ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP

CONCOURS D’ADMISSION 2008

PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.

! ! !

Équations différentielles de Sturm-Liouville

Ce problème est consacré à l’étude d’une équation différentielle avec paramètre. On désignepar C∞([0, 1]) l’espace des fonctions réelles de classe C∞ sur [0, 1].

Première partie

Dans cette première partie, étant donné deux fonctions p et q de C∞([0, 1]), on désigne parAp,q l’endomorphisme de C∞([0, 1]) défini par

Ap,q(y) = y′′ + py′ + qy

et par (Dp,q) l’équation différentielle sur [0, 1] : Ap,q(y) = 0.

1. Soit y une solution non identiquement nulle de (Dp,q).

1.a) Montrer que les fonctions y et y′ ne s’annulent pas simultanément.

1.b) Montrer que les zéros de y sont en nombre fini.

2. Soit y1 et y2 deux solutions linéairement indépendantes de (Dp,q) ; on suppose que y1

admet au moins deux zéros et on note a et b deux zéros consécutifs.

2.a) Montrer que y2 admet au moins un zéro dans l’intervalle ouvert ]a, b[. [On pourraprocéder par l’absurde et considérer le wronskien W de y1 et y2.]

2.b) La fonction y2 peut-elle avoir plusieurs zéros dans ]a, b[ ?

Étant donné deux fonctions u et v de C∞([0, 1]), u ne s’annulant en aucun point, on désignepar Bu,v l’endomorphisme de C∞([0, 1]) défini par

Bu,v(y) = (uy′)′ + vy

et par (Eu,v) l’équation différentielle sur [0, 1] : Bu,v(y) = 0.

1

-

-

¥10.000soit x.ec . .is tqycxol-ycx.to.WWWNHW.mu#u*auquYAlorxy.sdtfs-rIoiJde l'épate diff .

{ y" tpytqy -

y (a) = y' (a) = o

.Cha ylt) = o car

← ° .

La fonction molle ut Sol-K sur Cord de ylt) = [ça y puisque

par unicité de Candy - Lipschitz , y. -_ 0 .tu rt et y i ent .

Puisque y. ¥0 par KYP , il n' existe pas de Sin ( Ê ) e-¥

prt # 0

xoecoidtq.y.cxx-yi.ca) =o .

¥" > Io pr t - o

Ouais. par l' abx : supposons qu'il existe f = C " sur 'R -

www.upMN#@n)ue.wECoiDlNauatti-tjentier,

xitxj et ycxil - o .D' après B. t

-Wei Mq y' ( tt = o : j' (f) = lin Y(t)-9

X - t t - y3- sssih (tuteur de ( xD nan . qui CV Stt

→ on1- = limtn c- Cou] = lin yCH-yl

¥Ë- fumé n -tu t - tu

= 0 .

c-

D' aprés le 1er point , y Eo s - r Ca,M

.f 9 contientl'fournaises-ce •

té de termes .ABSURDE

3- Iiutii En Un EI , Xu f segmentC IN

← Xcloc÷:÷÷÷÷i÷÷÷

Sss - it

(Xqoo . - -oqu.ec#pznEIa,diauIa--bzI .

⇒ Conclus .

⇒ Cv .

> u s suite de § .) -34 : INÎIN

(g)çss. -4 de (×7=944 = "

aucun

⇒ 3- Q : IN - IN str-er .

Un yu = Xqcu )

extraite ibérie :

¥4.0410 . - o Qu (b) en } .

- 2Non : sinon yz admettrait

2 zéros f- dx Ja-b [ , disons c Cd consécutifs

Soit W = l'y! %:/ = yéyé - yé y, le et d' après y , admettrait 1- ptwmnshien du syçt . de sottes Cyr , yz) . d' auudat des Jçdc

,ce qui nierait

satisfait 1 équa ai A- d' ordre -1 homogène : l' kyp. selon laquelle a etb sont 2

Tt'

= yeyz"- y,

"

y, zéros consécutifs de za .

= ya C- payé - qy# tpyétq ya

= - p-

W -

ce-Epoux [ÎÏ. I.pas] CER ,

a

TVLH =

Et C- Colis (( = (o) ) sur ]a.b[ deYat de signe est (TVI )

SNI , ya > 0sur Jaibl .

t'"

Rvü oeexpp .

J , ne s' annule passer Iaibl . Par TVI ,

y, > o s -r Jak ou y, C O sur Jay C .

Quitte à considérer - ye ,ou supp 940

sur Jabl.

Oea

→À

ûsgu= - Ila) yéca) )

Ainsi yéca) etTous) = - y.us) yilb) . yi (b) ont Û signe et # o¥ E. ¥

→ = La-

y! ca) = lin IH""¥ > o)4107 h= 0 ↳0 > 0- - -

yé (b) = lieu 9elb)-9db* < •hrot h

%C- 0

.

ABSURDÉ .

Donc yz doit s' annuler

Sur Ja - b E .

-

-

Ainsi y ± . yn sol de

Ton µ"t ÎPTE 9=0 ✓ de

0K-

on y, Burly.) - y , Burke ) y"tp y

'+ q y = 0 .

= y , ((uyi)'

+X) - y . ftp.jtv# donc tt Etais, yictt-qctty.CH .

= y, u' yé t yauyz

" ( i = I. e )- y, u

' yé - ya u yé' Or Et C- Toi, yr.lt) to o - y

,LH to

.

= TV - U'- ya u ( py ! + qy# Sinon il existerait to C- fois , y , ( to ) -_ g. ( to ) - o

+ y , u ( pyé +q# et alors comme yeety, tu oea d'après= (u

'-

up) . y! ( to) ,y ! CA tu. .

On va ruq (ya .ge) liée _

Asseye : Y a

3 Oea Posons Y =.yetcwYsol.scdim@erCAp.q)) = 2 Par Cauchy - Lipschitz loin de

Burly ) = - ups" t' y ' + Ey) VYË!!car une s' annule nulle part l'Ltd - yé ( to )

Ainsi pour C- L,Ker ( Bun) ut de dire 2 par

unicité de C- L,Y _

-

y , .de (yaya ) liée : ABS.

car y C- Ku ( Bau) sisi ysd.su loin de Alon, ttt Etais, yiltt-qctty.CH .

y"t f- y ' + f- y . ( i - 1,2 ) entraîne

Ainsi dinter (Apia) = a = dim (Ku (Bad ) tt C- lait, (% - q ct ) ) ( yé t yé ) - O

et donc Ken ( Apg ) = Ker@v.v) ¥Sur [ o il ]

Esi Ken ( Apg ) E Ker@un) donc vsisi Ken ( Apg ) Iker (Bau)

Conclusion intermédiaire- Si v.v satisfont

Supposons Kw ( Ap, g) Etre@v.v ) .

Alors Ker ( Apr) = Ker (Bau ) i -e .

Je Buvlyz) - y , Rudy, ) = o dou- Ker ( Apn) E Ker (Bau ),alors

¥ =(u '- pu) = o JC ER#

,tt C- fois ult ) = Cexp (ftp )

L'annulesur [ou] donc u sol de nulle part . et v = uq .

y'= py . Rècip . posons tt C- Cou] vtt) = exp ( ftp )

D i. uc-i-cexrd.pe#dttJur--uqiiuiiiiiiiIiiiiiEk.u- m )(i - e- Ken @v.v ) = Ken ( Apg) ) .

On- par (B)Ker ( Bau ) : { y-ccaoko.is) ( y"t y

'+ Égal .

= ( secouais) ( y" + pyltqy _

- of

= kw ( A- pcq) .

- Deplus/Êe- Vr) yaya ) 0 .Çaibl

donc [ uyeyé ]? > 0.

donc 70→ → → -

¥) = O u (b) yelb) yélb) > uldyr.la/yz'Ca )- -

i. e.> ° ¥ >° ¥

limtxdlacc - - .

¥Ça y, (uy," + n' y,'+ vif . ) - yzfyit-ulyrth.tt/=o. y, > os .. 3a.be

i. e.

t¥÷÷÷.si?.:*:::::7i:f:::i :÷÷÷ .C-rat tsb-

Aby ! Donc ya doit s'annuler

qudquepmtds3aibIAinsifablve-vdyaye-_llcsayil-@XyiD.b= ( uyeyé) ! .

HI Mq ya s' annule en au moins 1

point de Jaibl . On raisonne par l' a ↳

en supp - y , ne s'yannule

pas .Alors par

TVI,et quitte à considérer - ye , on

suppose y , > o sur Jaib [ .

De û ê a. b zéros causé c-t' lx de ga

- . . SN G- : yz 70 sur Jaibl .

⇒÷

t

vectoriel § cocardes- r Cad)

Ia) cha E, ssesp -

✓de l' esp. des solu-6.at i - e - t XL %

r,l'¥ v. p . ¥.

tiens de D, qui utdr d' un = 2

par El . Soit × c- 3-,

C.

X - r f X - moi Co

Ainsi dire E,

C- loi 1,21 .

) | l'entrelacent desracines de sa luttededa E

, ssesp . vectoriel strict ( de dieu El) y"

+ (X - r) y = o

" l

}""" "" " % " " " '

" H-

"""" "" "

y"

+ ( X - r ) y = o disait que si y , sotte de Ben, .rs- r CAD

ylo) =L etqu y, sl annule en a et en b C) a)

j' lo) :O Alors, tt y, sol -K de Ba, . , Je E) a.bc

,

n' appartient pas à Ex . yacd-eofpar4.tl) .

Ona en fait E , e- Txt ( y× ) . Supposons parl' alu.

X up. et y, -_y× .

Alors y , (a) = yzce) = . . Donc toute sol

##: :? aa.ca. .ua .am.Eue # et , posons C-- y

'lol 1 pt de 30,1C

.

Alors j' (a) - y , sd.de Soit y C- C- (Cab) sotte de Bao (g) e- o i -e .

Z"+ (X - r) z =u Par - unicité de J

"e- o .

Alors -3 x, f EIR Vtt coin ,

{ %! ! Oy , ","

, J'↳ a -9 - yet) - xttf .Ceci nt1 façon En particulier yctl = 1 et sotte non :D .

alternative de nulle mais ne s' annulepas sur 30.1f .

voir dime,et . AIS - G ?

: X # val _ pr .

5.1 Ma dim E,= I s y> (1)

= . . Ainsi ( uol.pr.IE Cççiçr , tout .

⇐) si y> (1) = o , alors 079, C- E,de 6 Soient de> 7 , et y , C- Ex . , y, f- Ex .

17 dim Ex 71 donc dime>=L . Le résultat et vrai si de o - Xa n'utpasvalpr .

(⇒) Supp .dime

,=L

.Alors (car alors ya → a yz=o ) .

On suppose donc

- E,e- Vert ( y , ) he ,

de = v. p .et ya to , ya # o . baco) --9dL)

= 0 .

- dime,= l = dimvectfy, ) Atom X

,- r J X

,- r dou . ¥)

- -

ve kdonc t'

×= Vect (y ,) donc y> TE

donc y> ( e )- o . = § e- de) yaya

= 0= e - da) SÎ 9142-

#0 l 'et 1

donc Eux - o . LIË YIÈÊ!

3.a) Soit y1 et y2 deux solutions linéairement indépendantes de (Dp,q) et soit W leurwronskien. Vérifier la relation

y1Bu,v(y2) − y2Bu,v(y1) = (u′ − up)W .

3.b) Montrer que, pour tout couple (p, q), il existe des couples (u, v) tels queKer Ap,q = Ker Bu,v et déterminer tous ces couples (u, v).

4. On se donne trois fonctions u, v1, v2 de C∞([0, 1]) et on suppose

u(x) > 0 , v2(x) < v1(x) pour tout x ∈ [0, 1] .

Pour i = 1, 2, on note yi une solution non identiquement nulle de l’équation (Eu,vi) ; on suppose

que y2 admet au moins deux zéros et on note a et b deux zéros consécutifs.

4.a) Vérifier la relation

[uy1y′

2]ba =

∫ b

a

(

v1(x) − v2(x))

y1(x)y2(x) dx .

[On pourra considérer∫ b

a

(

y1Bu,v2(y2) − y2Bu,v1

(y1))

dx.]

4.b) Montrer que y1 admet au moins un zéro dans l’intervalle ]a, b[. [On pourra procéder parl’absurde.]

Dans toute la suite du problème on note r une fonction de C∞([0, 1]) ; pour tout nombre réelλ on considère l’équation différentielle sur [0, 1] :

(Dλ) y′′ + (λ − r)y = 0 .

On note yλ l’unique solution de (Dλ) satisfaisant yλ(0) = 0, y′λ(0) = 1, et Eλ l’espace vectoriel(éventuellement réduit à zéro) des solutions de (Dλ) satisfaisant y(0) = y(1) = 0 ; si cet espacen’est pas réduit à zéro, on dit que λ est valeur propre.

Deuxième partie

5.a) Quelles sont les valeurs possibles de dim Eλ ?

5.b) Démontrer l’équivalence des conditions Eλ #= {0} et yλ(1) = 0.

6. Démontrer les assertions suivantes :

6.a) Toute valeur propre est supérieure ou égale à infx∈[0,1] r(x).

6.b) Si y1 ∈ Eλ1, y2 ∈ Eλ2

avec λ1 #= λ2, alors∫ 1

0y1(x)y2(x) dx = 0.

2

7.1 y" t' y = 0

Sol : ( Acosfrx ) + Bsiul.SI) IA , BER}y, = ¥ si- (- t ) .

Y, Lot - o, y! Ct) = cas (tr)

7.1 Soit te go.az :À = I.

y>Ct) = o sissi Sin (tt) = o

sissi 3- kf2,tr = ha

¥ 3- hee,t =

f).

Sissi 3kf21 [ 0 , III. t -_ Îns 3- le C- TIO , l Il

, t=h .

Ainsi N ( x) = 1- (%) .

¥) Oua tt k EIN ,

N constante égale à htt sur [h?#,#D'Il

term : 3- k EIN,X. = f2 #2#9×117=0-

: Alors

- VX E [ X. - 1,1Ch

htt

-NCX) = le

tt X C- ( X.,X. + Il

N (x) = htt .

-

h?IEX.the IN# 9×11) -1-0

2ème cas : Xo f- k? T ' : Posons-

b. = LEGS

Atom do E)hit', # D'a- ' l

de 3- [ so Jd. - E , + El et

tt X C- 3 Xo - c. X. toi,

N (x) = k.tl.= NCX. )

.

+ ,= 1

.

Acen' eut pas1- racine de Y× .

¥ïïË÷::Montrons par récurrence sur j C- 11 , -nul . = 0

Pli) = C- 1- t'y, > o sur ]ç , que f- iitttty!(ça) > lien [Dit"ÂT( (→t't'

y:(g) > o ] ×- GI ci - ×

-HIP: > o

Initialisait: montrons PCI ) . = lin tDà"Y×- ÇI , Cj - X

021 = j' (a) = y ce) = C-D'*

y ce ) -

>0

y, ne s' annule pas sur ] Ca , Ca [ par déf . 70 .

des (4)e : TVI ⇒ y , yat de signe est. Ainsi C- Dit' " y! (g. + , ) > 0.

y> (x) = Ox × y! ( e) to (x ) Oua pr les rûs raisons qu' avant que> 0 aurais de 0 :(1 . f- D

"" '

y, de signe cst etu s' annule

Ainsi y, > o sur Ico , cel pas sur Jcjt, , Cj" C -

i -e . f)1+1y, > o sur 3 co

, ce [ . Deptç pr × C- Jcjti, Cjtr Convois

de Cjtt> •

-Ainsi p(1) unie . f-D'

"t'

y,€ 0 + (x-cji.D-Dittttyicg.rs

Hérédité: Soit je 41 .. . . .

u - il tq to ( × -cjti )

Plj ) vraie .Montrons Pljtt) > 0 pr ne Jeju , ça te]

Par HYP , f-Dit' y, so s - r Jcj , g- + [ Ainsi C- Dit" ' y, > o s - r JC;+ . , Carl .[ Dit' y! ( c;) > o . Conclusion: Ceci démontre Plj) pr . - -

D' après y! ( ça) # 0 .

De plus

Définissons des g) oçjçzn :

--

3. = 0 imposé , Ça =L imposé .

Définissons prtt j e L2 . .- - , nl des

}zj-z

< Si < 52J- t '

comme y, co one y! ± co ( Yoann)=

Posons E-- Turin C- Dit' y!( ej ) ( > o)

f) 'j' =L ,---tu

] t.fi?..,q-i-HS7oVjc-L1i---iulV-xELcj-S,cjtS3nloiDIyIlx)-y;ccj> ILE .

Vu notre choix de C Oua

Kjell.- int tt × C- [ cj - s , cjtd] Mon] .

(D) c- Dit ' y! ( ×) > ± d' t'y ! (g) so.

Posons alors Vj C- L1 . - - . uh ,

{je = Cj - f

{j - p= Cj + d .

Assaf : cette fouille Esj! ⇐ zucouinent

.

jtl* çgw de (1) y! sur Kaj-2,32J- I )

( iii ) OK Jo : OK par cous truck - (A)

* signe de C- 1)d' t' y, sur [5. i - i , Ei )

( ii ) OK E) Cj , Cjc

là dessus, C- D't'

y, Jo .

¥ Ci) OK parconstruit :

OK pr 5z.j-z-cj-dccjcg.ttIl

{j - t

0K profs a

ii. à g) " ' ¥ .- ci

Htt* (G) oa.j.cz, str. cr : oua

023123 ,OK

V-jtlk-ihlsszj.ec 3%, quintet , - a) Ê #A)et 3g_ , Lszj car Cj ts c cj+ ,

- S car 2dL cite - ci paraît -

Troisième partie

Dans les troisième et quatrième parties, on désigne par N(λ) le nombre des zéros de lafonction yλ dans [0, 1] et on se propose d’étudier N(λ) en lien avec les valeurs de yλ(1), ainsi quela répartition des valeurs propres.

7. Dans cette question on examine le cas où r = 0 et λ > 0. On désigne par E(a) la partieentière d’un nombre réel a.

7.a) Calculer yλ(x) pour x ∈ [0, 1].

7.b) Calculer N(λ).

7.c) Préciser le comportement de N(λ) au voisinage d’un point λ0.

On ne suppose plus r = 0 ni λ > 0. On admettra que la fonction de deux variables(λ, x) $→ yλ(x) est de classe C∞.

8. Dans cette question, on se propose de démontrer que, si yλ0(1) est non nul, N(λ) est

constant dans un voisinage de λ0.

On désigne par c1, . . . , cn, n ! 1, les zéros de yλ0dans [0, 1] avec

0 = c1 < c2 < . . . < cn < 1 .

8.a) Montrer qu’il existe une suite strictement croissante (ξj)0"j"2n de nombres réels, pos-sédant les propriétés suivantes :

(i) ξ0 = 0, ξ2n = 1, 0 < ξ1 < ξ2 , ξ2j−2 < cj < ξ2j−1 pour j = 2, . . . , n ;

(ii) (−1)j+1yλ0> 0 sur [ξ2j−1, ξ2j ], j = 1, . . . , n ;

(iii) (−1)jy′λ0> 0 sur [ξ2j , ξ2j+1], j = 0, . . . , n − 1.

8.b) Dans cette question, on considère une fonction F de classe C∞ définie sur un ouvertcontenant un rectangle compact I × J de R2. Démontrer l’assertion suivante : pour tout ε > 0il existe δ > 0 tel que les conditions s1, s2 ∈ I et |s1 − s2| < δ impliquent

|F (s1, t) − F (s2, t)| < ε pour tout t ∈ J .

8.c) Montrer que, pour tout λ suffisamment voisin de λ0, yλ a exactement un zéro danschacun des intervalles [ξ2j , ξ2j+1], mais n’en a aucun dans les intervalles [ξ2j−1, ξ2j ]. Conclure.

9. Montrer que, pour tout λ ! ρ = supx∈[0,1] r(x), on a

N(λ) ! E(

(λ − ρ)1/2π−1)

.

[On pourra utiliser la question 4 et la question 7 en y remplaçant λ par un réel quelconqueµ < λ − ρ.]

3

Ë¥Ë.si Eric⇒

tirerles 3µ

ours

ymaPP!

8

10.a) Montrer que, si yλ(1) est non nul pour tout λ appartenant à un intervalle I, N(λ) estconstant dans I.

10.b) L’ensemble des valeurs propres est-il vide ou non vide ? fini ou infini ?

Quatrième partie

Dans cette quatrième partie, on étudie le comportement de N(λ) au voisinage d’un point λ0

tel que yλ0(1) = 0. On écrira y(λ, x) au lieu de yλ(x), et on rappelle que cette fonction de deux

variables est de classe C∞ ; l’équation (Dλ) s’écrit donc :

(i)∂2y

∂x2+ (λ − r)y = 0 .

11. Démontrer que la relation (i) entraîne les relations suivantes :

(ii)∂3y

∂x2∂λ+ (λ − r)

∂y

∂λ+ y = 0

(iii)∂2y

∂x2

∂y

∂λ−

∂3y

∂x2∂λy − y2 = 0

(iv)∂y

∂λ(λ0, 1)

∂y

∂x(λ0, 1) =

∫ 1

0y(λ0, x)2 dx > 0 .

12. Montrer qu’il existe un réel ε > 0 ayant les propriétés suivantes :

(i) si λ ∈ [λ0 − ε,λ0[, on a N(λ) = N(λ0) − 1 ;

(ii) si λ ∈ [λ0,λ0 + ε], on a N(λ) = N(λ0).

13. Montrer qu’on peut écrire les valeurs propres comme une suite croissante infinieλ1 < λ2 < . . . , et exprimer N(λn) en fonction de n.

∗ ∗∗

4

} Simple .