Chapter 6 Finite Differences - Engineering...
Transcript of Chapter 6 Finite Differences - Engineering...
Chapter 6
Finite Differences
6.1 Introduction
For a function ๐ฆ = ๐ ๐ฅ , finite differences refer to
changes in values of ๐ฆ (dependent variable) for any
finite (equal or unequal) variation in ๐ฅ (independent
variable).
In this chapter, we shall study various differencing
techniques for equal deviations in values of ๐ฅ and
associated differencing operators; also their
applications will be extended for finding missing
values of a data and series summation.
6.2 Shift or Increment Operator (๐ฌ)
Shift (Increment) operator denoted by โ๐ธโ operates on ๐(๐ฅ) as ๐ธ๐ ๐ฅ = ๐ ๐ฅ + ๐
Or ๐ธ๐ฆ๐ฅ = ๐ฆ๐ฅ+๐ , where โ๐โ is the step height for equi-spaced data points.
Clearly effect of the shift operator ๐ธ is to shift the function value to the next
higher value ๐ ๐ฅ + ๐ or ๐ฆ๐ฅ+๐
Also ๐ธ2๐ ๐ฅ = ๐ธ ๐ธ๐(๐ฅ) = ๐ธ๐ ๐ฅ + ๐ = ๐ ๐ฅ + 2๐
โด ๐ธ๐๐ ๐ฅ = ๐ ๐ฅ + ๐๐
Moreover ๐ธโ1๐ ๐ฅ = ๐ ๐ฅ โ ๐ , where ๐ธโ1 is the inverse shift operator.
6.3 Differencing Operators
If ๐ฆ0, ๐ฆ1, ๐ฆ2 , โฆ๐ฆ๐ be the values of ๐ฆ for corresponding values of ๐ฅ0, ๐ฅ1, ๐ฅ2 ,
โฆ๐ฅ๐ , then the differences of ๐ฆ are defined by (๐ฆ1 โ ๐ฆ0), (๐ฆ2 โ ๐ฆ1), โฆ , (๐ฆ๐ โ ๐ฆ๐โ1) , and are denoted by different operators discussed in this section.
6.3.1 Forward Difference Operator โ
Forward difference operator โโโ operates on ๐ฆ๐ฅ as โ๐ฆ๐ฅ = ๐ฆ๐ฅ+1โ ๐ฆ๐ฅ
Or โ๐ ๐ฅ = ๐ ๐ฅ + ๐ โ ๐ ๐ฅ , where ๐ is the height of differencing.
โด โ๐ฆ0 = ๐ฆ1โ ๐ฆ0
โ๐ฆ1 = ๐ฆ2โ ๐ฆ1
โฎ
โ๐ฆ๐ = ๐ฆ๐+1โ ๐ฆ๐
Also โ2๐ฆ0 = โ๐ฆ1โ โ๐ฆ0 = ๐ฆ2โ ๐ฆ1 โ ๐ฆ1โ ๐ฆ0 = ๐ฆ2 โ 2๐ฆ1 + ๐ฆ0
โฎ
โ๐๐ฆ0 = ๐ฆ๐ โ ๐๐ถ1๐ฆ๐โ1 + ๐๐ถ2๐ฆ๐โ2 โโฏ+ โ1 ๐โ1 ๐๐ถ๐โ1๐ฆ1 + โ1 ๐๐ฆ0
Generalizing โ๐๐ฆ๐ = ๐ฆ๐+๐ โ ๐๐ถ1๐ฆ๐+๐โ1 + ๐๐ถ2๐ฆ๐+๐โ2 โโฏ+ โ1 ๐๐ฆ๐
Here โ๐ is the ๐๐ก๐ order forward difference; Table 6.1 shows the forward
differences of various orders.
Table 6.1 Forward Differences
๐ ๐ โ โ๐ โ๐ โ๐ โ๐ ๐๐ ๐ฆ๐
โ๐ฆ๐ ๐๐ ๐ฆ1 โ2๐ฆ๐
โ๐ฆ1 โ3๐ฆ๐ ๐๐ y2 โ2๐ฆ1 โ4๐ฆ0
โ๐ฆ2 โ3๐ฆ1 โ5๐ฆ0 ๐๐ ๐ฆ3 โ2๐ฆ2 โ4๐ฆ1
โ๐ฆ3 โ3๐ฆ2 ๐๐ ๐ฆ4 โ2๐ฆ3
โ๐ฆ4 ๐๐ ๐ฆ5
The arrow indicates the direction of differences from top to bottom. Differences in
each column notate difference of two adjoining consecutive entries of the previous
column.
Relation between โ and ๐ฌ
โ and ๐ธ are connected by the relation โ โก ๐ธ โ 1
Proof: we know that โ๐ฆ๐ = ๐ฆ๐+1โ ๐ฆ๐
= ๐ธ๐ฆ๐โ ๐ฆ๐
โ โ๐ฆ๐ = ๐ธ โ 1 ๐ฆ๐
โ โ โก ๐ธ โ 1 or ๐ธ โก 1 + โ
Properties of operator โโโ
โ๐ถ = 0 , ๐ถ being a constant
โ๐ถ ๐(๐ฅ) = ๐ถ๐(๐ฅ)
โ[๐๐ ๐ฅ ยฑ ๐๐(๐ฅ)] = ๐ โ๐ ๐ฅ ยฑ ๐ โ๐(๐ฅ)
โ ๐ ๐ฅ ๐ ๐ฅ = ๐ ๐ฅ + ๐ โ ๐ ๐ฅ + ๐ ๐ฅ โ๐ ๐ฅ , ๐ & ๐ may be interchanged
โ ๐ ๐ฅ
๐ ๐ฅ =
๐ ๐ฅ โ๐ ๐ฅ โ๐(๐ฅ)โ๐ ๐ฅ
๐ ๐ฅ+๐ ๐ ๐ฅ
Result 1: The ๐๐๐ differences of a polynomial of degree 'n' are constant and all
higher order differences are zero.
Proof: Consider the polynomial ๐(๐ฅ) of ๐๐ก๐ degree
๐(๐ฅ) = ๐0๐ฅ๐ + ๐1๐ฅ
๐โ1 + ๐2๐ฅ๐โ2 + โฏ+ ๐๐โ1๐ฅ + ๐๐
First differences of the polynomial ๐(๐ฅ) are calculated as:
โ ๐ ๐ฅ = ๐ ๐ฅ + ๐ โ ๐(๐ฅ)
= ๐0 (๐ฅ + ๐)๐ โ ๐ฅ๐ + ๐1 (๐ฅ + ๐)๐โ1 โ ๐ฅ๐โ1 + โฏ+ ๐๐โ1 ๐ฅ + ๐ โ ๐ฅ = ๐0๐๐ ๐ฅ๐โ1 + ๐1
โฒ ๐ฅ๐โ1 + ๐2โฒ ๐ฅ๐โ2 + โฏ+ ๐๐โ1
โฒ ๐ + ๐๐โฒ
where ๐1โฒ , ๐2
โฒ ,โฆ ,๐๐โ1โฒ , ๐๐
โฒ are new constants
โ First difference of a polynomial of degree ๐ is a polynomial of degree (๐ โ 1)
Similarly โ2๐ ๐ฅ = โ ๐ ๐ฅ + ๐ โ โ ๐ ๐ฅ
= ๐0๐(๐ โ 1)๐2 ๐ฅ๐โ2 + ๐1โฒโฒ ๐ฅ๐โ3 + โฆ+ ๐๐
โฒโฒ
โด Second difference of a polynomial of degree ๐ is a polynomial of degree (๐ โ 2)
Repeating the above process โ๐๐ ๐ฅ = ๐0๐(๐ โ 1)โฆ2.1๐๐ ๐ฅ๐โ๐
โ โ๐๐ ๐ฅ = ๐0๐! ๐๐ which is a constant
โด ๐๐ก๐ Difference of a polynomial of degree ๐ is a polynomial of degree zero.
Thus (๐ + 1)๐ก๐and higher order differences of a polynomial of ๐๐ก๐ degree are all
zero.
The converse of above result is also true , i.e. if the ๐๐ก๐ difference of a
polynomial given at equally spaced points are constant then the function is
a polynomial of degree โ๐โ.
6.3.2 Backward Difference Operator ๐
Backward difference operator โ โ โ operates on ๐ฆ๐ as โ๐ฆ๐ = ๐ฆ๐โ ๐ฆ๐โ1
โด The differences (๐ฆ1 โ ๐ฆ0) , (๐ฆ2 โ ๐ฆ1) , โฆ , (๐ฆ๐ โ ๐ฆ๐โ1) when denoted by
โ๐ฆ1, โ๐ฆ2, โฆ ,โ๐ฆ๐ are called first backward differences.
Also โ2๐ฆ๐ = โ๐ฆ๐ โ โ๐ฆ๐โ1 , โ3๐ฆ๐ = โ2๐ฆ๐ โ โ2๐ฆ๐โ1 denote second and third
backward differences respectively.
Table 6.2 shows the backward differences of various orders.
Table 6.2 Backward Differences
๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐ฆ๐
โ๐ฆ1 ๐๐ ๐ฆ1 โ2๐ฆ2
โ๐ฆ2 โ3๐ฆ3 ๐๐ y2 โ2๐ฆ3 โ4๐ฆ4
โ๐ฆ3 โ3๐ฆ4 โ5๐ฆ5 ๐๐ ๐ฆ3 โ2๐ฆ4 โ4๐ฆ5
โ๐ฆ4 โ3๐ฆ5 ๐๐ ๐ฆ4 โ2๐ฆ5
โ๐ฆ5 ๐๐ ๐ฆ5
The arrow indicates the direction of differences from bottom to top. Differences in
each column notate difference of two adjoining consecutive entries of the previous
column, i.e. โ๐ฆ1
= ๐ฆ1โ ๐ฆ
๐, โ2๐ฆ
2= โ๐ฆ
2โ โ๐ฆ
1, โฆ ,โ5๐ฆ5 = โ4๐ฆ5 โ โ4๐ฆ4.
Relation between ๐ and ๐ฌ
โ and ๐ธ are connected by the relation โ โก 1 โ ๐ธโ1
Proof: we know that โ๐ฆ๐ = ๐ฆ๐โ ๐ฆ๐โ1
= ๐ฆ๐โ ๐ธโ1๐ฆ๐
โ โ๐ฆ๐ = 1 โ ๐ธโ1 ๐ฆ๐
โ โ โก 1 โ ๐ธโ1
6.3.3 Central Difference Operator ๐
Central difference operator โ ฮด โ operates on ๐ฆ๐ as ฮด ๐ฆ๐ = ๐ฆ๐+
1
2
โ ๐ฆ๐โ
1
2
โด The differences (๐ฆ1 โ ๐ฆ0) , (๐ฆ2 โ ๐ฆ1) , โฆ , (๐ฆ๐ โ ๐ฆ๐โ1) when denoted by
ฮด๐ฆ1
2
, ฮด๐ฆ3
2
, โฆ , ฮด๐ฆ๐โ
1
2
are called first central differences.
Also ฮด2๐ฆ๐ = ฮด๐ฆ๐+
1
2
โ ฮด๐ฆ๐โ
1
2
, ฮด3๐ฆ๐ = ฮด2๐ฆ๐+
1
2
โ ฮด2๐ฆ๐โ
1
2
denote second and third
central differences respectively as shown in Table 6.3.
Table 6.3 Central Differences
๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐ฆ๐
ฮด๐ฆ12
๐๐ ๐ฆ1 ฮด2๐ฆ1
ฮด๐ฆ32 ฮด3๐ฆ3
2
๐๐ y2 ฮด2๐ฆ2 ฮด4๐ฆ
2
ฮด๐ฆ52 ฮด3๐ฆ5
2
ฮด5๐ฆ52
๐๐ ๐ฆ3 ฮด2๐ฆ3 ฮด4๐ฆ
3
ฮด๐ฆ72 ฮด3๐ฆ7
2
๐๐ ๐ฆ4 ฮด2๐ฆ4
ฮด๐ฆ92
๐๐ ๐ฆ5
Central differences in each column notate difference of two adjoining consecutive
entries of the previous column, i.e. ฮด๐ฆ1
2
= ๐ฆ1โ ๐ฆ
๐, โฆ , ฮด5๐ฆ5
2
= ฮด4๐ฆ3 โ ฮด4๐ฆ2.
Relation between ๐ and ๐ฌ
ฮด and ๐ธ are connected by the relation ฮด โก ๐ธ1
2 โ ๐ธโ 1
2
Proof: we know that ฮด ๐ฆ๐ = ๐ฆ๐+
1
2
โ ๐ฆ๐โ
1
2
= ๐ธ1
2๐ฆ๐โ ๐ธโ 1
2๐ฆ๐
โ ฮด ๐ฆ๐ = ๐ธ1
2 โ ๐ธโ 1
2 ๐ฆ๐
โด ฮด โก ๐ธ1
2 โ ๐ธโ 1
2
Observation: It is only the notation which changes and not the difference.
โด ๐ฆ1 โ ๐ฆ๐ = โ๐ฆ0 = โ๐ฆ1 = ฮด๐ฆ1
2
6.3.4 Averaging Operator ๐
Averaging operator โ ฮผ โ operates on ๐ฆ๐ฅ as ฮผ ๐ฆ๐ฅ =1
2 ๐ฆ
๐ฅ+๐
2
+ ๐ฆ๐ฅโ
๐
2
Or ฮผ ๐ ๐ฅ = 1
2 ๐ ๐ฅ +
๐
2 + ๐ ๐ฅ โ
๐
2 , โ h โ is the height of the interval.
Relation between ๐ and ๐ฌ
We know that ฮผ ๐ฆ๐ =1
2 ๐ฆ
๐+๐
2
+ ๐ฆ๐โ
๐
2
=1
2 ๐ธ
1
2๐ฆ๐+ ๐ธโ 1
2๐ฆ๐
โ ฮผ ๐ฆ๐ =1
2 ๐ธ
1
2 + ๐ธโ 1
2 ๐ฆ๐
โด ฮผ โก1
2 ๐ธ
1
2 + ๐ธโ 1
2
Result 2: Relation between ๐ฌ and ๐ซ, where ๐ซ โก๐
๐ ๐
We know ๐ฆ ๐ฅ + ๐ = ๐ฆ ๐ฅ + ๐ ๐ฆโฒ ๐ฅ +๐2
2! ๐ฆโฒโฒ ๐ฅ +. .. By Taylorโs theorem
= ๐ฆ ๐ฅ + ๐ ๐ท๐ฆ(๐ฅ) +๐2
2! ๐ท2๐ฆ(๐ฅ)+. ..
= 1 + ๐๐ท +๐2
2! ๐ท2 + โฏ ๐ฆ(๐ฅ)
โ ๐ธ ๐ฆ ๐ฅ = ๐๐๐ท๐ฆ(๐ฅ)
โด ๐ธ = ๐๐๐ท, ๐ท โก๐
๐๐ฅ
Result 3: Relation between โ and ๐ซ, where ๐ซ โก๐
๐ ๐
We know that โ โก ๐ธ โ 1
โ โ โก ๐๐๐ท โ 1 โต ๐ธ = ๐๐๐ท
Result 4: Relation between ๐ต and ๐ซ, where ๐ซ โก๐
๐ ๐
We know that โ โก 1 โ ๐ธโ1 = 1 โ ๐โ๐๐ท โต ๐ธ = ๐๐๐ท
Result 5: Relation between โ and ๐ต
We know that ๐ธ โก 1 + โ โฏโ
Also ๐ธโ1 โก 1 โ โ
โ ๐ธ โก1
1โโ โฏ โก
โ 1 + โโก1
1โโ From โ and โก
โ โโก1
1โโโ 1
โ โโกโ
1โโ
Result 6: Relation between ๐ , ๐น and ๐ฌ
We have ฮผ โก1
2 ๐ธ
1
2 + ๐ธโ 1
2
Also ฮด โก ๐ธ1
2 โ ๐ธโ 1
2
โ ฮผฮด โก1
2 ๐ธ
1
2 + ๐ธโ 1
2 ๐ธ1
2 โ ๐ธโ 1
2
โ ฮผฮด โก1
2 ๐ธ โ ๐ธโ 1
Result 7: Relation between ๐ , ๐น , โ and โ
We have ฮผฮด โก1
2 ๐ธ โ ๐ธโ 1 =
1
2 1 + โ) โ (1 โ โ
โ ฮผฮด โก1
2 โ + โ
Result 8: โ๐๐ฆ๐ = โ๐๐ฆ๐+๐
We have โ๐๐ฆ๐ = (๐ธ โ 1)๐๐ฆ๐ โต โ= ๐ธ โ 1
= ๐ฆ๐+๐ โ ๐๐ถ1๐ฆ๐+๐โ1 + ๐๐ถ2๐ฆ๐+๐โ2 โโฏ+ โ1 ๐๐ฆ๐
= ๐ธ๐ โ ๐๐ถ1๐ธ๐โ1 + ๐๐ถ2๐ธ
๐โ2 โโฏ+ โ1 ๐ ๐ฆ๐
= ๐ธ๐๐ฆ๐ โ ๐๐ถ1๐ธ๐โ1๐ฆ๐ + ๐๐ถ2๐ธ
๐โ2๐ฆ๐ โโฏ+ โ1 ๐๐ฆ๐
= ๐ฆ๐+๐ โ ๐๐ถ1๐ฆ๐+๐โ1 + ๐๐ถ2๐ฆ๐+๐โ2 โโฏ+ โ1 ๐๐ฆ๐
Also โ๐๐ฆ๐+๐ = (1 โ Eโ1)๐๐ฆ๐+๐ โต โ โก 1 โ ๐ธโ1
= 1 โ ๐๐ถ1๐ธโ1 + ๐๐ถ2๐ธ
โ2 โโฏ+ โ1 ๐๐ธโ๐ ๐ฆ๐+๐
= ๐ฆ๐+๐ โ ๐๐ถ1๐ฆ๐+๐โ1 + ๐๐ถ2๐ฆ๐+๐โ2 โโฏ+ โ1 ๐๐ฆ๐
โด โ๐๐ฆ๐ = โ๐๐ฆ๐+๐
Example 1 Evaluate the following:
i. โ๐๐ฅ ii. โ2๐๐ฅ iii. โ ๐ก๐๐โ1๐ฅ iv. โ ๐ฅ+1
๐ฅ2โ3๐ฅ+2 v. โ๐๐
2 = ๐๐ + ๐๐+1 โ๐๐
Solution: i. โ๐๐ฅ = ๐๐ฅ+๐ โ ๐๐ฅ = ๐๐ฅ(๐๐ โ 1)
โ๐๐ฅ = ๐๐ฅ(๐ โ 1) , if ๐ = 1
ii. โ2๐๐ฅ = โ(โ๐๐ฅ)
= โ ๐๐ฅ ๐๐ โ 1
= ๐๐ โ 1 โ๐๐ฅ
= ๐๐ โ 1 ๐๐ฅ+๐ โ ๐๐ฅ
= ๐๐ โ 1 ๐๐ฅ(๐๐ โ 1)
= ๐๐ฅ (๐๐ โ 1)2
iii. โ๐ก๐๐โ1๐ฅ = ๐ก๐๐โ1 ๐ฅ + ๐ โ ๐ก๐๐โ1๐ฅ
= ๐ก๐๐โ1 ๐ฅ+๐โ๐ฅ
1+(๐ฅ+๐)๐ฅ
= ๐ก๐๐โ1 ๐
1+(๐ฅ+๐)๐ฅ
iv. โ ๐ฅ+1
๐ฅ2โ3๐ฅ+2 = โ
๐ฅ+1
๐ฅโ1 (๐ฅโ2)
= โ โ2
๐ฅโ1+
3
๐ฅโ2 = โ
โ2
๐ฅโ1 + โ
3
๐ฅโ2
= โ2 1
๐ฅ+1โ1โ
1
๐ฅโ1 + 3
1
๐ฅ+1โ2โ
1
๐ฅโ2
= โ2 1
๐ฅโ
1
๐ฅโ1 + 3
1
๐ฅโ1โ
1
๐ฅโ2
= โ(๐ฅ+4)
๐ฅ ๐ฅโ1 (๐ฅโ2)
v. โ๐๐2 = ๐๐+1
2 โ ๐๐2 = ๐๐+1 + ๐๐ ๐๐+1 โ ๐๐ = ๐๐ + ๐๐+1 โ๐๐
Example 2 Evaluate the following:
i. โ๐๐ฅ log 2๐ฅ ii. โ ๐ฅ2
cos 2๐ฅ
Solution: i. Let ๐ ๐ฅ = ๐๐ฅ and ๐ ๐ฅ = log 2๐ฅ
We have โ ๐ ๐ฅ ๐ ๐ฅ = ๐ ๐ฅ + ๐ โ ๐ ๐ฅ + ๐ ๐ฅ โ๐ ๐ฅ
โด โ๐๐ฅ log 2๐ฅ = ๐๐ฅ+๐โ log 2๐ฅ + log 2๐ฅ โ๐๐ฅ
= ๐๐ฅ+๐ log 2 ๐ฅ + ๐ โ log 2๐ฅ + log 2๐ฅ ๐๐ฅ+๐ โ ๐๐ฅ
= ๐๐ฅ๐๐ log 1 +๐
๐ฅ + ๐๐ฅ log 2๐ฅ ๐๐ โ 1
= ๐๐ฅ ๐๐ log 1 +๐
๐ฅ + log 2๐ฅ ๐๐ โ 1
ii. Let ๐ ๐ฅ = ๐ฅ2 and ๐ ๐ฅ = cos 2๐ฅ
We have โ ๐ ๐ฅ
๐ ๐ฅ =
๐ ๐ฅ โ๐ ๐ฅ โ๐(๐ฅ)โ๐ ๐ฅ
๐ ๐ฅ+๐ ๐ ๐ฅ
=cos 2๐ฅ ๐ฅ+๐ 2โ๐ฅ2 โ๐ฅ2 cos 2 ๐ฅ+๐ โcos 2๐ฅ
cos 2 ๐ฅ+๐ cos 2๐ฅ
= ๐2+2๐๐ฅ cos 2๐ฅ+2๐ฅ2 sin 2๐ฅ+๐ sin ๐
cos 2 ๐ฅ+๐ cos 2๐ฅ
Example 3 Evaluate โ4 1 โ 2๐ฅ 1 โ 3๐ฅ 1 โ 4๐ฅ 1 โ ๐ฅ ,where interval of differencing is one.
Solution: โ4 1 โ 2๐ฅ 1 โ 3๐ฅ 1 โ 4๐ฅ 1 โ ๐ฅ
= โ4 24๐ฅ4 + โฏ+ 1 = 24.4!. 14 = 576
โต โ๐๐ ๐ฅ = ๐0๐! ๐๐ and โ4๐ฅ๐ = 0 when ๐ < 4
Example 4 Prove that โ3๐ฆ3 = โ3๐ฆ6
Solution: โ3๐ฆ3 = (๐ธ โ 1)3๐ฆ3 โต โ= ๐ธ โ 1
= ๐ธ3 โ 1 โ 3๐ธ2 + 3๐ธ ๐ฆ3
= ๐ธ3๐ฆ3 โ ๐ฆ3 โ 3๐ธ2๐ฆ3 + 3๐ธ๐ฆ3
= ๐ฆ6 โ ๐ฆ3 โ 3๐ฆ5 + 3๐ฆ4
Also โ3๐ฆ6 = (1 โ Eโ1)3๐ฆ6 โต โ โก 1 โ ๐ธโ1
= 1 โ Eโ3 โ 3๐ธโ1 + 3๐ธโ2 ๐ฆ6
= ๐ฆ6 โ ๐ฆ3 โ 3๐ฆ5 + 3๐ฆ4
Example 5 Prove that โ + โ = โ
โโโ
โ
Solution: L.H.S. = โ + โ = ๐ธ โ 1 + 1 โ ๐ธโ1
= ๐ธ โ ๐ธโ1
R.H.S. =โ
โโโ
โ
=๐ธโ1
1โ๐ธโ1โ
1โ๐ธ โ1
๐ธโ1
= ๐ธโ1 2 โ 1โ ๐ธ โ1
2
1โ๐ธ โ1 ๐ธโ1
= ๐ธ2+1โ 2๐ธ โ 1+ ๐ธโ2โ2๐ธโ1
๐ธ + ๐ธโ1โ2
=๐ธ2โ๐ธโ2โ2๐ธ+2๐ธโ1
๐ธ + ๐ธโ1โ2
= ๐ธ+๐ธโ1 ๐ธโ๐ธ โ1 โ 2 ๐ธโ ๐ธโ1
๐ธ + ๐ธโ1โ2
= ๐ธ โ ๐ธโ1 ๐ธ + ๐ธ โ1โ2
๐ธ + ๐ธโ1โ2
= ๐ธ โ ๐ธโ1 = R.H.S.
Example 6 Prove that ๐ธ = 1 +1
2ฮด2 + ฮด 1 +
1
4ฮด2
Solution: R.H.S. = 1 +1
2ฮด2 + ฮด 1 +
1
4ฮด2
= 1 +1
2 ๐ธ
1
2 โ ๐ธโ 1
2 2
+ ๐ธ1
2 โ ๐ธโ 1
2 1 +1
4 ๐ธ
1
2 โ ๐ธโ 1
2 2
โต ฮด โก ๐ธ1
2 โ ๐ธโ 1
2
= 1 +1
2 ๐ธ + ๐ธโ1 โ 2 + ๐ธ
1
2 โ ๐ธโ 1
2 1 +1
4 ๐ธ + ๐ธโ1 โ 2
= 1 +1
2 ๐ธ + ๐ธโ1 โ 2 + ๐ธ
1
2 โ ๐ธโ 1
2 1
4 ๐ธ + ๐ธโ1 + 2
= 1 +1
2 ๐ธ + ๐ธโ1 โ 2 + ๐ธ
1
2 โ ๐ธโ 1
2 1
4 ๐ธ
1
2 + ๐ธโ 1
2 2
= 1 +1
2 ๐ธ + ๐ธโ1 โ 2 +
1
2 ๐ธ
1
2 โ ๐ธโ 1
2 ๐ธ1
2 + ๐ธโ 1
2
=1
2 ๐ธ + ๐ธโ1 +
1
2 ๐ธ โ ๐ธโ1 = ๐ธ = L.H.S.
Example 7 Prove that โ = โ1
2ฮด2 + ฮด 1 +
1
4ฮด2
Solution: R.H.S. = โ1
2ฮด2 + ฮด 1 +
1
4ฮด2
= โ1
2 ๐ธ
1
2 โ ๐ธโ 1
2 2
+ ๐ธ1
2 โ ๐ธโ 1
2 1 +1
4 ๐ธ
1
2 โ ๐ธโ 1
2 2
โต ฮด โก ๐ธ1
2 โ ๐ธโ 1
2
= โ1
2 ๐ธ + ๐ธโ1 โ 2 + ๐ธ
1
2 โ ๐ธโ 1
2 1 +1
4 ๐ธ + ๐ธโ1 โ 2
= โ1
2 ๐ธ + ๐ธโ1 โ 2 + ๐ธ
1
2 โ ๐ธโ 1
2 1
4 ๐ธ + ๐ธโ1 + 2
= โ1
2 ๐ธ + ๐ธโ1 โ 2 + ๐ธ
1
2 โ ๐ธโ 1
2 1
4 ๐ธ
1
2 + ๐ธโ 1
2 2
= โ1
2 ๐ธ + ๐ธโ1 โ 2 +
1
2 ๐ธ
1
2 โ ๐ธโ 1
2 ๐ธ1
2 + ๐ธโ 1
2
= โ1
2 ๐ธ + ๐ธโ1 โ 2 +
1
2 ๐ธ โ ๐ธโ1 = 1 โ ๐ธโ1 = โ= L.H.S.
Example 8 Prove that (i) โ โ โ = ฮด2 (ii) ฮผ = 1 +1
4ฮด2 = 1 +
โ
2 1 + โ โ
1
2
Solution: (i) ฮด2 = ๐ธ1
2 โ ๐ธโ 1
2 2
= ๐ธ + ๐ธโ1 โ 2 โต ฮด โก ๐ธ1
2 โ ๐ธโ 1
2
= ๐ธ โ 1 โ 1 โ ๐ธโ1 = โ โ โ
โต ๐ธ โ 1 โก โ and 1 โ ๐ธโ1 = โ
(ii) 1 +1
4ฮด2 = 1 +
1
4 ๐ธ
1
2 โ ๐ธโ 1
2 2
โต ฮด โก ๐ธ1
2 โ ๐ธโ 1
2
= 1 +1
4 ๐ธ + ๐ธโ1 โ 2
= 1
4 ๐ธ + ๐ธโ1 + 2
= 1
4 ๐ธ
1
2 + ๐ธโ 1
2 2
=1
2 ๐ธ
1
2 + ๐ธโ 1
2 = ฮผ โต ฮผ โก1
2 ๐ธ
1
2 + ๐ธโ 1
2
Also 1 +โ
2 1 + โ โ
1
2 = 1 +๐ธโ1
2 1 + ๐ธ โ 1 โ
1
2
โต โ โก ๐ธ โ 1
= ๐ธ+1
2 ๐ธโ
1
2
=1
2 ๐ธโ
1
2 + ๐ธ1
2 = ฮผ
Example 9 Prove that (i) โ โก ๐ธโ โก โE = ฮด๐ธ 12 (ii) Er = ฮผ +
๐ฟ
2
2๐
Solution: (i) ๐ธโ = E 1 โ ๐ธโ 1 = ๐ธ โ 1 = โ โต โ โก 1 โ ๐ธโ1
โE = 1 โ ๐ธโ 1 ๐ธ = ๐ธ โ 1 = โ
ฮด๐ธ 12 = ๐ธ
1
2 โ ๐ธโ 1
2 ๐ธ 12 = ๐ธ โ 1 = โ โต ฮด โก ๐ธ
1
2 โ ๐ธโ 1
2
(ii) R.H.S. = ฮผ +๐ฟ
2
2๐
= 1
2 ๐ธ
1
2 + ๐ธโ 1
2 +1
2 ๐ธ
1
2 โ ๐ธโ 1
2
2๐
โต ฮผ โก1
2 ๐ธ
1
2 + ๐ธโ 1
2 and ฮด โก ๐ธ1
2 โ ๐ธโ 1
2
= 1
2 2๐ธ
1
2
2๐
= ๐ธ1
2 2๐
= Er = L.H.S
Example 10 Prove that (i) ๐ท โก 1
๐๐๐๐ ๐ธ (iii) ๐๐ท โก ๐๐๐ 1 + โ โก โlog(1 โ โ)
(iii) โ2 โก ๐2๐ท2 โ ๐3๐ท3 +7
12๐4๐ท4 + โฏ
Solution: (i) We know that ๐ธ โก ๐๐๐ท
โ ๐๐๐๐ธ โก ๐๐๐ ๐๐๐ท
โ ๐๐๐๐ธ โก ๐๐ ๐๐๐ ๐
โ ๐ท โก 1
๐๐๐๐ ๐ธ โต ๐๐๐ ๐ = 1
(ii) ๐ ๐ท โก ๐๐๐๐ธ From relation (i)
โก log(1 + โ) โต ๐ธ โก 1 + โ
Also ๐ ๐ท โก ๐๐๐๐ธ โก โ log๐ธโ1
โก โlog(1 โ โ) โต โ โก 1 โ ๐ธโ1
(iii) We know that โ โก 1 โ ๐ธโ1
โ โ โก 1 โ1
๐ธ
โก 1 โ ๐โ๐๐ท โต ๐ธ = ๐๐๐ท
โ โโก 1 โ 1 โ ๐๐ +๐2๐ท2
2!โ
๐3๐ท3
3!+ โฏ
โ โโก ๐๐ โ๐2๐ท2
2! +
๐3๐ท3
3!+ โฏ
โด โ2 โก ๐๐ โ๐2๐ท2
2! +
๐3๐ท3
3!+ โฏ
2
โ โ2 โก ๐2๐ท2 + ๐2๐ท2
2!
2
+ โฏโ 2 ๐๐ ๐2๐ท2
2! + 2 ๐๐
๐3๐ท3
3! โโฏ
โ โ2 โก ๐2๐ท2 โ ๐3๐ท3 + ๐4๐ท4
4+
๐4๐ท4
3 โโฏ
โ โ2 โก ๐2๐ท2 โ ๐3๐ท3 +7
12๐4๐ท4 โโฏ
Remark: In order to prove any relation, we can express the operators (โ ,โ,๐ฟ) in
terms of fundamental operator ๐ธ.
Example 11 Form the forward difference table for the function
๐ ๐ฅ = ๐ฅ3 โ 2๐ฅ2 โ 3๐ฅ โ 1 for ๐ฅ = 0, 1, 2, 3, 4.
Hence or otherwise find โ3๐ ๐ฅ , also show that โ4๐ ๐ฅ = 0
Solution: ๐ 0 = โ1, ๐ 1 = โ5, ๐ 2 = โ7, ๐ 3 = โ1, ๐ 4 = 19
Constructing the forward difference table:
๐ ๐(๐) โ โ๐ โ๐ โ๐ ๐ โ1 โ4
1 โ5 2 โ2 6 ๐ โ7 8 0 6 6 ๐ โ1 14 20 ๐ 19
From the table, we see that โ3๐ ๐ฅ = 6 and โ4๐ ๐ฅ = 0
Note: Using the formula โ๐๐ ๐ฅ = ๐0๐! ๐๐ , โ3๐ ๐ฅ = 1.3!. 1๐ = 6
Also โ๐+1๐ ๐ฅ = 0 for a polynomial of degree ๐, โด โ4๐ ๐ฅ = 0
Example 12 If for a polynomial, five observations are recorded as: ๐ฆ0 = โ8,
๐ฆ1 = โ6, ๐ฆ2 = 22, ๐ฆ3 = 148, ๐ฆ4 = 492, find ๐ฆ5.
Solution: ๐ฆ5 = ๐ธ5๐ฆ0 = (1 + โ)5๐ฆ0 โต ๐ธ โก 1 + โ
= ๐ฆ0 + 5๐ถ1โ๐ฆ0 + 5๐ถ2โ2๐ฆ0 + 5๐ถ3โ
3๐ฆ0 + 5๐ถ4โ4๐ฆ0 + โ5๐ฆ0 โฆโ
Constructing the forward difference table:
๐ ๐ โ โ๐ โ๐ โ๐ ๐๐ โ8
2 ๐๐ โ6 26
28 72 ๐๐ 22 98 48
126 120 ๐๐ 148 218
344 ๐๐ 492
From table โ๐ฆ0 = 2, โ2๐ฆ0 = 26 , โ3๐ฆ0 = 72 , โ3๐ฆ0 = 48 โฆ โก
โ ๐ฆ5
= โ8 + 5 2 + 10 26 + 10 72 + 5 48 = 1222 using โก in โ
6.4 Missing values of Data Missing data or missing values occur when an observation is missing for a
particular variable in a data sample. Concept of finite differences can help to locate
the requisite value using known concepts of curve fitting.
To determine the equation of a line (equation of degree one), we need at least two
given points. Similarly to trace a parabola (equation of degree two), at least three
points are imperative. Thus we essentially require ๐ + 1 known observations to
determine a polynomial of ๐๐ก๐ degree.
To find missing values of data using finite differences, we presume the degree of
the polynomial by the number of known observations and use the result
โ๐+1๐ ๐ฅ = 0 for a polynomial of degree ๐.
Example 13 Use the concept of missing data to find ๐ฆ5 if ๐ฆ0 = โ8, ๐ฆ1 = โ6,
๐ฆ2 = 22, ๐ฆ3 = 148, ๐ฆ4 = 492
Solution: Constructing the forward difference table taking ๐ฆ5 as missing value
๐ ๐ โ โ๐ โ๐ โ๐ โ๐ ๐๐ โ8
2 ๐๐ โ6 26
28 72 ๐๐ 22 98 48
126 120 ๐ฆ5 โ 1222 ๐๐ 148 218 ๐ฆ5 โ 1174
344 ๐ฆ5 โ 1054 ๐๐ 492 ๐ฆ5 โ 836
๐ฆ5 โ 492 ๐๐ ๐ฆ5
Since 5 observations are known, let us assume that the polynomial represented by
given data is of 4๐ก๐ degree. โด โ5๐ฆ = 0 โ ๐ฆ5โ 1222 = 0 or ๐ฆ5 = 1222
Example 14 Find the missing values in the following table
๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐
๐(๐) 6 ? 13 17 22 ?
Solution: Since there are 4 known values of ๐ ๐ฅ in the given data, let us assume
the polynomial represented by the given data to be of 3๐๐degree.
Constructing the forward difference table taking missing values as ๐ and ๐.
๐ ๐ โ โ๐ โ๐ โ๐ ๐ 6
๐ โ 6 ๐ ๐ 19 โ 2๐
13 โ ๐ 3๐ โ 28 ๐๐ 13 ๐ โ 9 38 โ 4๐
4 10 โ ๐ 15 17 1 ๐ + ๐ โ 38
5 ๐ โ 28 2๐ 22 ๐ โ 27
๐ โ 22
25 ๐
Since the polynomial represented by the given data is considered to be of
3๐๐degree, 4๐กโand higher order differences are zero i.e. โ4๐ฆ = 0
โด 38 โ 4๐ = 0 and ๐ + ๐ โ 38 = 0 Solving these two equations, we get ๐ = 9.5 ๐ = 28.5
6.5 Finding Differences Using Factorial Notation We can conveniently find the forward differences of a polynomial using factorial
notation.
6.5.1 Factorial Notation of a Polynomial
A product of the form ๐ฅ ๐ฅ โ 1 ๐ฅ โ 2 โฆ ๐ฅ โ ๐ + 1 is called a factorial
polynomial and is denoted by ๐ฅ ๐
โด ๐ฅ = ๐ฅ
๐ฅ 2 = ๐ฅ(๐ฅ โ 1)
๐ฅ 3 = ๐ฅ ๐ฅ โ 1 (๐ฅ โ 2)
โฎ
๐ฅ ๐ = ๐ฅ ๐ฅ โ 1 ๐ฅ โ 2 โฆ ๐ฅ โ ๐ + 1
In case, the interval of differencing is ๐, then
๐ฅ ๐ = ๐ฅ ๐ฅ โ ๐ ๐ฅ โ ๐ โฆ ๐ฅ โ ๐โ 1 ๐
The results of differencing ๐ฅ ๐ are analogous to that differentiating ๐ฅ๐
โด โ ๐ฅ ๐ = ๐ ๐ฅ ๐โ1
โ2 ๐ฅ ๐ = ๐(๐ โ 1) ๐ฅ ๐โ2
โ3 ๐ฅ ๐ = ๐ ๐ โ 1 (๐ โ 2) ๐ฅ ๐โ3
โฎ
โ๐ ๐ฅ ๐ = ๐ ๐ โ 1 ๐ โ 2 โฆ 3.2.1 = ๐!
โ๐+1 ๐ฅ ๐ = 0
Also 1
โ ๐ฅ =
๐ฅ 2
2 ,
1
โ ๐ฅ 2 =
๐ฅ 3
3 and so on
1
โ2 ๐ฅ =
1
โ ๐ฅ 2
2 =
๐ฅ 3
6
โฎ
Remark:
i. Every polynomial of degree ๐ can be expressed as a factorial
polynomial of the same degree and vice-versa.
ii. The coefficient of highest power of ๐ฅ and also the constant term
remains unchanged while transforming a polynomial to factorial
notation.
Example15 Express the polynomial 2๐ฅ2 + 3๐ฅ + 1 in factorial notation.
Solution: 2๐ฅ2 โ 3๐ฅ + 1 = 2๐ฅ2 โ 2๐ฅ + 5๐ฅ + 1
= 2๐ฅ ๐ฅ โ 1 + 5๐ฅ + 1
= 2 ๐ฅ 2 + 5 ๐ฅ + 1
Example16 Express the polynomial 2๐ฅ3 โ ๐ฅ2 + 3๐ฅ โ 4 in factorial notation.
Solution: 2๐ฅ3 โ ๐ฅ2 + 3๐ฅ โ 4 = 2 ๐ฅ 3 + ๐ด ๐ฅ 2 + ๐ต ๐ฅ โ 4
Using remarks i and ii
= 2๐ฅ ๐ฅ โ 1 ๐ฅ โ 2 + ๐ด๐ฅ ๐ฅ โ 1 + ๐ต๐ฅ โ 4
= 2๐ฅ3 + ๐ด โ 6 ๐ฅ2 + โ๐ด + ๐ต + 4 ๐ฅ โ 4
Comparing the coefficients on both sides
A โ 6 = โ1, โ๐ด + B + 4 = 3
โ A = 5, B = 4
โด 2๐ฅ3 โ ๐ฅ2 + 3๐ฅ โ 4 = 2 ๐ฅ 3 + 5 ๐ฅ 2 + 4 ๐ฅ โ 4
We can also find factorial polynomial using synthetic division as shown:
Coefficients ๐ด and ๐ต can be found as remainders under ๐ฅ2 and ๐ฅ columns
๐ฅ3 ๐ฅ2 ๐ฅ
1 2 โ1 3 โ4
โ 2 1
2 2 1 4 = ๐ต
โ 4
2 5 = A
Example 17 Find โ3๐ ๐ฅ for the polynomial ๐ ๐ฅ = ๐ฅ3 โ 2๐ฅ2 โ 3๐ฅ โ 1
Also show that โ4๐ ๐ฅ = 0
Solution: Finding factorial polynomial of ๐ ๐ฅ as shown:
Let ๐ฅ3 โ 2๐ฅ2 โ 3๐ฅ โ 1 = ๐ฅ 3 + ๐ด ๐ฅ 2 + ๐ต ๐ฅ โ 1
Coefficients ๐ด and ๐ต can be found as remainders under ๐ฅ2 and ๐ฅ columns
๐ฅ3 ๐ฅ2 ๐ฅ
1 1 โ2 โ3 โ1
โ 1 โ1
2 1 โ1 โ 4 = ๐ต
โ 2
1 1 = A
โด ๐ ๐ฅ = ๐ฅ3 โ 2๐ฅ2 โ 3๐ฅ โ 1 = ๐ฅ 3 + ๐ฅ 2 โ 4 ๐ฅ โ 1
โ3๐ ๐ฅ = โ3 ๐ฅ 3 + ๐ฅ 2 โ 4 ๐ฅ โ 1
= 3! + 0 = 6 โต โ๐ ๐ฅ ๐ = ๐! and โ๐+1 ๐ฅ ๐ = 0
Also โ4๐ ๐ฅ = โ4 ๐ฅ 3 + ๐ฅ 2 โ 4 ๐ฅ โ 1 = 0
Note: Results obtained are same as in Example 11, where we have used
forward difference table to compute the differences.
Example 18: Obtain the function whose first difference is 8๐ฅ3 โ 3๐ฅ2 + 3๐ฅ โ 1
Solution: Let ๐ ๐ฅ be the function whose first difference is 8๐ฅ3 โ 3๐ฅ2 + 3๐ฅ โ 1
โ โ๐ ๐ฅ = 8๐ฅ3 โ 3๐ฅ2 + 3๐ฅ โ 1
Let 8๐ฅ3 โ 3๐ฅ2 + 3๐ฅ โ 1 = 8 ๐ฅ 3 + ๐ด ๐ฅ 2 + ๐ต ๐ฅ โ 1
Coefficients ๐ด and ๐ต can be found as remainders under ๐ฅ2 and ๐ฅ columns
๐ฅ3 ๐ฅ2 ๐ฅ
1 8 โ3 3 โ1
โ 8 5
2 8 5 8 = ๐ต
โ 16
8 21 = A
โด โ๐ ๐ฅ = 8๐ฅ3 โ 3๐ฅ2 + 3๐ฅ โ 1 = 8 ๐ฅ 3 + 21 ๐ฅ 2 + 8 ๐ฅ โ 1
๐ ๐ฅ = 1
โ 8 ๐ฅ 3 + 21 ๐ฅ 2 + 8 ๐ฅ โ 1
=8 ๐ฅ 4
4+
21 ๐ฅ 3
3+
8 ๐ฅ 2
2โ ๐ฅ โต
1
โ ๐ฅ =
๐ฅ 2
2 ,
1
โ ๐ฅ 2 =
๐ฅ 3
3, โฆ
= 2 ๐ฅ 4 + 7 ๐ฅ 3 + 4 ๐ฅ 2 โ [๐ฅ] = 2๐ฅ ๐ฅ โ 1 ๐ฅ โ 2 ๐ฅ โ 3 + 7๐ฅ ๐ฅ โ 1 ๐ฅ โ 2 + 4๐ฅ ๐ฅ โ 1 โ ๐ฅ
= ๐ฅ 2 ๐ฅ โ 1 ๐ฅ โ 2 ๐ฅ โ 3 + 7 ๐ฅ โ 1 ๐ฅ โ 2 + 4 ๐ฅ โ 1 โ 1 = ๐ฅ 2๐ฅ3 โ 5๐ฅ2 + 5๐ฅ โ 3 = 2๐ฅ4 โ 5๐ฅ3 + 5๐ฅ2 โ 3๐ฅ
โ ๐ ๐ฅ = 2๐ฅ4 โ 5๐ฅ3 + 5๐ฅ2 โ 3๐ฅ
6.6 Series Summation Using Finite Differences The method of finite differences may be used to find sum of a given series by
applying the following algorithm:
1. Let the series be represented by ๐ข0, ๐ข1 , ๐ข2 , ๐ข3, โฆ
2. Use the relation ๐ข๐ = ๐ธ๐๐ข0 to introduce the operator ๐ธ in the series.
3. Replace ๐ธ by โ by substituting ๐ธ โก 1 + โ and find the sum the series by
any of the applicable methods like sum of a G.P., exponential or logarithmic
series or by binomial expansion and operate term by term on ๐ข0 to find the
required sum.
Example 19 Prove the following using finite differences:
i. ๐ข0 + ๐ข1๐ฅ
1!+ ๐ข2
๐ฅ2
2!+ โฏ = ๐๐ฅ ๐ข0 + ๐ฅ
โ ๐ข0
1!+ ๐ฅ2 โ2 ๐ข0
2!+ โฏ
ii. ๐ข0 โ ๐ข1 + ๐ข2 โ ๐ข3 + โฏ = 1
2 ๐ข0 โ
1
4โ ๐ข0 +
1
8โ2 ๐ข0 โโฏ
Solution: i. ๐ข0 + ๐ข1๐ฅ
1!+ ๐ข2
๐ฅ2
2!+ โฏ = ๐ข0 +
๐ฅ
1!๐ธ๐ข0 +
๐ฅ2
2!๐ธ2๐ข0 + โฏ
= 1 +๐ฅ๐ธ
1!+
๐ฅ2๐ธ2
2!๐ข0 + โฏ ๐ข0
= ๐๐ฅ๐ธ ๐ข0 = ๐๐ฅ(1+โ) ๐ข0
= ๐๐ฅ๐๐ฅโ ๐ข0
= ๐๐ฅ 1 +๐ฅโ
1!+
๐ฅ2โ2
2!+ โฏ ๐ข0
= ๐๐ฅ ๐ข0 + ๐ฅโ ๐ข0
1!+ ๐ฅ2 โ2 ๐ข0
2!+ โฏ
ii. ๐ข0 โ ๐ข1 + ๐ข2 โ ๐ข3 + โฏ = ๐ข0 โ ๐ธ๐ข0 + ๐ธ2๐ข0 โ ๐ธ3๐ข0 + โฏ
= 1 โ ๐ธ + ๐ธ2 โ ๐ธ3 + โฏ ๐ข0
= 1 + ๐ธ โ1 ๐ข0
= 2 + โ โ1 ๐ข0
= 2โ1 1 +โ
2 โ1
๐ข0
=1
2 1 โ
โ
2+
โ2
4โโฏ ๐ข0
= 1
2 ๐ข0 โ
1
4โ ๐ข0 +
1
8โ2 ๐ข0 โโฏ
Example 20 Sum the series 12, 22, 32,โฆ, ๐2 using finite differences.
Solution: Let the series 12, 22, 32,โฆ, ๐2 be represented by ๐ข0, ๐ข1 , ๐ข2 ,โฆ, ๐ข๐โ1
โด ๐ = ๐ข0 + ๐ข1 + ๐ข2 + โฏ+๐ข๐โ1
โ ๐ = ๐ข0 + ๐ธ๐ข0 + ๐ธ2๐ข0 + โฏ+๐ธ๐โ1๐ข0
= 1 + ๐ธ + ๐ธ2 + โฏ+ ๐ธ๐โ1 ๐ข0
=1โ๐ธ๐
1โ๐ธ๐ข0 =
๐ธ๐โ1
๐ธโ1๐ข0 โต ๐๐ = ๐
1โ๐๐
1โ๐
โ ๐ =(1+โ)๐โ1
(1+โ)โ1๐ข0
=1
โ 1 + ๐โ +
๐(๐โ1)
2!โ2 +
๐ ๐โ1 (๐โ2)
3!โ3 + โฏ โ 1 ๐ข0
= ๐๐ข0 +๐(๐โ1)
2!โ๐ข0 +
๐ ๐โ1 (๐โ2)
3!โ2๐ข0 + โฏ
Now ๐ข0 = 12 = 1
โ๐ข0 = ๐ข1 โ ๐ข0 = 22 โ 12 = 3
โ2๐ข0 = โ๐ข1 โ โ๐ข0 = ๐ข2 โ 2๐ข1 + ๐ข0 = 32 โ 2( 22) + 12 = 2
โ3๐ข0, โ4๐ข0 โฆ are all zero as given series is an expression of degree 2
โด ๐ = ๐ + ๐(๐โ1)
2! 3 +
๐ ๐โ1 (๐โ2)
3! 2 + 0
= ๐ +3๐ ๐โ1
2+
๐ ๐โ1 ๐โ2
3
=1
6 6๐ + 9๐ ๐ โ 1 + 2๐ ๐ โ 1 ๐ โ 2
=1
6๐ 6 + 9๐ โ 9 + 2๐2 โ 6๐ + 4
=1
6๐ 2๐2 + 3๐ + 1 =
1
6๐ ๐ + 1 (2๐ + 1)
Example 21 Prove that ๐ข0 + ๐ข1๐ฅ + ๐ข2๐ฅ2 + โฏ =
๐ข0
1โ๐ฅ+
๐ฅโ๐ข0
(1โ๐ฅ)2+
๐ฅ2โ๐ข02
(1โ๐ฅ)3+ โฏ
and hence evaluate 1.2 + 2.3๐ฅ + 3.4๐ฅ2 + 4.5๐ฅ3 + โฏ
Solution: ๐ข0 + ๐ข1๐ฅ + ๐ข2๐ฅ2 + โฏ = ๐ข0 + ๐ฅ๐ธ๐ข0 + ๐ฅ2๐ธ
2๐ข0 + โฏ
= 1 + ๐ฅ๐ธ + ๐ฅ2๐ธ2 + โฏ ๐ข0
=1
1โ๐ฅ๐ธ๐ข0 โต ๐โ =
๐
1โ๐
=1
1โ๐ฅ(1+โ)๐ข0 =
1
(1โ๐ฅ)โ๐ฅโ๐ข0
=1
1โ๐ฅ
1
1โ๐ฅโ
1โ๐ฅ ๐ข0
=1
1โ๐ฅ 1 โ
๐ฅโ
1โ๐ฅ โ1๐ข0
=1
1โ๐ฅ 1 +
๐ฅโ
1โ๐ฅ +
๐ฅ2โ2
(1โ๐ฅ)2+ โฏ ๐ข0
= ๐ข0
1โ๐ฅ+
๐ฅโ๐ข0
(1โ๐ฅ)2+
๐ฅ2โ๐ข02
(1โ๐ฅ)3+ โฏ = R.H.S.
Now to evaluate the series 1.2 + 2.3๐ฅ + 3.4๐ฅ2 + 4.5๐ฅ3 + โฏ
Let ๐ข0 = 1.2 = 2, ๐ข1 = 2.3 = 6, ๐ข2 = 3.4 = 12, ๐ข3 = 4.5 = 20,โฆ
Forming forward difference table to calculate the differences
๐ โ โ๐ โ๐ โ๐ ๐๐ = ๐.๐ = ๐
4 ๐๐ = ๐.๐ = ๐ 2
6 0 ๐๐ = ๐.๐ = ๐๐ 2 0
8 0 ๐๐ = ๐.๐ = ๐๐ 2
10 ๐๐ = ๐.๐ = ๐๐
โด 1.2 + 2.3๐ฅ + 3.4๐ฅ2 + 4.5๐ฅ3 + โฏ = ๐ข0
1โ๐ฅ+
๐ฅโ๐ข0
(1โ๐ฅ)2+
๐ฅ2โ๐ข02
(1โ๐ฅ)3+ โฏ
=2
1โ๐ฅ+
4๐ฅ
(1โ๐ฅ)2+
2๐ฅ2
(1โ๐ฅ)3+ 0
=2
(1โ๐ฅ)3
Exercise 6A
1. Express ๐ฆ4 in terms of successive forward differences.
2. Prove that โ๐๐3๐ฅ+5 = ๐3 โ 1 ๐๐3๐ฅ+5
3. Evaluate โ2 5๐ฅ+12
๐ฅ2+5๐ฅ+6
4. If ๐ข0 = 3, ๐ข1 = 12, ๐ข2 = 81, ๐ข3 = 2000, ๐ข4 = 100, calculate โ4๐ข0.
5. Prove that ฮผ =2+โ
2 1+โ= 1 +
1
4ฮด2
6. Find the missing value in the following table
๐ฅ 0 5 10 15 20 25
๐ฆ 6 10 - 17 - 31
7. Sum the series 13, 23, 33,โฆ, ๐3 using finite differences.
Answers
1. ๐ฆ4 = ๐ฆ0 + 4โ๐ฆ0 + 6โ2๐ฆ0 + 4โ3๐ฆ0 + โ4๐ฆ0
3. โ3(๐ฅ2+9๐ฅ+15)
๐ฅ(๐ฅ+1)(๐ฅ+4)(๐ฅ+5)(๐ฅ+8)(๐ฅ+9)
4. โ7459
6. 13.25, 22.5