CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I...

CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDSDEL MOVIMENT

05

Estudiar el moviment és important: és el fenomen més cor-rent i fàcil d’observar en la natura. Tot l’Univers està en constant moviment: els astres que es desplacen pel cel, un nen que juga, un ocell que vola, etc. Els conceptes de vida i moviment estan estretament units, fins al punt que consid-erem la capacitat que tenen per a moure’s per si mateixos

una de les característiques més evidents dels éssers vius. En aquesta unitat estudiarem els elements i les magnituds que utilitza la Cinemàtica per a determinar el moviment d’una partícula. I els coneixements adquirits et permetran analitzar els moviments més corrents que s’esdevenen en el nostre entorn.

Unidad 05-VAL.indd 187 6/5/08 16:36:10

188 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT05

Per a repassar…

Moviment (4t)

El moviment és un canvi de posició respecte d’un punt fix que s’agafa com a referèn-cia.

Trajectòria (4t)

Rep el nom de trajectòria el conjunt de les posicions successives que té el mòbil. Depenent de la trajectòria, els moviments poden ser rectilinis i curvilinis.

La velocitat mitjana és el quocient entre l’espai recorregut pel mòbil i el temps uti-litzat per a fer-lo.

La velocitat instantània és la velocitat que té el mòbil en un moment donat. La velocitat es mesura en m/s (SI) i en km/h.

Acceleració (4t)

• L’acceleració mitjana és el quocient entre la variació de la velocitat que ha experimentat

un mòbil i l’interval de temps que ha utilitzat en aquesta variació, a = vt – v0

t. Es mesura

en m s–2.

• L’acceleració instantània és l’acceleració que té un mòbil en un moment donat.

Moviment rectilini i uniforme (4t)

Un mòbil té moviment rectilini i uniforme quan es desplaça en línia recta amb veloci-tat constant. L’espai recorregut s’obté amb l’equació e = v t.

Moviment rectilini uniformement accelerat (4t)

Aquest moviment es dóna quan el mòbil es desplaça en línia recta amb acceleració constant. Les equacions són:

• vt = v0 + a t, per a esbrinar la velocitat en qualsevol instant.

• e = v0 t + 1/2 a t2, per a esbrinar l’espai recorregut.

Caiguda lliure de cossos

Quan un cos es mou sota l’acció de la gravetat es diu que té moviment de caiguda lliure. És un cas particular del moviment rectilini i uniformement accelerat (a = g = –9,8 m s–2).

Moviment circular (4t)

Un mòbil té moviment circular quan la trajectòria és una circumferència. Si el fa amb velocitat constant, el moviment rep el nom de circular uniforme. La velocitat angular és l’angle recorregut en la unitat de temps. Es mesura en voltes o revolucions per mi-nut, (rpm) i en radians per segon.

Un radian és l’angle en el qual l’arc corresponent té una longitud igual a la del radi amb què s’ha traçat aquest arc. Una circumferència (360°) correspon a 2 p radians.

Unidad 05-VAL.indd 188 6/5/08 16:36:12

189CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT 05

Qüestions bàsiques

1> En quin tipus de moviment la velocitat mitjana co-incideix amb la velocitat instantània?

Intenta-ho

Recorda que si una magnitud és constant, tindrà sempre el mateix valor en qualsevol moment.

2> Es diu que el guepard és un animal capaç d’arribar a córrer a 30 m/s. Calcula’n la velocitat en km/h.

Intenta-ho

Per a utilitzar els factors de conversió, recorda les equivalències: 1 km = 1000 m; 1 h = 3600 s

3> Quant de temps tardarà el guepard a recórrer 1 km si manté la velocitat de 30 m/s?

Intenta-ho

Tingues en compte el tipus de moviment amb què es desplaça el guepard i utilitza l’equació corres-ponent.

4> Des d’un pont deixes caure un objecte i observes que triga 1,5 s a arribar a l’aigua. Quina és l’altura del pont?

Intenta-ho

Es tracta d’una caiguda lliure. En aquest cas, con-sidera positiu el valor de la gravetat.

5> Un automòbil passa de 90 km/h a 115 km/h en 8 s. Quina acceleració té el cotxe?

Intenta-ho

Et demanen l’acceleració mitjana. Recorda que es mesura en m s–2.

6> Un cotxe parteix del repòs amb acceleració cons-tant d’1,8 m s–2. Després de 20 s d’accelerar, quina distància haurà recorregut el vehicle?

Intenta-ho

D’acord amb el tipus de moviment, utilitza l’equació corresponent.

7> Un ciclista inicia el moviment per un carrer amb una acceleració constant fins a arribar a una velocitat de 36 km/h en 10 s. Quina n’és l’acceleració? Quina distància ha recorregut en el temps indicat?

Intenta-ho

Observa que el ciclista parteix del repòs; aquest fet equival a una dada numèrica. Suposem que el carrer és recte. Una vegada identificat el movi-ment del ciclista, utilitza les equacions corres-ponents.

8> Un avió que parteix del repòs accelera uniforme-ment fins a aconseguir una velocitat d’enlairament de 75 m/s en 10 s. Amb quina velocitat en km/h s’enlaira l’avió? Quina longitud de pista ha recor-regut fins a agafar el vol?

Intenta-ho

Es tracta d’un moviment rectilini amb acceleració constant. Utilitza els factors de conversió per al canvi d’unitats.

9> Un disc gira a 30 rpm. Calcula aquesta velocitat en radians per segon. Calcula la freqüència i el perío-de d’aquest moviment.

Intenta-ho

Recorda quants radians té una circumferència. Pe-ríode és el temps en segons que triga a fer una vol-ta. El valor de la freqüència coincideix amb l’invers del període.

10> Un ciclista recorre la pista circular de 50 m de ra-di d’un velòdrom amb una velocitat constant de 36 km/h. Quant de temps triga a fer una volta a la pista? Quantes voltes fa en 10 minuts?

Intenta-ho

Encara que el moviment és circular, et demanen l’espai recorregut amb velocitat constant. Pots calcular totes les preguntes utilitzant l’equació de l’espai en un moviment uniforme. Recorda el valor de la longitud de la circumferència.

Unidad 05-VAL.indd 189 6/5/08 16:36:14


La Cinemàtica estudia el movi-ment sense tenir-ne en compte les causes.

La Dinàmica estudia el moviment i n’analitza les causes.

5.1 Dues ciències per a estudiarel moviment

Suposem que en un moment donat un avió sobrevola casa vostra. Si teniu curiositat per conèixer més bé aquest fenomen, podeu plantejar-vos una sèrie de preguntes, com ara quant de temps tardarà l’avió a desaparèixer per l’horitzó?, quina distància recorrerà en un minut?, va sempre a la mateixa velocitat?, etcètera. Per a respondre aquestes preguntes no necessiteu saber per què es mou l’avió. En canvi, hi ha pregun-tes més complexes, com ara quina força exerceix el motor?, quina potència desenvolu-pa?, quina energia consumeix?, etc., la resposta a les quals requereix més informació. Primerament heu de conèixer les característiques dels motors, que són els causants del moviment de l’avió.

Com veus, hi ha dues maneres d’estudiar el moviment: prescindint de les causes que l’originen, que és el que fa la Cinemàtica, o tenint-les en compte, com passa amb la Dinàmica. Dedicarem una unitat a cadascuna d’aquestes dues ciències del movi-ment.

5.2 Què és el moviment?

Des de ben petits tenim un concepte intuïtiu que ens permet afirmar si un cos, en un moment donat, està en repòs o en moviment. Quin criteri utilitzem per a distingir-ho? Se sol dir que un cos es mou quan canvia de lloc. No obstant això, aquest criteri no és precís, perquè hi ha cossos que es mouen sense canviar de lloc. Per exemple, la politja de la figura 5.1, quan gira al voltant del seu eix, es troba sempre en el mateix lloc. Hem de distingir, doncs, entre dos tipus de moviment: el de translació i el de rotació.

En canvi, en el moviment de rotació són els diferents punts P1, P2... del cos els que canvien de lloc (fig. 5.2), però no ho fa el cos en conjunt. Un punt només pot tenir moviment de translació.

Per tant, si considerem que el cos que es mou és un punt, el criteri que vam donar és correcte. En aquest curs només tractarem el moviment de translació. Per això estudiem la Cinemàtica del punt material. Més endavant explicarem què s’entén per punt material.

Si d’un automòbil (fig. 5.3) només tenim en compte el moviment de translació, l’estem considerant com un punt que canvia de posició respecte d’un semàfor, per exemple. Si aquesta posició no varia, direm que està en repòs respecte del se-màfor.

Un cos té moviment de translació quan tot el cos, agafat en el seu conjunt com un sol punt, canvia de lloc o de posició.

En general, quan un cos gira al voltant d’un eix fix es mou, però no es desplaça. Aquest moviment rep el nom de moviment de rotació.

Fig. 5.1. Rotació i translació. Quan la politja es mou no canvia de lloc. Però sí que ho fa la galleda quan ascendeix.

Fig. 5.2. Rotació. En un moviment de rotació, els punts del sòlid que gira canvien de lloc descrivint circumferències.

Fig. 5.3. Translació. L’automòbil es mou perquè s’allunya del semàfor.

Unidad 05-VAL.indd 190 6/5/08 16:37:09


Un model és una idealització men-tal o gràfica que permet simplificar l’estudi d’un fenomen. Encara que és un producte de la imaginació, el model té un gran avantatge: és prou senzill per a analitzar l’efecte de les lleis fonamentals de la Física en el seu comportament.

Perquè un model acompleixi bé la seva missió cal que sigui senzill, que concordi amb els fets experi-mentals i que sigui extrapolable; és a dir, que permeti aplicar les conclusions a altres fenòmens fins a formular noves lleis.

No has d’oblidar que…

• La localització d’un punt en l’espai respecte d’un altre punt que agafem com a referència rep el nom de posició.

• Moviment d’un punt és un canvi de posició respecte d’un altre punt que s’agafa com a referència.

• Repòs i moviment són dos termes relatius, ja que depenen de l’objecte de referència (un fanal està en repòs respecte del carrer, però està en moviment si agafem el Sol com a referència).

• Moviment absolut és aquell en el qual el punt de referència es considera fix respecte del punt que es mou.

• Moviment relatiu és aquell en el qual el punt canvia de posició respecte d’un altre que també es mou.

5.3 Elements fonamentalsdel moviment

En tot moviment cal distingir tres elements bàsics: l’objecte que es mou, el sistema de referència que s’utilitza i la trajectòria seguida pel mòbil.

L’objecte que es mou: un punt material

Per a conèixer el moviment que realment té un cos cal conèixer el de tots els seus punts. Un automòbil que es desplaça per una carretera, a més d’experimentar un moviment de translació, té altres moviments: el de balanceig en agafar un revolt, el de capcineig en un canvi de rasant, etc., i el moviment particular dels diversos components: el volant, les rodes, els pistons, etcètera.

No ens interessa considerar aquests moviments, per la qual cosa prescindirem de tots els components del cotxe i de les dimensions que té, i el tractarem com si fos un punt material.

Com que en la natura no existeix un mòbil amb massa i sense dimensions, és a dir, en realitat, una idealització o un model ideal de l’existència, els científics sovint empren models físics per a simplificar l’estudi de la natura.

Hi ha molts objectes que en moure’s es comporten com a punts materials. Tot depèn del sistema de referència escollit. Per exemple, un automòbil no es comporta com un punt per a qui el condueix; no obstant això, sí que ho fa respecte de l’agent de trànsit que sobrevola la carretera amb helicòpter.

ACTIVITATS

1> Indica quines afirmacions són correctes. El movi-ment és:

a) Un canvi de lloc.

b) Un canvi de lloc si el cos que es mou és un punt material.

c) Un desplaçament.

d) Un canvi de posició.

2> Escriu tres exemples de moviments absoluts i tres de moviments relatius.

3> Assenyala les afirmacions correctes. El moviment d’un cotxe que es desplaça per una carretera és respecte d’una gasolinera:

a) Rotació c) Absolut

b) Translació d) Relatiu

4> Indica si el cotxe de l’activitat anterior, respecte d’un camió al qual vol avançar, té moviment abso-lut o relatiu.

Anomenem punt material un cos les dimensions del qual no es tenen en compte.

Unidad 05-VAL.indd 191 6/5/08 16:37:11


En resum:

• Partícula material o punt material és un terme relatiu que depèn de les dimensions que intervenen en cada problema concret.

• Un cos, independentment de la grandària, es considera un punt si les dimensions són negligibles, en comparació de la distància que hi ha des d’aquest cos al punt de re-ferència o en comparació de la trajectòria. Així, un vaixell es pot considerar un punt respecte de la costa. Un cotxe es pot considerar un punt respecte de la longitud de la carretera. La Terra en el moviment de translació es pot considerar un punt.

El sistema de referència

Per a determinar la posició d’un punt en qualsevol instant cal fixar un altre punt en l’espai com a referència. El punt de referència escollit s’agafa com a origen O de tres eixos cartesians (fig. 5.4), que constitueixen un sistema de referència cartesià. Així, la posició del punt P estarà determinada per les coordenades x, y i z d’aquest punt.

No has d’oblidar que:

• El punt O de referència pot ser qualsevol objecte, real o imaginari, que està en repòs relatiu respecte del punt P.

• Un sistema de referència és inercial quan el punt O està en repòs o es mou amb una velocitat constant.

• La Terra es pot considerar un sistema de referència inercial, encara que realment no ho és, ja que té moviment de rotació sobre si mateixa. No obstant això, aquest moviment ens passa inadvertit.

Fig. 5.4. Sistema cartesià de referència. Aquest sistema està format per un punt de l’espai i tres eixos cartesians concurrents en aquest punt.

5> Indica si és fals o vertader:

a) Es pot estudiar el moviment prescindint del sis-tema de referència.

b) El moviment és un canvi de lloc.

c) Un punt només pot tenir moviment de transla-ció.

d) La Terra es pot considerar un punt material quan es mou al voltant del Sol.

6> Observa la barca de la figura 5.5 i indica quina és l’afirmació correcta:

a) Té moviment relatiu respecte de l’aigua i de la riba.

b) Té moviment absolut respecte de la riba i rela-tiu respecte de l’aigua.

c) La barca només té moviment absolut.

7> Per a determinar la posició d’un punt sobre un pla, quants eixos cartesians fan falta?

8> Per a determinar la posició d’un vaixell a l’oceà, quantes coordenades necessites? Quin nom re-ben?

9> Un cotxe es mou des d’un semàfor i va per un car-rer recte. Quantes coordenades necessites per a determinar la posició de l’automòbil respecte del semàfor?

10> A més del punt material, quins altres models utilit-zats per la Física o la Química coneixes?

ACTIVITATS

Fig. 5.5. El moviment relatiu de la barca depèn del punt de referència.

Unidad 05-VAL.indd 192 6/5/08 16:39:01


Trajectòria

Fixa’t en el punt P (x, y, z) de la fig. 5.6. Aquest punt estarà en repòs respecte del punt Osi les coordenades continuen constants amb el temps, i estarà en moviment quan al-menys una coordenada variï respecte d’aquest punt.

Quan el punt P es mou, les coordenades van agafant diferents valors. El conjunt de punts corresponents a aquests valors formen una línia que rep el nom de trajectòria.

Les magnituds són les variables que intervenen en un fenomen o les característiques d’un cos que es poden mesurar. Les magnituds físiques poden ser escalars o vec-torials.

http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/applets/Hwang/ntnujava/vector/vector_s.htm

Es tracta d’una simulació appletper a sumar vectors en dues i tres dimensions.

Trajectòria és el lloc geomètric de les posicions successives que agafa un punt mòbil en l’espai.

Un punt es mou en el pla Oxy segons les equacions:

x = t – 1; y = 2 t

a) Quin significat tenen aquestes equacions?

b) Dibuixa la trajectòria d’aquest punt.

Solució

a) En moure’s el punt en un pla, la seva posició està determinada, a cada mo-ment, per dues coordenades (x, y). Les equacions donades indiquen com varia aquesta posició amb el temps. Per tant, les diverses posicions que agafa el punt en el transcurs del temps s’obtenen donant valors a t en aquestes equa-cions.

b) Les posicions (–1, 0), (0, 2), (1, 4), (2, 6) són punts de la línia que forma la trajectòria (fig. 5.7). Es tracta d’una recta.

EXEMPLE 1

Fig. 5.7. Trajectòria rectilínia del punt descrit en l’exemple 1.

t 0 1 2 3

x –1 0 1 2

y 0 2 4 6

Fig. 5.6. Coordenades d’un punt en l’espai. Si aquest punt es mou, les coordenades varien, i donen lloc a una línia anomenada trajectòria.

Unidad 05-VAL.indd 193 6/5/08 16:39:17


5.4 Magnituds del moviment

Ja saps que hi ha certes característiques dels cossos i dels fenòmens naturals, ano-menades magnituds, que es poden mesurar o avaluar a cada moment. Per a entendre el moviment és important conèixer les magnituds que utilitza la Cinemàtica en el seu desenvolupament. A més del temps, són les següents: posició, desplaçament, espai recorregut, velocitat i acceleració. L’espai recorregut és una magnitud escalar, mentre que les altres són magnituds vectorials.

Posició

Ja hem dit que la posició d’un punt P és la seva localització en l’espai. Hi ha dues mane-res de localitzar un punt en l’espai: mitjançant tres coordenades cartesianes P (x, y, z) i mitjançant un vector r , o també OP , que uneix l’origen del sistema de referència amb el punt P i que rep el nom de vector de posició. L’origen d’aquest vector és sempre en l’origen de coordenades i el seu extrem coincideix a cada instant amb la posició del punt mòbil (fig. 5.8). Les dues formes estan relacionades. Per a entendre la relació que hi ha entre les coordenades x, y, z d’un punt i el seu vector de posició, has de recordar unes quantes nocions de càlcul vectorial.

Unes quantes nocions de càlcul vectorial

Un vector u es diu que és unitari quan el seu mòdul val 1: |u | = 1. Suposem que el vector a de la figura 5.9 té cinc unitats de longitud. Per tant, el mòdul és cinc vegades més gran que el mòdul del vector unitari u . D’acord amb això, es pot escriure: |a | = 5 · |u | = 5. En general, un vector qualsevol es pot expressar segons un vector unitari amb la mateixa direcció i sentit mitjançant el producte v = |v | u , en què |v | és el mòdul o longitud del vector v i u el vector unitari amb la mateixa direcció i sentit que v .

Si anomenem u x, u y i u z els vectors unitaris que tenen la mateixa direcció i sentit que els semieixos cartesians (fig. 5.10), podrem expressar el vector de posició d’un punt en funció d’aquests vectors.

La suma de dos vectors v 1 i v 2 s’obté de la diagonal del paral·lelogram construït sobre aquests vectors, agafant-los com a costats que parteixen del mateix vèrtex (fig. 5.11): s = v 1 + v 2. La posició del punt P (x, y) de la figura 5.12 és determinada pel vector r .

El vector r és la diagonal del paral·lelogram OAPBO. Per tant, es compleix que:

r = OA + OB = |OA | u x + |OB | u y = x u x + y u y

ja que |OA | = x, |OB | = y.

Aplicant el teorema de Pitàgores, podem calcular el mòdul d’un vector si coneixem x i y, ja que |r |2 = x2 + y2 |r |= Îx2 + y2.

v

v

Fig. 5.11. Suma de vectors. S’aplica la regla del paral·lelogram.

Fig. 5.8. Vector de posició. La posició d’un punt P queda definida pel vector que uneix el punt O amb el punt P.

Fig. 5.12. El vector r en funció dels

vectors OA, OB r = OA + OB

Fig. 5.9. Un vector es pot expressar com el producte del seu mòdul per un vector unitari que té la mateixa direcció i sentit.

Fig. 5.10. Representació dels vectorsunitaris segons els eixos cartesians.

Unidad 05-VAL.indd 194 6/5/08 16:40:25


En l’espai, el vector de posició del punt P (x, y, z) és r = x u x + y u y + z u z.

Quan el punt P es mou, el vector de posició variarà amb el temps, fet que es pot expressar de la manera següent:

r (t) = x (t) u x + y (t) u y + z (t) u z

Aquesta expressió rep el nom de posició instantània. Donant valors a t s’obtenen les diverses posicions de la partícula mòbil en un interval de temps.

El moviment d’una partícula s’obté de les equacions x = 4 t, y = 2 t – 2, on x i y es mesuren en metres i t, en segons. Calcula:

a)La posició de la partícula en qualsevol instant.

b)La posició en els instants t = 0, t = 2.

c) On és la partícula al cap de 5 segons?

d)A quina distància de l’origen del sistema de referència es troba la partícula en aquest instant?

Solució

a) La posició de la partícula en qualsevol instant és determinada pel vector de posició: r = x ux + y uy = 4 t ux + (2 t – 2) uy.

b) En l’expressió anterior substituïm els valors del temps que ens indiquen:

Per a t = 0 r0 = (4 · 0) ux + (2 · 0 – 2) uy = –2 uy

Per a t = 2 r2 = 8 ux + 2 uy

En els instants t = 0 i t = 2 s, la partícula es troba en els punts P0 (0, –2), P2 (8, 2).

c) Al cap de 5 s la partícula estarà en la posició r5 = 20 ux + 8 uy, és a dir, en el punt (20, 8).

d) La distància en qüestió ve donada pel mòdul del vector r5:

|r5| = Îx2 + y2 = Î202 + 82 = 21,5 m

EXEMPLE 2

El vector és un segment que està orientat:

Té un punt d’origen, O, i un extrem, P, que determina el sentit del vec-tor OP . La direcció d’un vector és determinada per la recta sobre la qual es recolza.

El mòdul és un nombre real positiu que indica la longitud del vector i que determina el valor de la mag-nitud associada. Una magnitud vectorial es representa algebrai-cament amb una fletxa sobre el valor que té, v , o bé s’escriu en negreta, v. En aquest llibre hem optat per la primera fórmula, ja que considerem que és més fàcil de reconèixer.

ACTIVITATS

11> Escriu els vectors de posició corresponents als punts següents respecte de l’origen.

a) P1 (2, –3, 5)

b) P2 (–1, 0, 6)

c) P3 (0, 0, –2)

12> Un punt mòbil es desplaça per l’espai d’acord amb les equacions següents expressades en el SI:

x = t + 2; y = 4 t – 2; z = t2

a) Completa la següent taula de valors:

b) Esbrina la posició del punt mòbil per a t = 15 s.

c) Escriu el vector corresponent a aquesta posició.

t 0 1 2 3 4

xyz

Unidad 05-VAL.indd 195 6/5/08 16:40:32


Desplaçament

Si en un moment donat un mòbil es toba en la posició P0 (x0, y0, z0) i al cap d’un temps la seva posició és P1 (x1, y1, z1), direm que el mòbil s’ha desplaçat des del punt P0 fins al punt P1. Aquest desplaçament es defineix amb un vector, anomenat vector desplaçament,Dr, que té les característiques següents:

Té l’origen en el punt de partida o posició inicial i l’extrem en el punt d’arribada o posició final, P0P1 (fig. 5.13).

El desplaçament entre dues posicions és sempre el mateix, independentment de la trajectòria que uneix aquestes posicions (fig. 5.14).

El vector desplaçament s’obté restant del vector de posició final el vector de posició inicial (fig. 5.15):

Dr = r1 – r0Per tant, si

r1 = x1 ux + y1 uy + z1 uz r0 = x0 ux + y0 uy + z0 uz

el vector desplaçament serà:

Dr = (x1 – x0) ux + ( y1 – y0) uy + (z1 – z0) uz = Dx ux + Dy uy + Dz uz

en què Dx = x1 – x0; Dy = y1 – y0; Dz = z1 – z0.

Això vol dir que el desplaçament total equival a la suma de desplaçaments parcials al llarg dels eixos cartesians.

Fig. 5.15. Vector desplaçament. S’obté restant els vectors de posició corresponents del punt d’arribada i del punt de partida.

Fig. 5.13. Vector desplaçament. Uneix la posició inicial i la final del mòbil.

Fig. 5.14. Diferents trajectòries per a un mateix desplaçament.

Fig. 5.16. Representació del moviment de l’automòbil de l’exemple 3.

x

Un automòbil es mou en línia recta per una carretera. A les nou del matí és al punt quilomètric 40 i al cap de mitja hora és al punt quilomètric 100. Calcula el desplaçament que ha experimentat el cotxe en el temps indicat.

Solució

Si el cotxe es mou en línia recta, podem agafar com a sistema de referència el punt quilomètric 0 i la direcció de la carretera com a eix cartesià Ox. Per tant, el vector de posició en aquest cas és: r = x ux.

En mitja hora, el cotxe s’ha desplaçat des del punt P0 (40 km, 0) fins al punt P1 (100 km, 0) (fig. 5.16).

Per tant, el desplaçament és:

Dr = r1 – r0 = (x1 – x0) ux = 60 ux km

El cotxe s’ha desplaçat 60 km des de l’origen.

EXEMPLE 3

Unidad 05-VAL.indd 196 6/5/08 16:44:04


ACTIVITATS

13> En Carles surt de casa a comprar el diari en un quiosc situat a 120 m de distància i després torna a casa. Quina afirmació és la correcta?

a) En Carles s’ha desplaçat 120 m.

b) En Carles s’ha desplaçat 240 m.

c) En Carles no s’ha desplaçat.

d) En Carles ha recorregut 240 m.

14> Un ciclista es desplaça en línia recta 750 m. Si la seva posició final és a 1250 m del punt de referèn-cia, el ciclista va iniciar el recorregut des d’una posició situada a:

a) 750 m del punt de referència. b) 1250 m del punt de referència. c) 500 m del punt de referència. d) No es pot saber la posició de partida.

Tria la resposta correcta.

Espai recorregut

No has de confondre espai recorregut amb desplaçament. Espai recorregut és la longitud de trajectòria que ha seguit el mòbil. És una magnitud escalar que coincideix amb el mòdul del desplaçament, només si el moviment és rectilini i si no canvia de sentit. Si llancem una pilota cap amunt, l’espai recorregut coincideix amb el desplaçament mentre la pilota puja; però quan comença el descens, el desplaçament disminueix, i quan la pilota arriba al punt de partida, el desplaçament és nul. En canvi, l’espai recorregut és igual al doble de l’altura aconseguida.

EXEMPLE 4

Una partícula material es mou per l’espai de mane-ra que la seva posició en qualsevol instant s’obté a partir de les equacions x = t2; y = t – 2, expressades en el SI. Calcula:

a) On és la partícula en els instants t = 0 s, t = 1 s, t = 2 s.

b) El desplaçament en l’interval de temps comprès entre zero i dos segons.

Solució

a) La posició de la partícula en qualsevol moment s’expressa mitjançant el vector r = (t2) ux + (t – 2) uy, que per

als instants donats agafa els valors r0 = –2 uy; r1 = ux – uy; r2 = 4 ux.

És a dir, es troba en els punts (0, –2), (1, –1) i (4, 0), respectivament.

b) Per a esbrinar el desplaçament n’hi ha prou de res-tar els vectors r2 i r0 : Dr = r2 – r0 = (4 – 0) ux + + (0 – (–2)) uy = 4 ux + 2 uy

Una persona surt a passejar. Recorre 2 km cap al nord, després es dirigeix cap a l’est i en recorre 1, i finalment, es dirigeix cap al sud i en recorre 4. Calcula:

a) Quin espai ha recorregut?

b) Quant val el desplaçament?

Solució

a) En la fig. 5.17 hi ha representats els diferents desplaçaments. L’espai total recorregut són 7 km.

b) El desplaçament és un vector amb sentit sud-est, i val:

|P0P1| = |Dr | = Î(4 – 2)2 + 12 = Î5 = 2,24 km

EXEMPLE 5

Fig. 5.17. Desplaçament total. Correspon al vector P0 P1.

Unidad 05-VAL.indd 197 6/5/08 16:44:08


15> Una vegada iniciat el moviment, l’espai recorregut pot ser zero? Pot ser zero el desplaçament? Esmen-ta un exemple en què l’espai recorregut i el des-plaçament tenen el mateix valor.

16> Un ciclista recorre una pista circular de 20 m de radi partint del punt O en el sentit que indica la fletxa de la fig. 5.18.

Calcula l’espai recorregut i el desplaçament:

a) Quan el ciclista és al punt A.

b) Quan és al punt B.

c) Quan és a C.

d) Quan ha fet una volta completa.

ACTIVITATS

Fig. 5.18

Velocitat

Per a determinar el moviment d’una partícula cal conèixer com varia la posició d’aquesta partícula en el transcurs del temps. La variació de la posició, l’hem anomenada desplaça-ment. Per a relacionar el desplaçament que ha experimentat un mòbil amb el temps transcorregut introduïm una magnitud molt important en Cinemàtica: la velocitat. Po-dem distingir entre velocitat mitjana i velocitat instantània.

Velocitat mitjana

La velocitat mitjana es defineix com el desplaçament que experimenta el punt mòbil en la unitat de temps. És un vector que resulta de dividir el desplaçament produït entre l’interval de temps utilitzat i que té la ma-teixa direcció i sentit que el vector desplaçament, ja que el temps és una magnitud escalar positiva.

v = DrDt

Una aranya es mou sobre el vidre d’una finestra seguint una trajectòria definida per x = t2 i y = t + 2 en el SI. Calcula:

a) El vector de posició de l’aranya en qualsevol instant.

b) El desplaçament en l’interval de temps comprès entre t = 1 s i t = 3 s.

c) La velocitat mitjana amb què s’ha desplaçat l’aranya durant aquest temps.

Solució

a) El vector de posició ve donat per r = x ux + y uy = t2 ux + (t + 2) uy

b) Esbrinem les posicions corresponents als instants que s’indiquen:

Per a t = 1 s; r1 = ux + 3 uy Per a t = 3 s; r3 = 9 ux + 5 uy

El desplaçament és: Dr = r3 – r1 = (9 – 1) ux + (5 – 3) uy = 8 ux + 2 uy

c) La velocitat mitjana s’obté de: v = Dr

Dt=

8 ux + 2 uy

2= 4 ux + uy m/s

EXEMPLE 6

http://newton.cnice.mec.es/4eso/trayectoria/trayec0.htm

En aquesta pàgina s’ofereix una explicació amb simulacions inter-actives de la diferència entre desplaçament i trajectòria (espai recorregut).

Si r (t) representa la posició del punt mòbil en l’instant t i r(t + Dt) representa la posició al cap d’un interval de temps Dt, la velocitat mitjana també s’obté:

v = DrDt

= r (t + Dt) – r (t)Dt

Unidad 05-VAL.indd 198 6/5/08 16:44:12


Una partícula es mou al llarg de l’eix Ox segons l’equació x = t2 + 2. Calcula’n la velocitat mitjana.

Solució

En aquest cas, el vector de posició és r (x, 0) i no s’especifica l’interval de temps. Per això esbrinarem la velocitat mitjana utilitzant l’expressió:

|v | = |Dr |

Dt=

|r (t + Dt) – r (t)|

Dt=

[(t + Dt)2 + 2 – (t2 + 2)]

Dt=

t2 + 2 t Dt + (Dt)2 + 2 – t2 – 2

Dt= 2 t + Dt

EXEMPLE 7

Velocitat instantània és la que té una partícula en un instant determi-nat o en un punt concret de la trajectòria.

ACTIVITATS

17> La rapidesa d’un mòbil es mesura en m/s en el SI, i en la pràctica, en km/h. Expressa en m/s la rapi-desa amb què es mou un cotxe que va a 144 km/h.

18> Si la velocitat del so per l’aire és de 340 m/s, quina és la velocitat d’un avió en km/h quan trenca la barrera del so?

En general, la velocitat mitjana depèn de l’instant inicial i de l’interval de temps considerats. Si aquests valors estan determi-nats, la velocitat mitjana agafa un valor concret, tal com hem vist en l’exemple 6. Però si l’instant ini-cial i l’interval de temps no estan definits, la velocitat mitjana és indeterminada, tal com succeeix en l’exemple 7.

Fig. 5.19. Velocímetre. Instrument que mesura el mòdul de la velocitat instantània del vehicle.

Observa que el resultat és indeterminat, ja que depèn de dues variables: l’ins-tant t i l’interval de temps Dt. Si l’interval de temps es fa infinitament pe-tit (Dt 0), la velocitat mitjana agafa el valor |v | = 2 t i només depèn de l’instant que es considera. Per això rep el nom de velocitat instantània. I se sol de-finir com el valor que agafa la velocitat mitjana quan l’interval de temps tendeix a

0: v i = lim Dr

Dt· Aquest límit es coneix en Matemàtiques com la derivada del vector de

posició respecte del temps.

Velocitat instantània

En la resolució de l’exemple anterior s’ha vist que la velocitat mitjana, en general, és indeterminada. A més, ens dóna poca informació del moviment que es produeix. Només relaciona el desplaçament total produït amb l’interval de temps utilitzat. No ens diu res sobre la trajectòria que ha seguit la partícula, ni si ha mantingut la mateixa velocitat durant tot l’interval de temps.

Per exemple, si un cotxe ha trigat 5 hores a desplaçar-se de Madrid a València, a 350 kmde distància, direm que ha fet el recorregut amb una velocitat mitjana de 70 km/h. Però aquesta dada no ens respon preguntes com ara: ha estat aquesta la velocitat real del cotxe?, ha fet el recorregut mantenint sempre la mateixa velocitat?, per quina carretera ha anat?, quina velocitat tenia el cotxe quan va passar pel punt quilomètric 100?, i quan faltaven vint minuts per arribar a València?

La veritable velocitat del cotxe és la que marca el velocímetre en l’instant en què s’observa (fig. 5.19). El velocímetre mesura el mòdul de la velocitat instantània.

La velocitat instantània és un vector el mòdul del qual rep el nom de rapidesa i representa l’espai recorregut en la unitat de temps, la direcció del qual és tangent a la trajectòria i el sentit coincideix amb el sentit del moviment.

Dt 0

Unidad 05-VAL.indd 199 6/5/08 16:44:28


Acceleració

Quan un automòbil es deplaça, no sempre ho fa amb la mateixa velocitat. Si un cotxe, per exemple, augmenta de velocitat, diem que accelera. Si l’increment de velocitat es produeix en menys temps, intuïtivament diem que el cotxe té més acceleració. Per tant, l’acceleració relaciona la velocitat amb el temps.

Mitjançant uns quants exemples, veurem quan té acceleració un moviment:

1. Es llança una pilota a 10 m/s contra la paret d’un frontó. La pilota rebota i surt a 10 m/s en la mateixa direcció. La velocitat és la mateixa abans i després del re-bot? No, la pilota es mou amb la mateixa rapidesa abans i després del rebot, però no amb la mateixa velocitat. Hi ha acceleració perquè la velocitat ha canviat de sentit.

2. Un cotxe es mou per una pista recta. En un moment donat, el velocímetre marca 90 km/h i en un instant posterior 100 km/h. Hi ha acceleració perquè ha canviat el mòdul de la velocitat. El cotxe no es mou amb la mateixa rapidesa.

3. El cotxe anterior agafa un revolt amb una rapidesa constant de 45 km/h. Hi ha ac-celeració perquè la direcció de la velocitat canvia contínuament.

La velocitat és una magnitud vectorial. Per tant, hi ha accele-ració sempre que la velocitat varia en qualsevol dels seus elements: mòdul, direcció o sentit.

El mòdul de l’acceleració es mesu-ra en m/s2.

Acceleració, en general, és la variació de la velocitat amb el temps.

19> Esmenta algun exemple en què la velocitat d’un vehicle canvia de mòdul i de direcció.

20> En el moviment d’un pèndol, quins elements de la velocitat es modifiquen?

ACTIVITATS

Acceleració mitjana i acceleració

Per a determinar el moviment d’una partícula no n’hi ha prou de saber que la velocitat varia. Cal saber com es produeix aquesta variació en el transcurs del temps. Per això, s’introdueixen els conceptes d’acceleració mitjana i acceleració instantània.

Si la pilota de l’exemple esmentat adés ha estat en contacte amb el frontó durant una dècima de segon, ha experimentat una acceleració mitjana:

v1 = +10 ux m/s v2 = –10 ux m/s

a =v2 – v1

Dt=

(–10 ux) – (10 ux)

0,1 s= –200 ux m/s2

L’acceleració mitjana es defineix com el vector que resulta de dividir la variació de la velocitat que s’ha produït en un interval de temps entre el valor d’aquest interval:

a =DvDt

=v2 – v1

Dt

Unidad 05-VAL.indd 200 6/5/08 16:44:31


Components intrínsecs de l’acceleració

Sabem que la velocitat instantània és tangent a la trajectòria (fig. 5.20). Per tant, en cada punt se’n coneix bé la direcció. Però, quina és la direcció de l’acceleració instan-tània? És també tangent a la trajectòria?

En la figura 5.21 s’ha obtingut gràficament el vector Dv . S’observa que aquest vector no és tangent a la trajectòria. La seva direcció és variable.

Però independentment de la direcció, sempre es pot descompondre en dos vectors: l’un en la direcció de v1 i l’altre perpendicular a v1 (fig. 5.22).

Si escollim el sistema de referència format per un punt de la trajectòria i dos vectors unitaris, l’un t amb la direcció de la tangent i l’altre n amb la direcció de la normal (perpendicular) a la tangent en aquest punt, hem definit un sistema de referència lligat a la pròpia trajectòria i que rep el nom de sistema de referència intrínsec a la trajec-tòria (fig. 5.23).

A partir d’aquest sistema de referència, podem escriure: Dv = Dvt + Dvn. Per tant, l’acceleració és:

a =Dv

Dt=

Dvt

Dt+

Dvn

Dt = at + an = |at| t + |an|n

L’acceleració es pot descompondre en dues, l’una en la direcciónde la tangent (accele-ració tangencial) i l’altra en la direcció de la normal (acceleració normal) en cada punt de la trajectòria. Aquestes acceleracions reben el nom de components intrínseques de l’acceleració.

Fig. 5.21. La variació de la velocitat s’obté gràficament unint els extrems de les velocitats v1 i v2.

Fig. 5.20. Direcció de la velocitat instantània.

Fig. 5.23. Sistema de referència intrínsec a la trajectòria.

Fig. 5.22. Descomposició de la variació de la velocitat.

L’acceleració tangencial s’obté de la variació de la rapidesa o mòdul de la velocitat.L’acceleració normal és la que porovoca el canvi de direcció de la velocitat

i rep el nom d’acceleració centrípeta. El seu mòdul val v2

R, en què v és la

rapidesa i R el radi de la corba.

Pumdqtrd

L’acceleració instantània és el valor límit que agafa l’acceleració mitja-na quan l’interval de temps és extremament petit.

a i = lim DvDt

Aquest límit rep el nom de derivada del vector velocitat respecte del temps.

Dt 0

ACTIVITATS

13> L’automòbil anterior agafa un revolt de manera que, al principi, el velocímetre marca 90 km/h, i al final, 30 km/h.

a) Té acceleració tangencial el cotxe? Per què?

b) Té acceleració normal? Per què?

c) Quin tipus d’acceleració hauria tingut el cotxe si durant tot el revolt s’hagués desplaçat a 30 km/h?

d) Quant val l’acceleració mitjana?

Per a restar dos vectors, se’n trasllada un damunt la seva paral·lela, de manera que els orígens de tots dos coincideixin. El vector diferència és el que uneix l’extrem del vector subtrahend, v1, amb el vector minuend, v2.

Unidad 05-VAL.indd 201 6/5/08 16:44:38


5.5 Classificació dels movimentsmés rellevants

Els moviments que tenen lloc en el nostre entorn es poden classificar atenent dos cri-teris principals: la trajectòria (fig. 5.24) i l’acceleració (fig. 5.25).

Segons la trajectòria, els moviments poden ser rectilinis i curvilinis. Un exemple sen-zill de moviments curvilinis és el moviment circular.

D’acord amb l’acceleració, els moviments poden ser uniformes i accelerats. Dels últims, els que tindrem més en compte en aquest primer curs de Batxillerat són els anomenats uniformement accelerats.

Fig. 5.24. Classificació dels moviments segons la seva trajectòria.

SEGONS LA TRAJECTÒRIA

Moviments

Rectilinis Curvilinis

Circulars

Parabòlics

El·líptics

Altres

SEGONS L’ACCELERACIÓ

Moviments

Acceleració constant Acceleració variable

Movimentsuniformes

Moviments uniformementaccelerats

Fig. 5.25. Classificació dels moviments segons la seva acceleració.

Fig. 5.26. Moviment rectilini.En aquests moviments, es pot agafar la trajectòria com a eix de referència.

Fig. 5.27. Vector de posició d’un punt P. Aquest vector té una sola component.

5.6 Moviments rectilinis

La caiguda lliure d’un cos, la propagació del so, el desplaçament d’un avió per una pista abans d’enlairar-se d’un aeròdrom, etc., són exemples de moviments rectili-nis.

L’estudi d’aquests moviments és senzill si utilitzem un sistema de referència adequat: situem l’origen O del sistema sobre la trajectòria i, a més, fem que aquesta coincideixi amb un dels eixos cartesians (fig. 5.26).

Amb aquest sistema de referència, totes les magnituds del moviment tenen la mateixa direcció de l’eix escollit i, per tant, una sola component:

Vector de posició r (x, 0, 0) |r | = x

Vector desplaçament Dr (D x, 0, 0) |Dr | = D x

Vector velocitat v (vx, 0, 0) |v| = vx = v

Vector acceleració a (ax, 0, 0) |a | = ax = a

De tot això, se n’extreuen les conclusions següents:

El mòdul d’aquests vectors coincideix amb el valor de l’única component. El sentit,l’expressarem mitjançant un signe (+, –) segons el sentit del moviment.

Per exemple: en comptes de r utilitzarem (+x) o (–x), en comptes de v utilitzarem (+v)o (–v), etc., d’acord amb el criteri de signes que et donarem. En la fig. 5.27 es posa de manifest l’única component que té el vector de posició.

Els moviments rectilinis es caracteritzen perquè la seva trajectòria és una línia recta. Per tant, la direcció de la velocitat es manté constant.

Unidad 05-VAL.indd 202 6/5/08 16:44:59


Fig. 5.29. Mòdul del desplaçament. Enel moviment rectilini, el mòdul del desplaçament gairebé sempre coincideix amb l’espai recorregut, x1 – x0 = s.

En general, en els moviments rectilinis, el mòdul del desplaçament coincideix amb l’espai recorregut, si no s’inverteix el sentit del moviment (fig. 5.29).

Criteri de signes per a les equacionsdel moviment rectilini

Recorda que la posició, la velocitat i l’acceleració són magnituds vectorials la direcció de les quals coincideix amb la trajectòria, i el sentit és determinat pels signes + i –. Per a esbrinar quin signe tenen en cada problema concret utilitzarem el criteri següent:

– Per a la posició. El signe de la posició coincideix amb el signe dels semieixos carte-sians, com es dedueix de la fig. 5.28.

– Per a la velocitat. La velocitat és positiva quan el mòbil es desplaça en el sentit del semieix Ox o del semieix Oy (cap a la dreta o cap amunt), i és negativa si es desplaça en sentit contrari (cap a l’esquerra o cap avall).

– Per a l’acceleració. Una acceleració és positiva si el sentit coincideix amb el de la velocitat positiva i és negativa si el sentit és contrari a aquesta velocitat.

Fig. 5.28. Criteri de signes: a) per a la posició en moviment horitzontal; b) per a la posició en moviment vertical; c) per a la velocitat.

ACTIVITATS

22> Escriu el signe corresponent a la posició i a la velocitat en els casos següents:

a) La partícula de la figura és al punt P1, a 20 m del punt O que s’agafa com a referència.

b) La partícula és en P2, a 10 m del punt O.

c) El cotxe de la fig. 5.26 s’allunya del punt O amb una rapidesa de 20 m/s.

d) Aquest cotxe retrocedeix a 2 m/s.

a) b) c)

Moviment horitzontal Moviment vertical

Unidad 05-VAL.indd 203 6/5/08 16:45:05


Cinemàtica del moviment rectilinii uniforme (MRU)

Un mòbil té MRU quan es desplaça en línia recta i sense acceleració, és a dir, mantenint la velocitat constant. En aquest moviment, la velocitat mitjana coincideix amb la velocitat instantània.

Equació de l’MRU

Es tracta d’obtenir una expressió matemàtica que permeti esbrinar en qualsevol moment la posició d’un mòbil si en coneixem la posició inicial i la velocitat. Fixa’t en el sistema de referència (fig. 5.30): la posició del punt mòbil P1, en qualsevol instant, és donada per la distància x que hi ha entre aquest punt i l’origen de coordenades.

Suposem que inicialment, quan comencem a cronometrar l’interval de temps transcorre-gut, el mòbil és al punt P0, la posició del qual és donada per x0, posició inicial. Si aquest punt es desplaça al llarg de l’eix Ox amb una velocitat v, al cap d’un temps t la posició del mòbil serà xt. El desplaçament haurà estat Dx = xt – x0.

De la definició de velocitat mitjana, v =xt – x0

t, es dedueix

xt = x0 + v t

que és l’equació de l’MRU, en què:

xt és la posició en qualsevol instant t;

x0 és la posició inicial, per a t = 0;

v és la velocitat constant del moviment, i

t és el temps transcorregut.

Diagrames del moviment rectilini i uniforme

Les gràfiques s’usen per a determinar la relació que hi ha entre dues magnituds. Si parlem de moviment, els diagrames són representacions gràfiques, en funció del temps, de les magnituds posició, velocitat i acceleració.

L’MRU té dos diagrames, x-t i v-t, ja que no té acceleració.

• Diagrama x-t. Es tracta de representar gràficament l’equació del moviment agafant la posició instantània com a funció i el temps com a variable independent: xt = x0 + vt. La línia obtinguda és una recta l’ordenada en l’origen de la qual és la posició inicial i el pendent és la velocitat (fig. 5.31).

• Diagrama v-t. És la representació gràfica de la funció v = f (t). Es tracta d’una recta paral·lela a l’eix del temps (fig. 5.32). L’àrea continguda davall de la línia de la velocitat representa el desplaçament: Dx = base · altura = t v = v t.

Fig. 5.30. Posició de partida o posició inicial. És la distància x0 (per a t = 0).

Fig. 5.32. Diagrama v-t de l’MRU. L’àrea del recinte en color representa el desplaçament.

Fig. 5.31. Diagrama x-t de l’MRU.

En l’MRU, normalment, l’espai recorregut coincideix amb el des-plaçament. Per tant, l’equació xt = x0 + v t també es pot escriu-re:

s = xt – x0 = v t

que rep el nom d’equació horàriadel moviment rectilini i unifor-me.

23> Un cotxe passa per un punt A situat a 20 km del punt de referència. A quin punt serà al cap de mitja hora, si es desplaça amb una velocitat mitjana de 100 km/h?

ACTIVITATS

Unidad 05-VAL.indd 204 6/5/08 16:45:09


ACTIVITATS

24> A partir del diagrama de la fig. 5.34, indica quines afirmacions són falses:

a) En el tram OA la velocitat ha estat 0,8 m/s.

b) En el tram AB la velocitat és 4/5 m/s.

c) En el tram BC la velocitat és –2 m/s.

d) En el tram AB el mòbil està aturat.

25> El moviment rectilini d’una partícula es descriu en el diagrama x-t de la fig. 5.35.

a) Què representa el valor x = 5 m?

b) Què significa el tram horitzontal?

c) Quina velocitat té la partícula en els intervals de t = 0 a t = 2 s i de t = 2 s a t = 4 s?

d) Quina distància recorre la partícula en 4 s?

Fig. 5.34 Fig. 5.35

El moviment d’una partícula es descriu mitjançant el diagrama x-t de la fig. 5.33. Calcula:

a) La velocitat mitjana durant els dos primers segons.

b) La velocitat mitjana en l’interval de 0 a 5 s.

c) El desplaçament total que ha experimentat la partícula.

d) Descriu el moviment de la partícula.

Solució

a) D’acord amb la fig. 5.33, per a t0 = 0, la partícula està en la posició x0 = 2 m, i en l’instant t1 = 2 s, en la posició x2 = 4 m.

Per tant, la velocitat mitjana és: v =Dx

Dt=

x1 – x0

t1 – t0

=4 m – 2 m

2 s= 1 m/s

b) En l’instant t5 = 5 s, la partícula està en la posició x5 = 0. Per tant, en l’interval de temps t5 – t0 = 5 s la velocitat mitjana ha estat:

v =x5 – x0

t5 – t0

=0 – 2 m

5 s= –0,4 m/s

c) Recorda que el desplaçament s’obté de la diferència entre les posicions final i inicial: x5 – x0 = 0 – 2 m = –2 m.

d) Segons la fig. 5.33, la partícula inicia el moviment des d’un punt situat a 2 mdel sistema de referència. Està en moviment durant 1 s fins a arribar a un punt situat a 4 m del sistema de referència; en aquest punt roman aturada durant 2 s més. Al cap d’aquest temps, la partícula es mou en sentit contrari i es dirigeix cap al punt de referència, on arriba en l’instant t = 5 s.

EXEMPLE 8

Fig. 5.33. Moviment de la partícula de l’exemple 8.

Unidad 05-VAL.indd 205 6/5/08 16:45:15


Moviment rectilini uniformement accelerat (MRUA)

És un moviment rectilini que es fa amb acceleració constant. Per tant, l’acceleració mitjana i l’acceleració instantània hi coincideixen.

Equacions de l’MRUA

Suposem que en la posició P1 de la fig. 5.36, una partícula té una velocitat instantània v0 i en un altre punt P1 de la trajectòria la velocitat és vt. Si ha utilitzat un temps t per a desplaçar-se des de P0 fins a P1, l’acceleració mitjana de la partícula haurà estat:

a =vt – v0

tm/s2

Aquesta és la velocitat en qualsevol instant, si es coneix l’acceleració:

vt = v0 + a t (1)

La velocitat mitjana aritmètica de la partícula entre les posicions P0 i P1 s’obté de:

v–=

v0 + vt

2=

v0 + (v0 + a t)

2= v0 +

1

2a t

Sense consideracions vectorials, i com que la velocitat mitjana és constant en l’interval, podem aplicar l’equació de l’MRU per a esbrinar la posició instantània:

xt = x0 + v–

t = x0 + (v0 + 1

2a t) t xt = x0 + v0 t +

1

2a t2 (2)

En resum, si sabem l’acceleració constant amb què es mou una partícula, podem esbrinar la velocitat que té en qualsevol instant utilitzant l’equació 1. A més, mitjançant l’equació 2 també en podem esbrinar la posició. Si eliminem el temps entre les dues equacions anteriors s’obté una tercera equació molt útil que permet calcular la velocitat en qualsevol posició, si no coneixem el valor del temps:

vt2 – v0

2 = 2 a (xt – x0) (3)

Un automòbil parteix d’una gasolinera on estava en situació de repòs. Després de recórrer 200 m agafa una velocitat de 108 km/h. Calcula:

a) El valor de l’acceleració, que es considera constant.

b) El temps que ha trigat a assolir la velocitat indicada.

Solució

Prenem la gasolinera com a sistema de referència. Comencem a comptar el temps quan el cotxe parteix de la gasolinera.

Posició inicial x0 = 0 Posició final xt = 200 m

Velocitat inicial v0 = 0 Velocitat al final dels 200 m, vt = 108 km/h = 30 m/s

a) D’acord amb aquestes dades, l’acceleració s’obté a partir de l’equació: vt2 – v0

2 = 2 a (xt – x0).

a =vt

2 – v02

2 (x1 – x0)=

(30 m/s)2 – 0

2 (200 m – 0)=

900 m2/s2

400 m= 2,25 m/s2

b) Aïllem el temps transcorregut en l’equació: vt = v0 + a t; t =vt – v0

a=

30 m/s – 0

2,25 m/s2 = 13,3 s

EXEMPLE 9

Fig. 5.36. Acceleració mitjana. Entre les posicions P0 i P1 l’acceleració és constant.

O

P0 (x0)

v0 vt

P1 (x1)

y

x

Unidad 05-VAL.indd 206 6/5/08 16:45:19


Un cotxe, en passar per un punt A d’una carretera, es desplaça a 120 km/h, i en fer-ho per un altre punt B de la mateixa carretera, la velocitat és de 90 km/h. Si ha trigat 5 s a desplaçar-se des de A fins a B, calcula:

a) El valor de l’acceleració, que es considera constant.

b) La distància entre A i B.

c) A quina distància de A s’aturarà l’automòbil?

Solució

Prenem el punt A com a sistema de referència. Comencem a cronometrar quan el cotxe passa per aquest punt. D’acord amb això, coneixes:

– La posició inicial x0 = 0.

– La velocitat inicial v0 = 120 km/h = 33,3 m/s.

– El temps transcorregut t = 5 s.

– La velocitat en el punt B: vt = 90 km/h = 25 m/s.

a) L’acceleració s’obté a partir de l’equació vt = v0 + a t

a =vt – v0

t=

25 m/s – 33,3 m/s

5 s= –1,7 m/s2

b) La distància entre A i B ve donada per la posició del cotxe al cap de 5 s:

xt = x0 + v0 t +1

2a t2 = 33,3 m/s · 5 s +

1

2 · (–1,7 m/s2) · (5 s)2 = 145,3 m

c) El cotxe s’aturarà quan la velocitat sigui zero, i això ocorre en una posició xt que s’obté aïllant de

v t2 – v0

2 = 2 a (xt – x0) en què vt = 0

xt – x0 =v2

t – v20

2 a=

0 – (33,3 m/s)2

2 (–1,7 m/s2)= 326 m; x = x0 + 326 m = 0 + 326 m = 326 m

EXEMPLE 10

Diagrames de l’MRUA

Diagrama a-t. És la representació gràfica de la funció a = f (t). Com que l’acceleració és constant, la gràfica és una recta paral·lela a l’eix dels temps (fig. 5.37). L’àrea continguda sota l’acceleració representa l’increment de la velocitat: Dv = base · altura = t a = a t.

Diagrama v-t. És la representació de la funció v = f (t) = v0 + a t. És una recta l’ordenada en l’origen de la qual és la velocitat inicial i el pendent representa l’acceleració (fig. 5.38). Aquí l’àrea és el vector desplaçament:

Dx = rectangle + triangle = v0 t + 1

2 (vt – v0) t = v0 t +

1

2 a t2

Diagrama x-t. És la representació de la funció xt = x0 + v0 t +1

2 at2. Es tracta d’una

paràbola.

Fig. 5.37. Diagrama a-t de l’MRUA. L’àrea de color representa l’increment de v.

Fig. 5.38. Diagrama v-t de l’MRUA. L’àrea en color representa el desplaçament.

El diagrama x-t d’un moviment no representa la trajectòria, solament indica com varia la posició del mòbil amb el temps.

O t (s)

x (m)

Unidad 05-VAL.indd 207 6/5/08 16:45:25


Criteri de signes per a la caiguda lliure

– La posició és positiva si el mòbil està per damunt del nivell Ox.

– La velocitat és positiva si el cos puja i és negativa si el cos baixa.

– L’acceleració de la gravetat és sempre negativa.

26> Un cos que es mou en línia recta té una velocitat que varia amb el temps, segons el diagrama de la figura 5.39. Indica quines de les afirmacions se-güents són correctes:

a) Durant tot el recorregut ha tingut un MRUA.

b) L’acceleració mitjana és 4 m/s2.

c) La velocitat màxima és 72 km/h.

d) La distància recorreguda els deu primers segons és de 100 m.

e) En l’interval de 0 a 5 s el cos està parat.

f) En l’interval de 10 s a 15 s el cos es mou sense acceleració.

27> Un vehicle es mou sobre una pista rectilínia durant 5 s amb acceleració constant. Segueix amb veloci-tat constant durant 15 s i després frena de manera constant fins a parar, cosa que aconsegueix en 20 s. Dibuixa els diagrames a-t i v-t d’aquest moviment.

ACTIVITATS

Fig. 5.39

5.7 La caiguda lliure: un movimentrectilini uniformement accelerat

El 2 d’agost de 1971, quan l’astronauta David Scott era a la superfície de la Lluna, va deixar caure simultàniament un martell de geòleg i una ploma de falcó i va observar que els dos cossos tocaven simultàniament la superfície lunar. Havia comprovat a la Lluna la hipòtesi de Galileu: «En absència de fricció amb l’aire, tots els cossos cauen cap a la Terra amb la mateixa acceleració».

En la caiguda lliure no importa el moviment inicial del cos. Tots els objectes que es llancen cap amunt o cap avall, i els que es deixen caure a partir del repòs, cauen lliurement. Un cop es troben en caiguda lliure, tots els cossos estan sotmesos a l’acceleració de la gravetat. A prop de la Terra aquesta acceleració és pràcticament constant.

Si prenem com a punt de referència un punt O de la trajectòria vertical i com a eix Oyaquesta trajectòria (fig. 5.40), les equacions que defineixen aquest moviment són:

El moviment d’un cos per l’acció de la gravetat, que supera la resistència de l’aire, rep el nom de caiguda lliure.

La caiguda lliure és un moviment rectilini i uniformement accelerat.

Velocitat mitjana v–= v0 + 1

2a t

Velocitat instantània vt = v0 + a t v2t – v2

0 = 2 a (yt – y0)

Posició instantània yt = y0 + v0 t + 12

a t2 yt = y0 + 12

(v0 + vt) t

On a = g = –9,8 m/s2.Fig. 5.40. Sistema de referència per a un moviment en caiguda lliure.

Unidad 05-VAL.indd 208 6/5/08 16:45:29


Deixes caure una pilota des de la terrassa d’un edifici de 20 m d’alçària.

a) Quant de temps triga a arribar a terra?

b) Amb quina velocitat arriba a terra?

Solució

Prenem un punt del terra que sigui a la vertical de caiguda de la pilota com a sistema de referència. Per tant, la posició inicial del cos és 20 m. Si la pilota es deixa caure, vol dir que inicia la caiguda partint del repòs (v0 = 0) i amb una acceleració constant.

a) La pilota arribarà a terra quan la posició final serà zero. Per tant, el temps transcorregut s’obté resolent l’equació:

0 = y0 + v0 t +1

2a t2 0 = 20 m +

1

2 (–9,8 m/s2) t2

d’on es dedueix que t = 20 mÎ

4,9 m/s2= 2 s.

b) La velocitat amb què arriba al carrer és:

vt = v0 + a t = 0 + (–9,8 m/s2) · 2 s = –19,6 m/s

El signe menys indica el sentit descendent.

EXEMPLE 11

Es deixa caure un objecte des d’una alçada de 80 m. Dos segons més tard se’n llança un altre des del terra cap amunt a la mateixa vertical amb una velocitat de 20 m/s. A quina altura s’encreuen?

Solució

Prenem el terra com a referència.

Els dos objectes s’encreuaran quan estiguin a la mateixa alçada. És a dir, a la mateixa posició:

y = y0 + v0 t + 1

2a t2

Objecte 1: y = 80 m – 0,5 · 9,8 m/s2 · t2

Objecte 2: y = 20 m/s · (t – 2 s) – 0,5 · 9,8 m/s2 · (t – 2 s)2

Com que la posició dels dos objectes és comuna, la podem eliminar igualant les dues equacions:

80 m – 4,9 m/s2 · t2 = 20 m/s · (t – 2 s) – 4,9 m/s2 · (t – 2 s)2

d’on s’obté que s’encreuen al cap de 3,5 s des que va sortir el primer.

Substituïm aquest valor en l’equació del primer objecte:

y = 80 m – 4,9 m/s2 · t2 = 80 m – 4,9 m/s2 · (3,5 s)2 = 20 m

Així doncs, s’encreuaran a 20 m del terra.

EXEMPLE 12

Dades Primer objecte Segon objecte

Posició inicial (y0)Velocitat inicial (v0)

Acceleració (a)Temps transcorregut (t0)

y0 = 80 mv0 = 0 m/s

a = –9,8 m/s2

t1 = t s

y0 = 0 mv0 = 20 m/s

a = –9,8 m/s2

t2 = (t – 2) s

Unidad 05-VAL.indd 209 6/5/08 16:45:31


A una circumferència completa (360°) li correspon un angle de:

w = sR

= 2 p RR

= 2 p radians

Fig. 5.43. Radian. Si s = R, l’angle wmesura un radian.

Fig. 5.42. Moviment circular. Aquest mo-viment ve donat per un vector de posició giratori. L’angle w girat està relacionat amb l’espai recorregut s.

5.8 Moviment circular. Magnituds angulars

El moviment circular es caracteritza perquè la seva trajectòria és una circumferència. Si agafem el centre de la circumferència com a punt de referència, el vector de posició de la partícula gira i canvia cada instant de direcció (fig. 5.42), encara que el seu mòdul roman constant: |r | = R.

Si la partícula inicia el moviment des d’un punt P1 de la trajectòria i després d’un temps t la partícula és al punt P2, a l’espai s recorregut per la partícula li correspon un angle w comprès entre els vectors r1 i r2 (fig. 5.42).

Si la longitud de l’arc s és igual al radi de la circumferència, llavors l’angle sub-tendit w es diu que mesura un radian (rad) (fig. 5.43). D’acord amb això, el valor d’un angle en radians s’obté dividint l’arc entre el radi de la circumferència corres-ponent:

w (rad) = s

Rs = w R

Es mesura en rad/s, encara que a la pràctica també s’utilitzen les revolucions per minut(rpm).

Entre les dues unitats hi ha la relació: 1 rpm = 1 rev

min·

1 min

60 s·

2 p rad

1 rev=

p

30rad/s

De les igualtats v = s

ti v =

w

t i de s = w R s’obté la important relació:

v = v R

En el moviment circular es distingeixen dues velocitats: la velocitat v, que rep el nom de velocitat lineal i és tangent a la trajectòria, i la velocitat angular v.

28> En la figura 5.41 es representa el diagrama v-t del moviment d’un objecte llançat verticalment cap amunt des del terra.

Fig. 5.41

Prenent per a la gravetat el valor –10 m/s2, indica quines afirmacions són falses:

a) L’acceleració canvia de sentit al cap de 2 s.

b) La velocitat canvia de sentit al cap de 2 s.

c) L’altura màxima s’aconsegueix al cap de 2 s.

d) L’objecte al cap de 3 s és a 10 m del terra.

e) L’altura màxima aconseguida va ser de 20 m.

f) Al cap de 4 s arriba al terra.

ACTIVITATS

La velocitat angular v és defineix com l’angle girat pel vector de posició en la unitat de temps:

v = wt

Unidad 05-VAL.indd 210 6/5/08 16:45:45


El moviment circular uniforme no té acceleració tangencial, però sí acceleració normal.

Moviment circular uniforme

Aquest moviment es caracteritza perquè la circumferència es recorre sempre amb la mateixa rapidesa; és a dir, el mòdul de la velocitat lineal és constant, i sempre és tangent a la trajectòria (fig. 5.44).

Si la partícula inicia el moviment des d’un punt A de la trajectòria (fig. 5.45), l’espai recorregut al cap d’un temps t serà:

s = v t o bé w = v t

si volem esbrinar l’angle descrit corresponent a l’espai s.

El mòdul de la velocitat s’obté de l’expressió anterior:

v =s

t=

2 p R

T

on T representa el temps que es triga a fer una volta i rep el nom de període.

Recorda, no obstant això, que aquest moviment té acceleració normal o centrípeta, perquè la velocitat varia cada instant, i canvia de direcció.

L’acceleració centrípeta ve donada per:

an = v2

R

Sense l’acceleració centrípeta, una partícula no podria descriure una trajectòria circular. Si en un moment donat l’acceleració centrípeta es redueix a zero, la partícula es mourà en línia recta, seguint la direcció de la tangent.

S’anomena freqüència, f, el nombre de voltes fetes en un segon. El període i la freqüència són inversos: T f = 1.

Calcula la velocitat amb què es desplaça un automòbil sabent que les rodes tenen un diàmetre de 80 cm i giren a 500 rpm.

Solució

En primer lloc expressem la velocitat de les rodes en rad/s:

500 rpm = 500 rev

min·

1 min

60 s·

2 p rad

1 rev= 52,4 rad/s

La rapidesa de les rodes coincideix amb la rapidesa del cotxe:

v = v R = 52,4 rad/s · 0,4 m/rad = 21 m/s = 76 km/h

EXEMPLE 13

ACTIVITATS

29> Calcula l’acceleració centrípeta d’un objecte que es mou sobre una circumferència de 10 m de radi a 90 km/h.

30> Lliguem una pedra a una corda d’1 m de longitud i la fem girar descrivint circumferències amb una freqüència de cinc voltes per segon.

Calcula:

a) La velocitat angular en rpm.

b) La rapidesa, en km/h, amb què gira la pedra.

c) L’acceleració centrípeta a què està sotmès el cos.

Fig. 5.45. En un moviment circular, la longitud s de l’arc descrit representa l’espai recorregut.

Fig. 5.44. Velocitat tangencial. Vt éstangent a la trajectòria en qualsevol punt.

Unidad 05-VAL.indd 211 6/5/08 16:45:49


Moviment circular uniformement accelerat

Si la velocitat angular instantània canvia des d’un valor v0 fins a vf en l’interval de temps Dt, la partícula que descriu la circumferència té acceleració angular.

D’aquesta expressió s’obté el valor de la velocitat angular per a qualsevol instant t:

vt = v0 + a t (1)

La velocitat angular mitjana entre dos instants t0 i t també es pot expressar com una mitjana aritmètica:

v–

=v0 + vt

2=

v0 + (v0 + a t)

2= v0 +

1

2a t

Tenint en compte que aquest valor mitjà és constant en l’interval de temps indicat, podem aplicar l’equació del moviment circular uniforme per a esbrinar el desplaçament angular:

w = v–

t = (v0 + 1

2a t) t w = v0 t +

1

2a t2 (2)

• Si coneixes l’acceleració angular amb què es mou una partícula, pots esbrinar la velocitat angular que té en qualsevol instant utilitzant l’equació 1.

• A més, mitjançant l’equació 2 pots esbrinar també l’angle girat.

• Si elimines el temps entre les dues equacions anteriors, obtens una tercera equació que permet calcular la velocitat en funció de l’angle girat:

v2t – v2

0 = 2 a w (3)

• Si no coneixes l’acceleració, pots aplicar l’equació següent, que s’obté a partir de la velocitat mitjana:

w = 1/2 (v0 + vt) t (4)

Observa la semblança que hi ha entre les equacions del moviment rectilini i del moviment circular, que es mostra en la taula 5.1.

A les fórmules, com a unitats del radi, has de posar m/rad, tot i que el rad no té sentit físic en si mateix.

Al cap i a la fi, el radi representa els metres que té un radian.

L’acceleració angular mitjana es defineix com el quocient entre la varia-ció de la velocitat angular i el temps transcorregut. Es mesura en rad/s2.

a = vt – v0

t

El moviment circular uniforme-ment accelerat té at = a R i

an = v2

R.

L’acceleració normal no és constant perquè varia v sense variar R.

Taula 5.1. Comparació entre moviment rectilini i moviment circular.

Moviment rectilini Moviment circular

v = v0 + a t

x = x0 + v0 t +12

a t2

v2 – v20 = 2 a (x – x0)

x = x0 +12

(v0 + vt) t

vf = v0 + a t

w = v0 t +12

a t2

v2t – v2

0 = 2 a w

w = 12

(v0 + vt) t

Unidad 05-VAL.indd 212 6/5/08 16:45:51


Una partícula descriu una circumferència de 5 m de radi amb una velocitat constant de 2 m/s. En un moment donat frena amb una acceleració constant de 0,5 m/s2 fins a parar-se. Calcula:

a) La velocitat angular en rpm de la partícula abans de començar a frenar.

b) L’acceleració de la partícula abans de començar a frenar.

c) L’acceleració 2 s després de començar a frenar.

d) L’acceleració angular mentre frena.

e) El temps que triga a parar.

f) El nombre de voltes que fa des que comença a frenar fins que para.

Solució

a) La velocitat angular s’obté de la relació v = v R.

v = v

R =

2 m/s

5 m/rad = 0,4 rad/s =

0,4 rad/s · 60 s/min

2 p rad/rev = 4 rpm

b) Abans de començar a frenar, el mòdul de la velocitat és constant. Per tant, l’única acceleració que té és l’acceleració normal:

an = v2

R =

4 m2/s2

5 m/rad = 0,8 m/s2

c) En aquest instant també té acceleració tangencial: at = –0,5 m/s2.

an = v2

R =

(v0 + a t )2

R =

(2 m/s – 0,5 m/s2 · 2 s)2

5 m/rad = 0,2 m/s2

Per tant, l’acceleració de la partícula és:

a = Îa2t + a2

n = Î(–0,5 m/s2)2 + (0,2 m/s2)2 = 0,54 m/s2

d) L’acceleració angular es pot obtenir de la relació:

at = a R a = at

R =

–0,5 m/s2

5 m/rad = –0,1 rad/s2

e) De l’equació v = v0 + a t aïllem el temps:

t =vt – v0

a =

0 – 2 m/s

–0,5 m/s2 = 4 s

Comprova que el resultat és igual utilitzant t =vt – v0

a

f) Nombre de voltes:

n = s

2 p R =

v0 t + 1/2 a t2

2 p R =

2 m/s · 4 s – 1/2 · 0,5 m/s2 · 16 s2

31,4 m/volta = 0,13 voltes

o bé,

n = w

2 p =

v0 t + 1/2 a t2

2 p =

0,4 rad/s · 4 s – 1/2 · 0,1 rad/s2 · 16 s2

6,28 rad/volta =

=1,6 rad – 0,8 rad

6,28 rad/volta = 0,13 voltes

EXEMPLE 14

Unidad 05-VAL.indd 213 6/5/08 16:45:53


5.9 Composició de moviments

Observa la fig. 5.46; s’hi representa una pilota que llisca per una taula.

Què ocorre amb el moviment d’aquesta pilota quan arriba a la vora A de la taula? Per què pren una trajectòria parabòlica?

Aquestes preguntes les va respondre Galileu el 1633 amb les paraules següents: «[...]aleshores la partícula que es mou, que imaginem pesant, en sobrepassar la vora del pla, a més del seu perpetu moviment uniforme previ, adquireix una propensió cap avall a causa del seu pes mateix; de manera que el moviment resultant, que anomenaré projec-ció, és compost d’un que és uniforme i horitzontal i d’un altre que és vertical i accelerat naturalment».

D’acord amb les idees de Galileu, un moviment parabòlic és el resultat de compondre dos moviments rectilinis perpendiculars entre si: un d’uniforme i un altre d’uniformement accelerat.

Mentre la pilota està en contacte amb la taula només hi ha un moviment, que és unifor-me perquè suposem que no hi intervé cap tipus de fricció; però quan la pilota abandona la taula comença a actuar la gravetat i origina un moviment de caiguda lliure.

La força vertical de la gravetat no influeix en el moviment horitzontal; de la mateixa manera, l’existència del moviment horitzontal no canvia l’efecte de la força gravitatòria sobre el moviment vertical. En altres paraules, els moviments horitzontal i vertical són independents.

La independència d’aquests moviments es posa de manifest en la fig. 5.47. Hi apareixen les diferents posicions de dues pilotes de golf.

La bola 1 s’ha deixat caure lliurement, sense cap tipus de velocitat inicial. La bola 2 s’ha llançat horitzontalment en el mateix instant que es deixa caure la bola 1. Observem que les dues cauen amb la mateixa acceleració i arriben al terra al mateix temps.

La pilota 2 cau verticalment amb una acceleració constant, encara que simultània-ment té un altre moviment horitzontal. Per tant, la força gravitatòria produeix la mateixa acceleració vertical independentment que el cos tingui moviment horitzon-tal o no.

Principi de superposició

A més del moviment parabòlic, hi ha altres exemples de composició de moviments. Tots els casos es resolen aplicant el mètode següent, que rep el nom de principi de super-posició i que diu:

Com se sumen vectorialment dos moviments? Senzillament, sumant separadament les posicions, els desplaçaments, les velocitats, etcètera.

Si una partícula és sotmesa simultàniament a diversos moviments ele-mentals independents, el moviment resultant s’obté sumant vectorialment aquests moviments parcials.

Fig. 5.47. Exposició múltiple de dues pilotes de golf. Una cau lliurement partint del repòs i l’altra ha estat llançada horitzontalment. Les línies horitzontals estan separades 15 cm entre si i els intervals entre cada dues exposicions són d’1/30 s.

Fig. 5.46. Superposició de moviments. Latrajectòria parabòlica de la pilota és el resultat de dos moviments independents: un d’horitzontal uniforme i un altre de vertical uniformement accelerat.

Compondre dos moviments equival a sumar-ne les magnituds homòlo-gues:

r = r 1 + r 2

v = v1 + v2

a = a1 + a 2

Unidad 05-VAL.indd 214 6/5/08 16:46:12


Un barquer vol travessar un riu de 120 m d’amplària; per a aconseguir-ho remarà en sentit perpendicular al corrent. Si la velocitat que assoleix la barca és de 2 m/s respecte al corrent i l’aigua del riu descendeix a 1 m/s, el barquer vol saber:

a)Quants moviments té la barca? Són independents o no?

b)Amb quina velocitat es mou la barca respecte de la riba del riu?

c) Quant de temps trigarà a travessar el riu? Necessitaria el mateix temps si l’aigua estigués en repòs?

d)En quin punt de la riba oposada desembarcarà?

e) Haurà recorregut 120 m quan la barca haurà creuat el riu?

Solució

Escollim el sistema de referència en el punt O de sortida de la barca, de manera que l’eix Ox és la direcció del corrent i l’eix Oy, la direcció perpendicular a aquest (fig. 5.48).

a) La barca és sotmesa a dos moviments rectilinis i uniformes: el moviment produït pels rems v 1 i el d’arrossegament a causa de l’aigua v 2 (fig. 5.48). Tots dos són perpendiculars entre si i independents: la barca seria arrossegada amb la mateixa velocitat si el barquer deixés de remar i el barquer impulsaria la barca amb la mateixa velocitat encara que no hi hagués corrent.

El moviment global de la barca és la suma dels moviments esmentats, les equacions dels quals són:

Moviment segons l’eix Ox: x = vx t, en què vx = 1 m/s.

Moviment segons l’eix Oy: y = vy t, en què vy = 2 m/s.

b) La velocitat real de la barca és la suma de la velocitat relativa respecte de l’aigua més la velocitat a què és arrossegada pel corrent (fig. 5.48):

v = v 1 + v 2

D’acord amb el sistema de referència escollit, es compleix que v 1 (0, vy) i v 2

(vx, 0). Per tant, la velocitat resultant és: v = |vx| u x + |vy| u y = u x + 2 u y m/s, el mòdul de la qual és:

v = Îv2x + v2

y = Î5 m2/s2 = 2,24 m/s

Per tant, la barca avançarà amb una rapidesa de 2,24 m/s.

c) El temps que trigarà a travessar el riu només depèn de l’amplària d’aquest i de la velocitat vy. La barca arribarà a l’altra riba quan y = 120 m.

t =y

vy

=120 m

2 m/s= 60 s

d) Mentre la barca recorre els 120 m, és arrossegada per l’aigua amb una velocitat vx = 1 m/s. Per tant, la distància a què és arrossegada pel corrent serà:

x = vx t = 1 m/s · 60 s = 60 m

El barquer desembarcarà en un punt situat a 60 m aigua avall del punt P de referència (fig. 5.49).

e) El desplaçament real de la barca és igual a la suma dels desplaçaments segons els eixos x i y, d’acord amb el principi de superposició:

Dr = 60 u x + 120 uy m

el mòdul del qual val Dr = Î602 + 1202 = 134,2 m, que és la distància real recorreguda per la barca fins a arribar a la riba oposada.

EXEMPLE 15

El mòdul del vector v es repre-senta de dues maneres:

|v | i v

Fig. 5.48. Figura corresponent a l’exemple 15.


Unidad 05-VAL.indd 215 6/5/08 16:46:19


Una partícula és sotmesa a dos moviments definits per les equacions següents expressades en el SI:

x = 4 t

y = 2 t2 – 1

a) Classifica els moviments de la partícula.

b) On és la partícula i quina velocitat té en l’instant t = 2 s?

c) Dibuixa-la.

Solució

a) Es tracta de dos moviments independents.

L’equació del primer és del tipus x = x0 + v t. Per tant, es tracta d’un moviment rectilini i uniforme la posició inicial del qual és zero i la velocitat constant val 4 m/s.

L’equació del segon és del tipus y = y0 + v0 t + 1/2 a t2. Es tracta d’un moviment rectilini uniformement accelerat, en què y0 = –1 m; v0 = 0; a = 4 m/s2.

b) D’acord amb les equacions donades, la partícula té dues velocitats: vx = 4 m/s; vy = v0 + a t = 4 t m/s.

El moviment resultant s’obté aplicant el principi de superposició.

Posició: r = x ux + y uy = (4 t) ux + (2 t2 – 1) uy m.

Aquesta expressió et permet calcular la posició de la partícula en qualsevol instant. Per a t = 2 s, la partícula és al punt P2 (8, 7).

Velocitat en qualsevol instant:

v = v1 + v2 = 4 ux + (4 t) uy m/s

que per a t = 2 s pren el valor v = 4 ux + 8 uy m/s. El seu mòdul val v = 8,9 m/s.

c) Per a dibuixar la trajectòria obtenim les diferents posicions que va prenent la partícula en el transcurs del temps: per a t = 0 s, t = 1 s, t = 2 s, t = 3 s, etcètera.

Les posicions obtingudes són: P0 (0, –1), P1 (4, 1), P2 (8, 7), P3 (12, 17), etcètera.

Si unim aquests punts obtenim la trajectòria. Es tracta d’un moviment parabòlic (fig. 5.50).

EXEMPLE 16

31> Calcula la velocitat de la barca de l’exemple 15 en el cas que el barquer:

a) Remi en el sentit del corrent.

b) Remi contra corrent.

32> Representa gràficament la trajectòria del moviment definit per:

x = 2 + t2

y = –1 + 2 t

ACTIVITATS

Fig. 5.50. Trajectòria del moviment descrit en l’exemple 16.

Quan llancem un objecte, la força de llançament es conserva o roman en el projectil, i actua contínua-ment.

Això és fals

La força que exerceix la mà és una força de contacte; per tant, cessa quan desapareix el contacte entre el projectil i la mà.

El correcte seria…

El temps que ha durat el contac-te origina un impuls (I = Ft), que produeix una quantitat de movi-ment o moment lineal p = m v, que sí que queda emmagatzemada al cos, i que tendeix a conservar-se de manera que, si no hi hagués cap tipus d’obstacle o fricció, la velocitat horitzontal seria constant indefinidament.

Unidad 05-VAL.indd 216 6/5/08 16:46:22


5.10 Moviment de projectils

L’ésser humà, des de sempre, ha llançat objectes amb la finalitat de fer blanc en algun punt determinat, ja sigui per motius bèl·lics, cinegètics, esportius, etcètera.

Un projectil es pot llançar de tres maneres:

– Verticalment: és el cas de la caiguda lliure, que ja hem vist.

– Horitzontalment: tir horitzontal.

– Formant un angle amb l’horitzó: tir oblic.

Tir horitzontal

Suposem que es llança horitzontalment un objecte des del punt A amb una velocitat vx.Si la fricció amb l’aire és menyspreable, l’objecte conservarà aquesta mateixa velocitat, si no topa amb cap altre objecte. Simultàniament, la velocitat vertical descendent augmenta amb el temps a causa de la caiguda lliure.

D’acord amb el sistema de referència indicat en la fig. 5.52, les equacions que defineixen aquests moviments són:

• Moviment horitzontal uniforme:

– Velocitat en qualsevol instant: vx = v0

– Posició en qualsevol instant: x = vx t

• Moviment vertical de caiguda lliure:

– Velocitat en qualsevol instant: vy = –g t

– Posició en qualsevol instant y = y0 – 1

2g t2

La balística és la ciència que estudia el conjunt de tècniques i coneixe-ments teòrics orientats a augmentar la precisió del tir d’un projectil.Rep el nom de projectil qualsevol cos que, una vegada disparat (o pro-jectat, com deia Galileu), es mou per l’acció de la gravetat, en caiguda lliure (fig. 5.51).

Una font té la canella a una distància vertical del terra de 70 cm. El raig d’aigua toca a terra a 1 m del peu de la vertical. Amb quina velocitat surt el líquid? (fig. 5.53).

Solució

L’aigua, un cop abandona la canella, descriu una paràbola. Això vol dir que el líquid té dos moviments: 1) horitzontal uniforme produït per la pressió de l’aigua, i 2) vertical de caiguda lliure, les equacions del qual són:

x = v t en què v és la velocitat de sortida

y = y0 – 1

2g t2 en què y0 = 0,70 m

Quan l’aigua arriba al terra, y = 0, la posició x = 1 m

1 m = v t

0 m = 0,70 m – 4,9 m/s2 t2

Aquest sistema d’equacions et permet calcular la velocitat v a què surt l’aigua i el temps que triga a caure a terra. D’on v = 2,65 m/s.

EXEMPLE 17

Fig. 5.51. Fletxa llançada per un arquer. Estracta d’un exemple de projectil que es mou per l’acció de la gravetat.

Fig. 5.52. Tir horitzontal. Aquest tipus de llançament presenta dos moviments independents i perpendiculars entre si.

0

Fig. 5.53

Unidad 05-VAL.indd 217 6/5/08 16:46:53


Tir oblic

Si volem que el projectil arribi a més distància, el llançarem lleugerament cap amunt. En efecte, si la velocitat té un component inicial cap amunt, trigarà més temps a caure a terra i, per tant, tindrà més temps per a desplaçar-se horitzontalment.

El tir oblic té lloc quan la velocitat inicial de llançament forma un angle a amb l’horitzó. Aquest angle rep el nom d’angle de tir o angle d’elevació (fig. 5.54).

Per a estudiar el moviment parabòlic prenem el punt de llançament com a origen dels eixos cartesians: com a eix Ox, l’horitzontal (el terra); com a eix Oy, la vertical (fig. 5.54).

Segons aquest sistema de referència, la velocitat inicial té ara dos components:

v0x = v0 cos a v0y = v0 sin a

i els dos moviments independents estan definits per les equacions:

• Moviment horitzontal uniforme:

– Velocitat: vx = v0 cos a

– Posició: x = (v0 cos a) t

• Moviment vertical de caiguda lliure:

– Velocitat: vy = v0 sin a – g t

– Posició: y = y0 + (v0 sin a) t – 1/2 g t2

Aquestes equacions, entre altres coses, et permeten calcular:

1. L’altura màxima que assoleix el projectil. El projectil és al punt més alt de la seva trajectòria quan la velocitat vertical és zero. Per a calcular l’altura màxima aïlles el temps en l’equació:

0 = v0 sin a – g t, i el substitueixes en l’equació de la posició vertical.

2. Abast màxim. Rep el nom d’abast màxim la distància horitzontal des del punt de partida fins al punt en què el projectil torna a assolir l’altura inicial. És a dir, quan es compleix y = y0. En la fig. 5.54 l’abast màxim ve donat per D.

Per a esbrinar l’abast màxim aïlles el temps en l’equació 0 = (v0 sin a) t – 1/2 g t2 i el substitueixes en l’equació de la posició horitzontal.

3. Temps de vol. És el temps durant el qual el projectil és en l’aire. Quan aquest toca el terra es compleix y = 0 en l’equació de la posició vertical.

4. Equació de la trajectòria. S’obté eliminant el temps t entre les equacions que determinen les posicions horitzontal i vertical.

5. Angle que descriu la trajectòria del projectil en qualsevol instant. L’angle en què es troba el projectil respecte de l’horitzontal s’obté de:

tg a = vy

vx

33> Quins dels objectes següents tindran una trajec-tòria parabòlica aproximada?

a) Una pilota llançada en una direcció arbitrària.

b) Un avió a reacció.

c) Un paquet que cau des de l’avió anterior.

d) Un coet que surt de la plataforma de llançament.

e) La llum que es desprèn del sostre d’un vagó de l’AVE quan aquest es mou a 200 km/h.

ACTIVITATS

Fig. 5.55. Per a angles d’elevació complementaris l’abast és el mateix.

Fig. 5.54. Tir oblic. És el llançament d’un objecte la velocitat inicial del qual forma un angle a amb l’horitzontal.

L’abast màxim per a una velocitat de llançament determinada s’esdevé quan l’angle d’elevació val 45°. A més, excepte per a 45°, és possi-ble aconseguir el mateix abast per a dos valors complementaris de l’angle d’elevació, com ara 75° i 15° (fig. 5.55).Per a un mateix abast, l’angle més gran ens permet superar una altura més gran (si hi hagués obstacles intermedis), mentre que el més petit ens permet assolir l’objectiu en menys temps.

Unidad 05-VAL.indd 218 6/5/08 16:46:56


Un jugador de golf llança una pilota des del terra amb un angle de 60° respecte de l’horitzó i amb una velocitat de 60,0 m/s. Calcula:

a) La velocitat de la pilota en el punt més alt de la trajectòria.

b) L’altura màxima aconseguida.

c) L’abast màxim.

Solució

a) Es tracta d’un tir oblic amb un angle d’elevació de 60°. El moviment pa-rabòlic de la pilota, en tot el seu recorregut, ve definit per les equacions:

– Moviment horitzontal: x = x0 + (v0 cos a) t vx = v0 cos a

– Moviment vertical: y = y0 + (v0 sin a) t +1

2g t2 vy = v0 sin a + g t

Prenem el punt de llançament com a origen del sistema cartesià de referència. En aquest cas, per tant, es compleix que x0 = 0, y0 = 0 (fig. 5.56). Quan la pilota és al punt més alt, la velocitat vy = 0. En aquest punt només té velocitat horitzontal, que és constant, i val:

vx = v0 cos a = 60,0 m/s · cos 60° = 30,0 m/s

b) El temps que triga a arribar al punt més alt s’obté de

vy = v0 sin a + g t, quan vy = 0

t =vy – v0 sin a

g=

0 – 60,0 m/s · sin 60°

–9,8 m/s2 = 5,3 s

L’altura màxima s’obté substituint el temps anterior en l’equació que ens dóna la posició vertical en qualsevol instant:

y = (v0 sin a) t + 1/2 g t2 =

= 60,0 m/s · sin 60° · 5,3 s – 1/2 · 9,8 m/s2 · (5,3 s)2 = 138 m

c) L’abast màxim es produeix quan la pilota torna a terra. És a dir, quan y = 0.

El temps que triga a tornar a terra s’obté de l’equació

y = (v0 sin a) t +1

2g t2, i y = 0

t =–2 v0 sin a

g=

–2 · 60,0 m/s · sin 60°

–9,8 m/s2 = 10,6 s

Observa que aquest temps és el doble del temps transcorregut fins a assolir l’altura màxima. La pilota triga el mateix temps a pujar que a baixar.

L’abast màxim s’obté substituint el temps calculat abans en l’equació del desplaçament horitzontal:

x = (v0 cos a) t = 60,0 m/s · cos 30° · 10,6 s = 318 m

EXEMPLE 18


°

Els vectors que defineixen el moviment parabòlic d’un projectil tenen dos components:

Acceleració: ax = 0, ay = –g

Velocitat: vx = v0 cos a,

vy = v0 sin a – g t

Posició: x = (v0 cos a) t,

y = (v0 sin a) t – 12

g t2

Unidad 05-VAL.indd 219 6/5/08 16:47:02


Un bomber vol apagar el foc d’una casa. Per a això haurà d’introduir aigua per una finestra situada a 10 m d’altura. Si subjecta la mànega a 1 m del terra i l’apunta amb un angle de 60° cap a la façana, que dista 15 m, amb quina velocitat ha de sortir l’aigua? Quant temps triga l’aigua a arribar a la finestra?

Solució

Prenem O (fig. 5.57) com a punt de referència. Per tant, x0 = 0, y0 = 1 m.

Les equacions que defineixen el moviment parabòlic de l’aigua són:

x = x0 + (v0 cos a) t

y = y0 + (v0 sin a) t +1

2g t2

L’aigua entrarà per la finestra quan x = 15 m, y = 10 m.

Substituïm aquests valors en les equacions anteriors:

15 m = (v0 · cos 60°) · t

10 m = 1 m + (v0 · sin 60°) · t – 4,9 m/s2 · t2

Si aïlles el temps en la primera:

t =15 m

v0 · cos 60° ,

i el substitueixes en la segona equació, obtindràs el valor de la velocitat: v0 = 16 m/s.

El temps transcorregut és:

t =15 m

v0 · cos 60° =

15 m

16 m/s · 0,5 = 1,9 s

EXEMPLE 19

34> Des del cim d’una torre de 50 m es deixa caure un objecte; en el mateix moment es dispara contra aquest objecte una bala a 200 m/s des d’un punt del terra situat a 100 m de la base de la torre. Farà blanc la bala? En cas d’afirmativa, en quin punt?

ACTIVITATS

Fig. 5.57

Unidad 05-VAL.indd 220 6/5/08 16:47:29


Ciència, tecnologia i societat

Velocitat i seguretat viària

Els països desenvolupats tenen a la carretera una de les causes principals de defunció. Això es deu a les altes velocitats a què poden arribar els vehicles moderns. Com intenten resoldre la Ciència i la Tecnologia aquest greu problema que afecta la nostra societat? Entre altres co-ses, millorant constantment el sistema de frenada i uti-litzant el coixí de seguretat.

Història i eficàcia del sistema de frens

La història dels frens està estretament relacionada amb la història de la velocitat. En els vehicles de tracció animal, la frenada era molt simple: s’aplicava un patí de fusta damunt la llanta metàl·lica d’una de les rodes. Amb això n’hi havia prou per a aturar un vehicle que no superava els 25 km/h.

Al final del segle XIX, amb l’aparició dels pneumàtics, els automòbils van començar a assolir velocitats més altes; a partir de 1899 es travessava ja la barrera dels 100 km/h. Aquests vehicles usaven frens de tambor que fricciona-ven sobre les cadenes de transmissió. En desaparèixer la transmissió per cadena, cap al 1907, les superfícies de fricció passen a ser dues sabates articulades.

L’any 1909 neix el ferodo, una guarnició composta d’una capa d’amiant amb fil de llautó entrecreuat i impregnat de resina. S’havia descobert el material més adequat per als frens, però faltava un sistema de comandament efi-cient. El 1922, M. Loughead utilitza per primera vegada un comandament hidràulic. Aquest sistema s’estendrà a poc a poc, fins al punt que l’any 1950 gairebé tots els vehicles el tenen instal·lat.

Però, com que les velocitats cada vegada són més altes, sorgeix un problema nou: l’augment de la quantitat de calor per dissipar en la frenada. La solució a aquest pro-blema la va aportar un Jaguar equipat amb frens de disc, guanyador de les 24 hores de Le Mans de 1953. Actual-ment, els fabricants de cotxes d’alta cilindrada estan molt sensibilitzats amb la seguretat viària. Per això, als frens de disc s’afegeixen sistemes basats en l’electrònica que permeten evitar el blocatge de les rodes: són els frens ABS.

Un bon fre ha de retenir i parar un vehicle en un temps i una distància mínims, conservant la trajectòria del ve-hicle i amb el menor esforç possible per part del conduc-tor. Que això s’aconsegueixi o no depèn de tres factors: l’automòbil, o factor mecànic, la carretera, o factor físic, i el conductor, o factor humà.

Factor mecànic. Es tracta de crear una força que s’oposi a l’avanç del vehicle. Com? Utilitzant la fricció entre un

element fix del xassís i un element de la roda en moviment (sabates-tambor, pastilles-disc). Aquesta força de frega-ment disminueix la velocitat.

Factor físic. Un factor fonamental de la frenada és l’adherència de les rodes al paviment. Si s’aplica la frena-da molt bruscament a la roda, es bloca i es desplaça sense girar. El vehicle continua avançant. Aleshores es diu que la roda no té adherència o que el vehicle derrapa.

L’adherència del vehicle depèn del pes, de les caracterís-tiques i l’estat dels pneumàtics i de la naturalesa i l’estat de la carretera. Una bona adherència permet transmetre més força de la roda a la calçada. Si l’adherència és gran, la distància de frenada serà més curta. Però si l’adherència és petita, bé sigui per la presència de gel o perquè les rodes es bloquegen, poden sorgir situacions compromeses:

– Si fem una frenada brusca, el vehicle tendeix a en-creuar-se. Aquest fenomen es produeix per la diferència d’adherència abans i després del bloqueig.

– Amb les rodes bloquejades, el vehicle continua la seva trajectòria i gira sobre si mateix.

– Si es desbloquegen les rodes, el vehicle pren una trajec-tòria diferent de la primera.

– Si les rodes davanteres es bloquegen, la direcció resta inoperant.

Factor humà. Un factor fonamental en la frenada d’un au-tomòbil és el temps de reflex del conductor. S’anomena així el temps de reacció que transcorre entre l’instant en què apareix la causa de la frenada (percepeció de l’obstacle) i l’instant en què el conductor intervé activament (comença la frenada). Aquest temps, variable segons els individus i segons el seu estat general, és de mitjana de 0,75 s. Si la velocitat del vehicle és molt alta, aquest pot recórrer durant el temps de reflex una distància no prevista pel conductor, i es produeix així la col·lisió.

En la taula adjunta es mostra la distància de parada en funció de la velocitat durant el temps de reflex sobre un terra sec i amb una desceleració de 5 m/s2.

Velocitat(km/h)

Distància recorreguda en el temps

de reflex (m)

Distància total perquè el vehicle

s’aturi (m)507090

110120130150170

10,314,618,7232527,131,335,4

29,552,481,2

116,3136157,5214258,4

Unidad 05-VAL.indd 221 6/5/08 16:47:30


Ciència, tecnologia i societat

Teories sobre la caiguda lliure dels cossos

L’estudi del comportament dels cossos en caiguda lliure és un exemple excel·lent de la diferència que hi ha entre una anàlisi científica rigorosa i un tractament fet sense tenir en compte la realitat.

Els filòsofs antics, Plató i Aristòtil sobretot, van tractar el moviment dels cossos com quelcom metafísic; així, per a explicar-lo van usar idees tan vagues com acció, causa eficient, fi i posició natural dels cossos, etc. Tot això era completament inútil per a Galileu, que no volia estu-diar per què ocorria el moviment, sinó com ocorria.

Els conceptes d’espai i de temps tenien una categoria molt secundària en el pensament aristotèlic, i solament amb Galileu prenen el caràcter fonamental que han conservat en la ciència física fins avui dia.

Descriurem tres maneres d’entendre la caiguda dels cos-sos.

• Plató

La caiguda i l’elevació dels cossos era explicada per aquest filòsof suposant que els cossos de naturalesa semblant tendien a estar junts. Així, una part de qualsevol objecte tendia a reunir-se amb la massa principal: una pedra queia cap a l’esfera terrestre situada al centre de l’Univers; el foc s’elevava per arribar a l’esfera ígnia, el límit més extern de l’Univers.

• Aristòtil

L’explicació d’Aristòtil és molt semblant a la teoria pla-tònica. Suposa que els cossos estan formats per quatre elements: terra, aire, foc i aigua. Els que estan consti-tuïts primordialment per terra i aigua tracten d’aconseguir el seu estat natural de repòs. Això ocorre quan estan en contacte amb la Terra. Per això cauen. Els objectes que es componen d’aire i foc intenten arribar al seu estat natural de repòs: el cel.

Els cossos pesants cauen més de pressa que els lleugers.

• Galileu

El 1250 va començar a sorgir la ciència tal com la co-neixem actualment. Roger Bacon (1214-1294) va ser un dels primers a afirmar que l’experiència (o coneixement experimental) és necessària per a la formulació de teories sobre el comportament de la natura.

El 1605, Francis Bacon (1561-1626) va insistir, en contra de les tendències aristotèliques predominants de l’època, que les teories s’havien de fundar en fets determinats mi-tjançant experiments.

Va ser Galileu (1564-1642) (fig.5.58) qui, finalment, va obrir el camí al desenvolupament de la veritable ciència, per mitjà de nombrosos experiments que confirmaven les seves hipòtesis.

Galileu centra l’atenció en el moviment observat realment en la natura.En l’obra Dues ciències noves escriu: «Perquè qualsevol pot inventar un tipus de moviment i estudiar-ne les propietats [...] Però hem decidit considerar els fenòmens dels cossos que cauen amb una acceleració,tal com ocorre realment en la natura.» I concloïa afirmant que havia tin-gut èxit en fer-ho així per l’acord exacte de la definició amb els resultats dels experiments d’una bola que queia per un pla inclinat.

Galileu deixa, així, tota consideració filosòfica i se centra en la descripció del que observa. Per a ell, la caiguda dels cossos i el moviment ascendent dels projectils llançats cap amunt s’han d’expressar segons la mateixa llei. L’oscil·lació d’un pèndol, sobre la qual va meditar llargament, li va mos-trar que el moviment cap amunt és una rèplica invertida del moviment cap avall.

El 1604,en una carta a Paolo Sarpi,afirma que la caigu-da dels cossos està regida per la llei següent: Els espais recorreguts en temps iguals són com els nombres ab unitate. Al cap d’uns anys descriu que la velocitat de cai-guda creix amb el temps, i arriba a la conclusió que tots els cossos cauen lliurement amb moviment uniformement accelerat, i a més, que el pes dels cossos no influeix en l’acceleració a condició que els efectes de la fricció de l’aire siguin menyspreables. Encara que els mètodes de la ciència s’han refinat amb els anys, l’experiment continua sent part essencial d’aquests mètodes.

Recorda que, perquè les teories científiques tinguin valor, s’han de basar en fets experimentals.

Fig. 5.58. Galileu Galilei.

Unidad 05-VAL.indd 222 6/5/08 16:47:44


Experiència de laboratori

Diferència entre espai recorregut i desplaçament

Objectiu

Distingir entre distància recorreguda i desplaçament mit-jançant plans a escala per a calcular distàncies i suma de vectors per a calcular el desplaçament.

Material

• Un llapis ben afilat.

• Un paper.

• Un regle graduat.

Procediment

En la figura 5.59 es representa un pla parcial de la ciutat de Pamplona. Una persona s’ha desplaçat des de San Miguel fins a San Francisco Javier.

a) Ha seguit l’itinerari següent: carrer de Francisco Bergamín, carrer de Francisco Gorriti i carrer d’Olite. Dibuixa l’itinerari, i mitjançant l’escala que s’indica en el mapa, calcula en metres la distància recorreguda.

b) Repeteix l’experiència, però amb l’itinerari següent: car-rer de Francisco Bergamín, carrer de Tafalla. Calcula la distància recorreguda.

c) Uneix, amb un regle, San Miguel amb San Francisco Javier. Dibuixa el vector desplaçament i calcula’n el mòdul usant l’escala.

d) Calcula el mòdul de desplaçament utilitzant el teorema de Pitàgores.

Analitza i respon

1. La distància recorreguda és la mateixa en els dos itine-raris? Per què?

2. Què representa en aquesta experiència la distància entre les dues esglésies? Aquesta distància depèn de l’itinerari seguit? Per què?

3. Quantes distàncies recorregudes hi pot haver? Quants desplaçaments?

4. Compara els valors del desplaçament utilitzant de pri-mer l’escala i després la suma de vectors.

5. Observa la fig. 5.60: El desplaçament P1P2 coincideixamb la suma de les distàncies a, b, c, d? Coincideix amb la suma dels vectors a , b , c , d ?

Fig. 5.59

Fig. 5.60

Unidad 05-VAL.indd 223 6/5/08 16:47:50


Experiència de laboratori

Estudi de l’MRUA

Objectiu

Estudiar el moviment uniformement accelerat utilitzant un pla inclinat.

Material

• Un carril d’alumini d’uns 3 m de llargària, aproximada-ment.

• Boles d’acer de massa diferent.

• Un cronòmetre.

• Paper mil·limetrat.

Muntatge

Col·loca el carril tal com indica la figura 5.61 i assenyala-hi posicions de 50 en 50 cm.

Procediment

a) Deixa rodar una de les boles pel carril i mesura el temps quan passi per la primera posició assenyalada de 50 cm.

b) Mesura el temps quatre vegades i calcula el temps mitjà.

c) Repeteix la mateixa operació per a les posicions 100, 150...

d) Completa la taula següent:

Analitza i respon

1. Dibuixa utilitzant paper mil·limetrat el diagrama s-t. Què representa el pendent de la corba obtinguda? Calcula la velocitat en els punts 50, 100 i 150 cm.

2. Dibuixa el diagrama s-t2. Quina corba s’obté?

3. Hi ha alguna relació entre el pendent de la corba anterior i els valors s/t2 que has obtingut en la taula?

4. Representa el diagrama v-t del moviment.

5. Quant val l’acceleració?

6. Variaran els resultats si utilitzes boles de massa diferent?

Fig. 5.61

s t1 t2 t3 t4 t21 t2

2 t23 t2

4 s/t21 s/t2

2 s/t23 s/t2

4

50 cm

100 cm

150 cm

Unidad 05-VAL.indd 224 6/5/08 16:48:06


Problemes proposats

Per a refermar

1> Indica quines afirmacions són vertaderes. La velocitat mitjana d’una partícula en un interval de temps és:

a) El quocient entre el desplaçament i l’interval de temps.

b) El quocient entre l’espai recorregut i l’interval de temps.

c) Igual, independentment de la trajectòria.

d) Depèn de la trajectòria.

2> Un automòbil agafa un revolt de 100 m de radi amb una rapidesa constant de 36 km/h. Quines de les afirmacions següents són correctes?

a) El cotxe no té acceleració perquè la seva veloci-tat és constant.

b) El cotxe té acceleració tangencial.

c) L’acceleració del cotxe val 1 m/s2.

3> En un campionat d’esquí alpí un esquiador efectua el descens fent moltes «esses», mentre que un altre el fa en línia recta. Assenyala les afirmacions fal-ses:

a) Els dos han fet el mateix desplaçament.

b) Els dos han recorregut la mateixa distància.

c) Els dos han seguit la mateixa trajectòria.

d) Han baixat amb la mateixa velocitat mitjana, si ho han fet amb el mateix temps.

4> Un automòbil agafa un revolt disminuint el mòdul de la velocitat. Indica quines afirmacions són verta-deres:

a) Només hi ha acceleració tangencial.

b) Només hi ha acceleració normal.

c) Hi ha les dues acceleracions anteriors.

d) L’acceleració normal és constant.

5> Un company et diu: «Llança una pedra verti-cal- ment cap amunt tan fort com puguis i et diré l’altura que has aconseguit utilitzant un cronòme-tre». Llances la pedra i el teu company observa que la pedra triga 8 s a tornar al terra.

a) Amb quina velocitat has llançat la pedra?

b) Quina altura ha assolit?

S: v = 39 m/s; h = 78 m.

6> De les afirmacions següents, indica quines són fal-ses:

a) Si la velocitat d’un cos és nul·la, l’acceleració també ho és.

b) Si l’acceleració d’un cos és nul·la, la velocitat també ho és.

c) La velocitat i l’acceleració són vectors que tenen sempre la mateixa direcció, si bé el sentit pot ser diferent.

7> Un tren va a una certa velocitat i en un moment do-nat es desprèn un llum del sostre d’un vagó. Digues com observaria aquest fenomen:

a) Un observador que va en el tren.

b) Un observador que està parat fora del tren.

8> En una de les fig. 5.62 i 5.63 hi ha representat el diagrama v-t del moviment d’un objecte llançat ver-ticalment cap amunt des del terra.

Fig. 5.62

Fig. 5.63

Indica quines afirmacions són falses:

a) El diagrama que representa el moviment en qüestió és B, no A.

b) L’acceleració canvia de sentit al cap de 2 s.

Unidad 05-VAL.indd 225 6/5/08 16:48:10


c) La velocitat canvia de sentit al cap de 2 s.

d) L’altura màxima s’assoleix al cap de 2 s.

e) El mòbil al cap de 3 s és a 10 m d’altura.

f) L’altura màxima aconseguida va ser de 20 m.

g) Al cap de 4 s arriba a terra.

Dades: g = 10 m s–2.

9> Un mòbil descriu una trajectòria circular d’1,0 m de radi trenta vegades per minut. Calcula:

a) El període.

b) La freqüència.

c) La velocitat angular.

d) La velocitat tangencial i l’acceleració centrípeta d’aquest moviment.

S: a) 2 s; b) 0,5 voltes/s; c) 3,14 rad/s; d) 3,14 m/s, 9,9 m/s2.

Per a repassar

10 > Un avió s’ha desplaçat 600 km cap al nord, 1000 km cap al sud i 500 km cap al nord.

a) Quin ha estat el desplaçament total de l’avió?

b) Quina distància ha recorregut?

c) Quina ha estat la velocitat mitjana si ha utilitzat 5 h en el recorregut?

S: a) 100 km al nord; b) 2100 km; c) 20 km/h.

11> Una persona està asseguda en un banc del parc pú-blic. En un moment donat decideix passejar: recorre 100 m cap a l’oest, s’atura i després recorre 60 m cap a l’est.

a) Quina és la posició final de la persona respecte del banc?

b) Quin és el desplaçament?

c) Quin espai ha recorregut?

S: a) 40 m a l’oest del punt de partida; b) 40 m cap a l’oest; c) 160 m.

12> Un ciclista accelera durant 10 s i passa de 5 m/s a 36 km/h. Calcula’n l’acceleració mitjana.

S: 0,5 m/s2.

13> Una pilota de tennis arriba a un jugador amb una rapidesa de 20 m/s. Aquest jugador colpeja la pilota de manera que aquesta surt en la mateixa direcció, però en sentit contrari, a 35 m/s. Si la pilota ha estat en contacte amb la raqueta durant 0,2 s, cal-cula:

a) Quant ha variat la rapidesa de la pilota?

b) Quant val el mòdul de l’acceleració mitjana?

S: a) 15 m/s; b) 275 m/s2.

14> Un automòbil que es mou en línia recta accelera en un moment donat a raó de 2 m/s2. Durant quant de temps ha d’estar accelerant perquè el velocímetre passi de 90 km/h a 120 km/h?

S: 4,2 s.

15> Un automòbil, en passar per un punt A, té una velocitat de 128 km/h, i quan passa per un altre punt B, que dista 120 m de l’anterior, la velocitat és de 35 km/h. Calcula:

a) El valor de l’acceleració.

b) Quant de temps triga el cotxe a passar de A a B.

c) A quina distància de A s’aturarà l’automòbil.

S: a) –4,9 m/s2; b) 5,3 s; c) 129 m.

16> Un avió que parteix del repòs accelera uniformement fins a aconseguir una velocitat d’enlairament de 75 m/s en 5,0 s.

a) Amb quina velocitat en km/h s’enlaira l’avió?

b) Amb quina velocitat en km/h s’enlaira l’avió?

c) Quina longitud de pista ha recorregut fins a en-lairar-se?

d) Quina distància recorre en l’últim segon?

S: a) 270 km/h; b) 15 m/s2; c) 188 m; d) 68 m.

17> Un ventilador gira a 360 rpm. En un moment do-nat es desendolla del corrent i triga 35 s a parar-se.

a) Quina acceleració angular té?

b) Amb quina velocitat gira 15 s després de desen-dollar-lo?

c) Quantes voltes fa fins que es para?

S: a) –1,1 rad/s2; b) 22 rad/s; c) 105 voltes.

18> Una font té la canella a una distància vertical del terra de 0,50 m. El raig d’aigua, que surt horitzon-talment, toca a terra a 0,80 m del peu de la verti-cal. Amb quina velocitat surt l’aigua?

S: 2,5 m/s.

19> A partir del diagrama de la fig. 5.64, indica quines afirmacions són correctes:

Problemes proposats

Unidad 05-VAL.indd 226 6/5/08 16:48:11


A B

C

Fig. 5.64

a) En el tram AB el mòbil està parat.

b) En el tram BC l’acceleració és d’1 m/s2.

c) La distància recorreguda en el tram BC és de 50 m.

d) En el tram BC el moviment es uniforme.

20> A partir del diagrama de la fig. 5.65, indica quines afirmacions són falses:

BA

C

Fig. 5.65

a) En el tram OA la velocitat ha estat 0,8 m/s.

b) En el tram AB la velocitat és 0,8 m/s.

c) En el tram BC la velocitat és –2 m/s.

d) En el tram AB el mòbil està parat.

21> Un avió vola horitzontalment a 900 m del terra amb una velocitat constant de 540 km/h. A quina distància de la vertical sobre una clariana de la selva ha de llançar una caixa d’ajuda humanitària perquè arribi a la destinació?

S: 2040 m.

22> El rècord mundial de salt d’alçada vertical està en 2,44 m. Quina ha de ser la velocitat mínima del saltador per a sobrepassar aquesta alçada?

S: 6,92 m/s.

23> El rècord mundial de salt de llargada està en 8,95 m. Quina ha de ser la velocitat mínima d’un saltador, la trajectòria del qual forma un angle de 45° respecte del terra, per a sobrepassar aquesta distància?

S: 9,37 m/s.

Per a aprofundir

24> Un vehicle circula per un carrer a 50 km/h. De sobte, un nen travessa corrent la calçada. Si el conductor triga 0,8 s a reaccionar i oprimir els frens:

a) Quants metres recorrerà abans de començar a frenar?

b) Quan trepitja els frens, podrà parar en 0,5 m, si su-posem que l’acceleració de frenada és de –20 m/s2?

S: a) 11 m; b) No.

25> Un conductor que viatja de nit en un automòbil a 100 km/h veu de sobte els llums de senyalització d’una tanca que és a 40 m al mig de la calçada. Si triga 0,75 s a trepitjar el pedal dels frens i la desceleració màxima de l’automòbil és de 10 m/s2:

a) S’estavellarà contra la tanca? Si és així, a quina velocitat?

b) Quina és la velocitat màxima a la qual pot circular l’automòbil sense que col·lisioni amb la tanca?

S: a) 70 km/h; b) 78 km/h.

26> Un camió i un automòbil inicien el moviment en el mateix instant, en la mateixa direcció i sentit des de dos semàfors contigus del mateix carrer. El camió té una acceleració constant d’1,2 m/s2, mentre que l’automòbil accelera amb 2,4 m/s2. L’automòbil atra-pa el camió després que aquest ha recorregut 50 m.

a) Quant de temps triga l’automòbil a atrapar el camió?

b) Quina distància separa els dos semàfors?

c) Quina velocitat té cada vehicle quan estan de costat?

S: a) 9,1 s; b) 50 m; c) 39 km/h, 79 km/h.

27> Dos joves es mouen en la mateixa direcció i es di-rigeixen l’un a l’encontre de l’altre. Inicien el mo-viment al mateix temps des de les porteries d’un camp de futbol amb velocitats mitjanes respectives: v1 = 3,5 m/s i v2 = 5,0 m/s. Sabent que l’encontre té lloc a 28 m de la posició de partida del primer, determina:

a) El temps transcorregut fins que es troben.

b) La llargària del camp de futbol.

S: a) 8 s; b) 68 m.

28> Un tren del metro surt d’una estació A; acce-lera a raó de 0,5 m/s2 durant 10,0 s i després a 2,0 m/s2 fins que assoleix la velocitat de 54 km/h.El tren manté la mateixa velocitat fins que s’acosta

Problemes proposats

Unidad 05-VAL.indd 227 6/5/08 16:48:17


a l’estació B. En aquell moment frena uniforme-ment fins a parar-se en 10,0 s. El temps total des de A fins a B ha estat de 60,0 s. Quina distància hi ha entre les estacions A i B?

S: 675 m.

29> Des del cim d’una torre d’altura h es deixa caure un objecte. A quina distància del terra tindrà una velocitat igual a la meitat de la que té quan arriba al terra?

S: 3/4 h.

30> Llances un cos verticalment cap amunt, de manera que té una velocitat de 8,0 m/s quan ha assolit la meitat de l’altura màxima a la qual pot pujar:

a) Amb quina velocitat s’ha llançat?

b) A quina altura puja?

c) Quina velocitat té al cap d’un segon d’haver estat llançat?

S: a) 11,3 m/s; b) 6,5 m; c) 1,5 m/s.

31> Es llança una pedra verticalment cap amunt des d’un pont situat a 35 m de l’aigua. Si la pedra col-peja l’aigua 4 s després de deixar-la anar, calcula:

a) La velocitat amb què s’ha llançat.

b) La velocitat amb què ha colpejat l’aigua.

S: a) 11 m/s; b) –28 m/s.

32> Es llança des del terra cap amunt un objecte al mateix temps que se’n deixa caure un altre des d’una altura de 45 m. Amb quina velocitat cal llançar el primer perquè els dos arribin a terra al mateix temps?

S: 15 m/s.

33> Es deixa caure una pedra des del brocal d’un pou i triga 2,3 s a percebre’s el so produït en el xoc amb l’aigua. Si la velocitat del so en l’aire és de 340 m/s, a quina profunditat es troba l’aigua?

S: 24 m.

34> Un ciclista parteix del repòs en un velòdrom circular de 50 m de radi, i es mou amb moviment uniforme-ment accelerat fins que, al cap de 50 s d’iniciar la mar-xa, arriba a una velocitat de 36 km/h; des d’aquest moment conserva la velocitat. Calcula:

a) L’acceleració tangencial i l’acceleració angular en la primera etapa del moviment.

b)L’acceleració normal en el moment en què arriba als 50 s.

c) La longitud de pista recorreguda en els 50 s.

d) El temps que triga a fer una volta a la pista amb velocitat constant.

e) El nombre de voltes que fa en 10 minuts comptats des que s’inicia el moviment.

S: a) 0,2 m/s2, 4 · 10–3 rad/s2; b) 2 m/s2; c) 250 m; d) 31 s; e) 18 voltes.

35> Es dispara un projectil amb una velocitat inicial de 500 m/s i abat un objectiu situat a 1200 m en la mateixa horitzontal del punt de llançament. Calcula l’angle d’elevació.

S: 1,34° (1° 20’) o 88,66° (88° 40’).

36> Es llança des del terra una pilota amb un angle de 30° amb l’horitzontal i cau a la terrassa d’un edifici situat a 30 m de distància. Si la terrassa és a una altura de 10 m, calcula la velocitat amb què s’ha llançat.

S: 29 m/s.

37> Un motorista puja per una rampa de 20° i quan està a 2 m sobre el nivell del terra «vola» per damunt un riu de 10 m d’amplària. Amb quina velocitat ha de «volar» si vol arribar a la riba sense mullar-se?

S: 10 m/s.

38> Des del cim d’un penya-segat es llança horitzontal-ment un projectil i s’observa que triga 3 s a tocar l’aigua en un punt que dista 60 m de la base del penya-segat. Calcula:

a) L’altura que té el penya-segat.

b) Amb quina velocitat s’ha llançat el projectil.

c) Amb quina velocitat arriba a l’aigua.

S: a) 44 m; b) 20 m/s; c) |v | = 36 m/s.

39> Una bola que roda sobre una taula horitzontal de 0,90 m d’alçària cau a terra en un punt situat a una distància horitzontal d’1,5 m de la vora de la taula. Quina velocitat tenia la bola en el moment d’abandonar la taula?

S: 3,5 m/s.

40> Un atleta vol batre el rècord del món de llançament de pes, establert en 23,0 m. Sap que l’abast màxim s’aconsegueix amb un angle de 45°. Si impulsa el pes des d’una altura d’1,75 m, amb quina velocitat mínima ha de llançar?

S: 14,5 m/s.

Problemes proposats

Unidad 05-VAL.indd 228 6/5/08 16:48:18

229CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT

Problemes de PAU resolts

1> Un terratrèmol produeix ones longitudinals i transversals. En l’escorça terrestre, les primeres es propaguen amb una velocitat de 8,0 km/s, mentre que les segones ho fan a 5,0 km/s; si en un observatori sísmic els dos tipus d’ones es reben amb 200 s de diferència temporal, determina la distància de l’observatori a l’hipocentre del terratrèmol.

Solució

Com que tots dos moviments són rectilinis uniformes, es poden descriure amb la fórmula:

x = x0 + v t

Representem el moment en què les dues ones arriben a l’observatori i considerem l’hipocentre del te-rratrèmol com a origen de coordenades, que és a d km de l’hipocentre, tenim:

Aïllem t en la primera i substituïm en la segona:

t = d

8s

d (km) = 5 km

s·

d

8 s + 1000 km d –

5 d

8= 1000 km 3 d = 8000 km x = 2670 km

2> Una partícula de càrrega q = 1,6·10–19 C es mou descrivint una circumferència amb un període de 3,2 · 10–7 s i una velocitat de 3,8 · 106 m s–1. Calcula el radi de la circumferència descrita.

Solució

Atès que es mou amb un moviment circular uniforme, es compleix que:

v = e

t, prenent una volta completa v =

2 p R

T, d’on aïllem R

R = v T

2 p =

m3,8 · 106 — · 3,2 · 10–7 s

s

2 p= 0,19 m

d (km) = 0 + v1 t (s)

Substituint

d (km) = 0 + 8 km

s· t (s) d (km) = 8

km

s· t (s)

d (km) = 0 + v2 (t + 200 s) d (km) = 0 + 5 km

s· (t + 200) s d (km) = 5

km

s· t (s) + 1000 km

Unidad 05-VAL.indd 229 6/5/08 16:48:20


Conceptes bàsics

Moviment. Canvi de posició respecte d’un punt de re-ferència. Pot ser de rotació o de translació. Un punt només pot tenir moviment de translació.

Cinemàtica. Ciència que estudia el moviment prescin-dint de les causes que l’originen.

Dinàmica. Ciència que estudia les causes del movi-ment.

Punt material. Cos del qual no es tenen en compte les dimensions, o aquestes són menyspreables compa-rades amb el sistema de referència.

Sistema de referència. Un punt en l’espai i tres eixos cartesians concurrents en aquest punt.

Sistema de referència inercial. Quan un cos està en repòs o es mou amb velocitat constant.

Espai recorregut. Longitud de la trajectòria que ha descrit el mòbil. Com el temps, és una magnitud es-calar.

Trajectòria. Lloc geomètric de les diferents posicions que va prenent un punt mòbil en l’espai.

Vector de posició. Uneix el punt fix de referència amb el punt que ocupa el mòbil. Determina la posició del mòbil en qualsevol instant.

Vector desplaçament. Uneix dos punts de la trajec-tòria: el punt de partida amb el punt d’arribada.

Velocitat mitjana. S’obté dividint el desplaçament entre l’interval de temps transcorregut.

Velocitat instantània. La que té un mòbil en qualse-vol instant o en qualsevol punt de la trajectòria.

Acceleració mitjana. La variació de la velocitat en la unitat de temps.

Acceleració instantània. Valor límit de l’acceleració mitjana quan l’interval de temps és molt petit.

Components intrínsecs de l’acceleració. Existeixen l’acceleració tangencial, que provoca variacions en la rapidesa, i l’acceleració normal o centrípeta, que cau-sa els canvis de direcció del mòbil.

Moviment rectilini uniforme (MRU). És un movi-ment sense acceleració.

x = x0 + v t; v = cte; a = 0

Moviment rectilini uniformement accelerat (MRUA). És un moviment amb at = cte i ac = 0.

x = x0 + v0 t +1

2a t2; v = v0 + a t

v2 – v20 = 2 a (x – x0); x = x0 +

1

2 (v + v0) t

Caiguda lliure. És el moviment d’un cos per l’acció de la gravetat. Es tracta d’un moviment vertical rec-tilini uniformement accelerat. Les seves equacions són les mateixes que les de l’MRUA, amb una acce-leració sempre negativa (g = –9,8 m/s2).

Moviment circular uniforme (MCU). És un movi-ment en el qual at = 0, mentre que ac = cte i val

ac = v2

R = v2 R

w = w0 + v t; v = cte

s = w R; v = v R

Moviment circular uniformement accelerat (MCUA). És un moviment en què at = cte i té una ac

que és variable.

w = v0 t +1

2a t2; v = v0 + a t

v2 – v20 = 2 a w

w = 1

2 (v + v0) t; at = a R

Principi de superposició. Una partícula es mou amb un moviment que és la suma de tots els movi-ments elementals independents a què està sotmesa tant per al vector de posició com per a la velocitat i l’acceleració.

Tir horitzontal. És un cas particular del moviment d’un cos dotat d’una velocitat inicial horitzontal i un altre moviment de caiguda lliure.

Eix Ox: x = v0 t; vx = v0

Eix Oy: y = y0 – 1

2g t2; vy = –g t

Tir oblic. És un cas particular del moviment d’un cos que té una velocitat inicial que forma un angle respecte de l’horitzontal i un moviment de caiguda lliure.

Eix Ox: vx = v0 cos a

x = (v0 cos a) t

Eix Oy: vy = v0 sin a – g t

y = y0 + (v0 sin a) t –1

2g t2

Unidad 05-VAL.indd 230 6/5/08 16:48:21

CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I...

Documents

Transcript of CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I...