��� ��� ���� � ��� �� ������� ( )� �$ ?!!!? $n nX p x p x= $� ���� ������� �������� ��� ��'
�������������� � !!! nx x< < $��������������.�
� ( ) ( ) ( )�
$n
i i
i
RDU X u x w p X=
=∑ � �1!0��
�������
� ( ) ( ) ( )�$ !!! !!!i i n i nw p X w p p w p p+= + + − + + � �1!,��
A������� ���������������������:���������,�.�BThe first expression in (8.4) is the sum
over probabilities of all outcomes that are at least as great as xi; the second expression is the sum
over the probabilities of all outcomes that are greater than xi. The dependence on the rank of xi
comes about because different probability values enter into the two summations, depending on
the rank of xi. As the result the probability weight w(pi, X) given to probability pi depends criti%
cally on the rank of the associated outcome xiC!��
����5��%'"��������2 �����#��� ����������������������������������������� ���'
�������� ����������������������� �������!��������������������������������������������
���������������������������� ����������������������������$�������� �������������������'
������ ����������������������������������������� �� ��������$�����������������B��������'
�� C����$�������������������������� ������� ������������ ������!���������$� �����������
���� ����������������� ��� ������� ���������� ��� ��������������'������ �������!������ �����'
����� ������� ��������� ���������� ���� ��� ��������� � � �������� ���� !� ���������� ��� ���'
�������������� �����!�
� �*�
6� %3-�������������������
"����������� ����������������������������� ��� ��������%���� ������������ ����� ���
��!I��!����������������������������������������'�����������������������������������������'
������� !�8���������������������������'���������� ������� ��������H������������ �����
�������������/������!�2�����������������ri�����������'���������� �������������� ���
���� �������������� ���� /� ���� �� ���������� ��������� � ����������� �� ( )R
i ip D r= !� ���� -����
��������� ����������������H������������ �������������
� R
�
n
eq i i
i
p p p=
=∑ � ��!���
������pi�������������������� �������������ri�����������'���������� !�������������.��
� ( )�
n
eq i i
i
p D r p=
=∑ � ��!���
������������������������������H����������������� �peq�� ����������������������� ����
�������'������ ���� !������������ ��� ������������ ����������������� � �������� �����'
������������������!������������� �2 �����#��� ������ !����������������������������$�
����������������������� ��������$������������������������������ �������������������������
���� ��� �������� ����!�������� ��������� ��� ��� ��� ������� ��'������ �������$� ��!��� ���� ��
�������� $eqp p= �������p���������������� ���������������������������!��
6������������������������������������ri������������������� ����pi!�8���������������'
������������!������������� .�
� ( )$eq i i ip D r p= � ��!0��
6��������������������������������������������k������������������������������ �
���pi 9�k!�����������������������������������!�������������.�
� ( ) ( ) ( ) ( ) ( )R
$
� �
�!!!!
k k
i i ieq i i i i i i i i
j j
p p pp D r D r D r D r p D r p
k k k k= =
= + + = = =∑ ∑ � ��!,��
��������� �� ��������������!0�!�8����������������� ��������������� ����������������������
����� ��� ��� �H�������� ��������� �peq!�"�������#��� ������ � ����� ��$� ��������$� ��������
�������������������������!�4���������$������������� �������������� ���������������������
���������������� ������������� �S��������� ����������������������S����������������������
������������������������� �������������� �2 �����#��� ������ !�4��������������$���������'
� �I�
� ���������$� ������������������ � ������������� ���������� ���%�������� ���� ��������� ����
�����������!��
8� ����������������+�=���������<���-��� ������
"�������#��� � ���� ������� ����� � ���� ��� ����� ��� ����� ����������������� ����
��'�������������!����������������������������������������������H�����������������������
� ����� ������� ��������� ���������!� ���� ������� ���������� � �������� ���� ����'������
�������$����������������������������������� ��������������!�������� ����������H�������
��� ����� �����$� �������� ���� � ��� ��������� ������$� ��� ����� ��� ���� ����������!� �����
����������%���������� �������������$��������� ��������������������������������������
������������ ������������� ������������������!�����$��������$�����������������������!�8����
�� ���H���� � �������%��� ��� ��� ������������������������� � ��������������� �������� � �
��� � ������ ��'������ �������� ������% $� <�������$� �����!� 4��� ���� ��� ���� � �� ����'
��������������������� ������ -��������� ������������������!�2���������� �������������
������������ ������� ������� ����� �������� ������ ����������������� ���� ���������� ���
���������� ���%���1!�
8���� ����$�������� ������������������%��������������������������������������
���������������������������������!�4������������������������������������������!�6�����
�������� �� ���� ����� ���������.�P/� ����P�//$� �������� ��/!*���������� �����������!�
�������� ������ ��H��������������������������P0I�������% $�<�������$������!�6������� �
�������������������� �������������������.�P/$�P0I�����P�//$��������������������������
P0I� ��� ��� ����� ��� ��� ����� � �H�������� ��� ��� ����� ���� !� ���� ������� ����� ���������
�������������������'�p�9�$�p$��������'�p�9�!�6��������������������������������������������'
���� ���� � ����� � �H�������� ������� ���� �� ������� �� ������ ��� P0I$� �������� ��� ������ ���
��������� �p!����������������������������������!�4��p�����������/$�������������� ��������
���������� ���� $������������ ��H�������� ���P0I!�4��p������������$� ������������� ���'
���������������� �������P0I!�A����� ��������������� �p�������F/$��G������$�������������� �
�� � ��� ��������� ��� �� �� ���� ��� ��� �������� ������� ��� ����� �H�������� ��� P0I!� ������ ��$�
�������������������������������������������������1�������� ������������������'��������������������������������L��(���������:��������$������������������I�.�BIn addition to the two outcome gambles, 36 three%outcome gambles were included. Data from these gambles will
be presented elsewhereC!�:��������������������������� ������������$�������������������������������� �������������������������� �������'�������������$������ ���������������!���
� ���
��������$���� ������� �������� ��� �������� ��H������������� �������������������� ����P0I!�
����� ��� ������������������������� � ��������������� ������!�6����� ���� ��� �������� ��
��!��.�
� ( )� 0I � � � �/ ��� /
� �// � � � �eq
p p pp D D p D p
− − − = + + = + + =
� ��/!���
����$������������,!*�$� ������� ������ ��H���������������������������P0I������� �
��������� �p!�6������������������������������������������������������� !�����������������
���������� ����� ����������.�
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )
@ ���//� � 9 � / � 0I � 9 � � 9 �
� / � � 9 �
y w p w w p p w p
w w p p
= − − + − + − −
+ − − +
� ��/!���
����� ������ ������� �H���� ��� ����� � �H�������� ������ v�ce�!� 4��� ���� ��� ���������
���������������� ����������������������� � �����$������������������$� ���������������� '
�������������������� ������ ��H��������ce.�
�( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
�
�
�// 0I � 9 � 0I � 9 �
� 9 � � 9 �
p pce
p p
αγ γα α α
γγ γ
− − + +
= − + +
� ��/!0��
������������������������������������������������������ �����������������!�������'
��� � �H�������� ��/!0�� ������ ���� ����������������� � ���� ������������ ���A�������/!�� ����
��������� �p�������F/$��G������!���������� ��H������������������������������������� ����'
��������������P0I$����� �������!�
��� �
*������ 8+ �=������� �D����������� �������������� ����)������� ����������������������-��#�#������ �����
E2>�������+� ���������������������������������������������������E2>+� ���������������=< ��������������
#���+�
� �1�
���� �������� �������� ���������������� ������� ����� � �������� ��� ��������� �p� ����
����������������α�����γ!� 8��������� ��� �������������������������������������������
���� �� ��������������������� �B������C���������������� ����������������'���������� �
���!������������������������ ���� ��������������������������������������� �������� ���� �
����H������!�
� "������<�����3�
M��� ��� �������� ���� �������'������ ���� � �������������������������$� ���4������
������ ������������ �������!�8���������������������������������� �<�����������������% �
������!����
<��#����2����������������
4.��$*//���������������� ����/!00�� 7.��$,//���������������� �����!//�
������$,//���������������� ����/!II�
�/���������������� ����/!/��
<��#����:����������������
�.��$*//���������������� ����/!00�� ".��$,//���������������� ����/!0,�
�� /���������������� ����/!I�� � � �/���������������� ����/!II�
2 ����������������� ��������������������������������7������������0�����������
�������������,$�������������������������������� �2 �����#��� ������ !�������������
������������������ �������������������!���������� ��H�������������������4�����7�������'
����������������!��������,!*�.�
� � �*// �,//�*// /!00 /!II
�*// �*//Ace D D D− = +
� ���!���
� ( )��,// �Bce D−= � ���!���
&�������������H���� A Bce ce< ���������������������.�
� ( )�,// /!00�� /!�I /!��
�*// /!0,D D > >
� ���!0��
4��/!�����������������/!�I$������%������������������������������������������������
����������������H����������������������������������������$�������������0�!�4�.�
� ( )��*// /!00Cce D−= � ���!,��
� ���
� ( )��,// /!0,Dce D−= � ���!*��
������������H���� C Dce ce> $��!�!.�
� ( ) ( )� �/!00 /!�I /!0,D D− −> � ���!I��
��������������������������������������� !�7��������������������������� ���������������� �
���������� ��������,!�)���������������� ���� ������������������������� ������ ����&'�������
������������ ���������� �������������4������������ ���������������5����2���!��
!� ������������������=������,���������
"�������#��� � ����� � ������� ������� � �� ����� ������������� � ��������� ��� ��������
��%��������������������������������� !�4��� ������������������� ��� ���(�������������'
��������� $���������� �������������������� �����$�������������������������������������
������������������� ������������ ����������!������������������������� ����������������
�����������������+������')�������������������������!�&����� ����������������������
������������������������������������!�������-������������������������������ ������'
����������������������$�����������"�������#��� ������ �������������,�!������������������
������������ ��� ���(����$�����������������������������������������������������,!,�!�6�'
������������������������� ����������� ��H��������!��
������'���������������������������$��������$� ������������������������������'
������� ������� ������� ��� ������������� ��� ����� �������$� ����� � �� ��� � ����� ���� �
��������!�)� ���(���������������� ���������������������������� �������������$�����������
����������������������!�&���������������������������.������������������������������������
����?���������������� ������������������!�M��������������$�������������������%����$���'
%������ ������������$� ��� �� ����� ������ ������ ������� �� ��� �������� ��� �������� �����
���������%�!�4������������������������� ���������� ����� ��%��������������������'
�����������(������/����������������$������������������(�����B��� C����������!�
�������������������������������������7�����T�������!���//I�$�����������������
����������������������������������������� ��������� �����������������%������������'
�����!������������������ �������������������������������.�������������������������������
������������ �����������������������?���������������������� ���$���������������������
����������������������� �����������?��0��������������������������������$��������������������
� �/�
������������ ����������!�4�������� (������� �� �������������$�7�����T�������!���'
������ ��� ������������������������������������������ ���� ������������� ���� ���� '
��������� ����������������������������������� �!�@�� ������ $���������� ��������������
����������������������������������������� ���������!�8����� ������$������ �������'
����������!�
������'������������������������ �"�������#��� ������ ��� �������������� ������
������������������������������������������������������%����������!�"������������������'
������������ ��� ������ ����������� �������������'�� �������������%��������������������
���������!�
2� 0����"������1���������������
"����������� �����������������2 �����#��� ����������������� ����������� �����
����� ����������������������%!�8���������������������������$����������������������� �
������������������� �����!�3����������%�������������������� �4������������!�3������$����
��� ���� ��� �������� ���� $� ������ �� ���%� ��� �������� � � �� ������� ����?������ ������� � � � ���
���������������������������������p�J�r$�����������������������2 �����@�����6�����2@6��!�
8�� �� ������ ����� Nr$�pO� ����� ������ ���2@6$� ���� ��� ����������� ��� ���%� ������$� ��� ��� ����� �
�H��������r��������������������� �� ����������������A�������0!��!��
�
*������ 2+ �0����B�����������0����"��������������-�������������������%3-�����C�����&����%C&��"�-�)
������&�����"&��"�-�������<��#�#�����"<��&�����0����"�������������&�����0����B���������������+�
8�����������������������2@6�������������������������%����%��������������� ��H����'
���������������������������������������������������4������������������������v���������������������������������������!�
� ���
������������������������� �� ����������!�A����� $�����������������������2@6������������'
�������������%������������������� ��H������������������� �� ����������������H���!�4�����
��������������������������������������������������%������$���������������������������� �
����������������������!�Q��������������� $���convex������������������������� ������������
������������������2@6���������������� �������� ���������%�aversion������!8��������� $�
��� ����� ������ ��� �������� ���� � ����� �������� ��� 2@6� �������� ����� ��������!� �����
��������������������4���������6������46�$���������������������������������������������
�����%����������������%����%����������������%���������!����������������������������������������
������������������������46!���������� $���������� ������������������������������������46!�
&������� $� ���4��������� ��������� � �4��� ��� ��� �������$������ �������� ��� ����� ���������
���������46$����� ���������������������������������������������!�����6����5��%�4��������
�654���������������� �������������������������������������������Np$�pO����������2@6�
������������������Nr$�pO!�����6����5��%�&��%�����65&������������������������������������
����!�
L������� ���%� ������ ��������� ��� ��� �������� ��� ����!� 4�������� �� ��� ��� ������
{ }$i ir p ����������� �������� ������������������� ����/!*$�����������������������������������
���������������� ��H��������.�
��
� n
k
k
RS rn =
= ∑ � ���!���
������ $� ���������� ��� �������� ����� � �H��������$� �������� ���%� ���%���� ��� �����!�
�������������������������������������������%'���%������������������������-�!�RS�����������
���������/���������� ��������%���������������$��!�!����������������������� ��H�������������
�H��������������������� �������$��������������������������� ��������%����%���������$�
�!�!������������������� ��H��������������H����������� ��������� �������!�RS�����������
���������/!*����������������%�������� !������ ���� ����������������������������������������
5��%�4��������RA������������������������.�
� �RA RS= − � ���!���
4����-���������������������������%����������������������������� ��H����������������
�����������������/!*�������������%����%������������������������� ��H������������������������
�����������/!*!�6������� �������������������������������{ }$i ir p �����!�RS����������������
��.�
� ���
� ( )� �
�
/ /
RS r dp D p dp−= =∫ ∫ � ���!0��
����������������������������������������������������� �������������A�������0!��!������� $�
������������������������������������above���������������� !��
�
*������ 2+!�0����"��������0"����������������������������#����������������������������?�0����B�������0B�
����������������������������#���������������������������+����������������� +��
4�����������������H���������$������������%����������RA���������������������������������
��������������� �������.�
� ( )�
/
�RA RS D r dr= − = ∫ � ���!,��
8� �������� ��� ��� ������� ���� ��� �������� ���� � ������� ��� ������$� ��� ������� ���RA�
�����������$��������� $���������������$��������������RS���������/!�
:� <��#�#�����F��������<������
������������ ��������� ����������������������� ������������� !���������������
������������������$������������������������������������$����������������������������������
������� ����������������!���������� ���������� ��� ��%�������������������� �����������'
��!���������$��������$�������������������������������������������������-�!����H����<��'
��������������������������������������������������/��������������%�������������������� ����� ���� ������������������7���"�������������������������������
������������ ��������������������,�!�8���������� RAβ
α β=
+����� RS
α
α β=
+$���������������������������
���������!����8���������������������������������� �)��%���(������*�!�
� �0�
���������������% �������.�BIt is important to distinguish � �����������, which refers to a prop%
erty of decision weights, from � ������������ that is commonly found in the assessment of the
probability of rare eventsC� ���������� ������!� ���� ������� ��� ������� ����� � ���� ���� ���� �
������ ��� ��������� �������������������������� �������� ���������������������������� �
�� ��������� �����!�4�� ������������� Bdoes not arise in the context, where the subject is as%
sumed to adopt the stated value of probabilityC$� �� � � ������ ���� � ������� ��� ����� ��� ����'
��������!�3������$��������������������������������������������!�
"������������� ������������$�������������������������������������������������'
������������������������������ ����������������������� �� �������������������������
�����������������������%���������������������������������������������������%����������-�'
��������������������������������������������%������������������������� ���������������
��������� ��������������������������� ���������-���������?���������$�������������������
������ �� ������ ����� ��� ����� ������ ���� �� ��������� ������� ���� �� ��� ��������� ���'
���������������������������!�"���������� �������������������������������������������'
�������� �������������$���������H������$��������$�������������������.�Why and how do
people overweight small probabilities and underweight high probabilities when the probabilities
are known?�#��������������������H���������������$��������� ���������� �������������������'
����������������$���������� ����������������������������������� ���������� ������������
�������������%������������������������������ �� ��������!�
�������������������������������� ����� ��������������������!�A���������$����B����'
�����������������%�������C�������� ��������������������� �!�������������������������������I�
����������������&'������������������������ �����!�4������� �������������� ����������
�������������������������������������0.���������%�����%�������������������������������������
���������������������?����������������������%������������������������ ����������������������'
���!������� ����������������������������������� ��� ���&����E������ �������������������� �
�&����$���1��!��������������������������7�����T�������!������������������������.����������
���� � ��� ��������������� ����� ������������� �����!�����$� ���� ������������������������
��� ��������� ��������� -����������������������� ������ ������������������������ ��� ����� '
����� ���������������������!���������������� �� ��������� ��������������������������$�
��� � �����%����%������������ ������������!� 8� ������ ��������� � �� � ���������������$��� �
�����������������%��������������-��!�"�������#��� ������ ���$��������$�����������������
� �,�
�������������������$���������������������� ������������������������������!���
4� �������� � ��������� ��� ��� ������ ���� ������$� �������� B����������C$� �� ���� ��� ���'
�������������$�������������������������������!�3������������ ���$����������������������%��
������������������������������ �������������������������$����������%�����%����������������
���� �����!������� ��������� ���������� ���������$��������������������������������� ������
������� � ���� � �!�����������$� ��� ������������� �������������������� �����������������
������������������������������������� ���� �������������������� !��������������������'
������������������������ �������������������"�������#��� ������ !��
4�� �����$� ������� ������������������� ������ � �������� ��� ������� ��� ����������� !�
������������������$����������������������������������� �������������$�����������������
����������� ������������people behave as if�they were distorting probabilities��������%����
����������������������������������������%�����!�:����� �������������������������������������
���������������������!�
9� B�������
7 ���%����������������%������ �������������$� �����������������������������������
������������������� �������������������������������������� �� ��������!������������������'
���� ��� �� ������� ���� � ������ ����� �� �������� ���!� 4� ������� ���� � �������� ���� ������� � '
�������� ��� �������� �������%��$� �������$� ���� � ������ ��� ����������� �� � �����!� ������� �
������������������������������������������������������� ������� ������������ ��������������
���������������������� �������������������������!��
4������������ ��������������������������� ��������2 �����#��� ������ ���������'
�������� !������������������������������� ������������ �������� ���������� ���������� �
������!������ ���������� ������ ���� ������$� �������� ���������� �������� �� �� �������������$� ����
����� � �������� ��� ����� ��� ������ � ������!� 7���������� ������ ��� ����� ��� � ����� ����� � '
�������� � � �������� �� ��� ��������� � ��������� ����!� 7����� �������� ����� ��� � ����� ���
����������������� $� ��������������� ������������� ���� �� ������� ������������������!�
������������ ������������� �����������2�����������!�4������������������������������H���$�
��������������������� ����� ��������������������������������� ��������!��������H���������
��������� ����������������������������������%������������-���������������!�:��E������$�
������������������������������������������������������������B����������C�������������������������������%����)��%���(�������� ���� �������� �������!�
� �*�
����������������� ��������������������������������������������$��������������� ���� '
�����������������!�7��������������� ��������������������� �������������������������������$�
����������������������������������������������������� �������!�
4��������������������������������������� ������������������� $���������������������
������$��!�!��������� �� ��������������!�M�������������������������������������������� !�8�
��� �� ������'�H������ ���� � ��� ���������� ��� � �������� �������� ��������� !� &������ ����'
����� ���������� ���$� ��������$� ��� ��������$� ���� ������� ��� ������� �����$� ���� ��������� �
��������$����������������������� �������������$��������������%�������������������������
���� �� ��������!�6������������������������������ ����������������� ��������$�����������
������������� �����+�����������)���������!����������������������������� �����$������
���������� �������� ������(���� �)��%���(� ���*��$�� ���������-�������������������� ��!� 8��
��$���������������������������������������� ����� �"�������#��� ������ $������ �������
����� ��������!�:������������ ������������������$� �������������������� �������� �� ��������
��������������������� ��$����irrationality illusion!��
8������� ������������� ���"�������#��� ������ ��������������������� ��� �������� �
������ ����������������������������!�4�������������� ��������������������������
�������������������������������������-����������$����������������������������������������
�������� ����������������������!������ ��������������� ����� ���������� � �������� �� ���
����������5��������!���
2 �����#��� ������ ������������p�J�r$�������r������������� ���!��!�����������$����'
����$� ��� ���������� ��� ������ ���� �� �������������������������� �������$�������� ����������
������������������� $������������������������!��
������������ ����� ���������������������������� ���w�p��J�r$�������w�������� ���
��������� ����������������!����������������������� ���������������� ����$�����������
������� ����B���'������C��������������������������������������������������� ���!��
"�������#��� ������ ������������p�J�D�r�$�������D����������������������� ����'
���� ��� ��� ������ �������� � � )��%���(!� ����� ������ ���������� ��� ��������� ���� +������'
)���������������������� �� ���������������������� ������������� �����������������������!�
8����������$������������������������������������ ����������$�-�������������������� ������'
���������������������������������� ���������!���
�
� �I�
0�����������
4�����$�)!$����*0�!�Le comportement de l’homme rationnel devant le risque: critique des postu%
lats etaxiomes de l’école Américaine!�2�����������$����*/0'*,I!�
7�������$�)!�3!$�����,�!�Using contextual effects to derive psychophysical scales.����������U��� ���� ���$�@��!��*$�+�!�����!�1�'�I!�
7�����T��$� 2!$� L������(��$� L!$�3�����$� 5!$� ��//I�!�The Priority Heuristic: Making Choices
Without Trade%Offs!��� ���������5�����$���0���$���!�,/�',0�!�
L��(����$�5!$�:�$�L!$� ������!�On the Shape of the Probability Weighting Function.������������ ����� $�01$�������'�II!�
<�������$�"!$������% $�4!$� ������!�Prospect theory: An analysis of decisions under risk.�2�'�������$�,�$����0�0'0��!�
<�������$�"!$�:�%%��$� �!$� &����$�5!$� ������!�Back to Bentham? Explorations of Experienced
Utility!�����Q������ �=����������2������$�)� $����0�*',/*!�
<�������$�"!$�������!�Objective Happiness!�8��<�������$�"!$�"�����$�2!$�&����($�+!����������Well%Being. The Foundation of Hedonic Psychology!�5�������&����A��������$����0'�*!�
<�������$� "!$� ������$� 5!$� ��//I�!� Anomalies: Utility Maximization and Experienced Utility!�=����������2���������������$������/$�+�!�$�������'�0,!�
)��%���(�3!$����*��!�The Utility of Wealth.�=������������������2���� $�@��!�I/$���!��*�'�*1!�
5���$� "!$� ��//,�!� Utility theory from Jeremy Bentham to Daniel Kahneman!� :��%���� ������6&2M5�/,'I,$�6������&��������2�������������������&����!�
&����$�3!$� ���1��!�Theories of bounded rationality.� 8��3!� &����� �������$�Models of bounded
rationality. Behavioral economics and business organization!����������$�)4$�)8�������!�@��!��$����,/1',�0!�
�����% �4!$�<��������"!$�������!�Advances in Prospect Theory: Cumulative Representation of
Uncertainty!�=����������5��%�����#������ $����!�*�,�$�M����$�������'0�0!�
@��������$�7!�)!�&!$�A��-���$��!$�������!�The Measurement of Welfare and Well%Being: The Ley%
den Approach!�8��<�������$�"!$�"�����$�2!$�&����(�+!���������$�Well%Being. The Foundation
of Hedonic Psychology!�5�������&����A��������$����,�0',00!�
@���+�������=!$�)����������M!$����,,�!�The Theory of Games and Economic Behavior$������'���#������� ������!�
:����$�2!$�����,�!�From Subjective Probabilities to Decision Weights: The Effect of Asymmetric
Loss Functions on the Evaluation of Uncertain Outcomes and Events.� �� ��������� 7������$�@��!���*$�+���$������1'�,�!�