Data Mining Stat 588

Data Mining Stat 588

Neural Networks

Department of Statistics & BiostatisticsRutgers University

Nov 29, 2011

Outline

1 Model Assessment and Selection

2 Neural Networks

Model Selection and Assessment

Typically the model will have a tuning parameter or parameters α,which varies the complexity of the model. We wish to find the value ofα that minimizes some error.

Goal 1: Model Selection

Estimating the performance of different models in order to choose thebest one.

Goal 2: Model Assessment

Having chosen a final model, estimating its prediction error(generalization error) on new data.

Cp and AIC

The general formula of the the in-sample error estimate is

Errin = err + ω,

where ω is an estimate of the average optimism.

When d parameters are fit under squared error loss, we have the Cpstatistic as an estimate of Errin

Cp = err + 2 · dNσ2,

where σ2 is an estimate of the noise variance, obtained from the meansquared error of a low-bias model.

Cp and AIC

The Akaike information criterion is a more generally applicable estimateof Errin when a log-likelihood loss function is used. It relies on

−2 · E[logPθ(Y 0)] ≈ − 2

N· E(loglik) + 2 · d

N.

where loglik is the maximal log likelihood

loglik =N∑

i=1

logPθ(yi).

The AIC is defined as

AIC = − 2

N· loglik + 2 · d

N

For the Gaussian model (with noise variance σ2 assumed known), AICis equivalent to Cp, so we refer to them collectively as AIC.

Model Selection

Given a set of models fα(x) indexed by a tuning parameter α, define

AIC(α) = err(α) + 2 · d(α)N

σ2.

The function AIC(α) provides an estimate of the test error curve, andwe find the tuning parameter α that minimizes it.

The formula is only approximately true for linear models withlog-likelihood loss, and does not hold in general for 0-1 loss. But AICoften still does a reasonable good job.

BIC

The generic form of BIC is

AIC = −2 · loglik + (logN) · d.

Arise from in the Bayesian approach to model selection.

For model selection purposes, there is no clear choice between AIC andBIC.

BIC is asymptotically consistent as a selection criterion.

for finite samples, BIC often chooses models that are too simple,because of its heavy penalty on complexity.

Example

240 7. Model Assessment and Selection

reg/KNN reg/linear class/KNN class/linear

020

4060

8010

0

% In

crea

se O

ver

Bes

tAIC


020

4060

8010

0

% In

crea

se O

ver

Bes

t

BIC


020

4060

8010

0

% In

crea

se O

ver

Bes

t

SRM

FIGURE 7.7. Boxplots show the distribution of the relative error100 × [ErrT (α) − minα ErrT (α)]/[maxα ErrT (α) − minα ErrT (α)] over the fourscenarios of Figure 7.3. This is the error in using the chosen model relative tothe best model. There are 100 training sets each of size 80 represented in eachboxplot, with the errors computed on test sets of size 10, 000.

K-fold Cross Validation

Split the data into K roughly equal-sized parts, e.g. when K = 5242 7. Model Assessment and Selection

ValidationTrain

1 2 3 4 5

Train Train Train

For the kth part (third above), we fit the model to the other K−1 partsof the data, and calculate the prediction error of the fitted model whenpredicting the kth part of the data. We do this for k = 1, 2, . . . ,K andcombine the K estimates of prediction error.

Here are more details. Let κ : {1, . . . , N} 7→ {1, . . . ,K} be an indexingfunction that indicates the partition to which observation i is allocated bythe randomization. Denote by f−k(x) the fitted function, computed withthe kth part of the data removed. Then the cross-validation estimate ofprediction error is

CV(f) =1

N

N∑

i=1

L(yi, f−κ(i)(xi)). (7.48)

Typical choices of K are 5 or 10 (see below). The case K = N is knownas leave-one-out cross-validation. In this case κ(i) = i, and for the ithobservation the fit is computed using all the data except the ith.

Given a set of models f(x, α) indexed by a tuning parameter α, denote

by f−k(x, α) the αth model fit with the kth part of the data removed. Thenfor this set of models we define

CV(f , α) =1

N

N∑

i=1

L(yi, f−κ(i)(xi, α)). (7.49)

The function CV(f , α) provides an estimate of the test error curve, and wefind the tuning parameter α that minimizes it. Our final chosen model isf(x, α), which we then fit to all the data.

It is interesting to wonder about what quantity K-fold cross-validationestimates. With K = 5 or 10, we might guess that it estimates the ex-pected error Err, since the training sets in each fold are quite differentfrom the original training set. On the other hand, if K = N we mightguess that cross-validation estimates the conditional error ErrT . It turnsout that cross-validation only estimates effectively the average error Err,as discussed in Section 7.12.

What value should we choose for K? With K = N , the cross-validationestimator is approximately unbiased for the true (expected) prediction er-ror, but can have high variance because the N “training sets” are so similarto one another. The computational burden is also considerable, requiringN applications of the learning method. In certain special problems, thiscomputation can be done quickly—see Exercises 7.3 and 5.13.

For the kth part, fit the model to the other K − 1 parts of the data,and calculate the prediction error of the fitted model when predictingthe kth part of the data. Denote by f−k(x) the fitted function.We do this for k = 1, 2, . . . ,K and combine the K estimates ofprediction error.Let κ : {1, . . . , N} → {1, . . . ,K} be an index function that indicatesthe part to which the observation i is allocated. Then

CV(f) =1

N

N∑

i=1

L(yi, f

−κ(i)(xi)).

Typical choice of K is 5 or 10.Cross-validation only estimates effectively the average error Err.

Model Selection

Have a set of models f(x, α) indexed by a tuning parameter α.

Best subset selection, α is the subset size.Lasso, α is the penalty parameter.Splines, α is the number of knots.Kernel method, α is the window size.

Denote by f−k(x, α) the αth model fit with the kth part of the dataremoved. Define

CV(f , α) =1

N

N∑

i=1

L(yi, f

−κ(i)(xi, α)).

The function CV(f , α) provides an estimate of the test error curve, andwe find the tuning parameter α that minimizes it.

Our final chosen model is f(x, α), which we then fit to all the data.

Example244 7. Model Assessment and Selection

Subset Size p

Mis

clas

sific

atio

n E

rror

5 10 15 20

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

••

••

••

••

•• • • • • • • • • • •

••

• •

••

• •

• • • • • • •• • • • •

FIGURE 7.9. Prediction error (orange) and tenfold cross-validation curve(blue) estimated from a single training set, from the scenario in the bottom rightpanel of Figure 7.3.

ear model with best subsets regression of subset size p. Standard error barsare shown, which are the standard errors of the individual misclassificationerror rates for each of the ten parts. Both curves have minima at p = 10,although the CV curve is rather flat beyond 10. Often a “one-standarderror” rule is used with cross-validation, in which we choose the most par-simonious model whose error is no more than one standard error abovethe error of the best model. Here it looks like a model with about p = 9predictors would be chosen, while the true model uses p = 10.

Generalized cross-validation provides a convenient approximation to leave-one out cross-validation, for linear fitting under squared-error loss. As de-fined in Section 7.6, a linear fitting method is one for which we can write

y = Sy. (7.50)

Now for many linear fitting methods,

1

N

N∑

i=1

[yi − f−i(xi)]2 =

1

N

N∑

i=1

[yi − f(xi)

1− Sii

]2, (7.51)

where Sii is the ith diagonal element of S (see Exercise 7.3). The GCVapproximation is

GCV(f) =1

N

N∑

i=1

[yi − f(xi)

1− trace(S)/N

]2

. (7.52)

“One-Standard-Error” Rule

Choose the most parsimonious model whose error is no more than onestandard error above the error of the best model (e.g. p = 9 chosen,p = 10 true).

Wrong and Right Way

Consider a classification problem with a large number of predictors, asmay arise, for example, in genomic or proteomic applications. A typicalway for analysis might be

1 Screen the predictors: find a subset of “good” predictors that showfairly strong (univariate) correlation with the class labels.

2 Using just this subset of predictors, build a multivariate classifier.

3 Use cross-validation to estimate the unknown tuning parameters andto estimate the prediction error of the final model.

Wrong!!!


Correlations of Selected Predictors with Outcome

Fre

quen

cy

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

010

2030

Wrong way


Fre

quen

cy

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

010

2030

Right way

FIGURE 7.10. Cross-validation the wrong and right way: histograms shows thecorrelation of class labels, in 10 randomly chosen samples, with the 100 predic-tors chosen using the incorrect (upper red) and correct (lower green) versions ofcross-validation.

(a) Find a subset of “good” predictors that show fairly strong (uni-variate) correlation with the class labels, using all of the samplesexcept those in fold k.

(b) Using just this subset of predictors, build a multivariate classi-fier, using all of the samples except those in fold k.

(c) Use the classifier to predict the class labels for the samples infold k.

The error estimates from step 2(c) are then accumulated over allK folds, toproduce the cross-validation estimate of prediction error. The lower panelof Figure 7.10 shows the correlations of class labels with the 100 predictorschosen in step 2(a) of the correct procedure, over the samples in a typicalfold k. We see that they average about zero, as they should.In general, with a multistep modeling procedure, cross-validation must

be applied to the entire sequence of modeling steps. In particular, samplesmust be “left out” before any selection or filtering steps are applied. Thereis one qualification: initial unsupervised screening steps can be done be-fore samples are left out. For example, we could select the 1000 predictors

Wrong and Right Way

Here is the correct way1 Divide the samples into K cross-validation folds at random.2 For each fold k = 1, . . . ,K

(a) Find a subset of “good” predictors that show fairly strong(univariate) correlation with the class labels, using all of thesamples except those in fold k.

(b) Using just this subset of predictors, build a multivariate classifier,using all of the samples except those in fold k.

(c) Use the classifier to predict the class labels for the samples in fold k.



Fre

quen

cy

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

010

2030

Wrong way


Fre

quen

cy

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

010

2030

Right way

FIGURE 7.10. Cross-validation the wrong and right way: histograms shows thecorrelation of class labels, in 10 randomly chosen samples, with the 100 predic-tors chosen using the incorrect (upper red) and correct (lower green) versions ofcross-validation.

(a) Find a subset of “good” predictors that show fairly strong (uni-variate) correlation with the class labels, using all of the samplesexcept those in fold k.

(b) Using just this subset of predictors, build a multivariate classi-fier, using all of the samples except those in fold k.

(c) Use the classifier to predict the class labels for the samples infold k.

The error estimates from step 2(c) are then accumulated over allK folds, toproduce the cross-validation estimate of prediction error. The lower panelof Figure 7.10 shows the correlations of class labels with the 100 predictorschosen in step 2(a) of the correct procedure, over the samples in a typicalfold k. We see that they average about zero, as they should.

In general, with a multistep modeling procedure, cross-validation mustbe applied to the entire sequence of modeling steps. In particular, samplesmust be “left out” before any selection or filtering steps are applied. Thereis one qualification: initial unsupervised screening steps can be done be-fore samples are left out. For example, we could select the 1000 predictors

With a multistep modeling procedure, cross-validation must be appliedto the entire sequence of modeling steps.One exception, initial unsupervised screening steps can be done beforesamples are left out.

Bootstrap250 7. Model Assessment and Selection

Bootstrap

Bootstrap

replications

samples

sampleTrainingZ = (z1, z2, . . . , zN )

Z∗1 Z∗2 Z∗B

S(Z∗1) S(Z∗2) S(Z∗B)

FIGURE 7.12. Schematic of the bootstrap process. We wish to assess the sta-tistical accuracy of a quantity S(Z) computed from our dataset. B training setsZ∗b, b = 1, . . . , B each of size N are drawn with replacement from the originaldataset. The quantity of interest S(Z) is computed from each bootstrap trainingset, and the values S(Z∗1), . . . , S(Z∗B) are used to assess the statistical accuracyof S(Z).

where S∗ =∑

b S(Z∗b)/B. Note that Var[S(Z)] can be thought of as a

Monte-Carlo estimate of the variance of S(Z) under sampling from theempirical distribution function F for the data (z1, z2, . . . , zN ).

How can we apply the bootstrap to estimate prediction error? One ap-proach would be to fit the model in question on a set of bootstrap samples,and then keep track of how well it predicts the original training set. Iff∗b(xi) is the predicted value at xi, from the model fitted to the bth boot-strap dataset, our estimate is

Errboot =1

B

1

N

B∑

b=1

N∑

i=1

L(yi, f∗b(xi)). (7.54)

However, it is easy to see that Errboot does not provide a good estimate ingeneral. The reason is that the bootstrap datasets are acting as the trainingsamples, while the original training set is acting as the test sample, andthese two samples have observations in common. This overlap can makeoverfit predictions look unrealistically good, and is the reason that cross-validation explicitly uses non-overlapping data for the training and testsamples. Consider for example a 1-nearest neighbor classifier applied to atwo-class classification problem with the same number of observations in

Bootstrap Estimation of Prediction Error

Denote the training set by Z = {z1, . . . , zN}, where zi = (xi, yi).

Randomly draw a sample Z∗b = {z∗b1 , . . . , z∗bN } with replacement fromthe training data Z.

Repeat the preceding step B times, producing B bootstrap datasetsZ∗1, . . . ,Z∗B .

Fit the model in question on a set of bootstrap samples, and then keeptrack of how well it predicts the original training set.

Denote by f∗b(xi) the predicted value at xi, from the model fitted tothe b-th bootstrap dataset. The estimate the prediction error as

Errboot =1

B

1

N

B∑

b=1

N∑

i=1

L(yi, f

∗b(xi)).

It favors overfit predictions!!!

Leave-One-Out Bootstrap

Only keep track of predictions from bootstrap samples not containingthat observation. The leave-one-out bootstrap estimate of predictionerror is defined by

Err(1)

=1

N

N∑

i=1

1

C−i∑

b∈C−i

L(yi, f

∗b(xi)),

where C−i is the set of indicies of the bootstrap samples b that do notcontain the training point i.

The average number of distinct observations in each bootstrap sample isabout 0.632 ·N , so its bias will roughly behave like that of twofoldcross-validation.

The “.632 Estimator” is designed to alleviate the bias.

Err(.632)

= .368 · err + .632 · Err(1).

Works well in “light fitting” situations, but can break down in overfitones. Lead to “.632+ Estimator”.

Example 7.11 Bootstrap Methods 253


020

4060

8010

0

% In

crea

se O

ver

Bes

tCross−validation


020

4060

8010

0

% In

crea

se O

ver

Bes

t

Bootstrap

FIGURE 7.13. Boxplots show the distribution of the relative error100 · [Errα − minα Err(α)]/[maxα Err(α) − minα Err(α)] over the four scenar-ios of Figure 7.3. This is the error in using the chosen model relative to the bestmodel. There are 100 training sets represented in each boxplot.

Figure 7.13 shows boxplots of 100 · [Errα − minα Err(α)]/[maxα Err(α) −minα Err(α)], the error in using the chosen model relative to the best model.There are 100 different training sets represented in each boxplot. Both mea-sures perform well overall, perhaps the same or slightly worse that the AICin Figure 7.7.

Our conclusion is that for these particular problems and fitting methods,minimization of either AIC, cross-validation or bootstrap yields a modelfairly close to the best available. Note that for the purpose of model selec-tion, any of the measures could be biased and it wouldn’t affect things, aslong as the bias did not change the relative performance of the methods.For example, the addition of a constant to any of the measures would notchange the resulting chosen model. However, for many adaptive, nonlineartechniques (like trees), estimation of the effective number of parameters isvery difficult. This makes methods like AIC impractical and leaves us withcross-validation or bootstrap as the methods of choice.

A different question is: how well does each method estimate test error?On the average the AIC criterion overestimated prediction error of its cho-

Outline

1 Model Assessment and Selection

2 Neural Networks

Neural Networks11.3 Neural Networks 393

Y Y Y 21 K

Z Z Z1 Z2 3 m

X X

Z Z1 Z2 3

1 Xp X p-1 X2 X3

M

X p-13 X2 X1 p

Z

Y Y Y

X

K1 2

��

FIGURE 11.2. Schematic of a single hidden layer, feed-forward neural network.

Thinking of the constant “1” as an additional input feature, this bias unitcaptures the intercepts α0m and β0k in model (11.5).

The output function gk(T ) allows a final transformation of the vector ofoutputs T . For regression we typically choose the identity function gk(T ) =Tk. Early work in K-class classification also used the identity function, butthis was later abandoned in favor of the softmax function

gk(T ) =eTk

∑Kℓ=1 e

Tℓ

. (11.6)

This is of course exactly the transformation used in the multilogit model(Section 4.4), and produces positive estimates that sum to one. In Sec-tion 4.2 we discuss other problems with linear activation functions, in par-ticular potentially severe masking effects.

The units in the middle of the network, computing the derived featuresZm, are called hidden units because the values Zm are not directly ob-served. In general there can be more than one hidden layer, as illustratedin the example at the end of this chapter. We can think of the Zm as abasis expansion of the original inputs X; the neural network is then a stan-dard linear model, or linear multilogit model, using these transformationsas inputs. There is, however, an important enhancement over the basis-expansion techniques discussed in Chapter 5; here the parameters of thebasis functions are learned from the data.

Neural Networks

A neural network is a two-stage regression or classification model.

For regression, typically K = 1 and there is only one output unit Y1 atthe top. Can also handle multiple quantitative responses.

For K-class classification, there are K units at the top, with the k-thunit modeling the probability of class k.

The units in the middle of the network are derived features created fromlinear combinations of the inputs. They are called hidden units becausethe values Zm are not directly observed.

Zm = σ(α0m + αTmX), m = 1, . . . ,M.

The targets Yk are modeled as functions of linear combinations of theZm (with intercepts (biases))

Tk = β0k + βTk Z, k = 1, . . . ,K

Yk = fk(X) = gk(T ), k = 1, . . . ,K;

where Z = (Z1, . . . , ZM )T and T = (T1, . . . , TK)T .

Neural Networks

The activation function σ(v) is usually chosen to be the sigmoid

σ(v) =1

1 + e−v.

The output function gk(T ) allows a final transformation of the vector ofoutputs T . For regression we typically choose the identity functiongk(T ) = Tk.For classification we typically choose the softmax function

gk(T ) =eTk

∑Kl=1 e

Tl

.

A neural network can be viewed as a linear basis expansions of theoriginal inputs.A neural network can be thought of as a nonlinear generalization of thelinear model, both for regression and classification.In general there can be more than one hidden layer, and “skip-layer”connections.neural networks with linear output units can approximate anycontinuous function f uniformly on compact sets, by increasing the sizeof the hidden layer.

Sigmoid Function394 Neural Networks

-10 -5 0 5 100.

00.

51.

0

1/(1

+e−

v)

v

FIGURE 11.3. Plot of the sigmoid function σ(v) = 1/(1+exp(−v)) (red curve),commonly used in the hidden layer of a neural network. Included are σ(sv) fors = 1

2(blue curve) and s = 10 (purple curve). The scale parameter s controls

the activation rate, and we can see that large s amounts to a hard activation atv = 0. Note that σ(s(v − v0)) shifts the activation threshold from 0 to v0.

Notice that if σ is the identity function, then the entire model collapsesto a linear model in the inputs. Hence a neural network can be thought ofas a nonlinear generalization of the linear model, both for regression andclassification. By introducing the nonlinear transformation σ, it greatlyenlarges the class of linear models. In Figure 11.3 we see that the rate ofactivation of the sigmoid depends on the norm of αm, and if ‖αm‖ is verysmall, the unit will indeed be operating in the linear part of its activationfunction.

Notice also that the neural network model with one hidden layer hasexactly the same form as the projection pursuit model described above.The difference is that the PPR model uses nonparametric functions gm(v),while the neural network uses a far simpler function based on σ(v), withthree free parameters in its argument. In detail, viewing the neural networkmodel as a PPR model, we identify

gm(ωTmX) = βmσ(α0m + αT

mX)

= βmσ(α0m + ‖αm‖(ωTmX)), (11.7)

where ωm = αm/‖αm‖ is the mth unit-vector. Since σβ,α0,s(v) = βσ(α0 +sv) has lower complexity than a more general nonparametric g(v), it is notsurprising that a neural network might use 20 or 100 such functions, whilethe PPR model typically uses fewer terms (M = 5 or 10, for example).

Finally, we note that the name “neural networks” derives from the factthat they were first developed as models for the human brain. Each unitrepresents a neuron, and the connections (links in Figure 11.2) representsynapses. In early models, the neurons fired when the total signal passed tothat unit exceeded a certain threshold. In the model above, this corresponds

The name neural networks derives from the fact that they were firstdeveloped as models for the human brain. Each unit represents aneuron, and the connections represent synapses.In early models, the neurons fired when the total signal passed to thatunit exceeded a certain threshold. In the model above, this correspondsto use of a step function for σ(·) and gk(·).Later the neural network was recognized as a useful tool for nonlinearstatistical modeling, and for this purpose the step function is notsmooth enough for optimization. Hence the step function was replacedby a smoother threshold function,

Fitting Neural Networks

The unknown parameters are often called weights. We denote thecomplete set of weights by θ, which consists of

{α0m, αm; m = 1, . . . ,M} M(p+ 1) weights,

{β0k, βk; k = 1, . . . ,K} K(M + 1) weights.

We seek values of θ to fit the data well (minimize the error function).For regression we use

R(θ) =

N∑

i=1

K∑

k=1

(yik − fk(xi))2.

For classification we use either the squared error or cross-entropy(deviance)

R(θ) = −N∑

i=1

K∑

k=1

yik log fk(xi).

Typically we don’t want the global minimizer of R(θ), as this is likely tobe an overfit solution. Instead some regularization is needed, achieveddirectly through a penalty term, or indirectly by early stopping.

Implementation Issue: Starting Values

If the weights are near zero, then the operative part of the sigmoid isroughly linear, and hence the neural network collapses into anapproximately linear model. Usually starting values for weights arechosen to be random values near zero. Hence the model starts outnearly linear, and becomes nonlinear as the weights increase.

The error function R(θ) is nonconvex, possessing many local minima.One must at least try a number of random starting values, and choosethe solution giving lowest (penalized) error.

Probably a better approach is to use the average predictions over thecollection of networks as the final prediction.

Implementation Issue: Regularization

Often neural networks have too many weights and will overfit the dataat the global minimum of R(θ).In early developments of neural networks, either by design or byaccident, an early stopping rule was used to avoid over- fitting. Sincethe weights start at a highly regularized (linear) solution, this has theeffect of shrinking the final model toward a linear model.A more explicit method for regularization is weight decay. We add apenalty to the error function, and hence minimize

R(θ) + λJ(θ);

whereJ(θ) =

∑

k,m

β2k,m +

∑

m,j

α2mj ,

and λ is a tuning parameter, typically chosen by cross-validation.The weight elimination penalty has the effect of shrinking smallerweights more,

J(θ) =∑

k,m

β2k,m

1 + β2k,m

+∑

m,j

α2mj

1 + α2mj

.

Implementation Issue: Regularization11.5 Some Issues in Training Neural Networks 399

Neural Network - 10 Units, No Weight Decay

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Training Error: 0.100Test Error: 0.259Bayes Error: 0.210

Neural Network - 10 Units, Weight Decay=0.02

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FIGURE 11.4. A neural network on the mixture example of Chapter 2. Theupper panel uses no weight decay, and overfits the training data. The lower paneluses weight decay, and achieves close to the Bayes error rate (broken purpleboundary). Both use the softmax activation function and cross-entropy error.


11.5 Some Issues in Training Neural Networks 399

Neural Network - 10 Units, No Weight Decay

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Neural Network - 10 Units, Weight Decay=0.02

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FIGURE 11.4. A neural network on the mixture example of Chapter 2. Theupper panel uses no weight decay, and overfits the training data. The lower paneluses weight decay, and achieves close to the Bayes error rate (broken purpleboundary). Both use the softmax activation function and cross-entropy error.


400 Neural Networks

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No weight decay Weight decay

FIGURE 11.5. Heat maps of the estimated weights from the training of neuralnetworks from Figure 11.4. The display ranges from bright green (negative) tobright red (positive).

solution. At the outset it is best to standardize all inputs to have mean zeroand standard deviation one. This ensures all inputs are treated equally inthe regularization process, and allows one to choose a meaningful range forthe random starting weights. With standardized inputs, it is typical to takerandom uniform weights over the range [−0.7,+0.7].

11.5.4 Number of Hidden Units and Layers

Generally speaking it is better to have too many hidden units than too few.With too few hidden units, the model might not have enough flexibility tocapture the nonlinearities in the data; with too many hidden units, theextra weights can be shrunk toward zero if appropriate regularization isused. Typically the number of hidden units is somewhere in the range of5 to 100, with the number increasing with the number of inputs and num-ber of training cases. It is most common to put down a reasonably largenumber of units and train them with regularization. Some researchers usecross-validation to estimate the optimal number, but this seems unneces-sary if cross-validation is used to estimate the regularization parameter.Choice of the number of hidden layers is guided by background knowledgeand experimentation. Each layer extracts features of the input for regres-sion or classification. Use of multiple hidden layers allows construction ofhierarchical features at different levels of resolution. An example of theeffective use of multiple layers is given in Section 11.6.

11.5.5 Multiple Minima

The error function R(θ) is nonconvex, possessing many local minima. As aresult, the final solution obtained is quite dependent on the choice of start-

Other Issues

Scaling of the inputs. At the outset it is best to standardize all inputs tohave mean zero and standard deviation one.

With standardized inputs, it is typical to take random uniform weightsover the range [0.7,+0.7].

With standardized inputs, typically choose λ ≈ 10−4 − 10−2 for leastsquares fitting, and λ ≈ 0.01− 0.1 for entropy fit.

Number of hidden units. Generally speaking it is better to have toomany hidden units than too few.

It is most common to put down a reasonably large number of units andtrain them with regularization. The extra weights can be shrunk to zero.

Typically the number of hidden units is somewhere in the range of 5 to100, with the number increasing with the number of inputs and num-ber of training cases.

Choice of the number of hidden layers is guided by backgroundknowledge and experimentation.

Data Mining Stat 588

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Transcript of Data Mining Stat 588