Creative Commons Deed 0 1 - La Salle · Creative Commons License Deed Reconeixement-No...

LaSa

lle

On

Lin

e

EN

GIN

YER

IES

ÀLGEBRA LINEAL

Guia d’estudi José Antonio Montero, Santiago Planet, Joan Claudi Socoró, Fco. Javier Pajares i Oscar Garcia

A A An

n

n

2 31 0

0 1

1 1

0 1

11 1

20 1

( )

( )

2010 Creative Commons Deed

Creative Commons License Deed Reconeixement-No comercial-Sense obres derivades 3.0 Espanya

Vostè és lliure de: Copiar, distribuir i comunicar públicament l’obra.

Sota els següents condicionants:

Reconeixement.

S’ha de referenciar aquesta obra a José Antonio Montero, Santiago Planet, Joan Claudi Socoró, Francisco Javier Pajares i Oscar García -

Enginyeria La Salle (Semipresencial) No comercial.

No es pot utilitzar aquesta obra per a finalitats comercials.

Sense obres derivades. No es pot alterar, transformar o generar una obra derivada a partir d’aquesta.

Quan reutilitzeu o distribuïu l'obra, heu de deixar ben clar els termes

de la llicència de l'obra.

Alguna d'aquestes condicions pot no aplicar-se si obteniu el permís

del titular dels drets d'autor.

No hi ha res en aquesta llicència que menyscabi o restringeixi els drets morals de l'autor.

Els drets derivats d'usos legítims o altres limitacions reconegudes per llei no queden afectats per l'anterior

Això és un resum fàcilment llegible del text legal (la llicència completa) disponible en els

idiomes següents: Català Castellà Basc Gallec

Crèdits

Autor: José Antonio Montero, Santiago Planet, Joan Claudi Socoró, Francisco

Javier Pajares i Oscar García

Editor: Lluís Vicent

Coordinació lingüística: Sara Laso

Revisió lingüística: Maido Pérez Altava

Maquetació: Víctor Ballesteros

Disseny de portada: Víctor Ballesteros

Aquesta edició ha comptat amb el suport de l’Agència de Gestió d’Ajuts Universitaris i de Recerca (AGAUR) de la Generalitat de

Catalunya en la Convocatòria d’ajuts a l’edició i la difusió de llibres de text o manuals universitaris i llibres cientificotècnics, en suport

paper o en suport electrònic, escrits en llengua catalana (DILL 2010)

ISBN: 978-84-937712-7-0

1

Índex

SESSIÓ 1: Matrius i determinants .............................................................................. 7

1. Matrius i determinants ......................................................................................... 7

1.1. Operacions bàsiques amb matrius i tipus de matrius .................................................. 7 1.1.1. Operacions bàsiques amb matrius i propietats ......................................................................... 7 1.1.2. Tipus de matrius ........................................................................................................................ 8

1.2. Concepte de determinant i propietats ........................................................................ 9 1.2.1. Concepte de determinant .......................................................................................................... 9 1.2.2. Propietats dels determinants .................................................................................................. 10

1.3. Càlcul del determinant per adjunts .......................................................................... 11

1.4. Rang d’una matriu ................................................................................................... 12

1.5. Inversa d’una matriu ............................................................................................... 13

SESSIÓ 2: Exercicis de determinants i de matrius ..................................................... 15

1.6. Exercicis .................................................................................................................. 15 1.6.1. Exercicis resolts ........................................................................................................................ 15 1.6.2. Exercicis proposats .................................................................................................................. 19

SESSIÓ 3: Estudi de sistemes d’equacions lineals ..................................................... 23

2. Estudi i resolució de sistemes d’equacions lineals ................................................ 23

2.1. Representació d’un sistema d’equacions lineals ....................................................... 23

2.2. Estudi d’un sistema d’equacions lineals .................................................................... 25 2.2.1. Tipus de sistemes d’equacions lineals ..................................................................................... 25 2.2.2. Teorema de Rouché-Frobenius ................................................................................................ 25

2.3. Exercicis d’estudi de sistemes d’equacions lineals .................................................... 26 2.3.1. Exercicis resolts ........................................................................................................................ 26 2.3.2. Exercicis proposats .................................................................................................................. 29

SESSIÓ 4: Mètodes de resolució de sistemes d’equacions lineals .............................. 31

2.4. Mètodes de resolució de sistemes d’equacions lineals .............................................. 31 2.4.1. Regla de Cramer....................................................................................................................... 32 2.4.2. Mètode de la matriu inversa ................................................................................................... 34 2.4.3. Mètodes de Gauss-Jordan i de Gauss ...................................................................................... 35 2.4.4. Resolució conjunta de sistemes d’equacions lineals similars .................................................. 36

SESSIÓ 5: Exercicis d’estudi i resolució de sistemes d’equacions lineals .................... 39


SESSIÓ 6: Definició d’espai vectorial ........................................................................ 53

3. Espais vectorials ................................................................................................. 53

3.1. Estructures algebraiques bàsiques i definició d’espai vectorial .................................. 53 3.1.1. Estructures algebraiques bàsiques .......................................................................................... 53 3.1.2. Definició d’espai vectorial ........................................................................................................ 55

2

3.1.3. Exemples d’espais vectorials ................................................................................................... 57

SESSIÓ 7: Independència lineal de vectors i concepte de subespai vectorial ............. 63

3.2. Dependència i independència lineal de vectors ........................................................ 63 3.2.1. Definició: combinació lineal ..................................................................................................... 63 3.2.2. Definició: conjunt de vectors linealment independents .......................................................... 64 3.2.3. Exemples .................................................................................................................................. 65

3.3. Subespai vectorial ................................................................................................... 69 3.3.1. Definició de subespai vectorial ................................................................................................ 69 3.3.2. Exemples .................................................................................................................................. 70

3.4. Subespai engendrat ................................................................................................. 71 3.4.1. Definició de subespai engendrat ............................................................................................. 71 3.4.2. Exemples .................................................................................................................................. 72

SESSIÓ 8: Exercicis de subespais vectorials i de dependència i independència lineal de vectors ................................................................................................................... 75


SESSIÓ 9: Base i dimensió d’un espai vectorial i concepte de components d’un vector en una base ............................................................................................................ 81

3.6. Base i dimensió d’un espai vectorial ......................................................................... 81 3.6.1. Base d’un espai vectorial ......................................................................................................... 81 3.6.2. Dimensió d’un espai vectorial .................................................................................................. 83

3.7. Components d’un vector de E en una base B de E ..................................................... 84

SESSIÓ 10: Canvis de base ....................................................................................... 89

3.8. Canvis de base ......................................................................................................... 89 3.8.1. Introducció ............................................................................................................................... 89 3.8.2. Matriu de canvi de base........................................................................................................... 90

SESSIÓ 11: Exercicis de vectors expressats en components i de canvis de base ......... 95

3.9. Exercicis de vectors en components i de canvis de base ............................................ 95 3.9.1. Exercicis resolts ........................................................................................................................ 95 3.9.2. Exercicis proposats ................................................................................................................ 105

SESSIÓ 12: Exercicis del capítol 3 ........................................................................... 109

3.10. Exercicis .............................................................................................................. 109 3.10.1. Exercicis resolts .................................................................................................................... 109 3.10.2. Exercicis proposats .............................................................................................................. 118

SESSIÓ 13: Primera visita a l’aplicació ALGTEC ...................................................... 121

3.11. Primera visita a l’aplicació ALGTEC ....................................................................... 122 3.11.1. Presentació d’ALGTEC .......................................................................................................... 122 3.11.2. Aplicacions d’ALGTEC que fan servir els conceptes tractats als tres primers capítols del curs ......................................................................................................................................................... 122

SESSIÓ 14: Aplicació lineal, definició i propietats ................................................... 125

4. Aplicacions lineals............................................................................................. 125

3

4.1. Concepte d’aplicació lineal, definició i propietats ................................................... 125 4.1.1. Definició d’aplicació lineal ..................................................................................................... 125 4.1.2. Propietats............................................................................................................................... 127 4.1.3. Exercicis proposats ................................................................................................................ 128

SESSIÓ 15: Més definicions associades a aplicacions lineals ................................... 131

4.2. Subespai nucli d’una aplicació lineal ...................................................................... 131 4.2.1. Definició ................................................................................................................................. 131 4.2.2. Exemples ................................................................................................................................ 132

4.3. Subespai imatge d’una aplicació lineal ................................................................... 133 4.3.1. Definició ................................................................................................................................. 133 4.3.2. Exemples ................................................................................................................................ 133

4.4. Altres proposicions i definicions ............................................................................. 135 4.4.1. Proposició 1 ........................................................................................................................... 135 4.4.2. Proposició 2 ........................................................................................................................... 136 4.4.3. Monomorfismes, epimorfismes i isomorfismes .................................................................... 136 4.4.4. Proposició 3 ........................................................................................................................... 137 4.4.5. Rang de la matriu associada a una aplicació lineal ................................................................ 137 4.4.6. Aplicació inversa .................................................................................................................... 137 4.4.7. Exercici Aquest exercici s’ha de lliurar ............................................................................... 138

SESSIÓ 16: Matriu associada a una aplicació lineal ................................................ 139

4.5. Matriu associada a una aplicació lineal .................................................................. 139 4.5.1. Deducció ................................................................................................................................ 139 4.5.2. Matriu associada a l’aplicació inversa d’una aplicació lineal bijectiva .................................. 141 4.5.3. Exemples ................................................................................................................................ 142

SESSIÓ 17: Composició d’aplicacions lineals .......................................................... 147

4.6. Composició d’aplicacions lineals ............................................................................ 147 4.6.1. Definició ................................................................................................................................. 147 4.6.2. Matriu associada a la composició d’aplicacions lineals ......................................................... 148 4.6.3. Exercici d’exemple ................................................................................................................. 149

SESSIÓ 18: Exercicis resolts corresponents al capítol 4 ........................................... 155

4.7. Exercicis ................................................................................................................ 155 4.7.1. Exercicis resolts ...................................................................................................................... 155

SESSIÓ 19: Exercicis proposats corresponents al capítol 4 ...................................... 177

4.7.2. Exercicis proposats ............................................................................................. 177

SESSIÓ 20: Aplicacions d’ALGTEC que fan servir conceptes relacionats amb les aplicacions lineals…………………………………………………………………………………………………183

4.8. Aplicacions d’ALGTEC que fan servir els conceptes tractats al capítol 4 ................... 183 4.8.1. L’àlgebra al món dels gràfics per ordinador .......................................................................... 183 4.8.2. Composició d’aplicacions lineals en la generació d’ombres d’objectes 3D ........................... 184

SESSIÓ 21: Introducció als endomorfismes i als conceptes de valor i de vector propi ............................................................................................................................ 185

5. Diagonalització d’endomorfismes ..................................................................... 185

5.1. Introducció ............................................................................................................ 185 5.1.1. Definició ................................................................................................................................. 186

4

5.1.2. Plantejament del problema ................................................................................................... 186

5.2. Subespai invariant ................................................................................................. 187

5.3. Vector propi i valor propi ....................................................................................... 187 5.3.1. Definició ................................................................................................................................. 188 5.3.2. Proposició 1 ........................................................................................................................... 188 5.3.3. Proposició 2 ........................................................................................................................... 188 5.3.4. Exemples ................................................................................................................................ 189

SESSIÓ 22: Polinomi característic i concepte de diagonalització ............................. 191

5.4. Polinomi característic ............................................................................................ 191 5.4.1. Definició ................................................................................................................................. 191 5.4.2. Proposició .............................................................................................................................. 192 5.4.3. Exemples ................................................................................................................................ 193

5.5. Diagonalització ...................................................................................................... 195 5.5.1. Introducció ............................................................................................................................. 195 5.5.2. Proposició 1 ........................................................................................................................... 196 5.5.3. Proposició 2 ........................................................................................................................... 196 5.5.4. Teorema 1 .............................................................................................................................. 197 5.5.5. Teorema 2 .............................................................................................................................. 197

SESSIÓ 23: Exercicis de diagonalització ................................................................. 199

5.6. Exercicis ................................................................................................................ 199 5.6.1. Exercicis resolts ...................................................................................................................... 199 5.6.2. Exercicis proposats ................................................................................................................ 203

SESSIÓ 24: Teorema de Cayley-Hamilton i aplicacions de la diagonalització de matrius ............................................................................................................................ 207

5.7. Teorema de Cayley-Hamilton. Aplicació a la inversió de matrius. ............................ 207 5.7.1. Definició ................................................................................................................................. 207 5.7.2. Exemple ................................................................................................................................. 208 5.7.3. Aplicació en la inversió de matrius ........................................................................................ 209

5.8. Aplicacions de la diagonalització en la reducció de càlculs necessaris ...................... 210 5.8.1. Càlcul de potències ................................................................................................................ 210 5.8.2. Càlcul d’un polinomi avaluat per una matriu......................................................................... 210 5.8.3. Càlcul de l’arrel quadrada d’una matriu ................................................................................ 211 5.8.4. Exemple ................................................................................................................................. 211

5.9. Exemple desenvolupat a l’aplicació ALGTEC: Aplicació de la diagonalització de matrius en un estudi de mercat ................................................................................................ 212

SESSIÓ 25: Problemes resolts ................................................................................ 215

5.10. Exercicis .............................................................................................................. 215 5.10.1. Exercicis resolts .................................................................................................................... 215

SESSIÓ 26: Problemes proposats ........................................................................... 237 5.10.2. Problemes proposats ........................................................................................................... 237

SESSIÓ 27: Exercici de modelització ....................................................................... 245

5.11. Exercici de modelització ....................................................................................... 245 5.11.1 Enunciat ................................................................................................................................ 245 5.11.2. Qüestions orientatives i per reflexionar .............................................................................. 246 5.11.3. Estructura i contingut de l’informe que ha de presentar-se................................................ 246

5

5.11.4. Criteris que s’aplicaran en l’avaluació de l’informe presentat ............................................ 247

SESSIÓ 28: Introducció a la descomposició en valors singulars (SVD, Singular Value Decomposition) .................................................................................................... 249

5.12. Descomposició en valors singulars (SVD) .............................................................. 249 5.12.1. Introducció ........................................................................................................................... 249 5.12.2. Com es calculen les matrius U, Σ i V .................................................................................... 250

SESSIÓ 29: Interpretació i aplicacions de la SVD .................................................... 253 5.12.3. Interpretació i aplicacions de la SVD ................................................................................... 253 5.12.4. Exemple numèric ................................................................................................................. 255

SESSIÓ 30: Definició de producte escalar ............................................................... 257

6. Espais vectorials euclidians i unitaris ................................................................. 257

6.1. Producte escalar. Espai euclidià i espai unitari. ....................................................... 257 6.1.1. Definició de producte escalar ................................................................................................ 257 6.1.2. Altres propietats .................................................................................................................... 259 6.1.3. Exemples ................................................................................................................................ 259 6.1.4. Espai vectorial euclidià i espai vectorial unitari ..................................................................... 263

SESSIÓ 31: Conceptes de norma d’un vector i d’angle entre vectors ....................... 265

6.2. Norma d’un vector ................................................................................................ 265 6.2.1. Definició ................................................................................................................................. 265 6.2.2. Norma induïda a partir del producte escalar ......................................................................... 266 6.2.3. Exemples de norma ............................................................................................................... 269 6.2.4. Normalització d’un vector respecte d’una norma donada .................................................... 269

6.3. Angle entre dos vectors ......................................................................................... 270 6.3.1 Definició .................................................................................................................................. 270 6.3.2. Exemple ................................................................................................................................. 271

SESSIÓ 32: Ortogonalitat i subespais ortogonals ................................................... 273

6.4. Ortogonalitat i subespais ortogonals ...................................................................... 273 6.4.1. Definició d’ortogonalitat ........................................................................................................ 273 6.4.2. Subespai ortogonal ................................................................................................................ 274 6.4.3. Altres definicions ................................................................................................................... 277 6.4.4. Relació entre ortogonalitat i independència lineal ................................................................ 277 6.4.5. Exemples ................................................................................................................................ 278

SESSIÓ 33: Projecció ortogonal ............................................................................. 281

6.5. Projecció ortogonal d’un vector sobre un altre vector ............................................. 281 6.5.1. Definició ................................................................................................................................. 281 6.5.2. Deducció del paràmetre c ...................................................................................................... 282

6.6. Projecció ortogonal d’un vector sobre un subespai vectorial de dimensió més gran que 1 .................................................................................................................................. 283

6.6.1. Deducció ................................................................................................................................ 283 6.6.2. Teorema ................................................................................................................................. 284 6.6.3. Observació ............................................................................................................................. 285

SESSIÓ 34: Exemples de projecció ortogonal i procés d’ortogonalització de Gram-Schmidt ................................................................................................................ 287

6.6.4 Exemples de projecció ortogonal ......................................................................... 287

6

6.7. Procés d’ortogonalització de Gram-Schmidt ........................................................... 290 6.7.1. Definició ................................................................................................................................. 290 6.7.2. Exemple ................................................................................................................................. 290

SESSIÓ 35: Aplicacions pràctiques d’alguns conceptes estudiats al tema 6 ............. 293

6.8. Aplicacions desenvolupades en ALGTEC en què s’apliquen conceptes estudiats al tema 6 .................................................................................................................................. 293

6.8.1. Aproximació d’un conjunt de punts per a una recta aplicant el criteri de mínims quadrats 293 6.8.2. Disseny del diagrama de blocs d’un desmodulador QPSK ..................................................... 294

SESSIÓ 36: Problemes resolts del capítol 6 ............................................................. 297

6.9. Exercicis ................................................................................................................ 297 6.9.1. Exercicis resolts ...................................................................................................................... 297

SESSIÓ 37: Problemes proposats del tema 6 .......................................................... 317 6.9.2. Exercicis proposats ................................................................................................................ 317

SESSIÓ 38: Exercici de modelització ....................................................................... 323

6.10. Exercici de modelització ....................................................................................... 323 6.10.1. Enunciat ............................................................................................................................... 323 6.10.2. Qüestions orientatives i per reflexionar .............................................................................. 326 6.10.3 Estructura i contingut de l’informe que ha de presentar-se................................................. 327 6.10.4 Criteris que s’aplicaran en l’avaluació de l’informe presentat ............................................. 327

Bibliografia .......................................................................................................... 329

7

SESSIÓ 1: Matrius i determinants

FITXA DE LA SESSIÓ Nombre: Matrius i determinants Tipus: teòrica Format: no presencial Duració: 5 hores Treball a entregar: no Material:

o Bibliografia bàsica: [Flaquer1996]

OBJECTIUS En aquesta sessió es repassaran les operacions bàsiques amb matrius i es presentaran els conceptes de determinant, de rang i de matriu inversa, així com la manera de fer el càlcul corresponent.

CONTINGUTS Al llarg de la sessió veurem com es fan les operacions bàsiques entre matrius, es definirà el concepte de determinant i les propietats que es poden aplicar per facilitar el seu càlcul, es definirà i es calcularà el rang d’una matriu, i finalitzarem la sessió definint el concepte de matriu inversa i presentant un mètode per calcular-la.

1. Matrius i determinants

1.1. Operacions bàsiques amb matrius i tipus de matrius

1.1.1. Operacions bàsiques amb matrius i propietats Denotem per Mnxm el conjunt de matrius de n files i m columnes. Els elements d’una matriu A Mnxm els expressem per aij, on i = 1, ..., n. En notació simbòlica aquesta matriu es representa per A = (aij), on j = 1, ..., m.

8

Suma de matrius

A a M

B b M

A B C c

ij nxm

ij nxm

ij

( )

( )

( ) on c = a + bij ij ij .

Propietats: - Associativa: (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C. - element neutre: N = (nij) on nij = 0. - element oposat: A’ = (a’ij) on a’ij = –aij.

Producte d’un escalar per una matriu

A a M

k p CkA B b

ij nxm

ij

( )

,( ) on b = kaij ij .

Propietats: - k(A + B) = kA + kB. - (k + p)A = kA + pA. - k(pA) = (kp)A.

Producte de matrius

m

1=kkjikij ·ba=con

)(·)()(

nxpij

mxpij

nxmij

McCBAMbBMaA

. Propietats: - Associativa: A·(B·C) = (A·B)·C. - Distributiva respecte de la suma:

o A·(B + C) = A·B + A·C. o (A + B)·C = A·C + B·C.

- No és commutativa A·B B·A.

1.1.2. Tipus de matrius Segons les seves característiques podem definir diferents tipus de matrius: A columna: A Mnx1.

9

A fila: A M1xm. A quadrada: A Mnxn. A transposada: la transposada de A Mnxm és AT = (aji) Mmxn i es forma canviant

files per columnes. A conjugada: la conjugada de A Mnxm és A* = (a*

ij) Mmxn i es forma conjugant els elements de A.

A hermítica: si A* = AT. A simètrica: si A = AT. A diagonal: si aij = 0 i j. A identitat: I Mnxn on aij = 0 i j i aij = 1 i = j. A inversa: la inversa de A Mnxm és A-1 que verifica que A·A-1 = A-1·A = I. A ortogonal: si A-1= AT. A regular: si det A 0. A singular: si det A = 0. A idempotent: si A2 = A. A triangular superior: si A Mnxn i aij = 0 i > j. A triangular inferior: si A Mnxn i aij = 0 i < j. A involutiva: si A2 = I.

1.2. Concepte de determinant i propietats

1.2.1. Concepte de determinant

El determinant d’una matriu quadrada A Mnxn és un únic nombre escalar K, cos commutatiu, que s’associa a A mitjançant una regla de càlcul:

det( )A

a a aa a a

a a a

n

n

n n nn

11 12 1

21 22 2

1 2

.

Casos particulars:

n = 1 a a11 11 .

n = 2 a aa a a a a a11 12

21 2211 22 21 12 .

n = 3

a a aa a aa a a

a a a a a a a a a a a a a a a a a a11 12 13

21 22 23

31 32 33

11 22 33 21 32 13 12 23 31 31 22 13 32 23 11 21 12 33 .

10

Que es coneix com la regla de Sarrus.

1.2.2. Propietats dels determinants Sigui

A

a a aa a a

a a a

C C C

n

n

n n nn

n

11 12 1

21 22 2

1 2

1 2

.

On Ci és la columna i-sésima, de manera que

C

aa

a

i

i

i

ni

1

2

.

1) det C C C Cj j n1 1 10 0

,

si una columna és tot zeros det( )A 0 .

2) det C C C Ci i n1 0 , si dues columnes són iguals det( )A 0 .

3) det C C C Cj n i iii j

n

11

0

si C j ,

si alguna columna és combinació lineal (C.L.) de la resta det( )A 0 . 4)

det

det

C C KC C C

K C C C C C

j j j n

j j j n

1 1 1

1 1 1

,

det(kA) = kn·det(A). 5)

det

det det

'

'

C C C C C C

C C C C C C C C C C

j j j j n

j j j n j j j n

1 1 1

1 1 1 1 1 1

.

11

6) det detC C C C C C C Ci j n j i n1 1 , si permutem 2 columnes, el determinant canvia de signe.

7) det detC C C C C C Cj n j i iii j

n

n1 11

,

si a una columna li sumem una combinació lineal de la resta, el determinant no canvia.

8) det(A·B) = det(A) · det (B), A, B Mnxn.

9) det( )det( )

AA

1 1 si det(A) 0.

10) det(A) = det(AT) les set primeres propietats referents a columnes, també són certes per a les files.

1.3. Càlcul del determinant per adjunts Sigui (aij) Mnxn, l’adjunt de l’element aij és:

adj{aij} = (–1)i+j · det(Aij), on Aij M(n-1)x(n-1) és la matriu que s’obté suprimint la fila i i la columna j a la matriu A. Càlcul del det(A):

det( ) ( )

( )

A a adj a

a adj a

ik ikk

n

kj kjk

n

amb "i" una fila qualsevol

amb " j" una columna qualsevol

1

1 .

NOTA: aquest és el mètode de càlcul de determinants habitual per a matrius d’ordre superior a 3.

Exemple

det( )A

a a a aa a a aa a a aa a a a

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

.

Desenvolupem det(A) per a la fila 1:

12

aa a aa a aa a a

aa a aa a aa a a

aa a aa a aa a a

aa a aa a aa a a

111 1

22 23 24

32 33 34

42 43 44

121 2

21 23 24

31 33 34

41 43 44

131 3

21 22 24

31 32 34

41 42 44

141 4

21 22 23

31 32 33

41 42 43

1 1

1 1

( ) ( )

( ) ( )

.

Normalment, s’aplica aquesta propietat fins a obtenir matrius d’ordre 3, on apliquem la regla de Sarrus.

1.4. Rang d’una matriu Sigui A Mnxm no nul·la, el rang(A) és un nombre natural associat a A que determina una característica seva, rang(A) N. Menor d’ordre p (p n, p m) d’una matriu A Mnxm és el determinant d’una matriu quadrada Mpxp que s’obté suprimint n – p files i m – p columnes a la matriu A. Diem rang(A) a l’ordre del menor més gran de A que sigui diferent de zero. NOTA: si una matriu A és no nul·la rang(A) 1, ja que existeix algun menor d’ordre 1 0.

Exemple

A

5 1 11 1 02 3 33 2 2

,

rang(A) 3, ja que els menors d’ordre màxim són d’ordre 3. Possibles menors d’ordre 3:

5 1 11 1 02 3 3

135 1 11 1 03 2 2

75 1 12 3 33 2 2

01 1 02 3 33 2 2

5

rang(A) = 3.

Si tots els menors fossin 0 rang(A) 2 i caldria analitzar els possibles menors d’ordre 2. Si una matriu A és no nul·la rang(A) 1, ja que existeix algun menor d’ordre 1 0.

13

1.5. Inversa d’una matriu Sigui A Mnxn quadrada i det(A) 0, aleshores existeix A-1 Mnxn (inversa de A) tal que:

A·A-1 = A-1·A = Id,

A -1 1 1

det( )( )

det( )( )

AAdj A

AAdj AT T

.

On Adj(A) Mnxn és la matriu que s’obté substituint cada element de A pel seu adjunt.

Exemple

A

1 0 12 1 11 2 1

com det(A) = 2 A-1.

Calculem la transposada:

AT

1 2 10 1 21 1 1

.

Calculem la matriu d’adjunts de AT:

125101123

1021

2011

2112

1121

1111

1112

1110

1120

1121

TAAdj .

I finalment tenim:

A -1

1101

32

12

12

12

52

12

det( )( )

AAdj AT .

Comprovem que, efectivament, es compleix: A·A-1 = Id.

14

RESUM En aquesta sessió hem repassat breument com es fan les operacions més bàsiques amb matrius, hem definit el concepte de determinant i les propietats que es poden aplicar per facilitar el seu càlcul, i hem presentat també els conceptes de rang i de matriu inversa.

15

SESSIÓ 2: Exercicis de determinants i de matrius

FITXA DE LA SESSIÓ Nom: Exercicis de determinants i de matrius Tipus: problemes Format: no presencial Durada: 5 hores Treball a lliurar: sí Material:


PRECEDENTS A la sessió 1 es van presentar alguns conceptes associats a les matrius que, en aquesta segona sessió, s’hauran de posar en pràctica.

OBJECTIUS Aplicar els conceptes estudiats a la sessió anterior.

CONTINGUTS En aquesta sessió es presenten exercicis resolts i se’n proposen d’altres per aplicar els conceptes presentats a la sessió 1.

1.6. Exercicis

1.6.1. Exercicis resolts

Problema R.1

Demostreu la següent igualtat, aplicant només les propietats dels determinants:

xx

xx x x

3 3 33 2 22 2 91 1 1 1

2 3 9 .

16

SOLUCIÓ:

Apliquem una de les propietats dels determinants:

si a una columna (o fila) li sumem una combinació lineal de les altres columnes (o files), el determinant no varia,

per transformar el determinant de l’enunciat en un determinant triangular inferior (zeros per sobre de la seva diagonal principal):

111192200210003

11119222230003

1111922223333

Fila) 2(4ª - Fila 2ªFila) 3(4ª - Fila 1ª

xx

x

xx

x

xx

x

1111097700210003

Fila) 9(4ª - Fila 3ª

x

xx

.

Resolem ara per adjunts:

1111097700210003

xx

x

= x x x 3 2 9 1.

D’altra banda, aplicant la propietat dels determinants que diu que el determinant de qualsevol matriu és 0 si aquesta té dos columnes o files iguals, podem deduir que:

si x 9 , les columnes 3 i 4 del determinant són iguals 0)9( p ; si x 2 , les columnes 2 i 3 del determinant són iguals 0)2( p ; si x 3, les columnes 1 i 2 del determinant són iguals 0)3( p .

Per tant )3)(2)(9()( xxxxp .

Problema R.2

Trobeu el rang de les següents matrius:

a) b) c) d)

17

1 1 02 1 13 0 2

2 1 3 41 0 1 26 2 4 4

1 0 3 51 0 3 5

3 1 5 92 2 1 1

2 3 5 1 31 1 1 2 12 1 3 1 45 1 2 8 1

.

SOLUCIÓ:

a) Aplicant la regla de Sarrus per trobar el determinant:

det(M) = 1 1 02 1 13 0 2

– 2 + 3 – 4 0 .

- Si det(M) 0 3Rang M( ) - Si det(M) 0 2Rang M( ) Com que el determinant de la matriu és 0, el seu rang és el mateix de l’ordre de la matriu, és a dir, 3. b) Com que la matriu no és quadrada, el seu rang serà l’ordre del menor més gran

que tingui un determinant diferent de zero. D’aquesta matriu podem obtenir els següents quatre menors d’ordre 3:

2 1 31 0 16 2 4

01 3 40 1 22 4 4

02 1 41 0 26 2 4

02 3 41 1 26 4 4

0

; ; ; ;

.

Tots els determinants dels menors són zero; això vol dir que 2Mrang . Calculem el determinant dels menors d’ordre 2: si un d’ells és diferent de zero el rang serà 2. Per exemple:

0 22 4

4 0

rang(M) = 2.

18

c) Trobarem el determinant de la matriu mitjançant el càlcul del determinant per adjunts. Definim un cofactor o adjunt de l’element Ai j de la matriu (M) com adjunt

de l’element jiji

ji Ma det1 . On Mi j és la matriu que resulta de suprimir la fila i i la columna j.

Així doncs resolem segons hem definit:

0122513301

15122

913501

130112

951530

11det 542

M .

det(M) = 0 rang(M) 4 , és a dir, rang(M) 3 . Calculem els menors d’ordre 3, si algun té determinant 0 , aleshores rang(M) = 3. Com que els determinants dels menors d’ordre 3 anteriors són diferents de zero podem dir que:

d) Atès que és una matriu no quadrada M4 5 el 4)( Mrang . Agafarem un dels

menors d’ordre 4 i el resoldrem per adjunts. Per exemple:

032215312111

11815112211

51825132211

31821131211

21

8215131221111532

det 5432

.

Com que el determinant d’aquest menor d’ordre quatre és diferent de zero, el rang de la matriu és 4.

NOTA: el rang d’una matriu també es pot calcular pel mètode de Gauss, de forma que el rang serà igual al nombre de files diferents de zero de la matriu resultant després d’acabar el procés d’eliminació per Gauss.

rang(M) = 3.

rang(M) = 4.

19

1.6.2. Exercicis proposats

Problema P.1

Es defineixen les següents matrius:

A = (C1 C2 C3 C4). B = (C1 C2 + 3C1 – C3 C3 C4).

D = (C1 5C2 + 3C1 – C3 C3 C4). E = (C1 3C1 – C3 C3 C4).

F = (C4 C3 C2 C1). Calculeu el determinant de les matrius A, B, D, E i F en funció del determinant de la matriu A.

Problema P.2

Demostreu per adjunts el fet que el det(A), quan A és una matriu quadrada triangular, es calcula fent el producte dels elements de la diagonal.

Problema P.3

Raoneu (sense aplicar Sarrus), que les arrels del següent polinomi són 5, 7 i –12:

p (x) x 7 77 x 55 5 x .

Problema P.4

Resoleu l’equació següent mitjançant transformacions del determinant (aplicant les propietats):

x 2x 1 2x 12x 1 3x 1 4x3x 1 4x 6x 1

0

.

Problema P.5

Demostreu, aplicant les propietats dels determinants, la següent igualtat:

1 x x2

1 y y2

1 z z2 x yy zz x

.

20

Problema P.6

Comproveu mitjançant les propietats dels determinants:

1 a b c1 b c a1 c a b

0 a, b, c

.

Problema P.7

Demostreu la següent igualtat:

1 a 1 1 11 1 b 1 11 1 1 c 11 1 1 1 d

abcd bcd acd abd abc

.

Problema P.8

Trobeu, en cas que sigui possible, les matrius inverses de: a) b) c) d)

1 0 01 1 01 1 1

1 2 31 0 10 1 2

1 2 1 11 1 2 11 0 3 11 2 1 4

1 1 0 00 1 1 00 0 1 11 0 0 1

. Feu-ho per 2 mètodes diferents.

SOLUCIÓ:

a)

112011001

.

b) det = 0. c)

381

14416647101852017213149

.

21

d) det = 0.

Problema P.9

Demostreu la següent igualtat, aplicant el nombre màxim de propietats dels determinants:

b a c bb c a a

c c a babc

4 .

Problema P.10 Aquest problema s’ha de lliurar

Calculeu en funció de N, a i b, el determinant d’una matriu de N x N amb la següent estructura:

ANxN a i j

a i jb i j

.

RESUM En aquesta sessió s’han proposat diferents problemes per aplicar els conceptes estudiats a la sessió 1. El problema 10 ha de presentar-se resolt.

23

SESSIÓ 3: Estudi de sistemes d’equacions lineals

FITXA DE LA SESSIÓ Nom: Estudi de sistemes d’equacions lineals Tipus: teòrica i problemes Format: no presencial Durada: 5 hores Treball a lliurar: no Material:


OBJECTIUS Donat un sistema d’equacions lineals, saber identificar de quin tipus es tracta, i saber realitzar l’estudi corresponent si el sistema depèn d’un o de més paràmetres.

CONTINGUTS En aquesta sessió veurem diferents maneres de representar un sistema d’equacions lineals, i es presentarà el teorema de Rouché-Frobenius per identificar de quin tipus es tracta. Al final de la sessió es presenten alguns exercicis resolts d’exemple i se’n proposen d’altres per aplicar el concepte tractat.

2. Estudi i resolució de sistemes d’equacions lineals

2.1. Representació d’un sistema d’equacions lineals

Sistema d’equacions lineals (S.E.L.): conjunt de m equacions lineals, amb n incògnites x1, x2, ..., xn:

a x a x a x ba x a x a x b

a x a x a x b

n n

n n

m m mn n m

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

,

on els coeficients aij i els termes independents bi (i = 1, ..., m, j = 1, ..., n) són constants ( R o C).

24

Cas particular: si b1 = b2 = ... = bm = 0 en diem sistema homogeni. Els sistemes d’equacions lineals també poden representar-se de forma vectorial o de forma matricial: vectorial:

a

aa

a

i

i

i

mi

1

2 i = 1, ..., n;

b

bb

bm

1

2

a x a x a x bn n1 1 2 2 . matricial:

aa

a

aa

a

aa

a

xx

x

bb

bm m

n

n

mn n m

11

21

1

12

22

2

1

2

1

2

1

2

A x bmxn nx1 mx1

on A M

x Rb R

mxnn

m

o C o C

n

m.

Direm matriu associada al sistema a la matriu de coeficients:

A

aa

a

aa

a

aa

am m

n

n

mn

11

21

1

12

22

2

1

2

.

Direm matriu ampliada del sistema a la matriu de coeficients i termes independents:

A A b

aa

a

aa

a

aa

a

bb

bm m

n

n

mn m

'

11

21

1

12

22

2

1

2

1

2

,

de forma que es compleix que )'()( ArangArang .

25

Resoldre els sistemes d’equacions lineals vol dir trobar les possibles solucions de x que verifiquin les m equacions.

2.2. Estudi d’un sistema d’equacions lineals

2.2.1. Tipus de sistemes d’equacions lineals Segons les solucions d’un sistema d’equacions lineals farem la següent classificació:

Sistema compatible: alguna solució x x x xn 1 2, , , que verifica totes les

equacions.

o Sistema compatible determinat: una única solució x x xn1 2, , , . o Sistema compatible indeterminat: més d’una solució ( infinites solucions).

Sistema incompatible: no solució, x x x xn1 2, , , que verifiqui totes les equacions alhora.

2.2.2. Teorema de Rouché-Frobenius

Sigui A x b

un sistema de m equacions lineals amb n incògnites:

A és la matriu associada. A’ = (A | b) és la matriu ampliada.

El teorema de Rouché-Frobenius indica que el sistema és: Sistema compatible rang(A) = rang(A’).

o Sistema compatible determinat rang(A) = rang(A’) = n ( solució única). o Sistema compatible indeterminat rang(A) = rang(A’) < n ( solucions amb

n-rang(A) graus de llibertat). Sistema incompatible rang(A) < rang(A’) (no solució). Observació: si el sistema és homogeni, aleshores rang(A) = rang(A’) el sistema sempre és compatible. És important recordar que )'()( ArangArang .

26

2.3. Exercicis d’estudi de sistemes d’equacions lineals


Problema R.1

Discutiu segons els valors del paràmetre t, la compatibilitat o la incompatibilitat del següent sistema d’equacions lineals:

t1y2ttx62tyx1t

)()(

.

SOLUCIÓ:

At t

t t

( )( )

16 2

521

0235t(-t)(6t)-2)+1)(-t-(t=det(A) 2tt

t

si t = –1 o t = 2/5 det(A) = 0 rang(A) = 1. si t –1 i t 2/5 det(A) 0 rang(A) = 2.

At t

t t t' ( )

( )

16 2

21

4 - t t )1()2(

2 2

tt

t

t = –1 o t = 2/5 042 tt rang(A’) = 2.

Pel teorema de Rouché-Frobenius:

si t = –1 o t = 2/5 rang(A) = 1 < 2 = rang(A’): sistema incompatible. si t –1 i t 2/5 rang(A) = 2 = rang(A’): sistema compatible determinat.

Problema R.2

Estudieu de quin tipus de sistema es tracta, en funció dels valors que pren el paràmetre a:

ax y zx y az

y z

03

2 2 2.

27

SOLUCIÓ:

Incompat. S. )rang(A'rang(A) 022031-1-01-0

:0a Si

Incompat. S. )rang(A'rang(A) 022031-1-01-1

:1a Si

SCD 0a i 1a )1(2)det(

SiaaA

Problema R.3

Discutiu el següent sistema d’equacions segons els valors de ba, :

22

1

zybxay

zayx.

SOLUCIÓ:

Calculem el determinant de la matriu associada:

1per anulas'11201011

bbb

a,

i sí que observem un menor de la matriu ampliada pel cas presentat,

1 o 3per anulas'032221

1011

2

aaaaaa

,

per tant, Per a tot a i per a b 1 sistema compatible determinat. Per a a = 3 o a = –1 i b = 1 sistema compatible indeterminat. Per a a ≠ 3 o a ≠ –1 i b = 1 sistema incompatible.

28

Problema R.4

Estudieu el sistema següent en funció dels paràmetres a, b i c :

cazycybx

zy

2

033.

SOLUCIÓ:

La matriu ampliada del sistema és:

cacbA

2001

0330' .

Calculem el rang de la matriu A del sistema:

2 o 0 0233620

01330

ababbab

ab .

Si 0b i 2a , el sistema serà compatible determinat, ja que el rang(A) = 3 = rang(A’) = = nre. d’incògnites. A més, verifiquem que les columnes segona i tercera de la matriu A són linealment independents. Per a b = 0, atès que la primera columna és linealment dependent, de les dues següents només cal verificar el següent menor d’ordre 3 de la matriu ampliada:

3 o 0 033392

01033

acacacc

cac .

Per tant,

si b = 0 i (c = 0 o a = 3), rang(A) = rang(A’) = 2. Sistema compatible indeterminat amb un grau de llibertat. Si b = 0 i ( 3 i 0 ac ), rang(A’) = 3 < 2 = rang(A). Sistema incompatible.

29

Per a a = 2:

0 0322

01033

cc

cc .

Per tant,

si a = 2 i c = 0, rang(A) = rang(A’) = 2. Sistema compatible indeterminat amb un grau de llibertat b . Si a = 2 i 0c , b . Sistema incompatible.


Problema P.1

De quin tipus de sistema es tracta?

2 3 136

2 2

x y zx y z

x y z

.

Problema P.2


x y zx y z

x y z

2 3 12 2

2 3.

Problema P.3


x y zx y z

x y z

2 3 01

2 3 2 2.

30

Problema P.4

Estudieu de quin tipus de sistema es tracta, en funció dels valors que pren el paràmetre a:

x y zax y z

x y zx y a

21

3 34 2

.

Problema P.5

Estudieu de quin tipus de sistema es tracta, en funció dels valors que pren el paràmetre α:

x y zx y z

x y z

2 11

3.

RESUM En aquesta sessió hem vist com identificar si un sistema d’equacions lineals té o no solució, i hem aprés a fer l’estudi del sistema segons si aquest depèn d’un o de més paràmetres. Al final de la sessió s’han mostrat alguns exercicis resolts com a exemple i se n’han proposat d’altres per posar en pràctica el concepte estudiat.

31

SESSIÓ 4: Mètodes de resolució de sistemes d’equacions lineals

FITXA DE LA SESSIÓ Nom: Mètodes de resolució de sistemes d’equacions lineals Tipus: teòrica Format: no presencial Durada: 5 hores Treball a lliurar: no Material:


OBJECTIUS En aquesta sessió estudiarem diferents mètodes per trobar la solució en sistemes d’equacions lineals compatibles.

CONTINGUTS En aquesta sessió s’estudiaran els mètodes de Cramer, de la matriu inversa, de Gauss i de Gauss-Jordan. També es presentarà al final del capítol un mètode per resoldre diferents sistemes d’equacions lineals similars (mateixa matriu del sistema), i es veurà l’aplicació d’aquest mètode en el càlcul de la matriu inversa.

2.4. Mètodes de resolució de sistemes d’equacions lineals

Sigui una matriu A que compleix que rang(A) = r = nombre d’equacions linealment independents (L.I.). Si rang(A) = r < m (nombre total d’equacions) aleshores equacions que són combinació lineal de la resta. Només hem d’agafar r equacions linealment independents. Per exemple:

2 24 2 4

x yx y

es converteix en 2 2x y perquè la segona equació és combinació

lineal de la primera.

32

2.4.1. Regla de Cramer En funció de la discussió del sistema, la forma de procedir serà una o una altra.

Sistema compatible determinat

Sistema compatible determinat rang(A) = rang(A’) = m (nombre d’equacions linealment independents) = n (nombre d’incògnites).

aa

a

aa

a

aa

a

xx

x

bb

bm m

n

n

mn n m

11

21

1

12

22

2

1

2

1

2

1

2

a a x b1 2 a n .

O també de forma vectorial:

a x a x a x bn n1 1 2 2

Observem que det(A) 0 sempre, ja que rang(A) = n. Demostració de l’expressió anterior:

j1121 a columna la de lloc elen b col·loquem ,,,,,,,det

njj aabaaa

nj

n

kkkj aaaxaaa

,,,,,,,det 1

1121 {per les propietats 4 i 5 dels determinants}

njk

n

kk aaaaax

,,,,,,det 121

1

x a a a a a aj j j j ndet , , , , , , ,

1 2 1 1

x Aj det( )

x

a a a b a a

Ajj j ndet , , , , , , ,

det;

1 2 1 1

j = 1...n .

1...n=j ;

det,,,,,,,det 1121

Aaabaaa

x njjj

.

33

Sistema compatible indeterminat

Sistema compatible indeterminat rang(A) = rang(A’) = m (nombre d’equacions linealment independents) < n (nombre d’incògnites). Graus de llibertat: n – rang(A) = n – m. Incògnites principals: x1, x2, ..., xm. Incògnites no principals: xm+1, xm+2, ..., xn. Reescrivim el sistema:

a x a x a x b a x a xa x a x a x b a x a x

a x a x a x b a x a x

m m m m n n

m m m m n n

m m mm m m mm m mn n

11 1 12 2 1 1 1 1 1 1

21 1 22 2 2 2 2 1 1 2

1 1 2 2 1 1

aa

a

aa

a

aa

a

xx

x

b a x a xb a x a x

b a x a xm m

m

m

mm m

m m n n

m m n n

m mm m mn n

11

21

1

12

22

2

1

2

1

2

1 1 1 1 1

2 2 1 1 2

1 1

A' ' x' ' b' 'mxm mx1

. De forma vectorial:

a x a x a x bm m1 1 2 2 ' '

b' '= b - akk=m+1

n

xk

1...m=j ;

)''det(,,,'',,,,det 1121

Aaabaaa

x mjjj

1...m=j ;)''det(

,,,,,,,det 11

121

A

aaxabaaax

mj

n

mkkkj

j

.

Observem que det(A’’) 0 sempre, ja que rang(A’’) = m. Obtenim x1, x2, ..., xm en funció de xm+1, xm+2, ..., xn. infinites solucions, per cada valor que donem a xm+1, xm+2, ..., xn tindrem una solució.

34

2.4.2. Mètode de la matriu inversa En funció de la discussió del sistema, la forma de procedir serà una o una altra.

Sistema compatible determinat

Sistema compatible determinat rang(A) = rang(A’) = m = n (nombre d’incògnites): com que det(A) 0 A-1 (A-1·A = A·A-1 = Id).

A x b

busquem

x

xx

x n

1

2 .

Multipliquem l’equació matricial per A-1:

A A x A b-1 -1

.

El producte de matrius NO és commutatiu (A-1 a la mateixa banda).

Id x A b-1

x A b-1 .

Sistema compatible indeterminat

Sistema compatible indeterminat rang(A) = rang(A’) = m < n (nombre d’incògnites). Graus de llibertat: n – rang(A) = n – m. Incògnites principals: x1, x2, ..., xm. Incògnites no principals: xm+1, xm+2, ..., xn. Reescrivim el sistema (de manera idèntica a com es va fer per Cramer):

A' ' x' ' b' '

on b' '= b - ak

k=m+1

n

xk .

Com que det(A’’) 0 (A’’) -1. Multipliquem l’equació matricial per A-1:

(A' ' ) (A' ' ) x' ' (A' ' ) b' '-1 -1

. El producte de matrius no és commutatiu. Id

x' ' (A' ' ) b' '-1

x' ' (A' ' ) b' '-1 .

35

2.4.3. Mètodes de Gauss-Jordan i de Gauss

Sigui A x b

un sistema de m equacions lineals amb n incògnites.

rang(A) = r A Mmxn. Fent transformacions elementals sobre la matriu ampliada del sistema A’ = (A | b) s’obté una matriu amb la següent estructura:

A’ = (A | b) ~

m

r

r

rrnrrrr

nrr

nrr

d

ddd

dd

ccc

cccccc

2

1

2

1

)2()1(

2)2(2)1(2

1)2(1)1(1

000000

000000000000

100

010001

.

Definim un sistema equivalent com un sistema d’equacions lineals amb les mateixes solucions que A x b

.

Transformacions elementals: 1) Canviar l’ordre de les files (1 fila 1 equació). 2) Multiplicar una fila per una constant diferent de zero. 3) Fer combinacions lineals de files:

F F Fi i j , constants o bé, F Fi k kk

n

k

1

constants.

4) Canviar l’ordre de les columnes també canvia l’ordre de les incògnites corresponents.

Sistema equivalent transformat (té les mateixes solucions que el sistema original):

m

2r

1r

rnrn1r1rrr

2nn21r1r22

1nn11r1r11

d0

d0d0

dxcxcx

dxcxcxdxcxcx

)(

)(

)(

.

36

Discussió: Sistema incompatible di 0, i = r + 1, ..., m. Sistema compatible di = 0, i = r + 1, ..., m.

o Sistema compatible determinat: si rang(A) = r = n (nombre d’incògnites):

A’ = (A | b) ~

1 0 00 1 0

0 0 1

1

2

dd

d n

x dx d

x dn n

1 1

2 2

.

o Sistema compatible indeterminat: si rang(A) = r < n (nombre d’incògnites): Graus de llibertat: n – rang(A) = n – r. Incògnites principals: x1, x2, ..., xr. Incògnites no principals: xr+1, xr+2, ..., xn.

n

rkkrkr

n

rkkk

n

rkkk

xcd

xcd

xcd

1

122

111

100

010001

n

rkkrkrr

n

rkkk

n

rkkk

xcdx

xcdx

xcdx

1

1222

1111

.

El mètode de Gauss consisteix a posar zeros només per sota o sobre de la diagonal d’uns, i després resoldre cadascuna de les equacions, començant per la que només té una incògnita. D’aquesta manera, quan ja s’ha resolt la primera, passem a la següent, que dependrà de dues incògnites, però on ja coneixerem el valor d’una d’elles (calculada amb la primera equació). Així, ja podrem calcular el valor de la segona de les incògnites. Aquest procés es repeteix fins a trobar el valor de totes les incògnites, resolent, per a cadascuna d’elles, una equació amb una incògnita.

2.4.4. Resolució conjunta de sistemes d’equacions lineals similars

Definim sistemes similars com sistemes d’equacions lineals amb la mateixa matriu associada.

A x b

A x b

A x bk k

1 1

2 2

K sistemes compatibles determinats amb A Mnxn tal que det(A)

0. Podem resoldre’ls tots alhora amb Gauss-Jordan: (A | b1, b2, ..., bk) ~ (Id | d1, d2, ..., dk), o bé, resoldre’ls per separat.

37

Aplicació: càlcul de la matriu inversa per Gauss-Jordan

Sigui A Mnxn tal que det(A) 0 A-1 tal que A-1·A = A·A-1 = Id.

Busquem una matriu X x x xn

1 2 tal que A·X = Id (aleshores A-1 = X).

Id e e en

1 0 00 1 0

0 0 1

1 2

.

Resoldre A·X = Id equival a resoldre: A x x x e e en n

1 2 1 2 .

A x eA x e

A x ek k

1 1

2 2

n sistemes d’equacions lineals similars.

A e e Id d d dn n e A -1

1 2 1 2

x d

x d

x dn n

1 1

2 2

és la solució.

La matriu que busquem: X x x x d d dn n

1 2 1 2 .

En resum: (A | Id) ~ ... ~ (Id | A-1).

Exemple

Calculeu la matriu inversa de A:

A = 1 0 12 1 11 2 1

.

38

SOLUCIÓ:

f2 = f2 – 2f1 i f3 = f3 + f1 f3 = f3 – 2f2

1 0 12 1 11 2 1

1 0 00 1 00 0 1

1 0 10 1 10 2 0

1 0 02 1 0

1 0 1

1 0 10 1 10 0 2

1 0 02 1 0

5 2 1

2 0 00 2 00 0 2

3 2 11 0 15 2 1

1 0 00 1 00 0 1

3 2 1 1 21 2 0 1 25 2 1 1

2

f1 = 2f1 – f3 i f2 = 2f2 + f3.

RESUM En aquesta sessió hem estudiat quatre mètodes de resolució de sistemes d’equacions lineals i hem aprés un mètode per resoldre diversos sistemes al mateix temps si tenen la mateixa matriu del sistema. També hem vist com aquest últim mètode es pot aplicar en el càlcul de la matriu inversa.

39

SESSIÓ 5: Exercicis d’estudi i resolució de sistemes d’equacions lineals

FITXA DE LA SESSIÓ Nom: Exercicis d’estudi i resolució de sistemes d’equacions lineals Tipus: problemes Format: no presencial Durada: 5 hores Treball a lliurar: sí Material:


PRECEDENTS A les dues sessions precedents es va tractar l’estudi de sistemes i alguns mètodes per resoldre els sistemes compatibles. En aquesta sessió es posaran tots aquests coneixements en pràctica.

OBJECTIUS Aplicar els conceptes estudiats a les dues sessions anteriors.

CONTINGUTS En aquesta sessió es presenten exercicis resolts i se’n proposen d’altres per aplicar els conceptes presentats a les dues sessions precedents.

2.5. Exercicis


Problema R.1

Discutiu, segons els valors del paràmetre t, la compatibilitat o la incompatibilitat dels següents sistemes d’equacions lineals:

5 11 93 5 2

2 4 2 1

x y z tx y zx y z

.

Resoleu el sistema per a t = 4 aplicant els tres mètodes següents: regla de Cramer, mètode de la matriu inversa i mètode de Gauss.

40

SOLUCIÓ:

Teorema de Rouché-Frobenius:

S. CompatibleDeterminat si

Indeterminat si S. Incompatible

Rang A Rang ARang A nRang A n

Rang A Rang A

'( )( )

'

on A és la matriu associada:

2425319115

A ,

i A’ és la matriu ampliada formada pels coeficients de l’equació i pel vector de termes independents:

12422531

9115 tA .

Calculem el rang de A:

det(A) = 0 rang A < 3

04111531115

det rang(A) = 2.

Calculem el rang de A’, calculem els quatre menors d’ordre 3 de la matriu ampliada:

02425319115

t 4 - 14t 56 - 27 44 20t 72 -6t - 55 - 124253

911

t

t- 4 8t 32 9 2010t 36 2t 25 122251

95

t

41

t 4- 2t 8- 11 40 6t 444t 15 - 142231

115

t

.

Per a t = 4 tots els menors d’ordre 3 valen 0: rang(A) = rang(A’) = 2 < n = 3 sistema compatible indeterminat. Per a t 4: rang(A) = 2 < 3 = rang(A’) sistema incompatible.

Resolem el sistema per a t = 4, és a dir, pel sistema compatible indeterminat:

124225349115

zyxzyxzyx

.

Graus de llibertat = nombre d’incògnites – rang(A) = 3 – 2 = 1 = n – r. rang(A) = rang(A’) = 2 només hi ha dues equacions linealment independents, escollim per exemple les dues primeres i reescrivim el sistema d’equacions:

5 11 4 9

3 2 5x y zx y z

.

Regla de Cramer

xa a b aa a a a

in

i n

detdet

1 2

1 2

2

5144

552227121115

1152394

31115

3521194

zzzzzz

z

x

y

zz z z z z z

5 4 91 2 55 111 3

5 2 5 4 915 11

10 25 4 94

6 164

.

Mètode de la matriu inversa

Només és aplicable si existeix la matriu inversa de A (A té inversa si és quadrada i el seu determinant és diferent de 0). Llavors:

42

Ax b

sabent que A A A A I 1 1 A A x A b

I x A b

x A b

1 1

1

1

.

Podem trobar la matriu inversa, ja que es verifiquen les condicions en eliminar la 3a. fila. Calculem la matriu inversa per Gauss-Jordan:

4

54

1104

114

301'

103101115

BB

238

2514

238

2514

5294

45

41

411

43

1

zy

zx

z

z

zz

bAx

.

Gauss

00005

65

165

4049115

38205

65

165

4049115

3820253149115

1242253149115

5 11 9 40 4

516

56

5

.

De la segona fila:

45

165

65

y z 45

65

165

y z yz

6 165

54

yz

8 32 .

De la primera fila:

xz

14 5

2 .

Problema R.2

Discutiu, segons els valors del paràmetre t, la compatibilitat o la incompatibilitat del següent sistema d’equacions lineals:

43

x ty z tx y tz ttx y z t

22 1

.

Resoleu el sistema per a t = 3 aplicant els tres mètodes següents: regla de Cramer, mètode de la matriu inversa i mètode de Gauss.

SOLUCIÓ:

tttt

tt

11)1(211

211.

Perquè el sistema sigui compatible determinat ens interessa que el 0det A . Així doncs, forçarem el determinant a zero per saber per a quins valors el sistema no serà compatible determinat.

12

0)2()1(232311

1111

233

tt

ttttttt

tt

.

Per a 2 ti1t sistema compatible determinat. Per a t = –2 el sistema és compatible indeterminat ja que:

Rang A Rang A n d incognites( ) ( ' ) º '

A’=1 2 1 01 1 2 22 1 1 2

01121

0112211

121det

A .

El determinant de tots els menors d’ordre 3 de (A’) també és zero, rang(A’) = 2. Per a t = 1 el sistema és incompatible ja que:

Rang A Rang A( ) ( ' )

A’= 2)'(;1)(11114111

3111

ARangARang .

Resolem el sistema per a t = 3 (sistema compatible determinat):

44

A’=

31138311

5131.

Regla de Cramer

420

313811

531

;25

20133381151

;23

2030

113311131113318135

zyx .

Mètode de la matriu inversa

A X b X A b

1

42/523

38

5

1.04.01.01.01.04.0

4.01.01.0.

x = 3/2, i = 5/2, z = –4. Gauss

401000132205131

12280132205131

31138311

513132433133

122FFFFFF

FFF

2353

;251322

;41040

xzyx

yzy

z

.

Problema R.3

Donat el següent sistema d’equacions lineals:

22132

zyxazx

bzyx

.

a) Estudieu el sistema en funció dels paràmetres reals a i b. Feu un quadre resum

del tipus de sistema en funció dels valors dels paràmetres a i b.

45

b) Resoleu el sistema en el cas a = 1 i b = 3, usant el mètode de Cramer o el de la matriu inversa.

SOLUCIÓ:

a) Estudi del rang de la matriu del sistema:

1211

01321

aa .

Si a = 1, 2Arang , ja que el menor d’ordre 2 següent és diferent de zero:

20121

.

Per a aquest cas, estudiem el rang de la matriu ampliada:

22111101

321 bA .

Calculem els 3 menors restants:

3211101

213

221111

313

221110

32 b

bb

bb

b.

Per tant, si a = 1 i b = 3, el rang de la matriu del sistema i el de la matriu ampliada són igual a 2, aleshores és un sistema compatible indeterminat (atès que hi ha tres incògnites). D’altra banda, si a = 1 i b 3 els rangs no coincideixen i, per tant, és un sistema incompatible. Quadre resum:

a b Tipus de sistema – {1} Compatible determinat

1 3 Compatible indeterminat 1 – {3} Incompatible

b) Resolem el sistema pel cas a = 1 i b = 3, és a dir, per a un sistema compatible

indeterminat. Com hem comprovat a l’apartat anterior, per a aquest cas el sistema té rang 2, i per tant hem d’eliminar una de les 3 equacions per poder aplicar el mètode de Cramer o el de la matriu inversa. Qualsevol de les 2 equacions són linealment independents, eliminem per exemple la tercera. Apliquem el mètode de

46

la matriu inversa. Prèviament reescrivim el sistema en funció d’un paràmetre: escollim la variable z com a paràmetre:

zz

yx

zxzyx

133

0121

1332

.

Solucionem el sistema pel mètode de la matriu inversa del sistema ja reduït:

zz

zz

zz

yx

11

133

2/12/110

133

0121 1

.

Per tant, la solució final és: zyx 1 .

Problema R.4

Sigui el següent sistema d’equacions lineals:

1

1

zaxabzy

yax

.

a) Estudieu el sistema segons els paràmetres reals a i b. b) Per a a = –2 i b = 1, resoleu el sistema aplicant el mètode de la matriu inversa.

SOLUCIÓ:

a) Per realitzar l’estudi, hem de tenir present el teorema de Rouché-Frobenius, el qual ens permet fer l’estudi del sistema coneixent els rangs de la matriu del sistema i de la matriu ampliada del sistema. Per aquesta raó analitzarem els rangs de les matrius abans esmentades:

Quin és el rang(A)?

0)1(10

1001

baa

ba

A rang(A) 3 si a = 0 i/o b = 1.

Cas 1: Si a ≠ 0 i b ≠ 1 llavors, rang(A) = rang(A’) = nombre d’incògnites = 3 sistema

compatible determinat. Cas 2: Si a = 0 Quin és el rang(A)?

110

1 brang(A) = 2.

47

Quin és el rang(A’)?

..)'()(3)'(1....º)'()(2)'(1

111001101

ISARARARbICSincognARARARb

bb

Cas 3: Si b = 1 Quin és el rang(A)?

110

11rang(A) = 2.

Quin és el rang(A’)?

..)'()(3)'(2....º)'()(2)'(2

2110

11101

ISARARARaICSincognARARARa

aa

b) Resolem per a a = –2 i b = 1 (sistema compatible indeterminat). Segons el mètode

de la matriu inversa:

bAxbAxAAbxA 111 ;; .

Si substituïm els valors observem que podem eliminar una de les equacions:

z

z

zyx

Adj

zyx

zyx

zyyx

zxzy

yx

22

)1(

21

1011

21

1011

21

1102

21

1012

21

1012

21

1012

212

122

12

1

1

Solució:

z

z

yx

22

)1(.

48

Problema R.5

Donat el sistema:

11

1

azbybzayx

yx

.

On a i b són nombres reals qualssevol: a) Estudieu el sistema en funció dels paràmetres a i b. Feu un quadre resum. b) Trobeu la solució del sistema quan 1a i 0b .

SOLUCIÓ:

a) Comencem amb el determinant de la matriu associada:

1per anul·las'1 22 babaA . I per tant, es tenen en compte dos casos. Un primer força evident on a no val b2 + 1, llavors el sistema serà compatible determinat. Un segon que es desdobla, si a pren aquest valor:

0per anul·las' * 10

1111011

*12

22

bA

bbbbAba .

Llavors el quadre resum quedarà:

a b Resultat discussió

≠ b2 + 1 Sistema compatible determinat = b2 + 1 = 0 Sistema compatible indeterminat = b2 + 1 ≠ 0 Sistema incompatible

b) Substituint els valors queda un sistema molt simple:

llibertat degrau un amb ...01

011

ICSz

yx

zyxyx

.

49

Problema R.6

Donat el següent sistema d'equacions lineals:

bzyx

a12

41111

211,

on a i b són dos paràmetres reals. a) Realitzeu l'estudi del sistema en funció dels valors de a i b. Deixeu els resultats

clarament indicats en una taula resum. b) Resoleu el sistema d'equacions lineals pels valors de a = 3 i b = 6 fent servir el

mètode de Gauss-Jordan. c) Resoleu el sistema d'equacions lineals pels valors de a = –3 i b = 0 fent servir el

mètode de Cramer.

SOLUCIÓ:

a) Estudiem el rang de la matriu del sistema:

aa

3941111

211

.

Si a = –3, el rang de la matriu del sistema serà 2. En cas contrari, serà 3. D’altra banda, veiem que per a a = –3 el rang de la matriu del sistema es pot obtenir a partir de les primeres dues columnes, és a dir, que en aquest cas podem afirmar que la tercera columna és linealment dependent de les dues primeres. Estudiem ara el rang de la matriu ampliada:

Per a a –3, el rang de la matriu ampliada serà 3, ja que no pot ser menor que el

de la matriu del sistema, ni major a 3 (nombre d’equacions). Per a a = –3, verifiquem el rang de la matriu formada per les dues primeres

columnes de la matriu del sistema i el vector de termes independents de la matriu ampliada:

bb

231

111211

.

Si b = 0, el rang de la matriu ampliada serà 2, ja que la tercera i la quarta columna són linealment dependents de les dues primeres columnes d’aquesta matriu. En cas contrari, serà 3.

Resum de l’estudi:

50

a –3 i b = qualsevol valor Sistema compatible determinat. a = –3 i b = 0 Sistema compatible indeterminat. a = –3 i b 0 Sistema incompatible.

b) Apliquem Gauss-Jordan a partir de les transformacions elementals sobre la matriu

ampliada del sistema:

6 4311 1112 211

133122

FFFFFF

8 6201- 3202 211

233 FFF

9 9001- 3202 211

3)6/1(2)2/1(2 FFF

1 1001 0102 211

211 FFF

1 1001 0103 201

3211 FFF

1 1001 0101 001

.

Solució: x = i = z = 1.

c) El sistema és compatible indeterminat amb n – rang(A) = 3 – 2 = 1 grau de llibertat. Podem escollir com a incògnites principals x i i ja que la regió de les dues primeres columnes de A té rang 2, per tant:

1z 11

22z- 11 2

1111

.

321

21 1122

zz

z

x 1321

21 z 1221

z

z

y .

51


Problema P.1

a) Discutiu segons els valors del paràmetre t, la compatibilitat o la incompatibilitat dels següents sistemes d’equacions lineals:

i. ii.

5x 11y 9z tx 3y 5z 22x 4y 2z 1 .

x ty z t 2x y tz 2t 1tx y z t .

b) Resoleu cadascun dels sistemes aplicant els mètodes següents: regla de Cramer i

mètode de la matriu inversa.

SOLUCIÓ:

a) t = 4 sistema compatible indeterminat: xz

yz

z

14 5

2

8 3

2, , .

t 4 sistema incompatible. b) t = 1 sistema incompatible. t = –2 sistema compatible indeterminat. t 1, t –2 sistema compatible determinat.

Problema P.2

Resoleu el següent sistema pel mètode que cregueu més convenient:

3x y z t 02x 3y z t 0x 2y 4z 2t 0

2x y 2z t 0 .

SOLUCIÓ:

(-3z , 15

4z , z ,

17

4z) , z .

52


Donat el següent sistema d’equacions lineals:

22132

zyxazx

bzyx

.

a) Estudieu el sistema en funció dels paràmetres reals a i b. Feu un quadre resum

del tipus de sistema en funció dels valors dels paràmetres a i b. b) Resoleu el sistema en el cas a = 1 i b = 3, usant el mètode de Cramer o el de la

matriu inversa.

RESUM En aquesta sessió s’han presentat i proposat diferents problemes per fer l’estudi i la resolució de sistemes d’equacions lineals.

53

SESSIÓ 6: Definició d’espai vectorial

FITXA DE LA SESSIÓ Nom: Definició d’espai vectorial Tipus: teòrica Format: no presencial Durada: 5 hores Treball a lliurar: no Material:


OBJECTIUS Definir què és un espai vectorial i conèixer prèviament les estructures algebraiques bàsiques necessàries per entendre correctament la definició.

CONTINGUTS En aquesta sessió es presenten, en primer lloc, les estructures de grup, d’anell i de cos, necessàries per poder entendre la definició d’espai vectorial que es fa posteriorment.

3. Espais vectorials

3.1. Estructures algebraiques bàsiques i definició d’espai vectorial

3.1.1. Estructures algebraiques bàsiques En aquest apartat estudiarem les estructures de grup, d’anell i de cos.

GRUP

Un grup és un parell (G, ) on G és un conjunt i

: G G

G

x y x y( , ) és una operació interna verificant les següents propietats:

Associativa: ( ) ( )x y z x y z x, y, z G . Existència d’element neutre: e x x GG e e x x , en

general, e 0 .

54

Existència d’element oposat (simètric): x G G x x x e, ' ' x' x , en general, x x' .

Si a més compleix: Commutativa: x y y x x, y G , diem que (G, ) és un grup commutatiu o abelià.

Exemples

(N, +) no és un grup. (Z, +) és un grup commutatiu. (Q, +) és un grup commutatiu. (R, +) és un grup commutatiu. (C, +) és un grup commutatiu. (Rn, +) és un grup commutatiu:

R x x x Rnn 1 2, , , , x i = 1, , ni .

(Cn, +) és un grup commutatiu. (Mnxm, +) és un grup commutatiu; (E, +) és un grup commutatiu. E = conjunt de funcions reals de variable real:

f x E( ) , f:R R x f(x)

(Pn, +) és un grup commutatiu. Pn = conjunt de polinomis de grau n:

P a a x a x a x Rn nn 0 1 2

2 a i = 1, ,ni , .

ANELL

Un anell és una terna (A, , ) on A és un conjunt i

: A A

Ax y x y( , ) i

: A A

Ax y x y( , ) són dues operacions internes

verificant: (A, ) grup commutatiu. Associativa respecte de : ( ) ( )x y z x y z x, y, z A . Existència d’element neutre: e x x AA e e x x en

general, e 1 . Distributiva:

55

x y z x y x z ( ) ( ) ( ) x, y, z A ( ) ( ) ( )x y z x z y z x, y, z A .

Si a més compleix: Commutativa respecte de : x y y x x, y A , diem que (A, , ) és un anell commutatiu o abelià.

Exemples

(Z, +, ·) és un anell commutatiu. (Q, +, ·) és un anell commutatiu. (R, +, ·) és un anell commutatiu. (C, +, ·) és un anell commutatiu. (Mnxn, +) no és un anell commutatiu.

COS

Un cos és una terna (K, , ) on K és un conjunt i

: K

K Kx y x y( , ) i

: K

K Kx y x y( , ) són dues operacions internes

verificant: (K, , ) anell. Existència d’element invers respecte de :

x K e K x x x e, ' ' x' x , en general, xx 1' .

Si l’anell (K, , ) és commutatiu, direm que (K, , ) és un cos commutatiu.

Exemples

(Z, +, ·) no és un cos perquè no existeix element invers respecte de ·. (Mnxn, +, ·) no és un cos perquè A Mnxn, si det(A) = 0, no existeix inversa. (Q, +, ·) és un cos commutatiu. (R, +, ·) és un cos commutatiu. (C, +, ·) és un cos commutatiu.

3.1.2. Definició d’espai vectorial Sigui (K, +, ·) un cos commutatiu, p. ex.: (R, +, ·) o (C, +, ·).

56

E és un espai vectorial sobre K si: (E, +) és un grup commutatiu amb una operació interna + (generalment suma):

: E

E Eu v u v( , )

que verifica:

Associativa:

( ) ( ) u v w u v w u v w , , E . Existència d’element neutre respecte de +:

E e E u e e u u u en general, e 0 .

Existència d’element oposat:

v E E v v v v e, ' ' v' en general,

v v' . Commutativa: u v v u u v , E .

I respecte d’una operació externa · (generalment producte):

: K (

E Eu u , )

que verifica:

Associativa respecte de ·:

( ) ( ) , u u K u E . Existència d’element neutre respecte de ·:

1 1 1K u u u u E .

Distributiva:

( ) ( ) ( ) , , u v u v K u v E ( ) ( ) ( ) ,

u u u K u E .

NOTES: 0 és l’element neutre de E respecte de +.

57

0 és l’element neutre de K respecte de +. Els elements del conjunt E s’anomenen vectors. Els elements del conjunt K s’anomenen escalars.

Propietats

1) Evv 00 .

2) 0 0 K .

3) 0 i/o 0= 0

vv . 4) ( ) 1 v v v E

v és l’oposat a v de E respecte de +.

3.1.3. Exemples d’espais vectorials

R2 és un espai vectorial sobre R

K = R és un cos commutatiu. (R2, +) és un grup commutatiu:

: R R R

2 2 2

( , )(( , ), ( , )) ( , )

u v u vu u v v u v u v1 2 1 2 1 1 2 2

que verifica:

Associativa:

( ) ( ) u v w u v w u v w R , , 2 . Existència d’element neutre respecte de +:

e = (e ,e ) R R

+ e , u + e ) = (u , u ) e = 0, e = 01 2

2

1 2 2 1 2 1 2

u e e u u u

u e u

2

1( .

Existència d’element oposat: u u u R u u u R u u u u u u( , ) , ( , ) ( ) ( , ) ( , )1 2

21 2

21 1 2 2 0 0 - .

Commutativa:

u v v u u v , R 2 . (R2, +, ·):

58

: R ((

R Ru u

u u u u

2 2

1 2 1 2

, ), ( , ) ( , )

verifica:


( ) ( ) , u u R u R 2 .

Existència d’element neutre respecte de ·:

1 1 1 2R u u u u R .

Distributiva:

( ) ( ) ( ) , , u v u v R u v R 2

( ) ( ) ( ) , u u u R u R 2 .

Rn és un espai vectorial sobre R

Aquest exemple és la generalització de l’exemple anterior. K = R és un cos commutatiu.

(R2, +) és un grup commutatiu:

: R R R

n n n

( , )(( , , , ), ( , , , )) ( , , , )

u v u vu u u v v v u v u v u vn n n n1 2 1 2 1 1 2 2

(R2, +, ·):

: R ((

R Ru u

u u u u u u

n n

n n

, ), ( , , , ) ( , , , )

1 2 1 2

Mnxm (conjunt de matrius amb n files i m columnes amb elements reals) és un espai vectorial sobre R

K = R és un cos commutatiu. (Mnxm, +) és un grup commutatiu:

59

: M M M

n m n m n m

( , )(( ), ( )) ( )

A B A Ba b a bij ij ij ij

que verifica:

Associativa:

( ) ( )A B C A B C A B C M n m , , . Existència d’element neutre respecte de +:

0 =

0 0

0 0 A

M A A A Mn m n m0 0 .


A a M a M A a aij n m ij n m ij ij( ) , ( ) ( ) ( ) - A A 0 . Commutativa:

A B B A A B n m , M .

(Mnxm, +, ·):

: R ((

M MA A

a a

n m n m

ij ij

, ), ( )) ( )

verifica:


( ) ( ) , A A R A M n m . Existència d’element neutre respecte de ·:

A 1 1 1R A A A Mn m .

Distributiva:

( ) ( ) ( ) , ,A B A B R A B M n m ( ) ( ) ( ) , A A A R A M n m .

60

E (conjunt de funcions reals de variable real) és un espai vectorial sobre R

Sigui E el conjunt de funcions reals de variable real, és a dir:

f x E( ) , f:R R x f(x) .

K = R és un cos commutatiu. (E, +) és un grup commutatiu:

: E

E Ef g) f g

f x g(x f g)(x f x g(x( ,

( ( ), )) ( ) ( ) )

que verifica:

Associativa:

( ( )f g) h f g h f E , g, h . Existència d’element neutre respecte de +:

0:R R, 0 f x

E f f f E0 00 .


-f(x) x 0))(()()))((f ( f- R,R: f- ,

xfxfxfEEf

.

Commutativa:

f g g f f E , g .

(E, +, ·):

: R ((

E Ef f

f x f x

, )

, ( )) ( )

verifica:


( ) ( ) , f f R f E . Existència d’element neutre respecte de ·:

61

f 1 1 1R f f f E . Distributiva:

( ( ) ( , ,f g) f g) R f g E ( ) ( ) ( ) , f f f R f E .

Pn (conjunt de polinomis de grau n de coeficients reals i variable real) és un espai vectorial sobre R

P p x a a x a x a x Rn nn ( ) ,0 1 2

2 a i = 1, , ni . Pn és un R-espai vectorial. K = R és un cos commutatiu. (Pn, +) és un grup commutatiu:

: P P P

n n n

( ( ), ( )) ( )( )( ), ( )) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

p x q x p q xa a x b b x p q x p x q x

a b a b x a b xn nn

0 1 0 1

0 0 1 1

.

(Pn, +, ·):

: R (

(

P Pp x p x

a a x p x p x a a x a x

n n

nn

, ( )) ( )( )

, ( )) ( )( ) ( )

0 1 0 1 .

RESUM En aquesta sessió s’ha definit el concepte d’espai vectorial, i s’han presentat alguns exemples d’espais vectorials que es faran servir al llarg del curs.

63

SESSIÓ 7: Independència lineal de vectors i concepte de subespai vectorial

FITXA DE LA SESSIÓ Nom: Independència lineal de vectors i concepte de subespai vectorial Tipus: teòrica i problemes Format: no presencial Durada: 5 hores Treball a lliurar: no Material:


OBJECTIUS En aquesta sessió es tractaran els conceptes de dependència i independència lineal de vectors, de subespai vectorial i de subespai engendrat.

CONTINGUTS Els conceptes tractats en aquesta sessió són els següents: dependència i independència lineal de vectors, subespai vectorial i subespai engendrat. Cada definició d’un concepte nou està acompanyada de diversos exercicis d’exemple de l’aplicació del concepte.

3.2. Dependència i independència lineal de vectors

Sigui K un cos commutatiu.

3.2.1. Definició: combinació lineal Sigui E un K-espai vectorial,

v v v En1 2, , , i 1 2, , , n K ,

v v v v v En n i ii

n

1 1 2 2

1.

v és combinació lineal dels vectors

v v v n1 2, , , .

64

3.2.2. Definició: conjunt de vectors linealment independents

Sigui E un K-espai vectorial

S v v v En

1 2, , , , conjunt de vectors de E. S és un conjunt linealment independent de vectors de E si

1 1 2 2 1 20 0

v v v K n n i n solució única.

En cas contrari, és a dir, si algun i 0 tal que 1 1 2 2 0

v v vn n , S és un conjunt linealment dependent.

Proposició

v v v En1 2, , , són linealment dependents si un d’ells és combinació lineal dels altres.

1 1 2 2 0

v v v Kn n i

suposem i 0 ,

v v v v v vii

n ni

k kkk i

n

ik k

kk i

n

1 1 11 1 2 2

1 1

.

Exemple

v v v v v vn n n n1 2 2 1 2 2 10 1 i

Són linealment dependents.

Observacions

1) Un conjunt de vectors que conté el vector 0

és linealment dependent.

DEMOSTRACIÓ:

S v v n

0 2, , ,

65

i nK v v, 1 20 0 0 0

en particular és cert per 1 0 .

2) S S E1 2 conjunts de vectors de E, si S2 és un conjunt linealment independent S1 és un conjunt linealment independent. (Demostració trivial).

3.2.3. Exemples

Exemple 1

A R2 {(1, 0), (0, 1)} són linealment independents. DEMOSTRACIÓ:

1 21 0 0 1 0 0, , , 1 2 0 0, ,

1

2

00

linealment independents.

Exemple 2

En general, A Rn {(1, 0, ..., 0), (0, 1, ..., 0), ..., (0, ..., 0, 1)} són linealment independents.

Exemple 3

A R3 {(1, 1, 0), (0, 2, 3), (1, 0, 1)} són linealment independents.

DEMOSTRACIÓ:

1 2 311 0 0 2 3 1 0 1 0 0 0, , , , , , , ,

1 3

1 2

2 3

02 0

3 0

sistema d’equacions lineals homogeni,

A

1 0 11 2 00 3 1

sempre serà compatible, és a dir,

1 2 3 0 sempre serà solució, però no sempre única.

Són linealment independents una solució sistema compatible determinat, rang(A) = 3. Són linealment dependents solucions sistema compatible indeterminat.

66

Com que det(A) = 2 + 3 0 rang(A) = 3 sistema compatible determinat una solució 1 2 3 0 són linealment independents.

Exemple 4

A R3 {(–1, 1, 0), (5, 2, 3), (0, 7, 3)} són linealment dependents.

DEMOSTRACIÓ:

1 2 311 0 5 2 3 0 7 3 0 0 0 , , , , , , , ,

1 2

1 2 3

2 3

5 02 7 0

3 3 0 sistema d’equacions lineals homogeni, A

1 5 01 2 70 3 3

.

Com que det(A) = –6 + 21 – 15 = 0 rang(A) = 2 sistema compatible indeterminat solucions que compleixen:

2 3

1 3

3 3

5

una solució és 3 2 11 1 5 , , .

Comprovem que 5 11 0 1 5 2 3 1 0 7 3 0 0 0 , , , , ( ) , , , , són linealment dependents; com que rang(A) = 2, només hi ha 2 vectors linealment independents.

Exemple 5

A R3 {(1, 2, 3), (2, 1, 1)} són linealment independents.

DEMOSTRACIÓ:

1 21 2 3 2 1 2 0 0 0, , , , , ,

1 2

1 2

1 2

2 02 03 0

sistema d’equacions lineals homogeni, A

1 22 13 1

.

Com que det(A) = 1 – 4 0 rang(A) = 2 sistema compatible determinat són linealment independents.

67

Exemple 6

A R2 {(1, 2), (0, 1), (–1, 1)} són linealment dependents.

DEMOSTRACIÓ:

1 2 31 2 0 1 11 0 0, , , , ,

1 3

1 2 3

02 0

sistema d’equacions lineals homogeni, A

1 0 12 1 1 .

Rang(A) = 2 < 3 sistema compatible indeterminat solucions que compleixen:

1 3

2 33

.

Una solució és 3 2 11 3 1 , , . Comprovem que 1 1 2 3 0 1 1 1 0 0 0 , ( ) , , , són linealment dependents; com que rang(A) = 2, només hi ha 2 vectors linealment independents.

Exemple 7

Determineu el valor de a i b R per tal que u1 = (0, 2, 5), u2 = (1, 5, 3) i u3 = (a, b, 8) siguin linealment dependents. SOLUCIÓ:

8355210

ba

A .

u1, u2, i u3 són linealment dependents rang(A) 3 det(A) = 0.

det(A) = 0 12 55 3 8

6 5 25 16 19 5 16 0ab a b a a b

a ba

,16 19

5.

Exemple 8

Siguin .2 i 23 212211 eeueeu Demostreu que si 21 i ee

són linealment independents, 21 i uu

també ho són.

68

SOLUCIÓ:

Sabem que l.i.)són que ja única, (solució 0 i 0 212211 ee (*)

Volem comprovar si única) (solució 0 i 0 212211

uu :

0)2()23(

0)2()23(

221121

212211

ee

eeee

.

(*):

l.i.són i u única solució 0 SCD 02

0232121

21

21 u

Exemple 9

Comproveu si són linealment dependents o independents les següents matrius:

14

14 ,

1012

,12

01.

SOLUCIÓ:

dependents linealmentSón solucions infinites

llibertat degrau 1 amb S.C.I. 2)(

111402110421

0042

0042

0000

1414

1012

12

01

321

31

32

321

321

ARangA

Exemple 10

Són linealment independents els següents polinomis?

xxxxxx 2 ,13 ,22 222 .

69

SOLUCIÓ:

tsindependen linealmentSón única Solució ...

)()(

) () ()(

2

2

2

2

0DCS

3ARang012231

112ARang

02023

020x2x1x3x2xx2

321

1

31

31

23

221

.

3.3. Subespai vectorial

3.3.1. Definició de subespai vectorial

Sigui E un K-espai vectorial, un subconjunt no buit F E és un subespai vectorial de E si compleix:

1) u v F u v F, . 2)

u F u F, K . O equivalentment, si compleix:

u v F u v F

,, K .

Observacions

1) Sigui E un K-espai vectorial, F E K-espai vectorial, les operacions de E permeten definir unes operacions a F tals que F és un K-espai vectorial amb les mateixes operacions (interna i externa) definides sobre E.

2) Subespais trivials: E K-espai vectorial sempre té 2 subespais trivials: F E

0 és un subespai vectorial.

F E E és un subespai vectorial. 3) Tot subespai vectorial d’un espai vectorial E conté l’element neutre de E.

70

3.3.2. Exemples

Exemple 1

En R4 R-espai vectorial, F és un subespai vectorial de R4:

0,0,,=x 0 x,,, 214

434

4321 xxRxxRxxxxxF .

DEMOSTRACIÓ:

1)

x F

y F x y F

?

x F x x x x x x x x x

y F y y y y y y y y

1 2 3 4 4 1 2

1 2 3 4 4 1 2

0 0

0 0

, , , , , ,

, , , , , ,

x

y y3

3

x y x x y y x y x y F 1 2 1 2 1 1 2 20 0 0 0 0 0, , , , , , , , , .

2)

x F

R x F

?

x F x x x x x x x x x 1 2 3 4 4 1 2 0 0, , , , , , x 3

x x x x x F 1 2 1 20 0 0 0, , , , , , .

Exemple 2

En R3 R-espai vectorial, F és un subespai vectorial de R3:

F x x x x R x x x R x x x x

1 2 33

1 23

1 2 1 2, , , , x x =3 .

DEMOSTRACIÓ:

1)

x F

y F x y F

?

x F x x x x x

y F y y y y y

1 2 1 2

1 2 1 2

, ,

, ,

x y x x x x y y y y

x y x y x y x y F

1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 2 2 1 1 2 2

, , , ,

, , .

71

2)

x FR x F

?

x F x x x x x 1 2 1 2, , x x x x x x x x x F 1 2 1 2 1 2 1 2, , , , ( ) .

Exemple 3

Demostreu que F és un subespai vectorial de 22xM .

}{ 22

baba

baAMAF x .

SOLUCIÓ:

vectorialsubespai és )()()()(

?)()()()(

?

21212121

2121

22112211

2121

2222

22

1111

11

FFbbaabbaa

bbaa

Fbabababa

bbaa

Fbaba

bababa

ba

.

Exemple proposat

Demostreu que, en R3 R-espai vectorial, F no és un subespai vectorial de R3.

21213

213

321 xx9xxRxxx9RxxxxF ,,=x x,, 3 .

3.4. Subespai engendrat

3.4.1. Definició de subespai engendrat

Sigui E un K-espai vectorial, S v v v En

1 2, , , conjunt de vectors de E, anomenem subespai engendrat per S el conjunt de tots els vectors que es poden expressar com a combinació lineal dels vectors de S:

S v v v v E v v v v K i nn n n i

1 2 1 1 2 2 1, , , , , , .

72

Propietats

S E és un subespai vectorial de E. S S (els vectors iv estan inclosos en < iv >). S és el més petit dels subespais vectorials de E que contenen S.

F Es e v S F. . . S F .

IMPORTANT: Sigui E un K-espai vectorial, S E un subconjunt de vectors linealment determinats.

S v v v vr n

1 2, , , , , amb r < n vectors linealment indeterminats.

S v v v v v vn r

1 2 1 2, , , , , , .

3.4.2. Exemples

Exemple 1

Trobeu l’expressió general d’un vector x ( , , ), ( , , )1 0 1 1 1 2 en R3 R-espai vectorial.

SOLUCIÓ: x x y z ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) 1 0 1 11 2 2

xy

z2

1 10 11 2

xyz

el sistema ha de ser compatible

rang(A) = 2 = rang(A’)

1 10 11 2

0

xyz

z – i – x – 2i = 0 z = x + 3i.

Exemple 2

En P3[x] R-espai vectorial, trobeu l’expressió general d’un element de S on:

S x x x x x 1 23 2, , .

SOLUCIÓ:

p x a a x a x a x S( ) 0 1 22

33 ,

73

p x x x x x x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 23 2 2 3 ,

2 0

1

2

3

aa

aa

busquem 3210 ,,, aaaa tals que el sistema sigui compatible

rang(A) = 3 = rang(A’) det(A’) = 0.

f2 = f2 + f1 apliquem adjunts i fem f1 = f1 + f3

A

aaaa

aa a

aa

a a aaa

a a a a a a a a a a a a

'

( )

1 0 21 1 1

0 0 10 1 0

1 0 20 1 10 0 10 1 0

0 10 11 0

1

0

1

2

3

0

0 1

2

3

0 1 3

2

3

2 0 1 3 0 1 2 3 3 2 1 0 = .

S p x P x a a x a x a x a a a ( ) [ ]3 0 1 22

33

2 1 0 p(x) i a 3 . Podem comprovar la condició en els elements de S.

Exemple 3

Trobeu l’expressió general dels vectors que pertanyen als subespais:

S

S1

2

1 2 0 31 2

0 1 3 11 1

( , , ), ( , , )

( , , ), ( , , ) en R3 R-espai vectorial.

SOLUCIÓ:

De fet, ens demanen:

21213 SSx x=Sx i Sx Rz)y,(x,=x

. Calculem la condició que han de complir els vectors de S1:

)S de vectors(condició 0524z20y12x31

compatibleser de ha sistema El 22

3)2,1,3()0,2,1(),,(

1

zyxz

yx

zyx

.

74

Calculem ara la condició que han de complir els vectors de S2:

)S de vectors(condició 034z1-3y11x10

compatibleser de ha sistema El 3

)1,1,1()3,1,0(),,(

2

zyxz

yx

zyx

.

Per tant, els vectors que pertanyin a la intersecció de S1 i S2 han de complir les dues condicions alhora:

zxzyzyx

zyx4

17 i 6034

0524

.

Així, els vectors que pertanyen a S1 i S2 a la vegada tenen la forma:

),6,4

17( zzz .

RESUM En aquesta sessió hem vist el concepte d’independència lineal entre vectors, i també hem introduït els conceptes de subespai vectorial i de subespai engendrat.

75

SESSIÓ 8: Exercicis de subespais vectorials i de dependència i independència lineal de vectors

FITXA DE LA SESSIÓ Nom: Exercicis de subespais vectorials i de dependència i independència lineal de

vectors Tipus: problemes Format: no presencial Durada: 5 hores Treball a lliurar: sí Material:


PRECEDENTS A la sessió anterior s’han presentat els conceptes de dependència i independència lineal de vectors i de subespai vectorial. En aquesta sessió es posaran en pràctica aquests conceptes.

OBJECTIUS Aplicar els conceptes estudiats a la sessió anterior.

CONTINGUTS En aquesta sessió es presenten exercicis resolts com a exemples, i es proposen exercicis nous per aplicar els conceptes presentats a la sessió 7.

3.5. Exercicis


Problema R.1

Comproveu si el conjunt F = {(x, i, z) R3 / x + i + z = 9} és o no és un subespai vectorial de R3.

76

SOLUCIÓ:

Per comprovar si F és un subespai vectorial de R3 cal demostrar que es compleix:

FxFxKFxxFxx

, )2(, )1(

.

Siguin Fxx ',

, i per tant, amb components que verifiquen x x x1 2 3 9 i 9''' 321 xxx :

cal comprovar si Fxx

.

332211321321 ',','',',',, xxxxxxxxxxxxxx

918''' 332211 xxxxxx . Per tant, Fxx

i el conjunt F = {(x, i, z) R3 / x + i + z = 9} no és un subespai

vectorial, ja que no compleix almenys una de les condicions necessàries. També s’hauria pogut resoldre de forma ràpida comprovant que l’element neutre (0, 0, 0) no pertany a F (sabem que tot subespai vectorial conté l’element neutre).

Problema R.2

Quin valor ha de tenir a perquè el vector (1, a, 3) pertanyi al subespai engendrat per (1, 1, 0) i (2, 1, 2)?

SOLUCIÓ:

Posarem el vector (1, a, 3) com a combinació lineal de (1, 1, 0) i de (2, 1, 2) i forçarem que el sistema sigui compatible:

1 3 11 0 2 121 2, , , , , ,a . Obtenim el següent sistema d’equacions lineals:

12320

11121

)'(det32

12

2

21

21

aaAa

a = –1/2.

Si a = –1/2, rang(A) = rang(A') = 2 sistema compatible

(2,1,2) , (1,1,0))3,2/1,1( . Si a –1/2, rang(A) < rang(A') sistema incompatible (2,1,2) , (1,1,0))3,,1( a .

77

Problema R.3

Sigui F un subespai vectorial de l'espai vectorial C3 sobre R.

jcjbbazjcjabazbazCzzzF 3213

321 , , ),,( . a) Trobeu un sistema de generats del subespai F. b) Pertany el vector (0, 1 + 2j, –1 + j) a F?

SOLUCIÓ:

a) Si descomponem el vector genèric de F en una combinació lineal:

jjcjbjajcjbbajcjababazzz ,,01,1,11,1,1 ) , ,(),,( 321 ,

trobem el sistema de generats del subespai F:

j)j,(0,j),-(1,1,-1j,-1),(1,1F .

b) Per tal de comprovar si el vector (0, 1 + 2j, –1 + j) pertany a F, cal verificar si es pot generar a partir del sistema calculat al primer apartat.

jjcjbjajj ,,01,1,11,1,1 1,21,0 .

S’obté el sistema d’equacions:

jj

cba

jjjj

121

0

1111

011.

És un sistema incompatible, ja que det(A) = 0 i rang(A) = 2 < rang(A’) = 3, per tant, no pertany a F.


Problema P.1

Sigui K[x] l'espai vectorial dels polinomis amb coeficients en K. Demostreu que el subconjunt Kn[x] format pels polinomis de grau n és un subespai vectorial.

78

Problema P.2

Comproveu si en l'espai vectorial P3[x] dels polinomis de 3 sobre , els següents vectors són linealment independents: u1 = 1 + 2x ,

u2 = -1-2x2 , u3 = -2x + 2x2.

SOLUCIÓ:

Són linealment dependents.

Problema P.3

Trobeu el valor de a i b perquè que el vector (a, 2, 5, b) (1, 2, 0, 3), (2, 1, 1, 0).

SOLUCIÓ:

a b 17

29

2, .

Problema P.4

Demostreu si el conjunt de vectors {(1, 0, 2/3), (3, 2, 1), (0, 1, 5)} és un sistema de generats de 3 .

SOLUCIÓ:

Són generats de 3 .

Problema P.5

Considereu els següents subconjunts de l'espai vectorial de les funcions de variable real sobre :

A = {f(x) / f(x) = 0 si x > 0}. B = {f(x) / f(x) = 0 si x 0}.

Demostreu que A i B són subespais vectorials de .

79

Problema P.6

Sigui V l'espai vectorial de les funcions reals de variable real sobre el cos dels reals. Donats tres vectors linealment independents f(x-), g(x), h(x) V, determineu si els vectors resultants de sumar-los de dos en dos f(x) + g(x), f(x) + h(x), g(x) + h(x) també ho són.

SOLUCIÓ:

Sí són linealment independents.

Problema P.7

Sigui R4 un espai vectorial sobre R, digueu quina relació existeix entre les components d'un vector qualsevol del subespai (0, 1, 2, 3), (–1, 1, 2, –2), (–2, –1, 1, 2).

SOLUCIÓ:

(x, i, z) / 5x – 7i + 5z – t = 0.


En l'espai vectorial R3 sobre R considerem dos subespais E1 i E2:

E1 = (1, 1, 1), (1, –1, 1) i E2 = (1, 2, 0), (3, 1, 3). a) Trobeu el conjunt de vectors que pertanyen a E1 E2 b) Comproveu que E1 E2 és un subespai vectorial de R3.

RESUM En aquesta sessió s’han presentat i proposat diferents problemes per aplicar els conceptes de subespai vectorial i de dependència i independència lineal.

81

SESSIÓ 9: Base i dimensió d’un espai vectorial i concepte de components d’un vector en una base

FITXA DE LA SESSIÓ Nom: Base i dimensió d’un espai vectorial i concepte de components d’un vector

en una base Tipus: teòrica i problemes Format: no presencial Durada: 5 hores Treball a lliurar: no Material:


OBJECTIUS L’objectiu fonamental d’aquesta sessió és que l’alumne sàpiga diferenciar clarament entre un vector i un vector expressat en components respecte d’una base donada. Com es veurà més endavant, aquests conceptes són imprescindibles per entendre els nous conceptes que es presentaran a les sessions posteriors.

CONTINGUTS En aquesta sessió es presentaran dos conceptes molt importants: base d’un espai vectorial, i components d’un vector en una base donada. També es defineix el concepte de dimensió d’un espai vectorial.

3.6. Base i dimensió d’un espai vectorial

3.6.1. Base d’un espai vectorial Sigui E un espai vectorial sobre un cos commutatiu K i sigui B un subconjunt de E. B és una base de E si: a) <B> = E. b) Els elements de B han de ser linealment independents de E.

Una base té el mínim nombre de vectors amb els quals podem generar E. La base té el màxim nombre de vectors linealment independents que es poden

agrupar dins de E. Totes les bases d’un espai vectorial tenen el mateix nombre d’elements.

82

Exemples de bases (bases canòniques): En R2: {(1, 0) (0, 1)}. En R3: {(1, 0 ,0) (0, 1, 0) (0, 0, 1)}. En l’espai de polinomis P2(x): {1, x, x2}.

Exemple 1

Comproveu si el conjunt B = {(–1, 2, 1) (1, 3, 0) (2, –4, –1)} és una base de R3. SOLUCIÓ: Condicions que han de complir:

a) Generen R3. El vector genèric de R3:

Per poder expressar x com a combinació lineal de B han d’existir , i . Com que volem trobar les incògnites, farem un sistema d’equacions que ha de ser un sistema compatible. Amb dos rangs iguals: rang(A) = rang(A’). Els dos rangs són iguals: rang(A) = rang(A’) = 3.

L’espai que hem generat pels vectors de B és tot 3, ja que qualsevol vector x = (x, i, z) podem expressar-lo com a combinació lineal dels vectors de B.

b) Són linealment independents.

x x y zx Bx y z

( , , )

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

3

1 2 1 1 3 0 2 4 1

...3)(4322

DCSARangoz

yx

1 1 22 3 41 0 1

xyz

00432

020

0)1,4,2()0,3,1()1,2,1(

31

321

321

321

321

83

El sistema és compatible determinat. Es compleixen les dues condicions necessàries perquè B sigui una base de 3. En conseqüència, podem dir que és una base de 3.

Exemple 2:

Són (–1, 2, –1) (1, 3, 0) una base de 3? SOLUCIÓ: a) Generen tot 3 ?

zyx

32

zyx

013211

.

Es tracta de veure quan serà un sistema compatible, atès que serà llavors quan podrem expressar el vector (x, i, z) com a combinació lineal dels vectors mencionats. La condició perquè un sistema sigui compatible és: rang(A) = rang(A’). Rang(A) = 2 Perquè el rang(A') també sigui 2, s’ha de complir:

Com s’observa, per a alguns vectors, és a dir, per a alguns valors de x, i, z, que no compleixen la condició anterior, tindrem un sistema incompatible, és a dir, que aquestos vectors de R3 no pertanyeran a l’espai engendrat per (–1, 2, –1), (1, 3, 0). Per tant, no es generaran tots els vectors de R3; no compleix la primera premissa per ser una base: ser sistema generat.

3.6.2. Dimensió d’un espai vectorial La dimensió d’un espai vectorial E és el nombre d’elements que conté una base de E. És a dir, el màxim nombre de vectors linealment independents que podem agrupar dins de l’espai vectorial. Si tenim un espai vectorial en el qual qualsevol de les seves bases contenen infinits elements, direm que aquest espai vectorial és de dimensió infinita. Si té n elements direm que té una dimensió n o finita.

1 12 31 0

0 3 3 2 5 3 0xyz

z y x z z y x

84

Teorema

Si E és un espai vectorial de dimensió finita i F és un subespai inclòs en E, direm que: F és un subespai vectorial de E de dimensió finita tal que la dimensió de F serà

menor o igual a la de E. Si la dimensió de F és igual a la dimensió de E, llavors F és igual a E.

dim{F} = dim{E} F = E.

Conseqüències

1. Sigui E un espai vectorial de dimensió finita n i sigui nuuuU

,, 21 un conjunt de n vectors linealment independents dins de l’espai vectorial E U és una base de E.

DEMOSTRACIÓ:

Qualsevol vector inclòs en E és ld. de U ja que U té n vectors linealment independents (el màxim nombre d’elements linealment independents que pot agrupar en E. Si U tingués u + 1 elements no podrien ser linealment independents). 2. La dimensió d’un espai vectorial no varia, no depèn de la base que escollim.

3.7. Components d’un vector de E en una base B de E

Sigui E un espai vectorial sobre K. Sigui B una base de E nbbbB

,, 21 .

nn bbbxEx

2211 .

Siguin i les components o coordenades del vector x en la base B. El vector x en base B es representa del següent mode:

Bx = (1, 2,..., n) |B.

85

Proposició

x E, donada una base B de E, les components del vector x referides a la base B són úniques.

DEMOSTRACIÓ:

Suposem que no ho són:

nnnn bbbbbbx

22112211 .

Essent ,

En un conjunt de vectors linealment independents aquesta expressió es compleix només si els coeficients són 0.

Es complirà quan (i = i).

Exemple 1

(1, 2) |B ¿és de 2?

SOLUCIÓ:

Dependrà de B. Per exemple:

0041

0020

20001

1x

0020

0001

B

.

Exemple 2:

Sigui el vector x = 2x2 + 3x – 1 i la base B1 = {1, x, x2}. a) Components de x en la base B1?

0)()()( 0 222111

nnn bbbxx

86

SOLUCIÓ:

x = 2x2 + 3x – 1 = 1 + 2x + 3x2

1

2

3

3211

132

,,

B

x

113 )2,3,1(132

BBxxxx

. b) Components de x en B2 sent B2 = {x2, x ,1}?

SOLUCIÓ:

22

3

2

1

322

12

322

1

22

2

)1,3,2(1

32

11321

1,,132

BBx

xxxxxxx

xxBxxx

.

Exemple 3:

Calculeu les components del vector

3023

x en la base

0111

,3201

B .

SOLUCIÓ:

0111

3201

3023

)2,1(x 2 1 ...

3302

23

BDCS

.

87

RESUM En aquesta sessió s’han presentat els conceptes de base i de components d’un vector en una base. Aquests són conceptes fonamentals per entendre conceptes futurs.

89

SESSIÓ 10: Canvis de base

FITXA DE LA SESSIÓ Nom: Canvis de base Tipus: teòrica Format: no presencial Durada: 5 hores Treball a lliurar: no Material:


PRECEDENTS A la sessió anterior hem vist que un vector es pot expressar en components respecte de qualsevol base de l’espai al qual pertany. En aquesta sessió veurem la forma de trobar aquestes components en una base B2 si coneixem ja les seves components en una altra base B1.

OBJECTIUS L’objectiu perseguit en aquesta sessió és el d’aprendre a fer canvis de base. És a dir, saber calcular les components d’un vector en una base B2 si coneixem ja les seves components en una altra base B1.

CONTINGUTS Concepte de canvi de base i matriu de canvi de base.

3.8. Canvis de base

3.8.1. Introducció

Considerem el següent exemple. Suposem que ens donen un vector p expressat en components respecte d’una base B1 i es tracta de trobar les seves components en la base B2. Una forma de fer-ho aplicant el que ja sabem seria trobar primer el vector p i després buscar quins components tenen en la base B2.

90

xxp

pxB

xB

B

1*2)2(*1

)2,1(4,2

1,2

1

2

1

.

Per tant, ara es tracta de trobar les components que tenen en la base B2, és a dir, trobar 1 i 2, que ens permetran expressar el polinomi p com a combinació lineal dels elements de la base B2.

2

1

21

4021

42

xx

.

Llavors, les components del polinomi p en la base B2 són:

)0,( 21

2Bp .

Però existeix una altra forma de trobar les components del polinomi p en la base B2 si coneixem les seves components en la base B1. Vegem-la amb detall al punt següent.

3.8.2. Matriu de canvi de base Siguin B1 i B2 dos bases diferents de l’espai vectorial E. x E ho podem escriure com a combinació lineal d’una de les dues bases o de les dues.

n212

n211

v,v,v=u,u,u=

BB

),,,(

),,,(

21

2211

21

2211

2

1

nB

nn

nB

nn

xuuux

xuuux

.

Què es vol? Volem trobar les components de x en la base B2 a partir de les components que tenen en la base B1.

21 BB xx .

Cal que coneguem les components dels vectors de la base inicial B1 referides a la base final B2. Expressem els vectors de la base n211 u,u,u=

B com a combinació lineal de la

base destí n212 v,v,v=

B .

91

n

kkiki

nnnnnn

nn

nn

vbu

vbvbvbu

vbvbvbuvbvbvbu

1

2211

22221122

12211111

.

Un vector x expressat com a combinació lineal de B1 seria:

n

iiiux

1

.

I expressat com a combinació lineal de B2:

n

iii vx

1

, on les i són les components que busquem.

Doncs bé, si partim de:

n

iiiux

1

,

i apliquem el que sabem,

n

kkiki vbu

1

,

tenim:

n

k

n

kkkkkii

n

k

n

ikik

n

ii

n

iii vvbvbux

1 11 111

;)(

llavors:

n

ixiix b

1

,

on k són les components de x en la base destí B2; ikb són les components dels n

vectors de la base origen B1 en la base destí B2; i i són les components de x en la base origen B1. Per tant, ja podem calcular les components del vector x en la base destí sabent les components de x en la base origen i sabent les components dels vectors de la base origen, referides a la base destí. El sumatori anterior podem expressar-lo com a producte de dos matrius:

92

nnnn

n

n bb

bbbb

2

1

1

21

11211

21

1

1212 BBBBxCx

. Essent 21 BBC la matriu de canvi de base de B1 a B2.

),,,( 21 n són les components de x en la base origen B1.

),,,( 21 n són les components de x en la base destí B2. Observació: Les columnes de 21 BBC són les components dels vectors de la base origen referides a la base destí. NOTA: per a tota base B1, B2 de E, les matrius de canvi de base són invertibles (tenen inversa).

nilvectoresdenRango ..º . Es fonamenta en què els vectors de la base origen són linealment independents entre ells, i els de la base destí també ho són entre ells, per definició de bases, les components dels vectors de la base origen, referides a la base destí, també seran linealment independents entre elles. Per tant, sempre podrem trobar la matriu inversa: 1

21

BBC .

Particularitats de 121

BBC :

Tenim que: Tal que:

1212 BBBBxCx

. Si multipliquem per 1

21

BBC les dues parts de la igualtat,

B2 B1 21 BBC

93

11211

2121

21 ····BBBBBBBBB xxCCxC

. Per tant, 12

121 BBBB CC

, és a dir, la matriu inversa és la matriu de canvi de la base B2, origen de la base B1 destí.

RESUM En aquesta sessió s’ha presentat el concepte de canvi de base, i s’ha explicat com calcular la matriu que ens permet fer aquest canvi de base de forma senzilla.

95

SESSIÓ 11: Exercicis de vectors expressats en components i de canvis de base

FITXA DE LA SESSIÓ Nom: Exercicis de vectors expressats en components i de canvis de base Tipus: problemes Format: no presencial Durada: 5 hores Treball a lliurar: no Material:


OBJECTIUS Posar en pràctica els conceptes tractats a les dues sessions anteriors.

CONTINGUTS En aquesta sessió es presenten alguns exercicis resolts a tall d’exemple i se’n proposen d’altres per ser resolts per l’alumne. En aquests exercicis s’han d’aplicar els següents conceptes: base i dimensió d’un espai vectorial, components d’un vector en una base i canvis de base.

3.9. Exercicis de vectors en components i de canvis de base


Problema R.1

Considereu el subespai definit com:

12542135

54321 32 x;32 x,,,, xxxxxxxxxxF . Trobeu una base d’aquest subespai i completeu-la fins a obtenir una base de 5.

96

SOLUCIÓ:

(x1, x2, 2x1 + 3x2 – x4, x4, 2x2 – 3x1) = x1(1, 0, 2, 0, –3) + x2(0, 1, 3, 0, 2) + x4(0, 0, –1, 1, 0).

Verifiquem que els vectors d’aquesta combinació lineal són linealment independents per tal de comprovar si són tots part d’una possible base. Ho fem a través del rang, comprovant si el menor de 3x3 de la matriu formada per les 3 primeres components dels 3 vectors és diferent de zero:

.

Per tant, una possible base de F és:

1 0 2 0 3 0 1 3 0 2 0 0 1 1 0 , , . Per completar la base fins a 5, només ens caldria inserir dos vectors independents més; per tal d’aconseguir qualsevol valor per a x3 i per a x5 (les úniques components en què en F s’imposen condicions lineals). 1 0 2 0 3 0 1 3 0 2 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 , , , ,

. Calculant el determinant de la matriu formada pels 5 vectors, o bé transformant la matriu per Gauss, podem comprovar com aquests 5 vectors són linealment independents.

Problema R.2

Sigui E un espai vectorial sobre R. Considerem BE = 21 , aa una base de E. Considerem 211 a -a2 e i 212 a a- e . a) Comproveu que CE = 21 , ee és una base de E. b) Calculeu la matriu de canvi de base de BE a CE. c) Calculeu les components del vector 21 23 aau referides a la base CE.

SOLUCIÓ:

a) BE = 21 , aa base de E 2dim E .

Demostrem primer que 21,ee són linealment independents.

97

?00 212211 ee

022 2121212122112211

aaaaaaee .

Atès que 21 , aa és un conjunt linealment independent, l’única solució és:

0

002

2112

21

.

E. de base una és 2dim

l.i.conjunt un és , 21E

E CE

eeC

b) Hem d’expressar els vectors de CE com a combinació lineal dels vectors de BE.

Una opció és invertir la matriu de canvi de base de CE a BE, que s’expressa directament a partir de les equacions de l’enunciat:

2111

1112 1

1EEEE BCCB MM .

c) De l’enunciat deduïm directament que les components de u respecte de BE són:

23

EBu .

Per tant, cal fer un canvi de base de BE a CE utilitzant la matriu trobada a l’apartat anterior:

11

23

2111

EEEE BCBC uMu .

Problema R.3

Sigui F un subespai vectorial de l’espai vectorial de matrius de 2x2 (espai vectorial sobre R). Siguin B1 i B2 bases de F:

0111

,0011

,1002

0102

,1011

,1013

2

1

B

B

.

a) Si

1035

A , trobeu 1B

A .

98

b) Calculeu la matriu de canvi de base de la base 1 a la base 2. c) Sabent que una matriu B expressada en components referides a la base 2 és

)2,4,3(2

B

B . Quina és la matriu B?

SOLUCIÓ:

a) Expressem A com a combinació lineal dels elements de B1:

0102

1011

11

03

13

05

cbaA .

Obtenim el sistema:

5 = 3a + b + 2c 3 = a – b

0 = c 1 = a + b.

I resolent-lo obtenim : a = 2, b = –1, c = 0. Per tant A |B1 = (2, –1, 0) (A en la base B1). b) Per calcular la matriu de canvi de base, expressem els vectors de B1 en la base B2

i solucionem els sistemes d’equacions que ens queden:

0,1,101

11

01

01

10

02

1013

cbacba .

0,1,101

11

01

01

10

02

1011

fedfed .

1,1,001

11

01

01

10

02

0102

ihgihg .

Així, la matriu de canvi de base és:

100111011

21BBM .

c) Obtenim la matriu B com la combinació lineal dels elements de B2 a partir de les

seves components referides a aquesta mateixa base:

36

28

01

11

201

01

410

02

3B .

99

Problema R.4

Els dissenyadors de peces de cotxes o d’avions utilitzen freqüentment un conjunt de polinomis anomenat polinomis de Bernstein. Aquests polinomis, convenientment combinats, donen lloc a corbes suaus que s’utilitzen per crear peces mecàniques per ordinador. Els polinomis de Bernstein són els següents (dibuixats a l’esquerra i expressats a la dreta):

2

3

22

21

)(

22)(

21)(

xxpxxxp

xxxpB .

Són, per tant, una base de funcions de l’espai vectorial P2(x) amb coeficients reals i cos commutatiu . a) Quines són les components del polinomi p(x) = 5x + 10x2 respecte de B? b) La següent matriu Mc és la matriu de canvi de base de la base B a una altra base

anomenada D.

112022001

cM .

Deduïu quins són els polinomis que integren la base D. c) Una altra família de polinomis semblants als de Bernstein és el conjunt de

Lagrange:

)5.0(2)()1()(

)1)(5.0(2)(

3

2

1

xxxpxaxxp

xxxpE .

Quin valor ha de tenir a perquè siguin una base?

SOLUCIÓ:

a) Volem expressar el polinomi p(x) en la base B, per tant, volem trobar a, b, c, tals que la següent igualtat sigui certa:

p(x) = 5x + 10x2 = a (1 – 2x +x2) + b (2x – 2x2 ) + c x2

= a + (2b – 2a) x + (a – 2b + c) x2.

Igualant coeficients obtindrem un sistema i resolent-lo obtindrem els valors de a, b, c:

100

a = 0

2b – 2a = 5 a – 2b + c = 10.

Obtenim: a = 0, b = 5/2, c = 15. Així, p(x) |B = (0, 5/2, 15 ) (expressat en la base B). b) Anomenem q1, q2, q3 els polinomis que formen la base D. Per a la construcció de

la matriu de canvi de base hem de resoldre:

1 – 2x + x2 = 1q1 – 2q2 – 2q3 2x – 2x2 = 2q2 + q3

x2 = q3.

Resolent aquest sistema obtenim els tres polinomis:

q1 = 1 , q2 = x – 3/2x2, q3 = x2.

Per tant, la base és D = {1, x–3/2x2, x2}. c) Sabem que P2(x) té dimensió 3, llavors, si veiem per a quin valor de a els tres

polinomis són linealment independents, ja podrem afirmar que són base. Usem la definició d’independència lineal:

1 (2(x–1/2)(x –1) ) + 2 (–ax(x–1)) + 3(2x(x–1/2)) = 0.

Operant i reagrupant els termes adequadament obtenim el polinomi:

x2 (21 – a 2 + 23) + x (–31 + a2 - 3 ) + 1 = 0. Igualem els coeficients a 0 i obtenim un sistema que té per matriu associada:

01

2

013

2aa

A .

Volem veure quan el sistema és compatible determinat perquè llavors la solució 1 = 2

= 3 = 0 (que existeix per ser homogeni el sistema) serà única.

det(A) = –a = 0.

Aleshores, si a 0, el rang(A) = 3 i rang(A’) = 3 (no oblidem que és un sistema homogeni) i, per tant, el sistema és compatible determinat. Així, si a 0 els tres polinomis formen una base de P2(x).

101

Problema R.5

Sigui xP2 l’espai vectorial dels polinomis de grau 2 amb coeficients reals. Siguin:

022 baxPcxbxaF i 222 21,,21 xxxxxxG

dos subespais vectorials de xP2 . Calculeu: a) Una base i la dimensió de F . b) Una base i la dimensió de G . c) Una base i la dimensió de GF .

SOLUCIÓ:

a) L’enunciat ja ens dóna la condició dels vectors de F:

20 cxaxababa forma dels vectors. Per tant, la base serà: 2,1 xx (generen F i són linealment independents). I la dimensió és 2. b) Ens donen un conjunt de vectors generat de G. Falta comprovar que siguin

linealment independents:

.....000)21()()21(

321

23

22

21

DCSilnomésionxxxxxx

La matriu del sistema d’equacions resultant és:

211112101

.

Per tant, perquè sigui un sistema compatible determinat hauria de ser de rang igual a 3.

0...211

112101

no són linealment independents.

102

Com es pot observar, els dos primers ho són i per tant podem dir que una base de G serà:

22 ,21 xxxx , i la dimensió és 2. c) Els vectors que pertanyin a la intersecció hauran de complir la condició per a

pertànyer a tots dos subespais. La condició de pertinença al subespai F ja la sabem: 0 ba . Falta trobar la condició de pertinença a G, que la resoldrem imposant que un vector genèric de P2(x) sigui combinació lineal de la base trobada a l’apartat anterior.

)()21( 2

22

12 xxxxcxbxa .

El sistema ha de ser compatible (i de fet, determinat, perquè els dos vectors són base de G). Per tant, rang(A) = rang(A’) = 2. Com que rang(A) = 2, això implica que hem de forçar que rang(A’) = 2.

03...0111201

cbacba

(condició per pertànyer a G).

Per tant, com que els vectors de la intersecció han de complir les dues condicions,

acba

cbaba

2030

els polinomis seran de la forma: 22axaxa .

Aleshores, una possible base seria:

221 xxGFBase , i la dim( GF ) = 1.

Problema R.6

Sigui 22xM l’espai vectorial sobre de les matrius de dues files i dues columnes i siguin:

3502

,11

00,

1102

,1001

F subespai vectorial de 22xM .

0011

,11

1,

1010

,110

1

aaB a .

1111

,1021

,0010

,1010

2B base de 22xM .

a) Trobeu una base i la dimensió de F.

103

b) Valors de a per als quals B1 és una base de 22xM . Per a a = 1 resoleu els següents apartats: c) Calculeu la matriu de canvi de base de B2 a B1. d) Sigui 22 xMA amb components respecte de B1: )1,8,7,2(

1BA . Trobeu les

components de A respecte de la base B2. Podeu afirmar que ?FA (Justifiqueu la resposta).

SOLUCIÓ:

a) Sabem que són generats. Verifiquem si són linealment independents fent ús de la definició:

.

Volem veure que 1 = 2 = 3 = 4 = 0 és l’única solució. Escrivim el sistema resultant:

1 + 2 2 + 24 = 0 2 +3 +5 4 = 0

1 + 2 - 3 -34 = 0,

que escrit de forma matricial és:

.

Si calculem ara el rang de la matriu del sistema i de la matriu ampliada tenim:

rang(A) = rang(A’) = 2.

Així, el sistema és compatible indeterminat i, per tant, té infinites solucions. Les quatre matrius són linealment dependents. A més, amb el càlcul del rang sabem que tenim dues matrius linealment independents. Prenem doncs, dues matrius linealment independents i sabem que:

.

Aquestes dues darreres matrius són linealment independents, ja que l’element a21 és nul per a la primera i no nul per a la segona. Així, ja tenim una base de F i la dimensió:

.

b) Els elements de B1 han de ser generats i linealment independents. Per tant, atès que són quatre matrius i que coincideixen amb la dimensió de l’espai vectorial

22xM , imposem només la condició d’independència lineal, fent que el següent sistema homogeni sigui compatible determinat:

104

.

Si escrivim el sistema de forma matricial tenim:

.

Imposem que el determinant del sistema sigui zero per identificar quan el sistema és compatible indeterminat, i en cas contrari serà determinat:

.

Així, per a a ½ el det(A) 0, per tant, el sistema és compatible determinat i l’única solució és 1 = 2 = 3 = 4 = 0. Aleshores, en conclusió, el conjunt B1 és linealment independent i, per tant, és una base també per a ½. Recordem que la dimensió d’un espai vectorial és el màxim nombre de vectors linealment independents, i que qualsevol conjunt de vectors linealment independents d’un espai vectorial de dimensió n, i que estigui format per n vectors linealment independents serà un generat i, per tant, també una base d’aquest espai vectorial.

c) Hem d’expressar els vectors de la base B2 en components referides a la base B1 i,

atès que es tracta de quatre sistemes d’equacions amb la mateixa matriu de coeficients, podem realitzar la resolució de forma conjunta per Gauss-Jordan o calculant una única inversa per simplificar. No obstant, en aquest cas, els sistemes són força trivials de resoldre:

. Aleshores,

.

Aleshores,

. Aleshores,

105

. Aleshores,

.

D’aquesta manera, la matriu de canvi de bases queda:

. d) Usarem la matriu de canvi de base inversa a l’anterior, és a dir .

. Per veure si A pertany a F, vegem primer què és A en components respecte de la base canònica de matrius de 2x2:

. Ara, ens preguntem si podem trobar a i b tals que aquesta matriu es pugui expressar a partir d’una combinació de la base de F, és a dir:

. Sí, per als valors a = –7 i b = 6, A és combinació lineal de la base de F, per tant, A F.


Problema P.1

Donat el conjunt C2(x) dels polinomis de grau 2 de variable real i coeficients complexos. a) Trobeu una base de l'espai vectorial C2(x) sobre R. b) Trobeu una base de l'espai vectorial C2(x) sobre C.

106

SOLUCIÓ:

a) {1, j, x, jx, x2, jx2}. b) {1, x, x2}.

Problema P.2

Sigui P3(x) l'espai vectorial dels polinomis de grau 3 amb coeficients reals i variable real sobre el cos commutatiu dels reals. Sigui G P3(x), G = {(x2 + x + 2), (x3 + 3x)}. Trobeu una base de P3(x) completant el conjunt G.

SOLUCIÓ:

Una possible solució és {x2 + x + 2, x3 + 3x, 1, x}.

Problema P.3

Siguin B1, B2 i Bc bases de l'espai vectorial de R3.

B1 = {(2, 1, 1), (3, 1, 0), (0, 0, 1)}. B2 = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}. Bc = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}.

a) Trobeu la matriu de canvi de base de B1 a B2. b) Expresseu el vector (1, 2, –1) en components respecte de la base B1. c) Expresseu-lo ara en la base B2 fent servir la matriu de canvi de base.

SOLUCIÓ:

a)

101110

021.

b) (5, –3, –6). c) (–1, 3, –1).

107

RESUM En aquesta sessió s’han presentat com a exemple sis exercicis resolts, on els conceptes aplicats corresponen als tractats en les dues sessions anteriors. També s’han presentat, al final, tres nous exercicis per ser resolts aplicant els mateixos conceptes.

109

SESSIÓ 12: Exercicis del capítol 3

FITXA DE LA SESSIÓ Nom: Exercicis del capítol 3 Tipus: problemes Format: no presencial Durada: 5 hores Treball a lliurar: sí Material:


OBJECTIUS Posar en pràctica els conceptes tractats en totes les sessions corresponents al capítol 3.

CONTINGUTS En aquesta sessió es presenten alguns exercicis resolts a tall d’exemple i se’n proposen d’altres per ser resolts per l’alumne. En aquests exercicis s’han d’aplicar la majoria dels conceptes del capítol 3, que han estat tractats a les darreres sessions. Per tant, es presenten aquests exercicis com un resum dels conceptes més importants tractats en aquest capítol.

3.10. Exercicis


Problema R.1

Sigui M2x2 el conjunt de les matrius quadrades de dues files i dues columnes amb coeficients complexes. a) Demostreu que M2x2 és un espai vectorial sobre . b) Trobeu una base i la dimensió de M2x2 sobre . c) Trobeu una base de M2x2 sobre C. d) Sigui F M2x2, F = {A = (aij) M2x2 / a11 + a12 = a22 + a21}. Demostreu que F és un

subespai vectorial de M2x2. Trobeu una base i la dimensió de F, considerant M2x2 espai vectorial sobre .

e) Sigui G = A, B, C on:

110

A = 11 0

j

B =

0 12j j

C =

1 00 1

jj .

Trobeu l'expressió general d'una matriu de G.

SOLUCIÓ:

a) Seguint la definició de subespai vectorial trobem que es compleix la definició, i com que tot subespai vectorial és també un espai vectorial amb les mateixes operacions interna i externa definides: sí complirà que és un espai vectorial:

a bc d

a bc d

a bc d

a bc d

' '' '

' '' '

a a b bc c d d

' '' '

.

b) Una possible base és la base canònica sobre el reals:

a jb a jba jb a jb

11 11 12 12

21 21 22 22

=

=

a bj

a bj

a bj

a bj11

1 00 0 11

00 0 12

0 10 0 12

00 0 21

0 01 0 21

0 00 22

0 00 1 22

0 00

.

) (sobre 8 = dim 22 xM .

Noteu que pel fet de treballar sobre el cos dels reals (els coeficients de la combinació lineal han de ser reals), cal generar de forma independent la part real i la part imaginària de l'espai vectorial, la qual cosa provoca que es dobli la dimensió d'aquest espai. c) Treballem amb coeficients complexes i busquem la base sobre el mateix cos dels

C:

a jb a jb a jb a jb11 11 12 12 21 21 22 22

1 00 0

0 10 0

0 01 0

0 00 1

.

Sí és un espai vectorial.

jjjj

B0

00,

1000

,000

,0100

,00

0,

0010

,000

,0001

111

C) (sobre 4 = dim 22xM . d) Cal demostrar:

FBAFBA

,

,

222112112221

1211

222112112221

1211

bbbbFbbbb

aaaaFaaaa

22222121

12121111

2221

1211

2221

1211

babababa

bbbb

aaaa

BA

.

Cal demostrar si:

)()()()( 2222212112121111 babababa

)()( )()()()()()(

22222121

222122211211121112121111

bababbaabbaababa

.

Per tant, F és un subespai vectorial. e) Posem una matriu resultant com a combinació lineal de A, B i C:

j

jjj

jG

1001

,2

10,

011

GA

bcjcbjcdjdcjbd

jj

bjj

cj

daaaa

A2

110

012

1001

1

2221

1211

.

1000

,0100

,0010

,0001

B

112

Problema R.2

Sigui M22 l’espai vectorial de les matrius de 2 files i 2 columnes de coeficients reals sobre el cos commutatiu dels reals. a) Sigui

F Aa bc d

M a b c d k i a c b d

2 2 / ,

essent k un nombre real, trobeu els valors de k perquè F sigui un subespai

vectorial de M22 .

b) Sigui

G Aa bc d

M a d c b i a b

2 2 2/ ,

trobeu una base i la dimensió de G.

c) Sigui

H Aa bc d

M a b

2 2 0/

un subespai vectorial de M22, completeu el conjunt

U

0 01 1

0 01 1

,

fins a obtenir una base de H.

d) Siguin 2 subespais vectorials de M22 definits per:

V V1 21 00 0

0 00 1

1 00 1

1 00 1

, , .

Trobeu la relació entre els coeficients d’una matriu A V V 1 2 .

Trobeu una base de V V1 2 . Justifiqueu si V V1 2 és un subespai vectorial de M22 en aquest cas concret.

113

SOLUCIÓ:

a) Tot subespai vectorial F d’un espai vectorial E conté l’element neutre de l’espai E. Per tant, si F és un subespai vectorial de M22, F ha de contenir l’element neutre:

000000000

kkF .

Queda demostrat que per a 0k , F no és un subespai vectorial; ara cal demostrar que per a k = 0, F sí és subespai vectorial.

b) Base de G =

11

00,

1012 , i dim(G) = 2.

c) Primer cal calcular una base i la dimensió de H:

0/22 baM

dcba

AH abba 0

1000

0100

0011

dcadcaa

dcba

A .

base de H

1000

,0100

,0011

i dim(H) = 3.

(Són linealment independents ja que cadascuna de les matrius té una component diferent de zero, on la resta sí que són zero). Per completar el conjunt

U

0 01 1

0 01 1

,

fins a obtenir una base de H cal afegir una matriu de H linealment independent al conjunt U. Per exemple, la primera matriu de la base anterior compleix les dues condicions (pertany a H i és linealment independent del conjunt U), per tant,

base de H

00

11,

1100

,11

00.

d) Les matrius generades de V1 i V2 són linealment dependents. Per tant, generen el

mateix subespai, és a dir: 212121 VVVVVV . En aquest cas concret doncs, la unió sí que és un subespai vectorial.

114

1000

,0001

0 2121 VVBasecbVVdcba

A .

Problema R.3

Sigui V l’espai vectorial dels polinomis amb coeficients i variable real de grau 3 , definim un subconjunt de V de la forma següent:

001/1

1xxd

xpdipVxpW .

a) Comproveu si W1 és o no és un subespai vectorial de V. b) Trobeu una base i la dimensió de W1. c) Doneu una base de W1 que contingui el polinomi 2

1 242 xxxe .

SOLUCIÓ:

a) La condició d’un subespai vectorial s’ha de demostrar mitjançant dos elements genèrics p(x) i g(x) de W1 i dues constants escalars arbitràries i reals.

0011

1 xdx

xrdirWxgxpxr .

Comprovem les dues condicions del subespai W1 per a un element genèric r(x) obtingut com a combinació lineal d’altres dos: 1) 000111 gpr . 2)

0001111

xxxx dxxgd

dxxpd

dxxgxpd

dxxrd

.

Per tant, queda demostrat que W1 és un subespai vectorial de V. b) Per trobar una base hem de partir de l’expressió d’un element genèric de W1.

,,,,, 32103

32

2101 aaaaxaxaxaaxpWxp

101 3210 aaaap

115

2032320 3211

2321

1

aaaxaxaadx

xpdx

x

Les equacions [1] i [2] formen un sistema d’equacions lineals compatible indeterminat, la solució del qual pot expressar-se de la següent forma:

320

321

232

aaaaaa

.

Per tant,

323

32

2

23232321

,3221

322

aaxxaxxa

xaxaxaaaaxpWxp

.

És a dir, qualsevol polinomi de W1 és combinació lineal de 2 polinomis, i en ser aquests dos polinomis linealment independents també són una base de W1.

2dim32,21 132

1 WxxxxWBase . NOTA: es pot comprovar que aquests dos polinomis compleixen les dues condicions imposades dins de W1. c) Perquè un conjunt B format per dos polinomis e1(x) i e2(x) de V sigui una base de

W1 s’han de complir dues condicions: 1) B ha de ser un conjunt linealment independent. 2) 121 , Wxexe . Una possible base és prendre e1(x) = 2 – 4x + 2x2 i com a e2(x) qualsevol vector de la base de l’apartat b) que sigui linealment independent amb e1(x). Com que e1(x) és dues vegades el primer vector de la base calculada a l’apartat b), podem escollir com a segon el segon vector de la mateixa base anterior, és a dir, e2(x) = 2 – 3x + x3.

Problema R.4

En 4 , espai vectorial sobre , a) Siguin e1, e2, e3 i e4 vectors linealment independents a 4 . Demostreu, aplicant la

definició d’independència lineal, que els vectors u1 = e1, u2 = e2 + e3, u3 = e2 – e4 i u4 = e4 també són linealment independents.

b) Sigui E = {e1, e2, e3, e4} una base de 4 i v un vector que, expressat en aquesta

base E, té per components E

v (1, 2, 1, 0). Expresseu v en components referides a la base U = {u1, u2, u3, u4} (sense calcular la matriu de canvi de base).

116

c) Comproveu si el conjunt H = {(x, i, z, t) | i = x + z, i t = 0} és un subespai vectorial de 4 , on és un enter qualsevol. Trobeu la dimensió i una base de H per a un valor qualsevol de .

SOLUCIÓ:

a) Perquè e1, e2, e3, e4 siguin linealment independents sabem, per la definició, que han de complir la següent condició:

1e1 + 2e2 + 3e3 + 4e4 =0 04321 .

Ara, doncs, volem veure que també es compleix:

1u1+2u2+3u3+4u4 = 0 04321 . Per la definició dels ui tenim que 1u1+2u2+3u3+4u4 = 0 és equivalent a:

1e1+2(e2+e3)+3(e2-e4)+4e4 = 0. Agrupant els termes adequadament:

1e1 + (2 + 3)e2 + 2e3 + (4 - 3)e4 = 0, i com que sabem que e1, e2, e3, e4 són linealment independents, tenim que es complirà amb tota seguretat el següent sistema d’equacions lineals:

1 = 0 2 + 3 = 0 2 = 0

4 – 3 = 0. I resolent el sistema obtenim, com a única solució:

04321 . Per tant, u1, u2, u3, u4 són linealment independents. b) Sabem que v = (1, 2, 1, 0) en la base de E, per tant podem escriure v com la

combinació lineal:

v = 1e1 + 2e2 + 1e3 + 0e4. [1]

Volem trobar v expressat en la base de U, per tant, volem a, b, c, d tals que:

v = au1 + bu2 + cu3 + du4 (per la definició dels ui) = ae1 + b(e2 + e3) + c(e2 – e4) + de4 (agrupant de forma convenient)

= ae1 + (b + c)e2 + be3 + (d - c)e4. [2]

117

Igualem ara els coeficients de les expressions [1] i [2] de v i obtenim el sistema:

a = 1 b + c = 2

b = 1 d – c = 0.

I resolent, obtenim: a = b = c = d = 1. Per tant, v |U = (1, 1, 1, 1) (en la base U). c) Sigui el conjunt H = {(x, i, z, t) i = x + z i t = 0}. Volem comprovar que és un

subespai vectorial, per tant, que compleix:

(i) u , v H , u + v H

Vegem-ho:

u = (u1, u2, u3, u4) tal que u2 = u1 + u3 i u4 = 0. v = (v1, v2, v3, v4) tal que v2 = v1 + v3 i v4 = 0.

Per tant, podem escriure u i v:

u = (u1, u1 + u3, u3, 0). v = (v1, v1 + v3, v3, 0).

Calculem ara:

u + v = (u1 + v1, u1 + u3 + v1 + v3 , u3 + v3, 0) = = (u1 + v1, (u1 + v1) + u3 + v3, u3 + v3 , 0).

Per veure més clarament que és un element de H substituïm per:

a = u1 + v1. b = u3 + v3.

Obtenim:

u + v = (a, a + b, b, 0) H. Per tant, H és un subespai vectorial de 4. Trobem ara la dimensió i una base de H. Per tal de fer-ho, considerem l’expressió general d’un vector de H.

(a, a + b, b, 0) = a (1, , 0, 0) + b (0, 1, 1, 0).

Tenim que (1, , 0, 0) i (0, 1, 1, 0) generen, però encara cal comprovar que són linealment independents. Ho farem aplicant la definició:

118

1(1, , 0, 0) + 2(0, 1, 1, 0) = 0

(1 , 1 + 2 , 2 , 0) = 0

. I obtenim el sistema:

1 = 0 1 + 2 = 0

2 = 0, que té com a solució única: 1 = 2 = 0. Així, comprovem que són dos vectors linealment independents. Per tant, una base de H és {(1, , 0, 0), (0, 1, 1, 0)}, i la dimensió de H és 2.


Problema P.1

Donat el subconjunt H de R4 definit per:

H = {(x + i, 2x – z, x + i + z, 0) | x, i, z R}.

Comproveu si és o no és un subespai vectorial de R4. En el cas que ho sigui trobeu una base de H i la seva dimensió.

SOLUCIÓ:

H sí és un subespai vectorial de R4 i dim(H) = 3.

Problema P.2

Sigui CzzzzCCCC i /),,( 3213 .

a) Trobeu una base de C3 sobre R. b) Sigui el subconjunt M = {(z1, z2, z3) C3/ z1 + p z2 + q z3 = 0} on p, q C. Determineu si M és un subespai vectorial de l'espai vectorial de C3 sobre R. c) Comproveu si M és un subespai vectorial de l'espai vectorial de C3 sobre el cos C. d) Trobeu una base de M subespai vectorial de l'espai vectorial de C3 sobre el cos C.

119

SOLUCIÓ:

a) {(1, 0, 0), (j, 0, 0), (0, 1, 0), (0, j, 0), (0, 0, 1), (0, 0, j)}. b) Sí és un subespai vectorial. c) Sí és un subespai vectorial.


Sigui P2(x) l'espai vectorial dels polinomis de grau 2 amb coeficients reals i variable real sobre el cos commutatiu dels reals. a) Sigui E = {1, x, x2} una base de P2(x). Trobeu una altra base de l'espai E en la qual

figuri el vector {x2+3}. b) Si F P2(x) i F = {p P2(x)/p(0) = 0}, demostreu que F és un subespai vectorial

de P2(x). c) Trobeu les matrius de canvi de base de E a D = {1, 1 + x, 1 + x + x2} i de D a E. d) Trobeu les components del vector p(x) = 2x2 + 3x + 2 en funció de la base D.

RESUM En aquesta sessió s’han presentat diferents exercicis resolts en els quals s’han aplicat conceptes tractats al capítol 3, i també s’han proposat tres nous exercicis per practicar aquests conceptes.

121

SESSIÓ 13: Primera visita a l’aplicació ALGTEC

FITXA DE LA SESSIÓ Nom: Primera visita a l’aplicació ALGTEC Tipus: pràctica Format: no presencial Durada: 5 hores Treball a lliurar: no Material:


PRECEDENTS A les 12 primeres sessions del curs ja hem tractat uns quants conceptes algebraics interessants (sobretot al capítol 3). En aquesta sessió veurem com aquests conceptes poden aplicar-se per resoldre situacions tècniques provinents de problemes reals.

OBJECTIUS L’objectiu d’aquesta sessió és el de mostrar l’alumne que els conceptes algebraics poden aplicar-se per resoldre problemes provinents de l’àmbit tècnic.

CONTINGUTS En aquesta sessió es presenta l’aplicació ALGTEC (ÀLGebra i TECnologia) que recull alguns problemes tècnics reals que són modelats algebraicament i resolts posteriorment aplicant eines algebraiques. Al llarg del curs es presentaran les deu situacions reals que hi ha incloses en ALGTEC. En aquesta sessió es presentaran les cinc primeres.

122

3.11. Primera visita a l’aplicació ALGTEC

3.11.1. Presentació d’ALGTEC ALGTEC és una aplicació que mostra que molts conceptes algebraics poden, si són ben aplicats, resoldre problemes provinents de l’àmbit tècnic. Actualment, l’aplicació ALGTEC presenta deu situacions provinents de l’àmbit tècnic modelades i desenvolupades aplicant algunes de les eines algebraiques presentades a les sessions del curs. Cada aplicació desenvolupada conté dos apartats: 1. Presentació de l’explicació. Es presenta el procés de modelització a través del

qual el problema real es transforma en un problema algebraic que es resol aplicant conceptes estudiats. Posteriorment, s’interpreta la solució obtinguda dins del context tècnic real del qual prové el problema.

2. Mòdul d’experimentació, amb el qual l’alumne pot experimentar i fer proves amb el fi de comprendre millor els conceptes exposats en la presentació del procés de modelització.

ALGTEC es pot visitar en la següent adreça: http://estudi.salle.url.edu/coures/view.php?id=1292

3.11.2. Aplicacions d’ALGTEC que fan servir els conceptes tractats als tres primers capítols del curs

Detecció de moviment

El problema presentat en aquest títol reflecteix com la resta de matrius pot utilitzar-se per detectar si s'ha produït o no moviment en una escena, partint d'imatges consecutives, sempre que la il·luminació de l’esmentada escena sigui uniforme i controlada. L'exposició d'aquesta situació tècnica s'inicia introduint l'alumne al món de la imatge digital. Per facilitar les explicacions es mostren imatges en blanc i negre. Aquestes imatges, després de ser digitalitzades, són emmagatzemades a l'ordinador en una matriu , on m fa referència al nombre de files i n al nombre de columnes. A cada posició (i, j) de la matriu s'emmagatzema un valor numèric que correspon al valor del nivell de gris del píxel que ocupa la mateixa posició a l'espai. Una seqüència d'imatges digitals consistirà, doncs, en una seqüència de K matrius , on

. Dins d’aquest context, per saber si s'ha produït moviment només cal comparar dues imatges consecutives. Una forma senzilla de fer aquesta comparació és realitzar la resta entre les matrius corresponents i comprovar després si el resultat obtingut presenta valors diferents de zero. A la pràctica poden produir-se lleugeres variacions del nivell de gris en píxels de la imatge en els quals no hi ha hagut moviment, a causa de sorolls o d’errors de precisió dels sensors de la càmera que capten la imatge. Per aquest motiu, a l'exposició es proposa suposar que hi ha moviment en aquelles posicions de la matriu en les quals apareguin valors superiors,

http://estudy.salle.url.edu/course/view.php?id=1292

123

en valor absolut, a un llindar prefixat. És a dir, si hi ha moviment, on rij fa referència a cadascun dels elements que formen la matriu R. L'exposició corresponent a aquest exemple d'aplicació de conceptes algebraics al món del processat digital d'imatge s’acompanya d’un mòdul d'experimentació, on es poden seleccionar dues imatges corresponents a una seqüència, visualitzar la resta entre les dues i binaritzar la imatge final utilitzant un llindar prèviament fixat.

L’àlgebra al xifrat de missatges

A l'exposició corresponent a aquest exemple d'aplicació es planteja una forma senzilla de codificar un missatge de text per tal d’evitar que alguna persona no autoritzada pugui llegir-lo. Després de realitzar la traducció directa a nombre de cadascun dels caràcters que formen el missatge, seguint la taula ASCII, es proposa separar l’esmentada seqüència de nombres en grups de, per exemple, tres. Així, cadascun dels grups formats pot veure's com un vector . Amb tots els vectors formats es pot generar la matriu M, col·locant els vectors en ordre de manera que constitueixin les columnes de M. Aquesta matriu representa el missatge a encriptar. Prenguem ara una matriu tal que existeixi la seva matriu inversa . Per encriptar el missatge de forma senzilla només cal multiplicar la matriu del missatge M per la matriu C de xifrat. Les columnes de la matriu M' = C·M correspondran al missatge xifrat. Per desxifrar el missatge només s’ha de multiplicar la matriu corresponent al missatge xifrat M' per la inversa C–1, obtenint com a resultat novament la matriu M = C–1 M' original que conté els nombres corresponents als codis ASCII del missatge original.

Al mòdul d'experimentació associat a aquest exemple es poden modificar les matrius de xifrat, desxiframent i el missatge a xifrar, i observar la seqüència de nombres corresponents al missatge sense xifrar, xifrat i desxifrat.

Generació de moviment

En aquest exemple, es proposa generar diferents posicions d'un objecte 3D definit pels punts que el formen, partint d'un nombre petit de posicions fixes d'aquest mateix objecte. La idea principal és observar que l’objecte pot representar-se amb una matriu de 3 files i N columnes, on N correspon al nombre de punts total que defineixen l'objecte, i on cada columna representa les coordenades x, i, z de cadascun dels punts. Així, si les matrius P1, P2, P3 i P4 representen 4 posicions fixes diferents d'un objecte, la combinació lineal

correspondrà a una nova posició de l’objecte que dependrà del valor dels paràmetres i escollits, on . Al mòdul d'experimentació associat a aquesta aplicació es pot seleccionar entre dos elements diferents (una cara i una mà) i modificar els paràmetres λi, que multipliquen cadascuna de les matrius que representen posicions fixes dels cossos. Aquesta

124

modificació es realitza fàcilment desplaçant amb el ratolí els controls que apareixen a la pantalla, i l'aplicació mostra en pantalla la nova posició generada.

Compressió d’informació aplicant canvis de base

La situació plantejada proposa disminuir l'espai necessari per emmagatzemar un fitxer d’àudio que ha estat digitalitzat utilitzant una freqüència de mostreig bastant superior a la necessària. En aquest exemple es planteja reduir la redundància aplicant un canvi de base. Per a això, les mostres que formen el fitxer d’àudio a comprimir són agrupades de 3 en 3 (es fa així per poder visualitzar a l'espai cadascun d'aquests vectors i extreure posteriorment algunes conclusions) i són interpretades com a vectors

expressats en base canònica. Amb el fi d’emmagatzemar menys

components de cada vector es planteja canviar de base tots aquests vectors, i expressar-los en una nova base B formada per 3 nous vectors, ortogonals entre ells, entre els quals aparegui el vector (1, 1, 1), que apunta en la direcció apuntada (de forma aproximada) per la majoria de vectors (a causa del sobremostreig). Així, si cada vector és expressat en la base B, i suposant que el primer vector de la base és el vector (1, 1, 1), obtindrem una nova representació d’aquests vectors en la qual la primera component és molt superior a les altres dues, per la qual cosa, assumint unes pèrdues mínimes, podem emmagatzemar només la primera de les components i aproximar a zero les altres dues. D’aquesta manera, el fitxer comprimit estaria compost per la primera component de cada vector en aquesta nova base, i ocuparia així una tercera part de l’espai que ocupava el fitxer original. Evidentment, per tornar a escoltar el fitxer s’ha de descomprimir prèviament. El procés de descompressió consisteix a prendre cadascuna de les components emmagatzemades, afegir dos zeros per tal de formar un vector de i interpretar-lo com a vector expressat en la base B. Posteriorment es realitza el canvi de base invers, de base B a base canònica de i es col·loquen ordenats novament els vectors obtinguts. Al mòdul d’experimentació associat a aquest exemple es poden escollir els vectors que componen la nova base, i escoltar un fitxer d’àudio abans i després de comprimir-lo.

Compressió d’imatges

En aquesta aplicació es mostra la mateixa idea presentada a l’exemple anterior, però aplicada ara a la compressió d’imatges digitals. Com exemple, es presenta el format de compressió d’imatges JPG, en el qual l’aplicació d’un canvi de base permet reduir considerablement la mida d’un fitxer d’imatge sense que, aparentment, es produeixin pèrdues en la imatge.

RESUM En aquesta sessió s’han presentat els cinc primers exemples desenvolupats a l’aplicació ALGTEC, en els quals s’ha pogut comprovar que els conceptes tractats a les sessions anteriors es poden aplicar en problemes provinents de l’àmbit tècnic.

125

SESSIÓ 14: Aplicació lineal, definició i propietats

FITXA DE LA SESSIÓ Nom: Aplicació lineal, definició i propietats Tipus: teòrica i problemes Format: no presencial Durada: 5 hores Treball a lliurar: no Material:


OBJECTIUS Es definirà el concepte d’aplicació lineal i s’explicaran les seves propietats.

CONTINGUTS En aquesta sessió es defineix el concepte d’aplicació lineal i es detallen quines són les seves propietats. Es mostren dos exemples d’aplicacions lineals i es proposen sis exercicis que il·lustren els conceptes explicats.

4. Aplicacions lineals

4.1. Concepte d’aplicació lineal, definició i propietats

4.1.1. Definició d’aplicació lineal

Definició d’aplicació

Una aplicació es defineix com una relació entre conjunts, de forma que a cada element del conjunt origen li correspon un únic element (imatge) del conjunt final.

126

Definició d’aplicació lineal

Siguin E i F dos espais vectorials sobre un mateix cos commutatiu K, i sigui f una aplicació de E en F:

FEf : )(ufu .

Direm que f és una aplicació lineal si i només si:

)()())()()()

ufufbvfufvufa

Evu , i K .

O equivalentment,

)()()( vfufvuf Evu , i K , .

Exemple 1

Donada la següent aplicació f:

2:f yxyxfufyxu ),()(),(

. És f una aplicació lineal?

SOLUCIÓ:

Perquè sigui una aplicació lineal s’ha de complir que:

)()()( vfufvuf .

Si ho comprovem en l’aplicació f,

212121212211 ),()),(),(()( yyxxyyxxfyxyxfvuf

)()()()(),(),()()( 221122112211 yxyxyxyxyxfyxfvfuf

,

podem afirmar que sí, f és una aplicació lineal.

127

Exemple 2

Donada la següent aplicació f:

2:f xyyxfufyxu ),()(),(

. És f una aplicació lineal?

SOLUCIÓ:

Perquè sigui una aplicació lineal s’ha de complir que:

)()()( vfufvuf .

Si ho comprovem en l’aplicació f,

))((),()),(),(()( 212121212211 yyxxyyxxfyxyxfvuf

))()(),(),()()( 221122112211 yxyxyxyxyxfyxfvfuf ,

podem dir que no, f no és una aplicació lineal.

4.1.2. Propietats A continuació es detallen les propietats que compleixen totes les aplicacions lineals: )()()( 22112211 ufufuuf

EuuK 2121 ,, .

Generalitzant aquest resultat:

)()(11

i

m

iii

ii ufuf

EuK ii .

FEf 0)0(

(la imatge de l’element neutre de E és l’element neutre de F).

DEMOSTRACIÓ (també es pot veure directament per aplicació directa de linealitat):

EvvE

00

FE vfvff 0)(0)0()0(

.

)()( vfvf

(la imatge del simètric és el simètric de la imatge).

DEMOSTRACIÓ:

)()()()())(()0(0 vfvfvfvfvvff EF

.

La composició d’aplicacions lineals és també una aplicació lineal.

128

Siguin

FEf : i GFg :

dues aplicacions lineals, aleshores:

)())(())(()(

:

uhufgufgufuGgFfEh

fgh és una aplicació lineal.

Sigui EH un subespai vectorial, aleshores FHf )( és un subespai vectorial

de F.

})(|{)( vufquetalHuFvHf (imatge dels elements de H ).

Sigui FW un subespai vectorial, aleshores EWf )(1 és un subespai vectorial

de E (sempre que W estigui inclòs en la imatge de F, concepte que es definirà més endavant).

WufEuWf )( que tal)(1

(antiimatge dels elements de W).


Problema P.1

Demostreu si f és una aplicació lineal:

23: f zyxufzyxu ,)(,,

.

129

Problema P.2


22: f 2,)(, xyxufyxu

.

Problema P.3


22: xMf no és aplicació lineal.

)(det bcadAdcba

A

.

Problema P.4


222: xMf

)2,( baddcba

.

Problema P.5


xPxPf 23:

dxxdpxp )()(

232 32 dxcxbdxcxbxa .

Problema P.6


2222: xx MMf

dbca

dbcadcba

22.

130

RESUM En aquesta sessió s’ha definit el concepte d’aplicació lineal i s’han estudiat quines són les seves propietats. S’han presentat alguns exemples i s’han proposat uns exercicis per posar en pràctica els conceptes estudiats.

131

SESSIÓ 15: Més definicions associades a aplicacions lineals

FITXA DE LA SESSIÓ Nom: Més definicions associades a aplicacions lineals Tipus: teòrica i problemes Format: no presencial Durada: 5 hores Treball a lliurar: sí Material:


PRECEDENTS A la sessió anterior es va definir el concepte d’aplicació lineal i es van determinar quines són les propietats que compleix.

OBJECTIUS En aquesta sessió es veuran les definicions d’altres conceptes associats a les aplicacions lineals.

CONTINGUTS Al llarg d’aquesta sessió es definiran els conceptes de nucli i d’imatge d’una aplicació lineal, i es presentaran alguns exemples per il·lustrar-los. Al final de la sessió es veurà un seguit de proposicions relacionades amb els conceptes estudiats fins al moment i es proposarà un exercici a lliurar.

4.2. Subespai nucli d’una aplicació lineal

4.2.1. Definició

El nucli d’una aplicació lineal f )(Kerf és el subespai vectorial de E format per tots els vectors de E que tenen per imatge l’element neutre de F.

FufEuKerf 0)(/ .

132

Demostració

Si EKerf és subespai vectorial ha de complir:

KerfyxK

Kerfyx

,

,

Kerfyxyfxfyxf

000)()()( .

4.2.2. Exemples

Exemple 1

Sigui 23: f una aplicació lineal:

zyxzxzyxu ,,,.

Trobeu una base i la dimensió de Kerf .

SOLUCIÓ:

)0,0(),,(/,, 3 zyxfzyxKerf

xzy

zyxzx

0

00

zxyzyxKerf ;0/,, 3 .

La forma dels vectors de Kerf és )1,0,1()1,0,1(,0, Kerfzzz .

Base de 1,0,1Kerf i 1dim Kerf .

Exemple 2

Sigui 222: xMf una aplicació lineal:

),2( cbbadcba

.

Trobeu una base i la dimensió de Kerf .

133

SOLUCIÓ:

d

ccacbcb

ba

c2c- :nucli del vectorsdels Forma

2 i

002

.

Base de Kerf

1000

,0221

i 2dim Kerf .

4.3. Subespai imatge d’una aplicació lineal

4.3.1. Definició

La imatge d’una aplicació lineal f ( fIm ) és el subespai vectorial de F format per les imatges de tots els vectors de E:

vufEuFvf ,/Im .

4.3.2. Exemples

Exemple 1

Demostreu que fIm és un subespai vectorial de F.

SOLUCIÓ:

Exx

fxxffxfxfsicomproCalfxfxftConsideran

21

2121

21

que ja pertany, que Sí

?Im)( :linealitatper Im)()(varIm)(),(

.

Exemple 2

Trobeu una base i la dimensió de fIm .

xyyxyxxfyxxf

,,,: 32

.

134

SOLUCIÓ:

)1,1,1(),1,1,1(Im)1,1,1()1,1,1(,,,, fyxyyyxxxxf .

Els vectors són linealment independents i generats, per tant, formen una base de

fIm . Així doncs:

base de fIm 1,1,1,1,1,1 i dim de fIm 2.

La forma dels vectors de la imatge de f és:

0,1,-1) (1,0,0), :possible base altra Una),,( 01111

11bbabc

cba

.

Exemple 3

Trobeu una base i la dimensió de fIm .

),,(

: 322

cabcbadcba

Mf x

.

SOLUCIÓ:

)1,1,0(),0,1,1(),1,0,1(Im)1,1,0()0,1,1()1,0,1(),,0(0,,,0,

fcbaccbbaaAf

.

Dels tres vectors que generen Im f només hi ha dos linealment independents.

Base de fIm 0,1,1,1,0,1 i dim de fIm 2.

Per saber la forma que tindran els vectors de la imatge procedirem com al primer parcial: hem de forçar que el sistema que s’obté a partir de la igualtat

),,()0,1,1()1,0,1( cba sigui compatible. És a dir,

),,(0011011

bababacabccba

.

Una altra base possible: {(1, 0, 1), (0, 1, 1)}.

135

4.4. Altres proposicions i definicions

4.4.1. Proposició 1

Sigui FEf : una aplicació lineal i E un espai vectorial de dimensió finita, aleshores:

fKerfE Imdimdimdim .

Demostració

Suposem el conjunt ruuuU ,..., 21 com a base de Kerf .

nrrKerf

nE

dimdim

ja que EKerf subespai vectorial.

Completem la base de Kerf fins a obtenir una base de E. Podem trobar n r vectors de E tals que afegits als r vectors de U formin un conjunt de n vectors linealment independents, obtenint així una base de E.

nrrr vvvuuuV ...,,,..., 2121 base de E.

Busquem ara una base del subespai fIm (per a complir la fórmula haurà de tenir n r vectors).

yxfquetalExfy )(Im

n

riiii

r

ii vuxEx

11

ja que nrrr vvvuuuV ...,,,..., 2121 base de

E;

n

riii

n

riiii

r

ii

n

riiii

r

ii vfvfufvufxfy

11111

)(0)()()()( ,

ja que 0)( ii ufKerfu

,

)(),......,(),(Im)(......)()(Im

212211 nrrnnrrrr vfvfvffvfvfvfyfy

.

Provem ara que aquest sistema de generats és un conjunt linealment independent de vectors:

?0.....0...... 212211 nrrnnrrrr vfvfvf (solució

única?).

136

Per linealitat tenim:

Kerfvvvvvvf nnrrrrnnrrrr

......0)......( 22112211 0.....21 nrr és l’única solució, ja que Kerfvvv nrr

,....,, 21 . Són generats i linealment independents, i per tant són base.

Base de )}(),......,(),({Im 21 nrr vfvfvff

KerfErnf dimdimImdim .


Una aplicació lineal FEf : queda determinada per les imatges d’una base de E.

Demostració

Sigui neee ,..., 21 base de E.

n

iiiexEx

1

i

són les components del vector .e vectorsde base laen i

x

n

iii

n

iii efefxf

11

aplicant definició d’aplicació lineal. xf

queda determinat per les imatges de la base )(),...(),( 21 nefefef .

4.4.3. Monomorfismes, epimorfismes i isomorfismes

Sigui FEf : una aplicació lineal.

f és injectiva o monomorfisme si

2121 )()( xxxfxf (vectors diferents tenen imatges diferents).

f és exhaustiva o epimorfisme si

yxfExFy )( (tot vector de F té antiimatge).

137

f és bijectiva o isomorfisme si f és injectiva i exhaustiva.


Sigui FEf : una aplicació lineal, aleshores:

f injectiva fEKerfKerf Im dimdim0dim0

. f exhaustiva FfFf dimImdimIm .

Observació

Si FEf : és una aplicació lineal bijectiva, aleshores FE dimdim .

f bijectiva Im perquè dimImdim

0dim

FfFfexhaustivaf

Kerfinjectivaf

.

FfKerfE dim0Imdimdimdim .

4.4.5. Rang de la matriu associada a una aplicació lineal

Sigui FEf : una aplicació lineal. Rang(A) = dim Imf, on A és la matriu associada a l’aplicació f. NOTA: es veurà en detall la definició de la matriu associada a una aplicació lineal a l’apartat 4.5 (sessió 16).

4.4.6. Aplicació inversa

Sigui FEf : una aplicació lineal bijectiva, aleshores definim l’aplicació inversa de f com:

EFf :1

uvfv )(1

tal que vuf )( .

NOTA: 1f també és una aplicació lineal bijectiva.

138

4.4.7. Exercici Aquest exercici s’ha de lliurar

Sigui 222: xMxPf una aplicació:

cbcba

cacbacxbxaxp

232)( 2 .

a) Demostreu que f és una aplicació lineal. b) Trobeu una base i especifiqueu quina és la dimensió de Kerf . c) Trobeu una base i especifiqueu quina és la dimensió de fIm . d) Raoneu si l’aplicació f és injectiva, exhaustiva o bijectiva.

RESUM En aquesta sessió s’han estudiat els conceptes de nucli i d’imatge d’una aplicació lineal. També s’han enunciat un conjunt de proposicions relacionades amb els conceptes estudiats i s’ha proposat un exercici que permet posar en pràctica els coneixements assolits a la sessió.

139

SESSIÓ 16: Matriu associada a una aplicació lineal

FITXA DE LA SESSIÓ Nom: Matriu associada a una aplicació lineal Tipus: teòrica Format: no presencial Durada: 5 hores Treball a lliurar: no Material:


PRECEDENTS A les dues sessions anteriors s’han estudiat els conceptes d’aplicació lineal, de subespai nucli i de subespai imatge, a més d’altres definicions i propietats associades.

OBJECTIUS En aquesta sessió s’estudiarà el concepte de matriu associada a una aplicació lineal.

CONTINGUTS Al llarg d’aquesta sessió s’estudiarà el concepte de matriu associada a una aplicació lineal i s’aprendrà com es pot deduir a partir de la definició de l’aplicació. També es veurà quina és la matriu associada a l’aplicació inversa d’una aplicació lineal que sigui bijectiva.

4.5. Matriu associada a una aplicació lineal La matriu associada a una aplicació lineal és una matriu que permet trobar la sortida de l’aplicació quan s’introdueix un vector determinat. Per a això cal considerar dues bases, la d’entrada i la de sortida. A continuació es detalla com deduir aquesta matriu associada.

4.5.1. Deducció

Sigui :f FE una aplicació lineal amb E i F espais vectorials de dimensió finita.

},.....,,,{ 3211 neeeeB base de E dimE = n).

},.....,,,{ 3212 mvvvvB base de F (dimF = m).

140

L’aplicació lineal queda determinada per les imatges d’una base de E:

i

n

iiexEx

1

nBx .....211

)()()(11

i

n

iii

n

ii efefxf

.

Volem trobar les components de Fxf )( respecte de la base 2B ,

mBxf .....)( 212

. Expressem Fef i )( com a combinació lineal de la base },.....,,,{ 3212 mvvvvB

de F

m

jjjii

mmnnnn

mm

mm

vaef

vavavaef

vavavaefvavavaef

1

2211

22221122

12211111

)(

..)(.

..)(..)(

.

m

jjj

m

jj

n

ijii

n

i

m

jjjii

n

i

m

jjjiii

n

iii

n

ii vvavavaefefxf

11 11 11 111)()()(

.

Per tant,

ji

n

iij a

1

mj ..1 .

Podem expressar matricialment aquest resultat:

mn

mnmmm

n

n

aaaa

aaaaaaaa

2

1

3

2

1

321

2232221

1131211

.

De la matriu de coeficients aij, que definirem com a F12, en direm matriu associada a f en bases B1 de sortida i B2 d’arribada.

141

mnmmm

n

n

aaaa

aaaaaaaa

F

321

2232221

1131211

12 .

De forma que:

m

B

n

B xfx

2

1

3

2

1

21)(

12 12)( BB xFxf .

Observacions

1) mxnMF 12 on nE dim i mF dim ,

2222

)()()()( 32112 BnBBB efefefefF

.

2) fImdim rang( 12F ).

Rang( 12F ) = nombre de vectors columna de 12F que són linealment independents. dim Imf = nombre de vectors linealment independents del conjunt

)}(),...,(),({ 21 nefefef ja que )(),(),(),(Im 321 nefefefeff .

4.5.2. Matriu associada a l’aplicació inversa d’una aplicació lineal bijectiva

Sigui FEf : una aplicació lineal bijectiva. Aleshores definim l’aplicació inversa de f com:

EFf :1

uvfv )(1 tal que vuf

)( .

NOTA: 1f també és una aplicació lineal bijectiva. Siguin 1B base de E i 2B base de F.

12F matriu associada a l’aplicació f en bases 1B de sortida i 2B d’arribada, aleshores:

142

nxnMF 12 és una matriu quadrada, ja que nFE dimdim .

0det 12 F ja que nFfrangF dimImdim12 .

nxnMF 12 i 11212 0det FF .

Vegem ara que 1

12F és la matriu associada a l’aplicació f-1 en bases 2B de sortida i 1B

d’arribada.

12F és la matriu associada a l’aplicació f en bases 1B de sortida i 2B d’arribada, per tant, multiplicant les dos parts de la igualtat per:

112F

12 12)( BB xFxf

12 121

121

12 )( BB xFFxfF

12)(1

12 BB xIdxfF .

12)(1

12 BB xxfF sigui yxf

)( és a dir )(1 yfx .

21

112

1 )( BB yFxf .

4.5.3. Exemples

Exemple 1

Donada la següent aplicació lineal f:

:f 4 3 4342414321 ,,,,, xxxxxxxxxx .

Trobeu la matriu associada a f en base canònica.

SOLUCIÓ:

Busquem les imatges de la base canònica: 1,1,11,0,0,0

1,0,00,01,00,1,00,0,1,00,0,10,0,0,1

ffff

,

la matriu associada serà

110010101001

CCF .

fImdim frangFCC 3dim3 és exhaustiva.

1dimdimImdimdim 4 KerfKerff .

143

Exemple 2

Donada l’aplicació lineal f:

)()(: 21 xPxPf ))()2()( 2axxbabaufbxau

,

i les bases B1 i B2:

}1 ,1{1 xB base de ).(1 xP }xx1 x,1 ,1{ 2

2 B base de ).(2 xP

Trobeu la matriu associada a f en els casos següents: a) En base canònica. b) En base B1 de )(1 xP i canònica de ).(2 xP c) En base canònica de )(1 xP i B2 de ).(2 xP d) En base de B1 de )(1 xP i B2 de ).(2 xP e) Estudieu si f és injectiva, exhaustiva o bijectiva. f) Trobeu una base del nucli i de la imatge de l’aplicació.

SOLUCIÓ:

a)

011112

CCF .

b)

112112

1011

011112

··)( :forma Altra 112112

1111 CBCBcccC FxCFxfF

.

c)

011021

011112

100110

0111

222 CCCCCCC FCFCF .

d)

111011

1011

011112

100110

011

1212 CCCC CFCF .

144

e) frangFrangFrangFf CCCC 3dim2Imdim 321 no és

exhaustiva. ffKerf 022Imdimdimdim 2

és injectiva. f és injectiva, però no exhaustiva, per tant no és bijectiva.

Exemple 3

Donada l’aplicació lineal FEf : que en bases },,{ 3211 uuuB de sortida i

},,{ 3212 vvvB d’arribada té per matriu associada:

313202

211

12A .

Es demana:

a) Imatge dels vectors 3213212211 25,32,23 uuuxuuxuux

. b) Dimensió de Kerf i de fIm . c) Base de Kerf i de fIm .

SOLUCIÓ:

a) 12 1121 BB xAxf

1165

023

313202

211

3211 1165)(1165023 vvvxfvfi

3212 34)(341032 vvvxfvfi

3213 1062)(10 6 2215 vvvxfvfi

.

b) 3Imdim 12 rangAf . 033Imdimdimdim fEKerf .

c) 222

)3,2,2(,)1,0,1(,)3,2,1()(),(),(Im 321 BBBufufuff 3Imdim f els

tres vectors són linealment independents.

Base de fIm

145

}322,,32{})3,2,2(,)1,0,1(,)3,2,1{( 32131321222vvvvvvvvBBB

)}0,0,0{(}0{0dim

KerfKerf .

Exemple 4

Donada la següent aplicació:

2

222:

xbcbxdadcba

xPfM

.

I les bases B1 i B2:

1000

0101

0110

0021

1B

2

2 31 xxB .

a) Trobeu la matriu associada a f en bases B1 de sortida i B2 d’arribada. b) Trobeu una base i la dimensió de Kerf i de fIm de dues formes diferents:

sense utilitzar la matriu calculada a l’apartat a), i utilitzant la matriu calculada en a).

SOLUCIÓ: a)

2

2

2

2

00111000

10210101

0100110

2272210021

2

2

B

B

B

B

f

xf

xf

xxf

010200121207

12F .

b)

134Imdimdimdim3Imdim

22

12

fMKerfrangFf

x .

146

}0)({ 222

xbcbxdaAfM

dcba

AKerf x .

1001

00

00

00

0a

aa

dcba

cb

ad

bcb

da.

base del

1001

Kerf i 1dim Kerf .

Altra forma d’arribar al resultat:

aa

dcba

F B 3003

2a,3a)(a,-2a, obtenimOperant ......

0000

·1

12 .

Els elements de fIm són de la forma:

)1()()1( 222 dcxxxbaxbcbxda .

2222 ,,11,,,1Im xxxxxxf .

base de },,1{Im 22 xxxf i 3Imdim f . Una altra forma: sabem que els vectors (columna) que formen la matriu 12F estan expressats en components respecte de la base B2 i pertanyen a la imatge de l’aplicació (són vectors generats d’aquesta). Per tant, si agafem d’entre aquests vectors el màxim nombre de vectors linealment independents obtindrem una base de la imatge.

base = 1,1,)0,0,1(,)1,0,2(,)0,1,0( 2

222 xxBBB

.

RESUM En aquesta sessió s’ha estudiat el concepte de matriu associada a una aplicació lineal veient com es pot deduir a partir de la definició de l’aplicació. També s’ha estudiat quina és la matriu associada a l’aplicació inversa d’una aplicació lineal bijectiva.

147

SESSIÓ 17: Composició d’aplicacions lineals

FITXA DE LA SESSIÓ Nom: Composició d’aplicacions lineals Tipus: teòrica Format: no presencial Durada: 5 hores Treball a lliurar: no Material:


PRECEDENTS A les tres sessions anteriors s’ha estudiat què són les aplicacions lineals i diferents conceptes associats a elles.

OBJECTIUS Definir la composició d’aplicacions lineals.

CONTINGUTS En aquesta sessió es definirà la composició d’aplicacions lineals i la matriu associada a aquesta composició. Es mostrarà un exemple que posa en pràctica els conceptes estudiats.

4.6. Composició d’aplicacions lineals

4.6.1. Definició

Siguin FEf : i GFg : dues aplicacions lineals, aleshores, si definim h com:

)())(())(()(

:

uhufgufgufuGgFfEh

,

podem dir de h:

fgh . És una aplicació lineal.

148

4.6.2. Matriu associada a la composició d’aplicacions lineals

Siguin 1B base de E, 2B base de F i 3B base de G, i considerant que: 12F matriu associada a l’aplicació f en bases 1B de sortida i 2B d’arribada, 23G matriu associada a l’aplicació g en bases 2B de sortida i 3B d’arribada,

2312

321

:

GFBBBGgFfEh

.

Aleshores, la matriu associada a l’aplicació fgh en bases 1B de sortida i 3B d’arribada és:

122313 FGH .

Demostració

Considerant:

12 12)( BB xFxf Ex

.

23 23)( BB yGyg Gy

.

Aleshores:

1223131223))(())(()( FGHxFGxfgxfgxh

.

149

4.6.3. Exercici d’exemple

Donades les aplicacions lineals 33: f i 23: g de les quals coneixem:

233 gf 101 011 02 011 101 30 .

I sabent que:

Kerf120 . Kerg011 .

Trobeu: a) Matrius associades a f i g en base canònica. b) Matriu associada a f en bases 1200111011 B de

sortida i 0111010112 B d’arribada. c) Matriu de canvi de base de la base canònica de 3 a 1B . d) Matriu de canvi de base de la base canònica de 3 a 2B . e) Matriu associada a l’aplicació fgh en base canònica. f) Matriu associada a h en bases canònica de sortida i }30,02{3 B

d’arribada. g) Dimensions i base del nucli i de la imatge de f . h) Dimensions i base del nucli i de la imatge de g .

SOLUCIÓ:

a) Mètode 1

Coneixem:

000120

101011011101

fff

.

Considerem la base de 3 120,011,1011 B , i la base canònica de 3 100,010,001

3CB .

Trobem primer la matriu associada a f en bases 1B de sortida i 3CB d’arribada:

150

010001011

31CF .

Calculem la matriu de canvi de base de la base canònica de 3 a 1B :

111212211

101210011

)(

1

111 33CC

CC

212211

423

111212211

010001011

11 33 CCCC CFF .

Mètode 2

Coneixem:

000120

101011011101

fff

.

Els vectors de 3 és poden expressar de la següent forma:

1000102120

010001011100001101

.

Per les propietats d’aplicació lineal:

010001011

010001101fff

fff

1000102120 fff .

Resolent:

224100

112010213001

fff

.

I la matriu associada en base canònica:

151

212211

423

CCF .

Anàlogament per a g :

300111

CCG .

b) Mètode 1

12

2331 231

333

F

CCF

basedecanvi

f

BBBCC

000010001

010001011

111200111

21

3333 11

21212 CCCC FCFCF .

Mètode 2

000120

010011

001101011101011011101

2

2

2321

B

B

B

f

f

ff

000010001

12F .

c)

111212211

101210011

)(

1

111 CC CC .

d)

111200111

21

010101111

)(

1

122 CC CC .

152

e)

CC

CCCC

H

CGCFC

gf

BBB

233

636422

212211

423

300111

CCCCCC FGH .

f)

3

3 3

223

C

CCC

H

CCHC

basedecanvi

h

BBB

212211

636422

2003

61

636422

3002 1

1333 CCCCCCC HCHCH

.

g)

212211

423

CCF

2Imdim CCrangFf

123Imdimdimdim 3 fKerf

CCC BBBf 224,112,213Im

224,112,213Im f . Com que 2Imdim f , d’aquests tres vectors només hi ha 2 linealment independents.

Base de 112,213Im f

1202020

000

212211

423zzzzyx

zyx

zyx

.

Base de 120120

BBKerf .

153

h)

300111

CCG

2Imdim CCrangGg

123Imdimdimdim 3 gKer

CCC BBBg 31,01,01Im

31,01,01Im g . Com que 2Imdim g , d’aquests tres vectors només hi ha 2 linealment independents.

Base de 31,01Im g

01100

00

300111

xxxzyxxy

z

zyx

Base de 011011 CKerg .

RESUM En aquesta sessió s’ha estudiat què és la composició d’aplicacions lineals i quina és la matriu associada a aquest concepte. Al final de la sessió s’ha detallat la solució d’un exercici d’exemple que mostra els diferents conceptes estudiats durant les darreres sessions.

155

SESSIÓ 18: Exercicis resolts corresponents al capítol 4

FITXA DE LA SESSIÓ Nom: Exercicis resolts corresponents al capítol 4 Tipus: problemes Format: no presencial Durada: 5 hores Treball a lliurar: no Material:


PRECEDENTS Al capítol 4 s’ha estudiat què és una aplicació lineal i els conceptes relacionats.

OBJECTIUS Posar en pràctica els conceptes estudiats al capítol 4.

CONTINGUTS Aquesta sessió consta d’un conjunt d’exercicis resolts per posar en pràctica els conceptes estudiats al capítol 4.

4.7. Exercicis


Problema R.1

Sigui l’aplicació lineal ƒ: ℝ² → ℝ³ que verifica que ƒ(1, –1) = (–1, –2, –5) i que ƒ(2, –3) = (0, 5, 4). Determineu la matriu associada a ƒ en base canònica.

156

SOLUCIÓ:

Considerem la base B = {(1, –1), (2, –3)}, ja que la dimensió de l’espai de sortida és 2 = 2, i aquests dos vectors són linealment independents. Si mirem l’enunciat,

directament tenim que la matriu associada a ƒ en les bases B de sortida i canònica d’arribada és:

455201

A .

Volem obtenir, a partir d’aquesta, la matriu associada en canònica de sortida i d’arribada. Considerem la composició d’aplicacions següent:

CBC AC

fdebasecanvi

CB

322

.

Sabem que la matriu associada a la composició d’aplicacions g = ƒ o (canvi de base) és:

CBCC ACF , on A és la matriu associada a ƒ amb bases de sortida B i d’arribada C (canònica) i CCB la matriu de canvi de base de C a B. Podem trobar CCB de dues formes: directament o calculant CBC

-1. Fer-ho directament vol dir trobar les components dels vectors de la base canònica referides a la base B i posar-les com a columnes de CCB, és a dir:

(1, 0) = α1(1, –1) + β1(2, –3) i resolent tenim 1,30,1 B

(0, 1) = α2(1, –1) + β2(2, –3) i resolent tenim 1,21,0 B . Per tant, la matriu de canvi de base és:

11

23CBC .

Finalment, tenim que la matriu que buscàvem és:

141991123

1123

455201

CBCC ACF .

157

Problema R.2 Sigui E un espai vectorial de dimensió 3 sobre ℝ. Sigui 321 ,, eeeB

una base de E. Considerem l’aplicació lineal ƒ: E → E, que té per matriu associada en la base B (tant de sortida com d’arribada):

110431612

A .

Trobeu la matriu associada a ƒ en la base 321 ,, uuuU tal que:

33212211 2,, eueeueeu .

SOLUCIÓ:

Considerem la composició d’aplicacions lineals següents:

UCBABCUEEEE

BUUB

basecanvi

fbasecanvi

.

Per tant, seguint el diagrama anterior, la matriu associada a la base U tant de sortida com d’arribada la trobem de la forma:

UBUBUBBUUU ACCACCF 1 .

Calculem la matriu de canvi de base de U a B escrivint els vectors de U en la base B. A partir de l’enunciat tenim:

)2,0,0(200

)0,1,1(011

)0,1,1(011

33213

23212

13211

B

B

B

ueeeu

ueeeu

ueeeu

200011011

UBC .

Calculem la inversa d’aquesta matriu:

100011011

211

UBC .

158

Calculem ara la matriu FUU:

222251

1035

21

200011011

110431612

100011011

211

UBUBUU ACCF .

Problema R.3

Sigui ƒ: ℝ³ → ℝ² una aplicació lineal que en les bases 321 ,, eee de ℝ³ i 21 ,uu

de ℝ² té per matriu associada:

31

21

32

A .

Es pren en ℝ 3 la base 321 ,, vvv

definida com:

213132321 ,, eeveeveev .

a) Trobeu la matriu associada a ƒ si es conserva la base 21 ,uu

en ℝ2.

Es pren en ℝ2 la base 21 , ww tal que:

2,

221

221

1uu

wuu

w

.

b) Trobeu la matriu associada a ƒ si es conserva la base 321 ,, eee en ℝ3.

c) Quina és la matriu de ƒ en les bases V = 321 ,, vvv de ℝ3 i W = 21 , ww

de

ℝ2?

SOLUCIÓ:

a) Considerem la següent composició d’aplicacions lineals:

iiVEi

fbasecanvi

uAeCv

233 .

Per tant, la matriu associada a les bases V de sortida i U d’arribada la trobem de la forma

159

VEVU ACF .

Calculem, doncs, la matriu de canvi de base CVE. Per fer-ho, hem de trobar les components dels vectors de la base V respecte de la base E, les quals ens les dóna la pròpia definició dels vectors V = 321 ,, vvv

. Així:

011101110

VEC .

Per tant, ja sols ens queda calcular:

51

03

10

011101110

31

21

32

VEVU ACF .

b) Considerem la següent composició d’aplicacions lineals:

iUWii

basecanvi

f

wCuAe

223

.

Per tant, la matriu associada a les bases E de sortida i W d’arribada la trobem de la forma:

ACF UWEW .

Calculem, doncs, la matriu de canvi de base CUW. Per fer-ho, hem de trobar les components dels vectors de la base U respecte de la base W, les quals ens les dóna l’enunciat:

212211 , wwuwwu .

Per tant,

11

11UWC .

Finalment, ja només ens queda calcular:

42

31

15

31

21

32

1111

ACF UWUW .

160

c) Usarem els apartats anteriors per tal de trobar la matriu en les bases que se’ns demana. Considerem per a això la següent composició d’aplicacions lineals:

iUWiVUi

basecanvi

f

wCuFv

223

.

Així, la matriu que busquem la dóna:

4

633

11

51

03

10

1111

VUUWVW FCF .

Problema R.4

Tenim les següents aplicacions f i g sobre els següents espais vectorials:

)(21222 xPMM gx

fx .

Coneixem:

dcba

Afdcba

A

MM xf

x

)(

1222

,

i la matriu associada a g següent:

101111

21BBG .

Definim les següents bases:

1000

,0100

,0010

,0001

1C base de M2x2.

01

,10

1B base de M2x1, 21,,12 xxB base de P2(x) i

2,,12 xxC base de P2(x). a) Comproveu que l’aplicació f és lineal.

161

b) Doneu una base de ker i una altra de la imatge d’aquesta aplicació f (no doneu els elements de les bases expressats en components).

c) Trobeu FC1B1. d) Trobeu la matriu associada a l'aplicació h = g o f amb base de sortida C1 i base

d’arribada C2, és a dir HC1C2.

SOLUCIÓ:

a) Si és lineal ha de complir:

)()()(,

, 22 vfufvufR

Mvu x

.

Suposem:

''''

dcba

vdcba

u ,

i calculem:

)()(''''

''''

''''

)(

vfufdcba

dcba

ddccbbaa

ddccbbaa

fvuf

.

Per tant, és una aplicació lineal. b) kerf està format per tots aquells vectors de l’espai origen (matrius de M2x2) que

tenen per imatge l’element neutre de l’espai destí (matrius de M2x1), és a dir:

00

0)( uffKeru .

Vegem la forma d’aquests vectors del nucli imposant aquesta condició:

dcba

dcba

dcba

fuf

00

)(

.

Per tant, la forma genèrica de les matrius que pertanyen al nucli és:

1100

0011

caccaa

.

162

Aleshores, una possible base del nucli és:

base de kerf =

1100

,0011

.

El subespai Imf està format per tots aquells vectors de l’espai destí (matrius M2x1) que són imatge de vectors de l’espai origen (matrius M2x2), és a dir:

uxfMxfu x

)(Im 22 .

La forma dels vectors de Imf ens la dóna l’enunciat:

1

010

01

01

)( dcbadcba

xf .

Per tant, un sistema generat de les imatges seria:

10

,10

,01

,01

Im f .

Però aquí hi ha matrius que són linealment dependents de les altres. Si ens quedem amb les linealment independents (p. ex. la primera i la tercera, que formen la base canònica de M2x1), tindrem una base de Imf:

base de

10

,01

Im f .

c) Sabem que la matriu associada a una aplicació es construeix de la següent manera:

11000

10100

10010

10001

11 Bf

Bf

Bf

BfF BC .

Per tant:

00111100

110

110

101

101

11 BBBBF BC

.

d) Sabem:

163

2211

21

2111

)(21222

CBBC

PMM

CHC

BGBBFC

xg

xf

x

.

Per tant,

11212221 BCBBCBCC FGCH .

On:

100010101

21

221 2

22 Cx

Cx

CC CB .

Aleshores:

00111111

1122

11212221 BCBBCBCC FGCH .

Problema R.5

Sigui 321 ,, eeeB la base canònica de 3 i 33: f una aplicació lineal

definida per:

313

32131

32121

)(2)()()1()()(

eeefeeaeefef

eeaeaefef

.

a) Trobeu la matriu associada a f considerant la base B en l’espai de sortida i en el d’arribada.

b) Trobeu dim kerf i dim Imf en funció del paràmetre a. c) Per a quins valors del paràmetre a, f és bijectiva? d) Per a a = 2, sigui 321 ,, uuuD

base de 3 . Tenim que:

323

32

211

2 eeueu

eeu

.

Trobeu la matriu associada a f considerant la base D en l’espai de sortida i la base B en el d’arribada.

164

SOLUCIÓ:

a) Per tal de trobar la matriu associada a f, considerant la base B en l'espai de sortida i en el d'arribada, cal trobar les imatges dels vectors de B i expressar-les en components respecte de la base B. Per l'enunciat tenim, directament: 313 )( eeef

. Substituint aquesta en la segona equació obtenim:

32321311 2)( eeaeeaeeeef .

I restant la primera menys la segona equació substituint 313 )( eeef

, obtenim:

2132132 )1()()( eeaeeeaefef .

Trobem ara les components de les imatges en la base B:

)1,,0()()( 1321 aefeeaefB

)0,1,()()( 2212 aefeeaefB

)1,0,1()()( 3313 B

efeeef .

Així, la matriu que es demana és:

1010110

aa

FBB .

b) Sabem que BBFrangffKer 33 dimImdimdimdim (1). Calculem primer, doncs,

1010110

Imdim aa

rangFrangf BB .

Estudiem el rang en funció del paràmetre a, com que 11010110

2

aaa

tenim que:

Si 2112 BBrangFaa , ja que 011001

.

Si 3112 BBrangFaa .

165

Ara, usant (1) tenim: Si 1dim2Imdim1 fKerfa . Si 0dim3Imdim1 fKerfa . c) Si 3dim3Imdim1 fa , per tant f és exhaustiva.

0dim fKer , per tant f és injectiva.

d) Estudiem ara el cas . Per calcular la matriu associada a f, considerant la base D de sortida i la base B d'arribada, usarem la composició d'aplicacions lineals. Considerem:

333: fbase

canvi

f .

Així tenim que DBBBDB CFF on BBF és la matriu associada a f amb base B de sortida i d’arribada i DBC és la matriu de canvi de base de D a B. Per trobar DBC expressem els vectors de D en components respecte de la base B usant l'enunciat:

)0,1,1(1211 B

ueeu

)1,0,0(232 B

ueu

)1,2,0(2 3323 B

ueeu .

Aleshores:

110201001

DBC .

Per tant,

111201312

110201001

101012120

DBBBDB CFF .

166

Problema R.6

Donades les següents aplicacions lineals f i g:

2222 RxPM gf

x .

Coneixem:

210001

xf

, cbacxbxag ,2 .

10010

f ,

1011

,0101

,0010

,0001

1B base de 22xM .

210101

xxf

, 22

2 1,1,1 xxxB base de xP2 .

fKer

1011

, 1,1,0,13 B base de 2R .

a) Trobeu CCF (matriu associada a f en base canònica). b) Trobeu 12F (matriu associada a f en bases 1B de sortida i 2B d’arribada). c) Trobeu la base i la dimensió de fKer (els vectors de la base no han d’estar

expressats en components). d) Trobeu la matriu associada a xfg en base 1B i 3B . e) Raoneu si f és injectiva, exhaustiva o bijectiva.

SOLUCIÓ:

a) Per trobar CCF , necessitem calcular:

0001

f ,

0010

f ,

0100

f ,

1000

f .

Llavors:

210001

xf

; 1

0010

f

0100

110100

0001

0101 22 fxxxfff

167

xf

0100

10

000010

0001

1011

ffff

22

1000

1000

110 xffx

.

Arribats a aquest punt, ja podem calcular la matriu associada a l’aplicació en base canònica escrivint les imatges en la base i posant com a columnes els següents vectors:

100101000011

CCF .

b) El càlcul de la matriu 12F és directe, ja que tenim totes les imatges de la base, i

posar-les com a combinació lineal de la base 2B és immediat, per tant:

010000010010

12F .

c) Com es pot observar, el rang de la matriu CCF és 3, i per tant podem deduir:

si rang( CCF ) = 3 dim Imf = 3 dim kerf = 4 – 3 = 1.

Com que fKer

1011

, podem prendre aquest vector com a base del nucli, ja

que sabem que dim kerf = 1.

d) Hem de calcular la matriu associada a l’aplicació composta:

2222 RxPM gf

x 321 BBB .

Sabem que la matriu associada a l’aplicació composta 13H està formada per la multiplicació de les matrius de les aplicacions de la següent forma:

122313 ·FGH ,

essent 23G la matriu associada a l’aplicació g i 12F la matriu associada a l’aplicació f.

168

La matriu 23G la trobarem posant en columna les components referides a la base 3B

de les imatges de la base 2B de l’aplicació:

210101

1113

2

3

2323 bbb xxgxggG .

Per tant, la matriu 13H quedarà com:

02010110

010000010010

·210101

13H .

e) dim kerf = 1 no injectiva. dim Imf = 3 = dim xP2 exhaustiva. Com que és exhaustiva, però no injectiva no és bijectiva.

Problema R.7

A 2R es defineixen els següents endomorfismes1 r i e:

22: RRr tal que

cossinsincos

'

'

yxyyxx

. '' ,, yxyx

22: RRe tal que

y

x

ySyxSx

'

'

.

'' ,, yxyx L’endomorfisme r correspon a la rotació d’un punt d’un angle α, mentre que l’endomorfisme e correspon a l’escalat d’un punt en un factor xS sobre l’eix x, i en un factor yS sobre l’eix i. a) Trobeu les matrius de 2x2, R i E, corresponents a aquests endomorfismes,

expressades en base canònica. b) Volem rotar primer, i després escalar un punt de 2R . Trobeu la matriu en base

canònica que ens permet fer aquestes transformacions directament. c) Tenim un triangle definit a 2R per a aquests 3 punts: 1,1,1,0,0,1 . Trobeu la

nova posició d’aquest triangle si primer rotem 2

i després escalem en un factor 2

l’eix x, i en un factor 3 l’eix i.

1 Un endomorfisme és una aplicació lineal dins d’un mateix espai vectorial, és a dir, tant l’espai de sortida com el d’arribada són el mateix espai vectorial.

169

SOLUCIÓ:

a)

cossinsincos

)1,0(cos0,1sincos,sin1,0)1,0(sin0,1cossin,cos0,1

CCRr

r.

y

xCC

yy

xx

SS

ESSe

SSe0

0)1,0(0,10,01,0)1,0(00,10,0,1

.

b) Si primer volem fer una rotació i després una translació, caldrà aplicar primer

l’aplicació r i després l’aplicació e, quedant el conjunt de les dues com una aplicació composta:

CCCC

er

ERRRR 222

.

Per tant, la matriu de l’aplicació composta, en base canònica, serà:

·cos·sin·sin·cos

cossinsincos

·0

0

yy

xx

y

xCCCCCC SS

SSS

SREH .

c) Donades les dades, tenim que 2 , 2xS i 3yS . Substituint aquests valors

en la matriu anterior, aquesta ens queda de la següent manera:

0320

·cos3·sin3·sin2·cos2

CCH .

Si multipliquem cada punt del triangle, posant-los com a columnes dins d’una matriu de punts P, per aquesta matriu:

'303220

110101

·3020

PPHCC

.

Problema R.8

Sigui f la següent aplicació lineal entre polinomis:

221

)(2)()()(

xbabxabxafbxaxPxPf

.

També tenim definides les següents bases:

170

xB 1,11 base de )(1 xP ; xxB ,,12 2 base de )(2 xP .

a) Trobeu la matriu associada a l’aplicació f, amb base B1 de sortida i base B2 d’arribada 21BBF .

b) Trobeu una base del nucli de l’aplicació. c) Trobeu una base de la imatge de l’aplicació.

SOLUCIÓ:

a)

2221 )1()1(BBBB xffF

102122

22)1(

2)1(

212

2

BBFxxxf

xf

.

b)

.

c) )()2()(2)( 222 xxbxaxbabxabxaf

22 ,2Im xxxfBase , dim Imf = 2.

Problema R.9

Donada l’aplicació lineal f: 3 3 i sabent que:

S = {(0, 0, –1), (1, 0, –1), (0, 1, 0)} f(0, 0, –1) = (2, –5, –3) f(1, 0, –1) = (3, 0, –3) f(0, 1, 0) = (0, 3, 0).

a) Trobeu la matriu de f respecte de les bases S de sortida i canònica d’arribada.

171

b) Trobeu la matriu de f respecte de les bases canònica de sortida i canònica d’arribada.

c) Donat el subespai V, que verifica les condicions:

(x, i, z) V

020342

zyxzyx

.

Trobeu una base de V i calculeu l’antiimatge dels vectors que formen aquesta base.

SOLUCIÓ:

a) Directament de l’enunciat, a partir de les imatges dels tres vectors de la base S, que per defecte estan expressats en la base canònica de ℝ3:

033305032

SCF .

b) La matriu que ens demanen la podem calcular aprofitant el càlcul de l’apartat a) i fent un canvi de base en l’espai origen, concretament passant de la base S a la canònica amb la matriu de canvi de base CCS, de forma que la matriu que ens demanen serà FCC = FCS · CSC. Calculem doncs CCS, a partir de plantejar tres sistemes d’equacions similars en els quals posem cada vector de la base canònica de ℝ 3 com a combinació lineal dels vectors de la base S, és a dir:

010001101

)0,1,0(0)1,0,1(0)1,0,0(1)1,0,0()0,1,0(1)1,0,1(0)1,0,0(0)0,1,0()0,1,0(0)1,0,1(1)1,0,0(1)0,0,1(

CSM .

Per arribar a la solució indicada hem resolt el sistema de forma heurística, ja que els vectors de la base S ens permeten intuir com arribar a expressar a partir d’aquests els de la base S. Finalment:

300535201

010001101

·033305032

CCM .

c) Comencem per trobar la base del subespai V, trobant la solució del sistema

d’equacions platejat, que és un sistema compatible indeterminat:

172

)0,1,2()0,,2(),,(02

020342

yyyzyxz

yxzyxzyx

.

Per tant, el subespai V es pot expressar com )0,1,2(V . Per tal de trobar l’antiimatge del vector (–2, 1, 0), hem de trobar FCC

-1. Si procedim utilitzant un dels mètodes d’inversió de matrius, arribem a:

3/1003/53/13/53/201

1CCF .

Per tant, ja podem calcular l’antiimatge del vector (–2, 1, 0):

03/11

2

012

3/1003/53/13/53/201

.

L’antiimatge és el vector (–2, 11/3, 0).

Problema R.10

Siguin 223: xMf i tPMg x 322: dues aplicacions lineals, on P3[t] és

l’espai vectorial format pels polinomis de grau ≤ 3. Sabem que:

21)(

),,(

tt

AtAg

zyyyyx

zyxf

.

a) Trobeu les matrius associades a f i g respecte de les bases canòniques respectives.

b) Trobeu una base i la dimensió de kerf i de Imf. No deixeu la resposta en components.

c) Raoneu si f és injectiva, exhaustiva o bijectiva. d) Trobeu una base i la dimensió de kerh i de Imh, on h = g o f. No deixeu la

resposta en components.

173

SOLUCIÓ:

a) La base canònica de 3 és )1,0,0(),0,1,0(),0,0,1( i la base canònica de 22M és:

1000

,0100

,0010

,0001

.

Calculem, doncs, la matriu de l’aplicació f en aquestes bases. Per trobar la matriu associada a f calculem les imatges de la base de sortida i les expressem en coordenades de la base d’arribada:

Cf |0,0,0,10001

)0,0,1(

,

Cf |1,1,1,11111

)0,1,0(

,

Cf |1,0,0,010

00)1,0,0(

.

Escrivim les coordenades en columna i obtenim així la matriu:

110010010011

CCF .

Considerem la base canònica de tP3 com 32 ,,,1 ttt , calculem ara la matriu associada a g en les bases canòniques:

Cttt

ttt

tg |2 0,0,1,000

,10001

,10001

,

Cttt

ttt

tg |22

2

2 0,1,0,000

,10010

,10010

,

Cttt

ttt

tg |22

2 0,1,0,000

,10100

,10100

,

Cttt

ttt

tg |33

22 1,0,0,000

,11000

,11000

.

Escrivim les coordenades en columnes i obtenim així la matriu:

174

1000011000010000

CCG .

b) Com ja sabem, kerf = 0),,(|,, 3 zyxfzyx , per tant, un element de kerf

compleix que:

0000

zyyyyx

,

que és equivalent a què compleix el següent sistema d’equacions homogènies:

000

0

zyyy

yx

la solució del qual és la solució trivial )0,0,0(),,( zyx .

Per tant, kerf = 0 i dim kerf = 0.

Abans de calcular Imf podem calcular la seva dimensió de diverses formes.

Mètode 1: Sabem que:

dim Imf = rang( BCBCF ) = rang

110010010011

= 3,

ja que és una matriu amb només 3 columnes, per tant, el seu rang és com a màxim 3 i si agafem el determinant del menor format per la primera, segona i quarta fila ens dóna:

01110

010011

.

Llavors, el rang és com a mínim 3 i podem concloure que dim Imf és 3. Mètode 2:

dim 3 = dim kerf + dim Imf.

175

Per tant,

dim Imf = dim 3 – dim kerf = 3 – 0 = 3. Com ja sabem, les imatges d’una base formen un sistema de generats de Imf. Per tant,

Imf =

10

00,

1111

,0001

,

i aquestes matrius són linealment independents, ja que dim Imf = 3, per tant, formen una base d’aquest subespai amb tota seguretat.

c) Com que dim kerf = 0, aleshores f és injectiva. Com que dim Imf dim( 22M ), aleshores f no és exhaustiva. Com que f no és injectiva tampoc serà bijectiva.

d) Podem trobar la matriu de h associada a la base canònica fent el següent

producte de matrius:

CCCCCC FGH ,

110020011000

110010010011

1000011000010000

CCH .

Com que

02110

020011

,

fent un raonament idèntic al del segon apartat arribem a la conclusió que dim Imh = 3. Així doncs, les columnes de CCH formen una base de Imh, i tenint en compte que els vectors estan en la base canònica de polinomis:

Imh = 332 ,2, ttttt .

Per tant,

dim kerh = dim 3 – dim Imh = 3 – 3 = 0, i per tant

kerh = 0, i dim kerh = 0.

176

RESUM En aquesta sessió s’han presentat un conjunt d’exercicis per posar en pràctica els conceptes estudiats al capítol 4.

177

SESSIÓ 19: Exercicis proposats corresponents al capítol 4

FITXA DE LA SESSIÓ Nom: Exercicis proposats corresponents al capítol 4 Tipus: problemes Format: no presencial Durada: 5 hores Treball a lliurar: sí Material:


OBJECTIUS Posar en pràctica els conceptes estudiats al capítol 4.

CONTINGUTS Exercicis proposats del capítol 4.


Problema P.1

Discutiu si les següents aplicacions són o no lineals: a )

zyxxfzyxxf

432)(,,: 3

.

b)

yxyxxfyxxf

,2,1)(,: 32

.

c)

MAAMAfaAMMf

ij

nnnn

)(:

.

178

On M és una matriu de nnM qualsevol.

SOLUCIÓ:

a) És lineal. b) No és lineal. c) És lineal.

Problema P.2

Sigui 35: f l’aplicació lineal definida per:

xf = ƒ(x, i, z, s, t) = (x + 2i + z – 3s + 4t, 2x + 5i + 4z – 5s + 5t, x + 4i + 5z – s – 2t).

Trobeu una base i la dimensió de la imatge de ƒ.

SOLUCIÓ:

Base de la imatge:

2,1,0,3,0,1 B ; dim Imf = 2.

Problema P.3

Sigui 33: g l’aplicació definida per:

)(xg = g ((x, i, z)) = (x + 2i – z, x + 3i, x + i – 2z).

Trobeu una base i la dimensió del nucli de g.

SOLUCIÓ:

Base del nucli:

)1,1,3( B ; dim kerf = 1.

179

Problema P.4

Sigui l’aplicació lineal ƒ: R4 → R³ que té per matriu associada en base canònica:

313832531

1321F .

Trobeu una base i la dimensió de: a) La imatge de ƒ. b) El nucli de ƒ.

SOLUCIÓ:

a) Base i dimensió de la imatge:

)8,3,2(),3,1,1(B , dim Imf = 2. b) Base i dimensió del nucli:

)1,0,3,7(),0,1,2,1( D , dim kerf = 2.

Problema P.5

Sigui l’aplicació lineal 33: f que té per matriu associada en base canònica:

4121353521

F .

Trobeu una base i la dimensió de: a) La imatge de ƒ. b) El nucli de ƒ.

SOLUCIÓ:

a) Base i dimensió de la imatge:

)1,5,2(),2,3,1( B , dim Imf = 2.

b) Base i dimensió del nucli:

)1,2,1( D , dim kerf = 1.

Problema P.6

180

Sigui P10[x] l’espai vectorial dels polinomis reals de grau ≤ 10. Sigui l’aplicació lineal:

D4: P10[x] → P10[x] definida per

dxxpdxpD )())((

44 ,

és a dir, la quarta derivada. Trobeu una base i la dimensió de: a) La imatge de D4. b) El nucli de D4.

SOLUCIÓ:

a) Base de la imatge = {x6, x5, x4, x3, x2, x1, 1}. dim ImD4 és 7. b) Base del nucli = {x3, x2, x1, 1} és base de kerD4 i la seva dimensió és 4.

Problema P.7

D’una aplicació lineal ƒ: R³ → R³ coneixem les imatges següents:

f(0, 1, 0) = (0, 2, 0); f(1, 0, 0) = (1, 2, 0). a) Trobeu la imatge del vector v = (0, 0, 1) sabent que el vector b = (1, 1, 1) pertany

al nucli de ƒ. b) Trobeu la matriu de l’aplicació en base canònica. c) Trobeu la matriu de l’aplicació en la base B = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)} de 3

(tant de sortida com d’arribada).

SOLUCIÓ:

a) ƒ(0, 0, 1) = (–1, – 4, 0).

b)

000422101

CCF .

c)

000042031

BBF .

181

Problema P.8

Siguin E i F dos espais vectorials sobre ℝ de dimensions 3 i 4 respectivament. Siguin 321 ,, eee

base de E i 4321 ,,, uuuu base de F. Sigui G un espai vectorial

sobre ℝ de dimensió 2, i 21 , vv una base d’aquest. Es consideren les aplicacions

lineals:

ƒ: E → F, g: F → G,

que, en les bases considerades en cada espai, tenen per matriu associada respectivament:

0102

1110

0101

fA i

32

00

21

11

gA .

a) Trobeu el nucli de les aplicacions ƒ i g, així com la dimensió dels respectius

subespais imatge. b) Trobeu la matriu associada a g o f en les bases E de sortida i G d’arribada. c) Trobeu kerg o f i Img o f.

SOLUCIÓ:

a) kerf = 0

, )1,0,35,

31(),0,1,0,0(

gKer .

b)

22

53

11

gofA .

c) ,)5,3(,)1,1(Im VVgof

EgofKer )1,0,2( .


Donada l’aplicació lineal ƒ de la qual coneixem les següents imatges:

ƒ: 4 → 4 (1, 0, 0, 0) → (2, –1, –1, 0) (0, 1, 0, 0) → (–1, 1, 0, –1) (0, 0, 1, 0) → (1, 0, 1, –1) (0, 0, 0, 1) → (0, –1, –1, 2).

182

Trobeu: a) La imatge del vector v = (2, 5, 6, 8). b) L’antiimatge, en el cas que existeixi, dels vectors w1 = (0, –2, –4, 4) i w2 = (1, 0, 0,

1). c) Una base i la dimensió de l’espai imatge de ƒ. d) Una base i la dimensió del nucli de ƒ. Pertany el vector al nucli?

RESUM En aquesta sessió s’ha presentat un recull de problemes proposats del capítol 4.

183

SESSIÓ 20: Aplicacions d’ALGTEC que fan servir conceptes relacionats amb les aplicacions lineals

FITXA DE LA SESSIÓ Nom: Aplicacions d’ALGTEC que fan servir conceptes relacionats amb les

aplicacions lineals Tipus: pràctica Format: no presencial Durada: 5 hores Treball a lliurar: no Material:


PRECEDENTS A les sessions anteriors s’ha estudiat el concepte d’aplicació lineal i diferents conceptes associats. També s’han presentat diferents exercicis per posar en pràctica els coneixements assolits.

OBJECTIUS Veure aplicacions reals del món de l’enginyeria, on les aplicacions lineals són una part fonamental.

CONTINGUTS Descripció de diferents aplicacions de la plataforma ALGTEC per estudiar aplicacions reals del món de l’enginyeria, on les aplicacions lineals són una part fonamental.

4.8. Aplicacions d’ALGTEC que fan servir els conceptes tractats al capítol 4

4.8.1. L’àlgebra al món dels gràfics per ordinador En aquest exemple es planteja la necessitat de girar, de desplaçar o d’escalar diferents objectes en dues o tres dimensions, i per a això es torna a representar en forma matricial l’objecte a tractar. Com ja es va veure a l’exemple pràctic titulat Generació de moviment, els objectes definits pels punts que els formen poden representar-se matricialment col·locant les coordenades del punts en cadascuna de les columnes de la matriu. Es tracta, per tant, d’obtenir la nova posició de l’objecte multiplicant aquest per la matriu associada a l’aplicació lineal corresponent a la transformació que es desitja realitzar. És a dir, si la matriu O representa l’objecte en la

184

seva posició original i la matriu T representa la transformació a realitzar, la nova posició de l’objecte es calcularà del següent mode: On = T · O. Al llarg de l’exposició es presenten les matrius associades a cadascuna de les transformacions indicades. Posteriorment, es planteja la necessitat de fer diverses transformacions seguides, per això apareix el concepte de composició d’aplicacions lineals. Calculant la composició de les aplicacions corresponents s’obté una nova aplicació que realitza, de forma més eficient, les transformacions desitjades. Així, si s’aplica a un objecte una rotació (R) i posteriorment un escalat (E), la matriu C associada a la composició de les dues transformacions serà: C = E · R. Al mòdul d’experimentació associat es poden seleccionar diferents objectes i aplicar les transformacions citades abans. En pantalla apareix la matriu associada a la transformació que es realitza en cada instant, la matriu corresponent a la composició de totes les transformacions realitzades en l’objecte fins a aquest moment, i la nova posició de l’objecte dibuixada en tres dimensions.

4.8.2. Composició d’aplicacions lineals en la generació d’ombres d’objectes 3D

Aquesta nova aplicació es basa exactament en els mateixos conceptes algebraics que l’aplicació titulada L’àlgebra al món dels gràfics per ordinador, i l’única cosa que canvia és la transformació a realitzar sobre els objectes. En aquest cas, es persegueix projectar l’ombra d’un objecte sobre el plànol del terra. A l’exposició corresponent es proposa obtenir la matriu associada a la transformació que projecta l’ombra a partir de la composició de dues transformacions independents. El fil argumental de l’explicació és, per tant, molt similar al seguit a l’exemple citat anteriorment. Al mòdul d’experimentació es pot seleccionar la direcció de la qual provenen els raigs de llum (angle acumulat), mantenint constant l’angle amb el terra (zenital o d’elevació). A través dels cursors del teclat es poden variar la direcció dels raigs de llum, i en pantalla s’actualitza en temps real la nova ombra projectada. A més, s’ha afegit a aquest mòdul la possibilitat de combinar aquest exemple d’aplicació amb un altre ja vist amb anterioritat (Generació de moviment). És a dir, es pot modificar la posició d’un objecte generant aquesta nova posició com una combinació lineal de posicions fixes de l’objecte, i, a continuació, veure projectada sobre el terra l’ombra de l’objecte en la nova posició.

RESUM En aquesta sessió s’han presentat diferents aplicacions de la plataforma ALGTEC per estudiar aplicacions reals del món de l’enginyeria, on les aplicacions lineals són una part fonamental.

185

SESSIÓ 21: Introducció als endomorfismes i als conceptes de valor i de vector propi

FITXA DE LA SESSIÓ Nom: Introducció als endomorfismes i als conceptes de valor i de vector propi Tipus: teòrica Format: no presencial Durada: 5 hores Treball a lliurar: no Material:

o Bibliografia bàsica: Apunts Llibres (format [AutorXXXX]) Articles Exercicis Documentació pràctica

o Bibliografia complementària: Apunts Llibres (format [AutorXXXX]) Articles Exercicis Documentació pràctica

OBJECTIUS Els objectius d’aquesta sessió són estudiar el concepte d’endomorfisme i observar quina és la problemàtica que es planteja en estudiar-lo i com pot abordar-se. Seguidament s’estudiaran altres conceptes relacionats amb els endomorfismes.

CONTINGUTS En aquesta sessió es defineix què és un endomorfisme i es planteja la problemàtica derivada del seu estudi i la seva resolució. S’inclouen també les definicions de subespai invariant, de vector propi i de valor propi.

5. Diagonalització d’endomorfismes

5.1. Introducció En aquest apartat s’estudia el concepte d’endomorfisme i es planteja quina és la problemàtica derivada del seu estudi.

186

5.1.1. Definició Un endomorfisme és una aplicació lineal d’un espai vectorial E en ell mateix.

EEf : nE dim },....,,{ 21 neeeB base de E.

5.1.2. Plantejament del problema

Sigui A la matriu associada a f en la base B (tant de sortida com d’arribada):

BB xAxf nxnMA . A continuació ens plantegem quantes operacions són necessàries per trobar Bxf :

nnnnn

n

BB

y

y

x

x

aa

aaxAxf

1

1

111

.

Nre. d’operacions Per cada jy Total productes n n x n sumes n – 1 n x (n – 1)

En total hem de fer nn productes i 1 nn sumes. En canvi, si la matriu A fos diagonal el nombre d’operacions seria molt inferior:

nnnn y

y

x

x

aa

a

000000

22

11

.

Nre. d’operacions Per cada jy Total productes 1 n sumes 0 0

En total hem de fer, només, n productes. Per tant, la importància de la diagonalització d’endomorfismes (aconseguir que la matriu A sigui diagonal) és la simplificació dels càlculs. L’objectiu de la diagonalització serà, donat un endomorfisme, trobar una base B’ en la qual la matriu associada a l’endomorfisme sigui diagonal (però això no sempre és possible).

187

APPD

PAP

basedecanvi

fbasedecanvi

BBBBEEEE

1

1 ''

.

On: A: matriu associada a f en la base B (tant de sortida com d’arribada). D: matriu diagonal associada a f en la base B’ (tant de sortida com d’arribada). P: matriu canvi de base de B’ a B. P -1: matriu canvi de base de B a B’. Aleshores: D = P-1AP o A = PDP-1.

5.2. Subespai invariant

Sigui EEf : un endomorfisme. Diem que un subespai vectorial U de E és invariant per a f si UUf , és a dir:

UufUu .

Per exemple, fKerfE Im,,0,

són subespais invariants. Els subespais invariants de dimensió 1 s’anomenen direccions principals de f .

Proposició

Sigui S un subespai vectorial invariant de E per a f , amb 1dim S (S és una direcció principal). Aleshores:

,Su uuf K

SuuSu 0, .

5.3. Vector propi i valor propi En aquest apartat s’estudien les definicions de vector propi i de valor propi, i es veuen dues proposicions vinculades amb aquests conceptes.

188

5.3.1. Definició

Sigui EEf : un endomorfisme. Un vector Eu , 0

u és un vector propi (vep) de f si K tal que uuf , direm aleshores que és el valor propi (vap) associat al vep de u . Un vep genera un subespai vectorial invariant per a f de dimensió 1, és a dir, una direcció principal.


Sigui Eu , 0 u un vep de f , aleshores K tal que uuf .

El vap associat a un vep és únic.

Demostració

Per reducció a l’absurd: suposem que existeixen dos vaps diferents , associats al vep u :

0)()(0 uuuufufuufuuf

,

ja que 0

u . També es veu molt clarament per la definició d’aplicació, només una imatge per vector.


K és vap de f 0IAKer

on A és la matriu associada a f.

Demostració

Si u és vep amb vap associat : uuf 0)(

uuf 0)()( uIuf 0uIA

)( IAKeru

,

K és vap de f 0

uEu tal que uuf ; 0

uEu tal que )( IAKeru

;

0IAKer

)( .

189

Per tant:

K és vap de f 0IAKer0IAKer )(dim)(

, i )( IAKeru

, 0

u , u és un vep de vap .

5.3.4. Exemples

Exemple 1

Els vectors del Kerf diferents del 0

són veps associats al vap 0 :

uufuKerfu 000, .

Exemple 2

Si IdkF ,

xkx

xk

kx

kx

x

x

kk

kxFxf

nnn

111

00

0.

,Ex 0

x serà vep associat a l’únic vap de k.

Exemple 3

Sigui

2321

A

matriu associada a un endomorfisme de 2 en la base canònica. a) Comproveu que 32u i 11 v són veps.

uuuAuf

4

32

4128

32

2321

)( vep de vap 4,

vvvAvf

1

11

111

11

2321

)( vep de vap –1.

b) Matriu associada a f en la base 11,32 vuB

,

190

10

04BBA .

RESUM En aquesta sessió s’ha estudiat el concepte d’endomorfisme i s’ha destacat quina és la problemàtica que es planteja en estudiar-lo i com pot ser abordada. S’han vist també els conceptes de subespai invariant, de vector propi i de valor propi.

191

SESSIÓ 22: Polinomi característic i concepte de diagonalització

FITXA DE LA SESSIÓ Nom: Polinomi característic i concepte de diagonalització Tipus: teòrica Format: no presencial Durada: 5 hores Treball a lliurar: no Material:


PRECEDENTS A la sessió anterior s’han introduït els conceptes d’endomorfisme, de vector propi i de valor propi.

OBJECTIUS Estudiar el concepte de polinomi característic i el procediment de diagonalització.

CONTINGUTS Aquesta sessió inclou la definició de polinomi característic i estableix el procediment per diagonalitzar la matriu d’un endomorfisme.

5.4. Polinomi característic

5.4.1. Definició Considerem un espai vectorial E de dimensió n, essent B una base de E:

nE dim },....,,{ 21 neeeB base de E.

Considerem també:

EEf : endomorfisme amb matriu associada

nnn

n

aa

aaA

1

111

.

192

Aleshores podem definir

EEIf :

com un endomorfisme amb matriu associada

nnn

n

aa

aaIA

1

111

.

Es compleix que:

)(dimdim)Im(dim IfKerEIf )(dim)( IfKernIArang .

Els veps seran aquells vectors que facin que la 0IAKer )(dim , és a dir,

nIArang )( , que representa que 0IA )det( .

K és vap de f 0IAKer0IAKer )(dim)(

; nIArang )( ; 0)det( IA .

Definim el polinomi característic p(x) com:

)det()( xIAxpxaa

axa

nnn

n

1

111

,

que és un polinomi de grau n.

K és vap de f 0)det()( IAp ; és arrel del polinomi característic.

Existeixen n possibles arrels del polinomi característic, per tant, com a màxim hi ha n vaps diferents n ,........,, 21 ; i )( IfKeru i

, 0

u , u és un vep de vap i .

5.4.2. Proposició

El polinomi característic d’un endomorfisme és invariant, no depèn de la base escollida. Dit d’una altra manera, tot endomorfisme té associat un únic polinomi característic.

193

Demostració

Considerem el següent esquema:

22

111

2

1

:

:

BBEEf

PPBBEEf

A

A

PAPA 11

2 .

On: A1 matriu associada a f en la base B1. A2 matriu associada a f en la base B2. P i P-1 matrius canvi de base. Es pot definir:

)det()( 11 xIAxp polinomi característic de A1. )det()( 22 xIAxp polinomi característic de A2.

Vegem ara que són iguals:

)()det(det)det(det))(det()det(

)det()det()det()det()(

1

111

111

11

11

111

11

122

xpxIAPxIAPPxIAPPIxPPAP

IPxPPAPPIxPPAPxIPAPxIAxp

.

5.4.3. Exemples

Exemple 1

Sigui 33: f un endomorfisme amb matriu associada en base canònica:

300121

012A .

Calculeu els vaps i els veps. Podem trobar una base de veps?

194

SOLUCIÓ:

Plantegem el polinomi característic:

)1()3(300

121012

det)( 2

xx

xx

xIxAxp .

Arrels de xp :

23 11 m , 11 22 m .

A continuació estudiem els veps associats a cadascun dels vaps que acabem de trobar:

veps associats al vap 31 : )3( IfKer .

01100

00

000111

011xzyx

zxyxx

zyx

,

011)3( IfKer .

veps associats al vap :12 )( IfKer .

0110

000

200111

011

xzyx

zxy

zyx

,

011)( IfKer .

No podem trobar una base de veps perquè com a màxim només hi ha 2 veps linealment independents.

Exemple 2

Sigui 33: f un endomorfisme amb matriu associada en base canònica:

563053064

A .

195

Calculeu els vaps i veps. Podem trobar una base de veps?

SOLUCIÓ:

vap 51 associat als veps: 100)5( IfKer . vap 22 associat als veps: 377)2( IfKer . vap 13 associat als veps: 012)( IfKer .

5.5. Diagonalització

5.5.1. Introducció

Sigui E un espai vectorial sobre K de dimensió n ( nE dim ). Sigui EEf : un endomorfisme. Quan es pot diagonalitzar aquest endomorfisme? Si podem trobar una base de E de veps de f, aleshores la matriu associada a f en aquesta base serà diagonal. Suposem que existeixen n veps linealment independents nvvv

,,, 21 amb vaps

associats n ,........,, 21 (no necessàriament diferents). Càlcul de la matriu associada a f en la base nvvvB

,,, 21 de sortida i d’ arribada:

sabem que

nvvvvvf

00 211111 ,

nnnnn vvvvvf

21 00 .

Per tant:

0011

Bvf ,

nBnvf 00 ,

n

BBF

000

00000

2

1

.

On n ,...,, 21 són els vaps associats a cada vep de la base.

196

Direm que un endomorfisme és diagonalitzable si existeix una base de veps, és a dir, si existeixen n veps linealment independents. Preguntes a discutir: Quantes bases diferents de veps es poden trobar si l’endomorfisme es pot

diagonalitzar? La resposta és infinites. Quantes matrius diagonals associades al mateix endomorfisme es poden trobar? En

aquest cas la resposta és finites, ja que seran les possibles combinacions en diferents posicions dels mateixos vaps).

5.5.2. Proposició 1 Veps corresponents a vaps diferents són linealment independents.

Demostració

Sigui 01

u vep de vap K1 111 uuf . Sigui 02

u vep de vap K2 222 uuf . Considerant 21 : vegem que 21 ,uu

són linealment independents (segons la condició d’independència lineal):

?00 212211 uu .

If 1 és aplicació lineal:

0)()()(

)()())((0

22212

2211112221112211112211

22111221122111

uuuuuuuufuf

uuuufuuIf

,

000

0111

2

2211

uuu.


Siguin K21 , , 21 , vaps d’un endomorfisme f, aleshores:

0)()( 21

IfKerIfKer .

197

Demostració

0)()()()(

)()( 2122

1121

xx

xxfIfKerxxxfIfKerx

IfKerIfKerx

00)( 21

xx ja que 21 .

Si és aplicació, un vector no pot tenir dues imatges diferents, segons indica la pròpia definició d’aplicació.

5.5.4. Teorema 1 De les proposicions anteriors podem extreure la següent conseqüència: si un endomorfisme f té n vaps diferents, és diagonabilitzable. Si hi ha n ,........,, 21 n vaps diferents n veps linealment independents nvvv

,,, 21 f diagonalitzable, amb matriu associada en la base de veps:

n

BBF

000

00000

2

1

.

Si el nombre de vaps és més petit que n, suposem que hi ha p valors propis diferents on p < n , p ,........,, 21 , i que el polinomi característic descomposa en factors lineals:

pmp

mmn xxxxIAxp )........()()()1()det()( 2121 ,

on mi és la multiplicitat de cada i i

p

ii nm

1.

Aleshores, el teorema indica que:

un endomorfisme f és diagonabilitzable ii mIAKer )(dim( pi ....1 .

5.5.5. Teorema 2

Sigui nnMA definida sobre el cos dels complexos. Aleshores A té almenys un vap. NOTA: això no és cert si treballem sobre el cos dels reals.

198

Exemple

Sigui:

2/14/1

52/1A .

El polinomi característic és:

12/14/152/1 2

x

xx

xp .

Arrels reals de xp : no en té.

Arrels complexes de xp :

jj

2

1

.

Si treballem sobre no hi ha vaps ni veps, per tant f no és diagonalitzable. Si treballem sobre els complexos hi ha dos vaps diferents, per tant f és diagonalitzable:

veps associats al vap )21,5()(:1 jjIfKerj .

xjyyx

jj

21

51

00

2/14/152/1

.

veps associats al vap )21,5()(:2 jjIfKerj .

xjyyx

jj

21

51

00

2/14/152/1

.

De forma que:

j

jD

00

jjP

2/12/155

.

RESUM En aquesta sessió s’ha estudiat la definició de polinomi característic i s’ha establert el procediment per diagonalitzar la matriu d’un endomorfisme.

199

SESSIÓ 23: Exercicis de diagonalització

FITXA DE LA SESSIÓ Nom: Exercicis de diagonalització Tipus: problemes Format: no presencial Durada: 5 hores Treball a lliurar: sí Material:

o Bibliografia bàsica: Apunts Llibres (format [AutorXXXX]) Articles Exercicis Documentació pràctica

o Bibliografia complementària: Apunts Llibres (format [AutorXXXX]) Articles Exercicis Documentació pràctica

PRECEDENTS A les sessions anteriors s’ha presentat el concepte d’endomorfisme i el mecanisme de diagonalització.

OBJECTIUS Posar en pràctica els conceptes estudiats a les sessions anteriors.

CONTINGUTS Exercicis resolts i proposats per posar en pràctica els conceptes estudiats a les sessions anteriors.

5.6. Exercicis


200

Problema R.1

Sigui f un endomorfisme amb matriu associada en base canònica:

466353331

A .

a) És diagonalitzable? b) vaps i veps. c) Matriu diagonal.

SOLUCIÓ:

a) El polinomi característic és:

)4()2(1612466

353331

det)( 23

xxxxx

xx

IxAxp .

Les arrels de xp :

22 11 m

14 22 m .

2)2(dim 1 mIfKer ? 1)4(dim 2 mIfKer ?.

1213666333333

3)2(3)2Im(dimdim)2(dim mrangIArangIfEIfKer

2123066393333

3)4(3)4Im(dimdim)4(dim mrangIArangIfEIfKer

.

Per tant, f és diagonalitzable. b) veps associats al vap :21 )2( IfKer .

110101000

666333333

yxzyxxyz

yyxx

zyx

110101)2( IfKer .

201

veps associats al vap :42 )( IfKer .

2112

000

066393333

xzyxxzyx

zyx

211)4( IfKer .

c) Trobeu les matrius P i D.

121110011

P

200040002

D .

Es pot comprovar que 1 PDPA .

Problema R.2


131111322

A .

a) És diagonalitzable? b) vaps i veps. c) Matriu diagonal.

SOLUCIÓ:


)1)(3)(2(652131111322

det)( 23

xxxxxxx

xx

IxAxp .

Arrels de xp :

12 11 m 13 22 m 11 33 m .

202

f és diagonalitzable perquè té tres vaps diferents (i 3dim E ). b) veps associats al vap :21 )2( IfKer (11, 1, –14).

veps associats al vap :32 )3( IfKer (1, 1, 1) . veps associats al vap 13 : )( IfKer (–1, 1, 1).

c) Trobeu les matrius P i D.

100030002

D .

Es pot comprovar que 1 PDPA .

Problema R.3


315010204

A .

a) És diagonalitzable? b) vaps i veps.

SOLUCIÓ:


)2()1()2)(1(315

010204

det)( 22

xxxxxx

xx

IxAxp .

Arrels de xp :

21 11 m 12 22 m .

2)(dim 1 mIfKer ? 1)2(dim 2 mIfKer ?.

203

1123215000205

3)(3)Im(dimdim)(dim mrangIArangIfEIfKer

.

f no és diagonalitzable.

b) veps associats al vap :11 )( IfKer (1, 0, –5/2). veps associats al vap :22 )2( IfKer (1, 0, –1).

f no és diagonalitzable perquè no podem trobar tres veps linealment independents.


Problema P.1


110123

031A .

a) És diagonalitzable? b) vaps i veps. c) Matrius P (regular) i D (diagonal) tals que A = P D P-1. SOLUCIÓ:

400030001

D

113520

331P

210651015

2107

7011P .

Problema P.2


201111001

A .

204

a) És diagonalitzable? b) vaps i veps. c) Matrius P (regular) i D (diagonal) tals que A = P D P-1.

SOLUCIÓ:

200010001

D

101110001

P

101111

0011P .

Problema P.3


001111

001A .


SOLUCIÓ:

100010000

D

011101010

P

111001101

1P .

Problema P.4


111111111

A .


205

SOLUCIÓ:

200020001

D

111101011

P

121112

111

311P .

Problema P.5

Estudieu la diagonabilitat de

abA

0310

005

en funció dels paràmetres reals a i b.

SOLUCIÓ:

))(5)(1()( xaxxxpA .

a b A

1,5 a b diagonalitza

5a b no diagonalitza

1a 0b diagonalitza

1a 0b no diagonalitza


Estudieu la diagonabilitat de

3150024

ab

B

en funció dels paràmetres reals a i b.

206

RESUM En aquesta sessió s’ha presentat un recull de problemes relacionats amb els conceptes estudiats d’endomorfismes i diagonalització.

207

SESSIÓ 24: Teorema de Cayley-Hamilton i aplicacions de la diagonalització de matrius

FITXA DE LA SESSIÓ Nom: Teorema de Cayley-Hamilton i aplicacions de la diagonalització de matrius Tipus: teòrica Format: no presencial Durada: 5 hores Treball a lliurar: no Material:


PRECEDENTS A la sessió anterior s’ha definit el polinomi característic i el concepte de diagonalització.

OBJECTIUS Estudiar el teorema de Cayley-Hamilton i les aplicacions de la diagonalització de matrius.

CONTINGUTS En aquesta sessió s’inclou la definició del teorema de Cayley-Hamilton, juntament amb un exemple i es detalla la seva aplicació en la inversió de matrius. A la segona part de la sessió es veuen diferents aplicacions del procés de diagonalització de matrius per reduir el nombre de càlculs necessaris en el moment de realitzar determinades operacions. S’inclou la descripció d’una aplicació real en un estudi de mercat.

5.7. Teorema de Cayley-Hamilton. Aplicació a la inversió de matrius.

5.7.1. Definició

Sigui EEf : un endomorfisme amb matriu associada A. Si p(x) és el seu polinomi característic, aleshores nnMAp 0)( .

208

Demostració

Sigui el polinomi característic:

nnxaxaxaaxIAxp 2

210)( . Definim:

nnn

n MAaAaAaIaAp 2210)( .

Sigui v un vep associat al vap . Atès que p(A) és una matriu, podem calcular el següent producte:

vAavAavAavIavAaAaAaIavAp nn

nn

2

2102

210)( .

Analitzem cada terme per separat: Veiem que el primer terme és vavIa

00 . El segon: vavAa 11 .

El tercer: vavavAavAavAAavAa 211112

22 .

Etc. El terme darrer: vavAavAavAAavAa n

nn

nn

nnn

11122 .

Per tant, si substituïm a l’equació anterior obtenim:

0·0)( 2210

2210

vvxpvaaaavAavAavAavIavAp n

nn

n .

Atès que v és un vep, aquest no pot ser l’element neutre amb el qual

nnMApvAp 0)(0)( .

5.7.2. Exemple Sigui A una matriu de 2x2 definida com:

2321

A .

El seu polinomi característic és:

4323

21)( 2

xxx

xxp .

209

Tal i com afirma el teorema de Cayley-Hamilton, podem comprovar que:

0000

4004

6963

10967

43)( 2 IAAAp .

5.7.3. Aplicació en la inversió de matrius

Sigui Auna matriu invertible, i p(x) el seu polinomi característic:

)det( xIAxp . Pel teorema de Cayley-Hamilton p(A) = 0:

nn xaxaxaaxp 2

210 , polinomi de grau n.

0)( 2210 n

n AaAaAaIaAp .

IaAaAaAa nn 0

221 , traient factor comú A i multiplicant per A-1.

10

1121 )( IAaAAAaAaIa n

n . 1

01

21 )( AaAaAaIa nn , aïllant A-1.

Per tant,

12321

0

1 1

nn AaAaAaIa

aA .

Exemple

Donada la matriu

2132

A .

Trobeu 1A . SOLUCIÓ:

1421

32)( 2

xxx

xxp

04)( 2 IAAAp

11)4()4(

IAAAIAIAIA

210

2132

4004

2132

4)4(11 IAIAA .

5.8. Aplicacions de la diagonalització en la reducció de càlculs necessaris

A continuació es veurà com la diagonalització pot reduir el nombre de càlculs a l’hora de realitzar determinades operacions bàsiques. Suposem nnMA diagonalitzable amb P i D (matriu diagonal) tals que

1 PDPA .

5.8.1. Càlcul de potències Per calcular la potència m-èssima de la matriu A s’han de realitzar m productes de la matriu A amb ella mateixa:

AAAAAm . Si considerem la matriu diagonalitzada:

111111 PPDDPPDDPDPPDPPDPPDPA mmm . En aquest cas només cal calcular la potència m-èssima de la matriu D, que és una matriu diagonal i, per tant:

si

n

D

000000000000

2

1

, aleshores

mn

m

m

mD

000000000000

2

1

.

5.8.2. Càlcul d’un polinomi avaluat per una matriu En aquest cas es tracta d’avaluar el polinomi f(t) quan t és una matriu:

m

mtatataatf 2210 .

Si considerem la versió diagonalitzada de la matriu A, les operacions a realitzar són:

11m

m2

210

1mm

122

11

10

mm

2210

PDPfPDaDaDaIaPAf

PPDaPPDaPDPaPIPaAaAaAaIaAf

)()(

.

211

Per tant,

11 )()()( PDPfPDPfAf

)(000000)(

00

00

01001 1

22

21

32

1

20

nf

faaaDf

.

5.8.3. Càlcul de l’arrel quadrada d’una matriu Es tracta del càlcul de la potència m-èssima d’una matriu pel cas concret en què m = 1/2. Si considerem la versió diagonalitzada de la matriu A, l’operació a realitzar és:

1321

1 ,,,, PPdiagPDPA n .

5.8.4. Exemple Considerant la matriu A definida com:

2321

A .

a) El valor de 4A és:

)1)(4(4361223

21)( 2

xxxxxxx

xxp .

Arrels de )(xp :

14

2

1

10

04D .

veps associats al vap :41 32)4( IfKer ,

00

2323

2

1

xx

023

023

21

21

xxxx

.

veps associats al vap :12 11)( IfKer ,

03322

2

1

xx

033022

21

21

xxxx

.

212

10

04D

13

12P

2311

511P .

Per tant,

154153102103

2311

100256

1312

51

2311

51

1004

1312 4

144 PPDA .

b) El valor f(A) essent f(t) = t3 – 7t2 + 9t – 2 és:

163217 .

5.9. Exemple desenvolupat a l’aplicació ALGTEC: Aplicació de la diagonalització de matrius en un estudi de mercat

Aplicació de la diagonalització de matrius en un estudi de mercat

En aquest exemple es planteja una situació en la qual tres empreses ofereixen el mateix producte a un nombre constant de clients. Al final de cada període d'estudi es produeixen transicions de clients entre les empreses. A l'exercici plantejat es suposa que aquestes transicions són fixes al final de cada període, i s'assumeix també que tots els clients reben subministrament d'alguna de les empreses. L'objectiu de l'exercici és analitzar com evolucionarà el mercat en el futur i quin serà, en cas de produir-se, l'estat estable final. És a dir, com quedarien repartits els clients entre les tres empreses en cas d'existir un estat estable final. La situació presentada en aquest exercici es pot modelar fàcilment amb una matriu de transicions que ens permeti conèixer el nou estat del mercat a partir de l'estat actual. Aquesta matriu està formada per les dades corresponents a les transicions entre empreses al final de cada període. L'objectiu d'aquest exercici és mostrar que la diagonalització d'aquesta matriu i la seva posterior anàlisi permeten extreure la informació que busquem. Si denominem A la matriu que modela les transicions, sabem que l'estat del mercat, transcorregut el primer període, es calcularà de la següent manera: , on correspon a l'estat del mercat al final del primer període i representa l'estat inicial (cada component del vector correspon al tant per u dels clients que reben el producte de cadascuna de les empreses). L'estat del mercat, transcorregut el segon període, es calcularà: . Així, l'estat del mercat transcorregut el període i es calcularia de la següent manera: . Si es diagonalitza la matriu A i s'expressa com , el càlcul anterior es pot simplificar d'aquesta manera: , on s'obté fàcilment elevant cada

213

valor propi de la diagonal de la matriu al valor i. Ara resulta fàcil veure que quan i tendeix a infinit, la matriu tendirà a la matriu nul·la si tots els valors propis que la formen són, en mòdul, inferiors a 1. En el nostre cas, dos valors propis són inferiors a 1 en mòdul, però el tercer pren el valor 1, per la qual cosa el vector propi associat a aquest valor propi representarà l'estat estable del mercat. De tots els vectors propis associats al valor propi 1 es selecciona aquell, la suma de termes del qual és 1, ja que és el que té una interpretació coherent en el context real plantejat. El mòdul d'experimentació associat a aquest exemple permet seleccionar l'estat inicial del mercat i veure l'evolució d'aquest després del nombre de períodes desitjat. En pantalla apareix calculat el vector propi associat al valor propi 1 de la matriu de transicions utilitzada, i es pot observar en una gràfica que, quan el nombre de períodes augmenta, l'estat del mercat tendeix a l’esmentat vector propi.

RESUM En aquesta sessió s’ha definit el teorema de Cayley-Hamilton i s’han vist diferents aplicacions de la diagonalització de matrius. Finalment s’ha presentat una aplicació de la diagonalització en un estudi de mercat.

215

SESSIÓ 25: Problemes resolts

FITXA DE LA SESSIÓ Nom: Problemes resolts Tipus: problemes Format: no presencial Durada: 5 hores Treball a lliurar: no Material:


PRECEDENTS A les sessions anteriors s’ha vist el tema d’introducció als endomorfismes.

OBJECTIUS Presentar un conjunt d’exercicis resolts que il·lustren els conceptes explicats a les sessions anteriors.

CONTINGUTS Es recull un conjunt d’exercicis resolts que il·lustren els conceptes explicats a les sessions anteriors.

5.10. Exercicis


Problema R.1

Sigui f un endomorfisme de 3 amb matriu associada en base canònica:

2/1000130

ba

A .

a) Estudieu la diagonabilitat de f en funció dels paràmetres reals a i b. b) Trobeu el valor de a i b sabent que )1,12,2( x és un vep de f. c) Per a a = 1 i b = 0 trobeu les matrius P i D (diagonal) tal que A = P · D · P-1.

216

d) Sigui un sistema recursiu expressat per:

1

1

1

2/100010301

n

n

n

n

n

n

zyx

zyx

on l’estat inicial és

111

0

0

0

zyx

.

A quin estat tendeix el sistema quan n

SOLUCIÓ:

a) Calculem les arrels del polinomi característic de A:

2110)2

1)(1)((

2100

0130

)(xx

axxxxa

xxb

xaxp

.

Distingim casos segons el valor del paràmetre a:

211 aia .

Tres vaps diferents 1 = a, 2 = 1, 3 = 1/2, per tant f és diagonalitzable.

1a

Vaps 1 = 1 amb multiplicitat m1 = 2,

2 = 1/2 amb multiplicitat m2 = 1.

Serà diagonalitzable quan dim ker(f – iI) = mi , per a i = 1, 2.

Per a 1 = 1.

dim 3 = dim ker(f – I) + dim Im(f – I) dim ker(f – I) = 3 – dim Im(f – I).

dim Im(f – I)) = rang(A – I) = rang

0201

210000300

bsibsi

b

.

Per tant,

dim ker(f – I))

0102

1

1

bsimbsim

.

217

Per a 2 = 1/2.

dim 3 = dim ker(f – 1/2I) + dim Im(f – 1/2I) dim ker(f – 1/2I) = 3 – dim Im(f – 1/2I).

dim Im(f – 1/2I) = rang(A – 1/2I) = rang

bb 200002

1302

1

.

Per tant,

dim ker(f – 1/2I) = 1 = m2.

dim ker(f – iI) = mi per a i = 1, 2 b = 0.

f és diagonalitzable si a = 1 i b = 0 i f no és diagonalitzable si a = 1 i b 0.

21

a .

Vaps 1 = 1, amb multiplicitat m1 = 1.

2 = 1/2 amb multiplicitat m2 = 2. Serà diagonalitzable quan dim ker(f – iI) = mi per a i = 1, 2.

Per a 2 = 1/2.

dim 3 = dim ker(f – 1/2I) + dim Im(f – 1/2I) dim ker(f – 1/2I) = 3 – dim Im(f – 1/2I).

dim Im(f – 1/2I) = rang(A – 1/2I) = rang

bb 2

00002

1300

.

Per tant,

dim ker(f – 1/2I) = 1 m2.

f no és diagonalitzable si a = 1/2.

Resumint:

a b endomorfisme f a 1 i a ½ b diagonalitzable

a = 1 b = 0 b 0

diagonalitzable no diagonalitzable

a = ½ b no diagonalitzable

218

b) Si )1,12,2( x és un vep de f, aleshores xxf )( on és un vap de f. Imposant aquesta condició obtenim el següent sistema d’equacions:

2/112122232

1122

2/112232

1122

1122

2/1000130

ba

ba

ba

.

Resolent el sistema obtenim a = –1 i b = 3.

c) Per a a = 1 i b = 0 diagonalitzeu la matriu A.

2/100010301

A .

Vaps 1 = 1 amb multiplicitat m1 = 2.

2 = 1/2 amb multiplicitat m2 = 1. Per trobar els veps de vap 1 = 1 busquem ker(f – I):

002/10003

000

12/10001103011

zyyxx

z

z

zyx

.

ker(f – I) = (1, 0, 0), (0, 1, 0).

Per trobar els veps de vap 1 = 1/2 busquem ker(f – 1/2I):

zzy

zxy

zx

zyx

06

0002/1

032/1

000

2/12/10002/110302/11

.

ker(f – 1/2I) = (–6, 0, 1).

2100010001

D

100010601

P .

d) Siguin

219

n

n

n

n

zyx

v

2/100010301

A

111

0v

00321 ............... vAAvAAAAAAAvAAvAvv n

nnnn . Volem trobar el valor de vn quan n , 0vALimvLim n

nnn .

Hem de calcular 1 PPDA nn on:

2100010001

D ,

100010601

P ,

100010601

1P ,

000010601

100010601

000010001

100010601

100010601

)2/1(00010001

100010601

n

n

n

n

n

nLimALim

017

111

000010601

0vALimvLim n

nnn.

Problema R.2

a) Estudieu la diagonabilitat de l'endomorfisme que té per matriu associada en base canònica:

2000031

baA .

b) Sigui f un endomorfisme amb matriu associada en base canònica:

200120311

F .

Justifiqueu quina o quines de les següents matrius segur que no estan associades a aquest endomorfisme f.

220

200320011

200320013

200010322

DCB .

SOLUCIÓ:

a) )2)()(1()( ap .

diferents.són sVAP' els totsperquè zablediagonalit És 21 Si aia Si a = 1:

1) VAP delitat (multiplic 21)(3)}({

2)·1( 10000030

)·1(

IArangIAKerDim

bIArangb

IA

.

Per tant, si a = 1 no diagonalitza, sigui quin sigui el valor de b.

Si a = 2:

2 VAP deltat multiplici degrau 12I)-dimKer(A 22I)-rang(A 0b Si2 VAP deltat multiplici degrau 22I)-dimKer(A 12I)-rang(A 0b Si

031-

b. dedepen )2( 00000031

)2(

b

bIArang

bIA

.

Per tant,

zadiagonalit No 0b i 2a Sizadiagonalit Sí 0b i 2a Si

.

b) Les matrius C i D segur que no estan associades a l'endomorfisme f perquè el seu

polinomi característic no coincideix amb el de la matriu F (recordem que el polinomi característic no depèn de les bases en les quals estigui expressada la matriu de l'endomorfisme).

221

Problema R.3

Sigui la matriu:

200132012

A .

a) Trobeu el seu polinomi característic. b) Trobeu els seus autovalors i autovectors associats. c) Indiqueu dues formes diferents d’expressar A mitjançant la factorització:

1 PDPA , essent D una matriu diagonal. (No cal calcular cap inversa, només deixar-ho indicat).

SOLUCIÓ:

a)

)1)(4)(2(.........)2(2)3()2(200

132012

2

.

b) Els vaps són les arrels del polinomi característic. És a dir: 2, 4 i 1.

Calculem els veps associats a cada vap: = 2:

000

000112010

zyx

.

El resultat d’aquest sistema és: i = 0 i z = –2x. Un vep associat pot ser el (1, 0, –2). = 4:

000

200112012

zyx

.

El resultat d’aquest sistema és: z = 0 i i = 2x. Un vep associat pot ser el (1, 2, 0). = 1:

000

100122011

zyx

.

222

El resultat d’aquest sistema és: z = 0 i i = –x. Un vep associat pot ser el (1, –1, 0). c)

1

002120

111

100040002

002120

111

A .

Si canviem d’ordre els vaps en la matriu diagonal, haurem de fer també el canvi de columnes corresponent en la matriu de veps. Per exemple:

1

002210111

400010002

002210111

A .

Problema R.4

Sigui 33: f un endomorfisme:.

),432,423()(),,( zyxzyxzyxvfzyxv

.

Trobeu una base },,{ 321 vvvB de 3 en la qual la matriu associada a f sigui:

100030001

D .

SOLUCIÓ:

33: f endomorfisme.

),432,423()(),,( zyxzyxzyxvfzyxv

. Busquem la matriu associada a f en base canònica FCC:

123001 f , 132010 f , 144100 f

111432423

CCF .

223

Busquem una base },,{ 321 vvvB

en la qual la matriu associada a f sigui diagonal:

100030001

D ,

és a dir, busquem una base de veps de vaps 1 i 3. Veps de vap 1 = 1 amb multiplicitat m1 = 2. Busquem ker(f – 1I):

102)011()2()(2000

211422422

zyzyzyzyxzyxzyx

.

ker(f – 1I) = 102,011 . Veps de vap 2 = 3 amb multiplicitat m2 = 1. Busquem ker(f – 3I):

1222222

000

411402420

zzzzzyxzxzy

zyx

.

ker(f – 3I) = 122 .

La base de veps, tenint en compte l’ordre en què estan col·locats els vaps a la diagonal, és:

}102,122,011{ 321 vvvB .

Problema R.5

Sigui xPxPf 22: un endomorfisme amb matriu associada en base canònica:

10100

bb

baA .

a) Estudieu la diagonabilitat de l'endomorfisme f en funció dels paràmetres a i b.

224

Per a 0a i 1b resoleu els següents apartats: b) Trobeu una base de veps de xP2 (no deixeu el resultat en components). c) Trobeu les matrius D (diagonal) i P (regular) tals que APPD 1 . d) A partir dels resultats obtinguts als apartats anteriors i sense fer càlculs

addicionals trobeu una base de ker(f) (no deixeu el resultat en components).

NOTA: feu tots els càlculs i no deixeu el producte de matrius indicat.

SOLUCIÓ:

a)

211

0100

xxaxbb

xbxa

xIA

.

vaps: 1 = a, 2 = 1, m2 = 2. Si a = 1, 1 = 1, m1 = 3.

000001

bb

baIA .

Si b 0, rang(A – I) = 2, dim(ker(A – I)) = 1 3. No diagonalitzable. Si b = 0, la matriu ja seria diagonal amb 1 = 1 i m1 = 3.

Si a 1, 1 = a, 2 = 1 amb m2 = 2.

000001

bb

baIA .

Si b 0, rang(A – I) = 1, dim(ker(A – I)) = 2 = m2. Diagonalitzable.

Si b = 0, 011 2

)ba(bbbab

bbba

1ba0b-1-a .

Si a = b + 1, dim Im(A – I) = rang(A – I) = 1. dim ker(A – I) = 2. Diagonalitzable.

Si a b + 1. No diagonalitzable.

225

És a dir: Si b = 0, a. Diagonalitzable. Si b 0.

Si b = a – 1. Diagonalitzable. Si b a – 1. No diagonalitzable.

b)

111010010

A .

1 = 0, m1 = 1. 2 = 1, m2 = 2. 1 = 0:

cabcba

b

cba

0

00

000

011010010

20 axaa,,aVEP

c .

2 = 1:

bacccc

ba

cba

0

000

011000011

2cxbxbc,b,bVEP

c .

Base de veps = 22 11 x,x,x . c)

1010100

100010000 1-1

P D .

d) Base ker(f), vep associat a 1 = 0.

Base ker(f) = (1 + x2).

226

Problema R.6

Siguin f i g dos endomorfismes de 3. )0,0,1(,)1,0,1(,)1,1,1(1 B base de 3.

Matriu associada a f en base canònica:

4001031

a

aFCC .

Matriu associada a g en base B1:

300010003

11G .

a) Vaps i subespai de veps associat a cada vap de l’endomorfisme g. b) Per a quins valors del paràmetre a l’endomorfisme f és diagonalitzable?

Per a 3a resoleu els apartats següents: c) Trobeu una base 2B de veps de f . d) Matriu 22F associada a f en la base 2B de l’apartat anterior. e) Matriu 11F associada a f en la base 1B . Què podem dir de la base 1B ?

SOLUCIÓ:

a) Primera forma Directament. La matriu associada ja és diagonal, per tant, –1 (multiplicitat 1) i 3 (multiplicitat 2) són els vaps de l’endomorfisme g i els veps seran:

11111 )0,0,1()1,0,1()1,1,1(300010003

BBB gggG

.

La base de veps és la base )0,0,1(,)1,0,1(,)1,1,1(1 B .

Segona forma:

.

Vaps: 3 amb multiplicitat 2. –1 amb multiplicitat 1. Veps associats al vap 3: ker(f – 3 Id)

227

Una base del subespai de veps de vap 3, expressats en la base B1 serà {(1, 0, 0), (0, 0, 1)}, que en la base canònica correspondrà als veps {(1, 1, –1), (–1, 0, 0)}. Veps associats al vap 1: ker(f – Id):

Una base del subespai de veps de vap 1, expressats en la base B1 serà {(0, 1, 0)}, que en la base canònica correspondrà als veps {(1, 0, 1)}. b) Busquem el polinomi característic:

. L’endomorfisme serà diagonalitzable si la dimensió del subespai de veps de vectors de vap 1 coincideix amb la multiplicitat del vap 1, que és 2. Altrament dit, l’endomorfisme serà diagonalitzable si el rang de (F – Id) és 1:

c)

228

(1,0,1)}(0,-1,1),{(1,0,0), : vepsde base

)},0,{(,0000

030030333

4Id)-ker(f :4 vapde veps

)},,{(000

330000330

Id)-ker(f :1 vapde veps

)4()1()( 2

xxzxyzyx

zzxzyzyx

xxxp

.

d)

veps.de base (1,0,1)},(0,-1,1),{(1,0,0), B2

400010001

22F .

e)

)0,0,1(,)1,0,1(,)1,1,1(1 B . (1,0,1)} , (0,-1,1) , {(1,0,0) B2 .

100040001

010001101

400010001

011100010

12222111 MFMF .

La base B1 és una base de veps associats als vaps 1, 4, 1 respectivament.

229

Problema R.7

Sigui f un endomorfisme sobre 3R , amb matriu associada en base canònica:

1111

32

bc

aA .

Coneixem 321 ,, vvvB base de veps, amb 14,1,111 v , 1,1,12 v i 3v

desconegut. El vap associat al vep 1,1,12 v és 32 . a) Calculeu els paràmetres a, b, i c de la matriu A. b) Calculeu el vap associat al vep 14,1,111 v , sense calcular el polinomi

característic. c) Trobeu el vep 3v que falta. d) Trobeu la matriu associada a l’endomorfisme en base B d’origen i destí.

SOLUCIÓ:

a) Sabent que 2v és un vep de vap 32 , llavors s’ha de complir que:

333

111

·11

1132

·· 222

bc

avvA

.

D’aquesta expressió podem treure el següent sistema:

132

311311332

cb

a

bc

a

.

b) Sabent els coeficients a, b i c de la matriu A, i sabent que s’ha de complir

111 ·· vvA

, podem calcular el producte de la banda dreta de la igualtat i després trobar el vap associat.

282

22

141

11·

131111322

.

Per tant, el vap 1 és –2. c) Per trobar el vep que falta i el seu vap associat, podem calcular el polinomi

característic (hi ha altres solucions):

230

652131111322

23

xxxx

xx

xp .

Si busquem les arrels d’aquest polinomi trobarem que són

12

3

.

Com que 3 i –2 són els vaps que hem trobat anteriorment, el vap que ens falta és 1

13 . Operant de la mateixa manera que als apartats anteriors, s’ha de verificar que

333 ·· vvA

, per tant:

zyx

zyx

·131

111322

,

on x, i, i z són les components del vector. Resolent el sistema:

zzyxyzyx

xzyx

3

322,

obtenim

111

zy

x

.

Per tant 1113 v

. d) Com que la base B és una base de veps, la matriu associada a l’endomorfisme en

aquesta base és directament una matriu diagonal, formada pels vaps que hem trobat, llavors:

100030002

D .

231

Problema R.8

Suposem que existeixen tres empreses A, B i C que es reparteixen la totalitat dels clients en un determinat sector. Sabem que al final d’un període d’estudi (per exemple, un any) cada empresa perd alguns clients, però en guanya d’altres que han abandonat les seves empreses competidores, i sabem també que aquestes transicions es mantenen constants al final de cada període. Aquestes dades conegudes són les següents: L’empresa A manté al final del període el 70% dels seus clients, però el 20% marxa a l’empresa B i el 10% restant marxa a la C. L’empresa B manté al final del període el 80% dels seus clients, però el 10% marxa a l’empresa A i l’altre 10% marxa a la C. L’empresa C manté el 50% dels seus clients, però el 20% marxa a l’empresa A i el 30 marxa a la B. L’estat actual del mercat ve determinat pel vector (0,8 0,1 0,1) (que vol dir que el 80% dels clients els té l’empresa A, el 10% la B i l’altre 10% la C). a) Quina és la matriu que ens permet conèixer l’estat del mercat del període següent

si coneixem l’estat del període actual? Poseu les dades en tant per u. b) Expliqueu com calcularíeu d’una manera eficient l’estat del mercat després de 500

períodes. c) Com podem calcular l’estat estable del mercat? (És a dir, l’estat que ja no variarà

encara que al final de cada període es continuïn produint les transicions indicades).

SOLUCIÓ:

a)

5,01,01,03,08,02,02,01,07,0

M .

Així, amb aquesta matriu podem calcular l’estat següent del mercat si coneixem l’estat anterior. Per exemple, si l’estat inicial és: (a0, b0, c0), podrem calcular l’estat (a1, b1, c1) de la següent forma:

1

1

1

0

0

0

5,01,01,03,08,02,02,01,07,0

cba

cba

.

Veiem com l’empresa A tindrà el 70% dels clients que tenia anteriorment, més el 10% dels que tenia l’empresa B i el 20% dels que tenia la C. Per a l’empresa B i la C farem la mateixa interpretació del càlcul realitzat. b) Com ja hem vist a l’apartat anterior, per calcular l’estat següent hem de multiplicar

la matriu M per l’estat actual. Així:

232

0500

500

02

012

01

....xMx

xMxMMxMxxMx

.

Si diagonalitzem la matriu M, el càlcul es farà amb menys operacions:

01500

05001

0500

500

1

)( xPDPxPDPxMxPDPM

.

On la matriu D és la matriu diagonal formada pels vaps i la matriu P és la matriu formada pels veps associats. Per calcular D500 només hem d’elevar a 500 els vaps de la diagonal. c) Si no varia l’estat vol dir el següent:

És a dir, el vector estable és un vep de vap 1. Per tant, podem calcular els vaps i trobar el vep associat al vap 1 que compleixi que la suma de les seves components doni 1 (ja que la suma de clients ha de ser el 100%).

Un altre possible plantejament pot ser el següent:

01

lim

xPAPx

AD n

n

.

És a dir, calcular l’estat del mercat quan n tendeix a infinit.

Problema R.9

a) Sigui 33: f un endomorfisme i sigui:

201001

aabA on ba, .

Estudieu la diagonabilitat de f en funció dels paràmetres a i b. b) Sigui un altre endomorfisme:

ESTEST xMx

233

)233,2,(),,(),,(: 33

zyxyxxzyxgzyxg

.

Sabem que

110101001

P

és la matriu tal que 1 PDPA . Trobeu els vaps de l’endomorfisme g.

SOLUCIÓ:

a) Calculem els vaps de f calculant les arrels del polinomi característic:

0)2)()(1(2

01001

)(

xxbxxaa

xbx

xp .

Per tant, els vaps són 2,,1 321 b . Si 1b i 2b diagonalitza, ja que tenim tres vaps diferents (i la dimensió de

3 és 3).

Si 1b tenim:

2011001

aaA i els vaps són

21

2

1

amb

12

2

1

mm

.

Per tant, per afirmar que diagonalitza cal comprovar que:

2

1

)2(dim)(dim

mIfKermIfKer

1

3

21231001000

3)(3)Im(dimdim)(dim

maa

rgIArangIfIfKer

,

234

ja que 0101

a per a qualsevol valor de a.

No diagonalitza.

Si 2b tenim:

2021001

aaA i els vaps són

21

2

1

amb

21

2

1

mm

.

Per tant, per afirmar que diagonalitza cal comprovar que:

2

1

)2(dim)(dim

mIfKermIfKer

0001001

3)2(3)2Im(dimdim)2(dim 3

aargIArangIfIfKer .

Si estudiem el rang de A – 2I veiem que:

rang(A – 2I) = 2 si 0a , ja que aleshores 001

aa;

rang(A – 2I) = 1 si 0a , ja que aleshores:

000001001

2IA no té cap menor 2x2 diferent de 0.

Per tant,

2

2

2132123

)2(dimm

mIfKer si

00

aa

.

235

Per tant, per a 0a f no diagonalitza i per a 0a cal comprovar:

13 123

100011000

3)(3)Im(dimdim)(dim mrgIArangIfIfKer

.

Per tant, diagonalitza. Si fem un quadre resum tenim

b a 1b i 2b a diagonalitza

1b a no diagonalitza

2b 0a no diagonalitza 0a diagonalitza

b) Podem trobar els vaps de dues formes diferents: 1a forma: usant la definició de vap i de vep, sabent que les columnes de la matriu P són els veps de l’endomorfisme:

)0,1,1()0,1,1()0,1,1( 1 g 11 ,

)1,0,0()2,0,0()1,0,0( 2g 22 ,

)1,1,0()1,1,0()1,1,0( 3g 13 . 2a forma: calculant la matriu associada a g amb bases canòniques de sortida i d’arribada, i calculant els vaps, calculant les arrels del polinomi característic:

)3,2,1()3,2,1()0,0,1( CCg ,

)3,1,0()3,1,0()0,1,0( CCg ,

)2,0,0()2,0,0()1,0,0( CCg . Aleshores la matriu associada a g amb bases canòniques de sortida i arribada és:

233012001

A .

Si calculem el polinomi característic:

0)2)(1)(1(233

012001

)(

xxxx

xx

xp ,

236

els vaps són 2,1,1 321 .

RESUM S’ha presentat un conjunt d’exercicis resolts que il·lustren els conceptes explicats a les sessions anteriors.

237

SESSIÓ 26: Problemes proposats

FITXA DE LA SESSIÓ Nom: Problemes proposats Tipus: problemes Format: no presencial Durada: 5 hores Treball a lliurar: sí Material:


PRECEDENTS A la darrera sessió s’ha presentat una sèrie de problemes resolts pas a pas.

OBJECTIUS Proposar un recull de problemes per posar en pràctica els coneixements assolits a les sessions anteriors.

CONTINGUTS Aquesta sessió presenta un recull de problemes per posar en pràctica els coneixements assolits a les sessions anteriors.

5.10.2. Problemes proposats

Problema P.1

Sigui

A

1 42 3

.

Trobeu: a) Tots els vaps de A i els seus veps corresponents. b) Una matriu invertible P tal que D = P -1 A P sigui una matriu diagonal. c) A5. d) f(A), essent f(t) = t4 – 3t3 – 7t2 + 6t – 15.

238

SOLUCIÓ:

a) 1 = 5, v1 1 1 ; 2 = –1, v2 2 1 .

b) P

1 21 1

.

c)

20831042208410415A .

d) f(A) = 14 7638 52

.

Problema P.2

Donada la matriu

C

5 11 3

.

Trobeu els autovalors de C i un conjunt amb el màxim nombre d’autovectors linealment independents. És C diagonalitzable? Per què?

SOLUCIÓ:

Existeix un únic autovalor = 4 amb multiplicitat m = 2 que té associat un únic autovalor linealment independent v 1 1 , per tant, com que no és possible disposar d’una base d’autovectors de 2, C no és diagonalitzable.

Problema P.3

Sigui

B

3 1 17 5 16 6 2

.

239

Trobeu: a) El polinomi característic de B i les seves arrels (o autovalors de B). b) Un conjunt amb el major nombre d’autovectors linealment independents. c) És B diagonalitzable? En cas afirmatiu trobeu la matriu de canvi de base P que

permet expressar D = P -1BP com una matriu diagonal.

SOLUCIÓ:

a) p() = 3 – 12 – 16; 1 = –2 (m1 = 2), 2 = 4 (m2 = 1). b) 1 v1 1 1 0 ; 2 v2 0 1 1 . c) B no és diagonalitzable, ja que només podem trobar 2 autovectors linealment

independents. (<3 = dim 3).

Problema P.4

Sigui

A

1 12 1

una matriu definida sobre el cos dels reals. a) Trobeu els vaps i els veps de A. És A diagonalitzable? Per què? b) Repetiu l’apartat anterior considerant A definida sobre el cos dels complexes.

Trobeu la matriu regular P que verifiqui que P -1 AP és una matriu diagonal.

SOLUCIÓ:

a) No és diagonalitzable, ja que p() no té arrels reals. b) Sí que ho és, ja que: 1 = i v i1 1 1 ; 2 = –i v i2 1 1 i ( v v1 2, ) és base de C2 sobre C.

240

Problema P.5

Estudieu la diagonabilitat de l’endomorfisme f de 3 en 3 que té per matriu associada en base canònica:

A4 0 20 1 05 1 3

.

SOLUCIÓ: 1 = 1 (m1 = 2), però el rang(A – 1I) 1, dim ker(f – 1I) 2, per tant l’endomorfisme f no és diagonalitzable.

Problema P.6

Sigui A una matriu 2-quadrada simètrica definida sobre el cos dels reals. Demostreu que A és diagonalitzable.

Problema P.7

Sigui

A

2 21 3

.

Trobeu: a) Tots els autovalors de A i un conjunt màxim d’autovectors linealment

independents. b) Una matriu no singular P que verifiqui que D = P -1 AP és diagonal. c) A6. d) Una arrel quadrada positiva de A, és a dir, una matriu B amb autovalors no

negatius que verifiquin que B2 = A. SOLUCIÓ: a) 1 = 1 v1 2 1 ; 2 = 4 v2 1 1 .

b) P

2 11 1

.

241

c) A6 1366 27301365 2731

.

d) B

4 3 2 31 3 5 3

/ // /

.

Problema P.8

Sigui

A

4 1 12 5 21 1 2

.

Calculeu: a) El polinomi característic de A. b) Els vaps de A i les multiplicitats associades a cadascun. c) Un conjunt màxim de veps linealment independents de A. d) És A diagonalitzable? En cas afirmatiu, trobeu una matriu P regular que verifiqui

que la matriu P -1 AP és diagonal.

SOLUCIÓ:

a) p() = 3 – 112 + 39 – 45. b) 1 = 3, m1 = 2; 2 = 5, m2 = 1. c) 1 1 0 1 0 1 1 2 1 , , és una base de veps de A. d) A sí que és diagonalitzable, ja que existeix una base de 3 en la qual la matriu

associada a l’endomorfisme que representa és diagonal:

P i P AP

1 1 11 0 2

0 1 1

3 0 00 3 00 0 5

1 .

242

Problema P.9

Sigui

10

11A .

Trobeu A2, A3 i An utilitzant la diagonalització. SOLUCIÓ:

A A An

n

n

2 31 00 1

1 10 1

1 1 12

0 1

( )

( ).


Sigui un endomorfisme f definit en l’espai vectorial P2(x) (polinomis de grau menor o igual que 2) sobre R, del qual coneixem la matriu associada en base canònica B = (1, x, x2), tant de sortida com d’arribada:

110110

1 baA .

On a i b són paràmetres reals. a) Discutiu la diagonabilitat de en funció dels paràmetres a i b, i feu un resum en

una taula. b) Calculeu, per als valors de a = 0 i b = –1, una base de polinomis que compleixin la

condició f(p(x)) = λp(x), on λ és una constant, i calculeu també el valor de la constant λ per a cada polinomi de la base.

Suposeu, a partir d’ara, els valors de a = 2 i b = 1. c) Calculeu les imatges segons l’aplicació dels polinomis següents:

{v1(x), v2(x), v3(x)} = {1, x + x2, – 1 – x + x2}.

I proposeu, a partir del resultat, dues formes alternatives de descompondre la matriu A segons la següent expressió: A = PDP-1, on D és una matriu diagonal i és una matriu no singular.

NOTA: no cal calcular la inversa de P, només cal que deixeu el resultat indicat.

243

d) Calculeu una base i la dimensió tant del nucli com de la imatge de f. Podeu

relacionar el resultat obtingut amb l’apartat anterior?

RESUM En aquesta sessió s’ha proposat un recull de problemes per posar en pràctica els coneixements assolits a les sessions anteriors.

245

SESSIÓ 27: Exercici de modelització

FITXA DE LA SESSIÓ Nom: Exercici de modelització Tipus: problemes Format: no presencial Durada: 10 hores Treball a lliurar: sí Material:


OBJECTIUS Posar en pràctica el concepte de diagonalització en un problema extret del món real.

CONTINGUTS En aquesta sessió els alumnes hauran d’enfrontar-se a un exercici extret del món real, que hauran de resoldre utilitzant les eines algebraiques estudiades a les sessions anteriors. Per a això es generaran grups de treball formats per tres alumnes. L’enunciat i el contingut dels informes a presentar es detallarà en un fitxer apart.

5.11. Exercici de modelització

5.11.1 Enunciat

El zoo de Barcelona s’ha proposat construir un mòdul nou en el qual una espècie d’au provinent de l’Àfrica central pugui desenvolupar-se i créixer. Després de dos anys d’estudi, els experts del zoo que analitzen el comportament i l’evolució dels exemplars inicials han pres nombroses dades associades a la mortalitat i a la natalitat de l’espècie. Els experts han generat un informe, del qual podem extreure les següents dades: S’ha dividit la població en tres classes o subgrups, segons la seva edat: joves (fins a

1 any), subadults (entre 1 i 2 anys) i adults (més de 2 anys). La població és controlada en intervals de duració anual (la comptabilitzen d’any en any).

Es determina que, al final de cada període anual, el 18% dels joves arriba a l’edat

subadulta, el 71% dels subadults arriba a l’edat adulta i el 94% dels adults sobreviu al següent any. Per altra banda, troben que la taxa de fecunditat dels adults (que són l’únic subgrup amb capacitat per tindre cries) és del 33% (el 33% dels adults té una cria; o dit d’una altra forma, es té 1 cria nova per cada 3 adults cada any).

246

L’objectiu de l’estudi és esbrinar si, mantenint les condicions de l’ecosistema artificial generat en aquest mòdul del zoo, l’espècie creixerà o s’extingirà després d’un temps. És a dir, es planteja la realització de l’estudi que ens permetrà determinar l’evolució de la població a llarg termini.

5.11.2. Qüestions orientatives i per reflexionar 1) Indiqueu les equacions que permeten conèixer les poblacions de cada subgrup al

final de cada any. 2) Modeleu matricialment l’evolució de la població. 3) Com ens permet l’anàlisi de la matriu anterior respondre la pregunta objectiu? 4) Quines condicions hauria de complir la matriu obtinguda a la pregunta 2 per poder

afirmar que l’espècie: a. S’extingeix. b. Es manté amb el mateix nombre d’individus. c. S’incrementa el nombre d’individus.

5) Si les dades de l’estudi fossin les que apareixen a continuació, les perspectives de

supervivència de l’espècie serien millors que amb les dades inicials? Justifiqueu clarament la vostra resposta.

Supervivència d’exemplars joves 40% Supervivència d’exemplars subadults 60% Supervivència d’exemplars adults 80% Fecunditat d’exemplars subadults 20% Fecunditat d’exemplars adults 30%

5.11.3. Estructura i contingut de l’informe que ha de presentar-se

L’informe presentat ha de contenir els següents apartats:

Portada. Índex. Objectius perseguits amb la realització de l’exercici. Enunciat del problema. Resposta detallada a les cinc preguntes plantejades a l’enunciat, incloent-hi els

càlculs realitzats. Conclusions i comentaris.

247

5.11.4. Criteris que s’aplicaran en l’avaluació de l’informe presentat

Els conceptes que seran avaluats en l’informe i el mode en el qual seran avaluats es detallen a continuació.

Nivell de qualitat assolit Molt malament

(MM) Malament

(M) Regular

(R) Bé (B)

Molt bé (MB)

Estructura i organització

El format del document no s’adapta en absolut a l’establert. Hauria de

refer-se tot.

El format no

s’adapta, en la seva majoria, al format establert.

Existeixen dos o tres aspectes que

no s’ajusten al format. Amb retocs

simples podrien arreglar-se.

Existeix algun aspecte que no

s’ajusta al format, encara

que no és important.

El document s’ajusta

totalment al format establert.

Claredat de les explicacions

La major part del text

presenta frases

confuses. A vegades no és

possible entendre què

s’intenta expressar.

El text és molt difícil de

comprendre. La major part del text presenta

frases llargues i confuses. Exigeix

constantment de la relectura de

frases.

Apareixen varies frases confuses que obliguen el

lector a rellegir-les per tal de

comprendre-les.

En alguna ocasió puntual

el lector es perd en alguna frase llarga i confusa,

obligant-lo a rellegir-la dues o tres vegades per tal d’entendre-la.

Els continguts s’exposen amb molta claredat. Les frases són curtes i fàcils d’entendre.

Desenvolupament de les preguntes

proposades

No s’ha contestat

correctament cap de les preguntes

proposades.

Només s’ha desenvolupat

correctament 1 de les preguntes

proposades.

S’han desenvolupat correctament 2 o 3 de les preguntes

proposades.

S’han desenvolupat


proposades.

Les 5 preguntes proposades

s’han desenvolupat i

contestat correctament.

Conclusions i comentaris

No té conclusions.

Comentaris molt simples i

mancants de contingut.

Les conclusions es centren

exclusivament en les respostes a les

preguntes proposades a

l’exercici, sense reflexionar sobre altres aspectes

importants.

Es mostra una valoració global

de l’exercici sense aprofundir

massa en l’objectiu perseguit.

Els comentaris mostren una

profunda reflexió sobre els

objectius de l’exercici, a més

d’una crítica constructiva.

RESUM En aquesta sessió s’ha proposat un exercici per posar en pràctica els conceptes estudiats a les sessions anteriors en el context d’un problema real.

249

SESSIÓ 28: Introducció a la descomposició en valors singulars (SVD, Singular Value Decomposition)

FITXA DE LA SESSIÓ Nom: Introducció a la descomposició en valors singulars (SVD, Singular Value

Decomposition) Tipus: teòrica Format: no presencial Durada: 5 hores Treball a lliurar: no Material:


PRECEDENTS A les sessions anteriors s’ha presentat el concepte de diagonalització d’endomorfismes.

OBJECTIUS Estudiar el mètode de la descomposició en valors singulars per fer l’estudi d’autovalors i d’autovectors en un cas general de matrius no quadrades.

CONTINGUTS Aquesta sessió presenta els aspectes teòrics del mètode de la descomposició en valors singulars.

5.12. Descomposició en valors singulars (SVD)

5.12.1. Introducció En aquest apartat veurem com factoritzar una matriu A com un producte de 3 matrius. Aquesta descomposició rep el nom de descomposició en valors singulars (SVD) i es pot entendre com la generalització de l’anàlisi d’autovalors i d’autovectors per a matrius no quadrades.

TVUA ·· .

250

D’aquesta nova descomposició veurem una primera explicació, sense entrar en detalls. Per a aquells que vulguin aprofundir en el tema recomanen mirar la bibliografia (Capítol 7 de Mathematical Methods and Algorithms for Signal Processing. Todd K. Moon & Winn C. Stirling. Prentice Hall). La diferència principal amb la diagonalització d’endomorfismes (que ens permet expressar la matriu associada com 1·· PDPA ) és que aquesta nova descomposició: Sempre existeix. És a dir, sempre serà possible factoritzar A d’aquesta forma. La matriu A pot tenir qualsevol dimensió (m x n).

En aquesta nova descomposició tenim: La matriu és una matriu de m x n, diagonal:

),,,( 21 rdiag on r és el mínim de m x n. La matriu U és una matriu de dimensions m x m. La matriu V és una matriu de dimensions n x n. Les matrius U i V són unitàries, és a dir:

IVVIUU

T

T

··

. Aquesta descomposició la podem veure com que troba una nova matriu associada a una aplicació f, que seria VUF , on V i U representen les bases origen i destí respectivament.

T

T

VUVUA

UVV

basedecanvi

fbasedecanvi

CUVCFFEE

1

1

.

Com es pot observar, ens hem agafat la llicència de anomenar V i U les matrius de canvi de base a l’espai origen i a l’espai destí respectivament.

5.12.2. Com es calculen les matrius U, Σ i V

. Si multipliquem per la dreta en (1) els dos membres de la igualtat per la matriu V:

. Si multipliquem per l’esquerra en (1) els dos membres de la igualtat per la matriu UT:

.

251

Fixem-nos en l’expressió (2):

. És a dir,

. Per tant, les columnes de V són els veps de (ATA). Fixem-nos ara en l’expressió (3):

. És a dir,

. Per tant, les columnes de U són els veps de (AAT) Per finalitzar aquest apartat, podem dir també que els valors singulars de la matriu Σ són les arrels quadrades dels vaps de la matriu AAT (o els de la matriu ATA, ja que els vaps d’aquestes matrius coincideixen).

RESUM En aquesta sessió s’han presentat els aspectes teòrics del mètode de la SVD.

253

SESSIÓ 29: Interpretació i aplicacions de la SVD

FITXA DE LA SESSIÓ Nom: Interpretació i aplicacions de la SVD Tipus: teòrica Format: no presencial Durada: 5 hores Treball a lliurar: no Material:


PRECEDENTS A la sessió anterior s’han presentat els aspectes teòrics del càlcul de la SVD.

OBJECTIUS Saber interpretar el resultat de la SVD i entendre les seves aplicacions.

CONTINGUTS En aquesta sessió es detalla la interpretació de la SVD i s’expliquen algunes de les seves aplicacions. Finalment es presenta un exemple numèric.

5.12.3. Interpretació i aplicacions de la SVD

Sigui el producte de dues matrius de dimensions adequades, la columna -èsima de la matriu es pot expressar com , on és la columna -èsima de la matriu . Interpretant com la matriu associada a una aplicació lineal , aleshores , és a dir, les columnes de

pertanyen al subespai engendrat per les columnes de , i la columna -èsima de la matriu són els coeficients de referits a la base de formada pels vectors

. Per tant, podem dir que el subespai columna de engendra el subespai columna de , el qual indiquem com (noteu que si és una matriu nul·la aleshores ).

Una de les aplicacions més interessants que ofereix la SVD és la reducció de rang de dades amb mínima pèrdua d’informació rellevant. Com a exemple il·lustratiu, es pot aplicar a la codificació eficient d’imatges, on podem expressar una col·lecció de n imatges amb una matriu d’imatges de definida com:

254

On cada imatge de la col·lecció (amb resolució de píxels) representa una columna de la matriu (p. ex. posant totes les columnes de cada imatge concatenades en una única columna).

Escrivim la descomposició de la matriu d’imatges anterior amb la SVD amb l’equació

, on , i . Observem que, segons el que s’ha comentat anteriorment, les columnes de la matriu formen una base de representació de totes les imatges de la col·lecció. D’altra banda, la columna -èsima de la matriu són les components de la imatge -èsima respecte d’aquesta base de vectors columna de .

La base de vectors columna de la matriu forma una base òptima per compactar

les dades de la matriu d’imatges. El mètode de reducció a rang de la matriu a partir de la SVD es basa en escollir els vectors propis (columnes de ) associats als valors singulars majors de la matriu , és a dir:

.

On és la submatriu de la matriu que conté els seus valors singulars majors, és la submatriu de la matriu formada per les seves columnes associades a aquests valors singulars, i és la submatriu de la matriu formada per les seves columnes associades també a aquests valors singulars.

Observem que, assumint el cas que i que la informació dels coeficients respecte de la base de s’emmagatzema en la matriu , el mètode reduirà informació sempre que .

D’aquesta forma, ens quedem amb la informació de rang que millor representa la informació original, obtenint un error de reconstrucció menor que qualsevol altre mètode d’aproximació lineal alternatiu. La capacitat de compactació del mètode (habilitat per trobar un valor de prou petit tot assegurant un error de reconstrucció) depèn de la naturalesa de les dades que formen la matriu original . En el cas de l’aplicació de codificació d’imatges, per exemple, és preferible que la matriu estigui formada per cares amb la mateixa escala i centre de gravetat que no per imatges de cares de diferents grandàries i posicions (major similitud de les dades major capacitat de compactació).

En general, l’aplicació de la reducció de rang de dades s’engloba en el que es coneix com l’anàlisi de components principals (PCA, Principal Component Analisis). No obstant això, existeixen altres aplicacions no menys interessants que la SVD, com és el cas de la inversió robusta per solucionar sistemes d’equacions incompatibles o sobredeterminats (cerca de la solució compatible més propera a la desitjada), o bé per a sistemes d’equacions compatibles indeterminats o subdeterminats (cerca de la solució de mínima longitud o norma), per mitjà del que es coneix com la matriu pseudoinversa notada com .

255

5.12.4. Exemple numèric

. Observem com , i d’altra banda

, per tant tots els vectors columna de que són iguals a

es poden expressar com .

En aquest cas, tenim dos valors singulars i , per tant, escollim i podem expressar (de forma exacta i no aproximada) la matriu original quedant-nos només amb la primera columna de les matrius i , i la submatriu de de , és a dir:

.

RESUM En aquesta sessió s’ha presentat una interpretació del resultat de la SVD i s’han detallat algunes aplicacions d’aquest mètode. També s’ha mostrat un exemple numèric. Al final del curs es plantejarà un nou exercici de modelització en el qual s’aplicarà aquest concepte en un problema tècnic.

257

SESSIÓ 30: Definició de producte escalar

FITXA DE LA SESSIÓ Nom: Definició de producte escalar Tipus: teòrica Format: no presencial Durada: 5 hores Treball a lliurar: no Material:


OBJECTIUS Definir el concepte de producte escalar per a la posterior definició d’espai vectorial euclidià i d’espai vectorial unitari.

CONTINGUTS Definició i exemples del concepte de producte escalar i definicións d’espai vectorial euclidià i d’espai vectorial unitari.

6. Espais vectorials euclidians i unitaris

6.1. Producte escalar. Espai euclidià i espai unitari.

En aquest apartat s’estudia la definició de producte escalar i es mostren alguns exemples. Seguidament es defineixen els conceptes d’espai vectorial euclidià i d’espai vectorial unitari.

6.1.1. Definició de producte escalar Sigui E un espai vectorial sobre R (o C). El producte escalar és una aplicació del producte cartesià E x E sobre R (o C):

vuvuoCExE ,),()(

,

258

que verifica les següents propietats: Si E és un espai vectorial sobre el cos commutatiu dels reals:

o Bilineal

,,,, 2121 vvuu

2111211

1211121

,,,,,,vuvuvvuvuvuvuu

.

o Simètrica (commutativa)

uvvuvu

,,,

.

o Definida positiva

0,0

0,0:.

0,

uuu

uuusi

uuu

.

Convé remarcar que si es compleix la primera propietat de bilinealitat i la propietat simètrica, aleshores es compleix la propietat de linealitat.

Si E és un espai vectorial sobre el cos commutatiu dels complexos:

o Sesquilineal

cvvuu

,,,,

1

2121

21*

11*

21

1211121

,,, v,uv,,

vuvuvvuuvuu

.

o Hermítica

*,,,

uvvuvu

.

o Definida positiva

259

0,0

0,0:.

0,

uuu

uuusi

uuu

.

6.1.2. Altres propietats

Cal destacar també, addicionalment a les propietats anteriors, que es compleix:

EvKvuvu

uv

jji

S

jjiji

R

i

R

i

S

jjjii ,u i , ,, .2

00,,0 .1

i1

*

11 1

.

6.1.3. Exemples

Exemple 1

Sigui n un espai vectorial sobre , on definim el producte escalar així:

),....,,( i ),....,,(

,},{

,

2121

1

nn

i

n

ii

nn

vvvvuuuuon

vuvuvu

x

.

Demostreu que és producte escalar ben definit.

SOLUCIÓ

S’han de complir tres propietats, en tant que l’espai vectorial està definit sobre el cos commutatiu dels reals: bilineal, simètrica i definida positiva. Bilineal

,,)()(.....)()(.....

)(.....)()(,,,,

1111

22221111

222111

vuvuvuvuvuvu

vuvuvuvuvuvu

nnnn

nnnn

nnn

.

La segona part es complirà si es compleix la simètrica.

260

Simètrica

nnnn uvuvuvvuvuvuuvvu

..........,,

22112211

.

Definida positiva

0

0.....,00,0:.

0,

2

222

21

sempreuperque

uuuuuuuuusi

uu

i

n

.

Exemple 2

Sigui V un espai vectorial de funcions reals de variable real sobre , que són continues en (a, b). Definim l’aplicació:

b

a

dxxgxfxgxf

VxV

)()()(),(.

Comproveu si és o no producte escalar.

SOLUCIÓ

S’han de complir tres propietats, en tant que l’espai vectorial està definit sobre el cos commutatiu dels reals: bilineal, simètrica i definida positiva. Bilineal

)()()()()()()()(

)()()()()()(

,,

)(,

)(),()(),()(),()(

xXXX

b

aXX

b

aXX

XXX

b

aXXX

hghfdxhgdxhf

dxhgfhgf

xhxgxhxfxhxgxf

.

Simètrica

261

b

a

b

a

xfxgdxxfxgdxxgxfxgxf

xfxgxgxfVxgxf

)(),()()()()()(),(

)(),()(),()(),(

.

Definida positiva

0

0)()()(),(0)(

0)(),(0)(:.

0)(),(

2

2

semprefperque

dxfdxxfxfxfxfxf

xfxfxfsi

xfxf

x

b

a

b

ax

.

Exemple 3

Sigui mxnM un espai vectorial de les matrius de m files i n columnes definit sobre R. Definim un producte escalar de la següent manera:

)Tr(BBA, BA,

T A

xMM mxnmxn

.

On Tr(C) és la suma dels elements de la diagonal de la matriu quadrada C. Comproveu si és o no producte escalar.

SOLUCIÓ

La traça és la suma dels elements de la diagonal d´una matriu.

nxnaa

aa

bb

bbAB

mn1m

n111

mnn1

1m11T

................

...............*

..............

.............* .

Buscarem l’expressió general del terme Cij de la matriu ABC T :

2m1m2221121112

1m1m2121111111

abababCabababC

..................

.

L’expressió general és

m

kkjki abCij

1

de cada element de C.

262

BAabCTraçan

i

m

kkiki

n

iii ,

1 11

.

S’han de complir tres propietats, en tant que l’espai vectorial està definit sobre el cos commutatiu dels reals: bilineal, simètrica i definida positiva.

Bilineal

mxnMCBA ,,

m

kkikiki

n

i

m

kkiki

n

ibacdcCDCBA

CBCACBA

1111)(,,

,,,

.

Podem aplicar la propietat distributiva:

m

k

m

kkiki

n

ikiki

n

i

CBCAbcac1 111

,,

CABACBA ,,, .

Quedarà demostrada si es compleix la propietat simètrica.

Simètrica

m

k

m

kkiki

n

ikiki

n

iABbaabBA

ABBA

1 111,,

,,

.

Definida positiva

0

0..00..0

00,

0,

2

1

2

1 11

ki

m

kki

m

k

n

ikiki

n

i

a

aaa

AAAsi

AA

.

263

Exemple 4

Sigui nC un espai vectorial sobre C. Definim una aplicació:

n

iii

nn

vuvuvu

CxCC

1

*,,

.

Demostreu que l'aplicació és un producte escalar.

SOLUCIÓ

S’han de complir tres propietats, en tant que l’espai vectorial està definit sobre el cos commutatiu dels complexos: sesqulineal, hermítica i definida positiva.

Sesquilineal

wuvu

wuvuwvuwvuwvub

wvwuwvwuwvuwvua

n

i

n

iiiii

n

i

n

iiiiiii

n

i

n

iiiii

n

iiii

,,

))()(()(, )

,,)(, )

**1 1

****

1 1

***

1 1

**

1

*

.

Hermítica

*

1

**

1

**

1

*

1

*

*

,)()(,

,,

uvuvuvuvvuvu

uvvun

iii

n

iii

n

iii

n

iii

.

Definida positiva

n

ii

n

iii uuuuu

1

2

1

* 0,

.

6.1.4. Espai vectorial euclidià i espai vectorial unitari

Sigui E un espai vectorial sobre en el qual hem definit un producte escalar:

x .

Aleshores, aquest espai vectorial es diu euclidià. Un espai vectorial unitari és un espai vectorial sobre C, en el qual hem definit un producte escalar.

Cx .

264

RESUM En aquesta sessió s’ha estudiat la definició del concepte de producte escalar i s’han vist alguns exemples. També s’han estudiat les definicions d’espai vectorial euclidià i d’espai vectorial unitari.

265

SESSIÓ 31: Conceptes de norma d’un vector i d’angle entre vectors

FITXA DE LA SESSIÓ Nom: Conceptes de norma d’un vector i d’angle entre vectors Tipus: teòrica Format: no presencial Duració: 5 hores Treball a entregar: no Material:


OBJECTIUS Estudiar els conceptes de norma d’un vector i d’angle entre dos vectors.

CONTINGUTS Definició de norma d’un vector, exemples i concepte de normalització. Definició d’angle entre vectors juntament amb un exemple.

6.2. Norma d’un vector

6.2.1. Definició

Sigui E un espai vectorial sobre (o C), que hem definit com una aplicació com la següent:

uu

E

}{

Perquè aquesta aplicació pugui ser considerada norma ha de complir 3 propietats:

a)

0

vEv

00

00

vvsi

vvsi

.

266

b)

vvEvk

.

c) Desigualtat triangular.

vuvuEvu

,

.

NOTA: en el cas de 2 o 3 s’anomena mòdul d’un vector.

6.2.2. Norma induïda a partir del producte escalar

Sigui E un espai vectorial sobre amb producte escalar definit, és a dir, E és un espai vectorial euclidià. Definim una aplicació com l’arrel positiva del producte escalar del vector amb ell mateix.

uuu

E , .

Aquesta aplicació s’anomena norma induïda pel producte escalar. Podem comprovar que és una norma perquè compleix les tres propietats requerides: a)

Ev

00

00

vvsi

vvsi

per la 3ª propietat del producte escalar.

0, vv

00, vvv

0,? vv

0 , vv

per la 3ª propietat del producte escalar en el cas: 0v 22 xM .

267

b)

vvvvvvvv ,,, 2

.

a)

.

Demostració de la desigualtat de Cauchy–Schwarz

DEMOSTRACIÓ 1:

vvuuvu

Evu

,,,

,2

.

Recordem:

vuvuvu

vuvu

n

iii

n

iii

,,

,

*

1

**

1

*

.

De la propietat definida positiva:

0,,,,,,,,,,,

0,

**

vvuvvuuuvvuvvuuuvuvvuuvuvu

vuvu

268

agafem per a el següent valor:

.

Substituint:

.

DEMOSTRACIÓ 2:

Volem veure que u v <u, v> . Veurem la següent desigualtat equivalent a l’anterior:

<u, u> <v, v> <u, v> 2.

Considerem <u + v , u + v > 0 (per a ser definida positiva). Per a la bilinealitat tenim:

<u + v, u + v> = <u, u> + 2 <u, v> + 2<v, v> 0. Podem entendre aquesta desigualtat com una equació de 2º grau:

c + 2b + a2 0. Es tracta d’una paràbola positiva, per tant, amb una arrel o cap. Per discutir l’existència d’arrels calculem el discriminant b2 – 4ac (el terme de dins de l’arrel en la resolució de l’equació de 2º grau). Sabem que la nostra paràbola té una sola arrel b2 – 4ac = 0; o cap arrel b2 – 4ac < 0. Per tant, 0 b2 – 4ac.

269

Tornant a l’equació tenim:

0 4 <u, v>2 – 4 <v, v> <u, u>. Simplifiquem i escrivim la desigualtat:

<v, v> <u, u> <u, v>2,

que és la que volíem veure.

6.2.3. Exemples de norma

Per a Rn o Cn espai vectorial sobre R o C, aquesta Tnxxxx ),...,,( 21

es defineixen les normes :

n

n

n

xxxmaxx

xxxx

xxxx

,...,

...

...

21

222

212

211

.

Per exemple:

3 14 ;6

)3,1,2(

21

3

xxx

xx

.

6.2.4. Normalització d’un vector respecte d’una norma donada

Normalitzar un vector x significa trobar un vector que apunti a la mateixa direcció que (combinació lineal de x ) i que tingui norma 1.

Sigui E un espai vectorial amb producte escalar definit, i sigui .x Direm que x és un vector unitari 1 x . Per a )( 0x

podem trobar un vector nx ( x normalitzat) unitari associat a .x

1xxxn

.

270

Demostració

Podem normalitzar tot vector diferent a 0

.

11

xx

xx

x

xxx

n

n

.

6.3. Angle entre dos vectors

6.3.1 Definició

Sigui E un espai vectorial amb producte escalar definit i siguin vu , dos vectors qualssevol no nuls de E. Definim l’angle entre els vectors u i v prenent una aplicació:

vux,

vuvu

,cos .

L’angle es mesura en radians i té un significat geomètric que mesura la diferència de direcció (i també de sentit) entre vectors. Com es pot apreciar, l’angle entre dos vectors no depèn de la magnitud de aquests:

( ).

Fig. 6.1. Exemple d’angle entre dos vectors i .

271

Segons la desigualtat de Cauchy-Schwarz, l’angle sempre existeix.

1cos1 1,

vuvu

.

6.3.2. Exemple Trobeu l’angle entre els dos vectors següents:

)1,2,1()3,0,2(

vu

de 3 .

SOLUCIÓ:

5,96136

1cos

1)1,2,1(),3,0,2(

1394)3,0,2(

6)1,2,1(

)1,2,1()3,0,2()1,2,1(),3,0,2(

cos

.

RESUM En aquesta sessió s’han presentat els conceptes de norma i de normalització d’un vector. També s’ha estudiat el concepte d’angle entre dos vectors.

273

SESSIÓ 32: Ortogonalitat i subespais ortogonals

FITXA DE LA SESSIÓ Nom: Ortogonalitat i subespais ortogonals Tipus: teòrica Format: no presencial Durada: 5 hores Treball a lliurar: no Material:


PRECEDENTS A les sessions anteriors s’ha definit el concepte de producte escalar. A la darrera sessió, específicament, s’han detallat els conceptes de norma d’un vector i d’angle entre dos vectors.

OBJECTIUS Estudiar els conceptes d’ortogonalitat i subespais ortogonals, així com la relació entre ortogonalitat i independència lineal.

CONTINGUTS Aquesta sessió conté les definicions dels conceptes d’ortogonalitat i subespais ortogonals, i exercicis per il·lustrar-los.

6.4. Ortogonalitat i subespais ortogonals

6.4.1. Definició d’ortogonalitat

Dos vectors uv , són ortogonals (en es denominen perpendiculars) entre ells, si .0, vu

El 0

és ortogonal a tots els vectors.

L’angle entre dos vectors ortogonals és de 90º.

vuvu

,cos si v i u són ortogonals 0, vu

00cos vu

274

º90 .

Exemple

Trobeu un vector ),,( zyxw

ortogonal a: )4,1,0( i )5,3,1( vu aplicant el producte

escalar euclidià.

SOLUCIÓ

.

Els vectors amb la forma són y Posem per exemple .

6.4.2. Subespai ortogonal Sigui E un espai vectorial amb producte escalar definit i sigui S un subconjunt de E ( ES ). Definim el subespai ortogonal de S )( S de la forma següent:

SuvuvS 0,.

S és el conjunt format per tots els vectors de E que són ortogonals a tots els vectors

de S.

Propietats

1. S és un subespai vectorial de E.

Suu 21 ,,

Suu 21

.

1u i 2u pertanyen a S perquè Sv

, es compleix:

275

0,

0,

2

1

vu

vu

,

per tant,

0,,

0,

0

2

0

1

?

21

vuvu

vuu

.

2. SS

DEMOSTRACIÓ:

El subespai està format pels vectors que són ortogonals a tots els vectors que poden ser engendrats pels vectors de S, és a dir, vectors de la forma:

. On la combinació lineal és de tots els vectors que pertanyen a . LLavors,

, i com veiem, per bilinealitat del producte escalar, podem afirmar que . Per tant, tot vector que pertany a pertany també a . Com podem comprovar, a la inversa també es complirà, la qual cosa significa en definitiva que . Exemple geomètric en ℝ3: sigui un conjunt de 2 vectors no nuls i linealment independents Llavors:

Com es pot apreciar, el subespai forma una recta a l’espai que és ortogonal tant al conjunt de vectors de com al pla que engendren aquests dos .

Indica angle recte entre els dos vectors

Fig. 6.2. Exemple de subespai ortogonal a un conjunt de vectors i a l’espai que aquestos engendren.

276

3. 0

SS . La intersecció entre el subespai engendrat pels vectors de S i el subespai ortogonal a S és igual a 0.

Exemple 1

Trobeu el S al subconjunt S de 3 .

)4,1,0(),5,3,1( 21 uuS .

SOLUCIÓ:

zzzzvvS s ),4,7(.

Exemple 2

Trobeu S amb el producte escalar euclidià si:

)0,1,1(),0,0,1(

3

SE

.

SOLUCIÓ:

),,(

),,(),,,(

),,(),,,(),,(

z00S0yxtqxS

0xy0yx

0011zyx0x

0001zyxzyxS

3

.

Es pot comprovar que la intersecció entre S i S és el vector nul.

277

6.4.3. Altres definicions

Conjunt ortogonal

Si S on E és un espai vectorial amb producte escalar definit, direm que S és un conjunt ortogonal de vectors si cada parell de vectors ho són.

nuuuS ,......,, 21 iu .

S és ortogonal 0, ji uu ji .

Conjunt ortonormal

S és un conjunt ortonormal de vectors si: a) S és un conjunt ortogonal. b) Tots els vectors de S són unitaris (norma = 1).

jiji

uu ijji 10

, .

Base ortogonal

Si B és base de E, B és base ortogonal si és un conjunt ortogonal de vectors.

Base ortonormal

Si B és base de E, B és base ortonormal si és un conjunt ortonormal de vectors.

6.4.4. Relació entre ortogonalitat i independència lineal

Tot conjunt S de vectors ortogonals és un conjunt linealment independent de vectors.

Demostració

Sigui nxxxS ......, 21 un conjunt ortogonal, jixx ji 0, . Comprovem que són linealment independents:

278

0xx00xxxx

0xx

00xxx

00xxx

iii

n

1iii

2i

n

1i

n

1kkiki

n

1kkk

n

1iii

22nn2211

inn2211

, que ja única solució ,,

,

....

? solució única ....

.

6.4.5. Exemples

Exemple 1

Tenim l'espai vectorial V de les funcions reals continues sobre l'interval , amb producte escalar definit de la següent manera:

dxxgxfgf )()(, .

Definim el subconjunt ...sin,sin,...cos,cos, x2xx2x1U . Demostreu que U és un conjunt ortogonal de vectors. NOTA:

babababababa

·cossin·sincos)sin(·sinsin·coscos)cos(

.

SOLUCIÓ:

. Fent el mateix:

.

Per tant, el conjunt U és un conjunt ortogonal.

279

Exemple 2 Aquest exercici s’ha de lliurar

Donats els següents vectors:

)1,1,3()3,0,1(

2

1

uu

.

a) Trobeu un vector 3u a 21 , uu . b) Normalitzeu els tres vectors. c) Comproveu que n3n2n1 uuu ,, formen una base ortonormal de 3 .

RESUM En aquesta sessió s’han presentat els conceptes d’ortogonalitat i de subespais ortogonals. S’han vist altres definicions relacionades amb aquest concepte (conjunts i bases ortogonals i ortonormals), i s’ha tractat la relació entre independència lineal i ortogonalitat.

281

SESSIÓ 33: Projecció ortogonal

FITXA DE LA SESSIÓ Nom: Projecció ortogonal Tipus: teòrica Format: no presencial Durada: 5 hores Treball a lliurar: no Material:


PRECEDENTS A les sessions anteriors s’ha presentat el concepte de producte escalar entre vectors, cosa que ha donat lloc a les definicions d’angle entre vectors i d’ortogonalitat.

OBJECTIUS Estudiar el concepte de projecció ortogonal d’un vector sobre un altre vector.

CONTINGUTS Aquesta sessió defineix la projecció ortogonal d’un vector sobre un altre vector.

6.5. Projecció ortogonal d’un vector sobre un altre vector

6.5.1. Definició

Sigui w un vector no nul d’un espai vectorial E amb producte escalar definit. Es verifica que el coeficient c definit com

2

,,,

w

wvwwwv

c

és l’únic escalar tal que wcvv

' és ortogonal a w . Definim projecció de v al llarg de w :

wcwvproj ),( .

c rep el nom de coeficient de Fourier de v respecte de w , o la component de v al llarg de w .

282

6.5.2. Deducció del paràmetre c

v

wwc

wcvv '

0, wwcv

minwcv

Podem demostrar el valor del paràmetre c seguint dos raonaments diferents: a) Si volem que v’ sigui a w , forcem que el producte escalar sigui igual a 0.

wwwv

c

wwcwvwwcwv

wwcv

wv

,,

0,,,,

0,

0´,

.

b) Podem forçar que la norma de 'v sigui mínima.

Per treure l’arrel de la definició de norma, l’elevarem al quadrat i minimitzarem la norma al quadrat.

wcvvjawcvwcvv

´ que ,´ 2´

mínim)un (és 0 és cper derivada 2ª La ,,

,,

0,2,2

,,2,

,,,,,

opt

2

2

22

wwwv

c

wwcwv

wwcwvwcvdcd

wwcwvcvv

wwcwvcvwcvvwcvwcvwcv

opt

opt

opt

.

283

6.6. Projecció ortogonal d’un vector sobre un subespai vectorial de dimensió més gran que 1

6.6.1. Deducció Sigui

nrwwwW r ,.....,, 21

nE

EW

dim

Ev

rr wcwcwcv

.....2211 .

On el vector error vv ̂ ha de ser ortogonal a tots els vectors del subespai generat per

W si rr wcwcwcv

.....2211 és la millor aproximació.

Llavors, s’ha de complir per a cada vector de W que:

0wwcwcwvwwcwcv

0wwcwcv

0wvv

irr11iirr11

irr11

i

,...,,...

,...

,ˆ

.

Per tant,

1w

2w

v

11wc

22 wc v̂

vv̂

284

irri11irr11i wwcwwcwwcwcwv ,...,,..., .

Desenvolupant:

rrrr11rrr11r

2rr2112rr112

1rr1111rr111

wwcwwcwwcwcwv

wwcwwcwwcwcwv

wwcwwcwwcwcwv

,...,,...,

,...,,...,

,...,,...,

.

Compactant:

r

1

rrr1

1r11

r

1

c

c

wwww

wwww

wv

wv

,,

,,

,

,.

Si la base W és ortogonal, la matriu és diagonal i llavors podrem enunciar el teorema que es detalla al següent apartat.

6.6.2. Teorema

Sigui

nrwwwW r ,.....,, 21

nE

EW

dim .

Sigui W un conjunt ortogonal de vectors no nuls

Ev

ii

ii

nrr

wwwv

c

wvprojwvprojwcwcwcv

,,

),(...),(..... 12211

.

v és la millor aproximació que es pot fer del vector v en el subespai engendrat per iw (<W>). Se sumen totes les projeccions del vector v sobre tots els vectors que formen el conjunt ortogonal. Veiem una altra forma de demostrar el teorema. Volem que l'error ( vv

) sigui ortogonal a l'espai engendrat pels vectors iw .

285

ii

ii

iiii

ik

r

kikki

r

kikk

i

wwwv

c

wwcwv

wwwwcwv

wwcv

wvv

,,

,,

ji si 0, 0,,

0,

0,ˆ

1

1

.

6.6.3. Observació

Si rwwwv ,......., 21 , aleshores lògicament 0Error ˆ vv .

Així, si r = dim E i W és base ortogonal de E,

i11

1

111

1

w baseen v de components lessón ,,

,,

......,,

wwwvon

www

wvwww

wvv

Ev

nnn

n

.

RESUM En aquesta sessió s’ha estudiat el concepte de projecció ortogonal i els mitjans per calcular-la.

287

SESSIÓ 34: Exemples de projecció ortogonal i procés d’ortogonalització de Gram-Schmidt

FITXA DE LA SESSIÓ Nom: Exemples de projecció ortogonal i procés d’ortogonalització de Gram-

Schmidt Tipus: teòrica i problemes Format: no presencial Durada: 5 hores Treball a lliurar: no Material:


PRECEDENTS A les sessions anteriors s’han vist els conceptes de vectors i subespais ortogonals i també el concepte de projecció ortogonal.

OBJECTIUS Mostrar exemples de projecció ortogonal i estudiar el procés d’ortogonalització de Gram-Schmidt.

CONTINGUTS Exemples de projecció ortogonal i descripció del procés d’ortogonalització de Gram-Schmidt.

6.6.4 Exemples de projecció ortogonal

Exemple 1

Sigui xP3 l’espai vectorial euclidià dels polinomis de grau menor o igual a 3, amb producte escalar:

1

0

)()(, dttgtfgf ,

288

i sigui Q el subespai engendrat pels vectors 22t ,1 . Trobeu la millor aproximació del vector xPtp 3

3 dins del subespai Q.

SOLUCIÓ

Com que el vector que trobarem pertany a Q, podem dir:

221 21),(ˆ tkkQpprojecp

.

Per tal de trobar el valor de k1 i k2 mirarem si 1 i 2t2 són ortogonals, ja que llavors els càlculs queden més senzills i podem dir que:

)2,()1,(),(ˆ 2tpprojecpprojecQpprojecp

032...22,1

1

0

22 tt .

Per tant, no són ortogonals i no podem aplicar el desenvolupament anterior. Per trobar el valor de k1 i k2 de:

2

21 21),(ˆ tkkQpprojecp

trobarem la matriu del sistema d’equacions que surt de plantejar:

02,01,ˆ

2

te

eQeepp

23

3

2

1222

2

2,1,

2,22,11,21,1

ttt

kk

tttt

,

on la matriu de 2x2 és la coneguda com grammià. Fent els productes escalars obtenim:

321516

1

31

41

54

32

321

2

1

2

1

k

k

kk

.

Per tant,

22221 16

1516

1232151

16121),(ˆ tttkkQpprojecp

.

289

Exemple 2

Sigui }cos,{ xsinxS un conjunt ortogonal de V espai vectorial de funcions contínues

en , amb

dxxgxfgf )()(, .

Trobeu la millor aproximació de h(x) = x com a combinació lineal dels vectors de S.

SOLUCIÓ

42

222cos1,

2coscoscos

,

cos,coscos, i

,,

cos)(ˆ

2 xsinxdxxxdxsinsinxsinx

xdxxxxvsinxdv

dxduxuxsinxdxsinxx

xxxx

sinxsinxsinxxon

xsinxxh

.

sinxxh

sinxdxxsinxsinxvxdv

dxduxuxdxxxx

2)(ˆ

0cos

coscos,

22 :Per tant

.

Exemple 3

Expresseu )2,3,4( w en components respecte de la base )1,2,1(),1,0,1(),1,1,1( B . Feu-ho aplicant l’observació anterior i confirmeu el

resultat amb el mètode tradicional (plantejant el sistema d'equacions corresponent).

SOLUCIÓ:

32

64

,,

326

,,

35

,,

33

33

22

22

11

11

vvvw

c

vvvw

c

vvvw

c

)32,3,

35(

B

w .

290

Aquest aproximant un vector que ja es troba dins de l’espai.

6.7. Procés d’ortogonalització de Gram-Schmidt

6.7.1. Definició A partir d’una base no ortogonal d’un espai volem obtenir una base que sí que ho sigui. Per fer la definició del procés d’ortogonalització de Gram-Schmidt considerarem que: Tenim rvvv ,.....,, 21 base no ortogonal. Volem rwww ,.....,, 21 base ortogonal.

111

12

22

21

11

1

2313

222

231

11

133231333

1111

1221

111

121211

11

122121

21

111

1221222

11

,,

..........,,

,,

:generalEn ..

0, i , que forma De,,

,,

),(),(

:forma aquestad' trobemelctor següent ve El

0,,,

,

,,

,,,,

,,

:óComprovaci 0, que forma De

,,

),(

rrr

rrrrrr w

wwwv

wwwwv

wwwwv

vw

wwww

wwwwv

wwwwv

vwvprojwvprojvw

wwwwwv

vw

wwwwv

wvwwwwwv

vwww

ww

wwwwv

vwvprojvw

vw

6.7.2. Exemple Tenim v espai vectorial de polinomis reals, amb producte escalar:

1

0)()(, dtgfgf tt .

Trobeu la millor aproximació de t sobre 2,1 t .

291

SOLUCIÓ:

Primer mirem si són ortogonals o no.

1

0

322

31

3,1 ttt .

Per tant no són ortogonals. Hem de trobar una base d'aquest espai que sigui ortogonal per tal de poder aplicar el teorema de la millor aproximació.

2

2222

2

31

0

2

222

22

1

t1615

163t

1t54411

211t

1t1tt1t1

11t1t

31

3tt

1t31t1

111t

tw

1w

ˆ

:Resultat

)(3//·)(3

3,3,3

,,ˆ

:serà óaproximacimillor La

comoditatper 3 vector el Agafem ,

,

.

RESUM En aquesta sessió s’han vist tres exemples de projecció ortogonal. A la part final s’ha estudiat el procés d’ortogonalització de Gram-Schmidt i s’ha vist un exemple on s’ha aplicat aquest procés per aconseguir una base ortogonal a partir d’una que no ho era.

293

SESSIÓ 35: Aplicacions pràctiques d’alguns conceptes estudiats al tema 6

FITXA DE LA SESSIÓ Nom: Aplicacions pràctiques d’alguns conceptes estudiats al tema 6 Tipus: pràctica Format: no presencial Durada: 5 hores Treball a lliurar: no Material:


PRECEDENTS A les sessions anteriors s’han estudiat els conceptes d’ortogonalitat i de projecció ortogonal.

OBJECTIUS Estudiar aplicacions pràctiques dels conceptes tractats de forma teòrica a les sessions anteriors.

CONTINGUTS Descripció de les aplicacions d’ALGTEC relacionades amb els conceptes estudiats al capítol 6.

6.8. Aplicacions desenvolupades en ALGTEC en què s’apliquen conceptes estudiats al tema 6

6.8.1. Aproximació d’un conjunt de punts per a una recta aplicant el criteri de mínims quadrats

Es presenta una situació en la qual disposem, per exemple, de diverses mesures presses al laboratori de la resistència que ofereix un resistor a diferents temperatures. Després d’observar que el comportament es bastant lineal, es planteja la possibilitat de no emmagatzemar totes les mostres obtingudes, sinó l’equació de la recta

que millor s’aproxima a totes aquestes mostres. A l’exercici es consideren varies mostres

294

conegudes , on representa la temperatura i representa el valor òhmic mesurat en aquesta temperatura. El valor fa referència al valor que pren la recta d’aproximació pel valor d’abscissa . És evident que per calcular la recta que millor s’aproxima als punts coneguts s’ha de determinar el criteri que s’utilitzarà per decidir si una recta es considera millor aproximació que una altra. En aquest exemple, l’error que es deu minimitzar és defineix de la següent manera: , on el subíndex i fa referència a cadascun dels punts coneguts. Al llarg de l’exposició en ALGTEC s’ofereix una visió algebraica del problema, en la qual finalment s’acaba buscant, seguint el criteri de mínims quadrats, la millor aproximació d’un vector , on , sobre el subespai vectorial de dimensió 2 engendrat pels vectors i ambdós pertanyents a . A l’exemple, el paràmetre n indica el nombre de punts coneguts. Per obtenir el vector s’aplica el procés d’ortogonalització de Gram-Schmidt a partir dels vectors i , i es projecta després el vector original sobre els vectors ortogonals obtinguts. Finalment, els paràmetres i buscats són les components del mateix vector en la base formada pels vectors i . Al mòdul d’experimentació associat es poden definir diversos punts coneguts, i obtenir el polinomi del grau seleccionat que millor aproxima els esmentats punts. A més, es pot comparar la norma de l’error obtingut quan s’utilitza l’aproximació calculada amb l’obtinguda prèviament quan s’utilitza com a aproximació qualsevol altre polinomi definit prèviament.

6.8.2. Disseny del diagrama de blocs d’un desmodulador QPSK

En primer lloc, s'exposa la necessitat de modular la informació binària que es desitja transmetre a través d'un canal de transmissió. De totes les modulacions digitals disponibles, l'explicació es centra en les modulacions de fase. L'exemple que es presenta utilitza la modulació QPSK. L'objectiu perseguit és el disseny del diagrama de blocs del sistema receptor que rebrà el senyal transmès, de manera que reconegui degudament la informació enviada per l'emissor. A l'exemple s'assumeix que el problema del sincronisme entre emissor i receptor està solucionat. Els senyals (símbols) que procedeixen de l'emissor es generen a partir d'una combinació lineal de dos senyals: i , on representa la pulsació del senyal portador. És a dir, , on representa un dels quatre símbols possibles que poden enviar-se des de l'emissor. A l'exemple presentat, els coeficients A i B poden prendre dos valors diferents, 1 o –1, segons el símbol enviat. Així, podem enviar quatre símbols diferents, i cadascun d'ells representa l'enviament de 2 bits: 00, 01, 10 o 11. Quan el senyal enviat des de l'emissor travessa el canal de transmissió, queda alterat per aquest, a causa del soroll, de les interferències i d’uns altres possibles efectes que es donen. Per aquest motiu, el senyal que arriba al receptor ja no és , sinó . El receptor, a partir de ha de ser capaç de deduir quin va ser el senyal transmès realment.

295

Al llarg de l'exposició es planteja el problema en termes algebraics. El símbol que és enviat des de l'emissor és generat a partir de la base ortogonal B formada pels senyals

i . És a dir, el símbol emès pertany al subespai engendrat per la base B . El senyal rebut , en general, no pertany a , però podem projectar-lo sobre aquest subespai per tal de trobar la millor aproximació de

. Aquesta aproximació la denominarem .

Per decidir quin dels quatre símbols possibles es va emetre, podem comprovar a quin d'ells s'apropa més el senyal . És a dir, podem calcular la distància entre cada símbol possible i , i decidir que es va emetre aquell símbol la distància del qual (error) sigui menor. A la part final de l'exposició es comprova que el diagrama de blocs del desmodulador està format pels mòduls necessaris per realitzar aquestes operacions algebraiques. El mòdul d'experimentació permet introduir la seqüència binària a transmetre utilitzant la modulació QPSK, i també permet modificar el nivell de soroll (variable aleatòria amb distribució gaussiana) que s'afegeix al senyal modulat. En pantalla pot visualitzar-se el senyal modulat enviat i el senyal rebut. També apareixen representats sobre el plànol tots els possibles símbols enviats, expressats en components respecte de la base B, i les projeccions sobre el mateix plànol dels símbols rebuts al receptor. Si s'incrementa el soroll introduït pel canal de transmissió es pot comprovar com, finalment, el sistema s'equivoca en fer la desmodulació, ja que l'error més petit ja no correspon sempre amb el símbol correcte enviat.

RESUM En aquesta sessió s’han vist des d’un punt de vista pràctic els conceptes estudiats al llarg del capítol 6.

297

SESSIÓ 36: Problemes resolts del capítol 6

FITXA DE LA SESSIÓ Nom: Problemes resolts del capítol 6 Tipus: problemes Format: no presencial Durada: 5 hores Treball a lliurar: no Material:


PRECEDENTS Al capítol 6 s’han estudiat els conceptes d’ortogonalitat i de projecció ortogonal.

OBJECTIUS Mostrar un conjunt d’exercicis resolts que il·lustren els conceptes estudiats al llarg del capítol 6.

CONTINGUTS Aquesta sessió recull un conjunt d’exercicis resolts que il·lustren els conceptes estudiats al llarg del capítol 6.

6.9. Exercicis


Problema R.1

Sigui 3 sobre espai vectorial euclidià amb el producte escalar euclidià, i donat el següent conjunt S:

a) Trobeu una base ortogonal del subespai vectorial de 3 engendrat pel conjunt de

vectors S. b) Trobeu una base ortonormal del subespai vectorial de 3 ortogonal al conjunt de

vectors S.

)}1,1,3(),1,1,1(),0,1,2{( S .

298

NOTA: utilitzeu el producte escalar euclidià i la norma euclidiana.

SOLUCIÓ:

a) Opció 1: busquem una base ortogonal pel mètode de Gram-Schmidt:

S u u u { ( , , ), ( , , ), ( , , )}1 2 32 1 0 111 3 1 1

)0,0,0()1,52,

51(

5656

)0,1,2(57)1,1,3(

,,

,,

)1,52,

51()0,1,2(

53)1,1,1(

,,)0,1,2(

222

231

11

1333

111

1222

11

vvvvu

vvvvu

uv

vvvvu

uv

uv

.

Com que v3 0 , els tres vectors de S són linealment dependents. Per tant S té

dimensió 2 i qualsevol base de S està formada per dos vectors.

Base ortogonal de <S> {(2, 1, 0), (–1/5, 2/5, 1)}.

Opció 2: busquem primer una base de )1,1,3(),1,1,1(),0,1,2(S . Dels tres generats només n’hi ha dos linealment independents, ja que

2110

111312

rang .

Per tant, una possible base de <S> és )}1,1,1(),0,1,2{(B . A partir d’aquesta base, aplicant Gram-Schmidt s’obté una base ortogonal de <S>.

b) Primer trobem S. Com que S té dimensió 2, només cal imposar ortogonalitat amb una base de S, per exemple prenent com a base de S {(2, 1, 0), (1, 1, 1)}:

S x x y z x y z i x y z { ( , , ) ( , , ), ( , , ) ( , , ), ( , , ) } 2 1 0 0 111 0

( , , ),( , , )( , , ),( , , )

( , , ) , ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

x y zx y z

x yx y z

y xz x

x y z S x y z x x x x S

2 1 0 0111 0

2 00

2

2 1 2 1 1 2 1 .

Base de S = {(1, –2, 1)}.

299

Perquè sigui base ortonormal només cal normalitzar el vector, ja que la condició d’ortogonalitat només s’imposa quan tenim més d’un vector:

w1

1 2 11 2 1

1 2 11 2 1 1 2 1

1 2 11 4 1

16

1 2 1

( , ., )( , , )

( , , )( , , ), ( , , )

( , , ) ( , , ) .

Base ortonormal de S = {16

1 2 1( , , ) }.

Problema R.2

Donada la següent taula de valors:

X I 2 –1

–1 2 1 0 0 1

a) Trobeu la recta baxxy que aproxima el conjunt de punts anterior

minimitzant el següent error

4

1

2

iii xyy .

b) Avalueu el valor de l’error comès en fer l’aproximació per a una recta, tot justificant el resultat.

c) Si afegíssim al conjunt de punts donat a l’enunciat el punt 2,3 , com variaria el resultat? No feu cap càlcul, raoneu-ho.

SOLUCIÓ:

a) Definim els vectors:

1 1111 ( , , , ) . x ( , , , )2 1 1 0 vector de coordenades x. y ( , , , )1 2 0 1 vector de coordenades i.

L’objectiu és trobar la millor aproximació de y per combinació lineal de

x i 1 :

y ax b 1.

La solució és fer la projecció ortogonal següent:

y proj y x ( , , )1 .

300

Per calcular aquesta projecció, primer cal trobar una base ortogonal de 1, x . Usem

el mètode de Gram-Schmidt:

w

w xx

1

2

1 11111

111 2 11 0

24

1111 32

32

12

12

( , , , ),,

( , , , ) ( , , , ) ( , , , ).

Base ortogonal de

1 1 2, { , }x w w .

Calculem ara la projecció:

y proj y x

y ww w

wy w

w ww

( , , ),,

,,

( , , , ) ( , , , )

( , , , )

1

24

11115

53

23

21

21

21 2 0 1

1

1 11

2

2 22

.

Per trobar el valor de a i b resolem l’equació:

1 bxay

( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) 1 2 0 1 2 1 1 0 1 11 1a b

11

10212

ba

bbababa

Recta: 1)( xxy .

b)

( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( ))( ( )) ( ) ( ) ( )

1 2 2 1 0 1 1 01 1 2 2 0 0 1 1 0

2 2 2 2

2 2 2 2

y y y y

Justificació: la recta passa pels quatre punts, ja que aquests estan alineats, per això l’error comès és igual a zero.

c) Si afegim el punt (3, –2), el resultat no es modifica, ja que i(3) = –2, per tant, el

nou punt passa per la recta trobada a l’apartat a). L’error comès continua sent zero.

301

Problema R.3

Sigui

},,1{ 2 kttB una base de l’espai vectorial format pels polinomis de grau <= 2 amb el següent producte escalar definit:

1

1

)()()(),( dttgtftgtf.

a) Quin valor ha de tenir k perquè B sigui base ortogonal? b) Trobeu les components del vector 22 2 tu en la base B sense resoldre cap

sistema d’equacions, utilitzant el càlcul de projeccions.

SOLUCIÓ:

a) Perquè B sigui base ortogonal, els vectors de B han de ser ortogonals dos a dos.

0,0,1

0,1

2

2

kttkt

t

k 0)(,

31-k 02

32)(,1

semprecompleix Es 0,1

1

1

22

1

1

22

1

1

dtkttktt

kdtktkt

tdtt

.

El valor que ha de tenir k perquè B sigui base ortogonal és 31

k .

b) El vector u pertany a l’espai vectorial engendrat pels vectors de la base B. Per tant, si trobem la projecció ortogonal de u sobre <B> estarem calculant el propi vector u .

302

0)22(

,,22

38

)22(

1,11,22

)31(1

1

1

2

1

1

22

2

1

1

1

1

22

1

2321

dtt

dttt

ttttc

dt

dtttc

tctccu

2)

31(

)31)(22(

31,

31

31,22

1

1

22

1

1

22

22

22

3

dtt

dttt

tt

ttc .

Per tant,

20

38

Bu .

Problema R.4

Sigui V l’espai vectorial format pels polinomis de grau <= 2 (expressió general: 2ctbta ).

Donat el vector 1 tw , i el següent producte escalar:

1

0

)()()(),( dttgtftgtf .

a) Trobeu la millor aproximació del vector tu 2

sobre el subespai engendrat pels

vectors 2,1 t . b) Trobeu la condició que compleixen els coeficients ',,' cba de tots els polinomis

Vv que tenen com a projecció sobre w el següent vector: .66),( twvproj

SOLUCIÓ:

a) Per trobar la millor aproximació de w sobre el subespai engendrat pels vectors {1, t2} hem de trobar primer una base ortogonal d’aquest subespai i després projectar w sobre aquesta. Apliquem Gram-Schmidt:

303

311

1

21

0

1

0

2

22

1

t

dt

dtttw

w

.

Així:

83

815)

31(

24451)

31(

)31(

)31(2

12

ˆ 2221

0

22

1

0

2

1

0

1

02211

ttt

dtt

dttt

dt

tdtwcwcu .

Per tant,

83

815ˆ 2 tu .

b) wtwvproj 666),( .

Veiem que el valor del coeficient de projecció és 6.

1

0

2

1

0

2

024c2b6a 2))(1(,

31)1(,

2316,6, 6

,,

dtctbtatwv

dttww

wwwvwwwvc

.

Per tant, la condició buscada és:

024c2b6a .

Problema R.5

Sigui V l'espai vectorial dels polinomis de grau <= 2 (forma dels vectors: p(t) = a + bt + ct2), amb el següent producte escalar:

1

0)()(, dttgtfgf .

Sigui S el subespai engendrat pel següent conjunt de vectors: }2 ,2 ,1{ tt .

304

a) Trobeu una base ortonormal de S. b) Trobeu una base ortogonal de .S

SOLUCIÓ:

a) Base ortonormal del subespai S on 2 ,2 ,1 ttS .

Busquem primer una base de S.

}2 ,2 ,1{ tt és un conjunt linealment depenent, i només hi ha dos vectors linealment independents. Per tant, una possible base de S és }2 ,1{ tB . A partir de la base B, i aplicant el mètode de Gram-Schmidt, obtenim una base ortogonal:

1)(1 tw

1211121

1

221

1,11,22)( 1

0

1

02

tt

dt

dttttttw .

Base ortogonal de S: }12 )( ,1)({' 21 ttwtwB . Per trobar una base ortonormal només cal normalitzar els dos vectors de la base B’:

11)(111,1)( 1

1

0

21 twdttw

31)(

31)12(12,12)( 2

1

0

222 twdtttttw .

Base ortonormal de S: )12(3,131/12 ,

11''

ttB .

b) Calculem primer S :

StwtwtpVctbtatp )(0)(),()(S 2 .

Hem d’imposar que 2)( ctbtatp sigui ortogonal a tots els vectors d’una base de S, per exemple }2 ,1{ tB :

021

3202)(02,

031

21001,

1

0

22

1

0

22

cbadttctbtatctbta

cbadtctbtactbta

,

305

s’obté el sistema d’equacions:

cb

cacbacba

61

03460236

)61(

61)( 222 ttcctctcctbtatp ,

base de S

2

61 tt , és base ortogonal ja que només conté un vector.

Base ortogonal de S :

2

61 tt .

Problema R.6

Donat el següent conjunt de punts: {(0, 1), (1, 2), (2, 6)}. a) Trobeu la recta baxy que millor aproxima el conjunt de punts anterior segons

el criteri dels mínims quadrats. b) Suposem ara el següent conjunt de punts: {(0, 2), (1, 3), (2, 5), (3, 8)}. Expliqueu

clarament els passos que hauríem de seguir per fer l'aproximació d'aquest conjunt de punts per a una paràbola ( cbxaxy 2 ) segons el mateix criteri de l'apartat a). Només s'ha de raonar la resposta, no s'han de fer càlculs.

SOLUCIÓ:

a) Definim els vectors:

)1,1,1(1

. )2,1,0(x vector de coordenades x. )6,2,1(y vector de coordenades i.

L’objectiu és trobar la millor aproximació de

y per combinació lineal de x i 1 :

y ax b 1.

La solució és fer la projecció ortogonal següent:

y proj y x ( , , )1 .

Per calcular aquesta projecció primer cal trobar una base ortogonal de

1, x . Usem

el mètode de Gram-Schmidt:

306

)1,0,1()1,1,1(33)2,1,0(1

1,11,

)1,1,1(1

2

1

xxw

w

.

Base ortogonal de },{,1 21 wwBx

.

Calculem ara la projecció:

)2

11,3,21()1,0,1(

25)1,1,1(

39

)1,0,1()1,0,1(),1,0,1()1,0,1(),6,2,1()1,1,1(

)1,1,1(),1,1,1()1,1,1(),6,2,1(

,,

,,),1,( 2

22

21

11

1

wwwwyw

wwwyxyprojy

.

Per trobar el valor de a i b resolem l’equació:

y ax b 1

)1,1,1()2,1,0()2

11,3,21( ba

2/12/5

2/112332/1

ba

baba

b

.

Recta: 21

25)( xxy .

b) Conjunt de punts {(0, 2), (1, 3), (2, 5), (3, 8)}. Cal fer l'aproximació d'aquest conjunt de punts per a una paràbola cbxaxy 2 .

Si volem que tots els punts verifiquin l’equació de la paràbola hem de resoldre el següent sistema d’equacions:

833522

311200

2

2

2

2

cbacba

cbacba

és un sistema incompatible.

307

Escrit en forma vectorial:

8532

1111

3210

3210

2

2

2

2

cba definint

8532

,

1111

1 ,

3210

,

3210

2

2

2

2

2 yxx ,

s’obté:

1 2

cxbxay .

Com que el sistema és incompatible, no té solució.

Considerem 2 ,,1 xxW un subespai engendrat. El sistema és incompatible, per

tant Wy . Trobem una base ortogonal de W per Gram-Schmidt: 321 ,, wwwB

.

Calculem 332211),( wcwcwcWyprojy .

Resolem l’equació 1 ˆ

2

cxbxay i trobem els coeficients a, b i c.

Solució:

cbxaxy 2 .

Problema R.7

Donada la següent aplicació:

2222112211

22

,),( vuKvuKvuvuvuvu

,

on

2121 , i , vvvuuu

. a) Sabent que l’aplicació és bilineal, per a quins valors de K1 i K2 defineix un

producte escalar? b) Per a K1= 0 i K2 = 1, trobeu quin vector dels següents {( 2, 1), (1, 4)} s’aproxima

més al vector (1, 3).

308

SOLUCIÓ: a) Com que compleix la propietat de bilineal, només queda comprovar la simètrica i

la definida positiva.

Simètrica S’ha de complir: uvvu ,, .

2222112211

2222112211

,,

uvkuvkuvuvuvvukvukvuvuvu

.

Com es pot observar, és compleix per a:

01

2

k

k

.

Definida positiva S’ha de complir:

00,

0,

uuu

uuu

.

Estudiant obtenim:

10?

)1(, 22

222

12

222

22

1 KuKuuKuuuu .

Comprovant el 2n punt:

00,

uuu

10?

)1(, 22

222

12

222

22

1 KuKuuKuuuu .

Per tant,

10

2

1

KK

.

b) Ens demanen quin vector s’aproxima més, no quin vector té la millor aproximació. Per tant, hem de trobar l’error, la magnitud dels vectors diferència i comparar-los:

309

2)10(),10(,)10()31()41(

39)21(),21(,)21()31()12(

21222

1111

eeee

eeee

.

Com es pot observar, el vector (1, 4) és el que té l’error més petit i, per tant, és el que s’aproxima més.

Problema R.8

Sigui la següent aplicació candidata a ser un producte escalar de matrius d’ordre 2:

. On , i són constants reals. a) Calculeu per a quins valors de les constants , i es verifica la propietat de

simetria del producte escalar. b) Calculeu l’angle entre les dues matrius i següents:

. Utilitzeu el producte escalar de l’enunciat per a i , i amb la norma induïda a partir del mateix producte escalar.

SOLUCIÓ:

a) Calculem:

.

Com es pot comprovar, restant els dos productes obtenim:

.

Perquè es compleixi la igualtat per a qualssevol dues matrius i cal que:

.

b) Recordem com es defineix l’angle entre dos vectors, en general:

310

.

Problema R.9

Sigui el següent producte escalar definit en l’espai vectorial (polinomis de grau <= 2) sobre :

. I siguin: un conjunt de vectors de .

una base de , de la qual sabem que

i que , amb el producte escalar definit.

a) Calculeu una base i la dimensió del subespai ortogonal al conjunt . b) Calculeu una base ortonormal de partint de la base original . c) Calculeu la millor aproximació del polinomi dins del subespai engendrat

pels polinomis . SOLUCIÓ:

a) Sigui un polinomi de :

311

.

Resolent el sistema compatible indeterminat arribem a la condició: i , és a dir, , per tant, i

b) Apliquem Gram-Schmidt:

.

Observem que els dos primers passos no suposen cap càlcul, ja que, segons l’enunciat, els dos primers polinomis són ortogonals. Aleshores i per tant, passem directament a calcular els productes escalars implicats en el tercer pas del procés d’ortogonalització:

.

Per tant, el tercer vector dóna:

.

Ara només queda normalitzar el tercer vector, ja que els dos primers ja estan normalitzats segons l’enunciat:

312

.

Ara:

és un conjunt ortonormal respecte del producte escalar definit a l’enunciat.

c) Observem que els polinomis ortonormals de l’apartat anterior:

són bases del subespai engendrat pels polinomis , per tant els podem fer servir per realitzar el càlcul de la projecció del polinomi , que ens donarà la millor aproximació d’aquest dins del subespai. D’altra banda, podem comprovar com el que es demana és el terme que resta al tercer pas del procés de Gram-Schmidt de l’apartat anterior:

.

Com que els polinomis són unitaris, els termes divisors són iguals a 1, per tant només cal realitzar el càlcul de dos productes escalars:

,

.

Per tant,

313

.

Forma alternativa de resolució, sense aprofitar els càlculs de l’apartat b):

Apliquem Gram-Schmidt al conjunt :

.

Calculem la projecció ortogonal:

.

Problema R.10

La senyora Josepa, de l’empresa Josepa’s Fruit S.L. del sector de l’alimentació, ha encarregat el disseny d’un prototip per classificar de forma automàtica la fruita en una de les línies d’envasament de la seva empresa. El sistema realitzarà la classificació automàtica (per varietats de fruita) a partir de tres paràmetres mesurats en temps real per a cada peça -èsima de fruita: el pes de cada peça de fruita, obtingut mitjançant una balança digital; els paràmetres d’excentricitat i tonalitat associats a la forma i el color de cada

peça -èsima, calculats mitjançant un sistema de visió per computador capdavanter.

L’empresa subcontractada ha dissenyat una base de dades amb els paràmetres d’una remesa de 1.500 peces ( ), que conté 100 exemplars

de cadascuna de les 15 varietats de fruita que comercialitza l’empresa de la senyora Josepa. La base de dades incorpora al registre de cada peça -èsima l’etiqueta ( ) associada a la varietat que li correspon.

314

Es demana: a) Proposeu un procediment que permeti, fent ús de la base de dades creada, la

classificació automàtica d’una nova peça a partir dels paràmetres de pes, excentricitat i tonalitat donats pel vector .

b) S’ha observat que a la varietat de poma Golden hi ha una gran dependència lineal

entre els paràmetres i . Per tant, seguint el criteri dels mínims quadrats, ens proposem calcular la recta que millor aproxima el conjunt de punts

per , corresponents a aquesta varietat de fruita. Indiqueu el procediment que seguiríeu per calcular els coeficients i d’aquesta recta que millor aproxima, tot indicant de forma explícita les equacions de càlcul que caldria aplicar i quina és la dimensió dels vectors implicats en aquestes equacions.

SOLUCIÓ:

a) L’algorisme seria escollir la varietat associada a la peça de fruita de la base de dades que té una distància mínima amb el vector de la nova peça d’entrada:

.

Definint com a distància d’un vector la seva norma euclidiana:

.

En el cas que hi hagi més d’una fruita de la base de dades que tingui distància mínima amb el vector de la nova fruita a classificar, es podria escollir el vot majoritari (varietat més freqüent) i, en cas d’empat, escollir la varietat d’una de les que minimitzen la distància escollida de forma arbitrària.

Addicional

Com a mesura per donar major robustesa al procés de classificació (menor nombre d’errors), es podria: Realitzar una llista amb els elements de la base de dades que tenen una distància

menor amb la nova peça entrada. És a dir:

. Ordenar creixentment les distàncies en una nova llista de distàncies:

.

Seleccionar les distàncies menors:

.

315

Classificar la nova peça en la varietat majoritària de la llista de varietats associades a l’anterior llista de peces amb menor distància euclidiana:

.

b) Si expressem els 100 vectors de paràmetres aproximats pel model lineal:

.

On és el vector amb els pesos de les 100 fruites de la varietat poma Golden de la base de dades, és un vector de dimensió 100 amb uns en totes les posicions, i és un vector amb el valor, aproximat mitjançant una recta, dels paràmetres de tonalitat associats a les 100 fruites de varietat poma Golden de la base de dades.

Segons el teorema de l’aproximació, podem resoldre el valor de les constants i imposant que l’error de l’aproximació de mitjançant sigui ortogonal als vectors usats per aproximar i , és a dir:

.

On és el producte escalar euclidià en .

Mètode alternatiu:

Podem començar per trobar una base ortogonal del subespai d’aproximació (subespai engendrat pels vectors i ), usant el procediment de Gram-

Schmidt:

.

On és el producte escalar euclidià en . Es pot observar que en el cas que i siguin ortogonals (és a dir, ) aleshores es complirà que i també . Una vegada ja tenim la base ortogonal, podem aplicar la projecció ortogonal (teorema de la millor aproximació) realitzant senzilles projeccions ortogonals del vector a aproximar sobre els elements d’aquesta base, és a dir:

316

.

On és el producte escalar euclidià en .

Per acabar de trobar els valors de les constants i només cal fer el canvi de variable del procés de Gram-Schmidt anterior i agrupar els termes:

.

Per tant,

.

RESUM En aquesta sessió s’ha presentat un recull d’exercicis resolts que il·lustren els conceptes estudiats al llarg del capítol 6.

317

SESSIÓ 37: Problemes proposats del tema 6

FITXA DE LA SESSIÓ Nom: Problemes proposats del tema 6 Tipus: problemes Format: no presencial Durada: 5 hores Treball a lliurar: sí Material:


PRECEDENTS A la sessió anterior s’ha mostrat un recull de problemes resolts del capítol 6.

OBJECTIUS Proposar un conjunt d’exercicis del capítol 6 per posar en pràctica els conceptes estudiats.

CONTINGUTS Problemes proposats del capítol 6.


Problema P.1

Trobeu la distància i l’angle que formen els següents vectors. NOTA: definim la distància entre 2 vectors com la norma de la diferència entre vectors, i la norma definida a partir del producte escalar utilitzat en cada cas, és a dir

d x y x y x y x y , , . a) u 1 3 5 7 i v 4 2 8 1 a 4 amb el producte escalar euclidià.

b) u t t 2 i v t t 3 2 , on u v u t v t dt, 0

1.

318

Problema P.2

Sigui V l'espai vectorial dels polinomis de variable i coeficients reals sobre amb el producte escalar:

f g f t g t dt, 01

.

Siguin f t t 2 , g t t 3 2 i h t t t 2 2 3 elements de V. Calculeu: a) f g, i f h, .

b) f i g (essent • la norma induïda pel producte escalar). c) Normalitzeu f i g.

Problema P.3

Sigui V l’espai vectorial dels polinomis de coeficients i variable real amb producte escalar:

f g f t g t dt, 1

1.

Trobeu, aplicant el procés d’ortogonalització de Gram-Schmidt, una base ortogonal del subespai P3[t] dels polinomis de grau 3 , a partir del conjunt 1 2 3, , ,t t t .

Problema P.4

Sigui M2x3 l'espai vectorial de les matrius de 2 files i 3 columnes amb coeficients reals sobre , i producte escalar:

A B tr B AT, . Siguin:

42

0153

,63

5421

,47

5689

CBA

elements de M2x3. Calculeu: a) A B A C, , , i B C, . b) 2 3 4A B C , . c) A i B .

319

d) Normalitzeu A i B.

Problema P.5

Sigui 2 un espai vectorial sobre . Definim la següent aplicació:

221221112121

22

3, yxyxyxyxyyvxxu

.

Comproveu si aquesta aplicació és un producte escalar.

Problema P.6

Determineu k perquè els següents parells d’elements siguin ortogonals: a) u k 1 2 3 i v k 3 7 5 en 4 i el producte escalar usual.

b) f t t k i g t t 2 , on f g f t g t dt, 0

1.

Problema P.7

Sigui w 1 2 3 1 un vector de 4. Trobeu una base ortogonal de w.

Problema P.8

Sigui 3321 145,321,111 uuuB .

a) Comproveu si B és o no és una base ortogonal de 3. b) Expresseu el vector v 1 5 7 com a combinació lineal de u u1 2, i u3 sense

resoldre cap sistema d’equacions lineals.

Problema P.9

Determineu els valors de k per als quals la següent aplicació f: 2 2 és un producte escalar:

f u v x y x y x y k x y , 1 1 1 2 2 1 2 23 3 essent u x x 1 2 i v y y 1 2 .

320

Problema P.10

Sigui V l’espai vectorial de les funcions reals contínues a l’interval 1 1, amb producte escalar:

f g f t g t dt,

1

1

.

Sigui W el subespai de V dels polinomis de grau 3. Trobeu la projecció de f t t 5 sobre W. NOTA: feu servir els polinomis ortogonals (de Legendre) 1 3 1 5 32 3, , ,t t t t .

Problema P.11

Sigui V l’espai vectorial dels polinomis de coeficients i variable real amb producte escalar:

1

1

, dttgtfgf .

Considereu el conjunt de polinomis 2,1 tS . a) Ortogonalitzeu el conjunt de polinomis S segons el producte escalar definit a

l’enunciat. b) Trobeu la projecció de la funció tttf 4 sobre el subespai engendrat pel

conjunt S. c) Si calculem la projecció de la funció 4ttg sobre el mateix subespai <S>,

s’observa que el resultat és el mateix que a l’apartat b). Justifiqueu el resultat, sense realitzar la projecció citada.


Sigui V l’espai vectorial dels polinomis de grau 2 sobre , i el producte escalar:

f g f t g t dt, 1

1

.

Siguin f t a a t a t 0 1 2

2 i g t b b t b t 0 1 22 dos polinomis qualssevol (amb

a a a b b b0 1 2 0 1 2, , , , , ). a) Expresseu de forma genèrica f g, . b) Sigui B t t 1 2, , una base de V. Trobeu la matriu A que permet expressar el

producte escalar de la següent forma:

321

f g f A gB

T

B, (essent f

Bi g

B vectors columna).

c) Calculeu t t t 2 3 42, mitjançant l’expressió de l’apartat b) i comproveu-ho

amb l’expressió integral de l’enunciat.

RESUM En aquesta sessió s’ha proposat un recull d’exercicis del capítol 6.

323

SESSIÓ 38: Exercici de modelització

FITXA DE LA SESSIÓ Nom: Exercici de modelització Tipus: problemes Format: no presencial Durada: 10 hores Treball a lliurar: sí Material:


OBJECTIUS Abordar un problema real amb les eines algebraiques estudiades a les sessions anteriors.

CONTINGUTS Descripció d’un problema real per ser tractat amb les eines estudiades a les sessions anteriors.

6.10. Exercici de modelització En aquesta sessió els alumnes hauran d’enfrontar-se a un exercici extret del món real, que hauran de resoldre utilitzant les eines algebraiques estudiades a les sessions anteriors. Per a això es generaran grups de treball formats per 3 alumnes. L’enunciat i el contingut dels informes a presentar es detallaran en un fitxer apart.

6.10.1. Enunciat L’empresa ALG-SOLUTIONS ha fet a tots els seus treballadors (39) varies fotografies (veure la figura 1) amb la finalitat de generar una base de dades amb les cares de tots ells. La intenció de l’empresa és la d’instal·lar un nou sistema de seguretat que permeti identificar-los de forma automàtica quan accedeixen a l’edifici on treballen. Cada fotografia realitzada està formada per 4.875 píxels (75 files x 65 columnes). L’objectiu de l’exercici de modelització que es proposa és dissenyar i generar el procediment que realitzarà el reconeixement de cares. És a dir, donada la imatge (cara) d’una persona que vol accedir a l’edifici, el procediment desenvolupat haurà de buscar a la base de dades de fotografies i identificar de quina persona es tracta. A més, ho haurà de fer de la forma més ràpida possible per poder aplicar-ho en temps real.

324

L’empresa ens ha subministrat la matriu (matriu_cares) amb totes les imatges de les cares de tots els seus treballadors col·locades en columnes. És a dir, cada columna correspon als píxels de tota una fotografia, col·locats un sota l’altre. L’empresa té 39 treballadors diferents i en total s’han fet 384 fotografies (pràcticament 10 fotografies per cada treballador). Per tant, la matriu_cares té unes dimensions de 4.875 files x 384 columnes. A més, ens han donat també el vector identificador que ens informa del número de treballador al qual correspon cada imatge (columna) en la matriu_cares. Per exemple, el vector identificador té un 6 a la posició 51 (identificador(51) = 6). Això vol dir que la columna 51 de la matriu_cares conté una fotografia del treballador número 6. L’empresa també ens ha donat 16 fotografies més per fer-les servir de prova en el nostre procediment. Aquestes 16 imatges ens les han donades amb el mateix format que les anteriors, dins de la matriu matriu_test (4.875 files x 16 columnes). De la mateixa forma que abans, ens donen el vector ident_test on tenim, en cada posició, el número que identifica el treballador que apareix en cada columna de la matriu_test. Les 10 columnes finals d’aquesta matriu corresponen a un usuari que no és un treballador de l’empresa i, per tant, no es troba a la matriu_cares de referència (aquesta persona s’identifica amb el número 40). Proposem dividir la resolució del problema en dos fases diferents: Fase 1: reduir les dimensions dels vectors que identifiquen les cares. Com que cada imatge està identificada per un vector de 4.875 posicions, treballar amb vectors de aquestes dimensions no serà ràpid. Per tant, si volem que el sistema faci de forma ràpida la identificació del treballador, proposem expressar prèviament cada imatge en una base on podem quedar-nos amb moltes menys components. Fase 2: comparar la imatge de la persona que vol accedir a l’edifici amb les fotografies dels treballadors, expressades en la nova base (reduïda), per tal d’identificar de quin treballador es tracta.

325

Figura 1. Base de dades amb totes les fotografies (“Databases of Faces”, de AT&T Laboratories Cconridge).

326

6.10.2. Qüestions orientatives i per reflexionar

Ajuda

Recordeu que la descomposició en valors singulars d’una matriu A consisteix en:

. Recordeu també que la matriu representa els vectors de la matriu A expressats en la base formada pels vectors columna de la matriu U. Fixeu-vos que aquesta matriu es pot veure com el producte de la matriu inversa de U per la matriu A. És a dir, la matriu U-1 representa la matriu de canvi de base, de canònica, a la nova base formada pels vectors columna de la matriu U. Recordeu que, en aquest context, U-1 = UT. Si trunquem els primers p coeficients (és a dir, ens quedem amb les p primeres components dels vectors que formen la matriu A, expressats en la base de vectors que formen les columnes de la matriu U), la reconstrucció de la matriu A es fa de la següent forma:

(Equació 1). Fixeu-vos que per reconstruir cada imatge a partir de les p primeres components en la nova base es multiplica cada imatge, expressada amb les p primeres components, per la matriu Ut (observeu l’equació 1).

Preguntes a respondre

1. Quin és el factor de compressió obtingut si reduïm la dimensió dels vectors que

representen les imatges de 4.875 a 100 components? Com s’aconsegueix aquesta reducció? Expliqueu-ho amb detall.

2. Com reduïm la dimensió de la nova imatge corresponent a la persona que vol accedir l’edifici, de manera que es representi també com un vector de 100 components?

3. Quina és l’estratègia que feu servir al vostre procediment per decidir quin dels treballadors és la persona que vol accedir a l’edifici? Expliqueu-ho amb detall.

4. Com podríem saber si la persona que vol entrar no és un treballador de l’empresa?

5. Creieu que la situació que es presenta en aquest exercici es podria resoldre sense reduir la dimensió de les imatges? Com creieu que afectaria a la resolució?

327

6.10.3 Estructura i contingut de l’informe que ha de presentar-se

L’informe ha de presentar-se en grup, i ha de contenir els següents apartats: Portada (copiar la que apareix a l’estudi). Índex. Enunciat del problema. Objectius perseguits amb la realització de l’exercici. Anàlisi d’allò que es demana al

problema i vinculació amb la teoria explicada a classe, justificant aquesta vinculació. Resposta a les cinc preguntes plantejades, amb les simulacions realitzades en

Matlab o en Octave (si s’han realitzat). Conclusions i comentaris.

o Realitzar una crítica sobre la solució proposta. Comentar els punts forts i dèbils. o Realitzar una crítica sobre el treball en grup desenvolupat. Aspectes positius i

negatius del treball en grup amb els companys durant la realització de l’exercici. Proposta d’alternatives justificades per millorar la forma de treballar.

o Opinió respecte de l’exercici de modelització proposat.

6.10.4 Criteris que s’aplicaran en l’avaluació de l’informe presentat

Els conceptes que seran avaluats en l’informe i el mode en el qual seran avaluats es detallen a continuació:

Nivell de qualitat assolit Molt malament

(MM) Malament

(M) Regular

(R) Bé (B)

Molt Bé (MB)

Estructura i organització

El format del document no s’adapta en absolut a l’establert. Hauria de

refer-se tot.

El format no

s’adapta, en la seva majoria, al format establert.

Existeixen dos o tres aspectes que

no s’ajusten al format. Amb retocs

simples podrien arreglar-se.

Existeix algun aspecte que no

s’ajusta al format, encara

que no és important.

El document s’ajusta

totalment al format establert.

Claredat de les explicacions

La major part del text

presenta frases

confuses. A vegades no és

possible entendre què

s’intenta expressar.

El text és molt difícil de

comprendre. La major part del text presenta

frases llargues i confuses. Exigeix

constantment de la relectura de

frases.

Apareixen varies frases confuses que obliguen el

lector a rellegir-les per tal de

comprendre-les.

En alguna ocasió puntual

el lector es perd en alguna frase llarga i confusa,

obligant-lo a rellegir-la dues o tres vegades per tal d’entendre-la.

Els continguts s’exposen amb molta claredat. Les frases són curtes i fàcils d’entendre.

Desenvolupament de les preguntes

proposades

No s’ha contestat

correctament cap de les preguntes

proposades.

Només s’ha desenvolupat

correctament 1 de les

preguntes proposades.

S’han desenvolupat correctament 2 o 3 de les preguntes

proposades.

S’han desenvolupat


proposades.

Les 5 preguntes proposades

s’han desenvolupat i

contestat correctament.

Conclusions i comentaris

No té conclusions.

Comentaris molt simples i

mancats de contingut.

Les conclusions es centren

exclusivament en les respostes a les

preguntes proposades a

l’exercici, sense reflexionar sobre

Es mostra una valoració global

del exercici sense aprofundir

massa en l’objectiu perseguit.

Els comentaris mostren una

profunda reflexió sobre els

objectius de l’exercici, a més

d’una crítica constructiva.

328

altres aspectes importants.

RESUM En aquesta sessió s’ha proposat un exercici per posar en pràctica els conceptes estudiats a les sessions anteriors en el context d’un problema real.

329

Bibliografia

LLIBRES

Flaquer, J., Olaizola, J., Olaizola, J. Curso de Álgebra Lineal. Universidad de Navarra, S.A. (EUNSA), 1996. [Flaquer1996] Moon, T.K., Stirling, W.C. Mathematical Methods and Algorithms for Signal Processing. Prentice Hall. 2000. [Moon&Stirling2000]

Creative Commons Deed 0 1 - La Salle · Creative Commons License Deed Reconeixement-No...

Documents

Transcript of Creative Commons Deed 0 1 - La Salle · Creative Commons License Deed Reconeixement-No...