CLAUDE DESCHAMPS | FRANÇOIS MOULIN …...CHLOÉ MULLAERT | SERGE NICOLAS | MICHEL VOLCKER MATHS...

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“ToutEnUn-MP” — 2020/1/12 — 15:03 — page iii — #3✐

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Avant-proposEn 1995, lors de la mise en place des programmes de mathématiques, les édi-tions Dunod nous avaient confié la tâche de fournir aux étudiants des ouvragesde référence clairs et précis complétant le cours, irremplaçable, du professeur.Nous avions alors tenté un pari : faire tenir exposés et exercices, avec corrigés,en un seul volume, le premier « tout-en-un » (depuis très largement imité), quia remporté un grand succès.En septembre 2013 ont été mis en place de nouveaux programmes des classespréparatoires et, avec une équipe partiellement renouvelée et de grande qualité,nous avons récidivé : deux ouvrages « tout en un » (MPSI et PCSI-PTSI) pro-posent, aux étudiants de première année, un cours en conformité avec le texte,mais aussi avec l’esprit, du nouveau programme des classes préparatoires.Ce « tout en un » MP prolonge, pour la seconde année, l’ouvrage MPSI et ilconserve l’ambition, en mettant en œuvre de nouvelles méthodes d’acquisitiondes connaissances, de proposer à l’étudiant une démarche pour s’approprierles théories du programme, théories indispensables tant aux mathématiquesqu’aux autres disciplines.

En pratique, dans chaque chapitre :• De très nombreux exemples, souvent simples et issus de connaissances du

lycée ou du programme de première année, illustrent chaque définition etvous permettront de vous approprier cette nouvelle notion.

• Les propositions et théorèmes sont énoncés et suivis immédiatementd’exemples élémentaires d’applications. En outre, leurs démonstrationssont l’occasion d’un travail personnel. Nous avons choisi de ne pas fairefigurer systématiquement, à la suite des énoncés, la rédaction complète deces démonstrations mais plutôt d’indiquer le principe de celles-ci avec leséléments qui vous permettront de la construire par vous-même et ainside mieux vous approprier la propriété. Évidemment, guidé par un renvoiprécis en fin du chapitre, vous pourrez ensuite consulter la démonstrationcomplète et vérifier ou compléter votre travail personnel.

• Lorsque plusieurs preuves étaient possibles, nous avons choisi de ne pasprivilégier systématiquement la plus courte, souvent au profit de construc-tions explicites. C’est volontaire ; durant vos études au lycée, vous n’avezen général pas construit les objets mathématiques que vous utilisiez : vosprofesseurs se sont contentés d’en admettre les propriétés. Or construire unobjet, comme le fait un artisan, c’est se l’approprier, connaître parfaitementses propriétés et les limites de ces propriétés.

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© Dunod, 202011 rue Paul Bert, 92240 Malakoff

www.dunod.comISBN 978-2-10-080122-0

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Avant-proposEn 1995, lors de la mise en place des programmes de mathématiques, les édi-tions Dunod nous avaient confié la tâche de fournir aux étudiants des ouvragesde référence clairs et précis complétant le cours, irremplaçable, du professeur.Nous avions alors tenté un pari : faire tenir exposés et exercices, avec corrigés,en un seul volume, le premier « tout-en-un » (depuis très largement imité), quia remporté un grand succès.En septembre 2013 ont été mis en place de nouveaux programmes des classespréparatoires et, avec une équipe partiellement renouvelée et de grande qualité,nous avons récidivé : deux ouvrages « tout en un » (MPSI et PCSI-PTSI) pro-posent, aux étudiants de première année, un cours en conformité avec le texte,mais aussi avec l’esprit, du nouveau programme des classes préparatoires.Ce « tout en un » MP prolonge, pour la seconde année, l’ouvrage MPSI et ilconserve l’ambition, en mettant en œuvre de nouvelles méthodes d’acquisitiondes connaissances, de proposer à l’étudiant une démarche pour s’approprierles théories du programme, théories indispensables tant aux mathématiquesqu’aux autres disciplines.

En pratique, dans chaque chapitre :• De très nombreux exemples, souvent simples et issus de connaissances du

lycée ou du programme de première année, illustrent chaque définition etvous permettront de vous approprier cette nouvelle notion.

• Les propositions et théorèmes sont énoncés et suivis immédiatementd’exemples élémentaires d’applications. En outre, leurs démonstrationssont l’occasion d’un travail personnel. Nous avons choisi de ne pas fairefigurer systématiquement, à la suite des énoncés, la rédaction complète deces démonstrations mais plutôt d’indiquer le principe de celles-ci avec leséléments qui vous permettront de la construire par vous-même et ainside mieux vous approprier la propriété. Évidemment, guidé par un renvoiprécis en fin du chapitre, vous pourrez ensuite consulter la démonstrationcomplète et vérifier ou compléter votre travail personnel.

• Lorsque plusieurs preuves étaient possibles, nous avons choisi de ne pasprivilégier systématiquement la plus courte, souvent au profit de construc-tions explicites. C’est volontaire ; durant vos études au lycée, vous n’avezen général pas construit les objets mathématiques que vous utilisiez : vosprofesseurs se sont contentés d’en admettre les propriétés. Or construire unobjet, comme le fait un artisan, c’est se l’approprier, connaître parfaitementses propriétés et les limites de ces propriétés.

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Table des matières

Avant-propos iii

Table des matières viii

Chapitre 1. Groupes, anneaux, arithmétique, algèbres 1

I Anneaux et corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2II Anneau des polynômes à une indéterminée . . . . . . . . . . . 13III Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21IV Algèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 36Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Chapitre 2. Réduction des endomorphismes 63

I Sous-espaces stables et endomorphismes induits . . . . . . . . 64II Éléments propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67III Endomorphismes et matrices diagonalisables . . . . . . . . . . 86IV Endomorphismes et matrices trigonalisables . . . . . . . . . . 92V Utilisations des polynômes annulateurs . . . . . . . . . . . . 96Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 107Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Chapitre 3. Fonctions convexes 153

I Parties convexes d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . 154II Fonctions convexes d’une variable réelle . . . . . . . . . . . . 158III Convexité et dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 166Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

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• Dans chaque chapitre, vous trouverez, pour illustrer immédiatement l’usagedes propositions et théorèmes, de très nombreux exercices simples que vousdevez évidemment chercher au fur et à mesure de votre apprentissage etdont vous pourrez consulter une solution en fin de chapitre afin de vérifiervotre propre travail.

• Régulièrement vous trouverez des « point méthode » qui, pour une situationdonnée, vous offrent une ou deux possibilités d’approche de la résolutionde son problème. Évidemment vous trouverez, après ce « point méthode »,exemples et exercices l’illustrant.

• À l’issue de chaque chapitre, figurent des exercices plus ambitieux, deman-dant plus de réflexion, à chercher une fois le chapitre totalement maîtrisé.Certains, plus difficiles, sont signalés par une ou deux étoiles ; les solutionsdétaillées de tous ces exercices complémentaires sont données.

• Enfin en vue de votre préparation aux concours des grandes écoles, nousavons réuni des exercices portant sur les nouveaux programmes : vous entrouverez ainsi un certain nombre posés aux oraux des concours de 2015et des années suivantes. Les chercher (et les résoudre) sera pour vous unexcellent entraînement.

• Bien entendu nous sommes très intéressés par toute remarque qui pour-rait nous être adressée. Cela nous permettra, le cas échéant, de corrigercertaines erreurs nous ayant échappé et surtout ce contact nous guiderapour une meilleure exploitation des choix pédagogiques que nous avonsfaits aujourd’hui dans cet ouvrage.

Claude Deschamps et François Moulin

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Table des matières

Avant-propos iii

Table des matières viii

Chapitre 1. Groupes, anneaux, arithmétique, algèbres 1

I Anneaux et corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2II Anneau des polynômes à une indéterminée . . . . . . . . . . . 13III Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21IV Algèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 36Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Chapitre 2. Réduction des endomorphismes 63

I Sous-espaces stables et endomorphismes induits . . . . . . . . 64II Éléments propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67III Endomorphismes et matrices diagonalisables . . . . . . . . . . 86IV Endomorphismes et matrices trigonalisables . . . . . . . . . . 92V Utilisations des polynômes annulateurs . . . . . . . . . . . . 96Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 107Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Chapitre 3. Fonctions convexes 153

I Parties convexes d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . 154II Fonctions convexes d’une variable réelle . . . . . . . . . . . . 158III Convexité et dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 166Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

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• Dans chaque chapitre, vous trouverez, pour illustrer immédiatement l’usagedes propositions et théorèmes, de très nombreux exercices simples que vousdevez évidemment chercher au fur et à mesure de votre apprentissage etdont vous pourrez consulter une solution en fin de chapitre afin de vérifiervotre propre travail.

• Régulièrement vous trouverez des « point méthode » qui, pour une situationdonnée, vous offrent une ou deux possibilités d’approche de la résolutionde son problème. Évidemment vous trouverez, après ce « point méthode »,exemples et exercices l’illustrant.

• À l’issue de chaque chapitre, figurent des exercices plus ambitieux, deman-dant plus de réflexion, à chercher une fois le chapitre totalement maîtrisé.Certains, plus difficiles, sont signalés par une ou deux étoiles ; les solutionsdétaillées de tous ces exercices complémentaires sont données.

• Enfin en vue de votre préparation aux concours des grandes écoles, nousavons réuni des exercices portant sur les nouveaux programmes : vous entrouverez ainsi un certain nombre posés aux oraux des concours de 2015et des années suivantes. Les chercher (et les résoudre) sera pour vous unexcellent entraînement.

• Bien entendu nous sommes très intéressés par toute remarque qui pour-rait nous être adressée. Cela nous permettra, le cas échéant, de corrigercertaines erreurs nous ayant échappé et surtout ce contact nous guiderapour une meilleure exploitation des choix pédagogiques que nous avonsfaits aujourd’hui dans cet ouvrage.

Claude Deschamps et François Moulin

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Table des matières

Chapitre 4. Espaces vectoriels normés 187

I Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188II Suites d’éléments d’un espace vectoriel normé . . . . . . . . . 201III Topologie d’un espace vectoriel normé . . . . . . . . . . . . . 206IV Comparaison de normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 220Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

Chapitre 5. Limites, continuité 255

I Limite d’une application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256II Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262III Continuité globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263IV Continuité des applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . 269Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 271Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

Chapitre 6. Compacité, connexité, dimension finie 289

I Compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290II Connexité par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295III Espaces vectoriels normés de dimension finie . . . . . . . . . . 299Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 306Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

Chapitre 7. Fonctions vectorielles de la variable réelle 347

I Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348II Intégration sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357III Primitives et intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362IV Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364V Arcs paramétrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 372Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382

Chapitre 8. Séries numériques et vectorielles 403

I Séries à valeurs dans un espace normé de dimension finie . . . 404II Compléments sur les séries numériques . . . . . . . . . . . . . 409Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 420Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431

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Table des matières

Chapitre 9. Familles sommables 457

I Dénombrabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458II Familles sommables de réels positifs . . . . . . . . . . . . . . 462III Familles sommables de nombres complexes . . . . . . . . . . . 469IV Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 479Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488

Chapitre 10. Suites et séries de fonctions 501

I Modes de convergence des suites de fonctions . . . . . . . . . 502II Convergence uniforme et limites . . . . . . . . . . . . . . . . . 510III Intégration, dérivation d’une limite . . . . . . . . . . . . . . . 512IV Séries de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515V Approximation uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 531Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556

Chapitre 11. Séries entières 599

I Séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600II Séries entières de la variable réelle . . . . . . . . . . . . . . . 611III Développements en série entière . . . . . . . . . . . . . . . . . 613IV Pratique du développement en série entière . . . . . . . . . . 623Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 632Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653

Chapitre 12. Intégration sur un intervalle quelconque 681

I Intégrale généralisée sur un intervalle [a, +∞[ . . . . . . . . . 683II Généralisation aux autres types d’intervalles . . . . . . . . . . 690III Propriétés de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694IV Calcul d’intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696V Intégration des relations de comparaison . . . . . . . . . . . . 700Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 703Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719

Chapitre 13. Convergence dominée et applications 747

I Suites et séries d’intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748II Intégrales à paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 767Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782

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Table des matières

Chapitre 4. Espaces vectoriels normés 187

I Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188II Suites d’éléments d’un espace vectoriel normé . . . . . . . . . 201III Topologie d’un espace vectoriel normé . . . . . . . . . . . . . 206IV Comparaison de normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 220Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

Chapitre 5. Limites, continuité 255

I Limite d’une application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256II Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262III Continuité globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263IV Continuité des applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . 269Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 271Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

Chapitre 6. Compacité, connexité, dimension finie 289

I Compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290II Connexité par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295III Espaces vectoriels normés de dimension finie . . . . . . . . . . 299Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 306Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

Chapitre 7. Fonctions vectorielles de la variable réelle 347

I Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348II Intégration sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357III Primitives et intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362IV Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364V Arcs paramétrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 372Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382

Chapitre 8. Séries numériques et vectorielles 403

I Séries à valeurs dans un espace normé de dimension finie . . . 404II Compléments sur les séries numériques . . . . . . . . . . . . . 409Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 420Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431

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Table des matières

Chapitre 9. Familles sommables 457

I Dénombrabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458II Familles sommables de réels positifs . . . . . . . . . . . . . . 462III Familles sommables de nombres complexes . . . . . . . . . . . 469IV Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 479Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488

Chapitre 10. Suites et séries de fonctions 501

I Modes de convergence des suites de fonctions . . . . . . . . . 502II Convergence uniforme et limites . . . . . . . . . . . . . . . . . 510III Intégration, dérivation d’une limite . . . . . . . . . . . . . . . 512IV Séries de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515V Approximation uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 531Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556

Chapitre 11. Séries entières 599

I Séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600II Séries entières de la variable réelle . . . . . . . . . . . . . . . 611III Développements en série entière . . . . . . . . . . . . . . . . . 613IV Pratique du développement en série entière . . . . . . . . . . 623Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 632Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653

Chapitre 12. Intégration sur un intervalle quelconque 681

I Intégrale généralisée sur un intervalle [a, +∞[ . . . . . . . . . 683II Généralisation aux autres types d’intervalles . . . . . . . . . . 690III Propriétés de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694IV Calcul d’intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696V Intégration des relations de comparaison . . . . . . . . . . . . 700Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 703Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719

Chapitre 13. Convergence dominée et applications 747

I Suites et séries d’intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748II Intégrales à paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 767Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782

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Table des matières

Chapitre 14. Espaces préhilbertiens et euclidiens 823

I Rappels et compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824II Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827III Suites orthonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 830IV Endomorphismes d’un espace euclidien . . . . . . . . . . . . . 834Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 842Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855

Chapitre 15. Espaces probabilisés 873

I Espaces probabilisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874II Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 889Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 901

Chapitre 16. Variables aléatoires discrètes 919

I Variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 920II Lois usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923III Couples de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . 927IV Indépendance de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . 932V Espérance, variance, covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . 938VI Fonctions génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 949Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 952Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 982

Chapitre 17. Équations différentielles linéaires 1043

I Équations différentielles linéaires d’ordre 1 . . . . . . . . . . 1044II Équations différentielles linéaires à coefficients constants . . . 1054III Équations différentielles linéaires scalaires d’ordre n . . . . . 1062IV Équations différentielles linéaires scalaires d’ordre 2 . . . . . 1066V Exemples de résolution d’équations non résolues . . . . . . . 1077Démonstration du théorème de Cauchy linéaire . . . . . . . . . . . 1079Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 1081Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105

Chapitre 18. Calcul différentiel 1129

I Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1130II Différentielle d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133III Opérations sur les fonctions différentiables . . . . . . . . . . . 1142IV Fonctions numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1150V Fonctions de classe Ck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155VI Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1165Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 1175Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1202

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Chapitre 1 : Groupes, anneaux, arithmétique, algèbres

I Anneaux et corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1 Rappels et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Anneaux intègres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3 Sous-anneaux — sous-corps . . . . . . . . . . . . . 3

4 Morphismes d’anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . 4

5 Anneau produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

6 Idéaux d’un anneau commutatif . . . . . . . . . . 6

7 L’anneau ZZ/nZZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

8 Théorème chinois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

9 Indicatrice d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

II Anneau des polynômes à une indéterminée . . . . 13

1 Propriétés arithmétiques élémentaires . . . . . . . 14

2 Utilisation des idéaux de IK[X ] . . . . . . . . . . . 16

III Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 Morphismes de groupes . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Noyau, image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4 Produit de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5 Groupes monogènes et cycliques . . . . . . . . . . 25

6 Ordre d’un élément dans un groupe . . . . . . . . 28

IV Algèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1 Structure d’algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2 Sous-algèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3 Morphismes d’algèbres . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4 Substitution polynomiale, polynômes annulateurs . 32

Démonstrations et solutions des exercices du cours . . 36

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

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Table des matières

Chapitre 14. Espaces préhilbertiens et euclidiens 823

I Rappels et compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824II Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827III Suites orthonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 830IV Endomorphismes d’un espace euclidien . . . . . . . . . . . . . 834Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 842Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855

Chapitre 15. Espaces probabilisés 873

I Espaces probabilisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874II Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 889Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 901

Chapitre 16. Variables aléatoires discrètes 919

I Variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 920II Lois usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923III Couples de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . 927IV Indépendance de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . 932V Espérance, variance, covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . 938VI Fonctions génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 949Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 952Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 982

Chapitre 17. Équations différentielles linéaires 1043

I Équations différentielles linéaires d’ordre 1 . . . . . . . . . . 1044II Équations différentielles linéaires à coefficients constants . . . 1054III Équations différentielles linéaires scalaires d’ordre n . . . . . 1062IV Équations différentielles linéaires scalaires d’ordre 2 . . . . . 1066V Exemples de résolution d’équations non résolues . . . . . . . 1077Démonstration du théorème de Cauchy linéaire . . . . . . . . . . . 1079Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 1081Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105

Chapitre 18. Calcul différentiel 1129

I Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1130II Différentielle d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133III Opérations sur les fonctions différentiables . . . . . . . . . . . 1142IV Fonctions numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1150V Fonctions de classe Ck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155VI Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1165Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 1175Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1202

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Chapitre 1 : Groupes, anneaux, arithmétique, algèbres

I Anneaux et corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1 Rappels et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Anneaux intègres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3 Sous-anneaux — sous-corps . . . . . . . . . . . . . 3

4 Morphismes d’anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . 4

5 Anneau produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

6 Idéaux d’un anneau commutatif . . . . . . . . . . 6

7 L’anneau ZZ/nZZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

8 Théorème chinois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

9 Indicatrice d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

II Anneau des polynômes à une indéterminée . . . . 13

1 Propriétés arithmétiques élémentaires . . . . . . . 14

2 Utilisation des idéaux de IK[X ] . . . . . . . . . . . 16

III Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 Morphismes de groupes . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Noyau, image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4 Produit de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5 Groupes monogènes et cycliques . . . . . . . . . . 25

6 Ordre d’un élément dans un groupe . . . . . . . . 28

IV Algèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1 Structure d’algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2 Sous-algèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3 Morphismes d’algèbres . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4 Substitution polynomiale, polynômes annulateurs . 32

Démonstrations et solutions des exercices du cours . . 36

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

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Groupes, anneaux,arithmétique, algèbres 1

Nous revenons dans ce chapitre sur les structures algébriques usuelles vuesen première année : groupes, anneaux et corps, notamment en vue de leurutilisation en arithmétique (sur ZZ et sur IK[X]).Nous finirons par la notion d’algèbre, très présente en analyse, et dont lesapplications en algèbre linéaire seront étudiées dans le chapitre de réductiondes endomorphismes.Dans ce chapitre, nous supposons acquises les notions de groupe, de sous-groupe, d’anneau et de corps vues en première année.

I Anneaux et corps1 Rappels et notations• Dans un anneau A , le neutre pour l’addition est noté 0 (ou 0A ), le neutre

pour la multiplication 1 (ou 1A ).

• L’anneau est commutatif si la multiplication est commutative (l’additionest commutative par définition).

• Un anneau A est trivial si 1A = 0A ; dans ce cas, A est réduit à cet uniqueélément.

• Rappelons que, par définition, un corps est un anneau commutatif nontrivial dans lequel tout élément non nul est inversible.

2 Anneaux intègres

Définition 1Un anneau intègre est un anneau A commutatif non trivial qui vérifie :

∀(a, b) ∈ A2 a b = 0 =⇒ (a = 0 ou b = 0) .

Exemples1. ZZ est un anneau intègre.

2. Tout corps est un anneau intègre.

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I Anneaux et corps

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☎

✆p.36 Exercice 1 Donner un exemple d’anneau commutatif non trivial et non intègre.

Point méthode

Dans un anneau intègre A tout élément a non nul est régulier pour lamultiplication, c’est-à-dire vérifie :

∀(x, y) ∈ A2 a x = a y =⇒ x = y.

Exemple Tout anneau fini intègre est un corps.En effet, soit A un anneau fini intègre et a ∈ A non nul. L’application x �→ a x de Adans A est injective par régularité de a . Comme A est fini, elle est bijective, donc 1admet un antécédent ce qui signifie qu’il existe b ∈ A tel que a b = 1. Comme A estcommutatif (puisqu’intègre), on a aussi b a = 1 et a est inversible.

✞

✝

☎

✆p.36 Exercice 2 Montrer que dans l’anneau des fonctions continues de IR dans IR , toute

fonction polynomiale non nulle est un élément régulier.

3 Sous-anneaux — sous-corps

Définition 2Un sous-anneau d’un anneau A est un sous-groupe additif de A stable parmultiplication et contenant 1A .

Point méthode

Pour montrer qu’une partie d’un anneau A est un sous-anneau de A , il suffitde vérifier qu’elle est stable par les deux lois de A , par passage à l’opposé,et qu’elle contient l’élément neutre multiplicatif 1A .

En effet, il ne manque que la présence de l’élément neutre 0A , que l’on obtientpar différence : 0A = 1A − 1A .

Définition 3Un sous-corps d’un corps IK est un sous-anneau de IK qui est un corps.

Exemples1. ZZ est un sous-anneau de Q .

2. L’ensemble des matrices triangulaires supérieures d’ordre n est un sous-anneaude Mn(IK).

3. ZZ + i ZZ est un sous-anneau de C .

4. Q et IR sont des sous-corps de C .

3

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Groupes, anneaux,arithmétique, algèbres 1

Nous revenons dans ce chapitre sur les structures algébriques usuelles vuesen première année : groupes, anneaux et corps, notamment en vue de leurutilisation en arithmétique (sur ZZ et sur IK[X]).Nous finirons par la notion d’algèbre, très présente en analyse, et dont lesapplications en algèbre linéaire seront étudiées dans le chapitre de réductiondes endomorphismes.Dans ce chapitre, nous supposons acquises les notions de groupe, de sous-groupe, d’anneau et de corps vues en première année.

I Anneaux et corps1 Rappels et notations• Dans un anneau A , le neutre pour l’addition est noté 0 (ou 0A ), le neutre

pour la multiplication 1 (ou 1A ).

• L’anneau est commutatif si la multiplication est commutative (l’additionest commutative par définition).

• Un anneau A est trivial si 1A = 0A ; dans ce cas, A est réduit à cet uniqueélément.

• Rappelons que, par définition, un corps est un anneau commutatif nontrivial dans lequel tout élément non nul est inversible.

2 Anneaux intègres

Définition 1Un anneau intègre est un anneau A commutatif non trivial qui vérifie :

∀(a, b) ∈ A2 a b = 0 =⇒ (a = 0 ou b = 0) .

Exemples1. ZZ est un anneau intègre.

2. Tout corps est un anneau intègre.

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I Anneaux et corps

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☎

✆p.36 Exercice 1 Donner un exemple d’anneau commutatif non trivial et non intègre.

Point méthode

Dans un anneau intègre A tout élément a non nul est régulier pour lamultiplication, c’est-à-dire vérifie :

∀(x, y) ∈ A2 a x = a y =⇒ x = y.

Exemple Tout anneau fini intègre est un corps.En effet, soit A un anneau fini intègre et a ∈ A non nul. L’application x �→ a x de Adans A est injective par régularité de a . Comme A est fini, elle est bijective, donc 1admet un antécédent ce qui signifie qu’il existe b ∈ A tel que a b = 1. Comme A estcommutatif (puisqu’intègre), on a aussi b a = 1 et a est inversible.

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✆p.36 Exercice 2 Montrer que dans l’anneau des fonctions continues de IR dans IR , toute

fonction polynomiale non nulle est un élément régulier.

3 Sous-anneaux — sous-corps

Définition 2Un sous-anneau d’un anneau A est un sous-groupe additif de A stable parmultiplication et contenant 1A .

Point méthode

Pour montrer qu’une partie d’un anneau A est un sous-anneau de A , il suffitde vérifier qu’elle est stable par les deux lois de A , par passage à l’opposé,et qu’elle contient l’élément neutre multiplicatif 1A .

En effet, il ne manque que la présence de l’élément neutre 0A , que l’on obtientpar différence : 0A = 1A − 1A .

Définition 3Un sous-corps d’un corps IK est un sous-anneau de IK qui est un corps.

Exemples1. ZZ est un sous-anneau de Q .

2. L’ensemble des matrices triangulaires supérieures d’ordre n est un sous-anneaude Mn(IK).

3. ZZ + i ZZ est un sous-anneau de C .

4. Q et IR sont des sous-corps de C .

3

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Chapitre 1. Groupes, anneaux, arithmétique, algèbres

Proposition 1Si B est un sous-anneau de A et C un sous-anneau de B , alors C est unsous-anneau de A .

Démonstration.

C’est immédiat à partir de la caractérisation donnée dans le point méthode ci-dessus.

Attention• La définition d’un sous-anneau impose qu’il contienne 1A . Cette vérifica-

tion est indispensable car elle n’est pas une conséquence des autres axiomescomme le montrent les exemples de l’ensemble des matrices triangulairessupérieures strictes de Mn(IK), ou plus simplement {0A} lorsque A estun anneau non trivial.

• Ce même exemple {0A} montre que, contrairement à ce qui se passe pourles sous-groupes, une partie d’un anneau A stable par les lois de A etqui, munie des lois induites, est un anneau, n’est pas nécessairement unsous-anneau de A (les deux éléments neutres multiplicatifs peuvent êtredifférents). Voir aussi l’exercice 1.1 de la page 52.

4 Morphismes d’anneaux

Définition 4Soit A et B deux anneaux. On dit qu’une application ϕ : A → B est unmorphisme d’anneaux si elle vérifie :

∀(a, b) ∈ A2 ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b)

∀(a, b) ∈ A2 ϕ(a b) = ϕ(a) ϕ(b)

ϕ(1A) = 1B .

Remarques• La première des conditions ci-dessus est en fait la définition d’un mor-

phisme de groupes de (A, +) dans (B, +) (voir page 21). Un morphismed’anneaux est donc en particulier un morphisme de groupes.

• Un morphisme d’anneaux ϕ de A dans B vérifie l’égalité ϕ(0) = 0.

En effet :ϕ(0) = ϕ(0 + 0) = ϕ(0) + ϕ(0)

et en ajoutant −ϕ(0) des deux côtés, on obtient 0 = ϕ(0). Alors, si x ∈ A ,on a ϕ(x) + ϕ(−x) = ϕ(0) = 0 ce qui montre que ϕ(−x) = −ϕ(x).

Ce sont également des propriétés générales des morphismes de groupes.

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I Anneaux et corps

Attention En revanche, l’égalité ϕ(1) = 1 de la définition précédente n’estpas une conséquence des autres axiomes comme le montre l’exemple de lafonction nulle lorsque B �= {0}.

Définition 5Un isomorphisme d’anneaux est un morphisme d’anneaux bijectif.

Proposition 2Si ϕ est un isomorphisme d’anneaux, alors ϕ−1 est également un isomor-phisme d’anneaux.

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✆Démonstration page 36

Proposition 3Soit f un morphisme d’anneaux de A dans B .

1. L’image par f de tout sous-anneau de A est un sous-anneau de B .

2. L’image réciproque par f de tout sous-anneau de B est un sous-anneaude A .

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☎


Exemple Soit f : A → B un morphisme d’anneaux.L’image de f est le sous-anneau f(A) de B .

Évidemment, f est surjectif si, et seulement si, son image est égale à B .

Définition 6 (Noyau)Le noyau d’un morphisme d’anneaux f : A → B est :

Ker f ={x ∈ A

∣∣ f(x) = 0B

}.

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✝

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✆p.36 Exercice 3 Montrer qu’un morphisme d’anneaux est injectif si, et seulement si, son

noyau est réduit à {0} .

Attention Le noyau d’un morphisme d’anneaux n’est pas en général unsous-anneau (voir ci-dessous la notion d’idéal) comme le montre l’exercicesuivant.

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✆p.37 Exercice 4 Montrer que le noyau d’un morphisme d’anneaux f : A → B est un

sous-anneau de A si, et seulement si, B est trivial.

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“ToutEnUn-MP” — 2020/1/12 — 15:03 — page 4 — #12✐

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Proposition 1Si B est un sous-anneau de A et C un sous-anneau de B , alors C est unsous-anneau de A .

Démonstration.

C’est immédiat à partir de la caractérisation donnée dans le point méthode ci-dessus.

Attention• La définition d’un sous-anneau impose qu’il contienne 1A . Cette vérifica-

tion est indispensable car elle n’est pas une conséquence des autres axiomescomme le montrent les exemples de l’ensemble des matrices triangulairessupérieures strictes de Mn(IK), ou plus simplement {0A} lorsque A estun anneau non trivial.

• Ce même exemple {0A} montre que, contrairement à ce qui se passe pourles sous-groupes, une partie d’un anneau A stable par les lois de A etqui, munie des lois induites, est un anneau, n’est pas nécessairement unsous-anneau de A (les deux éléments neutres multiplicatifs peuvent êtredifférents). Voir aussi l’exercice 1.1 de la page 52.

4 Morphismes d’anneaux

Définition 4Soit A et B deux anneaux. On dit qu’une application ϕ : A → B est unmorphisme d’anneaux si elle vérifie :

∀(a, b) ∈ A2 ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b)

∀(a, b) ∈ A2 ϕ(a b) = ϕ(a) ϕ(b)

ϕ(1A) = 1B .

Remarques• La première des conditions ci-dessus est en fait la définition d’un mor-

phisme de groupes de (A, +) dans (B, +) (voir page 21). Un morphismed’anneaux est donc en particulier un morphisme de groupes.

• Un morphisme d’anneaux ϕ de A dans B vérifie l’égalité ϕ(0) = 0.

En effet :ϕ(0) = ϕ(0 + 0) = ϕ(0) + ϕ(0)

et en ajoutant −ϕ(0) des deux côtés, on obtient 0 = ϕ(0). Alors, si x ∈ A ,on a ϕ(x) + ϕ(−x) = ϕ(0) = 0 ce qui montre que ϕ(−x) = −ϕ(x).

Ce sont également des propriétés générales des morphismes de groupes.

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I Anneaux et corps

Attention En revanche, l’égalité ϕ(1) = 1 de la définition précédente n’estpas une conséquence des autres axiomes comme le montre l’exemple de lafonction nulle lorsque B �= {0}.

Définition 5Un isomorphisme d’anneaux est un morphisme d’anneaux bijectif.

Proposition 2Si ϕ est un isomorphisme d’anneaux, alors ϕ−1 est également un isomor-phisme d’anneaux.

✞

✝

☎


Proposition 3Soit f un morphisme d’anneaux de A dans B .

1. L’image par f de tout sous-anneau de A est un sous-anneau de B .

2. L’image réciproque par f de tout sous-anneau de B est un sous-anneaude A .

✞

✝

☎


Exemple Soit f : A → B un morphisme d’anneaux.L’image de f est le sous-anneau f(A) de B .

Évidemment, f est surjectif si, et seulement si, son image est égale à B .

Définition 6 (Noyau)Le noyau d’un morphisme d’anneaux f : A → B est :

Ker f ={x ∈ A

∣∣ f(x) = 0B

}.

✞

✝

☎

✆p.36 Exercice 3 Montrer qu’un morphisme d’anneaux est injectif si, et seulement si, son

noyau est réduit à {0} .

Attention Le noyau d’un morphisme d’anneaux n’est pas en général unsous-anneau (voir ci-dessous la notion d’idéal) comme le montre l’exercicesuivant.

✞

✝

☎

✆p.37 Exercice 4 Montrer que le noyau d’un morphisme d’anneaux f : A → B est un

sous-anneau de A si, et seulement si, B est trivial.

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5 Anneau produit

Étant donné des anneaux A1, . . . , An , on munit d’une structure d’anneau leproduit cartésien A1 × · · · × An par opérations terme à terme :

(a1, . . . , an) + (b1, . . . , bn) = (a1 + b1, . . . , an + bn)

(a1, . . . , an) × (b1, . . . , bn) = (a1 b1, . . . , an bn).

Les deux éléments neutres sont naturellement (0A1 , . . . , 0An) et (1A1 , . . . , 1An).✞

✝

☎

✆p.37 Exercice 5

1. Écrire de même l’opposé d’un élément du produit cartésien.

2. Quels sont les inversibles d’un anneau produit ?

3. À quelle condition l’anneau produit A × B est-il un corps ?

4. À quelle condition l’anneau produit A × B est-il intègre ?

6 Idéaux d’un anneau commutatif

Introduction

Si ϕ est un morphisme d’anneaux de A dans B , l’image de ϕ est un sous-anneau de B mais son noyau n’est pas un sous-anneau de A , sauf si B esttrivial (voir l’exercice 4 de la page précédente).Mais Ker ϕ est un sous-groupe de (A, +) qui possède la propriété suivante :

∀x ∈ Ker ϕ ∀a ∈ A (a x, x a) ∈ (Ker ϕ)2

puisque si x ∈ Ker ϕ et a ∈ A , on a ϕ(a x) = ϕ(a) ϕ(x) = ϕ(a) × 0 = 0 et demême pour ϕ(x a).Cela caractérise la notion d’idéal bilatère.Conformément au programme, on se place dans toute la suite dans le cadredes anneaux commutatifs.

Définition 7 (Idéal d’un anneau commutatif)Soit A un anneau commutatif.

On dit qu’une partie I de A est un idéal de A si :

• I est un sous-groupe de (A, +) ;

• I est stable par multiplication par tout élément de A , c’est-à-dire :

∀x ∈ I ∀a ∈ A x a ∈ I.

Remarque Par commutativité de A , un idéal I de A vérifie aussi :

∀x ∈ I ∀a ∈ A a x ∈ I.

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“ToutEnUn-MP” — 2020/1/12 — 15:03 — page 7 — #15✐

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I Anneaux et corps

Exemples1. Nous venons de voir que le noyau d’un morphisme d’anneaux de A (commutatif)

dans B est un idéal de A .2. Si A est un anneau commutatif, alors A et {0} sont évidemment des idéaux de A .

3. Soit X une partie de IR . L’ensemble des fonctions nulles en tout point de X estun idéal de F(IR, IR).

✞

✝

☎

✆p.37 Exercice 6 Montrer que les suites réelles convergeant vers 0 constituent un idéal

de l’anneau des suites réelles bornées.

S’agit-il d’un idéal de l’anneau de toutes les suites réelles ?

Remarque Soit I un idéal de A contenant 1.Alors, pour tout a ∈ A , on a a = a.1 ∈ I , donc I = A .

✞

✝

☎

✆p.38 Exercice 7

1. Montrer plus généralement qu’un idéal contenant un élément inversible de A estégal à A .

2. Quels sont les idéaux d’un corps ?

Opérations sur les idéauxSoit A un anneau commutatif.Proposition 4

Une intersection d’idéaux de A est un idéal de A .✞

✝

☎


✞

✝

☎

✆p.38 Exercice 8 Étant donné une partie X de A , montrer qu’il existe un plus petit

idéal de A contenant X .

On l’appelle idéal de A engendré par X .

Exemple : idéal engendré par un élément Soit x ∈ A . Décrivons l’idéalengendré par x , c’est-à-dire par {x} (cf. exercice précédent). Par définition,pour tout idéal I contenant x et pour tout a ∈ A , on a a x ∈ I , donc I

contient x A ={

x a ; a ∈ A}

.Montrons que x A est le plus petit idéal de A contenant x .• Il contient 0 = x × 0 et il est stable par + et − puisque pour tout (a, b) ∈ A2 :

x a + x b = x (a + b) ∈ x A et − (x a) = x (−a) ∈ x A.

Donc x A est un sous-groupe de (A, +).

• Pour tout y = x a ∈ x A et b ∈ A , on a y b = x (a b) ∈ x A . Donc x A est unidéal.

• Comme x = x × 1A , on a bien x ∈ x A .• Enfin, on a vu plus haut que tout idéal de A contenant x contenait aussi x A .

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“ToutEnUn-MP” — 2020/1/12 — 15:03 — page 6 — #14✐

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5 Anneau produit

Étant donné des anneaux A1, . . . , An , on munit d’une structure d’anneau leproduit cartésien A1 × · · · × An par opérations terme à terme :

(a1, . . . , an) + (b1, . . . , bn) = (a1 + b1, . . . , an + bn)

(a1, . . . , an) × (b1, . . . , bn) = (a1 b1, . . . , an bn).

Les deux éléments neutres sont naturellement (0A1 , . . . , 0An) et (1A1 , . . . , 1An).✞

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✆p.37 Exercice 5

1. Écrire de même l’opposé d’un élément du produit cartésien.

2. Quels sont les inversibles d’un anneau produit ?

3. À quelle condition l’anneau produit A × B est-il un corps ?

4. À quelle condition l’anneau produit A × B est-il intègre ?

6 Idéaux d’un anneau commutatif

Introduction

Si ϕ est un morphisme d’anneaux de A dans B , l’image de ϕ est un sous-anneau de B mais son noyau n’est pas un sous-anneau de A , sauf si B esttrivial (voir l’exercice 4 de la page précédente).Mais Ker ϕ est un sous-groupe de (A, +) qui possède la propriété suivante :

∀x ∈ Ker ϕ ∀a ∈ A (a x, x a) ∈ (Ker ϕ)2

puisque si x ∈ Ker ϕ et a ∈ A , on a ϕ(a x) = ϕ(a) ϕ(x) = ϕ(a) × 0 = 0 et demême pour ϕ(x a).Cela caractérise la notion d’idéal bilatère.Conformément au programme, on se place dans toute la suite dans le cadredes anneaux commutatifs.

Définition 7 (Idéal d’un anneau commutatif)Soit A un anneau commutatif.

On dit qu’une partie I de A est un idéal de A si :

• I est un sous-groupe de (A, +) ;

• I est stable par multiplication par tout élément de A , c’est-à-dire :

∀x ∈ I ∀a ∈ A x a ∈ I.

Remarque Par commutativité de A , un idéal I de A vérifie aussi :

∀x ∈ I ∀a ∈ A a x ∈ I.

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I Anneaux et corps

Exemples1. Nous venons de voir que le noyau d’un morphisme d’anneaux de A (commutatif)

dans B est un idéal de A .2. Si A est un anneau commutatif, alors A et {0} sont évidemment des idéaux de A .

3. Soit X une partie de IR . L’ensemble des fonctions nulles en tout point de X estun idéal de F(IR, IR).

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✆p.37 Exercice 6 Montrer que les suites réelles convergeant vers 0 constituent un idéal

de l’anneau des suites réelles bornées.

S’agit-il d’un idéal de l’anneau de toutes les suites réelles ?

Remarque Soit I un idéal de A contenant 1.Alors, pour tout a ∈ A , on a a = a.1 ∈ I , donc I = A .

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✆p.38 Exercice 7

1. Montrer plus généralement qu’un idéal contenant un élément inversible de A estégal à A .

2. Quels sont les idéaux d’un corps ?

Opérations sur les idéauxSoit A un anneau commutatif.Proposition 4

Une intersection d’idéaux de A est un idéal de A .✞

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✆p.38 Exercice 8 Étant donné une partie X de A , montrer qu’il existe un plus petit

idéal de A contenant X .

On l’appelle idéal de A engendré par X .

Exemple : idéal engendré par un élément Soit x ∈ A . Décrivons l’idéalengendré par x , c’est-à-dire par {x} (cf. exercice précédent). Par définition,pour tout idéal I contenant x et pour tout a ∈ A , on a a x ∈ I , donc I

contient x A ={

x a ; a ∈ A}

.Montrons que x A est le plus petit idéal de A contenant x .• Il contient 0 = x × 0 et il est stable par + et − puisque pour tout (a, b) ∈ A2 :

x a + x b = x (a + b) ∈ x A et − (x a) = x (−a) ∈ x A.

Donc x A est un sous-groupe de (A, +).

• Pour tout y = x a ∈ x A et b ∈ A , on a y b = x (a b) ∈ x A . Donc x A est unidéal.

• Comme x = x × 1A , on a bien x ∈ x A .• Enfin, on a vu plus haut que tout idéal de A contenant x contenait aussi x A .

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✆p.38 Exercice 9 Montrer qu’un anneau commutatif A non trivial n’ayant que les deux

idéaux A et {0} est un corps (réciproque de la deuxième question de l’exercice 7de la page précédente).

Proposition 5Si I1 et I2 sont deux idéaux de A , leur somme :

I1 + I2 ={x1 + x2 ; (x1, x2) ∈ I1 × I2

}

est un idéal de A .

C’est le plus petit idéal de A contenant I1 et I2 .✞

✝

☎


Idéaux de ZZ

Exemple Pour tout n ∈ ZZ , l’ensemble n ZZ ={

n k ; k ∈ ZZ}

des multiples de n

est un idéal de ZZ . C’est l’idéal de ZZ engendré par n (voir l’exemple de la pageprécédente).

RemarqueComme n ZZ = (−n) ZZ pour tout n ∈ ZZ, on peut se limiter à n ∈ IN .Nous allons voir qu’en fait ce sont les seuls idéaux de ZZ.

Lemme 6Les sous-groupes de (ZZ, +) sont les n ZZ, pour n ∈ IN .

Principe de démonstration. Si H est un sous-groupe non nul de ZZ, on considère le plus petitélément n strictement positif de H et l’on utilise la division euclidienne par n pour montrer que

tout élément de H est un multiple de n .✞

✝

☎


Un idéal étant en particulier un sous-groupe, on en déduit le résultat importantsuivant.

Théorème 7Les idéaux de ZZ sont les n ZZ, pour n ∈ IN .

7 L’anneau ZZ/nZZCongruences dans ZZSoit n un entier naturel.

Rappels Nous avons vu en première année la relation de congruence mo-dulo n définie par :

x ≡ y [n] ⇐⇒ y − x ∈ n ZZ.

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“ToutEnUn-MP” — 2020/1/12 — 15:03 — page 9 — #17✐

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I Anneaux et corps

Il s’agit une relation d’équivalence sur ZZ qui est compatible avec les opérationsde ZZ, c’est-à-dire qui vérifie :

∀(x, y, x′, y′) ∈ ZZ4

{x ≡ x′ [n]y ≡ y′ [n]

=⇒{

x + y ≡ x′ + y′ [n]x × y ≡ x′ × y′ [n].

NotationOn note ZZ/nZZ l’ensemble des classes d’équivalence pour cette relation.La classe d’un élément k de ZZ est notée k .

✞

✝

☎

✆p.39 Exercice 10 Qu’est-ce que ZZ/0ZZ ? ZZ/1ZZ ? ZZ/2ZZ ?

Proposition 8Pour n ∈ IN∗ , l’ensemble ZZ/nZZ a n éléments, et l’on a :

ZZ/nZZ ={0, 1, . . . , n − 1

}.

Principe de démonstration. Utiliser la division euclidienne par n .✞

✝

☎


Remarque ZZ/nZZ est appelé ensemble quotient de ZZ par n ZZ, ce quiexplique sa notation.

Anneau ZZ/nZZ

Proposition 91. Il existe sur ZZ/nZZ des lois, notées + et × (ou implicitement pour le

produit) et appelées lois quotient, telles que :

∀(x, y) ∈ (ZZ/nZZ)2 x + y = x + y et x × y = x y.

2. (ZZ/nZZ, +, ×) est un anneau commutatif d’éléments neutres 0 et 1.

3. La projection canonique ZZ −→ ZZ/nZZx �−→ x

est un morphisme d’anneaux

surjectif de noyau n ZZ.

Principe de démonstration. Pour α et β dans ZZ/nZZ, on définit :

α + β = x + y et α × β = x y où x ∈ α et y ∈ β.

Il faut vérifier que x + y et x y ne dépendent que de α et β , et non des représentants x et ychoisis, grâce à la compatibilité de la relation de congruence avec les lois de ZZ.✞

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✆p.38 Exercice 9 Montrer qu’un anneau commutatif A non trivial n’ayant que les deux

idéaux A et {0} est un corps (réciproque de la deuxième question de l’exercice 7de la page précédente).

Proposition 5Si I1 et I2 sont deux idéaux de A , leur somme :

I1 + I2 ={x1 + x2 ; (x1, x2) ∈ I1 × I2

}

est un idéal de A .

C’est le plus petit idéal de A contenant I1 et I2 .✞

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Idéaux de ZZ

Exemple Pour tout n ∈ ZZ , l’ensemble n ZZ ={

n k ; k ∈ ZZ}

des multiples de n

est un idéal de ZZ . C’est l’idéal de ZZ engendré par n (voir l’exemple de la pageprécédente).

RemarqueComme n ZZ = (−n) ZZ pour tout n ∈ ZZ, on peut se limiter à n ∈ IN .Nous allons voir qu’en fait ce sont les seuls idéaux de ZZ.

Lemme 6Les sous-groupes de (ZZ, +) sont les n ZZ, pour n ∈ IN .

Principe de démonstration. Si H est un sous-groupe non nul de ZZ, on considère le plus petitélément n strictement positif de H et l’on utilise la division euclidienne par n pour montrer que

tout élément de H est un multiple de n .✞

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Un idéal étant en particulier un sous-groupe, on en déduit le résultat importantsuivant.

Théorème 7Les idéaux de ZZ sont les n ZZ, pour n ∈ IN .

7 L’anneau ZZ/nZZCongruences dans ZZSoit n un entier naturel.

Rappels Nous avons vu en première année la relation de congruence mo-dulo n définie par :

x ≡ y [n] ⇐⇒ y − x ∈ n ZZ.

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I Anneaux et corps

Il s’agit une relation d’équivalence sur ZZ qui est compatible avec les opérationsde ZZ, c’est-à-dire qui vérifie :

∀(x, y, x′, y′) ∈ ZZ4

{x ≡ x′ [n]y ≡ y′ [n]

=⇒{

x + y ≡ x′ + y′ [n]x × y ≡ x′ × y′ [n].

NotationOn note ZZ/nZZ l’ensemble des classes d’équivalence pour cette relation.La classe d’un élément k de ZZ est notée k .

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✆p.39 Exercice 10 Qu’est-ce que ZZ/0ZZ ? ZZ/1ZZ ? ZZ/2ZZ ?

Proposition 8Pour n ∈ IN∗ , l’ensemble ZZ/nZZ a n éléments, et l’on a :

ZZ/nZZ ={0, 1, . . . , n − 1

}.

Principe de démonstration. Utiliser la division euclidienne par n .✞

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Remarque ZZ/nZZ est appelé ensemble quotient de ZZ par n ZZ, ce quiexplique sa notation.

Anneau ZZ/nZZ

Proposition 91. Il existe sur ZZ/nZZ des lois, notées + et × (ou implicitement pour le

produit) et appelées lois quotient, telles que :

∀(x, y) ∈ (ZZ/nZZ)2 x + y = x + y et x × y = x y.

2. (ZZ/nZZ, +, ×) est un anneau commutatif d’éléments neutres 0 et 1.

3. La projection canonique ZZ −→ ZZ/nZZx �−→ x

est un morphisme d’anneaux

surjectif de noyau n ZZ.

Principe de démonstration. Pour α et β dans ZZ/nZZ, on définit :

α + β = x + y et α × β = x y où x ∈ α et y ∈ β.

Il faut vérifier que x + y et x y ne dépendent que de α et β , et non des représentants x et ychoisis, grâce à la compatibilité de la relation de congruence avec les lois de ZZ.✞

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“ToutEnUn-MP” — 2020/1/12 — 15:03 — page 10 — #18✐

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Remarques• On peut aussi prendre pour représentants des classes modulo n �= 0, n’im-

porte quel n-uplet d’entiers consécutifs.

Par exemple, pour étudier la multiplication sur ZZ/5ZZ , il pourra être inté-ressant d’écrire ZZ/5ZZ =

{−2, −1, 0, 1, 2}

.

• Les éléments 0, 1, . . . , n − 1 sont privilégiés dans leurs classes respectives.Il arrivera donc que l’on note p à la place de p lorsque 0 � p < n , s’il n’ya pas de confusion possible.

✞

✝

☎

✆p.40 Exercice 11 Écrire les tables d’addition et de multiplication de ZZ/5ZZ et ZZ/6ZZ.

Ces anneaux sont-ils intègres ?

Proposition 10 (Éléments inversibles de ZZ/nZZ)1. La classe de k ∈ ZZ est inversible dans ZZ/nZZ si, et seulement si, k est

premier avec n .

2. Pour n ∈ IN∗ , les assertions suivantes sont équivalentes :

(i) ZZ/nZZ est un corps ;

(ii) ZZ/nZZ est intègre ;

(iii) n est premier.

Principe de démonstration.✞

✝

☎


1. L’élément k est inversible si, et seulement s’il existe (u, v) ∈ ZZ2 tel que k u + n v = 1 et

son inverse est alors u .

2. On montre (ii) =⇒ (iii) par contraposée : si n = a b , alors a b = 0 .

(iii) =⇒ (i) : si n est premier, tous les éléments de [[1, n − 1]] sont premiers avec n .

RemarqueL’implication (ii) =⇒ (i) est un cas particulier de l’exemple de la page 3.

Point méthode

Comme on l’a vu dans la démonstration précédente, pour déterminerl’inverse de k dans ZZ/nZZ, il suffit de trouver un couple (u, v) telque k u + n v = 1 (coefficients de Bézout). L’inverse de k est alors u .

✞

✝

☎

✆p.41 Exercice 12 Donner l’inverse de 13 dans ZZ/34ZZ.

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“ToutEnUn-MP” — 2020/1/12 — 15:03 — page 11 — #19✐

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I Anneaux et corps

8 Théorème chinoisOn note ici [k]n la classe de l’entier k modulo un entier naturel non nul n .

Proposition 11Soit n et m des entiers premiers entre eux. Les anneaux ZZ/(nm)ZZet (ZZ/nZZ) × (ZZ/mZZ) sont isomorphes par le morphisme d’anneaux ϕ :

ZZ/(nm)ZZ −→ (ZZ/nZZ) × (ZZ/mZZ)[k]nm �−→ (

[k]n, [k]m).

Principe de démonstration. Pour la définition de ϕ , vérifier que le couple([k]n, [k]m

)ne

dépend que de la classe de k modulo nm .

On démontre l’injectivité de ϕ et l’on conclut par cardinalité.✞

✝

☎


Le corollaire suivant n’est que la traduction en termes de congruence de laproposition 11.

Corollaire 12 (Théorème chinois)Si n et m sont des entiers premiers entre eux, pour tout (a, b) ∈ ZZ2 , il existeun entier k vérifiant le système :

{k ≡ a [n]k ≡ b [m]

(S)

et les solutions de ce système sont exactement les entiers congrus à k mo-dulo n m .

Le théorème chinois permet de ramener l’étude d’une équation sur ZZ/nZZlorsque n n’est pas premier, à celle d’équations sur des anneaux plus simples.

Point méthode (pour obtenir une solution de (S))

À partir d’une relation de Bézout m u + n v = 1, on trouve deux en-tiers k1 = m u et k2 = n v vérifiant respectivement les systèmes decongruences :

{k1 ≡ 1 [n]k1 ≡ 0 [m]

et

{k2 ≡ 0 [n]k2 ≡ 1 [m]

et une solution du système (S) est alors k = k1 a + k2 b (vérification immé-diate en prenant les congruences modulo n et m).

Remarque L’obtention d’une telle solution est non triviale, mais sa vérifi-cation est immédiate. Il ne faut donc pas oublier de la faire pour repérer uneerreur de calcul éventuelle.

11

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“ToutEnUn-MP” — 2020/1/12 — 15:03 — page 10 — #18✐

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Remarques• On peut aussi prendre pour représentants des classes modulo n �= 0, n’im-

porte quel n-uplet d’entiers consécutifs.

Par exemple, pour étudier la multiplication sur ZZ/5ZZ , il pourra être inté-ressant d’écrire ZZ/5ZZ =

{−2, −1, 0, 1, 2}

.

• Les éléments 0, 1, . . . , n − 1 sont privilégiés dans leurs classes respectives.Il arrivera donc que l’on note p à la place de p lorsque 0 � p < n , s’il n’ya pas de confusion possible.

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✆p.40 Exercice 11 Écrire les tables d’addition et de multiplication de ZZ/5ZZ et ZZ/6ZZ.

Ces anneaux sont-ils intègres ?

Proposition 10 (Éléments inversibles de ZZ/nZZ)1. La classe de k ∈ ZZ est inversible dans ZZ/nZZ si, et seulement si, k est

premier avec n .

2. Pour n ∈ IN∗ , les assertions suivantes sont équivalentes :

(i) ZZ/nZZ est un corps ;

(ii) ZZ/nZZ est intègre ;

(iii) n est premier.

Principe de démonstration.✞

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1. L’élément k est inversible si, et seulement s’il existe (u, v) ∈ ZZ2 tel que k u + n v = 1 et

son inverse est alors u .

2. On montre (ii) =⇒ (iii) par contraposée : si n = a b , alors a b = 0 .

(iii) =⇒ (i) : si n est premier, tous les éléments de [[1, n − 1]] sont premiers avec n .

RemarqueL’implication (ii) =⇒ (i) est un cas particulier de l’exemple de la page 3.

Point méthode

Comme on l’a vu dans la démonstration précédente, pour déterminerl’inverse de k dans ZZ/nZZ, il suffit de trouver un couple (u, v) telque k u + n v = 1 (coefficients de Bézout). L’inverse de k est alors u .

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✆p.41 Exercice 12 Donner l’inverse de 13 dans ZZ/34ZZ.

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I Anneaux et corps

8 Théorème chinoisOn note ici [k]n la classe de l’entier k modulo un entier naturel non nul n .

Proposition 11Soit n et m des entiers premiers entre eux. Les anneaux ZZ/(nm)ZZet (ZZ/nZZ) × (ZZ/mZZ) sont isomorphes par le morphisme d’anneaux ϕ :

ZZ/(nm)ZZ −→ (ZZ/nZZ) × (ZZ/mZZ)[k]nm �−→ (

[k]n, [k]m).

Principe de démonstration. Pour la définition de ϕ , vérifier que le couple([k]n, [k]m

)ne

dépend que de la classe de k modulo nm .

On démontre l’injectivité de ϕ et l’on conclut par cardinalité.✞

✝

☎


Le corollaire suivant n’est que la traduction en termes de congruence de laproposition 11.

Corollaire 12 (Théorème chinois)Si n et m sont des entiers premiers entre eux, pour tout (a, b) ∈ ZZ2 , il existeun entier k vérifiant le système :

{k ≡ a [n]k ≡ b [m]

(S)

et les solutions de ce système sont exactement les entiers congrus à k mo-dulo n m .

Le théorème chinois permet de ramener l’étude d’une équation sur ZZ/nZZlorsque n n’est pas premier, à celle d’équations sur des anneaux plus simples.

Point méthode (pour obtenir une solution de (S))

À partir d’une relation de Bézout m u + n v = 1, on trouve deux en-tiers k1 = m u et k2 = n v vérifiant respectivement les systèmes decongruences :

{k1 ≡ 1 [n]k1 ≡ 0 [m]

et

{k2 ≡ 0 [n]k2 ≡ 1 [m]

et une solution du système (S) est alors k = k1 a + k2 b (vérification immé-diate en prenant les congruences modulo n et m).

Remarque L’obtention d’une telle solution est non triviale, mais sa vérifi-cation est immédiate. Il ne faut donc pas oublier de la faire pour repérer uneerreur de calcul éventuelle.

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“ToutEnUn-MP” — 2020/1/12 — 15:03 — page 12 — #20✐

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Exemple Trouvons les entiers k tels que k2 + k + 11 ≡ 0 [143], c’est-à-dire telsque k2 + k + 11 ≡ 0 [11] et k2 + k + 11 ≡ 0 [13].Cela revient à résoudre l’équation x2 +x+11 = 0 dans ZZ/11ZZ et dans ZZ/13ZZ. Pourchaque couple de solutions

([a]11, [b]13

), le point méthode précédent donne la classe

modulo 143 correspondante.

✞

✝

☎

✆p.41 Exercice 13 Finir l’exemple ci-dessus.

9 Indicatrice d’Euler

Définition 8On appelle indicatrice d’Euler de n ∈ IN∗ , et l’on note ϕ(n), le cardinalde l’ensemble : {

k ∈ [[1, n]]∣∣ k ∧ n = 1

}.

Remarques• On a évidemment ϕ(1) = 1.

• Pour n � 2, ϕ(n) est aussi le nombre d’éléments de [[1, n − 1]] premiersavec n .

• Dans tous les cas, c’est aussi le nombre d’éléments de [[0, n − 1]] pre-miers avec n , donc également le nombre d’éléments inversibles dans l’an-neau ZZ/nZZ .

Exemples1. Pour tout n � 2, on a ϕ(n) � n − 1 avec égalité si, et seulement si, n est pre-

mier. En effet, d’après les remarques précédentes, ϕ(n) est le nombre d’élémentsde [[1, n − 1]] premiers avec n (d’où l’inégalité) et n est premier si, et seulementsi, tous les éléments de [[1, n − 1]] sont premiers avec n .

2. Soit p un nombre premier. Pour tout k ∈ IN∗ , on a ϕ(pk) = pk − pk−1 puisqueles éléments qui sont non premiers avec pk sont les multiples de p , c’est-à-dire p, 2p, . . . , (pk−1) p pour ceux qui sont dans [[1, pk]] . Il y en a donc pk−1 .

✞

✝

☎

✆p.41 Exercice 14 Soit n ∈ IN∗ . Montrer :

∑

d|nϕ(d) = n.

Indication : on pourra considérer l’ensemble des rationnels de la forme p/n ,avec p ∈ [[1, n]] .

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“ToutEnUn-MP” — 2020/1/12 — 15:03 — page 13 — #21✐

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II Anneau des polynômes à une indéterminée

Proposition 13Si n et m sont premiers entre eux, alors on a ϕ(n m) = ϕ(n) ϕ(m).

Démonstration. Les anneaux ZZ/(nm)ZZ et (ZZ/nZZ) × (ZZ/mZZ) étant isomorphes (théorèmechinois), ils ont autant d’éléments inversibles.

Or, les inversibles de l’anneau produit (ZZ/nZZ) × (ZZ/mZZ) sont évidemment les couples (u, v) ,où u et v sont inversibles respectivement dans ZZ/nZZ et ZZ/mZZ. On en déduit le résultat.

Corollaire 14Si n = pα1

1 · · · pαrr , avec p1, . . . , pr des nombres premiers distincts deux à

deux et α1, . . . , αr des entiers naturels non nuls, alors on a :

ϕ(n) = n

(1 − 1

p1

)· · ·

(1 − 1

pr

)·

Démonstration. Le résultat est immédiat si n = 1 (un produit vide vaut 1). Sinon, r � 1

et puisque les pαkk sont premiers entre eux deux à deux, pαr

r est premier avec pα11 · · · p

αr−1

r−1 . À

partir de la proposition précédente, on a ϕ(n) = ϕ(pα11 · · · p

αr−1

r−1 ) ϕ(pαrr ) .

On en déduit ϕ(n) = ϕ(pα11 ) · · · ϕ(pαr

r ) par récurrence immédiate, sur le nombre de facteurs

premiers de n . À l’aide du résultat de l’exemple 2 de la page ci-contre, il vient :

ϕ(n) =(pα1

1 − pα1−11

)· · ·

(pαr

r − pαr−1r

)

ce qui donne le résultat après factorisation par n = pα11 · · · pαr

r .

Calcul de l’indicatrice d’Euler à l’aide d’une méthode de cribleOn peut adapter le crible d’Eratosthène (voir livre de première année) pour calculerl’indicatrice d’Euler des n premiers entiers. Cela consiste à multiplier chaque entier k

par 1 − 1p , pour tous les diviseurs premiers p de k .

def e u l e r (n ) :" " " Retourne l a l i s t e des phi (p )

pour p in [0 , n ] " " "t=l i s t ( range (n+1)) # in i t i a l e m e n t , t [ p]=p pour t ou t pfor p in range (2 , n ) :

i f t [ p ] == p : # p e s t premierfor k in range (p , n+1,p ) :

# on m u l t i p l i e l e s m u l t i p l e s# de p par 1−1/pt [ k ] −= t [ k ] // p

return t

II Anneau des polynômes à une indéterminéeOn considère un corps IK (dans la pratique, un sous-corps de C). La structured’anneau de IK[X] , étudiée en première année lorsque IK = IR ou IK = C , sedéfinit de la même manière dans le cas général.

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Exemple Trouvons les entiers k tels que k2 + k + 11 ≡ 0 [143], c’est-à-dire telsque k2 + k + 11 ≡ 0 [11] et k2 + k + 11 ≡ 0 [13].Cela revient à résoudre l’équation x2 +x+11 = 0 dans ZZ/11ZZ et dans ZZ/13ZZ. Pourchaque couple de solutions

([a]11, [b]13

), le point méthode précédent donne la classe

modulo 143 correspondante.

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✆p.41 Exercice 13 Finir l’exemple ci-dessus.

9 Indicatrice d’Euler

Définition 8On appelle indicatrice d’Euler de n ∈ IN∗ , et l’on note ϕ(n), le cardinalde l’ensemble : {

k ∈ [[1, n]]∣∣ k ∧ n = 1

}.

Remarques• On a évidemment ϕ(1) = 1.

• Pour n � 2, ϕ(n) est aussi le nombre d’éléments de [[1, n − 1]] premiersavec n .

• Dans tous les cas, c’est aussi le nombre d’éléments de [[0, n − 1]] pre-miers avec n , donc également le nombre d’éléments inversibles dans l’an-neau ZZ/nZZ .

Exemples1. Pour tout n � 2, on a ϕ(n) � n − 1 avec égalité si, et seulement si, n est pre-

mier. En effet, d’après les remarques précédentes, ϕ(n) est le nombre d’élémentsde [[1, n − 1]] premiers avec n (d’où l’inégalité) et n est premier si, et seulementsi, tous les éléments de [[1, n − 1]] sont premiers avec n .

2. Soit p un nombre premier. Pour tout k ∈ IN∗ , on a ϕ(pk) = pk − pk−1 puisqueles éléments qui sont non premiers avec pk sont les multiples de p , c’est-à-dire p, 2p, . . . , (pk−1) p pour ceux qui sont dans [[1, pk]] . Il y en a donc pk−1 .

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✆p.41 Exercice 14 Soit n ∈ IN∗ . Montrer :

∑

d|nϕ(d) = n.

Indication : on pourra considérer l’ensemble des rationnels de la forme p/n ,avec p ∈ [[1, n]] .

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“ToutEnUn-MP” — 2020/1/12 — 15:03 — page 13 — #21✐

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Proposition 13Si n et m sont premiers entre eux, alors on a ϕ(n m) = ϕ(n) ϕ(m).

Démonstration. Les anneaux ZZ/(nm)ZZ et (ZZ/nZZ) × (ZZ/mZZ) étant isomorphes (théorèmechinois), ils ont autant d’éléments inversibles.

Or, les inversibles de l’anneau produit (ZZ/nZZ) × (ZZ/mZZ) sont évidemment les couples (u, v) ,où u et v sont inversibles respectivement dans ZZ/nZZ et ZZ/mZZ. On en déduit le résultat.

Corollaire 14Si n = pα1

1 · · · pαrr , avec p1, . . . , pr des nombres premiers distincts deux à

deux et α1, . . . , αr des entiers naturels non nuls, alors on a :

ϕ(n) = n

(1 − 1

p1

)· · ·

(1 − 1

pr

)·

Démonstration. Le résultat est immédiat si n = 1 (un produit vide vaut 1). Sinon, r � 1

et puisque les pαkk sont premiers entre eux deux à deux, pαr

r est premier avec pα11 · · · p

αr−1

r−1 . À

partir de la proposition précédente, on a ϕ(n) = ϕ(pα11 · · · p

αr−1

r−1 ) ϕ(pαrr ) .

On en déduit ϕ(n) = ϕ(pα11 ) · · · ϕ(pαr

r ) par récurrence immédiate, sur le nombre de facteurs

premiers de n . À l’aide du résultat de l’exemple 2 de la page ci-contre, il vient :

ϕ(n) =(pα1

1 − pα1−11

)· · ·

(pαr

r − pαr−1r

)

ce qui donne le résultat après factorisation par n = pα11 · · · pαr

r .

Calcul de l’indicatrice d’Euler à l’aide d’une méthode de cribleOn peut adapter le crible d’Eratosthène (voir livre de première année) pour calculerl’indicatrice d’Euler des n premiers entiers. Cela consiste à multiplier chaque entier k

par 1 − 1p , pour tous les diviseurs premiers p de k .

def e u l e r (n ) :" " " Retourne l a l i s t e des phi (p )

pour p in [0 , n ] " " "t=l i s t ( range (n+1)) # in i t i a l e m e n t , t [ p]=p pour t ou t pfor p in range (2 , n ) :

i f t [ p ] == p : # p e s t premierfor k in range (p , n+1,p ) :

# on m u l t i p l i e l e s m u l t i p l e s# de p par 1−1/pt [ k ] −= t [ k ] // p

return t

II Anneau des polynômes à une indéterminéeOn considère un corps IK (dans la pratique, un sous-corps de C). La structured’anneau de IK[X] , étudiée en première année lorsque IK = IR ou IK = C , sedéfinit de la même manière dans le cas général.

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“ToutEnUn-MP” — 2020/1/12 — 15:03 — page 14 — #22✐

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On conserve en particulier la notion de degré ainsi que ses propriétés quipermettent de montrer le résultat suivant.

Proposition 15IK[X] est un anneau intègre.

Démonstration. Il est clair que IK[X] est un anneau commutatif non réduit à {0} .

Soit A et B deux polynômes non nuls. Écrivons :

A =

p∑

i=0

ai Xi et B =

q∑

j=0

bj Xj avec p = deg A et q = deg B.

Par définition du produit, le coefficient du terme de degré n = p + q de A B est ap bq , doncnon nul comme produit d’éléments non nuls du corps IK. Ainsi A B �= 0 .

1 Propriétés arithmétiques élémentairesDivisibilité

Définition 9Soit (A, B) ∈ IK[X]2 . On dit que B divise A , ou que A est un multiplede B , s’il existe Q ∈ IK[X] , appelé quotient de A par B , tel que A = B Q .On note B | A .

La relation de divisibilité est une relation réflexive et transitive, mais n’est nisymétrique ni antisymétrique (ce n’est ni une relation d’ordre, ni une relationd’équivalence).

Proposition 16Les éléments inversibles de IK[X] sont les éléments de IK∗ .

✞

✝

☎


Exemples1. Les diviseurs de 1 sont les éléments inversibles, c’est-à-dire les polynômes

constants non nuls.

2. Tout élément de IK[X ] divise 0, mais 0 ne divise que lui-même.

Polynômes associés

Proposition 17Soit A et B deux éléments de IK[X] . Les propriétés suivantes sont équiva-lentes :

(i) A | B et B | A ;

(ii) il existe λ ∈ IK∗ tel que B = λ A .

On dit alors que A et B sont associés.✞

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“ToutEnUn-MP” — 2020/1/12 — 15:03 — page 15 — #23✐

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Exemples1. 0 n’est associé qu’à lui-même.

2. Les éléments inversibles de IK[X ] sont les associés de 1.

3. Tout élément A non nul de IK[X ] est associé à un unique polynôme unitaire.C’est ce que l’on appelle son polynôme normalisé, obtenu en divisant A parson coefficient dominant.

Polynômes irréductibles

Définition 10Un polynôme irréductible est un polynôme non constant dont les seulsdiviseurs sont ses associés et les constantes non nulles.

Exemple Tout polynôme de degré 1 est irréductible.

Proposition 18Un élément A ∈ IK[X] est irréductible si, et seulement si :

• A est non constant ;

• si A = B C , avec (B, C) ∈ IK[X]2 , alors B ou C est constant.✞

✝

☎


Rappel• Les polynômes irréductibles de C[X] sont les polynômes de degré 1.

• Les polynômes irréductibles de IR[X] sont les polynômes de degré 1 et lespolynômes de degré 2 dont le discriminant est strictement négatif.

Exemple Montrons que P = X3 + X + 1 est irréductible dans Q[X ] .Supposons P = Q R , avec Q et R non constants. Alors l’un est de degré 2 et l’autrede degré 1. En particulier, l’un des deux, donc P aussi, admet une racine dans Q .Montrons que c’est impossible.Soit p et q deux entiers premiers entre eux, avec q �= 0, tels que P (p/q) = 0.Alors p3 + p q2 + q3 = 0, donc q | p3 et p | q3 . On en déduit p = ±1 et q = ±1puisque p ∧ q = 1. Ainsi, p/q = ±1, ce qui est contradictoire puisque P (1) = 3 �= 0et P (−1) = −1 �= 0.

Remarque Plus généralement, un polynôme de IK[X] de degré 2 ou 3n’ayant aucune racine dans IK est irréductible dans IK[X] .

✞

✝

☎

✆p.42 Exercice 15 Le polynôme P = X4 + X2 + 1

1. a-t-il des racines dans C ? dans IR ? dans Q ?

2. est-il irréductible dans C[X ] ? dans IR[X ] ? dans Q[X ] ?

15

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“ToutEnUn-MP” — 2020/1/12 — 15:03 — page 14 — #22✐

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On conserve en particulier la notion de degré ainsi que ses propriétés quipermettent de montrer le résultat suivant.

Proposition 15IK[X] est un anneau intègre.

Démonstration. Il est clair que IK[X] est un anneau commutatif non réduit à {0} .

Soit A et B deux polynômes non nuls. Écrivons :

A =

p∑

i=0

ai Xi et B =

q∑

j=0

bj Xj avec p = deg A et q = deg B.

Par définition du produit, le coefficient du terme de degré n = p + q de A B est ap bq , doncnon nul comme produit d’éléments non nuls du corps IK. Ainsi A B �= 0 .

1 Propriétés arithmétiques élémentairesDivisibilité

Définition 9Soit (A, B) ∈ IK[X]2 . On dit que B divise A , ou que A est un multiplede B , s’il existe Q ∈ IK[X] , appelé quotient de A par B , tel que A = B Q .On note B | A .

La relation de divisibilité est une relation réflexive et transitive, mais n’est nisymétrique ni antisymétrique (ce n’est ni une relation d’ordre, ni une relationd’équivalence).

Proposition 16Les éléments inversibles de IK[X] sont les éléments de IK∗ .

✞

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Exemples1. Les diviseurs de 1 sont les éléments inversibles, c’est-à-dire les polynômes

constants non nuls.

2. Tout élément de IK[X ] divise 0, mais 0 ne divise que lui-même.

Polynômes associés

Proposition 17Soit A et B deux éléments de IK[X] . Les propriétés suivantes sont équiva-lentes :

(i) A | B et B | A ;

(ii) il existe λ ∈ IK∗ tel que B = λ A .

On dit alors que A et B sont associés.✞

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“ToutEnUn-MP” — 2020/1/12 — 15:03 — page 15 — #23✐

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Exemples1. 0 n’est associé qu’à lui-même.

2. Les éléments inversibles de IK[X ] sont les associés de 1.

3. Tout élément A non nul de IK[X ] est associé à un unique polynôme unitaire.C’est ce que l’on appelle son polynôme normalisé, obtenu en divisant A parson coefficient dominant.

Polynômes irréductibles

Définition 10Un polynôme irréductible est un polynôme non constant dont les seulsdiviseurs sont ses associés et les constantes non nulles.

Exemple Tout polynôme de degré 1 est irréductible.

Proposition 18Un élément A ∈ IK[X] est irréductible si, et seulement si :

• A est non constant ;

• si A = B C , avec (B, C) ∈ IK[X]2 , alors B ou C est constant.✞

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Rappel• Les polynômes irréductibles de C[X] sont les polynômes de degré 1.

• Les polynômes irréductibles de IR[X] sont les polynômes de degré 1 et lespolynômes de degré 2 dont le discriminant est strictement négatif.

Exemple Montrons que P = X3 + X + 1 est irréductible dans Q[X ] .Supposons P = Q R , avec Q et R non constants. Alors l’un est de degré 2 et l’autrede degré 1. En particulier, l’un des deux, donc P aussi, admet une racine dans Q .Montrons que c’est impossible.Soit p et q deux entiers premiers entre eux, avec q �= 0, tels que P (p/q) = 0.Alors p3 + p q2 + q3 = 0, donc q | p3 et p | q3 . On en déduit p = ±1 et q = ±1puisque p ∧ q = 1. Ainsi, p/q = ±1, ce qui est contradictoire puisque P (1) = 3 �= 0et P (−1) = −1 �= 0.

Remarque Plus généralement, un polynôme de IK[X] de degré 2 ou 3n’ayant aucune racine dans IK est irréductible dans IK[X] .

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✆p.42 Exercice 15 Le polynôme P = X4 + X2 + 1

1. a-t-il des racines dans C ? dans IR ? dans Q ?

2. est-il irréductible dans C[X ] ? dans IR[X ] ? dans Q[X ] ?

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“ToutEnUn-MP” — 2020/1/12 — 15:03 — page 16 — #24✐

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Polynômes premiers entre eux

Définition 11Deux éléments de IK[X] sont premiers entre eux si leurs seuls diviseurscommuns sont les polynômes constants non nuls de IK[X] .

Exemple Deux polynômes irréductibles non associés sont premiers entre eux. Consi-dérons, en effet, deux polynômes irréductibles P et Q non premiers entre eux. Ilsadmettent alors un diviseur commun D non constant. Comme P et Q sont irréduc-tibles, on en déduit que D est associé à P et à Q , donc que P et Q sont associés.

Plus généralement :

Proposition 19Soit P un polynôme irréductible et A un polynôme quelconque. Alors Pet A sont premiers entre eux si, et seulement si, P ne divise pas A .

✞

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2 Utilisation des idéaux de IK[X]Idéaux de IK[X]Si B est un élément de IK[X] , l’exemple de la page 7 montre que :

B IK[X] ={B Q ; Q ∈ IK[X]

}

est un idéal de IK[X] .Comme dans le cas de ZZ, on a ainsi obtenu tous les idéaux de IK[X] .

Théorème 20Les idéaux de IK[X] sont les B IK[X] , pour B ∈ IK[X] .

Principe de démonstration. Si I est un idéal non nul de IK[X] , on considère un élément B

non nul de I de degré minimal et l’on utilise la division euclidienne par B pour montrer que

tout élément de I est un multiple de B .✞

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☎


Grâce à cette propriété importante de IK[X] , nous allons pouvoir retrouver(et généraliser au cas d’un corps IK quelconque) les propriétés arithmétiquesde l’anneau IK[X] .

Remarques• Un anneau principal est un anneau intègre A dans lequel tout idéal

est principal, c’est-à-dire de la forme x A , pour un certain x de A (voirl’exemple de la page 7).

• L’anneau IK[X] est ainsi un anneau principal, ainsi que ZZ d’après le théo-rème 7 de la page 8.

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“ToutEnUn-MP” — 2020/1/12 — 15:03 — page 17 — #25✐

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• Les résultats arithmétiques qui suivent utilisent cette propriété de prin-cipalité de IK[X] et peuvent donc se généraliser à n’importe quel anneauprincipal (sauf l’algorithme d’Euclide qui utilise la division euclidienne).

• Le même schéma permettrait ainsi de retrouver les résultats classiques del’arithmétique de ZZ en utilisant ses idéaux.

Lien avec la divisibilitéLa proposition suivante permet de ramener la notion de divisibilité à unerelation d’ordre (inclusion sur les idéaux).

Proposition 21On a :

∀(A, B) ∈ IK[X]2 B | A ⇐⇒ A IK[X] ⊂ B IK[X].

Démonstration. On a les équivalences immédiates :

B | A ⇐⇒(∃Q ∈ IK[X] A = B Q

)⇐⇒ A ∈ B IK[X].

Il ne reste plus qu’à vérifier que A IK[X] ⊂ B IK[X] ⇐⇒ A ∈ B IK[X] .

• L’implication =⇒ est évidente puisque A ∈ A IK[X] .

• Puisque B IK[X] est un idéal, si A ∈ B IK[X] , alors ∀Q ∈ IK[X] A Q ∈ B IK[X] , ce quiprouve l’implication ⇐= .

Remarque On en déduit, grâce à la proposition 17 de la page 14, que deuxpolynômes sont associés si, et seulement s’ils sont générateurs du même idéal.

Corollaire 22Tout idéal I de IK[X] non réduit à {0} est de la forme A IK[X] pour ununique polynôme unitaire A .

Ce polynôme A est appelé le générateur de I .

PGCD

Exemples Soit A et B deux polynômes non nuls.1. L’ensemble des multiples communs à A et B est A IK[X ] ∩ B IK[X ] . Il s’agit donc

d’un idéal de IK[X ] , non nul puisque A B lui appartient. Son générateur M estappelé le PPCM de A et B . C’est l’unique polynôme unitaire M ∈ IK[X ] telque :

A IK[X ] ∩ B IK[X ] = M IK[X ]

c’est-à-dire vérifiant :

∀P ∈ IK[X ] (A | P et B | P ) ⇐⇒ M | P.

2. De même que, pour le PPCM, on s’intéresse à A IK[X ] ∩ B IK[X ] qui est le plusgrand idéal de IK[X ] contenu dans A IK[X ] et B IK[X ] , pour le PGCD on vaconsidérer le plus petit idéal de IK[X ] contenant A IK[X ] et B IK[X ] , c’est-à-dire,d’après la proposition 5 de la page 8, leur somme A IK[X ] + B IK[X ] .

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“ToutEnUn-MP” — 2020/1/12 — 15:03 — page 16 — #24✐

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Polynômes premiers entre eux

Définition 11Deux éléments de IK[X] sont premiers entre eux si leurs seuls diviseurscommuns sont les polynômes constants non nuls de IK[X] .

Exemple Deux polynômes irréductibles non associés sont premiers entre eux. Consi-dérons, en effet, deux polynômes irréductibles P et Q non premiers entre eux. Ilsadmettent alors un diviseur commun D non constant. Comme P et Q sont irréduc-tibles, on en déduit que D est associé à P et à Q , donc que P et Q sont associés.

Plus généralement :

Proposition 19Soit P un polynôme irréductible et A un polynôme quelconque. Alors Pet A sont premiers entre eux si, et seulement si, P ne divise pas A .

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2 Utilisation des idéaux de IK[X]Idéaux de IK[X]Si B est un élément de IK[X] , l’exemple de la page 7 montre que :

B IK[X] ={B Q ; Q ∈ IK[X]

}

est un idéal de IK[X] .Comme dans le cas de ZZ, on a ainsi obtenu tous les idéaux de IK[X] .

Théorème 20Les idéaux de IK[X] sont les B IK[X] , pour B ∈ IK[X] .

Principe de démonstration. Si I est un idéal non nul de IK[X] , on considère un élément B

non nul de I de degré minimal et l’on utilise la division euclidienne par B pour montrer que

tout élément de I est un multiple de B .✞

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Grâce à cette propriété importante de IK[X] , nous allons pouvoir retrouver(et généraliser au cas d’un corps IK quelconque) les propriétés arithmétiquesde l’anneau IK[X] .

Remarques• Un anneau principal est un anneau intègre A dans lequel tout idéal

est principal, c’est-à-dire de la forme x A , pour un certain x de A (voirl’exemple de la page 7).

• L’anneau IK[X] est ainsi un anneau principal, ainsi que ZZ d’après le théo-rème 7 de la page 8.

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“ToutEnUn-MP” — 2020/1/12 — 15:03 — page 17 — #25✐

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• Les résultats arithmétiques qui suivent utilisent cette propriété de prin-cipalité de IK[X] et peuvent donc se généraliser à n’importe quel anneauprincipal (sauf l’algorithme d’Euclide qui utilise la division euclidienne).

• Le même schéma permettrait ainsi de retrouver les résultats classiques del’arithmétique de ZZ en utilisant ses idéaux.

Lien avec la divisibilitéLa proposition suivante permet de ramener la notion de divisibilité à unerelation d’ordre (inclusion sur les idéaux).

Proposition 21On a :

∀(A, B) ∈ IK[X]2 B | A ⇐⇒ A IK[X] ⊂ B IK[X].

Démonstration. On a les équivalences immédiates :

B | A ⇐⇒(∃Q ∈ IK[X] A = B Q

)⇐⇒ A ∈ B IK[X].

Il ne reste plus qu’à vérifier que A IK[X] ⊂ B IK[X] ⇐⇒ A ∈ B IK[X] .

• L’implication =⇒ est évidente puisque A ∈ A IK[X] .

• Puisque B IK[X] est un idéal, si A ∈ B IK[X] , alors ∀Q ∈ IK[X] A Q ∈ B IK[X] , ce quiprouve l’implication ⇐= .

Remarque On en déduit, grâce à la proposition 17 de la page 14, que deuxpolynômes sont associés si, et seulement s’ils sont générateurs du même idéal.

Corollaire 22Tout idéal I de IK[X] non réduit à {0} est de la forme A IK[X] pour ununique polynôme unitaire A .

Ce polynôme A est appelé le générateur de I .

PGCD

Exemples Soit A et B deux polynômes non nuls.1. L’ensemble des multiples communs à A et B est A IK[X ] ∩ B IK[X ] . Il s’agit donc

d’un idéal de IK[X ] , non nul puisque A B lui appartient. Son générateur M estappelé le PPCM de A et B . C’est l’unique polynôme unitaire M ∈ IK[X ] telque :

A IK[X ] ∩ B IK[X ] = M IK[X ]

c’est-à-dire vérifiant :

∀P ∈ IK[X ] (A | P et B | P ) ⇐⇒ M | P.

2. De même que, pour le PPCM, on s’intéresse à A IK[X ] ∩ B IK[X ] qui est le plusgrand idéal de IK[X ] contenu dans A IK[X ] et B IK[X ] , pour le PGCD on vaconsidérer le plus petit idéal de IK[X ] contenant A IK[X ] et B IK[X ] , c’est-à-dire,d’après la proposition 5 de la page 8, leur somme A IK[X ] + B IK[X ] .

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Définition 12Soit A et B deux éléments de IK[X] non tous les deux nuls.

On appelle PGCD de A et B le générateur D de l’idéal A IK[X]+B IK[X] .

Il vérifie la relation :

∀P ∈ IK[X] (P | A et P | B) ⇐⇒ P | D.

On a la relation de Bézout :

∃(U, V ) ∈ IK[X]2 D = A U + B V.

Remarques• Parmi les diviseurs communs à A et B , le PGCD est le polynôme unitaire

de degré maximal.

• Si A = 0, le PGCD de A et B est le polynôme B normalisé (c’est-à-diredivisé par son coefficient dominant).

• Rappelons que l’on peut obtenir le PGCD par l’algorithme d’Euclide :

∗ tant que B est non nul, on remplace (A, B) par (B, R), où R est lereste de la division euclidienne de A par B ;

∗ le PGCD recherché est alors A divisé par son coefficient dominant.

Remarque La définition précédente se généralise naturellement à k élé-ments (A1, . . . , Ak) ∈ IK[X]k non tous nuls. L’ensemble :

{A1 U1 + A2 U2 + · · · + Ak Uk ; (U1, U2, . . . , Uk) ∈ IK[X]k

},

noté A1 IK[X] + A2 IK[X] + · · · + Ak IK[X] , est un idéal de IK[X] . Son généra-teur D est le PGCD de (A1, A2, . . . , Ak) et on a la relation de Bézout :

∃(U1, U2, . . . , Uk) ∈ IK[X]k D = A1 U1 + A2 U2 + · · · + Ak Uk.

Relation de BézoutPar définition du PGCD, on a immédiatement les résultats suivants.

Proposition 23Soit (A, B) ∈ IK[X]2 .

1. Si D est le PGCD de A et B , alors il existe U et V dans IK[X] telsque D = A U + B V .

2. Les polynômes A et B sont premiers entre eux si, et seulement s’ilexiste (U, V ) ∈ IK[X]2 tel que A U + B V = 1.

Démonstration. Seule la réciproque du deuxième point reste à démontrer. Si A U + B V = 1 ,tout diviseur commun à A et B divise A U + B V donc 1 . On en déduit que les seuls diviseurscommuns à A et B sont les polynômes constants non nuls, donc que A et B sont premiersentre eux.

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✆p.43 Exercice 16 Soit (A, B) ∈ IK[X ]2 . Pour quels P ∈ IK[X ] , l’équation A U +B V = P

admet-elle des solutions en (U, V ) ∈ IK[X ]2 ?

Corollaire 24Soit (A, B) ∈ IK[X]2 . Si D est le PGCD de A et B , on peut écrire A = D A′

et B = D B′ , avec A′ et B′ premiers entre eux.

Démonstration. Il suffit de diviser une relation de Bézout A U + B V = D par D pourobtenir A′ U + B′ V = 1 , ce qui prouve que A′ et B′ sont premiers entre eux.

Algorithme d’Euclide étendu Dans IK[X ] , on peut déterminer le PGCD et uncouple de coefficients de Bézout par l’algorithme d’Euclide.Cet algorithme a déjà été présenté en première année (lorsque IK = IR ou IK = C).Nous donnons ici une version récursive.

Algorithme d’Euclide étendu dans IK[X]Entrées : les polynômes A et B , avec A non nul.Variables : Q , R , D , U , V et λ .Résultat : PGCD unitaire et coefficients de Bézoutfunction pgcd(A,B)

if B = 0 thenλ ← coefficient dominant de A

return (Aλ , 1

λ , 0)

else(Q, R) ← quotient et reste de la division de A par B

(D, U, V ) ← pgcd(B, R)return (D, V, U − Q V )

Théorème de Gauss

Théorème 25 (Lemme de Gauss)Soit A , B et C trois éléments de IK[X] .

Si A divise B C et si A est premier avec B , alors A divise C .

Principe de démonstration. Multiplier par C une relation de Bézout A U + B V = 1 .✞

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✆p.43 Exercice 17 Montrer que si A et B sont deux polynômes premiers entre eux et

non tous les deux constants, il existe un unique couple (U, V ) ∈ IK[X ]2 tel que :

A U + B V = 1 avec deg U < deg B et deg V < deg A.

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Définition 12Soit A et B deux éléments de IK[X] non tous les deux nuls.

On appelle PGCD de A et B le générateur D de l’idéal A IK[X]+B IK[X] .

Il vérifie la relation :

∀P ∈ IK[X] (P | A et P | B) ⇐⇒ P | D.

On a la relation de Bézout :

∃(U, V ) ∈ IK[X]2 D = A U + B V.

Remarques• Parmi les diviseurs communs à A et B , le PGCD est le polynôme unitaire

de degré maximal.

• Si A = 0, le PGCD de A et B est le polynôme B normalisé (c’est-à-diredivisé par son coefficient dominant).

• Rappelons que l’on peut obtenir le PGCD par l’algorithme d’Euclide :

∗ tant que B est non nul, on remplace (A, B) par (B, R), où R est lereste de la division euclidienne de A par B ;

∗ le PGCD recherché est alors A divisé par son coefficient dominant.

Remarque La définition précédente se généralise naturellement à k élé-ments (A1, . . . , Ak) ∈ IK[X]k non tous nuls. L’ensemble :

{A1 U1 + A2 U2 + · · · + Ak Uk ; (U1, U2, . . . , Uk) ∈ IK[X]k

},

noté A1 IK[X] + A2 IK[X] + · · · + Ak IK[X] , est un idéal de IK[X] . Son généra-teur D est le PGCD de (A1, A2, . . . , Ak) et on a la relation de Bézout :

∃(U1, U2, . . . , Uk) ∈ IK[X]k D = A1 U1 + A2 U2 + · · · + Ak Uk.

Relation de BézoutPar définition du PGCD, on a immédiatement les résultats suivants.

Proposition 23Soit (A, B) ∈ IK[X]2 .

1. Si D est le PGCD de A et B , alors il existe U et V dans IK[X] telsque D = A U + B V .

2. Les polynômes A et B sont premiers entre eux si, et seulement s’ilexiste (U, V ) ∈ IK[X]2 tel que A U + B V = 1.

Démonstration. Seule la réciproque du deuxième point reste à démontrer. Si A U + B V = 1 ,tout diviseur commun à A et B divise A U + B V donc 1 . On en déduit que les seuls diviseurscommuns à A et B sont les polynômes constants non nuls, donc que A et B sont premiersentre eux.

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✆p.43 Exercice 16 Soit (A, B) ∈ IK[X ]2 . Pour quels P ∈ IK[X ] , l’équation A U +B V = P

admet-elle des solutions en (U, V ) ∈ IK[X ]2 ?

Corollaire 24Soit (A, B) ∈ IK[X]2 . Si D est le PGCD de A et B , on peut écrire A = D A′

et B = D B′ , avec A′ et B′ premiers entre eux.

Démonstration. Il suffit de diviser une relation de Bézout A U + B V = D par D pourobtenir A′ U + B′ V = 1 , ce qui prouve que A′ et B′ sont premiers entre eux.

Algorithme d’Euclide étendu Dans IK[X ] , on peut déterminer le PGCD et uncouple de coefficients de Bézout par l’algorithme d’Euclide.Cet algorithme a déjà été présenté en première année (lorsque IK = IR ou IK = C).Nous donnons ici une version récursive.

Algorithme d’Euclide étendu dans IK[X]Entrées : les polynômes A et B , avec A non nul.Variables : Q , R , D , U , V et λ .Résultat : PGCD unitaire et coefficients de Bézoutfunction pgcd(A,B)

if B = 0 thenλ ← coefficient dominant de A

return (Aλ , 1

λ , 0)

else(Q, R) ← quotient et reste de la division de A par B

(D, U, V ) ← pgcd(B, R)return (D, V, U − Q V )

Théorème de Gauss

Théorème 25 (Lemme de Gauss)Soit A , B et C trois éléments de IK[X] .

Si A divise B C et si A est premier avec B , alors A divise C .

Principe de démonstration. Multiplier par C une relation de Bézout A U + B V = 1 .✞

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✆p.43 Exercice 17 Montrer que si A et B sont deux polynômes premiers entre eux et

non tous les deux constants, il existe un unique couple (U, V ) ∈ IK[X ]2 tel que :

A U + B V = 1 avec deg U < deg B et deg V < deg A.

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Décomposition en facteurs irréductibles

Théorème 26Tout polynôme non constant de IK[X] est produit d’irréductibles.

Principe de démonstration. On démontre qu’un polynôme P non constant est produit d’ir-

réductibles par récurrence forte sur le degré de P .✞

✝

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Notons P l’ensemble des polynômes irréductibles unitaires. Les éléments de Psont donc deux à deux non associés et tout polynôme irréductible est associéà un unique élément de P .

Théorème 27Tout polynôme A non nul de IK[X] s’écrit de façon unique sous la forme :

A = λ∏

P ∈PP αP

où λ ∈ IK∗ et (αP )P ∈P est une famille presque nulle d’entiers naturels.

✞

✝

☎


Point méthode

Dans la pratique, on écrit la décomposition en produits d’irréductibles d’unélément A non nul sous l’une des formes :

• A = λ P α11 · · · P αk

k où λ ∈ IK∗ , P1, . . . , Pk sont des éléments de P dis-tincts deux à deux et α1, . . . , αk des entiers naturels non nuls ;

• A = λ P α11 · · · P αk

k où λ ∈ IK∗ , P1, . . . , Pk sont des éléments de P dis-tincts deux à deux et α1, . . . , αk des entiers naturels éventuellement nuls.

Avec la deuxième forme, on perd l’unicité, mais on peut utiliser les mêmesirréductibles pour plusieurs éléments de IK[X] .

Exemple Soit A et B deux éléments non nuls de IK[X ] décomposés sous la deuxièmeforme :

A = λ P α11 · · · P αk

k et B = µ P β1

1 · · · P βk

k .

• B | A si, et seulement si, ∀i ∈ [[1, k]] βi � αi ;

• le PGCD de A et B est D = Pmin(α1,β1)1 · · · P

min(αk,βk)k ;

• le PPCM de A et B est M = Pmax(α1,β1)1 · · · P

max(αk,βk)k .

On a ainsi A B = λ µ D M .

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“ToutEnUn-MP” — 2020/1/12 — 15:03 — page 21 — #29✐

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III Groupes

III Groupes1 RappelsRappelons quelques exemples de groupes classiques étudiés en première année.

Exemples1. ZZ est un groupe commutatif.2. Si E est un ensemble, l’ensemble S(E) des permutations de E est un groupe

pour la composition des applications.

3. Si E est un espace vectoriel, le groupe linéaire GL(E) est un groupe.

4. Si n est un entier naturel non nul, GLn(IK) est un groupe, non commutatif dèsque n � 2.

5. Si E est un espace vectoriel euclidien, les automorphismes orthogonaux de Eforment le groupe orthogonal O(E). De même, les matrices orthogonalesd’ordre n ∈ IN∗ , forment le groupe orthogonal On(IR).

Nous venons également de voir la structure d’anneau de ZZ/nZZ (n ∈ IN).Comme pour tout anneau, muni de son addition, ZZ/nZZ a donc une structurede groupe abélien.Nous allons ici prolonger l’étude des groupes commencée en première année.Contrairement aux groupes additifs des anneaux, leur loi est souvent notéemultiplicativement. C’est ainsi que seront formulés les définitions et résultatsqui vont suivre. Le lecteur est invité à les traduire avec la notation additive(réservée aux groupes commutatifs, rappelons-le).

2 Morphismes de groupesGénéralités

Définition 13Soit G et G′ deux groupes. On appelle morphisme de groupes de Gdans G′ , toute application ϕ de G dans G′ vérifiant :

∀(g, h) ∈ G2 ϕ(g h) = ϕ(g) ϕ(h).

Lorsque G′ = G, on parle d’endomorphisme de groupe.

Exemples1. L’application qui envoie tous les éléments d’un groupe G sur l’élément neutre d’un

groupe G′ est un morphisme de groupes.

2. L’exponentielle est un morphisme de groupes de (IR, +) dans (IR∗+, ×).

Sa réciproque, l’application logarithme, est un morphisme de groupes de (IR∗+, ×)

dans (IR, +).3. L’application :

GLn(IK) −→ IK∗

A �−→ det A

est un morphisme de groupes de (GLn(IK), ×) dans (IK∗, ×).

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“ToutEnUn-MP” — 2020/1/12 — 15:03 — page 20 — #28✐

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Décomposition en facteurs irréductibles

Théorème 26Tout polynôme non constant de IK[X] est produit d’irréductibles.

Principe de démonstration. On démontre qu’un polynôme P non constant est produit d’ir-

réductibles par récurrence forte sur le degré de P .✞

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Notons P l’ensemble des polynômes irréductibles unitaires. Les éléments de Psont donc deux à deux non associés et tout polynôme irréductible est associéà un unique élément de P .

Théorème 27Tout polynôme A non nul de IK[X] s’écrit de façon unique sous la forme :

A = λ∏

P ∈PP αP

où λ ∈ IK∗ et (αP )P ∈P est une famille presque nulle d’entiers naturels.

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Point méthode

Dans la pratique, on écrit la décomposition en produits d’irréductibles d’unélément A non nul sous l’une des formes :

• A = λ P α11 · · · P αk

k où λ ∈ IK∗ , P1, . . . , Pk sont des éléments de P dis-tincts deux à deux et α1, . . . , αk des entiers naturels non nuls ;

• A = λ P α11 · · · P αk

k où λ ∈ IK∗ , P1, . . . , Pk sont des éléments de P dis-tincts deux à deux et α1, . . . , αk des entiers naturels éventuellement nuls.

Avec la deuxième forme, on perd l’unicité, mais on peut utiliser les mêmesirréductibles pour plusieurs éléments de IK[X] .

Exemple Soit A et B deux éléments non nuls de IK[X ] décomposés sous la deuxièmeforme :

A = λ P α11 · · · P αk

k et B = µ P β1

1 · · · P βk

k .

• B | A si, et seulement si, ∀i ∈ [[1, k]] βi � αi ;

• le PGCD de A et B est D = Pmin(α1,β1)1 · · · P

min(αk,βk)k ;

• le PPCM de A et B est M = Pmax(α1,β1)1 · · · P

max(αk,βk)k .

On a ainsi A B = λ µ D M .

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III Groupes

III Groupes1 RappelsRappelons quelques exemples de groupes classiques étudiés en première année.

Exemples1. ZZ est un groupe commutatif.2. Si E est un ensemble, l’ensemble S(E) des permutations de E est un groupe

pour la composition des applications.

3. Si E est un espace vectoriel, le groupe linéaire GL(E) est un groupe.

4. Si n est un entier naturel non nul, GLn(IK) est un groupe, non commutatif dèsque n � 2.

5. Si E est un espace vectoriel euclidien, les automorphismes orthogonaux de Eforment le groupe orthogonal O(E). De même, les matrices orthogonalesd’ordre n ∈ IN∗ , forment le groupe orthogonal On(IR).

Nous venons également de voir la structure d’anneau de ZZ/nZZ (n ∈ IN).Comme pour tout anneau, muni de son addition, ZZ/nZZ a donc une structurede groupe abélien.Nous allons ici prolonger l’étude des groupes commencée en première année.Contrairement aux groupes additifs des anneaux, leur loi est souvent notéemultiplicativement. C’est ainsi que seront formulés les définitions et résultatsqui vont suivre. Le lecteur est invité à les traduire avec la notation additive(réservée aux groupes commutatifs, rappelons-le).

2 Morphismes de groupesGénéralités

Définition 13Soit G et G′ deux groupes. On appelle morphisme de groupes de Gdans G′ , toute application ϕ de G dans G′ vérifiant :

∀(g, h) ∈ G2 ϕ(g h) = ϕ(g) ϕ(h).

Lorsque G′ = G, on parle d’endomorphisme de groupe.

Exemples1. L’application qui envoie tous les éléments d’un groupe G sur l’élément neutre d’un

groupe G′ est un morphisme de groupes.

2. L’exponentielle est un morphisme de groupes de (IR, +) dans (IR∗+, ×).

Sa réciproque, l’application logarithme, est un morphisme de groupes de (IR∗+, ×)

dans (IR, +).3. L’application :

GLn(IK) −→ IK∗

A �−→ det A

est un morphisme de groupes de (GLn(IK), ×) dans (IK∗, ×).

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“ToutEnUn-MP” — 2020/1/12 — 15:03 — page 22 — #30✐

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4. La signature est un morphisme de Sn dans {−1, 1} .5. Un morphisme d’anneaux est en particulier un morphisme entre leurs groupes

additifs.Il induit un morphisme entre les groupes des éléments inversibles des deux an-neaux.

Proposition 28Soit f un morphisme de groupes de G (d’élément neutre e) dans G′ (d’élé-ment neutre e′ ). On a :

• f(e) = e′ ,

• ∀x ∈ G(f(x)

)−1 = f(x−1

),

• ∀x ∈ G ∀n ∈ ZZ(f(x)

)n = f (xn) .

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Isomorphismes

Définition 14Un isomorphisme est un morphisme bijectif.

Un automorphisme est un isomorphisme d’un groupe dans lui-même.

Exemples1. Pour λ ∈ IR∗ , l’application x �→ λ x est un automorphisme de (IR, +).2. Plus généralement, un automorphisme d’un espace vectoriel E est en particulier

un automorphisme de groupe additif de E .

3. Soit (G, .) un groupe et g ∈ G . L’application x �→ g x g−1 est un automorphismede G , appelé automorphisme intérieur.

Proposition 29Si ϕ est un isomorphisme de groupes, alors ϕ−1 est également un isomor-phisme de groupes.

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Exemples1. La fonction logarithme est un isomorphisme de groupes de (IR∗

+, ×) dans (IR, +).

2. Sa réciproque, l’exponentielle, est un isomorphisme de groupes de (IR, +)dans (IR∗

+, ×).

Notation On note Aut(G) l’ensemble des automorphismes du groupe G.✞

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✆p.45 Exercice 18 Montrer que Aut(G) est un groupe.

Définition 15Deux groupes sont isomorphes s’il existe un isomorphisme entre eux.

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“ToutEnUn-MP” — 2020/1/12 — 15:03 — page 23 — #31✐

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III Groupes

Exemple Les groupes additifs ZZ/(nm)ZZ et (ZZ/nZZ) × (ZZ/mZZ) sont isomorpheslorsque n et m sont premiers entre eux : c’est une conséquence du théorème chinois(cf. page 11) puisqu’un isomorphisme d’anneaux induit en particulier un isomorphismeentre leurs groupes additifs.

Point méthode

• Pour montrer que deux groupes sont isomorphes, il suffit d’exhiber unisomorphisme entre eux.

• Pour montrer qu’ils ne sont pas isomorphes, on exhibe une propriété liéeà la loi de groupe (et donc conservée par isomorphisme) qui est vraiepour l’un et pas pour l’autre.

Exemples

1. ZZ/6ZZ et S3 ne sont pas isomorphes car l’un est commutatif et pas l’autre.

2. Lorsque n et m ne sont pas premiers entre eux, ZZ/(nm)ZZ et (ZZ/nZZ)× (ZZ/mZZ)ne sont pas isomorphes. En effet, si p est le PPCM de m et n , on a 0 < p < n m

puisque et n et m ne sont pas premiers entre eux et donc p [1]nm = [p]nm �= [0]nm .

Si ZZ/(nm)ZZ et (ZZ/nZZ) × (ZZ/mZZ) étaient isomorphes, il existerait donc unélément (x, y) ∈ (ZZ/mZZ) × (ZZ/nZZ) tel que p (x, y) �=

([0]n, [0]m

), ce qui est faux

puisque p x = [0]n (p multiple de n) et p y = [0]m (p multiple de m).

Rappelons que la notation p α = α + · · · + α︸︷︷︸p fois

désigne ici l’itéré d’un élément αd’un groupe additif.

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✆p.45 Exercice 19 Les groupes suivants sont-ils isomorphes ?

1. (IR, +) et (Q, +),

2. (IR, +) et (IR∗+, ×),

3. (IR, +) et (IR∗, ×),

4. (Q, +) et (Q∗+, ×).

3 Noyau, image

Soit G et G′ deux groupes d’éléments neutres respectifs e et e′ , ainsi que fun morphisme de groupes de G dans G′ .

Proposition 30• Si H est un sous-groupe de G, alors f(H) est un sous-groupe de G′ .

• Si H ′ est un sous-groupe de G′ , alors f−1(H ′) est un sous-groupe de G.

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CLAUDE DESCHAMPS | FRANÇOIS MOULIN …...CHLOÉ MULLAERT | SERGE NICOLAS | MICHEL VOLCKER MATHS...

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