CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here...

112

Transcript of CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here...

Page 1: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We
Page 2: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

CCONTENTS1. Linear Equations in Two Variables .............................................................. 3–11

2. Quadrilaterals ..................................................................................................... 12–18

3. Areas of Parallelograms and Triangles ...................................................... 19–26

4. Circles .................................................................................................................... 27–36

5. Constructions ....................................................................................................... 37–48

6. Surface Areas and Volumes ......................................................................... 49–56

7. Probability ............................................................................................................ 57–60

8. Statistics ................................................................................................................ 61–68

• Practice Papers (1 to 5) ................................................................................... 69–111

(ii)

Page 3: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

������� ����� �� �� �� ���������

������� ������ � ��� ���� �������� �

��������������� ���� ����� �������

����������������

1. ���� ������ � �� ��� � �� � ������������ ��� ���� ����� ���� �� �� ���������

�� �� ��������

�� ���� ������� �� ���� ��

����� �� ����

��������������������� ������������������

��������������� �!��� � ���� "������ � �

#�$#������ �� ��$�#������ ��� �%�&���������������#�'����$������#�����

�� (����#� � !� ��� �� ������� � ����#� ��� ��� ��� ���'��#���� #�$#�����%�������$������������������!�����������#������������#��

�� �� �!���� �!���� �)���� �)�� *+������ ,� $�#�� ��� ������ �������'

�##�������$�#���������$�#����������

��#�����������*+���-���, � � ��

� �����(����#�,�� �!� ∴��� � ��� � �

�����! �� �������∴��� � �� ��� �� � �

��

� ���10. .����������� �������� ������������

���������������� / ��� ����������� 0 � / � 0 �� ���/��� �1�≠���-���2����3�����������������������������

��� �� �) �����.� ��� �� ����� �������� �������� �!��������

��� ��� / 4������������ !� �� � � / 4⇒ �� ����/�4

⇒ �� ��� � 4� �1 ∴��� ����

��� 5��67���� *���� ������ �����#�����������

�� ����������� ���8��������#���������������������������##��$���� ������ ������ ��� �����#���#��� �� ���� ���� ������'���������

����������� ����� ����� ������� ��������

�� "�������������������9*����9:��#��� �)������ �)�#��$��������

�� ;����������/�<� �)�

������� ��#�%�#��������� ��92

����#�$#���������������������������

�' �#���������������#����� �92��

�#������������������������#� ���

�� ��/��� �)��#��� �� �����������$�#���������%�&����������������������� ���������%�&��

Page 4: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

� ������������ ��

�� 2�3�=������������� ���&$#����������� /� ��� �� <�35� � )>� �� ��'$�#�� ��������#����������������

��� ����� ������ ���<� 35 �2��3���� / 1� / )� �)>��� ����� �1���� �)�

�� -�������$���2���!3������������#�$������������������ ����/�4�∴� ��� ������ �!�����������������������������⇒ ��! �����/�4�2�������� �������� �!3⇒ �� ����/�4 ⇒���� ������4� �1

⇒ � �53�

�� ���� ������� � 4� / �� ���� �����'������������*�������#�$������������������� �� �� ��#����� ���� *� ��� ��������' �#����$�����������������#�� $��� �� ���� ��� �� �� ������� ������������

�� 2�3��������� �)������ ����������� �!������� ) � ��0 �� �� !�≠ !������2)���3��������������������������� � �� !�� ��� �� �� ��� �� ������� ��� ����������

2��3� ������ �� � �� ��� �� � )� � ���� �����������������������������

������ �� � ��0�)� �� ��)� ���≠�!8����� 2��� )3� �� ��� �� ������� ��� ����������

� ������ �� � �� ��� �� � � �� � ���� �����������������

� � ����/�1⇒ �� �� ,�⇒��� �� !�

� 2�3�!�/�<� �����������#�������������#� ���

2��3 �<������ ������� ���� ���#��������������#� ����

��� 5�����������������$�� ���������������������� ��?� ������;���#�������������������������� ��?����#����'���������������$���-�������������� ������� � ���� ���� ��� �� �&%$#������ ��� �� � � )� �#� �� � ��� / ) )������ �� ���� #���#��� ������� � �����#� ����

��� 2�3 �#� 2��3������#���� *������������������ ���#��������%

��#�� ��#'���� �� ������� � ������#%� ��������������/���/��� �)

2�3 �� �� 1 ⇒ �����/�)���/�1� �)

2��3 ���/�1� �) ⇒ �����/�)���/�1� �)��� 2�3 "�������� � �� 1 ��� ��#�%�#���

�������������1� �)�8������� ����� �������� ���1�2��3 4�� ������� ���&$#��������

4�������/�)� �)�

8������� �4��� �������� �)�

����������� ����� ����� ������� ����� ����

�� � / � �))����������#������������%�����������������;����� �)���� ��));����� ��)���� �<);����� ��)���� �,)������ ����

� ) �) �)

� �)) <) ,)

����$�����#��2)���))3��2�)��<)3����2�)�,)3�=#�$������ +��� ������$����������������#�$�������/��� ��))���������

Page 5: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

������� ����� �� �� �� ���������

�� ����������������� � �� / �� )��� ���#������@

��� ���������⇒ � �y3 11

2−

6���� �������

� �3 1 11

2× −

� �−3 112

�8

2−

� ���!

-�������$�����2� !���3�6���� �������

� �3 3 11

2× −

� � −9 112

�2

2−

� ����

-�������$�����2������3�6���� �1�����

�� �3 5 11

2× −

� �−15 112

� �42� ��

-�������$�����2���13������������� �����#�������������������

� ��! ��� �

� � � 1

A=#�$��'������%�&�����2� 1�1��)3�� ;����������/���� �, ���2�3

5��� ��� ����'�� �� � )�∴� �-� ��������� �)� � 2�3��������

�2)3�/��� �,

⇒ )�/��� �,�⇒� � �� � BC

∴� ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

���

�� �� �� ���������� 2�3�

*�������'���� � )�∴�D#�'� 2�3������������� /� �2)3� � ,

⇒ �� �,�⇒��� � BE� � !

∴� 2!�� )3� �� �� ���������� 2�3�*�������'���� � ��∴�D#�'� 2�3�����������2�3�/���� � ,

⇒ �� �,����� ���⇒��� �FC� ��

∴� 2��� �3� �� �� ���������� 2�3�*�������'���� � ��∴�D#�'� 2�3�����������2�3�/���� � ,

⇒ !�/��� �,�⇒� ��� � ,� �� !� �!

⇒ � � GC

∴� 24

3,������ � �� �� ���������� 2�3�

∴ ���� #���#��� ���#� �������� �#�@

BHI

C� �� �� �

�� 2!��)3�� 2����3���� GEI

C� �� �� �

�� ����������

Page 6: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

� ������������ ��

�� Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2.Here y is always 2 and x can be anynumber.Table for points is

x 0 1 – 1y 2 2 2

We notice that point (2, 1) does not lie onthe line also.

Given equation is y – 2 = 0, i.e., 0.x + 1.y– 2 = 0,By substituting x = 2, y = 1, we get0.2 + 1.1 – 2 = 0 ⇒ – 1 = 0, false.Hence, x = 2, y = 1 is not a solution.

6. Given equation is 3x + 2y + 6 = 0

⇒ y = − −6 3

2x

...(i)

Substituting the value of y in (i), we getx = 0 ⇒ y = – 3x = – 2 ⇒ y = 0x = – 4 ⇒ y = 3.

x – 4 – 2 0y 3 0 – 3

Substituting x = 4, y = – 9 in 3x + 2y+ 6 = 0, we get 3.4 + 2.(– 9) + 6 = 0⇒ 18 – 18 = 0 ⇒ 0 = 0, true.Hence, x = 4, y = – 9 is a solution.

�� ����������� From the given equation, we have

⇒ 11

22x x−

+−

= 3

3x −

⇒ 11

22x x−

+−

= 2

3x − +

13x −

⇒ 1

1x − –

13x −

= 2

3x − –

22x �

⇒( ) ( )( )( )x xx x− − −

− −3 11 3

= 2 2 2 3

3 2( ) ( )( )( )x xx x− − −

− −

⇒ x x

x− − +

−3 1

1 =

2 4 2 62

x xx

− − +−

⇒ −−21x

= 2

2x − ⇒

−−11x

= 1

2x −⇒ – (x – 2) = (x – 1) ⇒ – x + 2 = x – 1⇒ – x – x = – 1 – 2 ⇒ – 2x = – 3

⇒ x = 32

∴ x = 32

is the solution.

� ���/��� �������⇒�������� ���������⇒��� ���!

2�3

2��3

Page 7: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

������� ����� �� �� �� ���������

"������� ��� ���� ����� ��� ���� #�������*:(J��#���2�3�*:����� �����2��3�:(����� ��2���3�(J����� �!��2� 3�*J����� ����"������� ��� ���� ����� ��� ���� ����#��KL-��#���2�3��K � � �� � 2��3�KL � � �� �2���3�L-����� �� � 2� 3�-������ �� !�

�� 2�3 ;��?�������������#��������������#� ���������������#'��� / � / � )��������� ����� �������� �!��������

���/����/�! �)�

2��3 ;��?�������������#��������������#� ���������������#'��� / � / � )�

�������� �1��� ���������� �)��������

1��/�2� �3��/�) �)

⇒ � � � � � � � � � �1����� / )� �)�

�� ��������������@

� � �) � ��

� � �) 1 ��

�� (����#����/�1�� ����⇒ �1� �� � ��

∴ � � �� ��

5����� ����� ��� ����

� ��� ���

� ��� )

5����� �� !��� � �� �� ��

�����

���� !

5�� �� ������ �� �����

� ��� ���

� ���

� �� �

����������������� ������ ����@

� � � ! ��� ) ! � �

�����#�$��������������������������

�������������������� �������1.

Page 8: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

� ������������ ��

2�3 ;���� �� � ���2M���� �����#�$�32��3 ;����� �!���� �� !

2M���� �����#�$�3�� "����������*:����� ����(J����� ���1

���=8����� �!�

���

�� ���������������������#�@�� � � � ����2�3

�� �� / �� � ����2��3D#�'��������2�3���������

� �� ����� ��� �����#������������������2�3������ ����@

� ) � �� � � �� � �

D#�'��������2��3���������

��� �� � ��� ⇒ ��� � � ��

�� ��� ��#� ������� ��� ������� 2��3� �� ��� ����@

� � � � �� � � ! ��

;����������$������������ �������������#��� ���� ��#����� ���� ��� ��� ��#�$#������ �������� 2�3� ��� 2��3#��$��������������������#��D#�'������#�$������������������$���2�� � �3� �� ���� $��� ��� ��#������ ��������������

�� =������������#���� / � / � )����� � �� / , )������ ��� �� #�%�#���#��$����������

�� ���� ��������� 2�3������ � y3 82− � ��� 2��3

�� �����#��������������������������2�3����� ����@

� �) �� � �

� � � �� ! �1

�� �����#��������������������������2��3����� ����@

� � ! � � �

� ) � !

D#�'������#�$�������$��������#���%�����2� ����3�

Page 9: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

������� ����� �� �� �� ���������

�� �������������������?'������� ��#� � �� �∴ �� ���/�2�����3� �D#���?'�/�-� ����%���������-���� ��#�� ���� �#��� ?'� � �� �)∴ D�#�� ��#� ���� #�'���������

����0� �� 2�� �� �3� ��� ��� ���� �⇒� ������ ��#�� � �� �)� /� �� ��� �� �� �

� �� !� /� �� ��∴ � � !� /� ��⇒ �� �� �� � !�⇒ ��� �� �� /� !� � );���� �� ���� #���#����������.���� ������ ��#�� ��#� �1� ?'@�� 0� �1� ���� /� ! �)�N-� ��������� ��1O⇒ <)� ���� /� ! � )� �⇒� <!� �� �� � )⇒ � �<!∴ ������ ��#� � �� <!�

� ����������

� ;������@� �� /� ��� � ��⇒ �� � FE��

;��� �� � )�� ���� �� � F HE� � � �

;��� �� � ��� ���� �� � F EE� � � G

E� � �

;��� �� � !�� ���� �� � F GE� � � E

E� � �

;�������������������� ����������������������

� ) � !� � � �

2��� �3 2)���3 2����3 2!���3

������� ���� �#��#��� $�#�� 2)�� �3�� 2��� �3���2!���3��������+������'�������������#�$�������/���� ����������� ����@D#�'� ���� �#�$������ ��� ����� ��#� �

� �� ��� ���� ������ ��� �� � ���

Page 10: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

�� ������������ ��

��� ������������� �����������$������������������������#�$��

2����!)3��21���))3��2�)��!))3��2�1��1))3����2�)���))3����+������'

*'��������#�������#�� ��!!)

��������������������������

�� 2�3� ���� $�#���� #�$#������ �� ��#�������� ��� �#��� �� ��#����� ��� ���'��������������������$�����������/���� ���

����������������)����������!��������������������������)

���������$�����#��2)���3����2!��)3��������������$���������#�$��$�$�#���+������'������������#���#����#�$��

2��3�=#�$����������#��������2���3�5������#���#�'������(��$�#��%��������(���������#��$�� ����

�� 2�3�"��������� �������� �����#�$#������������$�#����������%�&������������������!������#�'� ���������2#�����������3������-'��#����� �������� �����#�$#�������������$�#��������������%�&������������ ������ ������%�&��������������#��*:(J�����#'���2��3�-���#�

Page 11: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

�������� ����� �� �� �� ���������

ANSWERS TO VIVA QUESTIONS

�� 6��� �� � �� ����� .��� �� �� ��� �� ���#� �������� �� � 4 �� � �� ���� .� � �� � � ��� ���

ANSWERS TO QUIZ/ORAL TESTING

�� ���/���/��� �)����#���������#��#����' �#�� ��� ��� ������ ��� ��� ��� � �����#����#�'�P�#��

�� 2����3����2�����!3������������� ������ .��� �%�&�����24��)3�����%�&�����2)��<3�� �%�&� ����%�&�� �� �) ����� �)��� *���#���������� 2�3�9#� 2��3 �%�&�

2���3��%�&� 2� 3 2)��)3

2 3����� 2 �3 #���2 ��3�$�#��������%�&��� ���2 ���3�$�#��������%�&������2��3�2����3

ANSWERS TO VISUAL ROUNDCROSSWORD/PUZZLE

��

2���3�L�����������Q�����2� 3�L������J�����������#��$������#�����#��

� ��������������

Page 12: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

�� ��������������

����������� �

��������������� ���� ����� �������

����������������

�� -�'� ��� ��+����� ������ ��� �� $�#����%���#�'����,)R�∠* / ∠: ��,)R⇒ ∠: ��,)R � ∠*

��,)R � �))R �,)R�

�� .��� 6� �� $�#�������#�'�� ��'� ��� �� $�#� ��

��+��������������,)R�∴ ∠*�/�∠J ��,)R⇒ ∠* ��,)R � ��)R

��)R�

�� 6�||���*:(J��*(� �:J 2=��3⇒ Δ*J: ≅ Δ:(* 2:��---3

N� *: �*: 2(�''�3*J �:(:J �*( 29$$������������

$�#�������#�'��#�������3O⇒ ∠J*: ∠(:* ���2�3�2(�(�3

:��� ∠J*: /�∠(:*� ��,)R ���2��3⇒ ∠J*: �∠(:*� �<)R2"����<)R3

D#�'�2�3����2��3⇒ ��#�������#�'�������������<)R��#��������

�� *��� ���#� ����� �#�� ������ ��� �� �� �#��' ���-���$�#�������#�'�������������<)R��#��������L��' ��� ��� #�������� ���� �������#��#'�������#��

�� *�����������$�#�����$$���������������#�$�P�'���$�#������

�� .�� 5�� ∠K ��� ∠L ����� ∠- 4�>����

�)R�/����/����/�4� ���)R⇒ ���� ��))R ⇒��� ��1R∴ ∠-� �4� ��41R

� 6� ���� ���� ���#��� L- || M��� *�� �����#�$�#���$�#������8������������$�#���$�#������

��� ���� ��+��� ���#�� �����������#����#����$�#%�������#�'����#��' ���

��� �#����� D������� 6�� ���� $�#�� ��� �$$������ ����� ��� �

����#����#����#���������������'���� ���$�#�������#�'����������#����#���'�� ��#���������#��' ����#�����#��

����������� ����� ����� ������� ��������

�� *: ��*J⇒ �*� ��*J� 2��*�� �:�3⇒ *� �*J⇒ ∠� �∠� ����2�3

Page 13: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

���� ����������

-'��#��� ∠! �∠1 ���2��3

.����2∠� / ∠� / ∠�3 / 2∠! / ∠1 / ∠�3 ��,)R�/��,)R 2*-�3

⇒ ∠��/�∠��/��∠��/��∠1� ���)R

NM���2�3����2��3O

⇒ ��2∠� / ∠13 ��)R � �,)R ��,)R

2��∠��/�∠�� ��,)R3⇒ ∠� / ∠1 �<)R ��� 2���3D�#���#� ∠� / ∠1 / ∠4� ��,)R

2*����������$�����������'��������������3

⇒ ∠4 ��,)R���<)R���NM���2���3O⇒ ∠(�J �<)R�

�� -��� ���� �������� ��� �� $�#�������#�' ����� ����� ����#�� ���#���#��� 9� �� ���'�%$������*(����:J�

∴ 9(� � ��*(� � �

�0����,��'� ���!��'�

���9J� � ��:J� � �

��0�4����'� ���,��'�

�� 5��� ��� �� ||�*:����$������ ��#�����"���'�����:J��=�6�Δ*:J��"� �� ����'�%$������*J���"=�||�*:�

∴ =�������'�%$������:J�2(���#������S�%$�������#�'3

���� || *:����*: || (J�∴ � � �� || (J�6�Δ:(J��=�������'�%$������:J���=D || J(

D�������'�%$������:(��� ��/���/�∠:(J�/�∠:*J� ���)R

2*-����#�����#����#��3

⇒ � / � / �,)R � � / �,)R � ��)R⇒ � � � � � �� / �� ��/��

�� 2�3��#�� 2��3�D������ 2�3�D���� 2��3�D������ ����������� 2�3�D������2��3��#���2���3�D�����2� 3��#��� -����$$����������������$�#�������#�'

�#�������∴ 1� � �) �4) ��!�⇒� <�� �<)��⇒ � �)R-������������������#�

21 0 �) � �)3R �)R�4)R�� ! 0 �)R� �)R�����,)R����)R� ��1)R8��������#���#����������#���)R���1)R��)R���1)R�

��� �2�3��#�� ���2��3��#�� 2���3��#��2� 3�D����

��� ������� *� ����#����#��� *:(J� ���∠* / ∠(� ��,)R�� �������∠: / ∠J� ��,)R�������6�����#����#���*:(J�

∠*�/�∠(�/�∠:�/�∠J ���)R2*-�����������#����#��3

⇒ �,)R�/�∠:�/�∠J ���)R⇒ ∠:�/�∠J ��,)R�

����������� ����� ����� ������� ����� ����

�� *:(J�����#�������⇒ *(� �:J�����2J������������#�������

��������#����������� ��������������#3

⇒ ��*(� � �

�:J ⇒ 9*� �9J

⇒ ∠9J*� �∠9*J ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �2���3

6�Δ9*J���/���/�∠*9J ��,)R 2*-�3

⇒ ���/�!)R ��,)R2� ∠*9J� �∠:9(�

��#��������$$����������3

⇒ � �TBH GH

E� �

�⇒ �� �4)R�

����� ∠9*J �4)R�

Page 14: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

�� ��������������

�� 2�3����#��������2��3�#��' ��2���3�#��' ������ 2� 3�����#�2 3�������������� 2 �3 �����

�� 2�3�*:(J� �� �� $�#�������#�'��J�����*(� ������∠*�

∠:*( �∠J*( 2=��3����2�38�#�� ∠:(* �∠J*( ���2��3

2��#��������#���������3D#�'�2�3����2��3��∠:*(� �∠:(*�*���� ∠:*( �∠J(*�2*���#���������3⇒ ∠:(* �∠J(*�⇒�*(� ������∠(2��3 :( �*:�

2-�����$$�������������������������#������#�������3

D�#���#� *: �(J:( �*J

29$$����������������$�#�������#�'3

⇒ *: :( (J *J⇒ *:(J�����#��' ���

�� ��*:(J�����$�#�������#�'�∴ *J || :(.����*J || :(����*�����#����#���*����#���������'����*������∠J*�� �∠*�: ���2�3�2*���#���������3∠J*�� �∠�*: ��������2*�� ������∠*3D#�'�2�3����2��3��������

∠�*: �∠*�:⇒ :� �*:

2-�����$$������������������������3

⇒12:( �*:��⇒��:(� ��*:

⇒ �� *J ��*:� 2� :(� �*J3

�� Given: In a ΔABC, BE and AD are themedians, DF || BE.

To prove: CF = 14

AC.

Proof: In ΔBEC, DF isa line through the mid-point of BC and parallelto BE intersecting CEat F.

Therefore, F is the mid-point of CE.[... Because the line drawn through the mid-

point of one side of a triangle and parallelto another side bisects the third side]

Now, F is the mid-point of CE,

⇒ CF = 12

CE ⇒ CF = 12

���

�� �� �� �

T

U V� ��� �V�W�V� � XYI UY XYE

�� � �� =

⇒ CF = 14

AC.

6. Given: (i) In a ||gm

ABCD, through B,BR || DP, meetingDC at Q and ADproduced at R.To prove: (i) AR =2BC (ii) BR = 2BQ.

Proof: ConsiderΔARB. In ΔARB, P is the mid-point of ABand PD || BR. [Given]... D is the mid-point of AR.

[A line segment passing through mid-pointof side of a triangle parallel to the other

bisects the third side]∴ AR = 2AD⇒ AR = 2BC

[... ABCD is a ||gm ∴ AD = BC]Now, ABCD is a ||gm

⇒ DC || AB ⇒ DQ || ABThus, in ΔRAB, D is the mid-point of ARand DQ || AB... Q is the mid-point of RB.

[A line segment through the mid-point ofside of a triangle, parallel to the other,

bisects the third side]∴ BR = 2BQ.

7. Try yourself8. Given: ABCD is a

trapezium inwhich AB || DCand EF || AB.

Page 15: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

���� ����������

To prove: EF = 12

(AB + DC).

Construction: Join AC meeting EF in H.Proof: AB || DC and EF || AB⇒ AB || EF || DCIn ΔADC, E is the mid-point of AD andEH || DC.... H is the mid-point of AC,

∴ EH = 12

DC ...(i)

Similarly, in ΔACB, HF || AB, H and F arethe mid-points of AC and BC respectively.

∴ HF = 12

AB ...(ii)

Adding (i) and (ii), we get

EH + HF = 12

(AB + DC), i.e.,

EF = 12

(AB + DC).

9. Given: In a ΔABC, linesare drawn parallel to thesides of a triangle thro-ugh A, B, C meeting atP, Q, R.

To prove: Perimeter of ΔPQR = 2 (Perimeter of ΔABC).Proof: Since BC || AQ and AB || CQ,∴ ABCQ is a parallelogram.Hence, AQ = BC ...(i)Similarly, RBCA is a parallelogram.∴ RA = BC ...(ii)Adding (i) and (ii),2BC = RA + AQ = RQ, i.e.,QR = 2BCSimilarly,RP = 2AC and PQ = 2AB∴ Perimeter of ΔPQR = RQ + PQ + PR

= 2 (Perimeter of ΔABC).10. Try yourself11. 9: �9( 2=��3

∠� �∠��27�#��������$$����������3∠� �∠! 2*���#������#�#������3

⇒ Δ9K: ���Δ9�( 2*-*3⇒���29K:3� ���29�(3.�����2*:(J3 ���2*K9(J3�/���29K:3

�������� ���2*K9(J3�/���29�(3�������� ���2*K�J3

�������������������� �������1. 2�3�6�ΔJ*(��-����L��#������'�%$���

������������J*����J(�#��$��������

⇒ -L || *(����-L� �12*(

2S�%$�������#�'32��36�Δ:*(���������

�K�|| *(�����K� �12*(�

;��������K� �-L��� � �� �� �

1Each is AC

2

�����2���3;�������$#������2�3����2��3�����

�K || *(��-L || *( ⇒��K�|| -L ���2�3

2"����$�#���������*(3

*������K� � ��*(

-L� ���*(�⇒ �K� �-L ���2��3

D#�'�2�3����2��3�⇒��KL-�����$�#�������#�'�

�� 2�3���#�����S��'�%$������*:������#������ || :(������#������*(����J�⇒ J�������'�%$������*(�

�����2��3�*��SJ || :(����*(����#����#����

∠*JS� �∠*(:� �<)R2(�##��$���������3

Page 16: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

�� ��������������

⇒ SJ�⊥�*(������2���3�6�Δ(SJ����Δ*SJ�

(J �*J�∠(JS �∠*JS

2"���� �<)R3�� SJ �SJ���#���#���Δ(SJ�≅ Δ*SJ 2*-*3��������(S� �*S ���2�3 2(�(�3

*�����*S� 12*: ���2��3

2=��@�S�������'�%$������*:3D#�'�2�3����2��3�

⇒ (S �S*� ���*:�

�� 5���*:(J� ��������#��Q��*(����:J�∠*� �∠:� �∠(� �∠J� �<)R

2*��������������#�3

⇒ ΔJ*:�����#�����#�����:J�� �*J��/�*:�

2M����������#�������#�'3 �*:��/�*:� 2��� *J� �*:3 ��*:� ���2�3

2*�����������������#���#�������3-'��#����*(� ��*:� ���2��3���� :J� �*(�

⇒ :J� �*(����2���3����ND#�'�2�3����2��3O*�� *:(J� �� �� $�#�������#�'�� �����������*(����:J� ��������������#�

9*� �9(� �12*( ���2� 3

9:� �9J� �12:J ���2 3

D#�'�2���3��2� 3����2 3��������9*� �9:� �9(� �9J ���2 �3

6�Δ*9:����Δ*9J��*:� �*J9*� �9* 2(�''�39:� �9J 2�#������ ���3

⇒ Δ*9:�≅ Δ*9J2M���---����#�����#���3

∠*9:� �∠*9J ���2 ��3 2(�(�3*�����∠*9:�/�∠*9J� ��,)R ���2 ���3

25��#�$�#3⇒ ∠*9:�/�∠*9:� �∠*9J�/�∠*9J

���� � � � � � � � � ��,)RD#�'�2 ��3����2 ���3��������⇒ �∠*9:� ��∠*9J� ��,)R⇒ ∠*9:� �∠*9J� �<)R ���2��3D#�'�2���3��2 �3����2��3������ ���*(���:J� �#�� ������ ��� ����� ����� ����#� ��#����������

�� 5���������������#����#��� ��*:(J���*:� �:(� �(J� �J*�⇒��*:(J�����#��' ���6�Δ*:J����Δ(:J�*J� �J(�2=��3*:� �:(�2=��3:J� �:J�2(�''�3∴ Δ*:J ≅ Δ(:J�2---����#�����#���3⇒ ∠*J:� �∠(J:�� ∠*:J� �∠(:J 2(�(�3-'��#���∠*(J� �∠*(:����∠J*(� �∠:*(�8������������#�� ������� ����������

�� 6�#��������*:(J�

⇒ *: �(J�⇒�12*:� �

12(J

⇒ *� �JL ���2�32�����L��#������'�%$������*:����(J�#��$�������3

*��-�������'�%$������*J�*- �-J ���2��3

6�Δ*�-����ΔJL-�*� �JL ND#�'�2�3O

∠�*- �∠LJ- 2"����<)R3*- �-J ND#�'�2��3O

⇒ Δ*�- ≅ ΔJL-2-*-��#��#��������#����3

Page 17: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

���� ����������

⇒ �- �L- ���2���3�2(�(�3-'��#����������$#���������K� �LK��-�� �K�����KL� �-L ���2� 3M�����������2���3����2� 3����������������

�K �KL� �L-� �-�⇒��KL-�����#��' ���

�� Since PQRS is a parallelogram,∴ PS || QR ⇒ PL || QMThus, we havePL || QM and LM || PQ [Given]Since PQML is a parallelogram,∴ PL = QM [... Opposite sides of a

||gm are equal]Now, OP is the bisector of ∠P,∴ ∠OPQ = ∠OPL ...(i)Now, PQ || LM and transversal OPintersects them,∴ ∠OPQ = ∠POL ...(ii)

[Alternate angles]From (i) and (ii), we get ∠OPL = ∠POLThus, in ΔOPL, we have ∠OPL = ∠POL⇒ OL = PL ...(iii)

[... Opposite sides to equal angles in atriangle are equal]

Similarly, we can show as above.OM = QM ...(iv)

But PL = QM ...(v) [As proved above]So, from (iii), (iv) and (v), we get

OL = OM.7. The perpendicular

bisector LP and MP ofAD and CD respec-tively intersect at P.... P lies on theperpendicular bisectorof AD,∴ PA = PD ...(i)Again, since P lies on the perpendicularbisector of CD,Therefore, PD = PC ...(ii)Hence, from (i) and (ii), we get

PA = PC ...(iii)

In triangles PAB and PBC,PA = PC [From (iii)]PB = PB [Common]AB = BC [Given]

∴ ΔABP ≅ ΔCBP [SSS]∴ ∠ABP = ∠CBP∴ P lies on the bisector of ∠ABC.

8. Try yourself9. AS and BS are bisectors of ∠A and ∠B

respectively of a ||gm.TE

∠DAB + TE

∠ABC + ∠ASB = 180°

⇒ ∠ASB = 180° – DAB ABC2

∠ + ∠

But, ABCD is a ||gm, AD || BC and conse-quently∠DAB + ∠ABC = 180°

⇒ DAB ABC2

∠ + ∠ = 90° ⇒ �ASB = 90°

Similarly, ∠CQD = 90°Again, PD is the bisector of ∠D and AP isthe bisector of ∠A.∴ ∠APD = 90° ⇒ ∠QPS = 90°Similarly, ∠QRS = 90°Thus, each angle of PQRS is 90°.Hence, PQRS is a rectangle.

10. Given: In a ||gm

ABCD, AB isproduced to E sothat AB = BE.DE is joinedmeeting BC atO.To prove: O is mid-point of BC.Proof: Since ABCD is a parallelogram,Therefore, AB || DCNow, AB || DC and transversal BCintersects them,∴ ∠OBE = ∠OCD ...(i)

[Alternate interior angles]Now, ABCD is a parallelogram⇒ AB = DC⇒ BE = DC ...(ii) [... AB = BE (Given)]

Page 18: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

�� ��������������

Thus, in triangles BOE and COD, we have∠OBE = ∠OCD [From (i)]∠BOE = ∠COD

[Vertically opposite angles]and BE = DC [From (ii)]

����������������������������

∴ ΔBOE ≅ ΔCOD [AAS]⇒ BO = CO [CPCT]⇒ O is the mid-point of BC.⇒ ED bisects BC.

�� 2�3�5����� ����������������$#�$�#������-��� �����' �#� ��� �������� �� ���� ����������������������������������1���!�������#��$��������*���#������������������������'�����������/�1��/�!�/���� ���)R:������� ��'���� ���� ��#�#� ������ ��� ��#�$�P�'�2�#�����#����#��3�����)R�

�,� ���)R�⇒��� �CFHTB

� ��)R

∴ �� ���0��)R� ���)R1� �1�0��)R� ��))R!� �!�0��)R� �,)R�� ���0��)R� ��)R

���#���#��� �����' �#���� ���������� ���������#����)R���))R��,)R�����)R����������#��#�

2��3�L���#���#���� �FHTEH

��� �

TE

��������@���2���3�*������'�$#�$�#������������#����#���2� 3�5������#�����

�� 2�3�5�������'�%$�������*:��:(��(J���J*� �����K��L����-�#��$��������

5���*:� ������:(� �

∴�:�� �*�� �(L� �JL� �E�

���:K� �(K� �*-� �J-� �E�

6�#����Δ:�K�

�K�� �:���/�:K�� �� � � �

� � �� � � ���

⇒ �K �TE

� �� ��

-'��#������������

LK �-L� ��-� �TE

� �� ��

���#���#����K� �KL� �L-� �-�⇒ �KL-�����#��' ��2��3��������#�������#�'�2=��'��#�3�2���3�-���%#�������6����#����

� ��������������

������� � !"!� #$���" ��

�� ,)R �� �)R����<)R�#��$���������� *:� �,�!��'� �� 2�3���)R��2��3�4)R��� ��#�������#�'��� S������ ���#�������#�����#���������

�������������$�#�������#�'��#��������������� �#�������� ���#��������� ����?���

������� � #$"%& ��' ����"��

�� 2�3�D���� 2��3��#��

2���3�D���� 2� 3��#�� 2 3��#��

�� 2�3 #������� 2��3 $�#�������#�'2���3 #�����#����2� 3 ����� 2 3 �����

�� -���#� �� �#�$�P�'�� *���������#���������������������������

����#����#�������� ��<)R���#�������#���� �,R���!�R���,R���!�R�� ∠(�/�∠J� ��,)R� J��������#���������������#�� �����

���#��' ���� ��)R ��� �)R

��

Page 19: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

������� ! "������� #���� �� �����#���

���� � ��� ������������� � ���� �������� �

��������������� ���� ����� �������

����������������

�� ��2Δ*(�3� ���2Δ*:(3 ��� 2�32Δ���#������'�� ���*(���� ��������%'��$�#�������*(���:�3

.��� ��2Δ*J�3 ���2Δ*J(3�/���2Δ*(�3 ���2Δ*J(3�/���2Δ*:(3 ND#�'�2�3O

����2�*:(J3��� 6�$�#�������#�'�*:(J�

:�� ��K� �K(6�����#����#���*:�L���L || *:���:� || *L∴ :� �*L-'��#��� �K �L-����K(� �-J(��������������������2*:�L3� ���2L�K-3� ���2-K(J3

2����#�������#�'������������ ������ ��������'��$�#������3

-�����2L�K-3� �13���2*:(J3

�#�����*�K����$�#�������#�'�L�K-�#����������'�� �����K���� �����������'��$�#�������*J����:(�

∴���2*�K3� �12

��2L�K-3

�120�

13���2*:(J3� �

16

��2*:(J3�

�� ��2�KL-3 ��K�0�-5 ���2�3*�������2�KL-3 �LK�0�-S ���2��3

D#�'�2�3����2��3��������LK�0�-S ��K�0�-5

⇒ ,�0�-S ����0��2� LK� �-�� �, �'3

⇒ -S �<��'�

�� *��*D� �D:����*"� �"(� D" || :(�#�D" || :J��#�D" || J(

(�������������������2Δ*D"3 ��2Δ:JD3� ���2(J"3

���2ΔJ"D3� � ���

�4��'�

∴ ��2*"JD3 ��!��'��

�� *�� Δ*:(� ��� Δ*"(� �#�� �� ���� ��'� ����*(���� ������������'��$�#������*(����:"�

���� � � � �

Page 20: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

�� ������������ ��

∴ ��2Δ*:(3 ���2Δ*("3⇒���2Δ9*:3�/���2Δ*9(3

���2Δ9("3�/���2Δ*9(3A AAAAAA ⇒ ��2Δ9*:3 ���2Δ9("3��� Q��*"

6�Δ:J(��J"�'���

2�� "�'�%$������:(3

��2ΔJ"(3 ���2Δ:J"3� �����' ���2�36�Δ*"(��"J���'���

N��J�'�%$������*( 2=��3O��2Δ*"J3 ���2ΔJ"(3 ���2��3

D#�'�2�3����2��3���2Δ*"J3 ���2Δ:J"3� �����2Δ*"(3 ��2Δ*J"3 / ��2ΔJ"(3

������������������� ����'����������#���������������

�����#����������������#����� ��#�������#�'��*:(�����:(JK� *��*� �!��'��*-� ����'

∴ � � � ��-� � � �� �� � �1��'

-'��#�����K� �LK� �-L� �1��'

���#���#����KL-�����#��' ���

.����-K� �J(� �,��'

*�� L�� �J*� ����'

∴���2�KL-3� ���0 , 0 �� ��!��'��

��� 6�����#����������$�#�������#�'��#������� ��'�� ���� ��� ������ ���� ��'�$�#�����������������#�����������#����������������#����������$�#�������#�'�

∴���2�#����3 @ ��2$�#�������#�'3� �� @ ��

��� *��*K || -(����*- || (K�∴ *- �(K ��� 2�3

.���� �#��� ��� $�#������%�#�'��KL-

�-L�0�(K� �-L�0�-*�ND#�'�2�3O

��� 6������$�#�������#�'���#���������� ������� ������ ���� ��'�� $�#�������� ������#��#�����#��������

∴�L����������#��#���� �� @ ��

��� J���������$�#�������#�'����������������#����������������#����

����������� ����� ����� ������� ������� �

�� (��)���2Δ*:J3� ���2Δ*:(3��;��Z

������2Δ*:J3�����2Δ*9:3 ���2Δ*:(3�����2Δ*9:3�

�� (������'�������Δ*:(������������'�%$��������������*:�

⇒ ��2Δ*�(3� ���2Δ:(�3� �12���2Δ*:(3

*�� $�#�������#�'*:(J� ��� �#����*:(� �#�� �� ���� ��'� ���� *:� ��� �����������'��$�#�������*:���(J���� 2*:(J3� �� ��2Δ*:(3⇒���2*�(J3 / ��2Δ�:(3� ���2Δ*:(3

⇒���2*�(J3� ���2Δ*:(3���12���2Δ*:(3

⇒�������������� 32���2Δ*:(3

⇒ ��2Δ*:(3 �!��'��

Page 21: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

������� ! "������� #���� �� �����#���

�� ��2Δ*:J3� 12��2Δ*:(3�

2S���� ��� �� �#%��������������������#�������������#���3

A AAAAAA ⇒ � 12��

⇒ ������ )��� 2�3 �$�#������

2��3 ���##��$������������� 2�3 �D���� 2��3 �#���� ��#'���#����#��������*:"D

�� 2*: / *D3��#'���#����$�#�������#�'�*:(J

�� 2*: / *J3

6�#�����#�����*JD��*J���������$��%����

∴ *J [�*D*:�/�*J [�*:�/�*D

∴ �2*: / *J3 [��2*: / *D3∴���#'���#����*:(J

[���#'���#����*:"D�� �2�3�D���� 2��3 ��#��� 2�3��#��

2��3����������������#�������� ������������� ar( ABCD) = 248 sq. cm

ar( AEFD)

= 12 ar( ABCD)

= 124 sq. cm.11. Join BD.

ar(AXB) = TE

ar(ABD)

= TE

. TE

ar(ABCD)

= TG

× 40 = 10 sq.cm.

����������� ����� ����� ������� ����� ��� �

1. �� / �@�� / �(��)��Q��:J������#�����"D����S�6�Δ*:J����Δ"SJ�

���

��

⇒ "S ���

-'��#�����DS� ���

*#���������#�$�P�'

���0���'����$�#����������

���0�������� ���������'��� Since the mid-point of the hypotenuse

of a right triangle is equidistant fromthe vertices,∴ CA = CB = OC⇒ CA = CB = 6.5 cm ⇒ AB = 13 cm.

Now, in right-angled triangle AOB,AB2 = OB2 + OA2

⇒ 132 = OB2 + 122 ⇒ OB = 5 cm

∴ ar(Δ AOB) = TE

× OA × OB

= TE

× 12 × 5 = 30 cm2.

3. In ΔBCD, we have

BC2 = BD2 + CD2 ⇒ (17)2 = BD2 + (8)2

⇒ BD2 = 289 – 64 ⇒ BD = 15

In Δ ABD, we have BD2 = AB2 + AD2

⇒ (15)2 = (9)2 + AD2

⇒ AD2 = 225 – 81 = 144 ⇒ AD = 12

∴ ar(quad. ABCD)

= ar(Δ ABD) + ar(ΔBCD)

Page 22: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

�� ������������ ��

= TE

× 12 × 9 + TE

× 8 × 15

= 54 + 60 = 114 cm2.4. Let the perpend-

icular distance of Pfrom AB be h.Given ar(ΔPAB) = x

⇒ TE

× AB × h = x

�1

Area AB2

h� �� � �� �

� �

∴ h = EX\�

.

5. Try yourself

6. Given: A ||gm

ABCD in which P,Q, R and S arethe mid-points ofsides AB, BC, CDand DA respect-ively. PQ, QR, RSand SP are joined so that quad. PQRS is a||gm.

To prove: ar (||gm PQRS)

= TE

ar (||gm ABCD).

Construction: Join PR.Proof: AB || CD and AB = CD⇒ AP || DR and AP = DR

[... P and R are mid-points]⇒ APRD is a ||gm

Similarly, PBCR is a ||gm.Since ||gm APRD and ΔSPR are on thesame base PR and between the same ||sPR and AD,

∴ ar(ΔSPR) = TE

ar(||gm APRD) ...(i)

Similarly, ar(ΔQPR) = TE

ar(||gm PBCR)

...(ii)

Adding (i) and (ii), we get

ar(ΔSPR) + ar(ΔQPR) = TE

[ar(||gm APRD)

+ ar(||gm PBCR)]

∴ ar(||gm PQRS) = TE

ar(||gm ABCD).

7. Given: A ΔABC inwhich P and Q are themid-points of AB and ACrespectively. BQ and CPintersect each other atL.

To prove: ar(ΔBLC) = ar(quad. APLQ).Proof: In ΔABC, BQ is the median,

∴ ar(ΔBQC) = 12

ar(ΔABC) ...(i)

Again, in ΔABC, CP is the median,

∴ ar(ΔAPC) = 12

ar(ΔABC) ...(ii)

Hence, from (i) and (ii),ar(ΔBQC) = ar(ΔAPC)

Subtracting ar(ΔQLC) from both sides, weget⇒ ar(ΔBQC) – ar(ΔQLC)

= ar(ΔAPC) – ar(ΔQLC)⇒ ar(ΔBLC) = ar(quad. APLQ).

8. Given: A ||gm ABCD inwhich L and M arepoints on DC and ADrespectively.To prove: ar(ΔALB)= ar(ΔBMC).

Proof: Since ΔALBand ||gm ABCD stand on the same base ABand lie between the same parallels AB andCD, therefore,

ar(ΔALB) = TE

ar(||gm ABCD) ...(i)

Similarly, ΔCMB and || gm ABCD standon the same base BC and lie between thesame parallels BC and AD, therefore

Page 23: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

������� ! "������� #���� �� �����#���

ar(ΔBMC) = TE

ar(||gm ABCD) ...(ii)

Hence, from (i) and (ii), ar(ΔALB) =ar(ΔBMC).

9. Try yourself10. Given: Two parallelograms ABCD and

ABEF which have the same base AB andwhich are between the same parallels ABand FC.

To prove: ar(||gm ABCD) = ar(||gm ABEF).Proof: In ΔADF and ΔBCE,

AD = BC [Opposite sides of a || gm]

AF = BE [Opposite sides of a || gm]

Also, AB = DC = EF ⇒ DC = EF

⇒ DE + EC = FD + DE ⇒ CE = FD

∴ ΔADF ≅ ΔBCE [SSS]

Consequently, ar(ΔADF) = ar(ΔBCE) ...(i)

Adding, ar(quad. ABED) to both sides of(i), we get

ar(ΔADF) + ar(quad. ABED) = ar(ΔBCE)+ ar(quad. ABED)

ar(|| gm ABEF) = ar (|| gm ABCD)

Hence proved.��� ����������

�������������������� �������

�� 5��� ���� ��� �� #��' ��� ���� ����-��*(� �������������������#��' ��� �������������#����#��������

∴ 9*� ���

��

-��� ���������#�������#�'�

∴ 9: � 2 2AB – OA

� aa

22 –

4

���

∴ :J �� 0����

⇒�:J @ *(� � � � @ ����#� � @ ���� J#���*J ⊥ :(

*J���$�#$������# �����#����:(�

⇒ :J �(J� ���

���∠*J:� �∠*J(� �<)R

��2*J:3� ���2*J(3� �12��2Δ*:(3

⇒12:J�0�*J� �

12

��2Δ*:(3

6�Δ*J:�*:� �*J��/�:J�

2M����������#�������#�'3

⇒ �� �*J��/��

��� �

� �� �⇒ �����

�� �*J�

⇒ *J� �� ���

� �� �

���� ⇒ *J �

���

⇒ ��2Δ*:(3� �� ��2Δ*J:3

�� 0��0

��0�

���

� ���

� ���������

�� ��2*:(J3� ������'� ��� 2�3

5���*�� ����'����:�� �����'

Page 24: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

�� ������������ ��

5������������������$�#�������#�'���##��%$����������� ����*:� ����'M����������2�3����������� 0 � ����

D�#���#� ��2Δ*�J3� 12

� 0 �

12� 0

x1623

� �4 �'��

�� J�������'�%$������:(�⇒�*J�������'�������Δ*:(�⇒���2Δ*:(3� �����2Δ*J(3� �����2Δ*J:3⇒���2Δ*:(3� ���0�����'�� ��!��'��

*" || J:����:" || J* 2=��3⇒�K���#����#���*":J�����$�#�������#�'�2��#������$$�����������#��$�#�����3

⇒ ��2Δ*":3� ���2Δ*J:3� �����'�

⇒ ��2*":(3� ���2Δ*":3�/���2Δ*:(3 �����'��/��!��'�

�����'���� ar(ΔDPC) = ar(ΔDPQ)

... They stand on the same base DP andlie between the same parallels DP and CQ,

∴ ar(ΔDPC) + ar(ΔDPB)= ar(ΔDPQ) + ar(ΔDBP)

[Adding ar(Δ DPB) to both sides]⇒ ar(Δ BDC) = ar(Δ BPQ) ...(i)But, in Δ ABC, CD is the median

∴ ar(Δ BDC)= TE

ar(Δ ABC)

Hence, from (i), ar(Δ BPQ)

= TE

ar(Δ ABC).

6. Given: ABCD and PBQR is ��gms and AQ ��CP.Construction: Join AC and PQ.To prove: ar(ABCD) = ar(PBQR)

Proof: Since AQ �� CP (Given)

and ΔACQ and ΔAPQ are on the same baseAQ and between the same parallels.

∴ ar(ΔACQ) = ar(ΔAPQ)

⇒ ar(ΔACB) + ar(ΔABQ)

= ar(ΔABQ) + ar(ΔPBQ)

⇒ ar(ΔACB) = ar(ΔPBQ)

⇒12

ar(��gm ABCD) = 12

ar(��gm PBQR)

⇒ ar(��gm ABCD) = ar(��gm PBQR)

[... Area of triangle is half the area of aparallelogram]

7. Try yourself8. Since a diagonal of a

parallelogram divides itinto two triangles ofequal area. Therefore,diagonal AC of ||gm

ABCD divides it intotwo triangles of equalareas.

∴ ar(ΔACD) = 12

ar(||gm ABCD) ...(i)

Now, in Δs AOX and COY, we have∠AOX = ∠COY

[... Vertically opposite angles are equal]AO = CO

[... Diagonals of a ||gm bisect each other]and ∠OAX = ∠OCY

[... AB || DC and transversal AC cuts them]

Page 25: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

������� ! "������� #���� �� �����#���

∴ ΔAOX ≅ ΔCOY [ASA]

⇒ ar(ΔAOX) = ar(ΔCOY)

[By congruent area axiom]

⇒ ar(ΔAOX) + ar(quad. AOYD) = ar(ΔCOY) + ar(quad. AOYD)[Adding ar (quad. AOYD) on both sides]⇒ ar(quad. AXYD) = ar(ΔACD) ...(ii)

∴ ar(quad. AXYD) = 12

ar(||gm ABCD)

[From (i) and (ii)]9. Given: Two Δs ABC and PBC are on the

same base BC and between the sameparallel lines BC and AP.

To prove: ar(ΔABC) = ar(ΔPBC).

Construction: Through B, draw BD ||AC intersecting PA produced in D andthrough C, draw CQ || BP intersecting APproduced in Q.

Proof: Since BC || AD and BD || AC.

∴ Quadrilateral BCAD is a paralle-logram. Similarly, BCQP is a parallelo-gram. Now, parallelograms BCAD andBCQP stand on the same base BC andbetween the same parallels BC and DQ.∴ar(||gm BCAD) = ar(||gm BCQP) ...(i)

We know that a diagonal of a parallelo-gram divides it into two triangles of equalarea.

∴ ar(ΔABC) = 12

ar(||gm BCAD)

and ar(ΔBPC) = 12

ar(||gm BCQP)

Hence from (i), 2ar(ΔABC) = 2ar(ΔPBC)∴ ar(ΔABC) = ar(ΔPBC).

10. ����������

�� 2�3�6�Δ*:J��:�� �J�⇒�*��������'�������Δ*:J∴��� 2Δ*:�3� ��� 2Δ*J�3 ]2�3

-'��#����Δ:(J���2Δ:(�3 ���2ΔJ(�3 ]2��3

*����2�3����2��3���������

��2Δ*:�3�/���2Δ:(�3 ���2Δ*J�3�/���2ΔJ(�3

⇒ ��2Δ*:(3 ���2Δ*J(3�2��3�*�'����������#��������������������#����������������#���2=��'��#�3�

2���3�(#������

�� 2�3�5�������$#�$#���#��������$����*:(J�D����$���"������� ����'�%$��� ��*:��Q��J"����("�

.��� +��"� ���D�� ����'�%$��� ���(J�(���#����*"DJ����":(D��#�������

��#�������#�'��������������������� ����2*"� �:"3������� ��������'��$�#������*:����(J�

����Δ*J"����Δ:("������������ ����2*"� �:"3������� ��������'��$�#������*:����(J�

��2Δ*J"3 ���2Δ:("3 ]2�3

"D�����'�������Δ(J"∴ ��2Δ"JD3 ���2Δ"(D3 ]2��3

J"�������������������*"DJ

∴ Δ*J" ��Δ"JD⇒ ��2Δ*J"3 ���2Δ"JD3 ]2���3

D#�'�#�������2�3��2��3����2���3������ ��

��2Δ*J"3 ���2Δ"JD3 ���2Δ"(D3� ���2Δ:("3

�������� ������������������

Page 26: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

�� ������������ ��

8�����������#��������#�����#�$�#���������$�����#��*J"��"JD��"(D����:("�

2��3 (���$����#�@

2�3 ��#�������#�'���������� ���������� ��������'��$�#��������#���������#���

23 �#������ �� ������ ����� ��� �� ��������'��$�#��������#���������#���

2�3 *�'����������#��������������������#��������������#���

2���3 5������#��������#��'���(���������#��$%�� ����

� ��������������

������� � !"!� #$���" ��

�� .��� �#���� ��� �������� ������� �� ��##�%�$���� ��� ���� ����

�� *#���������#����� �12� ����0���������

�� *#��������#��' ��� �12�0���0�,� ��!��'��

�� �)��'���� D��������� ������#�������'���� *��#���������������������'�#�����

<)R������� ������������#������� ,��'�� $�#�������#�'�� �� �!R���� ��R���� ��R�

������� � #$"%& ��' ����"��

�� �������#�������#���������������#����� .��� 6�������������#������������''��2���3

�����#������������������#��&��$$������� ������''�� ������������ ���#�� ����������$�#������������� ����

�� *#��������$�#�������#�'� � ����0���##��$%������������

�� ����� �#�������*:(J�����$�#�������#�'��� 4)R�� 1���'�� .��������'�������������� ��'�#�����

��)R���� ����#��

��

Page 27: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

���������

������ �

��������������� ���� ����� �������

����������������

�� ∠*9( �� 0 ∠*:(2���� ����� �� ����� �����#������������#������������������� %������ �� �� ��� ��$��� �� ���� #�'�%��$�#����������#���3

� � � � � � � � � ��0 �)R �!)R�

�� ∠*9: �0∠*(: ��0�!)R ,)R�

�� 6�ΔJ"(��∠(":������&��#�#������∴ ∠(": �∠"(J/∠"J(⇒ ��)R ��)R / ∠"J(⇒ ∠"J( ���)R�����∠:J( ���)R

∠:*( �∠:J(

2*������������'�����'���������#�����#�������3

���)R�

�� *��������'�����$$���������� ��� �� ���������#����#������,)R�

∠* / ∠( ��,)R

⇒ ∠* ��,)R�����)R

�4)R��� ∠*J( ��,)R���∠*J^′

��,)R� ,)R� ��))R*�������/�∠*J^ ��,)R

⇒ � ��,)R � �))R� �,)R-'��#��� ∠:(J ��,)R � 4)R ��)R*� � ��,)R � ��)R� �4)R�

�� ∠: / ∠J �,)R

29$$����������������������������#����#���#����$$��'���#�3

⇒ ∠J �,)R � �1R� ��1R

∠:/ ∠( �,)R 26��#�#��������������'��������������#����#����:(3

⇒ ∠( ��,)R � �1R� ���1R-'��#�����������������

∠* ��,)R�����1R� ��1R��� ∠*9: � 0 ∠*(:

2*���� �� ������ ��� �#�� ��� ���� ���#���� �� �#���� �� ��� ������ ����� �� ����� �� �� ��� ��� $��� �����#�'���$�#���������#���3⇒ ∠*9:� ��0 1)R ��))R.��� ���/�∠*9: ���)R⇒ �� ���)R����))R ���)R�

Page 28: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

�� ��������������

� ∠*9( ��,)R����!)R� �!)R

∠*J( ���

∠*9(

����0 !)R

�)R ⇒ � ��)R�

� ∠*9: / ∠*9( / ∠:9(� ���)R⇒��))R / �!)R / ∠:9(� ���)R⇒ ∠:9( ���)R:�� ∠:9( �� 0∠:*(

∴ ∠:*( �����

��)R���� .���5��� ��� �#���∠:J(�����J� �� ���

�#��������#����������#��:*(

∠:J( ���

*��*:J(��������������#����#���

� /�� ��,)R

��������/�� ���)R ���2�36�Δ:9(���/���/� � ��,)R 2*������'�$#�$�#��3

���/�� ��,)R ���2��3-� �#������������2��3��#�'��������2�3�������

������� ��,)R�������������� �<)R�

��� ∠:(9 �∠(:92�����9:� �9(3 � �

∠:9( ���0�∠:*( ���

.�����Δ:9(�∠:9( / ∠:(9 / ∠(:9� ��,)R

2*������'�$#�$�#��3⇒���� / � / �� ��,)R� � � � � � � � � ���/��� �<)R�

��� 6�Δ*:9���*9� �:92L��������'���#���3

∴ ∠*:9 �∠:*9� ��)R

∴ ∠*9: ��,)R � �)R � �)R �)R∴ ∠*9( ��,)R ��∠*9:� ��,)R � �)R

���)R

∴ ∠*J( ���0 ∠*9(� �

��0���)R� ��)R�

��� ∠:*J �,)R � �)R � 4)R 2*-�3 ,)R

∠:(J / ∠:*J� ��,)R29$$��������������������������#����#��

�#����$$��'���#�3⇒ ∠:(J ��,)R � ,)R �))R�

��� (J || *:⇒ ∠(J" �∠*:"� �41R2��(�##��$���������3

∠J(" �∠*:"� �41R2"&��#�#���������������������#����#�������������������������#�#��$$����

����3.����∠(J" / ∠J(" / ∠("J� ��,)R

2*-�3

⇒�41R / 41R / ∠("J� ��,)R⇒ ∠("J ��)R����� ∠*": ��)R�

Page 29: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

���������

∠(*:�/�∠*:(�/�∠:(* ��,)R�2*-�3⇒ ∠(*:�/��)R�/�!1R ��,)R

∠(*: ��)1R∠(*9�/�∠:*9 ��)1R6�Δ9*:��9* �9:

∠:*9 �∠*:9⇒ ∠(*9�/�!1R ��)1R⇒ ∠(*9 ��)R�

��� ∠*(: ����0�∠*9:

����0�<)R

�!1R2*������ ����������������#�� ����#�� ��� �� �#���� �� ��� ��� ���� ������ ������ �� ���� ��'�� �#�� ��� ��$��� �� ���� #�'��� $�#�� ��� ����#����3

����������� ����� ����� ������� ����� ���

�� L����&�∠�9L� �� ∠�KL ���0��))R� ��))R

∴�9 �����∠�9L � ��)R � L����&�∠�9L ���)R����))R� ���)R ���2�3

�6�Δ�9L� ∠9�L� �∠9L� ���2��32� 9�� �9L3

� � � � � � � � � � � � � �

*�����∠9�L / ∠9L� / ∠�9L� �,)R�� ⇒ ∠9�L / ∠9�L�/���)R� ��,)R�� ⇒ �∠9�L � ��,)R � ��)R

ND#�'�2�3����2��3O

⇒��∠9�L� ��� ��

�� ��)R�

�� 5�����������$�#�������#�'� ��*:(J⇒ ∠: �∠J ���2�3

29$$����������������||��3*���� ∠:�/�∠J� ��,)R ���2��3

29$$�������������������������#����#��3

D#�'�2�3����2��3���������∠: ��,)R

⇒ ∠: �<)R��#�������#�'�������#�����������#��������8�����*:(J�����#���%�����

�� ∠:*J�/�∠:(J� ��,)R ���2�329$$������������������������#����#��

*:(J3

∠:(J�/�∠:("� ��,)R25��#�$�#��&�'3

⇒ ∠:(J �,)R � ∠:(" ���2��3

D#�'���������2�3����2��3��������∠:*J/�,)R �∠:(" ��,)R⇒ ∠:(" �∠:*J�

(��*� �����+��� ∠:J(� �∠:*(

2*������������ � � ���'�����'��3

�� � � � � � � � �!1R

6�Δ:(J�∠:(J / ∠:J( / ∠J:( �,)R

⇒ ∠:(J / !1R/ �)R �,)R⇒ ∠:(J� �,)R � �)1R �41R�

�� 6�Δ*:J�∠J*:/∠*:J/∠*J: �,)R

2*������'�$#�$�#��3

⇒ �)R / 1)R / ∠*J: �,)R⇒ ∠*J:� �,)R � ��)R �4)R

Page 30: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

�� ��������������

.���� ∠*(:� �∠*J:2*������������'�����'��3

∴ ∠*(: �4)R��� 2�3�#�������2��3����'��

�� ∠*9( �∠*9:�/�∠:9( ��)R�/��)R� �<)R

∠*J( ���

∠*9(

2*������ ������ �����#�����������#������� �������������� ����� ����������$���������#�'��

$�#����������#���3

����0�<)R� �!1R�

� *��∠:����∠J��#�� �����$$�����������������������#����#���*:(J�

∠:�/�∠J ��,)R⇒ ∠: ��,)R����!)R� �!)R ���2�35������+��*(�-����∠*(:�����������������'�#���∴ *(: �<)R ���2��3.�����Δ*:(�

∠:*(�/�∠*:(�/�∠*(: ��,)R2*������'�$#�$�#��3

⇒ ∠:*(�/�!)R�/�<)R ��,)RND#�'�2�3����2��3O

⇒ ∠:*( �1)R�� ∠*� ∠J �!)R

2*������������'����'��3

�1R / !)R /�� ��,)R�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 2*-�3⇒ � �41R�

��� 2�3���)R��2��3����

��� ∠*:( / ∠*J(� ��,)R2-�'�����$$�������������

������������#����#��3 ⇒ ∠*:(� �,)R � ,1R <1R

� -���� ∠*:(� �� ��&��#�#���������Δ:(��

∴ !)R�/�∠:(� �<1R

⇒ ∠:(� �11R

∴ ∠J(K �11R

��� � � � � � � � � � � � � � � �27�9�*3

D�#���#�∠(JK ��,)R � ∠*J(

25��#�$�#3

��,)R���,1R� �<1R

.�����Δ(JK�∠(KJ�/�∠(JK�/�∠J(K� ��,)R�2*-�3

⇒ ∠(KJ�/�<1R�/�11R� ��,)R

⇒ ∠(KJ� ��)R

.����∠:(J � ��� �� ���

� � �

���� �� ��

�� � �

� ���1R

∴ ∠:*J ��,)R���∠:(J

��,)R�����1R� �11R�

��� 2�3�D�����2��3�D����

��� ∠*J: ��,)R���24)�/��13R� �41R

∴ ∠*(: �41R

������������������2*������������'�����'��3

���������������� ����� ���������������� �� *(� �� ���� ��'���#� ��

���� �#����⇒ ∠: �<)R�� ∠J �<)R2*����������'�#���3:J� �����������'���#��������#����

-'��#����∠*� �∠(� �<)R�������∠*� �∠:� �∠(� �∠J� �<)R�������*:(J�����#��������

�� 2�3 ∠�K(�/�∠�:( ��,)R29$$��������������������������#��%

��#����#����$$��'���#�3

Page 31: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

���������

⇒ ∠�K(�/�,)R ��,)R⇒ ∠�K( ��))R ���2�3:��� ∠�KJ�/�∠�K( ��,)R

N5��#�$�#��&�'O⇒ ∠�KJ�/��))R ��,)R⇒ ∠�KJ �,)R�

2��3�*����∠�KJ�/�∠�*J ��,)R

29$$��������������������������#����#��3⇒ ,)R�/�∠�*J ��,)R

⇒ ∠�*J ��))R�

D�#���#������#���∠�*J�/�∠�:(

��))R�/�,)R

����� ∠:*J�/�∠*:( ��,)R���� �� ���� ��'���� ����#�#� ������ ��*:����#����#������#�*J����:(�8���������������������*J || :(�

�� � *: �����'∴ *J �:J� ����'

9J � � ��� �

� � �� �

� FG �,��'�

�� ∠*:(� �∠*J(� �<)R

6�����#����#���*:(J�∠:�/�∠J� ��,)R

⇒ *:(J� �� �� ���������#����#���2-�������#���������#����#������#����*� :� (� J3

⇒ ∠(*J� �∠(:J�

2*������������'�����'��3�� 6�����������#����#����KL-�

∠L�/�∠� ��,)R�29$$����������3

��/��� ��,)R⇒ !� ��,)R⇒ � �!1R∴ �� ���1R-'��#��� � ��)R*� 1� ��1)R8���� ∠� ���1R��∠K� ��)R��∠L� �!1R�

������ ∠- ��1)R��� 5������+��9��

�� ���� �#��^�� �� ����∠^9������������#����∠^_�� ��� �� $��� _� ����� #�'��� $�#�� ������ �#����∴ ∠^9� ��∠^_� ]2�3-'��#��� ∠�9_ ��∠�^_ ]2��3*����2�3����2��3���������

∠^9��/�∠�9_ ��∠^_��/��∠�^_⇒ � �∠^9_ ��N∠^_��/�∠�^_O

�� 2�3�6�Δ*9(�� *9 �9(

NL������������'���#���O∴ ∠9*( �∠9(*

N*������$$��������������������#������O

⇒ ∠9*( �1)`∴ "&��#�#�∠(9: �1)`�/�1)`� ��))`�.���������#��:(����� �����∠:9(����������#�����∠:J(��������#�'��$�#�� ��� ���� �#����

∴ ∠:J( �1

2∠:9(�⇒ �� � 1

22�))`3� �1)`

����� � �1)`

2��3���∠:J(� �∠:*(

N*����� � ������'�����'��O∴�∠:J(� �!)`.���� �Δ:J(���������∠:J(�/�∠(:J�/�∠:(J� ��,)`∴ !)`� /� ,)`� /� � ��,)`⇒ ��)`�/�� ��,)`⇒ � ��,)`�����)`� ��)`����� � ��)`

� ����������

Page 32: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

�� ��������������

� ;���������#��' ��*:(J��������������������� *(� ��:J���#��������9���?��*:������'%���#�� �� �#���� ��#����5�������#���K� �� *J� ��� L-� �*:�� ���� $������#����� 9�� ��� K�� L���-��#������'�%$�������J(��*:��*J���:(�#��$����������*�����������������#��' ����#��������∴ *: �J(

⇒ TE*: � 1

2J(� �⇒�*K� �J�

⇒ :K �J��⇒�*K� �:KN��K�������'�%$������*:O ���2�3-'��#��� L*� �-:�⇒�L*� �K9N��K����#���$�#���������*JO ]2��3D#�'�2�3����2��3���������

K* �K:� �K9�����*��#�����#�������K�������#������$������#�����*��:����9������������#����$��������#���������$�������#������293����������������������#��' ���*:(J�

��� ����������

D

R

A

C

S

B

P

Q

O

�������������������� �������

�� *:(J������#�$�P�'�����������*: || J(���*J� �:(�J#���$�#$������#��J5����(S���*:�#�'�J����(�#��$��������6�Δ*5J����Δ:S(�

∠*5J �∠:S( �<)R

*J �:(2=��3

�� J5� �(S2��#$������#��������� �����

$�#�������*:����(J3⇒ Δ*5J�≅ Δ:S(

2L8-����#�����#���3⇒ ∠�� �∠�⇒ ∠��/�∠5J( �∠��/�∠S(J

N� ∠5J(� �∠S(J�� ����<)RO⇒ ∠J �∠( ���2�3*������ � � � � � � � �*: || (J⇒ ∠*�/�∠J ��,)R ���2��3D#�'�2�3����2��3��∠*�/�∠( ��,)R*���� ∠* / ∠: / ∠( / ∠J ���)R⇒ �,)R�/�∠:�/�∠J� ���)R⇒ ∠:�/�∠J ��,)R8����� ���� �#�$�P�'�*:(J� ���� ���������#����#���

�� ,��-)�.*)���� �#������KL����'����*:���-��KL�'�����(J����5�

�������6��#������KJ5����K:-�∠� �∠!

2����KL������� �����#����∠K3�� ∠KJ5 �∠K:-2����*��&��#�#������ ��� �� ������ ����#%����#����������������#�#��$$������3

∴ ∠��/�∠KJ5 �∠!�/�∠K:-⇒ �,)R���∠J5K ��,)R���∠K-:

2��� ∠��/�∠KJ5�/�∠J5K� ��,)R3⇒ ∠J5K �∠K-:⇒ ∠�5L �∠K-:

N��� ∠�5L� �∠J5K��27�#�������$$����������3O

⇒ ∠�5L� �∠K-�� �∠L-�� �∠�-L���2�3

6��#�������L5�����L-� ∠�� �∠�

2��� ��L������� �����#����∠�3���∠�5L� �∠�-L ND#�'�2�3O

Page 33: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

���������

9�������∠��/�∠�5L� �∠��/�∠�-L⇒ �,)R���∠�L5� ��,)R���∠�L-

2��� ∠��/�∠�5L�/�∠�L5� ��,)R���∠��/�∠�-L�/�∠�L-� ��,)R3

⇒ ∠�L5 �∠�L-∴ ∠�L5�/�∠�L-� ��,)R

2-5�������#�������3⇒ �∠�L5 ��,)R⇒ ∠�L5 �<)R�⇒ ∠�LK� �<)R8�����∠�LK� �∠�L-� �<)R�

�� J#���9S�⊥�*:����9.�⊥�(J

⇒ *S � ���*:� �

��0�,� �!��'

���(. ���0�(J

���0��

����'�

S. ����' 2=��35���9S ��� �'

6 Δ9S*� �� *S� / 9S� 2!3� / �� ���2�3

6�Δ9.(�9(� (.� / 9.�

2�3� /�2� / �3� ���2��3.��� 9* �9(

2L������������'���#���3⇒ 9*� �9(�

⇒ �!��/��� ����/ 2� / �3�

⇒����/��� �<�/����/���/���⇒ ��� � �) ���� ⇒ ��� ��⇒ � ����'�∴�L�������������#���

���������� � 9*� � ��� ��� � � �� ��

� � � � � � � � � � � Ea � �1��'�

�� 5��� ���� ������� �#�����������#���(���� (�� ��#%��������������#���*����:�

Q��(�(���*:��(�*��(�*��(�:����(�:�

6�Δ(�*(�����Δ(�:(��

(�* �(�: 2L������������'���#���3

(�* �(�: 2L������������'���#���3

(�(� �(�(� 2(�''�3

M���---����#�����#������������Δ(�*(� ≅�Δ(�:(�

⇒ ∠*(�(� �∠:(�(� ���2�3�2(�(�3��� ∠*(�(� �∠:(�(� ���2��3�2(�(�3.�����Δ(�*S����Δ(�:S�

(�* �(�:2L������������'���#���3

∠*(�S �∠:(�S ND#�'�2�3O(�S �(�S 2(�''�3

⇒ Δ(�*S ≅ Δ(�:S2-*-����#����3

.���� ��(�(����������*S �:S

��� ∠(�S* �∠(�S:*�����∠(�S*�/�∠(�S:� ��,)R⇒ *S �:S��� ∠(�S* �∠(�S:� �<)R⇒�(�S���#���� �����#�������#��*:��� �'��#���� (�S� �� #���� �����#� �����#��*:�⇒�(�(����$�#$������#� �����#���������''�����#��*:�

�� ������������ ;�������������������#����#����5�����

+�� *(� ��� :J�� -���� ������ � �����'�����'����#��������∴ ∠*(: �∠*J: ]2�3�� ∠:*( �∠:J( ]2��3*����2�3����2��3���������

∠*(:�/�∠:*( �∠*J:�/�∠:J(⇒ ∠*(:�/�∠:*( �∠*J(

Page 34: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

�� ��������������

*����∠*:(���� �����������������∠*(:�/�∠:*(�/�∠*:(

�∠*J(�/�∠*:(:����∠*(:�/�∠:*(�/�∠*:(� ��,)`N-�'���� �������������Δ*:(� ��,)`O∴ �∠*J(�/�∠*:( ��,)`⇒ ∠:�/�∠J ��,)`-���∠*�/�∠:�/�∠(�/�∠J� ���)`⇒ ∠*�/�∠( ���)`����,)`� ��,)`

������ � � � � � � � ���� ���

� � � � ���� � � � ��

�� ;�� ����� ���� ��#������ �#����� ������#������9����9�� #��$��������5��� �K� �� ���� ��''�� ���#��

4 cmxL

(4 – x)O O¢

P

Q

5cm

3cm

�� � 6� ���� ��#������ �#������ ���� ��+��� ���#� ���#��� �� $�#$������# �����#� ��� ���� ��''�� ���#��∴ ∠95� �∠9�5�� � <)`

�5 ��K.��� � #����Δ95����5�� /�95� �9��

⇒ �5�� /� 2!� ���3� �1�

⇒ �5� �1�� �� 2!����3�

⇒ �5� ��1�����������/�,�⇒ �5� � <� �� ��� /� ,� ���2�3*���� �Δ9�5��

�5�� � ��� �� �� � <� ���� ���2��3D#�'�2�3����2��3���������

<� �� ��� /� ,� � <� ����

⇒ ,� � )�⇒� �� � )⇒� � 5� ���9�� ������∴��K�������'���#���������'����#��#����⇒ �5 ��� �'�:����5� �5K∴ 5K � �� �'∴ �K ��5�/�5K� ����'�/����'� �� �'����������#���#������������������''%�� ���#�� � �� �'�

� Try yourself

9. Given: An equila-teral triangle ABC inwhich D, E and F arethe mid-points of sidesBC, CA and AB respec-tively.To Prove: The centroid and circumcentreare coincident.Construction: Draw medians AD, BEand CF.Proof: Let G be the centroid of ΔABC.In triangles BEC and BFC, we have

12

AB = 12

AC � BF = CE

and ∠B = ∠C = 60°BC = BC

∴ ΔBEC ≅ ΔCFB [SAS]� BE = CF ...(i)Similarly, we can prove

CF = AD ...(ii)From (i) and (ii), we get

AD = BE = CF

23

AD = 23

BE = 23

CF

� GA = GB = GC[Centroid divides each median in the

ratio 2 : 1]� G is equidistant from the vertices A, Band C.� G is the circumcentre of ΔABCHence, the centroid and circumcentre arecoincident.

10. Here, AB = AC = 6 cm. So the bisector of∠BAC passes through the centre O.� OA is the bisectorof ∠BAC.Therefore, it dividesBC in the ratio 6 : 6 =1 : 1, i.e., L is the mid-point of BC.Now, L is the mid-point of BC� OL ⊥ BC

Page 35: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

���������

36 − AL2 = 25 −(5 − AL)2

10 AL = 36 � AL = 3.6Putting the value of AL in (i), we getBL2 = 36 − (3.6)2 = 36 − 12.96

BL = 36 12 96− . = 23 04. = 4.8 cm

Hence, BC = 2 BL = 2 � 4.8 cm = 9.6 cm.

In right triangle ABL, we have

BL2 = 36 − AL2 ...(i)In right triangle OBL, we have

BL2 = 25 − (5 − AL)2 ...(ii)From (i) and (ii), we get

�������� �� ����� ���� �������

�� 2�3� 5��� ���� ��������#��� ��*:����*(������������� 2�#���3�������#��9Q��:(��:9��(9���*9�� *9� ��#�����:(����S;��������������#'���������������:(�6�Δ*9:����Δ*9(�

*: �*(� �����':9 �(9� ��)��'*9 �*9 2(�''�3

∴ Δ*9: ��*9( 2---��&�'3⇒ ∠:*9 �∠(*9 ]2�3�2(�(�36�Δ*:S����Δ*(S�

*: �*(� �����'∠:*S �∠(*S ND#�'�2�3O

*S �*S 2(�''�3∴ Δ*:S � Δ*(S 2-*-��&�'3⇒ :S �(S 2(�(�3⇒ ∠:S9 �∠(S9 ]2��3�2(�(�3:S(�������#�������∴�∠:S*�/�∠(S*� ��,)R ]2���3D#�'�2��3����2���3��∠:S*� �∠(S*� �<)R⇒ ∠:S9 �<)R6�#�����#�����:S9�

:S� ��)����S9� ]2� 36�#�����#�����:S*�

:S� �������*S� ]2 3D#�'�2� 3����2 3�

�))���S9� ��!!���*S�

⇒ �))���2*9���*S3� ��!!���*S�

⇒ *S����2�)���*S3� �!!��������2��*9� ��)��'3

⇒��2*S�/��)���*S3�2*S����)�/�*S3� �!!⇒ �)�0�2�*S����)3 �!!⇒ �*S ��)�/�!�!⇒ *S �4��6�Δ:S*�

�:S� � � �TE bcE� dEcTF � �<��

�:(� ��:S� ���0�<��� ��<��8����������������������#���#������#����<����'�2��3�---����-*-��&�'��������#��������#�����>�����������#�������#�'�2���3�5������#�����#������#���'

�� 2�3�Q��9*��9-����9J�

∠*9-� �∠-9J� �∠*9J� �θ�2���32��� *-� �-J� �*J3

⇒ θ�/�θ�/�θ� ���)R2*���������������#����������#���3

⇒ ����������θ ���)R ⇒ θ� ���)R

*9� $#������� '����� -J� ��� S� ��� ����#���� ��� .�� 8�#�� 9S� ⊥� -J� ��� S� �'�%$������-J������-S� ������ ����� Δ�-.� ������∠-9.� � �)R���9-� �9.�

∠9-. �∠9.-� ��)R

Δ9-.����������#���S���'�%$������9.�

9S ��)�'�

Page 36: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

�� ��������������

6�Δ9SJ�� ���������#�������#�'��� �2�)3����2�)3�� ��))

⇒ � ��) 3 '�

��� -J ���� ��) 3 '�

����� *- �*J� �-J� ��) 3 '�

8����� ���� ��������� ������#���������

$�������) 3'�2��3� :�����#� ��� �� ����� '���� �� ���#��� ��� ���� ���#�� ��� �� �#����� �����������##��$�������#�����#���������2���3�6���������(#���������������

� ��������������

������� � !"!� #$���" ��

�� ��������� �� ������ �� ���� ���� #����#����#�'��������$����������#������������#���������������#'��� �����#�����������#����������#����

�� *�:��������������#'��� �����#��*:������#�'���$�#����������#����

�� D�������������������'�+�#����'������#'��� �� '�#� �#��� ������ ���#��'����#��������������,)R�

���#���#���������'�+�#����'���e�12

0��,)R��������<)R��� ∠*9:� �1)R��� �#���

�� *�������'���������������$����������#��'��#����������#������?��������#��������#����

�� J�'���#�������#����� !��'�

� '�#��������� �)��'�

������� � #$"%& ��' ����"��

�� (#����������������������������$������$����������#������������#�'������$����������'��$����

�� �����#���������������#����#�����#%����

�� "��������#����� �������������������������#��

�� *������'�%$����� 9�������������� *���������#����������#������ *��������������#������� �����������

�� ������ �� �� ��� ��� $��� �� ���#�'���$�#����������#����

� *������������'�����'����#��������9#�����������������#�������'����#���$$��'���#��

� <)R��� �,)R

��

Page 37: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

��� �������� ��

��� ������� �

��������������� ���� ����� �������

����������������

�� -������'����������������������#�������#����#�����������#����������#���#���Δ*:(�

��*:�/�*(�[�:(��� *���� ��L��∠^�L� ��)R

:����K� �KL

�� ∴ ∠^�_ ���

∠^�L

���0��)R

��)R�

�� ∠^�_ �<)R⇒ ∠^�5�/�∠5�_� �<)R

�� ∴ ∠^�5 �dHE�

� �!1R ���2�3

2� ∠5�_� �∠^�53-����∠5�_��� ������� ���S

∴ ∠5�S ���∠5�_

��0 !1R

���� ���2��3

*������������2�3����2��3��������

∠^�5�/�∠5�S� �!1R�/��

����

⇒ ∠^�S � ����

��

�� �����=���

:J �*:�/�*(⇒ *:�/�*J �*:�/�*(⇒ *J �*(�

�� ∠:*� ���)R

∠^*� ��)R

∠_*� ���

∠^*�

��2� *_� ������∠^*�3

���0��)R� ��)R

.��� ∠(*� ���

∠_*�

2� ∠(*_� �∠(*�3

���0��)R� ��1R�

8���� ∠:*(� �∠:*��/�∠(*� ���)R�/��1R� ���1R�

�� ∠:*^ ��)R

*�� ����

������� �����#���� ��� �∠:*� �<)R∠^*� �∠:*����∠:*^

�<)R����)R� ��)R

*�� ����

������� �����#����∠^*��

∠(*^ ���

∠^*�

���0��)R

��1R.��� ∠:*( �∠:*^�/�∠(*^

��)R /��1R �41R�

�� �*� :S �5S� �(�� �^�� �L�∠(:* �∠:(*� ��)R

Page 38: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

�� ������������ ��

.�����Δ*:(�∠*�/�∠:�/�∠( ��,)R 2*-�3

�� 6� ���� ���#�� ��� ����#����� ����KL��5�������$�#$������#� �����#����-L�

���#���#������$�������5������������#�'�-����L�∴ �-� ��L�

��

5���SK�������#���#���#���� �����#�

�� � � $�� �� ����$�#$������#� �����#���=^

∴�=� �^��2*��$���������$�#$�%�����#� �����#������������'����

����������#�'�������$���3

⇒ ∠*�/��)R�/��)R ��,)R⇒ ∠* ��)R���#���#���*:� �:(� �(*⇒ Δ*:(������������#����#�����

� ����� �����e����� ���� .�

����������� ����� ����� ������� ��������

⇒ ∠�=^� �∠�^=� ��1R

2*������$$������������������������#������#�������3

∠^�_� �∠�=^�/�∠�^=

2"&��#�#������������#���������������������'���������#�#��$$����������3

�1R�/��1R� ��)R�

-'��#����_�����$���������$�#$��%����#� �����#����^8�

����� _^ �_8

⇒ ∠_^8 �∠_8^� �!1R

⇒ ∠^_� �∠_^8�/�∠_8^� �<)R�

�� ;����������#������������� �� 12R�������

����$���*��������#���*:�

∠:*(� ��� 12R�

�� ;�� ���� ����#���� �� ����� ��� ��1R� ����������$���*��������#���*:�

Page 39: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

��� �������� ��

∠:*( ���1R

��

�� ����������

��� D���������!��1R� �TE 0�,1R����,1R�����

������#������������'$����

��� D��������∠:�/�∠(�[��,)R

��� ;�� ���� ����#���� �� !1R� ����� ��� �������$���*��������#���*:�

�)��- �� *��-)�.*)����

�� D#������������������#����∠:*(� ��)R�

�� ;���#��� �����#�*J����∠:*(�

-����������∠:*J� �∠J*(� ��)R�

�� .��������#��� �����#�*"����∠(*J�

-��������� ∠J*"� �∠(*"� ��1R�

∠:*" �∠:*J�/�∠J*"

��)R�/��1R� �!1R�

∠:*"�������#���#�����������!1R�

�*���#������

S�?������������<)R���� �����������������������!1R�

����������� ����� ����� ������� ����� ����

�� 5����������������������������4��'�

�)��- �� *��-)�.*)����

���J#���:(� ���4��'

���J#�������

���������� ∠(:^� ��)R�

���J#�������

�����������∠:(�� ��)R�

!��5�������

��������

���#��������*�

1��Δ*:(���#���#����#�����

M���*������'�$#�$�#�����������∠*�/�∠:�/�∠( ��,)R

Page 40: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

�� ������������ ��

⇒ ∠*�/��)R�/��)R ��,)R��⇒ ∠*� ��)R8���������Δ*:(����������#����#�����

��

�� ����������

�� Steps of Construction:

1. We draw a ray QX andcut QR = 6 cm from it.

2. We make ∠RQY = 60° atQ.

3. We extend YQ to Y′.4. We cut QS = 2 cm from

QY′.5. We join S and R.

6. We draw the perpen-dicular bisector of SR,which intersects YY′ atP.

7. We join P and R.

Then, ΔPQR is therequired triangle.

�� ����������

�� -�$$��������#��#���#���Δ*:(����� ����:(� �4�1��'��∠(� �!1R����*(���:*� ���1��'�

Page 41: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

��� �������� ��

��

Page 42: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

�� ������������ ��

� ����������� 9���������������������#�������<)R�

-�$$�������������������#������#���%�������#�����*:(�����∠(� �<)R�*(� ���1��'��*:�/�:(� �1�1��'�

���

�������������������� ���������

Δ*:(���#���#����#�����

Page 43: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

��� �������� ��

�)��- �� *��-)�.*)������ ;���#�����������'����K��������������'��� ;��'�?��∠^�K �)R����∠�K� 41R���������K�#��$���������� ;�� ���������������� ���������$����-�$$���������� �����#����#��������������#���

*�!� ;���#���$�#$������#� �����#��������'����*�����*K��-�$$���������� �����#�

'�����K����:����(�#��$��������1� ;��+��*:����*(�

������ �����Δ*:(�������#���#����#������� �)��- �� *��-)�.*)����

�� ;�� �#��� �� �����'���:(� �4��'�

�� ;��'�?�����������'����#�� 41R� ��� ���$��� :� ����� ����∠(:^� �41R�

�� ;�� ���� :J� � ��� �'

�#�'�����

�!� ;��+��(J�����#��

#���� �����#� ��� ���������#�����:J���*�

1� ;��+��*(������ � ����� Δ*:(� �����#���#����#�����

�� �)��- �� *��-)�.*)������ ��?��:(� ���1��'��� (���#����∠(:^� ��)`�

�� D#�'� ������

� ���� ���� :J� � �� �'�

!� Q��J����(�1� J#��� ���� $�#$������#� �����#� ��

J(������ ��#������ ������

� ���*��� Q��*����(�

Page 44: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

�� ������������ ��

B C30°

D

A

X

6.5 cm

������*:(� �� ����#���#��� �#������� �)��- �� *��-)�.*)����

�� J#��� �� � � ��� �'�

�� J#��� ������

�� '�?�� �� ������ ��������^������������#���#�����

�� D#�'�^���������� 2��/���/�!� �<3���������������������^_�

!� S�#?�$�������K����L���^_���������

^� �������K ������KL �!����

1� Q��L���� J#��� K(� �� L�� ��� �:� �� L�� ��

��#����� ^�� ��� (� ��� :� #��$���%�����

4� ;������#��:����#�����:^���#�����#��

,� ;������#��(����#�����(����#�����#�� ��� ��#����� �����#��� ��������$�4����*�

<� Q��*:����*(������� Δ*:(� �� ���� #���#���#�����

�� �)��- �� *��-)�.*)����

�� J#����� #��� ������

�� D#�'�������

����������BC � �,��'��� (���#����∠(:�� �!1`�

!� D#�'�������

����������BD� ���1��'�1� Q��J����(��� J#����K��$�#$������#� ���%

��#����J(���������#������������

���*�4� Q��*(������� *:(� �� ���� #���#��� �#�%����

A

YQ

D

B

45°

3.5

cm

8 cm C XP

Page 45: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

��� �������� ��

�� �)��- �� *��-)�.*)����

�� J#�����������#��� X����

��� ��?��9� ��� ���#�� ������� �

���� ���#�������#�������'�#���

��������������#������OA ����:��� ��?��:�������#�����?��$�����

��'��#����������������'�#�������(�-'��#�������������'�#�������J����"�

������������� � ���� � �fU ��Q��9(���$#������

E

D C

G

F

BO A

45°

!� J������� ��������������$�#��������

������\� � ����

�1� J#���9=����������� �����#����∠D9(������ ∠:9= �!1`�������∠*9=� �!1`/.-)���*0)����

� ��� ���� � ��fU

∴ ∠:9( �∠(9J� �∠J9"N��"��������#����� �������������������������#�O-���∠:9(�/�∠(9J�/�∠J9"� ��,)`∴ ∠:9( ��)`

��OF ������� �����#����∠:9(�

∴�∠(9D� � TE

∠:9(� � TE2�)`3� ��)`�]2�3

*�����OG ������� �����#����∠(9D�

∴�∠D9=� � TE

∠(9D� � TE2�)`3� ��1`�]2��3

*����2�3����2��3�������� ∠(9D�/�∠D9= ��)`�/��1`� �!1`

��∠:9D�/�∠D9= �!1`N��∠(9D� �∠:9DO

⇒ ∠:9= �!1`�������∠*9=� �!1R�� �)��- �� *��-)�.*)����

�� J#���\Y � �����'��� (���#����∠(:�� �<)`�

�� D#�'� ������

�� ���� ���� :^� � �,� �'�

YX

12 cmB C

A

90°

P

Q

18

cm

!� Q��(^�

1� J#����K������$�#$������#� �����#���(^������� ������K�'�����:^����*�

�� Q��*(�������*:(� �� ���� #���#��� �#�����

� �������#������Δ*:(������#�������������#���� ������ ���� ���� ����� *:���*(��.��� ���� �������#���

,0-� "��*:���*(� ����� �'��)��- �� ,��-)�.*)����� J#��� �� ��� ���'��� :(� ��� �����������!� �'�

�� S�?����������:(� �!1R����������:���� ���� ���'���:(�

�� (���:K� ����� �'� �#�'�:��

!� Q�� K(� ��� �#��� $�#$������# �����#� ��� �� ��� ��#�����:�� �*�

Page 46: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

�� ������������ ��

1��Q��*(��-����� �����Δ*:(������#���#��� �#�����

,0-� ""� *(���*:� ����� �'

�)��- �� ,��-)�.*)���

�� J#��� ���� ���� ��� ���'��� :(� ��!� �'

�� S�?����������:(� �!1R����������:����:(�

�� "&�����:� �����

!� (���:K� ����� �'� �#�'�:�

1� Q�� K(� ��� �#��� $�#$������# �����#� ��� �� ��� ��#�����:�� �*�

�� Q��*(�

-���� � ����� Δ*:(� �� ���� #���#���#�����

Page 47: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

��� �������� ��

� ������������� �)��- �� *��-)�.*)����

�� J#�����#���9*��� ��?�� 9� ��� ���#�� ��� ���� ��

#������ �#��� �� ��'�#����� ���������9*����:�

�� ���$������#�������'�������������'�#���� ��� ��#��� ������ $�#��

����� ����� � � � �� � � �fU �

!� J#��� Y����

� ��� f����

� �

F

C

90°

D

EO B A

1� J#��� �����

�� ���� �����#� ���∠(9J�������∠*9D� �<)`�/.-)���*0)�������9����������#�����������'�#�������� �������������������$�#���

∴ ��� � ��� � � fU⇒ ∠:9( �∠(9J� �∠J9"N��"��������#����� ���������������

��� ���� ���#�O��∠:9(�/�∠(9J�/�∠J9"� ��,)`⇒�∠:9(�/�∠:9(�/�∠:9(� ��,)`⇒ �∠:9( ��,)R∴ ∠:9( ��)`-'��#��� ∠(9J ��)`����∠J9"� ��)`��9D� �� ���� �����#����∠(9J�

∴�∠(9D� � TE�∠(9J� � T

E2�)`3� ��)`

.����∠:9(�/�∠(9D� ��)`�/��)`⇒ �∠:9D �<)`� � �#�∠*9D� �<)`�

#��� �)��- �� ,��-)�.*)������J#�����������'���*:� �����'�2 �K / KL / L�3��� *��*�����#���������������)R�������:������������!1R��� :������������������5������� �����#�������������������#����������$�����

!� J#���$�#$������#� �����#�����*�������#�����*:����K�������:�������#�����*:����L�1� Q���K�����L�2�������#�3�������KL�������#���#����#�����

Page 48: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

�� ������������ ��

������� � !"!� #$���" ��

�� ��#��� �'����� L��� ������-���� <)R����!1R��� ������ *���������$��������#���������'�%$��

�����������'������$�#$������#�������������'�����?������$�#$������# �����#������������'���

�� ����

� ��������������

� ����� D�������� �#���

������� � #$"%& ��' ����"��

�� ��� �� ����� ��� �� ����� ��� �� .���$��� ���� ��� � .�� 5�� �� �� $�#$������#� �����#� ��� ��

���'���*:���� L���9^����������� �����#����∠�9_�

��

Page 49: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

�����!��� ����� �� � �����

������ ���� � ���� ����� �

��������������� ���� ����� �������

����������������

�� �� ���1��'���� ��)��'7���'�� 7 ��

���

0���1�0���1�0��)

� �,1��'���� (�$������������������

6�#�����'��������������#

�� ��

0 4 0 4 0 �)

!��)��'�� ��������

�� �!������

�� � � � �

�� �

���� �

��

� �

∴� �

��

��

� �

� �

� �

� �

�⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�� 0�

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

��

��

� �� �� �

0���

�����

������7� @ 7� ��) @ �4�

�� �� ��� �!��'����� �1��'�

�� � � �� � � � �� �� � ����'

7���'� ���

�� ��

π 0 !�0 �

��� π��'���� 5���#��������������� ��

5�������������2��3 ��

�������������2��3��� ���6���������������'��27�3�����������

���

�������

�

�����������'��27�3�����������

���

�� ��

π�� 0 2��3� ���

�

��#��������#��������������'�

� � �

� ��

0��))�

� �

� �� �

��

� � � �

� �

� �

0 �))�� ��))��

�� *���#� #������������ � ��� �� ���$�� ������D�#� ����� ����

� ����'���� ��)��'

∴ �7���'� ���

�

���

π 0����0��)� ���) π��'��

�� 7���'����������$��#�� ������ �

��

���� � �� �

��� �

���

�

� 5��� ���� ���� #����� ��� ������ �� ������#��$��������

���������� ������������ ��

� ��

���

� �

� �

���

�������7���'��2�����#3 @�7���'��2���3���������� �� @ ��

� �� ��44�

⇒ π��� ���,�

Page 50: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

�� ������������ ��

��������#������#�� �(�#������#������#�����/�*#�����������#���%����� ��π���/�π��

��44��/���,�� �!�1,��'����� *#���������� �����������$#�'

��#��������#�����#����

���0�,�0��1� ��)��'�

7���'���������$#�' ��#���������� ��� 0 ����� ��) 0 �)� ���))��'�

��� 5�������#���#����' �#������ ��� ��7���'��������'������ ��

�7���'�����������#����� �AA ⇒ ��0�1� ��)�

⇒ � �EHgEHgEHagaga

� ��!�

��� .�' �#���� ������

�����h� h����������h��V�

�����h� h�h������

d TT TE

HcFGC E

� �

� �� � � � �� �

d TT TE C b E E E

G EE HcF HcF HcF� � � � � � �

� � � �

�)1))���� L�����2�3���������$��#�

���0 ������������� �

���0 1��'�

7���'����������$��#�� ���

π��

���

π 0���

�� �� �� � � ���

�� �'��

��� 5�������������������� �� ������7���'� �-�#������#��

⇒ �� ����

⇒ �������� �)��⇒ ���2� ���3� �)⇒ �� �)���#��� ������� ���������� �P�#��∴ � ������∴ �7���'� ���� �������������

��� .�' �#��������

������h� h���h���V���

�����h� h�h��

��

� �� � ��

� ���

��� 5���#������������������������������ �L����5�#��$��������

����L �������5� �E�

��������#������#��� �πL���/�πL5

��π 0�2��3��/�π 2��3� �� �� �2

l

�π�2!��/��3�

����������� ����� ����� ������� ��������

�� S�&'�'��' �#�����������#����

� Y����V��hi h�����j� h���h��������h� h�h���h�����

����

�FHgEagTH

TcagTcEagHca� �

������ � �� �

� � �

�� ������

� � ���)))�

�� 5������ ������� ���=��������7�� �7��⇒ π��

����� �����

⇒ ���� 0�� ���

��0����⇒��

��

�� �

��

����� �� @ �� � @ ���� ����������

�� J�'���#�� �� ���1 '� �����

'� ���'

⇒ �� ������ � �

�'���� ����'

.������$���� ���0

��

0��

�� �� �� �

0 ��

���0

��

0���0

��0

���

Page 51: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

�����!��� ����� �� � �����

����'� �,�1�'� ��,�1 ?��

�� �� ������'7���'�����������'�$��#���� ���

���

� ���0

���0�2���3�� ��<�!)!��'�

��������$���������)� ���� ��)�0�7���'��������� ��� ��) 0 �<�!)!� ��,,�),��'��� ��,,��'���$$#�&'������

�� L��������������'�$��#�

����'� ���1��'� �

����

�'

7���'�����������'�$��#�� ��

π��

���0

��

0����

0����

0����

�,<�,��'���� J�'���#���� �!����'

⇒ � ���� � ��

�� ������'

7���'���������'������� ���

� �

� � �0

���

� 2���3���'�

� �0 ��

� ��� 0 ��� 0 ���

� �� ������ �'�� ��,�,),��'�

S����������� ���� ��,�,),�0 ,�<������� ��!1��<���2�$$#�&�3

� 8�#����� �����' ⇒ �� ����

�'

-�#������#�����������$��#�� �!π��

�! 0����0�

����

� �� �� �

�! 0���0�

ETE0

ETE ���,���'��

� ������������� � �)�4�'

(�-�*� �!�!�'�

⇒ �π� 0 � �!�!

⇒ ��0���

0���

0�� �����

⇒��

0�� ���

�⇒��� ���'�

��� ���� ����������������$������$��#��.�' �#���� ������

������h� h���h����

�����h� h�h������

��� �� ��

� �� � � �� �

� �

� � � �

��� �� �� � �

� ��� � � �

��1!��

��� 7���'����������� ���

�

5��� ��� ��� ��� �� ���� #��� ��� ���� ��������

������ �

�� � �

��⇒

��

��

��

��

∴ L�����������'�� �

��

����

� �

� �

� �

� �

��

��

��

��

�������������������������������������������� !"#

��� �� �<��'$����� %�&'π��'�

⇒��

π��0 � �!,π

�#��

�� 0�< �!,�⇒���� ����

���

⇒��� �+�!�� ��� ��� �!����������� �����⇒�J�'���#� �� �� �� 0 !� �,��'�

��� 7���'��������� ��� �2�, 0 �� 0 <3�'�

7���'������������ �������'��#������ �2�3�� ��4�'�

5��� ���� #���#����' �#���� �� ��� �����

0��4 ��,�0��� 0�<

⇒ �TB TE d

Eb� �

�TdGGEb

�4��

Page 52: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

�� ������������ ��

����������� ����� ����� ������� ����� ����

�� 2�3 �� ��)�'� 6�#���#������#������#���2�'�3

� � ��

��������

����� ���� �

������

'�� ���)�'��

2��3 ��π 0 � 0 � ���)

⇒ �� 0���

0 � 0 �) ���)

⇒ � ��� ���41�'�

2���3 (�$���� ��

��

0�(

)� �� �� �

0 �)'�

�<���1�'�� �<���1�?���� 5����� �� ����#�������� ����'������L

������#��������������#���J�'���#��������'��

���2��'���#����������#��3 2=��3

⇒ �� ���2�L3

2�� �J�'���#� ���0�#����3

⇒ �� ���L ⇒ L !#

�����h� h���h������h� h���h�����

���

���

��

����

��� ���

� ��

����

� �164

⇒� �7���'���������'�� 164

����'����

������#���

���#���#�������#���#����#�������164

�� �� ���' ��))��'�(�$���� ��1�!���#��

��1�! 0 �))) �'� �1!)) �'�

⇒ π��� ��1!))

⇒ ��

� �� 0 �)) ��1!))

⇒ �� �TaGHH bEE THH

⇒ �� �4 0 4��⇒ �� �4��'*#����������'����������

���������#������#��������� �����# ��π�2� / �3

�� 0 ���

0 4 0 24 / �))3 �'�

�!! 0 �)4��'�� �!4),��'�

�GbHBTHHHH

�'�� �)�!4),�'��

�� 5�������������� #����������������������� �� �����'����'�������'�#��$������������ ��/��/�� ��< ��� 2�3.��� ������ �����'�

⇒ � � �� � �� � ���

⇒ � � �� � �� � ���� ��� 2��3

.��� ��/��/�� ��< 2=��3⇒ 2� / / �3� �2�<3� 2-���#�3⇒� � ��� /���/��� / �2� / � / ��3� ����⇒���������������� / �2� / � / ��3� ����⇒ ������2� / � / ��3 � ���� � ��� ��!)�8�����������#������#������������ �����!)��'��

�� 7���'� ��

π��

���0

��

0 ��1 0 ��1 0 ��1

J���� �)�<�� k�'�

S��� �7���'� 0 J����

� � ����� ��� ���

� � �� � � �� �� �

�0 2)�<3

�����4����� 5���#��������������'�$��#�� ����'

7���'�����������'�$��#�� ��<!)!��'�

⇒���

π��� ��<!)!�⇒ ��0

��

0 ��� ��<!)!

⇒����� �TdGHG C b

E EE� �

�⇒ ��� �<���

Page 53: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

�����!��� ����� �� � �����

⇒ � ��� �����'.������������#������#������������'�$��#�

��� �� 0���

0 �� 0 ��

�!�1,��'��

�� L���������$��#��2��3� ��� ����'

L���������#��2��3� ���� �� ''� �)����'

5���������������������#�� ���7���'����������#�� �7���'����������$��#�

⇒ π ��� � �

π����⇒ 2)��3� � �

��2�3�

⇒ �� �� �����

���))��'�⇒ �� ����'�

� J�'���#�2�3� �4��'

⇒ � ����'���� �!��'

7���'��������$����������� ���

����

0��

�� �� �� � 0 !��'�

����

0��

0 !��'�� ��1!��'�

-��$�#���#�����#��1)�$����� ��1)�0��1!��'�

��,1))��'�� ����������

���#��

���,�1���#���� ��2�#�#����3 �����'�

L�2����#�#����3 ��!��'�� ��1��'

7���'��������� � π2L������3 0 �

�227�2�!� � ���3 0 �1

� 227�2�! � ��3 0 2�! / ��3 0 �1

��� 0 � 0 �� 0 1

���)�0���� �14�)��'�

S��� �14�)�0�)����� ��!�� �� ���!���?����� ������������� 5�������������������������#� �8

5���������''��#����� �L7���'������������������� ���0�7���'������������

⇒��

π�L� � / πL�8

�� 0��

πL� �

⇒ πL�8 ��

πL� ��⇒ 8� ����

8���������������������������#�������

��� (�$����������? �1))))���#��

���������

'� 1)�'�

:#���������������?� �����

g� �

��� ��� ���

8����� #����������'���� �� �)��1�'����� ���1�'

(�#������#������������$���#

�� � �� 0 EEb

0� �����

0 ����

'�

����

'�� �1�1�'�

(�������$��� ������1) 0�1�1 ����,�41�

��� 6����#�����2��3� �4��'�#�����#�����2��3� ��!��'6������#������#���2-�3� �!π�0�4�0�4��'�

�#�������#������#���2-�3� �!π�0��!�0��!��'�

L���#���#���� � �

��

�TG��#���@�!

�������������������� �������

�� 5������������#�������������# � ?'� ��)))�'

5������������#����������'�

EHHHFH

'

7���'���������#����������'���

Page 54: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

�� ������������ ��

2��3�� � � �� �� � � � �iTGj iGBj�

� TdF ECHG� � � EaHH � �1)��'�

2���3�(�#������#������#��� �π��

����

0 �! 0�1)� ��� 0 � 0 1)

���))��'���� D�#�����������������

�� ����'������ �,��'

∴��7���'������������� ���

�

� � � � � � � � � � � � � � � ���

π 2�3� ,� �����

�'�

5�������#�������������$��#�� ��L

������������'����������$��#�� ��

πL��

*���#����������������

�����

�'� �GC

πL����⇒� � �L�� ����

⇒ �L� ��� ⇒ �L� ��∴�J�'���#���������$��#�� ��L

���� �� 0 �� !��'��� 5���#�������������$��#�� �����'�

������#������#�����������$��#�� �!π��

�� !π�� �1!��'� 2=��3

⇒ ! 0��

0 �� ��1!

⇒ �� �� ��

� � �

⇒ � � � ��

���'�

.��������'����������$��#�

� ���0 ��'�� �

��0��

����

�� �� �� �

�'��

���0

��

0��0bE0

��� � �� �

�� �'�

� �����

�'�� ��4<23�'��

� � � � � � � � � � � � �EHHHFH

0 !) 0 � '� !)))�'��

�� 5��� ���� ������ ��� ���� �� ��� �� ��� �'�!���'����1���'�

∴ 2��3��/�2!�3��/�21�3�� �3

12 3

3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2��� J������������� �� � 3 ���� 3

⇒ �4���/��!���/���1�� ����0����0���⇒ 2�4�/��!�/���13�� ��4�,

⇒ ��� �1728216

� �,�⇒�� �13(8) � ���

8����� ������ ��� ���� ��#��� �� ��� �#�� 0 � �'�� ! 0 � �'� ��� 1 0 � �'�� ������ �'��, �'�����) �'�

�� J�'���# � ��)�1�'

⇒ � ��� �1��1 '

� �� '7���'����������� �7���'��������

TC��

��0 ��

�0�1��1 0 1��1 0 � '�

��

0���

0��

'�� �,����1�'��

*#������������ �π��

���

0��

0�

����

�� � �� �� �

'�

����0���)!��'�� ��� 0 ��)���'�

�<<�41<�'�

�� 2�3��J�'���#� ��,��'�⇒��� ��!��'7���'� �<,1���'��

⇒��

� �<,1�

⇒ ���0 ��

�0 2�!3� 0 � �<,1�

⇒ ��� ����� � �� � �

� �

� �

⇒��� �!,��'�

Page 55: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

�����!��� ����� �� � �����

�� ����������� L��������������'�$��#���� ����

L� �<��'�L�����������������#���� ������

�� �32� �'�

8�����������������#���� ��������� �!��'�7���'���������#��� �7���'�����������'�$��#���� ���

�23

πL�� �23

π�2<3���'�

� �� �23

π�0�<�0�<�0�<��'�� �!,��π �'�

7���'�����������#���� �����

��������� �π���� �π32

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

32

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

0 !� �<π �'�

∴�.�' �#���� ������

���� � � � � � �Volume of hemispherical bowlVolume of a cylindrical bottle

� � � � � � � � � �4869

ππ

�1!�

� ������������� 5��������������������������������� �

����'7���'����������� �� �7���'��������������⇒ �� ��4�0�,�0��∴ � ���0���0��� ����'-�#������#���������������

�� 2�4 0 , / , 0 � / � 0 �43 ���0��1�� �1)���'�

-�#������#������������ �� ����

���0���� ������'�

.��������#�����������������#����� �1)�������� ��,���'��

��� 5���#������������ ���� ���'8���� ����'

(#��'��#����������� ���� ����'⇒ �π� ���

⇒ � �����

� ���

� �� � ��

��� ����

�����

����'

� � � �� �� � ��

� ���

� �� � �� �

GGTEaF

TF� � GHdF GGT

TF�

� ������

� � EBCcaFEa

����,! ' 2�$$#�&�3-�#������#�������������� �π � 2� / �3

����� 0�

���

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠��

� ������

�����0����)<� ���!�!< '��2�$$#�&�3�

��� 5��� ���� #����� ��� ���� ���� �� ��� ���������� ����������� ����

�π� �EEHb

�'��⇒� � ��� �1��'

� � �����'

∴� � � �TC a� �����'

∴�7���'������������� �TC

�

��TC���

EEb�0�1�0�1�0���

�EEHHb

�'��

�� 2�3�5������ �#��� �����#���#P�����$�#���������#�������� ������� �����'��� � #������ �,�/��� �����'��� ������� ����'7���'�������#P�����$�#�� ������

����0����0��� �4����'�

��������������������������

.����������������#�������#�����$�#���� ������� �����'� � #������ ����'

�� ������� �1��'

∴�7���'�������#�����$�#��2���'��3

������� ����0���0�1� ���)��'�

Page 56: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

�� ������������ ��

���������'����������#����

�4���/���)� ��)1���'��

2��3�7���'��������� ���

2���3�6��$������(���#�������J����%����8�#���#?���M��#������

�� L�������� ��)�1� �ETE�'

-������������� ���EEb

���ETE

�������'

(�#������#������#������������$- �� ���0��� ���� ����0�����'�

7���'�����'&��#��7� �1!�!1��'�

2�3� ���� $���� �� ���� ��$� �� ������#'���������������?�����������$����������$�'���� �����#'�2������35����� ����∴ -�0�� �7⇒ ���0����0�� �1!�!1

⇒��� � aGcGaCC CC�

�aGGa

CC CC THH� �

TFaCCHH

�)�)1��'

�)�1�''�������������?�����������$����������$���)�1�''�2��3� 5��� ���� #���#��� ����'��� �� ��� ��������∴ ��/����/��� �1!�!1

⇒ � �aGcGaF

� �<�)41

∴���� ���0�<�)41� ��,��1������ ��4���1-��� ����#���#�������'����#��<�)41�'���,��1�'������4���1�'��2���3� 2�3� 7���'�� ��� �� ���#'� ����� ������� ��� $#������ ��� ��� ���� �#��� ��������23�(�#������#������#��������#�����#����#����2� 3�(���#������������������(#����#���"��#���#�

� ��������������������� � !"!� #$���" ��

1. (i) Total surface area = 2(lb + bh + hl)

(ii) Volume = lbh.

2. 104 cm2

3. (i) Total surface area = 6a2

(ii) Volume = a3, where a is the length ofedge.

4. (i) Curved surface area = 2πrh

(ii) Total surface area = 2πr(r + h)

(iii) Volume = πr2h, where r is the radiusand h its height.

5. (i) Curved surface area = πrl,

where l = �� � �

(ii) Total surface area = πr (l + r)

(iii) Volume = � �TI

C � where r is its radius,

h is height and l is slant height.

6. 54 cm3 7. 12

8. They are equal 9. 2(l + b)h

10. 6.

������� � #$"%& ��' ����"��

1. 3.14 kg.

2. 16π cm3.

3. Equal to the volume of a sphere.

4. four.

5. False, as volume = π(1)2 × 1 = π unit3.

6. True.

7. 36πr2 sq. units.

8. 1 : 2 : 3.

9. 180 cm3 (approx.).

10. 33% (approx.).��

Page 57: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

57PROBABILITY

PROBABILITY7

A. Solutions to Very Short Answer Questions

SUMMATIVE ASSESSMENT

1. Total number of numbers = 100Prime numbers between 1 and 20 are:2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. P(card is a prime less than 20)

= 8

100 =

225

.

2.No. of trials in which the event occurred

Totalnumberof trials

3. There are 4 kings out of 52 playingcards. Total no. of all possible outcomes = 52And no. of favourable outcomes = 4 P (getting a king from a well shuffleddeck of 52 cards)

= 452

= 1

13.

4. We know that the sum of the proba-bilities of occurring and non-occurring anevent is one. So, according to the question,

2x

+ 23

= 1 2x = 1 – 2

3 x = 2

3.

5. No. of red balls = 4 No. of favourable outcomes = 4

Total no. of all balls = 4 + 2 = 6

No. of all possible outcomes = 6P (getting a red ball)

= No. of favourable outcomesNo. of all possible outcomes

= 46

= 23

.

6. On throwing a die, the sample space isgiven by {1, 2, 3, 4, 5, 6}The favourable outcomes are: 2, 4, 6.P (coming up an even number)

=36

= 12

.

7. Let H denotes the head and T denotesthe tail. On tossing two coins, the samplespace is given by {HH, HT, TH, TT}The outcome of getting "head-head" isonly HH.

P (getting HH) = 14

.

8.

B. Solutions to Short Answer Questions (Type - I)

1. Number of outcomes in the sample space= 36

Possible doublets are:(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)Number of these doublets = 6

P (getting a doublet) = =16

.

2. From the given data, the frequencydistribution table is as below:

Blood Tally Frequency orgroup Marks number of students

A IIII IIII 9B IIII I 6O IIII IIII II 12

AB III 3

Total number of students = 30

Page 58: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

58 MATHEMATICS – IX

The number of students having theirblood group AB = 3.

The probability that a student, selectedat random, has his blood group

AB = = .

3. As |x|< 2, x = – 1, 0, 1

Total number of outcomes = 7

Number of favourable outcomes = 3

P (|x|< 2) = 37

.

4. From the given data, the frequencydistribution table is made as below:

Concentration ofSO2 (in ppm) Frequency

0.00-0.04 40.04-0.08 90.08-0.12 90.12-0.16 20.16-0.20 40.20-0.24 2

Total = 30

Number of days when the concentrationof level of sulphur dioxide is in theinterval 0.12-0.16 = 2. The required probability, i.e.,

P(0.12-0.16) = 230

= 115

.

5. The total number of ladies = 200The number of ladies who dislike coffee

= 118 P (a randomly chosen lady dislikescoffee)

= 118200

=59

100.

6. Total number of trials = 200.

Number of chances favouring 2 heads

= 72

Probability of getting 2 heads coming up

= = .

7. All possible outcomes are: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Favourable outcomes are: 1, 2, 3, 4

Probability of getting a number less than

5 in a single throw of a die = = .

8. Total number of students = 200.

(i) The number of students who likeStatistics = 135.

The probability of a student, chosen

at random, likes Statistics = = .

(ii) Number of students who dislikeStatistics = 65.

The probability that a student, chos-en at random, dislikes Statistics

= = .

9. No, as favourable events and total outco-mes are positive numbers.

10. False, as

Probability of a bulb having life time1500 hours is 0.

11. There are 6 numbers and only one, i.e.,‘6 ’ is favourable.

Hence, probability is 16

.

C. Solutions to Short Answer Questions (Type -II)

1.

36

12

Page 59: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

59PROBABILITY

36

12

26

13

7

17

1652

413

125200

58

7. Number of favourable outcomes = 24Let the total number of trials is n.Here, P(E)

= Number of favourable outcomes

Total number of trials

0.4 = 24n

410

= 24n

24n = 10

4 n = 10

4× 24 = 60

Thus, the required trials = 60.8.

48

12

78

1.

48

12

78

6

3616

3

361

12

D. Solutions to Long Answer Questions

Page 60: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

60 MATHEMATICS – IX

Solutions to Value Based Questions

1. Total number of drivers = 2000(i) The number of drivers who are 18-29years of age and have exactly 3 accidentsin one year is 61.So, P(driver is 18-29 years of age with

exactly 3 accidents) = 61

2000 = 0.0305 0.031.

(ii) The number of drivers 30-50 yearsof age and having one or more accidentsin one year

= 125 + 60 + 22 + 18 = 225So, P(driver is 30-50 years of age andhaving one or more accidents)

= 225

2000 = 0.1125 0.113.

(iii) The number of drivers having noaccidents in one year = 440 + 505 + 360= 1305.Therefore, P(drivers with no accident)

= 13052000

= 0.6525 0.653.

(iv) Safety for himself.2. (i) Let area of the wheel be A.

(a) Area of the region “play”

=30

360

× A = A12

Required probability =A / 12

A= 1

12(b) Area of the region “school”

= 75360

× A = 5 A24

Required probability =5A/24

A=

124

(c) Area of the region “others”

= 60

360

× A = A6

Required probability = A/6A

= 16

(ii) (a) Time spent in playing

= 30

360

× 24 hours = 2 hours

(b) Time devoted in homework

= 75360

× 24 hours = 5 hours

(iii) Rashmi gave sufficient time to eachactivity. The time duration of playing isonly two hours a day is a good thinking.I think her plan is ‘very good’(iv) Accountability, Rationality

FORMATIVE ASSESSMENT

ANSWERS TO VIVA QUESTIONS

23

23

14

910

725

720

ANSWERS TO QUIZ/ORAL TESTING

1. An event of an experiment is the collectionof some of the outcomes of an experiment.

2. The emperical probability of an even E isgiven by

P(E) = Number of trials favourable to E

Total number of trials3. 0 and 1 (both inclusive)4. (i) Getting an even number when you roll

a dice.5. 0 (zero) 6. 1

7.12

8. 7

10 9.

113

10. 15

Page 61: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

61STATISTICS

STATISTICS8

A. Solutions to Very Short Answer Questions

SUMMATIVE ASSESSMENT

1. Let the 40 items be x1, x2, x3,....., x40.

As

= 35 ...(i)

New mean

=

= a × 35

[Using (i)]Hence, the new mean will be 35a.

2. According to the given conditions,x1 + x2 + x3 + ............ + xn = A × n

(x + a) (x1 + x2 + x3 + .....+ xn) = (x + a) An

= (x + a)AThus, the new average is (x + a) A.

3. Sum of 10 observations having themean as 20 = 10 × 20 = 200

Sum of another 15 observations havingthe mean as 16 = 15 × 16 = 240Thus the sum of these 25 observations

= 440

Hence, the required mean = 44025

= 17.6.

4. Rearranging the data in ascending order,we have

9, 13, 15, 21

Median = 13 +152

= 282

= 14.

5. Rearranging the data in descendingorder, we have

27, 25, 24, 23, 21

Median = Value of middle term = Value of 3rd term = 24.

6. Number of observations = 11So, the middle term is the sixth termwhich is x. x = 63.

7. Rearranging the given data, we have1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 7 and PThis data has the mode 3. It is possibleonly when 3 has maximum frequency.Hence, P = 3.

8. mode = 3 median – 2 mean9. We have, 3 median = mode + 2 mean

Median = 21+ 2× 243

= 23.

10. 011. Required mean

= Total number of marksTotal number of students

= 10×75+12×60 + 8 × 40 + 3 × 3010 +12+ 8 + 3

= 750 +720 + 320 + 9033

= 188033

= 56.97

= 57 marks (approximately).12. As 17 is repeated 6 times, the

frequency of 17 is 6.

13. Primary data

14. Sum of the nine numbers = 9 × 8 = 72 Let the tenth number = x

Now,

= 9 x = 18.

Page 62: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

62 MATHEMATICS – IX

15. Average speed during 5:00 hrs-7:00 hrs

= 40 + 502

= 902

= 45 km /hr.

16. The speed 60 km /hr occurs maximumnumber of times, that is, 3 times. So,the modal speed of the car is 60 km /hr.

17. The average speed between 5 hrs and9 hrs

= 40 + 602

= 1002

= 50 km / hr.

B. Solutions to Short Answer Questions (Type - I)

1. x = ix

n

= +( +2)+( +4)+( +6)+( +8)5

x x x x x

or 24 = 5 + 205

x [Mean = 24 (given)]

or 120 = 5x + 20or 5x = 100 or x = 20Hence, the value of x is 20.

2. We know that

x = ix

n xi =n × x

Hence, n = 40, x = 60 xi = 40 × 60 = 2400But this value of xi was incorrect as 48was misread as 84. Correct value of xi = 2400 – 84 + 48

= 2364

Hence, correct mean is 236440

= 59.1.

3. Let the numbers be x1, x2, x3, ......, x16

Given that = 8

or x1 + x2 + x3 + ....... + x16 = 128If 2 is added to each number, then theobservations become

x1 + 2, x2 + 2, x3 + 2, ......... , x16 + 2 New mean

=

=

=

= = 10

Thus, the new mean is 10.4. Let the observations be x1, x2, x3, ......., x21.

Mean =

= 15

x1 + x2 + x3 + ....... + x21 = 315If each observation is multiplied by 2,then the observations become

2x1, 2x2, 2x3, ...... 2x21

New mean =

=

= 2 × = 2 × 15 = 30

Thus, the new mean is 30.5. Squares of first five natural numbers is

1, 4, 9, 16, 25Median = Value of middle term

= Value of 3rd term = 9.6. Arranging the given observations in

ascending order, we get3, 5, 7, 8, 12, 14, 17.

Here n = 7, which is odd.

Median =

th+12

n item =

th7 +12

item

= 4th item = 8.7. Arranging the given observations in

ascending order, we get3, 4, 6, 9, 10, 11, 18, 22.

Here n = 8, which is even.

Page 63: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

63STATISTICS

Median = Mean of

th

2n

and

th+1

2n items.

= Mean of

th82

and

th8 +12

items

= Mean of 4th and 5th items

= 9 +102

= 192

= 9.5.

8. Here n = 16, which is even.

Median is the mean of

th

2n and

th+1

2n term i.e.,

162

= 8th and 9th term

Required median = Average of 8th and 9th observations

= = 26.

9. Here, n = 9 (odd)

So, median is the value of th

9 +12

obser-

vation, i.e., 5th observation x + 2 = 24 x = 22.

10. Try yourself11. Let number of boys and that of girls be

x and y respectively. x + y = 60 ... (i)Sum of weights of all 60 students

= 60 × 40 = 2400 kgSum of weights of all x boys = x × 50Sum of weights of all y girls = y × 30

Now, 50x + 30y = 2400 5x + 3y = 240 ... (ii)

Solving equations (i) and (ii), we getx = 30, y = 30.

12. (i) variate (ii) 1213. (i) 35, 46 (ii) 65

14. We have, average = x = ixn

Here, x = 15 and n = 12

ix = 15 × 12 = 180But 18 is taken at the place of 0 ix = 180 is incorrectCorrect ix = 180 – 18 + 0 = 162

Correct average = = 13.5.

15. Try yourself16. (i) Looking at the numbers, we find that

56 occurs maximum number of times,i.e., 3 times. Modal age = 56 years.(ii) Re-writing the values after replacingany one 56 by 65, we get48, 42, 47, 48, 65, 56, 65, 56, 65, 60. Modal age = 65 years.

17. False, class-mark = 18 26

2

18.

25 30 32 435

x = 34

130 + x = 5 × 34 x = 40.

C. Solutions to Short Answer Questions (Type -II)

1. x = 1 2 6+ +.......+6

x x x

or 18 =

+ ( + 3)+ ( + 6)+ ( + 9) + ( +12)+ ( +15)

6

x x x xx x

or 18 = 6 + 456

x or 108 = 6x + 45

or 6x = 108 – 45 or 6x = 63

x = 636

= 10.5

First 4 observations are x, x + 3, x + 6, x + 9i.e., 10.5, 10.5 + 3, 10.5 + 6, 10.5 + 9i.e., 10.5, 13.5, 16.5, 19.5Mean of the first 4 observations

= 10.5 + 13.5 + 16.5 + 19.54

= 60.04

= 15

Hence, mean of the first four observa-tions is 15.

Page 64: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

64 MATHEMATICS – IX

2.Salary No. of workers

fixi(in `) (xi) ( fi)

3000 16 480004000 12 480005000 10 500006000 8 480007000 6 420008000 4 320009000 3 2700010000 1 10000

= 60 = 305000

Now, =

= = ` 5083.33.

3. Number of all observations = 32Sum of all observations = 111

Mean = 11132

= 3.47

Rearranging the given observations inascending order, we have1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3,3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 7.

Median = 12

(value of 16th observation

+ value of 17th observation)

= 12

(3 + 3) = 12

× 6 = 3

Mode = Value of the digit having maxi-mum frequency = 3.

4. We make frequency distribution tablefor the given data as below:

xi Tally Marks Frequency

6 III 38 I 19 IIII 5

14 IIII 515 III 321 IIII III 825 IIII 427 IIII 429 II 2

Total = 35

Here, the observation 21 has the maxi-mum frequency. Therefore, the mode ofthe data is 21.

5.

Marks Tally Frequency(Class intervals) Marks

0-10 I 110-20 IIII 420-30 III 3

30-40 IIII I 640-50 IIII III 850-60 IIII II 760-70 I 1

6. Growth in plant 1 = 17 – 12 = 5 cmGrowth in plant 2 = 19.5 – 15.5 = 4 cmGrowth in plant 3 = 17.5 – 12.5 = 5 cmGrowth in plant 4 = 22 – 18 = 4 cmGrowth in plant 5 = 23 – 17.5 = 5.5 cmNow, mean growth of the plants

= 5 + 4 + 5 + 4 + 5.55

= 23.55

= 4.7 cm.7. The observations are 42, 43, 44, 44,

(2x + 3), 45, 45, 46, 47.Since, the number of observations is 9(odd).

Median = value of

term

= value of

term

= value of 5th term Median = 2x + 3 45 = 2x + 3 2x = 45 – 3 = 42 2x = 42 x = 21.So, the observations are42, 43, 44, 44, 45, 45, 45, 46, 47.The number 45 occurs maximum (3) times. Mode of the data = 45.Hence, x = 21 and mode = 45.

8. Number of observations = 40 Calculated mean = 35

Page 65: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

65STATISTICS

Calculated sum= 40 × 35 = 1400

Since the number 56 is misread as 16.

Correct sum of the numbers =1400 – [Wrong observation] + [Correctobservation]

= 1400 – [16] + [56]

= (1400 – 16 + 56) = 1440

The correct mean

= [Correct sum of the observations]

[Number of observations]=

144040

= 36

Thus, the correct mean = 36.

9. Try yourself

Thus, the required correct mean is 64.75.

10. Here, the lowest observation = 8140

The highest observation = 9120

One of the classes is 8440–8540, i.e.the class size = 100

To cover the given data, we havethe classes as:

8140-8240; 8240-8340; ….; 9040-9140.

Now, the required frequency table is:

Wages (in `) Tally Frequencymarks

8140-8240 |||| 48240-8340 || 28340-8440 ||| 38440-8540 ||| 38540-8640 | 18640-8740 || 28740-8840 |||| 58840-8940 ||| 38940-9040 ||| 39040-9140 |||| 4

Total 30

11. Arranging the data in ascending order, weget2, 5, 7, 7, 8, 10, 10, 10, 14, 17, 18, 24, 25, 27

n = 14

Median = 7 term 8 term

2

th th

= 10 10

2

= 10

Mode = 10Sum of the observations = 184

Mean = 18414

= 13.14.

D. Solutions to Long Answer Questions

1. Rewriting the given data, we have

x f fx

2 3 64 2 86 3 1810 1 10

p + 5 2 2p + 10

= 11 = 52 + 2p

Mean =

=

6 =

(Given mean = 6)

66 = 52 + 2p or 2p = 66 – 52 = 14 p = 7.

2. Rearranging the given data in ascendingorder, we have

19, 25, 30, 31, 32, 35, 48, 51, 59Here, number of observations, i.e., n = 9,which is odd

Median = Value of th

9 +12

Observation = Value of 5th observation= 32

If 25 is replaced by 52, then the newarrangement in ascending order will be

19, 30, 31, 32, 35, 48, 51, 52, 59Now, the new median

= Value of 5th observation= 35.

3. The observations are 42, 43, 44, 44,(2x + 3), 45, 45, 46, 47.... The number of observations is 9.

Page 66: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

66 MATHEMATICS – IX

Here n = 9 (odd)

Median = Value of

th term

= Value of

th term

= Value of 5th term Median = 2x + 3 45 = 2x + 3 2x = 45 – 3 = 42 2x = 42 x = 21. The observations are 42, 43, 44, 44,45, 45, 45, 46, 47.The number 45 occurs maximum (3) times. Mode of the data = 45.Hence, x = 21 and mode = 45.

4. Mean =

=

= = 22.7

Arranging the observations in ascendingorder, we get16, 17, 22, 23, 23, 23, 25, 25, 25, 28.Here n = 10 (even)

Median =

= (value of 5th term + value of 6th term)

=

= 23

Mode = 3 median – 2 mean= 3 × 23 – 2 × 22.7= 69 – 45.4 = 23.6.

5. The given data has 10 values. Arrangingthe values of the given data in ascendingorder, we have 0, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5.

Mean = Sum of the observationsNo. of the observations

=

= = 2.8 goals

Since there are 10 values i.e., n = 10 (even).

So the median is the mean of

term

and term = mean of

term

and term

= mean of 5th term and 6th term

Median = (3 + 3) = = 3 goals.

Making discrete frequency table, we have

No. of goals Frequency

0 11 12 13 44 25 1

Since, the value 3 has the maximumfrequency, therefore, 3 goals is the modeof the data.

6. Try yourself7. We can have the following table from

the given data :

xi fi xifi

5 6 5 × 6 = 3010 4 10 × 4 = 4015 5 15 × 5 = 7520 p 20 × p = 20p25 7 25 × 7 = 175

We have

(fi) = 6 + 4 + 5 + p + 7

= 22 + p

(xi fi) = 30 + 40 + 75 + 20p + 175

= 320 + 20p

Page 67: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

67STATISTICS

Mean, x = i i

i

f xf

= 320 20

22p

p

But Mean = 15 320 20

22p

p

= 15

320 + 20p = 15(22 + p) 320 + 20p = 330 + 15p 20p – 15p = 330 – 320 5p = 10

p = 105

= 2

Thus, the required value of p is 2.8. From the given data we can prepare the

following table:

xi fi (fi × xi)

10 5 10 × 5 = 5015 10 15 × 10 = 15020 7 20 × 7 = 140p 8 p × 8 = 8p30 2 30 × 2 = 60

(fi) = 32 (xi × fi) = 400 + 8p

Mean = ( )i i

i

x ff

= 400 832

p

But mean is 18.75.

400 832

p = 18.75

400 + 8p = 18.75 × 32 400 + 8p = 600

8p = 600 – 400 = 200

p = 2008

= 25

Thus, the required value of p is 25.9. Try yourself

|||||||||

|||| |||||||||

Solutions to Value Based Questions

1. (i) Let us converge the given data intofrequency distribution table.

Hours (xi) Frequency (fi) fixi

5 3 1518 10 18020 6 12012 28 33640 3 120

fi = 50 fixi = 771

Mean x = i i

i

f xf

= 77150

= 15.42

Thus the required mean time is 15.42hours per week.(ii) Mean of observations is the sum ofproduct of all the observations and theircorresponding frequencies divided bysum of frequencies.(iii) Social work.

2. (i) The most often observation of thegiven data is called mode.(ii) 8(iii) 4 (iv) Self-reliance.

Page 68: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

68 MATHEMATICS – IX

ANSWERS TO VIVA QUESTIONS

1. Yes 2. Yes 3. No 4. 3.75. 506. The data which are collected by

someone else but used to fulfill hisobjective is called primary data.

7. The data which are collected bysomeone else but used by theinvestigator for his own purpose iscalled secondary data.

8. 5.5 9. 9 10. 5

ANSWERS TO QUIZ/ORAL TESTING

1. Statistics deals with the collection,presentation, analysis and interpretationof numerical data.

2. Facts or figures, colleted with definitepurpose are called data.

3. Personally primary data is collectedthrough appointed investigator for aspecific purpose.

4. Bar graphs, histograms, frequency polyg-ons and frequency curves.

5. Arithmetic mean, median and mode.

6. If x1, x2, x3, .................... xn, are n valuesof a variable, then the mean is given by

1

xn

(x1 + x2 + x3 + ............ + xn)

7. 238. 329. 12

10. It is the most frequently occurringobservation.

FORMATIVE ASSESSMENT

Page 69: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

69��������������

Practice Paper –1

SECTION-A

1. Infinite number of solutions as graph ofa linear equation in two variables is astraight line, there are infinite numberof points on a line and every point onthe line is a solution of the correspondingequation.

2. Let AD be the median of the ABC BD = CD ...(i)Draw AE BC.

ar(ADB) =12

BD × AE ...(ii)

ar(ACD) =12

CD × AE ...(iii)

From equations (i), (ii) and (iii), we get

ar(ADB) = ar(ACD)

Thus, the median of a triangle divides itinto two triangles of equal area.

3. *������� !������"�#���$%�����&��'��(������������������������� ������������� 2������������������������ �

� � � � � � � � � � � � � � � � ���� �

���

4. ��� ?��� ����� ���� ������ ��� ����� �������������������������������������������

�����������������������

� G C�

�� � ��� ��

��������

SECTION-B

5. Since area of a triangle

= 12

base × corresponding altitude

= 12

× 8 × 5 cm2 = 20 cm2.

�� ����1�������������������������������������������������

��

2�3����������������������������������������������������������

� *J � �� ��J � *� *J� �) ��� � ,��2��*� �J ��� ��� *J �����,����

8. �������������� ������

= Maximum height – Minimum height

= 160 cm – 138 cm = 22 cm.

9. -�������������2 ���������������������������������� �� ����/���� ��� � ���� ����������������������� ��������� �� ��� �/���2��������� � ������ ��� �� � ��/�� � �� �������� ��

� �53�

10. !���������� ����������� ��� ��� �������� ����

S�� x x x x x1 2 3 21......

21

���

��� /���� /����/� ��������/����� � ��6�� ����� ��� ����� ������������� ��� ������������� �����������

����� ����� ����� �������� ����

�������� �x x x x1 2 3 212 2 2 ...... 2

21

��������� ������

Page 70: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

�� ��������������

�x x x x1 2 3 212( ...... )

21

� ���� 31521

� �������� � )

"����������������� )�

SECTION-C

11. � � � � � � � � � � ��� ����� ��))������������ ����������

����� � �))) ���

���)) ���

��� ����))

��

� �� � �)) ����))

�� �TaGHH bEE THH

�� �� � � � �����*��������������������

�"��������������������� ������ ���2� / ��

�� � ���

� � � 2� / �))� ���

��� � �)������ ���),����

�GbHBTHHHH

���� �)���),����

12. (i) From the table it is clear thatnumber of persons ‘aged 60’

= 16090

and number of persons ‘aged 61’

= 11490

Number of persons of ‘aged 60’ whowill die within a year

= 16090 – 11490= 4600

Therefore, P(a person ‘aged 60’ of dyingwithin a year)

= 460016090

= 4601609

.

(ii) Number of persons ‘aged 61’ = 11490

Number of persons ‘aged 65’ = 2320

P(a person ‘aged 61’ will live for 4 years)

= 2320

11490

= 232

1149.

OR

Total number of girls = 250

Number of girls who like coffee = 115

Number of girls who dislike coffee = 135

(i) P (selected girl likes coffee)

=Number of girls who like coffee

Total number of girls

= 1150.46

250

(ii) P (selected girl dislikes coffee)

=Number of girls who dislike coffee

Total number of girls

= 1350.54

250.

13. Fare for the first km = � 10

Remaining distance = (x – 1) km

Fare for subsequent distance

= � 6 per km

Fare for subsequent (x – 1) km

= ��(x – 1) × 6

= ��(6x – 6)

Total fare (y) = 10 + 6x – 6

= 6x + 4

or 6x – y + 4 = 0

Let us form a solution table.

x 1 2 4 5

y 10 16 28 34

Page 71: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

71��������������

Distance-Fare Graph

14. Radius of the sphere = 5 cm

Its surface area = 4(radius)2

= 4 × × (5)2 cm2

Let slant height and height of the conebe l and h respectively.

Its radius = 4 cm

Its C.S.A. = rl

= × 4 × l cm2

According to the question,

4(5)2 = 5× 4 × l

l = 5 cm

l2 = h2 + r2

(5)2 = h2 + 42

52 – 42 = h2

h2 = 9

h = 3 cm

Thus, height of the cone = 3 cm

Volume of the cone =13r2h

= 13

×227

× 4 × 4 × 3 cm3

= 22 167

cm3 = 3527

cm3

= 50.29 cm3 (approximately).

ORLet radii of two spheres be r1 and r2respectively. Let the volumes of twospheres be V1 and V2 respectively, then

1

2

VV

= 6427

=

31

32

4r

34

r3

�3

132

6427

r

r=

3

3

4

3

�1

2

43

rr

r1 =24

3r

... (i)

Now, r1 + r2 = 42

22

43r

r� = 42 [From (i)]

273r

= 42

r2 = 18 cm and r1 = 24 cm

Hence, the radii of two spheres are24 cm and 18 cm.

15. #�� / ��)R� �,)R

(Interior angles on same side oftransversal as PQ CB and QB is

transversal)

QBC = 60°

ABC + y = 180°

(Cointerior angles)

x +QBC + y = 180°

x + y = 120°.

Page 72: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

�� ��������������

OR

16.

Page 73: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

73��������������

��� ���

� ��

�����

�164

� � �7���������������� 164

��������

��������

"����������������������������164

20. Let the angles of the quadrilateral be 3x,4x, 4x and 7x. Using angle sum propertyof a quadrilateral, we have

3x + 4x + 4x + 7x = 360° 18x = 360°

x = 360

18 = 20°

Therefore, four angles of the quadrilat-eral are

3x = 3 × 20° = 60°4x = 4 × 20° = 80°4x = 4 × 20° = 80°

and 7x = 7 × 20° = 140°.

SECTION-D

�� 2�� �������� ������9� �9J ���2��

�� *� ��J ���2�����������! 9�����JS 9*�

6�9!�����9SJ������� �!9� �S9J

27����������������������9!� �9SJ 2������)R�

9� �9J N���2��O9!� �9SJ

2**-��������� 9! �9S ��2���� 2���"���� �! �JS ���2��6�*!������SJ������� �

*!� ��SJ 2������)R�*� ��J N���2���O�! �JS N���2��O

"�������8-���������������������� �*!� �SJ

17. Given:

arc A X B = 12

arc �BYC

� � AXB �12

m � BYC

AOB =12

BOC

Also, AOC is diameter,

m(arc �ABC) = 180°

*9��/��9� ��,)R

�12�9��/��9� ��,)R

32�9� ��,)R

�9� �23����,)R� ���)R

�� S��� � ��� ����������������������� �������������

� � ����

��� ����������� ������ ����

� �

�, ����/��� �� ��,������ � ������ ��� �/ � ��/ � �,�� ��� �� � � ���"�������� �� �� ��� ����� ��� ������� ���� �,�� ���� ���� �� "��� ����� ���������$������������������������������� S������������� ������� ���8������� ������������ ����

19. !��������������������������������������������������������

J�����������������

����� ���2���������������������2%� ��

�� ���2���

2���J������� ����������

�� ���� � �

&��'�h( h)*�h'+&��'�h( h)*�h���)*

���

���

��

����

Page 74: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

�� ��������������

*! ��S ���2�"�������2��������2�������� �

9* �9� ���2������2������2���

9*����! �9����JS

129*����! �

129����JS

��2*9�� ���2J9��� ��2J9�� ���2*9���2��� ��2J9�� ���2*9�� ��2J9���/���2�9��

���2*9���/���2�9�� ��2J��� ���2*����

����� ��� �+�

22.

l(AB) of protractor = r = 227

× 14

= 44 cmCone is formed using semicircularsheet. Let radius of cone = R

Base ring of cone = l(AB)2R = 44

R =

44 72 22

= 7 cm

l of cone = r of protractor = 14 cm

Depth = h = 2 2l R = 2 214 7

= 2 27 (2 1) = 7 × 3 cm

Volume = 213

r h

= 13

× 227

× 7 × 7 × 7 3

=1078 3

3cm3 = 622.16 cm3.

23. !���*��J���������������*������J�*� ��� ��� �J� ��)R

2*����������� ��

J*������ ����� �����

�J�� �*J��/�*��

2��������� ������ ���

�*���/�*�� 2��� *J� �*��

��*�� ���2��

2*��������������� ��� ��������

-����� ����*�� ��*�� ���2���

���� �J� �*��

����J �*� ���2����

N� ���2������2���O*� *��J� �� �� �� ������ ���� ����������*������J���������������� �

9*� �9�� �12*� ���2��

9�� �9J� �12

�J ���2�

� ���2������2������2��������

9*� �9�� �9�� �9J ���2��

6�*9�����*9J�*�� �*J9*� �9* 2������9�� �9J 2� �����������

*9��*9J2���---��� ����� ����

*9�� �*9J ���2��� 2�����*����*9��/�*9J� ��,)R ���2����

2���� ���� � *9��/�*9�� �*9J�/�*9J

��,)R� ���2�������2����������� �*9�� ��*9J� ��,)R *9�� �*9J� ��)R ���2���� ��� 2������ 2��� ��� 2����� ��� ������ *�����J�� �������������������������� ��� ��������

Page 75: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

75��������������

�� Total outcomes = 8(i) Try yourself(ii) At least 2 heads: HHT, HTH, THH,HHH

Probability = GB

= TE

.

(iii) At most 2 heads: TTT, HTT, THT,TTH, HHT, HTH, THH.

Probability = bB

.

(iv) Try yourself

�� �)��� �� ����)���)����

�� ���� ����������������� ������

�� �����?������������������� ���R������

�� ��������� ����������J� ���,���� ������� ������

�� ��� ���J������ ����� �������� ������ �������������������������*�

�� ��� ���*��

������������*��������� ���� ���� �����

��

�)��� �� ����)���)����

�� ���� ��������������!"� �#����

�� �����?��������"!��������� �#)R����!�

�� ���� �������!��������!-� ������ �������2�!�e��"�

�� ��� ���"-����� ����� �������� ������ �������������������!�������

�� ��� ����"�

���� �������� �!"� �� ���� ���� ��� �����

26. ��� � �� ���� ������ ���� ����� ��� ���� ������ ��� ���� ����� �� �)��� ��� �#�� �����������

� ��)������� ��#�����������������������������������$���� ������� ��� ����� ��� ��� ���� ���� ������������ ���������������� ��2�%��

��2�)�%��#����� �#�)���

���������� ����� ������ ���� ��� ����������������

��2�/���%��� ��2�) / �#��%�����

������ �&�����

6��������������&��� �#�)

�� �64072

��

�809��� �,�,,,���

-���������������������������������,�,����

Page 76: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

� ��������������

27. Join PR and QS.

Now PQ RS and PQ = RS (Given)

PQSR is a parallelogram

PR QS and PR = QS ...(i)

PN QM

1 + 2 + 5 = 180°

PR QS

6 + 5 + 1 = 180°

1 + 2 + 5 = 6 + 5 + 1

2 = 6

Similarly, 3 = 4

Also PR = QS [From (i)]

PNR QMS (By ASA)

PN =QM and RN = SM (CPCT)

Now PN QM (Given)

PN = QM

PNMQ is a parallelogram.

PQ = MN and PQ MN.Hence proved.

28. Let us suppose that the two circlesintersect at three different points say atP, Q and R. This means P, Q and R arenot collinear.

We know that through three non-collinear points we can draw one andonly one circle.

There cannot be two different circlespassing through the points P, Q and R.

Thus, two circles cannot intersect atmore than two different points.

ORSuppose 1 represents COD and 2represents ABD.

We know that an angle subtended by anarc of a circle at the centre is double theangle subtended by the same arc at apoint on the remaining part of the circle.

AOD = 22 ...(i)

(Corresponding arc is minor arc AD)

And 1 = 2y ...(ii)

(Corresponding arc is minor arc CD)

AOD = 90° (Given)

But from equation (i),

22 = 90°

2 = 45° ...(iii)

Since AM is perpendicular to both ODand BC, so OD is parallel to BC.

Now, OD BC and OC is transversal

1 = 30° ...(iv)

(Alternative interior angles)

From equations (ii) and (iv),

2y = 30°

y = 15° ...(v)

In ABM,x + 2 + y + 90° = 180°

(Angle sum property of a triangle)

x + 45° + 15° + 90° = 180°[Using (iii) and (v)]

x = 180° – 150° x = 30°

Hence, x = 30°, y = 15°.

29. Rain water falls on a flat rectangularsurface whose

length (l) = 6 m = 600 cm and breadth (b) = 4 m = 400 cm

Level of rain fall (h) = 1 cmWater collected on this surface forms acuboid.

Page 77: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

77��������������

Volume of water collected = l × b × h = 600 × 400 × 1 cm3 = 240000 cm3

This water is transferred into cylindricalvessel.Radius of cylindrical vessel = r = 20 cm.Let height of water collected in thecylinder be h cm. Volume of water in cylindrical vessel

= r2h= 3.14 × (20)2 × h cm3

Now, 3.14 × 400 × h = 240000

h =

2400003.14 400

=6003.14

= 191 cm (approx.).

30. Given frequency distribution has the classintervals of unequal width. Therefore,we will have to make changes in the

lengths of the rectangles in the histo-gram so that areas of the rectangles areproportional to the frequencies. Thus,we have the following table:

Marks Frequency Width Length

100-150 60 50 5050

× 60

= 60

150-200 100 505050

× 100

= 100

200-300 100 100 50100

× 100

= 50

300-500 80 20050200

× 80

= 20

500-800 180 300 50300

× 180= 30

31. 2��� ���� ���� ������� ���� ��� ��� �� ?���������������� ����������� ���� ��� ��?������ �� ���2��%��)�

�� ���� �2�������?������ �� ���2�������%��)

-����� ���� ���?������ ����������������

� ���%��)�/�2�������%��)

� � ��)�/��)�����)

� � ��)��/��)

2������ ������������� ���������

2����� -���% �������� ������ 7����� ���������� ��7��������� ������

Page 78: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

� ��������������

Practice Paper – 2

SECTION-A

1. Putting x = 2 and y = 0 in 2x + 3y = k, wehave

2 × 2 + 3 × 0 = k k = 4.

2. * ��� ���� ���� � �� ������ '������� �� ���������

���,��&��&��#��#���������

$���� ������ �� ���2����

$���������� �������������� �

� �� �� �

��� ���

�� �� ��� �� � �#�

3. As length of the longest pole

= diagonal of the room

= 2 2 2l b h = 2 2 210 10 5

= 100 100 25

= 225 = 15 m.

4. In a sample study, total number of people = 642.

The number of persons who have high school certificate = 514

Required probability = 514642

= 0.8.

SECTION-B

5. ���������������������������������������������?������������ ����������������������������?���� ������������������������-�������������� �������� � ���� ���� ��� ��� �(%� �������� � � )� � ��� � ��� / ) )������� �� ���� ���� ��� �������� �� ����� ������

6. Lower limit of a class

= Mid value – 12

class size

= 10 – 12

× 6 = 10 – 3 = 7.

7. Let the quadrilateral formed by joiningthe mid-points of the given rectangleABCD be PQRS such that

AB = 8 cm, BC = 6 cm

PQRS is a rhombus with side 5 cm, asAPS and DRS are right-angled triangles.

PS = 5 cm = PQ = SR = RC.

Also PR = BC = 6 cm and SQ = AB = 8 cm

(� Opposite sides of parallelogram

are equal)

ar(rhombus PQRS) =12

× PR × SQ

=12

× 6 × 8 = 24 cm2.

OR

In right PQR,

PR = 2 217 – 8 = 289 – 64 = 15 cm

In right PSR,

SR = 2 215 – 9 = 225 – 81 = 12 cm

ar(quadrilateral PQRS)= ar(PQR) + ar(PSR)

= 1 1QR PR PS SR

2 2� � � � �

=1 1

8 15 9 122 2� � � � �

= 60 + 54 = 114 cm2.

Page 79: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

79��������������

� *� J ��)R2*������������

�����#�R / �)R /�� ��,)R�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 2*-�� � �&�R�

9. Since diagonals of a rhombus are per-pendicular bisectors of each other.

Therefore, AO =12

AC =12

× 24 = 12 cm

And BO = 12

BD = 12

× 10 cm = 5 cm

AOB is a right triangle.

AB2 = OA2 + OB2

= 122 + 52 = 169

AB2 = 13 cm

Side of the rhombus is 13 cm.

10. �����P�� J���� ���������������� ?���������� ���������

���� � �)�� ��)�

��� ���� ����� ��� �P�� �)� ����� ����� ?��)�������������������&������������

����������������������������*+"�,�12

�-�)�

����)��/�12�2�)����������))������)�

��� ��� ��� ���� �� �� ���� �� �))%��)�8���� ����� � �� �))%��)�� ��)%��)���)%��)����)%��)����)%��)����)%�#)���#)%�&)���&)%�,)�

SECTION-C

11. Steps of construction:

1. Draw line segment BC = 5 cm andmake CBX = 60°.

2. Mark the point D on the ray BX suchthat BD = 7.5 cm.

3. Join CD and draw perpendicularbisector of it to meet BD at A.

4. Join AC.

5. Such formed ABC is the requiredtriangle.

12. 7����������&������ �7�������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� �

�& %��

�� ����"�� �"� ���

���� ��������� ������ ���2-��������������� ���������� ������ ���2-��������������������

� � � �

� ��

� ��

� � � �� � ��

� �

�������-� @ -�� �� @ ��

13. Number of observations = 10 which isan even number. Median

=th th1 10 10

observation 12 2 2

observation

�� � � �� ��� � � �� � ����

63 =12

(5th observation + 6th

observation)

Page 80: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

� ��������������

63 =12

[x + x + 2]

126 = 2x + 2

2x = 124 x = 62.

OR

Sum of given marks = xi =

80 + 22 + 30 + 90 + 90 + 53 + 50 + 56 + 60+ 72 + 90 + 88 + 88 + 72 + 62 + 60 + 46

+ 40 + 36 + 40 + 80 + 33 + 69 + 40 + 66

+ 92 + 50 + 48 + 56 + 92 = 1851

Number of students = 30

Now, mean = x = 1851

30 = 61.7.

14.

Yes, lines AP and BQ are parallel toeach other.

Verification:As AP AB and BQ AB,

PAB = 90° and QBA = 90°

PAB + QBA = 180°

Also AB is a transversal and cointeriorangles AP BQ are supplementary.

15. In PQR, PQ = PR (Given)PRQ = PQR = 35°

(Angles opposite to equalsides of a triangle are equal)

QPR = 180° – (PQR + PRQ)

(ASP of a triangle)

QPR = 180° – (35° + 35°)

= 180° – 70° = 110°.

QPR and QSR are in the samesegment of the circle. Since, angles inthe same segment of a circle are equal.

QSR = QPR = 110°.

OR

We are given a circle with centre O,radius OA = 13 cm, chord AB and thedistance of AB from O is 12 cm, i.e.,OM = 12 cm. M divides AB in the ratio

AM : MB = 1 : 1.

AB = 2 AM ... (i)

Since OM AB, therefore, AOM is aright-angled triangle.

OA2 = AM2 + OM2

(Using Pythagoras theorem)

132 = AM2 + 122

AM2 = 132 – 122 = 169 – 144 = 25

AM = 5 cm ... (ii)

From equations (i) and (ii), we have

AB = 2 × 5, i.e., AB = 10 cm

Hence, the length of the chord is 10 cm.

16. �� �# �� ���� �, ��

� �� �� � � �� ��

�� ���

���

� �) �

��-�*� � �� ����� % # % �)���

��,,�����

Page 81: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

81��������������

* �������� ������ ���� �� ���-�*�� ��,,�� ��

$���� ����� ��� �� ������ ���� ��� ��

��?�� ��� TBBcGC

�#��,���

������ ����� ��� �� ������ ���� ����������� ����������

�#��, /�)��)� �#����

17. Given: ABCD is a parallelogram.

To prove: ar(APB) = ar(BQC)Proof: In figure, APB and �gm ABCDhave same base AB and lie between sameparallels AB and DC.

ar(APB) = 12

ar(�gm ABCD) …(i)

Again, BQC and �gm ABCD have samebase BC and lie between same parallelsAD and BC.

ar(BQC) = 12

ar(�gm ABCD) …(ii)

From equations (i) and (ii), we get

ar(APB) = ar(BQC). Proved

18. 2�� �� ��)��

� 6� ��� ����� ������ ���2�����

��

��������

����� ���� �

������

��

���)����

2��� � % � % �� ��)

� %��

% � % �)� ��)

�� �� ���&����

2���� �������� ����

��

%�(

)� �� �� �

% �)��

��#������� ��#����?��

19. )������������� ���� / � / � )���

�� � �� / , )������������� �%� ���� ������������

� � � � � ��� ���� ���� ��� 2��

����� � y3 82 � ��� 2���

�������� ���������������������������2�����������@

� �) �� � �

� � � �� � ��

�������� ���������������������������2������������@

� � � � � �

� ) � �

� ��� ���� ����� ��������� ��� ��� ��%������2� ������

20. Total number of tossing the two coins= 100

Number of getting two heads = 25

Page 82: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

� ��������������

Number of getting one head = 40 Number of getting no head = 35

(i) P(two heads) = 25

100 =

14

or 0.25

(ii) P(one head) = 40 2100 5

or 0.4

(iii) P(no head) = 35 7100 20

or 0.35.

SECTION-D

21. Let the ratio constant be x then theradius = 3x and the height = 4x

Volume = 213

r h

301.44 =13

× 3.14 × (3x)2 × 4x

301.44 33.14 9 4

= x3 x3 = 8

x = 2 cm. Radius = 3x = 6 cmHeight = 4x = 8 cm

Slant height = 2 26 8 = 36 64

= 100 = 10 cm.Curved surface area = rl= 3.14 × 6 × 10 cm2 = 188.4 cm2.

22. �� ���)������������ ��� �,����

� ��� � �

���� �������

* ��������������� �������� ���-�*��������� ���� ����� �� % �� % ��)����

� %�,� % ��)����

* ���������������))� �������� ��)) %�* ����������������

� � � �������� ��))�% �%�,� % ��)

��)) %���

% ,� % ��)����

���� �� ����

������ �

��� ���,�����

23. x f fx

10 6 6015 8 12020 p 20p25 10 25030 6 180

f = 30 + p f(x) = 610 + 20p

Mean = 20.2 = fxf

610 20

30p

p

= 20.2

610 + 20p = 20.2 (30 + p) 610 + 20p = 606.0 + 20.2p 4 = 20.2p – 20p 4 = 0.2p

40.2

= p p = 20.

24. 6������������ ����� ���*��J�*�/���/���/�J� ��#)R2-����������������������� ����� ��

���#)R�

12*�/�

12��/�

12��/�

12J

�122�#)R�

��/���/���/�� ��,)R ���2��

2���*)���)���*����J*�� �������� ���*��������J� �����������

6�*�)� ��/���/�# ��,)R ���2���

2*-��6��J*� ��/���/�� ��,)R ���2����

2*-��*����2�������2�����������

��/���/���/���/���/�#

��,)R�/��,)R ��#)R

�,)R�/���/�# ��#)R

N� ���2��O

��/�# ��,)R

*�/�) ��,)R ���2��

Page 83: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

83��������������

*��� * / � /) /8 �#)R

2-����������������������� ����� ���

�,)R�/���/�8 ��#)R

��/�8 ��,)R ���2�

� ���2������2��!��� ����� ���*�)8������������� ���� ��%��� ���

25. 2��������������%��������*��������J���J*�������!��"����-� ���������������*�� ��������� �

���� �*�� ��"� �J"� �E�

����!� ��!� �*-� �J-� �E�

6� ������!�

�!�� �����/��!�� �� � � �

� � �� � � ��

�! �TE

� �� ��-����� �������������

"! �-"� ��-� �TE

� �� ��

��� ��� ����!� �!"� �"-� �-��!"-����� �����2����������� ������ ���2)����� ��2�����-���% ��������6��� ����

��2������������ �������������� ��� ���%�����

-��� �������� � ��� ������� �� ���� �������������������������#��������������� �����������

*��� ����������������������������������#��/����/���/���� ��#)R

������� ��� ������� ��� �� ����� ����� ���P����2� ����� ����� �������#)R�

�,� ��#)R���� �CFHTB

������������������ ��)R

#� �#�%��)R� ���)R

�� ���%��)R� ��))R

�� ���%��)R� �,)R

�� ���%��)R� �#)R

��� ��� ��� �������� � ��� ������� �� ������� ����)R���))R��,)R����#)R����������� �� �

2����"���� ��� ����� �FHTEH

��� �

TE

��������@���

2�����*������� ��� ������������ ����� ���

2���������� ���

26. To draw graph of a line, we need at leasttwo solutions of its corresponding equa-tion. The equation x = 3 is satisfied byany value of y. So, two solutions of thisequation are:

x = 3, y = 2 and x = 3, y = 4

And for the equation y = – 2,

x = 0, y = – 2 and x = 4, y = – 2.

Each solution of the equation y = 2x ison the way that the value of y is twicethe value of x. So, any two of thesolutions of y = 2x are:

x = 2, y = 4 and x = 0, y = 0.

Let us draw the graph of lines x = 3,

Page 84: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

� ��������������

y = – 2 and y = 2x on the same set ofaxes.

These lines form a triangle ABC.

Coordinates of vertices are A(– 1, – 2),B(3, – 2) and C(3, 6).

27. (i) We know that triangles on the samebase and between the same parallelsare equal in area.

In the given figure, ABD and ABCare on the same base AB and between

the same parallels AB and DC, so theymust have equal area.

i.e., ar(ABD) = ar(ABC) ...(i)

(ii) Now, subtracting ar(AOB) fromboth the sides of (i), we get

ar(ABD) – ar(AOB)

= ar(ABC) – ar(AOB)

ar(AOD) = ar(BOC).

Hence proved.

28. �)��� �� ����)���)������ ���� ��������������)8� ��������� ���� �����������)R�����)R�������

�����)����8� ������������������� ��������� �������������

�� ����� ������ � �������� �� ���� ���� ������������� ������

�� ���� ��� ���������� � ���)����8��� ������ ����� )8� ��� +� ��� _ �����������

�� ��� ����+�����_�-���� �������� �+_� �� ���� ���� ��� �����

Page 85: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

85��������������

29. Radius of the well = r =�82

= 4 m

Depth of the well at which the earth istaken out h = 14 m.

Clearly, the earth is taken out in theform of cylinder.Volume of the earth dug out

= r2h= × 42 × 14= 16 × 14 × m3

Width of the embankment = 3 m Area of the embankment = (72 – 42)

= 33 m2

Let height of the embankment be h metres.Then, volume of the embankment

= 33h m3.The volume of the embankment must besame as the earth dug out. 33h = 16 × 14

h =�� ��

�� h = 6.79 m

Hence, the height of embankment is 6.79 m.OR

Internal diameter of the hemisphericalwater tank = 14 m

Internal radius (r) =142

= 7 m

Volume of the tank =23r3

= 23

×227

× (7)3 = 44 49

3�

= 718.67 m3.

Capacity of the water tank = 718.67 kl(... 1 m3 = 1000 l or 1 kl)

Since the tank contains 50 kl of water.Water is pumped into the tank to fill toits capacity is (718.67 – 50 =) 668.67 kl,i.e., Volume of required water is 668.67 m3.

30. Draw perpendicular bisectors OL of ABand OM of CD, O being the centre ofthe circle. Since AB CD. O, M, L arecollinear. Suppose OM = x cm, thenOL = (x + 3) cm. Let r be the radius forthe circle. We have, OD = OB = r.

We know longer chord is nearer to thecircle.

From right triangles ODM and OBLOD2 = OM2 + MD2 andOB2 = OL2 + LB2

(By Pythagoras theorem)

r2 = x2 +�211

2

...(i)

and r2 = (x + 3)2 +�25

2

...(ii)

� � �

From (i) and (ii), we get

x2 + 121

4= x2 + 9 + 6x +�

254

6x =121

4 –�

254�– 9

6x =964

– 9�� 6x = 24 – 9

Page 86: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

��������������

6x = 15� x =�156

� x =�52

From (i), r2 =�25

2

�+�211

2

= 254�+� 121

4�=�

1464

�= 36.5

r = 36.5 = 6.04

But r cannot be negative.

r = 6.04 cm.

31. (i) and (ii) try yourself

Practice Paper –3

SECTION-A1. ���� ��������������� ��

�����������������2��� ���������������2��� ���

6��������������������27�������������

����������

�����

��������������27�������������

�������

���� % 2���

������

�� ������ �� ���� ������������

� � �

� ��

%��)),

� �

� �� �

��

� � � �

� �

� �

% �)),

��)),�2. (c) Line 2x + 3y = 6 will meet the x-axis

if y = 0.Putting y = 0, we have

2x = 6 x = 3Thus, coordinates of the required pointare (3, 0).

3. Given: AOB is the diameter of the circle ACB = 90° (Angle in a semicircle)

and AC = BC (Given) CAB = CBA = x (say) (... Angles opposite to equal sides are equal)

x + x + 90° = 180° ASP) 2x = 90° x = 45° CAB = 45°.

4. * ������ �����

���

%� � ������ ��� ���� ����� ��� ��

������

���

%� ,�%� ��� ��,� ����

SECTION-B

5. *� J� ��)R2*������������������

#�R / �)R /�� ��,)R 2*-��

� �&�R�

6. Mean is 9

x x x x x3 5 7 105

� � � � � � � �= 9

5x + 25 = 45

5x = 20 x = 4

Last three observations are

4 + 5 = 9, 4 + 7 = 11, 4 + 10 = 14

Mean of last three observations

= � �9 11 143

= 343

= 111

3.

Page 87: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

87��������������

7. fi = 7 + 8 + 10 + 15 + 10 = 50

(i) P(being 30) = Favourable outcomes

if

= 10 150 5

or 0.2

(ii) P(being 25) = Favourable outcomes

if

= 15 350 10

or 0.3

OR

No, since the number of trials in whichthe event can happen cannot be greaterthan the total number of trials.

8. True, as AC – AB < BC,i.e., AC < AB + BC.

9. .� /�le������ �� �� )� �

���������� ������������ &

$���� ��������� ������������� �

� 2l�le���� ���

10. 2�� &� / � ��� 8� ��� �� ��� �� � �� ����� ������ �� ��� �� �� ���� � �������� ������ ������

2��� ������� ����/�#��������� ��������������� ������������������������������ ���������

2���� ���/��� ������������ ������������� �� ������ ������� ��� �� �� �������� �����������������������

2�� �� / �� �� / ���������� ���������������� ��������������������������� ����������� �

SECTION-C

11. 2�� J������ ���� ������� ����

���� ���

����

������ ��) ��

6� ��� ����� ������ �������������� ���

� %���

%

% �)���

��)����2��� ������������ �� ����)�%���)

�� � � � � � � � �����))�12. Let the equation of the line be y = a

which is parallel to x-axis. Where a isarbitrary constant.According to question,

a = – 3 (... Graph of the line is below to x-axis)

Putting a = – 3 in y = a, we havey = – 3

Page 88: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

��������������

Hence the graph can be shown as inthe figure.

OR

The given equation is 2x + 1 = x – 3.

Transposing, 2x – x = – 3 – 1

x = – 4.

(i) Since x = – 4 represents a point onthe number line so it is a solution of thegiven equation.

(ii) Consider x = – 4 is of the form x = a.Graph of such equation is a line parallelto y-axis in a cartesian plane. Therefore,many points that lie on the line thesolution of the give equation.

13. Let A = 3x, B = 7x, C = 6x, D = 4x.Also, A + B + C + D = 360°

3x + 7x + 6x + 4x = 360°20x = 360°

x = 18°A + B = 3x + 7x = 10x = 10 × 18°

= 180°and C + D = 6x + 4x = 10x

= 10 × 18° = 180° AD BC.

14. ������������� �������������������"������� �������������� ���J������ �����������

���2������� ���������� ���

2)����

�� ���2�"��2�J������ � ���%� �����

�� ���

" " �

-��.�h/ h0*�h.1-��.�h/ h0*�h���0*

���

���

��

����

��� ���

� ��

����

164

� � �7���������������� 164

���������

������ ���

��� ��� ������� ���� ���� ��������164

15. Let ABCD be the parallelogram andABEF be the rectangle on the samebase AB and have equal areas. They lie between same parallels AB = CD (... Opposite sides of gm)

AB = EF (... Opposite sides ofrectangle)

CD = EF ... (i)

Also BE < BC ... (ii) (... In righttriangle BEC, BC is hypotenuse)

Similarly, AF < AD ...(iii)Adding (ii) and (iii), we get

BE + AF < AD + BCBE + AF + AB < AD + BC + AB

(Adding AB to both sides)BE + AF + AB + EF < AD + BC + AB + CD

[Using (i)](� AB = CD, AB = EF CD = EF)

Perimeter of rectangle < Perimeterof the parallelogram.

ORL is the mid-point of BC,

BL = CL ...(i)

DQ AB and CB is transversal

QCL =LBP ...(ii)(Alternate interior angles)

Now in QCL and PBL,

QLC = PLB

(Vertically opposite

angles)

CL = BL [Using (i)]QCL = LBP [Using (ii)]

QCL PBL

(ASA criterion of congruence)

Page 89: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

89��������������

ar(QC L) = ar(PBL) ...(iii)

(Congruence triangles have equal area)Now adding ar(APLCD) to both sides in(iii), we getar(APLCD) + ar(QCL) = ar(APLCD)

+ ar(PBL) ar(APQD) = ar(ABCD)

Hence proved.16. �)��� �� ����)���)����

�� ���� ��������������*�� �#����

�� ���������*�������

�� ���� �������� ����� ����������� ��� ��� � ���������� �����%������������� ����������������������������*��

�� ��� ���*�����*��

�����*��������� ���� ���� �����

17. S��� � ��� ����������������������� �������������

� � ����

��� ������������ �������� �����

� �

�, �#��/���������� ��,���#�� ��� � ��&�������� / � �&/� �,

����� � � �& � � ������ ��� ���������� ������� ����������&���,��������������������� �������� ��(��������� �����������������������

S�������������������� ���8������� ��&��������� ����

18. ����9*� �� �9*� �9�� �9�� �2� / ��������� ������ �� ���� ��� �� 9**������

2��/���� ����/���

�� / �� / #� ��� / �# #� ��#�� &

�� �76 ��

16���

9*� ���/��� � � ��� �� �1

1 36

��� ��16����

19. ����������

��������� ���� ����� ����������#��&��

20. Volume of hemisphere = 323

r�

539

6=

r323� r3 =

5392 2�

r3 = 539 7

2 2 22�

� �

r3 = 49 7

2 2 2�

� �

r = 37 7 72 2 2� �

� �

r =72

cm

Its curved surface area = 2r2

= 2 ×222 7

7 2� �� � �� � = 77 cm2.

OR

On revolving the given right triangleabout the side 8 cm, we find a rightcircular cone with

Radius = r = 6 cm, height = h = 8 cmAnd slant height = l = 10 cm.

Page 90: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

�� ��������������

Therefore, volume of the cone

= 13r2h = 1

3 × 6 × 6 × 8

= 96 cm3

and curved surface = rl

= × 6 × 10

= 60 cm2.

SECTION-D

21.

(i) From the table given in question,– 3 + 5 = – 1 + 3 = 1 + 1 = 2So the required equation is

x + y = 2(ii) Substituting x = – 2, y = p in

x + y = 2, we get– 2 + p = 2

p = 4Substituting x = 0, y = q in x + y = 2,we get

0 + q = 2 q = 2

Thus, p = 4, q = 2.

22. Given: A parallelogram ABCD.

E is the mid-point of AB

F is the mid-point of CD

To prove: AF and CE trisect the diagonalBD, i.e., DM = MN = BN.

Construction: Join AF and CE

Proof: AB = CD and AB CD

(Opposite sides of a parallelogram)

12

AB = 12

CD

AE = CF and AE CF

Hence quadrilateral AFCE is a parallelo-gram.

AF EC (Opposite sides of aparallelogram)

In ABM, E is the mid-point of AB andEN AM

N is the mid-point of BM.

(Converse of mid-point theorem)

BN = NM ... (i)

Also in DNC, F is the mid-point of CDand MF NC.

M must be the mid-point of DN

or DM = MN ... (ii)

From (i) and (ii) we conclude thatDM = MN = NB.

M and N are the points of trisection ofBD.

Hence, the segments AF and CE trisectthe diagonal BD.

23. Inner radius of the well = r

=102

m

= 5 mAnd depth = h = 14 m

Volume of earth taken out = r2h

Outer radius = R = (5 + 5) m = 10 m

Page 91: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

91��������������

Area of ring of the embankment

= (R2 – r2) = 227

(10 – 5) (10 + 5)

=227

× 5 × 15 m2.

Let the height of the embankment = HThen volume of the embankment

= (R2 – r2)HNow, volume of the embankment= volume of the earth taken out (R2 – r2) H = r2h

(102 – 52) H = 52 × 14

H =5 5 14

15 5� �

H = 143

H = 423

m.

ORLet r be the radius of the base of thecone.Then, area of the base = r2

= 28.26 sq. cm. 3.14 r2 = 28.26

r2 = 28.263.14

= 1413157

r2 = 9 r = 3, h = 4 m (Given)

l = r h2 2 = 2 23 4

= 9 16 = 25 = 5 cm.

Volume = 13�r2h =

13

× 3.14 × 9 × 4

= 3.14 × 12 cu. cm= 37.68 cu. cm.

Curved surface area = �rl= 3.14 × 3 × 5 = 3.14 × 15= 47.10 sq. cmNo, the two are not numerically equal.

24. Radius (r) of base = 3 cm.Height (h) of cylinder = 10.5 cm.Surface area of the pen holders= area of the base + curved surface area

= r2 + 2rh = r(r + 2h)

= (3) [3 + 2(10.5)] = 3[3 + 21]= 3[24] cm2 = 72 cm2.

Area of the cardboard required to make35 pen holders

= 35 × 72 cm2 = 35 × 72 ×227

cm2

= 7920 cm2.25. $���� ������������������ � ��##�

$�����##����� �������?�������������� ������ ��������������������������������������@2�� -��������S����2��� S��������������2���� �����������������2�� �������������� ���2� ��� �������� ����2�� � ��������-��� ���2��� -��� �������-������� ����������� �������������-��������� ���� ���� � �� ����� � -����� ��S������ �-��� �������-������$���� ������������� ������������

������������� ������������������� �&���2���������� �����������-�����

�27�

26. 2�� 8� ����* ������J* �*� �*� ��J� �J��

2S��%��������� ��� �* �J����J* ��� �J*�������� ������ ���

2��� ��J��*J�����J*��� ����������������������� ���� ������ �������������* ��� �* ��J� �J�� ��2��J� ���2*J��� ���2J*��-����� ���

Page 92: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

�� ��������������

��2J�*� ���2�**�� ���2J*�� ��2J*�� ���2��J�

���2J�*� ���2**��

14

��2*���

����� ��2J*�� 14

��2*����

���� 2���� $�����2�J*�� ���2�J���/���2J*��

14

��2*��� /14

��2*���

12

��2*����

27. �)��� �� ����)���)����

�� ���� ��������������)8� ��������� ���� �����������)R�����)R�������

�����)����8� ������������������� ��������� �������������

�� ����� ������ � �������� �� ���� ���� ������������� ������

�� ���� ��� ���������� � ���)����8��� ������ ����� )8� ��� +� ��� _ �����������

�� ��� ����+�����_�-���� �������� �+_� �� ���� ���� ��� �����

28. We are given an arc PQ of a circle whichis subtending angles POQ at the centreO and PAQ at a point A on the remainingpart of the circle. We need to prove thatPOQ = 2PAQ.Consider the three different cases asgiven in figures. In figure (i), arc PQ isminor; in figure (ii), arc PQ is asemicircle and in figure (iii), arc PQ ismajor.Let us begin by joining AO and extendingit to a point B.

(i) (ii) (iii)

In all the cases,

BOQ = OAQ + AQO

(Exterior angle theorem)Also in OAQ, OA = OQ

(Radii of a circle)

Therefore, OAQ = OQAThis gives BOQ = 2 OAQ ... (i)Similarly, BOP = 2 OAP ... (ii)Adding equations (i) and (ii), we get

BOP + BOQ = 2 (OAP + OAQ) POQ = 2 PAQ.

Hence proved.In given figure, using above theorem

BAD =12BOD

Page 93: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

93��������������

BAD =12

× 136° = 68°

Now ABCD is a cyclic quadrilateral A + C = 180°

(Opposite angles of a cyclicquadrilateral are supplementary)

68° + C = 180° C = 180° – 68° BCD = 112°.

ORGiven: P is any point on circumcircle ofABC, PL, PM and PN are perpendi-culars from P on BC, AC and ABrespectively.

To prove: Points L, M

and N are collinear.

Construction: Join

PA, PC, MN and ML.

Proof: Consider

quadrilateral AMPN.

Since PM AC and PN AB

PMA + ANP = 90° + 90° = 180°

So AMPN is a cyclic quadrilateral.(If opposite angles of a quadrilateral are

supplementary, then it is cyclic)PMN = PAN ...(i)

(Angles in the same segment)Now, consider quadrilateral PCLM.

PMC = PLC = 90° (Construction)

Since line segment joining P and Csubtends equal angles at points M and Llying on its same side. Points P, M, L and C are concyclic.� PMLC is a cyclic quadrilateral� PML + PCL = 180° ...(ii)Clearly, PABC is a cyclic quadrilateral

and NAB is a straight line.� PCB = PAN

(Exterior angle of a cyclicquadrilateral is equal

to interior opposite angle)� PCL = PAN ...(iii)From (i) and (iii), we get� PCL = PMN ...(iv)From (ii) and (iv), we getPML + PMN = 180°� LMN is a straight line. L, M and N are collinear.

29. Given: In an isosceles triangle ABC, D,E and F as the mid-points of sides BC,CA and AB respectively, AB = AC. ADintersects FE at O.To prove: AD EF and AD is bisectedby FE.Construction: Join DE and DF.Proof: D, E, F are the mid-points ofsides BC, AC and AB respectively.Since the segment joining the mid-points of two sides of a triangle isparallel to third side and is half of it,

DE AB and DE = 12

AB

Also, DF AC and DF = 12

AC

But AB = AC [Given]

12

AB = 12

AC

DE = DF

Also, DE AF and DF AE

AFDE is a parallelogram.

In parallelogram AFDE, adjacent sidesDE and DF are equal.

DEAF is a rhombus.

Page 94: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

�� ��������������

Diagonals AD and FE bisect eachother at right angle.

AD FE and AD is bisected by FE.

30. 2���J������ �2��� ������� �4210

��

��� d2

42

2 10�

2110

�� � 4510

��

�������� ���� ������ ��� ����

���%�227�%�

2110

�%�4510

���

���������2����������� ������ ��� �����/����

� � ���%�227�%�

2110

�%�2110

����/��������

�� ��&�&�����/��������� �,&������

�������� ���� ���� ����������������������������������

$����������%�112

�,&���

� � � � � � � �1112

��� �,&���

�� �,&����%�1211

� ����)����

8���������������������������������)����

31. (i) The required frequency distributionTable is given below:

Date Tally Marks Frequency

0-5 3

5-10 11

10-15 1

15-20 4

20-25 6

25-30 2

(ii) Range = Highest observation – Leastobservation

= 29 – 1 = 28

(iii) Blood donor, Helpful, Thankful,Grateful.

Practice Paper–4

SECTION-A

1. ���� ������������������� �� �����

7�������������������� �� ����)�����

����� ����)�� �

�%

��

% ��� ����)�

�� �TdGHG C b

E EE� �

�� ���#���� ������

$����������� ������ ����������������� �

����� ��%��

%��%��� ����,�����

2. As the difference of any two sides of atriangle can’t be more than the third side.

3. * ������������ ������ ��� ��������� ����������������������� �

*J % �$ �*� % JS

*J�%� �� ����%��

*J � �� ���� � ���

�����

4. True

SECTION-B

5. OA = OD = 5 cmAB = 8 and OD AB

AC =12

AB = 4 cm

SoOCA is a right triangle

OC = 2 2OA AC�

= 2 25 4 9 3� � � cm.

CD = OD – OC = 5 – 3 = 2 cm.OR

��� �� 9� ��� ����� ���� ���� �� �%���*�������������%����� ����� �������������� �������������� �������� ������ ����*�������

Page 95: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

95��������������

�S ���*�� �#���

9S ��$� ���

��� �,���

6� ����� ������S9��9� ��S��/�9S�

�#� / ,� �# / #� �)) �9 ��)���8����� �������������� �������)����

6. Mean of 5 observations = 30 Sum of the 5 observations = 150

Mean of 4 observations = 28 Sum of 4 observations = 112 Excluded observations = 150 – 112

= 38.7. ������������� &� / #����������������

�������� *� ���� ���� ��� ���� ����������� �� �� � ����� ����� *� ���� ������������� ����������������������� �����������������������������������������

8. Total number of students = 80(i) Number of students getting less than

40 marks = 8 + 16 = 24 P(getting less than 40 marks)

= 2480

= 0.3

(ii) Number of students getting 60% ormore marks = 10 + 6 = 16.

P(getting 60% or more marks)

= 1680

= 0.2.

9. ��2*�J� 12

��2*����

2S���������� ��������������

��������� ������������� ���

AAAAAAA � 12����������� )�

10. 2�3��1�������������������� ������������������ ��������� ���������������� ������������������������� ������������

���� �������� ��� ���

SECTION-C

11. Since ABCD is a parallelogram BC AD. 5x = 25°

x = 5°

Similarly, AB DC

6y = 60°

y = 10°

Hence x = 5°, y = 10°.

We know that the area of a parallelo-gram is twice that of a triangle if boththe figures are on the same base andbetween the same parallels.Here, ACD and parallelogram ABCDare on the same base DC and betweenthe same parallels AB and CD. ar(ACD) : ar(parallelogram ABCD)

= 1 : 2.

12. �� �& ��� ��� ������ � ����/���� �2�����/�&�

��&# / ��� �#�� ��� � ��� �������-����� ���� ����� �������

��

% & % �� ��� ��)����

-����� ���� ����� ��)�������� �) % ��)����� ���))����

13. The coordinates of the points lying onthe line parallel to the y-axis, at adistance 4 units from the origin and inthe positive direction of the x-axis areof the form (4, a).Putting x = 4, y = a in the equationx + y = 6, we get4 + a = 6 a = 6 – 4 = 2Thus the required point is (4, 2).

ORSince the point (3, 4) lies on the graphof 3y = ax + 7, therefore, x = 3 and y = 4satisfy the equation. 3 × 4 = a × 3 + 7

Page 96: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

� ��������������

12 – 7 = 3a a =53

.

Now, equation will be 3y =53

x + 7

Putting y = – 1, 3(–1) =53

x + 7

– 3 – 7 =53

x

(Transposing)

– 10 × 3 = 5x(Cross-multiplication)

x = – 10 × 3

5= –6.

14. Given: ABCD is a �gm in which X andY are the mid-points of opposite sidesAD and BC respectively.

To prove: AP = PQ = QC.

Proof: Since AD and BC are oppositesides of �gm ABCD.

AD = BC and AD�BC

12

AD = 12

BC

and AX or XD ��BY or YC

XD = BY and XD ��BY

BXDY is a parallelogram.

XB ��DY

Now, BPC, Y is the mid-point of BC

and YQ ��BP (� XB ��DY proved above)

Using mid-point theorem,Q is the mid-point of CP,i.e., PQ = QC …(i)Similarly, from AQD, P is the mid-point of AQ i.e., AP = PQ …(ii)

From (i) and (ii), AP = PQ = QC.

Hence Proved.

15. )����� ���������� �����

�7������������������� � ���

�227

25 21

��� � �� � �����

��#�)������� ����� ������ ����������������

����� �� �

227

5 21

��� � �) � � ���

�##)�����

16. ABC =12

AOC

So angle subtended by an arc at thecentre of the circle is double the anglesubtended by it at any other point ofthe circle.

i.e., AOC = 2ABC = 2 × 45° = 90°Hence, OA OC.

17. �����?�� � ������� ��� ������� ������� ���������������������@

�� ������S� ? � ������

# ��� �, � �� IIII ��� IIII ��� ��� ��� IIII ��� ,�� ���� ��& ���� ��� �� �

������ ���

8� ���������� ������������������(�%����� ����������� ��� ����������������������������

Page 97: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

97��������������

18. Given: In ABC, BC = 7 cm, AB + AC = 13 cm and ABC = 75°.Steps of construction:

1. Draw a ray BX.

2. Cut BC = 7 cm from BX.

3. Construct YBC = 75°.4. With B as centre and radius = 13 cm, draw an arc which cuts BY at D.5. Join DC.6. Draw perpendicular bisector of DC, which intersects BD in A.7. Join AC.

ABC is the required triangle.OR

Steps of construction:1. Draw a line segment BC = 3 cm.2. Make RBC = 40° at B.3. Cut BP = 1.5 cm from BR.4. Join C and P.

Page 98: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

� ��������������

5. Draw perpendicular bisector ofPC, meeting BR at A.

6. Now, join A and C.Thus, the required triangle ABC isformed.

19. Let the ratio constant be x,then the radius = r = 3xand the height = h = 4x

Volume =13r2h

301.44 =13

× 3.14 × (3x)2 × 4x

301.44 × 33.14 × 9 × 4

= x3

x3 = 8 x = 2 cm. Radius = 3x = 6 cm

Height = 4 × 2 = 8 cm

Slant height = r h2 2�

= 2 26 8�

�36 64

100 10 cm.�

OR

C.S.A. = 12320 cm2

Let l be the slant height.

r = 56 cm.

rl = 12320

l22

567

� � = 12320 l = 1232022 8�

l = 70 cm

Now, h = l r2 2�

= 2 270 56�

= (70 56)(70 56)� �

= 126 14� = 2 63 2 7� � �

= 2 7 3 3 2 7� � � � �

Height = 2 × 7 × 3 = 42 cm.

20. Let number of girls be x

Sum of marks obtained by girls = 67x

Let number of boys be y

Sum of marks obtained by boys = 63y

x + y = 80

y = 80 – x ...(i)

Sum of marks obtained by boys and

girls together = 64.5 × 80

67x + 63y = 64.5 × 80

67x + 63 × 80 – 63x = 64.5 × 80[From (i)]

4x = (64.5 – 63) × 80

4x = 1.5 × 80

x = 1.5 × 20

x = 30

Number of girls = 30

Number of boys = 80 – 30 = 50.

SECTION-D

21. Here the class intervals are in inclusiveform. Therefore, the lower limit and theupper limit both are included in thecorresponding class interval.Total number of students = 30One student is chosen out of 30 studentsat random.

(i) Number of students whose weight isless than or equal to 45 kg

= 9 + 5 + 14 = 28

Probability that his weight is less

than or equal to 45 kg =2830

=1415

(ii) Number of students whose weight isat most 40 kg, that is, 40 kg or less

= 9 + 5 = 14

Page 99: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

99��������������

Probability that his weight is atmost 40 kg

=1430

= 7

15(iii) Number of students whose weight is

at most 50 kg, that is, 50 kg or less= 9 + 5 + 14 + 2 = 30

Probability that his weight is atmost 50 kg

=3030

= 1

(iv) Number of students whose weight ismore than 50 kg = 0

Probability that his weight is morethan 50 kg

=030

= 0.

OR

The experimental probability of an eventis given by

P =

Number of trials in which theevent has happened

Total number of trials

Total number of trials = 150Number of times 3 heads appeared = 24Number of times 2 heads appeared = 45Number of times 1 head appeared= 72Number of times no head appeared = 9Let E1, E2, E3 and E4 be the events ofgetting, 3 heads, 2 heads, 1 head and nohead respectively. Then

P(E1) =

Number of times 3 headsappeared

Total number of trials

= 24

150 = 0.16

P(E2) =

Number of times 2 headsappeared

Total number of trials

= 45150

= 0.30

P(E3) =

Number of times1 headappeared

Total number of trials

= 72

150 = 0.48

P(E4) =

Number of times no headsappeared

Total number of trials

= 9150

= 0.06

Sum of all these probabilities

= P(E1) + P(E2) + P(E3) + P(E4)

= 0.16 + 0.30 + 0.48 + 0.06

= 1. Hence proved.

22. Two parallelograms PQRS and MNRS, onthe same base SR and between the sameparallels PN and SR are given. We needto prove that ar(PQRS) = ar(MNRS)

Proof: In PMS and QNR,1 = 4 (Corresponding angles)2 = 5 (Corresponding angles)

3 = 6 (Angle sum property)

Also, PS = QR (Opposite sides of gm

PQRS)So, PMS QNR (By ASA rule)Therefore,ar(PMS) = ar(QNR)

(Congruent figures have equal areas)

ar(PMS) + ar(MQRS) = ar(QNR)+ ar(MQRS)

[Adding ar(MQRS) to both sides] ar(PQRS) = ar(MNRS)

Hence proved.

Page 100: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

��� ��������������

(i) We know that a rectangle is also aparallelogram.Thus, parallelograms ABCD and EFCDstand on the same base DC and liebetween the same parallels DC and EB. ar(ABCD) = ar(EFCD)

(ii) ar(ABCD) = Base × Height= (DC) (AM).

23. Rectangle is rolled along its length l = 44 cm = circumference of the

base of the cylinder 2r = 44 cm r = 22

r = 22�

=2222

× 7

r = 7 cm and h = 20 cm.C.S.A. = 2rh

= 2 × 227

× 7 × 20 = 880 cm2

Volume = r2h

= 227

× 7 × 7 × 20 = 3080 cm3.

24. Given: A circle whose centre is O and�ACB and��ADB are two angles formedin the same segment of the circle.

To prove:��ACB = �ADBConstruction: Join OA and OB.

Proof:��AOB = 2�ACB ...(i)and �AOB = 2�ADB ...(ii)

(Angle subtended by an arc at the centreis double the angle subtended by it atany other point on the remaining partof the circle.)

From (i) and (ii), we get

2�ACB = 2�ADB

�ACB = �ADB

Thus, angles in the same segment of acircle are equal.

OR

Given: AB = 2AC and radius OA = r.

Let OM AB and ON AC. Hence, OM= p and ON = q.

To prove: 4q2 = p2 + 3r2

Proof: In right-angled triangle OAM,

OM2 + AM2 = OA2

(Using Pythagoras Theorem)

p2 +2AB

2� �� �� �

= r2

(... AM = MB =AB2

)

p2 + 22AC

2� �� �� �

= r2 (... AB = 2AC)

p2 + AC2 = r2

p2 + (2AN)2 = r2 (... AN = CN = AC2

)

p2 + 4AN2 = r2 ...(i)

In right-angled triangle OAN,

AN2 + ON2 = OA2

(Using Pythagoras Theorem)

AN2 + q2 = r2

AN2 = r2 – q2

Putting this value in (i), we have

p2 + 4(r2 – q2) = r2

p2 + 4r2 – 4q2 = r2

p2 + 3r2 = 4q2

i.e., 4q2 = p2 + 3r2.

Hence proved.

Page 101: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

101��������������

2�����7����������������� ��2S�� �����2���8�����

27. 6� �������*��J�

AB = CD

12

AB = 12

CD

AP = DR ...(i)

(P and R are the mid-points of ABand CD respectively)

As S is the mid-point of AD,

AS = SD ...(ii)

In APS and DRS,

AP = DR [From (i)]

PAS = RDS (Each 90°)

AS = SD [From (ii)]

APS DRS

(SAS criterion of congruence)

PS = RS ...(iii) (CPCT)

Similarly, we can prove that

PQ = RQ, SP = QP and QR = SR ...(iv)

Using equations (iii) and (iv), weconclude that

PQ = QR = RS = SP

PQRS is a rhombus.

28. ���� 9� ��� 9� ��� ���� ��� �� ��� ����� ���� ��� ����� �)� ��� ��� ,� �� ����������� ��� ���� �!� ��� ���� ������ ��� ��

��������9� �) ����9� , �������!

�������

25. ���� ���� ������� ����� � ��� ���� ��

���� � ���/���%����

� ���������

��� �� �� �

6������� ������ ����-�� ����

$���� ������ ����-�� ���������

������ �

� �� �

$������ �������� ����������� ����� ��

��

� �� �

�% �)),

� �

THHG G

THHG

!

�� �� �� �� �

�% �)),

�����

����

% �)),

�THHHH EHHTHH m

THH! !

�����

���� ��

,� �

� �����

� �

26. 2���"�����2��� �bE� 8�����2��� �,���

7���������������������� ����

��EEb %�

bE�%�

bE�%�,� ��),����

2����7���������������� �

��� � � �b b b EE

C E E E b �,��,�����

��7��������������������* ��),���,��,�� ���,��&����

7������������� � � � �T EE b bC b E E

�%�,

����,�����

�7��������������������� ��),������,� ������&����

�������������������*�������������������

Page 102: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

��� ��������������

�� ��� � ���

6� ����� �����9���

�������

9�� 9���/����

9� � � � �� � �� � � �

�� � � �� �

6� ����� �����9�����������

9�� 9���/����

9� � � � �� � � � � � �

�� �� � �������

99 9��/��9

2,�/���������� ����������

29. Steps of construction:

1. Draw a line segment MN = 13 cm.

2. Construct an angle of 60° at M and45° at N such that PMN = 60° andQNM = 45°.

3. Draw the bisectors of 60° and 45°which intersect each other at A.

4. Draw the perpendicular bisectors ofMA and NA, which meet MN at Band C respectively.

5. Join AB and AC.

ABC is the required triangle such that AB + BC + CA = 13 cm and base angles B= 60° and C = 45°.

Page 103: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

103��������������

30. Let the total distance covered be x kmand the total fare charged be � y. Thenfor the first km, fare charged is � 10 andfor remaining (x – 1) km fare charged is� 4 (x – 1).

Therefore, y = 10 + 4(x – 1)

= 4x + 6

The required equation is y = 4x + 6.

x 0 – 112

y 6 2 8

��� (i)

S� ? �������� ? $������������)%�) ��)%�) ��)%�) ��)%�) ,�)%#) �#)%&) �

(ii)

Practice Paper–5

��,�"��4�

�� 6� ���� 6������ ������ ���� �� ���� �� ����� ���������������� ����������

� -�������������N88��8����8����O

"���� ���� ���������� ���

�� �������������������������

2�������������������� ����

2 2 2l b h � 2 2 210 10 5

� 100 100 25 � 225 � ������

�� * ��� ���� ������ 2�� ?�� �������� ��

�����#���,���)������������������#)

S���� �th9 1

2

��� ������ ��� ?�

��,�"��45

�� 2�� *��������� � �� � ������ �%� ������������������ �)�8������� ����� �������� �����2��� &�� �����������(� �����

&�������/�)� �)�

8������� �&��� �������� �)�

Page 104: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

��� ��������������

�� � � � � ���� ���

�� �

� � � � � ��

� � � � � � �

� � � ���� ���

� �� � � � � �

� �� � � � � �

�� ��

� �������� ��� ������������-���� ���� ��� ��� ��� � ���� ��� ����� ����� ������#)R���� ��� ��

�#� /� ���� /� ,�� /�� ��#)R ���� /�� ��#)R � ��)�R8����� ���� ��� ������� �� �)�R�

� ���� ���� ���� ���� ���� �������� �������� ��

)���������� � � �x x x x1 2 3 16......

16 �,

� �� / �� / �� /� �������� / ��� � ��,6���� �������� ������������ �� ���������� ���������������/������� /�������/���� ��������� ����� /���$������

�x x x x1 2 3 162 2 2 ....... 2

16

�x x x1 2 16........ 32

16

�128 32

16

� �16016

� ��)

�������������������)�� *��������������� ���������� �����2)����

*��� ��)R 2*����������%�� �������� ��������

*������� ���� ��������*������������������������ ����� ��� ��*����������*��� �*���/�����

��� *��������������� ���� ������*�� ���� �*�� ���2���

J������%����������

�J� �J�� �BC2 2

a

�J������������ ���� �����

* ������*�� � 234

a ]2��

* �������J� �3

4�J�� �

234 2

a

�23

4 4a � � 21 3

4 4a

�142� ������*����

��

�-��������������!"�������������2)������9� �9- !9� �� ������ ��� �!-� ��� "9� �����������"-�6��!-��!9������������2�9!�� ���2-9!� ]2��� � � � � � � � � � � � � 2*���� ?��������� �����

������� ��� ���� ���� ��������������� ���

6��"-��"9�������������2�"9� ���2-"9� ]2���

��2�!"� ���2�9!��/���2�9"� ���2-9!��/���2-"9�

����N���2������2���O ���2!-"��

����� ��� �+���,�"��4,

���

�*��������� ���� ���� �����

Page 105: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

105��������������

�� *�there are 100 tickets and one ticket isdrawn, so there are 100 possibleoutcomes.

Let A be an event that ‘‘the numberdrawn is a multiple of 3 or 5’’.

Favourable outcomes for a multiple of 3are 3, 6, 9, ....99, i.e., 33.

Favourable outcomes for a multiple of 5are 5, 10,.......100, i.e., 20.

Favourable outcomes for a multiple of15 are 15, 30, ......., 90, i.e., 6.

Therefore, favourable outcomes for anevent A are 33 + 20 – 6 = 47.

Hence, probability of a ticket drawnWhose number is a multiple of 3 or 5 is

P(A) =

Favourable outcomes foran event A

Total possible outcomesfor an experiment

= 47

100.

ORAs three coins are tossed once. Thereforethere are 8 possible outcomes, i.e., HHH,HHT, HTH, THH, THT, HTT, TTH,TTT.Let A be an event of ‘‘at least onehead’’. At least one head implies that inan event there can be one head, twoheads or three heads.Therefore, favourable cases for an eventA are seven, i.e., HHT, HTH, THH,TTH, THT, HTT, HHH.

P(A) =

Favourable outcomes foran event A

Total possible outcomesfor an experiment

=78

.

13. Sum of observations = 50 × 80.4 ��)�)

�� ������ ��)�) / �# � #� ��)�&

� � � � � � � �� ������� �404750

� �,)����

��� �� ����� ������������������ �2��/���/������� ������

� ����� ������������� ����� 7����� ����%���%������

��������

-� �����* ��� ��2���%���/���%��� � � � � � � � � � � � � � � � �/����%�������

��2�,�/��#�/��,�����

���%��������

������������ ���� ����� ��� ��������� ���������?���

����� � �� &)� ��� ��� ���� ����� � ��))����

����������� ������ ��������������� ��������?

���2� / ��

� %���

% &) % 2&) / �))�� ���

���)�%��&)����� ���,,))����

�����������������))����

�������� ����

���������������������� ���

��������������������,,))����

����

����%���,,))

�� ��

%���,,� �� ��,��

8����� ���� ���� ��� ������ ���� ����?��������������,��

��

2�� J������ ���� ������� ���

���� ���

����

������ ��) ��

6� ��� ����� ������ ��������������

���

� %���

%

% �)���

��)����

2��� ������������ �� ����)�%���)

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����))�

Page 106: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

�� ��������������

��� �� �����J����*��*� �� �������%����� ��

�*�����J� �12

�*�

�� ��� �����2���� ����2J���

�������-�����J����*�2�������*�

����J� ��*����2���J� �12

�*� ��*�

���*J���������

���J*�������2J���� ���2��*��������������]2��2������� � ����� ����� ���� ���� ��� � � � � � � � � � � � � � ����������������� �������$�����*����������������*������2*���� ����2��*������������������N*���2��*�� ���2*�*�O���2*���� ����2J����������N���2��O

�� * ��*�������+J�� ���� ����������� ��*�� �� ���+J 2)����

�� ���� � �� ����

*� ��J�2��� ���� ��������������� ��������� ���

� ���������

�� �

�����*� @ �J� �� @ ��

�� ������ ������������� ������������ ������� ������������)������ ���������� ���

��� �� � ���� ��� �124

��

��� ��� ��� ���� ��� �������� �� � �������������� �)�*��� ����� ��

�� ��� � �� �� � �� ������

�������� ���� ��������� ���� / �� ,���� ��������� ����

6���� �������/���� �, ��� �, � ��

� �� �8 – 2x

x���� )�

��� ��� ��� ���� ���������������� 8 – 2xx

� )���� 6� ���� ����� ��� *"���� *� "�� ��

�� "*�������AA2����*� "������� "!�

-��*"��������� ������ ��� �� �"*-����� ����*!��������� ������ �� �� �*!��� ��� �� �� �"*� �*!��*����������%��������"! "! ����-����� ��� �! � �*�� ��� "�� � �*�$��� *� ���� ��* �! �!"� �"�8������!"����������� ���� �����

�� ������������� �������������������"������� �������������� ���J������ �����������

���2������� ���������� ���

2)����

�� ���2�"�

2���J������ � ���%� �����

�� ���

" " �

-��.�h/ h0*�h.1-��.�h/ h0*�h���0*

���

���

��

����

Page 107: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

107��������������

��� ���

� ��

����

�164

� � �7���������������� 164

���������

������ ���

��� ��� ������� ���� ���� ��������164

��,�"��46

�� 2���6�*������*J���� �� 2*��������*�*�� �*� 2������������ �� 2*����������

*�� �*J� 2���*-*� *� �*J 2�����*����*� ��J����*J� ���

2�� 9���������������� ������� *� ���� ��J� �*J

8�����*��J�������� ��

2���������J��6�*�J��*�� �*J

� �& ���2��*��� � �,����2����2*��� ���������� & �# 2*��� �������� � �#����&� �,8������J������������J�

� ����������� ������������������� �������

������������� ����� ������ ��

-� ����

$��� ��� ���� �� � � %�����

�� % ���

��

��������� ����� ������ ��

-� ���%��

��� �

� �� � �

���

-��� �� ���� ��� ���� �� �� ���� � ����� ��

� � �

� ��

% �)),

� �

��

��

� �

� �

% �)),

���

% �)),� �bTF

%��)),

����&�,�

OR

Let radius, height and slant height of thecone be r metres, h metres and l metresrespectively.

Curved surface area = 188.40 m3

rl = 188.40

3.14 × r × 2 64r � = 188.4

(... l = 2 2r h� and h = 8 m)

r 2 64r �= 60

r2(r2 + 64) = 3600

(Squaring both sides)

r4 + 64r2 = 3600 x2 + 64x – 3600 = 0,

where x = r2

x2 + 100x – 36x – 3600 = 0 x(x + 100) – 36(x + 100) = 0 (x + 100) (x – 36) = 0 x = – 100 or 36 r2 = – 100 or 36 r2 = 36

(Square of a real number can'tbe negative)

r = 6 m

Volume =13r2h

=13

× 3.14 × 6 × 6 × 8

= 301.44 m3.�� 9��� ��������������������)R � #)R� �)R

�� J ����!� ��)����

Page 108: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

�� ��������������

�� *������� ������

���#)R� ��)R�����

�� *��!���� ����������)R� ���R�����

�� ��������� ��� �������*�

�� J ����� �������� ������� ����*����*!�

6�� ������!���������� ���������������*�����*��

�����*��������� ���� ���� �����

ORSteps of construction:

1. Draw a rayBY and cutB C = 8 c mfrom it.

Page 109: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

109��������������

2. Make YBX = 90° at B.3. From BX, we cut a line segment

BD = 12 cm.4. Join C and D.5. Draw the perpendicular bisector of

CD, which intersects BX at A.6. Join A and C.

Thus, ABC is the required triangle.

�� Curved surface area of the conical tent= Area of cloth used in it, i.e., 165 m2

rl = 165

227

× 5 × l = 165

(... Base radius = 5 m)

l = 165×722×5

= 212

m.

h = 2 2–l r =

2221

– (5)2

� �� �� �

= 441

– 254

= 441 –100

4

= 3412

m.

(i) Base area = r2 = 227

× (5)2

=22 25

7�

m2

For a student, area required 57

m2

So, the number of students that can sit

in the tent = 2

Base area of tent5

m7

=22 25 7

7 5�

� = 110.

(ii) Volume of the cone = 13

r2h

=13

× 227

× (5)2 ×3412

=275 341

21=

275 18.4621g

= 241.7 m3.

�� 2����J������ � ��,������� ������7����� ��,�#�����

����� ��,�#

���

% ���

% 2���� % � ��,�#

��� ����� � �� � �

� �

� �

��� ��,����

2���� � � �� �� � � � �iTGj iGBj�

� TdF ECHG� � � EaHH � ��)����

2������� ����� ������ ��� ��

���

% �� %��)� ��� % � % �)

���))�����

�� ���� �� ������ ��� *��J� ��� *��J��� ���� ���� ����J�� ��� ������� ��������� ������*�����J��� ������2����� �������������� ��������

��2*��J� ���2*��J�6�*J*��������

J** ���� ���2��2�� ������������*J ��

���� ��� ���*��**J ���� ���2���

2�� �����������*J ������� ��� ���*��

��� ��� ��*J* ���� ���2����

2*������� ��� ��������� �����*��� *J ��� ���2��

29�������������������� ����%�� ���*��J�

-�� *J* ����N���*-*� ��������2����2���������2��O

��� ��� ����2*J*� ���2���� ���2�

2�� ������� �������������� ���*������2*J����������������������

��2*J*� / ��2*J��� ��2���� / ��2*J�����2*��J� ��2*��J�

Page 110: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

��� ��������������

������� ������ ���*��J����*��J� ����������� ���

2�� ��� ?��� ����� �� ������� �� ����� ��� ������ ���

����*��J����*��J������������������������������������������ ������

��2*��J� ���2*��J�

2��� ��2*��J� �J��*J

����2**SJ������ ������

*J �*S

���� �����2*��J� �2J��2*S��

� *������������ ���������������������� ����� �� �� ����� ��� ����� ���������� �������������� �������� ��?������� ����������� ��������������� ������������������ ��� ���� ���� � ������ ��� �� �� ����

8� �� ��� �� )��� � ��� �� �

51 – 502

�� � ������

������������������������������ ���%����

J������� �$��� ����� ?� 2�� �����

��)��%�)�� �

��)��%�))�� &

�))��%��)�� �

��)��%�))�� �

�))��%��)�� �

��)��%�))�� �

�))��%��)�� �

��)��%�))�� �

���� ���� ��� ���� ��� �� ���������

� �� ?����� ��������� ���%�J������ �������

6�� ���� ������ �� ��� ������ ����� �����������

�� ?����� ���%�2�������� ���������

6��� �� ������ ?����������������� ��������� ���� ���� ���� � �������� �������

��� ������������������������ ����

� ) � �

� ) � #

������� ���� ����� *2)�� )����2��� ��� ���2���#����� ������������������� ����������������������� ���������

N��� ����� ��� ���� ���� ������ ������������ ?��������������������O

6��� �������� ?����

� �� ���

� � � � �� %��� �#�����

Page 111: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We

111��������������

��� �� ���� � ��� ���� ���� ��� � ��� ��� �������� ���������%�(�������������2��� )�������� ���� ���� ��� ��������������� ����������� ������������ ��2���#���6����������� ?�������#���������������� ?�������������������������

� ���� 9� ��� 9� ������ ��� �� ��� ����� ���� ��� ����� �)������,���� ��%�����������������!��� ���� � �������� �� ��� ����� ���� ���� ���� ���� ������� ����� ������ ������������������9� �) ��� 9� , ������!� �������-����������������� ����������� ���������� ������� ���������������������������������� ���������� ��������������� ����� ��������

�� ��� � ���

*��9��� �9��� ��)R6� ����� �����9�����������

9�� 9���/����

9� � ��� ��� � ��� ��

�� � ����

6� ����� �����9�����������9�� 9��� /����

9� � ��� �� � � � �

�� � ����� �

99 9��/��9� �2,�/��������� ���������

��� 2������� ��������� %��� ����� �������������*������J2������� �������������������9�������������*��������J���96�9*�����9�J

*� ��J�2)����9* � 9�� 2*���

��������� �����9� �9J

2*������������� ����� 9*� ��9�J N---O *9� ��9J 2�������� ��� ��� ���� ����� %��� �� ������������������������� ����������������2������� � �� ���� ���� ����� ��� ����� ��� ���� ���� ��������� ������������������������� ���������� ��������������������� ���� �� ��� ����� �������������������������� ������ %��� �� ���������� ��@,��� "� 6� �� ��6� ��������� ������� ������� ���%��� ������� ������������ ���� �������������� �#)R,��� ""��6��� ���6� ���� ����� ���� ����� � ��� �� ����� ����������� �� ��,)R��������������� ���������������������������@

#)R e�e��,)R 2*���e��e������������� ���� ��� ������ ���#)R����,)R��(�����������2�����2����� ��������� ����

2� ����� 2�� ������ �� �� ���� ����� ������� �������

2�� *������� ���� ���������������2���6��� �������������������-���%���������"����������

��� �������������

Page 112: CONTENTS - SARASWATI HOUSE Material/ix_math_… · ˇ Given equation is y – 2 = 0 ⇒ y = 2. Here y is always 2 and x can be any number. Table for points is x 1 01– y 22 2 We