Control digital resumen

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA. TEORÍA DE CONTROL III 1

Teoría de Control IIIAndrea García, Melissa Montalvo

Universidad Politécnica Salesiana

Abstract—In this article is described an introduction aboutdiscrete time systems, its characteristics and main principles. Itis also addressed the behavior of the system, main operations inthe z plane and its correspondence with the s plane. At the endof the article it is described the steps to perform a PID discretecontroller.

Index Terms—Ecuaciones en diferencias, Antitransformada Z,ZOH, PID.

I. INTRODUCTION

UN sistema en tiempo discreto viene caracterizado pormagnitudes que varían solo en instantes específicos de

tiempo. En los sistemas discretos en el tiempo se usa lavariable de tiempo discreto n en vez de la variable de tiempocontinuo t y se utiliza la transformada Z en lugar de latransformada de Laplace [1].

II. ECUACIONES EN DIFERENCIAS

Son ecuaciones que relacionan señales digitales en tiempodiscreto, por lo mismo son utilizadas en sistemas con estas car-acterísticas a lo contrario de las ecuaciones diferenciales queson empleadas en sistemas con señales analógicas. Ejemplo:• Ecuación diferencial.

d2x

dt2+ 2γ

dx

dt+ ω2

0x = 0 (1)

En donde:Frecuencia angular ω0 = 2Rozamiento γ = 0.5

Fig. 1. Comportamiento de un sistema subamortiguado.

• Ecuación de diferenciasy(k) + 0.2y(k − 1) + y(k − 2) = 0 (2)

Fig. 2. Comportamiento de la ecuación en diferencias descrita.

A. Modelo Autoregresivo AR

Al analizar las series de tiempo no se toma en cuentala entrada del modelo, entonces u(k) = 0, así los modelosanalizados serán totalmente estocásticos. Una serie de tiempocon sólo el polinomio del denominador D(q) es llamado unmodelo Autoregresivo.[2]

y(k)− 0.2y(k − 1) = 0 (3)

y(k) = 0.2y(k − 1) (4)

B. Modelo Autoregresivo con variable externa

Este modelo corresponte al Autoregresivo incorporando una"X" por la entrada exógena o independiente.[2]

y(k)− 0.2y(k − 1) = 3µ(k) (5)

III. DISCRETIZACIÓN DE LA SEÑAL

También denominada “Muestreo”, es el primer paso enel proceso de conversión de una señal analógica (tiempo yamplitud continuos) en una señal digital (tiempo y amplituddiscretos). La conversión de la señal Análoga en Digital(Conversión A/D) se realiza, entre otras razones porque lasseñales digitales presentan grandes ventajas a la hora de sertransmitidas y/o procesadas: mayor inmunidad al ruido, mayorfacilidad de procesamiento y facilidad de multiplexaje. En lasaplicaciones tecnológicas “las muestras” se toman a intervalosde tiempo “iguales”, proceso denominado “Muestreo periódicode la señal”, lo que facilita procesos como el de la “Recon-strucción de la señal”. [3]


Para el proceso de muestreo se puede observar en la figurasiguiente que se considera una señal muestreadora m(t)correspondiente a un tren de impulsos de amplitud y duraciónfinitaτ , separados por un tiempo T que se denomina periodode muestreo. La señal muestreada, sm(nT ), es un tren deimpulsos modulados en amplitud, es decir, es discreta en eltiempo pero continua en amplitud, y puede interpretarse comoel producto de la señal de entrada por la muestreadora.[4]

sm(nT ) = s(t)m(t) (6)

Fig. 3. Modelo gráfico para el proceso de muestreo: la señal a muestrear s(t)se multiplica por la muestreadora m(t).[4]

Si expresamos las señales establecidad de la manera:s(t) = x(t)

m(t) = δ(t)

sm(nT ) = x ∗ (kT )Obtenemos las siguientes igualdades:• Señal muestreadora:δ(t) = δ(t− kT )

δ(t) =∑∞

k=0δ(t− kT ) (7)

• Señal muestreada:

x ∗ (kT ) = x(t) ·∑∞

k=0δ(t− kT )

x ∗ (kT ) =∑∞

k=0x(kT ) · δ(t− kT )

x ∗ (z) =∫ ∞−∞

∑∞

k=0x(kT ) · δ(t− kT ) · e−stdt

x ∗ (z) = x(kT )

∫ ∞0

dδ(t− kT ) · e−stdt

x ∗ (z) = x(kT ) · e−skT

x ∗ (z) =∑∞

k=0x(kT ) · e−skT (8)

IV. MÉTODOS ANTI TRANSFORMADA

A. Método de División DirectaEn este método, la transformada z inversa se obtiene

mediante la expansión de X(z) en una serie infinita de

potencias de z−1. Este método es útil cuando es difícilobtener una expresión en forma cerrada o se desea encontrarsólo algunos primeros términos de la secuencia.

Ejemplo X(z) = 10(z−1)(z−2)

Se escribe como un cociente de potencias:

X(z) = 10z−2

1−3z−1+2z−2

Se divide la expresión:

Fig. 4. División de la Expresión.

Al comparar la expresión con una serie infinita se obtiene:

X(0) = 0

X(1) = 0

X(2) = 10

X(3) = 30

X(4) = 70

X(5) = 150

Que corresponde a la expresión :

10(2n−1 − 1)

B. Método Computacional

En este método, la transformada z inversa se obtieneutilizando la función delta de Kronecker. Suponiendo queµ(n) , la entrada al sistema G(z) es la entrada Delta deKronecker, la transformada z de la entrada delta de Kroneckeres U(z) = 1.


Se escribe como:

X(z) = 10z2−3z+2

Utilizando Matlab:


Fig. 5. Código utilizado en el software Matlab.

Se obtiene la gráfica:

Fig. 6. Gráfica obtenida en el software Matlab.

Esta respuesta corresponde con:

Fig. 7. Gráfica de la respuesta obtenida.

C. Método de Fracciones Parciales

La expresión se convierte en una combinación lineal detransformadas de funciones básicas como δ(n), anµ(n)y nanµ(n). De ser posible tal descomposición, entonceses sencillo encontrar la transformada inversa mediantela aplicación de una tabla. En muchos casos, será másconveniente primero desarrollar X(z)

z en fracciones parciales,

y después despejar X(z) multiplicando por z.


Aplicando el concepto de la fórmula se obtiene:

X(z)z = 10

z(z−1)(z−2) = 10[

A(z−1) +

B(z−2) +

Cz

]1 = A(z − 2)z +B(z − 1)z + C(z − 1)(z − 2)

• Con z = 0

1 = C(0− 1)(0− 2)C = 1

2

• Con z = 1

1 = A(1− 2) ∗ 1A = −1

• Con z = 2

1 = B(2− 1) ∗ 2B = 1

2

Reemplazando las constantes:

X(z) = 10[−z

(z−1) +z

2(z−2) +z2z

]Mediante la tabla de transformadas:

X(n) = 10(−1 + 2n−1)

D. Método de Integral de Inversión

Se la conoce también como integral de contorno. Esta esuna técnica para la obtención de la transformada z inversa. Laintegral de inversión de la transformada zX(z) está dada por:

Fig. 8. Integral de Inversión.

Donde C es un círculo con centro en el origen del plano ztal que todos los polos de X(z) z^(n−1)aestánadentroadeaél.La solución de la fórmula es:

Fig. 9. Solución de la ecuación.


Aplicando el concepto de la fórmula se obtiene:


X(z)zn−1 = 10zn−1

(z−1)(z−2) =10zn

z(z−1)(z−2)

Ya que existe un polo en el origen z=0, se realiza de lasiguiente forma:

• Para n = 0, X(z)zn−1 tiene los polos:

z1 = 1, z2 = 2, z3 = 0

Sus residuos son:

X(0) = n1 + n2 + n3

X(0) =∑3

i=1residuo 10

z(z−1)(z−2) en el polo z = zi

1. Residuo n1 para el polo z1 = 1

n1 =(

limz→1

) [(z − 1) 10

z(z−1)(z−2)

]= −10


n2 =(

limz→2

) [(z − 2) 10

z(z−1)(z−2)

]= 5


n1 =(

limz→0

) [(z) 10

z(z−1)(z−2)

]= 5

• Para n = 1, 2, 3..., X(z)zn−1 tiene los polos:z1 = 1, z2 = 2

Sus residuos son:

X(n) = n1 + n2

X(0) =∑2

i=1residuo 10

(z−1)(z−2) en el polo z = zi


n1 =(

limz→1

) [(z − 1) 10

(z−1)(z−2)

]= −10


n2 =(

limz→2

) [(z − 2) 10

(z−1)(z−2)

]= 10(2n−1)

Por lo tanto:

X(n) = n1 + n2 + n3 = −10 + 10(2n−1)

La solución total se halla sumando todos los residuos:

X(n) =

{0 n = 0

10(2n−1 − 1) n = 1, 2, 3...

V. RETENEDOR DE ORDEN CERO ZOH

La transformada Z representa un método operacional pararesolver ecuaciones en diferencias lineales y sistemas linealescon datos discretos y digitales.[5]

Obtenida la expresión de la señal muestreada, relacionamosel exponencial con z:

x ∗ (z) =∑∞

k=0x(kT ) · z−k (9)

Z = esT (10)

s =lnZ

T(11)

Un retenedor corresponde a un circuito o elemento, porejemplo un condensador, que recibe una señal analógica y lamantiene en un valor constante durante un tiempo específico,por lo tanto retiene las muestras para hacerlas continuas.H =

∑∞

k=0x(kT )[µ(kT )− µ(kT + T )]

H =∑∞

k=0x(kT )( e

−kTs

s − e−(kT+T )s

s )

H =∑∞

k=0x(kT )[ e

−kTs

s (1− e−Ts)]

H =∑∞

k=0x(kT )e−kTs 1s (1− e

−Ts)

H = (1−e−Ts)s

∑∞

k=0x(kT )e−kTs

H = (1−e−Ts)s X(z)

ZOH =(1− e−Ts)

s=

(1− z−1)s

(12)

Ejercicio 1 G(s) = 210s+1

G1(s) = ( 1−z−1

s )( 210s+1 )

G1(s) = (1− z−1)( 2s(10s+1) )

G1(s) = (1− z−1)( 0,2s(s+1/10) )

• Aplicamos integral de convoluciónX(z) =

∑residuos x(s)Z

z−eTs en los polos x(s)

( x(s)zz−eTs ) |

S=0= Residuo 1

( 0,2s(s+1/10) ) · (

zz−eTs ) · s |

S=0= 2

z−1

( 0,2s(s+1/10) ) · (

zz−eTs ) · (s + 1/10) |

S=−1/10=

− 2z1−z−1·e−T/10

G1(s) = (1− z−1)( 2zz−1 −

2zz−e−T/10 )

G1(s) = (1− z−1)( 2zz−1 −

2z1−z−1·e−T/10 )

G1(s) =2[(1−z−1)·e−T/10−(1−z−1)]

1−z−1·e−T/10

G1(s) =2[z−1·e−T/10+z−1)]

1−z−1·e−T/10

G1(s) =2z−1[·e−T/10+1)]1−z−1·e−T/10 = F (z) = Y (z)

U(z)

VI. CORRESPONDENCIA DE LOS PLANOS S Y Z

La correspondencia entre los planos se puede deducir de larealción:

z = esT


z = e(σ+jω)T

|z| = eσ

σ = 0 en el eje imaginario

σ > 0 es inestable

|z| = e0 = 1

Fig. 10. Correspondencia de los planos.

En el plano s el eje imaginario es el límite de la estabilidad,y mientras más a la isquierda se encuantren los polos, elsistema es más veloz.

En el plano z el sistema es inestable fuera de la circun-ferencia, y las raíces son más veloces cuando se acercan acero.

A. Integración por diferencias hacia Atrás

El planteamiento de la integración por diferencias haciaatrás parte de la siguiente figura:

Fig. 11. Suma de rectángulos hacia atrás [6].

En donde, se puede decir que:

I(s) =∫y(t) = Y (s)

s

I(k) =∑k

n=0ynT

I(z)− z−1I(z) = ykT

I(z) = (1− z−1) = Y (z)T

I(z)Y (Z) =

T1−z−1 = 1

s

1s = T

1−z−1

s =z − 1

zT(13)

Para que s sea estable, se toma en cuenta:

Re(s) ≤ 0

Re( z−1zT ) ≤ 0 en donde z = σ + jw

Re( (σ+jw)−1(σ+jw)T ) ≤ 0

Re( [(σ+jw)−1](σ−jw)(σ−jw)(σ+jw)T ) ≤ 0

Re(σ2+ω2−σ+jω(σ2+w2)T ) ≤ 0

σ2 + ω2 − σ ≤ 0

Completando trinomios:

(σ − 12 )

2 + ω2 − 14 ≤ 0

Esto nos proporciona el gráfico de la figura.

Fig. 12. Mapeo hacia atrás en los planos s y z [6].

B. Integración por diferencias hacia Adelante

El planteamiento de la integración por diferencias haciaadelante parte de la siguiente figura:

Fig. 13. Suma de rectángulos hacia adelante [6].



x(kT )− x [(kT − 1)T ] = y [(k − 1)T ] ∗ [kT − (k − 1)T ]

x(kT )− x [(kT − 1)T ] = y [(k − 1)T ] ∗ T

X(z)−X(z)z−1 = Y (z)z−1T

X(z)(1− z−1) = Y (z)z−1T

X(z)Y (z) = z−1T

1−z−1 = 1s

1s = z−1T

1−z−1

s =z − 1

T(14)


Re(s) ≤ 0

Re( z−1T ) ≤ 0 en donde z = σ + jw

Re( (σ+jw)−1T ) ≤ 0

σ ≤ 1

Esto nos proporciona el gráfico de la figura.

Fig. 14. Mapeo hacia adelante en los planos s y z [6].

C. Integración CentralEl planteamiento de la integración central o trapezoidal

parte de la siguiente figura:

Fig. 15. Suma de rectángulos de manera trapezoidal [6].


x(k + 1)− x(k) = y(k)+y(k+1)2 T

2 [X(z)z −X(z)] = [Y (z) + Y (z)z]T

X(z)Y (z) = z+1

z−1 ∗T2 = 1

s

s =2

T

z − 1

z + 1(15)


Re(s) ≤ 0

Re( 2z−2zT+T ) ≤ 0

Re( 2(σ+jω)−2(σ+jω)T+T ) ≤ 0

Re( [2(σ+jω)−2](σ−jω)[(σ+jω)T+T ](σ−jω ) ≤ 0

σ2 + ω2 ≤ 1

Describe una circunferencia de radio 1.

Fig. 16. Mapeo central en los planos s y z [7].

D. Mapeo de S en ZCada banda de anchura ωs se mapea en el círculo unidad.

A la primera banda se le llama banda primaria, y al restobandas complementarias. En la franja primaria, si en el planos trazamos la secuencia de puntos 1-2-3-4-5-1, esta trayectoriacorresponde al circulo unitario con centro en el origen delplano z.

Fig. 17. Diagrama que muestra la correspondencia entre la franja primariadel plano s y el circulo unitario z [7].

Los valores de ξ y ωn determinarán la ubicación de lospolos LC en el plano z que satisfagan el transitorio. Es posible


obtener diferentes lugares geométricos en el plano z usandoz = eTs.

Fig. 18. Diagrama que muestra la correspondencia entre el parámetro ξ delplano s y z [7].

VII. PID

El controlador PID en el dominio del tiempo se escribecomo[5]:

U(s)

E(s)= kP + kDs+

ki

s(16)

Realizando integración hacia adelante s = 1−z−1

T obtenemosla ecuación en diferencias del controlador PID.U(s)E(s) = kP + kDs+

kis

U(z)E(z) = kP + kD

T (1− z−1) + ki(1−z−1)/T

U(z)E(z) = kP + kD−kDz−1

T + kiT1−z−1

U(z)E(z) =

kPT (1−z−1)+(kD−kDz−1)(1−z−1)+kiTT (1−z−1)

T (1−z−1)U(z) = [kPT (1−z−1)+kD(1−z−1)(1−z−1)+kiT ]E(z)T (1− z−1)U(z) = [kPT (1− z−1) + kD(1− 2z−1 + z−2) +kiT ]E(z)TU(z) − TU(z)z−1 = [kPT − kPTz−1 + kD − 2kDz

−1 +kDz

−2 + kiT ]E(z)Tµ(k)−Tµ(k−1) = [kPTE(z)−kPTE(z)z−1+kDE(z)−2kDE(z)z−1 + kDE(z)z−2 + kiTE(z)]Tµ(k) = Tµ(k− 1) + [kPTe(k)− kPTe(k− 1) + kDe(k)−2kDe(k − 1) + kDe(k − 2) + kiTe(k)]

µ(k) = µ(k−1)+kP e(k)−kP e(k−1)+kDT

[e(k)−2e(k−1)+e(k−2)]+kie(k)(17)

Ahora obtenemos la expresión del controlador con lasconstantes Kp, Tds y Tis.U(s)E(s) = kP (1 + TDs+

1Tis )

U(z)E(z) = kP + TD

T (1− z−1) + 1Ti(1−z−1)

U(z)E(z) = kP [

T ·Ti·(1−z−1)+TD·Ti·(1−z−1)2+T 2

T ·Ti·(1−z−1) ]

T · Ti · U(z) − T · Ti · U(z) · z−1) = kP [T · Ti − T · Ti ·z−1 + TD · Ti− 2TD · Ti · z−1 + TD · Ti · z−2) + T 2]E(z)T ·Ti·µ(k) = T ·Ti·µ(k−1)+kP [T ·TiE(z)−T ·Ti·E(z)z−1+TD ·Ti·E(z)−2TD ·Ti·E(z)z−1+TD ·Ti·E(z)z−2+T 2E(z)]µ(k) = µ(k − 1) + kP [E(z) − E(z)z−1 + TD

T (E(z) −2E(z)z−1 + E(z)z−2) + T 2E(z)]

µ(k) = µ(k−1)+kP [e(k)−e(k−1)+TDT

(e(k)−2e(k−1)+e(k−2))+T 2e(k)]

(18)

A. Período de muestreo

Corresponde al tiempo en que se toma cada muestra. [4]Al modificar T altera los polos y los ceros en el plano z ,

por ende cambia su comportamiento.Para elegir un T adecuado, se utiliza el teorema de Shannon

en donde se ha de cumplir:

ωn =π

T

ωn = 2ωmax Tasa de NyquistDebido a que el teorema de Shannon a veces es difícil de

aplicar, se recurre al criterio práctico en donde se escoge Tde modo a que corresponda a tomar entre 10-30 muestras deltiempo de asentamiento.

REFERENCES

[1] R. Fernández-Cantí, “Sistemas electrónicos de control,” UniversidadPolitécnica de Cataluña, 2014.

[2] S. Méndez, “Identificación con modelos discretos para sistemas lineales.modelo matemático y aplicaciones,” vol. 8, no. 2, pp. 47–55, 2003.

[3] J. A. C. Osorio, H. B. C. Garzón, and J. A. C. Osorio, “Fundamentosy aplicación del muestreo en señales ubicadas en las bandas altas delespectro,” Scientia et Technica, vol. 2, no. 39, 2008.

[4] R. P. Areny, Adquisición y distribución de señales. Marcombo, 1993.[5] B. C. Kuo, Sistemas de control automático. Pearson Educación, 1996.[6] “Control por discretización de sistemas en tiempo continuo,” Universidad

de Málaga, 2013.[7] “Respuestas de sistemas de control y estabilidad,” Universidad de

Málaga, 2013.

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