CIVIL HVCA Licenciado Ortega

1 | U N I V E R S I D A D N A C I O N A L D E H U A N C A V E L I C A I N G C I V I L

ROMERO, FERNANDEZ, SEDANO.

CTEDRA : ANALISIS MATEMATICO II

CATEDRTICO : LIC.ORTEGA VARGAS, Jorge Luis

INTEGRANTES : TORIBIO FERNANDEZ, Queny Rudy ROMERO TAIPE, Richar Elvis RODRIGUEZ SEDANO, marcos

CICLO : II

HVCA 2015

UNIVERSIDAD NACIONAL DE

HUANCAVELICA

ESCUELA ACADMICA PROFESIONAL

INTEGRALES POR

PARTES

TEMA



Con cario y afecto a nuestros padres

Y hermanos, por su apoyo moral e

Incondicional, para que da a da

Logremos nuestras metas y propsitos.



INDICE

PRESENTACION4

INTRODUCCION5

MARCO TEORICO.6

MARCO CONCEPTUAL..10

EJERCICIOS DE NIVEL BASICO..12

EJERCICIOS DE NIVEL INTERMEDIO21

EJERCICIOS DE NIVEL AVANZADO.36

BIBLIOGRAFIA46



PRESENTACION

En los momentos difciles que atraviesa la sociedad peruana, a consecuencia de la

estructuracin del sistema a nivel de nuestro pas y aun nivel mundial, presentamos a

continuacin el trabajo sobre integracin por partes, con la finalidad de contribuir en los

jvenes estudiantes de nuestra regin, al conocimiento sobre el tema designado.

En el presente trabajo enfocamos los contenidos en forma especfica sobre los integrales por

partes que en esta oportunidad nos toc realizar.

Queremos agradecer a todos mis compaeros que hicieron posible para hacer realidad el

trabajo que nos design el profesor del curso y por otro lado esperamos que este trabajo

coadyuve a elevar el nivel cultural de todo los estudiantes , para quienes va dedicado todo

nuestro esfuerzo.



INTRODUCCION

El presente trabajo de integrales por partes est dedicado a los estudiantes universitarios

que inicias sus estudios en la Universidad Nacional de Huancavelica en especial para los

estudiantes de ciencias e ingeniera.

En este trabajo trataremos de solucionar las integrales por partes por diferentes mtodos de

acuerdo a algunos autores que nosotros optamos para realizar este trabajo.

Presentamos los diferentes mtodos de integracin por partes con la finalidad de facilitar

l estudi a los alumnos .El objetivo de este trabajo es exponer algunos mtodos , su

importancia y aplicaciones .

Calcularemos integrales por partes, para ello aplicaremos diferentes temas como por

ejemplo, las derivadas de funciones, funciones reales, recta tangente, lmites y continuidad

de una funcin etc. La parte terica y prctica se desarrolla de una manera muy metdica.

Por ultimo deseamos agradecer y expresar nuestro apreci a las personas que hicieron sus

valiosas comentarios y sugerencias para la realidad este trabajo.



MARCO TEORICO

INTEGRACION POR PARTES:

Lzaro, M. (2008). Calculo integral y sus aplicaciones. Segunda edicin Editorial

Moshera.)

Segn moiss lzaro indica que la integracin por partes se aplica cuando en el integrando se

encuentra el producto de dos funciones que pueden ser:

Polinomios por arcos, polinomios por logaritmos, polinomios por senos, polinomios por

cosenos, polinomios por exponencial, senos por exponencial, cosenos por exponencial,

, .

Debemos tener en cuenta lo siguiente.

La funcin (dv) debe ser aquella que se puede

integrar inmediatamente.

Tener cuidado que un solo ejercicio a veces, se tiene

que integrar por partes ms de una vez, o puede resultar una integrar circular.(pg. 49)

Dnde generalizando.

u(x) y v(x) son funciones reales.



Espinoza E. (2010).Anlisis matemtico II .Quinta edicin Editorial eduq Per.),

Consideremos u = f(x) y v = g(x) dos funciones diferenciales en la variable x.

Para diferenciar un producto de dos funciones.

Lo que es equivalente.

, integrando ambos miembros se tiene. (pg.101)

La frmula para la integracin por partes.

Piskunov N. (1977). Calculo diferencial e integral tomo I Tercera edicin, Editorial

Mir Mosc)

Si u y v son dos funciones derivables de x, entonces como sabemos la diferencial del

producto uv es.

Integrando:

Esta es la frmula de integracin por partes la expresin que pueden ser representadas en

forma de un producto de dos factores, u y dv, de tal manera que la bsqueda de la funcin v, a



partir de su diferencial dv, y el clculo de la integracin , constituyan en conjunto un

problema ms simple que el clculo directo de la integral (Pg.385)

Mitacc M. (2009). Tpicos de clculo volumen 2 Tercera edicin, Editorial Thales,

S.R.L.)

Sean u y v dos funciones definidas y derivables en el intervalo I. Por la regla de la

diferencial del producto, se tiene.

Esta frmula es conocida como frmula de integracin por partes.

OBSERVACION:

La idea bsica de la integracin por partes consiste en calcular la integracin original

mediante el clculo de otra integral la cual se espera que sea ms simple de resolver que la

integral original dada.

Para descomponer el elemento de integracin en dos factores u y dv normalmente se elige

como la funcin (u) aquella parte del integrando que se simplifica con la derivacin y dv

ser el factor restante del element de integracin.

Cuando se determina la funcin v a partir de su diferencial dv , no es necesario

considerar la constante de integracin , pues si en lugar de v se considera v +c , c constante

entonces .(pg. . 20)



Esto significa que la constante c, considerada no figura en el resultado final.

Marilla.D. Clculo de funciones, limites, derivadas e integral Sexta edicin, revista)

Sea f(x) o g(x) funciones derivables no intervalo. Tenemos:

[ ] = f(x). (x) +g(x). (x)

O

F(x). [ ] - g(x). (x)

Integrando ambos lados obtenemos:

[ ] d(x) -

O

Observamos que expresando (I) decimos que escribir la constante de integral que puede ser

representado con una constante C que introducimos al final.

U= f(x) du = e v = g(x) dv =

Sustituyendo en (I). (Pg252).

Esta es la frmula de la integracin por partes



MARCO CONCEPTUAL

LA DERIVADA: Es la funcin en el punto marcado equivale a la pendiente de la recta

tangente (la grfica de la funcin est dibujada en rojo; la tangente a la curva est dibujada en

verde

RECTA TANGENTE:

RECTA NORMAL: Se llama normal a una recta perpendicular a otra, en especial a

una tangente por su punto de tangencia.



INTEGRALES: Es la anti derivada de una funcin son operadores inversas

INTEGRACION POR PARTES: Es cuando la funcin que se desea integrar es igual al

producto de dos funciones



AUTOR: MAXIMO MITAC TORO

EDICION: TERCERA

TITULO DEL LIBRO: TOPICOS DE CLCULO VOLUMEN II

1. ejercicio # 28 resuelto pag(21)

Solucin:

Escogemos

{

}

Luego obtenemos

(

)

Ahora integramos para llegar a ms simple posible.

(

)

[

]

Por lo tanto.

(

)

(

)



(

)

(

)

(

)

(

)

Finalmente queda:

[

(

)

]

2. ejercicio #1 propuesto pag(26)

Solucin:

[

]

+c



3. ejercicio #3 propuesto pagi(26)

Solucin:

Ahora aplicamos integrales por partes.

| |

4. ejercicio #4propuesto pag (26)

Solucin:

Primero hacemos cambio de variable

Ahora graficamos en la figura.

1 2x

Ahora recin integramos por partes

Y



[

]

| |

| |

| |

|

|

5.

ejercicio # 5 propuesto pag (26)

Solucin:

Ahora aplicamos la integral por partes



(

) (

)

(

) (

)

6. ejercicio # 7 propuesto pag (26)

Integremos por partes poniendo:

(

)

[

]



Finalmente llegamos al mismo integral entonces reemplazamos.

( )

7. ejercicio # 8 propuesto pagi(26)

Solucin:

[

]

[

]



Finalmente queda as:

( )

8.

Solucin: primero haciendo cambio de variable.

[

]

Integramos el siguiente para simplificar:

[

]



Finalmente queda:

[ ]

Reemplazamos integral principal

9.

Solucin:

Haciendo cambio de variable

*

+Ahora reemplazamos.

Ahora recin aplicamos la integral por partes.

[

]



Finalmente reemplazamos:

10. ejercicio #31 resuelto pag(23)

Solucin:

[

]

Factor izando queda as:



INTEGRALES NIVEL INTERMEDIO

1.

Solucin:

[

]

[

]

Ahora reemplazamos en el integral original.

[

]



2.

Solucin:

Primero hacemos un artificio.

*

+



Solucin:

*

+

| |

| |



[

| | ]

[

| | ]

[

| | ]

3.

Solucin:

Separando la integral en la suma de dos integrales, se tiene.

[

]

8 | |



4.

Solucin:

[

]

[

]

Reemplazamos ahora



[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

Finalmente queda reemplazando todo los valores.

5.

Solucin:

[ ( )

( )

]



( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )



6. ( )

Solucin:

{ ( ) (

)

}

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )



( ) ( )

7.

Solucin:

[ ( )

]

( )

( )

[

]

( )

[

]

( )

[

]

( )

[

]

( )

[

]

( ) ( )



Finalmente queda asi:

( )

[

]

( )

( )

8.

Solucin:

[

]

[

]

K=

(

) ( )



Reemplazando queda as:

[

]

[

]

[ ]

Ahora reemplazamos:

[[ ]]



Finalmente reemplazamos en el integral principal

9. 8

Solucin:

Primero para:

[

]



Solucin:

[

]


10.

Solucin:



[

] Ahora reemplazamos en el integral.

[

]



[

]

[

]




TODO LOS EJERCICIOS DE NIVEL AVANZADO SON PROPUESTOS

I =

dx -

I=

dx -

I=

dx -

I=

dx -

-

I= -

+

-

I= X -

+

:

U = 1+ du = 2x

= ln| | = ln | |

=

=

-

dx

dx -

= arctan x -

U= 1+ du =2x

| |



+

Ln| |

| |

| |

| |

I= x -

| |

(

)

I =

[ ]

I=

u= cos2x du = -2 sen2x

dv= dx v=



u = sen2x

= +2 sen2x - 4 cos2xdx

=

[ ]

[

]

[

]

03. -

.. (Ejercicios n# 37)

I =

:

u =

du =

dv =

v=

I=

-

I=

-



I=

(

)

u=

du=

dv= v=

=

+ c

dv=

v= -

=

+

+c



05.- ( )

(

) (

)

(

) [ ]

(

) [( )]

(

)

(

)



(

)

(

)

06.-

8

v =

(

)

(

)



(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

8 8

:

u=arcos du=

dv= dx v= x



( )

( )

( )

( )

( )



( )

[

]

( )

[

]

( )

[

]

( )

( )

( )

( )

( )

| |



| |

:

dv=

| |

| |

| |



BIBLIOGRAFIA

Moiss Lzaro Carrin, Segunda edicin (2008), Editorial Moshera.

Eduardo Espinoza Ramos, Quinta edicin, (2010), Editorial eduqperu.

N.Piskunov, Tercera edicin, Editorial Mir Mosc (1977).

Mximo Mitacc Meza - Luis Toro Mota, Tercera edicin. (2009), Editorial Thales,

S.R.L.

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