Crystallatticeenergies

4
Semiconductor Physics, Quantum Electronics & Optoelectronics. 2003. V. 6, N 1. P. 28-31. © 2003, V. Lashkaryov Institute of Semiconductor Physics, National Academy of Sciences of Ukraine 28 PACS: 71.70.C Energy levels of rare-earth ions in crystal lattice sites of cubic symmetry C.A.J. Ammerlaan Van der WaalsZeeman Institute, University of Amsterdam, Valckenierstraat 65, 1018 XE Amsterdam, The Netherlands Abstract. Numerical calculations are presented for the energy levels of the rare-earth ion Er 3+ in a crystalline field of cubic symmetry. A distinction is made between the five different point groups within the system of cubic symmetry. Traditionally only the point groups O, O h and T d are considered. As an extension, in the present analysis the effect of an additional crystal- field term appearing for the cubic point groups T and T h is explored. Keywords: Er 3+ , rare-earth ions, crystal-field theory. Paper received 28.12.02; accepted for publication 18.03.03. 1. Introduction Rare-earth elements are dopants donating interesting and often useful properties to host crystals. In many cases, such as in optical absorption or light emission, there ex- ists a direct relation to the energies in ground and excited states of the electron system. As an example, typical of rare-earth impurities in general, energy levels of the ion of erbium in threefold ionized state will be considered. Ion Er 3+ has electronic configuration 4f 11 and, following Hunds rule of level occupation, possesses an orbital momentum L = 6 and spin S = 3/2. Spinorbit interac- tion is strong for these high-Z ions and forms the largest correction on the energies as resulting from Coulomb elec- trostatic fields. By the spinorbit energy λL·S the degen- eracy of the 52 states will be partially lifted. For erbium, four levels characterized by total angular momentum J ranging from J = L S = 9/2 to J = L + S = 15/2 will be formed. With the negative spinorbit coupling constant λ the state labeled 4 I 15/2 forms the ground state. It is sepa- rated from the next higher state 4 I 13/2 by about 800 meV. Calculations to be reported in this paper are restricted to the ground state, which is considered as isolated and is treated in the spin J formalism. 2. Crystal-field potentials and operators When the rare-earth ion is incorporated as an impurity in a crystal, the ground state 4 I 15/2 , with still 16 fold de- generacy, is further split by the crystal field. The precise effect depends on symmetry and strength of the crystal field. For the lower symmetries, such as trigonal or orthorhombic, the maximum splitting into eight Kramers doublets will occur. In a cubic field, as will be considered further, the splitting is into three quartets and two dou- blets. The crystal field is represented by its equivalent spin operator H. It is constructed from expressions of potential which are invariant in the crystal field consid- ered. For cubic symmetries the possible forms of poten- tial, up to sixth order, are given in Table 1. Expressions of the odd order 3 and 5 will lead to vanishing matrix elements within the basis of 4f states and can be omitted. One is left with the relevant potentials and operators of fourth and sixth order as specified in Table 1. In the ma- jority of literature only the fourth-order operator O 4 0 + 5O 4 4 and the sixth-order operator O 6 0 21O 6 4 are con- sidered [1,2]. These are the required terms for the most frequently occurring point groups O, O h and T d . For the point groups of the lower symmetry in the cubic system

Transcript of Crystallatticeenergies

Page 1: Crystallatticeenergies

������������ ������������������������ ����������������� ������ ��� ����� �� �� �!"� �

#����������$���%����&�'������(������������� ����������������)��������(�����������(�*%�������

����������

���������������� ���� ��������������� ��� �������������������������

������������� ����� ����+����,-������ '������*��&������ �(� )�������������%���������� �.�� � !�/��)��������� 0�������������

���� ���� ����������������������������������������������������� ���������������!����������"�#$

����������������������������%�����������������������������������%��&���������� ������������������������&������ ���� ���������� ��%��� ����������'������������������ ������������������(���� ���0�������������������������)�������(������������������������������������������������������������!������ ��������������� ���� ������%����������������0�����0�� ��� �)�������

���������"�#$(� ����!������ ����(� �������!������ �������

����������� ����������*����������������%������������#��#�

��� ������������

+���!���������������������������������������������������������������������������������������������,������������(��������������������%��������������������������(��������)!������������������������������������������������������)�������������������������������������������)�����(���������������!���������������������������(���������� �������������������%���������������������-���������&����%�������������,���"�#$������������������������������.(����(������&���/���0�� ����� ��� �� ��� ����������(� ���������� �����%�������������$�1�2������������1�#3�������4��%����������!�����������������������������!5������������������������������������������������������������������������������%�����!������������������6����������4��%����������λ !"����������!�������������7���������&����%��������������������8�����%���(������� ��������������-���%�������������������������1�������������1�1�$�4���1�93�����1�1�$�$���1�73��&����%���������:�������������� ������4��%��������������������λ�������������%�����.'73��������������������������,���������!�����������������)���������������.'#3��%���%����������;�����������������%����������������������������������������������������������(�&���������������������������������������������������������1�����������

#������ �������� $������ �� ��� �$�� ���

:������������!����������������������������������������������������(������������������.'73�(�&����������2��������!��������(������������������%���������������������'������������������������������������������������������������������������8��� ���� ��&��� ����������(� ����� ��� ��������� �����������%��(��������)��������������������������<���������%�����&�����������,������%��������(����&����%�������������������(�����������������������������=�������������&�����!%������'��������������������������������%�������=�� �������������������2��,�����������������������)����������������������&����������� ����������������������������������!������8�����%�����������������������%�����������������!����(���������)��������(������� ������'�%�����")��������������������������#�����7�&������������ ��������������)���������&����������%��������.(����������������%����������>�����������&������������ ��������������������������������������������)�������������������������'�%�����,��������!?�����������������������������������!����������������.

��$7�.

.�����������)��!����������������2��4���2

.��������!��������@(�A��'���������������=���������������������������=�������������������������������(��������0���8����������������������������&���������������������%���������

Page 2: Crystallatticeenergies

������������� ������������������� ���� ��������������

�9������3 4������

������������������������)��!����������������&����%����!��&�����������������������������������2

��4��22�&����%�

��������@#(.A�� ����������������������&���������&������������������������������������!����������������B����)����!������&����������������������%������������2���������������.'73���"��������&�����%������������������� ������������2×2�����������'����� ����������������������%����������!���������(�&�����������������������������7����;(��������������������������������������%��&��������4��%����� ����

%������ �������� �������

8�����������������%���������������������������/������!������������������������������

2�1�$�C���α)�.�$�C���α)@C���β)�2(�$�C���β)�2(�A� CD

������������������������������ ��&����������������!������)��!��������������(�&����������������������������������������������������������")�����������������%�������!�������������� �����

�.��1�$�#71-

.�4�#�1C1�$�D15��$��715

��4�21C1$D�$

$�#1�C1�$�D�( C��D

�..�1 $�C3�DC1$

.�$�14.D( C�%D

�2��1 $��#15

2�4�#71C1�$�D15.�$�#715

.�$

$��71�C1�$�D�15��4�7�71C1�$�D15

��$��9.15��4

,�.1#C1�$�D#�$�.�1�C1�$�D��4�2�1C1�$�D( C��D

�2��1 $�C3.DE@$�##15

.�4��1C1�$�D15��4��#15

��$

6�1�C1�$�D��$��1C1�$�D�$���AC1$��$�14

�D�$

$C1$��$�14

�D@$�##15.�4��1C1�$�D15

��4��#15��$

6�1�C1�$�D��$��1C1�$�D�$���AF( C��D

�2.�1 $�C3.DE@$�15

��4�1C1�$�D�4�#�AC1$.�$�14

.D�$

$�C1$.�$�14

.D@$�15��4�1C1�$�D�4�#�AF C��D

���

�22�1 $�C3�DC1$

2�$�142D� C��D

>���������������������������������!������/���������������������%��������

�.�1�C�.��$�7�.

.D37.( C#�D

�2(�1�C�2��4���2

.D372( C#%D

���

�2(��1�C�2��4��2

2D372(�� C#�D

��������������������&��������������&���������������!�����7.�1�2������72(�1�#�2�(���������(�����72(��1��2����&������ ���� ���������%���������&�����%�����%���������������G2�����G���������%������������������(��������� ���(����������=�����������G�����������������'��������������������(��%�������%��������������������β�1���(������ �����8������������������������������������������������������!

& �������"��� �������� �� ���$������ �� ��������$����������� ���������$�� ���'��$���������(��������'���������$���������$���

��������������

������������ ��������� >�������

0(�0�(�0�(��(��� $�8��$����$�5� $�1C1�$�D

0(�0� $�8�5

0(�0�(�0�(��(��� $�8.�$��.�$�5.�4�#C8����$���5��$�5�8�D $��.��$�7�.

.

0(�0� $�8�5C8��$����$�5�D

0(�0�(�0�(��(��� $��C82�$��2�$�52D�4�7C8.���$��.5��$�5.8��$�8.5��$��.8��$�5.��D�$���8���5� $��2��4���2

.

0(�0� $�C8.���$��.5��$�5.8�D�4�C8.5��$��.8��$�5.��D $��2��4��2

2

)���� ����������!������ ��������(� ��� ��4(� ��� ���%�����G2� ����G� ���

��� ���� =�������� CG�D�(� �� 1� (� �� ���� #(� ������������� ���� ����� �����

��� �=������� CD�� ����������α� ��� ���� ������ 49���H�α� H�$9��� ���!������ ������)���� ��� ���� ������!������ �������� �������.�&���� ����!

��)��!������ �������� �������2(�� ����������β� 1� ���

−O 6,1

( )���8 1

( )���

( )���

8

8

2

3

O6,1O4

�7

�6

����

����

����

����

���

���

���

���

Ene

rgy

��� ��� ��� � �� �� ��

P a ra m eter , d egrees�

Page 3: Crystallatticeenergies

#� ������3 4������

������������� ������������������� ���� ��������������

������������������=�� ����������������������� ��������������!���������������I��(�I���J�����:����@A���� ����������������%��� ���������������)����������&��������������������������������>����)����������������������%����������!�����������������������������������������������������������������������������������������'����&����%����������(������������(�����������������������������������%�����������������������������������0���������������������������������!������8���������&��������������������������������������)��!�������������2(����������������������0�����0��%���������!����β�1�$9����,���� �������������%��������������������������� �����������������2(�����������������&������ �����%�����������������������������)��������&������������������� ��������0�����0������������������������������'����!����0��J��&�����(�������������������� ��%����������������������������������(�����������������������)����������������%���������������&��������������������������&��!���!����������������'�������������������������2(����������2(�

����������������������������8����#��,�������������������������)����������)����������)��!�����������������������������������%������������������0!�����0�!������������������,������%�������������������2(�����������&����%������������������(��������������������������)�������������2(��������������������&����������'���������������������%���������� �����������������β����������������%��8����.�����β�1�$������������&��������������8����������%��� ������%�������(��)������������������������� ���������������������!����������

)���� #���������!������ ��������(� ��� ��4(� ��� ���%�����G2� ����G� ���

��� ���� =�������� CG�D�(� �� 1� (� �� ���� #(� ������������� ���� ����� �����

��� �=������� CD�� ����������α� ��� ���� ������ 49���H�α� H�$9��� ���!������ ������)���� ��� ���� ������!������ �������� �������.�&���� ����!�

��)��!������ �������� �������2(��� ����������β� 1�$9���

� ����� �

� ����

� ����

��

��

−����

����

���

����

����

����

����

���

���

���

���

��

����

��� ��� ��� � �� �� ��

�������� �� �������

)���� %�� �������!������ ��������(� ��� ��4(� ��� ���� �� �� �� ���� ��� ��%��

��������� ���� ���� ����������� ����� ����!� ��� ����!�� ��)��!��������!

��������� ����������α� 1�$9���

� ����� �

� ����

� ����

��

��

����

����

����

����

����

����

���

���

���

���

��

����

� �� �� ��

�������� �� �������

����

����

����

����

���

���

���

���

Ene

rgy

��� ��� ��� � �� �� ��

P a ra m eter , d egrees�

−O 6 O6O4

( )���8 1

( )���

( )���

8

8

2

3

�7

�6

)���� *���������!������ ��������(� ��� ��4(� ��� ���%�����G2� ����G� ���

��� ���� =�������� CG�D�(� �� 1� (� �� ���� #(� ������������� ���� ����� �����

��� �=������� CD�� ����������α� ��� ���� ������ 49���H�α� H�$9��� ���!������ ������)���� ��� ������!������ ���� ��)��!������ �������� �������

��������� ��������� ��� ���� ��&��!��������� ��)��!������ ������ ���

�������� ��� 0 � ��� 0�� ��������� ��� ������������ %�� ���������

β�1�$���

Page 4: Crystallatticeenergies

������������� ������������������� ���� ��������������

#������3 4������

*�� ���������

K���������������������������������������(������������� �����������!�������������������%����������������������!���������������������������,�����������������������������!����� �� ��� �������� ���� �������� ��� ���� ������ ����������������0�����0���������������%������������������������������������������(��������0��

��+������������

'�������������������������������B�B��5����� ����<�-��������K�� �����������%��������������%?���������������������

9�(�������

� <�+�� I��(�B�L�B�� I���J� ����:����:���(� L�� ������ �����

������� �#(� #�� C92�D�

�� ����%������ ����6�� 6������(� "�������� �������������+���!

���������'����������,���(����������������(�>)����(�K<(�9��

#� �������0�������� ���� 6�B��<�-��� (� "�������� ������������

+�������������������������'����������"�������(�L����:����

M�����(� �&�N��J(�K��(� 9.�

.� ��B��I������(� ��������������+�-�����(�<�-���K�� ������(

<�-��(�+�����(� 92.� C���+������D�