Chapter4 Continous Distribution

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  • 8/18/2019 Chapter4 Continous Distribution

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    Continuous Probability

    Distributions

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    Continuous Random Variables and

    Probability Distributions

    • Random Variable: Y 

    • Cumulative Distribution Function (CDF): F (y )=P(Y ≤y )

    • Probability Density Function (pdf): f (y )=dF (y )dy 

    • Rules !overnin! continuous distributions:

      f (y ) " # ∀ y 

     

    P(a≤Y ≤b) = F (b)$F (a) =

    P(Y =a) = # ∀ a

    ∫ b

    ady y f   )(

    1)(   =∫ ∞

    ∞−dy y f  

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    %&pected Values of Continuous RVs

    [ ]

    [ ]

    ( )[ ] [ ]

    [ ]

    [ ]   ( )[ ]   ( )

    σ σ 

    σ  µ  µ 

     µ 

     µ  µ 

     µ  µ  µ  µ 

     µ  µ  µ  µ 

     µ σ 

     µ 

    a

    aY V ady y f   yady y f  aay

    dy y f  babaybaY  E baY  E baY V 

    baba

    dy y f  bdy y yf  ady y f  baybaY  E 

    Y  E Y  E 

    dy y f  dy y yf  dy y f   ydy y f   y y

    dy y f   yY  E Y  E Y V 

    dy y f   y g Y  g  E 

    dy y yf  Y  E 

    baY    =

    ==−=−=

    =+−+=+−+=++=+=

    =+=+=+

    −=+−=

    =+−=+−=

    =−=−==

    ===

    +

    ∞−

    ∞−

    ∞−

    ∞−

    ∞−

    ∞−

    ∞∞−

    ∞∞−

    ∞∞−

    ∞∞−

    ∞−

    ∞−

    ∞−

    ∫ ∫ ∫ 

    ∫ ∫ ∫ 

    ∫ ∫ ∫ ∫ 

    ∫ ∫ 

    ∫ 

    222222

    22

    2222

    2222

    222

    )()()()()(

    )()()()()(

    )1()(

    )()()()(

    )1()(2

    )()(2)()(2

    )()())(()(:Variance

    )()()(

    e)convergencabsolute(assuming )()(:ValueExpected

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    'niform Distribution

    • 'sed to model random variables tat tend to occurevenly* over a ran!e of values

    • Probability of any interval of values proportional to its+idt

    • 'sed to !enerate (simulate) random variables fromvirtually any distribution

    • 'sed as non$informative prior* in many ,ayesiananalyses

    ≤≤−=

    elsewhere 0

    1

    )(

    b yaab

     y f  

    >

    ≤≤−−

    <

    =

    b y

    b yaab

    a y

    a y

     y F 

    1

    0

    )(

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    'niform Distribution $ %&pectations

    ( )

    ( )   [ ]

    )(28870

    1212

    )(

    12

    )(

    12

    2

    12

    )2(!)("

    2!

    )()()(

    !

    )(

    )(!

    ))((

    )(!!

    11

    2)(2))((

    )(2211)(

    2

    2222222

    22222

    22

    22!!!22

    222

    ababab

    ababbaabababba

    ababbaY  E Y  E Y V 

    abba

    ab

    abbaab

    ab

    ab y

    abdy

    ab yY  E 

    abab

    abababab y

    abdy

    ab yY  E 

    b

    a

    b

    a

    b

    a

    b

    a

    −≈−

    =−

    =⇒

    −=

    −+=

    ++−++=

    =

      +−++

    =−=⇒

    ++=

    =−

    ++−=

    −−

    =   

      

    −= 

      

      

    −=

    +=− +−=−−=      −=      −=

    ∫ 

    ∫ 

    σ 

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    %&ponential Distribution

    • Ri!t$-.e+ed distribution +it ma&imum at y =#

    • Random variable can only ta.e on positive values

    • 'sed to model inter$arrival timesdistances for a

    Poisson process

    >

    =

    elsewhere0

    01

    )(

    #  ye

     y f  

     y   θ 

    θ 

    ( ) 011

    1

    11)( 0

    00>−=−−−= 

     

     

     

     

    ==   −−−−−∫    yeeeedt e y F    y y y

    t t  y

    θ θ θ θ 

    θ θ θ 

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    %&ponential Density Functions (pdf)

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    %&ponential Cumulative Distribution Functions (CDF)

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    /amma Function

    )()(

    :$etting :integralhe%onsider t

    )&1()(integer'anisi that ote

    *ropert+)(,ecursive )()0(0

    )1(

    :*arts b+g-ntegratin )1(

    )(

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    01

    0

    1

    0

    1

    00

    1

    0

    0

    1

    α β β β β 

    β β 

    β 

    α α α 

    α α α 

    α α 

    α 

    α 

    α 

    α α α α β α 

    β α 

    α 

    α α α 

    α α 

    α 

    α 

    Γ ===⇒

    =⇒=⇒=

    −=Γ 

    Γ =+−−−=

    =+−=−==+Γ ⇒

    −=⇒=

    =⇒==+Γ 

    =Γ 

    ∫ ∫ ∫ 

    ∫ 

    ∫ ∫ ∫ ∫ 

    ∫ 

    ∫ 

    ∞ −−∞ −−∞ −−

    ∞−−

    ∞ −−

    ∞ −−∞−∞ −

    −−

    ∞−

    ∞ −−

    dxe xdxe xdye y

    dxdy x y

     y xdye y

    dye y

    dye ye yvduuvdye y

    evdyedv

    dy ydu yu

    dye y

    dye y

     x x y

     y

     y

     y y y

     y y

     y

     y

    %0C%1 Function: =%0P(/233214(α))

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    %&ponential Distribution $ %&pectations

    ( )

    ( )   [ ]θ σ 

    θ θ θ 

    θ θ θ θ 

    θ θ 

    θ θ θ θ 

    θ θ 

    θ θ θ 

    θ θ θ 

    =⇒=−=−=⇒

    =−=Γ=

    ===   

      =

    =−=Γ=

    ===   

      =

    ∫ ∫ ∫ 

    ∫ ∫ ∫ 

    ∞ −−∞ −∞ −

    ∞ −−∞ −∞ −

    22222

    22!

    0

    1!

    0

    2

    0

    22

    2

    0

    12

    00

    )(2)()(

    2)&1!()!(1

    11

    )&12()2(1

    11)(

    Y  E Y  E Y V 

    dye ydye ydye yY  E 

    dye ydy yedye yY  E 

     y y y

     y y y

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    %&ponential Distribution $ 3/F

    ( )

    [ ]  2222

    !2!

    22

    1

    ..

    0

    .

    .

    .

    0

    .

    0

    1

    0

    1

    0

    2)0(/)0(//)(

    )0(/)(

    )1(2)()1(2)(//

    )1()()1(1)(/

    )1(1

    1)10(111)(

    1 where

    11

    11

    )(

    θ θ θ 

    θ 

    θ θ θ θ θ 

    θ θ θ θ 

    θ θ θ 

    θ θ θ 

    θ θ 

    θ 

    θ θ 

    θ θ 

    θ θ 

    θ 

    θ θ 

    θ 

    θ θ 

    =−=−=⇒

    ==⇒

    −=−−−=

    −=−−−=

    −=−

    ==−−=   

      

    −=⇒

    −===

    =   

      

    ==

    −−

    −−

    −∞−

    ∞ −∞   

      

        −−

    ∞      

       −−∞ −

    ∫ ∫ ∫ ∫ 

     M  M Y V 

     M Y  E 

    t t t  M 

    t t t  M 

    t t 

    et  M 

    t dyedye

    dyedyeee E t  M 

     y

     y

    t  y

    t  y ytytY 

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    %&ponentialPoisson Connection

    •Consider a Poisson process +it random variable X  bein!te number of occurences of an event in a fi&ed timespace

     X (t)5Poisson(λt)• 1et Y  be te distance in timespace bet+een t+o suc

    events

    • 6en if Y  7 y, no events ave occurred in te space of y 

    λ θ θ λ 

    λ    λ λ 

    θ 

    1meanwithlExponentiaare*rocess*oissonindistancesarrivals-nter  1

    &0)()0)(( :+*robabilit*oisson

    )( :urvivallExponentia

    0

    ==⇒

    ===

    =>

     y

     y

     y

    e ye y X  P 

    e yY  P 

  • 8/18/2019 Chapter4 Continous Distribution

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    /amma Distribution

    •Family of Ri!t$-.e+ed Distributions• Random Variable can ta.e on positive values only

    • 'sed to model many biolo!ical and economic caracteristics

    • Can ta.e on many different sapes to matc empirical data

    >>Γ

    =

    −−

    otherwise 0

    0''0)(

    1

    )(

    1 β α β α 

    β α 

    α   ye y

     y f  

     y

    Obtaining Probabilities in EXCEL:

    To obtain: F(y)=P(Y≤y) Use Function: =G!!"#$T(y%  β

    %&)

  • 8/18/2019 Chapter4 Continous Distribution

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    /amma%&ponential Densities (pdf)

  • 8/18/2019 Chapter4 Continous Distribution

    15/30

    /amma Distribution $ %&pectations

    ( )

    ( )   [ ]

    α β σ 

    αβ β α αβ β α αβ αβ α 

    αβ α α 

    β α α α 

    α 

    β α α α 

    β α β α 

    β α β α 

    β α β α 

    αβ 

    α 

    β α α 

    α 

    β α β α 

    β α β α 

    β α β α 

    α 

    α 

    β α 

    α 

    β α 

    α 

    β α 

    α 

    α 

    α 

    β α 

    α 

    β α 

    α 

    β α 

    α 

    =⇒

    =−+=−+=−=⇒

    +=Γ

    Γ+=

    Γ+Γ+

    =

    +Γ=+Γ

    Γ=

    Γ=

    =   

      

     Γ

    =

    Γ=

    +Γ=+Γ

    Γ=

    Γ=

    =Γ=   

     

     

     

    Γ=

    +∞ −−+

    ∞ −+∞ −−

    +∞ −−+

    ∞ −∞ −−

    ∫ 

    ∫ ∫ 

    ∫ ∫ ∫ 

    222222222

    22

    22

    0

    1)2(

    0

    1

    0

    122

    1

    0

    1)1(

    00

    1

    )()1()()(

    )1()(

    )()1(

    )(

    )1()1(

    )(

    )2()2(

    )(

    1

    )(

    1

    )(

    1

    )(

    1

    )(

    )(

    )(

    )1()1(

    )(

    1

    )(

    1

    )(

    1

    )(

    1)(

    Y  E Y  E Y V 

    dye y

    dye ydye y yY  E 

    dye y

    dye ydye y yY  E 

     y

     y y

     y

     y y

  • 8/18/2019 Chapter4 Continous Distribution

    16/30

    /amma Distribution $ 3/F

    ( )

    ( )

    [ ]2222

    222

    11

    .

    .

    0

    .1

    0

    1

    1

    0

    1

    1

    0

    1

    )()1()0(/)0(//)(

    )0(/)(

    )1()1()()1()1()(//

    )1()()1()(/

    )1()()(

    1)(

    1 where 

    )(

    1

    )(

    1

    )(

    1

    )(

    1)(

    αβ αβ β α α 

    αβ 

    β β α α β β αβ α 

    β αβ β β α 

    β β α β α 

    β 

    β β 

    β α 

    β α β α 

    β α 

    α α 

    α α 

    α α 

    α 

    β α 

    α 

    β 

    β 

    α 

    α 

    β α 

    α 

    β α 

    α 

    =−+=−=⇒

    ==⇒

    −+=−−−−= −=−−−=

    −=ΓΓ

    =⇒

    −=

    Γ=

    Γ=

    Γ=

    =   

      

     Γ

    ==

    −−−−

    −−−−

    ∞ −−

    ∞      

      

       −−

    −∞      

      

     −−

    ∞ −−

    ∫ 

    ∫ ∫ 

    ∫ 

     M  M Y V 

     M Y  E 

    t t t  M 

    t t t  M 

    t t  M 

    t dye y

    dye ydye y

    dye yee E t  M 

     y

    t  yt  y

     ytytY 

  • 8/18/2019 Chapter4 Continous Distribution

    17/30

    /amma Distribution 8 -pecial Cases

    • %&ponential Distribution 8 α=1

    • Ci$-9uare Distribution 8 α=ν/2, β=2 ( ν inte!er)

     8 %(;)= ν  V(;)=

  • 8/18/2019 Chapter4 Continous Distribution

    18/30

    4ormal (/aussian) Distribution

    • ,ell$saped distribution +it tendency for individuals toclump around te !roup medianmean

    • 'sed to model many biolo!ical penomena

    • 3any esti'ators ave appro&imate normal samplin!

    distributions (see Central 1imit 6eorem)

    0''2

    1

    )(

    2

    2)(

    2

    1

    2 >∞

  • 8/18/2019 Chapter4 Continous Distribution

    19/30

    4ormal Distribution 8 Density Functions (pdf)

  • 8/18/2019 Chapter4 Continous Distribution

    20/30

    4ormal Distribution 8 4ormali>in! Constant

    ( )

    ( ) ( )

    222

    2

    2

    0

    2

    0

    2

    0

    2

    00

    2

    1

    222

    0 0

    2

    12

    0 0

    sincos2

    1

    212

    12

    2121

    212

    1

    22

    12

    2

    222

    )(

    2

    )(

    222

    2))1(0(

    )1sin(cos

     and )2'04)''0(:domains withsin'cos

     :5rdinates%o*olarto%hanging

    1 :variables%hanging

    )orsolvewant to(we :integralhe%onsider t

    2

    222222

    21

    2

    2

    2

    1

    22

    21

    22

    2

    2

    2

    2

    πσ πσ π σ 

    π θ θ θ θ 

    θ θ θ θ 

    σ 

    θ π θ θ θ 

    σ 

    σ σ 

    σ σ σ 

     µ 

    π π π π 

    π π    θ θ 

    σ 

     µ 

    σ 

     µ 

    =⇒=⇒= 

     

     

     

     ⇒

    ===−−−=−=

    =+===  

      

     

    =∈∞∈==

    ==     ⇒

    =⇒==⇒

    =⇒=⇒−=

    =

    ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 

    ∫ ∫ ∫ ∫ 

    ∫ ∫ ∫ 

    ∫ 

    =

    ∞   −∞   +−∞

    ∞−

    ∞−

    +−

    ∞−

    ∞−

    +−∞

    ∞−

    −∞

    ∞−

    ∞−

    −∞

    ∞−

    −∞

    ∞−

    −−

    ∞−

    −−

    k k k 

    d d d e

    rdrd erdrd edz dz ek 

    rdrd dz dz r r  z r  z 

    dz dz edz edz ek 

    dz ek 

    dz edyek 

    dz dydy

    dz  y z 

    k k dye

    r r  z  z 

     z  z  z  z 

     z  z  y

     y

  • 8/18/2019 Chapter4 Continous Distribution

    21/30

    ?btainin! Value of Γ(1/2)

    ( )

    π π 

    π 

    π 

    =  

      

     ==

    =   

      =  

      

      = 

      

      Γ ⇒

    =⇒=

    =     Γ 

       

      =⇒

    =

    ∫ ∫ 

    ∫ ∫ 

    ∫ ∫ 

    ∞ −

    ∞ −∞ −−

    −−

    −−

    ∞ −

    ∞−

    2

    2

    122

    12

    22

    1

    2 :Variables%hanging

     2

    1 :%onsider  ow'

    22

    12:getweslide'*revious6rom

    0

    2

    0

    2

    0

    2212

    2

    0

    21

    0

    121

    0

    2

    2

    2

    22

    2

    2

    dz e

     zdz e z 

     zdz e z 

     zdz du z 

    u

    dueudueu

    dz e

    dz e

     z 

     z  z 

    uu

     z 

     z 

  • 8/18/2019 Chapter4 Continous Distribution

    22/30

    4ormal Distribution $ %&pectations

    ( )

    ( )

    ( )   [ ]( )

    222

    2

    222

    2!

    2#!2!0

    212!

    0

    2

    0

    2

    1

    2

    1

    0

    2

    2

    2

    1

    0

    22

    1

    22

    2

    1

    2

    1

    2

    1

    2

    1

    )1()()()(

    )0()()()(

      then'3- : ote

    1101)()(

    122

    2221

    21

    212

    2!

    21

    21

    2

    1

    2

    2

    2

    2

    2

    12

    2

    1 2 :Variables%hanging

    2

    12

    2

    1

    0)0(02

    1

    2

    1

    2

    1)(

    2

    1)()1'0(3

    22

    22

    222

    2

    σ σ σ σ  µ 

     µ σ  µ σ  µ σ  µ 

    σ  µ σ  µ 

    σ 

    π π 

    π π π 

    π π π 

    π π 

    π π π 

    π 

    ===+=⇒

    =+=+=+=⇒+=

    =⇒=−=−=⇒

    ==     Γ      =     Γ ==

    =   

      == 

     

      

     ⇒

    =⇒=⇒=

      

      

     =   

      

     =

    =−−−=   

      

     −==  

     

      

     =

    =⇒

    ∫ 

    ∫ ∫ ∫ 

    ∫ ∫ 

    ∫ ∫ 

    ∞−−

    ∞ −∞   −−∞

    −∞∞

    ∞−

    ∞−

    −−∞

    ∞−

    ∞−

     Z V  Z V Y V 

     Z  E  Z  E Y  E 

     Z Y  N Y 

     Z  E  Z  E  Z V 

    dueu

    dueu zdz  zedz e z 

     zdz du zdz du z u

    dz e z dz e z  Z  E 

    edz e z dz e z  Z  E 

    e z  f   N  Z 

    u

    u z  z 

     z  z 

     z  z  z 

     z 

  • 8/18/2019 Chapter4 Continous Distribution

    23/30

    4ormal Distribution $ 3/F( )   ( )

    ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    [ ]   ( )

    ( )   [ ]

    ( )

    ( )

    +=

      +

    =⇒

    +

       

      

        +−−

      +

    =

    =

    +

    +   

      

        +−−=

    =

      ++++−++−=

    =

      +

    ++

    −−+

    +−=⇒

    ++=+

    −++−=

    =

    +−+−=   

      

     

      −

    −==

    ∫ 

    ∫ 

    ∫ 

    ∫ 

    ∫ 

    ∫ ∫ 

    ∞−

    ∞−

    ∞−

    ∞−

    ∞−

    ∞−

    ∞−

    2

    exp

    2

    2exp)(

    '3 :,Vnormalao densit+over thegintegratinisitsince1' beingintegrallasthe

    )(

    2

    1exp

    2

    1

    2

    2exp

    2

    2)(

    2

    1exp

    2

    1

    2

    2

    2

    2)(

    2exp

    2

    1

    2

    2

    2

    2

    2

    )(

    2exp

    2

    1)(

    2)( :suarethe%ompleting

     2

    )(2

    exp2

    1

    22exp

    2

    1

    2

    1exp

    2

    1)(

    22

    2

    222

    22

    2

    22

    22

    222

    2

    222

    2

    22

    2

    2

    222

    2

    2222

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    222

    2

    222

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    222222

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    22

    2

    22

    2

    2

    σ  µ 

    σ 

    σ σ  µ 

    σ σ  µ 

    σ 

    σ  µ 

    πσ σ 

    σ σ  µ 

    σ 

    σ σ  µ 

    σ 

    σ  µ 

    πσ 

    σ 

    σ σ  µ 

    σ 

    σ σ  µ  µ 

    σ 

    σ  µ 

    σ πσ 

    σ 

    σ σ  µ 

    σ 

    σ σ  µ 

    σ 

     µ 

    σ 

    σ  µ 

    σ πσ 

    σ σ  µ  µ σ  µ 

    σ  µ 

    σ σ  µ 

    σ πσ 

    σ 

     µ 

    σ 

     µ 

    σ πσ σ 

     µ 

    πσ 

    t t 

    t t t  M 

    t  N Y 

    dyt  yt t 

    dyt t t  y

    dyt t t t t  y y

    dyt t t t t  y y

    t  M 

    t t t 

    dyt  y y

    dyty y y

    dy y

    ee E t  M    tytY 

  • 8/18/2019 Chapter4 Continous Distribution

    24/30

    4ormal(#@) 8 Distribution of A<

    ( )

    2

    1

    2

    2121

    21

    0

    21

    21

    2

    1

    0

    21

    2

    2

    0

    21

    2

    0

    2

    21

    21

    2

    3

    )21()21(2

    2

    21

    2

    2

    1

    2

    1

    2

    1

    2

    12)(

    2

    1 and :Variables%hanging

    2

    2

    2

    2

    1

    2

    1)(

    2

    22

    2222

    2

     χ 

    π 

    π 

    π 

    π π 

    π π 

    π π 

     Z 

    t t t 

    dueuduu

    et  M 

    duu

    dz u z  z u

    dz edz e

    dz edz eee E t  M 

    t u

    t u

     Z 

    t  z 

    t  z 

    t  z  z tz tZ 

     Z 

    −=−=   

      

    −   

      Γ=

    ===⇒

    ==⇒=

    ==

    ==   

      ==

    −−

    ∞      

      

    −−−∞    

      

      

    −−

    ∞      

      

    −−∞    

      

        −−

    ∞−

          −−∞

    ∞−

    ∫ ∫ 

    ∫ ∫ 

    ∫ ∫ 

  • 8/18/2019 Chapter4 Continous Distribution

    25/30

    ,eta Distribution

    • 'sed to model probabilities (can be !enerali>ed toany finite@ positive ran!e)

    • Parameters allo+ a +ide ran!e of sapes to model

    empirical data

    >

  • 8/18/2019 Chapter4 Continous Distribution

    26/30

    ,eta Density Functions (pdf)

  • 8/18/2019 Chapter4 Continous Distribution

    27/30

    Beibull Distribution

    ( )

    ( )

    ( )   [ ]  

       

      

     +Γ −  

     

      

     +Γ =−=⇒

       

      

     +Γ ===

       

      

     −=⇒

       

      

     +Γ ===

       

      

     −=⇒

    ==⇒=

       

      

     −=

    >

       

      

     −=

       

      

     −−−==

    >>

       

      

     −−

    ≤=

    ∫ ∫ ∫ 

    ∫ ∫ ∫ 

    ∫ 

    ∞ −∞ −∞ −

    ∞ −∞ −∞ −

    ∞ −

    −−

    β β α 

    β α α α 

    α α 

    β 

    β α α α 

    α α 

    β 

    α α 

    β 

    α 

    α α 

    β 

    α α 

    β 

    α α 

    β 

    β α α 

    β 

    β β β β β 

    β 

    β β β β β 

    β 

    β β β 

    β β 

    β β 

    β β 

    β 

    11

    21)()(

    21)(exp

    11)(exp)(

    )( and :variables%hanging

    exp)(

    0orexpexp)(

    )(

    )0'(0exp1

    00

    )(

    2222

    2

    0

    22

    0

    2

    0

    122

    1

    0

    11

    0

    1

    0

    1

    11

    0

    1

    11

    Y  E Y  E Y V 

    dueudueudy y

     y yY  E 

    dueudueudy y

     y yY  E 

    u ydy y

    du y

    u

    dy y

     y yY  E 

     y y

     y y

     ydy

     ydF  y f  

     y y

     y

     y F 

    uu

    uu

    4ote: 6e %0C%1 function B%,'11(y@α∗,β∗) uses parameteri>ation: α=β, β∗=αβ

  • 8/18/2019 Chapter4 Continous Distribution

    28/30

    Beibull Density Functions (pdf)

  • 8/18/2019 Chapter4 Continous Distribution

    29/30

    1o!normal Distribution

    ( )

    ( )   ( )   ( )

    ( ) ( )( )   ( )  ( )   ( )

    ( )   [ ]   ( )22

    2

    2

    2

    2222

    222

    .

    .22.2

    222

    .

    .

    2.

    log

    2

    1

    22

    )()(

    2

    2

    )2(exp)2(

    2

    1)1(exp)1()(

    '3)ln( : ote

    otherwise 0

    0''0

    2

    1

    )(

    σ  µ σ  µ 

    σ  µ 

    σ  µ 

    σ 

     µ 

    σ  µ 

    σ  µ 

    σ  µ 

    σ  µ 

    σ π 

    ++

    +

    +

       

         −−

    −=−=⇒

    =   

      

     +=====

    =   

      

     +====

    =

    >∞

  • 8/18/2019 Chapter4 Continous Distribution

    30/30

    1o!normal pdfEs