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Cálculo Multivariado
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Cálculo Multivariado
Contenido
1. Problemas 21.1. Integrales dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Integrales en coordenadas porlares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3. Aplicaciones de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4. Integral Triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5. Aplicaciones de la triple integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.6. Coordenadas Cilindricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.7. Coordenadas Esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.8. Cambio de Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1Problemas
1.1. Integrales dobles
1.
2∫
0
4∫
0
y3e2x dy dx
2.
4∫
1
2∫
1
(
x
y+
y
x
)
dy dx
3.
3∫
1
5∫
1
ln y
xydy dx
4.
1∫
0
1∫
0
xy√
x2 + y2 dy dx
5.∫∫
R
xy2
x2 + 1dA, R = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 1,−3 ≤ y ≤ 3}
6.∫∫
R
x
1 + xydA, R = [0, 1]× [0, 1]
7. Encontrar el área limitada por las siguientes funciones en el plano usando integral doble:
a) x2 = 4y, 2y − x− 4 = 0
b) y = x, x = 4y − y2
c) y = x, 4y3 = x2
d) x+ y = 5, xy = 6
e) y = x3/2, y = 2x
f ) 2x− 3y = 0, x+ y = 5, y = 0
g) xy = 9, y = x, y = 0, x = 9
h) y = x, y = 2x , x = 2
i) y = 4− x2, y = x+ 2
8.
4∫
0
√y
∫
0
xy2 dx dy
1.1. INTEGRALES DOBLES 3
9.
1∫
0
x∫
x2
(1 + 2y) dy dx
10.
1∫
0
s2∫
0
cos(s3) dt ds
11.
1∫
0
2∫
2x
(x− y) dy dx
12.
2∫
0
2y∫
y
xy dx dy
13.
1∫
0
ev∫
0
√1 + ev dw dv
14.∫∫
D
(x+ 3y3) dA, D : 0 ≤ x2 + y2 ≤ 1
15.∫∫
D
√xy dA, D : 0 ≤ y ≤ 1 y2 ≤ x ≤ y
16.∫∫
D
yex dA, D : 0 ≤ y ≤ 1 0 ≤ x ≤ y2
17.∫∫
D
(4− y2) dA, D es la región acotada pory2 = 2x y y2 = 8− 2x
18.∫∫
D
(x4 + y2) dA, D es la región acotada pory = x3 y y = x2
19.∫∫
D
(3xy3 − y) dA, D es la región acotada pory = |x| y y = −|x|, x ∈ [−1, 1]
20.∫∫
D
e−y2/2 dA, D es el triángulo acotado por ejey, 2y = x, y = 1
21.∫∫
D
ex2
dA, D es el triángulo acotado por ejex, 2y = x, x = 2
22.∫∫
D
y2 dA, D = {(x, y)| − 1 ≤ y ≤ 1,−y − 2 ≤ x ≤ y}
23.∫∫
D
y
x5 + 1dA, D = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x2}
24.∫∫
D
x dA, D = {(x, y)|0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ sinx}
25.∫∫
D
x3 dA, D = {(x, y)|1 ≤ x ≤ e, 0 ≤ y ≤ lnx}
26.∫∫
D
x cos y dA, D está acotada pory = 0, y = x2, x = 1
27.∫∫
D
y
x2 + y2dA, D está acotada pory = x, y = 2x, x = 1, x = 2
1.1. INTEGRALES DOBLES 4
28.∫∫
D
xey dA, D está acotada pory = 4− x, y = 0, x = 0
29.∫∫
D
−2y dA, D está acotada pory = 4− x2, y = 4− x
30.∫∫
D
y
1 + x2dA, D está acotada pory = 0, y =
√x, x = 4
31.∫∫
D
(x2 + y2) dA, D está acotada por el semicírculoy =√4− x2, y = 0
32.∫∫
D
(x2 + 2y) dA, D está acotada porx = y, y = x3, x ≥ 0
33.∫∫
D
y2 dA, D es el triángulo formado por los vértices(0, 1), (1, 2), (4, 1)
34.∫∫
D
xy2 dA, D está acotada porx = 0 y x =√
1− y2
35.∫∫
D
(2x− y) dA, D está acotada por el círculo con centro en el origen y radio 2.
36. Evaluar la integral, cambiando el orden de integración:
a)
1∫
0
4−2x∫
2
dy dx
b)
2∫
0
0∫
y−2
dx dy
c)
1∫
0
√y
∫
y
dx dy
d)
1∫
0
1−x2∫
1−x
dy dx
e)
1∫
0
ex∫
1
dy dx
f )
ln 2∫
0
2∫
ex
dy dx
g)
3/2∫
0
9−4x2∫
0
16xdy dx
h)
2∫
0
4−y2
∫
0
ydx dy
i)
1∫
0
√1−y2
∫
−√
1−y2
3ydx dy
1.1. INTEGRALES DOBLES 5
j)
2∫
0
√4−x2
∫
−√
4−x2
6xdy dx
37. Evaluar la integral, cambiando el orden de integración:
a)
π∫
0
π∫
x
sin y
ydy dx
b)
2∫
0
2∫
x
2y2 sin(xy)dy dx
c)
1∫
0
1∫
y
x2exydx dy
d)
2∫
0
4−x2∫
0
xe2y
4− ydy dx
e)
2√ln 3
∫
0
√ln 3∫
y/2
ex2
dx dy
f )
3∫
0
1∫
√x/3
ey3
dy dx
g)
1/16∫
0
1/2∫
y1/4
cos(16πx5)dx dy
h)
8∫
0
π∫
3√x
dy dx
y4 + 1
38. Evaluar la integral, cambiando el orden de integración:
a)
1∫
0
1∫
√x
sin(y3 + 1
2)dy dx
b)
1∫
−1
√y+1∫
−√y+1
x2dx dy
c)
2∫
1
ln y∫
0
e−xdx dy
d)
1∫
0
1∫
x2
x3
√
x4 + y2dy dx
e)
1∫
0
3∫
3y
ex2
dx dy
f )
2∫
0
2∫
x
x√
1 + y3dy dx
1.1. INTEGRALES DOBLES 6
g)
1∫
0
2∫
2x
4ey2
dy dx
h)
1∫
0
1∫
y
sinx2dx dy
i)
4∫
0
2∫
√x
3
2 + y3dy dx
j)
2∫
0
4∫
y2
√x sinxdx dy
k)
√π
∫
0
√π
∫
y
cos(x2)dx dy
l)
4∫
0
2∫
√x
1
y3 + 1dy dx
m)
1∫
0
1∫
x
ex/ydy dx
n)
1∫
0
π/2∫
arcsin y
cosx√
1 + cos2 xdx dy
ñ)
8∫
0
2∫
3√y
ex4
dx dy
39. Bosquejear la región de integración y cambiar el orden de integración.
a)
1∫
0
x2∫
x4
f(x, y)dy dx
b)
1∫
0
y2
∫
0
f(x, y)dx dy
c)
1∫
0
y∫
−y
f(x, y)dx dy
d)
1∫
1/2
x∫
x3
f(x, y)dy dx
e)
4∫
1
2x∫
x
f(x, y)dy dx
f )
3∫
1
x2∫
−x
f(x, y)dy dx
g)
1∫
0
y∫
0
f(x, y)dx dy
1.1. INTEGRALES DOBLES 7
h)
4∫
0
2∫
√y
f(x, y)dx dy
i)
2∫
−2
√4−x2
∫
0
f(x, y)dx dy
j)
2∫
0
4−x2∫
0
f(x, y)dx dy
k)
2∫
−1
e−x∫
0
f(x, y)dx dy
l)
π/2∫
−π/2
cos x∫
0
f(x, y)dx dy
m)
2∫
0
4∫
x2
f(x, y)dy dx
n)
π/2∫
0
cos x∫
0
f(x, y)dy dx
ñ)
2∫
−2
√4−y2
∫
0
f(x, y)dx dy
o)
2∫
0
ln x∫
0
f(x, y)dy dx
p)
1∫
0
π/4∫
arctan x
f(x, y)dy dx
40. Bosquejear el solido cuyo volumen esta dado por las siguientes integrales:
a)
1∫
0
1∫
0
(4− x− 2y) dx dy
b)
1∫
0
1∫
0
(2− x2 − y2) dy dx
41. Encontrar el volumen del sólido que está bajo el plano4x + 6y − 2z + 15 = 0, y aariba del rectánguloR ={(x, y)| − 1 ≤ x ≤ 2,−1 ≤ y ≤ 1}.
42. Encontrar el volumen del sólido que está bajo el paraboloide hiperbolico z = 3y2−x2+2 y arriba del rectánguloR = [−1, 1]× [1, 2].
43. Encontrar el volumen del sólido que está bajo el paraboloide elípticox2/4+y2/9+ z = 1 y arriba del rectánguloR = [−1, 1]× [−2, 2].
44. Encontrar el volumen del sólido limitado por:
a) z = xy, z = 0, y = x, x = 1, primer octante
b) y = 0, z = 0, y = x, z = x, x = 0, x = 5
c) z = 0, z = x2, x = 0, x = 2, y = 0, y = 4
1.1. INTEGRALES DOBLES 8
d) x2 + y2 + z2 = r2
e) x2 + x2 = 1, y2 + z2 = 1, primer octante
f ) y = 4− x2, z = 4− x2, primer octante
g) z =1
1 + y2, x = 0, x = 2, y ≥ 0
45. Encontrar el volumen acotado por arribaz = x+y, y abajo por la regíon triángular con vértices(0, 0), (0, 1), (1, 0)
46. Encontrar el volumen del sólido acotado por1/2x+ 1/3y + 1/4z = 1y los planos coordenados.
47. Encontrar el volumen del sólido acotado por el planoz = 2x + 3y, y abajo por el cuadro unidad0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1
48. Encontrar el volumen acotado por arribaz = x3y, y abajo por la regíon triángular con vértices(0, 0), (2, 0), (0, 1)
49. Encontrar el volumen acotado abajo por el paraboloidez = x2 + y2, dentro del cilindrox2 + y2 ≤ 1, z ≥ 0
50. Encontrar el volumen del sólido acotado arriba por el planoz = 2x+ 1 y abajo por el disco(x− 1)2 + y2 ≤ 1
51. Encontrar el volumen del sólido acotado porz = 4− y2 − 1/4x2 y abajo del disco(y − 1)2 + x2 ≤ 0
52. Encontrar el volumen del sólido en el primer octante (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0) acotado porz = x2 + y2 y el planox+ y = 1 y los planos coordenados.
53. Encnotrar el volumen del sólido acotado por el cilindro circularx2+y2 = 1 y el planoz = 0y el planox+y = 1
54. Encontrar el volumen del sólido en el primer octante acotado arribaporz = x2 + 3y2, abajo por el planox− y yal lado del cilindroy = x2 y el planoy = x
55. Encontrar el volumen del solido acotado por la superficiez = 1 + ex sin y y los planosx = ±1, y = 0, y = π yz = 0.
56. Encontrar el volumen del solido acotado por la superficiez = x sec2 y y los planosz = 0, x = 0, x = 2, y = 0 yy = π/4.
57. Encontrar el volumen del solido en el primer octante acotado por elcilindro z = 16− x2 y el planoy = 5.
58. Encontrar le volumen del solido acotado por el paraboloidez = 2+x2+(y−2)2 y los planosz = 1, x = 1, x =−1, y = 0 y y = 4.
59. Encontrar el volumen del sólido descrito por:
a) Bajo el planox− 2y + z = 1 y arriba de la región acotada porx+ y = 1 y x2 + y = 1
b) Bajo la superficiez = 1 + x2y2 y arriba de la región acotada porx = y2 y x = 4
c) Bajo la superficiez = xy y arriba del triángulo con vérticies(1, 1), (4, 1), (1, 2)
d) Encerrado por el paraboloidez = x2 + 3y2 y los planosx = 0, y = 1, y = x y z = 0.
e) Acotado por los planos coordenados y el plano3x+ 2y + z = 6.
f ) Acotado por los planosz = x, Y = x, x+ y = 2 y z = 0.
g) encerrado por los cilindrosz = x2, y = x2, y los planosz = 0, y = 4.
h) Acotado por el cilindroy2 + z2 = 4 y los planosx = 2y, x = 0, z = 0.
i) Acotado por el cilindrox2 + y2 = 1 y los planosy = z, x = 0, z = 0 y el primer octante.
j) Acotado por los cilindrosx2 + y2 = r2 y y2 + z2 = r2 .
60. Bosquejear el sólido cuyo volumen esta dado por la integral:
a)
1∫
0
1−x∫
0
(1− x− y)dy dx
b)
1∫
0
1−x2∫
0
(1− x)dy dx
1.2. INTEGRALES EN COORDENADAS PORLARES 9
1.2. Integrales en coordenadas porlares61. Evaluar las siguientes integrales y dibujar la regiónR
a)
π∫
0
cos θ∫
0
r dr dθ
b)
2π∫
0
6∫
0
3r2 sin θ dr dθ
c)
π∫
0
sin θ∫
0
r2 dr dθ
d)
π/4∫
0
4∫
0
r2 sin θ cos θ dr dθ
e)
π/2∫
0
3∫
2
√
9− r2r dr dθ
f )
π/2∫
0
1+sin θ∫
0
θr dr dθ
g)
π/2∫
0
3∫
0
re−r2 dr dθ
h)
π∫
0
1−cos θ∫
0
(sin θ)r dr dθ
62. Calcular las siguientes integrales usando coordenadas polares.
a)
a∫
0
√a2−y2
∫
0
y dx dy
b)
a∫
0
√a2−y2
∫
0
x dy dx
c)
2∫
0
√2x−x2
∫
0
xy dy dx
d)
1∫
1/2
√1−x2
∫
0
dy dx
e)
1/2∫
0
√1−x2
∫
0
xy√
x2 + y2 dy dx
f )
1∫
−1
√1−y2
∫
0
√
x2 + y2 dx dy
1.2. INTEGRALES EN COORDENADAS PORLARES 10
g)
2∫
0
√4−x2
∫
0
√
x2 + y2 dy dx
h)
1∫
−1
√1−x2
∫
0
cos(x2 + y2) dy dx
i)
1∫
0
√1−y2
∫
0
sin(
√
x2 + y2)
dy dx
j)
1∫
−1
√1−y2
∫
−√
1−y2
e√
x2+y2
dx dy
k)
1∫
0
√x−x2
∫
−√
x−x2
(x2 + y2) dy dx
63. SeaR la región anular comprendida entre los dos círculosx2 + y2 = 1, x2 + y2 = 5, evaluar la integral∫∫
R
(x2 + y) dA
64. Evaluar la integral haciendo el cambio a coordenadas polares.
a)∫∫
D
x2ydA dondeD es la mitad superior del disco con centro en el origen y radio 5.
b)∫∫
R
x2ydA dondeR es la región en el primer cuadrante encerrado por los círculosx2 + y2 = 4, y la línea
x = 0, y y = x.
c)∫∫
R
sin(x2 + y2)dA dondeR es la región en el primer cuadrante entre los círculos con centro en el origen
y radios 1 y 3.
d)∫∫
R
y2
x2 + y2dA dondeR es la región que está entre los círculosx2 + y2 = a2 y x2 + y2 = b2 con
0 < a < b
e)∫∫
D
e−x2−y2
dA dondeD es la región acotada por el semicírculox =√
4− y2 y el ejey.
65. Uitlizar una integral doble para encontrar el área encerrada por lagráfica der = 3 cos 3θ
-1 1 2 3
-2
-1
1
2
66. Uitlizar una integral doble para encontrar el área encerrada por lagráfica der = 3 sin 3θ
1.2. INTEGRALES EN COORDENADAS PORLARES 11
-2 -1 1 2
-3
-2
-1
1
67. Uitlizar una integral doble para encontrar el área encerrada por lagráfica der = 2(1− cos θ)
-4 -3 -2 -1
-2
-1
1
2
68. Uitlizar una integral doble para encontrar el área dentro del círculor = 4 cos θ, pero fuera del círculor = 2
-2 -1 1 2 3 4
-2
-1
1
2
69. Uitlizar una integral doble para encontrar el área dentro de la regióngrande, pero fuera de la región pequeñacerrada der = 1 + 2 cos θ
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
70. Uitlizar una integral doble para encontrar el área encerrada por lalemiscatar2 = 4 cos 2θ
-2 -1 1 2
-0.6
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
71. Uitlizar una integral doble para encontrar el área dentro del círculor = 3 cos θ pero fuera del cardioder =1 + cos θ
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
1.3. APLICACIONES DE LA INTEGRAL 12
72. Usando coordenadas polares para encontrar el volumen limitado por:
a) z = xy, x2 + y2 = 1 y el primer octante.
b) z = x2 + y2 + 3 , z = 0, x2 + y2 = 1
c) z = ln(x2 + y2) z = 0, x2 + y2 ≥ 1, x2 + y2 ≤ 4.
d) El interior del hemisferioz =√
16− x2 − y2 y el interior al cilindrox2 + y2 − 4x = 0.
e) El interior del hemisferioz =√
16− x2 − y2 y el exterior al cilindrox2 + y2 = 1.
73. Hallara tal que el volumen en el interior del hemisferioz =√
16− x2 − y2 y el exterior del cilindrox2 + y2 =a2 sea la mitad del volumen del hemisferio.
74. Utilizar una integral doble en coordenadas polares para hallar el volumen de una esfera de radioa.
1.3. Aplicaciones de la integral75. Centro de masa:
a) Una lámina esta determinada por los semicírculosy =√1− x2 y y =
√4− x2 junto con la porción del
ejex para unirlos. Encontrar el centro de masa de la lámina si la densidad de cualquier punto es proporcionala la distancia del punto al origen.
b) Encontrar la densidad de la lámina del ejercicio anterior si la densidad decualquier punto es inversamenteproporcional a de un punto al origen.
c) Una lámina ocupa la región dentro del círculox2 + y2 = 2y pero fuera del círculox2 + y2 = 1. Encontrarel centro de masa si la densidad de cualquier punto es inversamente proporcioanl a su distancia al origen.
76. Encontrar el área de superficie:
a) La parte del plano2x+ 5y + z = 10, acotada por el cilindrox2 + y2 = 9
b) La parte del plano3x+ 2y + z = 6, dentro del primer octante.
c) La parte de la superficiez = 1 + 3x+ 2y2 dentro del triángulo con vértices(0, 0), (0, 1), (2, 1)
d) La parte del cilindroy2 + z2 = 9 dentro del rectángulo con vértices(0, 0), (4, 0), (0, 2), (4, 2)
e) La parte del paraboloidez = 4− x2 − y2 que esta arriba del planox− y
f ) La parte del paraboloide hiperbólicoz = y2 − x2 delimitada por los cilindrosx2 + y2 = 1 y x2 + y2 = 4
g) La parte de la superficiez = xy delimitada por el cilindrox2 + y2 = 1
h) La parte de la esferax2 + y2 + z2 = 4 arriba del planoz = 1
i) La parte de la esferax2 + y2 + z2 = a2 delimitada por el cilindrox2 + y2 = ax y arriba del planoxy
j) La parte de la esferax2 + y2 + z2 = 4z delimitada por el paraboloidez = x2 + y2
k) El valor de la integralI =
∞∫
−∞
e−x2/2 dx se requiere en el derarrollo de la función de densidad de probabili-
dad normal. Utilizar coordenadas polares para calcularI, observe que :I2 =
∞∫
−∞
e−x2/2 dx
∞∫
−∞
e−y2/2 dy
=
∞∫
−∞
∞∫
−∞
e−(x2+y2)/2 dA
1.4. Integral Triples
77.
2∫
0
z2∫
0
y−z∫
0
(2x− y)dx dy dz
1.4. INTEGRAL TRIPLES 13
78.
2∫
1
2z∫
0
ln x∫
0
xe−ydy dx dz
79.
π/2∫
0
y∫
0
x∫
0
cos(x+ y + z)dz dx dy
80.
√π
∫
0
x∫
0
xz∫
0
x2 sin ydy dz dx
81.∫∫∫
E
ydv, dondeE = {(x, y, z)|0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ x, x− y ≤ z ≤ x+ y}
82.∫∫∫
E
ez/ydv, dondeE = {(x, y, z)|0 ≤ y ≤ 1, y ≤ x ≤ 1, 0 ≤ z ≤ xy}
83.∫∫∫
E
sin ydv, dondeE es la región acotada por abajo por el planoz = x, y arriba por la región triángular con
vértices(0, 0, 0), (π, 0, 0), (0, π, 0)
84.∫∫∫
E
6xydv, dondeE está acotada abajo por el planoz = 1 + x + y, y arriba por la región en el planox − y
acotada por las curvasy =√x, y = 0, y x = 1
85.∫∫∫
E
xydv, dondeE está acotado por los cilíndros parabólicosy = x2, x = y2, y los planosz = 0, z = x+ y
86.∫∫∫
T
x2dv, dondeT es el tetaedro sólido con vértices(0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)
87.∫∫∫
T
xyzdv, dondeT es el tetaedro sólido con vértices(0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)
88.∫∫∫
E
xdv dondeE está acotado por el paraboloidex = 4y2 + 4z2 y el planox = 4
89.∫∫∫
E
zdv dondeE está acotado por el cilindroy2 + z2 = 9 y los planosx = 0, y = 3x, z = 0 en el primer
octante
90. Usar una triple integral para encontrar el volumen de los siguientes sólidos:
a) el tetraedro acotado por los planos coordenados y el plano2x+ y + z = 4
b) El sólid encerrado por los paraboloidesy = x2 + z2 y y = 8− x2 − y2
c) El sólido encerrado por el cilindroy = x2 y los planosz = 0 y + z = 1
d) El sólido encerrado por el cilindrox2 + z2 = 4 y los planosy = −1, y + z = 4
91. Bosquejear el sólido cuyo volumen esta dado por la siguiente integral:
a)
1∫
0
1−x∫
0
2−2z∫
0
dy dz dx
b)
2∫
0
2−y∫
0
4−y2
∫
0
dx dz dy
92. Expresar de 6 maneras diferentes la integral∫∫∫
Ef(x, y, z)dv dondeE es el sólido acotado por las superficies
dadas.
a) y = 4− x2 − 4z2 y = 0
1.4. INTEGRAL TRIPLES 14
b) y2 + z2 = 9 x = −2 x = 2
c) y = x2 , z = 0, y + 2z = 4
d) x = 2 , y = 2, z = 0, x+ y − 2z = 2
93. Calcular el volumen de diferentes maneras que muestran las siguientes figuras:
a) b)
c) d)
e) f)
1.4. INTEGRAL TRIPLES 15
g) h)
i) j)
k) l)
1.5. APLICACIONES DE LA TRIPLE INTEGRAL 16
m)
1.5. Aplicaciones de la triple integral94. Determine el centro de masa del sólido acotado por las gráficas dex2 + z2 = 4, y = 0, y = 3 si la densidadρ en
un puntoP es directamente proporcional a la distancia desde el planoxy.
95. Encuentre el centro de masa del sólido acotado por las gráficas dey = x2, y = x, z = y+2, z = 0, si la densidadρ en el puntoP es directamente proporcional a la distancia desde el planoxy.
96. Calcule el momento de inercia alrededor del ejez del sólido en el primer octante que está acotado por los planosde coordenadas y la gráficax+ y + z = 1 si la densidadρ es constante.
97. Determine el momento de inercia alrededor del ejey del sólido acotado por las gráficasz = y, z = 4− y, z = 1z = 0, x = 2 y x = 0 si la densidadρ en un puntoP es directamente proporcional a la distancia desde el planoyz.
98. Si un sólido tiene densidad constantek, encontrar:
a) El momento de inercia para un cubo con longitud de sus ladosL si un vértice están en el origen y tres de susaristas en los ejes coordenados.
b) El momento de inercia para un ladrillo de forma un rectángulo de ladosa, b, c y masaM si centro del ladrilloestá situado en el origen y sus orillas paralelos a los ejes coordenados.
c) El momento de inercia sobre el ejez de un sólido cilíndricox2 + y2 ≤ a2, 0 ≤ z ≤ h.
99. El valor promedio de una funciónf(x, y, z) sobre un sólidoE esta definido porfpromedio =1
V (E)
∫∫∫
E
f(x, y, z)dV
dondeV (E) es el volumen deE, por ejemplo, siρ es una función de densidad, entoncesρpromedio se llama den-sidad promedio deE. Encontrar el volumen promedio de la funciónf(x, y, z) = xyz sobre el cubo de lados conlongitudL que descanza en el primer octante con uno de sus vértices en el origeny sus aristas paralelas a los ejescoordenados.
100. Encontrar el valor promedio de la funciónf(x, y, z) = x2z + y2z sobre la región encerrada por el paraboloidez = 1− x2 − y2 y el planoz = 0.
1.6. Coordenadas Cilindricas101. Describir las superficies cuyas ecuaciones están dadas por:
a) θ = π/4
b) r = 5
102. Describir los sólidos cuyas ecuaciones están dadas por:
a) 0 ≤ r ≤ 2, −π/2 ≤ θ ≤ π/2, 0 ≤ z ≤ 1
b) 0 ≤ θ ≤ π/2, r ≤ z ≤ 2
1.7. COORDENADAS ESFÉRICAS 17
103. Describir el sólido cuyo volumen esta dado por la integral dada y evaluarla:
a)
π/2∫
−π/2
2∫
0
r2∫
0
rdz dr dθ
b)
2∫
0
2π∫
0
r∫
0
rdz dθ dr
104. Evaluar∫∫∫
E
zdV , dondeE esta acotado por el paraboloidez = x2 + y2 y el planoz = 4.
105. Evaluar∫∫∫
E
(x+y+z)dV , dondeE es el sólido en el primer octante que está bajo el paraboloidez = 4−x2−y2.
106. Evaluar∫∫∫
E
(x)dV , dondeE está acotado por los planosz = 0, y z = x+ y + 5 y por el cilindrox2 + y2 = 4
y x2 + y2 = 9.
107. Evaluar∫∫∫
E
x2dV , dondeE está acotado porx2 + y2 = 1, y z = 0 y abajo del conoz2 = 4x2 + 4y2.
108. Encontrar el volumen del sólido que esta acotado por el cilindrox2 + y2 = 1 y la esferax2 + y2 + z2 = 4.
109. Encontrar el volumen del sólido que esta encerrado por el conoz =√
x2 + y2 y la esferax2 + y2 + z2 = 2.
110. Encontrar el volumen del sólido que esta encerrado por el paraboloidez = x2 + y2 y la esferax2 + y2 + z2 = 2.
111. Encontrar la masa y el centro de masa del sólidoS acotado por el paraboloidez = 4x2 + 4y2 y el planoz = aa ≥ 0 si S tiene densidad constanteK.
112. Encontrar la masa de la bolaB dada porx2 + y2 + z2 ≤ a2 si la densidad de cualquier punto es porporcional asu distancia del ejez.
113. Encontrar el volumen del sólido encerrado por los cilindrosx2 + y2 = 1, x2 + z2 = 1 y y2 + z2 = 1.
1.7. Coordenadas Esféricas114. Describir las la superficie cuya ecuación esta dada por:
a) φ = π/3
b) ρ = 3
115. Describir los sólidos cuya ecuación esta dada por:
a) 2 ≤ ρ ≤ 4, 0 ≤ φ ≤ π/4, 0 ≤ θ ≤ π
b) 1 ≤ ρ ≤ 2, 0 ≤ φ ≤ π/2, π/2 ≤ θ ≤ 3π/2
c) ρ ≤ 1, 3π/4 ≤ φ ≤ π
116. Bosquejear el sólido cuyo volumen está dado por la integral dada ycalcularla.
a)
π/6∫
0
π/2∫
0
2∫
0
ρ2 sinφdρ dθ dφ
b)
2π∫
0
π∫
π/2
2∫
1
ρ2 sinφdρ dφ dθ
117. Evaluar∫∫∫
B
(x2 + y2 + z2)2dV dondeB es la bola de centro en el origen y radio4
1.8. CAMBIO DE VARIABLE 18
118. Evaluar∫∫∫
B
(9− x2 − y2)dV dondeB es el sólido dado porx2 + y2 + z2 ≤ 9 y z ≥ 0
119. Evaluar∫∫∫
B
(x2 + y2)dV dondeB esta entre las esferas de radio 3 y radio 2
120. Evaluar∫∫∫
B
(y2)dV dondeB es el hemisferio sólidox2 + y2 + z2 ≤ 9 y y ≥ 0
121. Evaluar∫∫∫
B
xex2+y2+z2dV dondeB es la porción del balón unidadx2 + y2 + z2 ≤ 1 que está en el primer
octante
122. Evaluar∫∫∫
B
xyzdV dondeE esta dentro de las esferasρ = 2 y ρ = 4 y arriba del conoφ = π/3
123. Encontrar el volumen de la parte del balónρ ≤ a y que está entre los conosφ = π/6 y φ = π/3
124. Encotrar el volumen del sólido que está dentro la esferax2 + y2 + z2 = 4, arriba del planoxy y abajo del conoz =
√
x2 + y2
125. Demostrar que
∞∫
−∞
∞∫
−∞
∞∫
−∞
√
x2 + y2 + z2e−(x2+y2+z2)dx dy dz = 2π
126. Mostrar que la ecuación de Laplace∂2u
∂x2+
∂2u
∂y2+
∂2u
∂z2= 0
en coordenadas cilíndricas se convierte a
∂2u
∂r2+
1
r
∂u
∂r+
1
r2∂2u
∂θ2+
∂2u
∂z2= 0
y en coordenadas cilíndricas es
∂2u
∂ρ2+
2
ρ
∂u
∂ρ+
cotφ
ρ2∂u
∂φ+
1
ρ2∂2u
∂φ2+
1
ρ2 sin2 φ
∂2u
∂θ2= 0
1.8. Cambio de Variable127. Calcular el Jacobiano de las siguientes transformaciones
a) x = uv, y =u
v
b) x = v + w2, y = w + u2, z = u+ v2
128. Verificar el jacobiano en el caso del cambio a coordenadas polares, cilíndricas y esféricas.
129. Encontrar la imagen del conjuntoS bajo la transformación dada:
a) S = {(u, v)|0 ≤ u ≤ 3, 0 ≤ v ≤ 2}, x = 2u+ 3v, y = u− v
b) S es el cuadrado acotado por las líneasu = 0, u = 1, v = 0, v = 1, x = v, y = u(1 + v2)
c) S es el triángulo dado por los vértices(0, 0), (1, 1), (0, 1) x = u2 y = v
d) S es el disco dado poru2 + v2 ≤ 1 x = au y = bv
130. Use la transformación dada para evaluar la integral.
a)∫∫
R
(x− 3y)dA dondeR es el triángulo con vértices(0, 0), (2, 1), (1, 2); x = 2u+ v, y = u+ 2v
b)∫∫
R
(4x+8y)dA dondeR es el paralelogramo con vértices(−1, 3), (1,−3), (3,−1), (1, 5); x =1
4(u+v),
y =1
4(v − 3u)
1.8. CAMBIO DE VARIABLE 19
c)∫∫
R
(x2)dA dondeR es es la región acotada por la elípse9x2 + 4y2 = 36; x = 2u, y = 3v
d)∫∫
R
(x2−xy+y2)dA dondeR es es la región acotada por la elípsex2−xy+y2 = 2; x =√2u−
√
2/3v,
y =√2u+
√
2/3v
e)∫∫
R
xydA dondeR es es la región del primer cuadrante acotada por las líneasy = x y y = 3x y las
hiperbolasxy = 1, xy = 3; x =u
v, y = v
131. Considere la región del plano acotada por la elípsex2
a2+
y2
b2= 1, y las transformacionesx = au, y = bv, dibujar
la regíon imagen y usar este hecho para calcular el área de la elípse.
132. Emplear las sustitucionesu =x
a, v =
y
b, w =
z
c, para mostrar que el volumen del elipsoide
x2
a2+
y2
b2+
z2
c2= 1,
esV =4
3πabc
