D-5 Datos y Azar -Variable Aleatoria

7/21/2019 D-5 Datos y Azar -Variable Aleatoria

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PREUNIVERSITARIO PAIDAGOGOS – O’HIGGINS 1395 CONCEPCION – FONO 412217361 1

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REUNIVERSIT RIO

Matemática 2015Datos y zar

Guía Teórico-Práctica D-5

Variable Aleatoria

Mate

máticasPS

U

D-5




Variable Aleatoria

La variable aleatoria es una función cuyo dominio corresponde al espaciomuestral del experimento, mientras que su recorrido corresponde a cada uno delos valores que puede tomar según por cómo se defina. Regularmente serepresenta por X, Y o Z.

Variable aleatoria discreta

Una variable aleatoria discreta es aquella cuyo recorrido es finito o infinitonumerable. Por ejemplo, la diferencia de las puntuaciones de una ficha de dominó,la suma de las puntuaciones obtenidas al lanzar dos o más dados, el número decaras/sellos obtenidos al lanzar dos o más monedas, la pinta de una baraja denaipes, etcétera. Se distingue entre variable aleatoria cualitativa (se refiere acaracterísticas o cualidades del espacio muestral del experimento) y variablealeatoria cuantitativa (se puede expresar numéricamente).

Variable aleatoria continúaUna variable aleatoria continua es aquella cuyos elementos del recorrido son NO numerables (no se les puede asignar un orden). Una variable aleatoria continua esla que puede tomar cualquier valor numérico en un intervalo o conjunto deintervalos. Por ejemplo, las estaturas de los estudiantes de un colegio, el tiempo defrecuencia de los trenes del Metro de Santiago, el peso de los integrantes de unafamilia, etcétera. Todos estos ejemplos tienen en común que la exactitud de lamedición depende de los instrumentos con que se cuente, de manera que siemprese puede llegar a una medición más precisa.

“Una variable aleatoria puede ser discreta o continua. Es discreta cuandolos elementos del recorrido son finitos o infinitos numerables.

Es continua cuando los elementos del recorrido son no numerables. Al mismo tiempo, la variable aleatoria puede ser de tipo cualitativa

o cuantitativa.”

Ejemplos Sea X una variable aleatoria definida por la \cantidad de caramelos

vencidos en un cargamento de 50 caramelos". Los posibles valores de Xson 1, 2, 3, ,,,, 48, 49, 50, por lo que se trata de una variable aleatoria

discreta finita. Sea Y una variable aleatoria definida por la “cantidad de automóviles quetransitan en un tramo de una carretera". Los posibles valores de Y están enel conjunto de los números naturales (1, 2, 3, :), por lo que se trata deuna variable aleatoria discreta infinita.

Sea Z una variable aleatoria definida por la “cantidad de segundos que hayque esperar hasta que pase un automóvil en un tramo de una carretera".




Los posibles valores de Z están en el conjunto de R+, es decir, Z ]0;∞[,por lo que se trata de una variable aleatoria continua.

Sea W una variable aleatoria definida por la “cantidad de ases que seobtienen al extraer tres cartas de un naipe inglés". Los posibles valores deW son 0, 1, 2, 3, por lo que se trata de una variable aleatoria discreta finita.

Ejemplo1: En el juego del dominó, se define X como “el valor absoluto de ladiferencia de las puntuaciones de la ficha extraída". Así, el dominio de Xcorresponde a cada una de las 28 fichas que lo componen (el espacio muestralcompleto), mientras que su recorrido corresponde a todos los posibles valores delvalor absoluto de la diferencia de sus puntuaciones:

Dom X =Ω Rec X = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}

Ejemplo2: Representa en un diagrama sagital la variable X: número de carasobtenidas para el experimento aleatorio E: lanzar tres monedas. Especifica qué tipode variable es, cuál es su dominio y cuál es su recorrido




Ejercicios Propuestos

1. Identifica el dominio y recorrido de cada variable aleatoria

a. Numero de bolitas verdes obtenidas en tres extracciones de una urna quecontiene cuatro bolitas verdes, tres bolitas rojas y cinco azules

b. Ganancia obtenida al lanzar una moneda no cargada , en que al aparecercara se gana $1000 y al aparecer sello se pierde $500

c. Producto del número de puntos de las caras superiores de dos dados no

cargados

2. Sea la variable X: suma de los puntos obtenidos en cada cara superior de losdados asociado al experimento E: lanzar dos dados de seis caras no cargados.Especifica qué tipo de variable es, cuál es su dominio y cuál es su recorrido




Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta

Nos interesa ahora obtener la probabilidad asociada a cada uno de los valores quepuede adoptar X, o equivalentemente, a cada uno de los elementos de su recorrido.Para ello, se procede de manera usual mediante la regla de Laplace:

dead cardinalid posiblesCasos

x X de favorablesCasos x X P i

i)(

La función de probabilidad (f) de una variable aleatoria X asocia a los elementos delrecorrido de la variable aleatoria la probabilidad (P) de que ocurra el sucesorespectivo a cada uno de ellos. Su representación algebraica es:

iii

x X P x f xT f

1,0:

Propiedades:

I. 0)()( ii

x X P x f

II. 1)(1

n

ii

x f

III. Si f no está definida para un valor de x , entonces ,f(x)=0

Ejemplos:

1. A partir del experimento aleatorio “ lanzar tres monedas “ del ejemplo 2 ,encuentra la función de probabilidad de la variable aleatoria discreta X:número de caras obtenidas




2. Verifica si14

1)( x

x f es una función de probabilidad cuando su dominio

es {1,2,3 y 4}

3. Verifica si

casootroen

x si x

x si x

x f

0

5,4,321

8

2,17

)( es función de probabilidad




Desafío

casootroen

x si

x sib

x si

x sia

x si

x f

0

59

2

4

33

1

2

,1

9

1

)(

Donde a y b números reales, y a > b. Si la diferencia entre las probabilidades

asociadas a X = 2 y X = 4 es9

1¿Cuál es el valor de a y b?




Ejercicios propuestos

1. A partir de los siguientes experimentos aleatorios , determina la función deprobabilidad

a. Lanzar un par de dados de seis caras no cargados, donde se define lavariable aleatoria X: suma de las puntuaciones obtenidas

b. Un estudiante responde aleatoriamente tres preguntas de cincoalternativas. Se define la variable aleatoria X: número de respuestascorrectas




2. Calcula la probabilidad de los valores asociados a la variable aleatoriadiscreta X: número de sellos obtenidos para el experimento aleatorioE:lanzar cuatro monedas

3. Verifica si las siguientes son funciones de probabilidad

a. 54,3,2,1;45

32)( y xcon

x x f

b. 21,0;19

9)( y xcon

x x f




4. Un estuche contiene solo 8 lápices del mismo tipo, de los cuales 3 son azulesy 5 son rojos. Si se extraen simultáneamente, al azar, 4 lápices del estuchey se define la variable aleatoria X como el número de lápices azules extraídos,¿cuáles son todos los posibles valores de X?

A) 1, 2 y 3B) 0, 1, 2 y 3C) 1, 2, 3 y 4D) 0, 1, 2, 3 y 4E) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8

5. Sea f la función de probabilidad de la variable aleatoria X definida

casootroen x sikx

x si xk

x X P x f i

02

1)4(

)()(

El valor de k es:

A) 1/2B) 1/5C) 1/4D) 1/3E) ninguno de los anteriores.




Función de distribución de probabilidad (acumulada)

Los valores acumulados de probabilidad de una variable aleatoria conforman lo quese denomina función de distribución de probabilidad. En otras palabras, la funciónde distribución nos indica la probabilidad de que la variable aleatoria tome valoresmenores o iguales que un valor especifico.

El dominio de la función de distribución de probabilidad son los racionales (lasprobabilidades obtenidas de la función de probabilidad), mientras que su recorridoson los reales comprendidos entre 0 y 1.

iii

x X P x F x

T F

1,0:

Ejemplo:1. Se define la variable aleatoria X como la “puntuación obtenida al lanzar una

dado de seis caras cargado” cuya función de probabilidad es:

casootroen

x si

x si

x si

x X P x f i

0

610

3

5,4

10

2

3,2,110

1

)()(

Determinar la función de distribución de probabilidad de X




Xi f(x) F(X≤xi)1

10

1

10

1

2

10

1

10

2

10

1

10

1

3

10

1

10

3

10

2

10

1

4

10

2

10

5

10

3

10

2

5

10

2

10

7

10

5

10

2

6

10

3 1

10

10

10

7

10

3

61

510

7

410

5

310

3

210

2

110

1

)()(

x si

x si

x si

x si

x si

x si

x X P x F i




Esperanza, Varianza y Desviación Estándar

Sea X una variable aleatoria discreta, la esperanza de X o valor esperadode X es:

n

iii

x f x X E 1

)()( donde f(x) es la función de probabilidad de X

Para X también se define la varianza como:

222

1

2 )()()(()( X E X E X E x x f S n

iii x

donde

n

iii

x f x X E 1

22 )()(

Su desviación estándar es:

222

1

)()()(()( X E X E X E x x f S n

iii x

Ejemplo:

Calcula la esperanza, la varianza y la desviación estándar de la variable aleatoriaX: número de puntos obtenidos al lanzar un dado de seis caras no cargado.




Ejercicios PSU Demre 2015

1. En la tabla adjunta se muestra la distribución de probabilidad de unavariable aleatoria X. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)verdadera(s)?

I) p = 0,2II) El valor esperado de X es 3.III) La desviación estándar de X es 0.

A) Solo IB) Solo IIIC) Solo I y IID) Solo I y IIIE) I, II y III

2. Se define la variable aleatoria X como la cantidad de minutos de atrasode una persona a su trabajo en un cierto día. En la tabla adjunta se muestrala función de probabilidad de X. Dado que el valor esperado de X es 5minutos, entonces su desviación estándar es

A)44

minutosB) 10 minutosC) 0 minutos

D) 10 minutos

E) 44 minutos

k 1 2 3 4 5

P(X=k) p p p p p

k 0 2 4 8

P(X=k) 1/8 1/4 1/8 1/2

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