Colloque GRETSI, Paris, 8-11 septembre 2003 Sur la Décomposition Modale Empirique P. Flandrin (Cnrs...
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Colloque GRETSI, Paris, 8-11 septembre 2003
Sur la Décomposition Modale Empirique
P. Flandrin (Cnrs - Éns Lyon) et P. Gonçalvès (Inrialpes)
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plan de l’exposé
• la « Décomposition Modale Empirique »– principe– mise en œuvre– exemple
• deux interprétations– stochastique et fréquentielle– déterministe et temporelle
• conclusion et perspectives
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idée de base• principe : « signal = oscillations rapides superposées à
des oscillations lentes »• méthode (N.E. Huang, 1998) : « Décomposition Modale
Empirique » (ou « EMD » pour « Empirical Mode Decomposition »)– identifier localement l’oscillation la plus rapide – soustraire au signal et itérer sur le résidu
adaptation locale sur des échelles multiples et « naturelles » (pilotage par les données )
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l’algorithme de Huang
• calculer 2 enveloppes (1 supérieure et 1 inférieure) par interpolations entre les extrema du signal– soustraire au signal de départ la moyenne de
ces enveloppes– itérer jusqu’à ce que cette moyenne = 0 et
#{extrema} = #{passages à zéro} ± 1
• soustraire du signal le mode (IMF) ainsi obtenu et itérer sur le résidu
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en pratique
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-0.1
0
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0.2
IMF 4; iteration 10
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-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
residue
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0
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0.2residue
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-0.1
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-0.05
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residue
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0
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-0.15
-0.1
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0
0.05
0.1
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10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
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residue
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-0.1
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0
0.05
0.1
IMF 5; iteration 4
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-0.1
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0
0.05
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0.1
IMF 5; iteration 5
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10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
-0.1
-0.05
0
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-0.1
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0
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10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
-0.1
-0.05
0
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-0.1
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residue
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10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
-0.1
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0
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0.1
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10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
residue
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10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
IMF 5; iteration 9
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
residue
![Page 79: Colloque GRETSI, Paris, 8-11 septembre 2003 Sur la Décomposition Modale Empirique P. Flandrin (Cnrs - Éns Lyon) et P. Gonçalvès (Inrialpes)](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022081602/551d9d85497959293b8c07fc/html5/thumbnails/79.jpg)
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
IMF 5; iteration 10
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
residue
![Page 80: Colloque GRETSI, Paris, 8-11 septembre 2003 Sur la Décomposition Modale Empirique P. Flandrin (Cnrs - Éns Lyon) et P. Gonçalvès (Inrialpes)](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022081602/551d9d85497959293b8c07fc/html5/thumbnails/80.jpg)
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
IMF 5; iteration 11
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
residue
![Page 81: Colloque GRETSI, Paris, 8-11 septembre 2003 Sur la Décomposition Modale Empirique P. Flandrin (Cnrs - Éns Lyon) et P. Gonçalvès (Inrialpes)](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022081602/551d9d85497959293b8c07fc/html5/thumbnails/81.jpg)
imf1
Empirical Mode Decomposition
imf2
imf3
imf4
imf5
imf6
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
res.
![Page 82: Colloque GRETSI, Paris, 8-11 septembre 2003 Sur la Décomposition Modale Empirique P. Flandrin (Cnrs - Éns Lyon) et P. Gonçalvès (Inrialpes)](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022081602/551d9d85497959293b8c07fc/html5/thumbnails/82.jpg)
un exemple FM
• oscillations localement quasi-sinusoïdales• filtrage variant dans le temps et auto-adaptatif• exemple : 2 FM sinus + 1 logon gaussien
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000-1
-0.5
0
0.5
1
![Page 83: Colloque GRETSI, Paris, 8-11 septembre 2003 Sur la Décomposition Modale Empirique P. Flandrin (Cnrs - Éns Lyon) et P. Gonçalvès (Inrialpes)](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022081602/551d9d85497959293b8c07fc/html5/thumbnails/83.jpg)
EMD
![Page 84: Colloque GRETSI, Paris, 8-11 septembre 2003 Sur la Décomposition Modale Empirique P. Flandrin (Cnrs - Éns Lyon) et P. Gonçalvès (Inrialpes)](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022081602/551d9d85497959293b8c07fc/html5/thumbnails/84.jpg)
signature temps-fréquence
![Page 85: Colloque GRETSI, Paris, 8-11 septembre 2003 Sur la Décomposition Modale Empirique P. Flandrin (Cnrs - Éns Lyon) et P. Gonçalvès (Inrialpes)](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022081602/551d9d85497959293b8c07fc/html5/thumbnails/85.jpg)
signature temps-fréquence
![Page 86: Colloque GRETSI, Paris, 8-11 septembre 2003 Sur la Décomposition Modale Empirique P. Flandrin (Cnrs - Éns Lyon) et P. Gonçalvès (Inrialpes)](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022081602/551d9d85497959293b8c07fc/html5/thumbnails/86.jpg)
signature temps-fréquence
![Page 87: Colloque GRETSI, Paris, 8-11 septembre 2003 Sur la Décomposition Modale Empirique P. Flandrin (Cnrs - Éns Lyon) et P. Gonçalvès (Inrialpes)](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022081602/551d9d85497959293b8c07fc/html5/thumbnails/87.jpg)
signature temps-fréquence
![Page 88: Colloque GRETSI, Paris, 8-11 septembre 2003 Sur la Décomposition Modale Empirique P. Flandrin (Cnrs - Éns Lyon) et P. Gonçalvès (Inrialpes)](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022081602/551d9d85497959293b8c07fc/html5/thumbnails/88.jpg)
problèmes ouverts• algorithme ?
– intuitif mais ad-hoc et pas unique– paramètres à la discrétion de l’utilisateur
• interprétation ?– modes (IMF) vs. Fourier, ondelettes, …?– quelles échelles « naturelles » ?
• performances ?– évaluation difficile (pas de définition analytique) – recours à des simulations numériques
![Page 89: Colloque GRETSI, Paris, 8-11 septembre 2003 Sur la Décomposition Modale Empirique P. Flandrin (Cnrs - Éns Lyon) et P. Gonçalvès (Inrialpes)](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022081602/551d9d85497959293b8c07fc/html5/thumbnails/89.jpg)
problèmes abordés ici• algorithme ?
– intuitif mais ad-hoc et pas unique– paramètres à la discrétion de l’utilisateur
• interprétation ?– modes (IMF) vs. Fourier, ondelettes, …?– quelles échelles « naturelles » ?
• performances ?– évaluation difficile (pas de définition analytique) – recours à des simulations numériques
![Page 90: Colloque GRETSI, Paris, 8-11 septembre 2003 Sur la Décomposition Modale Empirique P. Flandrin (Cnrs - Éns Lyon) et P. Gonçalvès (Inrialpes)](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022081602/551d9d85497959293b8c07fc/html5/thumbnails/90.jpg)
interprétation 1 (stochastique et fréquentielle)
• modèle : bruit gaussien fractionnaire (fGn)– exposant de Hurst 0 < H < 1
• H = 1/2 : bruit blanc• H ≠ 1/2 : corrélation
– densité spectrale de puissance (DSP) ~ f 1-2H
• simulations : DSP estimées des modes pour H = 0.1 à 0.9 et 5000 réalisations de N = 512 points
![Page 91: Colloque GRETSI, Paris, 8-11 septembre 2003 Sur la Décomposition Modale Empirique P. Flandrin (Cnrs - Éns Lyon) et P. Gonçalvès (Inrialpes)](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022081602/551d9d85497959293b8c07fc/html5/thumbnails/91.jpg)
fGn : DSP des modes
• structure de banc de filtres • passe-haut pour k = 1 et passe-bande pour k > 1• décomposition « spontanée » de type ondelettes
![Page 92: Colloque GRETSI, Paris, 8-11 septembre 2003 Sur la Décomposition Modale Empirique P. Flandrin (Cnrs - Éns Lyon) et P. Gonçalvès (Inrialpes)](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022081602/551d9d85497959293b8c07fc/html5/thumbnails/92.jpg)
passages à 0 & renormalisation
• passages à 0 = mesure de fréquence moyenne• distribution quasi-dyadique• DSP renormalisables sur une « fonction de transfert » unique
![Page 93: Colloque GRETSI, Paris, 8-11 septembre 2003 Sur la Décomposition Modale Empirique P. Flandrin (Cnrs - Éns Lyon) et P. Gonçalvès (Inrialpes)](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022081602/551d9d85497959293b8c07fc/html5/thumbnails/93.jpg)
densité de proba. des modes
• IMF (k > 1) : gaussienne
• IMF (k = 1 et H = 1/2) : proche d’un bruit blanc gaussien filtré passe-haut
![Page 94: Colloque GRETSI, Paris, 8-11 septembre 2003 Sur la Décomposition Modale Empirique P. Flandrin (Cnrs - Éns Lyon) et P. Gonçalvès (Inrialpes)](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022081602/551d9d85497959293b8c07fc/html5/thumbnails/94.jpg)
variance-covariance
• variance (IMFk) : loi d ’échelle
• covariance (IMFk, IMFk’) : faible k, k’ > 1
• estimation de H par pente
![Page 95: Colloque GRETSI, Paris, 8-11 septembre 2003 Sur la Décomposition Modale Empirique P. Flandrin (Cnrs - Éns Lyon) et P. Gonçalvès (Inrialpes)](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022081602/551d9d85497959293b8c07fc/html5/thumbnails/95.jpg)
interprétation 2 (déterministe et temporelle)
• modèle : « impulsion » idéalisée selon s(t) = (t) + n(t), avec n(t) bruit blanc gaussien et 0+.
• simulations : calcul de la moyenne d’ensemble des EMD pour 5000 réalisations de N = 2048 points
![Page 96: Colloque GRETSI, Paris, 8-11 septembre 2003 Sur la Décomposition Modale Empirique P. Flandrin (Cnrs - Éns Lyon) et P. Gonçalvès (Inrialpes)](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022081602/551d9d85497959293b8c07fc/html5/thumbnails/96.jpg)
EMD moyenne
![Page 97: Colloque GRETSI, Paris, 8-11 septembre 2003 Sur la Décomposition Modale Empirique P. Flandrin (Cnrs - Éns Lyon) et P. Gonçalvès (Inrialpes)](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022081602/551d9d85497959293b8c07fc/html5/thumbnails/97.jpg)
loi d ’échelle & renormalisation
![Page 98: Colloque GRETSI, Paris, 8-11 septembre 2003 Sur la Décomposition Modale Empirique P. Flandrin (Cnrs - Éns Lyon) et P. Gonçalvès (Inrialpes)](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022081602/551d9d85497959293b8c07fc/html5/thumbnails/98.jpg)
conclusions et perspectives sur l’EMD
• méthode attrayante car naturellement multi-échelles et pilotée par les données
• organisation spontanée en banc de filtres (dyadiques) dans des situations « stationnaires » et « transitoires », stochastiques (fGn) ou non (impulsions)
• définition par un algorithme : quel cadre théorique au-delà des simulations numériques ?
![Page 99: Colloque GRETSI, Paris, 8-11 septembre 2003 Sur la Décomposition Modale Empirique P. Flandrin (Cnrs - Éns Lyon) et P. Gonçalvès (Inrialpes)](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022081602/551d9d85497959293b8c07fc/html5/thumbnails/99.jpg)
(p)ré-tirages, codes Matlab et démos
www.ens-lyon.fr/~flandrin/emd.html