COORDINATE POLARI Sia P ha coordinate cartesiane Le coordinate polari di P sono: 1.
Coordinate Cartesiane e Polari
of 4
Transcript of Coordinate Cartesiane e Polari
-
8/16/2019 Coordinate Cartesiane e Polari
1/4
Coordinate cartesiane e polari
Un punto del piano è individuato da una coppia di numeri che identificano le sue coordinate
cartesiane o polari.
Le coordinate cartesiane sono definite dall’ascissa, pari alla distanza del punto considerato dall’asse
Y , e dall’ordinata, pari alla distanza del punto dall’asse X .Tali coordinate si dicono anche assolute;presi due punti A e B si definiscono invece parziali o relative
di B rispetto ad A quelle che B assumerebbe se gli assi avessero l’origine in A,pur restando paralleli a
quelli principali.
Quindi per definizione
( )
( ) A B A B
A B A B
Y Y y
X X x
−=
−=
Le coordinate polari sono date dalla distanza tra il punto considerato e l’origine degli assi e
dall’angolo della cui ampiezza il semiasse positivo delle Y deve ruotare in senso orario,per
sovrapporsi alla direzione considerata.Tale angolo è definito impropriamente azimut in quanto solo
quando il sistema di assi è orientato in modo che l’asse Y risulti tangente al meridiano geografico
tale angolo può essere correttamente chiamato azimut.
!nche per le coordinate polari si pu" introdurre il concetto di coordinate parziali con il medesimo
procedimento visto sopra. #er gli azimut AB! e BA! vale la relazione
AB!"BA!± #$%°
dove il segno $ si usa quando BA! è minore di %&'( , e il segno ) si usa quando BA! è maggiore o
uguale a %&'( .
Trasformazione da coordinate polari a rettangolari
*iene analizzato solo il caso delle coordinate parziali in quanto la trasformazione delle coordinate
assolute pu" essere ricondotta assumendo i punto A coincidente con l’origine.
%( quadrante
dal triangolo rettangolo AB& ,rettangolo in & , si ricava
( )( ) +cos,
+sin, AB AB y AB AB x
A B
A B
⋅=
⋅=
%
-
8/16/2019 Coordinate Cartesiane e Polari
2/4
-( quadrante
del triangolo AB& si pu" ricavare l’angolo BA&"#$%' (AB!;quindi
( ) ( )
( ) ( ) +cos,+,%&'cos
+sin,+,%&'sin
AB AB AB AB y
AB AB AB AB x
A B
A B
⋅=−⋅−=
⋅=−⋅=
Nota : l’ordinata è preceduta dal segno meno)poich* essa è negati+a mentre il prodotto
( )+,%&'cos AB AB o −⋅ AB è positi+o.
( quadrante
( ) ( )
( ) ( ) +cos,%&'+,cos
+sin,%&'+,sin
AB AB AB AB y
AB AB AB AB x
A B
A B
⋅=−⋅−=
⋅=−⋅−=
/( quadrante
( ) ( )
( ) ( ) +cos,+,.0'cos
+sin,+,.0'sin
AB AB AB AB y
AB AB AB AB x
A B
A B
⋅=−⋅=
⋅=−⋅−=
1n conclusione
la trasformazione delle coordinate di un punto da polari a cartesiane si effettua sempre
eseguendo il prodotto della distanza per il seno dell’azimut e per il coseno dell’azimut,
rispettivamente per l’ascissa e l’ordinata.
Trasformazione da coordinate rettangolari a polari
%( quadrante
2al triangolo rettangolo AB& del quale si conoscono due cateti si ha
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( ) A B
A B
A B
A B
A B A B A B A B
Y Y
X X
y
x
AB
Y Y X X y x AB
−
−
==
−+−=+=
arctanarctan+,
--
! volte la distanza polare si trova espressa come
-
-
8/16/2019 Coordinate Cartesiane e Polari
3/4
+cos,+sin, AB
Y Y
AB
X X AB A B A B
−=
−=
-( quadrante
La formula della distanza resta invariata.#er l’azimut invece si ha
A B
A B
A B
A B
Y Y X X
Y Y X X BA& AB
−
−+=
−
−−=−= arctan%&'arctan%&'%&'+,
( quadrante
La formula della distanza resta invariata.#er l’azimut invece si ha
A B
A B
Y Y
X X BA& AB
−
−+=+= arctan%&'%&'+,
/( quadrante
La formula della distanza resta invariata.#er l’azimut invece si ha
A B
A B
A B
A B
Y Y X X
Y Y X X BA& AB
−
−+=
−
−−=−= arctan.0'arctan.0'.0'+,
2al punto di vista pratico si riporta la seguente regola.
3i calcola l’angolo provvisorio A B
A B
Y Y
X X
−
−= arctanα ,quindi si determina il valore corretto
dell’azimut AB! in base alla seguente tabella
Quadrante A B X X − A B Y Y − !4+
%( $ $ !4+5α
-( $ 6 !4+5%&'( 6α
( 6 6 !4+5%&'( $α
/( 6 $ !4+50'o 6α
,n altro metodo di determinare l’azimut che non richiede la pre+enti+a identificazione del
quadrante è la seguente -
ella formula di /isezione+cos,%
+cos,%
-
+,tan
AB
AB AB
+
−±= sostituiamo
( )
AB
y AB A
B=+cos, )ottenendo
dopo semplici passaggi -( )
( ) A B
A B
y AB
y AB AB
+
−±=
-
+,tan
0oltiplicando numeratore e denominatore del radicando per il denominatore stesso otteniamo -
( )
( )[ ]
( )
( )
( )
( ) A B
A B
A B
A B
A B
A B
y AB
x AB
y AB
x
y AB
y AB AB
+⋅=⇒
+=
+
−±= arctan-+,
-
+,tan
-
--
1i nota che il denominatore è sempre positi+o)poich* l’ipotenusa di un triangolo rettangolo è sempre
maggiore dei suoi cateti) e pertanto) anche nei casi in cui l’ordinata parziale è negati+a) la somma
con la distanza polare risulta comunque positi+a.1olo il numeratore può risultare negati+o2' e 3'quadrante!.4n tali casi la formula fornisce un +alore negati+o5aggiungendo un angolo giro
renderemo positi+o l’azimut.
-
8/16/2019 Coordinate Cartesiane e Polari
4/4
Le coordinate catastali
1l catasto 1taliano individua i punti del terreno con riferimento a un sistema di assi cartesiani avente
origine in punti diversi a seconda della zona di rappresentazione, e con asse X 7ord+ diretto lungo il
meridiano passante per l’origine e asse Y diretto ad 8st.
9li assi X e Y sono quindi scambiati fra loro;gli azimut hanno invece lo stesso orientamento cioè
crescenti in senso orario graduazione destrorsa+ e origine in corrispondenza dell’asse X .
Risoluzione di poligoni mediante le coordinate
La determinazione delle coordinate dei vertici di un poligono pu" effettuarsi tenendo presente la
seguente regola generale
• si individui uno o pi: punti di appoggio, di coordinate note, a cui collegare i vertici di
coordinate incognite
• si determino le coordinate polari parziali dei punti da determinare rispetto ai punti appoggio
• si calcolino le coordinate assolute dei punti mediante le formule di trasformazione da
coordinate polari a cartesiane.3upponiamo ad es. di voler risolvere il triangolo AB& noti i lati /)c e l’angolo compreso α .
iferito il triangolo a un sistema cartesiano avente origine in A e asse delle ascisse lungo AB,la scelta
del punto di appoggio diventa necessariamente A.
Le coordinate polari del punto & rispetto ad A valgono α −==
