CIRCUITOS RESONANTES

ELECTRONICA ANALOGICA II 5 BTO ELECTRONICA . 2010

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COMPONENTES PASIVOS DE UN CIRCUITO ELECTRICO

1.- INTRODUCCION Los tres componentes pasivos que, en general, forman parte de los circuitos elctricos son los resistores, los inductores y los capacitores. Independientemente de que un circuito elctrico est alimentado por una tensin continua, o una tensin alterna senoidal, o cualquier otra forma de seal, en l se manifestarn siempre efectos de carcter resistivo, inductivo y capacitivo. En efecto, esto es cierto toda vez que se tengan en cuenta las siguientes consideraciones.

1.1.- RESISTOR

Cuando una corriente elctrica i(t) circula a lo largo de un conductor debe vencer la resistencia elctrica R del mismo, dando lugar a una cada de tensin v(t) . La relacin entre la intensidad de la corriente y la cada de tensin en la resistencia est dada por la Ley de Ohm, y es:

Expr. 1

La expresin 1 muestra que la cada de tensin que se produce en la resistencia es directamente proporcional a la intensidad de la corriente que por ella circula. As, el valor numrico de la resistencia elctrica R se convierte en la constante de proporcionalidad entre la cada de tensin y la corriente. La resistencia elctrica R es una propiedad de los materiales conductores de la electricidad, y los componentes elctricos denominados resistores hacen uso de esa propiedad. Un resistor se presenta en la prctica en forma de arrollamiento de alambre, o bien en forma de cilindro cermico recubierto de carbn, o bien como un cilindro recubierto por una pelcula metlica. Cualquiera sea el caso, el valor numrico de la resistencia elctrica R de un resistor se calcula en base a sus caractersticas fsicas mediante la expresin:

Expr. 2

. . . donde se definen:

R = Resistencia elctrica, medida en (ohm). = (lase rho) Resistencia especifica o resistividad del material empleado

para construir el resistor. Su unidad es .mm2/m, o bien .m. l = Longitud del material. Su unidad es el m. S = Seccin transversal del material. Su unidad es el mm2, o bien el m2.

Figura 1: Parmetros empleados para calcular el valor de la resistencia elctrica R de un conductor con forma de alambre

y de cualquier metal cuya resistividad sea conocida. En la figura 2 se muestran las caractersticas constructivas de un resistor del tipo de carbn depositado, muy empleado en los circuitos electrnicos. Las cuatro bandas de colores que aparecen rodeando el cuerpo del resistor responden a un cdigo, y permiten conocer el valor de la resistencia y la tolerancia dentro de la cual se encuentra dicho valor. Colocando el resistor tal como muestra la figura 2 y leyendo de izquierda a derecha, significan:

Primera lnea: Primera cifra significativa. Segunda lnea: Segunda cifra significativa. Tercera lnea: Cantidad de ceros. Cuarta lnea: Tolerancia.


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Figura 2: Aspecto de un resistor del tipo de carbn depositado.

El cdigo de colores es el siguiente:

Negro = 0 (cero). Marrn = 1 (uno). Rojo = 2 (dos). Naranja = 3 (tres). Amarillo = 4 (cuatro). Verde = 5 (cinco). Azul = 6 (seis). Violeta = 7 (siete). Gris = 8 (ocho). Blanco = 9 (nueve).

Dorado = Tolerancia del 5%. Plateado = Tolerancia del 10%.

EJEMPLOS: 1.- Rojo, rojo, rojo, dorado = 2200 al 5%, 2,2 K al 5%. 2.- Rojo, violeta, naranja, dorado = 27000 al 5%, 27 K al 5%. 3.- Amarillo, violeta, amarillo, plateado = 470000 al 10%, 470 K al 10%. 4.- Marrn, negro, negro, dorado = 10 al 5%. 5.- Marrn, dorado, negro, dorado = 1,0 al 5% (el dorado significa coma).

1.2.- INDUCTOR

Una corriente elctrica que circula a lo largo de un conductor genera un campo magntico que es externo al conductor. Este campo magntico se manifiesta en forma de lneas circulares cerradas y concntricas con el conductor.

Figura 3: La corriente I que circula por un conductor rectilneo

produce un campo magntico caracterizado por lneas cerradas circulares y concntricas con el conductor.


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A la totalidad de las lneas de campo magntico que rodean al conductor se la denomina flujo magntico . Este flujo magntico posee una intensidad que es directamente proporcional a la intensidad de la corriente que le dio origen. La relacin entre la intensidad I de la corriente y el flujo magntico es entonces: Expr. 3 . . . donde es: L = inductancia del conductor, y se mide en Henry [H].

Por lo tanto, y desde un punto de vista matemtico, la definicin de la inductancia L es:

Expr. 4

Esto significa que si la intensidad de la corriente sufre una variacin, el flujo magntico se modificar proporcionalmente. En conclusin, la inductancia L es una constante constructiva del inductor, o bien, es la constante de proporcionalidad entre el flujo magntico y la intensidad de la corriente que lo produce.

Los inductores son componentes muy empleados en los circuitos elctricos, y en la mayor parte de los casos se presentan en forma de arrollamientos de alambre conductor, conocidos vulgarmente como bobinas. Este tipo de arreglo resulta prctico para concentrar la mayor cantidad de lneas de campo magntico a partir de un componente (el inductor) del menor tamao posible. Entonces, en un inductor como el descripto el valor numrico de la inductancia L depende de varios factores, a saber:

La forma del arrollamiento (solenoide o circular, rectangular, sediforme, etc.). El nmero N de vueltas o espiras del arrollamiento. El dimetro D medio del arrollamiento. El dimetro d del conductor con que se construye el arrollamiento. La separacin entre espiras contiguas, o paso P del arrollamiento. La longitud l del arrollamiento. La permeabilidad magntica relativa r del ncleo sobre el que se arrolla el conductor.

Figura 4: Aspecto esquemtico de un inductor

de seccin circular o tipo solenoide.

Para un inductor del tipo solenoide monocapa como el que se muestra en la figura 4, y en el

que la longitud l es al menos igual al dimetro D, la inductancia se calcula mediante la expresin:

Expr. 5

. . . siempre que se expresen: [D] = mm. [l] = mm.

En la expresin 5, la permeabilidad magntica relativa r del ncleo del inductor se

define en la siguiente forma:


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Expr. 6

. . . donde son: [H/m] = Permeabilidad magntica absoluta del material magntico del ncleo. o [H/m] = Permeabilidad magntica absoluta del aire o del vaco. r [adimensional] = Permeabilidad magntica relativa del material del ncleo.

Dependiendo de la aplicacin a que estn destinados, los inductores pueden construirse sobre ncleo de aire, o bien sobre ncleos de hierro o de ferrita. En el caso en que el ncleo sea el aire (o el vaco) el r resulta ser igual a 1 (uno). En cambio, los materiales magnticos como el hierro y la ferrita poseen una permeabilidad magntica absoluta mucho mayor que la del aire o; por lo tanto, en estos casos la permeabilidad magntica relativa r resulta ser un nmero mucho mayor que 1 (uno). Evidentemente, el uso de ncleos ferromagnticos permite lograr el valor de inductancia L deseado empleando un nmero de espiras menor al que se debera emplear si el inductor tuviera ncleo de aire.

1.2.1.- ANALISIS DE UN INDUCTOR FRENTE A UNA CORRIE NTE VARIABLE

A partir de la expresin 3, y asumiendo el caso bastante comn en que la corriente que circula a travs del inductor sufra una cierta variacin I, la variacin del flujo magntico asociado ser:

Si ahora relacionamos las variaciones de corriente y flujo con el tiempo tendremos:

Haciendo tender el tiempo a cero tendremos:

Puesto que el primer miembro de la expresin anterior posee unidades de tensin, encontramos que: cuando a travs de un conductor de inductancia L circula una corriente variable (o de derivada no nula), entre los extremos del mismo aparece una tensin auto-inducida vL(t), cuyo valor est dado por la expresin 7:

Expr. 7

La expresin 7 es de carcter general, es decir que es aplicable a cualquier ley de variacin de la corriente. Esto permite analizar el caso particular en el que se pretenda hacer circular una corriente de valor constante a travs del inductor: obsrvese que en tal caso la derivada de la corriente respecto del tiempo ser nula, razn por la cual la tensin auto-inducida entre los extremos del inductor tambin lo ser. En otras palabras, frente a una corriente de valor constante un inductor se comporta como un corto-circuito.

1.3.- CAPACITOR

Cuando aplicamos una diferencia de potencial V entre dos conductores aparecer entre ellos un campo elctrico de intensidad E provocado por la acumulacin de cargas elctricas entre ambos


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conductores. La cantidad total Q de cargas elctricas acumuladas entre ambos conductores es directamente proporcional a la diferencia de potencial aplicada entre los mismos. Matemticamente, la relacin entre la cantidad de carga Q acumulada y la diferencia de potencial V que le dio origen se escribe:

Expr. 8

. . . donde es: C = capacidad elctrica entre los conductores, y se mide en Faraday [F].

Figura 5: Aspecto esquemtico de un capacitor. En la figura de la derecha se describen los parmetros correspondientes a la expresin 7.

La capacidad elctrica es igual a:

Expr. 9

. . . donde son:

= Constante dielctrica del material aislante que separa a ambos conductores. La unidad de es F/m.

S = rea enfrentada de los conductores [m2]. d = Distancia comprendida entre ambos conductores [m].

1.3.1.- ANALISIS DE UN CAPACITOR FRENTE A UNA TENSI ON VARIABLE

Si la tensin V aplicada entre los conductores es variable, se producir una variacin proporcional de la cantidad de carga acumulada, de tal suerte que a partir de la expresin 8 podremos escribir:

Si relacionamos las variaciones de tensin y carga elctrica con el tiempo tendremos:

Haciendo tender el tiempo a cero tendremos:


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El primer miembro de la expresin anterior posee unidades de corriente [A=Coulomb/m]. Por

lo tanto, es posible escribir que:

Expr. 10

En conclusin: cuando se aplica una tensin variable entre dos conductores separados por

un material dielctrico, entre ellos circula una corriente elctrica. En otras palabras, la corriente circula a travs del dielctrico que separa a los conductores (o, al menos, todo ocurre como si dicha corriente circulase. Recurdese que una corriente elctrica no puede circular a travs de un material aislante). El valor de esta corriente est dado por la expresin 10. De la expresin 10 es posible despejar:

Integrando llegamos a que:

Expr. 11

La expresin 11 permite decir que: si se hace circular una corriente i(t) por un circuito formado simplemente por dos conductores enfrentados y separados por cualquier material dielctrico, entre ambos conductores tendremos una diferencia de potencial vc(t). En la expresin 11 debe observarse que sin importar cul sea la ley de variacin de la corriente i(t) que se haga circular entre los conductores, o entre las placas del capacitor, siempre existir una diferencia de potencial vc(t) entre los mismos. Inclusive, dicha corriente puede ser constante. En efecto, si consideramos un capacitor alimentado por una fuente de corriente constante de valor genrico I, tal como se muestra a la izquierda de la figura 6, y aplicamos esta condicin a la expresin 11, tendremos:

La expresin anterior nos muestra que cuando la corriente que circula a travs del capacitor es constante la diferencia de potencial vc(t) entre los extremos del capacitor crece linealmente con el tiempo, tal como se indica en el grfico que se encuentra a la derecha de la figura 6:

Figura 6: Comportamiento de un capacitor alimentado por una fuente de corriente constante.


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CIRCUITOS EN REGIMEN ALTERNO SENOIDAL

1.- INTRODUCCION

Cuando un circuito es alimentado por un generador de tensin alterna senoidal se dice que dicho circuito se encuentra operando en rgimen alterno senoidal. En esta condicin, analizaremos el funcionamiento de circuitos compuestos por cualquier combinacin serie, paralelo o mixta de resistores, inductores y capacitores.

2.- CIRCUITO RESISTIVO PURO Decimos que un circuito es de carcter resistivo puro cuando el generador de tensin alimenta a una red compuesta solamente por resistores. Como sabemos, una tensin alterna senoidal se define matemticamente en la forma:

Expr. 1 . . . donde son: Valor instantneo de la tensin senoidal [V]. Valor mximo o valor pico de la tensin senoidal [V]. Pulsacin o velocidad angular del vector [rad/s]. Frecuencia de la seal senoidal [1/s = Hz].

Figura 1: Circuito resistivo puro alimentado

por un generador de tensin senoidal.

De acuerdo con la Ley de Ohm, la intensidad de la corriente i(t) que circula por el circuito estar dada por la expresin:

. . . donde reemplazamos la expresin 1:

En la expresin anterior se ve que:

Por lo tanto, la expresin final de la corriente que circula por el circuito es:

Expr. 2


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Si comparamos las expresiones 1 y 2 podemos concluir que cuando un circuito resistivo puro es alimentado por una tensin alterna senoidal, la corriente que circula a lo largo del mismo tambin es senoidal. Dicho en otras palabras:

En rgimen alterno senoidal, en un circuito resisti vo puro la tensin y la corriente estn en fase.

Figura 2: Diagramas vectorial y temporal representativos de la tensin y la corriente en un circuito resistivo puro. Los vectores armnicos VMAX e IMAX giran sobre el punto de aplicacin O con una velocidad angular constante.

La fase relativa entre ambos vectores es nula, por lo que se dice que estn en fase. Sus respectivas proyecciones verticales (expresiones 1 y 2) describen a ambas ondas senoidales.

Los diagramas vectoriales de tensin y corriente de la figura 3 nos muestran dos vectores giratorios armnicos que siempre mantienen una relacin de fase de 0. Estos diagramas describen el comportamiento general de un resistor, y puede expresarse de dos maneras diferentes pero igualmente vlidas:

1. Cuando un resistor es alimentado por una tensin alterna senoidal, la corriente que

circula a travs del mismo est en fase con la tensin que la provoca.

2. Si a travs de un resistor se hace circular una corriente alterna senoidal, entre los extremos del mismo se produce una cada de tensin que est en fase con la corriente que le dio origen.

Figura 3: Diagramas vectoriales de tensin y de corriente en distintos instantes de tiempo para un circuito de

carcter resistivo puro. A la derecha de la figura se observa el diagrama fasorial de tensin y corriente en el que los mdulos de los fasores V e I son iguales a los valores eficaces de la tensin y la corriente respectivamente.

En los diagramas vectoriales de la figura 3 los vectores representan los valores mximos de tensin y de corriente. Pero en la prctica, los instrumentos destinados a la medicin de tensin y corriente (voltmetros y ampermetros) indican los valores eficaces de los mismos, y no sus valores mximos. Por lo tanto, para efectuar los clculos es ms adecuado emplear los valores eficaces. Por otra parte, para indicar que entre la tensin y la corriente existe una cierta fase relativa se emplear la notacin fasorial . De esta forma, cuando se trate de un circuito de carcter resistivo puro la notacin fasorial de tensin y corriente correspondiente ser:


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. . . donde son:

Entonces, de acuerdo con la Ley de Ohm, la relacin entre la tensin y la corriente nos proporcionar la expresin compleja de la resistencia :

Expr. 3

En conclusin, y de acuerdo con la expresin 3:

La Resistencia se representa mediante un nmero real puro y de signo positivo.

Figura 4: Obtencin y representacin grfica del vector representativo de la resistencia.

2.1.- POTENCIA EN UN CIRCUITO RESISTIVO PURO La potencia instantnea desarrollada en el circuito resistivo puro se calcula multiplicando las expresiones 1 y 2 entre s. Entonces:

Expr. 4

Tal como sabemos, el seno de un ngulo es una funcin que puede tener signo positivo o negativo dependiendo del cuadrante en que se encuentre el vector al que caracteriza. Por lo tanto, la expresin 4 es siempre positiva, salvo en los instantes para los que se cumpla que . . .


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. . . lo cual ocurre para:

. Por otro lado, la potencia instantnea alcanzar su valor mximo cada vez que se cumpla:

. . . lo cual ocurre cuando se cumple que:

.

El hecho de que en un circuito de carcter resistivo puro la potencia instantnea sea siempre positiva (cuando no nula) se interpreta, desde el punto de vista fsico, como que la potencia entregada por el generador a la carga se convierte permanentemente en trabajo til, disipndose en la resistencia en forma de calor. La figura 5 es la representacin de la tensin aplicada al circuito resistivo, la intensidad de la corriente que por l circula, y la potencia instantnea disipada por la resistencia:

Figura 5: Tensin, corriente y potencia instantneas en rgimen alterno senoidal para un circuito de carcter resistivo puro. La funcin de la potencia instantnea p(t) es siempre positiva (expresin 3) y

se observa que el rea sombreada es igual al rea que resulta de multiplicar P por T. Entonces, el valor medio P de la potencia es igual a la mitad de la potencia mxima PMAX, tal como se demuestra en el texto.

Hallaremos el valor medio P de la potencia en un ciclo integrando la expresin 4. Esto significa encontrar el rea comprendida debajo de la funcin p(t) a lo largo de un perodo y dividirla luego por el valor del perodo T. As:

Expr. 5


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Si tenemos en cuenta que: . . . y que para una seal senoidal los valores mximos de tensin y corriente se relacionan con sus respectivos valores eficaces V e I segn las formas:

. . . reemplazando en la expresin 5 tendremos:

Expr. 6 En conclusin, la expresin 6 nos dice que:

En todo circuito de carcter resistivo puro la pote ncia media desarrollada en la carga es igual al producto entre la tensin e ficaz que la alimenta

y la corriente eficaz que circula por ella.

3.- CIRCUITO INDUCTIVO PURO

Figura 6: Circuito inductivo puro alimentado

por un generador de tensin senoidal.

A partir de la expresin 7 del captulo Componentes Pasivos de un Circuito Elctrico podemos determinar la corriente que circula por el circuito inductivo puro de la figura 6 sabiendo que la tensin que lo alimenta es una seal senoidal:


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Expr. 7

Analicemos la expresin 7. En primer lugar, se observa que cuando se aplica una tensin alterna senoidal a un circuito inductivo puro, la corriente sigue a la funcin del coseno con signo negativo. Dicho en otras palabras:

En un circuito de carcter inductivo puro, la corri ente retrasa 90 respecto de la tensin que le dio orige n.

Figura 7: Diagramas vectorial y temporal de la tensin y la corriente en un circuito inductivo puro. La tensin adelanta 90 respecto de la corriente.

En segundo lugar, se ve que la unidad de no puede ser otra que el Ampre [A]. Por lo tanto, resulta que:

Expr. 8

Entonces, la expresin definitiva de la corriente es:

Expr. 9 En consecuencia, en la expresin 8 el producto tiene como unidad el Ohm [] (vase el apartado 3.1.). 3.1.- REACTANCIA INDUCTIVA El producto recibe el nombre de reactancia inductiva , y se simboliza de la siguiente manera:

Expr. 10

En todo circuito que funcione dentro del rgimen al terno senoidal , se denomina Reactancia Inductiva a la oposicin q ue

un inductor ofrece al paso de la corriente elctric a.


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En la expresin 10 se ve que la reactancia inductiva es una funcin lineal de la frecuencia. En este sentido, la figura 8 representa grficamente la relacin entre la reactancia inductiva y la frecuencia para diversos valores de inductancia L.

Figura 8: Representacin grfica de la reactancia inductiva

en funcin de la frecuencia tomando a la inductancia L como parmetro. Este grfico responde a la expresin 10.

Los inductores son componentes ampliamente usados en circuitos elctricos y electrnicos. Tal como hemos concluido en este mismo apartado, la reactancia que presenta un inductor es linealmente dependiente de la frecuencia. En este sentido, resulta de inters analizar brevemente el particular comportamiento de un inductor en funcin de la frecuencia en un circuito de corriente alterna senoidal:

a. De acuerdo con la expresin 10, cuando la frecuencia del generador es nula (f = 0) la

reactancia inductiva tambin es nula. En otras palabras, en un circuito de corriente continua un inductor se comporta como un corto-circ uito .

b. Por otro lado, y en base a la misma expresin, cuando la frecuencia del generador tiende a infinito la reactancia inductiva tambin tiende a infinito. Es decir que cuando la frecuencia tiende a infinito el inductor se comport a como un circuito abierto .

Los diagramas vectoriales de tensin y corriente de la figura 9 nos muestran dos vectores giratorios armnicos que siempre mantienen una relacin de fase de 90, con el vector tensin adelantando respecto del vector corriente. Esto describe el comportamiento general de un inductor, y puede expresarse de dos maneras diferentes pero igualmente vlidas:

1. Cuando un inductor es alimentado por una tensin alterna senoidal, la corriente que

circula a travs del mismo retrasa 90 respecto de la tensin que la provoca.

2. Si a travs de un inductor se hace circular una corriente alterna senoidal, entre los extremos del mismo se produce una cada de tensin que adelanta 90 respecto de la corriente que le dio origen.


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Figura 9: Diagramas vectoriales de tensin y de corriente en distintos instantes de tiempo para un circuito de carcter inductivo puro. A la derecha de la figura se observa el diagrama fasorial de tensin y corriente en el que los mdulos de los fasores V e I son iguales a los valores eficaces de la tensin y la corriente respectivamente.

En base al mismo anlisis efectuado durante el estudio del circuito resistivo puro, el

comportamiento del circuito inductivo puro quedar descripto matemticamente por la notacin fasorial de la tensin y la corriente. Por lo tanto, atendiendo al diagrama que se encuentra a la derecha de la figura 9, tendremos:

. . . donde son:

Entonces, de acuerdo con la Ley de Ohm, la relacin entre la tensin y la corriente nos proporcionar la expresin compleja de la reactancia inductiva :

Expr. 11

. . . donde son:

En conclusin, y de acuerdo con la expresin 11:

La Reactancia Inductiva Compleja se representa medi ante un nmero imaginario puro y de signo positivo.


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Figura 10: Obtencin y representacin grfica de la reactancia inductiva compleja.

3.2.- POTENCIA EN UN CIRCUITO INDUCTIVO PURO La potencia instantnea puesta en juego en un circuito de carcter inductivo puro se obtiene al multiplicar entre s las expresiones 1 y 9:

Expr. 12

. . . o bien:

Expr. 13 . . . donde V e I son los valores eficaces de la tensin y la corriente, respectivamente. En las expresiones 12 y 13 observamos que en el circuito inductivo puro alimentado por una tensin senoidal la potencia vara tambin en forma senoidal, pero con el doble de frecuencia que aqulla. La figura 11 muestra, en un mismo grfico, las funciones de la tensin, la corriente y la potencia instantneas en un circuito inductivo puro.

Figura 11: Tensin, corriente y potencia instantneas

en un circuito de carcter inductivo puro.


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A partir de la expresin 12 (o 13) podemos calcular la potencia media P puesta en juego en el circuito inductivo. Empleando la definicin de potencia media dada oportunamente tendremos:

Expr. 14

En todo circuito inductivo puro la potencia media P es nula .

Este resultado es evidente. Si atendemos al grfico de la figura 11, y en particular a la funcin de la potencia instantnea, veremos que dicha funcin est compuesta por semi-ciclos positivos y negativos. La interpretacin fsica de este grfico es la siguiente: Durante el semi-ciclo positivo el generador entrega potencia al inductor, mientras que durante el semi-ciclo negativo el inductor le devuelve ntegramente dicha potencia al generador. El inductor no consume potencia alguna. Es por esta interpretacin que un inductor pertenece a la categora de los componentes reactivos .

4.- CIRCUITO CAPACITIVO PURO

Figura 12: Circuito capacitivo puro alimentado

por un generador de tensin senoidal. La expresin 10 del captulo Componentes Pasivos de un Circuito Elctrico nos permitir hallar la corriente que circula por el capacitor cuando es alimentado por una tensin alterna senoidal:

Expr. 15

El anlisis de la expresin 15 arroja los siguientes resultados. En primer lugar vemos que mientras la tensin de alimentacin sigue una funcin senoidal, la corriente est caracterizada por una funcin cosenoidal. Esto significa que:


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En un circuito de carcter capacitivo puro, la corr iente adelanta 90 respecto de la tensin que le dio orig en.

Figura 13 : Diagramas vectorial y temporal de la tensin y la corriente en un

circuito capacitivo puro. La corriente adelanta 90 respecto de la tensin. En segundo lugar vemos que la unidad del producto debe ser el Ampre [A]. Como consecuencia, y debido a la presencia de queda definido el valor de en la forma: Expr. 16 . . .razn por la cual la expresin definitiva de la corriente es:

Expr. 17 La expresin 16 nos permite hallar la relacin entre la tensin y la corriente en un capacitor:

Expr. 18

4.1.- REACTANCIA CAPACITIVA A la relacin entre tensin y corriente en un circuito de carcter capacitivo puro se la denomina reactancia capacitiva . Esta relacin ha quedado definida por la expresin 18, y se la simboliza de la siguiente forma:

Expr. 19

En todo circuito que funcione dentro del rgimen al terno senoidal , se denomina Reactancia Capacitiva a la oposicin que

un capacitor ofrece al paso de la corriente elctri ca.

En la expresin 19 podemos ver que la reactancia capacitiva es funcin inversa de la frecuencia. En este sentido, la figura 14 representa grficamente la relacin entre la reactancia capacitiva y la frecuencia para dos valores diferentes de capacidad C.


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Figura 14: Representacin grfica de la reactancia capacitiva en funcin de la frecuencia tomando a la capacidad C como

parmetro. Este grfico responde a la expresin 19.

Al igual que los inductores, los capacitores son componentes muy empleados en circuitos elctricos y electrnicos. En este mismo apartado hemos llegado a la conclusin de que la reactancia que presenta un capacitor al paso de una corriente elctrica es inversamente proporcional a la frecuencia. Por esta razn resulta de inters analizar brevemente el particular comportamiento de un capacitor en funcin de la frecuencia en un circuito de corriente alterna senoidal: a. De acuerdo con la expresin 19, cuando la frecuencia del generador es nula (f = 0) la

reactancia capacitiva tiende a infinito. En otras palabras, en un circuito de corriente continua constante un capacitor se comporta como un circuito abierto .

b. Por otro lado, y en base a la misma expresin, cuando la frecuencia del generador tiende a

infinito la reactancia capacitiva tiende a cero. Es decir que cuando la frecuencia tiende a infinito el capacitor se comporta como un corto-cir cuito . Los diagramas vectoriales de tensin y corriente de la figura 15 nos muestran dos vectores

giratorios armnicos que siempre mantienen una relacin de fase de 90, con el vector tensin atrasando respecto del vector corriente. Esto describe el comportamiento general de un capacitor, del que se pueden efectuar dos lecturas igualmente vlidas:

1. Cuando un capacitor es alimentado por una tensin alterna senoidal, la corriente que

circula a travs del mismo adelanta 90 respecto de la tensin que la provoca.

2. Si a travs de un capacitor se hace circular una corriente alterna senoidal, entre los extremos del mismo se produce una cada de tensin que atrasa 90 respecto de la corriente que le dio origen.

Figura 15: Diagramas vectoriales de tensin y de corriente en distintos instantes de tiempo para un circuito de carcter capacitivo puro. A la derecha de la figura se ve el diagrama fasorial de tensin y corriente; los

mdulos de los fasores V e I son iguales a los valores eficaces de la tensin y la corriente respectivamente.


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En base al mismo anlisis efectuado en el estudio de los circuitos resistivo puro e inductivo puro, el comportamiento de un circuito capacitivo puro quedar descripto matemticamente por la notacin fasorial de la tensin y la corriente:

. . . donde son:

Por lo tanto, aplicando la Ley de Ohm, la relacin entre la tensin y la corriente nos proporcionar la expresin compleja de la reactancia capacitiva :

Expr. 20

. . . donde son:

Entonces, y de acuerdo con la expresin 20 concluimos que:

La Reactancia Capacitiva Compleja se representa med iante un nmero imaginario puro y de signo negativo.

Figura 16: Obtencin y representacin grfica de la reactancia capacitiva compleja.

4.3.- POTENCIA EN UN CIRCUITO CAPACITIVO PURO La potencia instantnea puesta en juego en un circuito de carcter capacitivo puro se obtiene al multiplicar entre s las expresiones 1 y 17:


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Expr. 21

. . . o tambin:

Expr. 22 . . . donde, nuevamente, V es el valor eficaz de la tensin aplicada al capacitor, e I es el valor eficaz de la corriente que circula a travs del mismo. Al igual que en el caso del circuito inductivo puro, en las expresiones 21 y 22 observamos que en un circuito capacitivo puro alimentado por una tensin senoidal la potencia instantnea vara tambin en forma senoidal, pero con el doble de frecuencia que aqulla. La figura 17 muestra, en un mismo grfico, las funciones de la tensin, la corriente y la potencia instantneas en un circuito capacitivo puro.

Figura 17: Tensin, corriente y potencia instantneas

en un circuito de carcter capacitivo puro. A partir de aqu podramos calcular la potencia media P puesta en juego en el circuito capacitivo a partir de la expresin 21 ( 22). Sin embargo, queda claro que obtendramos el mismo resultado que en el caso del circuito inductivo puro dado por la expresin 15. En definitiva, podemos decir que:

En todo circuito capacitivo puro la potencia media P es nula .

Al igual que en el caso del circuito inductivo, la potencia instantnea en el capacitor (expresin 22) presenta semi-ciclos positivos y negativos. Nuevamente, durante el semi-ciclo positivo el generador entrega potencia al capacitor, mientras que durante el semi-ciclo negativo el capacitor le devuelve ntegramente dicha potencia al generador. El capacitor no consume potencia alguna , y por esta razn tambin pertenece a la categora de los componentes reactivos .


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IMPEDANCIA, ADMITANCIA Y RESONANCIA DE UN CIRCUITO ELECTRICO

1.- INTRODUCCION

Un circuito elctrico pasivo puede estar compuesto por cualquier combinacin de resistores, inductores y capacitores. Tal como se ha visto en el capitulo anterior, cualquiera de estos tres componentes contribuye a limitar la corriente que circula por el circuito puesto que los resistores aportan su resistencia elctrica mientras que los inductores y los capacitores aportan, respectivamente, su reactancia inductiva y su reactancia capacitiva.

2.- CARCTER Y TOPOLOGIA DE UN CIRCUITO ELECTRICO Los diversos circuitos elctricos que se pueden presentar en la prctica se diferencian entre s por su carcter y por su topologa . El carcter de un circuito elctrico queda definido por los componentes que forman parte de l, mientras que su topologa queda definida por la forma en que dichos componentes estn conectados entre s. 2.1.- CARCTER DE UN CIRCUITO ELECTRICO

Resistivo puro. Inductivo puro. Capacitivo puro. Resistivo-Inductivo (o R-L). Resistivo-Capacitivo (o R-C). Inductivo-Capacitivo (o L-C). Resistivo-Inductivo- Capacitivo (o R-L-C).

2.2.- TOPOLOGIA DE UN CIRCUITO ELECTRICO

Circuito Serie. Circuito Paralelo, Circuito Mixto (Combinacin de componentes conectados en serie y en paralelo).

3.- IMPEDANCIA DE UN CIRCUITO ELECTRICO Cualquiera sea el carcter y la topologa del circuito que se trate, la combinacin de los aportes que cada uno de los componentes haga a la limitacin de la corriente que circula por el mismo recibe el nombre de IMPEDANCIA ELCTRICA , y se mide en (Ohm). En definitiva:

La impedancia es la oposicin al paso de la corri ente elctrica que presenta

un circuito formado por resistores y componentes re activos en rgimen alterno senoidal.


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4.- CIRCUITOS TIPO SERIE 4.1.- CIRCUITO R-L SERIE En la figura 1 se muestra un circuito del tipo R-L serie. A partir de los datos que se proporcionan a continuacin, analizaremos inicialmente la resolucin que nos permita calcular la impedancia del circuito y la intensidad de la corriente que circula por el mismo. Los datos son:

Figura 1: Circuito R-L serie. Se indican la corriente y las

dos cadas de tensin que se producen en el mismo. Como ocurre en todo circuito serie, la corriente es el elemento comn a los componentes del mismo. En nuestro caso, dicha corriente produce dos cadas de tensin que sumadas deben verificar la Segunda Ley de Kirchoff; de esta manera, es posible escribir:

Expr. 1 Hasta aqu desconocemos los valores de estas cadas de tensin puesto que no conocemos el valor de la corriente. Sin embargo, es posible plantear un principio de solucin si aplicamos los conceptos adquiridos en el captulo titulado Circuitos en Rgimen Alterno Senoidal. En efecto, sabemos que:

La cada de tensin en la resistencia (fasor VR) est en fase con la corriente (fasor I). La cada de tensin en el inductor (fasor VL) adelanta 90 respecto de la corriente (fasor I).

Esto nos permitir trazar un diagrama vectorial cualitativo de corriente y tensin, tal como el

que se observa en la figura 2:

Figura 2: Diagrama vectorial de corriente

y tensiones del circuito R-L serie. El diagrama de la figura 2 responde a la expresin 1. En el mismo se observa que el vector representativo de la tensin V forma un ngulo con el vector representativo de la corriente I. Este ngulo representa el desfasaje resultante entre tensin y corriente, y se ve que la tensin adelanta respecto de la corriente. El valor del ngulo depende de los valores de los mdulos de VR y VL pero, por tratarse de un circuito R-L serie, dicho ngulo ser siempre positivo. En base al diagrama de la figura 2, la expresin 1 se puede reescribir en la forma:


23-68

Expr. 2 De la expresin 2 es posible obtener el mdulo del vector V aplicando el Teorema de Pitgoras, y el ngulo del vector V empleando la trigonometra; entonces, sucesivamente:

Expr. 3

Expr. 4

En resumen, si tomamos el vector de corriente como referencia, los fasores de corriente y tensin del circuito R-L sern, en general:

Expr. 5

Expr. 6 Si ahora dividimos cada uno de los fasores del diagrama de tensiones de la figura 2 por el fasor de la corriente, obtendremos el diagrama de impedancia correspondiente al circuito R-L, tal como se muestra en la figura 3:

Figura 3: Obtencin del diagrama de impedancias

a partir del diagrama de tensiones. El diagrama (o tringulo) de impedancia de la figura 3 nos muestra que la impedancia Z de nuestro circuito es un vector que, en general, puede escribirse en la forma exponencial, o bien en la forma binmica; ambas formas se indican, respectivamente, en las expresiones 7 y 8:

Expr. 7

Expr. 8 Mediante la aplicacin del Teorema de Pitgoras podremos calcular el mdulo Z del vector impedancia, tal como indica la expresin 9, y mediante la expresin 10 calcularemos el ngulo de dicho vector:

Expr. 9

Expr. 10

Ahora estamos en condiciones de calcular la impedancia del circuito. En primer lugar, calcularemos la reactancia inductiva XL:


24-68

Mediante la expresin 9 calculamos el mdulo de la impedancia:

Mediante la expresin 10 calculamos el argumento (o ngulo) de la impedancia:

En definitiva, el valor de la impedancia de nuestro circuito R-L es:

. . . o bien, expresada en su forma binmica:

Esta ltima expresin es la que permite dibujar el diagrama o triangulo de impedancias del circuito que estamos analizando, y que se representa en la figura 4:

Figura 4: Diagrama o tringulo de impedancias del circuito R-L del ejemplo (en escala).

Ahora, conociendo los valores de las componentes de la impedancia del circuito (R y XL), podremos calcular la intensidad de la corriente que circula por el mismo. Puesto que poseemos el dato de la tensin de alimentacin, aplicaremos la Ley de Ohm:

El resultado obtenido muestra que dado que el circuito es de carcter inductivo, la corriente debe estar atrasada respecto de la tensin de alimentacin. A partir de aqu estamos en condiciones de calcular las cadas de tensin que se producen en el circuito.

La cada de tensin en el resistor es:


25-68

Con este resultado vemos que, como no poda ser de otra manera, la cada de tensin en el resistor est en fase con la corriente. Por otra parte, la cada de tensin en el inductor vale:

Como era previsible, este resultado nos confirma que la cada de tensin en el inductor adelanta 90 respecto de la corriente.

Figura 5: Resumen grfico de los resultados obtenidos del circuito R-L serie.

Este diagrama recibe el nombre de triangulo de tensiones. 4.2.- CIRCUITO R-C SERIE

Figura 6: Circuito R-C serie. Se indican la corriente y las

dos cadas de tensin que se producen en el mismo.

Para el circuito de la figura 6 propondremos los siguientes datos:

Nuevamente, y por tratarse de un circuito serie, la corriente es el elemento comn a los componentes del mismo. Dicha corriente (hasta aqu de valor desconocido) produce dos cadas de tensin que sumadas deben verificar la Segunda Ley de Kirchoff; de esta manera, es posible escribir:


26-68

Expr. 11 Los valores de estas cadas de tensin tambin se desconocen. Pero, otra vez, es posible plantear una solucin aplicando los conceptos resultantes del captulo de Circuitos en Rgimen Alterno Senoidal. All concluimos que:

La cada de tensin en la resistencia (fasor VR) est en fase con la corriente (fasor I). La cada de tensin en el capacitor (fasor VC) atrasa 90 respecto de la corriente (fasor I).

. . . en base a lo cual podremos trazar un diagrama vectorial cualitativo de corriente y tensin, tal como el que se representa en la figura 7:

Figura 7: Diagrama vectorial de corriente y tensiones del circuito R-C serie.

El diagrama de la figura 7 es la representacin grfica de la expresin 11. En l se ve que el vector representativo de la tensin V forma un ngulo con el vector representativo de la corriente I. Este ngulo representa el desfasaje resultante entre la tensin de alimentacin del circuito y la corriente, y se aprecia que la tensin adelanta respecto de la corriente. El valor del ngulo depende de los valores de los mdulos de VR y VC pero, por tratarse de un circuito R-C serie, dicho ngulo ser siempre negativo. En base al diagrama de la figura 7, la expresin 11 se puede reescribir en la forma:

Expr. 12 De la expresin 12 se obtiene el mdulo del vector V aplicando el Teorema de Pitgoras, y tambin el ngulo del vector V empleando la trigonometra; entonces, sucesivamente:

Expr. 13

Expr. 14

En resumen, si tomamos el vector de corriente como referencia, los fasores de corriente y tensin del circuito R-C sern, en general:

Expr. 15

Expr. 16 Dividiendo cada uno de los fasores del diagrama de tensiones de la figura 7 por el fasor de la corriente, obtendremos el diagrama o tringulo de impedancias del circuito R-C, que se muestra en la figura 8:


27-68

Figura 8: Obtencin del diagrama de impedancias

a partir del diagrama de tensiones. La composicin entre los vectores representativos de la resistencia y de la reactancia capacitiva nos ha dado como resultado el vector representativo de la impedancia. Este vector puede ser expresado en cualquiera de las dos formas siguientes, segn la necesidad operativa:

Expr. 17

Expr. 18 El Teorema de Pitgoras nos permitir calcular el mdulo Z del vector impedancia (expresin 19), mientras que la trigonometra nos permitir calcular el ngulo de dicho vector (expresin 20):

Expr. 19

Expr. 20

Para calcular la impedancia del circuito, en primer lugar, hallaremos el valor de la reactancia capacitiva XC:

Mediante la expresin 19 calculamos el mdulo de la impedancia:

Mediante la expresin 20 calculamos el argumento (o ngulo) de la impedancia Z:

Por lo tanto, el valor de la impedancia de nuestro circuito R-C es, expresado en forma exponencial:

. . . mientras que expresado en forma binmica es:


28-68

Esta ltima expresin permite dibujar, en escala, el tringulo de impedancias correspondiente al circuito bajo anlisis:

Figura 9: Diagrama o tringulo de impedancias del circuito R-C del ejemplo (en escala).

Conociendo el valor de la impedancia del circuito, podremos calcular la intensidad de la corriente que circula por el mismo aplicando la Ley de Ohm:

Tal como era de esperar, el carcter capacitivo de la impedancia del circuito hace que la corriente est adelantada un cierto ngulo respecto de la tensin de alimentacin. Luego, el conocimiento del valor de la corriente permite calcular los valores de las cadas de tensin que se producen en el circuito.

La cada de tensin en el resistor es:

Nuevamente, la cada de tensin en el resistor est en fase con la corriente. Por otra parte, la cada de tensin en el capacitor vale:

Se verifica que la cada de tensin en el capacitor retrasa 90 respecto de la corriente. Con los resultados obtenidos podemos construir el diagrama vectorial de tensiones, que tambin se denomina tringulo de tensiones. Este diagrama se encuentra representado en la figura 10, y en l se aprecia la relacin de fase entre cada una de las cadas de tensin, la tensin de alimentacin y la corriente que circula por el circuito.


29-68

Figura 10: Diagrama vectorial de tensiones del circuito R-L serie. 4.3.- CIRCUITO R-L-C SERIE

Figura 11: Circuito R-L-C serie. Se indican la corriente y las

tres cadas de tensin que se producen en el mismo.

Para el circuito de la figura 11 propondremos los mismos valores de componentes empleados en los dos ejemplos anteriores. As, los datos son los siguientes:

Puesto que ya conocemos los valores de las reactancias inductiva y capacitiva, podemos dibujar en forma inmediata, y en escala, el diagrama de impedancias correspondiente a este circuito:

Figura 12: Construccin del diagrama de impedancias del circuito R-L-C serie.


30-68

El diagrama de impedancias de la figura 12 responde a la siguiente expresin matemtica:

. . . o bien:

Expr. 21 El mdulo Z del vector impedancia ser calculado mediante el Teorema de Pitgoras:

Expr. 22 . . . mientras que el argumento de dicho vector se obtiene de la expresin:

Expr. 23

Luego, los resultados obtenidos a partir de las expresiones 22 y 23 nos permitirn escribir el valor del vector impedancia en su forma exponencial ya conocida, que es:

Expr. 24 Entonces, si reemplazamos los valores conocidos en la expresin 21 tendremos:

Este ltimo resultado pone de manifiesto que el circuito R-L-C que hemos planteado posee una impedancia equivalente formada por una resistencia de 100 conectada en serie con un inductor cuya reactancia es de 135,5 cuando la frecuencia del generador es de 50 Hz . Aqu debe observarse que si el valor de la frecuencia fuese otro, la componente imaginaria XL-XC tambin poseera un valor diferente al actual, puesto que tanto XL como XC dependen de la frecuencia.

Mediante la expresin 22 calcularemos el modulo Z de la impedancia:

Mediante la expresin 23 calcularemos el argumento de la impedancia:

Por lo tanto, la notacin exponencial de la impedancia de este circuito es:

La corriente que circula por el circuito es:


31-68

La cada de tensin en cada uno de los componentes es:

Figura 13: Construccin en escala del diagrama fasorial de tensiones del circuito R-L-C serie. El diagrama de la izquierda representa a cada una de las cadas de tensin con su ngulo de fase respecto de la corriente. El diagrama central representa la suma vectorial de las cadas

de tensin. El diagrama de la derecha es el resultado de dicha suma.

Figura 14: Diagrama vectorial de tensiones y corriente del circuito R-L-C serie. A la derecha se observan las seales senoidales correspondientes a cada una

de las cadas de tensin, la tensin de alimentacin y la corriente. Estas seales son el resultado de los vectores giratorios armnicos.


32-68

En este punto resulta de inters analizar qu ocurre a la hora de efectuar mediciones de tensin y corriente en los circuitos de corriente alterna senoidal que contienen componentes reactivos. Tal como hemos visto en el presente captulo, tensiones y corrientes estn caracterizadas por un mdulo que equivale a su valor numrico, y por un argumento o ngulo que se mide respecto de un eje de referencia. En otras palabras, las tensiones y las corrientes son magnitudes vectoriales (rigurosamente, fasoriales). Pero la gran mayora de los instrumentos de medicin (voltmetros y ampermetros, tanto analgicos como digitales) que se emplean en la prctica slo miden el mdulo (el valor eficaz) de la tensin o de la corriente, pero no la fase.

Con el fin de dejar en claro lo expresado, la figura 15 muestra el circuito R-L-C serie bajo anlisis en el que se han incluido cinco voltmetros destinados a medir simultneamente las cadas de tensin y la tensin de alimentacin. El valor de tensin indicado por cada uno de los voltmetros ser:

El voltmetro V1 indica el valor eficaz de la cada de tensin en el resistor R, es decir, el mdulo del fasor VR. O sea: VR = 60,7 V.

El voltmetro V2 indica el valor eficaz de la cada de tensin en el capacitor C, es decir, el mdulo del fasor VC. O sea: VC = 60,7 V.

El voltmetro V3 indica el valor eficaz de la cada de tensin en el inductor L, es decir, el mdulo del fasor VL. O sea: VL = 143 V.

El voltmetro V4 indica la sumatoria entre el valor eficaz de la cada de tensin en el capacitor C y el valor eficaz de la cada de tensin en el inductor L (la diferencia de potencial entre el borne izquierdo del capacitor y el borne derecho del inductor), es decir, el mdulo del fasor VL- VC. O sea: VL-VC = 82,3 V.

El voltmetro V5 indica el valor eficaz de la tensin de alimentacin, es decir, el mdulo del

fasor V. O sea: V = 100 V.

Figura 15: Medicin de tensiones en el circuito R-L-C serie.

(Ver texto). 4.3.1.- POTENCIA EN EL CIRCUITO R-L-C SERIE Luego de haberse calculado la impedancia, la corriente y las cadas de tensin del circuito, resulta de inters determinar cul es la potencia elctrica puesta en juego en el mismo. Teniendo en cuenta que los circuitos analizados en el apartado 4 del presente captulo estn conformados por componentes disipativos (los resistores) y por componentes reactivos (los inductores y/o los capacitores), ser necesario evaluar qu cantidad de potencia es disipada en forma de calor (trabajo til) y qu cantidad de potencia es devuelta por los componentes reactivos al generador (trabajo no til).

Para dar continuidad al anlisis que venimos desarrollando, y sin desmedro de los circuitos R-L y R-C serie, adoptaremos el caso del circuito R-L-C serie por ser el de carcter ms general. Para ello haremos uso de la figura 16. A la izquierda de dicha figura se reitera el diagrama de tensiones de la figura 13, y que da lugar al triangulo de tensiones que se observa en el centro de la


33-68

figura 16. Entre los catetos e hipotenusa de este tringulo rectngulo se cumplen las siguientes relaciones trigonomtricas:

. . . de la que se obtiene que:

Expr. 25

. . . de la que se obtiene que:

Expr. 26

Figura 16: Tringulo de tensiones y obtencin del tringulo de potencias

del circuito R-L-C serie.

Es sabido que si se multiplican los lados de un tringulo por un mismo nmero se obtiene como resultado un tringulo semejante (con idnticos ngulos internos que el primero). En este sentido, si multiplicamos cada uno de los lados del tringulo rectngulo de las tensiones por el mdulo de la corriente obtendremos el tringulo de potencias, que se observa a la derecha de la figura 16. En efecto, si multiplicamos la expresin 25 por la corriente I obtendremos:

Expr. 27 La expresin 27 representa la Potencia Activa P , que se desarrolla en la resistencia R y que, por lo tanto, se disipa en forma de calor. En otras palabras, es la potencia eficaz o til, y se mide en Watt [W].

Por otra parte, si multiplicamos la expresin 26 por la corriente I tendremos:

Expr. 28

La expresin 28 representa la Potencia Reactiva Q , que es la potencia que,

alternativamente, el generador entrega a los componentes reactivos del circuito y que stos devuelven ntegramente al generador. Por lo tanto, sta es una potencia que se genera pero que no se aprovecha. La potencia reactiva se mide en una unidad denominada Volt-Ampre-Reactivo, y se simboliza [V.A.R].

Por ltimo, si multiplicamos la tensin de alimentacin V del circuito (la hipotenusa del

tringulo rectngulo) por la corriente I tendremos:

Expr. 29


34-68

La expresin 29 representa la Potencia Aparente S , que es la potencia total que el generador entrega al circuito. La unidad en que se mide la potencia aparente es el Volt-Ampre, que se simboliza [V.A].

As, estamos en condiciones de calcular los valores de las potencias del circuito R-L-C serie.

Aplicando la expresin 27, la Potencia Activa P vale:

Empleando la expresin 28, la Potencia Reactiva Q es:

Con la expresin 29 obtenemos la Potencia Aparente S:

4.3.2.- RESONANCIA DEL CIRCUITO R-L-C SERIE

En el anlisis de la impedancia del circuito R-L-C serie (apartado 4.3 de este captulo) se

concluy que el carcter de la componente imaginaria XL-XC depende exclusivamente de la frecuencia una vez que se han fijado los valores de L y C. Es decir que, segn sea el valor de la frecuencia, la serie L-C se podr comportar como un inductor equivalente, o bien como un capacitor equivalente.

Pero tambin puede ocurrir que la componente imagin aria de la impedancia sea nula.

Expr. 30

. . . o bien:

Expr. 31 . . . o bien:

Expr. 32

La igualdad de la expresin 32 puede cumplirse en las siguientes tres condiciones:

Cuando la inductancia posea el valor particular L=L O dado por la expresin:

Expr. 33

Cuando la capacidad posea el valor particular C=CO dado por la expresin:

Expr. 34


35-68

Cuando la frecuencia posea el valor particular f=fO, denominada frecuencia de resonancia , que est dado por la expresin:

Expr. 35

Se dice que un circuito tipo serie se encuentra e n estado de resonancia cuando la componente imaginaria de su impedancia es nula.

En definitiva, el cumplimiento de cualquiera de las tres condiciones analizadas hace que la componente imaginaria de la impedancia se anule, razn por la cual la expresin 21 se convierte en:

Expr. 36 La expresin 36 permite adelantar algunas conclusiones iniciales de suma importancia: 1. Cuando el circuito R-L-C serie se encuentra en estado de resonancia la impedancia del

mismo alcanza su valor mnimo, y ste coincide con el valor de la resistencia R.

2. Puesto que la impedancia alcanza su valor mnimo, el valor de la corriente del circuito es el mximo posible.

3. Puesto que la impedancia del circuito es de carcter resistivo puro, la corriente del circuito est en fase con la tensin de alimentacin, es decir que =0.

4. La potencia reactiva Q es nula.

5. La potencia activa P es igual a la potencia aparente S. Entonces, continuando con nuestro ejemplo de circuito R-L-C serie, calcularemos el valor de

la frecuencia que debera tener el generador de tensin para que el circuito entre en estado de resonancia. Posteriormente determinaremos las consecuencias mediatas que se desprenden de dicho estado.

Reemplazando los valores conocidos de L y C en la expresin 35 tendremos:

Por lo tanto, y de acuerdo con la expresin 36, la impedancia en estado de resonancia es:

En consecuencia, el nuevo valor de la corriente, que es la corriente de resonancia, ser:

Puesto que la frecuencia de funcionamiento del generador ha sido modificada, ser necesario calcular los nuevos valores de las reactancias inductiva y capacitiva (XLO y XCO


36-68

respectivamente). Pero, en base a la expresin 31, sabemos que los mdulos de ambas reactancias deben ser iguales. Entonces:

Ahora podemos calcular el nuevo valor de la cada de tensin en cada uno de los componentes:

En los resultados obtenidos se puede apreciar que, en primer lugar, los vectores representativos de las reactancias inductiva y capacitiva poseen mdulos idnticos, pero entre ellos existe un ngulo de 180 (se encuentran sobre la mi sma recta de accin pero con sentidos opuestos). Esto hace que, en estado de resonancia, ambos vectores se cancelen mutuamente (se cumple la expresin 30). Como consecuencia, el vector impedancia queda representado slo por el vector representativo de la resistencia (expresin 36). En segundo lugar, y en absoluta concordancia con lo anterior, ocurre lo mismo con los vectores representativos de las cadas de tensin en el inductor y en el capacitor: ambas cadas de tensin se cancelan mutuamente, razn por la cual la cada de tensin en la resistencia es igual a la te nsin de alimentacin . Estos resultados se encuentran representados grficamente en la figura 17. A la izquierda de la misma se aprecia el diagrama de tensiones del circuito R-L-C serie; en este diagrama se debe observar que el ngulo de desfasaje entre la corriente y la tensin de alimentacin es nulo. A la derecha de la figura 17 se muestra el diagrama de impedancias.


37-68

Figura 17: Diagramas de tensiones y de impedancias (en escala) correspondiente al circuito R-L-C serie en estado de resonancia.

Supongamos ahora que volvemos a implementar el circuito de medicin representado en la figura 15 teniendo en cuenta que nuestro circuito R-L-C serie se encuentra en estado de resonancia . En estas condiciones encontraremos que el valor de tensin indicado por cada uno de los voltmetros ser:

El voltmetro V1 indica el valor eficaz de la cada de tensin en el resistor R, es decir, el mdulo del fasor VR. O sea: VR = 100 V.

El voltmetro V2 indica el valor eficaz de la cada de tensin en el capacitor C, es decir, el mdulo del fasor VC. O sea: VC = 153,1 V.

El voltmetro V3 indica el valor eficaz de la cada de tensin en el inductor L, es decir, el

mdulo del fasor VL. O sea: VL = 153,1 V.

El voltmetro V4 indica la sumatoria entre el valor eficaz de la cada de tensin en el capacitor C y el valor eficaz de la cada de tensin en el inductor L (la diferencia de potencial entre el borne izquierdo del capacitor y el borne derecho del inductor), es decir, el mdulo del fasor VL- VC. O sea: VL-VC = 0 V (pues ambos fasores son iguales y opuestos).

El voltmetro V5 indica el valor eficaz de la tensin de alimentacin, es decir, el mdulo del

fasor V. O sea: V = 100 V. 4.3.2.a.- POTENCIA EN EL CIRCUITO R-L-C SERIE EN ESTADO DE RESONANCIA

Aplicando la expresin 27, la Potencia Activa P vale:

Empleando la expresin 28, la Potencia Reactiva Q es:


38-68

Con la expresin 29 obtenemos la Potencia Aparente S:

A partir de los resultados obtenidos podemos concluir que:

Cuando el circuito se encuentra en estado de resona ncia, la totalidad de la potencia S entregada por el gene rador al circuito

se convierte en ste en la potencia til P.

Figura 18: Diagramas de potencias correspondiente

al circuito R-L-C serie en estado de resonancia.

5.- CIRCUITOS TIPO PARALELO 5.1.- CIRCUITO R-L PARALELO Para efectuar el anlisis de este circuito propondremos los siguientes datos:

Figura 19: Circuito R-L paralelo. Se indican las corrientes que circulan por cada uno de los componentes del circuito.

En el circuito de la figura 19 vemos un resistor y un inductor alimentados por un nico generador que provee una tensin V a una determinada frecuencia. En base a los conocimientos adquiridos en el captulo Circuitos en Rgimen Alterno Senoidal sabemos que la corriente IR que circula por el resistor R est en fase con la tensin de alimentacin, mientras que la corriente IL que circula por el inductor L retrasa 90 respecto de la misma tensin. Por lo tanto, si tomamos como referencia al fasor tensin V, podremos dibujar el diagrama fasorial de corrientes correspondiente a este circuito. Dicho diagrama se representa en la figura 20:


39-68

Figura 20: Diagrama fasorial de corrientes del circuito R-L paralelo (en escala).

En consecuencia, la intensidad de la corriente total I se podr calcular aplicando la Primera Ley de Kirchoff, la cual se verificar efectuando la suma vectorial entre las corrientes que circulan por ambas ramas. Dicha ley se escribe en la forma general:

Expr. 37 . . . que, de acuerdo con el diagrama de la figura 20, se convierte en:

Expr. 38 La intensidad de la corriente IR es:

Expr. 39

La intensidad de la corriente IL es:

Expr. 40

Ahora, si deseamos calcular el valor de la corriente total deberemos sumar vectorialmente (expresin 38) los valores de las corrientes IR e IL obtenidos a partir de las expresiones 39 y 40 respectivamente:

De acuerdo con el Teorema de Pitgoras, el mdulo I de esta corriente es:

El argumento de la corriente es:


40-68

En conclusin, el valor de la corriente total es:

5.1.a.- RESOLUCION POR ADMITANCIAS

Si reemplazamos las expresiones 39 y 40 en la expresin 37 tendremos:

Expr. 41

. . . desde donde, operando, se obtiene que:

Expr. 42

En la expresin 42, es el vector admitancia del circuito. Como puede verse, el primer miembro de esta expresin es el cociente entre la corriente total y la tensin de alimentacin. Es decir que:

La admitancia de un circuito es igual a la inversa de la impedancia del mismo. La unidad de la expresin 42 es:

Expr. 43

En la expresin 43 se han definido las siguientes componentes de la admitancia:

Expr. 44

Expr. 45

Entonces, la expresin 41 se convierte en:

Expr. 46 Si expresamos el vector admitancia en su forma exponencial tendremos, sucesivamente:


41-68

Expr. 47

Expr. 48

Expr. 49

Reemplazando valores en la expresin 48 obtenemos el valor del mdulo de :

Reemplazando valores en la expresin 49 obtenemos el valor del argumento de :

En definitiva, el vector admitancia vale (expresin 47):

A partir de la expresin 46 podemos calcular la corriente total que provee el generador:

Como se ve, este resultado, obtenido por aplicacin del mtodo de las admitancias, coincide con el obtenido mediante la suma vectorial de las corrientes parciales del circuito. 5.1.b.- IMPEDANCIA EQUIVALENTE DEL CIRCUITO R-L PAR ALELO El objetivo del siguiente anlisis consiste en hallar la combinacin ms simple posible de componentes que d como resultado un valor de impedancia equivalente al de la impedancia del circuito paralelo propuesto. Dos circuitos de diferentes topologas que alimentados por el mismo valor de tensin hacen circular corrientes iguales, poseen idnticas impedancias.

La impedancia del circuito se podr calcular bien aplicando la Ley de Ohm, o bien como la inversa de la admitancia. Es decir que podemos escribir:


42-68

A la izquierda de la figura 21 se ha representado grficamente el resultado obtenido de la impedancia. En dicho grfico se ha adoptado el eje horizontal como referencia (0). El vector impedancia est formado por dos componentes cartesianas ortogonales cuyos valores se obtienen mediante la aplicacin de la trigonometra.

Figura 21: Obtencin de las componentes equivalentes serie del circuito R-L paralelo.

La componente horizontal, o componente real de la impedancia es:

. . . mientras que la componente vertical, o componente imaginaria es:

Este valor de XL se debe a un inductor L cuyo valor es:

Figura 22: Equivalencia de impedancias entre

un circuito paralelo y un circuito serie (ver texto).


43-68

5.2.- CIRCUITO R-C PARALELO Para efectuar el anlisis de este circuito propondremos los siguientes datos:

Figura 23: Circuito R-C paralelo. Se indican las corrientes que circulan por cada uno de los componentes del circuito.

En el circuito de la figura 23 sabemos reconocer que la corriente IR que circula por el resistor R est en fase con la tensin de alimentacin, mientras que la corriente IC que circula por el capacitor C adelanta 90 respecto de la misma tensin. Nuevamente, la intensidad de la corriente total se calcular aplicando la Primera Ley de Kirchoff, efectuando la suma vectorial entre las corrientes que circulan por ambas ramas. As:

Expr. 50 En base a lo expresado, si tomamos como referencia al fasor tensin V, podremos dibujar el diagrama fasorial de corrientes correspondiente a este circuito. Dicho diagrama se representa en la figura 24:

Figura 24: Diagrama fasorial de corrientes

del circuito R-C paralelo (en escala). Entonces, de acuerdo con el diagrama de la figura 24, la expresin 50 se convierte en:

Expr. 51 La intensidad de la corriente IR es:

Expr. 52


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La intensidad de la corriente IC es:

Expr. 53

Para calcular el valor de la corriente total debemos sumar vectorialmente (expresin 51) los valores de las corrientes IR e IC obtenidos a partir de las expresiones 52 y 53 respectivamente:

De acuerdo con el Teorema de Pitgoras, el mdulo I de esta corriente es:

El argumento de la corriente es:

En conclusin, el valor de la corriente total es:

5.2.a.- RESOLUCION POR ADMITANCIAS

Reemplazando las expresiones 52 y 53 en la expresin 50 tendremos:

Expr. 54

De la expresin 54 obtenemos la admitancia del circuito:

Expr. 55

Expr. 56

En la expresin 56 se han definido las siguientes componentes de la admitancia:


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Expr. 57

Expr. 58

Entonces, a partir de la expresin 55, y reemplazando por la expresin 56, tendremos:

Expr. 59 Expresando el vector admitancia en su forma exponencial tendremos, sucesivamente:

Expr. 60

Expr. 61

Expr. 62

Reemplazando valores en la expresin 61, el valor del mdulo de es:

Reemplazando valores en la expresin 62, el valor del argumento de es:

En definitiva, el vector admitancia vale, de acuerdo con la expresin 60:

La expresin 59 permite calcular la corriente total que provee el generador:

Nuevamente, este resultado, obtenido por aplicacin del mtodo de las admitancias, coincide con el obtenido mediante la suma vectorial de las corrientes parciales del circuito.


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5.3.- CIRCUITO L-C PARALELO IDEAL Analizaremos el comportamiento de un circuito L-C paralelo ideal . Esto significa que consideraremos que tanto el inductor L como el capacitor C no presentan resistencia de prdida alguna, o, en otras palabras, el inductor L est construido con un alambre cuya conductividad es infinitamente alta (o su resistividad es nula), y el capacitor C posee un dielctrico perfecto. Este circuito se encuentra representado en la figura 25:

Figura 25: Circuito L-C paralelo ideal.

Teniendo en cuenta el concepto de admitancia estudiado anteriormente, la impedancia compleja del circuito paralelo de la figura 25 se puede escribir como la inversa de la admitancia.

Expr. 63

A su vez, la admitancia total del circuito se puede escribir como la suma de las susceptancias

de cada rama:

Expr. 64

Operando sobre la expresin 64 se llega a que:

Expr. 65

A continuacin, analizaremos el comportamiento del mdulo de la admitancia compleja P. Supongamos por un momento que el generador que entrega una tensin senoidal de valor eficaz V, nos permitiera modificar su frecuencia entre los siguientes lmites. . .

Entonces, cuando la frecuencia del generador sea igual a cero (corriente continua) el mdulo de la admitancia YP ser infinitamente alta (o el mdulo de su impedancia ZP ser nulo) puesto que, en estas condiciones, el inductor L se comporta como un corto-circuito (y el capacitor C como un circuito abierto). En efecto, para frecuencia nula ser:

En el otro extremo, cuando la frecuencia del generador tienda a infinito, el mdulo de la admitancia YP tambin ser infinitamente alta (o el mdulo de la impedancia ZP ser nulo), pero esta vez ser debido a que el capacitor C se comporta como un corto-circuito (mientras que el inductor L se comporta como un circuito abierto). En efecto, para frecuencia infinitamente alta ser:


47-68

Como vemos, la admitancia es infinitamente alta en ambos extremos del espectro de frecuencias. Sin embargo, en la expresin 65 podemos ver que debe existir un valor de frecuencia para el cual se cumpla que el mdulo de la admitancia YP sea nulo (por lo que la impedancia ZP ser infinitamente alta). En efecto, puede ocurrir que:

. . . cuando se cumpla la igualdad:

. . . o bien:

. . . de lo que resulta que:

Expr. 66

En la expresin 66 la frecuencia fO recibe el nombre de frecuencia de resonancia.

La frecuencia de resonancia de un circuito L-C paralelo ideal

es el valor de frecuencia para el cual la admitancia del circuito es nula, o bien, la impedancia del circuito se hace infinitamente alta.

En otras palabras, un circuito L-C paralelo ideal en estado de resonancia se comporta como un verdadero circuito abierto. Por lo tanto, cuando la frecuencia de la seal del generador de tensin coincida con la frecuencia de resonancia fO del circuito, la intensidad de la corriente (figura 25) ser nula. Pero esto no significa que a travs del inductor L y del capacitor C no circule corriente . En efecto, si en el circuito de la figura 25 aplicamos la Primera Ley de Kirchoff veremos que se cumple que:

. . . de lo que resulta que:

Expr. 67 La expresin 67 pone de manifiesto que, en estado de resonancia, a travs del inductor L circula una corriente IL cuya intensidad es exactamente igual a la de la corriente IC que circula por el capacitor C, pero de sentido opuesto a sta. Aqu debemos recordar que, en rgimen alterno senoidal, la corriente que circula a travs de un inductor retrasa 90 respecto de la tensin que la provoca, mientras que en un capacitor la corriente adelanta 90 respecto de la misma tensin. Esta ltima idea y la expresin 67 aparecen representadas en forma fasorial en la figura 26:


48-68

Figura 26: Circuito L-C paralelo ideal en estado de resonancia.

En otras palabras, las corrientes IL e IC de la figura 26 son la misma y nica corriente que circula por el circuito.

Desde un punto de vista netamente terico, la descripcin del prrafo anterior se interpreta de la siguiente manera: En un circuito L-C paralelo sin prdidas y en estado de resonancia la corriente circular de un componente a otro en un sentido y en el otro en forma entretenida (esto es equivalente al caso de un pndulo ideal, que despus de ser apartado de su posicin de equilibrio no sufre rozamiento ni en su eje de giro ni contra el aire: el pndulo continuar oscilando eternamente, la oscilacin no se agotar nunca). 5.3.a.- ANALISIS DEL MODULO DE LA ADMITANCIA Y LA I MPEDANCIA DEL

CIRCUITO L-C PARALELO IDEAL EN FUNCION DE LA FRECUE NCIA A partir de la expresin 65 hallamos el mdulo de la admitancia YP del paralelo:

Expr. 68

Para el anlisis que efectuaremos a continuacin supondremos los siguientes valores:

Reemplazando estos valores en la expresin 66, la frecuencia de resonancia del circuito de la figura 26 es:


49-68

Frecuencia Mdulo de la Admitancia Mdulo de la Imp edancia

Hz S

1 159 x 10-3 6,29 2 79,5 x 10-3 12,58 5 31,8 x 10-3 31,44 10 15,9 x 10-3 62,90 20 7,95 x 10-3 126,00 50 3,18 x 10-3 314,00 100 1,58 x 10-3 541,00 200 760 x 10-6 1316,00 500 240 x 10-6 4167,00 1000 2,10 x 10-6 476190,00 1066 0 2000 235 x 10-6 4255,00 5000 754 x 10-6 1326,00 10000 1,55 x 10-3 645,00 20000 3,13 x 10-3 320,00 50000 7,85 x 10-3 127,00 100000 15,7 x 10-3 64,00 200000 31,4 x 10-3 32,00 500000 78,5 x 10-3 13,00 1000000 157 x 10-3 6,37

Figura 27: Representacin grafica del mdulo de la admitancia y del mdulo de la impedancia en funcin de la frecuencia correspondiente al circuito L-C paralelo ideal de las figuras 25 y 26.


50-68

5.4.- CIRCUITO L-C PARALELO REAL O PRACTICO Los inductores y capacitores que se fabrican y se emplean en la prctica estn lejos de ser componentes ideales. Esto se debe a que los materiales que se emplean para construirlos no son perfectos. En efecto, si bien es cierto que los inductores se construyen, en general, con un alambre de alta conductividad, como el cobre, este alambre presentar un cierto valor de resistencia al paso de la corriente elctrica que depender de la longitud del conductor, de su dimetro, y de la frecuencia de trabajo. Por otra parte, los capacitores prcticos se apartan de los capacitores ideales fundamentalmente a causa de las imperfecciones de su material dielctrico, en el sentido de que su conductividad no es nula. Por las razones expuestas, tanto un inductor como un capacitor reales poseen una cierta resistencia asociada a ellos que recibe el nombre de resistencia de prdidas . En otras palabras, los inductores y capacitores prcticos producen una cierta disipacin de calor cuando una corriente elctrica circula a travs de ellos. Las resistencias de prdidas de los inductores y los capacitores se pueden representar tanto en serie como en paralelo con dichos componentes. Es decir que, para representar un inductor o un capacitor real podremos emplear un modelo equivalente serie , o bien un modelo equivalente paralelo . A modo de ejemplo, podemos decir que:

Un inductor ideal (o sin prdidas) se representa simplemente mediante el smbolo de un inductor.

Un inductor real de alta calidad , o de bajas prdidas (baja disipacin de calor), se podr representar mediante un inductor en serie con una resistencia de bajo valor , o bien mediante un inductor en paralelo con una resistencia de alto valor .

Un inductor real de baja calidad , o de altas prdidas (alta disipacin de calor), se podr

representar mediante un inductor en serie con una resistencia de alto va lor , o bien mediante un inductor en paralelo con una resistencia de bajo valor .

A los fines del anlisis que se realiza a continuacin, y para representar un inductor y un capacitor reales, seleccionaremos el modelo equivalente serie, tal como se muestra en la figura 28.

Figura 28: Circuito L-C paralelo real o prctico

5.4.a.- ANALISIS DE LA ADMITANCIA DE UN CIRCUITO L- C PARALELO REAL La impedancia de la rama correspondiente al inductor es:

. . . y la admitancia correspondiente a la misma rama es:

Expr. 69


51-68

La impedancia de la rama correspondiente al capacitor es:

. . . y la admitancia correspondiente a la misma rama es:

Expr. 70

La admitancia total del circuito es:

Multiplicando y dividiendo cada trmino por el conjugado de su denominador tendremos:

. . . que, operando, da como resultado:

Luego, separando partes reales de partes imaginarias, y ordenando, llegamos a:

Expr. 71

La expresin 71 representa la admitancia total de un circuito L-C paralelo real, y en ella se definen los siguientes trminos:

En base a estas cuatro equivalencias, la expresin 71 se puede reescribir en la forma:

Expr. 72 En la expresin 72 se definen:

Expr. 73


52-68

Expr. 74

Finalmente, la expresin 72 se convierte en la expresin 75 que muestra por separado las componentes real e imaginaria totales de la admitancia total del circuito:

Expr. 75 5.4.b.- RESONANCIA DE UN CIRCUITO L-C PARALELO REAL Tal como puede verse en la expresin 72, cabe la posibilidad de que la componente imaginaria de la admitancia total sea nula. Es decir que existir un valor particular de frecuencia para el cual el mdulo de la susceptancia capacitiva BC sea igual al mdulo de la susceptancia inductiva BL. En tal caso, la admitancia total YT quedar formada solamente por la conductancia total GT. En otras palabras, la impedancia total ZT del circuito ser de carcter resistivo puro, y se dir que el circuito se encuentra en estado de resonancia . En definitiva, podemos concluir que:

La frecuencia de resonancia de un circuito L-C paralelo real

es el valor de frecuencia para el cual la susceptancia del circuito es nula, o bien, la admitancia total del circuito es real pura,

o bien, la impedancia total del circuito se hace resistiva pura. Entonces, para alcanzar el estado de resonancia del circuito L-C paralelo real se deber cumplir que:

. . . o bien que:

Al valor particular de la frecuencia que hace que se cumpla esta igualdad se lo denomina frecuencia de resonancia fO. Por lo tanto, existir una pulsacin de resonancia O que es:

Operando sobre la expresin de la condicin de resonancia se tendr:


53-68

En el primer miembro se saca el producto L.C como factor comn, obtenindose:

Expr. 76

La expresin 76 permite, entonces, calcular la frecuencia de resonancia de un circuito L-C paralelo real, o prctico, o con prdidas. Dicha expresin es de carcter absolutamente general, dado que contempla la totalidad de los casos que pueden encontrarse en la prctica. En este sentido resulta de particular inters analizar la influencia de la raz cuadrada:

. . . que recibe el nombre de determinante de la frecuencia de resonancia :


54-68

5.4.b.1.- ANALISIS DEL DETERMINANTE DE LA FRECUENCIA DE RESONANCIA

Si RL y RC fuesen nulas estaramos ante el caso de un circuito L-C paralelo ideal, o sin prdidas, situacin en la cual el determinante de la frecuencia de resonancia sera igual a la unidad, y la frecuencia de resonancia sera . . .

Esta expresin coincide con la expresin 35, que es la que permite calcular la frecuencia de resonancia de un circuito L-C serie . En otras palabras, un inductor de valor L y un capacitor de valor C conectados entre s en serie y luego en paralelo poseern la misma frecuencia de resonancia en el caso en que ambos componentes sean ideales.

Si se cumpliera que:

. . . o bien que:

. . . el determinante de la frecuencia de resonancia sera igual a la unidad, y la frecuencia de resonancia sera nuevamente igual a la frecuencia de resonancia del circuito L-C serie.


. . . o bien que:

. . . el determinante de la frecuencia de resonancia sera igual a la raz de un nmero negativo, por lo que la frecuencia de resonancia poseera un valor imaginario. En este caso se dice que el circuito L-C paralelo no posee frecuencia de resonancia.


. . . o bien que:

. . . el determinante de la frecuencia de resonancia sera igual a un nmero menor que la unidad, razn por la cual la frecuencia de resonancia correspondiente al circuito paralelo seria menor que la frecuencia de resonancia correspondiente al circuito serie.


. . . el determinante de la frecuencia de resonancia sera igual a un nmero mayor que la unidad, razn por la cual la frecuencia de resonancia correspondiente al circuito paralelo seria mayor que la frecuencia de resonancia correspondiente al circuito serie.


55-68


. . . el determinante de la frecuencia de resonancia sera igual a cero, razn por la cual la frecuencia de resonancia correspondiente al circuito paralelo seria nula. En este caso se dice que el circuito L-C paralelo resuena en corriente continua.


. . . el determinante de la frecuencia de resonancia sera igual a un nmero infinitamente grande, razn por la cual la frecuencia de resonancia correspondiente al circuito L-C paralelo seria infinitamente alta. 5.4.c.- CONSIDERACIONES PRACTICAS SOBRE

UN CIRCUITO L-C PARALELO REAL El avance tecnolgico de los ltimos tiempos ha permitido obtener materiales dielctricos de muy alta calidad en lo referente a las muy bajas prdidas que stos poseen, al menos dentro del rango de las frecuencias bajas y medias. Esto hace que, para un capacitor moderno, su resistencia de prdidas equivalente serie sea de tan bajo valor que se lo puede considerar prcticamente despreciable. Pero no es posible decir lo mismo acerca de los inductores. Aunque se emplee un conductor de alta calidad para construir un inductor, si ste posee una gran cantidad de espiras su resistencia de prdidas ser elevada, an en bajas frecuencias. Por otro lado, si el inductor en cuestin posee pocas espiras y se lo emplea en un circuito de alta frecuencia, su resistencia de prdidas se incrementa debido a un fenmeno conocido con el nombre de Efecto Pelicular o Efecto Skin . Este efecto se manifiesta de la siguiente manera: a medida que la frecuencia se incrementa, los electrones tienden a circular cada vez ms cerca de la periferia del conductor, ocupando una seccin del conductor que es menor que la seccin real del mismo. En otras palabras, se produce una disminucin efectiva de la seccin del conductor que conforma al inductor, por lo que la resistencia del mismo aumenta (vase la expresin 2 del captulo Componentes Pasivos de un Circuito Elctrico). Por lo expuesto, y desde un punto de vista prctico, un circuito L-C paralelo real se reduce al que se muestra en a figura 29, y su frecuencia de resonancia se calcula mediante la expresin 77.

Figura 29: Circuito L-C paralelo prctico en el que la

resistencia de prdidas RC se considera despreciable.

Expr. 77


56-68

5.4.d.- FACTOR DE POTENCIA Dentro del campo de las instalaciones elctricas domiciliarias e industriales, la mayor parte de los artefactos que forman parte de ellas poseen una impedancia de carcter predominantemente inductivo. En efecto, los motores elctricos y los artefactos de iluminacin fluorescentes y de descarga gaseosa presentan una impedancia que posee, adems de una componente resistiva, una componente inductiva. Por esta razn, los aparatos mencionados pueden ser representados mediante un modelo R-L equivalente serie como se ve en la figura 30:

Figura 30: Artefactos elctricos comunes en las instalaciones domiciliarias e industriales,

su circuito equivalente serie, y su correspondiente diagrama de impedancias. La impedancia de un motor elctrico est formada por la inductancia de su bobinado y la resistencia elctrica de los alambres del mismo. La impedancia de los circuitos de las lmparas fluorescentes y de descarga gaseosa est formada, fundamentalmente, por la inductancia del bobinado del reactor conectado en serie, por la resistencia de los alambres que lo constituyen y por la resistencia de las lmparas. Aqu nos encontramos ante un problema similar al que se plante en el apartado 4.1 de este mismo captulo. Si consideramos el diagrama de impedancias que se encuentra a la derecha de la figura 30, y lo multiplicamos por la corriente I obtendremos el diagrama de tensiones que se observa a la izquierda y en el centro de la figura 31. Luego, si multiplicamos este diagrama de tensiones por la misma corriente obtendremos el diagrama de potencias correspondiente a este circuito.

Figura 31: Obtencin del diagrama de potencias correspondiente a un circuito R-L serie.

El diagrama de potencias ubicado a la derecha de la figura 31 muestra que el generador que alimenta al circuito debe producir una potencia aparente de valor S, de la cual slo se convierte en potencia activa la representada por el vector P; y la potencia reactiva (que se genera pero no se aprovecha) est representada por el vector Q. La potencia activa P es la potencia til (que equivale al trabajo til desarrollado en el circuito), mientras que la potencia reactiva Q retorna al generador. Empleando la trigonometra, estas dos potencias responden a las siguientes expresiones:


57-68

Expr. 78

Expr. 79

En la expresin 79 el cos recibe el nombre de Factor de Potencia y posee una gran importancia de acuerdo con el siguiente anlisis. Los usuarios de energa elctrica (domiciliarios e industriales) abonan a las empresas distribuidoras slo el equivalente a la potencia activa P. Es decir que los registradores de energa E instalados en los domicilios y en las industrias miden (o calculan) solamente el producto:

En otras palabras, la empresa generadora de energa se ve obligada a proveer una potencia aparente S a los clientes, pero stos slo abonan el equivalente a una potencia P debido a que sus circuitos provocan una potencia reactiva Q que no se mide. Desde el punto de vista de las empresas generadoras y distribuidoras de energa elctrica sta es una situacin inaceptable puesto que deben efectuar una inversin para generar una potencia aparente S para que los usuarios le retribuyan por una potencia P. Por esta razn es que las empresas distribuidoras exigen a los usuarios que reduzcan el ngulo . Puesto de otra manera, exigen a sus clientes que mejoren (que incrementen) el factor del potencia (el cos ) de sus instalaciones, tratando que el mismo sea lo ms cercano posible a la unidad. Al observar el diagrama de impedancias de la figura 30 se ve que para reducir (o, en lo posible, anular) el ngulo , se deber intentar cancelar la componente inductiva XL del circuito. Esto equivale a decir que se deber intentar poner el circuito en estado de resonancia. Para ello se debe instalar un capacitor de valor adecuado en paralelo con el artefacto elctrico en cuestin (motor, lmpara, etc.) tal como se muestra en la figura 29. Para calcular el valor del capacitor adecuado que ponga el circuito en estado de resonancia partiremos de la expresin ya conocida que define dicho estado, que es . . .

Si tenemos en cuenta que podemos considerar que la resistencia de prdidas RC del capacitor es despreciable, la expresin de la condicin de resonancia se convierte en:

. . . y el valor de C que lleva al circuito al estado de resonancia es:

Expr. 80


58-68

5.4.d.- ANALISIS DEL MODULO DE LA ADMITANCIA Y DE L A IMPEDANCIA DEL CIRCUITO L-C PARALELO REAL EN FUNCION DE LA FRE CUENCIA

La expresin 71 obtenida en el

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