EX 1 :( 3points)

1).Vrai. 2).Vrai. 3).Faux.

EX 2 :( 6points)

1).a).g’(x)=-2x- <0

lim 푔=+∞ ;lim 푔=−∞ ;

b).g(1)=1-1²-ln(1)=0-0=0

Signe de g(x) :

2).a).f’(x)= ( )

² -1= ( ) ²

² = ( )

²

b).signe(f(x))=signe(g(x)) (car x²>0)et lim 푓=−∞ ;lim 푓=−∞ ;et f(1)=-1

x 0 1 +∞

f ‘(x)

+

-

f

-∞ -∞

3).a).lim → 푓(푥)- (-x) = lim→

( ) = 0d’où D :y = - x est une asymptote à ℓ au

voisinage de +∞

b).On a f(x)-(-x)= ( ) d’où :

x 0 +∞

g’(x)

g +∞

-∞

x 0 1 +∞

g(x) + -

CorreCtion du devoir de synthese n°2

Lycée TheLepTe

2011-2012

Niveau : 4 ème Science expérimentales Epreuve : Mathématiques Prof : Mhamdi Abderrazek

-1

x 0 1 +∞

f(x)-(-x) - +

Position de

ℓ et D

ℓ est en dessous de D ℓ est en dessus de D

ℓ ∩ 퐷

c).

4).풜=∫ |푓(푥)− (−푥)|푑푥=∫ ( ) 푑푥=∫ ( ) 푑푥= ²( ) = u.a

EX 3 :( 5points) :

1).lim → ℎ(푥)=lim → 푥푙푛(푥)=0=h(0) signifie h est continue à droite en 0.

2).a).lim →( ) ( ) =lim →

( )=lim → ln(푥) =-∞ signefie h n’est pas dérivable à droite en 0.

b).La courbe Γ de h admet au point d’abscisse 0 une demi-tangente parallèle à (O,횥⃗ )

3).푎).∀x>0 on a h’(x)=ln(x)+1

h’(x)>0 signifie ln(x)+1>0 signifie ln(x)> -1 signifie x> 푒

d’autre part on a lim ℎ=+∞ et h(푒 )=−푒

x 0 푒 +∞

h ‘(x)

-

+

h

0

+ ∞

b).On a lim →( ) = lim →

( )=lim → ln(푥) =+∞ donc Γ admet une branche parabolique de direction (O,횥⃗ ) au voisinage de +∞

c).풜′=∫ |ℎ(푥)|푑푥=∫ −푥푙푛(푥)푑푥

On pose 푢(푥) = ln(푥)푣′(푥) = −푥 alors

푢 (푥) =

푣(푥) = ²

Donc 풜’= ² ( ) +∫ ² 푑푥= ² ( ) + ² = u.a.

−푒

EX 4 :( 6points)

1).푎).퐴퐵⃗^퐴퐶⃗ =횤⃗ − 5횥⃗ +4푘⃗.

b).퐴퐵⃗^퐴퐶⃗ ≠ 0⃗ signifie 퐴퐵⃗et 퐴퐶⃗ ne sont pas colinéaires signifie

2).푁⃗.푁⃗=1-5+4=0 signifie 푁⃗ ⊥ 푁⃗ signifie P⊥Q.

.On remarque que A∈P∩Q et C∈P∩Q d’où P∩Q=(AC).

3).a).S : (x-1)²+(y-2)²+(z-3)²=3=(√3)² d’où S est la sphère de centre A(1,2,3) et de rayon √3=AB

b).i). S∩P =le cercle 휁 de centre A et de rayon √3(car A∈P)(Pétant le plan de 휁)

ii). S∩Q= le cercle 휁′ de centre A et de rayon√3(car A∈Q)(Qétant le plan de 휁′)

iii).On a A est le centre de S et B∈S donc S∩(AB)={B ;E} où[BE] est un diamètre de S. on trouvera E(0 ;1 ;2).

BON TRAVAIL