COMPLEX VARIABLES - KopyKitab · 2018. 3. 22. · COMPLEX VARIABLES Theory and Applications SECOND...

16

Transcript of COMPLEX VARIABLES - KopyKitab · 2018. 3. 22. · COMPLEX VARIABLES Theory and Applications SECOND...

  • COMPLEX VARIABLESTheory and Applications

    SECOND EDITION

    Delhi-1100922013

    �����������Formerly Professor and Head

    Department of Mathematics and Computer ApplicationsThapar Institute of Engineering and Technology

    Patiala, India

  • ����������������������������� !"�#!��$%���"�����!#!������� �����

    � ���� ��� PHI Learning Private Limited�� ����������� ������� ���������� ��� ����� ��� ����� ��� � !��� ��������"#�����������!�����!�!��������������������!�����$����"�����!������ ��$���������!�����"��������

    ���&'(�)')*'+��'+,-*'�

    %��� �&����� ������� ��� ����� ��� � ���� ������� ������� $���� ���� �"��������

    &!�#����!�#!�.�/��"�����!#!��0 � � � � � � ��%�+�*�

    Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, Rimjhim House, 111, PatparganjIndustrial Estate, Delhi-110092 and Printed by Rajkamal Electric Press, Plot No. 2, Phase IV, HSIDC,Kundli-131028, Sonepat, Haryana.

  • iii

    Contents

    Preface viiList of Symbols ix

    1. Algebra of Complex Numbers 1–38

    1.1 Complex Numbers 11.2 Triangle Inequality and Its Applications 81.3 Polar and Exponential Forms 131.4 Powers and Roots 241.5 Regions in the Complex Plane 311.6 Extended Complex Plane 36

    2. Analytic Functions 39–78

    2.1 Functions of a Complex Variable 392.2 Limits 432.3 Continuity 512.4 Differentiability 572.5 Cauchy–Riemann Equations 602.6 Analytic Functions 652.7 Harmonic Functions 70

    3. Elementary Functions 79–97

    3.1 Introduction 793.2 Exponential Function 803.3 Trigonometric Functions 823.4 Hyperbolic Functions 863.5 Multivalued Function and Its Branches 883.6 Logarithmic Function 903.7 Complex Exponents 933.8 Inverse Trigonometric and Hyperbolic Functions 95

    4. Complex Integration 98–152

    4.1 Introduction 984.2 Contour Integral 1014.3 Primitives 1104.4 Cauchy–Goursat Theorem 1134.5 Extensions of Cauchy–Goursat Theorem 1214.6 Winding Number 1304.7 Cauchy Integral Formula 131

  • iv Contents

    4.8 Consequences of the Cauchy Integral Formula 1414.9 Maximum Moduli of Functions 147

    5. Sequences, Series and Products 153–187

    5.1 Sequences 1535.2 Series 1585.3 Sequences of Functions 1675.4 Series of Functions 1715.5 Infinite Products 178

    6. Series Expansions 188–240

    6.1 Power Series 1886.2 Uniform Convergence of Power Series 1906.3 Taylor Series 1976.4 Zeros of Analytic Functions 2096.5 Laurent Series 2226.6 Integration and Differentiation of Power Series 2326.7 Multiplication and Division of Power Series 233

    7. Singularities and Residues 241–294

    7.1 Classification of Singularities 2417.2 Residues 2447.3 Poles and Zeros 2477.4 Behaviour of Functions at Infinity 2577.5 Meromorphic Functions 2637.6 The Open Mapping Theorem 2707.7 Partial Fraction Expansions 2747.8 Regular Points and Singularities 2837.9 Analytic Continuation 287

    8. Sums and Definite Integrals 295–334

    8.1 Estimation of Sums 2958.2 Definite Integrals Involving Sines and Cosines 2998.3 Improper Integrals 3048.4 Integration Along Indented Contours 3158.5 Other Types of Contours 3218.6 Integration Through a Branch Cut 327

    9. Conformal Mappings 335–375

    9.1 Introduction 3359.2 Conformality Theorem 3429.3 Bilinear Transformation 3489.4 Special Bilinear Transformations 3619.5 Exponential Transformation 365

  • Contents v

    9.6 Trigonometric Transformation 3689.7 The Map (z + 1/z) 371

    10. Laplace Transform 376–405

    10.1 Introduction 37610.2 Properties of Laplace Transform 38210.3 Convolution of Two Functions 38910.4 Inverse Laplace Transform 39310.5 Complex Inversion Formula 396

    11. Special Topics 406–454

    11.1 Homotopy and the Cauchy Theorem 40611.2 Construction of Harmonic Functions 41011.3 Canonical Products 41411.4 Gamma Function 41811.5 Entire Functions 42711.6 Distribution of Zeros 43911.7 Mapping by Multivalued Functions 44611.8 Schwarz–Christoffel Transformation 448

    Objective-type Questions 455–465

    Answers to Problems 467–486

    Bibliography 487–488

    Index 489–494

  • vii

    �����

    �&������@��������������(��&����������0�����������1��������������(���&����������6�����:1��6=A���������.�#0�A�#��������(��&���������������55��#&����#�������0���������������������7�������7��0�����A�6#����6�����&�A��&���������(����&����&������&������������������&��������������(� ���������������&������A���������4&��� ���&���� �&��� ����� �� (��� �&� ��� �(� �� ������� ��� ��� ������ 0�������� (�����������������&���0�@��#�����(�0������������������������B���0������&��������������

    �&��� ���@� ��� ������� ��� ��� �&� �������� �(� ������� ���� ��������������������&����������������������������������&�0���������&�����&����������(�&������@��������������� ������������#��&� (���&�������#@�� �����������#����������0������(���������0������C��A���&��������@���������(��&������������������������������(�������������������������(��&�������������A���#������������(��������&����� ��&�0��� �&� ������ �������� ���� (��������� ��&����� &�0� ��� ��&���?�#&���&��&����������?���������������&����&�0����������0�����������

    �&� �0�� �(� �&� ��� ������ �&��� �&� ����� ��� ���������#��&� �������� ������������� ���&�����&��������@������&��� �&�������������������((���� �����(��������� ��&��&���������������(���������(�����0��������������6���������������&�0��������������������(����&�������3���������������������(��&�������#&�0���������&�������������(�����@�����&�������������������������&����@�&�����#������ ��� �� (������ �������������� ��� �&��������������� �(������ �&������ �����(�����������#��&��&��������������.�#0�A��&�����5���������@�������������(���&�����"�#��&���������((������

    �&��� ���@� &��� ��� ���� �������� �&���&� �������� ������������ #��&���(�� /�3�� ���@����� :7��0������ �(� /����=A� ���(�� 3�6�� 6��0����0�� :���B$���@=A���(�� /����� ��D�� :7������� 7��0�����A� 6#��=�� +����� �&� ����� �(� #������� �&�����&�0����0��0�������������������(��������������A����(���1��6���&A����6���&A/���� +����� ���� 6���� E���0�A� ���� �(� 1��6A� �������

    ��� �&��� ������ �� ������� (����� ��� ���� (�����A� 3�� ������A� $��&��� /��&��AF�������F�����������.�������6���&��&��A�#&����������������������(����������������������@����������0������������&������&�����������(��&��(�������&�����@�&��������� (��&������&��� ��������� ��� �&���#&����������0������������������ ������������� ��� ���� ����� ��� �&� ��&�� ��� �&������(�������� �������

    /��� ���0����������0����������&�0��������� ��� �&� ������ ��������(� �&���@�� �� &�0�����(��� ���� �����0�� �&� ����(�� �(� 0������ ������ ��� 0�#� �(� �&� ������0������������&�(�����(����������������

    2�&��3��

  • ix

    ���� �� �������

    � ����(�������������� ����(�������� ����(� ��������� ������� �����������������G H:�A� �=� I������A� �����J ����(�����������������(����������� �����������������$�� ���� ����� �(� ��G� ��;� ����� ��������������� �(� ��G���;� �K�K ������ �(� ��G���;� ����� � ��� �(� ���� ���� 0���� �(� �� I� �� G� ����

    ��� 0���� �(��I� ,��L� ������� ����(����?����������� ����(�������0��������� ����(�������0���������� �:��= G H�� I� K�� ,� ��K� L� �J � B���&���&�����(��� �:��=M�� G H�� I� >� L� K�� ,� ��K� L� �J ������ B���&���&�����(����� ���������(� �&� ����� ������ �(� �&� ����A� � �G����� ��!

  • ���;��� ����(� �&����&����� ���� ���� ���������(��������(������ �� G� ��K�K�;� ���� � �������&���� (��������(��*��� �� G� ��� �� ;� ���� � ���������� �������&���� (��������(���:�A� �= #�������������(������&���#��&������� ����$���� �:�= ����� �(� �:�=� ��� ��G���) ����������)��� :���&�=# ���� �&� ������ �&$:%= *�����������(�����(� �&:�= ����� �(� ?���� �(� �� ��� K�K��� �� ������(��������� (������� �����(���������(������

    � �����������

  • ��

    1

    ���������

    �������������

    ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��� ������� �������� ���� ���������� �� ������ ��������� ��� ���� ��� ������� ��� ��������������������������������������������������������������������������������

    ��� ������ �����

    ������������������� �!���������������������������������������������������������������

    ��������������������������������� �"����������������������������������������������������������#��$���� �� ����������� ����������� �� ������ �������������� ��������������������������������������������������������������������$��������������

    %������$����������������������������������������������������������������������������&��'������������� ����� (��������������������� ��������� �������� ��������� ���������� ���� ���� ������� ����� ��� ���������� ��� '�%�� &������ �� &������������������)��������������*��������������������������������+������)��'������,��-��������.��/����������� ����������

    #���������$���� ��� ������ ��� ��������������� �������������������� ��������������� 01�� 2�� 3�� �� �� �4�� +����������������������� ������������ ��������� ��� ����

    ���������$��������$���5������(���������$�����������������������

    �������������������������������������������#���������������������������������������������������+�������������������������������������������������������������%������� ����

    ��� $������ ��� ���������� ��� �������� ��� ��$������� ��� �������� ���� ��������� ���������������������������������������������������(�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

    '������������ ����������������������������� ������������� 6����7�������������� � 06��� �7� 8�������� �����4�

    #����9�������:����������6����7�����6����7����������������������� ��������6����7������5���� ������� ������������� ��� �� ����� ���� ��� ����������� ��� ��� �������� ���� �����5����

  • � ����������������������

    �����������

    /��������� ����������������������� 6�7����������������� 6�7� ������ ��6���� ��7��� 6���� ��7 � 6��������� �������7� 61�17

    6������7 � 6������7 � 6�����"��� ������ ���������7� 61�27�������������������������$��������������������������6�7������������61�17�

    ������ ��� ������ �������5������������ ������ �������� �������$���������� ������ ������������� 6�7� �������� ��� 61�27������ ������� ������$�� ����� �������� �������

    ����������� ��� �������� ����������������������������������������������� ��� 61�17���� 61�27�� ������$����

    ����� 6�7 6�����7� ��� �� �������$�� �����6�7 6��;06!�� !74�� �7� ��� �� �������$�� �����

    (� �������� �� ���� ��� 6�7� ��� ��������$�� �$��� 6�7��/�� �����$�6���� ��7� �� ���������� �� ������� ������� ��

  • ��������� ���� �������������� �� 6����7� �������������

    �� � 6!�� 17�

    ����������� ��� �"1�

    ����� ��� � � �� �� � 6!�� 17� �� 6!�� 17� � 6!�"�1�� !���!7� � 6"1�� !7� �� "1�

    ���������� � A$���� ������� ������� �� � 6��� �7� ���� ��� ��

    ��� ��� �� � ���� ��� ������ ���� ����� �� ���� �� ���� ����� ���� ���������� ���� ��� �� ���� ������� ��� -�� �� ���(����� ������$����

    ����� /����$�

    �� � 6����7� � 6��� !7��� 6!���7� � 6��� !7��� 6!�� 17� 6��� !7� ����� ���

    >���������� �� ��������/������ �������������� ���B���������1� �������������������������������������

    ��������������������������

    6����� ���7��� 6����� ���7 � 6�������7��� �6�������7�

    6����� ���7 � 6����� ���7 � 6�����"��� ��7��� �6�� ���������7�

    %�������������������������������������$�������������������%����� �6����7���������$����$�����������������������"�� �6"���" �7�����������6"�7� �6"�7����� �!��%������������� !�� ���� ������������$�� ��$����� ��� ��$������ ���$���� ��� ��������

    6���� ��76���� ��7� � 1� � 6���� ��76���� ��7��

    ���"���� � 1 ��� �������� � !�

    ������ ������� ������������ �����������$�� ���������� �������

    and .x y

    a bx y x y

    2 2 2 2

    B����������� ��� ��� ������� ��

    � � � ��

    � ��

    � � � ��� � �

    � �� �� �

    �� � � � � 61�37

    '����������������� ������� ���������86�7 �����$�� ������� ��� ��������� �!��� 6!�� !7�6��7 �����$�� ��$����� ��� �� � 6��� �7� ��� �� � 6"��� "�7� ��� �������6���7 '����������� ��������� ���� �������?

    ������� � ��������� ��� � ���������� � ��������� ��� � ���

    6�$7 �������������$�� ������� �� �1��� 61�� !7� ��� �������6$7 %��� ���� !�� ������������$�� ��$����� ���� ��� �������

    ������������

    ����������� �

  • � ����������������������

    �����������

    6$�7 (�� ���� !�� ������� � ������ ��� � ���

    ���� � ������ ��� � ���

    6$��7 (�� ����� � !�� ���� ������ ��� � !� ��� ��� � !�

    �����������

    ����� ��� ��� ��$������������ ��� ��������� ��� ��� ��������� ����� ��� ��

    ��� "� ��� � ����� 6"��7� � 6���� ��7��� 6"���� "��7� � 6��� "� ���� ��� "� ��7�

    ��������

    (�� ����� !�� ������$��������� ��� ��� �������� ��

    ��

    � ���

    � �� �

    (�� �������� ���� ��� � 1�� 1C��� � ������ �� �������

    ��

    � � ��

    �� �

    ��

    � �

    >�������$�� ��� ��������������� ������8

    6����7�� � ��������� ������ 6����76��������7� � 1 ��� 6��������76����7� � 1�

    � �� � � 6����7��� � ���������

    � ��

    � �

    � 6����� ��7����� � ��������� ������� ���

    ��

    � �

    D��������������������������������$������������������������������������������������������������61�17�����61�27��%�����������������������61�17�����61�27������������

    �������� ����� ����������������D�����

    -�� �����-�� ��� �-�6����� ��7� 61�E7

    (�� ����� (�� ��� � (�6����� ��7� 61��7

    ���������� �� �����������

    A$��������������������������������������������������������������F������D���������� ����� ���� ����� ��� ������� ����� ��� ������� ��������� (���������� �� ����������������������������������������������������������������������� ������������������� �6����7��'����������������������������������6���!7������������������F������������

    ������������������������������������������������������6!���7������������������F���������������������������������������������������������������������������������������

  • Complex Variables : Theory AndApplications

    Publisher : PHI Learning ISBN : 9788120326415 Author : Kasana H S

    Type the URL : http://www.kopykitab.com/product/9868

    Get this eBook

    25%OFF

    http://www.kopykitab.com/Complex-Variables-Theory-And-Applications-by-Kasana-H-S

    Complex Variables : Theory And Applications