Commande Robuste

Commande Robuste

Universite de Strasbourg

Ecole Nationale Superieure de Physique de Strasbourg3A - Option ISAV

Master IRIV - Option Automatique Robotique

Edouard [email protected]

http://eavr.u-strasbg.fr/~laroche/student

20112012

Table des matie`res

1 Introduction 5

2 Notions mathematiques 7

2.1 Valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Positivite dune matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Inegalite matricielle affine ou lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3.1 Presentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3.2 Exemple de LMI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3.3 Resolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4 Valeurs singulie`res . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.5 Norme des syste`mes LTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.5.1 Norme H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.5.2 Norme H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.6 Lemmes de simplification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.6.1 Complement de Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.6.2 Lemme de projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.6.3 Lemme de Finsler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.6.4 S-procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Modelisation des syste`mes 19

3.1 Les differentes representations detat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.1.1 Syste`me lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.1.2 Syste`me lineaire a` parame`tres variants (LPV) . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.1.3 Syste`me non-lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2 Operations sur les syste`mes LTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2.1 Operations elementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2.2 Transformation lineaire fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3 Representation lineaire fractionaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4 Analyse des syste`mes 29

4.1 Stabilite au sens de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.1.2 Syste`me lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.1.3 Cas des syste`mes a` temps-discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.1.4 Commandes Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.2 Dissipativite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2.2 Caracterisation LMI de la norme H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.2.3 Passivite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.3 Performances dun syste`me asservi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.3.1 Schema de commande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.3.2 Les crite`res . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.3.3 Schemas danalyse et de synthe`se H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3

4 TABLE DES MATIE`RES

4.4 Lieu des poles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.4.1 Regions LMI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.4.2 Condition LMI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5 Synthe`se pour les syste`mes LTI 435.1 Retour detat stabilisant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.2 Commande H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.2.1 Proble`me et solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.2.2 Methodologies de synthe`se . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6 Analyse des syste`mes LPV incertains 496.1 Stabilite au sens de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.1.1 Syste`me non-lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.1.2 Syste`me lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.1.3 Syste`me LPV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.1.4 Maximisation du taux de decroissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.1.5 Matrice de Lyapunov dependant des parame`tres . . . . . . . . . . . . . . 50

6.2 Dissipativite, norme H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.2.1 Syste`me LPV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.2.2 Dissipativite avec matrice de Lyapunov dependant des parame`tres . . . . 52

6.3 Application a` un syste`me mecanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.3.1 Presentation du syste`me . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.3.2 Analyse a` partir du mode`le LPV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.3.3 -analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.3.4 Lieu des poles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Chapitre 1

Introduction

En Automatique, la synthe`se dune loi de commande se fait generalement sur un mode`lenominal simplifie qui ne prend pas en compte toute la complexite du syste`me. Des dynamiquessont negligees, comme celles qui se trouvent en dehors de la bande passante du syste`me asservi ;les valeurs des parame`tres du mode`le sont consideres egales a` leurs valeurs nominales.

Du fait de ces approximations, il est generalement necessaire de recourir a` une etape de vali-dation a posteriori de la loi de commande. On parle danalyse de la robustesse ; il sagit en effetdanalyser la robustesse du comportement du syste`me asservi face aux perturbations externes(variation des conditions de fonctionnement, comme la temperature) ou internes (variation desparame`tres) du syste`me.

Lanalyse de la robustesse sappuie generalement sur la formulation dun mode`le variant dansle temps, variation qui peut sexprimer en fonction dun certain nombre de parame`tres incer-tains. La premie`re question concerne la stabilite. Lanalyse de la robustesse en stabilite consistea` etablir si le syste`me demeure stable malgre les variations attendues des parame`tres. On peutaussi souhaiter que le syste`me maintienne certaines performances (comme la bande passante).Lanalyse de la robustesse en performance cherche a` etablir si le syste`me maintient les perfor-mances prevues pour les variations attendues des parame`tres.

On peut distinguer deux principales sources de perturbation susceptibles de destabiliser unsyste`me asservi ou de diminuer ses performances : les variations de ses parame`tres et les dyna-miques negligees. Pour traiter le second cas, celui des dynamiques qui ont ete negligees lors dela synthe`se, il suffit simplement de les inclure dans le mode`le danalyse. On se retrouve doncfinalement a` analyser la robustesse a` partir dun mode`le qui peut etre plus sophistique que lemode`le de synthe`se et dont les parame`tres sont incertains dans certains intervalles et peuvent,selon les cas, varier au cours du temps avec des dynamiques eventuellement bornees.

Avant de se lancer dans lanalyse de la robustesse, cest-a`-dire dans letude des modificationdu comportement du syste`me en fonction des parame`tres, il convient de connatre son fonc-tionnement nominal. La premie`re question est celle de la stabilite nominale, la seconde est celledes performances nominales. Une etude de robustesse en stabilite na de sens que si la stabilitenominale est assuree. De meme pour les performances.

La question de la robustesse peut-etre abordee de deux manie`res, pour la stabilite commepour les performances :

etant donne les intervalles de variation des parame`tres, le syste`me est-il robuste ? A cettequestion, on repond par oui ou non ;

quel taux de dilatation faut-il appliquer aux intervalles des parame`tres pour amener lesyste`me en limite de stabilite ou de performance ? Le taux de dilatation est aussi appelemarge de robustesse. La robustesse est assuree si la marge de robustesse est superieure a` 1.

5

6 CHAPITRE 1. INTRODUCTION

Puisque la stabilite est une condition suffisante pour les performances, la marge de robus-tesse en performance est necessairement plus faible que la marge de robustesse en stabilite.

Les methodes danalyse diffe`rent en fonction du mode`le choisi. Les mode`les lineaires dependantdes parame`tres (LPV), mode`les pour lesquels des methodes efficaces et desormais bien connues,sont disponibles sous deux formes :

les mode`le LPV avec une dependance affine des matrices detat en fonction des parame`tres ; les representations lineaires fractionnaire (LFR) formes dun bouclage entre un syste`me

linaire a` temps invariant (LTI) et une matrice de gains fonction des parame`tres. Ce secondtype correspond aux syste`mes lineaires dont les matrices detat dependent rationnellementdes parame`tres ; il sagit donc dune generalisation du premier type.

Pour les syste`mes LPV affines, des formulation LMI sont disponibles pour lanalyse en sta-bilite et en performance dans le cas de parame`tres constants ou variants. Ces methodes, dis-ponibles dans les boites a` outils 1 de Matlab, sont presentees dans ce fascicule. La methode laplus classique destinee aux mode`les LFR est la -analyse 2. Cette methode fait egalement partidu contenu du cours. Dautres boites a` outils sont egalement disponibles. Citons par exempleRomuloc, developpee par D. Peaucelle qui permet de traiter a` la fois les mode`les LPV affines etles LFR [10].

1. Les methodes danalyse des syste`mes LPV affines ont ete proposees dans la LMI Control Toolbox [7]. Cesfonctions sont desormais disponibles dans les version recentes de la Robust Control Toolbox[8]

2. Ces methodes sont disponibles dans la -Analysis and Synthesis Toolbox [9] ou dans les versions recentesde la Robust Control Toolbox [8].

Chapitre 2

Notions mathematiques

Les Inegalites Matricielles Affines ou LMI prennent une place de plus importante dans lesmethodes modernes de lautomatique. De nombreux resultats anterieurs trouvent une formula-tion LMI et ce formaliste permet aussi de resoudre de nouveaux proble`mes qui navaient pastrouve jusqualors de solution.

2.1 Valeurs propres

Definition 1 (Valeur propre)Soit A une matrice carree de reels ou de complexes. On appelle valeur propre la grandeur tellequil existe un vecteur propre x verifiant Ax = x.

>> eig([1 2; 3 4])

ans =

-0.3723

5.3723

La matrice A de dimension n n represente une application lineaire de Rn dans Rn. Lesdirections propres, cest-a`-dire les directions des vecteurs propres, sont les directions de Rn inva-riantes par A. Les valeurs propres sont les gains damplifications dans ces directions. Le nombrede valeurs propres distinctes est au plus n. La dimension du sous-espace propre correspondanta` une valeur propre donnee est variable. Une base de vecteurs propres peut etre obtenue.

En utilisant la relation Axi = ixi ou` i est la ie`me valeur propre et xi un vecteur propre

qui lui est associe, on peut concatener les n relations obtenues pour i = 1 . . . n en AX = XDou` X = [x1 . . . xn] est la matrices des vecteurs propres formant une base et D = diag{1, . . . n}est la matrice des valeurs propres ou` chaque valeur propre est repetee autant de fois que ladimension de son sous-espace propre.

Propriete 1 (Matrice symetrique ou hermitienne)Les valeurs propres des matrices reelles symetriques (AT = A) et complexes hermitiennes (AH =(A)T ) sont toutes reelles.

2.2 Positivite dune matrice

Definition 2 (Matrice positive)Une matrice A Rn est dite positive et on note A 0 si la forme quadratique xTAx est positivepour tout vecteur x.

Cette definition se transpose evidemment au cas negatif. On peut toujours ecrire une formequadratique a` partir dune matrice symetrique. Ainsi, xTAx = 12x

T (AT +A)x. On ne contentera

7

8 CHAPITRE 2. NOTIONS MATHEMATIQUES

donc de considerer le cas des matrices symetriques. Ces matrices ont la particularite davoirtoutes leurs valeurs propres reelles.

Propriete 2 (Matrice positive)Une matrice A symetrique est positive si et seulement si toutes ses valeurs propres sont positiveset on note A 0.

On definit aussi la positivite stricte et on dit quune matrice est definie positive si toutesses valeurs propres sont strictement positives. Cest equivalent a` dire que la forme quadratiquecorrespondante xTAx est strictement positive pour tout x non nul.

Propriete 3 Soit un scalaire, AI > 0 si et seulement si les valeurs propres de A sont strictement

superieures a` . P > 0 P < 0 ; on peut donc toujours se ramener a` un proble`me de positivite (ou de

negativite).

Propriete 4 (Somme de matrices) A > 0, B > 0 A+B > 0

Cette propriete se demontre facilement a` partir de la definition A > 0 xTAx > 0 x 6= 0.

Propriete 5 (Produit de matrices) A > 0, B > 0 AB > 0 A > 0, B < 0 AB < 0

Demonstration 1 (Explication) Ces proprietes se comprennent facilement en considerantquune matrice positive est une application qui, a` un vecteur de composantes positives, associe unvecteur de composantes toutes positives ; une matrice negative, au contraire, est une applicationqui, a` un vecteur de composantes positives, associe un vecteur dont les composantes sont toutesnegatives.

Demonstration 2 (Demonstration plus comple`te)Pour une demonstration plus comple`te, on peut considerer une valeur propre AB de AB associeeau vecteur propre V AB, verifiant donc

ABV AB = ABV AB, (2.1)

et chercher a` montrer quelle est positive. Lidee des calculs ci-dessous consiste a` calculer lescoordonnees du vecteur propre dabord dans la base des vecteurs propres de B notes V Bk puisdans ceux de A notes V Al . Ainsi, on peut ecrire

V AB =k

kVBk (2.2)

ou` les k sont les coordonnees de VAB dans la base des vecteurs propres de B et

V Bk =l

klVAl (2.3)

ou` les kl sont les coordonnees de VBk dans la base des vecteurs propres de A. En remplacant

dans (2.1) et en utilisant le fait que AV Al = Al V

Al et BV

Bk =

Bk V

Bk ou`

Al et

Bk sont les

valeurs propres respectivement de A et B, on obtient :

l

Al

(k

Bk kkl

)V Al =

ABl

(k

kkl

)V Al (2.4)

2.3. INEGALITE MATRICIELLE AFFINE OU LINEAIRE 9

Il sagit dune egalite entre deux vecteurs. Leurs coordonnees dans la base V Al sont donc iden-tiques et

Alk

Bk kkl = ABk

kkl l (2.5)

Dans lhypothe`se ou` A et B sont toutes deux positives, les quantites Al

k Bk kkl et

k kkl

sont necessairement de meme signe et AB est donc positif (AB positive). Si A et B sont designe contraire, ces deux quantites seront de signe contraire et AB est alors negative.

2.3 Inegalite matricielle affine ou lineaire

2.3.1 Presentation

Definition 3 (Inegalite matricielle affine)On appelle inegalite matricielle affine (ou inegalite matricielle lineaire et en anglais linear ma-trix inequality, note LMI) le proble`me suivant : etant donnees les matrices reelles, carrees etsymetriques Mk, k = 1..n, trouver les reels xk, k = 1...n tels que M0 + x1M1 + ...+ xnMn > 0.

Le succe`s des LMI vient du developpement des methodes dites du point interieur (interiorpoint methods) qui permettent de resoudre de manie`re efficace ces proble`mes [11]. Il est egalementlie au fait que de nombreux proble`mes, notamment de lautomatique, peuvent etre formule sousforme de LMI.

Remarque 1 (Un syste`me de plusieurs LMI est une LMI){P (x) > 0Q(x) > 0

[P (x) 0

0 Q(x)

]> 0 (2.6)

2.3.2 Exemple de LMI

Les LMI ne se presentent pas directement sous la forme de linegalite presentee ci-dessus.Prenons un exemple classique de lautomatique : la stabilite de Lyapunov 1 pour un syste`melineaire x = Ax. Il sagit de trouver une matrice reelle P = P T > 0 de meme dimensions que Atelle que ATP + PA < 0. Considerons a` titre dexemple, le cas ou` A est une matrice 2 2.

A =

[a1 a2a3 a4

](2.7)

La matrice P depend alors de 3 parame`tres xi, k = 1..3 et peut secrire

P =

[x1 x2x2 x3

](2.8)

La condition de positivite de P secrit

x1

[1 00 0

]+ x2

[0 11 0

]+ x3

[0 00 1

]> 0 (2.9)

Linegalite de Lyapunov, elle se reecrit :

x1

[2a1 a2a2 0

]+ x2

[2a2 a1 + a4

a1 + a4 2a2

]+ x3

[0 a3a3 2a4

]< 0 (2.10)

1. Mathematicien russe ne en 1857 et mort en 1918, Lyapunov est le pe`re dune theorie qui porte son nom etqui est a` la base de nombreux developpements recents de lautomatique(voir http://en.wikipedia.org/wiki/Aleksandr_Lyapunov).


Figure 2.1 Fenetre de lediteur graphique de LMI de Matlab

2.3.3 Resolution

Afin de rendre les solvers de LMI facilement utilisables pour les proble`mes de lautomatique,des interfaces ont ete developpees permettant decrire les proble`me sous des formes matriciellessimples (voir figure 2.1). On peut citer LMI-Tools de El Ghaoui 2, la LMI Control Toolbox deMathWorks [7] et linterface SeDuMi developpe au LAAS par Peaucelle et alli [12]. Notons aussiloutil YALMIP 3 qui permet de definir un proble`me LMI et de le resoudre avec nimporte quelsolveur installe sur votre machine.

Les trois proble`mes classiques que ces outils resolvent sont

la fesabilite (ou existence) : trouver x solution de A(x) < 0, la minimisation dune fonction lineaire : trouver x minimisant cTx sous la contrainteA(x) < 0,

le proble`me de valeur propre generalisee : minimiser sous les contraintes A(x) < B(x),B(x) > 0 et C(x) < 0.

2.4 Valeurs singulie`res

Definition 4 (Valeur singulie`re)Les valeurs singulie`res dune matrice complexe M sont les racines carrees des valeurs propresde MHM ou` MH est le hermitien (transpose conjugue) de M . On les note i(M).

Propriete 6 (Proprietes generales)

Les valeurs singulie`res sont des nombres reels positifs. Les valeurs singulie`res non nulles de M sont identiques a` celles de MH (invariance par

loperation transpose/conjugue)

2. http ://robotics.eecs.berkeley.edu/elghaoui/3. http ://control.ee.ethz.ch/joloef/yalmip.php

2.4. VALEURS SINGULIE`RES 11

Les valeurs singulie`res non nulles sont au plus au nombre de min(nu, ny), la plus petitedimension de M .

Exemple 1 (Valeurs singulie`res de matrices simples)

Les n valeurs singulie`re de In, ou` R sont toutes egales a` . Les valeurs singulie`res dune matrice diagonale reelle sont egales aux valeurs absolues des

elements diagonaux ; pour une matrice de complexes, les valeurs singulie`res sont egalesaux modules des elements de la diagonale.

svd([2,0;0,-3j]);

ans =

3.0000

2.0000

Propriete 7 (Norme matricielle)La valeur singulie`re maximale (M) est une norme matricielle. Les proprietes generales desnormes sappliquent donc.

(M) = ||(M) (M +N) (M) + (N) (MN) (M)(N)

Propriete 8 (Inversion de matrice)M est inversible si et seulement si sa plus petite valeur singulie`re est non nulle ((M) > 0).Alors, (M) = 1

(M1) et (M) =1

(M1) .

On en deduit les proprietes suivantes :

Propriete 9 (Autres proprietes)

(M) = ||(M) (M +N) (M) + (N) (M)(N) (MN)

Propriete 10 (Interpretation)La norme est la norme induite sur les matrices par la norme euclidienne des vecteurs :

(M) = maxz 6=0||Mz||2||z||2

2(M) = maxz 6=0

zHMHMz

zHz(2.11)

Ainsi, la norme est lamplification maximale du syste`me de transfert M .

Exemple 2 (Valeurs singulie`res dun syste`me multivariable)Le programme suivant sous Matlab definit un syste`mes LTI a` deux etats, deux entrees et deuxsorties puis trace les valeurs singulie`res de sa matrice de transfert en fonction de sa pulsation(voir figure 2.2). A la place de la fonction ltiview, on peut utiliser la fonction sigma.

A = [-1 0; 1 -2];

B = eye(2);

C = [1 1; 0 1];

D = 0.1*ones(2,2);

Sys = ss(A,B,C,D)

ltiview(sigma,Sys,{1e-1,1e2});

G1 = C*inv(j*1*eye(2)-A)*B+D; % matrice de transfert a` 1 rad/s

SV = svd(G1)

u = randn(2,1)

Ampli = norm(G1*u)/norm(u)


Figure 2.2 Trace des valeurs singulie`res dun syste`me LTI multivariable

La partie finale du script permet de calculer lamplification dune entree u a` la pulsation 1 rad/s.A partir des resultats ci-dessous, on verifie que cette amplification est bien toujours compriseentre la valeur singulie`re max et la valeur singulie`re min de G(j 1).

SV =

1.3257

0.2872

u =

1.1892

-0.0376

Ampli =

1.1032

2.5 Norme des syste`mes LTI

2.5.1 Norme H

Definition 5 (Norme L2 sur les signaux)Pour un signal x(t) a` valeur dans Rn, la norme L2 est definie par :

||x(t)| |L2 =

0xT (t)x(t) dt (2.12)

Definition 6 (Norme H sur les syste`mes)Pour un syste`me de fonction de transfert G(s), la norme H est definie comme la norme induitepar la norme L2 sur les signaux. Cest-a`-dire que si u(t) est applique en entree de G(s) et quey(t) est releve en sortie 4, on a :

||G(s)| | = max ||y(t)| |L2||u(t)| |L2(2.13)

Ainsi, la norme H est lamplification maximale dun signal par un syste`me. Pour les ma-trices, nous avions vu que la valeur singulie`re maximale etait lamplification maximale dunvecteur. On peut donc facilement se ramener a` linterpretation suivante.

Propriete 11 (Norme H et valeur singulie`re)

||G(s)| | = max

(G(j)) (2.14)

4. On conside`re des conditions initiales nulles.

2.5. NORME DES SYSTE`MES LTI 13

Exemple 3 (Valeurs singulie`res maximale)En faisant le calcul sur lexemple numerique precedent :

norm(Sys,inf)

On obtient une norme de 1.881, ce qui correspond a` 5.49 dB, ce qui est coherent avec le tracede la figure 2.2.

Propriete 12 (Norme H)

Pour une matrice de transfert sous forme de blocs :

G(s) =

[G11(s) G12(s)G21(s) G22(s)

](2.15)

on a :

||G(s)|| < ||Gkl(s)|| < (k, l) {1, 2} (2.16)

||W (s)G(s)|| < (G(j) < (W (j))

2.5.2 Norme H2

La presentation ci-dessous de la norme H2 est reprise du cours de Supelec de G. Duc [13],paragraphe 1.2.

Definition

Soit G(s) le syste`me LTI multivariable defini par :

[xz

]=

[A BC D

] [xv

](2.17)

avec D = O (syste`me strictement propre 5). On definit la norme matricielle H2 de ce syste`mepar :

||G||2 =(

1

2pi

tr [GH(j)G(j)] d

)(2.18)

Proprietes

Soit g la reponse impulsionnelle du syste`me. Dans le cas monovariable, le theore`me de Par-seval donne une forme equivalente 6 :

||G||22 = 0

gT(t)g(t)dt. (2.19)

Dans le cas monovariable, la norme H2 du syste`me est egale a` lenergie de la reponse impulsion-nelle.

5. Cette restriction est necessaire pour que la norme du syste`me soit finie.6. On rappelle que la fonction de transfert est la transformee de Laplace de la reponse impulsionnelle.


Supposons maintenant que v soit un bruit blanc gaussien verifiantE{v(t)vT()} = I(t ) et calculons la puissance de sortie :

E{zTz} = tr [E{zzT}]= tr

[E

{ +

+

g(t 1)v(1)vT(2)gT(t 2)d1d2}]

= tr

[ +

+

g(t 1)E{v(1)v

T(2)}gT(t 2)d1d2

]= tr

[ +

g(t )gT(t )d]

= tr

[ +

g()gT()d

]=

+

tr[gT()g()

]d

=1

2pi

+

tr[GH(j)G(j)

]d

= ||G||2

Ainsi, la norme H2 est la puissance de sortie lorsque le syste`me est alimente pas un bruit blancgaussien unitaire.

Calcul

La norme H2 peut etre calculee pour tous les syste`mes strictement propres (D = O) etstrictement stables. En effet, elle peut secrire ainsi :

||G||22 = 0

tr[gT(t)g(t)

]dt (2.20)

= tr

0

(BT exp(ATt)CT

)(C exp(At)B) dt (2.21)

= tr

[BT 0

exp(ATt)CTC exp(At)dtB

](2.22)

ou encore :

||G||22 = 0

tr[g(t)gT(t)

]dt (2.23)

= tr

0

(C exp(At)B)(BT exp(ATt)CT

)dt (2.24)

= tr

[C

0

exp(At)BBT exp(ATt)dtCT]

(2.25)

soit :

||G||22 = tr[BTWoB

]= tr

[CWcC

T]

(2.26)

ou` Wo et Wc sont les gramiens de commandabilite et dobservabilite :

Wo =

0

exp(At)BBT exp(ATt)dt (2.27)

Wc =

0

exp(ATt)CTC exp(At)dt (2.28)

2.6. LEMMES DE SIMPLIFICATION 15

Ils peuvent etre obtenus comme les solutions des equations de Lyapunov 7 suivantes :

AWc +WcAT +BBT = 0 (2.29)

ATWo +WoA+ CTC = 0 (2.30)

En effet, partons de :

d

dt

[exp(At)BBT exp(ATt)

]= A exp(At)BBT exp(ATt) + exp(At)BBT exp(ATt)AT. (2.31)

En notant que pour un syste`me stable :

limt exp(At) = 0, (2.32)

et en integrant sur [0,], on obtient directement les deux equations de Lyapunov. Cest cettemethode qui est utilisee dans les Toolboxes de Matlab pour le calcul de la norme H2 [14].

Formulation LMI

Les inegalites matricielles affines (LMI pour inegalites matricielles lineaires) sont devenuesun outil classique de lautomatique. Ils sont a` la base de nombreuses methodes innovantes et lesmethodes classiques ont generalement une formulation LMI. Une introduction sur les LMI estdeveloppee en Annexe B. Voici la formulation LMI de la norme H2 [15].

Soit S0 la solution de lequation de Lyapunov (2.29), cest-a`-dire verifiant :

AS0 + S0AT +BBT = 0, (2.33)

avec S0 = ST0 0. Alors toute matrice S verifiant :

AS + SAT +BBT < 0 (2.34)

verifie aussi S > S0.Le syste`me G(s) stable avec D = 0 verifie ||G||22 < si et seulement si il existe une matrice

symetrique positive, :S > 0, (2.35)

verifiant (2.34) et :tr[CSCT

]< . (2.36)

Lensemble des inegalites (2.34-2.36) constitue un syste`me LMI et peut se resoudre avec lessolveurs disponibles [11, 7].

2.6 Lemmes de simplification

2.6.1 Complement de Schur

Il sagit dun resultat preliminaire qui permettra, dans ce qui suit, de simplifier des expres-sions matricielles.

Lemme 1 (Complement de Schur)La LMI : [

Q SST R

]< 0, (2.37)

7. Dapre`s la theorie de Lyapunov, lequation AX + XTA + Q = 0 dinconnue X, avec Q symetrique definiepositive, a une solution positive si A est Hurwitz (ses poles sont a` partie reelle strictement negative). Alors unesolution symetrique peut etre facilement obtenue par la resolution dun syste`me de n(n+ 1) equations lineaires a`autant dinconnues (les composantes de X), ou` n est la dimension de A. La resolution de lequation de Lyapunovest disponible dans les Toolboxes [14].


ou` Q = QT et R = RT est equivalente a` :{R < 0

Q SR1ST < 0. (2.38)

Demonstration 3La demonstration se fait facilement en multipliant (2.37) a` droite par :[

I 0R1ST I

](2.39)

et a` gauche par la transposee de cette dernie`re matrice. Ces deux matrices etant definies, onobtient alors une condition equivalente :[

Q SR1ST 00 R

]< 0. (2.40)

2.6.2 Lemme de projection

Theore`me 1 (Lemme de projection [16])Soit une matrice symetrique Rmm et deux matrices P et Q de nombre de colonnes m. Etconsiderons le proble`me consistant a` trouver une matrice de dimensions adequoites telle que :

+ PTTQ+QTP < 0 (2.41)

Notons WP et WQ des matrices dont les colonnes forment une base des noyaux de respectivementP et Q. Alors, une solution de lequation (2.41) existe si et seulement si :{

WTP WP < 0WTQ WQ < 0.

(2.42)

Preuve. Comme les colonnes de WP font partie du noyau de P , on a WPP = 0 et de meme,WQQ = 0. Ainsi limplication (2.41) = (2.42) se montre facilement en multipliant (2.41) a`gauche par PT et a` droite par P , puis en procedant de meme avec Q. Une demonstration de lareciproque a ete donnee par Gahinet et Apkarian [16].

2.6.3 Lemme de Finsler

Theore`me 2 (Lemme de Finsler)Etant donnees les matrices A et B ; les conditions suivantes sont equivalentes 8 :

1. xTAx > 0 pour tout x 6= 0 tel que Bx = 02. BTAB > 0 ou` BB = 0

3. A+ BTB > 0 pour un scalaire

4. A+XB +BTXT > 0 pour une matrice X

2.6.4 S-procedure

Cet outil pratique developpe par Yakubovich 9 permet de simplifier certains proble`mes decommande robuste.

8. Paul Finsler, mathematicien suisse, est ne en 1894 et decede en 1970. http://fr.wikipedia.org/wiki/Paul_Finsler

9. Vladimir A. Yakubovich est reconnu pour ses contributions a` la commande moderne, notamment dans lesannees 1960, http://www.math.spbu.ru/user/java/en/.

2.6. LEMMES DE SIMPLIFICATION 17

Theore`me 3 (S-procedure)Soit les formes quadratiquessuivantes :

qi(x) =

[x1

]H [Ai b

Hi

bi ci

] [x1

]= xHAix+ 2b

Hi x+ ci, (2.43)

pour i = 0, 1, ..., p.Alors, on a q0(x) 0 pour tout x tel que qi(x) 0, i = 1, ..., p sil existe des scalairsi 0

qui satisfont la contrainte LMI suivante :[A0 b

H0

b0 c0

]

pi=1

i

[Ai b

Hi

bi ci

] 0 (2.44)

De plus, linverse est vrai pour p = 1 en reel et meme pour p = 2 en complexe.

Chapitre 3

Modelisation des syste`mes

3.1 Les differentes representations detat

Nous nous limitons, dans ce cours, aux syste`mes dynamiques continus multivariables (ditsaussi MIMO pour multi input multi output). Le vecteur des entrees est u, celui des sorties y ; levecteur detat est x.

3.1.1 Syste`me lineaire

On parle aussi de syste`me lineaire invariant dans le temps ou` en anglais de linear time-invariant system (LTI). I l sagit du cas ou` les equations sont lineaires par rapport aux entreeset aux variables detat. Le syste`me peut etre mis sous la forme :{

x = Ax+Buy = Cx+Du

(3.1)

Cette representation ne concerne que les syste`mes propres (qui ne contiennent pas deffet derivatifpur) ; pour les syste`mes strictement propres, D = 0. On note G(s) la fonction de transfert dusyste`me :

G(s) = C(sIn A)1B +D (3.2)ou` n est lordre du syste`me. On se permettra de designer le syste`me par sa fonction de transfertG(s) meme si les calculs sont faits sur la representation detat.

La fonction de transfert permet de relier les transformees de Laplace des signaux dentreeet de sortie, cest-a`-dire que pour une condition initiale nulle, on peut ecrire Y (s) = G(s)U(s),ou` U(s) et Y (s) sont respectivement les transformees de Laplace des signaux u(t) et y(t). On sepermet parfois labus de notation suivant : y(t) = G(s)u(t) qui signifie que y(t) est la sortie dusyste`me G(s) pour une entree u(t).

Sous Matlab, on peut definir un syste`me LTI avec les fonctions ss et tf.

3.1.2 Syste`me lineaire a` parame`tres variants (LPV)

Dans un syste`me LPV, les matrices detat A, B, C et D dependent dun vecteur des pa-rame`tres qui peut varier en fonction du temps.{

x = A()x+B()uy = C()x+D()u

(3.3)

A defaut de connatre a` lavance la trajectoire de , on connat souvent des bornes sur sesdifferentes composantes : k k k et peut-etre aussi sur les vitesses de variation : k k k.

Le vecteur des parame`tres peut etre vu comme une entree supplementaire du syste`me quine rentre alors plus dans la classe des syste`mes lineaires. Parmi les syste`mes LPV, certainstypes particuliers sont interessants a` etudier : les syste`mes LPV affines, LPV polytopiques et lesrepresentations lineaires fractionnaires).

19

20 CHAPITRE 3. MODELISATION DES SYSTE`MES

Syste`me LPV affine

Dans ce cas, la dependance des matrices detat en fonction des parame`tres est lineaires.Notons

M =

[A BC D

]. (3.4)

On a alors M() = M0 + 1M1 + 2M2....Remarquez que le produit ou` linterconnexion de deux mode`les LPV affines nest generalement

pas un mode`le LPV affine, mais plutot un mode`le LPV avec dependance quadratique en fonctiondes parame`tres.

Syste`me LPV polytopique

La matrice M representant le syste`me est une combinaison barycentrique de plusieurs ma-trices M s1 , M

s2 ,... : M = 1M

s1 + 2M

s2 + .... Avec 0 k 1 et k = 1.

Un syste`me LPV affine dont les parame`tres varient sur des intervalles connus peut etreconsidere comme un syste`me polytopique. Traitons lexemple dun syste`me dependant de deuxparame`tres M() = M0 + 1M1 + 2M2 et notons M

s1 , M

s2 , M

s3 et M

s4 ses sommets :

M s1 = M0 + 1M1 + 2M2M s2 = M0 + 1M1 + 2M2M s3 = M0 + 1M1 + 2M2M s4 = M0 + 1M1 + 2M2

(3.5)

Construisons maintenant le syste`me polytopique M = 1Ms1 + 2M

s2 + 3M

s3 + 4M

s4 avec

1 =1111

2222

2 =1111

2222

3 =1111

2222

4 =1111

2222

(3.6)

En remplacant dans lexpression de M les M sk et les k par leurs expressions ci-dessus, verifieque lon retrouve bien M = M . Ce resultat est encore valable pour un nombre de parame`tresplus eleve. On retiendra quil y a equivalence entre les representations affine et polytopique.

Exercice 1 (Equivalence entre polytopique et LPV affine)Ecrivez M en fonction de ; simplifiez et montrez que lon retrouve M .

3.1.3 Syste`me non-lineaire

Lequation detat dun syste`me non-lineaire est :{x = f(x, u)y = g(x, u)

(3.7)

Si les fontions f et g sont derivables, (on exclut donc les non-linearites fortes du type seuil,bande morte...), on peut lineariser les equations autour dun point dequilibre (x0, u0) verifiantf(x0, u0) = 0 : {

x = f(x0, u0) +fx (x x0) + fu(u u0)

y = g(x0, u0) +gx(x x0) + gu(u u0)

(3.8)

En notant x = x x0, u = u u0 et y = y g(x0, u0) on se rame`ne a` un syste`me LPV :{x = A()x +B()uy = C()x +D()u

(3.9)

3.2. OPERATIONS SUR LES SYSTE`MES LTI 21

avec = [x0, u0].

Letude dun syste`me non-lineaire par lanalyse de son mode`le linearise, bien que souventsans garantie stricte, constitue une voie couramment empruntee en automatique.

3.2 Operations sur les syste`mes LTI

3.2.1 Operations elementaires

Exercice 2 (Operations sur deux syste`mes LTI)Soit deux syste`mes G1(s) et G2(s) respectivement definis par leurs representations detat :

G1(s) [A1 B1C1 D1

]; G2(s)

[A2 B2C2 D2

]. (3.10)

On note u1 et u2 les entrees respectives de G1(s) et de G2(s). On note y1 et y2 leurs sortiesrespectives.

1. Determinez la representation detat du syste`me dentree u et de sortie y = y1 + y2.

2. Determinez la representation detat du syste`me dentree u = u1 et de sortie y = y2 avecy1 = u2.

3. Determinez la representation detat du syste`me dentree u =

[u1u2

]et de sortie y =

[y1y2

].

3.2.2 Transformation lineaire fractionnaire

Soit un syste`me G(s) dentree u RnG et de sortie y RnG ; soit un syste`me H(s) dentreev RnH et de sortie z RnH . On conside`re la partitions suivantes de G(s) :[

y1y2

]=

[G11(s) G12(s)G21(s) G22(s)

] [u1u2

](3.11)

avec u1, y1 RnG1 , u2, y2 RnG2 , nG = nG1 + nG2.Dans le cas ou` nH = nG1, on definit linterconnexion lftu(G(s), H(s)) (on parle de upper

LFT) comme le syste`me dentree u2, de sortie y2 et obtenu par linterconnexion des syste`mesG(s) et H(s) avec v = y1 et u1 = z.

Dans le cas ou` nH = nG2, on definit linterconnexion lftl(G(s), H(s)) (on parle de lowerLFT) comme le syste`me dentree u1, de sortie y1 et obtenu par linterconnexion des syste`mesG(s) et H(s) avec v = y2 et u2 = z.

G(s)

H(s)

--

-

u2

u1 = z

y2

y1 = v

Figure 3.1 Representation lineaire fractionnaire lftu(G(s), H(s))

Exercice 3 (Interconnexion pour lanalyse dun syste`me asservi)Soit un syste`me G(s) de commande u, de mesure y Rp. Il est asservi a` la reference r par uncorrecteur K(s) et la loi de commande u = K(s) e avec e = r y. On note Hbo(s) = G(s)K(s)la fonction de transfert en boucle ouverte.


H(s)

G(s)

--

-

u1

u2 = z

y1

y2 = v

Figure 3.2 Representation lineaire fractionnaire lftl(G(s), H(s))

1. Montrez que le syste`me en boucle fermee S(s) dentree r et de sortie e peut se mettre sousla forme suivante :

S(s) = lftl(M,Hbo(s)) (3.12)

2. Determinez la matrice M correspondant.

3. Deduisez en le script Matlab permettant de calculer la fonction de sensibilite S(s) a` partirde Hbo(s).

Exercice 4 (Interconnexion pour la synthe`se de correcteur)Soit un syste`me G(s) de commande u Rm, de mesure y Rp. On souhaite lasservir a` unsignal de reference r par un correcteur K(s) et la loi de commande u = K(s) e avec e = r y.On souhaite determiner une technique permettant de calculer facilement les fonction de transferten boucle fermee. Le syste`me en boucle fermee H(s) a comme entree v = r et comme sortie

z =

[eu

].

1. Montrez que le syste`me en boucle fermee peut se mettre sous la forme suivante :

H(s) = lftl(H1(s),K(s)) (3.13)

et donnez le schema-bloc de H1(s).

2. Montrez que H1(s) peut se mettre sous la forme :

H1(s) = lftu(M,G(s)) (3.14)

et determinez la matrice M correspondante.

3. Deduisez en le script Matlab permettant de calculer le syste`me de synthe`se H1(s) a` partirdu syste`me G(s).

4. Donnez la script permettant de cacluler le syste`me en boucle fermee dentree H(s) a` partirde G(s) et de K(s).

Exercice 5 (Representation LFT dun syste`me LTI)Soit un syste`me LTI G(s), dordre n et de representation detat (3.1).

1. Montrez quun syste`me LTI G(s), dordre n et de representation detat (3.1) peut se mettresous la forme dune LFT suivante :

G(s) = lftu

(M,

1

sIn)

(3.15)

2. Determinez la matrice M .

3. Expliquez comment une methode de synthe`se dun correcteur de type retour de sortie sta-tique (SOF) permet aussi de realiser un correcteur de type retour dynamique de sortie(DOF).

3.3. REPRESENTATION LINEAIRE FRACTIONAIRE 23

3.3 Representation lineaire fractionaire

Une representation lineaire fractionnaire (LFR en anglais) est linterconnexion dun syste`meLTI avec une matrice (un syste`me statique) dependant des parame`tres, comme represente surla figure 3.3. Tout type de syste`me LPV dont les matrices detat dependent rationnellement desparame`tres peut etre mis sous forme de LFR ; cependant il nest pas toujours aise de trouverune representation LFR dordre minimale, cest a` dire avec une matrice de taille minimale.La LFR Toolbox, developpee a` lOnera, permet de creer et de manipuler les LFR [17]. Voustrouverez des exemples de modelisation LFR dun syste`me physiques dans [1] 1 pour un syste`memecanique elementaire et dans [18] 2 pour un syste`me electromecanique denroulement de bande.Des travaux sur la machine asynchrone sont egalement disponibles [19, 20].

Q(s)

()

--

-

u

v

y

z

Figure 3.3 Mode`le LFR

Notons v et u les entrees provenant respectivement de et de la commande et z et y lessorties destinees respectivement a` et a` la mesure. Le syste`me Q(s) secrivant :

x = Ax+B1v +B2u (3.16)

z = C1x+D11v +D12u (3.17)

y = C2x+D21v +D22u (3.18)

En rebouclant avec la matrice (), cest-a`-dire en ecrivant que

v = () z (3.19)

on peut ecrire les equation du syste`me boucle dentree u et de sortie y :

x = A()x+ B()u (3.20)

y = C()x+ D()u (3.21)

avec :

A() = A+B1()(ID11())1C1 (3.22)B() = B2 +B1()(ID11())1D12 (3.23)C() = C2 +D21()(ID11())1C1 (3.24)D() = D22 +D21()(ID11())1D12 (3.25)

On peut faire differentes remarques sur cette representation :

1. cette representation nexiste que si la matrice I D11() nest pas singulie`re (on parlede LFR bien posee (well-posed en anglais) ;

2. dans le cas general, il sagit dun mode`le LPV ou` les matrices detat dependent de manie`rerationnelle des parame`tres ;

1. Ouvrage disponible a` la bibliothe`que du pole API de lULP.2. Article disponible a` partir du reseau internet de lULP sur le site du LSIIT (http ://lsiit.u-

strasbg.fr/Publications) ou par le SCD (http ://www-scd-ulp.u-strasbg.fr).


3. dans le cas ou` D11 est nulle, alors la dependance des matrices est affine.

Exemple 4 (Modelisation LFR dun syste`me electrique inductif)Soit un syste`me electrique compose dune resistance R en serie avec une inductance L. La latension u(t) est consideree comme lentree ; le courant y(t) est considere comme la sortie. Laloi de maille donne u(t) = Ry(t) + Ly(t). On en deduit lequation detat x = 1L(Rx(t) + u(t))et lequation de sortie y = x. On cherche a` ecrire le syste`me sous la forme dune LFT entreun syste`me LTI ne dependant pas des parame`tres et dune matrice dependant des parame`tres.Afin de faire disparatre le parame`tre R dans lequation dynamique, notons z1 = x et v1 = Rz1.Lequation detat secrit :

x =1

L(v1 + u) (3.26)

z1 = x (3.27)

y = x (3.28)

Notons ensuite z2 = v1(t) + u(t) et v2 = 1Lz2. Le syste`me secrit alors :

x = v2 (3.29)

z1 = x (3.30)

z2 = v1 + u (3.31)y = x (3.32)

Ainsi, on a G(s) = lftu(H(s),) ou` les equations detat de H(s) sont donnees ci-dessus et ou` = diag(R, 1L). En realite, il est pratique de sappuyer sur un schema-bloc du mode`le pourdeterminer le mode`le LFR.

Propriete 13 (Interconnexion des LFR)Linterconnexion de plusieurs LFR est une LFR.

Exemple 5 (Exemple de definition de mode`le LFR sous Matlab)Dans le script ci-dessous, le syste`me H(s) = 1/(Ls+R) est defini comme un syste`me dependantdes parame`tres incertains R et L avant de determiner la representation LFR equivalente. Onobserve que, selon la methode suivie, le resultat na pas la meme taille. En effet, dans le premiercas, le parame`tre L est repete deux fois alors que dans le second cas, il est repete une seulefois. On retiendra que, lors de la modelisation, il est utile de chercher une representation LFRminimale.

echo on

% definition des parame`tres

R = ureal(R,1);

L = ureal(L,1);

% definition du syste`me avec tf

H = tf(1,[L R])

USS: 1 State, 1 Output, 1 Input, Continuous System

L: real, nominal = 1, variability = [-1 1], 2 occurrences

R: real, nominal = 1, variability = [-1 1], 1 occurrence

[M,Delta] = lftdata(H)

a =

x1

x1 -1

b =

u1 u2 u3 u4

x1 0.9269 0.7297 -0.7789 1.153


c =

x1

y1 0.9494

y2 0.1646

y3 1.284

y4 0.867

d =

u1 u2 u3 u4

y1 -1 2.22e-16 1.214 0

y2 -1.11e-16 -1 -0.4742 0

y3 0 0 0 0

y4 -0.6326 -1.619 0 0

Input groups:

Name Channels

L_NC 1,2

R_NC 3

Output groups:

Name Channels

L_NC 1,2

R_NC 3

Continuous-time model.

UMAT: 3 Rows, 3 Columns



% autre methode

S = tf(1);

H2 = 1/(L*S+R);

[M2,Delta2] = lftdata(H2)

d =

u1 u2 u3

y1 -0.5 -0.5 0.5

y2 -0.5 -0.5 0.5

y3 -0.5 -0.5 0.5

Input groups:

Name Channels

L_NC 1

R_NC 2

Output groups:

Name Channels

L_NC 1

R_NC 2

Static gain.


L: real, nominal = 1, variability = [-1 1], 1 occurrence


echo on

% definition des parame`tres

R = ureal(R,1); % parame`tre incertain

L = ureal(L,1);


% definition du syste`me avec tf

H = tf(1,[L R]) % H(s) = 1/(L*s+R)

USS: 1 State, 1 Output, 1 Input, Continuous System



[M,Delta] = lftdata(H)

a =

x1

x1 -1

b =

u1 u2 u3 u4

x1 0.9269 0.7297 -0.7789 1.153

c =

x1

y1 0.9494

y2 0.1646

y3 1.284

y4 0.867

d =

u1 u2 u3 u4

y1 -1 2.22e-16 1.214 0

y2 -1.11e-16 -1 -0.4742 0

y3 0 0 0 0

y4 -0.6326 -1.619 0 0

Input groups:

Name Channels

L_NC 1,2

R_NC 3

Output groups:

Name Channels

L_NC 1,2

R_NC 3

Continuous-time model.




% autre methode

S = tf(1); % variable de Laplace

H2 = 1/(L*S+R)

USS: 0 States, 1 Output, 1 Input, Continuous System



[M2,Delta2] = lftdata(H2)

d =

u1 u2 u3

y1 -0.5 -0.5 0.5

y2 -0.5 -0.5 0.5

y3 -0.5 -0.5 0.5

Input groups:


Name Channels

L_NC 1

R_NC 2

Output groups:

Name Channels

L_NC 1

R_NC 2

Static gain.




Exercice 6 (Modelisation LFR dun syste`me electrique inductif)Soit H(s) defini par :

x = v2 (3.33)

z1 = x (3.34)

z2 = v1 + u (3.35)y = x (3.36)

et = diag(R, 1L).

1. Donnez un schema-bloc du mode`le LFR.

2. Determinez la fonction de transfert du syste`me lftu(H(s),).

Exercice 7 (Modelisation LFR dun syste`me masse ressort)Un syste`me masse-ressort G(s) a comme equation dynamique my(t) + fy(t) + ky(t) = u(t). Laraideur est supposee variable entre kmin et kmax. On note k = k0 +wkk ou` k0 =

12(kmin + kmax)

et wk =12(kmax kmin). Les autres parame`tres sont supposes connus.

1. Montrez que le syste`me peut secrire sous la forme G(s) = lftu(H(s), k) ou` H(s) ne dependpas de k. Determinez H(s).

2. Montrez que k peut se mettre sous la forme k = lftu(Hk, k) ou` Hk ne depend que de k0 etde wk. Determinez Hk.

3. Deduisez-en le mode`le incertain normalise G(s) = lftu(H(s), k) ou` H(s) ne depend quede m, f , k0 et wk.

4. On suppose desormais que tous les parame`tres sont inconnus. Determinez le syste`me sousla forme G(s) = lftu(F (s),) ou` la matrice depend des parame`tres m, k et f alors queF (s) nen depend pas. Donnez F (s) et .

Exercice 8 (Interconnexion de deux LFR)Soit un syste`me LFR dentree u1 et de sortie y1 defini par 1 et le syste`me :

x1 = A1x1 +B11v1 +B12u1 (3.37)

z1 = C11x1 +D111v1 +D112u1 (3.38)

y1 = C12x1 +D121v1 +D122u1 (3.39)

et la LFR dentree u2 et de sortie y2 definie par 2 et le syste`me :

x2 = A2x2 +B21v2 +B22u2 (3.40)

z2 = C21x2 +D211v2 +D212u2 (3.41)

y2 = C22x2 +D221v2 +D222u2 (3.42)


1. Les syste`mes sont connectes en serie avec u2 = y1. Determinez les 9 matrices detatdu syste`me dentree u1, de sortie y2, detat x = [x

T1 ; x

T2 ]T et de matrice incertaine

= diag{1,2}.2. Les syste`mes sont interconnectes en retroaction avec u1 = u + y2 et u2 = y1. Determinez

les 9 matrices detat du syste`me dentree u, de sortie y = y1, detat x = [xT1 ; x

T2 ]T et de

matrice incertaine = diag{1,2}.

Exercice 9 (Mode`le LFR dun bras manipulateur)On conside`re un bras manipulateur plan a` 2 DDL dont les positions articulaires sont notees q1et q2. Le mode`le dynamique secrit :

M(q2) q + C(q, q) q = u (3.43)

ou` u est le vecteur des couples articulaires. La matrice dinertie secrit :

M(q2) = M0 +Mc cos(q2) (3.44)

ou`

M0 =

[m110 m120m120 m22

]; Mc =

[m11c m12cm12c 0

]. (3.45)

La matrice de Coriolis secrit :

C(q, q) = m11c sin(q2)

[q2 12 q212 q1 0

]. (3.46)

1. Montrez que linverse de la matrice dinertie peut secrire sous la forme M1(q2) =lftu(N, 1I2) ou` N est une matrice constante et 1 = cos(q2).

2. Mettez la matrice de Coriolis sous une forme affine en fonction des parame`tres 2 =q1 sin(q2) et 3 = q2 sin(q2). Pourquoi cette ecriture nest elle pas unique ?

3. Deduisez-en un mode`le LFR du syste`me en fonction de 1 = cos(q2), 2 et 3.

4. On conside`re le domaine de variation |q1| q1max, |q1| q1max ; q2 [0, q2max], (pi/2 V (x0) pour x 6= x0Definition 8 (Stabilite au sens de Lyapunov)x0 est un point stable au sens de Lyapunov sil existe une fonction de Lyapunov V (x) verifiantla condition suivante :

d

dt(V (x)) < 0 pour x 6= x0

A partir dune condition initiale xi differente de x0, lenergie interne du syste`me va decrotrejusqua` atteindre son minimum qui correspond a` lunique point x0 ; letat du syste`me tendradonc necessairement vers x0.

Pour demontrer la stabilite par cette methode, la difficulte reside dans le choix dune bonnefonction denergie. Une classe de fonctions souvent utilisees sont les fonction quadratiques V (x) =(x x0)TQ(x x0) avec Q = QT > 0 ; on parle alors de stabilite quadratique.

Pour la fonction denergie choisie, il reste a` demontrer que ddt(V (x)) =dV (x)dx f(x) < 0 pour

tout x.

Exemple 6 (Fonction denergie dun syste`me physique)Soit un syste`me mecanique de masse m, connecte au sol par lintermediaire dun ressort deraideur k et dun amortisseur f . On note z la position de la masse et z sa vitesse. On conside`reque lequilibre est obtenu pour z = 0.

Lequation fondamentale de la dynamique donne lequation dynamique du syste`me :

mz = kz fz (4.1)Letat est compose de la position et de la vitesse :

x =

[zz

](4.2)

Lenergie du syste`me est composee de lenergie cinetique Ec =12mz

2 et de lenergie potentielleemmagasinee dans le ressort Ep =

12kz

2. On definit donc V (x) = 12mz2 + 12kz

2.

29

30 CHAPITRE 4. ANALYSE DES SYSTE`MES

La variation de lenergie secrit :

V (t) =V (x)

zz +

V (x)

zz (4.3)

= kzz +mzz (4.4)

= z(kz + (kz fz)) (4.5)= fz2 (4.6)

Ainsi, lenergie est decroissante de`s que la vitesse est non nulle. A terme, la decroissance delenergie entraine la convergence de x vers zero. Toutefois, cette decroissance ne depend pas dez et ne satisfait donc pas exactement la condition ddt(V (x)) < 0 pour x 6= x0.

4.1.2 Syste`me lineaire

Dans ce cas, f(x) = Ax. Le point dequilibre candidat est necessairement x = 0. En choisis-sant V (x) = xTQx avec Q = QT > 0, la condition de stabilite secrit alors xT (ATQ+QA)x < 0pour x 6= 0, ce qui secrit aussi ATQ + QA < 0 et qui signifie que toutes les valeurs propres(reelles) de la matrice symetrique ATQ + QA sont strictement negatives. Dans le cas present,la stabilite quadratique au sens de Lyapunov est equivalente a` la stabilite classiqueau sens des syste`mes lineaires (valeurs propres a` parties reelles negatives). On enonce ainsile theore`me suivant.

Theore`me 4 (Stabilite dun syste`me lineaire a` temps continu)Le syste`me x = Ax est stable si et seulement si il existe une matrice definie positive Q verifiantle syste`me LMI suivant :

Q > 0 (4.7)

ATQ + QA < 0 (4.8)

Remarque : dans ce cas, cette stabilite (quadratique de Lyapunov) est equivalente a` la sta-bilite au sens de Hurwitz 1 dont le crite`re est que la matrice A ait ses valeurs propres a` partiereelle positive.

4.1.3 Cas des syste`mes a` temps-discret

Considerons un syste`me dequation detat x(k + 1) = Ax(k) et une fonction de Lyapunovquadratique V (x) = xTQx avec Q = QT > 0. Le syste`me est stable si et seulement si lenergiedecroit sur toutes les trajectoires, cest-a`-dire sil existe une matrice Q telle que !

Theore`me 5 (Stabilite dun syste`me lineaire a` temps discret)Le syste`me x(k + 1) = Ax(k) est stable si et seulement si il existe une matrice definie positiveQ verifiant le syste`me LMI suivant :

Q > 0 (4.9)

ATQAQ < 0 (4.10)

En effet, la decroissance de lenergie secrit V (x(k + 1)) < V (x(k)) ce qui secrit encorexT(k)ATQAx(k) < xT(k)Qx(k).

4.1.4 Commandes Matlab

Les fonctions suivantes font partie de la Robust Control Toolbox et permettent de tester lastabilite quadratique. Elles sont valables pour des syste`mes LPV et donc aussi pour des syste`mesLTI.

1. Une matrice est dite de Hurwitz si ses valeur propres sont a` parties reelles strictement negatives.

4.2. DISSIPATIVITE 31

quadstab analyse la stabilite quadratique des syste`mes dynamiques a` temps continu et a`temps discret. Les syste`mes descripteurs (du type Ex = Ax) qui ne sont pas abordes dansle cadre du cours, sont egalement supportes.

decay calcul le taux de decroissance maximal de la fonction de Lyapunov

4.2 Dissipativite

4.2.1 Definition

Syste`me non-lineaire

On sinteresse maintenant a` un syste`me non-lineaire de vecteur dentree u, de vecteur desortie y, de vecteur detat x. Son equation detat est x = f(x, u) et son equation de sortie esty = g(x, u). Soit S(u, y) une fonction scalaire que nous appellerons flux denergie entrant.

Definition 9 (Dissipativite)Un syste`me dynamique est dit S-dissipatif sil existe une fonction denergie V (x) telle que

dV (x)

dt< S(u, y) (4.11)

pour tout x 6= x0 ou` x0 est le point dequilibre considere verifiant f(x0, 0) = 0On peut sinteresser a` des fonctions S de type particulier comme :

S(u, y) =

[yu

]T [Q11 Q12Q12

T Q22

] [yu

](4.12)

On parle alors de {Q11, Q22, Q12}-dissipativite.

Syste`me lineaire

Soit le syste`me dequation detat x = Ax+Bu et dequation de sortie y = Cx+Du.

Theore`me 6 (Caracterisation LMI de la dissipativite)Le syste`me ci-dessus est {Q11, Q22, Q12}-dissipatif sil existe une matrice Q = QT verifiant lesyste`me de LMI suivant :

Q > 0 (4.13)[ATQ + QA CTQ11C QB CTQ11D CTQ12BTQDTQ11C QT12C DTQ11D DTQ12 QT12D Q22

]< 0 (4.14)

Demonstration 4On peut remplacer le vecteur [yT, uT]T dans la fonction S(u, y) par[

yu

]=

[C D0 I

] [xu

](4.15)

On obtient alors une nouvelle expression S(x, u) du flux denergie :

S(x, u) =

[xu

]T [CT 0DT I

] [Q11 Q12Q12

T Q22

] [C D0 I

] [xu

](4.16)

soit

S(x, u) =

[xu

]T [CTQ11C C

TQ11D + CTQ12

DTQ11C +QT12C D

TQ11D +DTQ12 +Q

T12D +Q22

] [xu

](4.17)


Par ailleurs, la derivee de la fonction denergie secrit :

dV (x)

dt= xTQx+ xTQx (4.18)

= (Ax+Bu)TQx+ xTQ(Ax+Bu) (4.19)

=

[xu

]T [ATQ+QA QB

BTQ 0

] [xu

](4.20)

La dissipativite (4.11) secrit alors comme une LMI en Q = QT > 0 :[ATQ+QA CTQ11C QB CTQ11D CTQ12BTQDTQ11C QT12C DTQ11D DTQ12 QT12D Q22

]< 0 (4.21)

4.2.2 Caracterisation LMI de la norme H

Lemme 2 (Yakubovitch-Kalman)Soit un syste`me lineaire. Les propositions suivantes sont equivalentes :

(i) est {Q11, Q22, Q12}-dissipatif.(ii) R+\det(jI A) 6= 0,[

G(j)I

]T [Q11 Q12QT12 Q22

] [G(j)I

] 0 (4.22)

Ce resultat sobtient facilement en considerant un signal harmonique u(t) = Uexp(jt).

On peut maintenant montrer que la norme H est un cas particulier de dissipativite.

Theore`me 7 (Equivalence entre norme H et dissipativite)Soit un syste`me lineaire et la fonction de flux denergie S(u, y) = 2uTuyT y. Les propositionssuivantes sont equivalentes :

(i) est S-dissipatif

(ii) |||| Grace au lemme de Yakubovitch-Kalman, la proposition (ii) est equivalente a` (GT (j)G(j)+2I 0 ce qui est equivalent a` dire que les valeurs propres de G(j)TG(j) sont inferieuresa` 2. Or les valeurs propres (reelles et positives) de G(j)T (G(j) sont les carres des valeurssingulie`res de G(j). CQFD car la norme H de est la borne superieure de la valeur singulie`remaximale.

La majoration de la norme H par est donc equivalente a` la {I, 2I, 0}-dissipativite. Ceresultat est aussi connu sous le nom de lemme borne reel (bounded real lemma en anglais) :

Lemme 3 (Lemme borne reel 1)Un syste`me dynamique continu lineaire de matrices detat A, B, C et D a une norme Hinferieure a` si et seulement si il existe une matrice Q = QT verifiant :

Q > 0 (4.23)[ATQ + QA+ CTC QB + CTD

BTQ +DTC DTD 2I]< 0 (4.24)

On peut appliquer le lemme borne reel pour le calcul de la norme H dun syste`me lineaireen resolvant un proble`me de valeurs propres generalisees suivant : trouver les matrices Q = QT

et R = RT minimisant = 2 et verifiant :

Q > 0 (4.25)

4.3. PERFORMANCES DUN SYSTE`ME ASSERVI 33

[ATQ + QA+ CTC QB + CTD

BTQ +DTC DTD

] 0 (4.28) ATQ + QA QB CTBTQ I DTC D I

< 0 (4.29)4.2.3 Passivite

On dit quun syste`me est passif si la condition suivante est verifiee : T0uT(t)y(t)dt 0 (4.30)

Cette conditions est correspond a` la dissipativite avec les matrices Q11 = Q22 = O et Q12 = I,ce qui donne le theore`me suivant connu sous le nom de Positice real lemma.

Theore`me 8 (Positive real lemma)Un syste`me lineaire dynamique est passif sil existe une matrice Q = QT > 0 telle que :[

ATQ + QA QB CTBTQ C DT D

]< 0 (4.31)

La passivite est une condition suffisante de stabilite. Une propriete fondamentale est quelinterconnexion de syste`mes passifs est un syste`me passif. Ainsi, on peut chercher a` imposer lastabilite dun syste`me interconnecte en assurant la passivite de chacun de ses elements. Cettepropriete est notamment utilisee dans les syste`mes de telemanipulation. Linconvenient de cetteapproche est son conservatisme.

4.3 Performances dun syste`me asservi

4.3.1 Schema de commande

On conside`re le schema dasservissement presente sur la figure 4.1. Le syste`me G(s) estasservi au moyen dun correcteur K(s). Les signaux sont :

la reference r(t) lerreur de regulation e(t) le signal de commande u(t) la perturbation d(t) en entree du syste`me le signal a` asservir y(t) la bruit de mesure bm(t) le signal de mesure ym(t)

On conside`re que les signaux sont ajoutes positivement, sauf pour la contre-reaction de la mesure.Lobjectif general de la commande est dobtenir y(t) = r(t) en depit des perturbations d(t)

et bm(t). Mais evidemment, on ne peut obtenir cette egalite parfaitement. De manie`re generale,on note Tzv(s) le transfert en boucle fermee entre lentree v(t) et la sortie z(t). La sensibilite ensortie (cote mesure) est definie par Sy(s) = Ter(s). La sensibilite en entree (cote commande) estdefinie par Su(s) = Tvd(s).


K(s) G(s)- - -? - - ?

6

i i ir +

e udv y

bm

ym

Figure 4.1 Syste`me asservi avec reference, perturbation en entree et bruit de mesure

4.3.2 Les crite`res

Marge de module

La stabilite est evaluable a` partir du lieu des poles (tous les poles de la boucle fermee doiventetre a` partie reelle strictement positive), ce qui sevalue en multivariable de la meme manie`requen monovariable. Cependant, on sait que la stabilite ne suffit pas et que des marges de stabilitesont necessaires. La marge de module est definie en monovariable comme la distance minimaleau point 1 du transfert complexe en boucle ouverte, ce qui secrit avec les notations utilisees :

M = min|1 +K(j)G(j)|. (4.32)

En notant que :

min|1 +K(j)G(j)| =

(max|(1 +K(j)G(j))1|

)1, (4.33)

on definit en multivariable la marge de module en sortie :

M =1

||Sy(s)|| , (4.34)

et la marge de module en entree :

M =1

||Su(s)|| . (4.35)

-1 0

M

Im

Re

G(j)K(j)

Figure 4.2 Illustration de la marge de module en monovariable sur le lieu de Nyquist

Bande passante

Afin davoir un bon comportement en suivi de consigne, il faut que le transfert entre lareference et la mesure ait un comportement de type passe-bas avec une frequence de coupurede laxe -3 dB suffisamment elevee. De manie`re equivalente, on peut considerer quil faut que letransfert Ter(s) = Sy(s) entre la reference et lerreur soit de type coupe-bas (ou passe-haut) avecla meme pulsation de coupure. On pourra alors tracer la representation frequentielle de Sy(s) etrelever la bande passante a` -3 dB ainsi que lattenuation maximale (en continu).


BP

(log)0 dB

-3 dB

20 log((Sy(j)))

20 log((Sy(0)))

20 log(||Sy(s)||)

Figure 4.3 Allure typique de la sensibilite en sortie Sy(s) permettant de determiner la margede module, la bande passante et la precision (syste`me avec deux entrees et deux sorties).

Precision

Lerreur statique en reponse a` un echelon unitaire sur la reference est donnee par Sy(0).

Rejet de perturbation

Afin davoir un bon comportement en rejet de perturbation, il faut que le transfert entre laperturbation et lerreur soit le plus faible possible notamment en basse frequence. Ce transfertest generalement de type passe-bande. On pourra alors tracer la representation frequentielle deTed(s) = Sy(s)G(s) et relever lattenuation maximale (en continu) ainsi que lamplificationmaximale en precisant la frequence.

Effet du bruit de mesure

Le bruit de mesure bm peut se repercuter par un bruit sur la commande qui risque de fatiguerles actionneurs, entrainera une surconsommation et un vieillissement accelere. Afin de limitercet effet, il importe que le transfert en boucle fermee entre une perturbation en sortie du syste`me(cote mesure) et la commande ait un gain limite, notamment en haute frequence. On pourra sedonner un gabarit dattenuation du transfert Tud(s) du type (Tud(j)) |H(j)| ou` H(s) estle gabarit (transfert SISO).

Robustesse

Les syste`mes dynamiques physiques sont generalement de type passe-bande et on dont ungain qui diminue en haute frequence. Il en resulte donc quau dela` dune certaine bande defrequences, ces dynamiques sont necessairement mal connues. Ainsi, une des sources classiquede manque de robustesse des syste`mes asservis correspond a` des amplifications de modes hautesfrequence mal connus, entranant ainsi des instabilites. Afin de palier ce proble`me, il convient desassurer que le gain du correcteur decroit au dela` de la bande passante. Une manie`re detourneede sen assurer consiste a` considerer la reponse frequentielle du transfert Su(s)K(s) ou K(s)Sy(s)du transfert entre r et u.

4.3.3 Schemas danalyse et de synthe`se H

Position du proble`me

Reprenons le schema de commande de la figure 4.1 ou` G(s) comporte nu commandes et nymesure. En notant Sy(s) = (Iny +G(s)K(s))1 et Su(s) = (Inu +K(s)G(s))1, on peut calculer


les differents transferts en boucle fermee :euvyym

=

Sy(s) Sy(s)G(s) Sy(s)Su(s)K(s) Su(s)K(s)G(s) Su(s)K(s)Su(s)K(s) Su(s) Su(s)K(s)

Sy(s)G(s)K(s) Sy(s)G(s) Sy(s)G(s)K(s)Sy(s)G(s)K(s) Sy(s)G(s) Sy(s)

rdbm

(4.36)

Exercice 10 (Calcul des fonctions de transfert en boucle fermee)

1. Montrez que K(s)Sy(s) = Su(s)K(s) et que G(s)Su(s) = Sy(s)G(s).

2. Retrouvez les fonctions de transfert entre les differentes entree et sorties du syste`me de lafigure 4.1.

Le proble`me de synthe`se revient a` chercher un compensateur K(s) tel quun certain nombredes transferts dinteret de (4.38) aient une allure satisfaisante. Cependant, on imagine bien quilnest pas possible de realiser des allures arbitraires pour chacun de ces transferts. Tout dabord,on observe qun certain nombre de transferts sont identiques. Par exemple, leffet du bruit demesure sur les differentes sorties est identique a` celui de la reference au signe pre`s, sauf pourla mesure ym. Inversement, leffet des differentes entrees sur les sorties y et ym sont identiques,sauf pour bm.

Etude asymptotique

0 dB

(G(j)K(j)) 1(G(j)K(j)) 1

20 log(k(G(j)K(j)))

c (log)

Figure 4.4 Allure typique des valeurs singulie`res de la boucle ouverte.

Pour un syste`me asservi simple, le gain en boucle ouverte (ou ses valeurs singulie`res si ontravaille en multivariable) est generalement decroissant en fonction de la pulsation et la pulsationde coupure c de laxes 0 dB definit la bande passante (voir figure 4.4). Considerons maintenantdeux approximations : basse et haute frequence.

Pour c, on peut considerer que (K(s)G(s)) 1 et (G(s)K(s)) 1. Il en resulteque Sy(s) ' K1(s)G1(s) et Su(s) ' G1(s)K1(s), du moins dans lhypothe`se detransferts carres inversibles. Ainsi, les differents transferts se reecrivent :

euvyym

=K1(s)G1(s) K1(s) K1(s)G1(s)

G1(s) Inu G1(s)G1(s) G1(s)K1(s) G1(s)Iny K1(s) InyIny K1(s) K1(s)G1(s)

rdbm

(4.37)On observe que certains transferts ne dependent plus du correcteur. Cest le cas du transfertTyr entre la reference et la mesure (ou grandeur a` asservir), egal a` lidentite (le syste`me


est bien asservi). Cest egalement le cas du transfert entre le bruit et la commande avecTubm(s) = G1(s), ce qui signifie que leffet du bruit de mesure sur la commande ne peutetre attenue dans la bande passante. A linverse, le transfert Tyd(s) entre la perturbationet la grandeur a` asservir depend entie`rement du correcteur ; un bon rejet de perturbationnecessite donc un gain du correcteur eleve independamment du gain du syste`me (cestainsi que la presence dun integrateur pur dans le syste`me G(s) nest daucune aide pourle rejet de perturbation mais quil faudra prevoir un effet integrateur dans le correcteur).

Pour c, on peut considerer que (K(s)G(s)) 1 et (G(s)K(s)) 1. Il en resulteque Sy(s) ' Iny et Su(s) ' Inu . Ainsi, les differents transferts se reecrivent :

euvyym

=

Iny G(s) InyK(s) K(s)G(s) K(s)K(s) Inu K(s)

G(s)K(s) G(s) G(s)K(s)G(s)K(s) G(s) Iny

rdbm

(4.38)

A nouveau, certains transferts ne dependent plus du correcteur, mais pas les memes quedans le cas precedent. A linverse, le transfert Tubm(s) entre le bruit de mesure et lesignal de commande est egal, au signe pre`s, au correcteur. Ainsi, il sera necessaire deprevoir lattenuation du gain du correcteur en dehors de la bande passante afin de limiterlamplification du bruit.

Exercice 11 (Trace de la reponse frequentielle dun syste`me asservi)On conside`re le syste`me asservi de la figure 4.1 avec G(s) = K1+s et un correcteur K(s). Onconsiderera trois correcteurs possibles pour ce correcteur :

1. un proportionnel K1(s) = Kp,

2. un PI K2(s) = Kp1+isis

,

3. un PI + un filtre passe-bas K3(s) = K2(s)1

1+f s.

On prendra comme valeurs numeriques K = 1, = 1, Kp = 5, i = 4 et f = 0.05. On conside`reles differents signaux suivants :

1. Tracez de manie`re approximative les transferts suivants : Ter(s), Tur(s), Tyr(s), Tur(s) etTubm(s).

2. Commentez les differents transferts et les differences entre les trois correcteurs.

Schema general de synthe`se

Un schema general danalyse ou de synthe`se H est donne sur la figure 4.5. Le syste`meetendu Ga(s) est construit autour du syste`me G(s). On distingue deux canaux :

Le canal de performance entre v et z qui inte`gre lensemble des transferts dinteret pourlesquels on cherche a` imposer un gabarit du type (Tzk vl) |Hkl(j)| afin de garantircertaines performances.

Le canal de commande qui relie le syste`me etendu au correcteur.

Le correcteur K(s) sera synthetise de manie`re a` minimiser la norme H du transfert en bouclefermee de v vers y.

De nombreux schemas de synthe`se sont possibles suivant les objectifs recherches et les dif-ficultes rencontrees en pratique. Lidee est de choisir le schema le plus simple qui permet deresoudre le cahier des charges. Il convient donc de commencer par le schema le plus simple etdanalyser en detail les resultats obtenus. Si un crite`re de performances nest pas atteint, onchoisit de passer a` un schema plus complexe en ajoutant des signaux de performance dans Ga(s)afin dintroduire dans la synthe`se le canal de performance supplementaire pour lequel la synthe`seprecedente sest montree insuffisante.


K(s)

Ge(s)-

--

u

v v

e ou y

zzWe(s) Ws(s) -

Figure 4.5 Schema general pour la synthe`se H

Schema 1 bloc

Le transfert crucial est la sensibilite Ter(s) = Sy(s) qui permet de gerer a` la fois la bandepassante, la marge de stabilite et la precision. Ainsi, le schema de synthe`se le plus simple estun schema dans lequel on ne sinteresse qua` ce transfert. Ce schema, donne sur la figure 4.6fait apparaitre une seule ponderation en sortie (Ws(s) = W1(s)) et pas de ponderation dentree(We(s) = Iny).

K(s) G(s)u(t)

+- y(t)

r(t)e(t)

W1(s)z(t)

Figure 4.6 Schema de synthe`se a` 1 bloc

Considerons la ponderation suivante :

W11(s) =s+ a

k(s+ b)(4.39)

avec a < b et K 1. Ce transfert a un gain statique de akb , un gain minimal de 1K et presenteun gain a` 3 dB a` la pulsation

c =

a2 2k2b2

2k2 1 (4.40)Definissons le filtre multivariable diagonal :

W1(s) = W11(s)Iny . (4.41)

On a :

W11 (s) =1

W11(s)Iny . (4.42)

Appliquons a` lentree de ce filtre lerreur de regulation e ; notons z1 sa sortie. Si on est capablede verifier que la norme du transfert entre r et z1 est inferieure a` 1, alors |W111 (j)| est unmajorant de (Sy(j)) pour tout . On en deduit que :

la marge de gain du syste`me est superieure a` 1k ;

lerreur statique relative est inferieure a` Kba ; la bande passante est superieure a` c.

Il suffit dinverser ces trois relations pour definir la ponderation permettant correspondant a` uncahier des charges donne :

K est determine a` partir de la marge de gain ; le rapport ba est ensuite deduit a` partir de lerreur statique acceptable ;


le coefficient a est alors determine par lexpression de la bande passante :

a = c

2k2 1

1 2k2 ( ba)2 (4.43) on determine ensuite b grace a` la valeur de ba .

Si on souhaite une erreur statique nulle, il convient de prendre b = 0. On peut aussi cherchera` imposer une erreur de suivi de rampe nulle en choisissant une ponderation de la forme :

W11(s) =(s+ a)2

k(s+ b)2(4.44)

ou` b est choisi tre`s faible voire nul 2. Il convient toutefois de refaire les calculs ci-dessus.

Exercice 12 (Schema de synthe`se a` un bloc)Pour le schema de synthe`se a` un bloc represente sur la figure 4.6,

1. identifiez les signaux du schema general de synthe`se de la figure 4.5,

2. determinez le syste`me etendu Ge(s) en fonction de G(s).

Schema 2 blocs

En utilisant un schema de synthe`se a` un bloc, il se peut que lon obtienne un correcteur dontle gain ne chute pas en haute frequence, ce qui est defavorable en terme damplification du bruitde mesure et en terme de robustesse. Afin de forcer le gain du correcteur a` decroitre au dela`de la bande passante du syste`me asservi, on peut etre amene a` ajouter une ponderation sur lacommande u comme dans le schema de synthe`se a` deux blocs de la figure 4.7. Cette ponderationest un filtre derivateur tronque qui amplifie les hautes frequences. Avec W2(s) = W21Inu , onpeut prendre :

W21(s) =s

K2(cs+ 1)(4.45)

avec cc 1 (par exemple cc = 0, 01). Une valeur de K2 faible correspond a` un effet de roll-offimportant, cest-a`-dire une decroissante rapide du gain du correcteur en haute frequence.

K(s) G(s)+-

r(t)e(t)

W1(s)z1(t)

u(t)

y(t)

z2(t)W2(s)

Figure 4.7 Schema de synthe`se a` 2 blocs

Exercice 13 (Schema de synthe`se a` deux blocs)Pour le schema de synthe`se a` deux blocs represente sur la figure 4.7,

1. identifiez les signaux du schema general de synthe`se de la figure 4.5,

2. determinez le syste`me etendu Ge(s) en fonction de G(s).


K(s) G(s)+-

W1(s)z1(t)

v1 = r(t)+

d(t)

W3(s)

W2(s)

u(t) y(t)

z2(t)

e(t)

v2(t)

Figure 4.8 Schema de synthe`se a` 4 blocs

Schema 4 blocs

Si le rejet de perturbation nest pas suffisant, il convient dintegrer lentree d qui sajouteau signal de commande et qui modelise les perturbation apparaissant sur lentree du syste`me.On aboutit au schema de synthe`se a` quatre blocs (figure 4.8) dans lequel une ponderationW3(s) = W31(s)I constante permettra de regler le rejet de perturbation grace au transfertTde(s) avec :

(Ted(j)) 0\ATQ+QA > 0 permet de garantir que la matrice Aest Hurwitz ; cest-a`-dire que toutes ses valeurs propres sont dans le demi-plan complexe gauche.Dautres conditions LMI permettent de garantir la localisation des poles dans des regions plusreduites. A partir des formulations polynomiales de Gutman et Jury [21], des contraintes LMIont ete derivees par Chilali, Scherer et al. [22, 15]. Une formulation generale, valable en temps-continu et en temps-discret est disponible dans Peaucelle et Arzelier [23].

4.4.1 Regions LMI

Les regions du plan complexe permettant daboutir a` une formulation LMI secrivent sousla forme :

R11 +R12z +RH21z +R22zz < 0 (4.48)

ou` R11 = RH11, R12 et R22 = R

H22 sont des matrices complexes et ou` z est un pole du syste`me.

Exemple 7 (Exemples de contraintes LMI)

Pour obtenir |z| 1, il suffit dimposer 21 + zz < 0. Pour obtenir |z| 2, il suffit dimposer 22 zz < 0.

2. Il est parfois preferable de choisir b faible non nul afin de ne pas rendre le syste`me instable par ladjonctiondun pole nul ; cest notamment le cas pour lanalyse de la robustesse.

4.4. LIEU DES POLES 41

Pour obtenir Re(z) , il suffit dimposer 2+ z + z < 0. Pour garantir que les poles sont places dans un cone symetrique par rapport a` laxe des

reels, dirige vers les reels negatifs et douverture , il faut imposer les conditions :{hRe(z) + Im(z) < 0hRe(z) Im(z) < 0 (4.49)

ou` h = tan(). Ces relations se reecrivent sous la forme :{(h j)z + (h+ j)z < 0(h+ j)z + (h j)z < 0 (4.50)

ce qui secrit sous la forme (4.48) avec R11 = R22 = O22 et R12 =[h j 0

0 h+ j

].

Definition 10 (Produit de Kronecker)Pour une matrice A = [ai,j ] de dimention n p et une matrice B, on note :

AB =

a11B . . . a1nB... ...an1B . . . annB

(4.51)4.4.2 Condition LMI

Theore`me 9 (Condition LMI de placement de pole)Les poles dun syste`me dequation detat A sont dans le domaine caracterise par lequation (4.48)sil existe une matrice symetrique P telle que la condition suivante est verifiee :

R11 P +R12 (PA) +RH12 (AHP ) +R22 (AHPA) < 0 (4.52)

En pratique, les differentes contraintes sont agglomerees afin daboutir a` une formulationunique sous la forme (4.48).

Exercice 14 (Contraintes LMI de placement des poles)

1. Donnez les matrices de la formulation (4.48) permettant dassurer le cahier des chargessuivant : module inferieur a` max partie reelle inferieure a` ou` R+ amortissement superieur a` r =

2.

2. Justifiez linteret de ces trois contraintes, notamment en terme de cahier des charge tem-porel.

Chapitre 5

Synthe`se pour les syste`mes LTI

5.1 Retour detat stabilisant

Syste`me a` temps continu

On cherche une commande de la forme u = Kx pour un syste`me x = Ax+Bu. Le syste`me enboucle fermee secrit x = (A+BK)x. Il est stable sil existe une matrice Q = QT > 0 verifiantlinegalite matricielle :

(A+BK)TQ + Q(A+BK) < 0 (5.1)

La resolution du proble`me suppose de trouver simultanement les matrices K et Q. On voit quecette inegalite nest pas lineaire a` cause du terme QBK ; elle ne peut donc etre resolue par lesoutils numeriques classiques.

Toutefois, en multipliant a` droite et a` gauche linegalite par R = Q1, on obtient uneinegalite equivalente sous la forme :

R(A+BK)T + (A+BK)R < 0 (5.2)

En effectuant le changement de variable S = KR, on se rame`ne a` resoudre linegalite matriciellelineaire suivante :

RAT + STB +AR +BS < 0 (5.3)

Une fois determines R et S, on determine K = SR1.

Formulation Riccati de la stabilisation. On peut egalement utiliser le lemme de Finslerafin de transformer lequation non-lineaire.

Commencons par developper lequation (5.1) :

ATQ + QA+ KTBTQ + QBK < 0 (5.4)

En identifiant cette equation avec la quatrie`me formulation du lemme de Finsler (page 16), latroisie`me formulation equivalente donnee dans le lemme secrit :

ATQ + QA+ QBBTQ < 0 (5.5)

Il sagit dune inegalite de Riccati ou` la matrice inconnue K a disparu. En introduisant unematrice P = PT > 0, cette inegalite se transforme en egalite :

ATQ + QA+ QBBTQ + P = 0 (5.6)

Il sagit dune equation algebrique de Riccati. Des algorithmes sont disponibles pour les resoudre(sous Matlab, voir are pour Algebraic Riccati Equation).

43

44 CHAPITRE 5. SYNTHE`SE POUR LES SYSTE`MES LTI

5.2 Commande H

On presente ici les techniques de synthe`se de retour dynamique de sortie. Des resultats sontegalement disponibles concernant la synthe`se de retour detat statique 1

5.2.1 Proble`me et solutions

Position du proble`me

Pour le syste`me P (s) de representation detat :xzy

=A B1 B2C1 D11 D12C2 D21 D22

xvu

(5.7)on cherche un correcteur dynamique K(s) de representation detat :[

xKu

]=

[AK BKCK DK

] [xKy

](5.8)

tel que

||lftl(P (s),K(s))|| . (5.9)Les methodes de synthe`se presentees ci-dessous, disponibles sous Matlab, sappuient sur

lhypothe`se suivante :

H1. (A,B2) est stabilisable2 ; (C2, A) est detectable

3

Ces deux hypothe`ses sont des hypothe`ses classiques pour la synthe`se de correcteur.

Resolution par equation de Riccati

La premie`re methode de synthe`se, due a` Glover et Doyle, sappuie sur la resolution duneequation de Riccati [24, 25]. Lexpose rapide de la methode donne ci-dessous est tire de louvragede Duc et Font [1].

Pour P = PT et Q = QT de meme dimension dune matrice A. On note :

X = Ric

(A PQ AT

)(5.10)

la solution symetrique de lequation de Riccati :

XA+ATX XPX +Q = 0 (5.11)

telle que toutes les valeurs propres de A PX ont une partie reelle strictement negative.Outre lhypothe`se H1, les hypothe`ses suivantes doivent etre satisfaites :

H2. rang(D12) = nu et rang(D21) = ny ou` nu est la taille de u et ny est la taille de ny.

H3. R, rang(A jIn B2

C1 D12

)= n+ nu ou` n est la taille de x.

H4. R, rang(A jIn B1

C2 D21

)= n+ ny.

H5. D11 = 0, DT12

[C1 D12

]=[O Inu

], D22 = 0,

[B1D21

]DT21 =

[O Iny

].

1. Voir aussi le cours de Denis Arzelier sur http://www.laas.fr/~arzelier/polycop/dea/commande_etat2.pdf.

2. La stabilisabilite est une condition moins forte que la commandabilite. La paire (A,B2) est stabilisable silexiste un retour detat qui stabilise le syste`me x = Ax+B2u.

3. La detectabilite est une condition moins forte que lobservabilite. La paire (C2, A) est detectable sil existeun observateur x = Ax+ L(Cx y) telle que lerreur dobservation x x converge vers zero.

5.2. COMMANDE H 45

Vous trouverez dans la litterature, et notamment dans [1] quelques explications sur ces hy-pothe`ses.

Theore`me 10 (Synthe`se H par equation de Riccati)Sous les hypothe`ses precedentes, les correcteurs LTI K(s) stabilisant le syste`me et assurant (5.9)sont donnes par la LFT suivante :

K(s) = lftl(Ka(s),(s)) (5.12)

ou` (s) est une matrice de transfert de dimension nuny arbitraire verifiant ||(s)|| < et ou`Ka(s) est decrit par la representation detat suivante :xau

ua

= Aa ZaYaCT2 ZaB2BT2 Xa O InuC2 Iny O

xvu

(5.13)ou` Aa = A+

2B1BT1 XaB2BT2 ZaY aC2CT2 et Za = (In 2Y aXa)1En particulier, le correcteur central est obtenu avec (s) = 0.

Resolution par LMI

La caracterisation LMI de la boucle fermee est donnee par le lemme borne reel (4.29). Pourle syste`me en boucle fermee lftl(P (s),K(s)), ce resultats se reecrit : ATbfQ+QAbf QBbf CTbfBTbfQ I DTbf

Cbf Dbf I

< 0 (5.14)ou` les matrices du syste`me en boucle fermee sont donnees par :

[Abf BbfCbf Dbf

]=

A+B2DKC2 B2CK B1 +B2DKD21BKC1 AK BKD21C1 +D12DKC2 D12CK D11 +D12DKD21

(5.15)dans le cas ou` D22 = O.

Il sagit dun proble`me non-lineaire a` cause du produit entre la matrice de Lyapunov Q etles matrices du correcteur a` determiner. La methode suivante permet de resoudre le proble`me[16]. Elle consiste a` resoudre dabord un proble`me LMI ou` les matrices du correcteur ont etesupprimees.

Theore`me 11 (Synthe`se LMI de correcteur H)Le proble`me H a une solution sil existe des matrices symetriques R et S qui verifient les troisconditions LMI suivantes :[

NR 00 Inv

]T AR+RAT RCT1 B1C2R Inz D21BT1 D

T21 Inv

[NR 00 Inv

]< 0 (5.16)

[NS 00 Inz

]T ATS + SA SB1 C1BT1 S Inv DT21CT2 D21 Inz

[NS 00 Inz

]< 0 (5.17)

[R InIn S

] 0 (5.18)

ou` NR et NS sont des bases des noyaux respectivement de[BT2 D

T12

]et[C2 D21

].

La determination du correcteur se fait suivant les etapes suivantes :


1. On determine dabord les matrices R et S a` partir des LMI du theore`me 11.

2. Soit r le rang de la matrice In RS. Une decomposition en valeurs singulie`re permet dedeterminer les matrices M et N Rnr telles que :

MNT = In RS (5.19)3. On determine ensuite la matrice de Lyapunov :

Q =

[S NNT M RN

](5.20)

ou` M est la pseudo-inverse de M .4. Il ne reste plus qua` resoudre (5.14) avec Q connu ; ce qui est une LMI en AK , BK , CK etDK .

5.2.2 Methodologies de synthe`se

Synthe`se par la methode des sensibilites mixtes

On sappuiera sur les explications donnees sur lanalyse des syste`mes presente au paragraphe4.3.3. Il sagit de traduire un cahier des charge sous forme de gabarits sur un certain nombrede transferts en boucle fermee ; den deduire les ponderations a` appliquer puis de synthetiser lecorrecteur minimisant la norme H du syste`me augmente en boucle fermee. Si la valeur obtenue,notee , depasse lunite, le cahier des charges nest pas satisfait ; il est alors necessaire de relachercertaines contraintes et de refaire la synthe`se. Si est largement inferieur a` lunite, cela signifieque les performances pourraient etre augmentees par rapport a` ce qui a ete specifie lors de lasynthe`se. On peut alors en profiter pour ameliorer la robustesse en augmentant leffet de roll-off.

Synthe`se par loop-shaping

La methode dite du loop-shaping a ete proposee par Mc Farlane et Glover [26]. Elle sedecompose en deux etapes :

Un premier correcteur est determine qui permet de donner au gain en boucle ouverte uneforme adequate. Ce correcteur initial, dordre n, na pas besoin de stabiliser le syste`me.Il est generalement donne sous la forme dune pre-ponderations W1(s) et dune postponderation W2(s). Le syste`me resultats est G(s) = W2(s)G(s)W1(s) (voir figure 5.1).On peut donner un gain eleve en basse frequence afin de bien rejeter les perturbations. Enhaute frequence, il est preferable dattenuer le gain afin de reduire la sensibilite par rapportaux dynamiques mal modelisees (effet de roll-off). Dans la zone de frequence proche dela pulsation de coupure, il est preferable de ne pas augmenter trop la pente du gain, demanie`re a` ne pas rendre plus difficile le proble`me de synthe`se. Une pente de 30 dB/decpermet dassurer une marge de phase proche de 45 .

Figure 5.1 Loop-shaping : schema de synthe`se

Considerons des signaux de perturbation d1 en entree et d2 en sortie de G(s), (voir fi-gure 5.1). Un correcteur K(s) est synthetise de manie`re a` minimiser la norme H dutransfert de [d1 d2]

T vers [u y]T :

= min

S(s) S(s)G(s)K(s)Sa(s) K(s)S(s)G(s)

(5.21)

5.2. COMMANDE H 47

Figure 5.2 Loop-shaping : schema de commande

ou` S(s) = (I + G(s)K(s))1 est la fonction de sensibilite en entree. Ce correcteur etantetabli a` partir de lensemble syste`me + correcteur initial, il est dordre n+ n. Cette etagepermet de conferer de bonnes marges de stabilite, ce qui est le cas si est suffisammentfaible. On conside`re generalement des valeurs entre 3 et 5 comme satisfaisantes. Des valeursplus elevees correspondraient a` des marges de stabilite reduites ; des valeurs plus eleveessont le signe quil est possible dameliorer les performances ou` la robustesse du syste`me.

Le correcteur final est K(s) = W1(s)K(s)W2(s). Son ordre est donc n + 2n. Le schema decommande est donne sur la figure 5.2.

Figure 5.3 Fonctions de transfert du syste`me et de la ponderation

Figure 5.4 Fonctions de transfert du syste`me pondere avec et sans correcteur H

Un exemple de mise en uvre sur un syste`me electromecanique avec resonnance est developpedans [19]. Sur la figure 5.3, on observe la reponse frequentielle de la fonction de transfert G(s)initial ainsi que la ponderation W2(s). On a choisi W1(s) = 1. La bande passante est prevue pourdes frequences inferieures et proches de la resonance. Sur la figure 5.4, on observe le syste`me


pondere G(s) puis le syste`me corrige K(s)G(s). On observe que le correcteur H na modifie lecomportement quaux frequences proches de la pulsation de coupure.

Chapitre 6

Analyse des syste`mes LPV incertains

6.1 Stabilite au sens de Lyapunov

6.1.1 Syste`me non-lineaire

Soit un syste`me libre de vecteur detat x et dequation detat x = f(x). Soit x0 un pointstable candidat. Il doit alors verifier la condition dequilibre f(x0) = 0. De plus, il faut aussi queque ce point soit attractif, cest-a`-dire que les trajectoires de x convergent vers x0.

Definition 11 (Stabilite au sens de Lyapunov)x0 est un point stable au sens de Lyapunov sil existe une fonction scalaire V (x) verifiant lesconditions suivantes :

V (x) > V (x0) pour x 6= x0 ddt(V (x)) < 0 pour x 6= x0

Une telle fonction V (x) est dite fonction denergie du syste`me ou fonction de Lyapunov.

A partir dune condition initiale xi differente de x0, lenergie interne du syste`me va decrotrejusqua` atteindre son minimum qui correspond a` lunique point x0 ; letat du syste`me tendradonc necessairement vers x0.

Pour demontrer la stabilite par cette methode, la difficulte reside dans le choix dune bonnefonction denergie. Une classe de fonctions souvent utilisees sont les fonction quadratiques V (x) =(x x0)TQ(x x0) avec Q = QT > 0 ; on parle alors de stabilite quadratique.

Pour la fonction denergie choisie, il reste a` demontrer que ddt(V (x)) =dV (x)

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