8/17/2019 Commutators

1/2

H 0 =ˆ   drΨ

†

(r)−

  1

2m∇2

r

Ψ(r)

[Ψ(r), H 0] =  1

2m

ˆ   dr

 Ψ†(r)∇2r Ψ(r

),Ψ(r)

=  1

2m

ˆ   dr

 Ψ†(r)

∇

2

rΨ(r),Ψ(r)

 +

Ψ†(r),Ψ(r)∇

2

rΨ(r)

   

∇

2

rΨ(r),Ψ(r)

 =

kk

∇2

reikr

eikr [ak, ak ]

= 2k

∇2

reikr

akk

eikrak

= 2∇2r

Ψ(r)Ψ(r)

Ψ†(r),Ψ(r)

 = Ψ†(r)Ψ(r) − Ψ(r)Ψ†(r)

= 2Ψ†(r)Ψ(r) − δ (r − r)

 

[Ψ(r),H 0] =  1

2m

ˆ   dr

 Ψ†(r)2∇2

rΨ(r)Ψ(r) +

2Ψ†(r)Ψ(r) − δ (r − r)

∇

2

rΨ(r)

= −  1

2m∇

2

rΨ(r) +

  1

2m2ˆ   dr Ψ†(r)∇2rΨ(r)Ψ(r) + Ψ†(r)Ψ(r)∇2rΨ(r)

  Ψ(r)    ∇2r

Ψ(r)  

[Ψ(r),H 0] = −  1

2m∇

2

rΨ(r)

 

Ψ†(r),H 0

 =

  1

2m

ˆ   dr

 Ψ†(r)∇2rΨ(r

),Ψ†(r)

=  1

2m

ˆ   dr

 Ψ†(r)

∇

2

rΨ(r),Ψ†(r)

 +

Ψ†(r),Ψ†(r)∇

2

rΨ(r)

   

∇

2

rΨ(r),Ψ†(r)

 =

kk

∇2

reikr

e−ikr

ak, a

†k

ak, a

†k

 =  aka

†k − aka

†k

 = 2aka†k − δ kk

 

8/17/2019 Commutators

2/2

∇2

rΨ(r),Ψ†(r) =

  1

V  kk

∇2

reikr

e−ikr

2aka†k − δ kk

=  1

V  

kk

∇2

reikr

e−ikr2aka

†k −

  1

V  

k

∇2

reik(r

−r)

= 2∇2rΨ(r)Ψ†(r) −∇2rδ (r − r

)

Ψ†(r),Ψ†(r)

 = Ψ†(r)Ψ†(r) − Ψ†(r)Ψ†(r)

= 2Ψ†(r)Ψ†(r)

 

Ψ†(r), H 0 =  1

2mˆ   dr Ψ†(r) 2∇2rΨ(r)Ψ†(r) −∇2rδ (r − r) + 2Ψ†(r)Ψ†(r)∇2rΨ(r)

=  1

2m

ˆ   dr

 −Ψ†(r)∇2

rδ (r − r) + Ψ†(r)2∇2

rΨ(r)Ψ†(r) + 2Ψ†(r)Ψ†(r)∇2

rΨ(r)

= −∇2rΨ†(r) +

  1

2m

ˆ   dr2

Ψ†(r)

∇

2

rΨ(r)Ψ†(r) + Ψ†(r)∇2rΨ(r

)

 

∇2

rΨ(r)Ψ†(r) + Ψ†(r)∇2

rΨ(r) =

  1

V  

kk

∇2

reikr

e−ikr

aka

†k

 +  a†kak

=  1

V  

k

∇2

reik(r

−r)

= ∇2rδ (r − r)

 

Ψ†(r),H 0

 = −∇2r Ψ

†(r) +  1

2m

ˆ   dr2Ψ†(r)

∇

2

rδ (r − r)

= −∇2r Ψ†(r) +

  1

2m2∇2r Ψ

†(r)

=  1

2m∇

2

r؆(r)