Chapter 9
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Chapter 9 통계역학 (Statistical Mechanics)
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9.1 통계적 분포
9.2 Maxwell-Boltzmann 통계
9.3 이상 기체에서의 분자의 에너지
9.4 양자 통계
9.5 레일리 - 진스 공식
9.6 플랑크의 복사 법칙
9.7 아인슈타인의 접근법
9.8 고체의 비열
9.9 금속내의 자유전자
9.10 전자 - 에너지 분포게 성운 (Crab Nebula) 은 AD 1054 년에 관측되었던 초신성의 폭발 결과이다 . 이 폭발은 완전히 중성자만으로 이루어진 별을 남겨 놓았다고 믿어지고 있다 . 중성자별을 이해하기 위해서는 통계역학이 필요하다 .
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9.1 통계적 분포 세 가지의 다른 종류가 있다 .
통계 역학 절대온도 T 에서 열적 평형을 이루고 있는 N 의 입자들로 구성된 계의 총
에너지 E 가 이들 구성 입자들에 어떻게 배분되어지는지에 대한 배분 방법들 중 가장 그
확률이 높은 배분 방법을 결정해내는 일이다 .
통계 역학의 기본적인 전제는 허용되는 모든 가능한 상태들에 입자들이 배분되어서 한
특정한 에너지 분포를 이룰 수 있는 배분 방법들의 수인 W 가 크면 클수록 이런 분포가 될
가능성이 높아진다는 것이다 . 입자들이 에너지가 같은 상태들 사이에는 똑같은 확률로
존재할 수 있다고 가정한다 .
통계 역학에서의 첫 번째 단계는 고려하는 입자들의 종류의 각각에 따라서 W 의 일반적인
표현 방법을 찾아내는 단계이다 . 계가 열적 평형에 있다는 것에 상당하는 가장 확률이 높은
분포는 계를 이루는 입자의 수 N 이 고정되고 ( 광자나 음파의 양자화인 포논 (phonon) 은
제외 ), 또 계의 총 에너지 E 가 고정되어 있다는 조건 하에서 W 가 최대화하는 분포이다 .
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9.1 통계적 분포 세 가지의 다른 종류가 있다 .
에너지의 분포가 불연속적이지 않고 연속적이라면 g(ε) 은 g(ε)dε 으로 바뀌어진다 .
g(ε)dε 은 에너지를 ε 과 ε+dε 사이를 가지는 상태들의 수를 나타낸다 .
fgn 에너지 ε 을 가지는 입자의 수
여기서 g(ε) = 에너지 ε 을 가지는 상태들의 수
= 에너지 ε 에 해당하는 통계적 가중치
f(ε) = 에너지 ε 을 가지는 상태에 존재하는 입자들의 평균 개수
= 에너지 ε 을 가지는 상태에의 점유 (occupancy) 확률
(9.1)
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9.1 통계적 분포 세 가지의 다른 종류가 있다 .
세 가지 다른 종류의 입자들의 계를 고려하겠다 .
1. 충분히 멀리 떨어져 있어서 구별 가능한 동일 입자들구별 가능한 동일 입자들 , 예를 들어 기체내의 분자들이다 .
양자 역학적 용어로 말하면 입자들의 파동함수의 중첩이 무시될 수 있을 만큼 적은 경우이다 .
이 런 입 자 들 에 는 막 스 웰 - 볼 츠 말 분 포 함 수 (Maxwell-Boltzmann distribution (Maxwell-Boltzmann distribution
function)function) 가 적용된다 .
2. 파동함수가 중첩되어 구별이 불가능하고 스핀이구별이 불가능하고 스핀이 0 0 이거나 정수인 동일 입자들이다이거나 정수인 동일 입자들이다 . 제
7 장에서 보존보존 (boson(boson) 이라 불렀던 이러한 입자들은 배타 원리를 따르지 않으며 , 보즈 -
아인슈타인 분포함수 (Bose-Einstein distribution function)(Bose-Einstein distribution function) 를 따른다 . 광자가
이러한 유형에 해당되며 , 흑체 복사의 스펙트럼을 설명하기 위해 보즈 - 아인슈타인 통계를
사용할 것이다 .
3. 구별 불가능하고 스핀이 구별 불가능하고 스핀이 1/21/2 의 홀수배의 홀수배 ( 1/2, 3/2, 5/2, ……) ( 1/2, 3/2, 5/2, ……) 인 동일 입자들이다인 동일 입자들이다 .
페르미온 (fermion) 이라 불리는 이러한 입자들은 배타 원리를 지켜야 하며 페르미 - 디락
분포함수 (Fermi-Dirac distribution function)(Fermi-Dirac distribution function) 를 따른다 . 전자가 이러한 유형에
속하며 , 전기 전도도를 설명해주는 금속내의 자유전자들의 행동을 공부하기 위해 페르미 -
디락 통계를 이용하겠다 .
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9.2 막스웰 - 볼츠만 (Maxwell-Boltzmann) 통계 기체 분자와 같은 고전적 입자들이 여기에 따른다 .
절대 온도 T 에 있는 입자계에서 , 에너지 ε 인 상태에 들어갈 수 있는 평균 입자수 fMB(ε) 은 막스웰 - 볼츠만 분포함수로부터 알 수 있다 .
막스웰 - 볼츠만 (Maxwell-Boltzmann) 분포함수
A 의 값은 계 안에 있는 입자의 수와 관계되며 파동함수의 규격화 상수와 비슷한 역할을 한다 . 아는 바와 같이 , k 는 Boltzmann 상수이며 , 그 값은
Boltzmann 상수
식 (9.1) 과 (9.2) 를 결합하면 , 온도 T 를 갖는 구별 가능한 동일한 입자들의 집합에서 에너지 ε 을 가지는 입자의 수 n(ε) 은 다음과 같이 된다 .
막스웰 - 볼츠만 (Maxwell-Boltzmann)
K/eV10617.8K/J10381.1k 523
kT/e)(Ag)(n
kT/MB eA)(f (9.2)
(9.3)
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[ 예제 9.1] 0℃, 1 기압 , 수소원자가 개 들어 있다 . 첫 번째
들뜬 상태 (n=2) 에 있는 원자들의 수를 0℃ 와 10000℃ 에서 각각 구하라 .
(a)
10188개의 원자당 1 개의 원자가 들뜬상태로 감 즉 모두 바닥상태에 있음
(b)
들뜬원자의 수가 1021개이므로 아주 작지만 그래도 상당히 큰 수임 .
325 /107.2 m
K2730 CT
kTeAgn
kT
1
2
1
2 12eg
g
n
n
8
2
2
1
g
g
188434
1
25
12 103.12
8434
27310617.8
6.134
16.13
e
n
n
kT
55.11
1
212
4
100.4e2
8
n
n5.11
kT
K273,10C10T
321255 m/10107.2100.4
9.2 막스웰 - 볼츠만 (Maxwell-Boltzmann) 통계 기체 분자와 같은 고전적 입자들이 여기에 따른다 .
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9.3 이상기체에서의 분자의 에너지 평균값 3/2kT 를 중심으로 변한다 .
이제 이상기체 분자들 사이의 에너지 분포를 알아내는데 막스웰 - 볼츠만 (Maxwell-
Boltzmann) 통계를 적용해 보기로 하자 . 기체 분자의 병진 운동에서는 에너지의 양자화가
뚜렷하지 않고 , 시료내의 분자의 총 수 N 은 일반적으로 매우 크다 . 그러므로 분자의
에너지가 ε1, ε2, ε3, …… 와 같이 불연속이지 않고 연속적인 분포를 갖는다고 생각하는 것이
타당하다 . 에너지가 ε 과 ε+dε 사이에 있는 분자의 수를 n(ε)dε 이라 하면 식 (9.1) 을
다음과 같이 다시 쓸 수 있다 .
ε 과 ε+dε 사이 에너지를 갖는 분자 개수
deAg]f][dg[dn kT
먼저 ε 과 ε+dε 사이의 에너지를 갖는 상태들의 수 g(ε)dε 을 알아보자 . 이것은
간접적인 방법이기는 하지만 다음과 같은 방법으로 얻는 것이 가장 쉽다 . 에너지가 ε 인
분자가 크기 р 인 선운동량 р 를 가지고 있으면
m
pmv
22
1 22 2222 zyx pppmp mp 22
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9.3 이상기체에서의 분자의 에너지 평균값 3/2kT 를 중심으로 변한다 .
( 같은 운동량의 크기 р 를 주는 ) рx, рy, рz 의 모든 조합은 ( 같은 에너지 ε 에서의 ) 각각
다른 운동 상태들을 나타낸다 . 그림 9.1 과 같이 좌표축이 рx, рy, рz 인 운동량 공간
(momentum space) 을 생각하자 . 운동량의 크기가 р 와 р+dр 사이에 있는 상태들의
수 g(р)dр 는 운동량 공간에서 반지름이 p 이고 두께가 dр 인 공 껍질 (spherical
shell) 의 체적 에 비례한다 .
그러므로 운동량 상태 수는
dpp24
dpBpdp)p(g 2
각각의 운동량의 크기 운동량의 크기 рр 는 하나의 에너지 는 하나의 에너지 εε 에 각각 에 각각
대응하므로대응하므로 , ε 과 ε+dε 사이의 에너지 상태들의
수 는 р+dр 사 이 에 서 의 운 동량 상 태 들 의 수
g(р)dр 와 같다 .
따라서 ,
dpBpd)(g 2
(B 는 상수이다 .)
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9.3 이상기체에서의 분자의 에너지 평균값 3/2kT 를 중심으로 변한다 .
dBm2d)(g 23
m2
dm
p
dmdp
dm2dpp2
m2p2
규격화
이므로
deCdeAgdn kTkT
23ABm2C
분자 에너지 분포
0
kT
0deCdnN
aadxex ax
2
10
23
23
kT
N2C
kT2
C
N
de
kT
N2d)(n kT/
23
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9.3 이상기체에서의 분자의 에너지 분자의 평균 에너지
dekT
N2dnE kT
0
23230
NkT
2
3kTkT
4
3
kT
N2E 2
23
aadxex ax
20
23
4
3
분자 평균 에너지
기체 분자 N 개의 총 에너지
kT2
3
N
E
실온에서 의 값은 약 0.004eV, 즉 1/25 eV 이다 .
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9.3 이상기체에서의 분자의 에너지 분자 속력분포
RMS 속도
분자의 속도분포
de
kT
N2dn kT
23
dvmvd,mv2
1 2
dvevkT2
mN4dvvn kT2mv2
232
kTvm2
3
2
1 2
m
kT3vv 2
rms
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[ 예제 9.3] 이상기체 분자의 rms 속력이 평균 속력 보다 9퍼센트 정도 더 큰 것을 증명하라.
223
0
kT2mv323
m
kT2
2
1
kT2
m4
dvevkT2
m4
dvvvnN
1v
2
2ax
0
3
a2
1dxex
2
m
kTv
8
09.18
3
kT8
m
m
kT3vv
21
rms
9.3 이상기체에서의 분자의 에너지 분자 속력분포
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9.3 이상기체에서의 분자의 에너지 분자 속력분포
최빈 속력
0kT
mv2ev
kT2
mN4
kT
mvevev2
kT2
mN4
v
)v(n
2kT2
mv2
3
kT2
mv2kT2
mv2
3
2
22
0kT
mv2,0v
2
m
kT2vp
기체에서 분자의 속력은 vp 의 양쪽에서 비교적 크게
변한다 . 최빈 속력은 온도가 높아짐에 따라 커지고
분자량이 늘어남에 따라 감소한다 . 따라서 , 73K 의
산소의 속력은 273K 의산소보다 전체적으로 작으며 ,
273K 에서 수소의 속력은산소보다 전체적으로 크다 .
물론 , 273K 에 서 의 평 균 분 자 에 너 지 는 수 소 와
산소에서 동일하다 .
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[ 예제 9.4] 0℃ 산소 분자의 rms 속력을 구하라.
9.3 이상기체에서의 분자의 에너지 분자 속력분포
kg1031.5
)u/kg1066.1)(u0.32(m26
27
s/m4611031.5
2731038.13
m
kT3v
21
26
23
rms
![Page 16: Chapter 9](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022062517/568135e4550346895d9d58c9/html5/thumbnails/16.jpg)
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막스웰 - 볼츠만 (Maxwell-Boltzmann) 분포는 입자들의 파동함수가 중첩되지 않아입자들의 파동함수가 중첩되지 않아 ,
서로를 구별할 수 있는 동일 입자들로 이루어져 있는 계에 적용된다구별할 수 있는 동일 입자들로 이루어져 있는 계에 적용된다 ..
파동함수가 중첩되는 입자들의 계는 다음의 두 개의 범주로 나뉘어진다파동함수가 중첩되는 입자들의 계는 다음의 두 개의 범주로 나뉘어진다 ..
1. 스핀을 0 이나 정수로 가지는 입자들인 보존보존 (boson)(boson) 은 배타 원리를 따르지 않고배타 원리를 따르지 않고 임의의
입자들 쌍에서 서로를 바꾸어도 계의 파동함수에 영향을 미치지 않는다 .
대칭적 (symmetric) 계의 특정한 한 양자 상태에 여러 개의 보존 존재 .
2. 스핀이 ½ 의 홀수 배인 입자들인 페르미온페르미온 (fermion)(fermion) 은 배타 원리를 따르며배타 원리를 따르며 ,, 어느 한
쌍의 입자를 서로 바꾸었을 때 파동함수의 부호가 변한다 .
=> 비대칭적 (antisymmetric) 계의 특정한 한 양자 상태에 단 한 개의 페르미온 존재 .
9.4 양자 통계 보존 (boson) 과 페르미온 (fermion) 은 각각 다른 분포함수를 갖는다 .
![Page 17: Chapter 9](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022062517/568135e4550346895d9d58c9/html5/thumbnails/17.jpg)
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상태 a,b 와 입자 1,2 로 이루어진 두 입자계에서 입자들이 구별 가능하다면 , 상태가
점유되는 가능성은 두 가지가 있으며 , 이를 파동함수로 나타내면
입자들이 구별 불가능하다면 , 어느 입자가 어느 상태에 들어가 있는지 알 수 없으므로
파동함수는 와 의 결합으로 쓰여져야만 하고 , 두 점유 가능성은 같다 .
보존 (boson) 대칭 파동 함수
페르미온 (fermion) 반대칭 파동 함수
12
21
baII
baI
I II
21212
1abbaB
21212
1abbaF
9.4 양자 통계 보존 (boson) 과 페르미온 (fermion) 은 각각 다른 분포함수를 갖는다 .
![Page 18: Chapter 9](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022062517/568135e4550346895d9d58c9/html5/thumbnails/18.jpg)
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구별할 수 있는 입자의 경우 과 는 모두 이며 , 확률밀도는
구별 가능한 입자
보존의 파동함수 확률밀도
페르미온의 파동함수
즉 , 두 개의 페르미온은 같은 상태를 점유할 수 없다 .
1. 보존으로 이루어진 계에서 , 어떤 양자 상태에 한 입자가 존재하면 같은 상태에서 다른 입자를 찾을 확률을 높힌다 .
2. 페르미온으로 이루어진 계에서 , 어떤 양자 상태에 한 입자가 존재하면 같은 상태에 다른 입자가 존재할 수 없게 한다 .
I II
21212
aaaaM
21 aaM
212 aaB 2222212 MaaB
012212
1 aaaaF
9.4 양자 통계 보존 (boson) 과 페르미온 (fermion) 은 각각 다른 분포함수를 갖는다 .
![Page 19: Chapter 9](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022062517/568135e4550346895d9d58c9/html5/thumbnails/19.jpg)
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에너지 인 상태를 점유할 확률 은
보즈 - 아인슈타인 (Bose-
Einstein) 분포함수
페르미 - 디락 (Fermi-
Dirac) 분포함수
의 극한의 경우 , 두 경우 모두에서 함수 은 막스웰 - 볼츠만 통계 식에 접근한다 .
주어진 비율 에서 , 보존의 은 분자에 대한 보다 항상 크며 ,
페르미온에 대한 은 보다 항상 작다 .
)(f
1
1
kTBE eef
1
1
kTFD eef
kT )(f
kT/ )(BEf )(MBf
)(FDf )(MBf
9.4 양자 통계 보즈 - 아인슈타인과 페르미 - 디락 분포함수
![Page 20: Chapter 9](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022062517/568135e4550346895d9d58c9/html5/thumbnails/20.jpg)
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표 9.1 세 가지 통계분포함수
9.4 양자 통계 보즈 - 아인슈타인과 페르미 - 디락 분포함수
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9.5 레일리 - 진스 (Rayleigh-Jeans) 공식 흑체복사의 고전적 접근
레일리 (Rayleigh) 와 진스 (Jeans) 는 흑체복사를 온도 에서 복사가 채워진 공동
(cavity) 로 생각하고 공동의 벽을 완전 반사체로 가정하였으므로 , 복사는 전자기파의
정상파로 되어 있어야만 한다 . 각 벽 위에서 정상파의 마디가 형성되기 위해서는 , 벽과 벽
사이의 경로가 반 파장의 정수 ( ) 배가 되어야 할 것이다 . 공동이 각 변의 길이가 인
정육면체일 떄 , 정상파의 x,y,z 방향에 대한 가능한 파장들은
= x 방향으로의 반파장의 수
= y 방향으로의 반파장의 수
= z 방향으로의 반파장의 수
T
j L
,3,2,1L2
j
,3,2,1L2
j
,3,2,1L2
j
z
y
x
![Page 22: Chapter 9](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022062517/568135e4550346895d9d58c9/html5/thumbnails/22.jpg)
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임의의 방향을 가지는 정상파가 벽에서 마디를 가지기 위해서는
정육면체
공동내의
정상파
파장이 와 사이에 있는 공동 내에서의 정상파 개수 를 세기 위해서는 , 그 구간의 파장을 주는 가능한 값들의 조합의 수를 세어야 한다 .
를 원점으로부터 임의의 점 에 이르는 벡터라 하면 , 그 크기는
22
z2
y2
x
L2jjj
,2,1,0
,2,1,0
,2,1,0
z
y
x
j
j
j
d dg )(zyx jjj ,,
jzyx jjj ,,
2z
2y
2x jjjj
9.5 레일리 - 진스 (Rayleigh-Jeans) 공식 흑체복사의 고전적 접근
![Page 23: Chapter 9](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022062517/568135e4550346895d9d58c9/html5/thumbnails/23.jpg)
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9.5 레일리 - 진스 (Rayleigh-Jeans) 공식 흑체복사의 고전적 접근 λ 와 λ+dλ 사이의 파장을 가진 정상파의 총 개수는 원점으로부터의 거리가 j 와 j+dj
사이에 있는 j 공간 상에서의 점들의 개수와 같다 . 반지름이 j 이고 두께가 dj 인 공 껍질
(spherical shell) 의 부피는 이다 . 그러나 , j 공간에서 관심이 있는 부분은 jx, jy,
jz 가 모두 양의 값을 가지는 공의 부분뿐이다 . 또한 , 이렇게 세어 가는 각 정상파에는
서로 수직인 두 개의 편광 방향이 존재한다 . 그러므로 , 공동 내에 있는 서로 독립적인
정상파의 총 개수는 아래와 같다 .
djj4 2
8
1
djjdjjdjjg 2248
12
dc
L2dj,
c
L2L2j
dc
Ld
c
L
c
Ldg 2
3
32822
정상파의 개수
정상파의 개수
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9.5 레일리 - 진스 (Rayleigh-Jeans) 공식 흑체복사의 고전적 접근
각 정상파 당 평균 에너지를 구하는데 양자물리와 고전물리 사이에 차이가 벌어진다 . 이미
언급했던 고전적인 에너지의 등분배 법칙을 따르면 온도 T 에서 열적 평형을 이루고 있는
어떤 개체 (entity) 로 이루어진 계에서 각 개체의 각 자유도에 배당되는 평균 에너지는
(½)kT 이다 . 복사로 가득 찬 공동 내에서의 각정상파는 두 개의 자유도를 가지며 평균 총
에너지 () = kT 를 가진다 . 이러한 진동자는 두 개의 자유도를 가지는데 , 하나는
진동자의 운동에너지에 , 나머지 하나는 진동자의 위치 에너지에 해당된다 . 그러므로 ,
진동수 ν 와 ν+dν 사이인 정상파가 공동 내에서 가지는 단위 부피 당 에너지 u(ν)dν 는
고전 물리를 따르면 다음과 같다 .
공동내의 정상파의 밀도
레일리 - 진스 공식
공동의 부피가 L³ 이므로 서로 독립적인 정상파의 단위 부피 당 개수는 아래와
같다 .
dc
8dg
L
1dG
3
2
3
dc
kT8dGkTdGdu
3
2
윗식은 에너지 밀도가 진동수윗식은 에너지 밀도가 진동수 (v(v22)) 에 따라 무한히 증가 에 따라 무한히 증가 WRONG WRONG 고전역학의 실패고전역학의 실패
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9.6 플랑크의 복사 법칙 광자 가스는 어떻게 행동하는가 ?
플랑크는 막스웰 - 볼츠만 분포 법칙을 적용하여 에너지 을 가지는 진동자 수가
온도 T 에서 에 비례함을 발견하였다 .
진동자 당 평균에너지 ( 공동내의 정상파 당 평균 에너지 ) 는 레일리 - 진스의 에너지 -등분배 평균인 대신 ,
플랑크 (Planck) 의
복사 공식
n
ekTn /
kT
1/
kThe
h
1
8 3
3
kThe
d
c
hdGdu
Planck 는 올바른 공식을 얻었지만 유도과정에 심각한 오류공동벽에 있는 조화진동자의 에너지는 nhv 가 아니라 (n+1/2)hv 이며 Zero point E=1/2hv 를 포함해야 한다 .
올바른 방법은 전자기파를 올바른 방법은 전자기파를 B-E B-E 통계를 따르는 광자 기체로 생각함 통계를 따르는 광자 기체로 생각함 (photon(photon 의 의 spin 1)spin 1)즉 즉 Boson Boson 이며 이며 B-E B-E 분포를 따름분포를 따름
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각 에너지 상태에 있는 평균 광자 수 는 보즈 - 아인슈타인 분포 함수에 의해 주어진다 .
보즈 - 아인슈타인 분포 함수의 값은 고려하는 계의 총 입자 수에 관계되는 양이다 . 기체
분자나 전자와는 달리 광자는 항상 생성되거나 소멸될 수 있으므로 공동내의 수가 보존될
필요가 없다 .
광자의 수가 보존되지 않는다는 것은 을 의미한다 .
광자의
분포함수
공동내의
광자의 에너지밀도
)(f
0
1
1
kThef
1
8 3
3
kThe
d
c
hdfGhdu
9.6 플랑크의 복사 법칙 광자 가스는 어떻게 행동하는가 ?
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를 로 바꾸고 ,
이 되는 을 찾으면 , 를 얻을 수 있다 .
좀 더 이용하기 쉬운 형태로 바꿔 쓰면 ,
빈 (Wien) 의
변위 법칙
흑체 스펙트럼의 봉우리는 온도가 증가함에 따라 점점 짧은 파장 ( 높은 진동수 ) 쪽으로 이동한다는 현상적인 사실을 정량적으로 설명해준다 .( 온도가 증가함에 따라 복사되는 빛의 색이 달라짐 즉 파장과 진동수가 달라져서 높은 온도에서 더 파장이 짧은 빛이 나옴 )
1
8 3
3
kThe
d
c
hdu
du
0
d
udmax 965.4
kT
hc
max
Km10898.2965.4
3max
k
hcT
9.6 플랑크의 복사 법칙 빈의 변위 법칙 (Wien’s displacement law)
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로 부터 얻을 수 있는 또 다른 결과는 공동내의 총 에너
지 밀도 이다 . 는 에너지 밀도를 모든 진동수에 대해 적분하여 얻을 수 있다 .
여기서 는 보편적인 상수이며 , 총 에너지 밀도는 공동 벽의 절대온도의 4 제곱에
비례한다 . 그러므로 , 어떤 물체가 단위 시간당 , 단위 면적당 복사하는 에너지 역시 에
비례한다고 기대할 수 있다 .
슈테판 - 볼츠만 (Stefan-Boltzmann) 의 법칙
슈테판의 상수
1
8 3
3
kThe
d
c
hdu
u u
4433
453
0 30 15
8
1
8aTT
hc
k
e
d
c
hduu
kTh
aR
4T
4TeR
428 /10670.54
KmWac
9.6 플랑크의 복사 법칙 슈테판 - 볼츠만 (Stefan-Boltzmann) 의 법칙
![Page 29: Chapter 9](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022062517/568135e4550346895d9d58c9/html5/thumbnails/29.jpg)
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9.7 아인슈타인의 접근법 유도방출의 도입
복사의 유도방출은 레이저의복사의 유도방출은 레이저의 기본이 되는 개념이다기본이 되는 개념이다 .. 유도방출은 1917 년에 아인슈타인이 도입하였고 , 이를 사용하여 간단한 방법으로 플랑크의 복사 법칙을 이끌어 내었다 .
상태의 원자는 진동수가 인 광자를 흡수하여 상태로 올라감 .
상태 에 있는 하나의 원자가 광자를 흡수하는 확률은 에너지 밀도 에 ,
그리고 각 상태의 특성에 따르는 상수 에 비례한다 .
jih
EE ji
i )(u
ijB
그림 9.9 원자 에너지 상태 Ei 와 Ej 사이에서
전이가 일어나는 세 가지 방법 . 단위 시간 동안
각각의 전이가 일어나는 원자의 수를 그림에
표시하였다 .
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광자를 방출하는 원자의 수 )]([ vuBANN jijijij
광자를 흡수하는 원자의 수
높은 상태에 있는 원자들은 광자를 자발적으로 방출하면서 낮은 상태로 내려오는
어떤 확률 을 가지고 있다 .
)(vuBNN ijiji
ijA
9.7 아인슈타인의 접근법 유도방출의 도입
i 상태에 Ni 개의 원자가 있고 j 상태에 Nj 개의 원자가 있다고 가정( 온도 T, 빛의 진동수 v, 에너지 밀도 u(v) 에서 thermal equilibrium)
i 상태에 있는 원자가 photon 를 흡수할 확률은 energy density u(v) 와 i와 j 상태의성질 Bij 에 비례한다 .
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계가 평형상태에 있으므로 , 단위 시간당 상태 에서 로 올라가는 원자의 수는
에서 로 떨어지는 원자의 수와 같다 .
양변을 로 나누고 에 대해 풀면 ,
i j
ij
ijji NN
)]([)( vuBANvuBN jijiji ij
ijBNi )(u
)()())(( vuB
Avu
B
B
N
N
ji
ji
ji
ij
j
i
1)B
B)(
NN
(
BA
)(u
ji
ij
j
i
ji
ji
9.7 아인슈타인의 접근법 유도방출의 도입
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온도 의 원자계 안에 있는 에너지 와 를 가진 원자의 수를 구하면 ,
따라서 ,
가 된다 .
jET iE
kT
E
jkT
E
i
ji
CeN,CeN
kTh
kTEE
kTEE
j
i eeeN
N ijji
)()(
1)()(
kTh
ji
ij
ji
ji
eB
BB
A
vu
9.7 아인슈타인의 접근법 유도방출의 도입
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이 식은 가능한 에너지가 와 인 원자와 온도 에서 열적 평형을 이루고 있는
진동수 인 광자의 에너지 밀도를 주는 식이다 .
와 이면 , 플랑크의 복사 법칙의 식과 일치한다 .
결론
1. 유도 방출은 실제로 일어나며 , 두 상태 사이의 유도 방출 확률은 그 두 상태 사이의 흡수 확률과 같다 .
2. 자발방출 확률과 유도방출 확률 사이의 비가 에 비례하므로 , 두 상태 사이의 에너지 차이가 벌어지면 벌어질수록 자발 방출의 가능성이 상대적으로 급격하게 증가한다 .
3. , , 를 알기 위해서는 그 중 하나만 알면 된다 .
jE TiE
3
38
c
h
B
A
ji
ji jiij BB
3
jiA jiBijB
9.7 아인슈타인의 접근법 유도방출의 도입
![Page 34: Chapter 9](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022062517/568135e4550346895d9d58c9/html5/thumbnails/34.jpg)
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9.8 고체의 비열 고전 물리는 다시 실패한다 .
고체의 내부 에너지는 구성 입자들인 원자 , 이온 , 혹은 분자들의 진동 에너지로 존재한다 . 이들 진동은 수직인 세 개의 축에 대한 성분들로 분해할 수 있으므로 , 원자를 세 개의 조화 진동자라고 생각할 수 있을 것이다 .
고전물리를 따르면 온도 에서 열적 평형을 이루고 있는 계의 한 조화 진동자는 평균 에너지
를 가지므로 , 고체내의 각 분자는 의 에너지를 가져야 한다 .
1 킬로 몰 (kilomole) 의 고체에는 아보가드로 (Avogadro) 의 수 만큼의 원자를 가지고 있으므로 , 온도 에서 총 내부 에너지 는 ,
고체의 고전적인
내부 에너지
기체상수
TkT kT3
0NT E
RTkTNkTNE 333 00
Kkmolkcal99.1KkmolJ1031.8kNR 30
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정적 비열
뒬롱 - 프티 (Dulong-Petit) 의 법칙
1 세기 전에 뒬롱 (Dulong) 과 프티 (Petit) 는 실온이
나 그 이상 온도에서 대부분의 고체의 가 실제
로 임을 발견하였다 .
그러나 가벼운 원소에서 잘 맞지 않고 또 0K 로 갈수록
0 에 접근하는 것을 설명할 수 없게 되었다 .
안 맞음
R3vC
VV T
EC
Kkmolkcal97.53 RCV
0,0 vCKT
그림 9.10 몇 가지 원소에 대한 몰 정적비열 Cv 의 온도에 따른 변화
9.8 고체의 비열 고전 물리는 다시 실패한다 .
![Page 36: Chapter 9](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022062517/568135e4550346895d9d58c9/html5/thumbnails/36.jpg)
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1907 년 아인슈타인은 뒬롱 - 프티의 법칙을 유도해내는 과정에서의 근본적인 결점은 고체
내의 진동자당 평균 에너지를 로 놓음에 있음을 알아내었다 .
진동자 당
평균 에너지
고체의
내부 에너지
아인슈타인의 비열 공식
kT
,1
kThe
hfh
kT
1
33 0
0
kThe
hNNE
9.8 고체의 비열 아인슈타인의 공식
22
13
kTh
kTh
VV
e
e
kT
hR
T
EC
![Page 37: Chapter 9](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022062517/568135e4550346895d9d58c9/html5/thumbnails/37.jpg)
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높은 온도에서 , 즉 일 때는 이다 .
뒬롱 - 프티의 값과 일치
높은 온도에서는 에너지들 사이의 간격 가 에 비해 훨씬 작으므로 은 실제적으로
연속적인 것처럼 되고 , 따라서 고전 물리가 잘 맞게 된다 .
온도가 낮아질수록 의 값은 점점 작아진다 . 이와 같이 고전적인 결과에서 벗어나는
이유는 이제 가능한 에너지들 사이의 간격 에너지들 사이의 간격 (hv)(hv) 이이 kT 에 비해 상대적으로 커져서 영점
(zero-point) 에너지 위로 채워지지 않기 때문 .
비열 분석에서 harmonic oscillator 의 zero point E 는 포함이 안되는 이유는 ?
조화진동자의 허용된 E 는 (n+1/2)hv 이다 따라서 고체의 ground state 의 E 는
½hv 이다 . 그러나 영점에너지는 고체의 몰에너지의 상수항에 더해질 뿐이며 이것은 미분시
(CV=dE/dT)없어진다 .
kTh kT
he kTh 1
R3Cv
h kT
vC
9.8 고체의 비열 아인슈타인의 공식
![Page 38: Chapter 9](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022062517/568135e4550346895d9d58c9/html5/thumbnails/38.jpg)
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Debye 이론 Einstein 이론은 T0로 갈때 Cv0으로 가는것을 예측했지만 정확히 맞지 않는다 .
19121912 는 는 DebyeDebye 는 다른 방법으로 고찰는 다른 방법으로 고찰Einstein 은 원자는 주변의 원자와 관계없이 고정된 진동수로고정된 진동수로 진동한다고 가정
Debye 는 고체를 연속적인 탄성체로 보고 고체의 내부에너지는 elastic standing wave 와 관련 있다고 생각2 가지의 Elastic wave in solid longitudinal and transverse
그리고 파동의 frequency 가 0 부터 최대치 (vm) 까지 range 를 가짐 .Debye 는 1 kmol 의 고체속에 전체 정상파의 수가 3N0 개 있다고 가정이 탄성파는 전자기파와 같이 hv 의 에너지로 양자화 되어있고 phonon 이라고 부르며소리의 속도로 진행한다 .또한 Debye 는 phonon gas 는 photon gas 와 같은 통계적 성질을 갖으며 정상파의 평균에너지는 를 갖는다 . 이식은 모든 온도 구역에서 잘 맞는다 .
![Page 39: Chapter 9](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022062517/568135e4550346895d9d58c9/html5/thumbnails/39.jpg)
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9.9 금속내의 자유전자 각 양자 상태에는 한 개 이상의 전자가 들어갈 수 없다 .
고체의 비열은 금속 비금속에 똑같이 적용이 되는데 금속의 경우 자유전자의 존재를 무시했음
전형적인 금속에서는 각 원자가 각각 한 개씩의 전자를 자유전자로 내놓아서 공통의 “전자
가스”를 만들므로 금속 1kmole 에는 개의 자유전자가 존재한다 . 이들 자유전자가
이상기체에서의 분자들과 같은 행동을 한다면 각 전자는 평균적으로 의 운동에너지를
가질 것이다 . 그러면 , 이 전자들에 의한 금속의 kmole 당 내부 에너지는
이 된다 . 그러므로 전자에 의한 몰 비열은 가 되고 ,
금속의 총 비열은 ( 고전적 분석이 맞을 정도로 높은 온도에서 )
가 된다 .
0N
RTkTNEe 2
3
2
30
RT
Ec
V
eve
2
3
RRRCV 2
9
2
33
kT2
3
![Page 40: Chapter 9](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022062517/568135e4550346895d9d58c9/html5/thumbnails/40.jpg)
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금속의 비열을 주는 개체들의 특성을 잘 생각하면 , 대답에 대한 단서를 얻을 수 있다 .
아인슈타인 모델에서의 조화 진동자나 데바이 모델에서의 포논은 모두 보존 (boson) 이므로
보즈 - 아인슈타인 통계를 따르며 , 특정한 양자 상태의 점유도에 상한 값이 존재하지 않는다 .
그러나 전자는 페르미온 (feromion) 이므로 페르미 - 디락 통계를 따르며 , 각 양자 상태에 하나
이상의 전자가 점유될 수 없다 . “높은” 온도에서는 , 보존계나 페르미온 계 모두 각 자유도당
평균 에너지가 가 되는 막스웰 - 볼츠만 통계에 접근해간다 . 페르미온 계에서 에너지
인 양자 상태의 평균 점유도를 나타내는 분포함수는 ,
상태 당 평균 점유도
또 , 에너지가 과 사이에 있는 양자 상태의 수 를 알 필요가 있다 .
kT2
1
1
1)(
kTFD Fef
d dg )(
9.9 금속내의 자유전자 각 양자 상태에는 한 개 이상의 전자가 들어갈 수 없다 .
![Page 41: Chapter 9](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022062517/568135e4550346895d9d58c9/html5/thumbnails/41.jpg)
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을 구하기 위해서는 공동 내에서 파장이 인 정상파의 개수를 구하기 위한
방법과 똑같은 방법을 사용할 수 있다 . 동일한 정상파에 대해 서로 무관한 두 개의 편광상태가
있듯이 전자의 경우에도 (up과 down) 의 두 개의 가능한 스핀 상태가 있으므로 정확히 똑같은
방법을 쓸 수 있다 .
한 변의 길이가 인 정육면체 공동에 있는 정상파의 총 개수는 , 이다 .
금속내의 전자는 비상대론적인 속도를 가지므로 ,
위 두 식을 대입하고 , 대신 를 넣으면
전자 상태의 개수
L
dg )(
djjdjjg 2
,2222
h
mL
h
LpLj
dm
h
Ldj
2
3L V
dh
Vmdg
3
2328
9.9 금속내의 자유전자 각 양자 상태에는 한 개 이상의 전자가 들어갈 수 없다 .
![Page 42: Chapter 9](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022062517/568135e4550346895d9d58c9/html5/thumbnails/42.jpg)
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는 금속이 가질 수 있는 에너지 상태들에 개의 자유전자를 에너지 에서부터 점점
증가시켜 가며 채워 넣음으로써 얻을 수 있다 . 페르미 에너지의 정의에 의해서 , 채워지는
에너지 중 가장 높은 에너지 가 된다 . 각 상태는 전자 한 개로 제한되므로 , 같은
에너지 을 가질 수 있는 전자의 수는 이 에너지를 가지는 상태들의 수와 같다 . 그러므로 ,
페르미 에너지 (Fermi energy)
는 자유전자의 밀도
F N 0
F
23
2
23
03
23
0 3
21628Fh
Vmd
h
VmdgN
FF
322
F V8
N3
m2
h
V
N
9.9 금속내의 자유전자 페르미 (Fermi) 에너지
![Page 43: Chapter 9](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022062517/568135e4550346895d9d58c9/html5/thumbnails/43.jpg)
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9.10 전자 - 에너지 분포 매우 높은 온도와 매우 낮은 온도를 제외하고 금속내의 전자는 왜 금속의 비열에 기여하지 못하는가 ?
전자 가스에서 와 사이의 에너지를 가지는 전자의 개수는 ,
전자 에너지 분포
일 때의 결과
d
1e
dhVm28dfgdn
kT(
323
)F
1e
d)2N3(dn
kT
23F
F
KKKT 1200,300,0
그림 9.11 몇 온도에서 금속에 있는 전자들의 에너지 분포 .
![Page 44: Chapter 9](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022062517/568135e4550346895d9d58c9/html5/thumbnails/44.jpg)
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에서의 총 에너지 는 ,
평균전자에너지는 총에너지 (E0) 를 전자의 수 N 으로 나눈 것
T=0 에서 평균 전자 에너지
금속들의 페르미 에너지는 대체적으로 수 eV 이므로 ( 표 9.2), 0K 에서 이들 금속 내에
있는 전자의 평균 에너지도 그 정도의 크기를 갖는다 .
K0 0E
dnEF
00
d
2
N3 F
0
2323F
FN5
3
0)( ee kTF
F5
3: 0
9.10 전자 - 에너지 분포 매우 높은 온도와 매우 낮은 온도를 제외하고 금속내의 전자는 왜 금속의 비열에 기여하지 못하는가 ?
![Page 45: Chapter 9](https://reader035.fdocuments.in/reader035/viewer/2022062517/568135e4550346895d9d58c9/html5/thumbnails/45.jpg)
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금속내의 자유전자가 금속의 비열에 어느 정도로도 기여하지 못하는 이유는 전자의 에너지 분포 특성 때문이다 . 금속이 가열 되면 , 에너지 분포의 제일 위쪽에 있는 전자들만이 , 즉 , 페르미 에너지로부터 약 k 내의 에너지를 가지는 전자들만이 더 높은 상태로 들뜰 수 있다 . 이보다 더 낮은 에너지를 갖는 전자들은 더 이상 에너지를 흡수할 수 없는데 , 왜냐하면 이들 전자 상태보다 더 높은 에너지 상태가 이미 채워져 있기 때문이다 .
전자 비열
넓은 온도 범위에서 원자에 의한 비열 가 전자에 의한 비열 보다 금속의 비열에 훨씬 크게 기여한다 . 그러나 , 매우 낮은 온도에서는 가 대략 에 비례하는 반면 는 에 비례하므로 는 에 비례하므로 에 의한 기여가 매우 중요해진다 . 매우 높은 온도에서 는 약 에서 거의 변하지 않지만 는 점점 증가하므로 총 비열에 대한 의 기여가 관측 가능해진다 .
RkT
CF
Ve
2
2
VeC
R3
3TVCVC
TVeC T VeC
VC VeC VeC
9.10 전자 - 에너지 분포 매우 높은 온도와 매우 낮은 온도를 제외하고 금속내의 전자는 왜 금속의 비열에 기여하지 못하는가 ?
VeC
중요온도에서낮은비례에비례에 ~, ~ 3 TCTC VeV