Computer Science Department at Princeton University...2 2 v 22 v 5 v l v 1 v 3 v 4 T l T ATL (v 1, v...
Transcript of Computer Science Department at Princeton University...2 2 v 22 v 5 v l v 1 v 3 v 4 T l T ATL (v 1, v...
1
������������� � ���
������������
������������
n �� ���
n �� ��������������
q ������ ������
q ������� ����
n ������������������
q ������������������������
n �������� ���������
n ��������
q �� ���!����������
n "���!��!��� ���
n #�� ��!���������
n $%��������� ��
n "�&&������� ��
2
������������
��������� ���
���������!� ��!�����'
n ������( )��������*
Tal
������������
��������� ���
���������!� ��!�����'
n ������( )��������*
n �����! � ( )� ���������* � �)���������*
Tal
3
������������
��������� ���
���������!� ��!�����'
n ������( )��������*
n �����! � ( )� ���������* � �)���������*
n �����( )!����������*
Tal
S1
S2
Sk
������������
������� ����
n ����%+��!� � ����
n ����� ������
n ������ ������
n ,��� �����
n ,��������!�����
n ,�� ����-������ �����
Tal
4
������������
������� ����
n ����%+��!� � �����q ./��- + � 0
n ����� �������
n ������ �������
n ,��� ����
n ,��������!������
n ,�� ����-������ �����
Tal
������������
������� ����
n ����%+��!� � ����
n ����� �������q .���� ��0
n ������ ������
n ,��� ����
n ,��������!�����
n ,�� ����-������ �����
Tal
5
������������
������� ����
n ����%+��!� � ����
n ����� ������
n ������ �������q ./��- + � 0
n ,��� �����
n ,��������!�����
n ,�� ����-������ �����
Tal and Zuckerberger
123425� ����
53214� ���
������������
������� ����
n ����%+��!� � ����
n ����� ������
n ������ ������
n ,��� ����
n ,��������!������
n ,�� ����-������ �����
Tal and Frisch
6
������������
������� ����
n ����%+��!� � ����
n ����� ������
n ������ ������
n ,��� ����
n ,��������!�����
n ,�� ����-������ �����q .$��&0
Tal
������������
n �� ���
n �� ��������������
q ������ ������
q ������� ����
n ������������������
q ������������������������
n �������� ���������
n ��������
q �� ���!����������
n "���!��!��� ���
n #�� ��!���������
n $%��������� ��
n "�&&������� ��
8
������������
n �� ���
n �� ��������������
q ������ ������
q ������� ����
n ������������������
q ������������������������
n �������� ���������
n ��������
q �� ���!����������
n "���!��!��� ���
n #�� ��!���������
n $%��������� ��
n "�&&������� ��
������������
��������� � ���
Min
9
������������
n �� ���
n �� ��������������
q ������ ������
q ������� ����
n ������������������
q ������������������������
n �������� ���������
n ��������
q �� ���!����������
n "���!��!��� ���
n #�� ��!���������
n $%��������� ��
n "�&&������� ��
������������
�������� ����������
�. ����0��� 6� 7258��!���� �3��������� � �����
"� ���������������������'
�. ������� 0�9� ��3��� 6�3���:�7284
�. ���;�0�,�� -��3��� 6�3���:�7282
�.0�,��&�� 722<
image from Paul image from Paul CalamiaCalamia
Triangulated by ear removal algorithm
10
������������
n �� ���
n �� ��������������
q ������ ������
q ������� ����
n ������������������
q ������������������������
n �������� ���������
n ��������
q �� ���!����������
n "���!��!��� ���
n #�� ��!���������
n $%��������� ��
n "�&&������� ��
������������
�������������� �� ����� ���
Li
{ ( ), 1,..., }ib
ia
i i
t
t tO C C G t i n
== = =�
11
������������
�������� �� ��������� �
Li
tc
tc tc
tc
t1 t2
t1 t2
t1 t2
t1 t2
F
F
F
F
������������
�� ��������� �!� �������
Critical Point
0)(or )0)()( and 0)(( )()()( =<+⋅−= tTtFtFtF nnn εε
Component
( )ba
b
a
tttGCt
tt,in point critical no is theresuch that ),(
== �
12
������������
�����������"��� ���
Computing Skeleton Defining sweep path Space Sweeping
Li
������������
��������� ���
Li
13
������������
������� �������������� �#���$
v2
v2 v5
vl v1
v3
v4
Tl T2
ATL(v1, v5) = {T1}
ATL(v2, v5) = {T2}
Edge collapse
Li
������������
%��&'�����
V1 V2
V3
V4V5
V6
V7
T1
T2
T3
T4
T5
V1 V2
V4V5
V6V8
T1
T4
T5
V9
V4
V10
V8
T4
V9
V10
V8
V11
ATL(V2 ,V8) = { T2 }ATL(V4 ,V8) = { T3 }
ATL(V10 ,V11) = {T5 ,T4 ,T3}ATL(V9 ,V8) = { T2 ,T1}
ATL(V9 ,V8) = { T2 ,T1}ATL(V4 ,V8) = { T3 }ATL(V10 ,V8) = { T5 }
V4V5
V6V8
T4
T5
V9
Li
14
������������
���&'�����
Li
O(n log n) where the n vertices have a bounded number of edges
������������
"��� ����������������(
Li
15
������������
������� (���"��� ��
Li
( ) ( )( ) (length of branch)
2
Perimeter u Perimeter vA P
+= ∗
Branches swept in order of increasing surface area of ATL
������������
�����)���� ���
n ,���������� ����������
n ,��-�� �� ��������������� ���!
� � ���!3��� ����������:��
� ���3��������������������������������
Li
16
������������
����������
n
branch
v
sweep plane Sweep plane
direction of sweep
above the sweep plane
below the sweep plane
Li
������������
��������������� �
Li
17
������������
n �� ���
n �� ��������������
q ������ ������
q ������� ����
n ������������������
q ������������������������
n �������� ���������
n ��������
q �� ���!����������
n "���!��!��� ���
n #�� ��!���������
n $%��������� ��
n "�&&������� ��
������������
*������
7: , ������!����� ���3��� ��!�� � ��� �����!�!���6����!��������!6���� ���:��
=: ��� ��������!��!:��
1: ,������������+���!�:
image from Luv Kohli
Stopping Criteria1 Local failure: edge exhibits non-convexity2 Global failure: locally convex, but not on the convex hull
18
������������
*����������� ��� �� (�+���� � ���
7: "���!������ ���+����� �3����������� ����� � ���:
=: �� ����������� �������������������+��!� ��� ����� ������������������
�����+�3������������������ ���������!:
>��+��� ���� ������ �����������!������:�
��� ����� !�� ���!�������!�+��������:
image from www.treehopper.com/ index.php?IID=4
������������
*����������� ��� ������ �
Chazelle
19
������������
n �� ���
n �� ��������������
q ������ ������
q ������� ����
n ������������������
q ������������������������
n �������� ���������
n ��������
q �� ���!����������
n "���!��!��� ���
n #�� ��!���������
n $%��������� ��
n "�&&������� ��
������������
,� ���(������� � ���������� � ���-
7: ,����������� ���� �.� �������� ������� �����0��������� ��:
=: "�!�����������������!���������������?����+�:
1: "�!����� ����� ���!������� ������������������ �������:
@: ������� �����������������!����������������!��!����������+�!� ����������� !:
A: ���������� ���������+�!�� ��������!��!��!�6�������+�!� ���:
4: � �� ������������� ��!�!�������+�������� ����!:
20
������������
,� ���(���*������
Labeling Of Local Minima
Flat Plateau
Flat Minimum
Labeling Flat Region
Mohandas and Mangan
������������
������������
Define the depth of a region by its lowest vertex and lowest boundary vertex.
Merge adjacent regions with shallow depths.
Mohandas and Mangan
21
������������
���������� (��(���(���
Mohandas
0.001 0.025 0.1 0.5
������������
�������������� �
������ �!� ���123425����53214� �����������������������:
Zuckerberger
22
������������
n �� ���
n �� ��������������
q ������ ������
q ������� ����
n ������������������
q ������������������������
n �������� ���������
n ��������
q �� ���!����������
n "���!��!��� ���
n #�� ��!���������
n $%��������� ��
n "�&&������� ��
������������
.������(����� ��� ����
������ ���������� ��� ������������� ���
6���������� �3�+��������� �������������� �3�����!��
Duda
23
������������
/0������ ��� ����n �������& - ������ ��.� ����0�µ- ���-
� ����!���������:
n B�( ���' B����!��������������������!������� ����- �����+�
! ��� ����
n �% ���'�������µ- ����� ��! � ��-
�� ==kiki
k Rxk
RxiNk Nx
εεµ 1,1
2minarg)( kik
i xxk µ−=
{ }jkk xxxR µµ −<−= |
µ1
µ3
R1
R3
µ2
R2
Leen
Voronoi tesselation
������������
/0������&'�����
Duda
24
������������
��� ������� ���� &����� �� ����
� �= ∈
=numCat
i Catxi
i
xdistError1
),( µ
Sum of Squared Errorqd
i
q
ii babadist
1
1
),( ��
���
� −= �=
Minkowski metric
||||||||),(
ba
babadist
t
=cosine distance
d
babadist
t
=),(
shared binary features
� ��∈ ∈=
=i iCata Catb
numCat
i i
badistn
Error ),(1
2
1
1
Variance
)()(),( 1 µµµ −Σ−= − aaadist tMahalanobis distance
������������
/0���������������������� �����(������ � ���
n �������&������ ��� ������� ������� � ���� ����������+�
n ��������� ��'q "73�"= �!6���'
q "73�"= �%�!6���'
n B � ��� ��'
),(_))(cos1)(1(),( 212
21 FFDistPhysFFDist δαδ +−−=
)),(),((min),( 2331,
21213
FFDistFFDistFFDistFFF
+=≠
))(Rep,( pfDistpatchesp pf� �
∈ ∈
25
������������
/0���������� � ��������� �
Shlafman and Tal
������������
n �� ���
n �� ��������������
q ������ ������
q ������� ����
n ������������������
q ������������������������
n �������� ���������
n ��������
q �� ���!����������
n "���!��!��� ���
n #�� ��!���������
n $%��������� ��
n "�&&������� ��
26
������������
.������(�����*�++�� ��� ������/� +�� ���
n 9� � ������
n ������&��+����+��!� ����!���������
n ����!���� %��������
Tal
������������
1����� �
n 9� � ������
n ������&��+����+��!� ����!��������
n ����!���� %��������
Tal
27
������������
1����� �
n 9� � ������
n ������&��+����+��!� ����!��������
n ����!���� %��������
Li et al Shlafman et al Katz et alLi et al Shlafman et al Katz et al
Tal
������������
1����� �
n 9� � ������
n ������&��+����+��!� ����!��������
n ����!���� %��������
Chazelle et al Katz et alChazelle et al Katz et al
Tal
28
������������
/�������2� ��0�(��������� (�
7: "�!���6� �������������� �&&��+��!� �����
=: "�!������+��!� ��
Tal
������������
����� (���� ����
7: ,��� ���� �&&��!�����������
�: ������!������������� ��� � ���
+: ������� �+�+�������� �+���������������
�: ,�������� �&&��!����������
=: ,��� ���������+��!� ��
Tal
29
������������
����� (���� ����
7: ,��� ���� �&&��!�����������
�: ������!������������� ��� � ���
+: ������� �+�+�������� �+���������������
�: ,�������� �&&��!����������
=: ,��� ���������+��!� ��
������������
����� (���� ����
7: ,��� ���� �&&��!����������
�: ������!������������� ��� � ���
+: ������� �+�+�������� �+���������������
�: ,�������� �&&��!����������
=: ,��� ���������+��!� ��
Tal
30
������������
����� (���� ����
7: ,��� ���� �&&��!�����������
�: ������!������������� ��� � ���
+: ������� �+�+�������� �+���������������
�: ,�������� �&&��!����������
=: ,��� ���������+��!� ��
������������
����� (���� ����
7: ,��� ���� �&&��!�����������
�: ������!������������� ��� � ���
+: ������� �+�+�������� �+���������������
�: ,�������� �&&��!����������
=: ,��� ���������+��!� ��
Tal
31
������������
��� ��������� ���
������� ����������-������+����������������
n ��������3��!6���� ���'
n "����!�������% ��� ���������
)(
),(
)(
)()1(),(
GeodDistavg
ffGeodDist
AngDistavg
AngDistffDist
jiij
ji ⋅+⋅−= δαδ
)cos1()( ijijAngDist αηα −=
Tal
������������
���3�3��� ���
� �� ���
�:
��:
���:
��:
ii
i
ff
f
BiAi
AiiB ba
a
REPfDistREPfDist
REPfDistfP
+=
+=
),(),(
),()(
5.0)(, <<∀ iBff fPba ii
)(1)( iAiB fPfP −=
5.0)(, >>∀ iBff fPba ii
5.0)(, ==∀ iBff fPba ii
5.0)(, <<∀ iBff fPba ii
Tal
32
������������
>���' ������&
7: �������&�����% ��������� � � ���������-
=: ,������� �+�+������
1: �%�������������� � � ���������-’
@: � ��- ����� �������!� �� ����-’3����������������������- �-’ �!����+��-����=
� ⋅=fi
iiBfB ffDistfPREP ),()(min
*�++��/0�����
)),())(Pr(� � ⋅∈=p f
pfDistppatchfF
Tal
������������
*�++����������� ���
����� ������!������!������3�C3�"�&&�
}{ ε−<= 5.0)(| iBi fPfA
}{ ε+>= 5.0)(| iBi fPfB
}{ εε +≤≤−= 5.0)(5.0| iBi fPfFuzzy
AA
FuzzyFuzzy
BB
Tal
33
������������
���3���2��������3���������
n >��'
q >D.�3B0����!����� ����� �������
q �3C3"�&&�
n �� ��������������E �!��CE �:�:
�:
��:
���:
��: >��!����F
B'A' VVV ∪=φ=∩
B'A'VV
B'BA'A VV,VV ⊆⊆
AA
BB
FuzzyFuzzy
Tal
������������
����� (�������������3���������
n ���������������
n ,��� ������ ������� -���"�&&�
n "�!��������������
� ∈∈=
'' ,'' ),()),((BA VvVuBA vuwVVCutweight
Tal
34
������������
�������������� ���
,���������!��������� ������ �!������������.C�! ��0
)(
)(1
1),(
AngDistavg
AngDistjiCap
ijα+
=
Tal
������������
/�������2������
7: "�!���6� �������������� �&&������� ��
=: "�!������+��!� �������������������
Tal
36
������������
.������(�������������� ���
Tal
������������
/0������������� ���
n �� ����������+ �� �������
n �������������� � �������
n ��������� �+�+�����
ü B�� ������ �&&��� ��
Tal
37
������������
�� ��������4�� �(��
)),((min)( ikki REPREPDistkG <=
G(k)
k
Tal
G'(k)
k
G G'
������������
/0������������� ���
n �� ����������+ �� �������
n �������������� � ���������� � ��� � ������������&�����!���������������� � ���3� � ������������+�!�:����� � � ���������!!!����+���� � ���� ����������+�:
n ��������� �+�+�����
ü B�� ������ �&&��� ��edited Tal
�=
m i
iij
fDist
fDistfP
Rep(m)),(1Rep(j)),(
1
)(
38
������������
.������(�����"0������������� ���
Tal
������������
� � ����n ,��&��3�C:��!�������3��:�722@:������������������ ������������ �:�������+ ����
>��� ���!����������������3��� ��%� ���3�,:�,:�C�6�63�B!:3�@72%@@5:
n ,��&��3�C:3���+-�3��:3����� �� �3�G:3��!����3��:��7225:���� ������ � ������! ����� ���!����������'����� ���������!�:��,������������>��� �'���� ���!�
������������53�@%A3�1=5%1@=:
n ��3�H:3����3��:3���3��:3��!�9���3�/:��=<<7:������������������������ � ��� �����������������:����� ��!����� �=<<7��������������� ������1��
� ������3�1A%@=:
n ����3��:3��!�#����- 3��:��7222:���� ��������1���� ���������������� ��!���������:���BBB�� ������������������&������!�,����� �> �������A3�@3�1<8%
1=7:
n ���� ��3��:3����3��:3��!�$��&3��:��=<<=:������� �������� ������! ����� ���������!����������:����B� �� ������ =<<=3�=72%==8:
n /��- + � 3�B:3����3��:3��!����� ��3��:��=<<=:�������! ����� ���!�����������
����������������:��,����� ��I�> �������=43�A3�511%5@1:
n $��&3��:3��!����3��:�=<<1�9� � ����������������������������"�&&��,���� �� �!�,���:������>>���9�=<<13��,��� �����������> ������3�������== 3������13�2A@%
247:�
n ��!�3��:3�9� �3��:3��!���� -3��:�=<<<:������ ���������:�J���#����I����: