Chapter 5GENERAL VECTOR SPACE

5.5. Row Space, Column Space, Nullspace5.6. Rank & Nullity

5.5. Row Space, Column Space, Nullspace

Vektor-Vektor Baris & Kolom

Vektor baris A (dalam Rn)

Vektor kolom A (dalam Rm)

Ruang Baris, Ruang Kolom, Ruang Null

Definisi:

Jika A adalah suatu matriks m x n, maka:• Sub ruang dari Rn yang terentang oleh vektor-vektor baris

dari A disebut Ruang Baris dari A.• Sub ruang dari Rm yang terentang oleh vektor-vektor kolom

disebut Ruang Kolom dari A.• Ruang penyelesaian dari sistem persamaan homogen Ax= 0,

yang merupakan suatu sub ruang dari Rn disebut Ruang Nulldari A

Ruang Kolom

Ruang Baris

Ruang Null

Ruang Baris, Ruang Kolom, Ruang Null

Maka vektor-vektor baris A adalah:

Dan vektor-vektor kolom A adalah:

Ruang Baris, Ruang Kolom, Ruang Null

Theorema 1.

Suatu sistem persamaan linier Ax = b konsisten jikadan hanya jika b berada dalam ruang kolom A.

Contoh :

Dengan eliminasi Gaussian didapat : x1 = 2; x2 = -1; x3 = 3

Karena sistem punya solusi/konsisten,

maka b berada dalam ruang kolom A

Ax = b dan Ax = 0

Teorema 2.

• Jika x0 menyatakan sembarang penyelesaian tunggal dari suatusistem linier tak homogen yang konsisten Ax = b ,

• v1, v2, …, vk merupakan vektor-vektor baris untuk ruang null A & merupakan ruang penyelesaian dari sistem homogen Ax = 0,

• Setiap penyelesaian dari Ax = b bisa dinyatakan dalam bentuk:

x = x0 + c1v1 + c2 v2 + … + ckvk

• Dan sebaliknya, untuk semua pilihan sklalar, c1, c2, …, ck vektor x dalam rumus ini merupakan penyelesaian dari Ax = b

x = x0 + c1v1 + c2 v2 + … + ckvk

Penyelesaian umum Ax = 0

Penyelesaian umum Ax = b

Penyelesaian khusus Ax = b

Ax = b dan Ax = 0

Tentukan penyelesaian khusus dan penyelesaian umum dari Sistem Persamaan Linier berikut :

H21(-2) H2

(-1)

H32(-5)

H42(-4)

H34; H3(1/6),

H23(-3)

Ditulis dalam bentuk vektor sebagai berikut:

Penyelesaian umum dari SPL

Solusi khusus Ax = b

Solusi umum Ax = 0

x1= -3r -4s – 2t; x2 = r; x3 = -2s; x4 = s; x5 = t; x6 = 0

Bukti solusi umum Ax = 0

Terbukti!!

Basis Ruang Baris, Ruang Kolom, Ruang Null

Operasi baris dasar pada matriks A tidak mengubah himpunanpenyelesaian dari sistem linier yang berpadanan Ax = 0

Theorema 3.

Operasi baris dasar tidak mengubah ruang Null suatu matriks

Basis Ruang Baris, Ruang Kolom, Ruang Null

Contoh :

Cari basis untuk ruang null dari :

Basis ruang null didapat melalui himpunan penyelesaian SPL Homogen Ax = 0

x1 = -s-t x2= s x3= -t x4= 0 x5= t

OBE OBE

x1 = -s-t x2= s x3= -t x4= 0 x5= t

Dengan solusi umum yang diperoleh adalah;

Vektor penyelesaiannya dapat ditulis sbb:

Didapat vektor-vektor v1 dan v2 merentang dan membentuk suatu basis untuk ruang ini, atau basis ruang null adalah v1 dan v2

S= {v1, v2 } adalah himpunanvektor-vektor dalam R2 danbebas linier (karena 2 vektordalam R2)Maka {v1, v2 } adalah suatu basis,dan ruang penyelesaiannya adalahberdimensi dua.

Ingat!!!!

• Suatu ruang vektor tak nol V disebut berdimensi terhingga jika Vberisi suatu himpunan vektor terhingga {v1, v2, …, vn} yangmembentuk suatu basis.

• Semua basis untuk suatu ruang vektor berdimensi terhinggamempunyai jumlah vektor yang sama

Konsep DIMENSI

Basis standar untuk Rn mempunyai n vektorBasis standar untuk R3 mempunyai 3 vektor (R3 berdimensi ruang).Basis standar untuj R2 mempunyai 2 vektor (R2 berdimensi bidang).Basis standar untuk R1 mempunyai 1 vektor (R1 berdimensi garis).

Basis Ruang Baris, Ruang Kolom, Ruang Null

Teorema 4.Operasi baris dasar tidak mengubah ruang baris dari suatumatriks, namun bisa mengubah ruang kolom matriks tersebut.

Misal vektor baris matriks A adalah r1, r2, … , rn dan B diperoleh dari A melalui OBE, maka;

Jika OBE adalah pertukaran baris, maka A dan B tetap memiliki vektor baris yang sama, namun vektor kolom beda.

Jika OBE adalah perkalian suata baris dengan skalar tidak nol atau penambahan perkalian skalar suatu baris ke baris lainnya, maka ruang baris pada matriks B merupakan kombinasi linear ruang baris matriks A dan juga terletak pada ruang baris A, namun mengubah ruang kolom A.

Basis Ruang Baris, Ruang Kolom, Ruang Null

Jika diketahui Ax = 0 dan Bx = 0, dimana matriks Bmxn dihasilkanmelalui OBE pada matriks Amxn, maka A dan B memiliki himpunanpenyelesaian yang sama.

Sistem pertama mempunyai penyelesaian tak trivial jika dan hanyajika sistem kedua mempunyai penyelesaian tak trivial. Atau vektor-vektor kolom dari A bebas secara linier jika dan hanya jika vektor-vektor kolom dari B juga bebas secara linier.

Jika vektor-vektor kolom dari A dan B masing-masing adalah:

c1, c2, …, cn dan c’1, c’2, …, c’n

Maka kedua sistem tersebut bisa ditulis ulang :

x1c1 + x2c2 + … + xncn = 0atau

x1c’1 + x2c’2 + … + xnc’n = 0

Basis Ruang Baris, Ruang Kolom, Ruang Null

Teorema 5.

Jika A dan B adalah matriks –matriks yang ekuivalen baris,maka:

• Suatu himpunan vektor kolom dari A bebas linier jika dan hanyajika vektor-vektor kolom B yang bersepadanan juga bebas linier.

• Suatu himpunan vektor kolom dari A yang membentuk suatubasis untuk ruang kolom dari A jika dan hanya jika vektor-vektorkolom yang bersepadanan dari B membentuk suatu baris untukruang kolom dari B.

Matriks Eselon untuk mencariBasis Ruang Baris, Ruang Kolom, Ruang Null

Teorema 6.

Jika suatu matriks R berada dalam bentuk baris-eselon, makavektor-vektor baris dengan utama 1 (yaitu vektor-vektor baristak-nol) membentuk suatu basis untuk ruang baris dari R, danvektor-vektor kolom dengan utama 1 dari vektor-vektor barismembentuk suatu basis untuk ruang kolom dari R.

r1

r2

r3

c1 c4c2

Contoh : Matriks dengan eselon tereduksi memiliki 3 vektor yang membentuk suatu basis untuk ruang baris dan 3 vektor yang membentuk suatu basis untuk ruang kolom

Matriks Eselon untuk mencariBasis Ruang Baris, Ruang Kolom, Ruang Null

Cari basis-basis untuk ruang baris dan kolom berikut:

OBE tidak merubah ruang baris dari suatu matriks, sehingga basis untuk ruang baris A dicari dengan suatu basis untuk ruang baris eselon A.Hasil reduksi A menjadi baris eselon dalam matriks R sbb:

Vektor-vektor baris tak-nol dari Rmembentuk basis untuk ruang barisR, sehingga membentuk suatu basisuntuk ruang baris dari A, sbb:

OBETereduksi

• A dan R memiliki ruang kolom yg berbeda• Basis untuk ruang kolom A tidak bisa langsung didapat dari OBE Tereduksi R.• Namun vektor kolom R yang bersepadanan dengan A akan membentuk basis

untuk ruang kolom A.• Kolom pertama, ketiga dan kelima mengandung utama 1 dari vektor-vektor tsb

dan membentuk suatu basis untuk ruang kolom dari R, jadi vektor-vektorkolom yang bersepadanan dari A yaitu:

Vektor-vektor kolom yang bersepadanan dari A dan membentuk

suatu basis untuk ruang kolom A

Kolom 1, 3, 5 dari R mengandung utama 1 dari vektor-vektor kolom

Carilah basis untuk ruang kolom dari :

Supaya bisa di OBE, maka ditranspose dulu:

OBE

w1= (1,3,0) dan w2 = (0,1,2) membentuk basis untuk ruang baris AT

Tranpose kembali:

Membentuk basis untuk ruang kolom A

Matriks Transpose untuk mencariBasis Ruang Kolom

Basis & Kombinasi Linier

Himpunan vektor S= {v1, v2,…, vk} dalam Rn, prosedur pada contohberikut menghasilkan suatu himpunan bagian dari vektor-vektor Syang membentuk suatu basis untuk rent(S) dan menyatakan vektor-vektor dalam S yang tidak berada dalam basis tersebut sebagaikombinasi linier dari vektor-vektor basis tersebut.

Operasi baris dasar tidak mengubah hubungan kebebasan danketidakbebasan linier antar vektor kolom.

Operasi baris dasar tidak mengubah rumus-rumus kombinasi linier yangmenghubungkan vektor-vektor kolom yang tidak bebas linier.

Basis & Kombinasi Linier

a. Cari himpunan bagian dari vektor-vektor kolom yang membentuk suatu basis untuk ruang yang terentang oleh vektor-vektor tersebut:

b. Nyatakan vektor-vektor yang tidak berada dalam basis sebagaikombinasi linier dari vektor-vektor basis

Langkah 1: Bentuk matriks A dengan v1, v2, v3, v4 dan v5 sebagai vektor kolom.

Langkah 2:Reduksi matrik A menjadi bentuk baris – eselon tereduksi R, dan anggap w1, w2, w3, w4, w5 adalah vektor-vektor kolom R.

Langkah 3:Kenali kolom-kolom yang mengandung utama 1 dalam R. Vektor-vektor kolom yang bersepadanan dari A merupakan vektor-vektor basis untuk rent(S).

{w1, w2, w4} basis untuk ruang kolom R, sehingga {v1, v2, v4} basis untuk ruang kolom A.

Langkah 4:Nyatakan setiap kolom R yang tidak mengandung utama 1 (yaitu w3 danw5) sebagai kombinasi linier dari vektor kolom yang mengandung utama 1{w1, w2, w4}, sehingga menghasilkan suatu himpunan persamaanketergantungan yang melibatkan vektor-vektor kolom dari R.

Persamaan yang bersepadanan untuk vektor-vektor kolom A menyatakanvektor-vektor yang tidak ada dalam basis tersebut sebagai kombinasilinear dari vektor-vektor basis.

5.6. Peringkat dan Kekosongan

Empat Ruang Matriks Dasar

Ruang baris dari ARuang kolom dari ARuang kosong dari A

Ruang baris dari AT

Ruang kolom dari AT

Ruang kosong dari AT

Tetapi mentranspose suatu matriks berarti mengubah vektor barismenjadi vektor kolom dan vektor kolom menjadi vektor baris,sehingga:

• ruang baris AT = ruang kolom A• ruang kolom AT = ruang baris A

ruang matriks dasar yang dikaitkan dengan A

Ruang Baris , Ruang Kolom dengan Dimensi Sama

Teorema 1.

Jika A adalah sebarang matriks, maka ruang baris dan ruangkolom dari A mempunyai dimensi yang sama dengan matriks Ryang merupakan bentuk baris-eselon tereduksi dari A.

dim (ruang baris dari A) = dim (ruang baris dari R)dim (ruang kolom dari A) = dim (ruang kolom dari R)

Rank(A) dan Kekosongan(A)

• Dimensi bersama dari ruang baris dan kolom dari suatu matriks A disebut peringkat/rank dari A dan dinyatakan dengan Rank (A)

• Dimensi dari ruang-ruang null dari A disebut kekosongan dari A dan dinyatakan dengan kekosongan (A).

Cari Rank(A) dan Kekosongan(A)

Cari peringkat dan kekosongan dari matriks A sbb:

Bentuk baris-eselon tereduksi A:

Ada 2 baris tak-nol atau ada dua utama 1, maka;Ruang baris dan ruang kolom berdimensi 2, sehingga

rank(A) = 2

Untuk mencari kekosongan dari A, cari dimensi ruang penyelesaian dari sistem liner homogen Ax = 0

Ruang Null

Empat vektor membentuk suatu basis untuk ruang penyelesaian, sehingga;

kekosongan(A) = 4

Rank(A) dan Rank(AT)

Teorema 2.

Jika A adalah sebarang matriks, maka: rank(A) = rank(AT)

Rank(A)=dim(ruang baris dari A)=dim(ruang kolom dari AT)=rank(AT)

Buktikan rank(A) = rank(AT)

Teorema Dimensi

Teorema 3.

Jika A adalah suatu matriks dengan n kolom, maka:

rank(A) + kekosongan(A) = n

Cari peringkat dan kekosongan dari matriks A sbb:Contoh :

Ruang baris dan ruang kolom berdimensi 2, sehingga rank(A) = 2

Empat vektor membentuk suatu basis untuk ruang penyelesaian, sehingga; kekosongan(A) = 4

n = jumlah kolom = 6

6 = 2 + 4…..ok

Rank & Kekosongan

Teorema 4.

Jika A adalah matriks m x n, maka:

• rank(A) = jumlah peubah bebas dalam penyelesaian Ax = 0• kekosongan(A) = jumlah parameter dalam penyelesaian Ax = 0

Contoh : Cari peringkat dan kekosongan dari matriks A sbb:

Ruang penyelesaian dari sistem liner homogen Ax = 0

2 peubah bebas ; rank(A) = 2

4 parameter ; kekosongan(A) = 4

Dimensi Matriks A berperingkat r

Ruang Dasar Dimensi

Ruang baris dari A r

Ruang kolom dari A r

Ruang Kosong dari A n-r

Ruang kosong dari AT m-r

Jika :

• A adalah matriks m x n berperingkat r• AT adalah matriks n x m berperingkat r.

Nilai Maksimum Peringkat

Definisi:

Jika A adalah suatu matriks m x n, maka:

• Vektor baris terletak pada Rn ruang baris A max dimensi n

• Vektor kolom terletak pada Rm ruang kolom A max dimensi m

rank(A) ≤ min(m,n)

Dimana min(m,n) menyatakan angka yang lebih kecil antara m dan n jika m ≠ n atau nilai bersama mereka jika m=n

Contoh: A 7x 4 peringkat max : 4A 4 x 7 peringkat max : 4

Teorema Konsistensi:SPL dengan m Persamaan dalam n Peubah

Teorema 5.

Jika Ax = b adalah suatu SPL dengan m persamaan dan n peubah, maka;

a. Ax = b konsistenb. b berada dalam ruang kolom dari A (ingat teorema 1 ruang baris)c. A dan [Al b] mempunyai peringkat yang sama

Penjelasan c. Peringkat matrik A sebagai jumlah baris tak nol dalam bentuk eselon tereduksi A, contoh:

Perhatikan baris : 0 0 0 0 1 menunjukkan sistem tidak konsistenTeorema konsistensi : sistem linear Ax=b konsisten untuk suatu vektor btertentu dengan memenuhi syarat pada teorema 6 berikut.

Teorema Konsistensi:SPL dengan m Persamaan dalam n Peubah

Teorema 6.

Jika Ax = b adalah suatu SPL dengan m persamaan dan n peubah, maka;

a. Ax = b konsisten untuk setiap matriks b, m x 1b. Vektor-vektor kolom A merentang Rm.c. rank(A) = m

Matriks Eselon untuk mencariBasis Ruang Baris, Ruang Kolom, Ruang Null

Cari suatu basis untuk ruang yang terentang oleh vektor-vektor:

Ruang yang terentang oleh v1, v2, v3 dan v4 adalah ruang baris dari matriks:

Dengan reduksi matriks didapat bentuk baris- eselon sbb:

• Vektor baris tak-nol w1, w2, w3 membentuk basis untuk ruang baris.• Dengan demikian w1, w2, w3 membentuk basis untuk sub ruang R5 yang

terentang oleh vektor-vektor v1, v2, v3 dan v4

w1 = (1,-2,0,0,3)w2 = (0,1,3,2,0)w3 = (0,0,1,1,0)

Matriks Transpose untuk mencariBasis Ruang Baris, Ruang Kolom, Ruang Null

Cari suatu basis untuk ruang baris dari:

Merupakan vektor-vektor basis untuk ruang baris A

A AT, maka ruang baris A menjadi ruang kolom AT

Dengan matriks eselon, cari suatu basis ruang kolom AT.

Tranpose kembali mengubah vektor kolom menjadi vektor baris

OBE

Kolom 1,2 dan 4 berisi utama 1, shg vektor kolom AT membentuk suatu basis untuk ruang

kolom AT