Dadang Amir Hamzah · Apabila regangannya mendekati suatu nilai Lmaka dikatakan bahwa ”Limit dari...
-
Upload
nguyendang -
Category
Documents
-
view
215 -
download
0
Transcript of Dadang Amir Hamzah · Apabila regangannya mendekati suatu nilai Lmaka dikatakan bahwa ”Limit dari...
Outline
1 limitIntroduction to LimitRigorous Study of LimitsLimit TheoremLimit Involving Trigonometric FunctionLimit at Infinity and Infinite LimitContinuity of Functions
2 TurunanDua masalah satu tema
3 Referensi
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 79
Outline
1 limitIntroduction to LimitRigorous Study of LimitsLimit TheoremLimit Involving Trigonometric FunctionLimit at Infinity and Infinite LimitContinuity of Functions
2 TurunanDua masalah satu tema
3 Referensi
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 79
Outline
1 limitIntroduction to LimitRigorous Study of LimitsLimit TheoremLimit Involving Trigonometric FunctionLimit at Infinity and Infinite LimitContinuity of Functions
2 TurunanDua masalah satu tema
3 Referensi
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 79
Outline
1 limitIntroduction to LimitRigorous Study of LimitsLimit TheoremLimit Involving Trigonometric FunctionLimit at Infinity and Infinite LimitContinuity of Functions
2 TurunanDua masalah satu tema
3 Referensi
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 3 / 79
Outline
1 limitIntroduction to LimitRigorous Study of LimitsLimit TheoremLimit Involving Trigonometric FunctionLimit at Infinity and Infinite LimitContinuity of Functions
2 TurunanDua masalah satu tema
3 Referensi
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 4 / 79
Limit
Calculus is the study of limits
Apa itu limit?Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menjumpai berbagaipermasalahan mengenai limit.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 5 / 79
Limit
Calculus is the study of limitsApa itu limit?
Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menjumpai berbagaipermasalahan mengenai limit.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 5 / 79
Limit
Calculus is the study of limitsApa itu limit?Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menjumpai berbagaipermasalahan mengenai limit.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 5 / 79
Limit
Pada gambar dibawah misalkan pegas akan rusak apabiladiberikan beban 10 kg atau lebih. Untuk melihat seberapa jauhpegas dapat meregang kita dapat terus tambahkan beban w danmengukur regangannya s untuk setiap w.
Apabila regangannya mendekati suatu nilai L maka dikatakanbahwa ”Limit dari s yang diakibatkan oleh w menuju 10 adalah L”.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 6 / 79
Limit
Pada gambar dibawah misalkan pegas akan rusak apabiladiberikan beban 10 kg atau lebih. Untuk melihat seberapa jauhpegas dapat meregang kita dapat terus tambahkan beban w danmengukur regangannya s untuk setiap w.
Apabila regangannya mendekati suatu nilai L maka dikatakanbahwa ”Limit dari s yang diakibatkan oleh w menuju 10 adalah L”.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 6 / 79
Limit
Permasalahan limit dalam matematika tidaklah jauh berbedadengan permasalahan pegas diatas. Secara matematis limitdinotasikan dengan
limx→c
f(x) = L
artinya jika x mendekati c maka f(x) dekat dengan L.
ExampleTentukan nilai dari lim
x→1x2 + 1.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 7 / 79
Limit
Permasalahan limit dalam matematika tidaklah jauh berbedadengan permasalahan pegas diatas. Secara matematis limitdinotasikan dengan
limx→c
f(x) = L
artinya jika x mendekati c maka f(x) dekat dengan L.
ExampleTentukan nilai dari lim
x→1x2 + 1.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 7 / 79
Limit
Pada gambar terlihat bahwa f(x) = x2 + 1 mendekati 2untuk x yang mendekati 1 dari kedua arah. Akibatnya dapat dikatakanbahwa lim
x→1x2 + 1 = 2.
Kemudian perhitungan pada tabel juga memperlihatkan hal yang sama
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 8 / 79
Limit Sepihak
Mengatakan limx→c+
f(x) = L artinya ketika x mendekati c tetapi
x > c (disebelah kanan c) maka f(x) mendekati nilai L. L disebutlimit kanan f di c.
Mengatakan limx→c−
f(x) = L artinya ketika x mendekati c tetapi
x < c (disebelah kiri c) maka f(x) mendekati L. L disebut limit kirif di c.
Definisi (Informal)Mengatakan lim
x→cf(x) = L jika dan hanya jika
limx→c−
f(x) = L = limx→c+
f(x)
Kontraposisi dari pernyataan diatas adalah jikalim
x→c−f(x) 6= L 6= lim
x→c+f(x) maka lim
x→cf(x) 6= L. Hal ini sama saja
dengan mengatakan bahwa limx→c
f(x) tidak ada.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 9 / 79
Limit Sepihak
Mengatakan limx→c+
f(x) = L artinya ketika x mendekati c tetapi
x > c (disebelah kanan c) maka f(x) mendekati nilai L. L disebutlimit kanan f di c.Mengatakan lim
x→c−f(x) = L artinya ketika x mendekati c tetapi
x < c (disebelah kiri c) maka f(x) mendekati L. L disebut limit kirif di c.
Definisi (Informal)Mengatakan lim
x→cf(x) = L jika dan hanya jika
limx→c−
f(x) = L = limx→c+
f(x)
Kontraposisi dari pernyataan diatas adalah jikalim
x→c−f(x) 6= L 6= lim
x→c+f(x) maka lim
x→cf(x) 6= L. Hal ini sama saja
dengan mengatakan bahwa limx→c
f(x) tidak ada.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 9 / 79
Limit Sepihak
Mengatakan limx→c+
f(x) = L artinya ketika x mendekati c tetapi
x > c (disebelah kanan c) maka f(x) mendekati nilai L. L disebutlimit kanan f di c.Mengatakan lim
x→c−f(x) = L artinya ketika x mendekati c tetapi
x < c (disebelah kiri c) maka f(x) mendekati L. L disebut limit kirif di c.
Definisi (Informal)Mengatakan lim
x→cf(x) = L jika dan hanya jika
limx→c−
f(x) = L = limx→c+
f(x)
Kontraposisi dari pernyataan diatas adalah jikalim
x→c−f(x) 6= L 6= lim
x→c+f(x) maka lim
x→cf(x) 6= L. Hal ini sama saja
dengan mengatakan bahwa limx→c
f(x) tidak ada.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 9 / 79
Limit Sepihak
Mengatakan limx→c+
f(x) = L artinya ketika x mendekati c tetapi
x > c (disebelah kanan c) maka f(x) mendekati nilai L. L disebutlimit kanan f di c.Mengatakan lim
x→c−f(x) = L artinya ketika x mendekati c tetapi
x < c (disebelah kiri c) maka f(x) mendekati L. L disebut limit kirif di c.
Definisi (Informal)Mengatakan lim
x→cf(x) = L jika dan hanya jika
limx→c−
f(x) = L = limx→c+
f(x)
Kontraposisi dari pernyataan diatas adalah jikalim
x→c−f(x) 6= L 6= lim
x→c+f(x) maka lim
x→cf(x) 6= L. Hal ini sama saja
dengan mengatakan bahwa limx→c
f(x) tidak ada.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 9 / 79
Limit
limx→1
|x− 1|x− 1
= tidak ada
pehatikan gambar berikut
perhitungan menunjukkan hal yang sama
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 10 / 79
Limit
Hitunglah nilai limit berikut (Jika ada) :a. lim
x→2
x2−4x−2 f. lim
x→3
x4−18x2+81(x−3)2
b. limx→−1
x3−4x2+x+6x+1 g. lim
u→1
(3u+4)(2u−2)3(u−1)2
c. limx→−t
x2−t2x+t h. lim
h→0
(2+h)2−4h
d. limt→−7
t2+4t−21t+7 i. lim
h→0
(x+h)2−x2
h
e. limt→7+
√(t−7)3t−7 j. lim
t→2
√(t+4)(t−2)4(3t−6)2
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 11 / 79
Outline
1 limitIntroduction to LimitRigorous Study of LimitsLimit TheoremLimit Involving Trigonometric FunctionLimit at Infinity and Infinite LimitContinuity of Functions
2 TurunanDua masalah satu tema
3 Referensi
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 12 / 79
Definisi Informal
Mengulang definisi diatas :Mengatakan lim
x→cf(x) = L artinya f dapat dibuat sedekat mungkin
ke L dengan syarat x cukup dekat ke c tetapi x 6= c.
Mengatakan limx→c
f(x) = L artinya f dapat dibuat seberapadekatpun yang kita inginkan, dengan syarat x cukup dekat ke ctetapi x 6= c.Mengatakan lim
x→cf(x) = L artinya f dapat dibuat sembarang
dekat, dengan syarat x cukup dekat dengan c tetapi x 6= c.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 13 / 79
Definisi Informal
Mengulang definisi diatas :Mengatakan lim
x→cf(x) = L artinya f dapat dibuat sedekat mungkin
ke L dengan syarat x cukup dekat ke c tetapi x 6= c.Mengatakan lim
x→cf(x) = L artinya f dapat dibuat seberapa
dekatpun yang kita inginkan, dengan syarat x cukup dekat ke ctetapi x 6= c.
Mengatakan limx→c
f(x) = L artinya f dapat dibuat sembarangdekat, dengan syarat x cukup dekat dengan c tetapi x 6= c.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 13 / 79
Definisi Informal
Mengulang definisi diatas :Mengatakan lim
x→cf(x) = L artinya f dapat dibuat sedekat mungkin
ke L dengan syarat x cukup dekat ke c tetapi x 6= c.Mengatakan lim
x→cf(x) = L artinya f dapat dibuat seberapa
dekatpun yang kita inginkan, dengan syarat x cukup dekat ke ctetapi x 6= c.Mengatakan lim
x→cf(x) = L artinya f dapat dibuat sembarang
dekat, dengan syarat x cukup dekat dengan c tetapi x 6= c.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 13 / 79
Jarak antara dua bilangan riil
Jarak antara dua bilangan riil x dan y diukur dari nilai mutlakselisihnya atau j(x, y) = |x− y|
j(4, 3) = |4− 3| = |1| = 1j(5, 7) = |5− 7| = | − 2| = 2j(0, x) = |0− x| = | − x| = x
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 14 / 79
Ilustrasi
Tentukan syarat bagi jarak x ke 1 untuk menjamin agar jarakf(x) = 3x ke 3 tak lebih dari 0.1
I Kita menginginkan
j(f(x), 1) = |3x− 3| = |3(x− 1)| = |3||x− 1|= 3|x− 1| < 0.1
I ini bisa dicapai bila
j(x, 1) = |x− 1| < 0.13
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 15 / 79
Ilustrasi
Tentukan syarat bagi jarak x ke 1 untuk menjamin agar jarakf(x) = 3x ke 3 tak lebih dari 0.1
I Kita menginginkan
j(f(x), 1) = |3x− 3| = |3(x− 1)| = |3||x− 1|= 3|x− 1| < 0.1
I ini bisa dicapai bila
j(x, 1) = |x− 1| < 0.13
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 15 / 79
Ilustrasi
Tentukan syarat bagi jarak x ke 1 untuk menjamin agar jarakf(x) = 3x ke 3 tak lebih dari 0.1
I Kita menginginkan
j(f(x), 1) = |3x− 3| = |3(x− 1)| = |3||x− 1|= 3|x− 1| < 0.1
I ini bisa dicapai bila
j(x, 1) = |x− 1| < 0.13
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 15 / 79
Ilustrasi
Tentukan syarat bagi jarak x ke 1 untuk menjamin agar jarakf(x) = x2 ke 1 tak lebih dari 0.1
I Kita menginginkan
j(f(x), 1) = |x2 − 1| = |(x+ 1)(x− 1)| = |x+ 1||x− 1|= |x+ 1||x− 1| < 0.1
I ini bisa dicapai bila
j(x, 1) = |x− 1| < 0.1|x+1|
tapi 0.1|x+1| bukan bilangan.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 16 / 79
Ilustrasi
Tentukan syarat bagi jarak x ke 1 untuk menjamin agar jarakf(x) = x2 ke 1 tak lebih dari 0.1
I Kita menginginkan
j(f(x), 1) = |x2 − 1| = |(x+ 1)(x− 1)| = |x+ 1||x− 1|= |x+ 1||x− 1| < 0.1
I ini bisa dicapai bila
j(x, 1) = |x− 1| < 0.1|x+1|
tapi 0.1|x+1| bukan bilangan.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 16 / 79
Ilustrasi
Tentukan syarat bagi jarak x ke 1 untuk menjamin agar jarakf(x) = x2 ke 1 tak lebih dari 0.1
I Kita menginginkan
j(f(x), 1) = |x2 − 1| = |(x+ 1)(x− 1)| = |x+ 1||x− 1|= |x+ 1||x− 1| < 0.1
I ini bisa dicapai bila
j(x, 1) = |x− 1| < 0.1|x+1|
tapi 0.1|x+1| bukan bilangan.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 16 / 79
Gambar menyarankan 0.96 < x < 1.04. Jadi kita dapat memilih
0 < |x− 1| < 0.04
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 17 / 79
Gambar menunjukkan bahwa
0.96 < x < 1.05 ⇒ |x3 − 5x+ 6− 2| < 0.1
1− 0.96 = 0.04 dan |1− 1.05| = 0.05. Pilih δ = 0.04.Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 18 / 79
Definisi Formal
Misalkan fungsi f(x) terdefinisi di sekitar a, tetapi mungkin f(x) tidakterdefinisi di a. Misalkan L ∈ R. Fungsi f(x) mempunyai limit L dix = a ditulis lim
x→af(x) = L jika untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0
sehingga
jika x 6= a dan j(x, a) < δ, maka j(f(x), L) < ε
atau0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)− L| < ε
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 19 / 79
Definisi Formal Limit Fungsi
DefinisiMisalkan fungsi f(x) terdefinisi di sekitar a, tetapi mungkin f(x) tidakterdefinisi di a. Misalkan L ∈ R. Fungsi f(x) mempunyai limit L dix = a ditulis lim
x→af(x) = L jika untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0
sehingga0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)− L| < ε
Pernyataan: Untuk setiap penduduk Indonesia terdapat bilanganriil x sehingga x adalah nomor KTP nya.Negasi pernyataan: Terdapat penduduk Indonesia sehingga tiapbilangan riil x bukan nomor KTP nya.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 20 / 79
Definisi Formal Limit Fungsi
DefinisiMisalkan fungsi f(x) terdefinisi di sekitar a, tetapi mungkin f(x) tidakterdefinisi di a. Misalkan L ∈ R. Fungsi f(x) mempunyai limit L dix = a ditulis lim
x→af(x) = L jika untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0
sehingga0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)− L| < ε
Pernyataan: Untuk setiap penduduk Indonesia terdapat bilanganriil x sehingga x adalah nomor KTP nya.
Negasi pernyataan: Terdapat penduduk Indonesia sehingga tiapbilangan riil x bukan nomor KTP nya.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 20 / 79
Definisi Formal Limit Fungsi
DefinisiMisalkan fungsi f(x) terdefinisi di sekitar a, tetapi mungkin f(x) tidakterdefinisi di a. Misalkan L ∈ R. Fungsi f(x) mempunyai limit L dix = a ditulis lim
x→af(x) = L jika untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0
sehingga0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)− L| < ε
Pernyataan: Untuk setiap penduduk Indonesia terdapat bilanganriil x sehingga x adalah nomor KTP nya.Negasi pernyataan: Terdapat penduduk Indonesia sehingga tiapbilangan riil x bukan nomor KTP nya.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 20 / 79
Definisi Formal Limit
Definisi (negasi limit)Misalkan fungsi f(x) terdefinisi di sekitar a, tetapi mungkin f(x) tidakterdefinisi di a. Jika terdapat ε > 0 dimana untuk tiap δ > 0 tidak benarbahwa
0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)− L| < ε
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 21 / 79
Contoh fungsi tidak mempunyai limit
Misalkan
f(x) =
x− 1 , x < 00 , x = 0x+ 1 , x > 0
Fungsi ini mempunyai limit di tiap x ∈ R kecuali di x = 0.
I pilih ε = 12 . Berapapun kecilnya δ > 0, tidak ada x sehingga
0 < |x− 0| < δ memberikan |f(x)− L| < 12 apapun plilihan L.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 22 / 79
Contoh fungsi tidak mempunyai limit
Misalkan
f(x) =
x− 1 , x < 00 , x = 0x+ 1 , x > 0
Fungsi ini mempunyai limit di tiap x ∈ R kecuali di x = 0.I pilih ε = 1
2 . Berapapun kecilnya δ > 0, tidak ada x sehingga0 < |x− 0| < δ memberikan |f(x)− L| < 1
2 apapun plilihan L.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 22 / 79
Outline
1 limitIntroduction to LimitRigorous Study of LimitsLimit TheoremLimit Involving Trigonometric FunctionLimit at Infinity and Infinite LimitContinuity of Functions
2 TurunanDua masalah satu tema
3 Referensi
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 23 / 79
Sifat-sifat Limit
Secara umum, sulit menentukan δ > 0 (lihat kasus f(x) = x2) danmemakan waktu
Strategi
I Tentukan limit untuk fungsi-fungsi dasarI Tentukan bagaimana menentukan limit sebuah fungsi jika fungsi
dibangun dari fungsi-fungsi dasar atau sederhana.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 24 / 79
Sifat-sifat Limit
Secara umum, sulit menentukan δ > 0 (lihat kasus f(x) = x2) danmemakan waktuStrategi
I Tentukan limit untuk fungsi-fungsi dasarI Tentukan bagaimana menentukan limit sebuah fungsi jika fungsi
dibangun dari fungsi-fungsi dasar atau sederhana.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 24 / 79
Sifat-sifat Limit
Secara umum, sulit menentukan δ > 0 (lihat kasus f(x) = x2) danmemakan waktuStrategi
I Tentukan limit untuk fungsi-fungsi dasar
I Tentukan bagaimana menentukan limit sebuah fungsi jika fungsidibangun dari fungsi-fungsi dasar atau sederhana.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 24 / 79
Sifat-sifat Limit
Secara umum, sulit menentukan δ > 0 (lihat kasus f(x) = x2) danmemakan waktuStrategi
I Tentukan limit untuk fungsi-fungsi dasarI Tentukan bagaimana menentukan limit sebuah fungsi jika fungsi
dibangun dari fungsi-fungsi dasar atau sederhana.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 24 / 79
Sifat-sifat Limit
Teorema (Teorema limit utama)Misalkan n anggota bilangan Asli, c ∈ R, k konstanta, dan f , gmempunyai limit di c. Maka
limx→c
k = k
limx→c
x = c
limx→c
kf(x) = k limx→c
f(x)
limx→c
(f(x)± g(x)) = limx→c
f(x)± limx→c
g(x)
limx→c
f(x).g(x) = limx→c
f(x). limx→c
g(x)
limx→c
f(x)g(x) =
limx→c
f(x)
limx→c
g(x) , limx→c
g(x) 6= 0
limx→c
(f(x))n = (limx→c
f(x))n
limx→c
n√f(x) = n
√limx→c
f(x), syarat limx→c
f(x) > 0 jika n genap.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 25 / 79
Sifat-sifat Limit
Teorema (Teorema limit utama)Misalkan n anggota bilangan Asli, c ∈ R, k konstanta, dan f , gmempunyai limit di c. Maka
limx→c
k = k
limx→c
x = c
limx→c
kf(x) = k limx→c
f(x)
limx→c
(f(x)± g(x)) = limx→c
f(x)± limx→c
g(x)
limx→c
f(x).g(x) = limx→c
f(x). limx→c
g(x)
limx→c
f(x)g(x) =
limx→c
f(x)
limx→c
g(x) , limx→c
g(x) 6= 0
limx→c
(f(x))n = (limx→c
f(x))n
limx→c
n√f(x) = n
√limx→c
f(x), syarat limx→c
f(x) > 0 jika n genap.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 25 / 79
Sifat-sifat Limit
Teorema (Teorema limit utama)Misalkan n anggota bilangan Asli, c ∈ R, k konstanta, dan f , gmempunyai limit di c. Maka
limx→c
k = k
limx→c
x = c
limx→c
kf(x) = k limx→c
f(x)
limx→c
(f(x)± g(x)) = limx→c
f(x)± limx→c
g(x)
limx→c
f(x).g(x) = limx→c
f(x). limx→c
g(x)
limx→c
f(x)g(x) =
limx→c
f(x)
limx→c
g(x) , limx→c
g(x) 6= 0
limx→c
(f(x))n = (limx→c
f(x))n
limx→c
n√f(x) = n
√limx→c
f(x), syarat limx→c
f(x) > 0 jika n genap.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 25 / 79
Sifat-sifat Limit
Teorema (Teorema limit utama)Misalkan n anggota bilangan Asli, c ∈ R, k konstanta, dan f , gmempunyai limit di c. Maka
limx→c
k = k
limx→c
x = c
limx→c
kf(x) = k limx→c
f(x)
limx→c
(f(x)± g(x)) = limx→c
f(x)± limx→c
g(x)
limx→c
f(x).g(x) = limx→c
f(x). limx→c
g(x)
limx→c
f(x)g(x) =
limx→c
f(x)
limx→c
g(x) , limx→c
g(x) 6= 0
limx→c
(f(x))n = (limx→c
f(x))n
limx→c
n√f(x) = n
√limx→c
f(x), syarat limx→c
f(x) > 0 jika n genap.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 25 / 79
Sifat-sifat Limit
Teorema (Teorema limit utama)Misalkan n anggota bilangan Asli, c ∈ R, k konstanta, dan f , gmempunyai limit di c. Maka
limx→c
k = k
limx→c
x = c
limx→c
kf(x) = k limx→c
f(x)
limx→c
(f(x)± g(x)) = limx→c
f(x)± limx→c
g(x)
limx→c
f(x).g(x) = limx→c
f(x). limx→c
g(x)
limx→c
f(x)g(x) =
limx→c
f(x)
limx→c
g(x) , limx→c
g(x) 6= 0
limx→c
(f(x))n = (limx→c
f(x))n
limx→c
n√f(x) = n
√limx→c
f(x), syarat limx→c
f(x) > 0 jika n genap.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 25 / 79
Sifat-sifat Limit
Teorema (Teorema limit utama)Misalkan n anggota bilangan Asli, c ∈ R, k konstanta, dan f , gmempunyai limit di c. Maka
limx→c
k = k
limx→c
x = c
limx→c
kf(x) = k limx→c
f(x)
limx→c
(f(x)± g(x)) = limx→c
f(x)± limx→c
g(x)
limx→c
f(x).g(x) = limx→c
f(x). limx→c
g(x)
limx→c
f(x)g(x) =
limx→c
f(x)
limx→c
g(x) , limx→c
g(x) 6= 0
limx→c
(f(x))n = (limx→c
f(x))n
limx→c
n√f(x) = n
√limx→c
f(x), syarat limx→c
f(x) > 0 jika n genap.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 25 / 79
Sifat-sifat Limit
Teorema (Teorema limit utama)Misalkan n anggota bilangan Asli, c ∈ R, k konstanta, dan f , gmempunyai limit di c. Maka
limx→c
k = k
limx→c
x = c
limx→c
kf(x) = k limx→c
f(x)
limx→c
(f(x)± g(x)) = limx→c
f(x)± limx→c
g(x)
limx→c
f(x).g(x) = limx→c
f(x). limx→c
g(x)
limx→c
f(x)g(x) =
limx→c
f(x)
limx→c
g(x) , limx→c
g(x) 6= 0
limx→c
(f(x))n = (limx→c
f(x))n
limx→c
n√f(x) = n
√limx→c
f(x), syarat limx→c
f(x) > 0 jika n genap.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 25 / 79
Sifat-sifat Limit
Teorema (Teorema limit utama)Misalkan n anggota bilangan Asli, c ∈ R, k konstanta, dan f , gmempunyai limit di c. Maka
limx→c
k = k
limx→c
x = c
limx→c
kf(x) = k limx→c
f(x)
limx→c
(f(x)± g(x)) = limx→c
f(x)± limx→c
g(x)
limx→c
f(x).g(x) = limx→c
f(x). limx→c
g(x)
limx→c
f(x)g(x) =
limx→c
f(x)
limx→c
g(x) , limx→c
g(x) 6= 0
limx→c
(f(x))n = (limx→c
f(x))n
limx→c
n√f(x) = n
√limx→c
f(x), syarat limx→c
f(x) > 0 jika n genap.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 25 / 79
Sifat-sifat Limit
Teorema (Teorema limit utama)Misalkan n anggota bilangan Asli, c ∈ R, k konstanta, dan f , gmempunyai limit di c. Maka
limx→c
k = k
limx→c
x = c
limx→c
kf(x) = k limx→c
f(x)
limx→c
(f(x)± g(x)) = limx→c
f(x)± limx→c
g(x)
limx→c
f(x).g(x) = limx→c
f(x). limx→c
g(x)
limx→c
f(x)g(x) =
limx→c
f(x)
limx→c
g(x) , limx→c
g(x) 6= 0
limx→c
(f(x))n = (limx→c
f(x))n
limx→c
n√f(x) = n
√limx→c
f(x), syarat limx→c
f(x) > 0 jika n genap.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 25 / 79
Teorema akibat
Butir 2 dan 7 memberikan
AkibatJika n ∈ N, maka lim
x→cxn = cn
Bersama butir 3 diperoleh
AkibatJika n ∈ N, maka lim
x→ckxn = kcn
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 26 / 79
Menggunakan Teorema Limit
Contoh:
Tentukan limx→1
5x2 − 4.
Tentukan limx→4
x2−7x+10x2−10x+24
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 27 / 79
More examples
Tentukan limx→4
f(x) jika
f(x) =
{8− 2x , x < 4√x− 4 , x > 4
I Tinjau f(x) = 8− 2x untuk x < 4, maka limx→4−
8− 2x = 0
I Kemudian tinjau f(x) =√4− x untuk x > 4, maka lim
x→4+
√4− x = 0
I Karena limx→4−
f(x) = 0 = limx→4+
f(x) akibatnya
limx→4
f(x) = 0
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 28 / 79
More examples
Tentukan limx→4
f(x) jika
f(x) =
{8− 2x , x < 4√x− 4 , x > 4
I Tinjau f(x) = 8− 2x untuk x < 4, maka limx→4−
8− 2x = 0
I Kemudian tinjau f(x) =√4− x untuk x > 4, maka lim
x→4+
√4− x = 0
I Karena limx→4−
f(x) = 0 = limx→4+
f(x) akibatnya
limx→4
f(x) = 0
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 28 / 79
More examples
Tentukan limx→4
f(x) jika
f(x) =
{8− 2x , x < 4√x− 4 , x > 4
I Tinjau f(x) = 8− 2x untuk x < 4, maka limx→4−
8− 2x = 0
I Kemudian tinjau f(x) =√4− x untuk x > 4, maka lim
x→4+
√4− x = 0
I Karena limx→4−
f(x) = 0 = limx→4+
f(x) akibatnya
limx→4
f(x) = 0
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 28 / 79
More examples
Tentukan limx→4
f(x) jika
f(x) =
{8− 2x , x < 4√x− 4 , x > 4
I Tinjau f(x) = 8− 2x untuk x < 4, maka limx→4−
8− 2x = 0
I Kemudian tinjau f(x) =√4− x untuk x > 4, maka lim
x→4+
√4− x = 0
I Karena limx→4−
f(x) = 0 = limx→4+
f(x) akibatnya
limx→4
f(x) = 0
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 28 / 79
Teorema
TeoremaMisalkan c ∈ (a, b). Jika lim
x→cf(x) ada untuk tiap x ∈ (a, b), x 6= c,
berlaku f(x) = g(x), maka
limx→c
f(x) = limx→c
g(x)
Contoh:Tentukan lim
x→1
x−1√x−1
Solusi:Karena
x−1√x−1 = (
√x−1)(
√x+1)√
x−1=√x+ 1
makalimx→1
x−1√x−1 = lim
x→1
√x+ 1 = 2
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 29 / 79
Teorema Apit (Sandwich Theorem)
Teorema (Teorema Apit)Misalkan c ∈ (a, b), kemudian f ,g, dan h fungsi-fungsi sehinggag(x) ≤ f(x) ≤ h(x) untuk tiap x ∈ (a, b),c 6= x. Jikalimx→c
f(x) = L = limx→c
h(x) maka limx→c
f(x) = L.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 30 / 79
Outline
1 limitIntroduction to LimitRigorous Study of LimitsLimit TheoremLimit Involving Trigonometric FunctionLimit at Infinity and Infinite LimitContinuity of Functions
2 TurunanDua masalah satu tema
3 Referensi
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 31 / 79
Limit Fungsi Trigonometri
Teorema1 lim
t→csin t = sin c
2 limt→c
cos t = cos c
3 limt→c
tan t = tan c
4 limt→c
cot t = cot c
5 limt→c
sec t = sec c
6 limt→c
csc t = csc c
Proof.bukti 1
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 32 / 79
Limit Fungsi Trigonometri
Proof.Akan ditunjukkan bahwa lim
t→csin t = sin c
Misalkan t > 0, karena radius r = 1, |AP | = t.
sin t = |BP | < |AP | < |AP | = t. Maka 0 < sin t < t.Dengan cara serupa jika t < 0 maka 0 > sin t > t.Akibatnya dengan teorema Apit lim
t→0sin t = 0
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 33 / 79
Limit Fungsi Trigonometri
limt→0
cos t = limt→0
√1− sin2 t = lim
t→0
√1− 0 = 1
Akibatnya jika h = t− c maka
limt→c
sin t = limh→0
sin(h+ c)
= limh→0
(sinh cos c+ cosh sin c)
= cos c limh→0
sinh+ sin c limh→0
cosh
= cos c.0 + sin c.1= sin c
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 34 / 79
Limit Fungsi Trigonometri
Teoremalimt→0
sin tt = 1
limt→0
1−cos tt = 0
Contoh: Tentukan nilai limit berrikuta. lim
x→0
sin 3xx
b. limt→0
1−cos tt
c. limx→0
sin 4xtanx
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 35 / 79
Outline
1 limitIntroduction to LimitRigorous Study of LimitsLimit TheoremLimit Involving Trigonometric FunctionLimit at Infinity and Infinite LimitContinuity of Functions
2 TurunanDua masalah satu tema
3 Referensi
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 36 / 79
Limit at Infinity
Terdapat dua jenis limit yang berkaitan dengan konsep takberhingga: Limit di tak berhingga dan Limit tak berhingga
Ini adalah grafik y = x√x2+1
nilai fungsi ini ketika x bertumbuh tanpa batas (menuju∞) adalahmenuju 1. Kemudian apabila x berkurang tanpa batas (menuju−∞) adalah menuju −1.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 37 / 79
Limit at Infinity
Terdapat dua jenis limit yang berkaitan dengan konsep takberhingga: Limit di tak berhingga dan Limit tak berhinggaIni adalah grafik y = x√
x2+1
nilai fungsi ini ketika x bertumbuh tanpa batas (menuju∞) adalahmenuju 1. Kemudian apabila x berkurang tanpa batas (menuju−∞) adalah menuju −1.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 37 / 79
Notasi
Notasi f(x) di tak berhingga adalah
limx→∞
x√x2 + 1
= 1
Notasi f(x) di negatif tak berhingga adalah
limx→−∞
x√x2 + 1
= −1
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 38 / 79
Notasi
Notasi f(x) di tak berhingga adalah
limx→∞
x√x2 + 1
= 1
Notasi f(x) di negatif tak berhingga adalah
limx→−∞
x√x2 + 1
= −1
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 38 / 79
Limit at infinity
Definisi1 Misalkan f(x) terdefinisi pada selang [a,∞) untuk suatu a ∈ R.
Dikatakan limx→∞
f(x) = L, L ∈ R, jika untuk setiap ε > 0 terdapatM sehingga
x > M ⇒ |f(x)− L| < ε.
2 Misalkan f(x) terdefinisi pada selang (−∞, a] untuk suatu a ∈ R.Dikatakan lim
x→−∞f(x) = L, L ∈ R, jika untuk setiap ε > 0 terdapat
M sehinggax < M ⇒ |f(x)− L| < ε
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 39 / 79
Limit at Infinity
Teoremalimx→∞
1x = 0
Proof.Misal diberikan ε > 0 sembarang. Pilih M = 1
ε . Akibatnya jika x > 1ε
maka 1x < ε atau | 1x − 0| < ε
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 40 / 79
Example
Misalkan y = f(x) = 5x2+8x−33x2+2
limx→∞
5x2+8x−33x2+2
= 53
limx→−∞
5x2+8x−33x2+2
= 53
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 41 / 79
Example
Misalkan y = f(x) = 5x2+8x−33x2+2
limx→∞
5x2+8x−33x2+2
= 53
limx→−∞
5x2+8x−33x2+2
= 53
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 41 / 79
Example
Misalkan y = f(x) = 5x2+8x−33x2+2
limx→∞
5x2+8x−33x2+2
= 53
limx→−∞
5x2+8x−33x2+2
= 53
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 41 / 79
Asimptot Horizontal
DefinisiGaris y = L disebut asimptot horizontal dari f(x) jika
limx→∞
f(x) = L, atau limx→−∞
f(x) = L
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 42 / 79
Infinity of Limit
Ini adalah jenis limit kedua yang menggambarka nilai f(x)disekitar x = c melambung tak terbatas
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 43 / 79
Infinity of Limit
Definisi1 Fungsi f(x) dikatakan menuju tak berhingga jika x mendekati c,
ditulislimx→c
f(x) =∞
jika untuk tiap B > 0, terdapat bilangan δ > 0 sehingga
0 < |x− c| < δ ⇒ f(x) > B
2 Fungsi f(x) dikatakan menuju negatif tak berhingga jika xmendekati c, ditulis
limx→c
f(x) = −∞
jika untuk tiap B > 0, terdapat δ > 0 sehingga
0 < |x− c| < δ ⇒ f(x) < −B
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 45 / 79
Infinity of Limit
Definisi1 Fungsi f(x) dikatakan menuju tak berhingga jika x mendekati c,
ditulislimx→c
f(x) =∞
jika untuk tiap B > 0, terdapat bilangan δ > 0 sehingga
0 < |x− c| < δ ⇒ f(x) > B
2 Fungsi f(x) dikatakan menuju negatif tak berhingga jika xmendekati c, ditulis
limx→c
f(x) = −∞
jika untuk tiap B > 0, terdapat δ > 0 sehingga
0 < |x− c| < δ ⇒ f(x) < −B
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 45 / 79
Asimptot vertikal
DefinisiGaris x = c disebut asimptot vertikal dari f(x) jika
limx→c−
f(x) = ±∞ atau limx→c+
f(x) = ±∞
Contoh: Tentukan asimptot vertikal dari f(x) = x−3x2+2x−15
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 47 / 79
contoh
f(x) = x−3x2+2x−15 dengan asimptot vertikal garis x = −5 dan asimptot
horizontal garis y = 0
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 48 / 79
Asimptot Miring
DefinisiGaris y = ax+ b disebut asimptot miring dari f(x) jika
limx→∞
f(x)− (ax+ b) = 0 atau limx→−∞
f(x)− (ax+ b) = 0
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 52 / 79
Outline
1 limitIntroduction to LimitRigorous Study of LimitsLimit TheoremLimit Involving Trigonometric FunctionLimit at Infinity and Infinite LimitContinuity of Functions
2 TurunanDua masalah satu tema
3 Referensi
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 54 / 79
Kekontinuan fungsi
Perhatikan gambar berikut
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 55 / 79
Kekontinuan fungsi
DefinisiMisalkan f(x) terdefinisi pada interval buka I dan c ∈ I. Fungsi fdisebut kontinu di titik c jika
f(c) = limx→c
f(x)⇔ f(c) = limx→c−
f(x) = limx→c+
f(x)
Artinya agar kontinu di x = c, fungsi f(x) harus memenuhi ketigasyarat berikut:
I limx→c
f(x) adaI f(x) ada (f(x) terdefinisi di x = c)I lim
x→cf(x) = f(c)
Grafik fungsi kontinu dapat digambar tanpa mengangkat pena.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 56 / 79
Tak Kontinu Terhapuskan (Removable Continuity)
DefinisiDiberikan fungsi f(x) yang tak kontinu di x = c. Kekontinuan f di cdisebut terhapuskan bila f(c) dapat diubah sehingga f(x) menjadikontinu di x = c.
Contoh:
Misalkan f(x) =
{x2−4x−2 , x 6= 2
5 , x = 2
Periksa kekontinuan f di titik x = 2?
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 57 / 79
Kekontinuan sepihak
DefinisiFungsi f disebut kontinu kiri di x = c bila f(c) = lim
x→c−f(x)
Fungsi f disebut kontinu kanan di x = c bila f(c) = limx→c+
f(x)
Definisi (Kekontinuan pada interval)Fungsi f disebut kontinu pada interval buka (a, b) bila f kontinu disetiap titik pada (a, b)
Fungsi f disebut kontinu pada interval tutup [a, b] bila f kontinupada (a, b), kontinu kanan di a dan kontinu kiri di b.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 58 / 79
Sifat-sifat
Suatu polinom p(x) kontinu pada seluruh R.
Fungsi rasional (p(x)q(x) , dengan p(x) dan q(x) polinom) kontinu padaseluruh daerah definisinya.Fungsi f(x) = |x| kontinu pada seluruh daerah definisinya.Fungsi f(x) = n
√x dengan n ∈ N kontinu pada seluruh daerah
definisinya.Bila f , dan g kontinu di titik c dan k ∈ R maka:kf, f + g, f − g, fg, fg dengan g(c) 6= 0, fn, dan n
√f kontinu di c.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 59 / 79
Contoh soal
1 Sketsalah sebuah grafik fungsi yang memenuhi syarat-syaratberikut:
I Daerah definisinya [−2, 4]I f(−2) = f(0) = f(1) = f(3) = f(4) = 1I f kontinu di seluruh Df kecuali di x = −2, x = 0 dan x = 3.I lim
x→−1−f(x) = 2, lim
x→0+f(x) = 2, dan lim
x→3−f(x) = 1.
2 Tentukan a dan b agar f(x) =
−1 , x ≤ 0ax+ b , 0 < x < 11 , x ≥ 1
kontinu di R.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 60 / 79
Contoh soal
1 Sketsalah sebuah grafik fungsi yang memenuhi syarat-syaratberikut:
I Daerah definisinya [−2, 4]I f(−2) = f(0) = f(1) = f(3) = f(4) = 1I f kontinu di seluruh Df kecuali di x = −2, x = 0 dan x = 3.I lim
x→−1−f(x) = 2, lim
x→0+f(x) = 2, dan lim
x→3−f(x) = 1.
2 Tentukan a dan b agar f(x) =
−1 , x ≤ 0ax+ b , 0 < x < 11 , x ≥ 1
kontinu di R.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 60 / 79
Teorema nilai antara (TNA)
DefinitionMisalkan f kontinu pada [a, b]. Bila w bilangan diantara f(a) dan f(b)maka terdapat c ∈ [a, b] sehingga f(c) = w.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 61 / 79
TNA tak berlaku
Bagaimana bila f tidak kontinu pada [a, b]?
Bila f tak kontinu pada [a, b] maka ada d diantara f(a) dan f(b)sehingga tidak ada c ∈ [a, b] dengan f(c) = d
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 62 / 79
TNA tak berlaku
Bagaimana bila f tidak kontinu pada [a, b]?Bila f tak kontinu pada [a, b] maka ada d diantara f(a) dan f(b)sehingga tidak ada c ∈ [a, b] dengan f(c) = d
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 62 / 79
Soal
1 Tunjukkan p(x) = x3 + 3x− 2 mempunyai akar real diantara 0 dan1.
2 Tunjukkan p(x) = x5 + 4x3 − 7x+ 14 mempunyai paling sedikitsatu akar real.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 63 / 79
Outline
1 limitIntroduction to LimitRigorous Study of LimitsLimit TheoremLimit Involving Trigonometric FunctionLimit at Infinity and Infinite LimitContinuity of Functions
2 TurunanDua masalah satu tema
3 Referensi
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 64 / 79
Outline
1 limitIntroduction to LimitRigorous Study of LimitsLimit TheoremLimit Involving Trigonometric FunctionLimit at Infinity and Infinite LimitContinuity of Functions
2 TurunanDua masalah satu tema
3 Referensi
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 65 / 79
Outline
1 limitIntroduction to LimitRigorous Study of LimitsLimit TheoremLimit Involving Trigonometric FunctionLimit at Infinity and Infinite LimitContinuity of Functions
2 TurunanDua masalah satu tema
3 Referensi
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 78 / 79
Referensi
E.J. Purcell, J.W. Brown, S.E. Rigdon Calculus: Ninth Edition,Pearson International Edition,Singapore 2009.
Oki Neswan Slide Kuliah Kalkulus IB FMIPA-ITB 2011.
R. Larson Applied Calculus: For the life and social science, Houghton Mifflin HarcourtPublishing Company, Boston USA 2009.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 79 / 79