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Rapidly Rotating Neutron Stars

Compact Gravitational Wave Sources:Rapidly Rotating Neutron Stars

Francesco PannaraleSupervisor: Prof. V.Ferrari

“Sapienza” - Universita di Roma

24 Giugno 2008

Francesco Pannarale 24 Giugno 2008

Rapidly Rotating Neutron Stars

Contenuto

1 Le Stelle di Neutroni

2 La Relativita Generale e le Onde Gravitazionali

3 I Modi Quasi-Normali di OscillazioneCaso Non RotanteClassificazione dei Modi Quasi-Normali di una StellaIncludere la Rotazione

4 Approccio al Problema Mediante Metodi Spettrali

5 Generalizzazione alle Stelle Rapidamente Rotanti

6 Conclusioni e Prospettive Future


Rapidly Rotating Neutron Stars Le Stelle di Neutroni

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Le Stelle di Neutroni

Misure: massa M ∼ 1.4M�Studi teorici: raggio R ∼ (9÷ 16) Km

⇒ Oggetti autogravitanti molto compatti: necessaria la relativita

Misure: periodo di rotazione fino a T = 1.39 ms (J1748-2446ad)

Evoluzione stellare:

stella di neutroni (NS) nata da uncollasso puo avere T . ms seancora giovane e calda (1010 K)

il trasferimento di massa nelle LowMass X-Ray Binaries incrementa ilmomento angolare di una vecchiaNS “riciclandola” a T . ms

⇒ Necessario saper modellizzare NS rapidamente rotanti



Le Stelle di Neutroni

Diversi processi astrofisicicausano l’oscillazione di una NSe la conseguente emissione dionde gravitazionali chetrasportano informazioni sullasua struttura interna

Obiettivo

Calcolare per la prima volta in relativita generale lo spettro diemissione gravitazionale di NS rapidamente rotanti, oggetticompatti sulla cui struttura interna c’e ancora molto da imparare


Rapidly Rotating Neutron Stars La Relativita Generale e le Onde Gravitazionali

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La Relativita Generale e le Onde Gravitazionali

Generalizzazione della Relativita Ristrettads2 = −dt2 + dx2 + dy2 + dz2 → ds2 = gµνdxµdxν metrica

Teoria metrica: proprieta geometrichedello spaziotempo e gravitazione sonosullo stesso piano

Equazioni di Einstein: Gµν = 8πTµν

Gµν e il tensore di Einstein: esprime lacurvatura dello spaziotempo tramite lederivate seconde della metrica gµνTµν e il tensore energia-impulso:descrive la materia gravitante

“La materia dice allo spaziotempocome curvarsi e lo spaziotempo dicealla materia come muoversi” (Wheeler)




Le equazioni dell’idrodinamica seguono dalle proprieta deltensore di Einstein:

Gµν;ν = 0⇒ Tµν

;ν = 0

dove “;” indica la derivata covariante, una generalizzazionedella derivata ordinaria allo spaziotempo curvo

Stelle di neutroni ←→ fluidi ideali in relativita:

Tµν = (ε+ P)uµuν + Pgµν

dove ε, P ed uµ sono densita di energia, pressione equadrivelocita dell’elemento di fluido




La Relativita Generale prevede l’esistenza delle onde gravitazionali

Cosa sono le onde gravitazionali?

- “Increspature” (nella curvatura) dello spaziotempo che sipropagano alla velocita della luce nello spaziotempo stesso

- Vengono generate ogni volta che un sistema di massa-energiaha un momento di quadrupolo variabile nel tempo

L’osservazione diretta delle onde gravitazionali (OG) e un problemaaperto ma si lavora su basi solide:

verifiche indirette dell’esistenza (Hulse & Taylor, Nobel 1993)forte successo sperimentale della teoria di Einstein




Perche sono difficili da rivelare?

1 Debolezza dei segnali: dEdt = 1

5Gc5

...Q ij

...Q ij

2 Scarsissima interazione con la materia

Alcune implicazioni:

⇒ Informazioni sulla dinamica della sorgente codificate nell’OG

⇒ Necessita di guardare a sorgenti astrofisiche

⇒ Propagazione senza alterazioni dalla sorgente all’osservatore

⇒ Canale unico per conoscere l’Universo

Ampio spazio per studi teorici

- Scenari/meccanismi astrofisici di emissione

- Modellizzazione delle sorgenti

- Previsioni sulle forme d’onda


Rapidly Rotating Neutron Stars I Modi Quasi-Normali di Oscillazione

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I Modi Quasi-Normali di Oscillazione

NS rapidamente “accesso” allarotanti in → sorgente di OG → materia

oscillazione superdensa

Per favorire la rivelazione di OG e fondamentale conoscere lefrequenze di oscillazione della stella

→ L’emissione di radiazione gravitazionale sottrae energia alsistema: problema ad autovalori complessi, i modiquasi-normali (QNM) di oscillazione

<(QNM) ↔ frequenze di emissione=(QNM) ↔ inverso dei damping times

→ Posto che si sappiano modellizzare correttamente leoscillazioni, riconoscere i QNM nelle OG rivelate permettera diporre dei constraints sull’equazione di stato



I Modi Quasi-Normali di Oscillazione

NS rapidamente “accesso” allarotanti in → sorgente di OG → materia

oscillazione superdensa

Per favorire la rivelazione di OG e fondamentale conoscere lefrequenze di oscillazione della stella

Teoria dell’astrosismologia delle OG: calcolo dei QNM diun oggetto compatto (o equivalentemente delle frequenze edei tempi di smorzamento delle OG da esso emesse)

Approccio pertrubativo lineare

δ(Gµν − 8πTµν ) = 0δ(Tµν

;ν ) = 0



Caso Non Rotante

Procedura perturbativa lineare nel caso non rotante

1 Perturbazione delle equazioni di Einstein e dell’idrodinamicaper un background sferico e stazionario

2 Espansione in armoniche sferiche Ylm(θ, φ) delle perturbazioniper separare le dipendenze angolari dalle radiali e temporali

3 Eventuale passaggio al dominio delle frequenze, ossia siassume dipendenza temporale e iσt per ciascuna perturbazione

4 Imposizione di condizioni al contorno appropriate e scelta diun’equazione di stato



Caso Non Rotante

Condizioni al contorno

1 Centro: regolarita di tutte le quantita (perturbate e non)

2 Superficie: variazione Lagrangiana di P = 0 e continuita

3 Infinito: OG solo uscenti; non vogliamo che della radiazioneentrante perturbi la stella, non studiamo lo scattering

Definizione rigorosa in questo formalismo: i QNM sono quei valoricomplessi di σ che soddisfano queste condizioni al contorno



Classificazione dei Modi Quasi-Normali di una Stella

Due famiglie di modi di parita distinta: assiali (−)l+1 e polari (−)l ,conta solo l’indice armonico l

I QNM di fluido sono polari e si classificano in base alla principaleforza di richiamo che agisce sull’elemento di fluido perturbato:

g(ravity)-modes

f (undamental)-mode: intermedio fra i modi g e p

p(ressure)-modes

Modi spaziotemporali caratteristici della relativita in cui lospaziotempo e un’entita dinamica:

w(ave)-modes: assiali e polari

...νgn < ... < νg1 < νf < νp1 < ... < νpn < ... < νw1 < ... < νwn ...



Includere la Rotazione

Ma le stelle ruotano: necessita di includere gli effetti dellarotazione sullo spettro di emissione estendendo l’astrosismologia

Completano la classificazione gli inertial modes, modi di fluidoibridi la cui forza di richiamo e la forza Coriolis

Difficolta nel generalizzare l’approccio perturbativo al caso rotante:

1 rimozione della degenerazione nell’indice m: un modo nonrotante di indice l si splitta in (2l + 1) modi distinti (l ,m)

2 accoppiamento fra modi di diverso indice armonico l econseguente mixing fra carattere polare e assiale

Gli approcci esistenti si limitano a rotazione lenta + semplificazioni,quali sopprimere le perturbazioni della metrica e/o i coupling.

QNM di stelle relativistiche rotanti mai determinati esattamente


Rapidly Rotating Neutron Stars Approccio al Problema Mediante Metodi Spettrali

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Approccio al Problema Mediante Metodi Spettrali

Recente metodo perturbativo generale per determinare senzaapprossimazioni i QNM di stelle lentamente rotanti

Ferrari, Gualtieri, Marassi, PRD, 76, 104033 (2007)

Le oscillazioni sono trattate come perturbazioni delbackground stazionario e assisimmetrico della stella rotante

Espansione in armoniche circolari (e imφ) delle perturbazioni

Nel dominio della frequenza (e iσt) le equazioni perturbatecostituiscono un set finito di PDE in 2D (r , θ)

Le condizioni al contorno all’infinito sono state generalizzate



Approccio al Problema Mediante Metodi Spettrali

Le equazioni vengono risolte utilizzando i metodi spettrali:

strumento potente per le PDE

adatto a trattare condizioni al contorno

I metodi spettrali trasformano le PDE in un sistema di ODEtramite un’espansione in serie della soluzione su una base completadi funzioni globalmente regolari. In questo caso:

- dipendenza in r −→ polinomi di Chebyshev

- dipendenza in θ −→ polinomi di Legendre associati


Rapidly Rotating Neutron Stars Generalizzazione alle Stelle Rapidamente Rotanti

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Generalizzazione alle Stelle Rapidamente Rotanti

Motivazione: determinare i QNM di NS rapidamente rotanti

Strategia: estendere l’approccio perturbativo che impiega metodispettrali

Punto di partenza: NS rapidamente rotante all’equilibrio

metrica stazionaria e assisimmetrica

ds2(0) = −e2νdt2 + e2λdr2 + e2µr2[dθ2 + sin2 θ(dφ− ωdt)2]

dove ν, λ, µ, ω dipendono da r e θ

fluido ideale con P, ε, uµ dipendenti da r e θ




Esprimo δGµν e δTµν in termini del set di variazioni Euleriane{δgµν , δuµ, δP, δε}

Lavoro nel dominio delle frequenze (e iσt)

I metodi spettrali richiedono incognite scalari sotto rotazioni, maδuµ ha delle componenti vettoriali e δgµν anche tensoriali

La trattazione di Priou del problema mischia comportamenti scalari,vettoriali e tensoriali delle perturbazioni: impiegata solo in casisemplici; inadatta per i metodi spettrali, ma utile per dei check

Nel mio approccio prima esplicito il comportamento sotto rotazionidelle perturbazioni e poi ne espando le dipendenze angolari

1 φ: assisimmetria ⇒ espansione in armoniche circolari (e imφ)2 θ: espansione in polinomi di Legendre associati




Risultato

Ottenute nel formalismo con incognite scalari sotto rotazioni leequazioni relativistiche per la NS rapidamente rotante perturbata

Per essere sicuro che il sistema di PDE sia corretto:

1 ho sviluppato in Maple l’apparato di calcolo per ricavare leequazioni perturbate nel foramlismo di Priou

2 ho confrontato le PDE risultanti con quelle scritte da Priou

3 ho mantenuto l’apparato di calcolo (funzionante) e sonopassato al formalismo adatto ai metodi spettrali

4 delle PDE in questo formalismo ho controllato il limite nonrotante e quello lentamente rotante




Invarianza di gauge delle equazioni di Einstein perturbatesotto diffeomorfismi infinitesimali del tipo xµ → xµ + ζµ:possiamo semplificare δgµν con 4 condizioni

Estendo al caso rapidamente rotante le gauge utilizzate peroggetti non/lentamente rotanti adatte al nostro formalismo:

1 generalizzare le condizioni per δgµν e banale2 trovare il generatore ζµ no ←→ sistema di PDE da risolvere

⇒ Scelta la gauge di Battiston-Cazzola-Lucaroni (BCL):1 abbassa il grado del nostro sistema di PDE per la NS2 le equazioni per il generatore sono piu semplici

Risultato

Caso non rotante in gaugeBCL: ottenute le condizionial contorno e implementatonumericamente

Da completare

Caso rapidamente rotante: condizionial contorno e implementazionenumerica in gauge BCL; studio dellePDE per il generatore della gauge


Rapidly Rotating Neutron Stars Conclusioni e Prospettive Future

Conclusioni e Prospettive Future

Modellizzare stelle di neutroni relativistiche rapidamenterotanti e determinarne i modi quasi-normali di oscillazione

Generalizzare un recente approccio privo di approssimazioniche utilizza metodi spettrali

Risultati ottenuti:

- equazioni differenziali per le perturbazioni della stella- equazioni differenziali per i generatori delle gauge adottabili- scelta di gauge- caso non-rotante: condizioni al contorno e implementazione

Prospettive future:

- condizioni al contorno nel caso rapidamente rotante- risolvere le equazioni per i generatori delle gauge- implementare il caso rapidamente rotante- analizzare lo spettro della radiazione gravitazionale emessa


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