Computer Science Department at Princeton University...2 2 v 22 v 5 v l v 1 v 3 v 4 T l T ATL (v 1, v...

38
1 n n q q n q n n q ! n "! ! n #! n $% n "&&

Transcript of Computer Science Department at Princeton University...2 2 v 22 v 5 v l v 1 v 3 v 4 T l T ATL (v 1, v...

1

������������� � ���

������������

������������

n �� ���

n �� ��������������

q ������ ������

q ������� ����

n ������������������

q ������������������������

n �������� ���������

n ��������

q �� ���!����������

n "���!��!��� ���

n #�� ��!���������

n $%��������� ��

n "�&&������� ��

2

������������

��������� ���

���������!� ��!�����'

n ������( )��������*

Tal

������������

��������� ���

���������!� ��!�����'

n ������( )��������*

n �����! � ( )� ���������* � �)���������*

Tal

3

������������

��������� ���

���������!� ��!�����'

n ������( )��������*

n �����! � ( )� ���������* � �)���������*

n �����( )!����������*

Tal

S1

S2

Sk

������������

������� ����

n ����%+��!� � ����

n ����� ������

n ������ ������

n ,��� �����

n ,��������!�����

n ,�� ����-������ �����

Tal

4

������������

������� ����

n ����%+��!� � �����q ./��- + � 0

n ����� �������

n ������ �������

n ,��� ����

n ,��������!������

n ,�� ����-������ �����

Tal

������������

������� ����

n ����%+��!� � ����

n ����� �������q .���� ��0

n ������ ������

n ,��� ����

n ,��������!�����

n ,�� ����-������ �����

Tal

5

������������

������� ����

n ����%+��!� � ����

n ����� ������

n ������ �������q ./��- + � 0

n ,��� �����

n ,��������!�����

n ,�� ����-������ �����

Tal and Zuckerberger

123425� ����

53214� ���

������������

������� ����

n ����%+��!� � ����

n ����� ������

n ������ ������

n ,��� ����

n ,��������!������

n ,�� ����-������ �����

Tal and Frisch

6

������������

������� ����

n ����%+��!� � ����

n ����� ������

n ������ ������

n ,��� ����

n ,��������!�����

n ,�� ����-������ �����q .$��&0

Tal

������������

n �� ���

n �� ��������������

q ������ ������

q ������� ����

n ������������������

q ������������������������

n �������� ���������

n ��������

q �� ���!����������

n "���!��!��� ���

n #�� ��!���������

n $%��������� ��

n "�&&������� ��

7

������������

������������

������������

������������

8

������������

n �� ���

n �� ��������������

q ������ ������

q ������� ����

n ������������������

q ������������������������

n �������� ���������

n ��������

q �� ���!����������

n "���!��!��� ���

n #�� ��!���������

n $%��������� ��

n "�&&������� ��

������������

��������� � ���

Min

9

������������

n �� ���

n �� ��������������

q ������ ������

q ������� ����

n ������������������

q ������������������������

n �������� ���������

n ��������

q �� ���!����������

n "���!��!��� ���

n #�� ��!���������

n $%��������� ��

n "�&&������� ��

������������

�������� ����������

�. ����0��� 6� 7258��!���� �3��������� � �����

"� ���������������������'

�. ������� 0�9� ��3��� 6�3���:�7284

�. ���;�0�,�� -��3��� 6�3���:�7282

�.0�,��&�� 722<

image from Paul image from Paul CalamiaCalamia

Triangulated by ear removal algorithm

10

������������

n �� ���

n �� ��������������

q ������ ������

q ������� ����

n ������������������

q ������������������������

n �������� ���������

n ��������

q �� ���!����������

n "���!��!��� ���

n #�� ��!���������

n $%��������� ��

n "�&&������� ��

������������

�������������� �� ����� ���

Li

{ ( ), 1,..., }ib

ia

i i

t

t tO C C G t i n

== = =�

11

������������

�������� �� ��������� �

Li

tc

tc tc

tc

t1 t2

t1 t2

t1 t2

t1 t2

F

F

F

F

������������

�� ��������� �!� �������

Critical Point

0)(or )0)()( and 0)(( )()()( =<+⋅−= tTtFtFtF nnn εε

Component

( )ba

b

a

tttGCt

tt,in point critical no is theresuch that ),(

== �

12

������������

�����������"��� ���

Computing Skeleton Defining sweep path Space Sweeping

Li

������������

��������� ���

Li

13

������������

������� �������������� �#���$

v2

v2 v5

vl v1

v3

v4

Tl T2

ATL(v1, v5) = {T1}

ATL(v2, v5) = {T2}

Edge collapse

Li

������������

%��&'�����

V1 V2

V3

V4V5

V6

V7

T1

T2

T3

T4

T5

V1 V2

V4V5

V6V8

T1

T4

T5

V9

V4

V10

V8

T4

V9

V10

V8

V11

ATL(V2 ,V8) = { T2 }ATL(V4 ,V8) = { T3 }

ATL(V10 ,V11) = {T5 ,T4 ,T3}ATL(V9 ,V8) = { T2 ,T1}

ATL(V9 ,V8) = { T2 ,T1}ATL(V4 ,V8) = { T3 }ATL(V10 ,V8) = { T5 }

V4V5

V6V8

T4

T5

V9

Li

14

������������

���&'�����

Li

O(n log n) where the n vertices have a bounded number of edges

������������

"��� ����������������(

Li

15

������������

������� (���"��� ��

Li

( ) ( )( ) (length of branch)

2

Perimeter u Perimeter vA P

+= ∗

Branches swept in order of increasing surface area of ATL

������������

�����)���� ���

n ,���������� ����������

n ,��-�� �� ��������������� ���!

� � ���!3��� ����������:��

� ���3��������������������������������

Li

16

������������

����������

n

branch

v

sweep plane Sweep plane

direction of sweep

above the sweep plane

below the sweep plane

Li

������������

��������������� �

Li

17

������������

n �� ���

n �� ��������������

q ������ ������

q ������� ����

n ������������������

q ������������������������

n �������� ���������

n ��������

q �� ���!����������

n "���!��!��� ���

n #�� ��!���������

n $%��������� ��

n "�&&������� ��

������������

*������

7: , ������!����� ���3��� ��!�� � ��� �����!�!���6����!��������!6���� ���:��

=: ��� ��������!��!:��

1: ,������������+���!�:

image from Luv Kohli

Stopping Criteria1 Local failure: edge exhibits non-convexity2 Global failure: locally convex, but not on the convex hull

18

������������

*����������� ��� �� (�+���� � ���

7: "���!������ ���+����� �3����������� ����� � ���:

=: �� ����������� �������������������+��!� ��� ����� ������������������

�����+�3������������������ ���������!:

>��+��� ���� ������ �����������!������:�

��� ����� !�� ���!�������!�+��������:

image from www.treehopper.com/ index.php?IID=4

������������

*����������� ��� ������ �

Chazelle

19

������������

n �� ���

n �� ��������������

q ������ ������

q ������� ����

n ������������������

q ������������������������

n �������� ���������

n ��������

q �� ���!����������

n "���!��!��� ���

n #�� ��!���������

n $%��������� ��

n "�&&������� ��

������������

,� ���(������� � ���������� � ���-

7: ,����������� ���� �.� �������� ������� �����0��������� ��:

=: "�!�����������������!���������������?����+�:

1: "�!����� ����� ���!������� ������������������ �������:

@: ������� �����������������!����������������!��!����������+�!� ����������� !:

A: ���������� ���������+�!�� ��������!��!��!�6�������+�!� ���:

4: � �� ������������� ��!�!�������+�������� ����!:

20

������������

,� ���(���*������

Labeling Of Local Minima

Flat Plateau

Flat Minimum

Labeling Flat Region

Mohandas and Mangan

������������

������������

Define the depth of a region by its lowest vertex and lowest boundary vertex.

Merge adjacent regions with shallow depths.

Mohandas and Mangan

21

������������

���������� (��(���(���

Mohandas

0.001 0.025 0.1 0.5

������������

�������������� �

������ �!� ���123425����53214� �����������������������:

Zuckerberger

22

������������

n �� ���

n �� ��������������

q ������ ������

q ������� ����

n ������������������

q ������������������������

n �������� ���������

n ��������

q �� ���!����������

n "���!��!��� ���

n #�� ��!���������

n $%��������� ��

n "�&&������� ��

������������

.������(����� ��� ����

������ ���������� ��� ������������� ���

6���������� �3�+��������� �������������� �3�����!��

Duda

23

������������

/0������ ��� ����n �������& - ������ ��.� ����0�µ- ���-

� ����!���������:

n B�( ���' B����!��������������������!������� ����- �����+�

! ��� ����

n �% ���'�������µ- ����� ��! � ��-

�� ==kiki

k Rxk

RxiNk Nx

εεµ 1,1

2minarg)( kik

i xxk µ−=

{ }jkk xxxR µµ −<−= |

µ1

µ3

R1

R3

µ2

R2

Leen

Voronoi tesselation

������������

/0������&'�����

Duda

24

������������

��� ������� ���� &����� �� ����

� �= ∈

=numCat

i Catxi

i

xdistError1

),( µ

Sum of Squared Errorqd

i

q

ii babadist

1

1

),( ��

���

� −= �=

Minkowski metric

||||||||),(

ba

babadist

t

=cosine distance

d

babadist

t

=),(

shared binary features

� ��∈ ∈=

=i iCata Catb

numCat

i i

badistn

Error ),(1

2

1

1

Variance

)()(),( 1 µµµ −Σ−= − aaadist tMahalanobis distance

������������

/0���������������������� �����(������ � ���

n �������&������ ��� ������� ������� � ���� ����������+�

n ��������� ��'q "73�"= �!6���'

q "73�"= �%�!6���'

n B � ��� ��'

),(_))(cos1)(1(),( 212

21 FFDistPhysFFDist δαδ +−−=

)),(),((min),( 2331,

21213

FFDistFFDistFFDistFFF

+=≠

))(Rep,( pfDistpatchesp pf� �

∈ ∈

25

������������

/0���������� � ��������� �

Shlafman and Tal

������������

n �� ���

n �� ��������������

q ������ ������

q ������� ����

n ������������������

q ������������������������

n �������� ���������

n ��������

q �� ���!����������

n "���!��!��� ���

n #�� ��!���������

n $%��������� ��

n "�&&������� ��

26

������������

.������(�����*�++�� ��� ������/� +�� ���

n 9� � ������

n ������&��+����+��!� ����!���������

n ����!���� %��������

Tal

������������

1����� �

n 9� � ������

n ������&��+����+��!� ����!��������

n ����!���� %��������

Tal

27

������������

1����� �

n 9� � ������

n ������&��+����+��!� ����!��������

n ����!���� %��������

Li et al Shlafman et al Katz et alLi et al Shlafman et al Katz et al

Tal

������������

1����� �

n 9� � ������

n ������&��+����+��!� ����!��������

n ����!���� %��������

Chazelle et al Katz et alChazelle et al Katz et al

Tal

28

������������

/�������2� ��0�(��������� (�

7: "�!���6� �������������� �&&��+��!� �����

=: "�!������+��!� ��

Tal

������������

����� (���� ����

7: ,��� ���� �&&��!�����������

�: ������!������������� ��� � ���

+: ������� �+�+�������� �+���������������

�: ,�������� �&&��!����������

=: ,��� ���������+��!� ��

Tal

29

������������

����� (���� ����

7: ,��� ���� �&&��!�����������

�: ������!������������� ��� � ���

+: ������� �+�+�������� �+���������������

�: ,�������� �&&��!����������

=: ,��� ���������+��!� ��

������������

����� (���� ����

7: ,��� ���� �&&��!����������

�: ������!������������� ��� � ���

+: ������� �+�+�������� �+���������������

�: ,�������� �&&��!����������

=: ,��� ���������+��!� ��

Tal

30

������������

����� (���� ����

7: ,��� ���� �&&��!�����������

�: ������!������������� ��� � ���

+: ������� �+�+�������� �+���������������

�: ,�������� �&&��!����������

=: ,��� ���������+��!� ��

������������

����� (���� ����

7: ,��� ���� �&&��!�����������

�: ������!������������� ��� � ���

+: ������� �+�+�������� �+���������������

�: ,�������� �&&��!����������

=: ,��� ���������+��!� ��

Tal

31

������������

��� ��������� ���

������� ����������-������+����������������

n ��������3��!6���� ���'

n "����!�������% ��� ���������

)(

),(

)(

)()1(),(

GeodDistavg

ffGeodDist

AngDistavg

AngDistffDist

jiij

ji ⋅+⋅−= δαδ

)cos1()( ijijAngDist αηα −=

Tal

������������

���3�3��� ���

� �� ���

�:

��:

���:

��:

ii

i

ff

f

BiAi

AiiB ba

a

REPfDistREPfDist

REPfDistfP

+=

+=

),(),(

),()(

5.0)(, <<∀ iBff fPba ii

)(1)( iAiB fPfP −=

5.0)(, >>∀ iBff fPba ii

5.0)(, ==∀ iBff fPba ii

5.0)(, <<∀ iBff fPba ii

Tal

32

������������

>���' ������&

7: �������&�����% ��������� � � ���������-

=: ,������� �+�+������

1: �%�������������� � � ���������-’

@: � ��- ����� �������!� �� ����-’3����������������������- �-’ �!����+��-����=

� ⋅=fi

iiBfB ffDistfPREP ),()(min

*�++��/0�����

)),())(Pr(� � ⋅∈=p f

pfDistppatchfF

Tal

������������

*�++����������� ���

����� ������!������!������3�C3�"�&&�

}{ ε−<= 5.0)(| iBi fPfA

}{ ε+>= 5.0)(| iBi fPfB

}{ εε +≤≤−= 5.0)(5.0| iBi fPfFuzzy

AA

FuzzyFuzzy

BB

Tal

33

������������

���3���2��������3���������

n >��'

q >D.�3B0����!����� ����� �������

q �3C3"�&&�

n �� ��������������E �!��CE �:�:

�:

��:

���:

��: >��!����F

B'A' VVV ∪=φ=∩

B'A'VV

B'BA'A VV,VV ⊆⊆

AA

BB

FuzzyFuzzy

Tal

������������

����� (�������������3���������

n ���������������

n ,��� ������ ������� -���"�&&�

n "�!��������������

� ∈∈=

'' ,'' ),()),((BA VvVuBA vuwVVCutweight

Tal

34

������������

�������������� ���

,���������!��������� ������ �!������������.C�! ��0

)(

)(1

1),(

AngDistavg

AngDistjiCap

ijα+

=

Tal

������������

/�������2������

7: "�!���6� �������������� �&&������� ��

=: "�!������+��!� �������������������

Tal

35

������������

.������(�������������� ���

Tal

������������

.������(�������������� ���

Tal

36

������������

.������(�������������� ���

Tal

������������

/0������������� ���

n �� ����������+ �� �������

n �������������� � �������

n ��������� �+�+�����

ü B�� ������ �&&��� ��

Tal

37

������������

�� ��������4�� �(��

)),((min)( ikki REPREPDistkG <=

G(k)

k

Tal

G'(k)

k

G G'

������������

/0������������� ���

n �� ����������+ �� �������

n �������������� � ���������� � ��� � ������������&�����!���������������� � ���3� � ������������+�!�:����� � � ���������!!!����+���� � ���� ����������+�:

n ��������� �+�+�����

ü B�� ������ �&&��� ��edited Tal

�=

m i

iij

fDist

fDistfP

Rep(m)),(1Rep(j)),(

1

)(

38

������������

.������(�����"0������������� ���

Tal

������������

� � ����n ,��&��3�C:��!�������3��:�722@:������������������ ������������ �:�������+ ����

>��� ���!����������������3��� ��%� ���3�,:�,:�C�6�63�B!:3�@72%@@5:

n ,��&��3�C:3���+-�3��:3����� �� �3�G:3��!����3��:��7225:���� ������ � ������! ����� ���!����������'����� ���������!�:��,������������>��� �'���� ���!�

������������53�@%A3�1=5%1@=:

n ��3�H:3����3��:3���3��:3��!�9���3�/:��=<<7:������������������������ � ��� �����������������:����� ��!����� �=<<7��������������� ������1��

� ������3�1A%@=:

n ����3��:3��!�#����- 3��:��7222:���� ��������1���� ���������������� ��!���������:���BBB�� ������������������&������!�,����� �> �������A3�@3�1<8%

1=7:

n ���� ��3��:3����3��:3��!�$��&3��:��=<<=:������� �������� ������! ����� ���������!����������:����B� �� ������ =<<=3�=72%==8:

n /��- + � 3�B:3����3��:3��!����� ��3��:��=<<=:�������! ����� ���!�����������

����������������:��,����� ��I�> �������=43�A3�511%5@1:

n $��&3��:3��!����3��:�=<<1�9� � ����������������������������"�&&��,���� �� �!�,���:������>>���9�=<<13��,��� �����������> ������3�������== 3������13�2A@%

247:�

n ��!�3��:3�9� �3��:3��!���� -3��:�=<<<:������ ���������:�J���#����I����: