David Hilbert y su Escuela. matematica_ense_anza_1978.doc

8/20/2019 David Hilbert y su Escuela. matematica_ense_anza_1978.doc

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DAVID HILBERT Y SU ESCUELA1

Diego Pareja Heredia. Universidad del Quindío

DAVID HILBERT, alrededor de 1912.

Foo o!ada de la "#gi$a %e& del OberwolfachMathematical Institute:http://www.mfo.de/

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1 E'e ar()*lo +*e origi$al!e$e "*&li)ado e$ -ATE-TICA / E0SEA0A U0IVERSITARIA3 0o.4. Ago'o, 1945. Ha 'ido "*e'o al d(a "or el a*or e$ -a6o de 2774.

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http://www.mfo.de/http://www.mfo.de/


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DAVID HILBERT Y SU ESCUELADiego Pareja Heredia. Universidad del Quindío.

El año pasado celebramos el bicentenario del nacimiento de Carl F.Gauss y por ende del despuntar de lo que podríamos llamar laconstelación matemática alemana, cuya estrella más brillante vino aser David ilbert.

!a aparición de tantos y tan aquilatados valores matemáticos, no sedio espontáneamente, sino, en "ran medida #ue consecuencia delimpulso dado a la educación por una #loreciente clase industrial ycomercial cuyo principal asiento estaba en la anti"ua $rusia.Despu%s de su derrota a manos de los #ranceses, el rey FedericoGuillermo &&& se propuso crear a partir de 1.'() una nación cuyo#uerte #undamental estuviera en la cultura básica de sus "entes. *Guillermo +arón de umbolt -ermano de *leandro, el cientí#icoviaero que visitó nuestras tierras el si"lo pasado/ se le encomendóla tarea, de e#ectuar las re#ormas pertinentes desde el 0inisterio deEducación. e instituyó un sistema nacional de educación primaria,

secundaria y escuelas normales. e destaca el -ec-o sinprecedentes que, en el currículo de los "imnasios aparecían 2 -orassemanales de matemáticas a lo lar"o de los 1( años que duraba talciclo educativo. $or esta %poca se crearon las universidades de+erlín 1.'(3/ y de +onn 1.'1'/.

Carl 4acobi, !eeune Diric-let, ermann Grassmann, Ernst 5ummer,5arl 6eierstrass, #ueron los primeros #rutos de la nueva era.Discípulos, ó bao la in#luencia de los anteriores sur"ieron eine,5ronec7er, 8iemann, Dede7ind, an7el, Cantor. !a nómina viene acompletarse con 5lein, Fre"e, !indemann, ilbert, ausdor## y

9ermelo, entre los más conocidos.!a :niversidad de Gotin"a #undada en 1.);< lle"ó a convertirse a#ines del si"lo =&= en un centro cientí#ico reconocidointernacionalmente. Feli> 5lein, -abía continuado la tradicióniniciada por Gauss, de mantener de Gotin"a un cuerpo docentesiempre creativo y abierto a nuevas ideas. Desde la aparición de su

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@Programa de ErlangenA 1.')?/ en el cual en#oca las "eometríasse"Bn el "rupo de trans#ormaciones en que se sustentan, Feli> 5leinya estaba catalo"ado como un matemático #amoso. u presti"io-abía traspasado las #ronteras patrias como lo muestra el

o#recimiento que le -io en 1.''; la :niversidad 4o-ns op7ins, deEstados :nidos, para suceder en la cátedra al no menos #amosomatemático in"l%s 4ames 4osep- ilvester 1'1presar racionalmente todos los invariantes de un sistema, ent%rminos de los elementos de la base. El m%todo usado por ilbert

era en si, tan novedoso, que Gordan no podía aceptarlo comocorrecto, y a#irmaba que la ar"umentación de ilbert no eramatemáticas, si no teolo"ía.

!a ventaa de ser pro#esor titular de la :niversidad de Gotin"a dabaa ilbert, libertad para esco"er los cursos a dictar cada semestre.Fue entonces cuando decidió reivindicar las teorías de Cantor en

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relación con los cardinales trans#initos, las cuales en esa %poca eranconsideradas como un tabB en al"unos círculos matemáticosalemanes, en "ran parte, debido a los ataques e>cesivamente#uertes de 5ronec7er a los sorprendentes descubrimientos -ec-os

por Cantor. 5ronec7er #ue considerado como autoridad enmatemáticas, aunque no aceptaba como ri"uroso sino aquello queera susceptible de construirse. ilbert de otra parte era de la opiniónde que si uno puede probar que los atributos asi"nados a unconcepto nunca llevan a una contradicción, entonces ,la e>istenciamatemática del concepto quedaba "arantiada.

!as líneas #ilosó#icas se"uidas por 5ronec7er y ilbert puedenencuadrarse en lo que vendría a ser con el tiempo, el intuicionismo yel #ormalismo, respectivamente, cuyos mayores propulsores en estesi"lo #ueron !. E. 4. +rouer 1.''11322/ y David ilbert.

!os aportes de ilbert a la Heoría de IBmeros no se -icieronesperar. En 1.'3) apareció su obra @9a-lberic-tA en la que describelos Bltimos avances en teoría de nBmeros -asta esa %poca, comotambi%n sus aportes personales al tema, entre los que se destaca la"eneraliación de la ley de reciprocidad cuadrática a cuerposal"ebraicos. *l estudiar la ley clásica de la reciprocidad cuadráticade Gauss, ilbert #ue capa de reestablecerla en #orma simple yele"ante, la cual tambi%n se aplicaba a cuerpos num%ricosal"ebraicos e iniciaba así una teoría que lle"aría a conocerse comoTeoría de Cuerpos de Clase.

En el invierno de 1.'3'1'33 los intereses investi"ativos de ilbertcambiaron abruptamente de teoría de nBmeros a "eometría. En esteterreno, al i"ual que en teoría de nBmeros, su -uella quedó impresacon caracteres imborrables.

* pesar de que la Geometría Euclidiana #ue considerada como unaestructura sumamente sólida por muc-os si"los, en el si"lo =&= sevino a establecer que podían e>istir otras "eometrías distintas a laEuclidiana pero tan consistentes como %sta y de paso se demostróplenamente que el quinto postulado de Euclides no podía deducirsede los otros a>iomas. !a obra de 0orit $asc- y Giuseppe $eanoconduo a la conclusión de que la "eometría podía llevarse a un puroeercicio de sinta>is ló"ica. !a versión de $eano de la "eometría eracompletamente abstracta y se reducía a un cálculo de relacionesentre variables. !a idea de ilbert #ue entonces presentar la"eometría desde un punto de vista más moderno y con mayor claridad que lo que -abían -ec-o $asc- y $eano.


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ilbert comenó tomando tres sistemas de cosasJ puntos, rectas yplanos. Estas cosas tendrían entre sí relaciones mutuas, como lainterestancia, con"ruencia, paralelismo, etc. !os obetos primitivosde los sistemas iniciales podían sustituirse por cualquier otro tipo de

obetos siempre que se si"uieran satis#aciendo las relacionesprimitivas. En sus clases proponía establecer un conunto completode a>iomas independientes, por medio de los cuales #uera posibledemostrar todas las proposiciones de la "eometría tradicionalusando un mínimo de simbolismo. Con sus notas de clase lle"ó acon#ormar lo que en palabras de enri $oincar% sería un clásico dela "eometría, su obraJ @Fundamentos de GeometríaA.

*l comieno de su obra e>i"e que sus a>iomas satis#a"an lassi"uientes propiedadesJ

CompletitudJ Hodos los teoremas pueden derivarse de ellos.&ndependenciaJ El e>cluir uno de ellos -aría imposible demostrar por lo menos un teorema.ConsistenciaJ Heoremas contradictorios no pueden ser derivados de estos a>iomas.

:sando la "eometría analítica mostró que cualquier contradicciónque pudiera aparecer en la "eometría euclidiana, debía tambi%naparecer como una contradicción en la aritm%tica de los nBmerosreales y así tanto la "eometría euclidiana como las "eometrías noeuclidianas eran al menos tan consistentes como la aritm%tica de losnBmeros reales, la cual era universalmente aceptada por losmatemáticos.

u poli#ac%tico inter%s se desvió en las postrimerías del si"lo, -aciaun problema conocido como Principio de Dirichlet , el cual #ue usadopor Gauss, 8iemann y el propio Diric-let -asta que 6eierstrass locuestionó al probar que %ste, en "eneral, no era válido. !a "ranutilidad del mismo principio -acía que en #ísica se usara con muc-a#recuencia y de aquí partió la iniciativa de re#ormarlo sobre basesmás #irmes. Cincuenta años despu%s de que 8iemann lo usara ensu disertación de "rado, ilbert, en lo que %l llamó la @resurrecciónAdel $rincipio de Diric-let, presentó a la ociedad 0atemática

*lemana, la #undamentación ri"urosa del principio y las limitacionesque debían -acerse a sus -ipótesis para dear sin piso lasobeciones de 6eierstrass. De esta manera el principio de Diric-letobtuvo su carta de naturalea en la escuela matemática de Gotin"acon todos los derec-os que eso implicaba. El #ísico 6alter 8it,estimulado por ilbert, inventó, en base al re-abilitado principio, unm%todo poderoso para resolver num%ricamente problemas de


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valores de #rontera por medio de ecuaciones di#erenciales parciales,m%todo que ustamente en nuestro tiempo se -a convertido en una-erramienta utilísima a trav%s del computador.

El nuevo si"lo encontró a ilbert enseñando y aportando ideasnuevas en el cálculo de variaciones, una rama del análisis que tieneque ver con problemas de valores e>tremos relativos a #amilias de#unciones. :n problema de %sta teoría #ue propuesto por 4o-ann+ernoulli y consiste en -allar la curva sobre la cual una partículadesciende de un punto a otro en el menor tiempo posible.

0a> Kon !aue quien asistió al curso de Cálculo de Kariaciones y aquien despu%s se le otor"ó el premio Iobel en Física, decía deilbert en aquella %pocaJ @Este -ombre vive en mi memoria como elmás "rande "enio que mis oos -ayan podido verA.

Esta %poca de la vida de ilbert #ue más variada en cuanto a susaportes cientí#icos. *demás del cálculo de variaciones trabaó en"eometría y en Fundamentos de las Matemáticas. En relación conesto Bltimo introduo el Bltimo m%todo a>iomático para sustituir elm%todo "en%tico usual, en el tratamiento de los nBmeros reales.Cuando se encontraba en la cBspide de su productividad intelectualle lle"ó la invitación para pronunciar uno de los principales discursosen el Congreso Internacional de Matemáticos que se celebraría en$arís en el verano de 1.3((.

El tema de su discurso #ue propuesto por su queridísimo ami"oermann 0in7os7i, quien su"irió analiar los problemas, sobre loscuales, los matemáticos del si"lo que se iniciaba, tendrían quetrabaar. @Con este temaA, a#irmaba 0in7os7i, @tendrá a muc-a"ente -ablando de su discurso por muc-as d%cada por venirA. !a-istoria -a con#irmado lo dic-o por 0in7os7i, al menos, -asta loque va corrido de %ste si"loJ pues los veintitr%s problemascontenidos en su discurso -an dado tema para muc-asmatemáticas. Io -ace muc-o 0ayo 1.3)


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Este problema, cuya solución #ue ne"ativa no e>iste tal al"oritmo/,#ue resuelto #inalmente por Luri 0atyasevic- en 1.3)(, basándoseen la teoría de #unciones recursivas, desarrollada entre otros por,ilary $utnam, 4ulia 8obinson y 0artin Davis.

El a*or 6 *r Eide e$ *$a de la' a*la' do$de, lei$ 6 Hil&er di)aro$ '*')la'e' !agi'rale', e$ el I$'i*o de !ae!#i)a' de la U$i>er'idad de

?oi$ga. E$ el )e$ro *$ rerao de Feli8 lei$. A&ajo lo' rerao' de @ao& 6@oa$$ Ber$o*lli, a$)e'ro' i$ele)*ale' de lei$ 6 Hil&er.

@MNuien de nosotros no se sentiría #eli al correr el velo detrás delcual permanece oculto el porvenir, y ec-ar una mirada a los #uturosavances de la ciencia y a los secretos de su desenvolvimiento en lascenturias veniderasOA. *sí comenó el discurso ilbert, ante unaconcurrencia de matemáticos de di#erentes países que se dieron citaen $arís, donde por %sta %poca, se celebraba una e>-ibición #erial.

*unque los problemas e>puestos no eran de su invención, ilbertquería, sintetiar en ellos en #orma consistente, aquello, que en suopinión tenía su#iciente m%rito para que las nuevas "eneracionesconcentraran su empeño en buscar soluciones, -asta esa %poca, nolo"radas.

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Entre los problemas propuestos dados en el orden de su discurso/se podrían destacarJ

1 !a Hipótesis del Continuo, o problema de Cantor del nBmero

cardinal del continuo.!a -ipótesis del continuo a#irma que, cualquier subconunto denBmeros reales puede ponerse en correspondencia biunívoca o conlos nBmeros naturales, o, con todo el conunto de los nBmerosreales. Esto intuitivamente si"ni#ica que si 0ℵ es el cardinal de losnaturales, el si"uiente cardinal tiene que ser el cardinal del continuo,o para ilbert, el cardinal de los nBmeros reales.

Her!a$ -i$o'i :15;/1979=

2 &nvesti"ar la consistencia de los a>iomas de la aritm%tica de losnBmeros reales.

4 Establecer la trascendencia, o al menos, la irracionalidad deciertos nBmeros.

5 !a hipótesis de Riemann, que a#irma que la #unción zeta

s s s

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1

2

11)( ++=ζ P Q

tiene sus ceros no triviales en la recta = x2

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17 allar un al"oritmo para decidir si, una ecuación dio#antinatiene, o no, solución.

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1 0ostrar la imposibilidad de resolver en "eneral la ecuación des%ptimo "rado por medio de #unciones de solamente dosar"umentos.

@!a unidad or"ánica de las matemáticasA, terminaba diciendo ilbert,@es in-erente a su propia naturalea, ya que, ella es la#undamentación de todo el conocimiento cientí#ico de los #enómenosnaturales. RNue las matemáticas cumplan esta elevada misión y queel nuevo si"lo trai"a connotados maestros de las matemáticas, asícomo, celosos y entusiastas discípulosSA.

*l despuntar el nuevo si"lo, ilbert estaba considerado comoverdadero valor en el conocimiento amplio y pro#undo de las

matemáticas, solamente superado por enri $oincar%, quien al i"ualque %l, -abía visitado casi todos los terrenos de la ciencia, deando asu paso invaluables aportes.

u ape"ó a Gotin"a #ue inmenso y no -ubo o#ertas de otrasuniversidades que %l no rec-aara. !eipi" le o#reció la cátedra deop-us !ie, mientras que, +erlín lo invitó a suceder a !aarusFuc-sJ en ambos casos pre#irió declinar tan -onorosas distinciones.u entusiasmo a-ora, estaba en las ecuaciones inte"rales y en lateoría potencial. Dos "randes #i"uras de las matemáticas #ueron susalumnos y colaboradores de esta %pocaJ Er-ard c-midt y el "rie"oConstantin Carat-eodory. Fue tambi%n por esta %poca que el"obierno alemán le otor"ó el título nobiliario de @eheimrat A,equivalente más o menos al de caballero, en la tradición in"lesa.Di#erentes academias europeas lo -onraron aco"i%ndolo como auno de sus miembros -onorarios.

El comieno del si"lo trao a los matemáticos sorpresasdesa"radables. Cuando Gottlob Fre"e tenía el manuscrito sobre@!os Fundamentos de la *ritm%ticaA, listo para la imprenta, el enaquel entonces, oven ló"ico in"l%s +ertrand 8ussell 1')?13)(/,-abía e>puesto una paradoa, la cual tuvo catastró#ico e#ecto en los#undamentos de las matemáticas. !a misma paradoa #ue propuestasimultánea, pero independientemente por Ernest 9ermelo a ilbert.!a paradoa tiene que ver con los conuntos que no son miembrosde sí mismosT por eemplo el conunto de todos los conuntos quetienen más de tres elementos, es un miembro de sí mismo por tener más de tres elementos, mientras que el conunto de todos losnBmeros naturales no es un miembro de sí mismo, puesto que no esun nBmero.

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9ermelo y 8ussell descubrieron que el conunto #ormado por losconuntos que no son miembros de sí mismos, tiene la e>trañapropiedad de que, es miembro de sí mismo, si y sólo si, no es

miembro de sí mismo. emeante antinomia baó la moral no sólo ailbert, sino a Fre"e y a Dede7ind, quienes optaron por dear elcampo de la teoría de conuntos. Fue entonces, cuando ilbertpropuso por primera ve en la -istoria de las matemáticas, lanecesidad de -acer a la prueba misma un obeto de investi"aciónmatemática.

Gotin"a -abía cobrado tanta #ama en matemáticas que losestudiantes se a"olpaban en las aulas donde ilbert disertaba en suespecialidad de turno, con el ánimo de palpar el virtuosismo delmaestro en el maneo de las matemáticas, como -erramienta en la

solución de "ran variedad de problemas. Ul, a menudo decíaJ @!a#ormulación per#ecta de un problema es la mitad del camino -acia susoluciónA.

En 1.3( su obra matemática alcanó la má>ima altura al introducir los espacios in#inito dimensionales, conocidos lue"o universalmentecomo, espacios de ilbert. imultáneamente con sus estudios yseminarios de lo que %l llamó Teoría Espectral , mantuvo un curso decálculo para estudiantes de primer año a trav%s del cual introduoresultados avanados y trabaos recientes en el tema.

!a teoría de nBmeros era, para 0in7os7i como para ilbert, la másmaravillosa creación de la mente -umana y #ácilmente ilbert,retornaba a esta disciplina, cada ve que, al"o importante se leocurría. Edmund 6arin" -abía coneturado que todo entero positivopodía representarse como la suma de cuatro cuadrados, nuevecubos, diecinueve cuartas potencias, etc. Este enunciado pasó a la-istoria de las matemáticas comoJ el Pro!lema de "aring . Davidilbert lo"ró una prueba de este problema en 13('. *unque laprueba era di#ícil de se"uir, por lo compleo de las teorías e>puestas,en opinión de G. . ardy, el trabao de ilbert con respecto al-istórico problema de 6arin" constituyó un -ito en la teoría denBmeros.

En 1.3() el pro#esor Paul "ol#s$ehl le"ó a la ociedad Cientí#ica deGotin"a un capital de cien mil marcos con el obeto de premiar a lapersona que por primera ve diera una prueba completa del VltimoHeorema de Fermat. !os intereses de esta suma reducidaactualmente a al"o más de 1(.((( marcos como consecuencia de la"ran depresión de los años veinte/ sirvieron para invitar a enri

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$oincar% en abril de 1.3(3 a dictar una serie de con#erencias en la:niversidad, sobre ecuaciones inte"rales. En aquel tiempo el mundomatemático era considerado como un elipsoide en cuyos #ocosestaban ilbert y $oincar% y de allí la importancia de la visita del

matemático #ranc%s a Gotin"a.$or el círculo cientí#ico de ilbert pasaron buena parte de los másvaliosos valores de la ciencia del presente si"lo. ermann0in7os7i, Edmund !andau, Carl 8un"e, 0a> +orn, ermann 6eyl,los -ermanos, Iiels y arald +o-r, H-eodore Kon 5ármán, Ernst9ermelo, Erin c-rWdin"er, Ernst ellin"er, 8ic-ard. Courant, 4o-nKon Ieumann, $avel er"eevic-. *le>andro## y Geor"e David+ir7-o## estuvieron li"ados a ilbert y a su escuela por lar"os años.

!a *cademia Bn"ara de Ciencias otor"ó el premio +olyai a ilbert,

como reconocimiento a la pro#undidad de su pensamientomatemático, a la ori"inalidad de sus m%todos y al ri"or ló"ico de susdemostraciones, todo lo cual -a eercido considerable in#luencia enel desarrollo de la ciencia. * $oincar% correspondió en 1.31( -acer entre"a del mencionado "alardón a David ilbert.

!os trabaos de ilbert sobre ecuaciones inte"rales de la #ísica, lollevaron al estudio de la #ísica, abriendo así una brec-a que li"aría alas 0atemáticas con la Física. Con esta relación saldríanbene#iciadas ambas ciencias.

Cl*& de -ae!#i)o' de ?oi$ga, 1972. En la primera #ila aparecen, de

iquierda a derec-aJ *bra-am, c-illin", ilbert, 5lein, c-arsc-ild, ra.Loun",9ermelo. En la se"unda #ilaJ Fanla, ansen, 0uller, Daney, c-midt, Los-ive,Epsteen, +ernsteinT En la tercera #ilaJ +lument-al, amel, . 0uller.

Cuando ilbert se introduo en los terrenos de la #ísica, decía en sonde broma @!a #ísica es demasiado dura para los #ísicos. La que-emos re#ormado las matemáticas, -a"amos lo mismo con la #ísicaA.

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:sando el m%todo a>iomático y su teoría de ecuaciones inte"ralesestructuró la teoría cin%tica de los "ases, teoría que vendría aconvertirse en -erramienta matemática, aceptable y Btil.

us deseos de -acer aportes a la #ísica lo obli"aron a ponerse aldía, en cuanto al desarrollo moderno de la misma, se re#iere. *rnoldommer#eld ayudó a ilbert, enviándole como asistente a $aulEald, conocido en los medios de Gotin"a como el @Hutor de ilberten FísicaA y posteriormente a *. !and%. Ellos le ayudaron a e>tractar los resultados más destacados de la literatura relativa a la Física0oderna.

us trabaos sobre la radiación y la teoría molecular de la materianunca #ueron publicados. En estos trabaos proponía el m%todoa>iomático para dar estructura cientí#ica a la radiación y a la teoría

molecular. !os intereses del premio 6ol#s7e-l se utiliaron en 1.31(para invitar a Gotin"a al celebre #ísico . *. !orent a e>poner sobrerelatividad y radiación, en 1.31; para patrocinar una semana decon#erencias sobre teoría cin%tica de la materia, y en 1.31< paracontratar a *l#red aar y a $eter Debye como pro#esores visitantes.aar pasó a la -istoria de las matemáticas, por la llamadatrans#ormada de aar, que se usa en teoría de %a&elets y Debye yaocupa sitial de -onor en la ciencia al ser laureado con el Premio'o!el de química en 13;2.

Cuando se le pre"untaba a ilbert por qu% no probada el VltimoHeorema de Fermat y "anaba el Premio "o#ls$ehl , decíaT @M$or qu%tendría yo que sacri#icar a la "allina de los -uevos de oroOAIo todo tenía que ser "loria en Gotin"a. * #ines del año 1< la &Guerra 0undial sacudió los claustros acad%micos y ilbert #uetácticamente considerado como un traidor a la patria por ne"arse a#irmar una carta Einstein tambi%n se abstuvo de #irmarla/ en la cualse apoyaba la actitud b%lica del 5aiser en relación con la primeracon#la"ración mundial.

!a "uerra se llevó el nutriente oven de la escuela de ilbert. 5lein,aqueado por los años, debió ceder el paso a ConstantinCarat-eodory, un e> discípulo de ilbert. Io obstante, ilbert si"uióen su empeño de aportar al"o al desenvolvimiento de la Física. uartículo @Fundamentos de la FísicaA #ue presentado a la ociedadCin%tica de Gotin"a en Ioviembre de 131, casi simultáneamentecon los trabaos de Einstein sobre teoría "eneral de la 8elatividad,en los cuales se resolvían problemas análo"os a los resueltos por ilbert en su artículo. Esta simultaneidad no #ue causa de rivalidad,

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sino por el contrario, dio ori"en a un intercambio de visitas y cartasamistosas entre los dos "randes de la ciencia alemana.

!a -ia del destacado matemático 0a> Ioet-er entró en escena por

este tiempo en Gotin"a. Emma Ioet-er, e>discípula de Gordan y desu padre, ya tenía en su -aber una docena de artículos sobre *l"ebra y aunque no sobresalía como onya 5oalevs7aya por subellea, si, la superaría con creces, en su producción matemática.!a luc-a que emprendió ilbert para -abilitar a Emma Ioet-er comodocente en la :niversidad #ue árdua. $ara muc-os era inconcebibleque una muer desempeñara tal car"o. asta que #ue admitida,ilbert anunciaba sus cursos y ponía a Emmy Ioet-er a dictarlos.

E!!6 0oeer :1552/19, el "ran matemático #ranc%s, escribióuna memoria elo"iosa en reconocimiento a su labor matemática y asu positiva in#luencia en desenvolvimiento de la ciencia en Francia.Cuando su artículo apareció publicado, una -orda de estudiantesauados por mentes #ascistas apareció "ritando epítetos -irientescontra ilbert, por lo que ellos sostenían, era una apolo"ía de unmatemático enemi"o. *l ser presionado por los mani#estantes, paraque se retractara y mandara reco"er la edición, ilbert se diri"ió al

8ector de la :niversidad y le mani#estó de que si no recibía undesa"ravio o#icial por la a#renta que se le -abía -ec-o, se retiraríade la universidad. El desa"ravio se -io y la memoria si"uió enprensa, ilbert escribió otras tres memorias ele"íacas como tributo a6eierstrass, a 0in7os7i y a urit.

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!a primera "uerra mundial terminó y ilbert, vio despuntar otra"uerra. $ero %sta tenía un cari muy distinto. +rouer -abíadesa#iado la creencia "eneral de que las leyes de la ló"ica clásicatienen una valide absoluta, independientemente de los tópicos a los

cuales se aplica. +rouer, no era un advenedio en matemáticas.En 1.311 mostró que la dimensión de un espacio euclídeo es uninvariante topoló"ico y tambi%n en la misma área ya -abíademostrado el teorema del punto #i(o, que lleva su nombre. inembar"o, sus teorías desconcertaron a muc-os, muy especialmentea David ilbert, quien veía con desconcierto cómo +rouer seobstinaba en no aceptar en "eneral, el principio ló"ico del terceroe>cluido. Desde los tiempos de *ristóteles se aceptaba sincuestionamiento que, para cualquier enunciado p, se tieneJ o p esverdadero, o su ne"ación es verdadera, sin e>istir terceraalternativa. +rouer, insistía en que, e>istía una tercera posibilidad,

que no podía descartarse. p, podría no ser, ni verdadera, ni #alsa.0uc-os teoremas matemáticos se prueban mostrando que, lane"ación de la tesis del mismo, conduce a una contradicción y comoconsecuencia de esto el teorema queda probado. !a e>istencia,como presumía +rouer, de una tercera alternativa, deaba sin piso,un m%todo que por milenios, #ue arma #undamental en el ataque dein#inidad de problemas. En raón a esto ilbert decíaJ @$rivar a lasmatemáticas del principio del tercero e)cluido* es como pro-ibir albo>eador que en sus peleas, use los puñosA.

*l volver ilbert a los #undamentos de las matemáticas, tenía entresus proyectos, la clari#icación de los si"uientes problemasJ

i / !a solubilidad, en principio, de cada problema matemático.

ii / Encontrar una simpli#icación estándar para cada pruebamatemática.

iii / !a relación entre contenido y #ormalismo en matemáticas.

i& / El problema de la decidibilidad de cada enunciado matemáticomediante un proceso de un nBmero #inito de pasos.

!os cuatro puntos e>puestos son materia de "ran inter%s, no sólomatemático, sino tambi%n, #ilosó#icoT como se desprende de lostrabaos memorables desarrollados por 5urt GWdel en ló"icamatemática, en los años de 13;(.

ilbert se sentía deprimido al ver que el Intuicionismo, la escuela#ilosó#ica liderada por +rouer, "anaba más y más adeptos, entre

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ellos a su brillante e> discípulo ermann 6eyl. *l no poder construirse, usando al"oritmos #initos, ciertos entes matemáticos, lae>istencia de %stos, era cuestionada por los intuicionistas. Elconcepto de nBmero irracional, el de #unción, los cardinales

trans#initos de Cantor, el teorema de que en todo conunto in#inito denBmeros naturales e>iste un mínimo, eran puestos en tela de uicio. *nte estas di#icultades, propuso #ormaliar las matemáticas en unsistema, en el cual, los obetos del sistema los teoremas y pruebas/#ueran e>presados en el len"uae de la ló"ica simbólica, comoproposiciones que tuvieran una estructura ló"ica pero no contenido.!a consistencia del sistema #ormal, en este caso las matemáticas,podría entonces establecerse, usando lo que ilbert llamó m%todos#initistas. En esta #orma ilbert, de una ve por todas, creyó -aber lo"rado anar las tremendas di#icultades de la crisis de los#undamentos de las matemáticas.

6illiam Feller, 5urt X. Friendric-s, ans !ey, Xtto Ieu"ebauer yFran 8ellic-, eran las nuevas promesas en Gotin"a. 8ic-ardCourant, nombrado como el sucesor de 5lein, llevaría a la realidadel sueño de este Bltimo, de construir un Instituto donde losmatemáticos tuvieran su alber"ue y su #oro. Courant, despu%s de-aber servido en el #rente de batalla, dedicó todo su es#uero amantener la creatividad, de la cual se u#anaba Gotin"a. !os ne>osamistosos con el doctor Ferdinand prin"er, propietario de la #amosaeditorial que lleva su nombre, dieron a Courant la posibilidad deiniciar una nueva era en la literatura matemática. El Mathematische

+nnalen, sostenido por prin"er, en la peor %poca de la depresión,da una idea de la colaboración de Ferdinand prin"er almantenimiento de la actividad matemática.

!a biblioteca ,esezimmer / era el coraón del &nstituto de0atemáticas. *llí estudiantes y pro#esores se nutrían de las nuevasideas cientí#icas. +. !. Kan der 6aerden, quien por recomendaciónde +rouer, -abía venido a Gotin"a, era un asiduo visitante del!eseimmer. @*prendí más en semanas o meses en el !eseimmer que lo que estudiantes lo"ran, asistiendo al salón de clase en años yañosA, a#irmaba.

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Ri)ard Co*ra$ :1555/1942= E$rada al I$'i*o de

-ae!#i)a' de ?oi$ga

arald +o-r, God#rey arold ardy, Carl !udi" ie"el y Iorbert6iener, visitaban el &nstituto en los años ?(. :no de los polosmatemáticos más #%rtiles en el &nstituto estaba centrado alrededor de Emmy Ioet-er. us estudios en in&ariantes di#erenciales, se"Bn

*le>andro##, ya le "arantiaban una reputación de matemática deprimera clase. Kan der 6arden, Emil *rtin y $avel *le>andro##, secontaron entre sus más destacados alumnos.

$aul +ernays y 4o-n Kon Ieumann #ueron los asistentes de ilberta mediados de los años ?(. +ernays trabaando por los lados de laló"ica y Kon Ieumann en Física y en Heoría de la prueba. 4o-n KonIemann vendría a ser considerado posteriormente como el padrede la Heoría de 4ue"os y el asesor clave en el proyecto de !os

*lamos que desembocó en la creación de la primera bombaatómica.

El ocaso de una %poca #loreciente se observó en Gotin"a a lamuerte del "ran Feli> 5lein en 4unio de 1.3?. Con 8ic-ard Courantcomo el director del &nstituto, Gotin"a tendría otra corta temporadade resplandor matemático. !a aparición de la obra @0%todos de laFísica 0atemáticaA de Courant y ilbert, marco un -ito en la -istoriade las matemáticas aplicadas- !a Bltima publicación de ilbert en

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#ísica #ue una colaboración con !ot-ar Iord-eim y 4o-n KonIeumann sobre los #undamentos de la mecánica cuántica.

!a rivalidad entre ilbert y +rouer se -abía -ec-o particularmente

a"ria, sobre todo por parte de +rouer, quien se -abía vuelto un#anático en la de#ensa de su causa. Consideraba a ilbert como aun enemi"o y en asocio de !udi" +ieberbac- trataba por todos losmedios de que los matemáticos alemanes boicotearan el Con"reso&nternacional de +olo"na a realiarse en 1.3?'. ilbert, de otraparte, era opuesto a esta posición sectaria y #ue así como,encabeando una dele"ación de 2) matemáticos alemanes sepresentó al Con"reso, donde su presencia #ue calurosamenteaco"ida. @Hodas las limitacionesA, a#irmó en esa ocasión,@especialmente las nacionales, son aenas a la naturalea misma delas matemáticas. Es un completo malentendimiento de nuestra

ciencia, la creación de di#erencias de acuerdo a "entes y raas. !asmatemáticas no conocen raas. $ara las matemáticas, el mundocultural es un solo paísA, terminaba diciendo.

Diego Pareja Heredia al "ie del rerao de Da>id Hil&er e$ *$ a*la del

I$'i*o de -ae!#i)a' de la U$i>er'idad de ?oi$ga.

*l acercarse a una respetable ancianidad, los -onores de que #ueraobeto se multiplicaron. 5Wni"sber", su tierra natal, e>altó suprestancia, al nombrarlo ciudadano de -onor, y al i"ual queEmmanuel 5ant, el "ran #ilóso#o, y el matemático Carl Gustav4acobi, #ue considerado como -io epónimo de 5Wni"sber". !aciudad de Gotin"a bautió una de sus calles como @ilbert trasseA.prin"erKerla" o#reció como -omenae a su septua"%simo

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cumpleaños, el primer volumen de sus @Xbras CompletasA. !aor"aniación, corrección y montae de este primer volumen, corrió acar"o de Xl"a Hauss7i, quien por años y años #ue una #i"uradestacadísima en el campo de las matemáticas. *ctualmente #orma

parte del Comit% Editorial del @+ulletinA de la *merican 0at-ematicalociety, unto a, $aul 8. almos y . F. 6einber"er.

El virus del naismo se propa"aba en toda *lemania, al comieno delos años ;(. !a persecución implacable a los no arios dio al trastecon lo meor que tenía Gotin"a. Courant, !andau, Emmy Ioet-er,+ernays, +orn, Franc7, #ueron destituidos o amenaados. !a mayor parte de ellos encontraría asilo en Estados :nidos. XttoIeu"ebauer, nombrado como Director del &nstituto, ocupó la-onrosa posición por un solo día, al -aberse ne"ado a #irmar unadeclaración de lealtad al r%"imen. Ieu"ebauer posteriormente pasó

a ser pro#esor de la :niversidad de Lale y se -io #amoso por sustrabaos en istoria de la 0atemática, especialmente en lo queconcierne a la interpretación de la obra matemática de losbabilonios.

ilbert quedó casi sólo en Gotin"a. El ocaso de una "ran %poca loprecipitaron bruscamente itler y sus secuaces. Fran 8ellic-, quienposteriormente ocupó la dirección del &nstituto #ue uno de los pocosmatemáticos que acompaño a ilbert en sus Bltimos años. !a "ranlabor orientadora y docente de este "ran maestro lle"aba a su #incon 5urt c-utte, el se>a"%simo nono "raduado bao su dirección. Elprimero #ue Xtto +lument-al.

:na vida iniciada, en la -oy ine>istente ciudad de 5Wni"sber"?, el ?;de Enero de 1.'2?, lle"ó a su #in en Gotin"a el 1< de Febrero de1.3


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BIBLIG?RAFIA

+ourba7i, Iicolas. Elementos de Historia de las Matemáticas. *liana Editorial, 0adrid, 1.323.

+roder, Feli> E., Editor. Proceedings o# .imposia in PureMathematics* &ol- //0III- Mathematical De&elopments +rising #romHil!ert Pro!lems. *.0.. $rovidence, 8. &., 1.3)2

Edards, arold 0. Fermat1s ,ast Theorem. prin"er Kerla".+erlin, eidelber", Ie Lor7. 1.3)).

Gerstell, 0ar"uerite. Prussian Education and Mathematics. H-e

*merican 0at-ematical 0ont-ly. Kol. '?, IY ;.5ennedy, .C. The 2rigins o# Modern +)iomatics3 Pasch to Peano .H-e *merican 0at-ematical 0ont-ly. Kol. )3 IY ?.

5imberlin", Clar7 . Emm4 'oether . H-e *merican 0at-ematical0ont-ly. Kol. )3 IY ?.

8eid, Constance. Hil!ert . prin"er Kerla". +erlin, eidelbea", IeLor7, 1.3)(.

8eid, Constance. Courant in 5ttingen and 'e% 6or$- prin"er Kerla". +erlin, eidelbea", Ie Lor7, 1.3)2.

8ibenboim, $aulo. 78 ,ectures on Fermat1s ,ast Theorem. prin"er Kerla" 1.3)3. ay nueva edición de ?(().

:lam, tanisla 0. +d&entures o# a Mathematician. C-arlesc-ribners. Ie Lor7 1.3)2

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DAVID HILBERT. Foto de alrededor de13;?. FuenteJ -ttpJZZ"roups.dcs.stand.ac.u7Z[-istoryZ0at-ematiciansZilbert.-tml

?(
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Hilbert.htmlhttp://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Hilbert.htmlhttp://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Hilbert.htmlhttp://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Hilbert.html

David Hilbert y su Escuela. matematica_ense_anza_1978.doc

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