Coor y Long Arco

UNIVERSIDAD TCNICA DE MANAB FAC. DE CIENCIAS INFORMTICAS CARRERA DE ING. DE SISTEMASTEMA:

NIVEL: III

PARALELO: B

DOCENTE: Ing. Jos Cevallos Salazar AUTORES:BENITEZ SABANDO VALERIE YANINA

TROYA ZAMBRANO SANTIAGO XAVIER

Coordenadas polares y longitud de arco

MANABI PORTOVIEJO

INDICE

Introduccin....................................................................................................................Pg. 3 COORDENADAS POLARES....................................................Pg. 4 Definicin............................................................................................................Pg. 4 Historia................................................................................................................Pg. 5 Conversin de coordenadas cartesianas a polares...........................................Pg. 6 Conversin de coordenadas polares a cartesianas...........................................Pg. 7 Graficando en coordenadas polares...............................................................Pg. 8 - 9

Coordenadas polares y longitud de arco Extensin a mas de 2 dimensiones.....Pg. 10 - 11 Aplicaciones de las coordenadasPg. 11 - 12 LONGITUD DE ARCO....Pg. 13 Definicin..Pg. 13 Historia..Pg. 13 Mtodos modernos.Pg. 14 15 Conclusin.....Pg. 16 Bibliografa...Pg. 17

Introduccin


El presente trabajo, muestra como es el mbito del tema de las coordenadas polares que casi van de la mano porque ambos se basan bajo el paradigma de ngulos de curvas y radios de circunferencias.

En lo que respecta a las coordenadas polares, se da un estudio minucioso sobre los aspectos q intervienen como se pueden realizar conversiones de un sistema polar a cartesiano y las graficas q implica. En cambio con la longitud del arco solamente se basa en un modelo o formula definida para encontrar la longitud propiamente dicha aunque tambin se pueden aplicar los mtodos modernos.

COORDENADAS POLARESConcepto: El sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto o posicin del plano se determina por un ngulo y una distancia.

Coordenadas polares y longitud de arco De manera ms precisa, todo punto del plano corresponde a un par de coordenadas (r, ) donde r es la distancia del punto al origen o polo y es el ngulo positivo en sentido antihorario medido desde el eje polar. La distancia se conoce como la coordenada radial mientras que el ngulo es la coordenada angular. En el caso del origen de coordenadas, el valor de r es cero, pero el valor de es indefinido. En ocasiones se adopta la convencin de representar el origen por (0,0). Constituye una gran ventaja el poder utilizar simultneamente coordenadas polares y cartesianas. Para hacerlo, se toma un origen comn y se hace que el rayo inicial coincida con el eje x positivo. El rayo 0=90' es el eje y positivo. Los conjuntos de coordenadas estn entonces relacionados por las ecuaciones:

Estas frmulas definen sen y cos cuando r es positivo. Tambin son vlidas si r es negativo. ya que cos ( + 180) = -cos , sen ( + 180) =-sen . de modo que los r positivos en el rayo +180 corresponden a valores negativos de r en el rayo O. Cuando r = , entonces x =y =0, y P est en el origen. Esto es, la ecuacin

denota el origen. Si mantenemos r fijo en un valor constante distinto de cero, r =0, entonces P se mueve en el crculo de centro O y radio D, trazando esa figura una vez cuando Ovara de Oa 360. Asi, Es la ecuacin de un circulo, La ecuacin r =1 es una ecuacin para el circula unitario en el plana, La ecuacin r =-1 es otra ecuacin para el mismo crculo, Si se mantiene fijo O mientras r toma todos las valores reales, el punta P trazar una recta que pasa por el origen, As, Historia:

Coordenadas polares y longitud de arco Los primeros usos empricos de relaciones entre ngulos y distancias se relacionan con aplicaciones a la navegacin y el estudio de la bveda celeste. El astrnomo, cre una tabla trigonomtrica que daba la longitud de una cuerda en funcin del ngulo y existen referencias del uso de coordenadas polares para establecer la posicin de las estrellas.[] En Sobre las espirales, Arqumedes describe la espiral de Arqumedes, una funcin cuyo radio depende del ngulo. Sin embargo, estas aplicaciones no hacan uso de un sistema de coordenadas como medio de localizar puntos en el plano, situacin anloga al estado de la geometra antes de la invencin de la geometra analtica. En tiempos modernos, Grgoire de SaintVincent y Bonaventura Cavalieri introdujeron de forma independiente el concepto a mediados del siglo XVII en la solucin de problemas geomtricos. Saint-Vincent escribi sobre este tema y public sus trabajos, mientras que Cavalieri public sus escritos y una versin corregida en. Cavalieri utiliz en primer lugar las coordenadas polares para resolver un problema relacionado con el rea dentro de una espiral de Arqumedes. Blaise Pascal utiliz posteriormente las coordenadas polares para calcular la longitud de arcos parablicos. Sin embargo, el concepto abstracto de sistema de coordenada polar se debe a Sir Isaac Newton, quien en su Mtodo de las fluxiones, introduce ocho nuevos sistemas de coordenada para resolver problemas relativos a tangentes y curvas, uno de los cuales, el sptimo, es el de coordenadas polares. En el peridico Acta Eruditorum Jacob Bernoulli utiliz un sistema con un punto en una lnea, llamndolos polo y eje polar respectivamente. Las coordenadas se determinaban mediante la distancia al polo y el ngulo respecto al eje polar. El trmino actual de coordenadas polares se atribuye a Gregorio Fontana, y fue utilizado por los escritores italianos del siglo XVIII. El trmino aparece por primera vez en ingls efectuada por George Peacock del Tratado del clculo diferencial y del clculo integral de Sylvestre Franois Lacroix, mientras que Alexis Clairault fue el primero que pens en ampliar las coordenadas polares a tres dimensiones.

Conversin de coordenadas

Coordenadas polares y longitud de arco En el plano de ejes xy con centro de coordenadas en el punto O se puede definir un sistema de coordenadas polares de un punto M del plano, definidas por la distancia r al centro de coordenadas, y el ngulo del vector de posicin sobre el eje x. De cartesianas a polares Si tienes un punto en coordenadas cartesianas (x,y) y lo quieres en coordenadas polares (r,), necesitas resolver un tringulo del que conoces dos lados.Ejemplo: qu es (12,5) en coordenadas polares?

Usamos el teorema de Pitgoras para calcular el lado largo (la hipotenusa): r2 = 122 + 52 r = (122 + 52) r = (144 + 25) = (169) = 13 Usa la funcin tangente para calcular el ngulo: tan( ) = 5 / 12 = atan( 5 / 12 ) = 22.6As que las frmulas para convertir coordenadas cartesianas (x,y) a polares (r,) son:

r = (x2 + y2) = atan( y / x ) De polares a cartesianas Si tienes un punto en coordenadas polares (r, ) y lo quieres en coordenadas cartesianas (x,y) necesitas resolver un tringulo del que conoces el lado largo y un ngulo:

Coordenadas polares y longitud de arcoEjemplo: qu es (13, 23 ) en coordenadas cartesianas?

Usamos la funcin coseno para x: Cambiamos de orden y resolvemos:

cos( 23 ) = x / 13 x = 13 cos( 23 ) = 13 0.921 = 11.98

Usamos la funcin seno para y: Cambiamos de orden y resolvemos:

sin( 23 ) = y / 13 y = 13 sin( 23 ) = 13 0.391 = 5.08

As que las frmulas para convertir coordenadas polares (r,) a cartesianas (x,y) son: x = r cos( ) y = r sin( )

Graficando en coordenadas polaresAqu en este trabajo, se presenta una buena cantidad de grficos que nos permitirn conocer muchas de las figuras o grficos que se forman

Coordenadas polares y longitud de arco usualmente a travs de funciones en coordenadas polares. Cada uno de ellos tiene una breve explicacin que consiste en describir el grfico que resulta de la funcin y tambin se dan algunos breves detalles histricos o caractersticas que nos permiten reconocer determinado grfico. Para hacernos una idea general de los grficos que se presentarn durante las pginas que veremos seguidamente, vemos ahora un listado general de los tipos de funciones que son graficados en este reporte o las figuras que resultarn:

ROSA DE CUATRO HOJAS/PTALOS Este tipo de grfico se conoce como Rosa de cuatro ptalos. Es fcil ver cmo se forma una figura parecida a una rosa con cuatro ptalos. La funcin para este grfico es:

ROSA DE TRES HOJAS/PTALOS

Coordenadas polares y longitud de arco Presentamos ahora el grfico llamado Rosa de tres ptalos. Analgicamente al grfico de la rosa de cuatro ptalos, este grfico es parecido pero tiene slo tres hojas o ptalos en su forma grfica. Un ejemplo es el siguiente:

ROSA DE OCHO HOJAS/PTALOS El siguiente grfico es como los dos anteriores, pero ahora con ocho hojas o ptalos, tal como lo vemos en la siguiente funcin graficada:


Extensin a ms de 2 dimensionesTres dimensiones El sistema de coordenadas polares puede extenderse a tres dimensiones con dos sistemas de coordenadas diferentes: el sistema de coordenadas cilndricas y el sistema de coordenadas esfricas. El sistema de coordenadas cilndricas aade una coordenada de distancia, mientras que el sistema de coordenadas esfricas aade una coordenada angular. Coordenadas cilndricas Es un sistema de coordenadas que extiende al sistema de coordenadas polares aadiendo una tercera coordenada que mide la altura de un punto sobre el plano, de la misma forma que el sistema de coordenadas cartesianas se extiende a tres dimensiones. La tercera coordenada se suele representar por h, haciendo que la notacin de dichas coordenadas sea (r, , h). Las coordenadas cilndricas pueden convertirse en coordenadas cartesianas de la siguiente manera:

Coordenadas esfricas Las coordenadas polares tambin pueden extenderse a tres dimensiones usando las coordenadas (, , ), donde es la distancia al origen, es el ngulo con respecto al eje z (medido de 0 a 180), y es el ngulo con respecto al eje x (igual que en las coordenadas polares, entre 0 y 360) Este sistema de coordenadas es similar al sistema utilizado para denotar la altitud y la latitud de un punto en la superficie de la Tierra, donde se sita el origen en el centro de la Tierra, la latitud es el ngulo complementario de (es decir, = 90 ), y la longitud l viene dada por 180.

Coordenadas polares y longitud de arco Las coordenadas esfricas pueden convertirse en coordenadas cartesianas de la siguiente manera:

Las coordenadas polares en el espacio tienen especial inters cuando los ngulos determinan la funcin, como en el caso de la hlice. N dimensiones Es posible generalizar estas ampliaciones de forma que se obtenga un sistema de representacin para 4 o ms dimensiones. Por ejemplo, para 4 dimensiones se obtiene

APLICACIONESLas coordenadas polares son bidimensionales, por lo que solamente se pueden usar donde las posiciones de los puntos se siten en un plano bidimensional. Son las ms adecuadas en cualquier contexto donde el fenmeno a considerar est directamente ligado con la direccin y longitud de un punto central, como en las figuras de revolucin, en los movimientos giratorios, en las observaciones estelares, etc. Los ejemplos vistos anteriormente muestran la facilidad con la que las coordenadas polares definen curvas como la espiral de Arqumedes, cuya ecuacin en coordenadas cartesianas. Adems muchos sistemas fsicos, tales como los relacionados con cuerpos que se mueven alrededor de un punto central, o los fenmenos originados desde un punto central, son ms simples y ms intuitivos de modelar usando coordenadas polares. La motivacin inicial de la introduccin del

Coordenadas polares y longitud de arco sistema polar fue el estudio del movimiento circular y el movimiento orbital. Posicin y navegacin Las coordenadas polares se usan a menudo en navegacin, ya que el destino o la direccin del trayecto pueden venir dados por un ngulo y una distancia al objeto considerado. Las aeronaves, por ejemplo, utilizan un sistema de coordenadas polares ligeramente modificado para la navegacin. Modelado Los Sistemas son Busterniano simetra radial poseen unas caractersticas adecuadas para el sistema de coordenadas polares, con el punto central actuando como polo. Un primer ejemplo de este uso es la ecuacin del flujo de las aguas subterrneas cuando se aplica a pozos radialmente simtricos. De la misma manera, los sistemas influenciados por una fuerza central son tambin buenos candidatos para el uso de las coordenadas polares. Algunos ejemplos son las antenas radioelctricas, o los campos gravitatorios, que obedecen a la ley de la inversa del cuadrado. Los sistemas radialmente asimtricos tambin pueden modelarse con coordenadas polares. Por ejemplo la directividad de un micrfono, que caracteriza la sensibilidad del micrfono en funcin de la direccin del sonido recibido, puede representarse por curvas polares. La curva de un micrfono cardioide estndar, el ms comn de los micrfonos, tiene por ecuacin r = 0,5 + 0,5 sin .[] Campos escalares Un problema en el anlisis matemtico de funciones de varias variables es la dificultad para probar la existencia de un lmite, ya que pueden obtenerse diferentes resultados segn la trayectoria de aproximacin al punto. En el origen de coordenadas, uno de los puntos que tienen ms inters para el anlisis este problema puede solventarse aplicando coordenadas polares. En otros puntos es posible realizar un cambio de sistema de referencia y as aplicar el truco. Al sustituir las coordenadas cartesianas x, y, z... por sus correspondientes equivalencias en coordenadas polares, el lmite al aproximarse al origen se reduce a un lmite de una nica variable, lo que resulta fcil de calcular por ser el seno y el coseno funciones

Coordenadas polares y longitud de arco acotadas y r un infinitsimo. Si el resultado no muestra dependencia angular, es posible aseverar que el lmite es indistinto del punto y trayectoria desde el que se ha aproximado.

LONGITUD DE ARCOSConcepto:En matemtica, la longitud de arco, tambin llamada rectificacin de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensin lineal. Histricamente, ha sido difcil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios mtodos para curvas especficas, la llegada del clculo trajo consigo la frmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.

Historia:A lo largo de la historia muchos grandes pensadores consideraron imposible calcular la longitud de un arco irregular. Arqumedes haba descubierto un mtodo por aproximacin de rectngulos para calcular el rea de un polgono curvilneo mediante el mtodo de exhaucin, aunque pocos creyeron que era

Coordenadas polares y longitud de arcoposible que una curva tuviese una longitud medible, como ocurre con los segmetos de lneas rectas. Las primeras mediciones se hicieron, como ya es comn en el clculo, a travs de mtodos de aproximacin. Los matemticos de la poca trazaron polgonos dentro de la curva, calcularon la longitud de cada uno de los lados de estos para luego sumarlos y as obtenan una aproximacin a la longitud de la misma. Mientras ms segmentos usaban, disminua la longitud de cada uno de ellos, con lo cual lograban una aproximacin cada vez mejor.

Mtodo de exhaucin: clculo de la longitud de la circunferencia mediante la aproximacin de polgonos inscritos y circunscritos. Siglo XVII En esta poca, el mtodo de agotamiento llev a la rectificacin por mtodos geomtricos de muchas curvas trascendentales: la espiral logartmica por Torricelli en 1645 (algunos piensan que fue John Wallis en 1650); el cicloide por Christopher Wren en 1658, y la catenaria por Gottfried Leibniz en 1691. Histricamente fue difcil ajustar lneas poligonales a funciones de curvatura variable, mtodo por excelencia de aproximacin a la rectificacin de una curva. Aunque fueron utilizados varios mtodos para curvas especficas, la llegada del clculo trajo consigo frmulas generales que dan soluciones precisas aunque solo para algunos casos. La longitud de un arco de circunferencia de radio r y ngulo (medido en radianes), con el centro en el origen, es igual a r. Para un ngulo , medido en grados, la longitud en radianes es /180 , siendo la longitud de arco igual a (/180)r.

Mtodos

modernos


Al considerar una curva definida por una funcin

y su respectiva derivada

que son continuas en un intervalo [a, b], la longitud s del arco delimitado por a y b es dada por la ecuacin:

En el caso de una curva definida paramtricamente mediante dos funciones dependientes de t como punto hasta el punto e , la longitud del arco desde el se calcula mediante:

Si la funcin est definida por coordenadas polares donde la coordenadas radial y el ngulo polar estn relacionados mediante arco comprendido en el intervalo , toma la forma: , la longitud del

En la mayora de los casos, no hay una solucin cerrada disponible y ser necesario usar mtodos de integracin numrica. Por ejemplo, aplicar esta frmula a la circunferencia de una elipse llevar a una integral elptica de segunda especie. Entre las curvas con soluciones cerradas estn la catenaria, el crculo, la cicloide, la espiral logartmica, la parbola, la parbola semicbica y la lnea recta.


CONCLUSIONES


A lo largo del anlisis del documento se llega a determinar que tanto las coordenadas polares como la longitud de un arco, comparten algo en comn, como es un radio y un ngulo de una curva, pero con la diferencia que a cada una se le aplica un modelo o teorema diferente. En lo que respecta a las coordenadas polares, presenta facilidades para transformar de una coordenada a otra, solamente que en las polares es un poco ms difcil de graficar en comparacin con las cartesianas, adems que tambin existen coordenadas polares en otras dimensiones. La longitud del arco, es un poco parecido a las coordenadas polares, solamente que la forma de realizar su clculo, se basa en las integrales definidas, tomando como referencia el ngulo y radio de la curva y para cada caso hay un teorema o modelo diferente.

BIBLIOGRAFIA


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