Construcción de un sistema vibratorio de dos grados de ...

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Artículo Revista de Prototipos Tecnológicos Diciembre 2018 Vol.4 No.14 1-10

Construcción de un sistema vibratorio de dos grados de libertad: Análisis modal

Construction of a two degrees of freedom vibratory system: Modal analysis ZUÑIGA-MOCIÑOS, Gerardo†*, SÁNCHEZ-VILLEGAS, Héctor Sabás y RAMÍREZ-VARGAS,

Ignacio Instituto Tecnológico de Pachuca

ID 1er

Autor: Gerardo , Zuñiga-Mociños / ORC ID: 0000-0002-8952-7663, Researcher ID Thomson: P-6230-2018, CVU

CONACYT-ID: 935800

ID 1er

Coautor: Héctor Sabás, Sánchez-Villegas / ORC ID: 0000-0001-5067-9603, Researcher ID Thomson: P-6223-

2018, CVU CONACYT-ID: 935799

ID 2do

Coautor: Ignacio, Ramírez-Vargas / ORC ID: 0000-0003-1887-8949

Recibido: Septiembre 03, 2018; Aceptado Noviembre 07, 2018

Resumen

En este trabajo se realiza el diseño dinámico y la

construcción de un simulador de vibraciones, el cual

consiste en una estructura de dos niveles adaptada a una

mesa vibratoria; lo anterior permite determinar, mediante

el problema del eigenvalor, las frecuencias naturales y

modos de vibración en sistemas excitados. Conocer la

respuesta vibratoria de edificios y construcciones, en

general, permite determinar en forma precisa las

propiedades dinámico-estructurales necesarias para que

los daños provocados sean predichos y cuantificados. Se

realiza una comparación de resultados teóricos, frente a

las respuestas, frecuencias y desplazamientos obtenidas

de manera experimental. La mesa vibratoria puede ser

adaptada para responder a excitaciones periódicas y

aleatorias, dadas mediante un generador de señales y/o

mecanismos generadores de funciones. Los resultados de

este trabajo abarcan aspectos de rigidez y frecuencias que

permiten obtener conclusiones acerca de los efectos que

sufrirán las construcciones de dos niveles, con lo cual se

evitarán daños irreversibles y la puesta en resonancia de

la estructura cuando esta se someta a una frecuencia

determinada; este trabajo da pauta a futuros análisis de

estructuras más complejas. Sin duda es importante

conocer la forma en que reaccionarán las estructuras a los

movimientos vibratorios, pues nuestro país cuenta con

diversas zonas de alta actividad sísmica.

Análisis modal, Modos de Vibración, Frecuencia

Natural.

Abstract

In this work, the dynamic design and construction of a

vibrations simulator is performed, which consists of a

vibrating table adapted to a two-level structure; this

allows, through the eigenvalue problem, determine the

natural frequencies and vibration modes in excited

systems. Knowing the vibratory response of buildings

and constructions in general allows to determine in a

precise way the dynamic-structural properties necessary

to predict and quantify the damages caused. A

comparation of answers, frequencies and displacements

obtained experimentally, with respect to the theoretical

results is carried on. The vibrating table can be adapted to

respond to periodic and random excitations, given

through a signal generator and/or function generating

mechanisms. The results of this work include aspects of

the rigidity and frequencies that allows obtain

conclusions about the effects that two-level constructions

will undergo, which will avoid irreversible damage and

the resonance of the structure when it is subjected to a

specific frequency. This work gives guidelines for future

analysis of more complex structures. It is undoubtedly

important to know in which way the structures will react

to vibratory movements, since our country has several

zones with high seismic activity.

Modal Analysis, Vibrating Modes, Natural Frequency

Citación: ZUÑIGA-MOCIÑOS, Gerardo, SÁNCHEZ-VILLEGAS, Héctor Sabás y RAMÍREZ-VARGAS, Ignacio.

Construcción de un Sistema Vibratorio de dos grados de libertad: Análisis Modal. Revista de Prototipos Tecnológicos.

2018. 4-14: 1-10.

* Correspondencia del Autor (Correo electrónico: [email protected])

† Investigador contribuyendo como primer autor.

© ECORFAN-Spain www.ecorfan.org/spain

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ISSN: 2444-4995

ECORFAN® Todos los derechos reservados ZUÑIGA-MOCIÑOS, Gerardo, SÁNCHEZ-VILLEGAS, Héctor Sabás y RAMÍREZ-VARGAS, Ignacio. Construcción

de un Sistema Vibratorio de dos grados de libertad: Análisis

Modal. Revista de Prototipos Tecnológicos. 2018

Nomenclatura

: Masa del piso 1

: Masa del piso 2

: Rigidez equivalente del piso 2

: Rigidez equivalente del piso 1

: Desplazamiento en el eje x del piso 1

: Desplazamiento en el eje x del piso 2

: Velocidad del piso 1

: Velocidad del piso 2

: Aceleración del piso 1

: Aceleración del piso 2

[M]: Matriz masa

[C]: Matriz amortiguamiento

[K]: Matriz rigidez

{X}: Vector posición

{Ẋ}: Vector velocidad

{Ẍ}: Vector aceleración

E: Módulo de elasticidad

I: Momento de inercia de la sección trasversal

: Longitud efectiva de la columna

: Desplazamiento horizontal del piso 2 en el

primer modo natural de vibración


primer modo natural de vibración


segundo modo natural de vibración


segundo modo natural de vibración

: Frecuencia natural

: Frecuencia del primer modo de vibración

: Frecuencia del segundo modo de vibración.

Introducción

El estudio de las vibraciones mecánicas data del

siglo XVII con la investigación realizada por Galileo Galilei acerca del movimiento del péndulo simple, plasmada en su obra Discorsi e

dimostrazione matematiche in torno a due nuove scienz, posteriormente Robert Hooke en

el mismo siglo realizó experimentos en cuanto a la relación que existe entre el tono de una cuerda y su frecuencia de vibración.

Joseph Sauveur y John Wallis

estudiaron las formas modales en cuerdas vibrantes. En 1686, Issac Newton postuló las leyes de movimiento, de las cuales la segunda

ley es comúnmente usada para derivar las ecuaciones de movimiento de un cuerpo que

vibra. Brook Taylor y Joseph Lagrange describieron la solución analítica a la cuerda vibratoria.

Leonard Euler en conjunto con Daniel

Bernoulli analizaron vigas delgadas con distintos apoyos. (Rao, Singiresu S. 2012)

En la actualidad el análisis vibracional es de gran relevancia, pues cualquier tipo de

estructura o máquina que impliquen movimiento presenta en cierto grado vibraciones mecánicas, siendo en casos

específicos que estas vibraciones son indeseables ya que pueden inducir una falla al

sistema o al proceso que se lleva acabo, de igual manera en el ámbito de la edificación es de vital importancia el análisis dinámico de las

estructuras debido a una variedad de factores, por una parte está el requerimiento de crear

estructuras cada vez más esbeltas, lo que hace que los periodos propios de éstas aumenten provocando que las frecuencias naturales de

tales estructuras se vean afectadas al disminuir su magnitud y como consecuencia la estructura

puede entrar en resonancia con una mayor facilidad. (A. de Miguel, 2011)

Por otro lado se encuentra la necesidad de predecir y controlar la respuesta de edificios

ante la presencia de fenómenos sísmicos siendo esto de gran interés en la comunidad científica mexicana debido a los recientes hechos

acontecidos en varios estados del país y a la posibilidad de que eventos como este se repitan.

(J. Hurtado, 2000)

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Para lograr determinar la respuesta del

sistema, se debe considerar el equilibrio dinámico de las todas fuerzas, incluidas las de

inercia, en cada instante de tiempo. La respuesta dinámica de un

determinado sistema se da mediante una expresión matemática a la que se conoce como

ecuación del movimiento, la cual se deriva con mecánica clásica, más concretamente se aplica la segunda ley de movimiento de Newton. (A.

Chopra, 2014)

Para un modelo de varios grados de libertad los valores de masa, amortiguamiento y rigidez se convierten en matrices quedando:

[ ] [ ] [ ] (1)

En donde las matrices son cuadradas de

orden n que es el número de grados de libertad del sistema. (A. de Miguel, 2011)

Para un sistema de dos grados de

libertad hay dos ecuaciones de movimiento, una

para cada masa o cada grado de libertad y son por lo general de la forma de ecuaciones

diferenciales acopladas, esto es, que cada ecuación implica todas las coordenadas. Si se supone una solución armónica para cada

coordenada, las ecuaciones de movimiento proporcionan una ecuación de frecuencia de

donde se obtienen dos frecuencias naturales para el sistema. Si le impartimos una excitación inicial, el sistema vibra en una de estas

frecuencias naturales y la vibración resultante será una superposición de los 2 modos normales

de vibración. (Rao, Singiresu S. 2012) Durante la vibración libre en una de las

frecuencias naturales, las amplitudes de los dos grados de libertad se relacionan de una manera

específica y la configuración se conoce como modo normal, modo principal o modo natural de vibración por lo tanto un sistema de dos

grados de libertad tiene dos modos normales de vibración correspondientes a las frecuencias

naturales. (W. T. Thomson, 1982) Bajo excitación armónica ocurre la

resonancia, es decir, las amplitudes de las dos coordenadas serán máximas cuando la

frecuencia forzada sea igual a una de las frecuencias naturales del sistema. (Rao, Singiresu S. 2012)

Construcción de la Mesa Vibratoria.

Para llevar a cabo el análisis de la estructura de

manera experimental es necesario contar con un sistema que imparta la excitación, para esto se eligió un mecanismo biela-manivela-deslizador

el cual es adaptado a una estructura para su fácil manejo, la estructura usada es apreciable en la

figura 1.

Tanto la biela como la manivela fueron

hechas de solera de ⁄ de pulgada de espesor.

Para evitar problemas de impactos de los bujes

contra las guías se decidió hacer una biela de longitud variable, en la figura 2 se muestra la biela cuya longitud se puede incrementar o

disminuir mediante el uso de un sencillo arreglo de tornillos y ranuras.

Así también, en un extremo cuenta con

una bisagra la cual funge como perno liso al

atornillarse al tablero de MDF.

Figura 2 Biela de longitud variable

En la figura 3 se puede observar la manivela, que se encuentra soldada a un eje de acero y cuenta con un barreno a 0.019 metros

del centro, obteniendo así una longitud de carrera de 0.038 metros. El eje se colocó en un

par de rodamientos de ½ pulgada con el fin de que la manivela tuviera un giro balanceado evitando de esta manera agregar vibraciones

adicionales al sistema de estudio.

Figura 1 Estructura de perfil cuadrado de acero de 1

pulgada

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Figura 3 Conjunto manivela-eje montado sobre

rodamientos

El deslizador está conformado por un tablero de MDF, y en la parte inferior de este se

encuentran atornillados dos pares de bujes de Nylamid que se deslizan sobre dos guías de acero que fueron obtenidas a partir de

amortiguadores automotrices. En la figura 4 se observa el deslizador completo montado en la

estructura de acero.

Figura 4 Deslizador

Para poder controlar las revoluciones del motor utilizado fue necesario instalar un regulador de intensidad de corriente, el cual es

conocido genéricamente como dimmer. En la figura 5 se aprecia la instalación del circuito

sencillo para poder conectar el motor en la estructura

Figura 5 Dimmer o regulador de intensidad de corriente

Finalmente, en la figura 6 se observa la

mesa vibratoria armada, con la estructura a analizar colocada sobre el deslizador lista para

hacer pruebas.

Figura 6 Mesa vibratoria

Planteamiento Matemático del Problema

Se parte de la suposición de que el sistema es

de dos grados de libertad, como se muestra en la figura 7 y no tiene fricción, por lo cual el

amortiguamiento es nulo (Rao, Singiresu S. 2012) y en consecuencia la ecuación (1) queda de la siguiente forma:

[ ]{ } [ ]{ } [ ] (2)

Figura 7 Esquema del sistema de dos grados de libertad Para el piso 2:

(3)

Y para el piso1:

( ) (4)

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A partir de las ecuaciones (3) y (4) se

llega a la ecuación diferencial en forma matricial:

(

) (

) (

) (

) (

) (5)

Asumiendo:

Sustituyendo:

(6)

y

( )

(7)

En la figura 8 se muestra el diagrama de

cuerpo libre del nivel 2, donde aplicando la segunda ley de Newton (J. Hurtado, 2000), se deriva la ecuación (8)

∑

(8)

En la figura 9 se muestra el diagrama de cuerpo libre del nivel 1, del cual se obtiene la

ecuación (9) aplicando nuevamente segunda ley de Newton.

( ) (9)

De las ecuaciones (8) y (9) obtenidas de

los diagramas de cuerpo libre se deduce la siguiente ecuación diferencial en forma

matricial:

(

)( ) (

)(

) (

) (10)

Sustituyendo los mismos valores que en la ecuación (5):

(11a)

Y

(12a)

Así las ecuaciones (11a) y (12a) quedan:

(

) ( ) (11b)

( ) ( ) (12b)

Y se genera la matriz:

(

) (13)

Para calcular las contantes de resorte de las columnas para cada piso se tiene (Rao, Singiresu S. 2012):

Considerando:

Resulta una rigidez equivalente:

𝑘 𝑒𝑞 𝑥 𝑥 𝑚

Figura 8 Diagrama de cuerpo libre segundo nivel

𝑘 𝑒𝑞 𝑥 𝑥

𝑚 𝑘 𝑒𝑞𝑥

Figura 9 Diagrama de cuerpo libre del primer nivel

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Y siendo:

Se resuelve el determinante de la matriz (13) resultando de esto la ecuación (14):

0 (14)

La cual es una ecuación de cuarto

grado, y para facilitar su resolución se

considera como una ecuación cuadrático, como

consecuencia cada resultado estará elevado al

cuadrado, así obtenemos y

y

obteniendo su respectiva raíz queda:

Convirtiendo a Hertz:

Estas frecuencias deberán ser semejantes a las obtenidas de manera

experimental con la aplicación usada en los dispositivos móviles.

Método Experimental

Para la obtención de las frecuencias naturales de manera experimental se utilizó una

aplicación que se encuentra en la tienda Play Store, llamada myFrequency, la cual da un

registro de las vibraciones, generando una gráfica de aceleración ( ⁄ ) contra tiempo

(s). La aplicación genera tal gráfica para los tres ejes coordenados, de los cuales se eligió

solamente el x, ya que las oscilaciones de interés se dan sobre éste. Para realizar las

mediciones correspondientes se procedió a sujetar un dispositivo móvil a cada piso de la estructura de análisis.

En las figuras 10(a) y 10(b) se aprecian

las gráficas generadas por la aplicación del dispositivo móvil sujeto al primer piso durante

el funcionamiento de la mesa vibratoria; en ambas imágenes, el área sombreada representa el intervalo donde sucede el primer y segundo

modo natural de vibración, respectivamente. La frecuencia que muestra cada imagen es la

frecuencia promedio en el lapso seleccionado.

Figura 10 (a) Espectro de aceleraciones y frecuencia

promedio del primer modo de vibración en el primer

piso. (b) Espectro de aceleraciones y frecuencia promedio

del segundo modo de vibración en el primer piso.

Al abrir el espectro de frecuencias se muestra un gráfico en el cual se puede

proyectar la frecuencia en un determinado punto del intervalo previamente seleccionado. En la figura 11(a) y 11(b) se observan las

frecuencias naturales aproximadas obtenidas en el lapso del primer y segundo modo

respectivamente.

Figura 11 (a) Espectro de frecuencias y frecuencia

aproximada del primer modo obtenidas del dispositivo

móvil del primer piso. (b) Espectro de frecuencias y

frecuencia aproximada del segundo modo obtenidas del

dispositivo móvil del primer piso

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Así también, en la figura 12(a) y 12(b)

se muestran los espectros de vibraciones generados por el dispositivo móvil del segundo

piso al momento de la prueba.

Figura 12 (a) Espectro de aceleraciones y frecuencia

promedio del primer modo de vibración en el segundo

piso. (b) Espectro de aceleraciones y frecuencia promedio

del segundo modo de vibración en el segundo piso

Las frecuencias promedio medidas por ambos dispositivos son muy similares, tanto

para el primer como para el segundo modo de vibración.

De igual manera las frecuencias

aproximadas tomadas por el dispositivo del

segundo nivel son muy similares a las del primero, como se puede observar en la figura 13.

Figura 13(a) Espectro de frecuencias y frecuencia

aproximada del primer modo obtenidas del dispositivo

móvil del segundo piso

Figura 13(b): Espectro de frecuencias y frecuencia

aproximada del segundo modo obtenidas del dispositivo

móvil del segundo piso.

Las diferencias entre los datos de ambos dispositivos pueden deberse a pequeñas

variaciones de la longitud de las columnas, así como al desgaste de éstas, ya que al ser sometidas a cargas cíclicas tienden a fatigarse,

así también se observó que las columnas del nivel inferior sufren mayor deterioro respecto

de las columnas del nivel superior.

Modos Naturales de Vibración

Retomando las ecuaciones (11b) y (12b) y

sustituyendo los valores de las frecuencias encontradas se obtienen los desplazamientos de cada nivel.

De la ecuación (11b) se obtienen los desplazamientos en el primer modo natural de vibración en el cual ambos niveles se mueven

en un mismo sentido como se representa en la figura 14 (Rao, Singiresu S. 2012). Utilizando

y despejando queda:

(11c)

Figura 14 Representación del primer modo natural de

vibración

En la figura 15 se aprecia claramente la manera en que oscila la estructura de análisis al momento de alcanzar el primer modo natural

de vibración.

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Figura 15 Estructura en el primer modo natural de

vibración

Para el caso del segundo modo natural, que se representa en la figura 16, el

movimiento de los pisos es contrario uno del otro, es decir, mientras el desplazamiento de un

piso es positivo, el movimiento del otro será en sentido negativo (Rao, Singiresu S. 2012), esto se puede comprobar al sustituir y despejar

de la ecuación (12b), quedando:

(12c)

Figura 16 Representación del segundo modo natural de

vibración

En la figura 17 se observa el movimiento en sentidos contrarios de los pisos

de la estructura cuando ésta llega al segundo modo natural de vibración.

Figura 17 Estructura en el segundo modo natural de

vibración

Para comprobar que se cumplan las

igualdades (11c) y (12c) se llevan a cabo pruebas en las cuales se mide el desplazamiento

de los pisos respecto a un sistema de referencia colocado detrás de la estructura, se sabe que el ancho de cada rectángulo es de 0.05 metros.

Así también las marcas verdes de la

estructura en el inicio de la prueba se encuentran alineadas con las del sistema de referencia, de esta manera cuando la estructura

vibre en uno de los modos naturales se podrá observar el máximo desplazamiento de cada

piso cuando se traslade un determinado número de rectángulos, lo cual se traducirá en una distancia. En la figura 18 se muestra la

estructura en el primer modo de vibración donde se tiene que:

= 0.125 m, y

= 0.23 m

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Figura 18 Medición del desplazamiento de los pisos de

la estructura en el primer modo de vibración

Se realiza el mismo procedimiento para

el segundo modo de vibración como se muestra en la figura 19.

Figura 19 Medición del desplazamiento de los pisos de

la estructura en el segundo modo de vibración

Resultando de esta manera: = -0.09 m, y

= 0.05 m

Sustituyendo el valor de y en las ecuaciones (11c) y (12c), respectivamente, se

obtienen los valores teóricos de los desplazamientos del piso 1 para ambos modos

de vibración, quedando:

= 0.138621 m

= -0.09665 m

Valores que comparándolos con los obtenidos en las pruebas resultan tener una variación muy baja.

Resultados

El análisis matemático realizado ayudó a predecir el comportamiento del sistema de dos

grados de libertad en las pruebas experimentales y se lograron apreciar de

manera clara los modos de vibración del sistema, también se demostró que los cálculos son semejantes a los resultados obtenidos en las

pruebas.

En la tabla 1 se hace la comparación de datos de frecuencias naturales de vibración en Hertz obtenidas de manera teórica y

experimental.

Tabla 1 Comparación de frecuencias teóricas y

experimentales

En la tabla 2 se muestran los desplazamientos calculados teóricamente y los

obtenidos de manera experimental, los datos se dan en metros.

Tabla 2 Comparación de desplazamientos reales y

teóricos

Se realizaron las mediciones de los desplazamientos horizontales reales de ambos niveles y se compararon con los obtenidos de

manera teórica resultando éstos ser muy próximos.

Las variaciones entre los datos

recabados y los teóricos pueden deberse a

diversos factores, como lo son:

- Errores de medición. - Falta de homogeneidad en el material de

las columnas.

Frecuencias Teóricas Dispositivo 1 Dispositivo 2

Aprox. Prom. Aprox. Prom.

1.57 1.53 1.9 1.56 2.1

4.061 4.04 4.0 4.04 4.1

Modo Piso 1 Piso 2

Teórico Real Teórico Real

1ro 13.86 13 23 23 2do 9.665 9 5 5

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- Ruido generado por vibraciones

indeseadas.

- Diferencias entre las características de los dispositivos celulares.

También se observa que debido a la baja rigidez de las columnas se logra llegar

fácilmente a los modos naturales de vibración.

Conclusiones

Conocer el comportamiento de un modelo de

varios grados de libertad resulta de gran importancia, ya que con el planteamiento matemático, del cual se ha demostrado un alto

grado de precisión, se pueden calcular las frecuencias naturales y modos vibracionales de

una estructura a escala real, con esto se podrán tomar las acciones pertinentes para aumentar o disminuir la rigidez de la estructura y así evitar

la puesta en resonancia de misma, previniendo de esta manera daños irreversibles. Se observó

que en ambos modos vibracionales las columnas del primer nivel sufrieron los mayores esfuerzos y se fatigaban con mayor

rapidez en comparación con las columnas del nivel superior.

Los resultados obtenidos en este trabajo

podrían ser base de futuras investigaciones en el

análisis de estructuras más complejas a escala real, con amortiguamiento y sometidas a

oscilaciones no periódicas.

Referencias

Chopra, A. (2014). Dinámica de estructuras.

México: Pearson educación. De Miguel, A. (2011), Análisis dinámico de

estructuras en el dominio de la frecuencia. (trabajo de investigación), Universidad

Politécnica de Madrid, Madrid, España. Hurtado, J. (2000). Introducción a la dinámica

de estructuras. Manizales Colombia: Centro de publicaciones Universidad Nacional de

Colombia sede Manizales. Rao, S. (2012). Vibraciones mecánicas.

México: Pearson educación.

Thomson, W. (1982). Teoría de vibraciones, aplicaciones. México: Prentice hall.

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