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Conjuntos Fuzzy

Prof. Paulo Cesar F. De Oliveira, BSc, PhD

10/10/14 © Paulo C F de Oliveira 2007 1

Conjuntos Fuzzy

Seção 1.1 Características dos Conjuntos Fuzzy



Conjuntos Fuzzy

Estas propriedades e as operações são a base na

qual os Conjuntos Fuzzy são usados para tratar com a

incerteza de um lado e para representar o conhecimento

do outro

Conjuntos Fuzzy possuem propriedades bem definidas

Teoria clássica dos conjuntos desenvolvida no século 19 por Georg Cantor, descreve como os conjuntos discretos podem interagir-se. Estas

interações são chamadas de operações

A Teoria dos Conjuntos Fuzzy é uma extensão da teoria dos conjuntos clássica onde um determinado elemento tem diferentes graus de pertinência

Conjuntos Fuzzy

Seção 1.2 Operações com Conjuntos Fuzzy



Conjuntos Fuzzy § Um conjunto fuzzy é geralmente representado como:

A = (µA xi( ) xi,…,µA xn( ) xn )

onde é um par (elemento) do "grau de pertinência" que pertence a um universo do discurso finito:

( ) iiA xxµ

{ }nxxxA ,,, 21 …=

Valor de pertinência

Coordenada eixo horizontal (x)


Conjuntos Fuzzy


Conjuntos Fuzzy

§  Conjuntos Crips: quem não pertence ao conjunto?

§  Conjuntos Fuzzy: quantos elementos não pertencem ao conjunto?

Se A é o conjunto fuzzy, seu complemento ¬A pode ser encontrado como:

µ¬A(x) = 1 - µA(x)

Complemento


Conjuntos Fuzzy

µ¬A(x) = 1 - µA(x)

Exemplo: Seja A conjunto fuzzy de pessoas jovens. Encontre o complemento “não jovem” definido como ¬A

A = (0.5/x1, 0.7/x2, 0/x3)

µ¬A (x1)= 1 - µA (x1) = 1 - 0.5 = 0.5

µ¬A (x2)= 1 - µA (x2) = 1 - 0.7 = 0.3

µ¬A (x3)= 1 - µA (x3) = 1 - 0 = 1

¬A = (0.5/x1, 0.3/x2, 1/x3)

Complemento


Conjuntos Fuzzy

§  Conjuntos Crips: quais conjuntos pertencem a quais outros conjuntos?

§  Conjuntos Fuzzy: quais conjuntos pertencem a outros conjuntos? §  Um conjunto pode conter outros conjuntos. O menor deles é

chamado de subconjunto. §  Nos conjuntos crisps, todos os elementos de um subconjunto

pertencem inteiramente ao conjunto maior. §  Nos conjuntos fuzzy, entretanto, cada elemento pode pertencer

menos ao subconjunto do que ao conjunto maior. §  Elementos do subconjunto fuzzy têm pertinências menores

nele do que no conjunto maior.

Contenção


Conjuntos Fuzzy

§  Conjuntos Crips: qual elemento pertence a ambos os conjuntos?

§  Conjuntos Fuzzy: quanto de um elemento está em ambos os conjuntos? §  Uma interseção fuzzy é a pertinência mais baixa em ambos os

conjuntos de cada elemento. §  A interseção fuzzy de dois conjuntos A e B no universo do

discurso X:

interseção

µA∩B(x) = µA(x) ∩ µB(x) = min [µA(x), µB(x)] ,

onde x ∈ X


Conjuntos Fuzzy Exemplo: Seja A conjunto fuzzy das pessoas jovens e B o conjunto das pessoas de meia-idade. Encontre A ∩ B. A = (0.5/x1, 0.7/x2, 0/x3) B = (0.8/x1, 0.2/x2, 1/x3)

interseção

µA ∩ B (x1) = min (µA(x1) , µB(x1)) = min (0.5, 0.8) = 0.5

µA ∩ B (x2) = min (µA(x2) , µB(x2))

= min (0.7, 0.2) = 0.2

µA ∩ B (x3) = min (µA(x3) , µB(x3)) = min (0, 1) = 0

A ∩ B = (0.5/x1, 0.2/x2, 0/x3)

µA∩B(x) = µA(x) ∩ µB(x) = min[µA(x), µB(x)]


Conjuntos Fuzzy

§  Conjuntos Crisps: qual elemento que pertence a um ou ao outro conjunto?

§  Conjuntos Fuzzy: quanto de um elemento está em um ou no outro conjunto?

§  A união fuzzy é o valor de maior pertinência do elemento nos dois conjuntos

§  A união fuzzy de dois conjuntos A e B no universo do discurso X:

União

onde x ∈ X

µA∪B(x) = µA(x) ∪ µB(x) = max [µA(x), µB(x)] ,


Conjuntos Fuzzy Exemplo: Seja A conjunto fuzzy das pessoas jovens e B o conjunto das pessoas de meia-idade. Encontre A ∪ B. A = (0.5/x1, 0.7/x2, 0/x3) B = (0.8/x1, 0.2/x2, 1/x3)

União

µA ∪ B (x1) = max (µA(x1) , µB(x1)) = max (0.5, 0.8) = 0.8

µA ∪ B (x2) = max (µA(x2) , µB(x2))

= max (0.7, 0.2) = 0.7

µA ∪ B (x3) = max (µA(x3) , µB(x3)) = max (0, 1) = 1

A ∪ B = (0.8/x1, 0.7/x2, 1/x3)

µA∪B(x) = µA(x) ∪ µB(x)

= max [µA(x), µB(x)]


Conjuntos Fuzzy

Conjuntos Fuzzy

Seção 1.3 Propriedades dos Conjuntos Fuzzy



Conjuntos Fuzzy igualdade

§  O conjunto fuzzy A é considerado igual ao conjunto fuzzy B, se e somente se:

µA(x) = µB(x), ∀x ∈ X

Exemplo: Considere X = {1,2,3} e os conjuntos A e B

A = (0.3/1, 0.5/2, 1/3) B = (0.3/1, 0.5/2, 1/3)

Portanto A = B


Conjuntos Fuzzy INclusão

§  O conjunto fuzzy A está incluído em outro conjunto B (i.e. A ⊆ B ) se:

µA(x) ≤ µB(x), ∀ x ∈ X


A = (0.3/1, 0.5/2, 1/3) B = (0.5/1, 0.55/2, 1/3)

Portanto A ⊆ B


Conjuntos Fuzzy cardinalidade

§  Cardinalidade de um conjunto fuzzy A, chamado CONTA SIGMA, é expressada como a soma dos valores da função de pertinência de A, µA(x):


A = (0.3/1, 0.5/2, 1/3)

B = (0.5/1, 0.55/2, 1/3) Então cardA = 1.8

cardB = 2.05

cardA = µA(x1) + µA(x2) + … + µA(xn) = ΣµA(xi), para i=1..n


Conjuntos Fuzzy Conjunto fuzzy vazio

§  Um conjunto fuzzy A é vazio se e somente se:

Exemplo: Considere X = {1,2,3} e o conjunto A

A = (0/1, 0/2, 0/3) Então A é vazio ( A = Ø )

µA(x) = 0, ∀x ∈ X


Conjuntos Fuzzy α -corte

§  Um α-corte ou α-nível de um conjunto fuzzy A ⊆ X é um conjunto qualquer Aα ⊆ X tal que:


A = (0.3/1 + 0.5/2 + 1/3) Então A0.5 = {2,3} A0.1 = {1,2,3} A1 = {3}

Aα= {µA(x) ≥ α, ∀x ∈ X}


Conjuntos Fuzzy normalidade

§  Um subconjunto fuzzy de X é chamado normal se existe pelo menos um elemento x ∈ X tal que µA(x) = 1

§  Um subconjunto fuzzy que não é normal é chamado de subnormal.

§  Todos os subconjuntos nítidos (crisps) exceto o vazio, são normais.

§  Na teoria dos conjuntos fuzzy, o conceito de nulidade (vazio) essencialmente generaliza à subnormalidade


Conjuntos Fuzzy altura

§  A altura de um subconjunto fuzzy A é o grau da mais alta pertinência de um elemento em A


A = (0.3/1 + 0.5/2 + 1/3) Então altura(A) = 1

altura(A) = maxx(µA(x))


A = (0.3/1 + 0.5/2 + 1/3) Então nuc(A) = {3}


Conjuntos Fuzzy Núcleo

§  O núcleo de A é o subconjunto discreto de X que contém todos os elementos com grau de pertinência:

nuc(A) = {x⏐ µA(x) = 1 e x ∈ X}


Conjuntos Fuzzy Suporte

§  O suporte de A é o subconjunto discreto de X que contém todos os elementos com grau de pertinência: sup(A) = {x ⏐ µA(x) > 0 e x ∈ X}


A = (0.3/1 + 0.5/2 + 1/3) Então sup(A) = {1,2,3}


Conjuntos Fuzzy Operações matemáticas

§  aA = { aµA(x), ∀x ∈ X } Seja a = 0.5, e A = {0.5/a, 0.3/b, 0.2/c, 1/d} então aA = {0.25/a, 0.15/b, 0.1/c, 0.5/d}

§  Aa = {µA(x)a, ∀x∈X} Seja a = 2, e A = {0.5/a, 0.3/b, 0.2/c, 1/d} então Aa = {0.25/a, 0.09/b, 0.04/c, 1/d}

Conjuntos Fuzzy

Seção 1.4 Exemplos



Conjuntos Fuzzy

§ Considere 2 subconjuntos fuzzy do conjunto X, onde

X = {a,b,c,d,e} referidos como A e B, sendo:

A = {1/a, 0.3/b, 0.2/c, 0.8/d, 0/e} B = {0.6/a, 0.9/b, 0.1/c, 0.3/d, 0.2/e}


Conjuntos Fuzzy

§ Suporte

sup(A) = {a, b, c, d }

sup(B) = {a, b, c, d, e }

§ Cardinalidade

card(A) = 1+0.3+0.2+0.8+0 = 2.3

card(B) = 0.6+0.9+0.1+0.3+0.2 = 2.1 § Núcleo

nuc(A) = {a}

nuc(B) = Ø


Conjuntos Fuzzy §  Complemento

A = { 1/a, 0.3/b, 0.2/c, 0.8/d, 0/e }

¬A = { 0/a, 0.7/b, 0.8/c, 0.2/d, 1/e }

§ União

A ∪ B = {1/a, 0.9/b, 0.2/c, 0.8/d, 0.2/e }

§ Interseção

A ∩ B = { 0.6/a, 0.3/b, 0.1/c, 0.3/d, 0/e }


Conjuntos Fuzzy § α-corte

A0.2 = {a, b, c, d}

A0.3 = {a, b, d}

A0.8 = {a, d}

A1 = {a}

§  aA

Para a = 0.5

A = { 1/a, 0.3/b, 0.2/c, 0.8/d, 0/e }

aA = {0.5/a, 0.15/b, 0.1/c, 0.4/d, 0/e}

§  Aa

Para a = 2

A = { 1/a, 0.3/b, 0.2/c, 0.8/d, 0/e }

Aa = { 1/a, 0.09/b, 0.04/c, 0.64/d, 0/e }

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