Chapter 4 -...

あなたと恋する物理学特殊相対論

Chapter 4 多様体入門

yi = µ

2019年 11月 10日

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4.3 引き戻しと押し出し　あかりに呼び出されたその翌週までに、私は教えてもらったことの復習を行った。ベクトル空間。そして多様体。　特に多様体は、一度聞いただけでは理解できず、私はお小遣いで 1冊の教科書を買った。もちろんあかりに相談して、だ。「この本を参考にして組み立てる。けれど、表記は少しオリジナル要素を加えている」　相談した時に、あかりはそのように返答していた。「それ、やっていいの？　オリジナルって……」「いいか悪いかで言えば、一長一短。まとめる時に参考にした本たちも、それぞれ違うように記号を使ってたんだ。もちろん本の中では一貫していたけど。……だから、表記それ自身に惑わされないで、概念を見つめることが大事だと思う。本を読むときも……私の話でも」　と言っていた。　表記に惑わされず、概念を考える、か……難しそうだけれど、それが科学として健全な姿勢なのかもしれない。私も一人の科学人になるために、訓練を積む必要がある。　……よし！　頑張るぞ！

4.3.1 多様体間の写像

「なんでもそうだけれど、あるものを考えた時、1つ考えるだけでは不十分。別のものとの関係を考えたい、という欲求が生じる。多様体もそう。2つの多様体M,N を考える」　そう言ってあかりはホワイトボードに定義を書いた。� �

� �

2つの微分可能多様体M,N に対して、その間の写像

F :M → N (4.3.1)

について考える。F が C∞ 級であるとは、∀p ∈ M に対して、F (p)周りの N の座標近傍 (V, ψ)を取った時に F (U) ⊂ V となるM の座標近傍 (U,φ)が存在し、

ψ ◦ F ◦ φ−1 : φ(U) → ψ(V ) (4.3.2)

が C∞ 級であること、と定める。

4.3 引き戻しと押し出し 3

「つまり、多様体の間の写像を考えるときに、局所座標を使うってこと。写像の滑らかさもね。φ = (x1, · · · , xn)および ψ = (y1, · · · , yk)と書くとすると、

ψ ◦ F ◦ φ−1(x1, · · · , xn) =

y1 ◦ F ◦ φ−1(x1, · · · , xn)

...

yk ◦ F ◦ φ−1(x1, · · · , xn)

(4.3.3)と書ける。C∞ 級というのは、これらを何階微分しても連続である、ということだ」「確かに、縦に並べて書くとわかりやすいね！　 k は……N の次元か！　そっか。局所座標を使えば、F :M → N を、k 個の n変数関数として表せるんだ！」「その通り。それが多様体の本質……わからないものを、局所的でもわかろうとすること。絵を描こうか」

M N

ϕ

U V

ψ

ψ ◦ F ◦ ϕ−1

F

図 4.1 C∞ 級写像 F および、その局所座標表示 ψ ◦ F ◦ φ−1。通常は局所座標表示を用いて解析するが、局所座標の選び方に依存するため、注意が必要。

　あかりは図をホワイトボードに描いた。F そのものを解析するのではなく、ψ ◦ Fφ−1 を解析する……局所座標を使うことで、F の情報を知ることができるんだ。「さて、次に、微分同相という概念を考えよう」� �

� �F :M → N が微分同相写像であるとは、F が全単射かつ C∞ 級であり、F−1 も C∞ 級であることであると定める。また、M と N の間に微分同相写像が存在する時、M と Nは微分同相であるという。

「微分同相写像が存在すれば……M と N は微分同相……」「そう。まず、全単射という条件を考えよう。これはM とN の点どうしが対応していること、対応していない点はないことを言っている」

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「C∞ 級ってことは、微分が連続……点どうしの対応が、滑らかに対応するってことかな？」「あおいのその感覚は大事だ。2つの多様体が微分同相であるとは、微分構造が同じだということ。例えば、よく言われるドーナツとコーヒーカップの例だけれど、それぞれの点を滑らかに対応させることができる、微分同相写像が存在する、という意味で “同じ”と言っているんだ」「穴の数とかも、微分同相写像を調べればわかるのかな！？」「どうやって微分同相写像を調べるか、という問題になってしまうけどね」

4.3.2 接写像/押し出し

「微分同相であることは排して、C∞ 級写像 F : M → N を考える。ここで、p ∈ M をとって、TpM の元 [c]を考えよう。接ベクトルを考えるということは、曲線 c : (−ε, ε) →M を考えることだ。1階微分しか意味はないけれど」「c(0) = pだっけ。なんかややこしい定義があった気がするけど……」「そうだね。ここで F ◦ c : (−ε, ε) → N を考える。これは t = 0 にて F (p) を通る曲線になる。すなわち TF (p)N の元を考えることに繋がる」　あかりはまた、ホワイトボードに絵を描いた。

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pAAAC9HichVI7SwNBEJ6crxhfUZuAjRgiYhHmbBQrwcZSE/OQJIS7c6NH7sXdJhCDtZDOSjA2KilEEPwNNvkDEfwJop2CjYVzlwPRYNzldr/9Zr6ZvZmVLU11OOJTQBgYHBoeCY6GxsYnJqfC0zNpx6zYCksppmbaWVlymKYaLMVVrrGsZTNJlzWWkcubrj1TZbajmsYur1msoEsHhlpSFYkTlcnnQlYoXyiGoxhHb8z3AtEHUfDHthl+hTzsgwkKVEAHBgZwwhpI4NDMgQgIFnEFqBNnE1I9O4NjCJG2Ql6MPCRiy7Qe0Cnnswad3ZiOp1Yoi0afTcp5iGEHb/AN23iLz/j5Z6y6F8O9S412uatlVnGqEUl+/KvSaedw+K3qo5DJ2/PbW2YnuUxfT5twmTAnRQwf6Q/u8QHbjYjW6VsVDiVY86qhUnUsj3HrpHQzV4/O3pLriVh9Ea/whSp0iU9uXDSq70prhyWafW5VorVGsXSyUG/oKYi/G98L0itxEePizkp0Y8l/FEGYgwVYos6vwgZswTakvDyncA5NoSpcCNdCq+sqBHzNLPwYwt0XtRitIQ==AAAC9HichVI7SwNBEJ6crxhfUZuAjRgiYhHmbBQrwcZSE/OQJIS7c6NH7sXdJhCDtZDOSjA2KilEEPwNNvkDEfwJop2CjYVzlwPRYNzldr/9Zr6ZvZmVLU11OOJTQBgYHBoeCY6GxsYnJqfC0zNpx6zYCksppmbaWVlymKYaLMVVrrGsZTNJlzWWkcubrj1TZbajmsYur1msoEsHhlpSFYkTlcnnQlYoXyiGoxhHb8z3AtEHUfDHthl+hTzsgwkKVEAHBgZwwhpI4NDMgQgIFnEFqBNnE1I9O4NjCJG2Ql6MPCRiy7Qe0Cnnswad3ZiOp1Yoi0afTcp5iGEHb/AN23iLz/j5Z6y6F8O9S412uatlVnGqEUl+/KvSaedw+K3qo5DJ2/PbW2YnuUxfT5twmTAnRQwf6Q/u8QHbjYjW6VsVDiVY86qhUnUsj3HrpHQzV4/O3pLriVh9Ea/whSp0iU9uXDSq70prhyWafW5VorVGsXSyUG/oKYi/G98L0itxEePizkp0Y8l/FEGYgwVYos6vwgZswTakvDyncA5NoSpcCNdCq+sqBHzNLPwYwt0XtRitIQ==AAAC9HichVI7SwNBEJ6crxhfUZuAjRgiYhHmbBQrwcZSE/OQJIS7c6NH7sXdJhCDtZDOSjA2KilEEPwNNvkDEfwJop2CjYVzlwPRYNzldr/9Zr6ZvZmVLU11OOJTQBgYHBoeCY6GxsYnJqfC0zNpx6zYCksppmbaWVlymKYaLMVVrrGsZTNJlzWWkcubrj1TZbajmsYur1msoEsHhlpSFYkTlcnnQlYoXyiGoxhHb8z3AtEHUfDHthl+hTzsgwkKVEAHBgZwwhpI4NDMgQgIFnEFqBNnE1I9O4NjCJG2Ql6MPCRiy7Qe0Cnnswad3ZiOp1Yoi0afTcp5iGEHb/AN23iLz/j5Z6y6F8O9S412uatlVnGqEUl+/KvSaedw+K3qo5DJ2/PbW2YnuUxfT5twmTAnRQwf6Q/u8QHbjYjW6VsVDiVY86qhUnUsj3HrpHQzV4/O3pLriVh9Ea/whSp0iU9uXDSq70prhyWafW5VorVGsXSyUG/oKYi/G98L0itxEePizkp0Y8l/FEGYgwVYos6vwgZswTakvDyncA5NoSpcCNdCq+sqBHzNLPwYwt0XtRitIQ==AAAC9HichVI7SwNBEJ6crxhfUZuAjRgiYhHmbBQrwcZSE/OQJIS7c6NH7sXdJhCDtZDOSjA2KilEEPwNNvkDEfwJop2CjYVzlwPRYNzldr/9Zr6ZvZmVLU11OOJTQBgYHBoeCY6GxsYnJqfC0zNpx6zYCksppmbaWVlymKYaLMVVrrGsZTNJlzWWkcubrj1TZbajmsYur1msoEsHhlpSFYkTlcnnQlYoXyiGoxhHb8z3AtEHUfDHthl+hTzsgwkKVEAHBgZwwhpI4NDMgQgIFnEFqBNnE1I9O4NjCJG2Ql6MPCRiy7Qe0Cnnswad3ZiOp1Yoi0afTcp5iGEHb/AN23iLz/j5Z6y6F8O9S412uatlVnGqEUl+/KvSaedw+K3qo5DJ2/PbW2YnuUxfT5twmTAnRQwf6Q/u8QHbjYjW6VsVDiVY86qhUnUsj3HrpHQzV4/O3pLriVh9Ea/whSp0iU9uXDSq70prhyWafW5VorVGsXSyUG/oKYi/G98L0itxEePizkp0Y8l/FEGYgwVYos6vwgZswTakvDyncA5NoSpcCNdCq+sqBHzNLPwYwt0XtRitIQ==

F (p)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

図 4.2 p ∈M を通る曲線を F で送ることで、F (p) ∈ N を通る曲線を作ることができる。これにより、TpM の元を TF (p)N の元に対応させる写像 F∗ が定義できる。

「なるほど、F でこう、ベクトルを送ることができるのか！」「送る……そうだね。確かにM のベクトルが N のベクトルへと送られている。この 2つのベクトルの関係を考えようか。さっきの C∞ 級写像の定義で用意した、p ∈ M の周りの局所座標系 (U,φ)と F (p) ∈ N の周りの局所座標系 (V, ψ)を考えよう。この時、

d(φ ◦ c)dt

(0) と d(ψ ◦ F ◦ c)dt

(0) (4.3.4)

の間の関係を考える」「あ、合成関数の微分かな！？」「計算してみる？」


　あかりはマーカーを手渡してくる。立ち上がって受け取り、私はホワイトボードに向かう。「やってみる！　ええと、

ψ ◦ F ◦ c = (ψ ◦ F ◦ φ−1) ◦ (φ ◦ c) (4.3.5)

と変形して、ψ ◦ F ◦ φ−1 : φ(U) → ψ(V )と φ ◦ c : (−ε, ε) → φ(U)の合成関数と考えれば

d(ψ ◦ F ◦ c)dt

(0) =∂(ψ ◦ F ◦ φ−1)

∂xµ(φ(p))

d(xµ ◦ c)dt

(0) (4.3.6)

だね。この ν 成分を取れば、

d(yν ◦ F ◦ c)dt

(0) =∂(yν ◦ F ◦ φ−1)

∂xµ(φ(p))

d(xµ ◦ c)dt

(0)

=∂(yν ◦ F )∂xµ

(p)d(xµ ◦ c)

dt(0)

(4.3.7)

だから [c]を (U,φ)の座標基底で展開して、[F ◦ c]を (V, ψ)の座標基底で展開したら

[c] = vµ(

∂

∂xµ

)p

(4.3.8)

[F ◦ c] = vµ ∂(yν ◦ F )∂xµ

(p)

(∂

∂yν

)F (p)

(4.3.9)

って形になるのかな」「そうだね。このように、写像 F :M → N を用いて [c] ∈ TpM を [F ◦ c] ∈ TF (p)N へと送ることができる」「なるほどー」　あかりにマーカーを返して、私は座る。「さっきは曲線で考えたけれど、関数の微分作用素として接ベクトルを考えても同様にできる。N 上の関数 g を用意して、

[F ◦ c]g = d(g ◦ F ◦ c)dt

(0) =d(g ◦ ψ−1 ◦ ψ ◦ F ◦ c)

dt(0)

=∂(g ◦ ψ−1)

∂yν(ψ(F (p)))

∂(yν ◦ F ◦ φ−1)∂xµ

(φ(p))d(xµ ◦ c)

dt(0)

=∂g

∂yν(F (p))

∂(yν ◦ F )∂xµ

(p)vµ

= vµ∂(yν ◦ F )∂xµ

(p)

(∂

∂yν

)F (p)

g

(4.3.10)

というようにね。以上のように、点 p ∈ M の接ベクトルを F (p) ∈ N の接ベクトルへと移す写像がある。これを F の接写像 F∗ といい、このように書くことにしよう」

Xp 7−→ (F∗X)F (p) (4.3.11)

6

「ん……そっか、点 F (p) の接ベクトルになるから、右下に F (p) ってつけてるんだ。じゃあ……」　ノートに考えながら書く。

(F∗v

µ

(∂

∂xµ

))F (p)

= vµ∂(yν ◦ F )∂xµ

(p)

(∂

∂yν

)F (p)

(4.3.12)

「って感じに書けるのかな」

「そう書くことにしよう。ここで ∂(yν ◦ F )∂xµ

(p) を (ν, µ) 成分とする行列を (JF )p として、

(ν, µ)成分を [(JF )p]νµ と書くことにしよう。この Jは Jacobiの頭文字で、ヤコビ行列と呼ばれる」

[(JF )p]µν (4.3.13)

「ヤコビ行列……表記は簡単になりそうだね！」　私の言葉にあかりは頷いて、話を続けた。「ベクトルを “押し出す”ことから F∗ のことを押し出しと言うこともある。接写像、押し出しを考えるときは、成分が

vµF∗7−→ [(JF )p]µν vν (4.3.14)

と変化したと考えればいい。おそらく物理ではそれを考えれば十分だ」

4.3.3 引き戻し

「次に、F : M → N を使って、N のテンソルを、M のテンソルとして見ることを考えようか。ωF (p) ∈ T 0k (TF (p)N)を、(F ∗ω)p ∈ T 0k (TpM)にする」　先ほどと同じような絵をあかりは書く。






!F (p)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(F ⇤!)p

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

F ⇤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

図 4.3 (0, k) 型テンソルの引き戻し。ベクトルの押し出しと違い、F の向きと逆向きに定義される。

「さっきはM のベクトルを N に送ってたよね。テンソルは逆向きなんだ」「そうだね。接写像 F∗ : TpM → TF (p)N の向きとは逆になっている。定義を見た方が早いね」

4.3 引き戻しと押し出し 7� �

� �

微分可能多様体M,N および C∞ 級写像 F :M → N を考える。このとき、p ∈M として F (p) ∈ N の (0, k)型テンソル ωF (p) ∈ T 0k (TF (p)N)から、p ∈ M の (0, k)型テンソル (F ∗ω)p ∈ T 0k (TpM)を以下で定める。

(F ∗ω)p((X1)p, · · · , (Xk)p) = ωF (p)((F∗X1)F (p), · · · , (F∗Xk)F (p)) (4.3.15)

ここで (X1)p, · · · , (Xk)p ∈ TpM とした。この F ∗ : T 0k (TF (p)N) → T 0k (TpM)を、F による引き戻しという。

「引き戻しかぁ。確かに “引き戻し”てる感じがする！」「具体的に k = 1 で考えてみよう。p ∈ M の周りの座標近傍 (U,φ) = (U, x1, · · · , xn) と、F (p) ∈ N の周りの座標近傍 (V, ψ) = (V, y1, · · · , yl)を考える。この時、

ωF (p) = ων(dyν)F (p)

とすると

(F ∗(ωνdyν))p

((∂

∂xµ

)p

)= ων(dy

ν)F (p)

((F∗

(∂

∂xµ

))F (p)

)

= ων(dyν)F (p)

([(JF )p]

ρµ

(∂

∂yρ

)F (p)

)= ων [(JF )p]

ρµδ

νρ

= ων [(JF )p]νµ

(4.3.16)

よって、(F ∗(ωνdy

ν))p = ων [(JF )p]να(dx

α)p (4.3.17)

これが、1次微分形式の引き戻しになる。成分の変換はこうだ」

ωνF∗7−→ ωµ[(JF )p]µν (4.3.18)

　あかりのホワイトボードに書いた数式を書き写し、考える。「成分の変換はベクトルの押し出しと似てるね。添字の上下が違うだけで同じ形してる」　ノートを見る。さっきやった接ベクトルの押し出しの話だ。

vµF∗7−→ vν [(JF )p]µν (4.3.19)

　左辺は p ∈ M のベクトルで、右辺が F (p) ∈ N のベクトルの成分だ。確かに、逆になっている。ベクトルは押し出し、そしてテンソルは引き戻し。

8

「k を制限しない時はこのように成分が変換される」

(F ∗ω)pµ1··· ,µk = (F∗ω)p

((∂

∂xµ1

)p

, · · · ,(

∂

∂xµk

)p

)

= ωF (p)

((F∗

(∂

∂xµ1

))F (p)

, · · · ,(F∗

(∂

∂xµk

))F (p)

)

= [(JF )p]ν1

µ1 · · · [(JF )p]νk

µkωF (p)

((∂

∂yν1

), · · · ,

(∂

∂yνk

))= [(JF )p]

ν1µ1 · · · [(JF )p]

νkµkωF (p)ν1,··· ,νk

(4.3.20)

「そっか、基底を直接代入すれば成分がわかるんだ。これも全部ヤコビ行列で書けるんだね」

4.3.4 関数の引き戻しと押し出し

「さて、次に一般の (r, s)型テンソルを、と行きたいけれど、その前に関数の引き戻しと押し出しをやろう。M,N をそれぞれ微分可能多様体として、F : M → N を微分同相とする。この時、関数 g : N → Rに対して、g の引き戻し F ∗g を

F ∗g = g ◦ F (4.3.21)

で定義する」「ただの合成関数じゃん。あ、でも確かに F ∗g はM での関数になってるね」


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F ⇤g = g � 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

F ⇤g(p)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

図 4.4 F ∗g の定義。合成関数になっている。N 上の関数を F 上の関数として “引き戻し” ている。

「これの微分を取る。p ∈ M の周りの座標近傍 (U,φ) および F (p) ∈ N の周りの座標近傍


(V, ψ)を取ると、

∂(F ∗g)

∂xµ(p) =

∂(F ∗g ◦ φ−1)∂xµ

(φ(p))

=∂(g ◦ F ◦ φ−1)

∂xµ(φ(p))

=∂(g ◦ ψ−1 ◦ ψ ◦ F ◦ φ−1)

∂xµ(φ(p))

=∂(g ◦ ψ−1)

∂yν(ψ(F (p)))

∂yν ◦ F ◦ φ−1

∂xµ(φ(p))

= [(JF )p]νµ

∂g

∂yν(F (p))

(4.3.22)

つまり

(d(F ∗g))p =∂(F ∗g)

∂xµ(p) (dxµ)p

= [(JF )p]νµ

∂g

∂yν(F (p)) (dxµ)p

(4.3.23)

ということがわかる。これはいいかな？」「ヤコビ行列が出てきたね。まあ、特には問題なさそう」「次は (F ∗dg)p を考えよう。g の点 F (p) ∈ N における微分 (dg)F (p) を F ∗ で引き戻す。

(F ∗dg)p =

(F ∗

∂g

∂yµ(F (p))(dyµ)F (p)

)p

=∂g

∂yµ(F (p))[(JF )p]

µρ(dx

ρ)p

= (d(F ∗g))p

(4.3.24)

ということがわかる。すなわち、dと F ∗ は入れ替えることができる」「おおっ！　そんな性質があったんだ！」「これを使えば計算が簡単に書ける。dは F ∗ に対して自然、とか言うね。この場合の自然とは入れ替えが可能ということだ」「自然……でもこれ、F が微分同相であることとか考えてないよね？」「ああ、そうだった。うん。この議論は F−1 の存在を仮定していない。次に定義する概念から、F が微分同相であることを使っていくね。関数の押し出しを定義する。F の設定は同じとして、M 上の関数 f :M → Rを考える。この時に f の押し出し F∗f を

F∗f = f ◦ F−1 (4.3.25)

と定義する。F∗f は N 上の関数になっていることがわかるかな」「ん、確かに！　この場合は F−1 がないとダメだね！」

10

「これは同時にF∗ = (F

−1)∗ (4.3.26)

ということも意味している。これが関数の引き戻しと押し出しの関係だ」「ほうほう。ってことは dとの入れ替えも可能なんだよね！」

(d(F∗f))p = (F∗df)p (4.3.27)

その通り。だけれど右辺はまだ定義してないね。合っているけれど」「あ、そっか。どう定義するの？」「複雑じゃないよ。さっきのを拡張するだけ。接ベクトルの引き戻しも同様に定義しようか。F (p) = q となる Xq ∈ TqN と、そして ωp ∈ T 0k (TpM)に対して、

(F ∗X)p = ((F−1)∗X)p (4.3.28)

(F∗ω)F (p) = ((F−1)∗ω)F (p) (4.3.29)

と定義する。自然にね」






!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

(F⇤!)F (p)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

F⇤ = (F�1)⇤

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Chapter 4 -...

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