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Índice general

1 David Bohm 11.1 Contribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Opiniones sobre David Bohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Obras en español . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4 Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.5 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Interpretación de Bohm 32.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.1 Comparación con la interpretación convencional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.1.2 Experimento de la doble rendija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Aspectos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.1 Ontología de la interpretación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2.2 Formalismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.3 Ecuación guía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.4 Bohm y el problema de la medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.5 Dicultades de la interpretación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.6 Ecuación de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.7 La Regla de Born . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.8 La función de onda condicional de un subsistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Extensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3.1 Espín . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3.2 Espacio curvado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3.3 Teoría cuántica de campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3.4 Explotando la no localidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3.5 Relatividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4.1 Medida del espín y la polarización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4.2 Mediciones, formalismo cuántico e independencia del observador . . . . . . . . . . . . . . 82.4.3 Principio de incertidumbre de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4.4 Entrelazamiento cuántico, paradoja Einstein-Podolsky-Rosen, teorema de Bell, y no locali-

dad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4.5 Límite clásico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

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ii ÍNDICE GENERAL

2.4.6 Método de las trayectorias cuánticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4.7 Crítica de la navaja de Occam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.5 Derivaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.6 Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.6.1 Teoría de la Onda-piloto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.6.2 Teoría de Broglie–Bohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.6.3 Mecánica Bohmiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.6.4 Interpretación causal e interpretación ontológica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.7 Referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.7.1 Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.7.2 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Teorema de Bell 16

3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2 Importancia del teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3 Desigualdades de Bell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3.1 Desigualdad original de Bell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.3.2 Desigualdad CHSH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.4 Las desigualdades de Bell son violadas por las predicciones de la mecánica cuántica . . . . . . . . . 203.5 Experimentos prácticos para comprobar el teorema de Bell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.5.1 Dos clases de desigualdades de Bell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.5.2 Retos prácticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.6 Retos teóricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.7 Observaciones nales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.8 Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.9 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.10 Lecturas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.11 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4 Efecto Aharonov-Bohm 264.1 Descripción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.2 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5 Jiddu Krishnamurti 275.1 Biografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5.1.1 Nacimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.1.2 Juventud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.1.3 Inuencia de Leadbeater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.1.4 Separación del Padre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.1.5 El despertar losóco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.1.6 “Crear un mundo nuevo” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.2 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

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ÍNDICE GENERAL iii

5.3 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.4 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.5 Text and image sources, contributors, and licenses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.5.1 Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.5.2 Images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.5.3 Content license . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

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Capítulo 1

David Bohm

David Bohm.

David Joseph Bohm (20 de diciembre de 1917,Pensilvania - 27 de octubre de 1992, Londres) fue un fí-sico estadounidense, que hizo importantes contribucio-nes en los campos de la física teórica, la losofía y laneuropsicología

1.1 Contribuciones

Teoría cuánticaDurante su primera etapa, Bohm hizo una serie de im-portantes contribuciones a la física, particularmente enel área de la mecánica cuántica y la teoría de la relativi-

dad. Como un post-graduado en la universidad de Ber-keley, desarrolló la teoría de plasmas que hoy se cono-ce como fenómeno de difusión de Bohm. Su primer li-

bro, Teoría Cuántica publicado en 1951, fue bien reci-bido por Einstein, entre otros. Sin embargo, Bohm semostró insatisfecho con el enfoque ortodoxo de la teo-ría cuántica, que él había escrito en ese libro, y comen-zó a desarrollar su propio enfoque (la teoría De Broglie-

Bohm ); teoría determinista no-local de variables ocultasde la física cuántica la cual resultó certeramente predic-tiva; esta es conocida también como interpretación onto-lógica o interpretación de Bohm de la mecánica cuánti-ca.Su argumentación matemática y experimental junto al“experimento” EPR (Einstein, Podolsky, Rosen) se con-virtió en el principal factor motivador de John Bell paradesarrollar la desigualdad de Bell; ecuación cuyas conse-cuencias aún se están investigando.En 1955, Bohm se trasladó a Israel, donde pasó dos añosen el Technion en Haifa. Allí conoció a Sarah Woolfson,quien se convirtió en una gura importante en el desa-

rrollo de sus ideas. La pareja se casó en 1956. En 1957,Bohm se trasladó al Reino Unido como un investigador dela Universidad de Bristol donde en 1959, Bohm y su estu-diante Yakir Aharonov descubrieron el efecto Aharonov-Bohm, es un fenómeno cuántico en el que la presencia deun campo magnético altera la propagación de una cargaeléctrica, incluso cuando esta se propaga en zonas dondedicho campo no está presente. 1961, Bohm fue nombra-do profesor de física teórica en el Birkbeck College deLondres.Modelo Holonómico del Funcionamiento CerebralEn colaboración con el reconocido neuropsicologo de launiversidad de Stanford Karl H. Pribram desarrollaron elmodelo holonómico del funcionamiento cerebral, un mo-delo de la cognición humana que es radicalmente dife-rente de las ideas convencionalmente aceptados. Bohmtrabajó con Pribram en la teoría de que el cerebro fun-ciona de manera similar a un holograma, de acuerdo conlos principios matemáticos de la física cuántica y las ca-racterísticas de patrones de onda.Bohm fue contemporáneo y amigo personal de JidduKrishnamurti, a quien conoció gracias a un libro que suesposa Sarah le recomendó, y al encontrar múltiples coin-cidencias entresus ideasy lasdeJidduKrishnamurti pidióuna cita con el notable lósofo; a partir de allí numerosasobras surgieron de esta relación de diálogo entre el físico

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2 CAPÍTULO 1. DAVID BOHM

y el lósofo.David Bohm murió de un ataque al corazón en HendonLondres , el 27 de octubre de 1992, a los 74 años.David Bohm ha sido ampliamente considerado como unode los mejores físicos cuánticos de todos los tiempos. [ 6

]

1.2 Opiniones sobre David Bohm

Einsteinexpresó acercadeBohm: "él es elúnico que pue-de ir más allá de la mecánica cuántica”[cita requerida]. A tra-vés del tiempo, los libros de Bohm han ido ganando unestatus de culto, debido en parte al enfoque losóco de-trás de los mismos, que supera el positivismo típico de lainterpretación de Copenhague.

1.3 Obras en español

• La Totalidad y el Orden Implicado. Kairós. 1992.ISBN 847245178X..

• Sobre La Creatividad . Kairós. 2001. ISBN8472455262..

• Sobre El Diálogo. Kairós. 1996. ISBN 8472453790.

• Ciencia, Ordeny Creatividad -D. Bohm & F.D. Peat-. Kairós. 1988. ISBN 8472451844..

1.4 Véase también

• Wikiquote alberga frases célebres de o sobreDavid Bohm. Wikiquote

• Interpretaciones de la Mecánica cuántica

• Interpretación de Bohm

1.5 Enlaces externos• David Bohm,un físicoheterodoxoExtensabiografía

del físico, en español

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Capítulo 2

Interpretación de Bohm

La interpretación de Bohm (también llamada teoría dela “onda piloto” o interpretación causal) es una inter-pretación de lateoría cuánticapostuladaporDavid Bohmen 1952 como una extensión de la onda guía de Louis deBroglie de 1927. Consecuentemente es llamada a vecesteoría de Broglie-Bohm.La teoría tienevariasformulaciones matemáticasposiblesy ha sido presentada bajo diferentes nombres.

2.1 Introducción

La interpretación es un ejemplo de teoría de variablesocultas en la que se admite que las variables ocultas pue-

den proveer una descripción objetiva determinística quepueda resolver o eliminar muchas de las paradojas de lamecánica cuántica, como el gato de Schrödinger, el pro-blema de la medida, el colapso de la función de onda, etc.La teoría de Bohm además es una teoría determinista. Lamayoría de las variables relativisticas (no todas) requie-ren, sin embargo, un sistema privilegiado de referencia.Lasvariablesqueportan elespíny losespacios curvos sonposibles también en esta teoría y pueden trasladarse a lateoría cuántica de campos.

2.1.1 Comparación con la interpretaciónconvencional

En el formalismo de la teoría de De Broglie–Bohm, co-mo en elde la mecánica cuántica convencional, existe unafunción de onda - una función en el espacio de todas lasconguraciones posibles, pero adicionalmente contienetambién una conguración real, incluso para situacionesdonde no hay observador. La evolución temporal de lasposiciones de todas las partículas y la conguración detodos los campos queda denida por la función de onda,

que satisface la ecuación guía. La evolución temporal dela propia función de onda viene dada por la ecuación deSchrödinger como en la mecánica cuántica no relativista.

Las trayectorias Bohmianas para un electrón en el experimentode la doble rendija.

2.1.2 Experimento de la doble rendija

El experimento de la doble rendija es una ilustración dela dualidad onda-partícula. En él un cañón de partículas(como,porejemplo, fotones) viaja a través de unabarreracon dos rendijas. Si colocamos una pantalla detectora enel otro lado, el patrón de las partículas detectadas mues-tra las franjas de interferencia característico de las ondas;no obstante, la pantalla del detector responde a las partí-

culas. El sistema exhibe el comportamiento de las ondas(patrones de interferencia) y al mismo tiempo de las par-tículas (puntos en la pantalla).Si modicamos este experimento de manera que una delas rendijas está cerrada, no se observa ningún patrón deinterferencia. Así el estado de ambas rendijas afecta alresultado nal. Podemos también colocar un detector mí-nimamente invasivo en una de las rendijas para saber através de qué rendija pasó la partícula. Si hacemos esto,los patrones de interferencia también desaparecen.La Interpretación de Copenhague establece que las par-tículas no poseen una localización en el espacio antes del

momento en el que son detectadas, de manera que si nohay detector alguno en las rendijas carece de sentido elhecho y la pregunta de a través de qué rendija ha pasado

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4 CAPÍTULO 2. INTERPRETACIÓN DE BOHM

la partícula. Si una rendija posee un detector, entonces lafunción de onda colapsa debido a la detección.En la teoría de Broglie–Bohm, la función de onda viaja através de ambas rendijas, pero cada partícula posee unatrayectoria bien denida y pasa exactamente a través de

una de las dos rendijas. La posición nal de la partículaen la pantalla del detector y la rendija exacta a través dela cual pasa la partícula está determinada por la posicióninicial de la partícula. Tal posición inicial de la partículano es controlable por los experimentos, de manera quehay una apariencia de aleatoriedad en en el patrón de de-tección. La función de onda interere consigo misma yguía a la partícula de tal manera que las partículas evitanlas regiones en las cuales la interferencia es destructivay son atraídas hacia las regiones donde la interferencia esconstructiva produciendo así los patrones de interferenciaen la pantalla del detector.

Para explicar el comportamiento cuando la partícula esdetectada pasando por una rendija, necesitamos apreciarel rol de la función de onda condicional y como provocaésta el colapso de la función de onda; esto se explica másabajo. La idea básica es que el entorno que registra la de-tección, separa efectivamente los dos paquetes de ondasen el espacio de conguración.

2.2 Aspectos generales

2.2.1 Ontología de la interpretación

La ontología de la teoría de Broglie-Bohm consiste enuna conguración q (t) Q del universo y una onda pi-loto ψ(q, t ) C . El espacio de conguración Q puedeelegirse de manera diferente, como en mecánica clásicay en la mecánica cuántica estándar.Así, la ontología de la teoría de la onda piloto contienetanto la trayectoria q (t) Q que conocemos en la me-cánica clásica, como la función de onda ψ(q, t ) C dela teoría cuántica. Así, en cada momento no solo tene-mos una función de onda sino que también existe una

conguración bien denida del universo entero. La co-rrespondencia con nuestras experiencias se produce porla identicación de la conguración de nuestro cerebrocon alguna parte de la conguración del universo enteroq (t) Q , tal como ocurre en la mecánica clásica.Mientras que la ontología de la mecánica clásica resultaentonces ser parte de la ontología de la teoría de Broglie–Bohm, la dinámica es muy diferente. En mecánica clásicala aceleración de las partículas está originada por fuerzas.En la teoría de Broglie–Bohm, las velocidades de las par-tículas vienen dadas por la función de onda.En lo que sigue, veremos como se establece todo esto pa-

ra el caso de una partícula moviéndose en R 3 y a conti-nuación paraN partículas moviéndose en 3 dimensiones.En la primera instancia, el espacio de conguración y el

espacio real son el mismo, mientras que en la segunda elespacio real es aúnR 3 , pero ahora el espacio de congu-ración se convierte enR 3N . Mientras que las posicionesde las partículas permanecen en el espacio real, el campovelocidad y las funciones de onda están sobre el espaciode conguración y es así como las partículas están entre-lazadas unas con otras en esta teoría.Extensiones a esta teoría incluyen esl espín y espacios deconguración más complicados.Se usan variaciones de Q para las posiciones de las par-tículas mientras que ψ representa el valor complejo de lafunción de onda sobre el espacio de conguración.

2.2.2 Formalismo

La teoría de Broglie–Bohm se basa en lo siguiente: par-tiendo de una conguración q para el universo, descritapor coordenadas q k , que es un elemento del espacio deconguración Q . El espacio de conguración es diferen-te para diferentes versiones de la teoría de la onda pilo-to. Por ejemplo, éste puede ser el espacio de posicionesQk de N partículas, o en el caso de teoría de campos, elespacio de las conguraciones de los campos φ(x) . Laconguración se desenvuelve de acuerdo con la ecuaciónguía

m kdq k

dt (t) = k Imlnψ(q, t ) = Im k ψ

ψ(q, t )

Aquí,ψ(q, t ) es la función deonda estándardevalor com-plejo conocida en la teoría cuántica, que se desenvuelvesegún la ecuación de Schrödinger.

i ∂ ∂t

ψ(q, t ) = −N

i =1

2

2m i

2i ψ(q, t ) + V (q )ψ(q, t )

Esto completa la especicación de la teoría para cual-quier teoría cuántica con un operador hamiltoniano detipo H =

∑ 12m i

ˆ p2i + V (q̂ ) .

Si la conguración posee una distribución de acuerdo con

|ψ(q, t )|2 en algún momento del tiempot , entonces tam-bién lo hace en cualquier otro momento temporal. Tal es-tado se denomina equilibrio cuántico. En un estado deequilibrio cuántico, esta teoría está de acuerdo con losresultados de la mecánica cuántica estándar.

2.2.3 Ecuación guía

Para una única partícula moviéndose enR 3 , la velocidadde la partícula viene dada por

d Qdt (t ) =

m Im ψψ (Q, t ) .

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2.2. ASPECTOS GENERALES 5

Para múltiples partículas indicamos Qk para la partículak , su velocidad viene dada por

d Qk

dt (t) =

m kIm k ψ

ψ (Q1 , Q2 , . . . , QN , t ) .

El hecho clave que debemos resaltar es que la velocidaddepende de las posiciones actuales de todas las N par-tículas del universo. Como explicamos más abajo, en lamayoría de las situaciones experimentales, la inuenciade todas las partículas puede quedar encapsulada en lafunción de onda efectiva de un subsistema del universo.

2.2.4 Bohm y el problema de la medida

Esta teoría ofrece un formalismo para la medición análo-go al de la termodinámica en la mecánica clásica, del que

carece el formalismo estándar generalmente asociado a laInterpretación de Copenhague. El problema de la medidase resuelve muy fácilmente en esta teoría, ya que el resul-tado de un experimento es producido por la interaccióncon la conguración de las partículas del aparato de me-dida cuando éste se realiza. El colapso de la función deonda que en la interpretación de Copenhague debe pos-tularse, emerge aquí de manera natural del análisis de lossubsistemas bajo la hipótesis de equilibrio cuántico.

2.2.5 Dicultades de la interpretación

La desigualdad de Bell supone un resultado negativo pa-ra cierto tipo de teorías como la de Bohm. De hecho eldescubrimiento del Teorema de Bell fue inspirado por eltrabajo de David Bohm.Dicho teorema es un teorema de imposibilidad que de-muestra que no existen teorías de variables ocultas loca-les que sean compatibles con la mecánica cuántica. Asíla interpretación de Bohm está condenada a eliminar lalocalidad o el de objetividad física. La interpretación deBohm opta porconservar la objetividad física y aceptar lano-localidad. Naturalmente la no-localidad supone ciertaincoherencia con la teoría de la relatividad convencional.La teoría de Broglie–Bohm expresa de una manera explí-cita la no localidad que aparece en la física cuántica. Lavelocidad de cualquier partícula depende del valor de lafunción de onda, la cual depende a su vez de la congu-ración global de la totalidad del universo.

2.2.6 Ecuación de Schrödinger

La ecuación de Schrödinger para una partícula gobier-na la evolución temporal de una función de onda de va-lor complejo enR 3 . La ecuación representa una versión

cuantizadade la energía total de un sistema clásico desen-volviendose bajo una función potencial de valor realV enR 3 :

i ∂ ∂t

ψ = − 2

2m2ψ + V ψ

Para múltiplespartículas, la ecuación es la misma exceptoen que ψ y V están ahora sobre el espacio de congura-ción,R 3N .

i ∂ ∂t

ψ = −N

k =1

2

2m k

2k ψ + V ψ

Esta es la misma función deonda de la mecánica cuánticaconvencional.

2.2.7 La Regla de Born

En los escritos originales de Bohm [Bohm 1952], el au-tor discute cómo la teoría de Broglie–Bohm llega a losmismos resultados en la medición que la mecánica cuán-tica. La idea clave es que ello sería cierto si las posicio-nes de las partículas satisfacen la distribución estadísticadada por|ψ|2 . Dicha distribución queda garantizada encualquier momento por la ecuación guía si la distribucióninicial de las partículas satisface|ψ|2 .Para un experimento dado, podemos postular que esto escierto y vericar experimentalmente que sigue siéndolo,como así ocurre efectivamente. Pero, como argumentanDürr et al.,[1] se necesitaría algún argumento que mues-tre que esta distribución es la típica para cualquier subsis-tema. Argumentan que |ψ|2 en virtud de su equivarian-cia bajo la evolución dinámica del sistema, es la medidaapropiada de tipicalidad para las condiciones iniciales delas posiciones de las partículas. A continuación se puedeprobar que una inmensa mayoría de las conguracionesiniciales posibles se corresponden con la regla de Born(i.e., |ψ|2 ) surgiendo así la estadística que muestran lasmedidas. Dicho brevemente, el comportamiento según laregla de Born es típico.La situación es así análoga a la situación en física clásicaestadística. Una situación inicial con baja entropíase con-vertirá con una probabilidad extremadamente alta, en unestado de mayor entropía: el comportamiento consistentecon el segundo principio de la termodinámica es típico.Hay desde luego, condiciones iniciales anómalas que da-rían lugar a violaciones de la segunda ley. No obstante,careciendo de información muy detallada sobre los esta-dos iniciales sería muy poco razonable esperar otra cosaque el incremento de la entropía que observamos actual-mente. Similarmente, en la teoría de Broglie–Bohm, haycondiciones iniciales anómalas que producirían medicio-nes estadísticas que violarían la regla de Born (i.e., enconicto con las predicciones de la teoría cuántica están-

dar). Pero el teorema de tipicalidad muestra que exceptoen los casos en que haya una razón particular para creerque hay unas condiciones iniciales especiales de facto, el

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6 CAPÍTULO 2. INTERPRETACIÓN DE BOHM

comportamiento según la regla de Born es lo que debe-ríamos esperar.Es por ello que en un sentido cualicado, la regla de Bornesun teoremaen la teoríadeBroglie–Bohm,mientrasqueen la teoría cuántica ordinaria es un postulado que tiene

que ser añadido.

2.2.8 La funcióndeonda condicional deunsubsistema

En la formulación de la teoría de Broglie–Bohm, soloexiste una función de onda para el universo entero (quesiempre se reere a la ecuación de Schrödinger). No obs-tante, una vez que la teoría es formulada, es convenienteintroducir la noción de función de onda también para sub-sistemas en el universo. Si escribimos la función de ondapara el universo como ψ(t, q I, q II) , donde q I denota lasvariables de conguración asociadas a algún subsistema(I) del universo y q II denota las variables de congura-ción restantes. Denota, respectivamente, por Q I(t) y porQ II(t ) la conguración actual del subsistema (I) y del res-to del universo. Por simplicidad, consideramos aquí soloel caso sin espín. La función de onda condicional del sub-sistema (I) se dene como: ψI(t, q I) = ψ(t, q I, Q II(t)) .

Se sigue inmediatamente del hecho de que Q(t) =(Q I(t ), Q II(t)) satisface la ecuación guías que tambiénla conguración Q I(t) satisface una ecuación guía idén-tica a la presentada en la formulación de la teoría, conla función de onda universal ψ reemplazada por la fun-ción de onda condicional ψ I . También, el hecho de queQ (t) es aleatoria con densidad de probabilidad dada porel cuadrado del módulo de ψ (t, ·) implica que la densi-dad de probabilidad condicional de Q I(t) dada Q II(t) esdada por el cuadrado del módulo de la función de ondacondicional (normalizada) ψI(t, ·) (en la terminología deDürr et al.[2] este hecho se llama la fórmula fundamental de la probabilidad condicional ).A diferencia de la función de onda universal, la funciónde onda condicional de un subsistema no siempre se com-porta según la ecuación de Schrödinger, pero en muchassituaciones sí que lo hace. Por ejemplo, si la función deonda universal se factoriza como:ψ(t, q I, q II) = ψ I(t, q I)ψ II(t, q II)

entonces la función de onda condicional de un subsistema(I) es (salvo un factor escalar irrelevante) igual a ψI (estoes lo que la teoría cuántica estándar consideraría como lafunción de onda de un subsistema (I)). Si además, el Ha-miltoniano no contiene un término de interacción entrelos subsistemas (I) y (II) entonces ψI satisface la ecua-ción de Schrödinger. Más generalmente, se asume que lafunción de ondas universal ψ puede ser escrita en la for-ma: ψ(t, q I, q II) = ψ I(t, q I)ψ II(t, q II) + φ(t, q I, q II),

donde φ resuelve la ecuación de Schrödinger yφ(t, q I, Q II(t ) ) = 0 para todo t y q I . Entonces, denuevo, la función de onda condicional para un subsiste-

ma (I) es (salvo un factor escalar irrelevante) igual a ψI ysi el Hamiltoniano no contiene un término de interacciónentre los subsistemas (I) y (II), ψI satisface la ecuaciónde Schrödinger.El hecho deque la funcióndeonda condicional deun sub-

sistema no siempre cumpla la ecuación de Schrödinger serelaciona con el hecho de que la regla usual del colapsopostulado en la teoría cuántica estándar emerge de formanatural del formalismo Bohmiano cuando consideramoslas funciones de conda condicionales de los subsistemas.

2.3 Extensiones

2.3.1 Espín

Para incorporar el espín, la función de onda con valor

escalar- complejo, es ahora un vector-complejo. El espa-cio devalores se llama espacio deespín; para una partícu-la de espín-1/2, el espacio de espín puede tomarse comoC 2 . La ecuación guía se modica tomando productosinternos en el espacio de espín para reducir los vectorescomplejos a números complejos. La ecuación de Schrö-dinger se modica añadiendo un término con el espín dePauli.

dQk

dt (t) =

m kIm (ψ, D k ψ)

(ψ, ψ )(Q1 , Q2 , . . . , QN , t )

i ∂ ∂t

ψ = −N

k =1

2

2m kD 2

k ψ + V ψ +N

k =1

µk S(k ) ·B(qk )

donde µk es el momento magnético de la partícula k ,S(k ) es el operador apropiado de espín actuando sobre elespacio deespín de la partículak ,D k = k −ie k

c A(qk ), B y A son, respectivamente, el campo magnético y elpotencial vector en R 3 (todas las otras funciones estáncompletamente en el espacio de conguración), ek es lacarga de la partícula k , y (·, ·) es el producto interno enel espacio de espínC d ,

(φ, ψ ) =d

s =1

φs ψs .

Comoejemplo deespacio deespín, un sistemaconsistenteen dos partículas de espín 1/2 y una de espín 1 tiene unafunción deondas de la formaψ : R 9×R →C 2 C 2 C 3

. Esto es, su espacio de espín es de 12 dimensiones.

2.3.2 Espacio curvado

Para extender la teoría de Broglie–Bohm a un espaciocurvado (Variedad de Riemann en lenguaje matemático),simplemente tenemos en cuenta que todos los elementos

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2.4. RESULTADOS 7

de esas ecuaciones tengan sentido, tales como gradien-tes y Laplacianos. Así, usamos ecuaciones que tengan lamisma forma que arriba. Las condiciones topológicas yde contorno pueden aplicarse de forma suplementaria enla evolución de la ecuación de Schrödinger.

Para una teoría de Broglie–Bohm en un espacio curvadocon espín, el espacio de espín se convierte en una “gavillade vectores” sobre el espacio de conguración y el poten-cial en la ecuación de Schrödinger en un operador localauto-adjunto actuando sobre tal espacio.[3]

2.3.3 Teoría cuántica de campos

En Dürr et al.,[4][5]los autores describen una extensión dela teoría de Broglie–Bohm para manejar operadores decreación y aniquilación. La idea básica es que tal espa-cio de conguración se convierte en el espacio (disjunto)

de todas las posibles conguraciones de cualquier núme-ro de partículas- En lo que se reere al tiempo, el sistemade desarrolla deterministicamente bajo la ecuación guíacon un número jo de partículas. Pero bajo un procesoestocástico, las partículas puden ser creadas y aniquila-das. La distribución de los eventos de creación es dictadapor la función de onda. La función de onda misma evolu-ciona en todo momento sobre el espacio de conguraciónmulti-partícula.Nikolic[6] introduce una teoría de Broglie–Bohm pura-mente determinista de creación y destrucción,de acuerdocon la cuál las trayectorias de laspartículas soncontinuas,

pero losdetectoresde laspartículas se comportan como silas partículas hubieran sido creadas o destruidas aunqueuna auténtica creación o destrucción de partículas nuncatenga lugar.

2.3.4 Explotando la no localidad

Valentini[7] ha extendido la teoría de Broglie–Bohm paraincluir señales no locales que permitirían que el entrela-zamiento cuántico se use como un canal único de comu-nicación sin necesidad de una señal clave secundaria quedesbloquee el mensaje codicado por el entrelazamiento.Esto viola la teoría cuántica ortodoxa pero tiene la virtudde hacer que los universos paralelos de la teoría de la in-ación caótica eterna sean observables en principio.A diferencia de la teoría de Broglie–Bohm, en la teoríade Valentini la función de onda también depende de lasvariables ontológicas. Esto introduce una inestabilidad,un bucle de retroalimentación que empuja a las variablesocultas fuera del mundo subcuántico muerto. La teoríaresultante es no lineal y no unitaria.

2.3.5 Relatividad

La teoría de la onda piloto esexplícitamente no local. Co-mo consecuencia, la mayoría de las variables relativistas

de la teoría necesitan una foliación preferida del espacio-tiempo. Mientras que esto entra en conicto con la inter-pretación estándar de la relatividad, la foliación preferida,si es inobservable, no conduce a ningún conicto empíri-co con la relatividad.

La relación entre la no localidad y una foliación preferi-da puede ser mejor entendida como sigue. En la teoríade Broglie–Bohm la no localidad se maniesta como elhecho de que la velocidad y la aceleración de una partí-cula depende de las posiciones instantáneas de todas lasdemás partículas. Por otro lado, en la teoría de la relativi-dad el concepto de instanteneidad no tiene un signicadoinvariante. Así, para denir las trayectorias de las partí-culas, se necesita una regla adicional para denir cualesson los puntos del espacio-tiempo que deben ser conside-rados instantáneos. La manera más simple de conseguiresto es introduciendo una foliación preferida en el espa-cio tiempo manualmente, tal que cada hipersupercie dela foliación dene una hipersupercie de tiempo igual.No obstante, esta manera (que explícitamente rompe lacovarianza relativista) no es el único camino. Es tambiénpoisible que una regla que dene la instantaneidad seacontingente, haciendo que emerja dinámicamente de le-yes covariantes relativistas combinadas con condicionesiniciales particulares. De esta manera, la necesidad de unafoliación preferida puede ser evitada y la covarianza re-lativista ser salvada.Existen trabajos de desarrollo en diferentes versiones re-lativistas de la teoría de Broglie–Bohm theory. VéaseBohm y Hiley: El Universo Indiviso, y , , y referencias in-cluidas. Otra aproximación la encontramos en el trabajodeDürretal.[8] enelcual ellos usan modelos Bohm-Diracy una foliación invariante Lorentz del espacio-tiempo.En , y Nikolic desarrolla una interpretación generaliza-da probabilística relativisticamente invariante de la teo-ría cuántica, en la cual|ψ|2 ya no es más la densidad deprobabilidad en el espacio, sino una densidad de proba-bilidad en el espacio-tiempo. El usa esta interpretaciónprobabilística generalizada para formular una versión co-variante relativista de la teoría de Broglie–Bohm sin in-troducir una foliación preferida en el espacio-tiempo.

2.4 Resultados

Abajo están algunas importantes luces sobre los resulta-dos que surgen de un análisis de la teoría de Broglie–Bohm. Los resultados experimentales concuerdan con to-das las predicciones de la teoría cuántica estándar entodo lo que ésta puede predecir. No obstante, mientrasque la mecánica cuántica estándar está limitada a discu-tir experimentos con observadores humanos, la teoría deBroglie–Bohm es una teoría que gobierna la dinámica deun sistema sin la intervención de observadores externos.(p. 117 en Bell[9]).Las bases para el acuerdo con la mecánica cuántica es-

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8 CAPÍTULO 2. INTERPRETACIÓN DE BOHM

tándar es que las partículas se distribuyen de acuerdo con

|ψ|2 . Esto se establece por la ignorancia del observador,pero puede ser probado[1] que para un universo goberna-dopor esta teoría, este sería elcaso típico. Hay un colapsoaparente de la función de onda gobernante de los subsis-temas del universo, pero no hay colapso de la función deonda universal.

2.4.1 Medida del espín y la polarización

De acuerdo con la teoría cuántica ordinaria, no es posiblemedir el espín o la polarización de una partícula directa-mente; en lugar de ello, solo puede medirse la componen-te en una dirección: el resultado para una sola partículapuede ser 1, signicando que tal partícula está alineadacon el aparato de medida, o

−1 signicando que está ali-

neada en la dirección opuesta. Para un ensamble de par-tículas, si esperamos que las partículas estén alineadas,los resultados serán todos 1. Si esperamos que estén ali-neadas en sentido opuesto, los resultados serán todos−1.Para otras alineaciones, esperamos que algunos resulta-dos sean 1 y otros−1 con una probabilidad que depen-de de los alineamientos esperados. Para una explicacióncompleta de esto, véase el Experimento de Stern y Ger-lach.En la teoría de Broglie–Bohm, los resultados de un ex-perimento sobre el espín no pueden ser analizados sincierto conocimiento de la instalación experimental. Esposible[10] modicar la instalación de tal manera que latrayectoria de la partícula permanezca inafectada, peroesa partícula tenga una instalación que registre un espínarriba mientras que con otra instalación se detecte un es-pín abajo. Así, para la teoría de Broglie–Bohm theory, elespín de la partícula no es una propiedad intrínseca de lapartícula misma, por eso, hay que hablar de la función deonda de la partícula siempre en relación con el dispositi-vo particular que se use para medir el espín. Esta es unailustración de lo que algunas veces se reere como 'con-textualidad', y está relacionado con un realismo ingenuosobre los operadores.[11]

2.4.2 Mediciones, formalismo cuántico eindependencia del observador

La teoría de Broglie–Bohm obtiene los mismos resulta-dos que la mecánica cuántica. En ella se trata la funciónde onda como un objeto fundamental de la teoría, en tan-to que la función de onda describe cómo se mueve lapartícula. Esto signica que ningún experimento puededistinguir entre las dos teorías. Esta sección subraya las

ideas de cómo el formalismo cuántico estándar conduce ala mecánica cuántica. Las referencias incluyen el escritooriginal de Bohm en 1952 y Dürr et al.[1]

Colapso de la función de onda

La teoría de Broglie–Bohm es una teoría que se aplicaprimariamenteal universoen su totalidad. Esoes, que hayuna única función de onda gobernando el movimiento detodas las partículas en el universo de acuerdo con la ecua-ción guía. Teóricamente, el movimiento de una partículadepende de las posiciones de todas las restantes partícu-las del universo. En algunas situaciones, tales como ensistemas experimentales, podemos representar el sistemamismo en términos de la teoría d Broglie–Bohm theoryen el cual la función de onda del sistema es obtenida con-dicionando el entorno del sistema. Así, el sistema puedeser analizado con la ecuación de Schrödinger y la ecua-ción guía con una distribución inicial|ψ|2 para las partí-culas en el sistema (véase la sección la función de ondacondicional de un subsistema para más detalle).Se requiere una instalación especial para que la funciónde onda condicional obedezca a una evolución cuántica.Cuando un sistema actúa con el entorno, tal como ocurrecuando hay una medición, entonces la función de ondacondicional del sistema evoluciona de una manera dife-rente. La evolución de la función de onda universal pue-de ocurrir de manera que la función de onda del sistemaaparente estar en una superposición de distintos estados.Pero si el entorno ha registrado los resultados del experi-mento, entonces usando la conguración actual Bohmia-na como condición sobre ella, la función de ondas condi-cional colapsa a solo una de las alternativas, aquella quese corresponde con los resultados de la medidión.

El colapso de la función de onda universal nunca suce-de en la teoría de Broglie–Bohm theory. Su entera evo-lución es gobernada por la ecuación de Schrödinger y laevolución de laspartículas está gobernadapor la ecuaciónguía. El colapso ocurre solo de una manera fenomenoló-gica en sistemas que parecen seguir su propia ecuación deSchrödinger. Como esto es una descripción efectiva delsistema, es cuestión de elección cómo y qué denir en elsistema experimental para incluirlo y todo ello afectarácuando el “colapso” ocurra.

Operadores como observables

En el formalismo cuántico estándar, la medición de ob-servables se considera generalmente como la medición deoperadores sobre el espacio de Hilbert. Por ejemplo, me-dir la posición se considera ser una medición del opera-dor posición. Esta relación entre mediciones físicas y losoperadores en el espacio de Hilbert, es para la mecáni-ca cuántica estándar un axioma adicional de la teoría. Lateoría de Broglie–Bohm, en contraste, no requiere de ta-les axiomas de medición (y las mediciones como tales noson dinámicamente distintas o sub-categorías especialesde los procesos físicos en la teoría). En particular, el for-

malismo usual operadores-como-observables es, para lateoría de Broglie–Bohm, un teorema.[12] Un punto prin-cipal del análisis es que muchas de las mediciones de los

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2.4. RESULTADOS 9

observables no corresponden a propiedades de las partí-culas; estas son (como en el caso del espín discutido arri-ba) mediciones de la función de onda.En la historia de la teoría de Broglie–Bohm theory, losproponentes han tenido a menudo que defenderse con-

tra quienes clamaban que esta teoría es imposible. Ta-les argumentos están generalmente basados en un análi-sis inapropiado de los operadores como observables. Siuno cree que la medición del espín es la medición de elespín de una partícula que existe antes de la propia me-dición, entonces llegamos a contradicciones. La teoría deBroglie–Bohm responde a ello haciendo notar que el es-pín no es una característica de la partícula sino de la fun-ción de onda. Como tal, solo tiene una expresión denidauna vez que el aparato experimental ha sido elegido. Unavez que esto se tiene en cuenta, los teoremas de imposi-bilidad se vuelven irrelevantes.

Hay incluso quienes claman que hay experimentos querechazan las trayectorias de Bohm. en favor de los li-neamientos de la Mecánica Cuántica estándar. Pero co-mo se muestra en y , tales experimentos citados arribasolo desaprueban una malinterpretación de la teoría deBroglie–Bohm theory, no la propia teoría.Hay también objeciones a esta teoría basadas en lo queella dice acerca de situaciones particulares que se reerena a estados propios de un operador.Por ejemplo, elestadofundamental del átomo de hidrógeno es una función deonda real. De acuerdo con la ecuación guía, esto signicaque el electrón está en reposo en ese estado. Nunca, estádistribuido de acuerdo con

|ψ

|2 y no es posible detectar

ninguna contradicción con los resultados experimentales.Considerar los operadores como observables conduce amuchos a creer que muchos operadores son equivalentes.La teoríade Broglie–Bohm, desde esaperspectiva elige elobservable posición como un observable favorecido, másque, digamos, el observable momento. De nuevo, el en-lace a el observable posición es una consecuencia de ladinámica. La motivación de la teoría de Broglie–Bohmes describir un sistema de partículas. Esto implica que elobjetivo de la teoría es describir las posiciones de estaspartículas durante todo el tiempo. Otros observables nocumplen este estatus ontológico. Tener posiciones deni-das explica el tener resultados denidos tales como as-hes en las pantallas de los detectores. Otros observablesno nos llevan a esa conclusión, pero no hay ningún pro-blema en denir una teoría matemática para otros obser-vables; véase Hyman et al.[13] para una exploración delhecho de que puede ser denida unadensidad de probabi-lidad y una corriente de probabilidad para cualquier con-junto de operadores que conmutan. También hay exten-siones de la teoría donde cualesquiera transformacioneslineales simplécticas del observable posición son equiva-lentes [Melvin Brown Thesis].

Variables ocultas

La teoría de Broglie–Bohm es comúnmente considera-da como una teoría de variables ocultas. La aplicabilidaddel término “variable oculta” viene del hecho de que laspartículas postuladas en la teoría mecánica de Bohm noinuencian la evolución de la función de onda. El argu-mento es que, considerar o no partículas carece de efectoen la evolución de la función de onda y por ello dichaspartículas carecen deefecto enabsoluto y son por lo tantoinobservables, yaque no pueden tenerefecto sobre losob-servadores. No hay un análogo de la tercera ley de New-ton en esta teoría. La idea se supone que es así, ya quelas partículas no pueden inuenciar la función de onda yes la función de onda la que determina las prediccionesde la medición a través de la regla de Born, por tanto laspartículas son superuas e inobservables.Tal argumento, no obstante, adolece de una equivocadacomprensión fundamental de la relación entre la ontolo-gía de la teoría de Broglie–Bohm y el mundo de la obser-vación ordinaria. En particular, las partículas postuladaspor la teoría de Broglie–Bohm son cualquier cosa menosvariables ocultas: son aquello de lo que los gatos, árboles,mesas y planetas que vemos, están hechos. Es la propiafunción de onda la que está “oculta” en el sentido de serinvisible y no directamente observable.Así, porejemplo, cuando la función deonda dealgúnapa-rato de medida es tal que su apuntador está superpuestoderecha e izquierda, lo que acontece para los cientícoscuando miran el aparato, es que ven el apuntador apun-tando a la izquierda (digamos). Eso ocurre porque que laspartículas de Broglie–Bohm que corresponden al apunta-dorestán actualmenteseñalando hacia la izquierda.Mien-tras que los detalles exactos de cómo los humanos proce-san tal información y en qué está basado está más alládel alcance de la teoría de Broglie–Bohm, la idea básicaes que la ontología de cualquier partícula es tal, que si lapartícula aparece donde parece estar para las observacio-nes humanas, entonces se considera que la predicción escorrecta.

2.4.3 Principio de incertidumbre de Hei-senberg

El principio de incertidumbre de Heisenberg estableceque cuando se realizan dos mediciones de variables com-plementarias, hay un límite al producto de sus precisio-nes. Como ejemplo, si uno mide la posición con una pre-cisión de ∆ x , y el momento con una precisión de ∆ p, entonces ∆ x∆ p h. Si realizamos posteriores medi-das para obtener más información, perturbamos el siste-ma y cambiamos la trayectoria a una nueva dependiendode la instalación medidora; por lo tanto, los resultados dela medición siguen estando sujetos a la misma relaciónde incertidumbre de Heisenberg.En la teoría de Broglie–Bohm, hay siempre de hecho una

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10 CAPÍTULO 2. INTERPRETACIÓN DE BOHM

posición y un momento. Cada partícula posee una tra-yectoria bien denida. Los observadores tienen un cono-cimiento limitado sobre cuál es esta trayectoria (por tantode la posición y el momento). Es el conocimiento incom-pleto de la trayectoria de la partícula lo que cuenta en larelación de incertidumbre. Todo lo que uno puede saberen un momento dado sobre unapartícula está descrito porla función de onda. Ya que la relación de incertidumbrepuede ser derivada de la función de onda en otras inter-pretaciones de la mecánica cuántica, puede serlo análoga-mente (en el sentido epistemológico mencionado arriba),en la teoría de Broglie–Bohm.Para establecer lascosas de maneradiferente, lasposicio-nes de las partículas son solo conocidas estadísticamente.Como en mecánica clásica, las observaciones sucesivasde las posiciones de las partículas renan el conocimien-to experimental de las condiciones iniciales de las partí-culas. Así, con sucesivas observaciones, las condicionesiniciales se vuelven más y más restringidas. (Esas medi-ciones perturban, claro está al sistema cada vez, segúnla relación de incertidumbre). Este formalismo es consis-tente con el uso normal de la ecuación de Schrödinger.Para la derivación de la relación de incertidumbre, véa-se principio de incertidumbre, teniendo en cuenta que sedescribe desde el punto de vista de la Interpretación deCopenhague.

2.4.4 Entrelazamiento cuántico, parado-ja Einstein-Podolsky-Rosen, teore-ma de Bell, y no localidad

La teoría de Broglie–Bohm ilumina el aserto de la nolocalidad: ésta inspiró a John Stewart Bell a probar suahora famoso teorema,[14] que condujo a importantesexperimentos.En la paradoja EPR,[15] los autores apuntan que la mecá-nica cuántica permite la creación de pares de partículasen un estado cuántico entrelazado. Ellos describen un ex-perimento mental que uno puede realizar con dicho par.Los resultados fueron interpretados por ellos como indi-

cativos de que la mecánica cuántica es una teoría incom-pleta.Décadas más tarde, John Bell probó el teorema de Bell(véase p. 14 en Bell[9]), en el cual mostró que si se re-quería una concordancia con las predicciones empíricasde la mecánica cuántica, todas las complementaciones de“variables ocultas” a la mecánica cuántica deberían sero “no locales” (como es el caso de la interpretación deBohm) o contener la asumción de que los experimentosproducen un resultado único. (ver denición contrafac-tual e interpretación de muchos mundos). En particular,Bell probó que cualquier teoría local con resultados úni-cos debe producir predicciones empíricas que satisfaganuna restricción estadística llamada “desigualdad de Bell”.Alain Aspect conguró una serie de experimentos que

testearon la desigualdad de Bell usando una instalaciónde tipo EPR. Los resultados de Aspect mostraron expe-rimentalmente que la desigualdad de Bell se violaba enla práctica, signicando que las predicciones relevantesde la mecánica cuántica eran correctas. En estos expe-rimentos de prueba de la desigualdad de Bell, se creabanpares de partículas con entrelazamiento cuántico; las par-tículas se separaban viajando hasta aparatos remotos dedetección. La orientación de los aparatos medidores po-dían cambiarse mientras las partículas estaban en vuelo,demostrando la “no localidad” aparente del efecto.La teoría de Broglie–Bohm hace las mismas prediccio-nes (empíricamente correctas) para los experimentos testde Bell, que hace la mecánica cuántica ordinaria. Es ca-paz de hacer esto porque es maniestamente no local. Escriticada a menudo o rechazada basándose precísamenteen ello; la actitud de Bell era: “Es un mérito de la ver-sión de Broglie–Bohm mostrar esta [Principio de locali-dad| no localidad] deforma tan explícita que no puede serignorada.”[16]

La teoría de Broglie–Bohm describe la física en los expe-rimentos test de Bell como sigue: para entender la evolu-ción de las partículas, necesitamos establecer una funciónde onda para ambas partículas; la orientación del aparatoafecta a la función de onda. Las partículas en el experi-mento siguen la guía de la función de onda que acarrea elefecto “más rápido que la luz” de cambiar la orientacióndel aparato. Un análisis de cuál es exactamente la clasede “no localidad” que está presente y como es compati-ble con la relatividad puede encontrarse en Maudlin.[17]

Adviertase que en el trabajo de Bell, y con más detalle enel de Maudlin, se muestra que la no localidad no permiteenviar información a velocidad mayor que la luz.

2.4.5 Límite clásico

La formulacióndeBohm dela teoríadeBroglie–Bohmentérminos de una visión similar a la clásica tiene el méritode que la emergencia del comportamiento clásico se sigueinmediatamente para cualquier situación en la que el po-tencial cuántico es despreciable, como fue señalado porBohm en 1952. Los métodos modernos de decoherenciason relevantes en un análisis de dicho límite. Véase Alloriet al.[18] para un análisis más riguroso.

2.4.6 Método de las trayectorias cuánticas

El trabajo de Robert Wyatt en los tempranos años 2000intentó utilizar las “partículas” de Bohm como una grillaespacial adaptativa que sigue la trayectoria actual del es-tado cuántico en el tiempo y el espacio. En el método dela trayectoria cuántica, se ejemplica la función de ondacuántica con una grilla espacial de puntos de cuadratura.

Se hacen evolucionar entonces los puntos de cuadraturasegún el tiempo, de acuerdo con las ecuaciones de movi-miento de Bohm. En cada ciclo de tiempo, se re-sintetiza

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2.4. RESULTADOS 11

la función de onda desde los puntos, se vuelven a compu-tar las fuerzas cuánticas y se continúa el cálculo. (Ani-maciones en Quick-time de esto para la reacción químicaH+H2 pueden encontrarse enla web del grupo Wyatt enUT Austin.) Esta aproximación ha sido adaptada, exten-dida, y usada por cierto número de investigadores de lacomunidad de Química Física como un medio de compu-tar dinámicas moleculares semi-clásicas y cuasi-clásicas.Un artículo reciente (2007) del Journal of Physical Che-mistry A fue dedicado al Prof. Wyatt y su trabajo sobre“Dinámica Bohmiana Computacional”.El grupo de Eric Bittner en la Universidad de Houston haavanzado una variante estadística de esta aproximaciónque usa técnicas Bayesianas para ejemplicar la densidadcuántica y computar el potencial cuántico sin una estruc-tura de mesh de puntos. Esta técnica fue recientemen-te usada para estimar los efectos cuánticos en la capaci-dad de calor de de pequeños agrupamientos de Ne paran~100.Permanecen aún dicultades para usar la aproximaciónBohmiana, principalmente asociadas con la formación desingularidades en el potencial cuántico debido a nodos enla función de onda. En general los nodos formados de-bido a efectos de interferencia conducen al caso donde1R

2R → ∞. Esto resulta en una fuerza innita en laspartículas ejemplo que las fuerza a moverse fuera del no-doy a menudoa cruzar elcamino deotros puntosejemplo(lo cual viola la unicidad de los valores). Han sido desa-rrollados varios esquemaspara sobrellevar esta dicultad;no obstante, aún no ha emergído la solución general.Estos métodos, como sí ocurre en la formulaciónHamilton-Jacobi de Bohm, no son aplicables a situacio-nes donde deba tenerse en cuenta una dinámica completaque incluya al espín.

2.4.7 Crítica de la navaja de Occam

Tanto Hugh Everett III como Bohm trataron a la fun-ción de onda como un campo físicamente real. Lainterpretación de muchos mundos de Everett es un inten-to de demostrar que la función de onda sola es suciente

para dar cuenta de todas las observaciones. Cuando ob-servamos un ash en la pantalla de los detectores de pa-rículas u oímos el clik de un contador Geiger, la teoríade Everett interpreta que esto es nuestra función de ondarespondiendo a los cambios en el detector de funcionesde onda que pasa a ser otra nueva (que pensamos que esuna partícula, pero que se trata de un nuevo paquete deondas).[19]

Ninguna partícula (en el sentido Bohmiano de poseer unaposición y unavelocidad denidas) existe,de acuerdo contal teoría. Por esta razón Everett algunas veces se refería asu aproximación como “teoría pura de ondas”. Hablando

sobre la aproximación de Bohm en 1952, Everett dice:

Nuestra mayor crítica de esta visión está

basada en la simplicidad - si deseamossostenerla visión de que ψ es un campo real, entoncesla partícula asociada es supérua ya que, comohemos ilustrado, la teoría pura de ondas es porsí misma satisfactoria.[20]

En la visión de Everett, entonces, las partículas de Bohmson entidades superuas, similares al éter luminifero quese vio innecesario en la relatividad especial. Este argu-mento de Everett se denomina algunas veces “argumentode la redundancia”, ya que las partículas superuas sonredundantesenelsentido de lanavaja de Occam.[21]Omi-tiendo las variables ocultas, no obstante, Everett tuvo queinvocar entonces la existencia de universos paralelos cau-salmente no relacionados y por tanto experimentalmenteinvericables.Muchos autores han expresado posturas críticas a la teo-ría de Broglie-Bohm, comparándola con la aproximaciónde Everett de los muchos mundos. Muchos (pero no to-dos) los proponentes de la teoría de Broglie-Bohm (comoBohm y Bell) interpretan la función de onda universal co-mo físicamente real. De acuerdo con algunos defensorede la teoría de Everett, si la función de onda (que nuncacolapsa) se considera físicamente real, entonces lo naturales interpretar la teoría como hace Everett. Desde el pun-to de vista de Everett, el papel de la partícula de Bohmes el de actuar como un “apuntador”, seleccionando unarama de la función de onda universal (la asumción de unarama concreta indica qué paquete de ondas determina elresultado observado de un experimento dado, se llama“asumción del resultado”[19]); las otras ramas se designancomo “vacías” e implícitamente asumidas por Bohm co-mo vaciadas de observadores conscientes.[19] H. DieterZeh comenta sobre esas ramas vacías:

Es generalmente pasado por alto que lateoría de Bohm contiene los mismos “muchosmundos” que las ramas dinámicamente sepa-radas de la interpretación de Everett (llamadasallí componentes “vacíos” de la onda), ya queestá basada precisamente en la mima . . . fun-ción de onda universal.[22]

David Deutsch ha expresado el mismo punto más“acerbadamente":[19]

pilot-wave theories are parallel-universetheories in a state of chronic denial.[23]

El hecho de que tal “apuntador” puede ser construido enuna teoría de manera auto-consistente que no solo repro-duce todos los resultados experimentales conocidos sinoque también provee un límite clásico claro, es altamente

signicativo en sí mismo y prueba que la existencia deuniversos alternativos no es una conclusión necesaria dela teoría cuántica.

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12 CAPÍTULO 2. INTERPRETACIÓN DE BOHM

2.5 Derivaciones

La teoría de Broglie–Bohm ha sido derivada muchas ve-ces y de muy diversas maneras. Abajo tenemos cinco de-rivaciones, todas ellas muy diferentes y que muestran di-ferentes maneras de entender y extender la teoría.

• La Ecuación de Schrödinger puede ser derivadausando la hipótesis de Einstein sobre los cuantos deluz: E = ω y la hipótesis de De Broglie: p = k.

La ecuación guía puede ser derivada de unamanera similar. Asumimos una onda plana:ψ(x, t ) = Ae i (k·x−ωt ) . Tengamos en cuentaque ik = ψ / ψ . Asumiendo que p = mvpara la velocidad actual de la partícula, tene-mos que v =

m Im ψψ . Así, tenemos la

ecuación guía.

Esta derivación no requiere utilizar la ecuaciónde Schrödinger.

• Preservar la densidad bajo la evolución temporal esotro método de derivación. Este es el método citadopor Bell, y el método que generaliza muchas teo-rías alternativas posibles. El punto de partida es laecuación de continuidad−∂ρ

∂t = · (ρvψ ) para ladensidad ρ = |ψ|2 . Esta ecuación describe el ujode probabilidad a lo largo de una corriente. Toma-

mos la velocidad del campo asociado con esta co-rriente como la velocidad del campo cuyas curvasintegrales yield el movimiento de la partícula.

• Un método aplicable a partículas sin espín es ha-cer la descomposición polar de la función de onda ytransformar la ecuación deSchrödinger endosecua-ciones acopladas: la ecuación de continuidad arribamencionada y la ecuación de Hamilton–Jacobi. Estees el método usado por Bohm en 1952. La descom-posición y las ecuaciones son las siguientes:

Descomposición ψ (x, t ) = R(x, t )eiS (x,t )/ .

Bobservar que R 2(x, t ) corresponde a la den-sidad de probabilidad ρ(x, t ) = |ψ(x, t )|2 .

−∂ρ (x, t )

∂t = · ρ(x, t )

S (x, t )m

∂S (x, t )∂t

= − V + 12m

( S (x, t )) 2 − 2

2m

2R (x, t )R (x, t )

.

La ecuación deHamilton–Jacobi es laecuaciónderivada desde un sistema Newtoniano con unpotencial V −

2

2m

2 RR y una velocidad del

campo S m . El potencial V es el potencial clá-

sico que aparece en la ecuación de Schrödingery elotro términoR esel potencial cuántico,ter-minología introducida por Bohm.

S m

• Una cuartaderivación fue mostrada porDürr et al.[1]

En su derivación, ellos derivan el campo velocidadrequiriendo las propiedades adecuadas de transfor-

mación dadas por las varias simetrías que satisfacela ecuación de Schrödinger, una vez que la funciónde onda es adecuadamente transformada. La ecua-ción guía es lo que emerge de ese análisis.

• Una quinta derivación, dada por Dürr et al.[4] esapropiada para una generalización hacia una teoríacuántica de campos y la ecuación de Dirac. La ideaes que el campo velocidad puede ser también comoun operador diferencial de primer orden actuandosobre funciones. Así, si conocemos cómo actúa so-bre funciones sabemos lo que es. Entonces dado eloperador HamiltonianoH , la ecuación que debe sa-tisfacerse para toda funciónf (con operador asocia-do a la multiplicación ˆf ) es

(v(f ))( q ) = Re(ψ, i [H, f̂ ]ψ )(ψ,ψ ) (q ) donde (v, w )

es el producto interno local Hermitiano en elespacio de valores de la función de onda.

Esta formulación permite teorías estocásticasque incluyan la creación y aniquilación de par-tículas.

2.6 Historia

La teoría de Broglie–Bohm tiene una larga historia de di-ferentes formulaciones y nombres. En esta sección mos-tramos cada nombre y su referencia principal.

2.6.1 Teoría de la Onda-piloto

El Dr. de Broglie presentó su teoría de la onda pilotoen 1927 en la Conferencia Solvay,[24] después de una es-trecha colaboración con Schrödinger, quien desarrolló suecuación de ondas para la teoría de De Broglie. Al nalde la presentación, Wolfgang Pauli señaló que ello no eracompatible con una técnica semi-clásica que Fermi habíaadoptado previamente para el caso de colisiones inelásti-cas. Contrariamente a la leyenda popular, De Broglie diode inmediato el rebote correcto, explicando que la técni-caparticular no podía ser generalizada para lospropósitosde Pauli, no obstante la audiencia pudo haber perdido losdetalles técnicos y también la manera suave de De Bro-glie al responder, dieron la impresión al público de que laobjeción de Pauli era válida. Él fue poco menos que per-suadido a abandonar su teoría, anonadadoen 1932 debido

por un lado a los mayores éxitos de la escuela de Copen-hague y por otro a su propia falta de habilidad para enten-der la decoherencia cuántica. También en 1932, John von

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2.6. HISTORIA 13

Neumann publicó un papel,[25] clamando haber probadoque todas las teorías de variables ocultas eran imposibles.Esto selló la losa sobre la teoría de De Broglie durante lasdos décadas siguientes. En verdad, la prueba de von Neu-mann se basa en asumciones inválidas, tales como que lafísica cuántica debe ser local, y no desaprueba en modoalguno la teoría de la onda piloto.La teoría de De Broglie ya se aplica a múltiples partículassin espínpero málamentelleva a unateoríaadecuada delamedidadecoherencia cuánticaqueal mismotiemponadiecomprende. Un análisis de la presentación de De Brogliese encuentra en Bacciagaluppi et al.[26][27]

Alrededor de ese tiempo Erwin Madelung[28] tambiéndesarrolló una versión hidrodinámica de la ecuación deSchrödinger que se considera incorrectamente como unabase de la derivación (densidad de corriente) de la teoríade Broglie–Bohm. Las ecuaciones de Madelung, siendo

las ecuaciones de Euler cuánticas, dieren losócamen-te de la teoría de Broglie–Bohm[29] y son la base de lainterpretación hidrodinámica de la mecánica cuántica.

2.6.2 Teoría de Broglie–Bohm

Después de publicar un libro de texto popular sobre Me-cánica Cuántica que se adhería enteramente a la ortodo-xía de Copenhague, Bohm fue persuadido por Einsteinpara considerar de una manera crítica el teorema de VonNeumann. El resultado fue 'Sugerencias sobre Una Inter-

pretación de la Teoría Cuánticaen Términos de of “Va-riables Ocultas” I y II' [Bohm 1952]. Allí se extiende lateoría original de la Onda Piloto para incorporar una teo-ría consistente de la medida, y responder a las críticasde Pauli que De Broglie no respondió apropiadamente;se entiende que es determinista (Bohm cita en los pape-les originales que habría disturbaciones al respecto, en lamanera en la que el movimiento browniano disturba lamecánica de Newton). Esta presentación es conocida co-mo la teoría de De Broglie–Bohm Theory en el trabajo deBell [Bell 1987] y es la base de la 'Teoría cuántica delmovimiento' [Holland 1993].

Esta formulación se aplica a múltiples partículas, y es de-terminista.La teoría de Broglie–Bohm es un ejemplo de teoría devariables ocultas. Bohm esperaba originalmente que lasvariables ocultas pudieran proporcionar una descripciónlocal, causal, objetiva que resolviera o eliminara muchasde lasparadojasde la mecánica cuántica, tales comoGatode Schrödinger, el problema de la medición y el colapsode la función de onda. No obstante, el teorema de Bellcomplicó esta esperanza,ya que éste demostraba que nin-guna teoría de variables ocultas locales es compatible conlas predicciones de la mecánica cuántica. La interpreta-ción Bohmiana es causal pero no local.El escrito de Bohm fue largamente ignorado por otrosfísicos. Incluso Albert Einstein no lo consideró una res-

puestasatisfactoria a la cuestión de la no localidad. El res-to de las objeciones contemporaneas, no obstante, fueronad hominem, enfocadas a la simpatía de Bohm hacia losliberales y supestos comunistas, ejemplicada por su ne-gativa a testimoniar ante el Comité de Actividades Anti-americanas.Eventualmente la causa fue retomada por John Bell. En“Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics”[Bell 1987], varios de sus escritos se reeren a teorías devariablkes ocultas (que incluyen la de Bohm). Bell mostróque la objeción de von Neumann no afectaba a las teoríasde variables ocultas “no locales”, y que la no localidad esuna característica de todos los sistemas cuánticos.

2.6.3 Mecánica Bohmiana

Este término, que no era del agrado de Bohm, se usa pa-ra describir la misma teoría, pero haciendo énfasis en lanoción de ujo de corriente. En particular es usado fre-cuentemente para incluir la mayoría de las extensionesposteriores a la versión de Bohm sin espín. Mientras quela teoría de Broglie–Bohm tiene Lagrangianos y ecuacio-nes de Hamilton-Jacobi como foco primario, con el iconodel potencial cuántico, la mecánica Bohmiana considerala ecuación decontinuidadcomo lomásprimarioy sostie-ne la ecuación guía como su icono. Sonmatemáticamenteequivalentessiempreque la formulación Hamilton-Jacobisea aplicable, p.ej., en partículas sin espín. Los papeles deDürr et al. popularizaron este término.Esta teoría puede dar cuenta completamente de todas lasmecánicas cuánticas no relativistas.

2.6.4 Interpretación causal e interpreta-ción ontológica

Bohmdesarrolló sus ideas originales, denominándolasIn-terpretación causal . Más tarde él sintió que causal sona-ba demasiado a determinista y prerió llamar a su teoríaInterpretación Ontológica. La principal referencia es 'El

Universo Indiviso' [Bohm, Hiley 1993].Este escrito cubre un trabajo realizado por Bohm en co-laboración con Vigier y Hiley. Bohm aclara que su teo-ría es no determinista (el trabajo con Hiley incluye unateoría estocástica). Ya que tal teoría no es estríctamentehablando,una formulación de la teoría de Broglie–Bohm.No obstante, se menciona aquí haciendo notar que el tér-mino “Interpretación de Bohm” es ambiguo ya que se re-ere tanto a esta teoría como la de Broglie–Bohm.La teoría de Broglie-Bohm, debe considerarse entoncesuna Interpretación Ontológica Causal . Paradójicamente,ello no impide que la propia formulación sea también

compatible con alguna Interpretación FenomenológicaCausal donde no se le atribuya una ontología a las posi-ciones de las partículas ni a la función de onda universal.

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14 CAPÍTULO 2. INTERPRETACIÓN DE BOHM

2.7 Referencia

2.7.1 Notas

[1] Dürr, D., Goldstein, S., and Zanghì, N., “Quantum Equi-librium and the Origin of Absolute Uncertainty”, Journalof Statistical Physics 67: 843–907, 1992.

[2] Quantum Equilibrium and the Origin of Absolute Uncer-tainty, D. Dürr, S. Goldstein and N. Zanghì, Journal ofStatistical Physics 67, 843-907 (1992), http://arxiv.org/abs/quant-ph/0308039.

[3] Dürr,D.,Goldstein,S.,Taylor, J.,Tumulka, R.,andZang-hì, N., J. “Quantum Mechanics in Multiply-ConnectedSpaces”, Phys. A: Math. Theor. 40, 2997–3031 (2007)

[4] Dürr, D., Goldstein, S., Tumulka, R., and Zanghì, N.,2004, “Bohmian Mechanics and Quantum Field Theory”,Phys. Rev. Lett. 93: 090402:1–4.

[5] Dürr, D., Tumulka, R., and Zanghì, N., J. Phys. A: Math.Gen. 38, R1–R43 (2005), quant-ph/0407116

[6] Nikolic, H. 2010 “QFT as pilot-wave theory of particlecreation and destruction”, Int. J. Mod. Phys. A 25, 1477(2010)

[7] Valentini, A., 1991, “Signal-Locality, Uncertainty and theSubquantum H-Theorem. II,”Physics Letters A 158: 1–8.

[8] Dürr, D., Goldstein, S., Münch-Berndl, K., y Zanghì, N.,1999, “Hypersurface Bohm-Dirac Models”, Phys. Rev. A60: 2729–2736.

[9] Bell, John S, Speakable and Unspeakable in QuantumMechanics, Cambridge University Press 1987.

[10] Albert, D. Z.,1992, Quantum Mechanics andExperience,Cambridge, MA: Harvard University Press

[11] Daumer, M., Dürr, D., Goldstein, S., and Zanghì, N.,1997, “Naive Realism About Operators”, Erkenntnis 45:379–397.

[12] Dürr, D.,Goldstein,S., andZanghì, N.,“Quantum Equili-brium and the Role of Operators as Observables in Quan-tum Theory” Journal of Statistical Physics 116, 959–1055(2004)

[13] Hyman, Ross et al Bohmian mechanics with discrete ope-rators, J. Phys. A: Math. Gen. 37 L547–L558, 2004

[14] J. S. Bell,On theEinstein Podolsky Rosen Paradox , Physics1 , 195 (1964)

[15] Einstein, Podolsky, Rosen Can Quantum MechanicalDescription of Physical Reality Be Considered Comple-te? Phys. Rev. 47, 777 (1935).

[16] Bell, page 115

[17] Maudlin, T., 1994,Quantum Non-LocalityandRelativity:Metaphysical Intimations of Modern Physics, Cambridge,MA: Blackwell.

[18] Allori, V., Dürr, D., Goldstein, S., and Zanghì, N., 2002,“Seven Steps Towards the Classical World”, Journal ofOptics B 4: 482–488.

[19] Harvey R Brown and David Wallace, Solving the measure-ment problem: de Broglie-Bohm loses out to Everett , Foun-dations of Physics 35 (2005), pp. 517-540. Abstract: “Lateoría cuántica de Broglie y Bohm resuelve el problemade la medida, pero los corpúsculos hipotéticos no jueganningún papel en el argumento. La solución más natural se

encuentra en la interpretación de Everett.”[20] Ver la sección VI de la tesis de Everett: La teoría de la

función de onda universal , pp 3-140 of Bryce SeligmanDeWitt, R. NeillGraham,eds,The Many-Worlds Interpre-tationof Quantum Mechanics, PrincetonSeries in Physics,Princeton University Press (1973), ISBN 0-691-08131-X

[21] Craig Callender, “The Redundancy Argument AgainstBohmian Mechanics”

[22] Daniel Dennett (2000). With a little help from my friends. In D. Ross, A. Brook, and D. Thompson (Eds.),Dennett’s Philosophy: a comprehensive assessment. MIT

Press/Bradford, ISBN 0-262-68117-X.[23] David Deutsch, Comment on Lockwood. British Journal

for the Philosophy of Science 47, 222228, 1996

[24] ConferenciaSolvay, 1928,Electrones y Fotones: Rapportset Descussions du Cinquieme Conseil de Physique tenu aBruxelles du 24 au 29 October 1927 sous les auspices del'Institut International Physique Solvay

[25] von Neumann J. 1932 Mathematische Grundlagen derQuantenmechanik

[26] Bacciagaluppi, G., and Valentini, A., Quantum Theory at

the Crossroads: Reconsidering the 1927 Solvay Conferen-ce

[27] See the brief summary by Towler, M., “Pilot wave theory,Bohmian metaphysics, and the foundations of quantummecahnics”

[28] Madelung, E., “ Quantentheorie in hydrodynamischerForm,” Zeit. F. Phys. 40 (1927), 322–326

[29] Tsekov, R. (2009) Bohmian Mechanics versus MadelungQuantum Hydrodynamics

2.7.2 Bibliografía• Albert, David Z. (May de 1994). «Bohm’s Alter-

native to Quantum Mechanics». Scientic American270: 58–67.

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2.7. REFERENCIA 15

• Bohm, David (1952). «A Suggested Interpreta-tion of the Quantum Theory in Terms of “Hid-den Variables”, II». Physical Review 85: 180–193.doi:10.1103/PhysRev.85.180.

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Capítulo 3

Teorema de Bell

El teorema de Bell o desigualdades de Bell se aplica enmecánica cuántica para cuanticar matemáticamente lasimplicaciones planteadas teóricamente en la paradoja deEinstein-Podolsky-Rosen y permitir así su demostraciónexperimental. Debe su nombre al cientíco norirlandés

John S. Bell, que la presentó en 1964.El teorema de Bell es un metateorema que muestra quelas predicciones de la mecánica cuántica (MC) no son in-tuitivas, y afecta a temas losócos fundamentales de lafísica moderna. Es el legado más famoso del físico JohnS. Bell. El teorema de Bell es un teorema de imposibili-dad, que arma que:

Ninguna teoría física de variables ocultaslocalespuede reproducir todas las prediccionesde la mecánica cuántica.

3.1 Introducción

Ilustración del test de Bell para partículas de espín 1/2. La fuente

produce un par de espín singlete, una partícula se envía a Aliciay otra a Bob. Cada una mide uno de los dos espines posibles.

Como en el experimento expuesto en la paradoja EPR,Bell consideró un experimento donde una fuente produ-ce pares de partículas entrelazadas. Por ejemplo, cuandoun par de partículas con espines entrelazados es creado;una partícula se envía a Alicia y la otra a Bob. En cadaintento, cada observador independientemente elige entrevarios ajustes del detector y realiza una medida sobre lapartícula. (Nota: aunque la propiedad entrelazada utiliza-da aquí es el espín de la partícula, podría haber sido cual-quier “estado cuántico” entrelazado que codique exac-tamente un bit cuántico.)Cuando Alicia y Bob miden el espín de la partícula a lo

largo del mismo eje (pero en direcciones opuestas), ob-tienen resultados idénticos el 100% de las veces.Pero cuando Bob mide en ángulos ortogonales (rectos) alas medidas de Alicia, obtienen resultados idénticos úni-camente el 50% de las veces.En términos matemáticos, las dos medidas tienen unacorrelación de 1, o correlación perfecta cuando se midende la misma forma; pero cuando se miden en ángulos rec-tos, tienen una correlación de 0; es decir, ninguna corre-lación. (Una correlación de −1 indicaría tener resultadosopuestos en cada medida.)De hecho, los resultados pueden ser explicados añadien-dovariables ocultas locales- cada pardepartículas podríahaber sido enviada con instrucciones sobre cómo com-portarse según se las mida en los dos ejes (si '+' o '−' paracada eje).

Claramente, si la fuente únicamente envía partículas cu-yas instrucciones sean idénticas para cada eje, entoncescuando Alicia y Bob midan sobre el mismo eje, estáncondenados a obtener resultados idénticos, o bien (+,+)o (−,−); pero (si todos las posibles combinaciones de +y − son generadas igualmente) cuando ellos midan sobreejes perpendiculares verán correlación cero.Ahora, considere que Alicia o Bob pueden rotar sus apa-ratos de forma relativa entre ellos un ángulo cualquiera encualquier momento antes de medir las partículas, inclu-so después de que las partículas abandonen la fuente. Silasvariables ocultas localesdeterminan el resultado delas

medidas, entonces las partículas deberían codicar en elmomento de abandonar la fuente los resultados de medi-da para cualquier posible dirección de medida, y no sólolos resultados para un eje particular.Bob comienza este experimento con su aparato rotado 45grados. Llamamos a los ejes de Alicia a y a ′ , y a los ejesrotados de Bob b y b′ . Alice y Bob entonces graban lasdirecciones en que ellos miden las partículas, y los re-sultados que obtienen. Al nal, comparan sus resultados,puntuando +1 por cada vez que obtienen el mismo resul-tado y −1 si obtienen un resultado opuesto - excepto quesi Alicia midió ena y Bob midió enb′ , puntuarán +1 por

un resultado opuesto y −1 para el mismo resultado.Utilizando este sistema de puntuación, cualquier posible

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3.2. IMPORTANCIA DEL TEOREMA 17

combinación de variables ocultas produciría una puntua-ción media esperada de, como máximo, +0.5. (Por ejem-plo, mirando la tabla inferior, donde los valores más co-rrelacionados de las variables ocultas tienen una correla-ción media de +0.5, i.e. idénticas al 75%. El “sistema depuntuación” inusual asegura que la máxima correlaciónmedia esperada es +0.5 para cualquier posible sistemaque esté basado en variables locales.)El teorema de Bell muestra que si las partículas se com-portan como predice la mecánica cuántica, Alicia y Bobpueden puntuar más alto que la predicción clásica de va-riablesocultas decorrelación +0.5; si losaparatos se rotan45° entre sí, la mecánica cuántica predice que la puntua-ción esperada promedio será 0.71.(Predicción cuántica en detalle: Cuando las observacio-nes en un ángulo de θ son realizadas sobre dos partículasentrelazadas, la correlación predicha es cosθ . La corre-

lación es igual a la longitud de la proyección del vector dela partícula sobre su vector de medida; por trigonometría,cosθ . θ es 45°, y cosθ es √ 2

2 , para todos los pares deejes excepto (a, b ′) – donde son 135° y−

√ 22 – pero es-

te último se toma negativo en el sistema de puntuaciónacordado, por lo que la puntuación total es√ 2

2 ; 0.707.En otras palabras, las partículas se comportan como sicuando Alicia o Bob hacen una medida, la otra partículadecidiese conmutar para tomaresa dirección instantánea-mente.)Varios investigadores han realizado experimentos equi-valentes utilizando diferentes métodos. Parece que mu-chos de estosexperimentosproducen resultados queestánde acuerdo con las predicciones de la mecánica cuántica, conduciendo a la refutación de las teorías de variablesocultas locales y la demostración de la no localidad. To-davía existen cientícos que no están de acuerdo con es-tos hallazgos . Se encontraron dos escapatorias en el pri-mero de estos experimentos, la escapatoria de deteccióny la escapatoria de comunicación con los experimentosasociados para cerrar estas escapatorias. Tras toda la ex-perimentación actual parece que estos experimentos danprima facie soporte para las predicciones de la mecánicacuántica de no localidad .

3.2 Importancia del teorema

Este teorema ha sido denominado “el más profundo de laciencia.”[1] El artículo seminal de Bell de 1964 fue titu-lado “Sobre la paradoja de Einstein Podolsky Rosen.”[2]

Laparadoja EinsteinPodolsky Rosen(paradoja EPR) de-muestra que, sobre la base de la asunción de “localidad”(los efectos físicos tienen una velocidad de propagaciónnita) y de “realidad” (los estados físicos existen antesde ser medidos) que los atributos de las partícula tienen

valores denidos independientemente del acto de obser-vación. Bell mostró que el realismo local conduce a unrequisito para ciertos tipos de fenómenos que no está pre-

sente en la mecánica cuántica. Este requisito es denomi-nado desigualdad de Bell.Después de EPR (Einstein–Podolsky–Rosen), la mecáni-ca cuántica quedó en una posición insatisfactoria: o es-taba incompleta, en el sentido de que fallaba en tener en

cuenta algunos elementos de la realidad física, o violabael principio de propagación nita de los efectos físicos.En una modicación del experimento mental EPR, dosobservadores, ahora comúnmente llamados Alicia y Bob,realizan medidas independientes del espín sobre un parde electrones, preparados en una fuente en un estado es-pecial llamado unestadodeespínsinglete. Era equivalentea la conclusión de EPR de que una vez Alicia midiese elespín en una dirección (i.e. sobre el eje x ), la medida deBob en esa dirección estaría determinada con total certe-za, con resultado opuesto al de Alicia, mientrasque inme-diatamente antes de la medida de Alicia, el resultado deBob estaba sólo determinado estadísticamente. Por tanto,o el espín en cada dirección es un elemento de realidadfísica, o los efectos viajan desde Alicia a Bob de formainstantánea.En mecánica cuántica (MC), las predicciones son formu-ladas en términos de probabilidades — por ejemplo, laprobabilidad de que un electrón sea detectado en una re-gión particular del espacio, o la probabilidad de que tengaespín arriba o abajo. Sin embargo, persiste la idea de queun electrón tiene una posición y espín denidos, y que ladebilidad de la MC es su incapacidad de predecir exacta-menteesos valores deforma precisa. Queda laposibilidadde que alguna teoría más potente todavía desconocida,como una teoría de variables ocultas, pueda ser capaz depredecir estas cantidades exactamente, mientras al mis-mo tiempo esté en completo acuerdo con las respuestasprobabilísticas dadas por la MC. Si una teoría de varia-bles ocultas fuera correcta, las variables ocultas no seríandescritas por la MC, y por lo tanto la MC sería una teoríaincompleta.El deseo de una teoría local realista se basaba en dos hi-pótesis:

1. Los objetos tienen un estado denido que determi-na los valores de todas las otras variables medibles,como la posición y el momento.

2. Los efectos de las acciones locales, como las medi-ciones, no pueden viajar másrápido quela velocidadde la luz (como resultado de la relatividad especial).Si los observadores están sucientemente alejados,una medida realizada por uno no tiene efecto en lamedida realizada por el otro.

En la formalización del realismo local utilizada por Bell,las predicciones de la teoría resultan de la aplicación dela probabilidad clásica a un espacio de parámetros sub-yacente. Mediante un simple (aunque inteligente) argu-

mento basado en la probabilidad clásica, mostró que lascorrelacionesentre lasmedidasestánacotadas deunafor-ma que es violada por la MC.

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18 CAPÍTULO 3. TEOREMA DE BELL

El teorema de Bell parece poner punto nal a las espe-ranzas del realismo local para la MC. Por el teorema deBell, o bien la mecánica cuántica o bien el realismo localestán equivocados. Se necesitan experimentos para deter-minar cuál es correcto, pero llevó muchos años y muchosavances en la tecnología el poder realizarlos.Los experimentos de prueba de Bell hasta la fecha mues-tran inequívocamente que las desigualdades de Bell sonvioladas. Estos resultados proveen evidencia empíricacontra el realismo local y en favor de la MC. El teoremade no comunicación prueba que los observadores no pue-den utilizar las violaciones de la desigualdad para comu-nicarse información entre ellos más rápido que la luz.El artículo de John Bell examina tanto la prueba de 1932de John von Neumann sobre la incompatibilidad de lasvariables ocultascon la mecánicacuántica, como elartcu-lo seminal de Albert Einstein y sus colegas de 1935 sobre

la materia.

3.3 Desigualdades de Bell

Las desigualdades de Bell conciernen mediciones realiza-dasporobservadores sobreparesdepartículas que hanin-teraccionado y se hanseparado.De acuerdo a lamecánicacuántica las partículas están en un estado entrelazado,mientras que el realismo local limita la correlación de lassiguientes medidas sobre las partículas. Autores diferen-tes posteriormente han derivado desigualdades similares

a la desigualdad de Bell original, colectivamente deno-minadas desigualdades de Bell . Todas las desigualdadesde Bell describen experimentos donde el resultado pre-dicho asumiendo entrelazamiento diere del que se de-duciría del realismo local. Las desigualdades asumen quecada objeto de nivel cuántico tiene un estado bien deni-do que da cuenta de todas sus propiedades mediblesy queobjetos distantes no intercambian información más rápi-do que la velocidad de la luz. Estos estados bien denidosson llamados a menudo variables ocultas, las propiedadesque Einstein armó cuando hizo su famosa objeción a lamecánica cuántica: “Dios no juega a los dados.”

Bell mostró que bajo la mecánica cuántica, que carece devariables locales ocultas, las desigualdades (el límite decorrelación) pueden ser violadas. En cambio, las propie-dades de una partícula que no son fáciles de vericar enmecánica cuántica pero pueden estar correlacionadas conlas de la otra partícula debido al entrelazamiento cuánti-co, permiten que su estado esté bien denido sólo cuandouna medida se hace sobre la otra partícula. Esta restric-ción está de acuerdo con el principio de incertidumbre deHeisenberg, un concepto fundamental e ineludible de lamecánica cuántica.En el trabajo de Bell:

Los físicos teóricos viven en un mundo clá-sico, mirando hacia un mundo cuántico. El úl-

timo es descrito sólo subjetivamente, en térmi-nos de procedimientos y resultados sobre nues-tro dominio clásico. (...) Nadie conoce dóndese encuentra el límite entre el dominio clásicoy el cuántico. (...) Más plausible para mí es queencontremos que no hay límite. Las funcionesde onda serían una descripción provisional oincompleta de la parte de la mecánica cuánti-ca.Es esta posibilidad, acerca deunavisión ho-mogénea del mundo, lo que constituye para míla motivación principal que me lleva al estudiode la así llamada posibilidad de las “variablesocultas”.

(...) Una segunda motivación está conecta-da con el carácter estadístico de las prediccio-nes de la mecánica cuántica. Una vez se sospe-cha de la incompletitud de la descripción porfunciones de onda, se puede aventurar que las

uctuaciones aleatorias estadísticas están de-terminadas por las variables adicionales “ocul-tas” — “ocultas” porque hasta ahorasólo pode-mos conjeturar su existencia y ciertamente nopodemos controlarlas.

(...) Una tercera motivación está en el ca-rácter peculiar de algunas predicciones de lamecánica cuántica, que parecen casi gritar poruna interpretación de variables ocultas. Estees el famoso argumento de Einstein, Podolskyy Rosen. (...) Encontramos, sin embargo, queninguna teoría local determinista de variablesocultas puede reproducir todas lasprediccionesexperimentales de la mecánica cuántica. Estoabre la posibilidad de traer la cuestión al domi-nio experimental, intentando aproximar tantocomo sea posible las situaciones ideales don-de las variables locales ocultas y la mecánicacuántica no concuerdan

En teoría de la probabilidad, las mediciones repetidas delas propiedades de un sistema pueden ser consideradascomo muestras repetidas devariables aleatorias.Enelex-perimento de Bell, Alicia puede elegir el ajuste del detec-

tor para medir o bienA(a ) o bienA(a ′) y Bob puede ele-gir un ajuste del detector para medir o bien B (b) o bienB (b′) . Las medidas de Alicia y Bob deben de alguna for-ma estar correlacionadas entre sí, pero las desigualdadesde Bell dicen que si la correlación proviene de variablesaleatorias locales, entonces existe un límite a la magnitudde la correlación que uno puede esperar obtener.

3.3.1 Desigualdad original de Bell

La desigualdad original que Bell dedujo fue:[2]

1 + C(b, c) ≥ |C(a, b) −C(a, c )|,

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3.3. DESIGUALDADES DE BELL 19

donde C es la “correlación” de los pares de partículas ya, b y c ajustes del aparato. Esta desigualdad no se utilizaen la práctica. Por un lado, es cierta sólo para sistemasgenuinamente de “dos salidas”, no para los de “tres sa-lidas” (con posibles salidas de cero además de +1 y −1)encontradas en losexperimientos reales.Por otro, se apli-ca únicamente a un conjunto muy restrictivo de teoríasde variables ocultas, solamente a aquellas para las que lassalidas a ambos lados del experimento estánsiempre anti-correlacionadas cuando los analizadores están paralelos,de acuerdo con la predicción de la mecánica cuántica.Existeun límitesimple de la desigualdad deBellque tienelavirtuddeser completamenteintuitivo.Si el resultadodetreslanzamientosde monedasestadísticamente diferentesA,B,C tienen la propiedad de que:

1. A y B son los mismos (ambos caras o ambos cruces)99% del tiempo

2. B y C son los mismo el 99% del tiempo

entonces A y C son los mismo por lo menos el 98% deltiempo. El número de discordancias entre A y B (1/100)más el número de discordancias entre B y C (1/100) sonel máximo número posible de discordancias entre A y C.En mecánica cuántica, dejando que A,B,C sean los valo-res del espín de dos partículas entrelazadas medidas conrespecto a algún eje a 0 grados, θ grados, y 2θ gradosrespectivamente, el solapamiento de la función de on-da entre los distintos ángulos es proporcional a cos(Sθ )≈1−S 2 θ 2 /2 . La probabilidad de que A y B den la mismarespuesta es 1−ε2 , donde ε es proporcional a θ. Esta estambién la probabilidad de que B y C den la misma res-puesta. Pero A y C son los mismos 1 − (2ε)2 del tiempo.Eligiendo el ángulo para que = .1 , A y B están corre-lacionados al 99%, B y C están correlacionados al 99% yA y C están correlacionados sólo el 96%.Imagine que dos partículas entrelazadas en un singlete deespín se alejan a dos localizaciones diferentes, y que losespines de ambas son medidos en la dirección A. Los es-pines estarán correlacionados al 100% (realmente, anti-correlacionados pero para este argumento es equivalen-

te). Lo mismo es cierto si ambos espines son medidos enlas direcciones B o C. Es seguro concluir que cualquiervariable oculta que determinase las medidas de A, B y Cen las dos partículas está correlacionada al 100% y puedeser utilizada indistintamente en ambas.Si A es medida en una partícula y B en la otra, la correla-ción entre ellas es del 99%. Si B es medida en una y C enla otra, la correlación es del 99%. Esto nos permite con-cluir que las variables ocultas que determinan A y B estáncorrelacionadasal 99% y las deB y C al99%. Pero siA semide en una partícula y C en la otra, los resultados estáncorrelacionados sólo en un 96%, lo que es una contradic-

ción. La formulación intuitiva se debe a David Mermin,mientras que el límite del ángulo pequeño es destacadoen el artículo original de Bell.

3.3.2 Desigualdad CHSH

Adicionalmente a la desigualdad de Bell original,[2] laforma dada por John Clauser, Michael Horne, AbnerShimony and R. A. Holt,[3] (the CHSH form) es espe-cialmente importante,[3] porque da límites clásicos a lacorrelación esperada para el experimiento anterior reali-zado por Alicia y Bob:

(1) C[A(a ), B (b)]+ C[A(a ), B (b′)]+ C[A(a ′), B (b)]−C[A(a ′), B (b′)]

donde C denota correlación.La correlación de observables X , Y se dene como

C(X, Y ) = E(XY ).

Esta es una forma no normalizada del coeciente decorrelación considerada en estadística (ver correlacióncuántica).Para formular el teorema de Bell, formalizaremos el rea-lismo local como sigue:

1. Existe un espacio de probabilidades Λ y las salidasobservadas de Alicia y Bob resultan del muestreoaleatorio del parámetro λ Λ .

2. Los valores observados por Alicia y Bob son funcio-nes de los ajustes del detector local y de los paráme-tros ocultos únicamente. Luego

• El valor observado por Aliciaconeldetectorajustado ena esA(a, λ )

• El valor observado por Bobconel detector ajustado enbesB (b, λ )

Implícita en la asunción 1) de arriba, el espacio de pará-metros ocultos Λ tiene una medida de probabilidad ρ yel valor esperado de una variable aleatoria X sobre Λ conrespecto a ρ se escribe

E(X ) = Λ X (λ )ρ(λ )dλ

donde para mayor legibilidad de la notación asumimosque la medida de probabilidad tiene una densidad.desigualdad de Bell. La desigualdad CHSH (1) se cum-ple bajo la asunción de variables ocultas anterior.Por simplicidad, asumamos primero que los valores ob-servados son +1 or −1; quitaremos esta observación abajoen la Nota 1.Sea λ Λ . Entonces por lo menos uno de

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20 CAPÍTULO 3. TEOREMA DE BELL

B (b, λ ) + B (b′, λ ), B (b, λ ) −B (b′, λ )

es 0. Entonces

A(a, λ ) B (b, λ )+ A(a, λ ) B (b′, λ )+ A(a ′, λ ) B (b, λ )−A(a ′, λ ) B (b′, λ ) =

= A (a, λ )(B (b, λ )+ B (b′, λ ))+ A(a ′, λ )(B (b, λ )−B (b′, λ ))

≤2.

y por tanto

C(A(a ), B (b))+ C(A(a ), B (b′))+ C(A(a ′), B (b))−C(A(a ′), B (b′)) =

=

ΛA(a, λ ) B (b, λ )ρ(λ )dλ +

ΛA(a, λ ) B (b′, λ )ρ(λ )dλ +

ΛA(a ′, λ ) B (b, λ )ρ(λ )dλ

− ΛA(a ′, λ ) B (b′, λ )ρ(λ )dλ =

= Λ A(a, λ ) B (b, λ )+ A(a, λ ) B (b′, λ )+ A(a ′, λ ) B (b, λ )−A(a ′, λ ) B (b′, λ ) ρ(λ )dλ =

= Λ A(a, λ )(B (b, λ )+ B (b′, λ ))+ A(a ′, λ )(B (b, λ )−B (b′, λ )) ρ(λ )dλ

≤2.

Nota 1. La desigualdad de correlación (1) todavía semantiene si las variables A (a, λ ) , B (b, λ ) pueden tomarvalor sobre cualquier valor real entre −1 and +1. De he-cho, la idea relevante es que cada sumando en la media

superior esté acotado superiormente por 2. Es fácil verque esto es cierto en el caso más general:

A(a, λ ) B (b, λ )+ A(a, λ ) B (b′, λ )+ A(a ′, λ ) B (b, λ )−A(a ′, λ ) B (b′, λ ) =

= A (a, λ )(B (b, λ )+ B (b′, λ ))+ A(a ′, λ )(B (b, λ )−B (b′, λ ))

≤ A(a, λ )(B (b, λ )+ B (b′, λ ))+ A(a ′, λ )(B (b, λ )−B (b′, λ ))

≤ A(a, λ )(B (b, λ )+ B (b′, λ )) + A(a ′, λ )(B (b, λ )−B (b′, λ ))

≤ |B (b, λ ) + B (b′, λ )|+ |B (b, λ ) −B (b′, λ )| ≤2.

Para justicar el límite superior 2 armado en la últimainecuación, sin pérdida de generalidad, podemos asumirque

B (b, λ ) ≥B (b′, λ ) ≥0.

En ese caso

|B (b, λ )+ B (b′, λ )|+ |B (b, λ )−B (b′, λ )| = B (b, λ )+ B (b′, λ )+ B (b, λ )−B (b′, λ ) =

= 2 B (b, λ ) ≤2.

Nota 2. Aunque el componente importante del paráme-tro oculto λ en la demostración original de Bell está aso-ciado con la fuente y es compartido por Alicia y Bob,pueden haber otros que estén asociados con los detecto-res separados, siendo estos últimos independientes. Esteargumento fue utilizado por Bell en 1971, y de nuevo porClauser y Horne en 1974,[4] para justicar una generali-zación del teorema forzadasobre ellos por los experimen-tos reales, donde los detectores nunca tienen una ecien-cia del 100%. Las derivaciones fueron dadas en términosde las medias de las salidas sobre las variables locales delosdetectores. La formalización del realismo local fue en-tonces cambiada efectivamente, reemplazando A y B pormedias y reteniendo el símbolo λ pero con uun signi-cado ligeramente diferente. Fue entonces restringido (enmuchos trabajos teóricos) a signicar sólo aquellos com-ponentes que estuvieran asociados con la fuente.Sin embargo, con la extensión probada en laNota 1, lade-sigualdad de CHSH todavía se cumple incluso si los pro-pios instrumentos contienen ellos mismos variables ocul-tas. En este caso, promediando sobre las variables ocultasdel instrumento obtenemos nuevas variables:

A(a, λ ), B (b, λ )

sobre Λ que todavía tienen valores en el rango [−1, +1]por lo que podemos aplicar el resultado previo.

3.4 Las desigualdades de Bell sonvioladas por las predicciones dela mecánica cuántica

En el formalismo usual de la mecánica cuántica, los ob-servables X e Y son representados como operadores au-toadjuntos sobre un espacio de Hilbert. Para computar lacorrelación, asumimos que X e Y son representados pormatrices en un espacio de dimensión nita y que X e Y conmutan; este caso especial es suciente para nuestrospropósitos abajo. El postulado de medida de von Neu-mann establece que: una serie de medidas de un obser-vable X sobre una serie de sistemas idénticos en el esta-do φ produce una distribución de valores reales. Por laasunción de que los observables son matrices nitar, estadistribución es discreta. La probabilidad de observar λ esno nula si y sólo si λ es un autovalor de la matriz X y porlo tanto la probabilidad es

EX (λ )φ 2

dondeEX (λ) es el proyector correspondienteal autovalorλ. El estado del sistema inmediatamente tras la mediciónes

EX (λ )φ −1 EX (λ )φ.

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3.5. EXPERIMENTOS PRÁCTICOS PARA COMPROBAR EL TEOREMA DE BELL 21

De aquí, podemos mostrar que la correlación de observa-bles que conmutan X e Y en un estado puro ψ es

XY = XY ψ |ψ .

Apliquemos este hecho en el contexto de la paradojaEPR. Las medidas realizadas por Alicia y Bob son me-didas de espín sobre electrones. Alicia puede elegir entredos ajustes del detector denominados a y a′; estos ajustescorresponden a medidas del espín a lo largo del eje z odel eje x . Bob puede elegir entre dos ajustes del detectordenominados b y b′; éstos corresponden a medidas del es-pín a lo largo del eje z′ o del eje x ′, donde el sistema decoordenadas x ′ – z′ es rotado 45° relativamente al siste-ma de coordenadas x – z. Los observables del espín sonrepresentados por matrices autoadjuntas 2 × 2 :

S x = 0 11 0 , S z = 1 0

0 −1 .

Estas sonlasmatrices deespíndePaulinormalizadas paraque los correspondientes autovalores sean +1, −1. Comoes costumbre, denotamos los autovectores de Sx por

|+ x , |−x .

Sea φ el estado de singlete de espín para un par de elec-trones como en la paradoja EPR. Este es un estado espe-cialmente construido descrito por los siguientes vectoresen el producto tensorial

|φ = 1√ 2 |+ x |−x −|−x | + x .

Ahora apliquemos el formalismo CHSH a las medidasque pueden ser realizadas por Alicia y Bob.

Ilustración del test de Bell para partículas de espín 1/2. La fuente produce pares de singlete de espín, una partícula de cada par esenviada a Alicia y la otra a Bob. Cada uno realizar una de lasdos medidas de espín.

A(a ) = S z I

A(a ′) = S x I

B (b) = − 1√ 2 I (S z + S x )

B (b′) = 1√ 2 I (S z −S x ).

Los operadores B (b′) , B (b) corresponden a las medi-das del espín de Bob a lo largo de x ′ y z′. Notese que losoperadores A conmutan con los operadores B, por lo quepodemos aplicar nuestro cálculo para la correlación. Eneste caso, podemos mostrar que la desigualdad CHSH fa-lla. De hecho, un cálculo directo muestra que

A(a)B (b) = A(a ′)B (b) = A(a ′)B (b′) = 1√ 2 ,

y

A(a)B (b′) = − 1√ 2 .

por lo que

A(a)B (b) + A(a ′)B (b′) + A(a ′)B (b) − A(a )B (b′) = 4√ 2 = 2 √ 2

Teorema de Bell: Si el formalismo de la mecánica cuán-tica es correcto, entonces el sistema consistente en un parde electrones entrelazados no puede satisfacer el princi-pio del realismo local. Nótese que 2√ 2 es de hecho ellímite superior de la mecánica cuántica llamado límitede Tsirelson. Los operadores que dan este valor máximoson siempre isomorfos a las matrices de Pauli.

3.5 Experimentos prácticos paracomprobar el teorema de Bell

Esquema de un test de Bell de “dos canales” La fuente SOURCE produce pares de “fotones”, enviados en di-recciones opuestas. Cada fotón encuentra un polarizador de doscanales cuya orientación (a o b) pueda ser ajustada por el experi-mentador. Las señales emergentes de cada canal son detectadasy las coincidencias de cuatro tipos (++, −−, +− y −+) son con-tadas por el monitor de coincidencias.

Los tests experimentales pueden determinar si las de-sigualdades de Bell requeridas por el realismo local semantienen bajo evidencia empírica.Las desigualdades de Bell son comprobadas por “conta-dores de coincidencias” de un experimento de prueba de

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22 CAPÍTULO 3. TEOREMA DE BELL

Bell como el óptico mostrado en el diagrama. Los paresde partículas son emitidos como resultados de un proce-so cuántico, analizados con respecto a alguna propiedadclave como la dirección de polarización, y entonces de-tectados. El ajuste (orientaciones) de los analizadores sonseleccionados por el experimentador.Los resultados experimentales de los test de Bell hastala fecha violan la desigualdad de Bell de forma agrante.Además,puedeverseunatabla deexperimentos de test deBell realizados antes de1986 en 4.5 deRedhead, 1987.[5]

De los trece experimentos listados, sólo dos alcanzaronresultados contradictorios con la mecánica cuántica; ade-más, de acuerdo a la misma fuente, cuando se repitieronlos experimentos, “las discrepancias con la MC no pudie-ron ser reproducidas”.Sin embargo, el asunto no está concluyentemente zanja-do. De acuerdo a artículo divulgativo de Shimony de la

enciclopedia de Stanford de 2004:[6]

Muchos de las docenas de experimentosrealizados han favorecido a la mecánicacuánti-ca, pero no decisivamente debido a la 'escapa-toria de detección' o a la 'escapatoria de comu-nicación'. La última ha sido decisivamente blo-queada por un experimento reciente y hay bue-nas perspectivas de poder bloquear también laprimera.

Para explorar la 'escapatoria de detección', uno debe dis-tinguir las clases de desigualdades de Bell homogénea einhomogénea.La asunción estándar en Óptica Cuántica es que “todoslos fotones de una frecuencia, dirección y polarizacióndadas son idénticos” por lo que los fotodetectores tra-tan todos los fotones incidentes sobre la misma base. Se-mejante asunción de “muestreo justo” generalmente pa-sa desapercibida, pero limita efectivamente el rango deteorías locales a aquellas que conciben la luz como cor-puscular. La asunción excluye una gran familia de teoríasde realismo local, en particular, la descripción de MaxPlanck. Debemos recordar las palabras cautelosas de Al-

bert Einstein[7] poco antes de morir: “Hoy en día cadaTom, Dick y Harry ('jeder Kerl' en el alemán original)piensa que sabe lo que es un fotón, pero está equivoca-do”.Laspropiedades objetivasdel análisis de Bell (teorías rea-listas locales) incluyen la amplitud de onda de una señalluminosa. Aquellos que mantienen el concepto de duali-dad, o simplemente de la luz siendo una onda, recono-cen la posibilidad o realidad de que las señales luminosasemitidas tengan un rango de amplitudes y, por lo tanto,que las amplitudes sean modicadas cuando la señal pa-se a través de dispositivos de análisis como polarizadores

o separadores de rayos. Se sigue que no todas las seña-les tienen la misma probabilidad de detección (Marshally Santos 2002).

3.5.1 Dos clases de desigualdades de Bell

El problema del muestreo justo fue encarado abiertamen-te en la década de 1970. En diseños anteriores de suexperimento de 1973, Freedman y Clauser[8] utilizaronmuestreo justo en la forma de la hipótesis de Clauser-Horne-Shimony-Holt (CHSH[3]). Sinembargo,poco des-pués Clauser y Horne[4] realizaron la importante distin-ción entre desigualdades de Bell inhomogéneas (DBI) yhomogéneas (DBH). Comprobar una DBI requiere quecomparemos ciertas tasas de coincidencia en dos detecto-res separados con las tasas aisladas de los dos detectores.Nadienecesita realizarelexperimento,pues las tasas sim-ples con todos los detectores en la década de 1970 erancomo mínimo diez veces todas las tasas de coincidencia.Por ello, teniendo en cuenta esta baja eciencia del de-tector, la predicción MC realmente cumplía la DBI. Parallegar al diseño experimental donde la predicción de la

MC viola la DBI necesitamos detectores cuya ecienciaexceda del 82% para estados singlete, pero tenemos ta-sas oscuras muy bajas y tiempos muertos y de resoluciónmuy bajos. Esto está muy por encima del 30% disponible(Brida et al. 2006) por lo que el optimismo de Shimonyen la Stanford Encyclopedia, mencionado en la secciónprecedente, parece exagerado.

3.5.2 Retos prácticos

Debido a que los detectores no detectan una gran parte

de todos los fotones, Clauser y Horne[4]

reconocieron quecomprobar la desigualdad de Bell requiere algunas asun-ciones extra. Ellos introdujeron la Hipótesis de no aumen-to (NEH):

una señal luminosa, originándose porejemplo en una cascada atómica, tiene unacierta probabilidad de activar un detector. En-tonces, si se interpone un polarizador entre lacascada y el detector, la probabilidad de detec-ción no puede aumentar.

Dada esta asunción, hay una desigualdad de Bell entrelas tasas de coincidencia con polarizadores y las tasas decoincidencias sin polarizadores.El experimento fue realizado por Freedman y Clauser,[8]

que encontraron que la desigualdad de Bell se violaba.Por lo que la hipótesis de no aumento no puede ser cier-ta en un modelo de variables ocultas. El experimento deFreedman-Clauser revela que las variables ocultas localesimplican el nuevo fenómeno de aumento de la señal:

En en conjunto total de señales de una cas-

cada atómica hay un subconjunto cuya proba-bilidad de detección aumenta como resultadode pasar a través de un polarizador lineal.

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3.7. OBSERVACIONES FINALES 23

Esto es quizá no sorprendente, puesto que es sabido queañadir ruido a los datos puede, en presencia de un um-bral, ayudar a revelar señales ocultas (esta propiedad esconocida como resonancia estocástica ). Uno no puedeconcluir que esta es la única alternativa realista local a laÓptica Cuántica, pero muestra que la escapatoria es sor-teada. Además, el análisis conduce a reconocer que losexperimentos de la desigualdad de Bell, más que mostraruna ruptura con el realismo o la localidad, son capaces derevelar nuevos fenómenos importantes.

3.6 Retos teóricos

Algunos defensores de la idea de las variables ocultascreen que los experimentos han rechazado las variablesocultas locales. Están preparados para descartar la locali-dad, explicando la violación de la desigualdad de Bell pormedio de una teoría de variables ocultas no local, dondelas partículas intercambian información sobre sus esta-dos. Esta es la base de la interpretación de Bohm de lamecánica cuántica, que requiere que todas las partículasen el universo sean capaces de intercambiar informacióninstantáneamente con todas las demás. Un experimentoreciente rechazó una gran clase de teorías de variablesocultas “no locales” y no BohmianasSi las variables ocultas pueder comunicarse entre sí másrápido que la luz, la desigualdad de Bell puede ser viola-da con facilidad. Una vez una partícula es medida, puedecomunicar las correlaciones necesarias a la otra partícula.Puesto que en relatividad la noción de simultaneidad noesabsoluta, esto no esatractivo.Una idea es reemplazar lacomunicación instantánea con un proceso que viaje haciaatrás en el tiempo sobre el cono de luz del pasado. Estaes la idea tras la interpretación transaccional de la me-cánica cuántica, que interpreta la emergencia estadísticade una historia cuántica como una convergencia gradualentre historias que van adelante y atrás en el tiempo.[9]

Un trabajo reciente controvertido de Joy Christian[10]

proclama que una teoría determinista, local, y realistapuede violar las desigualdades de Bell si los observablesson elegidos para ser número no conmutativos en vez denúmeros conmutativos como Bell asumió. Christian pro-clamaque deesta forma laspredicciones estadísticas delamecánica cuántica pueder ser reproducidas exactamente.La controversia sobre este trabajo concierne su procesode promediado no conmutativo, donde los promedios delos productos de variables en lugares distantes dependendel orden en que aparecen en la integral de promediación.Para muchos, esto parece como correlaciones no locales,aunque Christian denes la localidad para que este tipode cosa esté permitida.[11][12] En este trabajo, Christianconstruye una visión de la MC y del experimento de Bellque respeta el entrelazamiento rotacional de la realidad

física, que está incluido en la MC por construcción, puesesta propiedad de la realidad se maniesta claramente enel espín de las partículas, pero no es usualmente tenida en

cuenta en el realismo clásico.Tras construir esta vista clá-sica,Christian sugiere que en esencia, esta es la propiedadde la realidad que origina los valores aumentados de lasdesigualdades de Bell y como resultado es posible cons-truir una teoría local y realista. Másaún, Christian sugiereun experimento completamente macroscópico, constitui-do por miles de esferas de metal, para recrear los resulta-dos de los experimentos usuales.La función de onda de la mecánica cuántica también pue-de proveer de una descripción realista local, si los valoresde la función de onda son interpretados como las can-tidades fundamentales que describen la realidad. A estaaproximación se la llama interpretación de las realidadesalternativas de la mecánica cuántica. En esta controver-tida aproximación, dos observadores distantes se dividenen superposiciones al medir un espín. Las violaciones delas desigualdades de Bell ya no son contraintuitivas, puesno está claro qué copia del observador B verá a qué co-pia del observador A cuando comparen las medidas. Sila realidad incluye todas las diferentes salidas, la locali-dad en el espacio físico (no en el espacio de salidas) noes ya restricción sobre cómo los observadores divididospueden encontrarse.Esto implica que existe una sutil asunción en el argumen-to de que el realismo es incompatible con la mecánicacuántica y la localidad. La asunción, en su forma más dé-bil, se llama denición contrafactual. Esta establece quesi el resultado de un experimento se observa siempre deforma denida, existe una cantidad que determina cuálhubiera sido la salida aunque no se realice el experimen-to.La interpretación de las realidades alternativas (o inter-pretación de los muchos mundos) no es sólo contrafac-tualmente indenida, sino factualmente indenida. Losresultados de todos los experimentos, incluso de los quehan sido realizados, no están únicamente determinados.

3.7 Observaciones nales

El fenómeno del entrelazamiento cuántico que está tras la

violación de la desigualdad de Bell es sólo un elemento dela física cuántica que no puede ser representado por nin-guna imagen clásica de la física; otros elementos no clási-cos son la complementariedad y el colapso de la funciónde onda. El problema de la interpretación de la mecánicacuántica es intentar ofrecer una imagen satisfactoria deestos elementos no clásicos de la física cuántica.El artículo EPR “señala” las propiedades inusuales de losestados entrelazados, i.e. el estado singlete anteriormentemencionado, que es el fundamento de las aplicaciones ac-tuales de la física cuántica, como la criptografía cuántica.Esta extraña no localidad fue originalmente un supuesto

argumento de Reductio ad absurdum, porque la interpre-tación estándarpodría fácilmente eliminar laaccióna dis-tancia simplemente asignando a cada partícula estados de

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24 CAPÍTULO 3. TEOREMA DE BELL

espín denidos. El teorema de Bell mostró que la predic-ción de “entrelazamiento” de la mecánica cuántica teníaun grado de no localidad que no podía ser explicado porninguna teoría local.En experimentos de Bell bien denidos (ver el párrafo so-

bre “experimentos de test”) uno puede ahora establecerque es falsa o bien la mecánica cuántica o bien las asun-ciones cuasiclásicas de Einstein: actualmente muchos ex-perimentos de esta clase han sido realizados, y los re-sultados experimentales soportan la mecánica cuántica,aunque algunos creen que los detectores dan una muestrasesgada de los fotones, por lo que hasta que cada par defotones generado sea observado habrán escapatorias.Lo que es poderoso sobre el teorema de Bell es que noviene de ninguna teoría física. Lo que hace al teorema deBell único y lo ha señalado como uno de los más impor-tantes avances en la ciencia es que descansa únicamente

sobre laspropiedades másgenerales de la mecánica cuán-tica. Ninguna teoría física que asuma una variable deter-minista dentro de la partículaque determine la salida pue-de explicar los resultados experimentales, sóloasumiendoque esta variable no puede cambiar otras variables lejanasde forma no causal.

3.8 Notas

[1] Stapp, 1975

[2] J.S.Bell,On the Einstein PodolskyRosen Paradox , Physics1, 195 (1964)

[3] J. F. Clauser, M. A. Horne, A. Shimony and R. A. Holt,Proposed experiment to test local hidden-variable theories,Physical Review Letters 23, 880–884 (1969)

[4] J. F.Clauser and M. A. Horne,Experimental consequencesof objective local theories, Physical Review D, 10, 526–35(1974)

[5] M. Redhead, Incompleteness, Nonlocality and Realism,Clarendon Press (1987)

[6] Article on Bell’s Theorem by Abner Shimony in the

Stanford Encyclopedia of Philosophy, (2004).[7] A. Einstein in Correspondance Einstein–Besso, p.265

(Herman, Paris, 1979)

[8] S. J. Freedman and J. F.Clauser,Experimental test oflocal hidden-variable theories, Phys. Rev. Lett. 28, 938 (1972)

[9] Cramer, John G. “The Transactional Interpretation ofQuantum Mechanics”, Reviews of Modern Physics 58,647–688, July 1986

[10] J Christian, Disproof of Bell’s Theorem by Clifford Alge-bra Valued Local Variables (2007) http://arxiv.org/abs/quant-ph/0703179

[11] J Christian, Disproof of Bell’s Theorem: Further Consoli-dations (2007) http://arxiv.org/abs/0707.1333

[12] J Christian, Can Bell’s Prescription for Physical Reality BeConsidered Complete? (2008) http://arxiv.org/abs/0806.3078

3.9 Referencias

• A. Aspect et al., Experimental Tests of Realistic Lo-cal Theories via Bell’s Theorem, Phys. Rev. Lett. 47,460 (1981)

• A. Aspect et al., Experimental Realization of Einstein-Podolsky-Rosen-Bohm Gedankenexperi-ment: A New Violation of Bell’s Inequalities, Phys.Rev. Lett. 49, 91 (1982).

• A. Aspectet al.,Experimental Test ofBell’s Inequali-ties Using Time-Varying Analyzers, Phys. Rev. Lett.49, 1804 (1982).

• A. Aspect andP. Grangier,About resonant scatteringand other hypothetical effects in the Orsay atomic-cascade experiment tests of Bell inequalities: a dis-cusión and some new experimental data, Lettere alNuovo Cimento 43, 345 (1985)

• J. S. Bell, On the problem of hidden variablesin quantum mechanics, Rev. Mod. Phys. 38, 447(1966)

• J. S. Bell, Introduction to the hidden variable ques-tion, Proceedings of the International School ofPhysics 'Enrico Fermi', Course IL, Foundations ofQuantum Mechanics (1971) 171–81

• J. S. Bell,Bertlmann’s socks and thenature of reality,Journal de Physique,Colloque C2, suppl. au número3, Tome 42 (1981) pp C2 41–61

• J. S. Bell, Speakable and Unspeakable in QuantumMechanics (Cambridge University Press 1987) [Acollection of Bell’s papers, including all of the abo-ve.]

• J. F. Clauser and A. Shimony, Bell’s theorem: expe-rimental tests and implications, Reports on Progress

in Physics 41, 1881 (1978)

• J. F. Clauser and M. A. Horne, Phys. Rev. D 10,526–535 (1974)

• E. S. Fry, T. Walther and S. Li, Proposal for aloophole-free test of the Bell inequalities, Phys. Rev.A 52, 4381 (1995)

• E. S. Fry, and T. Walther, Atom based tests of theBell Inequalities — the legacy of John Bell con-tinues, pp 103–117 of Quantum [Un]speakables,R.A. Bertlmann and A. Zeilinger (eds.) (Springer,Berlin-Heidelberg-New York, 2002)

• R. B. Griffiths, Consistent Quantum Theory' , Cam-bridge University Press (2002).

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3.11. ENLACES EXTERNOS 25

• L. Hardy, Nonlocality for 2 particles without inequa-lities for almost all entangled states. Physical ReviewLetters 71 (11) 1665–1668 (1993)

• M. A. Nielsen and I. L. Chuang, Quantum Compu-tation and Quantum Information, Cambridge Uni-

versity Press (2000)

• P. Pearle, Hidden-Variable Example Based uponData Rejection, Physical Review D 2, 1418–25(1970)

• A. Peres, Quantum Theory: Concepts and Methods,Kluwer, Dordrecht, 1993.

• P. Pluch, Theory of Quantum Probability, PhD The-sis, University of Klagenfurt, 2006.

• B. C. van Frassen, Quantum Mechanics, ClarendonPress, 1991.

• M.A. Rowe, D. Kielpinski, V. Meyer, C.A. Sackett,W.M. Itano, C. Monroe, and D.J. Wineland, Expe-rimental violation of Bell’s inequalities with efficient detection,(Nature, 409, 791–794, 2001).

• S. Sulcs, The Nature of Light and Twentieth Cen-tury Experimental Physics, Foundations of Science8, 365–391 (2003)

• S. Gröblacher et al., An experimental test of non-local realism,(Nature, 446, 871–875, 2007).

3.10 Lecturas adicionalesLas siguientes lecturas están pensadas para el público engeneral.

• Amir D. Aczel, Entanglement: The greatest mysteryin physics (Four Walls Eight Windows, New York,2001).

• A. Afriat and F. Selleri, The Einstein, Podolsky and Rosen Paradox (Plenum Press, New York and Lon-don, 1999)

• J. Baggott, The Meaning of Quantum Theory (Ox-ford University Press, 1992)

• N. David Mermin, “Is the moon there when nobodylooks? Reality and the quantum theory”, in PhysicsToday, April 1985, pp. 38–47.

• Louisa Gilder, The Age of Entanglement: WhenQuantum PhysicsWas Reborn(New York: AlfredA.Knopf, 2008)

• Brian Greene, The Fabric of the Cosmos (Vintage,2004, ISBN 0-375-72720-5)

• Nick Herbert, Quantum Reality: Beyond the NewPhysics (Anchor, 1987, ISBN 0-385-23569-0)

• D. Wick, The infamous boundary: seven decades of controversy in quantum physics (Birkhauser, Boston1995)

• R. Anton Wilson, Prometheus Rising (New FalconPublications, 1997, ISBN 1-56184-056-4)

• Gary Zukav “The Dancing Wu Li Masters” (Peren-nial Classics, 2001, ISBN 0-06-095968-1)

3.11 Enlaces externos

• Una explicación del teorema de Bell, basada en elartículo de N. D. Mermin, “Bringing Homethe Ato-mic World: Quantum Mysteries for Anybody,” Am.J. of Phys. 49 (10), 940 (October 1981)

• Entrelazamiento cuántico Incluye una explicaciónsimple de la desigualdad de Bell.

• Teorema de Bell en arxiv.org

• Refutación del teorema de Bell mediante un álge-bra de Clifford de variables locales Refutación delteorema de Bell

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Capítulo 4

Efecto Aharonov-Bohm

El efecto Aharonov-Bohm es un fenómeno cuántico enel que la presencia de un campo magnético altera la pro-pagación de una carga eléctrica, incluso cuando esta sepropaga en zonas donde dicho campo no está presen-te. Descrito por primera vez por Werner Ehrenberg y

Raymond Siday en 1949, recibe su nombre de los físi-cos Yakir Aharonov y David Bohm que lo descubrieronde forma independiente en 1959.

4.1 Descripción

La presencia de un campo magnético B connado en unsolenoide altera la propagación de una carga. Este efecto se ma-niesta en una fase relativa entre las posibles trayectorias entrea y b.

En física clásica, el movimiento de una carga q en pre-sencia de un campo magnético viene dada por la llamadafuerza de Lorentz:

F = q v×B

Por tanto, mientras el campo magnético B sea nulo, elmovimiento de una carga no se ve afectado por dichafuerza.

En mecánica cuántica, la evolución de una partícula ba-jo la inuencia de un campo magnético está dada por laecuación de Schrödinger, que en este caso toma la forma:

12m [−i − q A]2 ψ(x, t ) = i ∂ψ

∂t (x, t ) ,

donde A es el potencial vector asociado a dicho campo.Aunque este sea cero en la zona por la que la partículapuede moverse, esto no implica que A sea cero también,lo que puede afectar al movimiento de la misma.Un ejemplo habitual es la propagación de una carga enpresencia de un solenoide. Un solenoide ideal encierra uncampo magnético constante en su interior, mientras queen el exterior este es cero. La amplitud de probabilidadcuántica de propagación para una carga moviéndose porel exterior de este viene dada por una integral de cami-nos, una suma sobre todas las posibles trayectorias entre

el punto inicial a y el punto nal b:

a |b = ∫ Dxexp i ∫ b

a L ,

La acción de cada trayectoria —la integral dellagrangiano L— se ve modicada por la presenciadel potencial vector A. En concreto adquiere un término:

∫ b

a L = S →S + q ∫ b

a A ·dx

De este modo, la probabilidad de propagación, que es elcuadrado de esta amplitud, adquiere una fase relativa en-tre las trayectorias que pasan por la izquierda y por laderecha del solenoide. El valor de esta fase, obtenida me-diante el teorema de Stokes, es proporcional al valor delujo magnético que atraviesa el solenoide, q ΦB/ . Porlo tanto, la probabilidad de detectar la carga en el pun-to b tiene una contribución que varía sinusoidalmente amedida que lo haga el campo B.

4.2 Referencias

• Sakurai, Jun John (1994). Modern Quantum Mecha-nics (en inglés). Addison-Wesley Publishing Com-pany. ISBN 0201539292.

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Capítulo 5

Jiddu Krishnamurti

Jiddu Krishnamurti (Telugú: ) o J.Krishnamurti (n. 12 de mayo de 1895, en Madanapalle,Andhra Pradesh, India – 17 de febrero de 1986, en Ojai,California, Estados Unidos), fue un conocido escritor yorador en materia losóca y espiritual. Sus principales

temas incluían la revolución psicológica, el propósito dela meditación, las relaciones humanas, la naturaleza dela mente y cómo llevar a cabo un cambio positivo en lasociedad global.Krishnamurti nació en la ciudad deMadanapalle, AndhraPradesh, en la India colonial, y fue descubierto en1909, cuando aún era un adolescente, por Charles Webs-ter Leadbeater en las playas privadas del centro de laSociedad Teosóca de Adyar en Madrás, India. Poste-riormente fue adoptado y criado bajo la tutela de AnnieBesanty C.W. Leadbeater dentro de laSociedadTeosó-ca, quienes vieron en él a un posible Líder Espiritual. Sin

embargo, rehusó ser el mesías de un nuevo credo, has-ta que en 1929 disolvió la orden creada para ese n.[1]

Alegaba no tener nacionalidad, ni pertenecer a ningunareligión, clase social, o pensamiento losóco. Pasó elresto de su vida como conferenciante y profesor viajandopor el mundo y enseñando sobre la mente humana, tantoa grandes como a pequeños grupos. Fue autor de varioslibros, entre ellosLa libertad primera y últimalibertad , Laúnica revolución y Las notas de Krishnamurti . A la edadde 90 años dio una conferencia en la ONU acerca de lapaz y la conciencia, y recibió la Medalla de la Paz de laONU en 1984. Su última conferencia fue dada un mesantes de su muerte en 1986.Paradójicamente, sus continuadores fundaron varias es-cuelas, en la India, Inglaterra y Estados Unidos; y tradu-jerona varios idiomasmuchosde sus discursos, publicán-dolos como libros losócos.La biógrafa Mary Lutyens escribió un libro acerca dela juventud de Krishnamurti cuando vivía en la India,Inglaterra, y nalmente enOjai, California tituladaKrish-namurti: The Years of Awakening. Ella formaba parte dela Orden de la estrella, organización fundada para Krish-namurti cuando este aún era muy joven. Por ello, lo co-noció desde su adolescencia hasta su muerte. Este libro

posee muchos detalles acerca de su vida durante ese pe-riodo, algunos de ellos rara vez fueron tratados por él.Lutyens escribió tres volúmenes adicionales de la bio-

grafía: The Years of Fulllment (1983), The Open Door (1988), y Krishnamurti and the Rajagopals (1996). Adi-cionalmente, publica y abrevia los tres primeros volú-menes en el libro The Life and Death of Krishnamurti (1991). Otras biografías de Krishnamurti son: Krishna-

murti, A Biography(1986), porPupulJayakar yStar In theEast: Krishnamurti, The Invention of a Messiah (2002),por Roland Vernon.

5.1 Biografía

5.1.1 Nacimiento

Jiddu Krishnamurti vino de una familia telugú de líneabrahmánica. Nació un 12 de mayo en un pequeño pueblosituado a 250 kilómetros al norte de Madrás. “Como oc-tavo hijo, fue nombrado según la tradición ortodoxa hin-dú, en honor de Sri Krishna quien había sido un octavohijo.”[2]

Su padre, Jiddu Narianiah, graduado en la Universidadde Madrás y empleado del departamento de rédito inglés,alcanzó la posición de colector de renta y magistrado deldistrito. Sus padres, estrictos vegetarianos, eran primossegundos. De los once hijos que tuvieron solo seis sobre-vivieron a la infancia.

5.1.2 Juventud

En 1903, su familia se muda a Kadapa y Krishna enfer-ma de malaria, una enfermedad que le traería secuelasdurante muchos años. En 1904, su hermana mayor mue-re, a la edad de 20 años. En sus memorias, él describea su madre como “hasta cierto punto psíquica"; y cómoella veía y conversaba con su hija muerta. Krishna tam-bién maniesta hablar con su hermana muerta en variasocasiones. En diciembre de 1905, su madre, Jiddu San-jeevamma, muere en Kadapa, cuando Krishnamurti tenía10 años de edad. Krishna dice: “Puedo decir que vi a mimadre después que ella muriera” (Lutyens, p 5)

“Narianiah, a pesar de ser un Brahamanico Ortodoxo,se hizo miembro de la Sociedad Teosóca en 1906 (Lateosofía abraza todas las religiones):" (Lutyens, p 7). To-

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28 CAPÍTULO 5. JIDDU KRISHNAMURTI

do esto sucede mientras Helena Blavatsky fue la líder delmovimiento en la India. Narianiah se retira a nales de1907 y escribe a Annie Besant, recomendándose comovigilante de 260 acres que la sociedad posee en el estadode Adyar. Él tenía cuatro hijos varones y Annie Besantpensó que podrían distraer sus labores. Continúa hacien-do requerimientos hasta que fue aceptado como un asis-tente de la Secretaria de la Sección Esotérica. Su familia,incluido él mismo, sus cuatro hijos y un sobrino se muda-ron el 23 de enero de 1909.[3] Meses después, Krishna-murti fue descubierto por Charles Webster Leadbeater,quien creyó que era el vehículo esperado.

5.1.3 Inuencia de Leadbeater

Este descubrimiento crea algunos problemas con Hubertvan Hook (b 1896), hijo del Dr Weller van Hook, un ci-

rujanodeChicago, y elSecretarioGeneral de laSociedadTeosóca de los Estados Unidos. Hubert también fue ele-gido por Charles Webster Leadbeater y fue llevado a laIndia para entrenamiento especial. Cuando encontraron aKrishna, Hubert fue apartado. (Lutyens, p 12)Leadbeater tenía reputación de estar demasiado a menu-do acompañado de adolescentes. Hecho que fue negadovehementemente porAnnie Besant. El chismeterminó enescándalo en 1906 y Leadbeater debió dejar la SociedadTeosóca. Posteriormente fue reincorporado por vota-ción. (Lutyens, p 15)Hubert y la Sra. Van Hook, su madre, también llegaron aAdyar y se instalaron ahí por algún tiempo.

5.1.4 Separación del Padre

Krishna, o Krishnaji, como era conocido, y su hermanoNitya fueron educados por la Sociedad Teosóca. Poste-riormente fueron llevados a Inglaterra para completar sueducación. Su padre, impulsado por el afecto que sentíahacia él, disputó la custodia de su hijo.Como resultado deeste pleito, fue separado del cargo en la sociedad. Krishnay su hermano siguieron viajando por el mundo.

5.1.5 El despertar losóco

Lutyens indica que durante algún tiempo Krishnamurticreyó ser el maestro del mundo. La muerte de su her-mano Nitya el 11 de noviembre de 1925 a la edad de 27años a causa de la tuberculosis, hace que deje de creereso, puesto que había pedido que su hermano no murie-ra, desilusionándose por completo.De The Song of Life (1932):

MI hermano ha muerto; fuimos como dos es-trellas en un cielo desnudo... Él era como yo,quemado por un sol ardiente...

5.1.6 “Crear un mundo nuevo”

A continuación se muestra parte de un texto extraídode un diario de Krishnamurti titulado “El libro de lavida”,[cita requerida] en el que se resume en gran medida elmotivo que principalmente impulsó a Krishnamurti a di-fundir su mensaje por todo el mundo: el deseo de liberaral hombre y al mundo.

Si hemos de crear un mundo nuevo, unanueva civilización, un arte nuevo, no contami-nado por la tradición, el miedo, las ambiciones,si hemos de originar juntos una nueva socie-dad en la que no existan el «tú» y el «yo», sinolo nuestro, ¿no tiene que haber una mente quesea por completo anónima y que, por lo tanto,esté creativamente sola? Esto implica, ¿no es

así?, que tiene que haber una rebelión contrael conformismo, contra la respetabilidad, por-que el hombre respetable es el hombre medio-cre, debido a que siempre desea algo; porquesu felicidad depende de la inuencia, o de loque piensa su prójimo, su gurú, de lo que diceel Bhagavad Gita o los Upanishads o la Bibliao Cristo. Su mente jamás está sola. Ese hom-bre nunca camina solo, sino que siempre lo ha-ce con un acompañante, el acompañante de susideas.

¿No es, acaso, importante descubrir, ver

todo el signicado de la interferencia, de lainuencia, ver la armación del «yo», quees lo opuesto de lo anónimo? Viendo todoeso, surge inevitablemente la pregunta: ¿Esposible originar de inmediato ese estado de lamente libre de inuencias, el cual no puedeser afectado por su propia experiencia ni porla experiencia de otros, ese estado de la menteincorruptible, sola? Únicamente entonces esposible dar origen a un mundo diferente, a unacultura y una sociedad diferentes donde puedeexistir la felicidad.

El libro de la vida de Khrishnamurti.

5.2 Referencias

[1] http://www.fkla.org/media/pdf/disolucion-orden-de-la-estrella-fkla.pdf

[2] Mary Lutyens, Krishnamurti: The Years of Awakening, p

1

[3] Lutyens, Awakening' p 8

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5.4. ENLACES EXTERNOS 29

5.3 Bibliografía

• Anexo:Bibliografía de Jiddu Krishnamurti

En la web “Youtube” se pueden encontrar varios videos

de discursos sobre temas variadosy cuestionamientos im-portantes.

5.4 Enlaces externos

• Wikiquote alberga frases célebres de o sobreJiddu Krishnamurti. Wikiquote

• Wikimedia Commons alberga contenido multi-media sobre Jiddu Krishnamurti. Commons

• Krishnamurti España

• Centro de Información Krishnamurti de Madrid

• Krishnamurti en Biblioteca Upasika

En inglés

• The online repository of the authentic teachings ofJ. Krishnamurti

• Krishnamurti and the world crisis

• Beyond themind: A new websitediscussing thecen-tral themes of his talks

El legado que Jiddu Krishnamurt dejó en sus enseñan-zas, forma parte de la responsabilidad de las Fundacionescreadascomo iguales porél, con el propósito de preservarla integridad de lo que él expresó durante muchos años yen diferentes lugares del mundo.Las siguientes Fundaciones creadas por J. Krishnamurtison las únicas instituciones responsables de la preserva-ción y difusión de sus enseñanzas:

• Fundación Krishnamurti Latinoamericana

• Fundación Krishnamurti Americana

• Fundación Krishnamurti Trust (Inglesa)

• Fundación Krishnamurti Americana

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30 CAPÍTULO 5. JIDDU KRISHNAMURTI

5.5 Text and image sources, contributors, and licenses

5.5.1 Text• David Bohm Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/David%20Bohm?oldid=78913408 Colaboradores: Pabloab, Ceancata, CEM-bot, Ca in,

Retama, Davius, TXiKiBoT, Xosema, Gustronico, SieBot, Gato ocioso, DragonBot, Fonsi80, Alecs.bot, LucienBOT, MastiBot, Ealcon-chel, MelancholieBot, Arjuno3, Luckas-bot, DiegoFb, Davidmartindel, Andres Rojas, Jpmrock, Smatteuchi, Nvjacobo, Igna, Danielzonn,Zadkiel123, Esperanza 1a, ZéroBot, ChessBOT, Crystalquest, Grillitus, Miguillen-bot, WikitanvirBot, SethAllen623, KLBot2, Invadibot,Ayeff, YFdyh-bot, Fle3tw00d, Mrodec, Addbot y Anónimos: 23

• Interpretación de Bohm Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Interpretaci%C3%B3n%20de%20Bohm?oldid=75225924 Colaboradores: Paradoja, Jmencisom, CEM-bot, Davius, Salvamoreno, Alesico, Tiresias, Urdangaray, Muro Bot, Srbanana, Loveless, Parodrilo, Drinibot,Bigsus-bot, Armando-Martin, Angel GN, Luckas-bot, FrescoBot, AstaBOTh15, TiriBOT, TobeBot, Boehm, ZéroBot, Grillitus, Chuispas-tonBot, KLBot2, Malyszkz, Elvisor, Darioslc, Rotlink, JacobRodrigues y Anónimos: 12

• Teorema de Bell Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema%20de%20Bell?oldid=77492368 Colaboradores: Digigalos, Varano,KnightRider, Alfredobi, CEM-bot, Davius, Thijs!bot, Roberto Fiadone, Salvamoreno, Urdangaray, Matdrodes, Muro Bot, BotMultichill,SieBot, PaintBot, Farisori, Leonpolanco, Armando-Martin, LucienBOT, Luckas-bot, Favargass, ArthurBot, Xqbot, D'ohBot, EmausBot,ZéroBot, WikitanvirBot, KLBot2, Xoquito, UAwiki, MetroBot, Jaljavi, Damaru wiki y Anónimos: 13

• Efecto Aharonov-Bohm Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Efecto%20Aharonov-Bohm?oldid=74035005 Colaboradores: TXiKiBoT,Urdangaray, Luckas-bot, Kismalac, EmausBot, Manubot, Vagobot y Addbot

• Jiddu Krishnamurti Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Jiddu%20Krishnamurti?oldid=78038730 Colaboradores: Zuirdj, Robbot, San-bec, Felipealvarez, Cinabrium, Sophos, Boticario, Alex Coiro, RobotQuistnix, Superzerocool, BOT-Superzerocool, BOTijo, YurikBot,KnightRider, Ceancata, Tomatejc, Nihilo, ZEN ic, Kerplunk!, CEM-bot, Heavyrock, Spockdg, Salvador alc, Penquista, Suetonio2,Thijs!bot, Xabier, Jerotest, Botones, JAnDbot, 81RDgt, Marinna, Marcmasmiquel, CommonsDelinker, TXiKiBoT, Mercenario97, Nara-yan82, VolkovBot, Erl, Matdrodes, Muro Bot, Feministo, SieBot, Milos vega, Daniel Vicente López-Trompo, Aureofernandez, PaintBot,Loveless, Ramcoldster, AlfaSimon, Marcelo, MacaBot, Pedro Felipe, Fonsi80, Emaaida, Alexbot, ThomasPusch, Toolserver, HombreD-Hojalata, MastiBot, Galaxio, MarcoAurelio, MelancholieBot, Luckas-bot, Ptbotgourou, Jotterbot, Davidmartindel, Luis Felipe Schenone,Jenniskens, Xqbot, Lonkonao, Mario Carrillo, Pablosky579, EmBOTellado, TiriBOT, MAfotBOT, Antonio.mateop, TobeBot, ONANO-NAINOYOLE, Enrique Cordero, PatruBOT, TjBot, Foundling, EmausBot, ZéroBot, Alessus, WikitanvirBot, CocuBot, Adriancanela,FranALandeta, KLBot2, Xoquito, Lobaluna, Helmy oved, Delotrooladoo, Makecat-bot, Legobot, SantoshBot, Alexis1102 y Anónimos: 66

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