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7/29/2019 Chavez - Calculo en Varias Variables.pdf

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lm(x,y,z)(a,b,c)x2+y2>z2

R

f(xr,ys,zt) dr ds dt

ni,j=1i=j

|aij|2 maxk,l=1,...,n

k=la2kl

=s1

n1

an +

=s2

n1

bn =

n1(an+bn)?

o

s

CALCULO EN VARIAS VARIABLES

Autor

MARIO ERROL CHAVEZ GORDILLO

La Paz - BoliviaEnero - 2013

AB

S+

-S

Wu

Wss

0(s )

( )

W

u

0(s )

s

s

s+

-

+

-

W ( )

s

s+

-

u

g

g

0


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Indice general

1. Espacio Euclidiano n-dimensional 1

1.1. Operaciones entre vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Producto interno y Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3. Paralelismo y Perpendicularidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4. Proyeccion y Componente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5. Angulo entre vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.6. Producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2. Geometra Analtica Solida 19

2.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2. Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3. La recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4. El Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.5. Distancias entre puntos, rectas y planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.6. Superficies Cuadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3. Curvas 45

3.1. Derivada y Recta Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.2. Longitud de Curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4. Funciones Vectoriales de Variable Vectorial 51

4.1. Dominio y e imagen de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.2. Operaciones con funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

i


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v o os z ii4.3. Graficas de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.3.1. Secciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.3.2. Curvas de Nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.3.3. Superficies de Nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5. Limites y Continuidad 60

5.1. Limites de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.2. Calculando lmites por sustitucion directa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.3. Calculo de lmites mediante operaciones algebraicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.4. Calculo de lmites usando el teorema de acotacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.5. Inexistencia de lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.5.1. Lmites direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.5.2. Lmites parciales iterados (o reiterados) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.6. Continuidad de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6. Derivacion de funciones reales de varias variables 83

6.1. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.1.1. Calculo de derivadas parciales usando reglas de derivacion. . . . . . . . . . 85

6.1.2. Interpretacion geometrica de las derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . 92

6.2. La Derivada Parcial como razon de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.2.1. Productividad Marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.2.2. Continuidad y derivadas parciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.3. Derivadas parciales de ordenes superiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.4. Derivadas direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6.4.1. Continuidad y derivadas direccionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6.5. Funciones Diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

6.6. La diferencial (total) de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

6.7. Regla de la Cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

6.8. El Teorema de la Funcion Implcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

6.9. El Gradiente de una funcion diferenciable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

6.10. Formula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

6.11. Plano tangente y Recta Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

6.11.1. Significado geometrico de la tangencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

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v o os z iii7. Aplicaciones 179

7.1. Extremos relativos. Criterio del Hessiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

7.2. Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

7.2.1. Metodo de los multiplicadores de Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

8. Integrales Multiples 239

8.1. Integrales Multiples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

8.2. Integrales Dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

8.2.1. Invirtiendo el orden de integracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

8.2.2. Calculo de areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

8.3. Cambio de variables en Integrales Dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

8.3.1. Integrales dobles en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

8.4. Integrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

8.5. Cambio de variables en Integrales Triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

8.5.1. Integrales triples en coordenadas cilndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

8.5.2. Integrales triples en coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

9. Integrales de Linea 309

9.1. Definicion y Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

9.2. orientacion en ua integral de lnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

9.3. Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

9.4. Area Encerrada por una Curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

9.5. Independencia del Camino de Integracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

10.Sucesiones y Series 321

10.1. Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

10.2. Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

10.2.1. Criterios de Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

11.Funciones Gamma y Beta 336

11.1. Funcion Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

11.2. Funcion Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

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CAPITULO 1

Espacio Euclidiano n-dimensional

Se define el conjunto Rn de la siguiente manera:

Rn = {(x1,...,xn) : xi R, para i = 1,...,n}

1.1. Operaciones entre vectores

En Rn se define la suma y la multiplicacion escalar de la siguiente forma:

Suma.- Sean x, y en Rn tales que x = (x1, x2, x3,...,xn), y = (y1, y2, y3,...,yn), entonces

x + y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3,....,xn + yn)

La multiplicacion escalar.- Sea x = (x1, x2, x3,...,xn) y c R, se define:

cx = (cx1, cx2, cx3,...,cxn)

Se puede verificar que esta operaciones en Rn verifican las siguientes propiedades

1. x + y = y + x, para todo x, y en Rn.

2. (x + y) + z = x + (y + z), para todo x, y, z en Rn.

3. Existe un elemento en Rn, denotado 0 y llamado vector cero, tal que para todo x en Rn

cumple que x + 0 = 0 + x = x.

1


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v o os z 24. Para todo x en Rn, existe un elemento en Rn, denotado x, tal que x+(x) = (x)+x = 0.5. (a + b)x = ax + bx, para todo a, b en R, y para todo x en Rn.

6. a(x + y) = ax + ay, para todo a en R, y para todo x, y en Rn.

7. (ab)x = a(bx), para a, b en R, y para todo x en Rn.

8. 1x = x, para todo x en R.

As, Rn se dice que es un espacio vectorial real para las operaciones definidas anteriormente. Loselementos de Rn reciben el nombre de vectores.

EJEMPLO 1.1. Mostrar que el vector que une los puntos medios de dos de los lados de untriangulo es paralelo al tercer lado y tiene la mitad de su longitud.

SOLUCION.- Denotemos por A, B y C los vertices de un triangulo. Tomemos los puntos mediosson P =

A + B

2del lado AB y Q =

A + C

2del lado AC. Puesto que

P Q = A + B2

A + C2

=A + B A C

2=

B C2

entonces el vector que une los puntos medios de dos de los lados AB y AC es paralelo al lado BCy tiene la mitad de su longitud.

EJEMPLO 1.2. Mostrar que las diagonales de un paralelogramo se bisectan.

SOLUCION.- Consideremos el paralelogramo de vertices A, B, C y D, de modo que AD y BCsean sus diagonales. Denotemos los puntos medios de estas diagonales por

P =A + D

2, Q =

B + C

2

Primero que todo, estos puntos son iguales, en efecto, puesto que CD = AB, esto es DC = BA,entonces D + A = B + C, esto es P =

A + D

2=

B + C

2= Q.

Por otro lado, puesto que

P A = A + D2

A = A + D 2A2

= D A2

D P = D A + D2

=2D A D

2=

D A2

Por tanto P A = D P, esto es AP = P D, un analisis similar muestra que BP = P C. Porconsiguiente las diagonales de un paralelogramo se bisectan.

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7/350

v o os z 3EJEMPLO 1.3. Sean A, B, C, D, X, Y, Z, U, vertices de un paralelogramo, como en la figura.Expresar los vertices X, Y, Z, U en funcion de A, B, C, D.

SOLUCION.- Es claro de la figura que:

El vectorAX es paralelo al vector

BC

El vectorAB es paralelo al vector

Y D

El vectorBC es paralelo al vector

DU

El vectorAB es paralelo al vector

ZU

ademas del hecho de que se trata de un paralelogramos se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones

X A = C BB A = D YC B = U DB A = U Z

Despejando las variables X, Y, Z, U en funcion de A, B, C, D obtenemos

X = A + C BY = A + D BU = C B + DZ = U B + A = A + C+ D 2B

1.2. Producto interno y Norma

DEFINICION 1.1. Para x = (x1, x2, x3,...,xn), y = (y1, y2, y3,...,yn) en Rn definimos el pro-

ducto interno porx y = x1y1 + x2y2 + x3y3 + + xnyn.

TEOREMA 1.1. El producto interno satisface:

1. x x 0 para todo x Rn,

2. x x = 0 si y solo si x = 0,3. x y = y x para todo x, y Rn,4. (cx) y = c(x y) para todo x, y Rn, c R5. (x + y) z = x y + y z para todo x,y,z Rn.



8/350

v o os z 4Demostracion.

EJEMPLO 1.4. Sean los vectores r = (x, y, z ), a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3). Demostrar quela ecuacion (r a) (r b) = 0 representa una esfera; encontrar su radio y centro.

SOLUCION.-

DEFINICION 1.2. Para x = (x1, x2, x3,...,xn) enRn definimos la norma o longitud de x por

||x|| = x x =

x21 + x22 + x

23 + + x2n.

TEOREMA 1.2. La norma satisface:

1. ||x|| 0 para todo x Rn,

2. ||x|| = 0 si y solo si x = 0,3. ||cx|| = |c| ||x|| para todo x Rn, c R4. |x y| ||x||||y|| para todo x, y Rn.5. ||x + y| | | |x|| + ||y|| para todo x, y Rn.

Demostracion.

EJEMPLO 1.5. Determine los valores de c sabiendo que u = (4, 1, 4) y ||cu|| = 5

SOLUCION.- Puesto que

||cu|| = |c| ||u|| = |c|

(4)2 + (1)2 + (4)2 = |c|

33 = 6

de donde

|c| = 633

por lo tanto los posibles valores para c son:

c =633

o c = 633

.

EJEMPLO 1.6. Mostrar que la recta que une el vertice de un triangulo isosceles con el puntomedio de su base es perpendicular a su base.

SOLUCION.- Sean los vectores A, B y C los lados del triangulo isosceles. Asumamos que||A|| = ||B||. Si P el punto inicial de A y B, entonces C = A B. Tomemos un punto Q en C de



9/350

v o os z 5modo que P Q =

1

2(A+B). Debemos demostrar que C es perpendicular a P Q, esto es CP Q = 0.

En efecto,

C P Q = (A B) 12

(A + B) =1

2(||A||2 ||B||2) = 0.

Una segunda demostracion. Tomemos los vectores A y B como lados del triangulo isosceles, demodo que B A es el tercer lado. Asumamos que ||B|| = ||B A||, de donde ||B||2 = ||B A||2,as B B = B B 2A B + A A, de aqu A A = 2A B.Por otro lado la recta que une el vertice comun a B y B A con el punto medio de A tiene vectordireccion igual a M = B 1

2A. Ahora bien, puesto que

A M = A

B 12

A

= A B 1

2A A = A B A B = 0

se sigue que A es perpendicular a M, lo cual prueba el resultado.

EJEMPLO 1.7. Demostrar ||A + B||2 = ||A||2 + ||B||2 si y solo si A B = 0.SOLUCION.- Puesto que

||A + B||2 = (A + B) (A + B) = A (A + B) + B (A + B)= A A + A B + B A + B B= ||A||2 + 2A B + ||B||2

Entonces

||A + B

||2 =

||A

||2 +

||B

||2 si y solo si A

B = 0.

EJEMPLO 1.8. Demostrar ||A + B||2 + ||A B||2 = 2||A||2 + 2||B||2.

SOLUCION.- De los ejercicios anteriores tenemos

||A + B||2 + ||A B||2 = ||A||2 + 2A B + ||B||2 + ||A||2 2A B + ||B||2= 2||A||2 + 2||B||2

EJEMPLO 1.9. Demostrar

||A + B

||2

||A

B

||2 = 4 A

B.

SOLUCION.- De los ejercicios anteriores tenemos

||A + B||2 ||A B||2 = ||A||2 + 2A B + ||B||2 ||A||2 + 2A B ||B||2= 4A B



10/350

v o os z 6EJEMPLO 1.10. Dados vectores distintos de cero A y B en R3, mostrar que el vector V =||A||B + ||B||A biseca el angulo entre A y B.

SOLUCION.- Es suficiente probar que

A V||A|| ||V|| =

V B||V|| ||B||

En efecto.

A V||A||

B V||B|| = 0

A

||A

||

B

||B

|| V = 0

A

||A|| B

||B||

||A||B + ||B||A

= 0

A

||A|| ||A||B +A

||A|| ||B||A B

||B|| ||A||B B

||B|| ||B||A = 0

A B + ||B||||A|| A A ||A||||B|| B B B A = 0

||B||||A|| ||A||2 ||A||||B|| ||B||2 = 0

||B|| ||A| || |A|| ||B|| = 0

1.3. Paralelismo y Perpendicularidad

DEFINICION 1.3. Dos vectores en Rn son paralelos si uno es multiplo escalar del otro. Dosvectores enRn son perpendiculares u ortogonales si el producto interno entre ellos es igual a cero.

EJEMPLO 1.11. Analice la verdad o falsedad de la siguiente afirmacion. Justifique su respuesta.Si a y b son ortogonales a c, entonces a + b es ortogonal a c.

SOLUCION.- Esta es una afirmacion verdadera. En efecto, como a y b son ortogonales a c,entonces



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v o os z 7a c = 0 y b c = 0.

Ahora bien, puesto que(a + b) c = a c + b c = 0 + 0 = 0

se concluye que a + b es ortogonal a c.

EJEMPLO 1.12. Demostrar vectorialmente que las diagonales de un rombo se cortan en angulorecto.

SOLUCION.- Empecemos demostrando que si u y v son vectores tales que ||u|| = ||v||, entoncesu + v es ortogonal a u v. En efecto, esto se deduce inmediatamente de la igualdad:

(u + v) (u v) = ||u||2 u v + v u ||v||2 = 0.

Ahora bien sean los puntos p0, p1, p2 y p3 los vertices de un rombo. Entonces, supongamos que

los vectoresu = p0p1

yv = p0p2.

son dos de sus lados adyacentes. Por otro lado se sabe que los lados de un rombo son todos iguales.Entonces ||u|| = ||v||. Luego por lo probado anteriormente se segue que u + v es ortogonal a u v.Pero como

u + v = p0p1 + p0p2 = p0p3.y

u v = p0p1 p0p2 = p1p2.Por tanto las diagonales del rombo p0p3 y p1p2 se cortan en angulo recto.

EJEMPLO 1.13. Encuentre dos vectores en direcciones opuestas que sean ortogonales al vectoru = (5, 2, 1)

SOLUCION.- El vector (x,y,z) es ortogonal al vector u = (5, 2, 1) cuando (x,y,z)(5, 2, 1) = 0,esto es,

5x + 2y + z = 0.

Para obtener un ejemplo hagamos y =

1, z =

3 en la anterior ecuacion y despejando x se tieneque x = 1. Luego unos de los vectores buscado es

(1, 1, 3)y su vector opuesto

(1, 1, 3)tambien es ortogonal a u.



12/350


13/350

v o os z 9Del mismo modo se tiene que

(2, 1, 3) = Proyuv =v u||u|| =

t(1, 2, 3) s(2, 1, 3)||s(2, 1, 3)|| = t

(1, 2, 3) (2, 1, 3)||(2, 1, 3)||

de donde

t =||(2, 1, 3)||2

(1, 2, 3) (2, 1, 3) , v =||(2, 1, 3)||2

(1, 2, 3) (2, 1, 3)(2, 1, 3)

1.5. Angulo entre vectores

DEFINICION 1.5. El angulo entre los vectores x y y, es la magnitud que mide la amplitud de

rotacion o giro (abertura) del vector x alrededor del origen hasta el vector y en sentido contrarioa las agujas del reloj.

TEOREMA 1.4. Si es el angulo generado por los vectores x yy, entonces verifica la ecuacion

cos =x y

||x||||y||

Demostracion.

EJEMPLO 1.16. Que se sabe acerca del angulo entre los vectores no nulos a yb, si (i) ab > 0?,(ii) a

b < 0?, (i) a

b = 0?

SOLUCION.-

(i) Si a b > 0, entonces el angulo entre a y b esta entre 0 y 2 .(i) Si a b < 0, entonces el angulo entre a y b esta entre

2y .

(i) Si a b = 0, entonces el angulo entre a y b es 2 .

EJEMPLO 1.17. Si es el angulo entreA yB, entonces demostrar ||AB||2

= ||A||2

+ ||B||2

2||A|| ||B|| cos .

SOLUCION.-



14/350

v o os z 10||A B||2 = (A B) (A B) = A (A B) B (A B)

= A A A B B A + B B=

||A

||2

2A

B +

||B

||2

= ||A||2 + ||B||2 2||A|| ||B|| cos

EJEMPLO 1.18. Si es el angulo entre A y B enR3, entonces demostrar tan =||A B||

A B .

SOLUCION.-

tan = sen cos =

||AB||||A|| ||B||AB||A|| ||B||

= ||A B||A B

1.6. Producto vectorial

El producto vectorial esta definido para vectores en R3. Es decir, el producto vectorial de dosvectores en R3 es otro vector en R3. En efecto

DEFINICION 1.6. Si a = (a1, a2, a3) y b = (b1, b2, b3) son dos vectores en R3 el producto

vectorial entre a y b se denota por a

b, se lee a por b se define como

a b = (a1, a2, a3) (b1, b2, b3) = (a2b3 a3b2, a3b1 a1b3, a1b2 a2b1)

Se verifican la siguientes propiedades

TEOREMA 1.5. Sean a, b, c vectores enR3, un numero real, entonces

(1) a b es ortogonal tanto a a como a b(2) El producto vectorial es anticonmutativo, esto es a b = b a(3) (a) b = (a b)(4) Propiedad distributiva a (b + c) = a b + a c

(5) a b =

i j ka1 a2 a3b1 b2 b3

donde i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1)



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v o os z 11Demostracion.

i j k

a1 a2 a3b1 b2 b3

= i

b b2

c c2

+ j

1 b2

1 c2

+ k

1 b1 c

= 1[bc2 cb2] a[1c2 1b2] + a2[c b]

= (a2b3 a3b2, a3b1 a1b3, a1b2 a2b1)

EJEMPLO 1.19. Analice la verdad o falsedad de la siguiente afirmacion. Justifique su respuesta.Es posible encontrar el producto vectorial de dos vectores en el espacio vectorial bidimensional.

SOLUCION.- El producto vectorial

esta definido para vectores en R3. El producto vectorialde dos vectores en R3 es otro vector en R3. Recordemos

(a1, a2, a3) (b1, b2, b3) = (a2b3 a3b2, a3b1 a1b3, a1b2 a2b1)Sin embargo podemos ver de la forma (a1, a2, 0) como vectores del espacio bidimensional elplano xy. En este caso tenemos

(a1, a2, 0) (b1, b2, 0) = (0, 0, a1b2 a2b1)que no esta en el plano xy. En resumen NO es posible encontrar el producto vectorial de dosvectores en el espacio vectorial bidimensional.

EJEMPLO 1.20. Analice la verdad o falsedad de la siguiente afirmacion. Justifique su respuesta.Si se conocen a b = d y a c = d, entonces c es igual a b.

SOLUCION.- La respuesta depende de que si a = 0 o a = 0. Primero analicemos el caso en quea = 0. En este caso la igualdades a b = 0 y a c = 0 son siempre validas no importando quienessean b y c. As que no podemos garantizar que sean iguales.

Ahora analizamos el caso en que a = 0. De la hipotesis a b = d y a c = d concluimos que

a

(b

c) = a

b

a

c = d

d = 0,

lo cual implica que a es paralelo a b c, de esto y del hecho de que se a = 0 se deduce que existe = 0, tal que, a = (b c). Ahora bien, puesto que

||b c|| = ||a|||| = 0.

Lo cual muestra que b = c. En resumen la afirmacion es falsa.



16/350

v o os z 12TEOREMA 1.6. Sean a, b, c vectores enR3, un numero real, entonces

(1) ||a b|| = ||a|| ||b|| sen (2) Si a b = 0 entonces a y b son vectores paralelos.(3) ||a b|| es el area del paralelogramo de lados a y b

Demostracion. Si a b = 0 entonces a y b son vectores paralelos. En efecto, puesto que

||a b|| = ||a|| ||b|| sen ,

donde es el angulo entre a y b. Reemplazando a b = 0 en la anterior ecuacion tenemos que||a|| ||b|| sen = 0, de donde sen = 0, de aqu se obtiene = 0. Esto quiere decir que el anguloentre a y b es cero, por tanto estos vectores deben ser paralelos.

EJEMPLO 1.21. Hallar el area del triangulo de vertices A(1, 1, 1); B(2, 4, 2); C(3, 4, 0).

SOLUCION.- Notemos que el area del triangulo dado es igual a la mitad del area del paralelo-gramo de lados B A y C A.Un simple calculo muestra que

B A = (2, 4, 2) (1, 1, 1) = (1, 3, 1)C A = (3, 4, 0) (1, 1, 1) = (2, 3, 1)

y ademas

(B A) (C A) =

i j k1 3 12 3 1

= i 3 13 1

j 1 12 1+ k 1 32 3

= (6, 3, 3)Lo cual implica que

area del triangulo =1

2||(B A) (C A)|| = 1

2

36 + 9 + 9 =

54

2

EJEMPLO 1.22. Hallar el area del triangulo de vertices A(3, 4, 0); B(1, 1, 1); C(3, 5, 3).

SOLUCION.- Notemos que el area del triangulo dado es igual a la mitad del area del paralelo-gramo de lados B A y C A.



17/350

v o os z 13Un simple calculo muestra que

B A = (1, 1, 1) (3, 4, 0) = (2, 3, 1)C A = (3, 5, 3) (3, 4, 0) = (0, 1, 3)

y ademas

(B A) (C A) =

i j k2 3 10 1 3

= i 3 11 3

j 2 10 3+ k 2 30 1

= (10, 6, 2)Lo cual implica que

area del triangulo =1

2||(B A) (C A)|| = 1

2

100 + 36 + 4 =

140

2

EJEMPLO 1.23. Calcule el area del triangulo de vertices (2, 1, 3), (4, 3, 5) y (2, 3, 1)

SOLUCION.- Nombremos a estos puntos por

p0 = (2, 1, 3), p1 = (4, 3, 5) y p2 = (2, 3, 1)

Luego para calcular el area del triangulo de vertices p0, p1 y p2, consideremos los vectores

u = p0p1 = p1 p0 = (4, 3, 5) (2, 1, 3) = (2, 4, 2)y

v = p0p2 = p2 p0 = (2, 3, 1) (2, 1, 3) = (0, 4, 2)Estamos ahora listos para calcular el area buscada, en efecto, esta esta dada por

Area =||u v||

2.

Basta con calcular ||u v||,

u

v =

i j k2 4 2

0 4 2 = i 4 2

4 2 j 2 2

0 2 + k 2 4

0 4 = (0, 4, 8).se donde se sigue que

||u v|| =

02 + (4)2 + 82 =

70.

Finalmente

Area =||u v||

2=

70

2.



18/350

v o os z 14EJEMPLO 1.24. Calcule el area del triangulo de vertices A(2, 1, 1), B(3, 1, 1) y C(4, 1, 3)


A = (2, 1, 1), B = (3, 1, 1) y C = (4, 1, 3)Luego para calcular el area del triangulo de vertices A, B y C, consideremos los vectores

u =AB = B A = (3, 1, 1) (2, 1, 1) = (1, 2, 0)

y

v =AC = C A = (4, 1, 3) (2, 1, 1) = (2, 0, 2)

Estamos ahora listos para calcular el area buscada, en efecto, esta esta dada por

Area =||u v||

2

.


u v =

i j k1 2 02 0 2

= i 2 00 2

j 1 02 2+ k 1 22 0

= (4, 2, 4).se donde se sigue que

||u v|| =

42 + (2)2 + (4)2 =

36 = 6.

Finalmente

Area = ||u

v

||2 =6

2 = 3.

EJEMPLO 1.25. Calcule el area del triangulo de vertices A(2, 1, 2), B(3, 1, 2) y C(4, 1, 4)


A = (2, 1, 2), B = (3, 1, 2) y C = (4, 1, 4)

Luego para calcular el area del triangulo de vertices A, B y C, consideremos los vectores

u = AB = B A = (3, 1, 2) (2, 1, 2) = (1, 2, 0)y

v =AC = C A = (4, 1, 4) (2, 1, 2) = (2, 0, 2)


Area =||u v||

2.



19/350

v o os z 15Basta con calcular ||u v||,

u v =

i j k1 2 02 0 2

= i

2 00 2

j

1 02 2

+ k

1 22 0

= (4, 2, 4).

se donde se sigue que||u v|| =

42 + (2)2 + (4)2 =

36 = 6.

Finalmente

Area =||u v||

2=

6

2= 3.

EJEMPLO 1.26. Calcule el area del triangulo de vertices (3, 2, 1), (2, 1, 2) y (1, 2, 3). Ademasgraficar este triangulo.


p0 = (3, 2, 1), p1 = (2, 1, 2) y p2 = (1, 2, 3)

Luego para calcular el area del triangulo de vertices p0, p1 y p2, consideremos los vectores

u = p0p1 = p1 p0 = (2, 1, 2) (3, 2, 1) = (1, 1, 1)

yv = p0p2 = p2 p0 = (1, 2, 3) (3, 2, 1) = (2, 0, 2)


Area =||u v||

2.


u v =

i j k1 1 12 0 2

= i 1 10 2

j 1 12 2+ k 1 12 0

= (2, 0, 2).se donde se sigue que

||u v|| = (2)2 + (0)2 + (2)2 = 8.Finalmente

Area =||u v||

2=

8

2=

2.

EJEMPLO 1.27. Usando vectores analice si los puntos (2, 3, 1), (6, 5, 1), (3, 6, 4) y (7, 2, 2)son los vertices de un paralelogramo y calcule su area.



20/350

v o os z 16SOLUCION.- Nombremos a estos puntos por

p0 = (2, 3, 1), p1 = (6, 5, 1), p2 = (3, 6, 4) y p3 = (7, 2, 2).

Luego para verificar si son o no esos puntos los vertices de un paralelogramo consideremos losvectores p0p1 = p1 p0 = (6, 5, 1) (2, 3, 1) = (4, 8, 2),

p0p2 = p2 p0 = (3, 6, 4) (2, 3, 1) = (1, 3, 3),

p3p1 = p1 p0 = (6, 5, 1) (7, 2, 2) = (1, 3, 3),y p3p2 = p2 p0 = (3, 6, 4) (7, 2, 2) = (4, 8, 2)Puesto que los vectores p0p1 y p3p2 son paralelos al igual que los vectores p0p2 y p3p1 se deduceque los puntos p0, p1, p2 y p3 son los vertices de un paralelogramo.

AdemasArea = ||p0p1 p0p2||.

EJEMPLO 1.28. Calcule el area del paralelogramo de lados a = (5, 4, 2); b = (6, 5, 3)

SOLUCION.- Empecemos calculando a b,

a b = i j k

5 4 26 5 3

= i 4 25 3 j 5 26 3 + k 5 46 5 = (12 10, 15 + 12, 25 24) = (22, 3, 49).

se donde se sigue que

Area = ||a b|| =

(22)2 + (3)2 + (49)2 = 484 + 9 + 2401 =

2894 = 53, 8.

EJEMPLO 1.29. Sean A y B vectores tales que ||A|| = 2, ||B|| = 3 y A B = 1. Encuentrela norma del vector 2A + 3B y la norma del vector A B.

SOLUCION.-||2A + 3B||2 = (2A + 3B) (2A + 3B) = 2A (2A + 3B) + 3B (2A + 3B)

= 4A A + 6A B + 6B A + 9B B= 4||A||2 + 12A B + 9||B||2

= 4 4 + 12 (1) + 9 9 = 85



21/350

v o os z 17Por tanto ||2A + 3B|| = 85. Recordemos que

||A B|| = ||A||||B|| sen

donde es el angulo entre A y B. Ademas

A B = ||A||||B|| cos

Por tanto

||A B|| = ||A||||B||

1

A B||A||||B||

2Reemplazando datos tenemos

||A

B

||= 2

31

1

2 32

= 636 1

36

=

35

DEFINICION 1.7 (Producto Mixto). Seana, b, c vectores enR3, el producto mixto de definecomo a (b c).TEOREMA 1.7. Sean a, b, c vectores enR3, entonces

(1) a (b c) =

a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

(2) ||a (b c)|| es el volumen del paraleleppedo de lados a, b y c

Demostracion.

EJEMPLO 1.30. Sean a, b y c vectores no nulos deR3 tales que a (b c) = 0. Que condici ongeometrica deben cumplir los vectores a, b y c para que sea cierta la afirmacion?

SOLUCION.- El hecho de que |a(bc)| = 0, implica que el vector a es perpendicular al vectorb c. Ahora como el vector b c es perpendicular tanto al vector b como al vector c, se sigue quea esta en el plano que generan los vectores b y c. Esto quiere decir que los vectores a, b y c no

generan un paralelepipedo.

EJEMPLO 1.31. Calcule el volumen del paralelepidedo que tiene como aristas adyacentes a losvectores a = (1, 3, 1), b = (0, 6, 6), c = (4, 0, 4).



22/350

v o os z 18SOLUCION.- Empecemos calculando a (b c),

a (b c) =

1 3 10 6 6

4 0

4

= 1

6 60

4

3

0 6

4

4

+ 1

0 6

4 0

= 1(24 6) 3(4 + 24) + (0 + 24) = 30 60 + 24 = 66.se donde se sigue que

Volumen = |a (b c)| = | 66| = 66.



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CAPITULO 2

Geometra Analtica Solida

2.1. Introduccion

Las palabras posicion y dimension (largo, alto, ancho) no se definen. Por tanto a partir de estaspalabras enunciamos, sin definicion los conceptos primarios o los elementos fundamentales de lageometra que son el punto, las rectas y los planos, tambien llamados terminos indefinidos de lageometra.

Punto. Un punto es la unidad indivisible de la geometra. No tiene ninguna dimension (largo,alto, ancho). El conjunto de todos los puntos se llama espacio. Luego un punto solo tiene posicionen el espacio. As el punto es elemento geometrico que tiene posicion pero no dimension.

Llamaremos una figura geometrica a cualquier conjunto de puntos distribuidos de alguna maneraen el espacio. La Geometra es la rama de la matematica que tiene por objeto el estudio de laspropiedades de las figuras geometricas y las relaciones entre las figuras geometricas.

Una Recta es una figura geometrica, en la cual los puntos que la forman estan colocadas enuna misma direccion y se prolongan indefinidamente en dos sentidos. Una recta es una sucesi onininterrumpida de puntos. Solo posee una dimension y contiene infinitos puntos. Tiene una sola

direccion y dos sentidos. No se puede medir. No tiene ni primero ni ultimo elemento. No poseeprincipio ni fin. Dados dos puntos cualesquiera existe por lo menos otro situado entre esos dos. Larecta es de longitud ilimitada, derecha, sin grosor ni extremos.

POSTULADO 2.1 (El postulado de la recta). Dados dos puntos distintos cualesquiera, hayexactamente una recta que los contiene.

TEOREMA 2.1. Si dos rectas diferentes se intersectan su interseccion contiene un unico punto.

19


24/350

v o os z 20Un plano es una superficie que tiene longitud y anchura pero no espesor. El plano tiene dosdimensiones a diferencia de la mayora de los casos que nos rodean que estan en tres dimensiones.La geometra plana estudia por ejemplo los triangulos, cuadrilateros, circunferencia, crculo.

POSTULADO 2.2 (Postulado de la recta). Si dos puntos de una recta estan en un plano,

entonces la recta esta en el mismo plano.

TEOREMA 2.2. Si una recta intersecta a un plano que no la contiene entonces la interseccioncontiene un solo punto.

POSTULADO 2.3 (Postulado del plano). Tres puntos cualesquiera estan en al menos unplano y tres puntos cualesquiera no alineados estan exactamente en el plano.

TEOREMA 2.3. Dada una recta y un punto fuera de ella hay exactamente un plano que contienea ambos.

TEOREMA 2.4. Dados dos rectas distintas que se intersectan, hay exactamente un plano que

las contiene.

2.2. Distancia entre dos puntos

Para x = (x1, x2, x3,...,xn), y = (y1, y2, y3,...,yn) en Rn definimos la distancia de x a y por

d(x, y) = ||x y||.La distancia satisface:

1. d(x, y) 0 para todo x, y Rn,2. d(x, y) = 0 si y solo si x = y,

3. d(x, y) = d(y, x) para todo x, y Rn,4. d(x, z) d(x, y) + d(y, z) para todo x,y,z Rn.

Sean p Rn y r > 0:La bola abierta con centro p y radio r es el conjunto

B(p, r) = {x Rn : d(x, p) < r}.

La bola cerrada con centro p y radio r es el conjunto

B(p, r) = {x Rn : d(x, p) r}.

Notar que la bola abierta no incluye el borde, la bola cerrada s lo incluye.



25/350

v o os z 212.3. La recta

DEFINICION 2.1. Dados un punto p0 Rn y un vector v enRn.

x La ecuacion vectorial de la recta que pasa por el punto p0 y tiene vector direccion igual a ves p = p0 + tv donde t R.

y Las ecuaciones parametricas de la recta que pasa por el punto p0(x0, y0, z0) y tiene vectordireccion igual a v(a,b,c) son

x = x0 + tay = y0 + tbz = z0 + tc

donde t R.z Las ecuaciones simetricas de la recta que pasa por el punto p0(x0, y0, z0) y tiene vector

direccion igual a v(a,b,c) son

x x0a

=y y0

b=

z z0c

EJEMPLO 2.1. Anote la expresion de una recta que pase por el origen de coordenadas.

SOLUCION.- La recta que pasa por el punto p0 y tiene vector direccion v es el conjunto depuntos p que se expresan como

p = p0 + tv, t R.Puesto que la recta pasa por el origen de coordenadas, se tiene que p0 = 0, entonces su ecuacion

es p = tv, t R.

EJEMPLO 2.2. Hallar la ecuacion de la recta que pasa por(1, 2, 3) en la direccion de(4, 2, 7).

SOLUCION.-

P0 = (1,

2, 3) + t(4,

2, 7).

EJEMPLO 2.3. Hallar la ecuacion de la recta que pasa por (5, 3, 1) y (7, 2, 1).

SOLUCION.-

P0 = (5, 3, 1) + t[(7, 2, 1) (5, 3, 1)] = (5, 3, 1) + t(2, 5, 0).



26/350

v o os z 22EJEMPLO 2.4. Halle las ecuaciones: (a) parametricas, (b) simetricas de la recta que pasa porlos puntos (5, 3, 2) y 23 , 23 , 1.SOLUCION.- Nombremos a estos puntos por

p0 = (5, 3, 2), y p1 = 23 , 23 , 1.Luego la ecuacion vectorial de la recta que pasa a traves del puntos p0 = (5, 3, 2) y que tienevector direccion

u = p0p1 = p1 p0 = 2

3 ,23 , 1 (5, 3, 2)

= 2

3 5, 2

3+ 3, 1 + 2

=215

3, 2+9

3, 3

=17

3, 113

, 3

,

esp = p0 + tu

(x, y, z ) = (5, 3, 2) + t173

,11

3, 3

de donde obtenemos las ecuaciones parametricas de la recta

x = 5 173

t

y = 3 + 113 tz = 2 + 3t

Ademas, las ecuaciones simetricas de la recta son

x 5173

= y (3)113

= z (2)3

simplificando tenemos3(5 x)

17=

3(y + 3)

11=

z+ 2

3.

EJEMPLO 2.5. Halle las ecuaciones parametricas de la recta que pasa por el punto (3, 2, 4) yes paralela (a) al eje X, (b) eje Y, (c) eje Z.

SOLUCION.- Para el inciso (a), el vector direccion de la recta que buscamos es u = (1, 0, 0),de ah que la recta es

(x,y,z) = (3, 2, 4) + t(1, 0, 0)de donde se sigue que las ecuaciones parametricas de la recta son

x = 3 + t

y = 2z = 4.



27/350

v o os z 23EJEMPLO 2.6. Determine si las rectas x

3= y21 = z+ 1 ,

x14

= y + 2 = z+33 se cortan, y si esas halle el punto de interseccion y el coseno del angulo de interseccion.

SOLUCION.- La ecuacion vectorial de la recta x3

= y21 = z+ 1 es

(x, y, z ) = (0, 2, 1) + t(3, 1, 1), t R (2.1)

y la ecuacion vectorial de la recta x14 = y + 2 =z+33 es

(x, y, z ) = (1, 2, 3) + s(4, 1, 3), s R (2.2)

Las dos rectas en (2.1) y (2.2) se intersectan siempre que podamos encontrar valores para t y s demodo que tengamos

(0, 2, 1) + t(3, 1, 1) = (1, 2, 3) + s(4, 1, 3).

De esta ultima ecuacion se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones

3t = 1 + 4s

2 t = 2 + s1 + t = 3 3s.

Despejando s de la segunda ecuacion se tiene que s = 4t. Reemplazando este valor en la primeraecuacion obtenemos t = 17

7, ahora reemplazando en la tercera ecuacion se ve que t = 8. Como no

puede haber dos valores diferentes para t, se concluye que las dos retas no se intersectan.

2.4. El Plano

DEFINICION 2.2. Dados un punto p0 Rn y vectores u, v y N enRn.

x La ecuacion parametrica del plano que pasa por el punto p0 y tiene vectores direccion u y ves p = p0 + tu + sv donde t, s R.

y La ecuacion vectorial del plano que pasa por el punto p0 y tiene vector normal igual a N es(p

p0)

N = 0.

z La ecuacion canonica del plano que pasa por el punto p0(x0, y0, z0) y tiene vector normaligual a N(a,b,c) es a(x x0) + b(y y0) + c(z z0) = 0

{ La ecuacion general del plano es ax + by + cz+ d = 0

DEFINICION 2.3. Dos planos con vectores normales N1 y N2 son perpendiculares si N1 N2 =0, son paralelos si N1 es un multiplo escalar de N2.



28/350

v o os z 24EJEMPLO 2.7. Anote la expresion de un plano que pase por el origen de coordenadas.

SOLUCION.- El plano que pasa por el punto p0 y tiene vector normal N es el conjunto depuntos p que se expresan como

N (p p0) = 0.Puesto que el plano pasa por el origen de coordenadas, se tiene que p0 = 0, entonces su ecuaciones

N p = 0.

EJEMPLO 2.8. Hallar la ecuacion del plano perpendicular a(2, 2, 2) y que pasa por (1, 2, 3).

SOLUCION.-

[(x,y,z) (1, 2, 3)] (2, 2, 2) >= 0

(x, y, z ) (2, 2, 2) (1, 2, 3) (2, 2, 2) = 0

(x, y, z ) (2, 2, 2) = (1, 2, 3) (2, 2, 2)

2x + 2y + 2z = 2 4 + 6 = 0

EJEMPLO 2.9. Utilice el producto cruz para obtener una ecuacion del plano que pasa por lospuntos (2, 2, 2), (8, 1, 6) y (3, 4, 1).

SOLUCION.- Sean

a = (8, 1, 6) (2, 2, 2) = (6, 1, 4)b = (3, 4, 1) (2, 2, 2) = (5, 2, 3)

a b =

i j k6 1 45 2 3

a b = i

1 42 3 j 6 45 3

+ k 6 15 2



29/350

v o os z 25a b = i(3 8) j(18 20) + k(12 + 5) = 5i 2j 7k = (5, 2, 7)

[(x,y,z)

(

2, 2, 2)]

(

5, 2,

7) = 0

(x, y, z ) (5, 2, 7) (2, 2, 2) (5, 2, 7) = 0

5x + 2y 7z = 10 + 4 14 = 0

||a b|| =

(5)2 + (2)2 + (7)2 = 25 + 4 + 49 = 8,83TEOREMA 2.5. El punto de interseccion entre la Recta p = p0 + tu y el Plano (p

q0)

N = 0

es dado por p0 + (q0p0)NuN NDEMOSTRACION. Consideremos la recta que pasa por el punto p0 y tiene vector direccionalal vector u y consideremos tambien el plano que pasa por el punto q0 y tiene como vector normalal vector N. Esto es,

Recta p = p0 + tuPlano (p q0) N = 0

Supongamos que la recta intersecta al plano, en tal caso, existe un numero real t de modo que elpunto p0 + tu es un punto del plano, de donde

(p0 + tu q0) N = 0

de aqup0 N + t u N q0 N = 0

de donde

t =(q0 p0) N

u N .Luego el punto de interseccion entre la recta y el plano es

p0 +(q0

p0)

N

u N N (2.3)

EJEMPLO 2.10. Halle la interseccion del plano 2x3y + 2z = 3 con la recta x 12 =y+ 3

2

1 =z+12



30/350

v o os z 26SOLUCION.- Para el plano 2x 3y + 2z = 3 tenemos que N = (2, 3, 2) y ademas si hacemosx = z = 0, se obtiene que y = 1, de donde q0 = (0, 1, 0).Para la recta x 12 =

y+ 32

1 =z+12

se tiene que p0 = (12 , 32 , 1) y u = (1, 1, 2).

Finalmente el punto de interseccion que buscamos se obtiene reemplazando estos datos en (2.3):

p =12

, 32

, 1+ ((0,1,0)(12 , 32 ,1))(2,3,2)(1,1,2)(2,3,2) (2, 3, 2)

=12

, 32

, 1+ ( 12 ,1+ 32 ,1)(2,3,2)(1,1,2)(2,3,2) (2, 3, 2)

=12

, 32

, 1+ ( 12 )2+(2+32 )(3)+1(2)2(1)+(3)(1)+2(2) (2, 3, 2)

=12

, 32

, 1+ 1 32+29

(2, 3, 2) = 12

, 32

, 1+ 118

(2, 3, 2)

= 12

+ 218

, 32

318

, 1 + 218 =

9+218

, (9)3318

, 18+218 =

1118

, 3018

, 1618 .

EJEMPLO 2.11. Sea Q0 = (1, 2, 3), P0 = (3, 2, 1) y N = (1, 2, 1). Encontrar el punto deinterseccion de la recta que pasa por P0 con direccion N y el plano que pasa por Q0 y que esperpendicular a N.

SOLUCION.- El punto de interseccion es

P = P0 +(Q0 P0) N

||N||2N

(x, y, z ) = (3, 2, 1) +[(1, 2, 3) (3, 2, 1)] (1, 2, 1)

||(1, 2, 1)||2 (1, 2, 1)

(x,y,z) = (3, 2, 1) +(2, 0, 2) (1, 2, 1)

12 + 22 + 12(1, 2, 1)

(x, y, z ) = (3, 2, 1) +2 + 0 + 2

12 + 22 + 12(1, 2, 1) = (3, 2, 1).

EJEMPLO 2.12. Halle las ecuaciones parametricas de la recta que pasa por el punto (3, 2, 1)y es perpendicular al plano dado por 2x + 3y + z = 5.

SOLUCION.- El vector normal al plano 2x + 3y + z = 5 es N = (2, 3, 1). Como la rectaque buscamos es perpendicular al plano, entonces el vector direccion del plano es precisamente el



31/350


32/350

v o os z 28EJEMPLO 2.14. Halle la ecuacion del plano que pasa por el punto (3, 2, 2) y es perpendiculara la recta x1

4 = y + 2 =z+33

SOLUCION.- Como el plano que buscamos es perpendicular a la recta x+15 =y+24 =

z52 ,

entonces su vector normal es precisamente el vector direccion de la recta.Por otro lado el vector direccion de la recta x+1

5= y+24 =

z52 es (5, 4, 2). Luego la ecuacion del

plano que pasa por el punto (3, 2, 2) y tiene vector normal igual a N = (5, 4, 2) es:

(p p0) N = 0, ((x, y, z ) (3, 2, 2)) (5, 4, 2) = 0

(x 3, y 2, z 2) (5, 4, 2) = 0 5(x 3) 4(y 2) 2(z 2) = 0

10x

15

4y + 8

2z+ 4 = 0, 10x

4y

2z

3 = 0.

EJEMPLO 2.15. Hallar la ecuacion de la recta que pasa por el punto (1, 1, 2) y es perpendicularal plano x + y + z = 2.

SOLUCION.- El vector normal al plano x + y + z = 2 es N = (1, 1, 1). Como la recta quebuscamos es perpendicular al plano, entonces el vector direccion del plano es precisamente elvector normal al plano, por lo tanto la ecuacion vectorial de la recta pasa por el punto (1, 1, 2) ytiene vector direccion N = (1, 1, 1) es

(x, y, z ) = (1, 1, 2) + t(1, 1, 1)

de donde se sigue que las ecuaciones parametricas de la recta son

x = 1 + t

y = 1 + t

z = 2 + t

Ademas, las ecuaciones simetricas de la recta son

x 11

=y 1

1=

z 21

.

EJEMPLO 2.16. Hallar la ecuacion del plano que pasa por el punto Q(2, 1,

1) y contiene a la

recta L : x 13

= y + 2 = z+ 12

.

SOLUCION.- La rectax 1

3= y + 2 =

z+ 1

2pasa por el punto P(1, 2, 1) y tiene vector

direccion igual a u(3, 1, 2). Luego los siguientes vectores estan sobre este plano

P Q = Q P = (2, 1, 1) (1, 2, 1) = (1, 3, 0)



33/350

v o os z 29y

u = (3, 1, 2).

Puesto que los vectoresP Q y u viven en el plano, su producto vectorial

P Qu es el vector normal

al plano que buscamos.

Calculemos P Q u,

P Q u =

i j k1 3 03 1 2

= i 3 01 2

j 1 03 2+ k 1 33 1

= (6, 2, 1 9) = (6, 2, 8).

Ahora nos toca encontrar la ecuacion del plano que pasa por el punto Q(2, 1, 1) y que tengavector normal M =

P Q u = (6, 2, 8).

(p Q) N = 0, ((x, y, z ) (2, 1, 1)) (6, 2, 8) = 0

(x 2, y 1, z+ 1) (6, 2, 8) = 0 6(x 2) 2(y 1) 8(z+ 1) = 0

4x 12 2y + 1 8z 8 = 0, 4x 2y 8z 19 = 0.

EJEMPLO 2.17. Halle la ecuacion del plano que contiene a las rectas:x 1

2

=y 4

1=

z

1;

x 23 = y 14 = z 21 .

SOLUCION.- Como el plano que contiene a las rectas: x12 =y41

= z1

; x23 =y14

= z21 , sesigue que los vectores direccion de estas rectas estan contenidas en el plano.

Vemos que el vector direccion de la recta x12 =y41

= z1

es u = (2, 1, 1). Y el vector direccionde la recta x23 =

y14

= z21 es v = (3, 4, 1). Ahora con los vectores u y v podemos obtener elvector normal al plano que es dado por N = u v,

u

v =

i j k

2 1 1

3 4 1 = i 1 1

4 1 j 2 13 1 + k

2 13 4

= (1 4, (2 + 3), 8 + 3) = (5, 5, 5).

Ahora necesitamos hallar un punto p0 por donde la recta pasa. Esto es facil, por que podemostomar el punto por donde pasa la recta x12 =

y41

= z1

, es decir,

p0 = (1, 4, 0)



34/350

v o os z 30Luego la ecuacion del plano que pasa por p0 = (1, 4, 0) y es ortogonal al vector N = (5, 5, 5)es

(p

p0)

N = 0, ((x,y,z)

(1, 4, 0))

(

5,

5,

5) = 0

(x 1, y 4, z) (5, 5, 5) = 0 5(x 1) 5(y 4) 5z = 0

5x + 5 5y + 20 5z = 0, 5x 5y 5z = 25 x + y + z = 5.EJEMPLO 2.18. Halle la ecuacion del plano que contiene a todos los puntos equidistantes a lospuntos (2, 2, 0), (0, 2, 2).

SOLUCION.- Un punto (x, y, z ) es equidistante a los puntos (2, 2, 0) y (0, 2, 2) si la distancia

de (x, y, z ) a (2, 2, 0) es igual a la distancia de (x,y,z) a (0, 2, 2). Esto es,(x 2)2 + (y 2)2 + z2 =

x2 + (y 2)2 + (z 2)2

x2 4x + 4 + y2 4y + 4 + z2 = x2 + y2 4y + 4 + z2 4z+ 4

4x + 4 4y + 4 = 4y + 4 4z+ 4

4x + 4z = 0, x z = 0.EJEMPLO 2.19. Determine si los planos son: paralelo, perpendiculares, o ninguna de las doscosas. Si no son paralelos ni perpendiculares, hallar el angulo de interseccion. 5x 3y + z = 4,x + 4y + 7z = 1.

SOLUCION.-

El vector normal al plano 5x 3y + z = 4 es n1 = (5, 3, 1)El vector normal al plano x + 4y + 7z = 1 es n2 = (1, 4, 7)

Observemos que n1 y n2 no son paralelos. Ademas como

n1 n2 = (5, 3, 1) (1, 4, 7) = 5 12 + 7 = 0

entonces los planos son ortogonales.

EJEMPLO 2.20. Determine si los planos son: paralelo, perpendiculares, o ninguna de las doscosas. Si no son paralelos ni perpendiculares, hallar el angulo de interseccion. 4x + y z = 2,x 2y 4z = 2.



35/350

v o os z 31SOLUCION.-

El vector normal al plano 4x + y z = 2 es n1 = (4, 1, 1)El vector normal al plano x 2y 4z = 2 es n2 = (1, 2, 4)


n1 n2 = (4, 1, 1) (1, 2, 4) = 4 2 + 4 = 2entonces los planos no son ortogonales.

Ahora el angulo entre los dos planos verifica

cos =|n1 n2|

||n1|| ||n2|| =| 2|

(4)2 + (1)2 + (1)2

(1)2 + (2)2 + (4)2 =2

18

21

por tanto

= arc cos2

378EJEMPLO 2.21. Determine si los planos son: paralelo, perpendiculares, o ninguna de las doscosas. Si no son paralelos ni perpendiculares, hallar el angulo de interseccion. 2x 3y + 2z = 3,x + 3y + 2z = 4.

SOLUCION.-

El vector normal al plano 2x 3y + 2z = 3 es n1 = (2, 3, 2)El vector normal al plano x + 3y + 2z = 4 es n2 = (1, 3, 2)


n1 n2 = (2, 3, 2) (1, 3, 2) = 2 9 + 4 = 3entonces los planos no son ortogonales.

Ahora el angulo entre los dos planos verifica

cos =|n1 n2|

||n1|| ||n2|| =| 3|

(2)2 + (3)2 + (2)2

(1)2 + (3)2 + (2)2=

317

14

por tanto

= arc cos

3238

EJEMPLO 2.22. Halle las ecuaciones parametricas de la recta de interseccion entre los planosx 4y + 2z = 0, 3x + 2y z = 7.

SOLUCION.- Haciendo z = t, del sistemax 4y + 2z = 03x + 2y z = 7 se obtiene

x 4y = 2t3x + 2y = t + 7



36/350


37/350

v o os z 33es la ecuacion del plano que tiene como vector normal al vector N = (3, 4, 2). Recordemos que unplano y una recta son paralelos siempre y cuando el vector normal del plano es ortogonal al vectordireccion de la recta. En nuestro caso, tenemos

u

N = (3, 4, 2)

(3, 4, 2) = 9 + 16 + 4 = 29

= 0

por tanto nuestra recta y plano no son paralelos.

EJEMPLO 2.25. Analice la verdad o falsedad de la siguiente afirmacion: La recta

x + 4

2=

y 34

=z 2

3

y el plano 2x + 4y + 2z 8 = 0 son paralelos. Justifique su respuesta.

SOLUCION.- La ecuacionx + 4

2=

y 34

=z 2

3es la ecuacion de la recta que pasa por el

punto (4, 3, 2) y tiene vector direccion u = (2, 4, 3). Por otro lado la ecuacion 2x+4y + 2z8 = 0es la ecuacion del plano que tiene como vector normal al vector N = (2, 4, 2). Recordemos que unplano y una recta son paralelos siempre y cuando el vector normal del plano es ortogonal al vectordireccion de la recta. En nuestro caso, tenemos

u N = (2, 4, 3) (2, 4, 2) = 4 + 8 + 6 = 14 = 0por tanto nuestra recta y plano no son paralelos.

EJEMPLO 2.26. Halla la ecuacion cartesiana del plano que contiene a la recta:

R

x = 1 + ty = 1 + 2tz = t

y es perpendicular al plano

cuya ecuacion es 2x + y z = 2SOLUCION.- La ecuacion parametrica del plano que pasa por el punto A(x0, y0, z0) y tienevectores direccion u y v es p = A + tu + sv. Esta ecuacion es equivalente a

(p A) u v =

x x0 y y0 z z0u1 u2 u3u1 u2 u3

= 0Sea el plano buscado. Un vector paralelo al plano es el vector direcci on de la recta R: v(1, 2, 1).Otro vector paralelo al plano es el vector normal del plano perpendicular : u = (2, 1, 1). Unpunto del plano es un punto de la recta R: P(1, 1, 0). Luego la ecuacion del plano es:

x 1 y + 1 z2 1 11 2 1

= 0de donde 3x 3y + 3z 6 = 0 y finalmente tiene por ecuacion a x y + z = 2



38/350

v o os z 34EJEMPLO 2.27. Determine la ecuacion del plano que pasa por los puntos P(2, 5, 4), Q(3, 4, 2)y es perpendicular al plano x + y 2z = 4.

SOLUCION.- Nombremos al vector normal del plano x + y 2z = 4 por N = (1, 1, 2). Ahorabien, N es paralelo al plano que buscamos. Luego los siguientes vectores estan sobre este plano

P Q = Q P = (3, 4, 2) (2, 5, 4) = (1, 1, 2)y

N = (1, 1, 2).Puesto que los vectores

P Q y N viven en el plano, su producto vectorial

P Q N es el vector

normal al plano.

CalculemosP Q N,

P Q N = i j k1 1 21 1 2

= i 1 21 2 j 1 21 2 + k 1 11 1 = (2 + 2, (2 + 2), 1 + 1) = (4, 0, 2).

Ahora nos toca encontrar la ecuacion del plano que pasa por el punto P(2, 5, 4) y que tenga vector

normal M =P Q N = (4, 0, 2).

(p P) M = 0, ((x,y,z) (2, 5, 4)) (4, 0, 2) = 0

(x 2, y 5, z 4) (4, 0, 2) = 0 4(x 2) + 0(y 5) + 2(z 4) = 0

4x 8 + 2z 8 = 0, 2x + z 8 = 0.

EJEMPLO 2.28. Determine la ecuacion del plano que pasa por los puntos P(2, 4, 5), Q(3, 2, 4)y es perpendicular al plano x y + 2z = 8.

SOLUCION.- Nombremos al vector normal del plano x y + 2z = 8 por N = (1, 1, 2). Ahorabien, N es paralelo al plano que buscamos. Luego los siguientes vectores estan sobre este plano

P Q = Q P = (3, 2, 4) (2, 4, 5) = (1, 2, 1)

yN = (1, 1, 2).

Puesto que los vectoresP Q y N viven en el plano, su producto vectorial

P Q N es el vector

normal al plano.



39/350

v o os z 35Calculemos

P Q N,

P Q N =

i j k1 2 11

1 2

= i

2 1

1 2

j

1 11 2

+ k

1 21

1

= (4 1, (2 + 1), 1 + 2) = (5, 3, 1).

Ahora nos toca encontrar la ecuacion del plano que pasa por el punto P(2, 4, 5) y que tenga vector

normal M =P Q N = (5, 3, 1).

(p P) M = 0, ((x,y,z) (2, 4, 5)) (5, 3, 1) = 0

(x 2, y 4, z 5) (5, 3, 1) = 0 5(x 2) 3(y 4) + (z 5) = 0

5x + 10 3y + 12 + z 5 = 0, 5x 3y + z+ 17 = 0.

EJEMPLO 2.29. Anote la condicion que debe cumplirm para que la recta x + 3 = y 2 = z 12

sea paralela al plano 2x + 4y + mz = 2.

SOLUCION.- El vector direccion de la recta x + 3 = y 2 = z 12

es u = (1, 1, 2) y el vector

normal del plano 2x + 4y + mz = 2 es N = (2, 4, m). Recordemos que una recta es paralela a un

plano si el vector direccion de la recta es perpendicular al vector normal del plano, as tenemosque

(1, 1, 2) (2, 4, m) = 02 + 4 + 2m = 0

de aqu obtenemos que m = 3. EJEMPLO 2.30. Probar que la recta de interseccion de los planos x + 2y z 2 = 0 y 3x +2y + 2z 8 = 0 es paralela a la recta p = (1, 1, 1) + t(6, 5, 4). Encuentre la ecuacion del planoque forman estas dos rectas.

SOLUCION.- Denotemos por p = p0 + tu la recta de interseccion de ambos planos. Para hallarel punto p0 hagamos x = 0, en ambas ecuaciones, luego obtenemos el siguiente sistema

2y z = 2

2y + 2z = 8

4y 2z = 42y + 2z = 8

6y = 12

y = 22(2) z = 2

z = 2



40/350

v o os z 36Luego p0(0, 2, 2). El vector direccion es

u = N0 N1 =

i j k1 2 13 2 2

= i

2 12 2 j

1 13 2 + k

1 23 2

= (4 + 2, (2 + 3), 2 6) = (6, 5, 4).Entonces la recta es p = (0, 2, 2) + t(6, 5, 4). Comparando con la que tenemos p = (1, 1, 1) +t(6, 5, 4), se obtiene que ambos son paralelos. Ahora construyamos un plano que contenga aestas dos rectas. Recordemos que la ecuacion del plano es N (p q0) = 0. Tenemos los siguientedados q0 = (0, 2, 2). Tomemos w = (1, 1, 1) (0, 2, 2) = (1, 1, 1), luego

N = (6, 5, 4) (1, 1, 1) =

i j k6 5 41 1 1

= i

5 4

1

1

j

6 41

1

+ k

6 51

1

= (5 4, (6 + 4), 6 + 5) = (1, 2, 1).luego el plano buscado tiene por ecuacion (1, 2, 1)(x, y2, x2) = 0, esto es, x+2yz2 = 0.Otra manera de resolver este problema es la siguiente: Hagamos z = t,

x + 2y t 2 = 03x + 2y + 2t 8 = 0

x 2y + t + 2 = 03x + 2y + 2t 8 = 0

2x + 3t 6 = 0

x =6

3t

2 = 3

2t + 3

y =t + 2 x

2=

t + 2

2 x

2=

t + 2

2 6 3t

4=

2t + 4 6 + 3t4

=5t 2

4=

5

4t 1

2Luego

(x, y, z ) =

3

2t + 3,

5

4t 1

2, t

=

3

2,

5

4, 1

t + (3, 1

2, 0) = 1

4t (6, 5, 4) + (3, 1

2, 0)

EJEMPLO 2.31. Probar que la recta de interseccion de los planos 1: x + 2y

z = 2 y 2:

3x + 2y + 2z = 8 es paralela a la recta R: p = (1, 1, 1) + t(6, 5, 4). Encuentre la ecuacion delplano que forman estas rectas.

SOLUCION.- Haciendo z = t, del sistemax + 2y z = 23x + 2y + 2z = 8

se obtiene

x + 2y = 2 + t

3x + 2y = 8 2t



41/350

v o os z 37Multiplicando por 3 a la primera ecuacion y luego sumando hacia abajo tenemos

4y = 2 5t, y = 5t 24

=5

4t 1

2

ademasx = t + 2 2y = t + 2 5

2t + 1 = 3

2t + 3

Por tanto las ecuaciones parametricas de la recta son

x = 32

t + 3, y =5

4t 1

2, z = t.

Por tanto (x,y,z) = (3, 1/2, 0)+t(3/2, 5/4, 1) = (1/2, 3, 0)t/4(6, 5, 4), lo cual demuestraque ambas rectas son paralelas.

Ahora bien, puesto que ambas rectas p = (1, 1, 1)+t(6,

5,

4) y p = (3,

1/2, 0)+t(

3/2, 5/4, 1)

son paralelas, es suficiente definir los vectores

u = (3, 1/2, 0) (1, 1, 1) = (2, 3/2, 1) y v = (6, 5, 4)

y con ellos tomar N = (2, 3/2, 1) (6, 5, 4)

N =

i j k2 3/2 16 5 4

= i

3/2 15 4j 2 16 4

+ k 2 3/26 5 = (1, 2, 1).

Por tanto el plano buscado es (x 1) + 2(y 1) 1(z 1) = 0. EJEMPLO 2.32. Halla la ecuacion de la recta que pasa por el punto P(2, 1, 1) y corta perpen-dicularmente a la recta R dada por:

x 22

=y 1

2= z

SOLUCION.- En primer lugar hay que hallar el plano Pperpendicular a la recta R que pasapor el punto P(2, 1, 1). Despues se halla el punto de interseccion P de la recta R y del plano P.La recta pedida es la que pasa por P y P.

El vector direccion del plano Pes n(2, 2, 1), luego el plano Pque pasa por el punto P(2, 1, 1) ytiene vector normal n es 2(x 2) + 2(y + 1) + z 1 = 0 o 2x + 2y + z = 3.Se pasa la recta R a su forma parametrica

R

x = 2 + 2ty = 1 + 2tz = t



42/350

v o os z 38y se sustituyen los valores de x, y, z en la ecuacion del plano P

2(2 + 2t) + 2(1 + 2t) + t = 3

despejando t, t =

1/3, luego el punto de interseccion P es P(4/3, 1/3,

1/3). Ahora, el vectordireccion de la recta buscada es v = P P = (2/3, 4/3, 4/3). Podemos tomar v = (1, 2, 2),as la recta es

x 2 = y + 12

=z 1

2

2.5. Distancias entre puntos, rectas y planos

DEFINICION 2.4. La distancia entre dos figuras geometricas se define como el valor mnimo

de las distancias entre puntos de cada una de las figuras geometricas.TEOREMA 2.6 (Distancia de un punto a una recta). La distancia entre un punto q y larecta l que pasa por el punto p0 y tiene vector direccion igual au p = p0 + tu puede ser calculadousando una de las siguientes formulas:

d(q, l) =||(qp0) u||

||u|| =(qp0) + (qp0) u||u||2 u

Demostracion.

EJEMPLO 2.33. Halle la distancia del punto (4, 1, 5) a la recta x = 3, y = 1 + 3t, z = 1 + t.

SOLUCION.- De las ecuaciones parametricas de la recta

x = 3

y = 1 + 3t

z = 1 + t.

obtenemos(x,y,z) = (3, 1 + 3t, 1 + t) = (3, 1, 1) + t(0, 3, 1).

Por tanto en nuestro caso tenemos que q = (4, 1, 5), p0 = (3, 1, 1) y u = (0, 3, 1).Ahora bien, como

qp0 = (4, 1, 5) (3, 1, 1) = (1, 2, 4),



43/350

v o os z 39se tiene que

(qp0) u =

i j k1 2 40 3 1

= i

2 43 1

j

1 40 4

+ k

1 20 3

= (2 12, (4 0), 3 0) = (14, 4, 3).Cuya longitud es dado por

||(qp0) u|| =

(14)2 + (4)2 + (3)2 = 196 + 16 + 9 =

221.

Por tanto a distancia del punto (4, 1, 5) a la recta x = 3, y = 1 + 3t, z = 1 + t es

D =

221

(0)2 + (3)2 + (1)2

=

22110

=

221

10.

TEOREMA 2.7 (Distancia entre dos rectas no paralelas). Si los vectores u y v son noparalelos, entonces la distancia entre la recta l que pasa por el punto p0 y tiene vector direccionigual a u p = p0 + tu y la recta m que pasa por el punto q0 y tiene vector direccion igual a vp = q0 + tv es

d(l, m) = ||Proyuvp0q0|| =(q0 p0) (u v)||u v||

Demostracion.

EJEMPLO 2.34. Halle la distancia entre las rectas paralelas L1 : x = 2t, y = 3+2t, z = 4+t;L2 : x = 3t, y = 1

6t, z = 4

3t

SOLUCION.- En este caso hallemos primero un punto sobre la recta L1, este punto es q =(2, 3, 4). Ahora la distancia entre las rectas paralelas L1 y L2 es precisamente la distancia delpunto q = (2, 3, 4) a la recta L2. Y para hallar esta distancia se procede como en el anteriorejercicio.

TEOREMA 2.8 (Distancia de un punto a un plano). La distancia entre un punto q(x1, y1, z1)al plano Pque pasa por el punto p0(x0, y0, z0) y tiene vector normal igual aN(a,b,c) (pp0)N =0 es

d(q,P

) =||

ProyN

p0q||

=|(qp0) N|

||N||=

|a(x1 x0) + b(y1 y0) + c(z1 z0)|a2 + b2 + c2

Si el plano es dado en su forma canonica ax + by + cz+ d = 0, entonces

d(q, P) = |ax1 + by1 + cz1 + d|a2 + b2 + c2

Demostracion.



44/350

v o os z 40TEOREMA 2.9 (Distancia entre dos planos paralelos). La distancia entre los planosa1x+

b1y + c1z + d1 = 0 y a2x + b2y + c2z + d2 = 0 es d =

d1||N1||

d2||N2||

donde N1(a1, b1, c1) y

N2(a2, b2, c2). En particular si N1 = N2, entonces d =|d1 d2|

a2 + b2 + c2Demostracion. Consideremos los puntos p1(x1, y1, z1) en el plano a1x + b1y + c1z + d1 = 0 y

p2(x2, y2, z2) en el plano a2x + b2y + c2z+ d2 = 0. Luego la distancia de p1 al plano a2x + b2y +c2z+ d2 = 0 es dado por

d =|(p1 p2) N2|

||N2|| =|p1 N2 p2 N2|

||N2||Por otro lado las ecuaciones a1x1 + b1y1 + c1z1 + d1 = 0 y a2x2 + b2y2 + c2z2 + d2 = 0 implican que

p1 N1 = d1 y p2 N2 = d2.

Ahora bien supongamos que N1 es paralelo a N2, por tanto N1 = kN2, as ||N1|| = k||N2||, yademas k(p1 N2) = d1, as:

d =| d1

k+ d2|

||N2|| = d1k||N2|| d2||N2||

= d1||N1|| d2||N2||

EJEMPLO 2.35. Halle la distancia del punto (2, 8, 4) al plano 4x 2y 4z = 2

SOLUCION.- En nuestro caso tenemos que q = (2, 8, 4) y N = (4, 2, 4). Hallamos p0 hacien-

do x = z = 0, luego y = 1, as p0 = (0, 1, 0). Reemplazando datos tenemosD =

|(qp0) N|||N|| =

|((2, 8, 4) (0, 1, 0) (4, 2, 4)|||(4, 2, 4)||

D =|(2, 9, 4) (4, 2, 4)|

(4)2 + (2)2 + (4)2 =|8 18 16|

16 + 4 + 16=

2636

=26

6=

13

3

EJEMPLO 2.36. Halle la distancia entre los planos paralelos2x3y +4z = 8, 4x6y +8z = 18

SOLUCION.- Hallemos un punto q sobre el plano 2x 3y + 4z = 8, esto se logra haciendox = y = 0, de donde z = 2, por tanto q= (0, 0, 2).

Del mismo modo hallemos un punto p0 sobre el plano 4x 6y + 8z = 18, esta vez hagamosx = z = 0, de donde y = 3, por tanto p0 = (0, 3, 0). Luego el plano 4x 6y + 8z = 18 pasapor el punto p0 = (0, 3, 0) y tiene vector normal N = (4, 6, 8). Ahora estamos en condicionesde aplicar la formula

D =|(qp0) N|

||N|| =|((0, 0, 2) (0, 3, 0) (4, 6, 8)|

||(4, 6, 8)||



45/350

v o os z 41D =

|(0, 3, 2) (4, 6, 8)|(4)2 + (6)2 + (8)2 =

|0 18 16|16 + 36 + 64

=34116

.

EJEMPLO 2.37. Halle la distancia entre los planos paralelos x

2y + 2z = 7, 2x

4y + 4z = 8

SOLUCION.- Hallemos un punto q sobre el plano x 2y + 2z = 7, esto se logra haciendoy = z = 0, de donde x = 7, por tanto q= (7, 0, 0).

Del mismo modo hallemos un punto p0 sobre el plano 2x 4y + 4z = 8, esta vez hagamosy = z = 0, de donde x = 4, por tanto p0 = (4, 0, 0). Luego el plano 2x 4y + 4z = 8 pasa por elpunto p0 = (4, 0, 0) y tiene vector normal N = (2, 4, 4). Ahora estamos en condiciones de aplicarla formula

D =|(qp0) N|

||N|| =|((7, 0, 0) (4, 0, 0) (2, 4, 4)|

||(2, 4, 4)||

D = |(3, 0, 0) (2, 4, 4)|(2)2 + (4)2 + (4)2 = |6 0 + 0|4 + 16 + 16 = 636 = 16 .

EJEMPLO 2.38. Se consideran los puntos: A(1, 1, 1), B(0, 2, 2), C(1, 0, 2), D(2, 1, 2) a)Calcula la distancia del punto D al plano determinado por los puntos A, B y C. b) Halla unasecuaciones cartesianas de la recta que pasa por D y es perpendicular al plano determinado por lospuntos A, B y C

SOLUCION.- Empecemos determinando la ecuacion del plano

determinado por los puntosA, B y C. Los vectores direccion de este plano son

u = B A = (1, 3, 1), y v = C A = (2, 1, 1)

La ecuacion parametrica del plano que pasa por el punto A(x0, y0, z0) y tiene vectores direccion uy v es p = A + tu + sv. Esta ecuacion es equivalente a

(p A) u v =

x x0 y y0 z z0u1 u2 u3u1 u2 u3

= 0reemplazando datos

x

1 y

1 z

1

1 3 12 1 1

= 0de donde 2x + y + 5z 8 = 0. Ahora usando la formula de la distancia entre un punto q(x1, y1, z1)al plano es dado en su forma canonica ax + by + cz+ d = 0, dado por

d(q, P) = |ax1 + by1 + cz1 + d|a2 + b2 + c2



46/350

v o os z 42obtenemos

d =|2(2) + 1(1) + 5(2) 8|

22 + 12 + 52= 2, 74

b) Vector director de la recta R es el vector normal al plano. n(2, 1, 5) pasa por el punto D(2,

1,

2).

x 22

= y + 1 =z+ 2

5

2.6. Superficies Cuadraticas

DEFINICION 2.5. Una superficie cuadratica es la grafica de una ecuacion de segundo gradocon tres variables x, y, z. La forma general de la ecuacion es:

ax2 + by2 + cz2 + dxy + eyz + f xz+ gx + hy + iz+ j = 0

donde a,b,c,d,e,f,g,h,i ,j son constantes.

Las superficies cuadraticas mas importantes son las siguientes:

1. Elipsoide. Tiene por ecuacionx2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 1

2. Hiperboloide de una hoja. Tiene por ecuacionx2

a2

+y2

b2

z2

c2

= 1

3. Hiperboloide de dos hojas. Tiene por ecuacion x2

a2 y

2

b2+

z2

c2= 1

4. Paraboloide. Tiene por ecuacionx2

a2+

y2

b2=

z

c

5. Paraboloide hiperbolico. Tiene por ecuacionx2

a2 y

2

b2=

z

c

6. Conos. Tiene por ecuacionx2

a2+

y2

b2=

z2

c2

7. Cilindro circular recto. Cuando una de las variables x, y o z no aparece en la ecuacion de lasuperficie, Entonces la superficie es un Cilindro.

a) Cilindro circular recto con eje en el eje z. Por ejemplo: x2 + y2 = a2 es un cilindro en elespacio ya que falta la variable z. Por lo tanto, la grafica del cilindro se extendera par-alelo al eje z.



47/350

v o os z 43b) Cilindro circular recto con eje en el eje y. Por ejemplo: x2 + z2 = a2.

c) Cilindro parabolico. Considere la ecuacion x2 + y = 0, que corresponde a una parabolaen el plano xy, al variar z se obtiene la superficie.

d) Cilindro elptico con eje en el eje z. Considere la ecuacion de la elipse y2 + 4z2 = 4 en

el plano yz , al recorrer el eje x se obtiene la superficie.

e) Cilindro hiperbolico con eje en el eje z. Considere la ecuacion y2 x2 = 1 que corre-sponde a una hiperbola centrada en el (0, 0) en el plano xy, al recorrer z se obtiene lasuperficie

EJEMPLO 2.39. Halle la ecuacion estandar de la esfera que tiene los puntos (2, 0, 0) y (0, 6, 0)como extremos de un diametro.

SOLUCION.- Como los puntos (2, 0, 0) y (0, 6, 0) son extremos de un diametro, entonces el

punto medio entre los dos es el centro de la esfera. El punto medio entre (2, 0, 0) y (0, 6, 0) es2 + 0

2,

0 + 6

2,

0 + 0

2

= (1, 3, 0).

Y ademas el radio de la esfera es la mitad del di ametro, es decir,

r =1

2

(2 0)2 + (0 6)2 + (0 0)2 = 1

2

40

Por tanto la esfera tiene por ecuacion

(x 1)2 + (y 3)2 + (z 0)2 = 12402

(x 1)2 + (y 3)2 + z2 = 10.

EJEMPLO 2.40. Halle la ecuacion estandar de la esfera que tiene centro el punto (2, 3, 1) y estangente al plano xy.

SOLUCION.- El plano xy tiene por ecuacion z = 0 que es el plano que pasa por el puntop0 = (0, 0, 0) y tiene vector normal N = (0, 0, 1). Luego la distancia del punto q = (2, 3, 1) a esteplano calculado con la formula

D =|(qp0) N|

||N|| =|(2, 3, 1) (0, 0, 1)|

||(0, 0, 1)|| = 1.

es precisamente el radio de la esfera que tiene centro el punto (2 , 3, 1) y es tangente al plano xy,por tanto su ecuacion es:



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49/350


50/350


51/350

v o os z 47SOLUCION.- Observemos que si t = 1, f(1) = (3, 3, 2). Ahora bien, La derivada f(1) es elvector direccion de la recta tangente a la curva f que pasa por el punto f(1). Esta recta es dadapor

(x, y, z ) = f(1) + tf(1).

Escribamos f(t) de la formaf(t) =

t2 + 2, 4t 1, 1 + t1

luegof(t) =

2t, 4, t2

evaluando t = 1 se tienef(1) = (2, 4, 1)

Por tanto la recta que buscamos es

(x, y, z ) = (3, 3, 2) + t(2, 4, 1).

EJEMPLO 3.5. Halle las ecuaciones parametricas de la recta tangente a la curva dada porf(t) = (2 cos(2t), 2 sen(2t), 3t) en t = /2.

SOLUCION.- Observemos que si t = /2,

f(/2) = (2 cos(2/2), 2 sen(2/2), 3/2) = (2 cos(), 2 sen(), 3/2) = (2, 0, (3/2)).Ahora bien, La derivada f(/2) es el vector direccion de la recta tangente a la curva f que pasapor el punto f(/2). Esta recta es dada por

(x,y,z) = f(/2) + tf(/2).

Puesto quef(t) = (2 cos(2t), 2 sen(2t), 3t)

aplicando la regla de la cadena obtenemos

f(t) = (4 sen(2t), 4 cos(2t), 3)evaluando t = /2 se tiene

f(/2) = (4 sen(2/2), 4 cos(2/2), 3) = (4 sen(), 4 cos(), 3) = (0, 4, 3).Por tanto la recta que buscamos es

(x,y,z) = (2, 0, (3/2)) + t(0, 4, 3).igualando componentes obtenemos las ecuaciones parametricas de la recta

x = 2y = 4t

z = (3/2) + 3t.



52/350

v o os z 48EJEMPLO 3.6. Mostrar que todos los vectores tangentes a la helice f(t) = (a cos t, a sen t,bt)

forma un angulo constante con el eje Z y que el coseno de ese angulo esb

a2 + b2. Halle la recta

tangente en t =

4

SOLUCION.- Puesto que f(t) = (a cos t, a sen t,bt) aplicando la regla de la cadena obtenemosf(t) = (a sen t, a cos t, b) evaluando t = s obtenemos los vectores tangentes a la helice f(s) =(a sen s, a cos s, b). El vector direccion del eje Z es (0, 0, 1),Ahora bien, el angulo entre los vectores f(s) y (0, 0, 1) verifica

cos =|f(s) (0, 0, 1)|

||f(s)|| ||(0, 0, 1)|| =|(a sen s, a cos s, b) (0, 0, 1)|

||(a sen s, a cos s, b)|| ||(0, 0, 1)|| =b

a2 + b2

La derivada f(s) es el vector direccion de la recta tangente a la curva f que pasa por el puntof(s). Esta recta es dada por

(x,y,z) = f(s) + tf(s). EJEMPLO 3.7. Mostrar que la curva cuyas ecuaciones parametricas son(et cos(t), et sen(t), et),esta sobre el cono x2 + y2 = z2, por lo tanto la curva se dibuja sobre este cono (observar que zpuede ser positivo y negativo).. Encontrar la ecuacion parametrica de la recta tangente de la curvar(t) = (et cos(t), et sen(t), et), en el punto (1, 0, 1).

SOLUCION.-

r(t) = (et(cos(t) + sen(t)), et(cos(t) sen(t)), et),si t = 0 tenemos el punto (1, 0, 1), por lo tanto el vector tangente es r(0) = (1, 1, 1). Por lotanto la recta tangente es: (1

t,t, 1

t).

EJEMPLO 3.8. Demostrar

d

dx

(t) (t)

= (t) (t)

SOLUCION.- Sea (t) =

1(t), 2(t), 3(t)

(t) (t) =

i j k1(t) 2(t) 3(t)1(t)

2(t)

3(t)

= i

2(t) 3(t)2(t) 3(t)j 1(t) 3(t)1(t) 3(t)

+ k 1(t) 2(t)1(t) 2(t) .

por tanto

(t) (t) = 2(t)3(t) 2(t)3(t), 1(t)3(t) 1(t)3(t), 1(t)2(t) 1(t)2(t) EJEMPLO 3.9. Encontrar la ecuacion de la recta tangente a la curva de interseccion del conox2 + y2 = z2 y el plano x + y + z = 4 en el punto (0, 2, 2).

SOLUCION.-



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v o os z 493.2. Longitud de Curva

EJEMPLO 3.10. Encontrar la longitud de la curva: r(t) = (

2t, et, et) para 0 t 1.

SOLUCION.- Es claro que r(t) = (2, et, et), ademas r(t) = (2)2 + (et)2 + (et)2 =(et + et)2 = et + et, entonces L =

10

||f(t)|| dt = 10

(et + et) dt = e e1.

EJEMPLO 3.11. Halle la longitud de arco de la curva dada por f(t) = (sen(2t), cos(2t),

5t),t [0, /2]

SOLUCION.- La longitud de una curva f(t) desde f(a) hasta f(b) se define como la integralde la rapidez desde a hasta b. Es decir

L = ba

||f(t)|| dt

Un facil calculo muestra que

f(t) = (2 cos(2t), 2 sen(2t),

5)

y de ah que

||f(t)|| =

22 cos2(2t) + (2)2 sen2(2t) + (

5)2 =

22 + 5 =

9 = 3.

Por tanto, la longitud de arco de la curva es

L =

/20

||f(t)|| dt =/20

3 dt =3

2.

EJEMPLO 3.12. Halle la longitud de arco de la curva dada por f(t) = (sen(4t), cos(4t), 3t),t [0, /2]

SOLUCION.- La longitud de una curva f(t) desde f(a) hasta f(b) se define como la integralde la rapidez desde a hasta b. Es decir

L =ba

||f(t)|| dt

Un facil calculo muestra que

f(t) = (4 cos(4t), 4 sen(4t), 3)



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v o os z 50y de ah que

||f(t)|| =

42 cos2(4t) + (4)2 sen2(4t) + (3)2 =

42 + 32 =

25 = 5.


L =/20

||f(t)|| dt =/20

5 dt =5

2.

EJEMPLO 3.13. Halle la longitud de arco de la curva dada por f(t) = (2t + 1, t 4, 3 2t),t [2, 5].

SOLUCION.- La longitud de una curva f(t) desde f(2) hasta f(5) se define como la integralde la rapidez desde 2 hasta 5. Es decir

L =

5

2

||f(t)|| dt

Un facil calculo muestra quef(t) = (2, 1, 2)

y de ah que||f(t)|| =

22 + 12 + (2)2 =

9 = 3.


L =

52

||f(t)|| dt =52

3 dt = 3(5 2) = 9.

EJEMPLO 3.14. Halle la longitud de arco de la curva dada por f(t) = (t 3, 5 2t, 2t + 4),t [3, 7].

SOLUCION.- La longitud de una curva f(t) desde f(3) hasta f(7) se define como la integralde la rapidez desde 3 hasta 7. Es decir

L =

73

||f(t)|| dt

Un facil calculo muestra quef(t) = (1, 2, 2)

y de ah que||f(t)|| =

12 + (2)2 + 22 =

9 = 3.


L =

73

||f(t)|| dt =73

3 dt = 3(7 3) = 12.



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CAPITULO 4

Funciones Vectoriales de Variable

Vectorial

Iniciamos con unos de los conceptos fundamentales del c alculo diferencial e integral en variasvariables cual es el concepto de funcion. Para aclarar ideas consideremos los siguientes ejemplos:

EJEMPLO 4.1. En el mercado de un bien o servicio concreto, se establece que:

La cantidad demandada d depende, al menos, del precio del propio bien x y la rentadisponible de los consumidores x. En otras palabras la cantidad demandada esta en funciondel precio del bien y de la renta disponible de los consumidores. En smbolos escribimos estopor d = f(x, y).

La cantidad ofertada o depende, al menos, del precio del propio bien x y los costes deproduccion z. En otras palabras la cantidad ofertada esta en funcion del precio del bien ylos costes de produccion. En smbolos escribimos esto por o = f(x, z)

DEFINICION 4.1. Sean n y m enteros positivos. Sea D un subconjunto de Rn, se denomina

funcion definida en D y con valores enRm

a toda regla de asignacion f : D Rm

que asociaa cada vector de D un unico vector en Rm. El conjunto D sobre el que se define la funcion sedenomina dominio de la funcion.

Observaciones

Una funcion f : R R se llama una funcion real de variable real.

51


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57/350

v o os z 53SOLUCION.- Sea x el numero de cintas de cassetes de 60 minutos y y el numero de cintas decassetes de 90 minutos, entonces los costos de mano de obra para los dos cassetes seran 3x y 4ybolivianos respectivamente. As que el costo total en bolivianos esta dado por

C(x, y) = Costo de mano de obra + costos fijos

C(x, y) = 3x + 4y + 1200

Por tanto el costo total de producir 10000 cintas de 60 minutos y 8000 cintas de 90 minutos es

C(x, y) = 3x + 4y + 1200 = 3(10000) + 4(8000) + 1200 = 55200.

Si el ingreso total es de bs 60000 y la compana vende los dos tipos de cintas a 6 bs. y 7,50 bscada una, respectivamente, la utilidad mensual como funcion del numero de unidades producidasy vendidas por semanas es

Utilidad total = Ingreso total - Costo total

I(x, y) = 60000 (6x + 7,5y + 1200) = 6x 7, 5y + 58800

EJEMPLO 4.5. Si expresamos el area de un triangulo en funcion de la base y de la altura,tendremos una funcion de dos variables. En efecto, si b es la base del triangulo y h su altura, sesabe que, el area es igual a un medio de la base por la altura, es decir

a =

1

2 bh, aqu b > 0, h > 0.

Luego el area a esta en funcion de la base b y de la altura h, esto se escribe como

a = f(b, h), donde f(b, h) =1

2bh.

Luego tenemos definida la funcion area dado por

f : (0, ) (0, ) R(b, h) f(b, h) = 12bh.

4.1. Dominio y e imagen de una funcion

Sea D subconjunto de Rn. Recordemos que una funcion de D en Rm es una regla de correspondenciatal que a cada punto x de D le corresponde un unico punto en Rm. El conjunto D se llama dominiode la funcion.



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v o os z 54Es usual definir las funciones dando simplemente la regla de correspondencia z = f(x), sin especi-ficar el dominio D. En tal caso se entiende que el dominio viene implcito en la propia formula,y queda determinado por todos aquellos puntos x en Rn para los cuales tiene sentido aplicar laformula que define la funcion. O sea, el dominio esta formado por todos aquellos puntos x en Rn

tales que al sustituirlos en la formula y realizadas las operaciones indicadas se obtiene un puntof(x) en Rm. Es decir, se entiende que el dominio de la funcion f es el mayor subconjunto D de Rn

para el cual su imagen f(x) tiene sentido.

Por ejemplo, si definimos la funcion a = 12xy el dominio sera cualquier subconjunto de R2, en

particular R2 es el dominio mas grande de esta funcion. Ahora bien, si queremos que esta funcionrepresente el area de un triangulo, los valores x e y tienen que ser positivos. Por lo tanto dicharestriccion habra que indicarla junto con la formula, esto es, a = 1

2xy, donde x > 0, y > 0. Si no

se indica ninguna restriccion estamos suponiendo que el dominio es el maximo permitido porla formula. El conocimiento del dominio nos permite saber que puntos pueden sustituirse en laformula y cuales no.

EJEMPLO 4.6. Encontrar y hacer un esquema del dominio de definicion Dom(f) de la funcion

f : R2 R dado por f(x, y) = x2y

y2 9x .

EJEMPLO 4.7. Encontrar y graficar el dominio de definicion Dom(f) de la siguiente funcion

f : R3 R dada por f(x, y, z ) =

y

log

x

2

22 y

2

32+

z2

42

SOLUCION.- El dominio de la funcion f es la interseccion de la region y 0 con la region queesta por fuera del cono siguiente:

X

Y

Z

EJEMPLO 4.8. Dado la funcionf(x, y) =

16 x2 y2 determinar dominio, rango y graficar.

SOLUCION.- Para hallar el dominio es suficiente resolver la desigualdad 16 x2 y2 0, dedonde x2 + y2 16, esto es, el dominio es el disco de centro el origen (0, 0) y radio 4. El rango esel intervalo cerrado [1, 0]. Y finalmente su grafico es dado por:



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v o os z 55

5

0

55

0

5

4

3

2

1

0

4.2. Operaciones con funciones.

Sean Df y Dg subconjuntos de Rn, y f : Df Rm, g : Dg Rm dos funciones, entonces la suma

de f y g es la funcion f + g : Df+g Rm definida por

(f + g)(x) = f(x) + g(x), para todo x en Df+g

dondeDf+g = Df Dg.

La resta de f y g es la funcion f g : Dfg Rm definida por

(f

g)(x) = f(x)

g(x), para todo x en Df

g

dondeDfg = Df Dg.

Sean Df y Dg subconjuntos de Rn, y f : Df R, g : Dg R dos funciones, entonces la

multiplicacion de f y g es la funcion f g : Dfg R definida por

(f g)(x) = f(x)g(x), para todo x en Dfg

dondeDfg = Df Dg.

La Division de f y g es la funcion fg

: Dfg R definida porf

g

(x) =

f(x)

g(x), para todo x en Df

g

dondeD f

g= Df Dg {x : g(x) = 0}.



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CAPITULO 5

Limites y Continuidad

5.1. Limites de funciones

Al calcular el lmite de una funcion en un punto nos interesamos por los valores que toma lafuncion en los alrededores del punto. El lmite de la funcion en un punto va a ser el valor quedebera tomar la funcion en dicho punto, de acuerdo con los valores que toma en los alrededoresdel mismo. Este valor puede coincidir o no con el valor que realmente toma la funcion en el punto

en cuestion. Es decir, el lmite de una funcion en un punto x0 es l si los valores que toma la funcionen los alrededores de x0 estan tan cerca de l como queramos (el valor que la funcion tome en x0no interesa a la hora de calcular el lmite)

Para poder hablar de lmite de una funcion en un punto, la funcion tiene que estar definida en losalrededores del punto. Formalmente la definicion de lmite es la siguiente:

DEFINICION 5.1. Sea f : Dom(f) Rn Rm una funcion y x0 Rn, l Rm. El lmite def en x0 es l (o f(x) tiende a l cuando x tiende a x0 o el lmite de f(x) cuando x tiende a x0 esl) que se escribe

lmxx0

f(x) = l

si para todo > 0 existe = () > 0 tales que

f(B(x0, )) B(f(x0), ).

Observemos que lmxx0 f(x) = l quiere decir que el valor de f en x, f(x), esta arbitrariamentecerca de l cuando x esta suficientemente cerca de x0 pero distinto de x0.

60


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v o os z 61lmx0 x2 + 1 = 1 quiere decir que x2 + 1 esta arbitrariamente cerca de 1 cuando x esta sufi-cientemente cerca de 0. lm(x,y,z)(1,2,3)((x 1)y,yz) = (0, 6) quiere decir que ((x 1)y,yz) estaarbitrariamente cerca de (0, 6) cuando (x, y, z ) esta suficientemente cerca de (1, 2, 3).

EJEMPLO 5.1. Demostrar que lm(x,y)(1,1)

(x + 2y + 3) = 2

SOLUCION.- Supongamos que ||(x, y) (1, 1)|| =

(x 1)2 + (y + 1)2 < , donde (x1)2 +(y + 1)2 < 2, por tanto (x 1)2 < 2 y (y + 1)2 < 2, as |x 1| < y |y + 1| < , lo cual implica

< x 1 < , + 1 < x < + 1

y < y + 1 < , 1 < y < 1, 2 2 < 2y < 2 2

sumando

3 1 < x + 2y < 3 1, 3 < x + 2y + 1 < 3por tanto |x + 2y + 1| = |(x + 2y + 3) 2| < 3.Para cada > 0, es suficiente tomar =

3. Asi, si ||(x, y) (1, 1)|| < , entonces

|x + 2y + 1| = |(x + 2y + 3) 2| < 3 = 3 3

=

EJEMPLO 5.2. Mediante definicion, demostrar que lm(x,y)(1,2)

(2x + 3y) = 8.

SOLUCION.- Tomemos > 0, debemos demostrar que existe > 0 tal que

|2x + 3y 8| < siempre que ||(

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