Circuitos Electricos Libro Completo de Augusto Cano

Indice general

INTRODUCCION 5

1. REDES SUMERGIDAS EN DOS VARIABLES 7

1.1. Elementos Circuitales Transformados en s . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.1. Fuentes Ideales Transformadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.2. Resistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.3. Inductancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.4. Capacitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2. Concepto de Funcion de Circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2. REDES DE DOS PUERTAS. 17

2.1. Parametros de un Cuadripolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2. Otras Funciones de Circuito de un cuadripolo . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3. Impedancia Caracterıstica de un cuadripolo . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4. Conexiones de los cuadripolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4.1. Conexion serie y equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4.2. Conexion paralelo y equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4.3. Conexion cascada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4.4. Conexiones mixtas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33


1

INDICE GENERAL INDICE GENERAL

3. TECNICAS PARA REDUCCION DE CUADRIPOLOS 37

3.1. Equivalencia de un cuadripolo utilizando Millman . . . . . . . . . . . . 37

3.2. Reciprocidad aplicada a cuadripolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3. Teoremas de Thevenin y Norton en cuadripolos . . . . . . . . . . . . . 40

3.4. Equivalencia T, Π; Π, T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50


4. LA FUNCION DE TRANSFERENCIA H(S) 53

4.1. Polos y ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.2. H(s) como funcion compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.3. Respuesta forzada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.4. Ejercicio Propuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5. FILTROS ELECTRICOS 69

5.1. Tipos de filtros electricos pasivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.1.1. Filtro Pasa Bajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.1.2. Filtro Pasa Alto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.1.3. Filtro Pasa Banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.1.4. Filtro Eliminador de Banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.1.5. Modelos circuitales para filtros pasivos . . . . . . . . . . . . . . 72

5.1.6. Filtros pasa bajo tipo T y Π normalizados . . . . . . . . . . . . 73

5.1.7. Filtros pasa alto tipo T y Π normalizados . . . . . . . . . . . . 77

5.1.8. Filtros pasa banda tipo T y Π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.1.9. Filtro eliminador de banda tipo T . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.2. Fundamentos de los filtros activos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.2.1. Filtro pasa bajo Butterworth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.2.2. Filtro pasa alto Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.3. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

2

INDICE GENERAL 3

6. RESPUESTA EN FRECUENCIA 89

6.1. Diagramas de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6.2. Casos generales para los diagramas de Bode . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.3. Criterio de estabilidad de Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.4. Polos referenciados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.5. Criterio de Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.5.1. Condicion suficiente de Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6.6. Formulas de Vieta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104


7. SERIES DE FOURIER 107

7.1. Consideraciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

7.2. Conceptos de aproximacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

7.3. La serie trigonometrica de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

7.4. Funciones periodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

7.5. Propiedades generales de las series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . 114

7.6. La transformada continua de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119


8. BIBLIOGRAFIA 123

4 INDICE GENERAL

INTRODUCCION

La secuencia en el area de los circuitos electricos de la Facultad de Ingenierıa Electrica

de la Universidad Tecnologica de Pereira parte de los mas simples conceptos y leyes

que los puedan modelar hasta la teorıa de los Circuitos Electricos III existiendo una

sustentacion valida de esta; esto es , la descripcion de ellos desde su genesis en la

variable tiempo y luego hacia la variable frecuencia en donde ambas son realidades

fısicas cualificables y cuantificables.

Para la primera variable, tiempo, los cursos de Circuitos I y II han demostrado llenar las

espectativas y niveles deseados existiendo libros guıas basicos y otros escritos en el seno

de la misma facultad pero, desafortunadamente para el curso de Circuitos Electricos

III no existe este y por una razon fundamental; los topicos tratados estan dispersos

en sus fuentes y ademas a traves de los anos la importancia del comportamiento en la

frecuencia de ellos es innegable; tratamiento con la utilizacion de herramientas como la

transformada de Laplace por ejemplo.

El texto se divide en dos apartes ası:

La primera, con los capıtulos 1,2 y 3, el estudiante avanza, apoyado en la Transformada

de Laplace, en conocimientos en el manejo de los teoremas y principios basicos de las

redes electricas desde y bajo el concepto de funciones de circuito hacia el entendimiento

de funcion de transferencia.

La segunda, capıtulos 4,5,6 y 7, se pasa, cualitativamente, a la frecuencia llegando

inclusive al terreno de las Series de Fourier, la antesala de las Transformadas Continuas

de Fourier continuas, base ineludible para el entendimiento y manejo de senales en

las comunicaciones modernas y por ultimo a manera de ayuda se agrega un programa

general hecho en Matlab.

5

6 INDICE GENERAL

Hasta aca es el proposito general de este texto; el veredicto de la practica docente y

con los estudiantes lo haran, ası se espera, madurar a traves de sus aciertos y errores.

Capıtulo 1

REDES SUMERGIDAS EN DOS

VARIABLES

El describrir una red electrica a traves del tiempo por medio de leyes y principios

simples como; la ley de Ohm, ley de Ampere, ley de Faraday, superposicion, linealidad,

etc.,es una sıntesis que permite una aproximacion de ellas del como se comportan en la

realidad.

Estas leyes y principios son invariantes y los modelos circuitales y ecuaciones generadas

son formulaciones basadas con consideraciones de tipo ideal. Son las mismas en la

frecuencia aunque no hayan sido formuladas bajo esta variable y su presentacion

matematica sea diferente.

Figura 1.1: Redes en t y en w.

La Transformada de Laplace permite lo anterior en la variable s.

Existen otras transformadas con las consideraciones anteriores, sea que se traten en

7

8 CAPITULO 1. REDES SUMERGIDAS EN DOS VARIABLES

forma continua o discreta, que desembocan en la frecuencia y ahı radica una de sus

utilidades.

Ademas, la Transformada de Laplace, permite resolver una serie de ecuaciones

diferenciales, integrodiferenciales bajo ciertas condiciones y la mayorıa de las veces

agiliza el manejo algebraico de estas; no sucediendo lo mismo en su manipulacion en el

tiempo, aun mas; escudrinar una senal en una red de una manera amplia a partir de

una referencia como el tiempo bajo sus condiciones iniciales y llegar a unas condiciones

finales. Ahora; con el cambio de variable s = jw (plano complejo) deja de ser una mera

formulacion matematica al llegar a la variable real y fısicamente medible; la frecuencia

w.

Figura 1.2: Redes en t en s y en w.

En los tres primeros capıtulos solo se tratan ciertas redes sumergidas en s.

1.1. Elementos Circuitales Transformados en s

Los elementos circuitales a tratar se consideran invariantes con el tiempo, concentrados,

donde se pueda aplicar el principio de la superposicion y la linealidad, no se transforman

los “elementos” lo que se va hacer es obtener de la Transformada de Laplace aplicada

a las senales de tension y/o de corriente que aparecen sobre ellos bajo una ley general.

1.1. ELEMENTOS CIRCUITALES TRANSFORMADOS EN S 9

1.1.1. Fuentes Ideales Transformadas

Figura 1.3: Fuentes transformadas en s.

1.1.2. Resistencia

v(t) = Ri(t) ←→ V (s) = RI(s)

Figura 1.4: Resistencia en t y en s.

Se define Impedancia resistiva transformada a

Z(s) =V (s)

I(s)= R (1.1)

o Admitancia transformada a

Y (s) =I(s)

V (s)=

1

R(1.2)


1.1.3. Inductancia

v(t) = Ldi(t)

dt←→ V (s) = L [sI(s)− i(0)]

Figura 1.5: Inductancia con fuente de tension en s.

Hay una fuente de tension que depende exclusivamente de la inductacia L e i(0−) o

a la condicion inicial que existe en la inductancia ligada al flujo magnetico confinado

φ(t) = Li(t) en 0−

φ(0−) = Li(0−) (1.3)

Se considera que este en 0− ni en 0+ (elemento propio) no cambia

φ(0−) = φ(0) = φ(0+) (1.4)

Conservacion de flujo; ahora, si se hace i(0)=0 se define Impedancia inductiva

transformada a

Z(s) =V (s)

I(s)= Ls (1.5)

o Admitancia transformada a

Y (s) =I(s)

V (s)=

1

Ls(1.6)

Lo que indica que tanto Z(s) o Y(s) solo dependen de L y de s , propia de cada

inductancia de valor L, y no de i(0).

De la representacion circuital anterior, despejar a I(s)

Figura 1.6: Inductancia como fuente de corriente en s.

1.1. ELEMENTOS CIRCUITALES TRANSFORMADOS EN S 11

Es la transformacion a fuente de corriente, desde una fuente de tension, a su nueva

representacion.

No es mas que la transformada de la ecuacion;

i(t) =1

L

∫ t

−∞v(x)dx (1.7)

1.1.4. Capacitancia

i(t) = Cdv(t)

dt←→ I(s) = C [sV (s)− vc(0)]

Figura 1.7: Capacitancia en t.

Figura 1.8: Capacitancia como fuente de corriente.

Existe una fuente de corriente dependiente de C y de vc(0−), a la carga Q(0−), si esta

no cambia en 0− ni en 0+ (elemento propio),

Q(0−) = Q(0) = Q(0+) (1.8)

Si se hace vc(0) = 0, se define Admitancia capacitiva transformada a

Y (s) =I(s)

V (s)= Cs (1.9)


O Impedancia capacitiva transformada:

Z(s) =V (s)

I(s)=

1

Cs(1.10)

Y(s) como Z(s) solo dependen de C y de s, son propias de cada capacitancia de valor

C, y no de vc(0).

La representacion anterior se puede llevar a

Figura 1.9: Capacitancia como fuente de tension.

Es la transformacion a fuente de tension de su nueva representacion y no es mas que la

transformada de la ecuacion

V (t) =1

C

∫ t

−∞i(x)dx (1.11)

Ejemplo de aplicacion:

Para el circuito mostrado llevarlo a su equivalente en s,

Figura 1.10: Ejemplo de red en t.

si K se pasa en t=0 de 1 a 2.

Este muestra las condiciones iniciales

1.2. CONCEPTO DE FUNCION DE CIRCUITO 13

Figura 1.11: Condiciones iniciales.

Figura 1.12: Red transformada en s.

E1(s) =1

2, E2(s) =

1

s

al encontrar cualquier senal de tension o de corriente sobre cualquier elemento de este

circuito tendra dos componentes; una provocada por la fuente E(s) y la otra por las

fuentes relacionadas con las condiciones iniciales. Ası por ejemplo

Vab(s) =2

12s2 + s + 2E(s) +

2

12s2 + s + 2E1(s) +

12s2

12s2 + s + 2E2(s)

aplicando el Principio de la Superposicion.

1.2. Concepto de Funcion de Circuito

Sea la red mostrada en la siguiente figura


Figura 1.13: Red de n puertas en t y en s.

Esta puede estar conformada por fuentes dependientes ( no acoples externos que

involucren otra puerta de entrada) e independientes, elementos activos y ademas se

tiene acceso a n puntos o puertas (red de n puertas) con sus respectivas tensiones y

corrientes. Ahora, si se considera como una caja negra y sobre ella se hacen pruebas

de corto circuito o de circuito abierto, tensiones cero o eliminacion de corriente, por lo

general es posible encontrar un conjunto de n×n ecuaciones linealmente independientes

con el apoyo del principio de superposicion, que relacionan las tensiones, corrientes entre

sı y, ademas originan relaciones propias de la red; relaciones que solo pertenezcan a esta.

Si se tratara de plasmarlas en el tiempo, variable t, probablemente aparecerıan

ecuaciones integrodiferenciales y reducirlas de tipo algebraico, racionales, solo se puede

lograr en el plano s, sı y solo sı ,se hacen las condiciones iniciales nulas porque estas

no permitirıan obtener este conjunto de ecuaciones en forma independiente, ademas, de

forma unica y propia.

Existen posibilidades algebraicas como

[E] = [M ] [I] ; Tensiones contra corrientes.

[I] = [M ] [E] ; Corrientes contra tensiones.

Para [M ] matrices, en s, de n× n dimension, diferentes, conformadas por elementos

que solo dependen de la red y de su constitucion.

[E] = [M ] [I] ; [M ] matriz con elementos de impedancia.

[I] = [M ] [E] ; [M ] matriz con elementos de admitancia.

Para el caso de elementos de impedancia

1.3. EJERCICIOS PROPUESTOS 15

[E] = [M ] [I] ; [M ] = [Z]

E1

E2

.

.

En

=

Z11 Z12 Z1n

Z21 Z22 Z2n

.

.

.

.

.

.

.

.

Zn1 Zn2 Znn

I1

I2

.

.

In

(1.12)

E1 = Z11I1 + Z12I2 +−−+Z1nIn

E2 = Z21I1 + Z22I2 +−−+Z2nIn (1.13)...

...

En = Zn1I1 + Zn2I2 +−−+ZnnIn

con pruebas o ensayos de eliminacion de corriente (circuito abierto) en los puntos o

puertas se pueden encontrar cada uno de los elementos de [Z] , por ejemplo,

Z11 =E1

I1

, Z21 =E2

I1

, ........, Zn1 =En

I1

(1.14)

todas las anteriores con I2 = I3 = ...... = In = 0,

donde, por supuesto, [Z] depende de la red, no de las [E] ni de las [I] , sı de sus relaciones

y tendran forma racionales en s.

Estos elementos se definen como Funciones de Circuito de Impedancia y en su conjunto

permiten la superposicion en el sistema lineal de ecuaciones.

1.3. Ejercicios Propuestos

1. Para la red mostrada hallar a [Z],[Y].


Figura 1.14: Ejercicio propuesto 1.

2. Transformar el siguiente arreglo

Figura 1.15: Ejercicio propuesto 2.

3. A una red de n puertas con acoples externos sera posible encontrarle sus funciones

de circuito? Explicar.

Capıtulo 2

REDES DE DOS PUERTAS.

Dentro de la teorıa de redes las de dos puertas son de las mas comunes entre otras cosas

porque, a traves de ellas, es posible modelar y analizar arreglos, por ejemplo, en las

areas de potencia y electronica.

Figura 2.1: Red de dos puertas en s.

A estas, ya transformadas, se les denomina cuadripolos. En cada una de sus puertas o

puntos de acceso se pueden realizar ensayos o pruebas de corto circuito y de circuito

abierto o eliminacion de corriente.

Notese que por ser cuatro senales operando en estos se pueden obtener veinticuatro

funciones de circuito como elementos de las seis matrices donde se relacionan estas

cuatro senales conformando sistemas de dos ecuaciones linealmente independientes con

dos incognitas solo sı estas redes se puedan configurar como cuadripolos.

Estas funciones de circuito se pueden encontrar con pruebas o ensayos y es necesario

hacer las condiciones iniciales cero tienendo en cuenta las restricciones generales de las

redes de n puertas expuestas en el Capıtulo 1.

17

18 CAPITULO 2. REDES DE DOS PUERTAS.

2.1. Parametros de un Cuadripolo

Para un cuadripolo existen los siguientes parametros o funciones de circuito que se

pueden obtener con pruebas.

Se evaluan, corto circuito,impedancia;

[V1

V2

]= [Z]

[I1

I2

](2.1)

[Z] =

[Z11 Z12

Z21 Z22

](2.2)

Determinante:

∆Z = Z11Z22 − Z12Z21, (2.3)

Z11 =V1

I1

∣∣∣∣I2=0

Z12 =V1

I2

∣∣∣∣I1=0

(2.4)

Z21 =V2

I1

∣∣∣∣I2=0

Z22 =V2

I2

∣∣∣∣I1=0

(2.5)

Se evaluan, eliminacion de corrientes, admitancia;

[I1

I2

]= [Y ]

[V1

V2

](2.6)

[Y ] =

[Y11 Y12

Y21 Y22

](2.7)

Determinante:

4Y = Y11Y22 − Y12Y21 (2.8)

Y11 =I1

V1

∣∣∣∣V2=0

; Y12 =I1

V2

∣∣∣∣V1=0

(2.9)

2.1. PARAMETROS DE UN CUADRIPOLO 19

Y21 =I2

V1

∣∣∣∣V2=0

; Y22 =I2

V2

∣∣∣∣V1=0

(2.10)

Se evaluan, corto circuito y eliminacion de corriente, transmision;

[V1

I1

]= [T ]

[V2

−I2

](2.11)

[T ] =

[A B

C D

](2.12)

Determinante:

∆T = AD −BC (2.13)

A =V1

V2

∣∣∣∣−I2=0

; B =V1

−I2

∣∣∣∣V2=0

(2.14)

C =I1

V2

∣∣∣∣−I2=0

; D =I1

−I2

∣∣∣∣V2=0

(2.15)

Se evaluan, eliminacion de corriente y corto circuito, transmision inversa;

[V2

I2

]= [T ]i

[V1

−I1

](2.16)

[T ]i =

[Ai Bi

Ci Di

](2.17)

Determinante:

∆Ti = AiDi −BiCi (2.18)

Ai =V2

V1

∣∣∣∣−I1=0

; Bi =V2

−I1

∣∣∣∣V1=0

(2.19)

Ci =I2

V1

∣∣∣∣−I1=0

; Di =I2

−I1

∣∣∣∣V1=0

(2.20)

Se evaluan, corto circuito y eliminacion de correinte,hıbridos;


[V1

I2

]= [h]

[I1

V2

](2.21)

[h] =

[h11 h12

h21 h22

](2.22)

Determinante:

∆h = h11h22 − h12h21 (2.23)

h11 =V1

I1

∣∣∣∣V2=0

; h12 =V1

V2

∣∣∣∣I1=0

(2.24)

h21 =I2

I1

∣∣∣∣V2=0

; h22 =I1

V2

∣∣∣∣I1=0

(2.25)

Se evaluan,eliminacion de corriente y corto circuito,hıbridos inversos;[I1

V2

]= [g]

[V1

I2

](2.26)

[g] =

[g11 g12

g21 g22

](2.27)

Determinante:

∆g = g11g22 − g12g21 (2.28)

g11 =I1

V1

∣∣∣∣I2=0

; g12 =I1

I2

∣∣∣∣V1=0

(2.29)

g21 =V2

V1

∣∣∣∣I2=0

; g22 =V2

I2

∣∣∣∣V1=0

(2.30)

Casi siempre es posible realizar transformaciones algebraıcas y pasar de una matriz

a otra cuando los respectivos determinantes no sean cero teniendo en cuenta que los

elementos de una matriz no son los inversos de los de la matriz que se desea transformar.

Como ejemplo


[Z] =

[Z11 Z12

Z21 Z22

](2.31)

[Z] [Z]i =

[1 0

0 1

](2.32)

[Z]i =1

∆Z

[Z22 −Z21

−Z12 Z11

](2.33)

si

[V1

V2

]= [Z]

[I1

I2

](2.34)

[Z]i[

V1

V2

]=

[1 0

0 1

] [I1

I2

](2.35)

se transforma en

[I1

I2

]= [Y ]

[V1

V2

]=

[Y11 Y12

Y21 Y22

] [V1

V2

](2.36)

Y11 =Z22

∆Z

; Y12 =−Z21

∆Z

(2.37)

Solo en casos generales, pero

Y11 6=1

Z11

; Y12 6=1

Z12

(2.38)

Y21 6=1

Z21

; Y22 6=1

Z22

(2.39)

ya que implicarıa

Z12Z21 = 0 Z11Z22 = Z212 (2.40)

ademas la pruebas son diferentes tanto para [Z] como para [Y ] .

Se presenta a continuacion la tabla de los diferente parametros de un cuadripolo.


[z]

[y]

[T]

[T] i

[h]

[g]

[z]

z 11

z 12

z 21

z 22

y22

∆y−

y12

∆y

−y21

∆y

y11

∆y

A C∆

T C

1 CD C

Di

Ci

1 Ci

∆T

i

Ci

Ai

Ci

∆h

h22

h12

h22

−h21

h22

1h22

1 g11−

g12

g11

g21

g11

∆g

g11

[y]

z 22

∆z−

z 12

∆z

−z 2

1

∆z

z 11

∆z

Y11

Y12

Y21

Y22

D B−

∆T

B

−1 B

A B

Ai

Bi−

1 Bi

−∆

Ti

Bi

Di

Bi

1h11−

h12

h11

h21

h11

∆h

h11

∆g

g22

g12

g22

−g21

g22

1 g22

[T]

z 11

z 21

∆z

z 21

1 z 21

z 22

z 21

−y22

y21−

1 y21

−∆

y

y21−

y11

y21

AB

CD

Di

∆T

i

Bi

∆T

i

Ci

∆T

i

Ai

∆T

i

−∆

h

h21−

h11

h21

−h22

h21−

1h21

1 g21

g22

g21

g11

g21

∆g

g21

[T] i

z 22

z 12

∆z

z 12

1 z 12

z 11

z 12

−y11

y12−

1 y12

−∆

y

y12−

y22

y12

D ∆T

B ∆T

C ∆T

A ∆T

Ai

Bi

Ci

Di

1h12

h11

h12

h22

h12

∆h

h12

−∆

g

g12−

g22

g12

−g11

g12−

1g12

[h]

∆z

z 22

z 12

z 22

−z 2

1

z 22

1 z 22

1 y11−

y12

y11

y21

y11

∆y

y11

B D∆

T

D

−1 D

C D

Bi

Ai

1 Ai

−∆

Ti

Ai

Ci

Ai

h11

h12

h21

h22

g22

∆g−

g12

∆g

−g21

∆g

g11

∆g

[g]

1 z 11−

z 12

z 11

z 21

z 11

∆z

z 11

∆y

y22

y12

y22

−y21

y22

1 y22

C A−

∆T A

1 AB A

Ci

Di−

1 Di

∆T

i

Di

Bi

Di

h22

∆h−

h12

∆h

−h21

∆h

h11

∆h

g 11

g 12

g 21

g 22


Para el cuadripolo mostrado (denominado cuadripolo tipo T) encontrar [Z] , [T ] por

ensayos y [Y ] , [T ]i por transformaciones algebraıcas.

Para [Z]; se hace I2 = 0.


Figura 2.2: Cuadripolo tipo T.

Figura 2.3: Ensayo de circuito abierto.

Z11 =V1

I1

= Z1 + Z3

Z21 =V2

I1

=I1Z3

I1

= Z3

Ahora para I1 = 0;

Z12 = Z3 Z22 = Z2 + Z3

queda la matriz [Z]

[V1

V2

]=

[Z1 + Z3 Z3

Z3 Z2 + Z3

] [I1

I2

]

para [T ] ; con −I2 = 0

A =V1

V2

=I1 (Z1 + Z3)

I1Z3

=Z1 + Z3

Z3

C =I1

V2

=I1

I1Z3

=1

Z3


con V2 = 0

Figura 2.4: Ensayo de corto circuito.

B =V1

−I2

=Z1Z2 + Z1Z3 + Z2Z3

Z3

D =I1

−I2

=Z2 + Z3

Z3

Ahora se pide encontrar [Y ] y [T ]i por transformaciones algebraıcas.

Ya conocida la matriz [Z] , por ejemplo, se puede encontrar [Y ] y [T ]i ası:

V1 = Z11I1 + Z12I2

V2 = Z21I1 + Z22I2

despejando I1, I2

I1 =Z22

∆zV1 −

Z12

∆zV2 ∆z = Z11Z22 − Z12Z21

I2 = −Z21

∆zV1 +

Z11

∆zV2

luego: [I1

I2

]=

1

∆z

[Z22 −Z12

−Z21 Z11

] [V1

V2

]

y para [T ]i de la primera ecuacion de impedancia

I2 =1

Z12

V1 −Z11

Z12

I1

2.2. OTRAS FUNCIONES DE CIRCUITO DE UN CUADRIPOLO 25

y con esta I2 se lleva a la segunda de impedancia

V2 = Z21I1 + Z22

(1

Z12

V1 −Z11

Z12

I1

)

V2 =Z22

Z12

V1 −(

Z11Z22 − Z12Z21

Z12

)I1

[V2

I2

]=

1

Z12

[Z22 ∆z

1 Z11

] [V1

−I1

]

2.2. Otras Funciones de Circuito de un cuadripolo

Cada uno de los parametros de un cuadripolo son funciones de circuito pero pueden

existir otras como;

Ganancia de Tension: G21(s) =V2

V1

Ganancia de Corriente: α21 =I2

I1

Impedancia de Entrada: Zen =V1

I1

Impedancia de Salida: Zsa =V2

I2

Son funciones de circuito que relacionan dos senales donde no se ha eliminado ninguna

de las otras dos.

2.3. Impedancia Caracterıstica de un cuadripolo

Si al cuadripolo siguiente conocida su [T ] y es cargado con una ZX , que puede ser parte

de otra red, se evalua su Zen


Figura 2.5: Cuadripolo cargado.

[V1

I1

]=

[A B

C D

] [V2

−I2

](2.41)

con

V1 = AV2 −BI2 (2.42)

I1 = CV2 −DI2 (2.43)

ademas

V2 = −ZXI2 (2.44)

aparece

Zen =V1

I1

=AZX + B

CZX + D(2.45)

Ahora, con la carga en el puerto de entrada

[V2

I2

]=

[T

]i

[V1

−I1

]=

[D B

C A

] [V1

−I1

](2.46)

con

V1 = −ZXI1 (2.47)

Zsa =DZX + B

CZX + A(2.48)

y comparando a Zen y Zsa ambas seran iguales si D = A ; se denomina Cuadripolo

Simetrico.

Si se supone que Zen = ZX , esto es, la impedancia vista desde la puerta de entrada

sea exactamente ZX o de carga, a esta se le denomina Impedancia Caracterıstica Z0 ;

Zen = ZX = Z0 (2.49)

2.4. CONEXIONES DE LOS CUADRIPOLOS 27

Z0 =AZ0 + B

CZ0 + D(2.50)

despejando a Z0 quedan dos soluciones

Z0(1,2) =A−D

2C± 1

2C

√(A−D)2 + 4BC (2.51)

si el cuadripolo es simetrico entonces

Z0(1,2) = ±√

B

C(2.52)

Y se puede encontrar con solo realizar dos pruebas en el punto de salida. O sea, si

V2 = 0 (corto circuito),

Zen =B

D(2.53)

y si −I2 = 0 (eliminacion de corriente),

Zen =A

C(2.54)

de la raız cuadrada del producto de las dos, si es simetrico, se obtiene;

Z0(1,2) = ±√

Zen(V2=0) × Zen(I2=0) = ±√

B

C(2.55)

esta impedancia puede garantizar, en ciertos cuadripolos, una maxima transferencia de

potencia de la fuente que lo alimenta hacia la carga de este.

2.4. Conexiones de los cuadripolos

Las posibilidades de conectar dos o mas cuadripolos son varias en donde se deben

cumplir ciertas condiciones para poder obtener unos cuadripolos equivalentes teniendo

en cuenta que no existe una teorıa solida que garantice esto, esto es, arreglos que

puedan reemplazar los originales en sus conexiones de tal forma que cada uno de ellos

no pierdan sus particularidades.


En principio cualquier cuadripolo, por simple que sea, es un arreglo de dos o varios

cuadripolos, por ejemplo;

Una resistencia R puede ser un arreglo, como equivalente, de dos cuadripolos

conectados como se muestra a la derecha de la figura anterior, o viceversa, dos

resistencias generan un solo valor R.

Figura 2.6: Resistencias en serie.

2.4.1. Conexion serie y equivalencia

Si se dan dos cuadripolos con matrices [Z] conectados como

Figura 2.7: Conexion serie.

Se denomina Conexion Serie si se dan las siguientes condiciones;[V1

V2

]a

+

[V1

V2

]b

=

[V1

V2

]eq

(2.56)

[I1

I2

]a

=

[I1

I2

]b

=

[I1

I2

]eq

(2.57)

Es necesario que se cumplan para que el cuadripolo equivalente muestre la suma

matricial de las matrices [Z], el cual queda como tal o sea con todas las propiedades


de un cuadripolo. Para asegurar lo anterior se recurre a la prueba de Brune para la

conexion serie;

Figura 2.8: Prueba de Brune.

Por la naturaleza de esta conexion las corrientes de entrada en cada lado deben ser

iguales y esto solo se garantiza si V=0.

Se pueden conectar dos o mas cuadripolos en serie y con las condiciones basicas ya

establecidas el cuadripolo equivalente tendra como matriz [Z] a la suma de las matrices

de cada una de ellos. Para evaluar a Brune, en este caso, se debe hacer primero para

dos y encontrar su equivalente y tratado como uno hacerle la prueba con el tercero y

ası sucesivamente donde la conexion es conmutativa, o sea, se puede cambiar la posicion

del cuadripolo [Z]a por [Z]b y lo contrario sin afectacion por la propiedad conmutativa

en la suma matricial.

2.4.2. Conexion paralelo y equivalencia

Se dan dos cuadripolos con matrices [Y ] conectadas como figura 2.9

Figura 2.9: Conexion paralelo.


Se denomina Conexion Paralelo donde se dan las siguientes condiciones;

[V1

V2

]a

=

[V1

V2

]b

=

[V1

V2

]eq

(2.58)

[I1

I2

]a

+

[I1

I2

]b

=

[I1

I2

]eq

(2.59)


matricial de las matrices [Y ] y para lo anterior, se recurre a la prueba de Brune para

la conexion paralelo;

Figura 2.10: Prueba de Brune.

Para garantizar que la tensiones queden inalteradas bajo esta conexion las tensiones V

deben ser cero al hacer el corto en las respectivas entradas y respecticvas salidas y para

cada caso.

Lo mismo que para la Conexion Serie, se pueden conectar dos o varios cuadripolos en

paralelo; resulta un cuadripolo equivalente cuya matriz [Y ] es la suma de las matrices

[Y ] de cada una de ellos siendo esta conmutativa.

Esta conexion, bajo ciertas restricciones, es usada, por ejemplo en los bancos de

transformadores monofasicos, para generar uno trifasico al modelarse estos como

cuadripolos.


2.4.3. Conexion cascada

Se dan dos cuadripolos con matrices [T ] conectados como

Figura 2.11: Conexion cascada.

Se denomina Conexion Cascada si se dan las siguientes condiciones[V1

I1

]a

=

[V1

I1

]eq

(2.60)

[V2

I2

]a

=

[V1

−I1

]b

(2.61)

[V2

I2

]b

=

[V2

I2

]eq

(2.62)

Donde es necesario que se cumplan para que el cuadripolo equivalente muestre el

producto de las matrices [T ] .

Con la consideracion basica, que cada cuadripolo conserve su [T ], se pueden conectar

en cascada dos o mas cuadripolos, pero en este caso por ser la operacion multiplicacion

matricial no conmutativa no se pueden intercambiar; si hay mas de dos, se deben tomar

las dos primeros y encontrar su equivalente y este conectado en cascada con el tercero

y ası sucesivamente.

Existe la posibilidad de intercambiar en aquellos que tengan como matriz [T ] a la matriz

unidad y otros casos especiales.

Ejemplo de Aplicacion:

Demostrar que dos impedancias Z1, Z2 en serie se pueden tratar como el producto de

sus matrices de transmision.


Del cuadripolo mostrado (puede ser para Z2 ).

Figura 2.12: Ejemplo de aplicacion.

A =V1

V2

∣∣∣∣−I2=0

= 1 B =V1

−I2

∣∣∣∣V2=0

= Z1

C =I2

V1

∣∣∣∣−I2=0

= 0 D =I1

−I2

∣∣∣∣V2=0

= 1

Ası, en cascada dos cuadripolos, con Z1 y Z2 respectivamente[V1

I1

]Eq

=

[1 Z1

0 1

] [1 Z2

0 1

] [V2

−I2

]Eq

[V1

I1

]Eq

=

[1 Z1 + Z2

0 1

] [V2

−I2

]Eq

En este caso es conmutativa la conexion, como era de esperarse, por el caracter de cada

una de las matrices de cada cuadripolo.

Ejemplo de descripcion de un sistema de potencia. Suponga un sistema de potencia.

Figura 2.13: Un sistema de potencia.

Describirlo como conexion cascada de cuadripolos entre los puntos 1 y 2.

Si la Zen es igual a ZX , en donde si ademas |Zg| = |Z0| se estarıa generando una maxima

transferencia de potencia a la carga ZX por parte del generador Vg .


Figura 2.14: El sistema conformado por cuadripolos.

Figura 2.15: Sistema equivalente en s.

2.4.4. Conexiones mixtas

Conexion serie-paralelo

Figura 2.16: Conexion serie-paralelo.

Se denomina Conexion Serie Paralelo si se dan las siguientes condiciones;[I1

V2

]a

=

[I1

V2

]b

=

[I1

V2

]eq

(2.63)

[V1

I2

]a

+

[V1

I2

]b

=

[V1

I2

]eq

(2.64)


matricial de las matrices [h].


Conexion paralelo-serie

Se dan dos cuadripolos con matrices [g] conectadas como;

Figura 2.17: Conexion paralelo serie.

Se denomina Conexion Paralelo Serie si se dan las siguientes condiciones;[V1

I2

]a

=

[V1

I2

]b

=

[V1

I2

]eq

(2.65)

[I1

V2

]a

+

[I1

V2

]b

=

[I1

V2

]eq

(2.66)


matricial de las matrices [g].

2.5. Ejercicios Propuestos1. Encontrar G2g(s) para el cuadripolo. Recomendacion; utilizar conexion cascada.

Figura 2.18: Ejercicio propuesto.

2. Demostrar que con un transformador ideal se pueden realizar conexiones cascada

conmutativas.


3. Encontrar el equivalente de


4. Investigar el modelo de transformador real, como una aproximacion , como

cuadripolo.

5. Es posible con M=1 encontrar [Z] y [T ] del cuadripolo mostrado?


6. Encontrar la matriz Z del siguiente cuadripolo


7. Realizar entre los dos cuadripolos todas las conexiones posibles.

Capıtulo 3

TECNICAS PARA REDUCCION

DE CUADRIPOLOS

En este capıtulo se tratara una serie de teoremas y principios, sobre cuadripolos

transformados, buscando simplificar el manejo o interpretacion de ellos con sus

equivalencias y restricciones.

3.1. Equivalencia de un cuadripolo utilizando

Millman

Sean n elementos en paralelo con fuentes de tension en serie que pueden incluir

condiciones iniciales, se conocen las fuentes V y las admitancias Y, se desea encontrar

tension vista desde a,b.

Figura 3.1: Cuadripolo en s con elementos en paralelo.

37

38 CAPITULO 3. TECNICAS PARA REDUCCION DE CUADRIPOLOS

La tension Vab en cada ramaVab = − I1

Y1

+ V1

Vab = − I2

Y2

+ V2 (3.1)

Vab =I3

Y3

+ V3

......

Vab =In

Yn

+ Vn

Las corrientes, sumandolas

− I1 = Y1Vab − V1Y1

−I2 = Y2Vab − V2Y2 (3.2)

I3 = Y3Vab − V3Y3

......

In = YnVab − EnYn

Para despejar Vab, con −I1 − I2 + I3 + .. + In = 0

Vab =V1Y1 + V2Y2 + ..... + Vn

Y1 + Y2 + ..... + Yn

(3.3)

Expresion conocida como equivalente Millman, como se muestra en la figura 3.2, para

la tension Vab que permite calcular las respectivas corrientes de rama o viceversa y

con representacion como la anteriror partirla en n ramas.

Figura 3.2: Equivalente de Millman en s.

3.2. RECIPROCIDAD APLICADA A CUADRIPOLOS 39

3.2. Reciprocidad aplicada a cuadripolos

Sea el cuadripolo mostrado en la figura 3.3 con condiciones iniciales iguales a cero. con

Figura 3.3: Cuadripolo para reciprocidad.

V2 = 0 y conectando en el puerto 1 con E se calcula la corriente en el puerto 2 que es

IX .

Figura 3.4: Concetado con E y corto en la salida.

si se realiza el corto en 1 y se alimenta con la misma fuente E en 2

Figura 3.5: Exitado con E y corto en la entrada.

si se produce la misma IX en ambos casos, el cuadripolo es Recıproco. Lo anterior

llevado a las ecuaciones de transmision y para el primer caso V2 = 0,

IX = −E

B(3.4)

y para el segundo caso

0 = AE −BI2 (3.5)


IX = CE −DI2 (3.6)

reemplazando IX e I2 y con la ultima ecuacion se origina la Identidad de Transmision;

AD −BC = 1 (3.7)

A2 −BC = 1 (3.8)

si es simetrico.

No solo es la identidad sino es el determinante de [T ], ademas permite verificar si un

cuadripolo es recıproco o no.

3.3. Teoremas de Thevenin y Norton en cuadripolos

Se van aplicar los teoremas de Thevenin y Norton dentro de ciertas restricciones, en el

caso particular de cuadripolos sin considerar las condiciones iniciales y si existen fuentes

dependientes estan confinadas en estos.

Se parte de [V1

I1

]=

[A B

C D

] [V2

−I2

](3.9)

Figura 3.6: Cuadripolo para Thevenin.

Con una carga ZX ubicada en la puerta 2, se encontrara el equivalente Thevenin;

primero anulando a V1

3.3. TEOREMAS DE THEVENIN Y NORTON EN CUADRIPOLOS 41

Figura 3.7: Impedancia de Thevenin en s.

0 = AV2 −BI2 (3.10)

V2

I2

= ZTH =B

A(3.11)

y con −I2 = 0, V1 6= 0;

VTH =V1

A(3.12)

Circuito equivalente Thevenin.

Figura 3.8: Thevenin con la primera ecuacion de transmision.

a partir de este su Norton.

Figura 3.9: Norton de la anterior.

ahora, a partir de la segunda ecuacion de transmision el equivalente Norton


Figura 3.10: Corriente de Norton con la segunda ecuacion de transmision.

I1 = −DI2 (3.13)

IN =I1

D(3.14)

Figura 3.11: Impedancia de Norton.

0 = CV2 −DI2 (3.15)

V2

I2

= ZN =D

C(3.16)

Circuito equivalente Norton

Figura 3.12: Norton con la segunda ecuacion de transmision.

y a partir de este se encuentra su equivalente Thevenin


Figura 3.13: Thevenin de la anterior.

Son distintos; ¿ no deberıan ser iguales debido a que se obtuvieron a partir de la

misma red?. Una posible respuesta podrıa ser porque para un caso se utilizo la primera

ecuacion de transmision y para el otro a partir de la segunda ecuacion.

Si de la primera ecuacion se despeja V2

V2 =V1 + BI2

A(3.17)

y de la segunda

V2 =I1 + DI2

C(3.18)

e igualando ambas, para I2

I2 =CV1 − AI1

AD −BC(3.19)

si la red es recıproca entonces ∆T = AD −BC = 1,

I2 = CV1 − AI1 (3.20)

I2 en la primera de transmision despejado V2

V2 = V11 + BC

A−BI1 (3.21)

Figura 3.14: Analisis de Norton.


analizando para el Norton

V2 =B

A

(V1

B+ I2

)(3.22)

V2 =B

A

(V1

B+ CV1 − AI1

)(3.23)

V2 = V11 + BC

A−BI1 (3.24)

e igualando con el anterior V2 significa que las dos redes producen el mismo efecto

externo; V2, de ella

V2 =D

C

(I1

D+ I2

)(3.25)

Figura 3.15: Analisis con Norton.

V2 =I1 + D (CV1 − AI1)

C(3.26)

V2 = I11− AD

C+ DV1 (3.27)

Figura 3.16: Analisis con Norton.


y

V2 =D

CI2 +

I1

C(3.28)

V2 =D

C(CV1 − AI1) +

I1

C(3.29)

V2 = I11− AD

C+ DV1 (3.30)

E igualando con el anterior V2 significa que los dos cuadripolos producen el mismo efecto

externo V2

De la primera

V2 = V 11 + BC

A−BI1 (3.31)

D =1 + BC

A, B =

AD − 1

C(3.32)

de la segunda

V2 = I11− AD

C+ DV1 (3.33)

sı y solo sı son recıprocos, los dos presentan los mismos efectos externos, es decir, son

equivalentes.


Para la red mostrada en la siguiente figura encontrar su equivalente de Thevenin visto

desde el puerto 2. Suponer condiciones iniciales cero.

1. Utilizando los procedimientos comunes de circuitos.

2. Mediante la aplicacion de las ecuaciones de transmision.



1. Con I2 = 0 en la figura 3.18

Figura 3.18: Ensayos.

IL =sV1

s2 + 1

VTH =IL

s=

V1

s2 + 1

y para hallar ZTH , con la fuente de prueba Vp.

Figura 3.19: Mallas.

Ip = −Vp

[s2 + 1

s

]ZTH =

s2 − s + 1

s3 + s=

Vp

Ip

Circuito equivalente de Thevenin.

Figura 3.20: Equivalente.


2. Como ZTH =B

Ay VTH =

V1

A.

con

A =V1

V2

∣∣∣∣−I2=0

; A = s2 + 1

y

B =V1

−I2

∣∣∣∣V2=0

; B = s− 2

Este cuadripolo no es recıproco.


Dado el cuadripolo


Encontrar la ganancia G2g(s) y su equivalente Thevenin visto desde la carga.

Se puede resolver por varios metodos.

1. Calculando la matriz [T ] de dos cuadripolos conectados en cascada, y encontrar

su equivalente;

Figura 3.22: Cuadripolos conectados en cascada.

El primero


Figura 3.23: Primer cuadripolo.

[T ]a =

[1 1

0 1

]El segundo

Figura 3.24: Segundo cuadripolo.

[T ]b =

[2s2 + 1 s (2s2 + 2)

2s 2s2 + 1

]

el anterior cuadripolo es simetrico y recıproco.

[T ]eq = [T ]a [T ]b

V1 = Vg = AeqV2 + BeqV2

Aeq = 2S2 + 2S + 1

Beq = 2S3 + 2S2 + 2S + 1

G2g =V2

Vg

=1

Aeq + Beq

=1

2S3 + 4S2 + 4S + 2

2. Tambien se puede calcular G2g conocido [T ]b,


Figura 3.25: Determinacion de la ganancia.

para este circuito

Vg − V1 = I1

Vg − AbV2 −BbV2 = CbV2 + DbV2

G2g =V2

Vg

=1

Ab + Bb + Cb + Db

=1

2s3 + 4s2 + 4s + 2

3. Utilizando Millman en a,b.

Vab =Vg

2s2 + 2s + 2

con −I2 = V2 =Vab

s + 1

G2g =V2

Vg

=1

(s + 1)(2s2 + 2s + 2)=

1

2s3 + 4s2 + 4s + 2

Para su equivalente Thevenin

[T ]eq =

[A B

C D

]eq

ası,

Figura 3.26: Equivalente de Thevenin.


VTH =V1

2s2 + 2s + 1

ZTH =2s3 + 2s2 + 2s + 1

2s2 + 2s + 1

3.4. Equivalencia T, Π; Π, T

Si se da el caso particular que dos cuadripolos o mas tengan la misma matriz [Z] o

[Y] se definen cuadripolos equivalentes y no como el producto de conexiones.

Los dos cuadripolos mostrados seran equivalentes

Figura 3.27: Cuadripolos equivalentes.

si [Z]T = [Z]Π y esto es posible para cuando

Z11T= Z11Π

(3.34)

Z12T= Z12Π

(3.35)

Z21T= Z21Π

(3.36)

Z22T= Z22Π

(3.37)

y se llega a

Z1 =ZAZB

(ZA + ZB + ZC)(3.38)

Z2 =ZAZC

(ZA + ZB + ZC)(3.39)

Z3 =ZBZC

(ZA + ZB + ZC)(3.40)

y para su equivalente al multiplicar cada una de las anteriores entre sı y sumando estos

productos se despeja


ZA =(Z1Z2 + Z1Z3 + Z2Z3)

Z3

(3.41)

ZB =(Z1Z2 + Z1Z3 + Z2Z3)

Z2

(3.42)

ZC =(Z1Z2 + Z1Z3 + Z2Z3)

Z1

(3.43)

Impedancias o admitancias si es el caso; son equivalencias utilizadas ampliamente en

redes trifasicas; se pueden intercambiar sin afectacion ninguna.

3.5. Ejercicios Propuestos

1. Verificar si el cuadripolo de la figura es

a) Recıproco.

b) Encontrar su equivalente Thevenin y Norton. Explique.


2. Para el circuito de la figura encuentre vab(t).



3. Utilizando Thevenin, evaluar la tension V2(s) si la carga es de 1 Henrio.


Capıtulo 4

LA FUNCION DE

TRANSFERENCIA H(S)

Las representaciones circuitales en s permiten no solo el facil manejo algebraıco

fundamentalmente con las funciones de circuito y realizar evaluaciones de sus variables

en el tiempo sino, tambien, en la frecuencia tal como se muestra

Figura 4.1: Funcion de transferencia.

A manera de ejemplo las funciones de circuito son el resultado de una relacion de dos

senales en el tiempo transformadas, como en un cuadripolo

Z11 =V1(s)

I1(s)

∣∣∣∣I2(s)=0

= s + 1 (4.1)

Z11 es una relacion racional de dos polinomios en s y al despejar V1(s)

(s + 1) I1(s) = V1(s), con I2(s) = 0 (4.2)

d

dti1(t) + i1(t) = v1(t), para i2(t) = 0 (4.3)

Origina una ecuacion diferencial sı y solo sı sus condiciones iniciales no se tienen en

cuenta pero el resolverla sı las exige.

53

54 CAPITULO 4. LA FUNCION DE TRANSFERENCIA H(S)

Ahora, no solo son las funciones de circuito las unicas que se pueden representar de

esta manera existiendo un concepto de mas amplia aplicacion y se define Funcion de

Transferencia H(s) de un Sistema y este como una combinacion de elementos reunidos

para obtener un resultado.

Sea un sistema donde se pueden realizar pruebas o ensayos, ademas, con elementos

invariantes en el tiempo y sea valido el principio de la superposicion.

Figura 4.2: Funcion de transferencia.

Se define H(s) como

H(s) =R(s)

E(s)(4.4)

Originada, H(s), de

e(t) ↔ E(s)

∗ ×h(t) ↔ H(s)

r(t) ↔ R(s)

(4.5)

H(s) =R(s)

E(s)(4.6)

entonces,

R(s) = H(s)E(s) (4.7)

R(s) es el producto de la funcion de transferencia que identifica al sistema y la

transformada de la entrada. Para el caso H(s) = 1 entonces

R(s) = E(s) (4.8)

La senal de salida es identica a la entrada en el tiempo

L−1 [R(s)] = r(t) (4.9)

r(t) = h(t) ∗ e(t) (4.10)

55

Operacion conocida como Convolucion en el tiempo entre h(t) y e(t) ( la transformada

inversa del producto de H(s) y E(s)).

Si E(s) = 1

R(s) = H(s) (4.11)

La respuesta es la funcion de transferencia del sistema.

En terminos generales las funciones de transferencia vienen expresadas ası

H(s) =R(s)

E(s)=

ansn + an−1s

n−1 + .......

bmsm + bm+1sm−1 + .......(4.12)

Como la relacion de dos polinomios ya reducidos y an,bn reales donde el grado n entero

del numerador es al menos menor o igual al grado m entero del denominador, en caso

contrario

H(s) = coc(s) +res(s)

E(s)(4.13)

coc(s) cociente y res(s) residuo de la relacionR(s)

E(s)

Figura 4.3: Caso de dos entradas.

y aunque aparezcan dos entradas, res(s) no puede tener como funcion polinomica en s

un grado mayor que cero lo que significa que el grado del denominador en E(s) a lo

sumo puede ser igual al grado del numerador R(s) de lo contrario no cumple el Teorema

del valor inicial en H(s).

Si se despeja(bmsm + bm−1s

m−1 + .....)R (s) =

(ans

n + an−1sn−1 + .....

)E(s) (4.14)

en el tiempo

bmdm

dtmr(t) + bm−1

dm−1

dtm−1r(t) + .... =

dn

dtne(t) +

dn−1

dtn−1e(t) + .... (4.15)


ecuacion diferencial que relaciona r(t) contra e(t), ademas puede provenir de una

integrodiferencial.

Si se hace e(t) = 0

bmdm

dtmr(t) + bm−1

dm−1

dtm−1r(t) + .... = 0 (4.16)

La homogenea de la respuesta cuya solucion es la suma de las rj(1, 2, .....,m)

rh(t) = K1r1(t) + K2r2(t) + ......... + Knrm(t) t ≥ 0 (4.17)

y son necesarias las condiciones iniciales del sistema para evaluar K1,K2,.....,Km ,

constantes de integracion.

La total

r(t) = rh(t) + rlibre(t) (4.18)

para rlibre(t) dependiente de e(t).

Las rj(t) estan ligadas a las raıces del polinomio “operacional”(bmpm + bm−1p

m−1 + .....)r (t) = 0 (4.19)

si:

p =d

dt, p2 =

d2

dt2, ....., pm =

dm

dtm(4.20)

para m raıces, pueden ser complejas y ademas las an y bm solo dependen del como

esta conformado el sistema.

Pueden existir sistemas que aunque sean diferentes, por ejemplo, mecanicos,

electronicos, etc., originan la misma funcion de transferencia H(s) lo que ha permitido

hacer simulaciones con sımiles.

Por lo anterior , por ejemplo, el mostrar el equivalente de la admitancia transformada

(funcion de transferencia) de una inductancia

Figura 4.4: La inductancia con un sistema.

57

H(s) = Y (s) =I(s)

V (s)=

1

Ls(4.21)

Se utiliza esta inductancia como elemento almacenador de energıa magnetica.

Un arreglo que da la misma H (s) sin la particularidad de almacenar energıa en donde

su aplicacion permite reemplazar el inductor como elemento circuital esta basado en

Amplificadores Operacionales.

Un amplificador Operacional es representado como en la figura

Figura 4.5: Amplificador operacional.

Su modelo circuital es el mostrado en la figura siguiente

Figura 4.6: Circuito equivalente del amplificador.

Entre sus propiedades; puede generar altas ganancias de tension G, tener alta

impedancia de entrada, baja impedancia de salida y esto permite obtener diferentes

arreglos y funciones de transferencia.

Existen dos entradas; inversora(-), no inversora(+) referenciadas a una “tierra”.

Ahora; con el arreglo circuital siguiente y las anteriores propiedades del amplificador

operacional


Figura 4.7: Una misma respuesta como una inductancia en s.

para este diseno se considera

v(+) ≈ v(−) (4.22)

con dos ecuaciones de nodo

i1 + i2 = 0 (4.23)

y2 (v1 − vg) + y3 (v2 − vg) = 0 (4.24)

y2v1 − y2vg + y3v2 − y3vg = 0 (4.25)

(y2 + y3) vg = y2v1 + y3v2 (4.26)

i3 + i4 = 0 (4.27)

y4 (v2 − vg) + y5 (0− vg) = 0 (4.28)

y4v2 − y4vg − y5vg = 0 (4.29)

(y4 + y5) vg = y4v2 (4.30)

en forma matricial [y2 + y3

y4 + y5

]Vg =

[y2 y3

0 y4

] [v1

v2

](4.31)

[v1

v2

]=

1

∆y

[y4 −y3

0 y2

] [y2 + y3

y4 + y5

]vg =

1

∆y

[y2y4 + y3y4 − y3y4 − y3y5

y2y4 + y2y5

]vg

(4.32)

4.1. POLOS Y CEROS 59

de la matriz antes de la inversion

∆y = y2y4 (4.33)[v1

v2

]=

1

∆y

[y2y4 − y3y5

y2y4 + y2y5

]vg v1, v2 = f(vg) (4.34)

por otro lado, la impedancia de entrada Zen

Zen =Vg

i1, i1 = (vg − v1) y1 (4.35)

v1 =1

∆y

(y2y4 − y3y5) vg (4.36)

i1 = y1

(1− y2y4 − y3y5

y2y4

)vg =

y1y3y5

y2y4

vg (4.37)

sustituyendo en Zen

Zen =y2y4

y1y3y5

(4.38)

Sıntesis del inductor, si

y1 =1

R1

, y2 =1

R2

, y3 =1

R3

(4.39)

y4 = C4s y y5 =1

R5

(4.40)

Se obtiene

Zen (s) =R1R3R5C4s

R2

(4.41)

Yen (s) =1

LsL =

R1R3R5

R2

C4 (4.42)

se observa una impedancia inductiva con solo colocar en y4 un capacitor, impedancia

vista entre los puntos a y tierra.

4.1. Polos y ceros

Para

H(s) =R(s)

E(s)=

an

n∏(s− Zi)

bm

m∏(s− Pj)

(4.43)

Se definen las raıces Zi de R(s) como Ceros y las de E(s), Pj, como Polos de la funcion

de transferencia:


1. H(s) esta reducido sobre transformaciones algebraıcas que “esconden” el

origen de la conformacion del sistema. Se pueden cancelar del numerador y del

denominador iguales funciones factorizadas.

2. Son raıces que dependen del como esta conformando el sistema, de los an y bm.

3. Pueden ser complejas.

4. Los Pj son la mismas raıces del polinomio operacional de la respuesta homogenea

si E(s) = 0.

Tanto los polos y los ceros se pueden representar en el plano complejo.

Por ejemplo, tres ceros y cuatro polos, en la siguiente figura

Figura 4.8: Ubicacion de polos y ceros.

donde el sımbolo X corresponde a los polos y el a los ceros. Ademas, P1 muestra

una multiplicidad doble y P3, P4 deben ser complejos y conjugados.

Estos conllevan la respuesta homogenea del sistema y es

rh(t) = K1e−t + K2te

−t + K3e−2te

√3jt + K4e

−2te−√

3jt para t = 0 (4.44)

y para que esta respuesta sea estable (finita), causada por la condiciones iniciales,

todos sus polos deben estar ubicados en el semiplano izquierdo del plano complejo;

rh(t)t−→∞ −→ finito (4.45)

4.2. H(S) COMO FUNCION COMPLEJA 61

y si al menos hay un polo en el semiplano derecho

rh(t)t−→∞ −→ no finito (4.46)

4.2. H(s) como funcion compleja

Al realizar el cambio s=jw la variable s se referencia el sistema a la variable real

frecuencia, w, dada en radianes por segundo(

rads

)o

(ciclos

s

), hertz.

Para los elementos L, M y C de una red, sus funciones de Impedancia transformada se

convierten en funciones complejas con una magnitud y una fase.

Ası por ejemplo, para la inductancia L, es una relacion de magnitudes y un desfase

entre un voltaje y una corriente

Z(s) =V (s)

I(s)s = jw (4.47)

Z(w) =V (w)

I(w)= jwL (4.48)

Z(w) =|V (w)||I(w)|

∠90o

= |wL|∠90o

(4.49)

Para la capacitancia C

Z(w) =|V (w)||I(w)|

∠− 90o

=1

|wC|∠− 90

o

(4.50)

son funciones complejas de variable real w (fısica real), con magnitud y fase. Ahora

con

s = jw H(w) =R (w)

E(w)(4.51)

Todos los elementos dependientes de s, o sea jw, inclusive despues de transformaciones

algebraicas quedan referenciados a la frecuencia originando como resultado final una

H(w) funcion compleja de variable real dependiendo no solo de esta sino ademas

del como esta constiuıdo el sistema y ademas de la fuente que la origina ,una fuente

de alimentacion; no es posible s=jw sin existir una fuente externa que oblige a los

elementos de red o sistema a enclavarse con la frecuencia, no es ya un arreglo matematico

y tampoco es el caso particular de una frecuencia natural del sistema.


Por lo tanto

Figura 4.9: Sistema referenciado a la frecuencia.

Es E(w) ,la fuente, que fuerza a H(w) y a R(w) a depender de la frecuencia.

Los polos y los ceros quedan referenciados a jw, por ejemplo

Figura 4.10: Polos y ceros refenciados a la frecuencia.

Con s = jw

H(w) =R(w)

E(w)=

an

n∏(jw − Zi)

bm

m∏(jw − Pj)

= |H(w)| ejFase(w) (4.52)

|H(w)| = an

bm

|jw − Z1| |jw − Z2| .......... |jw − Zn||jw − P1| |jw − P2| .......... |jw − Pm|

(4.53)

θi = Tan−1 Imag(jw − Zi)

Real(jw − Zi); αj = Tan−1 Imag(jw − Pj)

Real(jw − Pj)(4.54)

4.2. H(S) COMO FUNCION COMPLEJA 63

Fase(w) =∑

θi −∑

αj (4.55)

Cada una de las partes de H(w) conforman, tanto en magnitud y fase, este resultado

R(w)

E(w)=|R(w)||E(w)|

ejFase(w) (4.56)

donde se puede considerar a |E (w)| = constante, y referencia en frecuencia todo el

sistema o red.

Existen dos formas basicas de representar a H(w);

La forma hodografica (parametrica)

H(w) = Re(w) + jI(w) (4.57)

Re(w) Parte real, I(w) Parte Imaginaria

Figura 4.11: Parametrica de una funcion.

De esta, se pueden extraer |H(w)| como la Fase(w) directamente.

Por partes, la magnitud y la fase, como se muestra en la figura 4.12


Figura 4.12: Representacion grafica por separado.

Cada una se elabora por separado.

4.3. Respuesta forzada

Si la fuente de alimentacion a la red es del tipo

E(w) = |E (w)|Cos(wt) (4.58)

Se define como fuente de audio o de frecuencia variable de tipo sinusoide. Ası, que,

para una frecuencia dada w la representacion en el tiempo de la respuesta r(t), si se

mantiene la magnitud de e(t) constante, es

r(t) = Real

(|E (w)| |H(w)| ejFase(w)ej(wt)

)(4.59)

porque H (w), para este caso, lo unico que le hace a la entrada es alterarle su magnitud

|E (w)| |H(w)| y su fase en Fase(w); no genera distorsion en la senal sinusoide de

entrada.

r(t) = |E (w)| |H(w)| (Cos(wt + Fase(w)) respuesta r(t) forzada (4.60)

O fasorialmente. Ver la figura

4.3. RESPUESTA FORZADA 65

Figura 4.13: Salida contra la entrada en w.


Para el cuadripolo mostrado encontrar:

1. H(s) =V2(s)

Vg(s), ganancia de tension

2. Localizacion de polos y ceros.

3. Respuesta en el tiempo homogenea para v2(t).

4. Respuesta forzada v2(t) si vg(t) = 10 cos(wt).

5. Respuesta v2(t) por Laplace y comparar con 4.


Con

V2(s)

Vg(s)=

1

Ab + Bb + Cb + Db

(4.61)

Parametros del cuadripolo entre 1 y 2, o segundo cuadripolo

Ab =s2 + 2

s2, Bb =

2s2 + 2

s3(4.62)


Figura 4.15: Representacion en s.

Cb =2

s, Db =

s2 + 2

s2(4.63)

H(s) =1

2

s3

(s + 1)(s2 + s + 1)(4.64)

polos y ceros en la figura 4.16

Figura 4.16: Polos y ceros.

La respuesta v2(t) (forzada)

v2(t) = Real

[1

2

s3

(s + 1)(s2 + s + 1)

∣∣∣∣s=jw

10ejwt

](4.65)

si Real(10ejwt) = 10 cos wt (4.66)

4.3. RESPUESTA FORZADA 67

Para la magnitud

|v2(w)| = 10

2

w3

√1 + w2

1√(1− w2)2 + w2

(4.67)

v2(t) = 5w3

√1 + w2

√(1− w2)2 + w2

cos(wt− 90 − t−1j w − t−1

j

w

1− w2) (4.68)

para todo t

Figura 4.17: Magnitud ejercicio de aplicacion.

aparecen |v2(t)| y fase(w), o desfase, en la anterior expresion con respecto a vg(t) que

se considera a 0 (referencia).

Para la respuesta homogenea solo se toman los polos (ubicados en el semiplano

izquierdo) y con vg(t) = 0,

v2(t) = K1e−t + K2e

− t2 ej

√3

2t + K3e

− t2 e−j

√3

2t para t ≥ 0 (4.69)

para encontrar v2(t) con Laplace

V2(s)

Vg(s)= H(s) =

s3

2(s + 1)(s2 + s + 1)(4.70)

Se despeja

V2(s) =s3

2(s + 1)(s2 + s + 1)Vg (s) (4.71)

si

vg(t) = 10cos(wt)↔ 10s

s2 + w2; w constante (4.72)


en este caso

V2(s) =5s4

(s + 1)(s2 + s + 1)(s + jw)(s− jw)(4.73)

Se puede encontrar v2(t) utilizando fracciones parciales y tambien se obtiene con el

apoyo del Matlab con los comandos

syms t s w

v2(t) = ilaplace

(5 ∗ s4

((s + 1) ∗ (sˆ2 + s + 1) ∗ (s + j ∗ w) ∗ (s− j ∗ w))

)(4.74)

se llega con pocas transformaciones a

v2(t) = 5w3

√1 + w2

√(1− w2)2 + w2

cos(wt−90−t−1j w−t−1

j

w

1− w2)+e−

t2 ϕ(w, t)+e−tα(w, t)

(4.75)

En este caso, con Laplace, aparece una componente “transitoria” debido al caracter

mismo de la transformada y la respuesta forzada; es una respuesta de regimen

permanente.

4.4. Ejercicio Propuesto

1. Describir la H(s) para el sistema mecanico de la figura siguiente que relaciona el

desplazamiento x y la fuerza externa F(t). Considere rozamiento de la superficie

diferente de cero, analizar;


a) Polos y ceros, respuesta homogenea y respuesta forzada, si F (t) = cos wt

b) Encuentre un sımil electrico.

Capıtulo 5

FILTROS ELECTRICOS

Existen dispositivos de amplia gama y aplicacion que estan en capacidad de discriminar

determinadas bandas de frecuencias y se les denomina FILTROS.

Hay filtros opticos, mecanicos, biologicos, electricos, etc; lo que realizan es un bloqueo,

de acuerdo con ciertas especificaciones, en la frecuencia para determinado fin, por

ejemplo; el ojo humano solo es sensible a cierto espectro de la radiacion de la luz,

la piel solo siente el espectro infrarojo, la radio esta en capacidad de seleccionar ciertas

bandas de la radiacion electromagnetica, etc.

Aca se trataran los filtros electricos pasivos partiendo desde los mas simples hasta llegar

a los basicos activos analogos.

Para dar un ejemplo si se estudia H (w) =V2(w)

V1(w)para el circuito mostrado

Figura 5.1: RC como filtro.

se encuentra

H(w) =1

1 + jw=

1√1 + w2

∠− tg−1w (5.1)

con la grafica y con |V1(t)| = constante

69

70 CAPITULO 5. FILTROS ELECTRICOS

Figura 5.2: Respuesta en w del RC.

la magnitud de v2(t) (como respuesta forzada si v1 (t) = cos(wt), como fuente )

disminuye a medida que crece w, v2(t) −→ 0; por lo tanto se puede considerar

un filtro electrico. Se dan a continuacion unas consideraciones sobre lo que se entiende

y debe cumplir un Filtro Electrico. Los filtros ideales son fısicamente imposibles de

construir porque no son causales para cierto tipo de excitacion como se vera en el

curso de Analisis, Filtrado y Transmision de Senales.

Estas son;

1. No hay distorsion a la salida de ellos.

2. Se cumple el principio de la superposicion.

3. Son causales, la salida nunca adelanta a la entrada en el tiempo.

5.1. Tipos de filtros electricos pasivos

5.1.1. Filtro Pasa Bajo

Figura 5.3: Respuesta de un filtro pasa bajo.

5.1. TIPOS DE FILTROS ELECTRICOS PASIVOS 71

5.1.2. Filtro Pasa Alto

Figura 5.4: Respuesta de un filtro pasa alto.

5.1.3. Filtro Pasa Banda

Figura 5.5: Respuesta de un filtro pasa banda.

5.1.4. Filtro Eliminador de Banda

Figura 5.6: Respuesta de un filtro eliminador de banda.

Cada uno de ellos se clasifica de acuerdo a la banda o (bandas) que eliminan o dejan

pasar, bandas pasantes y de bloqueo, delimitadas por unas frecuencias de corte Wcorte.


En estos∣∣V2(w)

∣∣ se hace igual a∣∣V1(w)

∣∣ o a cero en los filtros ideales. Los filtros con

buen diseno tratarıan de “seguir” cualquiera de los cuatro graficas ideales mostradas

anteriormente, dependiendo del tipo, como se muestra con las lıneas punteadas.

5.1.5. Modelos circuitales para filtros pasivos

Se tienen los siguientes cuadripolos:

Modelo Tipo T

Figura 5.7: Modelo tipo T.

Modelo Tipo Π

Figura 5.8: Modelo tipo π.

Ambos son cuadripolos recıprocos y simetricos, cargados con sus respectivas

impedancias caracterısticas Zo que son funciones de s. Si se calcula para cada uno

de ellos esta Zo

ZoT = +

√BT

CT

=√

Z1Z2

√1 +

Z1

4Z2

(5.2)

Zoπ = +

√Bπ

Cπ

=

√Z1Z2√

1 +Z1

4Z2

(5.3)

se cumple ZoT .Zoπ = Z1Z2


Y ademas se establece Z1Z2 = constante y en los disenos se espera que las Zo(w) traten

de permanecer constantes en cada una de las bandas pasantes y anularse en las bandas

de bloqueo, como para un pasa bajo ideal; constante hasta una frecuencia de corte

Figura 5.9: Impedancia caracterıstica de un filtro pasa bajo ideal.

Lo anterior para garantizar una maxima transferencia de potencia y permitir un acople

perfecto de impedancias con otros dispositivos o filtros (Si de una conexion cascada se

trata).

5.1.6. Filtros pasa bajo tipo T y Π normalizados

El filtro pasa bajo tipo T con s=jw es

Figura 5.10: Circuito T de un pasa bajo.

ZoT =

√L

C

√1− w2LC

4(5.4)

y para el filtro pasa bajo tipo π con la mismas Z1, Z2

Zoπ =

√LC√

1− w2LC

4

(5.5)


se ve que ZoT .Zoπ =L

C=constante

las graficas que se obtienen para ambas Zo contra w reales y positivas son

Figura 5.11: Impedancia caracterıstica de los dos circuitos.

ambas con wcorte =2√LC

, entre este valor y cero dan unas Zo reales positivas pero

no son constantes en esta banda, por lo tanto, se opta para un diseno practico cargarlos

con Ro =

√L

Cy considerar que estos valores para las Zo(w) permanecen constante

aproximadamente hasta el 50% de la banda pasante; lo anterior hace que estos filtros

no sean por supuesto ni ideales, ni garanticen un perfecto acople de impedancias, ni

una maxima trasferencia de potencia.

Ası, para el primer filtro conectado a una fuente vg(t) con una Rg interna

Figura 5.12: Un pasa bajo T conectado a un generador.

Para su diseno se necesita conocer L y C que aparecen en

wcorte =2√LC

; Ro =

√L

C(5.6)


O viceversa dadas wcorte, Ro encontrar L ,C.

Por lo general lo que se da es la frecuencia hasta donde se desea “dejar pasar” y luego

escoger Ro para evaluar L y C ,desde luego, serıan infinitos disenos y por lo anterior se

opta por partir del filtro Pasa Bajo Normalizado con

wcorte = 1, Ro = 1 (5.7)

Los valores L=2, C=2 permiten lo anterior; el diseno

Figura 5.13: Circuito normalizado de un pasa bajo T.


Se pide disenar un filtro que solo deje pasar aproximadamente frecuencias hasta 2000rad

s.

El filtro a disenar, como pasa bajo, tendra una banda pasante de 2000 y del normalizado

se saca de la norma 1 y se lleva hasta 2000

wcorte =2√

2× 2

(2000)2

= 1× 2000

Figura 5.14: Pasa bajo T llevado a un frecuencia de corte de 2000.


wcorte = 2000 , Ro = 1

Se puede llevar a una Ro = 500Ω, se saca de la norma a la resistencia de carga

Ro =

√√√√2× 5002

500

= 1× 500

Figura 5.15: Pasa bajo T.

wcorte = 2000 , Ro = 500

Este tendra una “respuesta aceptable” hasta un 50% de la banda pasante; si por ejemplo

vg(t) = 10 cos(300t)

v2(t) w 5 cos(300t + Fase(300))

Calculando a v2(t) como Respuesta forzada a una frecuencia de 300 teniendo en cuenta

que esta es con respecto a vg(t) y no con v1(t) y en este caso su magnitud serıa de 10

aproximadamente.

El filtro pasa bajo tipo Π normalizado es

Figura 5.16: Circuito normalizado para un pasa bajo Π.


Filtro Pasa Bajo tipo Π normalizado

wcorte = 1 , Ro = 1

Para el mismo ejemplo anterior se saca de la norma en frecuencia, de 1 a 2000rad

sy

Ro = 1 a 500Ω.

Figura 5.17: Pasa bajo Π llevado a un corte de 2000 y una carga de 500.

5.1.7. Filtros pasa alto tipo T y Π normalizados

Se propone para s = jw, al cambiar L por C y C por L en el pasa bajo

Figura 5.18: Circuito T de un filtro pasa alto.

ZOT =

√L

C

√1− 1

4w2LC(5.8)

ZOT .ZOΠ =L

C= constante

y las graficas


Figura 5.19: Impedancias caracterısticas de los dos circuitos.

ambos con wcorte = 12√

LC, dentro de este valor e infinito se toman unas Zo reales

positiva donde no son constantes en esta banda, por lo tanto, se opta para disenos

practicos cargarlos con Ro =√

LC

, se considera que valores de Zo(w) permanecen

aproximadamente constantes hasta un 50% por encima de la frecuencia de corte.

El modelo tipo T y conectado a la fuente vg(t) con una Rg interna

Figura 5.20: Un pasa alto T conectado a un generador.

para su diseno se necesita conocer L y C con

wcorte =1

2√

LC, Ro =

√L

C(5.9)

Con las mismas consideraciones del filtro pasa bajo respecto a los infinitos disenos

posibles se opta por partir del Filtro Pasa Alto Normalizado


wcorte = 1 , Ro = 1 (5.10)

Los valores L = 12, C = 1

2permiten lo anterior y el diseno queda

Figura 5.21: Circuito normalizado para un pasa alto T.


Se desea calcular un filtro que solo deje pasar frecuencias encima de 3000rad

s.

Como pasa alto, teniendo una banda pasante desde 3000 hasta el infinito.

Del normalizado se saca de la norma 1 en frecuencia y se lleva hasta 3000.

wcorte =1

2

√1

2× 1

2× 1

(3000)2

= 1× 3000

Figura 5.22: Pasa alto T llevado a un corte de 3000.

wcorte = 3000; Ro = 1

Se puede llevar a una Ro = 1000Ω y se saca de la norma para la resistencia


Ro =

√√√√√√1

2× 1000

1000

2

= 1× 1000

Figura 5.23: Pasa alto T llevado a un corte de 3000 y a una carga de 1000.

wcorte = 3000 , Ro = 1000

El filtro tendra una respuesta aceptable desde un 50% por encima de wcorte.

Para el filtro Π pasa alto normalizado.

Figura 5.24: Circuito normalizado para un pasa alto Π.

Para el mismo ejemplo del anterior se saca de la norma en frecuencia, de 1 a 3000 y Ro

de 1 a 1000.

Figura 5.25: Pasa alto llevado a un corte de 3000 y a una carga de 1000.


5.1.8. Filtros pasa banda tipo T y Π

Se parte del modelo tipo T con s = jw.

Figura 5.26: Circuito T de un filtro pasa banda.

ZOT =√

Z1Z2

√1 +

Z1

4Z2

(5.11)

Z1 = jwL1 −j

wC1

= j

(w2L1C1 − 1

wC1

)(5.12)

Z2 =

L2

C2

j(w2L2C2 − 1)

wC2

= −jwL2

(w2L2C2 − 1)(5.13)

si se establece la condicion L1C1 = L2C2

ZOT =

√L1

C2

√√√√1− (w2L1C1 − 1)2

4w2L1C1

(L2

L1

) (5.14)

con el cambio w2L1C1 = W y se grafica ZoT contra w y se toman solo los valores

reales y positivos ademas

ZOT .Zoπ = Z1Z2 = constante (5.15)

ZOΠ =

√L1

C2√1− (w2L1C1 − 1)2

4w2L1C1(L2

L1)

(5.16)


Figura 5.27: Impedancias caracterısticas de los filtro pasa banda T y Π.

para calcular las frecuencias de corte inferior y la superior solo (del tipo T y π) se

resuelve la ecuacion cuadratica (de cuarto grado en w) para

wL1C1 = wL2C2 = W (5.17)

(W − 1)2

4WL2

L1

= 1 (5.18)

y encontrar los valores w1, w2

W1,2 =

(2 + 4

L2

L1

)2

± 1

2

√16

(L2

L1

)+ 16

(L2

L1

)2

(5.19)

ası √L1C1wcorte1 =

√W2 (5.20)

√L1C1wcorte2 =

√W1 (5.21)

Para cargarlos (como se ve en las graficas de las ZoT , Zoπ) se opta que sea con Ro =√L1

C2=

√L2

C1en donde para un diseno se deben dar, por lo general, las dos frecuencias

que delimitan la banda pasante y la Ro. Aproximadamente se tendra una buena

respuesta solo para un valor de w de la mitad de la banda pasante. Un buen filtro

pasante y selectivo es aquel de banda estrecha.


Para el Π

Figura 5.28: Circuito Π de un filtro pasa banda.

no es posible hablar de filtros normalizados como en los dos filtros anteriores.


Se desea disenar un filtro pasa banda tipo T de tal forma que

wcorte1 = 732rad

s

wcorte2 = 2731rad

s

Ro = 5000Ω

de la formula L1C1 = L2C2 y con Ro = 5000

asumiendo C1 = 0,10× 10−6 entonces L2 = 2,5;

L1C1w2corte1 = W2

L1C1w2corte2 = W1

con L1 = 5 y

R2o =

L1

L2

=C2

C1

= (5000)2

C2 = 2× 10−7



Figura 5.30: Impedancia caraterıstica del ejemplo anterior.

Para el tipo Π se sigue el mismo procedimiento.

5.1.9. Filtro eliminador de banda tipo T

Con solo cambiar las disposiciones del anterior filtro, serie por paralelo y paralelo por

serie serie, se origina;

Figura 5.31: Circuito T de un filtro eliminador de banda.

para

ZOT =√

Z1Z2

√1 +

Z1

4Z2

(5.22)

Z1 =−jwL1

(w2L1C1 − 1), Z2 = j

(w2L2C2 − 1

wC2

)(5.23)

5.2. FUNDAMENTOS DE LOS FILTROS ACTIVOS 85

y se establece la condicion L1C1 = L2C2

ZOT =

√L1

C2

√1− w2L1C1

4C1

C2(w2L1C1 − 1)2 (5.24)

con el cambio w2L1C1 = W y se grafica ZOT contra w y se toman solo los valores

reales,positivos y ademas

ZOT .ZOΠ = Z1Z2 = constante (5.25)

ZOΠ =

√√√√√√√L1

C2

1− w2L1C1

4C1

C2(w2L1C1 − 1)2

(5.26)

Figura 5.32: Impedancias caracterısticas de filtros eliminador de banda T y Π.

Para calcular las frecuencias de corte inferior y superior (del filtro tipo T y Π) solo se

debe resolver la ecuacion cuadratica (de cuarto grado en w) en W = wL1C1

w2L1C1

4C1

C2

(w2L1C1 − 1)2= 1 (5.27)

5.2. Fundamentos de los filtros activos

Con el apoyo del amplificador operacional tratado en el capitulo 4, esto es;impedancia

de entrada alta por lo tanto corriente de entrada baja e impedancia de salida baja la

ganancia de voltaje en s se puede encontrar para


Figura 5.33: Ganancia de tension de un amplificador operacional.

con

V r = E + Vy (5.28)

al considerar que

Vy ' Vr (5.29)

Por tener una ganancia de tension alta

Vr E (5.30)

con esta condicion y la primera ecuacion

Ve − Vx

Z1

=

(1

Z4

+1

Z2

)(Vx − Vr) (5.31)

y la corriente despreciable a la entrada

Vx − Vr

Z2

=Vr

Z3

(5.32)

la ganancia de tension es

Gre(s) =V r(s)

Ve(s)=

Z2Z3Z4

(Z2 + Z3) (Z1Z2 + Z1Z4 + Z2Z4)− Z1Z3 (Z2 + Z4)(5.33)

5.2. FUNDAMENTOS DE LOS FILTROS ACTIVOS 87

5.2.1. Filtro pasa bajo Butterworth

Es del tipo

Figura 5.34: Filtro pasa bajo Butterworth.

Denominado Filtro Pasa Bajo de 5 polos, con una mejor respuesta en la frecuencia que

su similar pasivo.

Entre mayor sea el grado del denominador en Gre(s) mayor sera su atenuacion como

se vera mas adelante en los Diagramas de Bode. Para calcular la ganancia total tan

solo es encontrarla en cada etapa mostrada, Gba(s), luego Grb(s), con su producto, (y

el apoyo de la ganancia de un amplificador operacional ) y por ultimo entre Gae(s).

Se garantiza acople perfecto de impedancias por tener estos amplificadores impedancia

de entrada altas y son mas estables en la frecuencia.

5.2.2. Filtro pasa alto Chebyshev

Es del tipo

Figura 5.35: Filtro pasa alto Chevyshev.

Denominado Filtro Pasa Alto de 5 polos, se ha logrado este con solo intercambiar

las resistencias por capacitancias del modelo anterior dando como efecto que en el


numerador de la funccion de trasferencia del Pasa Bajo aparezca un polinomio de grado

5 , conservando el grado 5 en el denominador, convirtiendolo en un Pasa Alto. Para

calcular su ganancia total es similar a el tratamiento del filtro anterior.

5.3. Ejercicios propuestos

1. Es posible conectar dos filtros pasivos pasa bajo tipo T y pasa bajo tipo Π en

cascada? Justifique.

2. Demostrar que un circuito RLC paralelo se puede comportar como un filtro pasa

banda.

3. Porque no es posible establecer filtros normalizados pasivos pasa banda y

eleminador de banda?

4. Encontrar la ganancia de tension para el filtro pasa bajo Butterworth si todas las

resistencias y las capacitancias valen 1.

Capıtulo 6

RESPUESTA EN FRECUENCIA

El manejo de las respuestas en la frecuencia, para ciertos circuitos, permite conocer

si estos dan respuestas estables en esta; que las senales de salida sean medibles para

ciertos rangos de frecuencia o hacerse inconmensurable en otros.

Hay metodos graficos que ayudan a estudiar la H(s), funcion de transferencia, de un

sistema en el dominio de la frecuencia y como se trata de una funcion “compleja” de

variable real w el estudio de su magnitud como de su fase permite establecer si un

sistema es estable o no y el rango de frecuencia en que lo sea.

Se retoma a

H(s) =R(s)

E(s)=

an

n∏1

(s− Zi)

bm

m∏1

(s− Pj)(6.1)

y su magnitud y fase con s = jw

|H(w)| = an

bm

|jw − Z1| |jw − Z2| .......... |jw − Zn||jw − P1| |jw − P2| .......... |jw − Pm|

; (6.2)

θi = Tan−1 Imag(jw − Zi)

Real(jw − Zi), αj = Tan−1 Imag(jw − Pj)

Real(jw − Pj)(6.3)

Fase(w) =∑

θi −∑

αj (6.4)

tanto la magnitud como la fase se pueden estudiar como hodograma o por separado.

La magnitud

89

90 CAPITULO 6. RESPUESTA EN FRECUENCIA

|H (w)| =∣∣∣∣R(w)

E(w)

∣∣∣∣ =|R (w)||E (w)|

(6.5)

E(w) entrada, R(w) respuesta

Es ver el comportamiento de la respuesta |R (w)| frente a la senal de entrada |E (w)|si esta magnitud anterior permanece constante, al variar la frecuencia, desde el punto

de vista la estabilidad.

6.1. Diagramas de Bode

Los Diagramas de Bode muestran a H (w) y su estabilidad desde un punto de vista muy

simple; realizar graficas de las partes de H (w) por separado. Esto es en forma de suma,

usando la funcion logarıtmica y aunque esto se haga bajo esta funcion la informacion

fundamental de su estabilidad no se pierde.

Si a

H(w) = |H(w)| ejFase(w) (6.6)

se le aplica esta funcion (log base 10)

log H(w) = log |H (w)|+ jFase (w) log (e) (6.7)

quedan separadas las magnitud y la fase.

Para la magnitud

log |H(w)| = log

(an

bn

)+

n∑1

log |jw − Zi| −m∑1

log |jw − Pj| (6.8)

graficadas sus partes en escala semilogarıtmica, ordenadas en escala lineal, abscisas en

escala logarıtmica, de su suma total se extrae informacion sobre la estabilidad de H(w).

Inclusive por supuesto “devolverse” y llegar hasta H(w) a su forma original.

La fase es simplemente ella misma ya que en H(w) esta en forma exponencial.

6.2. CASOS GENERALES PARA LOS DIAGRAMAS DE BODE 91

Para la magnitud se opta universalmente las unidades de los “decibeles” (db) al

multiplicar por 20, en las ordenadas (escala lineal) yradianes

segundoen escala logarıtmica

o sea en “decadas” (dec).

6.2. Casos generales para los diagramas de Bode

1.

H (s) = K Kconstante real positiva (6.9)

H(w) = K , Fase(w) = 0 (6.10)

20 log |H (w)| = 20 log K (6.11)

Figura 6.1: Bode de una constante real.

la respuesta permanece constante con las variaciones de w y la fase es cero con

respecto a la entrada. Si se tratara de una entrada sinusoidal fasorialmente esta

es


Figura 6.2: Respuesta contra la entrada para el caso anterior.

2.

H(s) = s (6.12)

H(w) = jw Fase(w) = +90 (6.13)

20 log |H(w)| = 20 log w (6.14)

Figura 6.3: Bode para s.

la respuesta es menor que la entrada entre 0 y 1 y es mayor entre 1 y el infinito,

la frecuencia en donde cambia de signo los decibelios respecto a cero se denomina

frecuencia de quiebre Wq y para este caso es 1 ademas la fase permanece constante,

si se toma fasorialmente


Figura 6.4: Respuesta para el caso anterior.

3.

H(s) = −s (6.15)

para este caso no se altera la magnitud si se tratara para H(s) = s, solo la Fase(w)

H(s) = −s = sejπ (6.16)

Por lo tanto a la Fase(w) de H(s) = s se le suma π.

4. H(s) = s2, es simplemente, H(s) = s · s

H(w) = jw · jw que se puede generalizar con H (s) = sn, para n entero.

20 log |H(w)| = 20 log w2 = 40 log w ; Fase(w) = 90 + 90 = 180

(6.17)

Figura 6.5: Bode para s al cuadrado.


5.

H(s) =1

s(6.18)

20 log |H(w)| = 20 log |1| − 20 log w , Fase(w) = (0 − 90) = −90 (6.19)

Figura 6.6: Bode para el inverso de s.6.

H(s) =1

s2(6.20)

que se puede generalizar para:

H(s) =1

snpara n entero (6.21)

20 log |H(w)| = 20 log 1−20 log w−20 log w; Fase(w) = (0−90−90) = −180

(6.22)

Figura 6.7: Bode para el inverso de s al cuadrado.


Es estable a partir de 1, se atenua la respuesta.

7. H(s) = αS + β; (α, β); reales; β > 0, si se transforma en H(s) = β

(α

βs + 1

)ademas se supone

β

α> 0

|H(w)| = β

∣∣∣∣1 + jα

βw

∣∣∣∣ , Fase(w) = tan−1 αw

β(6.23)

20 log |H(w)| = 20 log β + 20 log

∣∣∣∣1 + jα

βw

∣∣∣∣ (6.24)

para la segunda expresion de la derecha se hacen las siguientes aproximaciones

tendientes a obtener la asıntota de la funcion exacta en w.

a. Siα

βw 1; 20 log |1| = 0

b. Siα

βw 1; 20 log

α

βw = 20 log α + 20 log w − 20 log β

c. Siα

βw = 1; wq =

β

α(wqse denomina frecuencia de quiebre.

la grafica aproximada (asıntota) queda en cada una de sus partes y su total, con

su Fase(w).

Figura 6.8: Bode para una funcion lineal en s.


Es inestable el sistema a partir de la wq

8. H(s) =1

αs + β; con las mismas consideraciones del caso anterior la grafica es

Figura 6.9: Bode para una funcion lineal en s inversa.

9. H(s) =1

s2 + αs + β, donde las raıces de (s2 + αs + β) no son reales sino

complejas.

En este caso y para todo H(s) en donde existan raıces complejas (polos o ceros)

se debe proceder a buscar las graficas de Bode de manera directa; manipulando

H(s) queda

H(s) =1

β(1

βs2 +

α

βs + 1)

20 log H(w) = −20 log β − 20 log

√(1− w2

β

)2

+

(α

βw

)2

Fase(w) = tan−1 αw

β − w2

generando unas graficas aproximadas


Figura 6.10: Bode para una funcion cuadratica en s e inversa.

Ejemplo de aplicacion

Estudiar Bode magnitud para el filtro pasa alto normalizado tipo T.

Se sabe

H(s) =V2(s)

Vg(s)=

1

2

s3

s3 + 2s2 + 2s + 1(6.25)

H(s) =s3

2(s + 1)(s2 + s + 1)(6.26)

20 log |H(w)| = 20 log|V2(w)||Vg(w)|

= 201

2

|(jw)3||1 + jw| |(1− w2) + jw|

(6.27)

20 log |H (w)| = 20 log1

2+ 60 log w − 20 log

√1 + w2 − 20 log

√(1− w2)2 + w2 (6.28)


Figura 6.11: Bode magnitud para un filtro pasa alto normalizado.

como se puede ver, wq = wcorte = 1.Para frecuencias inferiores a wq = wcorte, existe atenuacion.Se pueden utilizar comandos del Matlab para obtener directamente las graficas de Bode

al digitarse:syms s

H = 0,5 ∗ tf([

1 0 0 0],[

1 2 2 1])

ENTER

0,5s3

s3 + 2s2 + 2s + 1bode(H)

Para los demas filtros no ideales, de cualquier tipo, las graficas de magnitud en Bode

son aproximadamente

Figura 6.12: Asıntotas para filtro pasa bajo.


Figura 6.13: Asıntotas para un filtro pasa banda.

Figura 6.14: Asıntotas para un filtro eliminador de banda.

Un filtro entre mas atenuacion tenga (en los cortes respectivos) mas se aproxima al

filtro ideal y para el caso del pasa bajo ideal

Figura 6.15: Asıntotas para filtro real e ideal pasa bajo.

Si se tiene una funcion de transferencia de grado cinco en el denominador generara mas

atenuacion que una de grado tres como en uno activo.


6.3. Criterio de estabilidad de Hurwitz

En una funcion de transferencia de un sistema lineal es indispensable que las raıces del

polinomio denominador, los polos, esten en el semiplano izquierdo del plano complejo

para garantizar respuestas estables.

El criterio de Hurwitz establece que no solo no es necesario conocer el valor de estas

sino que permite examinar de manera sencilla su ubicacion.

Para H(s)

H(s) =E(s)

R(s)=

ansn + an−1s

n−1 + .......

bmsm + bm+1sm−1 + .......(6.29)

Interesa donde estan las raıces de R(s) no su evaluacion.

El hacer s=jw necesariamente el sistema o red es excitado por una fuente, por ejemplo,

sinusoide de frecuencia variable.

6.4. Polos referenciados

Se opta por

P (s) = bm(s− P1)(s− P2).............(s− Pm) (6.30)

si bm > 0 y se hace s = jw (frecuencia)

P (w) = bm

m∏i=1

(jw − Pi) (6.31)

Son referenciados todos los polos a la variable w en el plano complejo

6.4. POLOS REFERENCIADOS 101

Figura 6.16: Polos referenciados a la variable w.

con w con valores desde -∞ < w <∞ el argumento de P (jw) queda incrementado en

(N1 −N2) π (6.32)

si N1 son los polos ubicados a la derecha, N2 en la izquierda respectivamente en el plano

complejo

N1 + N2 = m (6.33)

Y si todos los polos estan a la izquierda este incremento es −mπ

Por el principio del argumento (fase) que establece; el numero de raıces de P(w) dentro

de una region limitada por una curva cerrada c es igual al numero de vueltas que da

P(w) alrededor del origen cuando w recorre una vez el contorno c en direccion positiva,

sentido contrario al giro de las manecillas del reloj.

Figura 6.17: Principio del argumento.

ahora

Fase(w) = arg(bm) + arg(jw − P1) + arg(jw − P2) + . . . (6.34)


El incremento de la fase Fase(w) como

∆Fase(w) = ∆arg(bm) + ∆arg(jw − P1) + ∆arg(jw − P2) + . . . (6.35)

cuando se da una revolucion en C

∆arg(jw − P1) = 2π , P1 esta adentro (6.36)

∆arg(jw − P1) = 0 , P1 esta afuera (6.37)

Si todos los polos estan dentro de esta region ∆Fase(w) = 2πm y este caso que se trata

en la figura 6.16, si todos los polos estan en el semiplano izquierdo el incremento del

argumento o fase es

−mπ para −∞ < w <∞ (6.38)

6.5. Criterio de Hurwitz

Se propone el polinomio

P1(w) = (j)−m P (jw) (6.39)

por lo tanto

arg(P1(w)

)= −m

π

2+ arg

(P (w)

)(6.40)

si jw sobre el eje imaginario hacia abajo, en el plano complejo,

∆arg(P1(w)

)= ∆arg

(P (w)

)= −mπ (6.41)

ası,

P1 (w) = bmjm

jmwm + bm−1

jm−1

jmwm−1 + . . . (6.42)

P1(w) funcion compleja de variable real w

P1 (w) =[bmwm − bm−2w

m−2 + . . .]− j

[bm−1w

m−1 − bm−3wm−3 + . . .

](6.43)

P1 (w) = λ (w)− jβ (w) (6.44)

las m raıces de λ (w) como las m− 1 de β (w) , con la condicion de bm,bm−1 mayores

que cero, deben ser reales y alternadas ya que R1 (jw) debe “girar” en el sentido de

6.5. CRITERIO DE HURWITZ 103

las manecillas del reloj mostrando m veces un semiciclo (−mπ), alrededor del origen, y

esto si la curva P1(w) viene del cuarto cuadrante

Ejemplo de aplicacion

Un filtro pasa banda tipo T con C1 = C2 = L1 = L2 = 1 y carga de 1 conectado a

una fuente de impedancia interna de 1, muestra su funcion de transferencia de ganancia

de tension

H(s) =V2(s)

Vg(s)= 4s3/(s6 + 4s5 + 11s4 + 16s3 + 11s2 + 4s + 1) (6.45)

m = 6

Figura 6.18: Hurwitz para filtro pasa banda

6 raıces del polinomio real λ (w) de Hurwitz y alternadas.

5 raıces del polinomio imaginario β (w) de Hurwitz y alternadas.

−6Π incremento del argumento.

P1(w) debe provenir desde el cuarto cuadrante y P (w) tiene sus seis raıces (parte real

si hay complejas) en el semiplano izquierdo.

Mas para el caso

H(s) =s

(2s5 + 2s4 + 2s3 − 5s2 + s + 3)(6.46)

no se cumple.


6.5.1. Condicion suficiente de Hurwitz

Con

λ(w)

bm

=

[wm − bm−2

bm

wm−2 + ........

]= 0 (6.47)

las m raıces x1, x2, x3, ......, xm; deben cumplir con la Formulas de Vieta.

6.6. Formulas de Vieta

Sea el polinomio con Am > 0

Q = AmQm + Am−1Qm−1 + ....... + A0 (6.48)

la descomposicion para Q1,Q2, .....Qm m raıces reales o complejas

Q = Am(Q−Q1) + (Q−Q2)...........(Q−Qm) (6.49)

El desarrollar Q y comparando los terminos de igual potencia aparecen las identidades

Q1 + Q2 + ........ + Qm = −Am−1

Am

(6.50)

Q1Q2 + Q1Q3 + .... + Q2Q3 + .... =Am−2

Am

(6.51)

Q1Q2Q3 + Q1Q2Q4 + ........... = −Am−3

Am

(6.52)

Q1Q2Q3 + ........................... = (−1)m A0

Am

(6.53)

Llevado esto a lo anterior, las m raıces del λ(w)/bm,

x1 + x2 + x3 + .... + xm = 0

x1x2 + x1x3 + ... + x2x3 + x2x4 + ... = −bm−2

bm

x1x2x3 + x1x2x4 + ... + x2x3x4 + x2x3x5 + ... = 0...

x1x2x3......................xn = (−1)m b0

bm

(6.54)

deben se raıces reales y alternadas.

6.6. FORMULAS DE VIETA 105

Por supuesto b0 > 0 y lo debe ser bm tambien.

Las (m− 1) raıces y1, y2, ....ym−1, de

β(w)

bm−1

=

[wm−1 − bm−3

bm−1

wm−3 + ........

](6.55)

Cumplen con

y1 + y2 + ..... + ym−1 = 0

y1y2 + y1y3 + ...... = − bm−3

bm−1

:

:

(6.56)

deben ser raıces reales y alternadas

Si las raıces son reales y alternadas y ademas se organizan en forma descendente

x1 > x2 > x3............ > xm (6.57)

y1 > y2 > y3............ > ym−1 (6.58)

por supuesto

x1 > y1 (6.59)

x2 > y1 (6.60)

...

se debe cumplir

x1 > y1 > x2 > y2 (6.61)

Por lo tanto

x1x2 > y1y2

x1x3 > y1y3 (6.62)

...

Con lo anterior, para los bm coeficientes, cumplen con las inecuaciones

bm−2

bm

>bm−3

bm−1

(6.63)


bm−1bm−2 > bmbm−3 (6.64)

para

bm > 0, bm−1 > 0 (6.65)

Se pueden construır los determinantes de Hurwitz que garantizan que: si todos son

mayores que cero P(s) tendra raıces (en sus partes reales) en el semiplano izquierdo y

estos son

bm−1 > 0 ,

∣∣∣∣∣ bm−1 bm

bm−3 bm−2

∣∣∣∣∣ > 0,

∣∣∣∣∣∣∣∣bm−1 bm 0

bm−3 bm−2 bm−1

bm−5 bm−4 bm−3

∣∣∣∣∣∣∣∣ > 0, etc


1. Encontrar diagrama de Bode magnitud para el filtro pasa alto Chevyshev.

2. Obtener el diagrama de Bode para el siguiente arreglo y analizarlo como un filtro.

Explique.

Figura 6.19: Ejercicio propuesto

3. Aplicar el criterio de Hurwitz para el ejercicio anterior.

4. Desarrollar un programa en Matlab que incluya el criterio de estabilidad Hurwitz.

Capıtulo 7

SERIES DE FOURIER

7.1. Consideraciones generales

Para la interpretacion de ciertos hechos de la realidad como; la cuerda oscilante,

transferencia de calor y otros fenomenos naturales, las Series de Fourier han permitido

una solucion satisfactoria a esta y en el caso de las redes electricas es innegable su

importancia.

7.2. Conceptos de aproximacion

Una funcion real f(t) dentro de intervalo cerrado a, b y cumple con las siguientes

condiciones

1. Continua para a ≤ t ≤ b.

2. Si no lo es y si hay discontinuidades estas son en numero finito y son finitas.

Se puede aproximar dentro de este intervalo por una serie de funciones que cumplan

con 1 y 2.

El error para una aproximacion, e(t)

e(t) = f(t)−Koφo(t)−K1φ1(t)− . . .−Kiφi(t) (7.1)

Para K0, K1, ..., Ki constantes deben de cumplir la desigualdad de Bessel

107

108 CAPITULO 7. SERIES DE FOURIER

K20 + K2

1 + ... + K2i ≤

∫ b

a

|f(t)|2dt, lımi→∞

Ki → 0 (7.2)

y las funciones φ0(t), φ1(t), ... verifican las condiciones para f(t), entonces el error e(t)

Figura 7.1: Error real para una aproximacion.

en su error medio em(t)

em(t) =1

b− a

∫ b

a

e(t)dt (7.3)

Debe ser mınimo pero puede arrojar un valor bajo y en realidad se puede ocultar un

error grande (es una sumatoria de areas) para este intervalo cerrado, por lo anterior,

se recurre al emc error medio cuadratico definido como

emc =1

b− a

∫ b

a

e2(t)dt (7.4)

que no “permite” cancelaciones de areas en este intervalo.

Si no se conocen las constantes K0,K1.., Ki pero sı φ0(t), φ1(t), φ2(t), ..φi(t) se propone

que este error sea mınimo si Knφn(t) son en numero finito.

El mınimo error medio cuadratico es

∂emc

∂Kn

= 0 n(0, 1, 2, ...., i) (7.5)

para cualquier n

∂emc

∂Kn

=1

b− a

∫ b

a

[−2f(t)φn(t) +∂

∂Kn

[K20φ

20(t) + .. + K2

nφ2n(t) . . . + (7.6)

7.2. CONCEPTOS DE APROXIMACION 109

+2K0K1φ0(t)φ1(t) + ... + 2KnKlφn(t)φl(t) + ..]]dt = 0

quedando

− 2

∫ b

a

f(t)φn(t)dt + 2

∫ b

a

Knφ2n(t)dt + 2

∫ b

a

Klφn(t)φl(t)dt = 0 (7.7)

Constituıda por funciones que tienen la particularidad, como otra condicion

∫ b

a

φn(t)φl(t)dt = 0 n 6= l (7.8)

∫ b

a

φn(t)φl(t)dt 6= 0 n = l (7.9)

denominadas funciones ortogonales dentro del intervalo cerrado [a, b]; se pueden

despejar las Kn

Kn =

∫ b

af(t)φn(t)dt∫ b

aφ2

n(t)dt(7.10)

con esta evaluacion de las constantes de la aproximacion se garantiza que el emc es

mınimo.

Para f(t)

f(t) wi∑0

Knφn(t) , emc mınimo (7.11)

f(t) =∞∑0

Knφn(t) , emc es mınimo y cero (7.12)

f(t) QUEDA TOTALMENTE DETERMINADA cuando i −→ ∞, si y solo si

las φn(t) son ortogonales.

Las Kn son utilizadas en la obtencion de series en f(t) y la de Fourier Trigonometrica,

como caso particular, cumplen con todo lo anterior.


7.3. La serie trigonometrica de Fourier

Como consecuencia de la ortogonalidaden a ≤ t ≤ b, las funciones que la componen de

forma trigonometrica son

f(t) =a0

2+

∞∑1

(an cos(nw0t) + bn sen(nwot)) (7.13)

Los coeficientes an, bn, se evaluan partiendo de que cos(nw0t), sen(nw0t) son ortogonales

en el intervalo a ≤ t ≤ a + t0 donde t0 es el perıodo de w0 definido w0 = 2πt0

como la

frecuencia de oscilacion de las funciones sinusoidales que cumplen

∫ a+t0

a

sen(nw0t) sen(lw0t)dt, 6= 0 si n = l ; 0 si n 6= l (7.14)

∫ a+t0

a

cos(nw0t) cos(lw0t)dt, 6= 0 si n = l ; 0 si n 6= l (7.15)

∫ a+t0

a

sen(nw0t) cos(lw0t)dt, 6= 0 si n = l ; 0 si n 6= l (7.16)

y con la expresion de las Kn, an, bn son

an =

a+t0∫a

f(t) cos(nw0t) dt

a+t0∫a

cos2(nw0t) dt

=2

t0

a+t0∫a

f(t) cos(nw0t)dt (7.17)

an =

a+t0∫a

f(t) sen(nw0t) dt

a+t0∫a

sen2(nw0t) dt

=2

t0

at0∫a

f(t) sen(nw0t)dt (7.18)

a0

2=

1

t0

∫ a+t0

a

f(t)dt (7.19)

dependen exclusivamente de n y de w0; el valor a0

2se define como el valor medio de la

funcion en este intervalo.

7.4. FUNCIONES PERIODICAS 111

El termino, para n = 1, o sea w0, es el primer armonico o fundamental de la serie, 2w0

el segundo armonico, 3w0 tercer armonico, etc.

Es importante anotar que dada f(t) y su intervalo de expansion es posible encontrar

an y bn y viceversa; f(t) solo depende del tiempo y an, bn solo dependen de n y de w0,

de la frecuencia en forma discreta, en multiplos de wo.

Figura 7.2: Espectro discreto obtenido por series de Fourier.

f(t) es una funcion real que puede describir un fenomeno fısico real para un intervalo

en t finito,

an = a−n funcion par en n (7.20)

bn = −b−n funcion impar en n (7.21)

Ademas b0 es cero.

7.4. Funciones periodicas

Se define funcion periodica aquella que f(t) = f (t± pt0) si w0 = 2πt0

, esto es, se repite

a intervalos regulares t0, en valores enteros de p.

Figura 7.3: Funcion periodica.


Esta se puede expandir en Series Trigonometricas de Fourier aunque sean periodicas ya

que la periodicidad finita de ellas lo permite, por ejemplo

f(a) = f(a + t0) = f(a− t0) (7.22)

f(a) = f(a± pt0) , p(0, 1, 2, ....) (7.23)

La expansion se hace para ese perıodo t0 o en el intervalo a ≤ t ≤ a + t0 y se cumplen

las condiciones de existencia de ella.

Si por ejemplo

f(t) =a0

2+

∞∑1

(an cos(nw0t) + bn sen(nw0t)) (7.24)

Es una senal de tension que alimenta una red cada uno de los terminos es una fuente

particular con su propia frecuencia de oscilacion.

En principio toda f(t) para un intervalo finito contiene armonicos y a0

2es la fuente de

frecuencia cero (fuente D.C), n=0, y las demas senales oscilatorias como sus respectivos

armonicos o fasores.

Figura 7.4: Superposicion.

7.4. FUNCIONES PERIODICAS 113

Existe otra forma de presentar estas series; es la Serie Compleja de Fourier

f(t) =a0

2+

∞∑1

an

2(ejnw0t + e−jnw0t) +

∞∑1

bn

2j(ejnw0t − e−jnw0t) (7.25)

Reorganizando y definiendo

Fn =an − jbn

2(7.26)

con an y bn en su forma integral en Fn

f(t) =+∞∑−∞

Fnejnw0t (7.27)

Fn =1

t0

∫ a+t0

a

f(t)e−jnw0tdt (7.28)

Se necesita f(t) para evaluar Fn y viceversa. La una queda sumergida en la variable

continua tiempo, la otra en la variable frecuencia discreta en w0

Intervalo finito en t, f(t) ←→ Fn espectro discreto.

Ahora, en la forma fasorial en f(t) periodica, se propone una funcion rectangular con

perıodo to

Figura 7.5: Diagrama fasorial.

Para que f(t) sea REAL se deben considerar valores negativos en n pero no en la

frecuencia w0.


7.5. Propiedades generales de las series de Fourier

1. Sia0

2= 0 valor medio de f(t) , a ≤ t ≤ a + t0, en el caso particular

Figura 7.6: Funcion con valor medio cero.

las areas A1, A2 se cancelan, la integral∫ a+t0

af(t)dt no genera componente de

valor medio.

2. Si f(t) = f(−t) se denomina funcion par, por ejemplo

Figura 7.7: Funcion par.

en este caso

f(t) =a0

2+

∞∑1

(an cos(nw0) t + bn sen(nw0 t)

)(7.29)

f(−t) =a0

2+

∞∑1

(an cos(nw0 t)− bn sen(nw0 t)) (7.30)

Igualando ambas

∞∑1

bn sen(nw0t) = 0 (7.31)

La contribucion de la parte sen(nw0 t) y de los coeficientes bn es cero.

3. Si f(t) = −f(−t) se denomina funcion impar, por ejemplo

7.5. PROPIEDADES GENERALES DE LAS SERIES DE FOURIER 115

Figura 7.8: Funcion impar.

− f(−t) = −a0

2−

∞∑1

(an cos(nw0t)− bn sen(nw0t)) (7.32)

igualando∞∑1

an cos(nw0t) = 0 (7.33)

La contribucion de la parte cos(nw0t), y de los coeficientes an es cero.

4. Si f(t) = −f(t± t02

) se denomina funcion con simetrıa de media onda, ejemplo

Figura 7.9: Simetrıa de media onda.

Desplazar medio perıodo la funcion (a la derecha o a la izquierda) e invertirla y

ser exactamente la misma

−f(t± t02

) = −a0

2−

∞∑1

(an cos nw0(t±

t02

) + bn sen nw0(t±t02

)

)= f(t) (7.34)

Al hacer el desarrollo de cada una de las partes y cambiando de signo (por menos)

e igualando con f(t), tan solo es necesario realizar la integral para Fn dentro del

intervalo a≤ t ≤ a + t0/2 y multiplicar por dos.


Fn =2

t0

∫ a+t0/2

a

f(t)e−jnw0tdt , solo n impar (7.35)

5. Propiedad diferencial.

Para f(t), f′(t), f”(t), .........., hasta n derivada en a ≤ t ≤ a + t0 y recurriendo a

la forma compleja

f(t) =∞∑−∞

Fne−jnw0t (7.36)

f′

(t) =∞∑−∞

(jnw0t)Fne−jnw0t (7.37)

...

f (n)(t) =∞∑−∞

(jnw0)nFne

−jnw0t (7.38)

Para cada nueva serie, de las derivadas, aparece un nuevo espectro en w0

f(t) ↔ Fn (7.39)

f′(t) ↔ (jnw0)Fn (7.40)

f”

(t) ↔ (jnw0)2Fn (7.41)

......

... (7.42)

f(n)(t) ↔ (jnw0)

nFn (7.43)

hasta llegar a funciones con discontinuidades finitas que aunque sigue siendo valida la

propiedad diferencial, aca no se utilizan funciones singulares como lo es la funcion Delta

de Dirac, δ(t) que aparece en las discontinuidades finitas en sus derivadas.


Para la f(t) mostrada encontrar su espectro Fn ademas aplicarla como senal de

tension a un filtro Pasa Bajo con wcorte = 2.

f(t) = t2 − 1, −1 ≤ t ≤ t + 1 (7.44)

f(t) = −(t− 2)2 + 1, 1 ≤ t ≤ 3 (7.45)

7.5. PROPIEDADES GENERALES DE LAS SERIES DE FOURIER 117


Es dificultoso realizar directamente la integral en Fn, pero en este caso no lo es si se

utiliza la propiedad diferencial

Figura 7.11: Propiedad diferencial.

Se llega hasta derivadas que muestren discontinuidades finitas

f ”(t); w0 =π

2, jnw0 =

jnπ

2simetrıa de media onda (7.46)


(jn

π

2

)2

Fn =

∫ 1

−1

e−jn π2tdt (7.47)

Fn = − 16

n3π3sen(n

π

2) (7.48)

Pero

Fn =an

2− j

bn

2(7.49)

an = − 32

n3π3sen(n

π

2) (7.50)

f(t) tiene simetrıa media onda, valor medio cero, es par, por lo tanto

f(t) = −32

π3d∞∑1

sen(nΠ2)

n3cos(n

π

2t) solo n impar (7.51)

Sea para el valor t = 0, hay convergencia

f(0) = −32

π3(1− 1

33+

1

53− 1

73+ .......) = −1 (7.52)

Esta f(t) tiene un espectro del tipo

Figura 7.12: Espectro del ejemplo anterior.

Aparecen componentes negativas para nw0 , por n, y solo esto garantiza que f(t) sea

real.

Si f(t) alimenta a un filtro Pasa Bajo con wcorte = 2 y es una fuente de tension

aproximadamente aparecera la componente en v2(t) del primer armonico

v2(t) w −16

π3cos(

π

2t + Fase(w)) (7.53)

donde Fase(w) se puede calcular con la respuesta forzada.

7.6. LA TRANSFORMADA CONTINUA DE FOURIER 119

7.6. La transformada continua de Fourier

Partiendo de f(t) con su espectro Fn

Figura 7.13: Espectro discreto generado por Series de Fourier.

con la condicion ∫ a+t0

a

f(t)dt = Finito (7.54)

para a = −t02

y la variable de integracion λ

an =2

t0

∫ t02

− t02

f(λ) cos (nw0 λ) dλ (7.55)

bn =2

t0

∫ t02

− t02

f(λ) sen (nw0 λ) dλ (7.56)

a0

2=

1

t0

∫ t02

− t02

f(λ)dλ (7.57)

Llevadas a la serie Trigonometrica de Fourier

f(t) =w0

2π

∫ πw0

− Πw0

f(λ)dλ +∞∑1

w0

π

∫ πw0

− πw0

f(λ) cos[nw0 (t− λ)]dλ (7.58)

El hacer t0 →∞, w0 → 0, implica:

1. Se considera todo el intervalo en t −∞ < t <∞.


2. El espectro Fn, an, bn tienden a volverse continuos.

3. a0 debe de ser finito y an → 0, bn → 0 (condicion suficiente) con t0 →∞.

Figura 7.14: Espectro continuo generado por la transformada de Fourier.

4. nw0 → w para este lımite.

5. Se diferencia con el tratamiento, entre otras cosas, con la Transformada de Laplace

precisamente por el intervalo en t.

Se denomina perıodo infinito (aperiodica); f(t) se “repite” cada perıodo infinito aunque

ella puede ser de perıodo finito.

Con lo anterior

f(t) =1

π

∫ ∞

0

dw

∫ ∞

−∞f(λ) cos[w(t− λ)]dλ (7.59)∫ ∞

−∞f(λ)dλ = Finita (7.60)

Condicion suficiente pero no necesaria y obtener

a(w) =

∫ ∞

−∞f(λ) cos(wλ)dλ , a(w) = a(−w) (7.61)

b(w) =

∫ ∞

−∞f(λ) sen(wλ)dλ , b(w) = −b(−w) (7.62)

b(0) = 0 (7.63)

Entonces, en Fn con t0 →∞

F (w) =

∫ ∞

−∞f(t)e−jwtdt (7.64)

7.6. LA TRANSFORMADA CONTINUA DE FOURIER 121

f(t) =1

2π

∫ ∞

−∞F (w)ejwtdw (7.65)

o

F (w) =√

a2(w) + b2(w) ejφ(w) = a(w)− jb(w) (7.66)

si

Figura 7.15: Magnitud y fase en la transformada de Fourier.

φ(w) = − tan−1 b (w)

a (w)(7.67)

el par

f(t) ↔ F (w) (7.68)

Son las Transformadas Continuas de Fourier; para evaluar F (w) (espectro continuo) se

necesita f(t) y viceversa.

Figura 7.16: Series frente transformadas de Fourier.

Para uno u otro caso, Serie y Transformada, una de las diferencias es el intervalo en t

considerado.



1. Que valor o valores pueden tomar L y C para que v2(t) muestre

fundamentalmente el tercer armonico? Verificar con Bode; asuma un valor de

t0.


2. Que consideraciones se deben tener en cuenta para obtener la serie de Fourier de

la corriente de excitacion de un transformador en vacıo.

Capıtulo 8

BIBLIOGRAFIA

VAN VALKENBURG, M.E . “Network Analysis”. Prentice Hall,Inc. Second Edition.

1964.

GABEL,Robert A. y Roberts, RICHARD A. “Senales y sistemas lineales”Limusa.

Mexico.

PERSICHINI, Tomas Julian. “Introduccion a la Teorıa de cicuitos electricos lineales”.

Primera parte. Universitaria de Buenos Aires. Buenos Aires.

WEINBERG, Louis. “Network Analysis and System ”. MacGraw Hill. New York.

AHFORMAS, Lars V. “Analisis de variable compleja”. Aguilar. Madrid.

Revista Colombiana Electronia: Diagrama de Bode. Tomo 1. Bogota.

BRENER, Egon and Javid Mansur. “Analysis of Electrical Circuits”. MacGraw Hill

HAYT, William H. “Circuitos Electricos”. MacGraw Hill, 1966.

“Pole-zero patterns; in the analysis and design of low order systems”. MacGraw Hill

Companies INC., 1964

Matlab. “Symbolic Math Toolbox”. Cleve Moler and Peter J.Costa. The MATH

WORKS, Inc.1993.

123

124 CAPITULO 8. BIBLIOGRAFIA

MARCHAIS. J.C. “E‘l amplificador operacional y sus aplicaciones”. ESPANA.

MARCOMBO, 1976.

ANTONIOU, Andres. “Digital Filters: Analysis and Design”. Mac Graw Hill.

Circuitos Electricos Libro Completo de Augusto Cano

Documents

Transcript of Circuitos Electricos Libro Completo de Augusto Cano