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7/25/2019 CP2VEST68polin.pdf

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EXERCCIOS

01. Calcule o valor numrico de P(x) = 2x4 x3 3x2 + x + 5

para x = i.

02. Dadoo polinmio P(x) = x3 + kx2 2x + 5, determinek

sendo P(2) = P(0).

03. Dadoo polinmio P(x) = ax3 + bx2 + cx + d, calculeP(1).

04. Determine a soma dos coeficientes do polinmio

P(x) = (6x2 4x + 1)2.

05. Determine o grau do polinmio

P(x) = (a 1) x3 + (a + 1)x2 ax + a.

06. Determine a,b,c,d que tornam identicamente nulo o

polinmio P(x) = (a 3) x3 + (b + 2)x2 + (c 4)x + d.

07. Determinea, b, c, dpara quesejam idnticos os polinmios

P(x)= (a+ 2)x3 +(b1)x2 +cx+3 e

Q(x) = ax2 + 2x d + 1.

Resoluo:

P(i) = 2 . (i)4 (i)3 3(i)2 + (i) + 5 = 2 + i + 3 + i + 5 = 10 + 2i

Resoluo:

P(2) = P(0) 23 + k . 22 2 . 2 + 5 = 03 + k . 02 2 . 0 + 5 8 + 4k 4 + 5 = 5 k = 1

Resoluo:

P(1) = a . 13 + b . 12 + c . 1 + d = a + b + c + d

Resoluo:

P(x) = (6x2 4x + 1) (6x2 4x + 1) =

= 36x4 24x3 + 6x2 24x3 + 16x2 4x + 6x2 4x + 1 =

= 36x4 48x3 + 28x2 8x + 1

Soma = 9

Resoluo:

Grau = 3 se a1Grau = 2 se a = 1

Resoluo:

a 3 = 0 a = 3

b + 2 = 0 b = 2c 4 = 0 c = 4

d = 0 S = {(3, 2, 4, 0)}

Resoluo:

P(x) = Q(x) a + 2 = 0 a = 2b 1 = a b = 1

c = 2

3 = d + 1 d = 2 S = {(2, 1, 2, 2)}


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EXERCCIOS DE CASA

08. Calcule o valor numrico de

P(x)= x4 + 3x3 x2 4x + 1, para:

a) x = 0

b) x = 1

c) x = 1

d) x = i

e) x = i

09. Dadoo polinmio P(x) = 3x3 + mx2 + nx + 2, determine

m e n, sendo P(0) = P(i).

10. Determine a soma dos coeficientes do polinmio

P(x) = (4x2 3)5.

11. Determine o grau do polinmio

P(x) = ax3 ax2 (a + 2)x a + 1.

12. Determine a,b,c,d,e que tornam identicamente nulo o

polinmio

P(x) = (a + 7) x4 bx3 cx2 (d + 2) x + e 6.

Resoluo:

a) P(0) = 0 + 0 0 0 + 1 = 1

b) P(1) = 1 + 3 1 4 + 1 = 2

c) P(1) = 1 3 1 + 4 + 1 = 0

d) P(i) = 1 3i + 1 4i + 1 = 1 7i

e) P(i) = 1 + 3i + 1 + 4i + 1 = +1 + 7i

Resoluo:

P(0) = P(i) 0 + 0 + 0 + 2 = 3 . (i) + m (1) + n (i) + 2 2 = 3i m + ni + 2 n = 3 e m = 0

Resoluo:

P(x) = (4x2 3)5 Soma = (4 3)5 = 1

Resoluo:

Grau = 3 se a0Grau = 1 se a = 0

Resoluo:

(a + 7) = 0 a = 7b = 0 b = 0c = 0 c = 0 S = {(7, 0, 0, 2, 6)}d 2 = 0 d = 2

e 6 = 0 e = 6

13. Determine a, b,c, d, e para que sejam idnticos os

polinmios:

Resoluo:

P(x) = Q(x) a = 0

P(x) = ax4 + 2x3 + (b + 1)x2 5x + c 1 e 2 = b 1 b = 3

Q(x) = (b 1)x3 + (d 3)x2 + ex b + 1 = d 3 d = 7

5 = e e = 5c 1 = 0 c = 1

S = {(0, 3, 1, 7, 5)}


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2 5 3 0 2 3

5 7 14 30 63

1 1 0 0 0 ... 0 1

1 1 1 1 ... 1 2 1 1 2 2 1

1 1 1 0

EXERCCIOS

14. Divida P(x) = 5x4 + 3x3 2x 3 por D(x) = x 2

pelos mtodos:

a) da chave

b) de Briot-Ruffini

Resoluo:

a) 5x4 + 3x3 2x 3 x 2

+5x4 10x3 5x3 7x2 14x 30

7x3 2x 3

+ 7x3 14x2

14x2 2x 3

+ 14x2 28x

30x 3

+ 30x 60

17. O resto da diviso de um polinmio P(x) por (x + 1)

7 e o resto da diviso de P(x) por (x 2) 3. Determine o

resto da diviso de P(x) por (x + 1) (x 2).

Resoluo:

P(x) = Q1(x) . (x + 1) + 7 P(1) = Q1(1) . 0 + 7 P(1)=7

P(x) = Q2(x) . (x 2) + 3 P(2) = Q2(2) . 0 + 3 P(2) = 3

P(x) = Q(x) . (x + 1) (x 2) + R(x) P(1) = R(1) = 7P(2) = R(2) = 3

R(x) = ax + b a + b = 72a + b = 3

2a2b 14 17

63

2a b3

3b = 17 b =3

9 17 4

Q(x) = 5x3 7x2 14x 30 e R(x) = 632a + 17/3 = 3 2a =

3

4

x + 17

a = 3

R(x) =b) 3 3

Q(x) = 5x3 7x2 14x 30 e R(x) = 63

15. Determine o resto da diviso de

P(x) = x3 5x2 9x + 8 por D(x) = x + 3.

Resoluo:

3 1 5 9 8

1 8 15 37

Q(x) = x2 8x + 15 e R(x) = 37

16. Determine o resto da diviso de P(x) = xn + 1 por

D(x) = x 1, onde n IN.

Resoluo:

EXERCCIOS DE CASA

18. Divida P(x) = x3 + 2x2 + 2x + 1 por D(x) = x + 1 pelos

mtodos:

a) da chave

b) de Briot-Ruffini

Resoluo:

a) x3 + 2x2 + 2x + 1 x + 1

x3 x2 x2 + x + 1

x2 + 2x + 1

x2 x

x + 1 x 1

0

Q(x) = x2 + x + 1 e R(x) = 0

b)

R(x) = 2

Q(x) = x2 + x + 1 e R(x) = 0


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i 1 2 3 1 1

1 2 + i +2 2i 1 + 2i 1 + i

1 1 0 0 ... 0 1

1 1 1 ... 1 0

1 1 0 0 ... 0 1

1 1 1 ... 1 ou 1 0 ou 2

Resoluo:

P(x) = Q1(x) . (x 5) + 8 P(5) = 8

P(x) = Q2(x) . (x 3) + 6 P(3) = 6

63ab

19. Divida P(x) = 2x3 + 8x2 + 4 por D(x) = 2x2 1

Resoluo:

EXERCCIOS COMPLEMENTARES

23. (ITA) A identidade

2x3 + 8x2 + 4 2x2 1

+ 2x3 + x x 4

x3 4

x3 1

1 a

x 1

bx c

x2

x 1, vlida para todo

8x2 + x + 4

8x2 4

x Q(x) = x 4 e R(x) = x

nmero real x1. Determine a + b + c.

Resoluo:

x3 4 x

3 1x2 x 1 . ax 1 bxc20. Determine o resto da diviso de

P(x)=x4 2x3 + 3x2 x + 1 por D(x) = x i.x3 1

=

x2 x 1x 1 . 1

Resoluo: x3 43

= x3 1ax2 axabx2 bxcxc3

x 1 x 1

x3 + 4 = x3 + (a + b)x2 (b + c a)x + a + c + 1

Q(x) = x3 + (2 + i)x2 + (2 2i)x + (1 + 2i) e R(x) = 1 + i

n

a + b = 0

a + b + c = 0

a + c + 1 = 4

+2a + b + c = 3

a b c = 0 3a = 3 a = 1

21. Determine os restos das divises de P(x) = x 1 por:a + b = 0 b = 1

a) D(x) = x 1 b) D(x) = x + 1,onde n IN.

Resoluo:

a)

R(x) = 0

b)

R(x) = 0 se n for par e R(x) = 2 se n for mpar

22. Sendo 8 e 6 respectivos restos da diviso do polinmio

P(x) por (x 5) e (x 3), pede-se determinar o resto

da diviso de P(x) por (x 5) (x 3).

a + b + c = 0 c = 2

a + b + c = 1 1 + 2 = 2 a + b + c = 2

24. (PUC) A produo diria de um certo produto por um

determinado operrio avaliada por:

Produo = 8x + 9x2 x3 unidades,x horas aps as

8 horas da manh, quando comea o seu turno.

Qual a produo durante a quarta hora de trabalho?

Resoluo:

P(4) P(3) = (8 . 4 + 9 . 16 64) (8 . 3 + 9 . 9 27) = 34

Produziu 34 unidades.

P(x) = Q(x) . (x 5) (x 3) + R(x)

P(5) = 8 = R(5)

P(3) = 6 = R(3)

25. Determinar P(x), sabendo que P(x+ 1) = x2 7x + 6.

Resoluo:

P(x + 1) = x2 7x + 6 = x2 + 2x + 1 9x + 5 =

Rxaxb 85ab

5ab8

3ab 6

= (x + 1)2 9x 9 + 14 = (x + 1)2 9(x + 1) + 14

P(x) = x2 9x + 14 2a = 2 a = 1 e b = 3

R(x) = x + 3


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26. Dado P(x) = xn + xn1 + xn2 + ... + x2 + x + 1,

n IN, calculea soma doscoeficientesdospolinmios:

a) P(x)b) Q(x), sendo Q(x) = P(x) en par

27. Dado P(x) = ax2 + bx + c, calculea , be c paraque

se tenha a identidade P(x + 1) = P(2x).

Resoluo:

a) 1 + 1 + . . . + 1 = n + 1

b) +1 1 + 1 1 + . . . + 1 1 + 1 = 1

Resoluo:

P(x + 1) = P(2x) a(x + 1)2 + b(x + 1) + c = a(2x)2 + b(2x) + c

(x2 + 2x + 1)a + bx + b + c = 4x2a + 2bx + c

ax2 + 2ax + a + bx + b + c = 4ax2 + 2bx + c

4aa

2ab2b abcc

a0

b0

c a = b = 0 , cIR

28. (FUVEST) Dados os polinmiosP(x) = x2,Q(x)=x4 + x2

e R(x) = 5x4 + 3x2, determine os nmerosa e b

reais taisque R(x) = a . P(x) + b . Q(x).

Resoluo:

5x4 + 3x2 = a . (x2) + b (x4 + x2)

5x4 + 3x2 = ax2 + bx4 + bx2 b = 5a53 a =2

29. Discuta o grau do polinmio

P(x) = (m 4)x3 + (m2 16) x2 + (m+ 4) x + 4

em funo do parmetro mreal.

Resoluo:

grau = 3 se m 40 m 4

m 4 0se m = 4, ento:

2 m 160

grau = 1

grau = 3 se m 4grau = 1 se m = 4

30. (UFSM) Considereos polinmios,de coeficientes reais:

A(x) = x3 + ax2 + bx + c

B(x) = bx3 + 2x2 + cx + 2

Resoluo:

A(x) = B(x) x3 + ax2 + bx + c = bx3 + 2x2 + cx + 2 b 1a2

Teremosque A(k) = B(k), qualquer que seja o nmero

realk, quando:

bc c2

b2

a) a = c = 2 e b = 1

b) b = c = 1 e a = 2

c) a = b = c = 1

d) a = b = c = 2

e) nunca

b = 1 = 2 (Impossvel) Alternativa E


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2

3

31. Determine a condio entre a e b para

queo polinmio x4 + ax3 + bx2 + 8x + 4

seja um quadrado perfeito.

Resoluo:

x4 + ax3 + bx2 + 8x + 4 = (x2 + cx + d)2

x4 + ax3 + bx2 + 8x + 4 = x4 + cx3 + dx2 + cx3 + c2x2 + cdx + dx2 + cdx + d2 x4 + ax3 + bx2 + 8x + 4 = x4 + 2cx3 + (2d + c2)x2 + 2cdx + d2

2ca2dc b

2cd8

Se d = 2:

c2b8

a4

ba = 4

d2 4 d 2

c 2

Se d = 2:

b0 a 4

ba = 4

32. (FUVEST)

8 A B C

Resoluo:

x

3 4x x

x 2

x2

8

A

B

C

so respectivamente:

a) 2, 2, 1

b) 1, 2, 1

x3 4x

8

x 4x

8

x x 2 x 2

x2x2 . A B . x .x2 C . x .x2

x . x2x2

x2 4A x2 2x B x2 2x C

c) 2, 1, 1

d) 1, 1, 2

x3 4x x3 4x

8 = Ax2 4A + Bx2 + 2Bx + Cx2 2Cx

e) 2, 1, 1ABC0

2B2C0 42B2C0 4 + 4B = 0 B = 1

4A8

2B 2C = 0

A = 2

2 2C = 0 C = 1 Alternativa E

33. (UF-RS) Se r(x) = ap(x) + bq(x), com Resoluo:

r(x) = 4x2 + kx 8, p(x) = 2x2 3x 2,4x2 + kx 8 = a (2x2 3x 2) + b (x2 5x + 1)

q(x) = x2 5x + 1, a IR, bIR e

kIR, calcule o valor de a + b + k.

4x2 + kx 8 = 2ax2 3ax 2a + bx2 5bx + b

4x2 + kx 8 = (2a + b)x2 + (3a 5b)x 2a + b

I. 2a + b = 8

II. 2a + b = 4

III. 3a 5b = k

Somando as equaes (I) e (II), teremos: 2b = 4 b = 2

Substituindo, agora, o valor de bem (I), teremos:

2a 2 = 8 2a = 6 a = 3

Substituindo, para calcular k, os valores de a e b em (III), teremos:

3(3) 5(2) = k k = 1

Temos, ento, que: a + b + k = 3 2 + 1 = 2


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34. O polinmioP tal que P(x) + x P(2 x) = x2 +

3 para todo x real.

36. (FGV)

a) Determine os valores deA,B e C de modo que:

a) Determine P(0), P(1) e P(2)b) Demonstre que o grau de P 1

Resoluo:

3x2 6x 2

x3 3x2 2x

A

x

B

x1

C

x2

a) P(x) + x . P(2 x) = x2 + 3

P(0) + 0 . P(2 0) = 02 + 3 P(0) = 3

P(1) + 1 . P(2 1) = 12 + 3

P(1) + P(1) = 4

b) Prove que se x > 99 ento 0

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